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Curso: Mat. Fin. Para TCU Teoria e Questões comentadas

Prof. Guilherme Corrêa - Aula 00

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Aula 00

Curso: Matemática Financeira para o TCU

Professor: Guilherme Corrêa




Olá, amigos!

Meu nome é Guilherme Corrêa e estarei junto com vocês na preparação para o concurso de Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas da União (TCU). Acho interessante começar contando pra vocês um pouquinho da minha história. Vamos lá?

Lembro de que, quando eu era pequeno, costumava ouvir com muita admiração a frase: “fulano de tal virou fiscal”. Ainda era década de 80, ou início dos anos 90, e já tinha era gente que alimentava o sonho de passar pro antigo “AFTN”... Eu ainda era novo, mas já sabia que eu, quando eu crescesse, gostaria mesmo de ser fiscal. Sonho adormecido na adolescência, fui trilhando outros caminhos.

Costumo dizer que minha carreira de concurseiro começou aos 16 anos quando tentei ingressar na Escola Preparatória de Cadetes da Aeronáutica (EPCAr), na Escola de Sargento Especialista da Aeronáutica (EEAR) e na Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx). Foi um começo difícil. Tinha cursado os dois primeiros anos do segundo grau em uma escola pública sem muitos recursos e, sem um bom direcionamento, não logrei êxito. Fiquei reprovado em tudo.

Sem me dar por vencido, no ano seguinte aumentei o gás. Estudei em todas as horas que eu pude. Fosse no ônibus ou no metrô, eu estava estudando. Comecei o ano pensando em fazer novamente a prova da EsPCEx mas acabei tentando os vestibulares do Instituto Militar de Engenharia (IME) e da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ). Consegui a vaga para engenharia elétrica na UFRJ mas, embora aprovado, fiquei de fora das vagas do IME. Contudo, a mera aprovação nesta escola já me deu o ânimo pra mais uma tentativa e resolvi não me matricular na UFRJ. Fui tentar novamente o Instituto.

Assim, aos 18 anos, depois de mais um ano de intensa dedicação e perseverança, consegui estar entre os 15 primeiros dos aprovados e classificados para o IME. Consegui também minha vaga também entre os primeiros colocados na Escola Naval e entre os primeiros na Academia da Força Aérea (AFA). De quebra fui buscar uma medalha na Olimpíada Estadual de Matemática do Rio de Janeiro.

A partir daí tudo mudou. Percebi que não existe prova impossível pra ninguém. Tudo é uma questão de esforço, dedicação, disciplina, vontade! Passei os anos seguintes fazendo o melhor que podia e, com alegria, consegui terminar o curso de engenharia elétrica do Instituto Militar de Engenharia em 1º lugar. Continuando minha formação acadêmica, acabei me tornando mestre nas Ciências Nucleares pela Comissão Nacional de Energia Nuclear (CNEN).

APRESENTAÇÃO




No meio do caminho um velho sonho se reacendeu. Durante um período em que eu paralelamente atuava como professor de matemática em curso pré-vestibular, surgiu o concurso para Auditor Fiscal da Receita Estadual do Rio de Janeiro. Uma carreira com uma das melhores remunerações do setor público. Assim como vocês, optei pelo estudo pelas aulas em pdf. Hoje é o que considero a melhor opção. Você faz o seu horário, estuda no seu ritmo, ganha o tempo que perderia no transito até uma sala de aula e tem a atenção do professor direcionada para a sua pergunta. Assim, depois de um período de intensa dedicação, consegui minha aprovação e hoje sou Auditor Fiscal do Rio de Janeiro. Sonho realizado!

No embalo consegui ainda ser aprovado e classificado para Analista de Finanças Públicas da SEFAZ/RJ, Analista de Planejamento e Orçamento da SEPLAG/RJ e Oficial de Fazenda da SEFAZ/RJ.

Agora estamos juntos aqui para a preparação para a prova do Tribunal de Contas da União. Uma carreira com remuneração de ponta e muita relevância para o nosso país, já que o TCU é responsável por julgar as contas dos administradores do dinheiro que fica na posse do Poder Público federal. Sem dúvida, você, futuro Auditor Federal de Controle Externo, terá muito de que se orgulhar no seu trabalho!

É preciso que a gente tenha em mente que não precisa ser um gênio para conseguir passar num concurso público hoje. Precisa, sim, ter coragem! Coragem, por exemplo, para encarar matérias como matemática que, às vezes, a gente já traz lá da escola um preconceito, um certo medo. Aqui no nosso curso a gente vai ver que não tem mistério. Vamos fazer as questões e entender que a matemática nada mais é do que fazer um bolo. É só seguir a receita, contar certinho a quantidade de açúcar, farinha e chocolate e não vai ter erro.

Outra coisa que é fundamental é sabermos que precisamos estudar todas as matérias. Hoje em dia, os concursos têm exigido uma preparação bem variada. Assim, a gente tem matérias que exigem mais leitura, e tem matérias que exigem algumas contas. Não se pode fugir nem de uma, nem de outra. Você deve balancear o seu estudo de modo a se preparar em todas elas.

No edital lançado agora em 2015, a matemática financeira está prevista nos conhecimentos gerais para as duas orientações previstas dentro da especialidade de controle externo: AUDITORIA GOVERNAMENTAL E AUDITORIA DE TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO. A banca, mais uma vez, é a CESPE, e vamos priorizar trabalhar em cima das questões dela.

O edital diz que a data provável de realização da prova de conhecimentos gerais é dia 16 de agosto. Então temos dois meses até lá. Acreditem: dá tempo!




Vamos ver como a Matemática Financeira foi cobrada na última prova? Na tabela abaixo você vai perceber que o número de questões de matemática financeira total será maior do que o número de questões de matemática financeira que realmente caiu na prova.

Isso acontece porque há questões que envolvem mais de um assunto. Em 2013, por exemplo, a questão de 35 envolveu desconto simples e desconto composto. A questão 39 envolveu rendas certas e taxas equivalentes. Então não ache estranho, certo?

Outra coisa que temos que ficar atentos. Embora o assunto taxas equivalentes não estivesse expressamente colocado no edital de 2013, ele foi cobrado, já que pode ser encaixado dentro de juros compostos.

ASSUNTO PROVA AFCE-TCU 2013

(Quantidade de questões por assunto) AULA

Porcentagem 2 00

Juros simples 1 00 e 01

Juros compostos 1 00 e 01

Desconto racional simples

2 02

Desconto racional composto

1 02

Desconto comercial simples

1 02

Desconto comercial composto

1 02

Taxas equivalentes 1 01

Rendas uniformes 2 03

Taxa interna de retorno

1 04

Histórico e análise das provas Matemática Financeira




Pessoal, vamos seguir o edital. Nós vamos dividir nosso estudo da seguinte forma:

Aula Conteúdo Data

00 Proporcionalidades. Regra de três simples. Regra de três composta. Porcentagens. Juros simples. Juros Compostos.

Disponível

01 Juros Simples (2ª parte). Juros Compostos (2ª parte). Taxas de juros nominal, efetiva, equivalente, real e aparente.

Disponível

02 Desconto racional. Desconto comercial. Disponível

03 Rendas uniformes. Rendas variáveis. Planos de amortização de empréstimos e financiamentos: Sistema francês (tabela Price), Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de Amortização Misto (SAM).

06/07

04 Avaliação de alternativas de investimento em economia estável e em ambiente inflacionário. Avaliação econômica de projetos. Taxas de retorno e taxas internas de retorno. Cálculo financeiro: Custo real efetivo das operações de financiamento, empréstimo e investimento.

13/07

Gente, como a CESPE incluiu itens como proporcionalidades e regra de três no edital, e esses são itens que algumas pessoas já estudaram, essa aula zero acabou ficando mais longa que as demais. Isso é pra que a gente possa atender a todos os senhores: aqueles que vão precisar ver a matéria desde o início e aqueles que já vão querer partir pra parte de juros. Então não se assustem com o tamanho dessa aula. As demais não serão assim. Tudo bem?

Passado esse breve bate papo, vamos dar início ao nosso curso de Matemática Financeira? Sucesso, meus amigos! Vamos juntos até o final! Qualquer problema, escrevam no nosso fórum. Boa aula!




Assunto Página

1. Proporcionalidades. 6

2. Regra de três simples. 10

2.1 Regra de três com grandezas diretamente proporcionais 10

2.2 Regra de três com grandezas inversamente proporcionais 20

3. Regra de três composta. 23

4.Porcentagem. 29

4.1. Definição de porcentagem 29

4.2. Porcentagem de uma quantidade 30

4.3. Porcentagem como regra de três 32

4.4. Parte pelo todo. 32

4.5. Variação percentual 34

4.6. Introdução ao conceito de taxa de juros. 41

5. Juros simples. 42

5.1. Capital, juros e montante. 42

5.2. Expressões de juros simples 43

5.3. Fluxo de Caixa 49

6. Juros compostos. 53

7. Questões comentadas 57

8. Lista de exercícios 90

9. Gabarito 100

Anexo 1 – Frações 101

Anexo 2 - Exponentes 105

Caros alunos e futuros Auditores, vamos seguir nossa aula como um bate papo, certo? Sem susto... O que você não entender, anote e pergunte, tudo bem?

Vamos começar nosso curso com um item bem simples que a CESPE trouxe no edital: proporcionalidade.

Aula 00 – Proporcionalidades. Regra de três simples e composta. Porcentagens. Juros simples. Juros Compostos.

1. Proporcionalidades.




Basicamente, dizemos que duas coisas são proporcionais quando o quando o aumento de uma gera o mesmo aumento na outra. Por exemplo: em uma sala de aula, cada aluno precisa de uma cadeira. Se dobrarmos o número de alunos, o que acontecerá com o número de cadeiras necessário? Obrigatoriamente, o número de cadeiras também precisará dobrar.

Vejam então, senhores, que os dois números, isto é, o número de alunos e o número de cadeiras, aumentou da mesma forma. Quando isso ocorre, dizemos que os dois números são proporcionais.

Há uma nomenclatura que certamente os senhores se lembram lá dos tempos da Tia Teteca: grandezas diretamente proporcionais. Esse nome é a mesma coisa que dizer simplesmente que duas coisas são proporcionais. Assim, no nosso exemplo, dizer que o número de alunos é proporcional ao número de cadeiras é o mesmo que dizer que o número de aluno é diretamente proporcional ao número de cadeiras.

Assim, turma, sempre que vocês quiserem saber se uma coisa é diretamente proporcional a outra, vocês devem fazer a seguinte pergunta: se eu aumentar a primeira coisa, a segunda aumenta da mesma forma?

Mas atentem pra uma coisa: esse aumento necessariamente precisa ser na forma de uma multiplicação. Só se verifica proporcionalidade com multiplicação. Não serve soma!!!! Certo? Gravem isso! Então temos que usar coisas do tipo “dobrar”, “triplicar”, “quadruplicar”, etc. Isso porque, quando você dobra um número, você está multiplicando ele por 2. Quando você triplica, você está multiplicando por 3. E assim por diante.

Pensando nisso, pergunto a vocês: se o TCU tem 10 auditores e paga a

mesma remuneração de incríveis R$ 14.078,66 a cada auditor, podemos dizer

que a folha de remuneração dos auditores é diretamente proporcional ao

número de autores?

Faremos isso sempre assim. Vejam:

Chamamos a folha total de remuneração do TCU de “t”. Se 10 é o número de auditores, então temos:

� = 10 � 14078,66 = 140.786,60

E se o número de auditores for dobrado, o que acontece com o valor de “t”? Basta jogarmos duas vezes “10” e vermos quando dá o novo valor da folha de pagamento. Vamos chamar esse novo valor de T.

= 2� 10 � 14078,66��




Opa! Olhando pra equação acima, vemos que 10 x 14078,66 é exatamente o valor de “t”. Então podemos dizer que:

= 2 � �

= 281.573,20

Ora, vemos então que quando o número de auditores dobrou, o valor da folha de pagamento também foi multiplicado por 2. Quando esse aumento feito por meio de multiplicação ocorre igualmente, dizemos que duas coisas são diretamente proporcionais.

Vejam uma coisa importante. Se em cada caso dividirmos a folha de pagamentos pelo número de auditores, em quanto resultará? Vamos fazer as contas.

�� 140.786,6010 = 14078,66

�� 281.573,2020 = 14078,66

Podemos então escrever a seguinte verdade: a divisão do valor da folha de pagamentos pelo número de auditores é sempre a mesma e é igual à remuneração. Ou, matematicamente, temos:

�� ! "� #� ℎ� ��%ú'�!� "� �("��!�� = �� ! "� #� ℎ� "��%ú'�!� "� �("��!�� "�� = )�'(��!�çã�

Que é o mesmo que escrever:

140.786,6010 = 281.573,2020 = 14078,66

Agora vejam a seguinte situação. Imagine que uma pessoa, indo a 60 km/h em uma estrada, faça um percurso em 10 horas. Pergunto a você: em quanto tempo essa pessoa vai fazer o mesmo percurso se ela dobrar a sua velocidade para 120 km/h?




A resposta é quase intuitiva. A gente logo pensa: ora, se ele vai dobrar a velocidade, então vai viajar na metade do tempo. Logo, ele fará a viagem em 5 horas. Viram que uma aumentou e a outra diminuiu?

Quando o aumento de uma coisa, gera a redução da outra na mesma quantidade, dizemos que essas coisas são inversamente proporcionais.

Senhores, essa grandeza tempo aparece em muitas questões como inversamente proporcional a outra. Por exemplo:

1 – O tempo para fazer uma obra e o número de operários. Quanto maior o número de operários, menor o tempo da obra;

2 – O tempo para encher uma caixa d’água e a vazão da torneira. Quanto maior a vazão da torneira, menor o tempo para encher a caixa d’água.

3 – O tempo para concluir uma corrida e a velocidade do carro. Quanto maior a velocidade, menor o tempo da corrida.

Atenção! Enquanto nas grandezas diretamente proporcionais o teste é feito pela multiplicação, nas inversamente proporcionais o teste é feito pela divisão.

Então, se o número de operários for multiplicado por dois, o que acontece com o tempo de duração da obra? Ele é dividido por dois.

Se a vazão da torneira for multiplicada por 10, o que acontece com o tempo para encher a caixa? Ele é dividido por 10.

Viram que ocorre uma inversão? Uma é multiplicada, a outra é dividida.

Uma forma clássica pra sabermos se duas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais é a seguinte:

1º. Colocamos cada grandeza em uma coluna.

2º. Analisamos o sentido de crescimento em cada coluna.

3º. Se os sentidos forem os mesmos, as grandezas são diretamente proporcionais. Se forem opostos, então são inversamente proporcionais.

Veja só! Vamos considerar uma obra com 10 operários que a realizam em

15 dias. Se aumentarmos o número de operários para 20, o que acontece com

o tempo de realização da obra?




1º montamos cada grandeza em uma coluna

Número de operários Tempo de execução da obra

10 15 dias

20 X

2º Analisamos o sentido de crescimento em cada coluna

Como sabemos que o tempo de execução com 20 operários será menor do que com 10, então X será menor do que 15 dias.


10 15 dias

20 X

Vemos que as colunas crescem em sentidos opostos. Quando isso ocorre, afirmamos que as grandezas são inversamente proporcionais.

Nós veremos melhor como tratar das proporções no estudo a seguir, quando falarmos das regras de três. São assuntos bem íntimos.

Pessoal, assunto beeeeeem batido pela Tia Teteca, não é? Mas pode ser que algumas pessoas não se lembrem ou não tenham aprendido muito bem lá atrás. Não tem problema algum. Estamos aqui pra resolver isso.

Gente, a matéria não tem mistério. Todo mundo faz isso mentalmente todo dia nas mais diversas situações. E é tão intuitivo que a gente às vezes nem sabe que fez uma regra de três.

No exemplo da folha de pagamentos do TCU vimos o seguinte:

�� !"�#� $��%ú'�!�"��("��!�� !"�#� $�"��

%ú'�!�"��("��!��"�� )�'(��!�çã�

2. Regra de três simples.

2.1. Regra de três com grandezas diretamente proporcionais.




Que, usando os números, foi o mesmo que:

140.786,6010 � 281.573,20

20 � 14078,66

Quando as grandezas são proporcionais, a divisão de uma pela outra será constante. Neste caso, o valor da divisão da folha de pagamentos pelo número de auditores é constante. E essa constante vale R$ 14.078,66, que é a remuneração individual. Você pode aumentar ou diminuir o número de auditores, mas o valor da divisão da folha pelo número de auditores dará sempre o mesmo. É daí que nasce a regra de três. Como essas duas grandezas são proporcionais, sempre valerá a seguinte verdade:

�� ! "� #� ℎ� ��%ú'�!� "� �("��!�� = �� ! "� #� ℎ� "��%ú'�!� "� �("��!�� "��

A forma que a Tia Teteca nos ensina para lermos isso é:

“Valor da folha antes está para número de auditores antes, assim como

valor da folha depois está para número de auditores depois.”

Estão lembrados?

Digamos, então que quiséssemos triplicar o número de auditores. Quanto seria o novo valor da folha?

Podemos usar a equação acima para calcular.

�� ! "� #� ℎ� ��%ú'�!� "� �("��!�� = �� ! "� #� ℎ� "��%ú'�!� "� �("��!�� "��

Nós temos 3 valores conhecidos na equação acima: o valor da folha antes, que é 140.786,60, o número de auditores antes que é 10, e o número de auditores depois, que é 30. Queremos o 4º valor, o desconhecido, que é o valor da folha depois. Vamos substituir os valores então:

140786,6010 = �� ! "� #� ℎ� "��30




A forma de resolver isso é multiplicar cruzado, isto é, em diagonal.

140786,6010 � �� ! "� #� ℎ� "��30

Pra não ficar escrevendo “valor da folha depois” toda hora, vou chamar ele de “X”. Essa facilitação é bem comum na matemática. Tudo bem?

140786,6010 = ,30

140.786,60 � 30 = 10 � ,

, = 140786,60 � 3010

, = 422.359,80

Então o novo valor da folha seria R$ 422.359,80.

Vamos fazer uma questão da CESPE?

01. (CESPE – STM/Analista Judiciário/Contabilidade - 2011). Mateus comprou, por R$ 200.000,00, um terreno de 1.800 m2, formado por cinco lotes, cujos preços de compra foram proporcionais às suas respectivas áreas: dois de 250 m2, um de 350 m2, um de 450 m2 e um de 500 m2. Dois meses depois, vendeu um dos lotes de 250 m2 por R$ 40.000,00, o de 350 m2 por R$ 50.000,00 e o de 450 m2 por R$ 60.500,00. O terreno correspondente aos dois lotes restantes foi dividido entre os dois filhos de Mateus: João, de 21 anos de idade, e Pedro, de 24 anos de idade. A respeito dessa situação, julgue o item a seguir.

Se, na divisão do terreno, correspondente aos lotes não vendidos entre João e Pedro, a cada um dos filhos coube uma área de terreno proporcional à sua idade, então Pedro ficou com uma área de 400 m2 de terreno.

Solução:




Pessoal, já vamos começar a nos acostumar com as questões da CESPE. Nessas questões, a resposta é marcar CERTO (C) ou ERRRADO (E). Se você acertar a questão, ganha 1 ponto. Se errar, perde 1 ponto.

Amigos, já sabemos que quando duas grandezas são proporcionais, então a divisão de uma pela outra é sempre constante. Então podemos afirmar que, como na divisão da área do terreno a área de cada filho foi proporcional às idades de cada um, então a divisão da área de cada filho pela idade do respectivo filho é sempre a mesma. Podemos dizer então que:

Á!�� "� /�ã�0"�"� "� /�ã� = Á!�� "� 1�"!�0"�"� "� 1�"!�

Para facilitar, vou chamar a área do João de X e a área do Pedro de Y. No final das contas, o que vamos querer é o valor de Y (porque é o que o problema pergunta). Sabemos que João tem 21 anos e Pedro tem 24. Ficaremos com a seguinte equação:

,21 = 224

Multiplicando cruzado, temos:

24 , = 21 2

Vou simplificar os dois lados da igualdade dividindo por 3 cada lado. 24 por 3 dará 8 e 21 por 3 dará 7.

8 , = 7 2

Por fim, vou isolar o X e posso dizer que:

, = 7 28

Senhores, temos duas letras, ou seja, dois valores desconhecidos. Em matemática, só resolvemos duas letras com duas equações. Para três letras, precisaremos de três equações, e assim por diante. Sempre o número de valores desconhecidos tem que ser igual ao número de equações.

Neste caso, então, temos que voltar ao enunciado para achar mais uma informação que nos permita criar a 2ª equação.

Ao ler o enunciado novamente, vemos que ele nos dá meios de encontrar a área total repartida entre os filhos. Vejamos!




Inicialmente eram 1800 m².

Um dos lotes de 250 m² foi vendido, assim como o de 350 m² e o de 450 m². Sobrou apenas um lote de 250 m² e o lote de 500 m² para serem repartidos, totalizando uma área de 750 m². Então a soma das áreas X e Y tem que dar 750. Vamos escrever isso na forma de equação.

, + 2 � 750

Mas já sabemos que , = 4 56 . Vamos substituir esse valor na equação

acima.

7 28 + 2 = 750

Gente, vocês lembram de operações com frações? Soma e subtração de frações? Multiplicação e divisão de frações? Se não lembram, desçam até o “ANEXO 1 - FRAÇÕES” que a gente recorda ali, tudo bem?

7 2 + 8 28 = 750

1528 = 750

2 = 750 � 815

Sei que 75 é 5 vezes 15. Então vou simplificar o 750 com o 15. A divisão de 750 por 15 vai dar 50 e a divisão de 15 por 15 vai dar 1.

2 = 50 � 81

2 = 50 � 8

2 = 400 '²




Vejam então que Pedro realmente ficou com 400 m², de modo que a questão está CERTA.

Gabarito: (C)

Pessoal, existem alguns macetes que são bons de se ter decorados. Às vezes ajudam a resolver regras de três. Gravem com vocês o seguinte:

Se A está para B assim C está para D, então A está para B assim como A+C está para B+D.

8� �9 = :� ��ã� ;�<ê ��"� �#�!'�! >(� �9 = � + :9 + �

Vamos testar?

Sabemos que 9 está para 3 assim como 81 está para 27. Isso porque em cada caso a divisão dá 3. Agora vamos ver o que acontece se utilizarmos nossa propriedade.

��"� >(� 93 = 8127 8�!á >(� 93 = 9 + 813 + 27 ? ? ?

A divisão de 9 por 3 dá 3.

A soma de 9 com 81 dá 90 e a soma de 3 com 27 dá 30. Então teremos:

93 = 9030

A divisão de 9 por 3 dá 3. A divisão de 90 por 30 também dá 3. Então deu certo!!

Também vale o seguinte:

8� �9 = :� ��ã� ;�<ê ��"� �#�!'�! >(� � + 99 = : + ��




Vamos testar? Sabemos que 15 está para 3 assim como 45 está para 9. Sabemos disso porque nos dois casos a divisão dá 5. Então temos:

153 = 459 8�!á >(� 15 + 33 = 45 + 99 ? ? ?

Sabemos que 15+3 dá 18 e que 45 mais 9 dá 54. Então fica:

183 = 549

Ora, 18 divididos por 3 dá 6 e 54 divididos por 9 também dá 6. Logo a proporcionalidade se mantém. Mais uma vez, a propriedade se mostrou válida.

A terceira propriedade é a seguinte: sempre que você tiver 3 divisões iguais entre si, então vai valer o seguinte:

8� �9 = :� = AB ��ã� ;�<ê ��"� �#�!'�! >(� �9 = � + : + A9 + � + B

Querem testar? A gente testa. Sabemos que 4 está para 2 assim como 10 está para 5, assim como 28 está para 14. Em todos os casos a divisão dá 2. Então temos:

42 = 105 = 2814

8�!á >(� 42 = 4 + 10 + 282 + 5 + 14 ? ? ? ?

A soma de 4 com 10 e com 28 dá 42. E a soma de 2 com 5 e com 14 dá 21. Temos então:

42 = 4221




Gente, 4 por 2 dá 2. E 42 por 21 também dá 2. Então a propriedade também valeu!

Vamos a uma questão da CESPE.

(CESPE – STF/Analista Judiciário/Área Administrativa/Contabilidade - 2008). Em um tribunal, há 210 processos para serem analisados pelos juízes A, B e C. Sabe-se que as quantidades de processos que serão analisados por cada um desses juízes são, respectivamente, números diretamente proporcionais aos números a, b e c. Sabe-se também que a + c = 14, que cabem ao juiz B 70 desses processos e que o juiz C deverá analisar 80 processos a mais que o juiz A. Com relação a essa situação, julgue os itens seguintes.

02. O juiz A deverá analisar mais de 35 processos.

03. b = 7.

04. c < 10.

Solução da questão 2:

Pra facilitar, vou chamar o número de processos do juiz A de X. O enunciado diz que o número de processos do juiz B é 70 e o número do juiz C é o número do juiz A acrescido de 80, ou seja, X+80. Como o número total de processos é 210, temos:

X + 70 + (X + 80) = 210

2X = 210 – 70 – 80

2X = 60

X = 30

Assim, o juiz A tem 30 processos, o juiz B tem 70 processos e o juiz C tem 110 processos. Como 30 não é maior do que 35, a questão está ERRADA.

Gabarito da questão 2: (E)


Senhores, já sabemos que quando uma grandeza é proporcional a outra, então a divisão de uma pela outra é constante. Estamos firmes nisso, não é?

A questão nos diz que os números de processos de cada juiz são proporcionais às letras a, b, c respectivamente. Então a divisão do número de processos de cada juiz pela letra atribuída a cada juiz dá sempre o mesmo resultado.




%ú'�!� "� �!�<�� "� �� = %ú'�!� "� �!�<�� "� 9C

Ou

%ú'�!� "� �!�<�� "� �� = %ú'�!� "� �!�<�� "� :<

Ou ainda

%ú'�!� "� �!�<�� "� 9C = %ú'�!� "� �!�<�� "� :<

Teremos então as seguintes regras de 3:

30� = 70C

30� = 110<

70C = 110<

Turma, o enunciado nos diz que a + c = 14. Olhando pra DEF = GGEH eu

percebo que podemos usar nossa propriedade:

8� �9 = :� ��ã� ;�<ê ��"� �#�!'�! >(� �9 = � + :9 + �

Temos então:

30� = 110<




Usando a propriedade, ficaremos com:

30� � 110 + 30< + �

Ora, mas a + c vale 14. Assim, temos:

30� = 14014

Como 140 por 14 dá 10, temos:

30� = 10

� = 3010

� = 3

Para finalmente achar “b” vou usar que:

30� = 70C

Logo, sabendo que “a” vale 3, temos:

303 = 70C

10 = 70C

C = 7010

C = 7

Portanto, a questão está CERTA.

Gabarito da questão 3: (C)





Para encontrarmos “c” basta fazermos:

30

��

110

<

Já sabemos que “a” vale 3. Então:

30

3�

110

<

10 � 110

<

< � 110

10

< � 11

Como 11 é maior do que 10, a questão está ERRADA.

Gabarito da questão 4: (E)

Senhores, já estudamos o que são grandezas inversamente proporcionais. Agora vamos aprender a trabalhar com elas utilizando regra de três.

Vimos o seguinte exemplo: uma obra tinha 10 operários que a realizavam em 15 dias. Se aumentarmos o número de operários para 20, o que acontece com o tempo de realização da obra?


10 15 dias

20 X

2.2. Regra de três com grandezas inversamente proporcionais




Vamos usar setas pra indicar o sentido de crescimento em cada coluna. Como o número de operários aumentou, entende-se que o tempo X irá ser menor que 15.


10 15 dias

20 X

Como as colunas crescem em sentidos opostos, dizemos que as grandezas “número de operários” e “tempo de execução da obra” são inversamente proporcionais.

A forma de calcular X é a seguinte:

1º Monta-se uma fração para cada grandeza: neste caso haverá uma fração para o número de operários e uma fração para o tempo de execução da obra.

1020 � 15,

2º Mantém-se fixa a fração que tem o X e inverte-se a outra fração.

2010 � 15,

3º Coloca-se a fração que tem o X na esquerda e iguala-se à outra, que agora estará invertida.

15, = 2010

Agora é só resolver a conta. Sabemos que 20 por 10 dá 2. Então teremos:

15, = 2

, = 152

, = 7,5 "��




Ou seja, ao dobrar o número de operários de 10 para 20, o tempo de duração da obra caiu de 15 dias para 7 dias e meio.

Essa forma de montar a regra de três com as colunas e as setas vai ser muito importante para o caso da regra de três composta que veremos daqui a pouco. Vamos a mais uma questão.

05. (CESPE – ANAC/Analista Administrativo - 2009). (ADAPTADA) Acerca de grandezas proporcionais e de matemática financeira, julgue o item que segue.

Se um avião a uma velocidade média de 800 km por hora gasta 2 h 30 min entre os aeroportos A e B, então, para efetuar o mesmo percurso em exatamente 2 h, a velocidade média desse avião deverá ser de 960 km/h.

Solução:

Vamos calcular a nova velocidade que o avião precisará ter. Antes vamos ver se velocidade de viagem e tempo de viagem são diretamente ou inversamente proporcionais. Pra isso vamos montar o quadrinho. Lembrando que em cada coluna vamos colocar uma grandeza (em uma coluna será a velocidade e na outra o tempo).

Velocidade do avião Tempo de viagem

800 2,5 horas

X 2 horas

Agora vamos analisar o sentido do crescimento dentro de cada coluna. Pra fazer a viagem em menos tempo, o avião precisará de mais velocidade. Então X é maior do que 800.

Velocidade do avião Tempo de viagem

800 2,5 horas

X 2 horas

Como as setas estão em sentidos opostos de crescimento, vemos que as grandezas são inversamente proporcionais.

Agora monto a regra de três. A fração do X ficará à esquerda do sinal de igual e a outra fração será invertida.

800, � 2

2,5

Reparem que eu troquei o 2 e o 2,5 de posição. Agora é só multiplicar cruzado e fazer a conta.




800�2,5 � 2�,

, �800�2,5

2

, � 1000I'/$

Como o enunciado falou que a nova velocidade deveria ser 900 km/h, a questão está ERRADA.

Gabarito: (E)

Senhores, pode acontecer de termos mais do que duas grandezas envolvidas no problema. Até agora tínhamos apenas velocidade e tempo, número de operários e tempo, etc. Eram sempre duas grandezas apenas.

Quando passamos a ter mais do que duas grandezas, dizemos que temos uma regra de três composta. Por exemplo, poderíamos trabalhar com número de operários, número de horas trabalhadas por dia e tempo de execução da obra. Agora estaríamos inserindo mais um fator que iria alterar o tempo de execução da obra: seria o número de horas trabalhadas. Esta seria a 3ª grandeza.

Vamos ver como lidaremos com isso? Vamos utilizar um exemplo da CESPE.

06. (CESPE – ANAC/Analista Administrativo - 2009). Acerca de grandezas proporcionais e de matemática financeira, julgue o item que segue.

Considerando que, no hangar de uma companhia de aviação, 20 empregados, trabalhando 9 horas por dia, façam a manutenção dos aviões em 6 dias, então, nessas mesmas condições, 12 empregados, trabalhando com a mesma eficiência 5 horas por dia, farão a manutenção do mesmo número de aviões em menos de 2 semanas.

Solução:

Senhores, eu sempre resolvo essas questões usando uma tabelinha semelhante a que vimos agora há pouco, colocando cada grandeza em uma coluna. Nessa questão as grandezas envolvidas são: número de empregados, número de horas trabalhadas por dia, número de dias em que é feita a

3. Regra de três composta.




manutenção. Então a tabela ficará assim (lembrando sempre que é uma coluna para cada grandeza):

Número de empregados Horas por dia Número de dias

20 9 6

12 5 X

Agora precisamos ver se todas as grandezas são diretamente proporcionais entre si ou se tem alguma que é inversamente proporcional às demais. Pra isso, vamos comparar cada coluna com a coluna do X. A coluna em que você perceber que o crescimento é no sentido oposto ao da coluna do X precisará ter sua fração invertida. A fração que tem o X nunca é invertida.

Vamos começar com a coluna do número de empregados. É essa coluna que será comparada com a coluna do X. Se o número de empregados diminuir, então o número de dias pra realização da manutenção precisará ser maior. Então, X será maior que 6 nesta comparação com a coluna de número de empregados.


20 9 6

12 5 X

Como a coluna de número de empregados está crescendo no sentido oposto à coluna do X, então a fração correspondente à coluna do número de empregados precisará ser invertida, haja vista que essa grandeza é inversamente proporcional ao número de dias necessário.

Veja que a fração que tem o X nunca se altera. São as outras que serão invertidas. Nunca é a do X.

Agora vamos testar o número de horas por dia. Lembrando que a comparação é sempre com a coluna do X.

Se o número de horas trabalhadas por dia diminuir, o número de dias para fazer a manutenção precisará aumentar. Então nesta comparação X será maior do que 6.


20 9 6

12 5 X




Como as setas crescem em sentidos opostos, as grandezas são inversamente proporcionais. Por isso, a fração do X permanecerá a mesma, mas a outra (sempre é a outra!!) será invertida. Então teremos as seguintes frações:

1220 59 6,

Veja que as frações das colunas número de empregados e horas por dia foram invertidas, uma vez que verificamos que ambas são inversamente proporcionais ao número de dias necessário para a manutenção.

A fração do X, repetindo, sempre ficará fixa.

Finalmente, gente, precisamos saber o que fazer com as frações, não é? Então fazemos o seguinte:

1º Colocamos a fração do X à esquerda e colocamos o sinal de igual.

6, =

2º No outro lado da igualdade fazemos a multiplicação de todas as outras frações.

6, = 1220 � 59

Agora, senhores, é só resolver. Se você tiver alguma dificuldade em produto de frações, vá até o nosso anexo de frações. Tudo bem?

6, = 12 � 520 � 9

Vou simplificar o 12 com o 9 dividindo ambos por 3. O 12 irá virar 4 e o 9 irá virar 3. Vou simplificar também o 20 com o 5 dividindo ambos por 5. O 20 irá virar 4 e o 5 irá virar 1.

6, = 4 � 14 � 3

Vou cortar 4 com 4.

6, = 13

6 � 3 = , � 1

, = 18 "��




Como 18 dias são mais do que 2 semanas, então a questão está ERRADA.

Gabarito: (E)

Senhores, vimos então o seguinte sobre a regra de três composta:

1º) Monta-se uma coluna para cada grandeza;

2º) Compara-se cada coluna separadamente com a coluna do X;

3º) Inverte-se as frações das colunas que forem inversamente proporcionais à coluna do X. A fração do X nunca é alterada;

4º) Coloca-se o X à esquerda e coloca-se o sinal de igual;

5º) Realiza-se a multiplicação de todas as outras frações no lado direito da igualdade.

Pessoal, com esse passo a passo não tem erro, tudo bem?

Vamos então fazer mais uma questão.

07. (CESPE – ANTAQ/Analista Administrativo/Ciências Contábeis - 2009). Acerca das questões básicas de matemática financeira, julgue o item seguinte.

Se 10 barcos, com capacidade de transportar 80 toneladas cada um, fazendo o percurso entre dois portos, à velocidade de 10 nós, durante 5 dias, podem transportar carga total de 1.000 toneladas, desprezando-se eventuais atrasos decorrentes da chegada e da partida dos portos, então, nas mesmas condições, 8 barcos precisarão ter uma capacidade acima de 65 toneladas para transportar, entre os mesmos portos, carga total de 900 toneladas, à velocidade de 12 nós, durante 6 dias.

Solução:

A primeira coisa é montar a tabelinha.

Número de barcos capacidade velocidade dias carga

10 80 10 5 1000

8 X 12 6 900

Agora que já montamos as colunas de cada grandeza, vamos comparar cada coluna com a coluna do X separadamente.




Primeiro o número de barcos. Se o número de barcos diminuir, então precisaremos de mais ou de menos capacidade nos barcos? Precisaremos de mais. Então X será maior que 80 nesta comparação.


10 80 10 5 1000

8 X 12 6 900

Observando as setas, vemos que número de barcos e capacidade são inversamente proporcionais. Já sabemos, então, que vamos inverter a fração do número de barcos. A fração do X nunca se altera.

Agora vamos comparar capacidade e velocidade. Se a velocidade aumenta, preciso de mais ou de menos capacidade? De menos. Então X irá ser menor do que 80 nesta comparação.


10 80 10 5 1000

8 X 12 6 900

Já sabemos então que vamos inverter a fração da velocidade, pois é inversamente proporcional à capacidade necessária.

Agora vamos analisar o número de dias para se fazer a tarefa. Se o número de dias aumentar, precisarei de mais ou de menos capacidade pra fazer a tarefa? Ora, com mais dias, preciso de menos capacidade. Então X será menor do que 80 nesta comparação.


10 80 10 5 1000

8 X 12 6 900

Então vamos inverter a fração do número de dias também.

Finalmente, vamos comparar a coluna da carga com a coluna do X. Se a carga diminuir, precisarei de mais ou de menos capacidade? De menos. Então se houver diminuição da carga, o valor de X será menor do que 80. Essas grandezas então são diretamente proporcionais, pois as setas vão no mesmo sentido de crescimento.





10 80 10 5 1000

8 X 12 6 900

Logo, não inverteremos a fração da carga.

Finalmente, vamos montar a equação da regra de três composta. Primeiro coloco a fração do X à esquerda e coloco o sinal de igual.

80, �

Depois faço a multiplicação de todas as outras no lado direito, prestando bastante atenção pra inverter aquelas que são inversamente proporcionais à fração do X. Neste caso são: número de barcos, velocidade e dias.

80, � 810 � 1210 � 65 � 1000900

Reparem que só as frações do X e da carga não foram invertidas. A fração do X nunca é invertida mesmo. E a da carga não foi invertida porque é diretamente proporcional à fração do X.

Agora vou simplificar as frações:

80, = 45 � 65 � 65 � 109

80, = 45 � 65 � 25 � 103

8, = 45 � 65 � 25 � 13

2, = 15 � 65 � 25 � 13

1, = 15 � 65 � 15 � 13




1

,�

1

5�

2

5�

1

5�

1

1

, � 5�5�5

2

, � 62,5�� "��.

Como 62,5 é menor do que 65, a questão está ERRADA.

Gabarito: (E)

Amigos, um número em forma de porcentagem significa o número dividido por 100. O símbolo utilizado para representar a porcentagem é o famoso “%”, que nada mais significa do que “por cem”, “sobre 100” ou “dividido por 100”. Podemos dizer simplesmente que:

“5%” é a divisão de 5 por 100.

E como divisão e fração são a mesma coisa, podemos dizer também que

5% é uma fração: é a fração K

GEE. E o resultado dessa fração é igual a 0,05. Ou

seja, 5% é o mesmo que 0,05.

Então, “5 por cento” é o mesmo que “5%”, é o mesmo que “cinco por 100”, é o mesmo que “cinco dividido por 100”, é o mesmo que “5/100” e é o mesmo que “0,05”.

Quando expressarmos 5% nesta forma, dizemos que ele estará na forma percentual. Quando utilizarmos 0,05, estaremos utilizando a forma decimal.

Como a fração 5/100 pode ser simplificada por 5 no numerador e no denominador, poderemos ter também mais uma forma para os “5%”:

5% � 5

100�

55M

5100M

�1

20

Logo, 5% também é o mesmo que a fração um vinte avos.

4.Porcentagem.

4.1.Definição de porcentagem




Seguindo essa linha de raciocínio, podemos dizer o seguinte:

Fazer a porcentagem de alguma coisa nada mais é do que comparar. Nós consideramos o todo como 100% e calculamos um pedaço específico desse todo. Por exemplo, podemos calcular 5% deste todo, podemos calcular 20% deste todo, etc.

É comum nós ouvirmos coisas do tipo:

• Dos 5.000 inscritos no concurso, 7% foram aprovados.

5%

0,05

5/100

1/20

500% é o mesmo que 5.

50% é o mesmo que 0,5 e é o mesmo que 1/2.

5% é o mesmo que 0,05.

0,5% é o mesmo que 0,005.

0,05% é o mesmo que 0,0005.

500% é o mesmo que 500 dividido por 100.

0,05% é o mesmo que 0,05 dividido por 100.

4.2. Porcentagem de uma quantidade.




• São dados 20% de desconto nas compras acima de 500 reais. • O aluguel subiu 10% no novo contrato. • Serão cobrados 2% de juros pelo atraso no pagamento da conta de luz.

Pessoal, primeiro temos entender que o número “5 por cento” é diferente de quando falamos “5 por cento de”. Quando falamos “5 por cento de” alguma coisa, o que fazemos é o produto do número “5%” pela tal coisa. É através da multiplicação que nós vamos saber qual o valor desse percentual.

Assim, “5 por cento de 30” é o mesmo que:

5100 multiplicado por 30 = 5100 x 301 = 150100 = 1,50.

Desta forma, “5 por cento de 30” é o mesmo que “1,5”. Ou, indo de trás para frente, podemos dizer que 1,50 é “5 por cento de 30”.

Então, meus amigos, vocês já sabem: quando você precisar calcular p% de um número T, vocês simplesmente vão fazer a multiplicação:

Z [ \]^^

Nos dois primeiros casos que sugerimos acima, teríamos:

• Dos 5.000 inscritos no concurso, 7% foram aprovados.

Para saber o número de aprovados faríamos:

7 x 5000100 = 35.000100 = 350 aprovados

• São dados 20% de desconto nas compras acima de 500 reais.

Para saber o desconto em uma compra de 650 reais faríamos:

20 x 650100 = 13.000100 = 130 reais de desconto na compra de 600 reais

Vamos resumir então?




Uma segunda forma de calcular a porcentagem é usando regra de três. Nesta forma de calcular, se eu quero 5% de 30, então vou considerar que 30 será o total e que esse total irá representar 100%. E aí fazemos:

30 valem 100%.

X vale 5%.

E aí é só resolver a regrinha de três:

30

X�

100

5

Multiplicando cruzado teremos:

30vezes5 � 100vezesX ∴

150 � 100X ∴

X � 150

100∴

X � 1,50.

Assim, 1,50 é quanto vale 5% de 30.

No item anterior vimos o que fazer quando temos um número percentual e queremos saber quanto ele representa de um total. Agora vamos fazer o

5%

5 /100

0,05

1/20

"5% de"

(5/100) multiplicados por

0,05 vezes

1 vinte avos multiplicados por

4.3. Porcentagem como regra de três.

4.4. Parte pelo todo.




contrário. Temos dois números e queremos saber quantos por cento um representa do outro.

Para achar a porcentagem “p” que uma coisa representa de relação a outra, basta dividir a primeira pela segunda e multiplicar por cem. Costuma-se dizer que vamos dividir a parte pelo todo e multiplicar por 100%.

Z% � Zfghi\jkj [ ]^^%

Ou você pode resolver por regra de três, que vai dar no mesmo:

� lmmmmmmmmmn ;� �! "� "��!��" 100 lmmmmmmmmmn ;� �! "� "��"�"

�100 = ;� �! "� ��!��;� �! "� ��"�

Exemplo:

João recebeu R$ 250 reais de um “bico” que fez. Gastou R$ 50 e quer saber quantos por cento esses 50 representam do total que ele recebeu.

Solução 1: parte pelo todo.

p% = parteTODO x 100% = 50250 x 100% = 20%

Solução 2: regra de três.

João vai pensar:

250 reais são meus 100%.

50 reais são X%.

Ele vai organizar a regra de três da mesma forma:

“250 estão para 100, assim como 50 estão para X”.

Escrevendo na forma de equação teremos:

250100 = 50X

Vamos multiplicar cruzado e teremos:




250vezesX � 50vezes100

∴ 250X � 5000

∴ X � 5000

250

∴ X � 20

Logo, os R$ 50 representarão 20% dos R$ 250 reais recebidos por João.

“Meu salário subiu de 2000 para 2400. Quantos por cento tive de aumento?”

A resposta para essa pergunta é a variação percentual do salário. A variação percentual de alguma coisa vai ser medida da seguinte maneira:

Nós vamos representar a variação percentual pela letra grega “Δ” (que nada mais é do que um triângulo e se lê “delta”).

s � tuvjwxyzuv { tuvjwyz|yuv

tuvjwyzy|yuv[]^^%

Aqui a nossa continha de “parte pelo todo” tem a “parte” sendo a

diferença entre os valores final e inicial e o “todo” é o valor inicial.

No exemplo dado o percentual de aumento seria:

Quero 5% de 30Multiplico 5 por

30 e divididotudo por 100

Resultado: 1,50

Quero saber quantos por cento o número 1,50

representa do número 30

Divido 1,50 por 30 e

multiplico tudo por 100. Nada mais é do que parte sobre o todo vezes 100.

Resultado: 5%

4.5. Variação percentual.




Δ � 2400 − 20002000 x 100% = 4002000 x 100% = 20%

Tudo bem? Olha uma questãozinha da ESAF sobre o assunto.

08. (ESAF – RFB/ATRFB - 2009) Em um determinado período de tempo, o valor do dólar americano passou de R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período. Assim, com relação a esse período, pode-se afirmar que:

a) O dolar se desvalorizou 25% em relação ao real.

b) O real se valorizou 20% em relação ao dólar.

c) O real se valorizou 25% em relação ao dólar.

d) O real se desvalorizou 20% em relação ao dólar.

e) O real se desvalorizou 25% em relação ao dólar.

Solução:

Seguindo nosso conceito de variação sobre valor inicial, temos:

��!��çã� "� "ó �! = �� ! #�� − �� ! ��<�� ! ��<�� 100%

∴ ��!��çã� "� "ó �! = 2 − 2,502,50 �100%

∴ ��!��çã� "� "ó �! = −0,502,50 �100%

∴ ��!��çã� "� "ó �! = −0,50 � 100%2,50

∴ ��!��çã� "� "ó �! = −50%2,50

∴ ��!��çã� "� "ó �! = −20%

Uma variação do dólar de menos vinte por cento em relação ao seu valor inicial em reais nada mais é do que uma DESVALORIZAÇÃO de 20% do dólar em relação ao real.




O problema, amigos, que às vezes acontece, é que olhamos as opções e nenhuma delas traz algo exatamente igual ao que encontramos... A questão, infelizmente, traz mais opções falando da variação do real em relação ao dólar do que do dólar em relação ao real.

Cuidado! Em um primeiro momento você pode dizer que se o dólar caiu 20% em relação ao real, então o real subiu 20% em relação ao dólar. Isso é uma tentação, sim! Mas pode não ser verdade. Às vezes o português é traiçoeiro... É importante testarmos os números.

Então precisamos alterar a forma dos nossos cálculos e ver o valor do real em dólares em cada período. Questãozinha perigosa...

Início: 1 dólar valia 2,50 reais. Quanto valia 1 real em dólares?

Vamos para a regra de três:

1 "ó �! lmmmmmmmmmn 2,50 !�� , "ó �!�� lmmmmmmmmmn 1 !��

1, = 2,51

2,5 � , = 1 � 1

, = 12,5 A�� é � ;� �! "� !�� ' "ó �!�� !�'��!� ��!í�"�.

Pode deixar em forma de fração mesmo. Não tem problema. Não se assuste. Calma que a gente vai resolver isso. E a gente vai se acostumar também. CORAGEM!!

Final: 1 dólar valia 2 reais. Quanto então valia 1 real em dólares?

Vamos para a regra de três:

1 "ó �! lmmmmmmmmmn 2 !�� , "ó �!�� lmmmmmmmmmn 1 !��

1, = 21

2 � , = 1 � 1

, = 12 A�� é � ;� �! "� !�� ' "ó �!�� (�"� ��!í�"�.




Agora vamos calcular a variação do valor do real.

��!��çã� "� !�� = �� ! #�� − �� ! ��<�� ! ��<�� 100%

∴ ��!��çã� "� !�� = G� − G�,KG�,K�100%

��!��çã� "� !�� = G� 2,5� − G�,K 2�

G�,K�100%

∴ ��!��çã� "� !�� = �,K��,K � �G�,K�100%

∴ ��!��çã� "� !�� = 0,52,5 � 2 � 2,51 �100%

∴ ��!��çã� "� !�� = 0,52,5 � 2 � 2,51 �100%

∴ ��!��çã� "� !�� = 0,52 �100%

∴ ��!��çã� "� !�� = 50%2

∴ ��!��çã� "� !�� = 25%

Então o real teve uma variação POSITIVA de 25% em relação ao seu preço inicial em dólares.

Gabarito: (C)

Gente, quando a VARIAÇÃO PERCENTUAL já for dada, uma forma de calcular o VALOR FINAL será fazer como na formulinha abaixo.




tuvjw xyzuv = tuvjw yz|yuv [ (] + s)

Onde Δ é a variação percentual. Essa fórmula é facilmente demonstrável pela fórmula anterior em que definimos a variação percentual. Mas é importante ter bem na mente as duas fórmulas.

Então, se eu digo que um preço era de 70 reais e subiu 20% no período, então basta fazer:

NOVO PREÇO = 70 x (1 + 20%)

NOVO PREÇO = 70 x (1 +0,20)

NOVO PREÇO = 70 x 1,2

NOVO PREÇO = 84 reais.

Turma, tem umas frases que são muito ditas no dia-a-dia e que enrolam muita gente. A CESPE gosta delas. Vejam só!

”Isso é 20% maior do que aquilo”

“Isso é 20% menor do que aquilo”

Aqui eu vou mostrar a vocês como se faz e ninguém mais vai errar. Aparecendo esse tipo de frase, vamos usar o conceito de variação percentual. Não vamos nos enrolar no português.

1 – “X é 20% maior do que 10”.

Então o meu delta será 20%, ou seja, minha variação será 20%. Logo:

X = 10 x (1 + 20%) = 10 x (1,20) = 10 x 1,2 = 12.

A prova real seria calcular a variação percentual de 12 em relação a 10, seguindo nossa expressão de valor final e valor incial.

� = 12 − 1010 = 210 = 20100 = 20%

Então 12 é mesmo 20% maior do que 10, e isso fica comprovado quando fazemos o cálculo da variação percentual de 12 em relação a 10.




2 – “X é 20% menor do que 10”.

Então:

X = 10 x (1-20%)

X = 10 x (1 – 0,2)

X = 10 x 0,8

X = 8

A prova real novamente seria ver a variação percentual de 8 em relação a 10.

� �8 − 10

10 � −210 � −20

100 � −20%

3 – “X é 100% maior do que 10”.

Então:

X = 10 x (1 + 100%)

X = 10 x (1 + 1)

X = 10 x 2

X = 20


� � 20 − 1010 � 10

10 � 100100 � 100%

Veja aqui um detalhe importante da língua portuguesa e da matemática: quando uma coisa aumenta de 100% é o mesmo que dizer que ela dobra de tamanho. Em outras palavras, aumentar de 100% é multiplicar por 2.

4 – “X é 200% maior do que 10”.

X = 10 x (1 + 200%)

X = 10 x (1 + 2)

X = 10 x 3

X = 30





� �30 − 10

10 � 2010 � 200

100 � 200%

Assim, aumentar de 200% é multiplicar por 3.

5 – “X é 100% menor do que 10”.

Então:

X = 10 x (1 - 100%)

X = 10 x (1 - 1)

X = 10 x 0

X = 0

Reduzir de 100% é acabar totalmente com alguma coisa. Veja que algo “100% menor NÃO é algo DIVIDIDO por 2”. Notem então que há uma diferença na adequação da língua portuguesa e da matemática quando falamos “100% maior” ou “100% menor”.

4 – “X é 200% menor do que 10”.

X = 10 x (1 - 200%)

X = 10 x (1 - 2)

X = 10 x (-1)

X = -10


� � −10 − 1010 � −20

10 � −200100 � −200%

Vamos continuar agora com a taxa de juros.

Esquema-resumo:




Uma taxa de juros nada mais é do que o percentual de retorno que um investimento pagará em relação ao capital aplicado em uma unidade de tempo.

Em termos matemáticos, a taxa de juros nada mais será do que a variação percentual do capital durante um único período. É por isso que os conceitos de variação percentual e taxa de juros são bastante próximos um do outro.

A taxa de juros irá sempre se referir a uma unidade de tempo (dia, semana, mês, bimestre, trimestre, ano, etc) e pode ser expressa na forma percentual (5% ao mês) ou na forma unitária (0,05 ao mês).

É comum se utilizar as seguintes unidades para taxa de juros:

a.a. → significa “ao ano”

a.m. → significa “ao mês”

a.d. → significa “ao dia”

a.b. → significa “ao bimestre”

a.t. → significa “ao trimestre”

E outras.

Então, gente, taxa de juros é irmã gêmea da porcentagem. Assim, se a taxa de juros é de 5% ao mês e o capital total aplicado é de 80 reais, então em um mês o valor pago de juros será 5% de 80.

5%de80 �5

100x80 �

5x80

100�

400

100� 4

Então a aplicação renderá 4 reais em um mês se estiverem aplicados 80 reais com taxa de 5% ao mês. É assim que se utiliza uma taxa de juros.

4.6. Introdução ao conceito de taxa de juros.

100%

200%

300%

400%

(...)

2

3

4

5

(...)

Aumento de ... ... é multiplicar por




Ainda precisaremos ampliar o estudo das taxas de juros depois que tratarmos de juros simples e juros compostos. Teremos que falar de juro exato e juro comercial, taxas proporcionais, taxas equivalentes, taxa nominal, taxa efetiva, etc. Por enquanto, não se preocupe com isso. Cada coisa ao seu tempo.

Pessoal, se alguém tem uma casa e aluga essa casa, o aluguel será a forma de o inquilino remunerar o dono da casa. De forma análoga, se alguém passa o seu dinheiro provisoriamente para uma outra pessoa, os juros irão remunerar o dono do dinheiro. Em outras palavras, os juros são o “aluguel do dinheiro”.

Falar que um valor rendeu juros é o mesmo que falar que o valor foi capitalizado. E falar de rendimento é o mesmo que falar de juros.

Se João empresta a Pedro 100 reais em janeiro, João pode exigir que Pedro lhe pague mensalmente um “aluguel” desses 100 reais, até o dia em que Pedro devolver os 100 reais para o João. João pode exigir, por exemplo, que Pedro lhe pague 3 reais por mês.

A diferença em relação ao aluguel de imóveis é que, com aplicações financeiras, em vez de se pagar o aluguel em cada mês, o que se faz é acumular os juros e pagá-los ao término de toda a aplicação, quando Pedro for devolver também o dinheiro que foi lhe foi emprestado (os 100 reais).

Vejamos abaixo o que acontece mês a mês no nosso exemplo.

5. Juros Simples.

5.1. Capital, juros e montante.




No exemplo acima, João investiu 100 reais ao emprestar seu dinheiro para Pedro. A este valor chamamos de C, isto é, o CAPITAL aplicado.

Como compensação por seu investimento, João recebeu juros de 3 reais pelo mês de janeiro, juros de 3 reais pelo mês de fevereiro e juros de 3 reais pelo mês de março. Assim, no total João recebeu 9 reais de juros por deixar seu dinheiro 3 meses com Pedro. A esse TOTAL DE JUROS chamamos de J.

E o valor total da dívida, somando capital mais juros, é chamado de MONTANTE (M). Neste caso, o montante foi de 109 reais.

A fórmula a seguir relaciona MONTANTE, CAPITAL e JUROS e vale tanto em juros simples quanto em juros compostos (ainda vamos ver o que são juros simples e compostos mais adiante). Sempre o montante será a soma do capital inicial com os juros totais pagos ao fim da aplicação.

M = C + J

Digamos que João aplique no banco 1.000 reais. Digamos que esse rendimento, depois de 1 mês, renda 5 reais de juros. Digamos, ainda, que o valor permanecerá aplicado por um total de 10 meses. Nesse tipo de investimento, esses 5 reais não são imediatamete pagos pelo banco à pessoa.

5.2. Expressões de juros simples.

Pedro toma 100 reais com João

1º de janeiro 1º de fevereiro 1º de março 1º de abril

Pedro passa a dever mais 3 reais por ter ficado 1 mês com o dinheiro.

Mas continua devendo 100 reais a João. Total: 106 reais.

Pedro passa a dever 3 reais a mais por ter ficado 1 mês com o dinheiro.

Mas continua devendo 100 reais a João. Total: 103 reais.

Pedro deve mais 3 reais por ter ficado 1 mês com o dinheiro. Total: 109 reais.

Pedro devolve os 100 reais a João. Foi o CAPITAL INVESTIDO por João.

Pedro paga também a João 9 reais de juros por ter ficado todo o período com dinheiro "alugado".

Assim, no total, Pedro paga um MONTANTE de 109 reais a João.




Em vez disso, João receberá, ao término dos 10 meses, os 1.000 reais mais os 5 reais e mais todos os juros de todos os outros nove meses em que o dinheiro permanecerá aplicado.

Mas depois do término do primeiro mês, a verdade é que João já é dono de 1.000 reais mais 5 reais, apesar de ele ainda não estar de posse nem dos 1.000 reais, nem dos 5 reais.No total, ele já tem direito a 1.005 reais.

Se você, caro aluno, entender a resposta dessa pergunta, você terá entendido a grande diferença entre juros simples e juros compostos. Nos juros simples, os juros do segundo mês não levarão em conta os 5 reais que João já tem direito pelos juros do primeiro mês. Assim, no cálculo dos juros no SEGUNDO mês serão considerados apenas os 1.000 que João aplicou inicialmente. Não se calcularão juros sobre os 1.005 reais, mas, sim, sobre os 1.000 iniciais. Em outras palavras, em juros simples não se calculam “juros sobre juros”.

Já nos juros compostos, os juros do mês seguinte serão calculados sobre o total a que João já tem direito, isto é, os 1.000 reais que ele aplicou inicialmente mais os 5 reais que ele já tem direito de juros. Assim, no mês seguinte, a juros compostos, os juros pelo segundo mês já serão calculados sobre 1.005 reais.

Resumindo. Se “C” é o capital inicial investido (digamos, os R$ 1.000 reais), “i” é a taxa de juros, “M” é o total que João tem direito ao final de um tempo “n” de aplicação (digamos, os R$ 1.000 ao fim de 1 mês), então o total a JUROS SIMPLES será calculado da seguinte forma:

M = C + C x i+ C x i + C x i+ C x i + ...

Na expressão acima, João tem direito, no fim do período, a juros simples, a:

• C: porque é o seu dinheiro (o CAPITAL) que aplicou inicialmente. • C x i: JUROS por ter deixado o dinheiro um mês aplicado. • C x i: JUROS por ter deixado o dinheiro aplicado pelo segundo mês. • C x i: JUROS por ter deixado o dinheiro aplicado pelo terceiro mês. • C x i: JUROS por ter deixado o dinheiro aplicado pelo quarto mês

nos JUROS SIMPLES

Pergunta: ao término do SEGUNDO mês, os juros que João terá direito por mais esse mês de aplicação serão calculados sobre os 1.000 reais que João aplicou ou sobre os 1.005 reais que

João já tem direito?




• E assim por diante. A cada mês adicional que o dinheiro permanecer aplicado, ele ganhará mais uma vez o produto “C” por “i”.

Em cada mês o valor de juros é igual aos juros que foram calculados em todos os outros meses.

Finalmente, chegamos à expressão do montante e do total de juros em aplicações a juros simples:

No caso do João, considerando que tenha aplicado 1.000 reais a juros simples com taxa de 5% ao mês por quatro meses. Vamos ver a evolução do montante a que João terá direito.

Número de meses

passados

Capital aplicado Juros Montante

0 1.000 0 1.000

1 1.000 x 5% = 5 1.005

• No final ganhará M = C + C x iSe deixar C aplicado só 1 mês

• No final ganhará M = C + C x i x 2Se deixar C aplicado 2 meses

• No final ganhará M = C + C x i x 3Se deixar C aplicado 3 meses

• No final ganhará M = C + C x i x n• Colocando C em evidencia na expressão acima, temos:

• M = C (1 + i x n)

Se deixar C aplicado "n" meses

EM JUROS SIMPLES

M = C + J

M = C (1+ i x n)

J = C x i x n




2 1.000 x 5% = 5 1.010

3 1.000 x 5% = 5 1.015

4 1.000 x 5% 1.020

A cada mês, em juros simples, os novos juros são calculados unicamente sobre o capital aplicado inicialmente, não importando os juros a que João faz direito pelos rendimentos dos meses anteriores. Vamos ver um exemplo?

09. (FJG – Secretaria Municipal de Fazenda do Rio de Janeiro/Analista de Planejamento e Orçamento – 2011).

Em uma operação financeira, comandada pelo regime dos juros simples, é possível afirmar que:

(A) os juros e o valor futuro são diretamente proporcionais

(B) os juros e o valor futuro são inversamente proporcionais

(C) juros não devidos e pagos são capitalizados

(D) juros devidos e não pagos não são capitalizados

(E) o valor futuro será dado pelo principal deduzido dos juros

Solução: Neste tipo de questão, o jeito é olhar para as fórmulas de juros simples e testar cada alternativa. Vamos uma a uma.

(A) Na alternativa “A” primeiro a gente precisa saber o que é “valor futuro”1.

Então para testar a alternativa “A” precisamos recorrer à fórmula que relaciona juros e valor futuro (montante):

M = C + J

Para uma coisa ser diretamente proporcional a outra, quando uma aumenta, a outra tem que aumentar na mesma proporção. Assim, se os juros dobrassem, ou seja, fossem igual a “2 x J”, então o montante teria que dobrar.

Vamos chamar o montante obtido inicialmente de M1.

1 Conforme definido por Marcos Antonio de Camargos. Matemática Financeira: Aplicada a produtos financeiros e à análise de investimentos. 1ª edição. São Paulo, Saraiva, 2013

“Valor futuro” é a quantidade de recursos monetários recebida ao final de uma aplicação, resultante da soma do capital com os

juros. Pode ser denominado também “valor capitalizado”, “montante”, “valor nominal” ou de “resgate”.




MG � C + J

Quanto seria o dobro de M1?

2xMG � � [ | + � [ � (∗)

Agora vamos calcular o montante que seria obtido com os juros de valor 2 x J.

M� = | + � [ � (∗ ∗)

Vamos comparar as expressões marcadas com (*) e com (* *) acima:

Veja que M2 NÃO é igual a 2 vezes M1. Então os juros dobraram mas o valor futuro não virou o dobro do que era inicialmente. Quando isso acontece, ou seja, quando as duas coisas não aumentam na mesma proporção, NÃO se pode dizer que elas são diretamente proporcionais.

Logo, a alternativa A está errada.

(B) A alternativa “B” diz que “M” e “J” seriam inversamente proporcionais. Para que uma coisa seja inversamente proporcional a outra, a variação de uma tem que gerar a variação inversa na outra. O AUMENTO de uma gera a DIMINUIÇÃO da outra na mesma proporção.

Ou seja: se o capital dobrasse, o montante teria que ser dividido por 2. Se o capital triplicasse, o montante teria que ser um terço do montante anterior.

Já vimos na letra “A” que se os juros AUMENTAREM para 2 x J, o montante também AUMENTA, mas não aumenta na mesma proporção.

Mesmo não aumentando na mesma proporção, se o aumento de uma coisa implica o aumento da outra, então já é impossível que elas sejam inversamente proporcionais. Logo, a alternativa B está errada.

(C) A alternativa “C” diz que os juros não devidos e pagos são capitalizados.

Primeiro temos que saber o que é um “regime de capitalização”. Essa expressão “capitalizar” significa gerar juros a partir de um capital aplicado.

É comum ouvirmos assim: “em um regime de capitalização simples, ...” ou “em um regime de capitalização composta, ...”. Quando você ler isso, saiba

Assim, REGIME DE CAPITALIZAÇÃO é a forma como os juros são calculados. Eles podem ser calculados no método dos juros

simples ou no método dos juros compostos.




que o problema apenas estará te dizendo se os juros serão calculados a juros simples ou a juros compostos.

Nos juros simples já vimos que no cálculo dos juros devidos pelo mês seguinte não se considera o valor de juros que a pessoa tem direito pela aplicaçao do mês anterior. Certo?

Nos juros compostos, por outro lado, como veremos adiante, os juros do segundo mês já irão considerar que um rendimento sobre o capital C e também sobre os juros que já se faz jus pela aplicação do mês anterior.

Voltando à alternativa “C”. Ora, faria algum sentido o banco “capitalizar”, isto é, calcular juros devidos a alguém que aplicou dinheiro no banco, e considerar nesse cálculo o valor de “juros não devidos e pagos”??

Ora, se o banco já pagou os juros à pessoa, então o banco já não está de posse dessa parte do dinheiro da pessoa. E se o banco não está de posse do dinheiro, então o banco, nem em juros compostos, nem em juros simples, irá calcular juros considerando este valor já pago.

Então a alternativa “C” está totalmente descabida. Se os juros já foram pagos à pessoa, em hipótese alguma o banco calculará juros sobre esse valor.

(D) Já na alternativa “D” é dito que os juros devidos e não pagos NÃO são capitalizados.

Ora gente, foi isso exatamente o que vimos no exemplo do João. Lembrem-se que ao término do primeiro mês de aplicação dos 1.000 reais ele já tinha direito a 1.005. Quando fomos calcular os juros do segundo mês, não consideramos o valor de 1.005, mas apenas os 1.000 reais iniciais. Então, os juros de 5 reais a que ele tinha direito NÃO foram capitalizados no cálculo dos juros do segundo mês.

E isso é exatamente o que acontece em juros simples! Não se calcula juros sobre juros, ou, em outras palavras, não se capitalizam os juros não pagos. O banco está de posse desses juros a que a pessoa já tem direito, mas não considera eles na hora de calcular os novos juros.

Então a alternativa “D” está correta.

(E) Para fazermos a letra “E” primeiro precisamos saber o que é “valor principal”.

Ora, principal, valor principal, capital inicial, valor atual e valor presente são a mesma coisa e representam o valor disponível no presente para ser

aplicado.

C = valor principal = valor presente = valor atual = principal = capital




A alternativa “E” diz exatamente o oposto do que seria a definição de valor futuro (ou de montante).

O montante é a soma do capital aplicado com os juros SEMPRE! Em qualquer aplicação é válida a seguinte expressão:

M = C + J

A letra “E”, por sua vez, diz que para obtermos o valor do montante M deveríamos fazer C menos J. Não tem o menor sentido! Alternativa errada.

Gabarito: (D).

Turma, às vezes o problema vai nos dizer coisas assim:

“João aplicou 1000 reais hoje para receber o valor de volta em 3 parcelas que

se iniciam daqui a 2 meses.”

“João depositará parcelas de 10 reais ao longo de 3 meses, começando daqui

a 1 mês, para resgatar o total ao término do 4º mês.”

“João tomou 1000 reais emprestado hoje e pagou após 6 meses.”

Nesses casos, desenhar o que está acontecendo com o dinheiro pode nos ajudar a organizar os números e criar as equações corretamente. Para isso que existe o diagrama do fluxo de caixa (muitas vezes chamado simplesmente de “fluxo de caixa”).

O FLUXO DE CAIXA nada mais é do que um desenho em que a linha horizontal representa o tempo e as linhas verticais representam o que acontece com o dinheiro: se a seta aponta para cima, o investidor ou a conta está recebendo dinheiro; se a seta aponta para baixo, o investidor está aplicando dinheiro ou a está sendo sacado dinheiro da conta. Poderíamos ter os seguintes fluxos de caixa:

“João aplicou 1000 reais hoje para receber o valor de volta em 3

parcelas iguais e sucessivas que se iniciam daqui a 2 meses.”

5.3. Fluxo de caixa.




Assim, no primeiro momento (momento “zero” ou “hoje”) João aplica 1.000 reais. Daqui a dois meses ele começa a receber prestações de valor P. Essas prestações irão ser pagas a ele nos meses 2, 3 e 4, isto é, por 3 meses sucessivos.

O segundo exemplo seria: “João depositará parcelas de 10 reais ao longo

de 3 meses, começando daqui a 1 mês, para resgatar o total ao término do 4º

mês.”

O último caso seria: “João tomou 1000 reais emprestado hoje e pagou

após 6 meses.”

1

1000

2 3

P P P

0

4

1 2 3 0

4

10 10 10

M




Vamos ver mais uma questão? Vamos a uma específica do nosso concurso!

- CAIU NA PROVA!!

10. (CESPE – TCU/Auditor Federal de Controle Externo/Área: Controle Externo/Especialidade: Auditoria Governamental - 2013)

Considere que Fábio tenha depositado R$ 360,00 em 2 de fevereiro, em 2 de março e em 2 de abril, respectivamente. Se Fábio tivesse escolhido depositar esses valores, nas mesmas datas, em uma conta que remunera o capital a juros simples de 3% ao mês, então o valor que constaria na conta, em 2 de maio, relativo a esses três depósitos, seria superior a R$ 1.140,00.

Solução:

Já sabemos que no fluxo de caixa:

• Seta para cima: entradas ou recebimentos de dinheiro. • Seta para baixo:saídas ou aplicações de dinheiro. • Linha horizontal: é a linha do tempo. • Nessa questão do TCU, teríamos o seguinte fluxo de caixa de Fábio.

1 2 3

0

4

1000

M

5 6

M

360 360 360

2 fev 2 mar 2 abr

2 mai




O desenho acima significa que Fábio desembolsará três parcelas de 360 reais, e no fim poderá resgatar um total que chamamos de M.

Quando o problema diz que o capital será remunerado a taxa de juros simples de 3% ao mês, o que ele quer dizer é que os juros são calculados a uma taxa de juros SIMPLES de 3% ao mês.

Já sabemos que, em juros simples M = C x (1 + i x n). Para resolver essa questão, temos que calcular qual será o montante resultante de cada parte de R$ 360 e somar esses montantes para termos o total M.

Ora, o valor aplicado em 2 de fevereiro ficará aplicado por 3 meses até 2 de maio. Então, para essa parte de 360 reais, n = 3.

O valor aplicado em 2 de março ficará aplicado por 2 meses até 2 de maio. Então, para essa parte de 360 reais, n = 2.

Por fim, a parte de 360 reais aplicada em 2 de abril ficará aplicada apenas por 1 mês. Então, para esta parte, n=1.

Já a taxa de 3% ao mês pode ser escrita como D

GEE ou como 0,03.

Então o montante M será:

M = 360 (1 + 0,03 x 3) + 360 (1 + 0,03 x 2) + 360 ( 1 + 0,03 x 1)

∴

M = 360 x (1,09) + 360 x (1,06) + 360 x (1,03)

∴

M = 360 x (1,09 + 1,06 + 1,03)

∴

M = 360 x 3,18

∴

M = R$ 1.144,80

Como 1.144,80 é maior do que 1.140,00, então a afirmativa está CERTA.

Gabarito: (C).

Gente, a matéria de Juros Simples não vai acabar aqui. Precisaremos ainda estudar juros exatos e juros comerciais, equivalência financeira e as taxas proporcionais. Isso nós vamos ver na próxima aula. Certo? Vamos prosseguir agora com os juros compostos.




Turma, nos juros compostos a coisa muda um pouquinho. Vejam só!

Considerem que João aplicou R$ 1000,00 de capital inicialmente.

Ao término do 1º mês, com taxa de 0,5% ao mês, os juros serão calculados pela multiplicação da taxa pelo capital. Teremos então:

JG � Cxi � 1000x0,5

100�

1000x0,5

100�

500

100� 5

MG � C 3 JG ∴ MG � C 3 Cxi

Colocando o capital C em evidencia na expressão acima, temos:

∴ �] � |[�] 3 �� → u\�zÇÃjz��\u��w��Ãj‼ ∴ MG � 1.000x�1 3 0,005� = 1.000 x 1,005 = 1.005 reais

No fim do primeiro mês, a juros simples ou a juros compostos se tem o mesmo resultado. Mas isso só acontece no primeiro mês!

Ao término do 2º mês, a juros compostos, os juros pelo segundo mês de aplicação serão calculados tanto sobre o capital C de 1000 reais quanto sobre o rendimento de 5 reais que o primeiro mês já deu direito, embora tais juros ainda não tenham sido pagos pelo banco a João.

Então teremos o seguinte montante total ao término do segundo mês (na expressão abaixo, a parte em negrito são os juros pelo segundo mês):

M� � 1.000 3 5 3 ]. ^^^[� 3 �[�

M� � 1.000 3 5 3 1.000x 0,51003 5x 0,5

100

Na expressão acima, temos:

• Os 1.000 são o próprio capital aplicado inicialmente, C. • O número 5 vem dos juros pelo primeiro mês, isto é, C x i. • A parte de 1.000 x i vem da aplicação da taxa “i” sobre o capital C,

que continua aplicado pelo 2º mês. Essa parte também vale C x i.

6. Juros compostos.




• A parte 5 x i vem da aplicação da taxa “i” sobre os juros do 1º mês, que João teria direito mas que permanecem aplicados. É esta última parte que não existiria nos juros simples.

Desta forma, continuando o cálculo de M2 a juros compostos, teremos:

∴ M� = 1.000 + 5 + 1.000 x 0,5100 + 5 x 0,5100

∴ M� = 1.000 + 5 + 500100 + 2,5100

∴ M� = 1.000 + 5 + 5 + 0,025

∴ M� = 1.010,025

Nos juros compostos teremos então M2 = 1.010,025 reais.

Nos juros simples teríamos apenas M2 =1.010 reais:

Vamos reescrever M2 usando apenas as letras pra ajudar a chegarmos numa expressão geral?

M� = 1.000 + 5 + 1.000 x i + 5 x i ∴ M� = 1.000 + 5 + 1.000 x 0,5100 + 5 x 0,5100

∴ M� = C + C x i + C x i + (C x i)x i

∴ M� = C + 2 x C x i + C x i� ∴ M� = C x (1 + 2 x i + i�)

A expressão ente parêntesis nada mais é do que a expansão do “produto notável” (1+i)2.

∴ M� = C x (1 + i)�

Observação:

Lembrando de produtos notáveis, lá da nossa época da famosa Tia

Teteca, temos:

(a + b)� = a� + 2 ab + b� Assim,




�1 3 i�� 1� 3 2x1xi 3 i� �1 3 i�� 1 3 2i 3 i�

Foi isso que usamos na demonstração anterior.

Pessoal, para três períodos o cálculo dos juros compostos desta maneira já começaria a ficar mais complicado. Para quatro meses, ficaria um cálculo maior ainda e assim por diante. Não é objetivo do curso uma demonstração mais rebuscada da fórmula geral – quando a matéria exigir uma demonstração mais aprofundada, faremos. Fique tranquilo! Vamos direto à expressão geral do montante em juros compostos.

Vimos que, em juros compostos:

MG � Cx�1 3 i� ao término de 1 mês.

M� � Cx�1 3 i�� ao término de 2 meses.

A expressão geral para “n” períodos de aplicação em juros compostos é:

� � |[�] 3 �� ao término de “n” períodos de aplicação.

Um detalhe. Enquanto em juros simples tivemos uma formulinha para calcular o valor total de juros (J = C x i x n), aqui em juros compostos NÃO temos uma fórmula desse tipo!! Aqui os juros totais são calculados pela diferença entre o total recebido ao término da aplicação (M) e o capital inicial aplicado (C), que é aquela expressão bem gen que vale tanto para juros simples quanto para juros compostos.

EM JUROS COMPOSTOS

M = C (1+ i)n

M = C + J

Não tem fórmula de juros. Tem que fazer J = M - C




11. (FGV – SEFAZ/RJ - Auditor Fiscal da Receita Estadual –2009). Um investidor aplicou R$ 1.000,00 durante dois anos a uma taxa de 20% ao ano, juros compostos. Ao final desse período, esse investimento totalizava:

a) R$ 694,44.

b) R$ 1.400,00.

c) R$ 1.440,00.

d) R$ 1.514,12.

e) R$ 2.200,00.

Solução:

Pessoal, essa questão é de aplicação imediata da fórmula do montante em juros compostos. O capital “C” aplicado será de 1000 reais, a taxa “i” será de 0,20 ao ano e o tempo “n” será de 2 anos.

M � C x (1 + i)�

∴

M = 1000 x (1 + 0,20)� ∴

M = 1000 x 1,2� ∴

M = 1000 x 1,44

∴

M = 1.440 reais Gabarito: (C).

Pessoal, ainda temos uma série de assuntos de juros compostos que veremos na aula 1, tudo bem? Temos que estudar a equivalência financeira, o fator de acumulação de capital, o fator de valor presente, as taxas equivalentes, e as taxas nominal e efetiva. Preferi deixar pra próxima aula pra não atropelarmos as coisas nesta aula inicial.

Amigos, por hoje é só. Foi só nossa primeira aula. Espero que tenham gostado. Introduzimos muitos conceitos novos, já pra deixar a turma ligada e começar a ambientar com temas talvez nunca vistos. Fiquem tranquilos que a maior parte nós ainda iremos rever e massificar. É com esforço mesmo, pessoal. Sem desânimo, sem preguiça, com vontade, com confiança, com perseverança! Agora fiquem com nossa lista de exercícios pra praticarem. Qualquer dúvida, estamos no fórum para socorrer. Vejo vocês na nossa aula 1. Até lá!




Senhores, é aqui nas questões que consolidamos o conhecimento. Vamos fazer o máximo que pudermos, está bem? Lembrem-se que toda grande conquista requer um grande esforço. Posso dizer que comigo é assim que funciona. Então vamos lá! Pegue o papel e o lápis e vamos trabalhar.

12. (FGV –SEFAZ/RJ/Auditor Fiscal da Receita Estadual – 2007). Em um país, o Produto Interno Bruto (PIB) aumentou 6,0% em um ano, enquanto a população aumentou 2,0% no mesmo período. Então, pode-se dizer que a evolução do PIB per capita foi:

a) inferior a 2,0%.

b) igual a 2,0%.

c) entre 2,0% e 3,0%, excluindo os extremos.

d) igual a 3,0%.

e) superior a 3,0%.

Solução:

Pessoal, temos aqui uma questão de porcentagem. Porcentagem é “parte pelo todo”. O problema é: quem é a parte e quem é o todo que nos interessam?

Gente, sempre faço questões de matemática com o seguinte método:

1º) Entender os dados que são fornecidos no enunciado;

2º) Escrever esses dados em uma forma matemática;

3º) Descobrir o que eu quero;

4º) Montar minhas equações.

Vamos lá então?

1º) Entender os dados que são fornecidos no enunciado.

Pra isso, temos que aprender a ler com atenção o enunciado. E o enunciado está falando de três tipos diferentes de percentual. Não podemos misturar um com o outro. O primeiro é o percentual de aumento do PIB, o segundo é o percentual de aumento da população e o terceiro é o percentual de variação do “PIB per capita”. Ora, PIB per capita nada mais é do que “PIB por cabeça”, ou “PIB por pessoa”. Então está falando da divisão do valor do PIB pelo número de pessoas em um dado ano.

2º) Escrever esses dados em uma forma matemática;

7. Questões comentadas.




Uma vez que tenhamos lido e entendido as diferentes quantidades que estão informadas no enunciado, é hora de começarmos a escrevê-las em uma linguagem matemática.

Vamos dar nomes a elas como sempre fazemos em matemática. O valor do PIB no primeiro ano nós vamos chamar de PIB e a quantidade de pessoas no primeiro ano nós vamos chamar de POP. E vamos chamar o “PIB PER CAPITA” no primeiro ano de X.

3º) Descobrir o que eu quero.

Gente, “o que eu quero” precisa ter tudo a ver com a pergunta do enunciado. Eu tenho que ter objetividade na hora de fazer a questão. Se o enunciado fala da evolução do PIB PER CAPITA, então eu tenho que dar um jeito de calcular isso. Então preciso raciocinar de modo a fazer essa grandeza aparecer a partir dos dados do enunciado. No caso, eu quero analisar a variável PIB PER CAPITA, que chamei de X.

4º) Montar minhas equações.

Vou montar minhas equações pensando NA EVOLUÇÃO de X.

No primeiro ano:

O Produto Interno Bruto vale PIB.

O número de pessoas vale POP.

A quantidade que eu quero vale X e posso dizer que:

X � PIBPOP

No segundo ano:

Vou chamar o PIB no segundo ano de PIB’.

E sei que o produto interno bruto aumentou 6%.

Então o produto interno bruto no segundo ano é:

PIB’ = PIB + 6% de PIB

PIB’=PIB + 0,06 x PIB

PIB’=1,06 PIB

Vou chamar o número de pessoas de POP’.

E sei que esse número aumentou 2%.




Então o número de pessoas no segundo ano é:

POP’ = POP + 2% de POP

POP’ = POP + 0,02 x POP

POP’ = 1,02 POP

E o QUE EU QUERO é a evolução da divisão do produto interno bruto pelo número de pessoas. No segundo ano vou dizer que ela vale X’.

X’ = Valor do produto interno bruto no segundo ano

Número de pessoas no segundo ano

X’ = G,E ¡¢£G,E� ¡¤¡

X’ = G,E G,E� x ¡¢£¡¤¡

Mas PIB/POP é o que nós chamamos de X e é o valor do PIB PER CAPITA no primeiro ano.

Então.

X’ = G,E G,E� x X

1,06 dividido por 1,02 é aproximadamente 1,04. Então temos:

X’ = 1,04X

X’ = X + 0,04 X

Às vezes em porcentagem “abrirmos” um número ajuda a chagarmos logo ao resultado da variação percentual. Aqui nós abrimos 1,04 em 1 mais 0,04. Vocês vão entender o porquê disso. Lembram da fórmula que vimos?

tuvjw xyzuv = tuvjw yz|yuv [ (] + s)

Uma outra forma de apresentação dessa mesma fórmula que gosto muito de usar é tirando os parêntesis. Aí fica:

tuvjw xyzuv = tuvjw yz|yuv + tuvjw yz|yuv [ s




Então quando a gente abre um número e fica com algo do tipo “X’=X+0,04X” a gente já tem, de cara, o valor da variação percentual.

Agora vamos fazer passar o “0,04” de número decimal para porcentagem. Sabemos que 0,04 nada mais é do que 4 sobre 100. Então 0,04 nada mais é do que 4%, pela simples definição de porcentagem que vimos no início da aula. Logo,

X’ = X + 4% X

Ora gente, a equação acima nos mostra que a variável X, que representa a divisão do produto interno bruto pelo número de pessoas, teve um aumento de 4% no segundo ano em relação ao seu valor no primeiro ano. Aqui já sabemos então que a resposta é a letra “E” e o problema está encerrado.

Só um detalhe: pessoal, há outras soluções? Sim! Há pessoas que podem dizer: “podemos jogar valores para o produto interno bruto e para o número de pessoas e resolver sem essas letras todas”. Sim, é verdade. Isso pode mesmo ser feito.

Qual a melhor solução? Ela não é unânime, gente... Dizia um grande professor meu: “a melhor solução é a solução que você vê”.

Vamos fazer do segundo jeito então?

Como o problema é genérico, e, portanto, não ficou amarrado a um determinado valor de produto interno bruto ou a uma determinada população, ele tem que valer com qualquer valor de produto interno bruto inicial e com qualquer valor de população inicial, desde que mantenhamos os percentuais de aumento anual estabelecidos. Esses percentuais, sim, foram amarrados pelo problema.

Assim, poderíamos fingir que o produto interno bruto no primeiro ano valia 100. Poderíamos dizer que o número de pessoas no primeiro ano também valia 100. Então a divisão do produto interno pela população no primeiro ano daria 100 dividido por 100, que é 1.

Já no segundo ano o produto interno teria aumentado 6%. Ora, 6% de 100 nada mais é do que 6. Então o produto interno passaria para 106 no segundo ano.

E a população teria aumentado 2%. Ora, 2% de 100 nada mais é do que 2. Então a população teria aumentado para 102.

Agora é só vermos quanto está valendo a divisão do produto interno pela quantidade de pessoas no segundo ano.




106102 � 1,04

E agora é OLHAR PRO QUE A GENTE QUER.

E o que a gente quer? A gente quer o que o enunciado pede.

Ora, o enunciado quer saber a evolução em relação ao primeiro ano da divisão do produto interno pela população. Se no primeiro ano a divisão do produto interno pela população valia 1 e no segundo vale 1,04, a variação percentual EM RELAÇAO AO PRIMEIRO ANO foi:

� = ;� �! �� (�"� �� ¥A%¦8 ;� �! �� !�'��!� ��;� �! �� !�'��!� �� 100%

� = 1,04 − 11 � 100% = 0,04 � 100% = 4%

Gabarito: (E)

13. (VUNESP – AFR/SP/Auditoria Fiscal - 2002) A passagem de ônibus teve um reajuste, passando de R$ 1,15 para R$ 1,40. O aumento em porcentagem foi de, aproximadamente:

a) 28%

b) 25%

c) 22%

d) 20%

e) 18%

Solução:

Variação percentual = Valor final − Valor inicialValor inicial x100%

Variação percentual = 1,40 − 1,151,15 x100%

∴ Variação percentual = 1,40 − 1,151,15 x100%

∴ Variação percentual = 0,251,15 x100%




∴ Variação percentual = 25%1,15

∴ Variação percentual = 21,7%

∴ Variação percentual ≈ 22%

Gabarito: (D)

14. (ESAF – CGU/TFC – 2001). O nível geral de preços em determinada região sofreu um aumento de 10% em 1999 e 8% em 2000. Qual foi o aumento total dos preços no biênio considerado?

a) 8%

b) 8,8%

c) 10,8%

d) 18%

e) 18,8%

Solução:

Lembramos da nossa expressão da variação percentual, né? Vamos passar a chamar valor final de VF e valor incial de VI.

O valor final do primeiro ano será VF1 e o valor final do segundo ano será VF2.

O valor inicial do segundo ano será o mesmo que o valor final do primeiro ano. Então o valor inicial do segundo ano será VF1.

Temos então a expressão geral:

VF = VI x (1 + Δ)

No fim do primeiro ano teremos:

VFG = VIGx(1 + 10%) ∴ VFG = VIGx(1 + 0,10)

∴ VFG = VIGx(1,1) ∴ VFG = 1,1 x VIG

No fim do segundo ano teremos:

VF� = VI�x(1 + 8%)




∴ VF� � VI�x�1 + 0,08� ∴ VF� � VI�x�1,08� ∴ VF� � 1,08 x VI�

O valor inicial do segundo ano será o mesmo que o valor final do primeiro ano. Então o valor inicial do segundo ano será VF1, que já sabemos que vale 1,1 � �0G.

tx� = ], ^« [ ty�

∴ tx� = ], ^« [ tx]

∴ tx� = ], ^« [ (], ] [ ty]) ∴ �B� = 1,08 � 1,1 � �0G

∴ �B� = 1,188 �0G ∴ �B� = 1�0G + 0,188 �0G

Novamente vamos transformar decimal em porcentagem. Então 0,188 é o mesmo que 18,8 divididos por 100, que é o mesmo que 18,8%. Logo:

�B� = �0G + 18,8% �0G

Então o valor final ao término de 2000 corresponde ao valor inicial de 1999 aumentado de 18,8%.

Gabarito: (E)

15. (CESPE –SEFAZ/AL/ACA – 2002) Uma loja anunciou a venda de computadores como reproduzido na figura abaixo.

Com base nas informações constantes no anúncio, julgue o item que se segue.




O preço à vista é 20% menor que o preço a prazo.

Solução:

Agora a nossa referência é o preço a prazo, já que o problema fala “em relação ao preço a prazo”. Cuidado!

Variação percentual = Valor final − Valor inicialValor inicial x100%

Neste caso, como a referência é o valor a prazo, teremos:

Variação percentual = Valor a vista − Valor a prazoValor a prazo x100%

Variação percentual = 1899,00 − 2332,402332,40 x100%

Variação percentual = −18,6%

O sinal negativo já nos diz que o valor à vista é 18,6% MENOR que o valor a prazo. Logo a resposta já estaria ERRADA, porque fala precisamente em 20%.

Uma segunda solução é fazendo o exercício “pelo avesso”. Estou na prova e não quero perder tempo, então vejo qual é o número que é 20% menor que o preço a prazo. Lembram que vimos que:

VF = VI x (1 + Δ)

Então temos:

VF = 2332,40 x (1 + Δ)

Mas a variação aqui será negativa de 20%, porque quero algo MENOR em 20%.

VF = 2332,40 x (1 − 20%) ∴ VF = 2332,40 x (1 − 0,20)

∴ VF = 2332,40 x (0,80) ∴ VF = 1865,92 reais.




Gente, para que o valor à vista fosse 20% menor que o valor a prazo, ele precisaria ser R$ 1.865,92. Mas ele é R$ 1.899,00. Logo a assertiva está ERRADA.

Gabarito: (E).

16. (CESPE – PCF /Área 1 – 2002). No sistema de juros compostos, julgue o item que se segue.

Suponha que para uma mercadoria cujo custo de fabricação é de R$ 650,00, paga-se, sobre o preço de venda, 15% de impostos e 10% referente à propaganda. Para se obter um lucro de 10% sobre o preço de venda, essa mercadoria deverá ser vendida por mais de R$ 1.200,00.

Solução:

Gente, vamos OLHAR PRO QUE A GENTE QUER!! Queremos o valor de venda.

Agora OLHAMOS PRO QUE A GENTE TEM.

Temos o lucro.

Temos o custo da mercadoria, custo de impostos, custo de propaganda.

Agora buscamos uma forma de ligar o que A GENTE TEM ao que A GENTE QUER.

Desde pequenos sabemos que:

LUCRO = VALOR QUE VENDI – TUDO QUE PEGUEI

Agora vamos colocar o que a GENTE TEM em uma forma que consigamos encaixar na equação acima.

• LUCRO é 10% do preço de venda. Vou chamar esse preço de P. Então o lucro é 10% de P. Já sabemos que 10% de alguma coisa se obtém multiplicando 10% pela coisa.

• O “Valor que vendi” é a grande questão do problema. Já chamamos de P.

• “Tudo que paguei” é a soma de:

Custo de R$ 650,00;

Mais 15% de impostos sobre o preço de venda, que é então 15% de P;

Mais 10% de propaganda sobre o preço de venda, que é então 10% de P.

Total de custos = 650 + 0,15xP + 0,10xP

Então teremos:

LUCRO = VALOR QUE VENDI – TUDO QUE PEGUEI




0,10P = P - (650 + 0,15P + 0,10P)

0,10P = P – 650 – 0,15P – 0,10P

Agrupando tudo o que tem a letra “P” do lado esquerdo e tudo que não tem do lado direito, ficamos com:

0,10P+0,15P+0,10P – P = - 650

0,35P – P = -650

-0,65P = -650

1 � −650−0,65

P=1.000

Logo o valor de venda precisaria ser 1.000 reais para que se tivesse um lucro de 10% sobre o preço de venda. Assim, a afirmação está ERRADA pois diz que a mercadoria teria que ser vendida acima de 1.200 reais.

Gabarito: (E).

17. (CESPE – MDIC/ACE – 2001) Texto-I

Presidente lança nova etapa do Programa Brasil Empreendedor (PBE)

Apoiado no tripé capacitação, apoio financeiro e assessoria empresarial, e reforçado agora com os incentivos à exportação, o PBE, no seu segundo ano, visa criar 600 mil postos de trabalho. Para isso, o governo federal vai pôr à disposição R$ 9 bilhões e 200 milhões para um universo de 1 milhão e 250 mil operações de crédito e capacitar 2 milhões e 600 mil potenciais empreendedores.

Capacitação − A primeira fase do PBE foi anunciada pelo presidente Fernando Henrique Cardoso em 5 de outubro de 1999. Até setembro de 2000, o PBE capacitou 2 milhões e 800 mil pessoas interessadas em abrir seu próprio negócio, superando a meta de atender 2 milhões e 300 mil pretendentes. As operações de crédito somaram 1 milhão e 200 mil, número superior à meta de 1 milhão e 150 mil. Na sua primeira fase, o PBE pôs à disposição R$ 9 bilhões e 400 milhões para novos empreendimentos, ultrapassando em R$ 1 bilhão e 400 milhões a meta prevista, com operações no valor médio de R$ 8 mil.

MDIC em notícias. Ano II, n.º 12, nov./2000, p. 3 (com adaptações).

Texto-II

Um marceneiro foi beneficiado com um crédito de R$ 8.000,00 do PBE para abrir sua própria oficina. O orçamento necessário para o seu projeto era de R$ 12.000,00 e, para viabilizá-lo mais rapidamente, ele contraiu um empréstimo igual a esse último valor junto a um agente financeiro, a ser pago em três




parcelas trimestrais de R$ 5.000,00, a primeira delas tendo vencimento 3 meses após o recebimento da quantia correspondente ao empréstimo. Considere que o crédito oriundo do PBE seja liberado somente um mês após o marceneiro ter recebido o empréstimo do agente financeiro.

Suponha que o marceneiro mencionado no texto II fabrique cadeiras e as exporte pelo valor unitário de 250 dólares norte-americanos e as venda por 300 reais a unidade no mercado brasileiro. Além disso, ele começou a receber o dinheiro proveniente dessas vendas um mês após ter contraído o empréstimo de R$ 12.000,00 para montar a sua oficina. Considere, ainda, que os custos totais do marceneiro sejam de 95% em cada unidade exportada e de 90% em cada unidade vendida no mercado interno. Supondo que US$ 1.00 seja equivalente a R$ 1,90 e que o marceneiro venda, a cada mês, 60 cadeiras no mercado externo e 40 no mercado interno, julgue o item que se segue.

O lucro, em reais, do marceneiro em cada unidade vendida no mercado interno é inferior ao lucro, em reais, obtido em cada unidade exportada.

Solução:

Amigos, digo, guerreiros, questão com texto grande assusta muita gente. Mas não nos assusta! SOMOS SAMURAIS. Certo?

Vamos ler o enunciado com coragem, com motivação e vamos passar na prova? Está bem? “Xô, preguiça!!”.

Uma outra coisa: vamos sempre OLHAR PRO QUE A GENTE QUER. E o que a gente quer é sempre focado no que o problema pede. Neste caso, o problema quer que comparemos o lucro do marceneiro no mercado interno e no mercado externo EM CADA CADEIRA VENDIDA.

De cara, o texto I já não nos serve de nada. Visto isso, vamos ao texto II buscar as informações do lucro do marceneiro.

Eu gosto de resolver a questão agrupando as coisas parecidas. Neste problema vou agrupar tudo o que ele fala sobre as vendas para o mercado externo e o que ele fala sobre as vendas para o mercado interno.

Vende externamente:

• Preço 250 dólares • Custo total de 95% • Vende 60 cadeiras • O dólar vale 1,90 reais.

Vende internamente:

• Preço 300 reais • Custo total 90% • Vende 40 cadeiras




Agora vou calcular, para cada mercado, o lucro sobre UMA CADEIRA VENDIDA, já que é isso que O PROBLEMA QUER. Sabemos que:

LUCRO = Preço de venda – custo total

Vou chamar de LE o lucro no mercado externo por cadeira e LI o lucro no mercado interno por cadeira.

LE = 250 – 0,95 de 250

LE = 250 – 0,95 x 250

LE = 12,5 dólares

Vamos logo converter esse lucro para reais. Sabemos que 1 dólar vale 1,90 reais. Para CONVERTER UNIDADES, amigos, basta trocar a palavra DOLÁRES por “1,90 REAIS” na expressão acima.

LE = 12,5 x (1,90 reais)

LE = 12,5 x 1,90 reais

LE = 23,75 reais por cadeira.

Agora vamos calcular o LI.

LI = 300 - 90% de 300

LI = 300 – 0,90 x 300

Vou colocar 300 em evidencia:

LI = 300 x (1 – 0,90)

LI = 300 x (0,10)

LI = 30 reais por cadeira.

Então o lucro nas vendas internas por cadeira é SUPERIOR do que o lucro nas vendas externas por cadeira. Dessa forma, a afirmação está ERRADA.

Gabarito: (E).

18. (CESPE – ANATEL/AA/Contabilidade - 2004). Sabendo que determinada imobiliária cobra do proprietário de um imóvel uma comissão de 5% sobre o preço de venda deste, julgue o item a seguir.

Se a comissão da imobiliária pela venda de um imóvel foi de R$ 4.300,00, então o proprietário desse imóvel recebeu pela sua venda mais de R$ 80.000,00.

Solução:




Pelo enunciado do problema, montamos a seguinte equação:

Comissão = 5% do preço de venda

4300 = 5% de P

4300 = 0,05 x P

P � 43000,05

P = 86.000 reais

Gente, temos que saber o que O PROBLEMA PEDE. Cuidado! O problema pede o quanto o proprietário recebeu pela venda. Ele recebeu o preço de venda menos a comissão que ficou para a imobiliária.

Recebeu 86.000 – 4300 = 81.700 reais.

Logo a afirmativa está CERTA, pois diz que ele recebeu mais de 80.000 reais.

Gabarito: (C).

19. (CESPE – TJ/TRT6/Administrativa – 2002). Julgue o item seguinte.

Considere que a cesta básica tenha seu preço majorado a cada mês, de acordo com a inflação mensal. Se, em dois meses consecutivos, a inflação foi de 5% e 10%, então a cesta básica, nesse período, foi majorada em exatamente 15%.

Solução:

Gente, é bom sabermos lidar com inflação. A inflação funciona como a variação percentual mensal do preço. E nós já sabemos como lidar com a variação percentual. Vocês se lembram?

VALOR FINAL = VALOR INCIAL x (1 + Δ)

Onde Δ é a variação percentual. Neste caso, a variação que ocorreu foi a própria inflação.

O valor final do primeiro mês será VF1 e o valor final do segundo mês será VF2.

O valor inicial do segundo mês será o mesmo que o valor final do primeiro mês. Então o valor inicial do segundo mês será VF1.




No fim do primeiro mês teremos:

VFG � VIGx�1 + 5%� ∴ VFG � VIGx�1 + 0,05�

∴ VFG � VIGx�1,05� ∴ VFG � 1,05 x VIG

No fim do segundo mês teremos:

VF� = VI�x(1 + 10%) ∴ VF� = VI�x(1 + 0,10)

∴ VF� = VI�x(1,10) ∴ VF� = 1,10 x VI�

O valor inicial do segundo ano será o mesmo que o valor final do primeiro ano. Então o valor inicial do segundo ano será VF1, que já sabemos que vale 1,05 � �0G.

VF� = 1,10 x VI� ∴ VF� = 1,10 x VFG ∴ VF� = 1,10 x (1,05 x VIG) ∴ VF� = 1,10 x 1,05 x VIG ∴ VF� = 1,155 VIG

Vamos usar aquele nosso macete de “abrir um número” para visualizarmos a variação percentual.

∴ VF� = 1VIG + 0,155 VIG

Vamos transformar decimal em porcentagem. Sabemos que 0,155 é o mesmo que 15,5 divididos por 100, que é o mesmo que 15,5%. Logo:

VF� = VIG + 15,5% VIG

Então o aumento total do preço gerado pela inflação nos dois períodos foi de 15,5%. Logo, a assertiva está ERRADA.




Pessoal, vejam bem!! Inflação de 5% em um mês e 10% no segundo mês não significa inflação total de 15% no período de dois meses não!!! Para se ter a inflação total dos dois meses deve-se fazer sempre o produto dos fatores (1 + Δ) nos períodos sucessivos:

(1 + Inflação) = (1 + I1) x (1+ I2)

1 + Inflação = (1+ 0,05) x (1 + 0,10)

1+ Inflação = 1,05 x 1,10

1+ Inflação = 1,155

Inflação = 0,155

Inflação =15,5%.

Isso acontece porque a inflação do segundo período já irá atuar sobre o preço que foi inflacionado durante o primeiro período. É semelhante ao que vimos em juros compostos, quando dissemos que em juros compostos há juros sobre juros.

Gabarito: (E)

20. (CESPE – AUFC/Controle Externo/Auditoria de Obras Públicas – 2009). Tomando 1,03 como valor aproximado para 1,340,1, julgue o item subsequente, relativo a cálculo de juros.

Se um capital de R$ 10.000,00 for aplicado pelo período de 1 ano à taxa de juros simples de 6% ao mês, então, ao término desse período, o montante existente nessa aplicação será superior a R$ 17.400,00.

Solução:

Em juros simples, temos:

M = C (1 + i x n)

O capital C é 10.000 reais.

A taxa é de 6% a.m. em juros simples.

O tempo, em MESES, é 12 meses. Temos que usar o tempo e a taxa na mesma base temporal (ou os dois em anos, ou os dois em meses, etc).

M = 10.000 (1 + 0,06 x 12)

M = 10.000 x (1 + 0,72)

M = 10.000 x 1,72

M = 17.200 reais.

Logo, a afirmação de que seria superior a 17.400 reais está ERRADA.

Gabarito: (E).




21. (CESPE – TER/TJ/ES - Administrativa/Contabilidade – 2011). Com base nos conceitos e aplicações da matemática financeira, julgue o seguinte item.

Se uma pessoa investir determinada importância em um tipo de investimento cujo rendimento mensal é de 10% a juros compostos e, ao final de dois meses, o montante disponível for de R$ 121 mil, então a importância investida foi de R$ 96.800,00.

Solução:

Gente, aplicação imediata de fórmula de montante tem juros compostos.

M � C x (1 + i)�

Vamos aplicar 96.800 com 10% a.m. de juros compostos em 2 meses e ver se resulta em 121.000 reais.

M = 96800 x (1 + 0,10)� M = 96800 x 1,10� M = 96800 x 1,21

M = 117.128 reais. Logo, a aplicação de 96.800 não resultará em 121.000 reais e afirmação

está ERRADA.

Gabarito: (E)

(CESPE – BACEN/Analista/Contábil-Financeira – 2000). Com base nas informações do texto, julgue os itens seguintes.

Cliente paga até 10,70% no cheque especial

Uma pesquisa mensal de taxas de juros bancários, feita entre 11 e 12 de janeiro de 2000 pela Fundação PROCON / SP, detectou que a maior taxa mensal do cheque especial chegou a 10,70%, nos bancos Real e Bandeirantes. No caso de empréstimo pessoal, a maior taxa atingiu os 5,50% ao mês, no Itaú e BCN. Nos quatorze bancos pesquisados, a taxa média mensal do cheque especial foi de 9,66% (inferior aos 9,69% de dezembro de 1999), enquanto a do empréstimo pessoal ficou nos 4,85% (em dezembro de 1999, ela foi de 4,98%).

No caso do cheque especial, verificou-se que a menor taxa de juros mensal foi praticada pela Caixa Econômica Federal e, quanto ao empréstimo pessoal, a pesquisa detectou que a menor taxa mensal (4,20%) foi praticada pelo BANESPA.

"Economia". In: Hoje em dia. 20/1/2000 (com adaptações).




22. Em janeiro de 2000, a taxa média mensal do empréstimo pessoal nos quatorze bancos pesquisados foi inferior a 98% da taxa correspondente no mês de dezembro de 1999.

Solução:

Turma, a questão diz que a taxa média mensal dos 14 bancos para o empréstimo pessoal no período de janeiro de 2000 foi de 4,85%.

E diz que para o período de dezembro de 1999 foi de 4,98%.

Então temos que calcular quanto é que 4,85% (parte) representa de 4,98% (todo).

� � 4,854,98 �100%

Já dá pra perceber que essa não é uma conta muito rápida. Então vamos fazer diferente. Como geralmente fazemos contas de multiplicar mais rápido do que fazemos contas de dividir, vamos calcular primeiro quanto daria 98% da taxa de dezembro (4,98%).

0,98 � 4,98 = 4,8804%

Ora gente, se 98% da taxa média de dezembro dá 4,8804%, então 4,85%, que é a taxa média de janeiro, é mesmo inferior aos 98% da taxa de dezembro. Portanto, a questão está CERTA.

Gabarito: (C).

23. Em relação ao empréstimo pessoal, para se elevar a taxa de juros mensal praticada pelo BANESPA de 4,20% para 5,20%, seria necessário aumentar a taxa praticada por esse banco por ocasião da pesquisa em mais de 20% de seu valor.

Solução:

Senhores, aqui temos uma questão de variação percentual já que está falando de “aumentar” o valor.

Já sabemos que:

�B = �0 � (1 + ∆) E que:

∆= �B − �0�0 �100%

Se o enunciado está dizendo que a elevação é de 4,2% para 5,2%, então a variação percentual:




∆� 5,2 − 4,24,2 �100%

∆� 14,2 �100%

Gente, continha ruim de fazer, não é? Mais uma vez, vamos mudar a nossa rota e procurar fazer uma multiplicação no lugar da divisão. O enunciado fala que a variação seria superior a 20% se houvesse o tal aumento. Vamos ver qual seria o novo valor se variássemos os 4,2% em 20%.

�B � �0 � (1 + ∆) �B = 4,2 � (1 + 0,20)

�B = 4,2 � (1,2) �B = 5,04%

Ora, se o novo valor fosse 5,2%, então precisaria de um “delta” realmente maior que 20%. Portanto, a questão está CERTA.

Gabarito: (C)

24. O Banco Bandeirantes teria de reduzir a sua taxa de juros mensal do cheque especial praticada por ocasião da pesquisa em mais de 10% de seu valor para que ela se igualasse à taxa média mensal do cheque especial nos quatorze bancos pesquisados.

Solução:

Senhores, mais uma vez vamos optar por fazer uma multiplicação. Então vamos usar os 10% dados no enunciado pra calcular qual seria a nova taxa de juros mensal do cheque especial do Bandeirantes. Depois a gente compara esse novo valor com o valor da taxa média mensal dos 14 bancos. Lembrando que redução de 10% dignifica um delta negativo de 0,10.

�B = �0 � (1 + ∆) �B = 10,7 � (1 − 0,10)

�B = 10,7 � (0,9) �B = 9,63%

Ora, a taxa média mensal do cheque especial dos 14 bancos foi de 9,66%. Então não era necessário baixar 10% para que o Bandeirantes atingisse




a taxa dos 14 bancos. Baixando menos de 10% ele já chegaria aos 9,66%. Portanto, questão ERRADA. Gabarito: (E)

25. A taxa de juros mensal do empréstimo pessoal do BANESPA precisaria ser aumentada em mais de 150% para igualar-se à taxa de juros mensal do cheque especial do Banco Real.

Solução:

Gente, nessa questão são misturadas as duas taxas: a do empréstimo pessoal (Banespa) e a do cheque especial (Real). Vamos variar a taxa do empréstimo pessoal do Banespa em 150% e ver quanto dá. Depois a gente compara esse novo valor com a taxa do cheque especial do Real.

�B � �0 � (1 + ∆) �B = 4,2 � (1 + 1,50)

�B = 4,2 � (2,5) �B = 10,5%

Turma, se a variação for de 150%, o valor alcançado é de 10,5%. Então é necessário variar mais de 150% para se chegar ao valor de 10,7% que é a taxa do cheque especial do Real. Portanto, questão CERTA.

Gabarito: (C)

(CESPE – MPU/Analista de Orçamento – 2010). Em determinado órgão do Poder Executivo, foram alocados R$ 110.000,00 no orçamento para a aquisição de 1.000 cadeiras de escritório. Com a previsão de realização de um concurso para provimento de novas vagas, constatou-se a necessidade de compra de mais 300 cadeiras, além das 1.000 já previstas.

Com base nas informações da situação hipotética apresentada, julgue os itens a seguir.

26. Se o orçamento for reduzido para R$ 22.000,00, então, é correto afirmar que esse valor é 400% menor do que foi previamente alocado.

Solução:

Senhores, previamente foi alocado o valor de 110.000. Vamos ver quanto em resultaria um valor 400% menor que o inicial.

�B = �0 � (1 + ∆) �B = 110000 � (1 − 4)

�B = 110000 � (−3) �B = −330.000




Pessoal, um valor 400% menor seria o absurdo de se ter um valor de dinheiro negativo alocado. Portanto, questão ERRADA.

Só por curiosidade, vamos calcular qual seria a variação percentual se o valor final fosse 22.000.

∆� �B − �0�0 �100%

∆� 22000 − 110000110000 �100%

∆� −80%

Ou seja, se o valor final fosse 22.000, isso significaria uma redução de 80% do valor de 110.000.

Gabarito: (E)

27. Se, na hora da compra das 1.000 cadeiras iniciais, um dos fornecedores oferecer uma cadeira a mais a cada três cadeiras adquiridas, então, é correto afirmar que essa proposta é equivalente à concessão de um desconto de 25%.

Solução:

Turma, a solução da banca foi a seguinte:

SOLUÇÃO DA BANCA:

Na condição inicial, o orçamento é de 110.000 reais para comprar 1000 cadeiras. Então o preço de cada cadeira é:

;� �! (��á!�� = 110.000 !��1000 <�"��!�� ;� �! (��á!�� = 110 !�� ! <�"��!�

Então três cadeiras custarão:

�� ! "� �!ê� <�"��!�� = 3 � 110 !�� ! "� �!ê� <�"��!�� = 330 !��

Na nova condição, ao levar 3 cadeiras o comprador recebe uma a mais. Então o valor de 4 cadeiras é que é 330 reais.

Então o novo valor unitário é:




;� �! (��á!�� = 330 !��4 <�"��!��

;� �! (��á!�� = 82,50 !��

Observem que este é o valor unitário da cadeira dentro de um grupo de três cadeiras.

O desconto que foi dado foi de:

∆= 82,5 − 110110 �100%

∆= −0,25 ∆= −25%

De modo que a questão aparentemente está CERTA se for analisado o valor unitário das cadeiras nesta forma de calcular, isto é, considerando o desconto dado a cada grupo de três cadeiras compradas. Veja que há uma condição importante aí. Agora vamos conversar um pouco sobre isso.

DISCUSSÃO:

Pela forma que vimos, nas primeiras 3 cadeiras há o equivalente a um desconto de 25% no valor unitário. No segundo grupo de 3 cadeiras também, no terceiro grupo também e assim por diante.

No 333º grupo completar-se-á a quantidade de 999 cadeiras e ainda será comprada mais uma cadeira. Até aí haverá o desconto de 25% em todos os trios.

Em todas as 999 cadeiras foi como se houvesse o desconto de 25%. Mas e a milésima? Ela não terá outras duas cadeiras para se juntarem a ela e gerar o desconto de 25%.

Teremos então um total de 999 cadeiras mais 333 cadeiras (que é o somatório das cadeiras adicionais dadas para cada trio) e mais a milésima. O total será de 1.333 cadeiras.

O novo valor unitário de cada cadeira adquirida, pensando no todo, será:

�� ! (��á!�� = 110.0001333 = 82,521 !��

Isso dá quase 82,50 reais, mas é um pouquinho maior. Com esse valor unitário, o desconto seria:




∆� 82,521 − 110110 �100%

∆� −0,2498

∆� −24,98%

Ou seja, o desconto é um pouco menor do que 25%. Então, senhores, na verdade, não há exatamente um desconto de 25% na compra total. Há, sim, um desconto condicional de 25% a cada 3 cadeiras compradas. Na minha opinião, se o enunciado tivesse colocado desta forma, aí sim a questão estaria perfeita. Do jeito que foi colocado, deixou margem a dúvida, já que alguém poderia ter pensado no desconto de uma forma global. E como a matemática é exata, não poderia ser deixada pela banca a opção da dúvida.

Em todo caso, a banca manteve o gabarito como CERTO. Gabarito: (C)

28. Para a aquisição das 300 unidades adicionais, a verba suplementar deverá ser de 35% do valor inicialmente alocado, desde que não haja mudança no preço das cadeiras.

Solução:

Ora, se não há mudança nos preços, então o mesmo percentual de aumento nos preços será o percentual de aumento no número de cadeiras. Antes havia 1000 cadeiras. Agora haverá 1300 cadeiras. O aumento será dado por:

∆� 1300 − 10001000 �100%

∆� 3001000 �100%

∆� 0,3�100%

∆� 30%

Ou seja, haverá um aumento de 30% no número de cadeiras. Como não haverá mudança nos preços, isso acarretará um aumento de 30% no preço total. Portanto, questão ERRADA.

Gabarito: (E)




29. Se houver aumento de 20% no preço para as 300 cadeiras adicionais, a verba suplementar para aquisição dessas cadeiras será igual a 36% do valor originalmente alocado para a aquisição das 1.000 cadeiras iniciais.

Solução: Turma, aqui nós vamos calcular o valor da verba suplementar. Antes o valor unitário era 110 reais como vimos anteriormente. Agora o valor unitário será aumentado de 20% apenas nessas 300 cadeiras.

�B � �0 � (1 + ∆) �� ! (��á!�� = 110 � (1 + 0,20)

�� ! (��á!�� = 110 � (1,2) �� ! (��á!�� = 132 !��

O valor da verba suplementar será:

�8 = 300 � 132 �8 = 39.600 !��

Agora vamos calcular quanto isso representa em relação ao valor inicialmente alocado.

� = ��!��"� �100%

� = 39600110.000 �100%

� = 0,36�100%

� = 36%

Gabarito: (C)

30. Caso seja oferecido um desconto de 10% sobre o valor das cadeiras adicionais, o preço unitário de cada uma delas será inferior a R$ 100,00.

Solução:

�B = �0 � (1 + ∆) �� ! (��á!�� = 110 � (1 − 0,10)

�� ! (��á!�� = 110 � (0,9) �� ! (��á!�� = 99 !��

Gabarito: (C)




31. (FGV - AFRE RJ – 2009). O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias, é de:

a) R$ 6.255,00.

b) R$ 5.500,00.

c) R$ 6.500,00.

d) R$ 4.855,00.

e) R$ 4.675,50.

Solução:

¥ � : � (1 + � � �) ¥ = 4500 � (1 + 0,005 � 78)

¥ = 4500 � 1,39

¥ = 6255 !�� Gabarito: (A)

32. (FGV - AFRE RJ – 2009). Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros simples de 5% ao mês durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao mês durante 2 meses, resultando em R$ 13.200,00. O valor do montante inicial era de:

a) R$ 18.500,00.

b) R$ 13.000,00.

c) R$ 12.330,00.

d) R$ 11.000,00.

e) R$ 10.000,00.

Solução:

Só pra confundir, nessa questão ele chama o capital inicialmente aplicado de “montante inicial”. Mas fica nítido que o que ele quer é o capital inicial “C” que foi aplicado e gerou o montante final de 13.200 reais.

Temos que considerar que, no meio do caminho, antes de gerar o valor “M”, o capital “C” gera uma quantia “X” intermediária que é reaplicada.

Então a primeira aplicação a juros simples foi:

, = : � (1 + � � �) , = : � (1 + 0,05 � 2)

, = : � 1,1

, = 1,1:




Agora o valor “X” será reaplicado numa nova aplicação de juros simples gerando finalmente o valor “M” de 13.200.

¥ � , � (1 + � � �)

Já sabemos que “X” vale 1,1C. Vamos substituir na equação acima.

¥ = 1,1: � (1 + 0,10 � 2) ¥ = 1,1: � 1,2

13200 = 1,1: � 1,2

: = 132001,1 � 1,2

: = 132001,32

: = 10.000 !�� Gabarito: (E)

33. (CESPE – ABIN/ATI/Contabilidade – 2010). Considerando que uma instituição financeira pratique juros mensais simples e compostos e tomando 1,12 como o valor aproximado de 1,009512, julgue o item seguinte.

O montante obtido por um investimento de R$ 5.000,00, aplicado por 10 meses, nessa instituição, a juros simples mensais de 1,8% será superior a R$ 5.850,00.

Solução:

¥ = : � (1 + � � �)

¥ = 5000 � (1 + 0,018 � 10)

¥ = 5000 � 1,18

Gosto de rearrumar os zeros para facilitar a conta. A multiplicação é associativa, então posso separar 5000 em 5 vezes 1000 e fazer MxNxP=(MxN)xP=Mx(NxP).

¥ = 5� 1000 � 1,18

¥ = 5� 1.180




¥ � 5� 1.180

¥ = 5900 !�� Gabarito: (C)

34. (CESPE - PCF/Área 1 – 2004). Julgue o item que se segue.

O período que um capital deve ficar aplicado à taxa de juros simples de 8% ao mês para que o montante final obtido seja igual a 3 vezes o capital inicial é inferior a 26 meses.

Solução:

¥ = : � (1 + � � �)

A questão quer que o montante M valha o triplo de C, ou seja, 3C.

3: = : � (1 + 0,08 � �) 3:: = (1 + 0,08 � �)

Posso cortar “C” com “C”.

3 = 1 + 0,08 � �

2 = 0,08 � �

� = 20,08

Vou multiplicar por 100 em cima e embaixo pra facilitar.

� = 2008

� = 25 '�� Gabarito: (C)

35. (FGV – SEFAZ/RJ/AFRE – 2009). Para um principal de R$ 100.000,00, um indivíduo retirou o valor de R$ 150.000,00 ao final de 6 meses. A rentabilidade anual desse investimento, no regime de juros compostos, foi de:

a) 50%.

b) 125%.

c) 100%.

d) 5%.




e) 120%.

Solução:

¥ � : � (1 + � )±

Turma, detalhe importante aqui: o problema pede a rentabilidade, isto é, a taxa de juros. E pede essa taxa anual. Logo, preciso utilizar o tempo “n” em anos. Assim, 6 meses serão expressos como 0,5 de ano ou ½ ano.

150.000 = 100.000 � (1 + � )G/�

150.000100.000 = (1 + � )G/�

1510 = (1 + � )G/� Simplificando por 5.

32 = (1 + � )G/�

Como mostramos lá no nosso anexo de expoentes, o expoente ½ de um lado da igualdade passa para o outro lado como uma potência de 2.

²32³� = 1 + �

3�2� = 1 + �

94 = 1 + �

� = 94 − 1

� = 94 − 44

� = 9 − 44




� � 54

� � 1,25

� � 125% ��

Gabarito: (B)

36. (FGV – SEFAZ/RJ/AFRE – 2009). Um investidor aplicou R$ 1.000,00 durante dois anos a uma taxa de 20% ao ano, juros compostos.

Ao final desse período, esse investimento totalizava:

a) R$ 694,44.

b) R$ 1.400,00.

c) R$ 1.440,00.

d) R$ 1.514,12.

e) R$ 2.200,00.

Solução:

¥ = : � (1 + � )±

¥ = 1000 � (1 + 0,2 )� ¥ = 1000 � 1,2� ¥ = 1000 � 1,44

¥ = 1.440 !�� Gabarito: (C)

37. (FCC - TRF2/TJ/Administrativa – 2007). Um capital de R$ 400,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, à taxa de 36% ao ano. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos, à taxa de 3% ao mês, por um bimestre. O total de juros obtido nessas duas aplicações foi:

a) R$ 149,09

b) R$ 125,10

c) R$ 65,24

d) R$ 62,55

e) R$ 62,16




Solução:

Inicialmente temos uma aplicação a juros simples e posteriormente o montante M obtido a juros simples é capitalizado a juros compostos.

¥ � : � (1 + � � �)

Em juros simples a taxa é facilmente alterada em sua unidade de tempo

por mera proporção. Então 36% ao ano é o mesmo que D %G� � ´% ao mês.

Lembrando que sempre precisamos expressar a taxa e o prazo na mesma unidade de tempo.

¥ � 400 � (1 + 0,03 � 3) ¥ = 400 � (1,09)

¥ = 436

Esses 436 é que são aplicados a juros compostos gerando um novo montante. Agora a taxa de juros compostos é de 3% ao mês e o tempo é de 2 bimestres. Vamos expressar os dois bimestres como 2 meses.

¥ = : � (1 + � )±

¥ = 436 � (1 + 0,03 )� ¥ = 436 � 1,03�

¥ = 462,55 !��

Por fim, o problema pede o valor dos juros obtidos. Basta usarmos a expressão geral M = C + J. Mas o montante será este valor final de 462,55 reais e o capital será o capital aplicado lá no início, ou seja, 400 reais.

/ = ¥ − :

/ = 462,55 − 400

/ = 62,55 !�� Gabarito: (D)

38. (CESPE – STM/ ANALISTA JUDICIÁRIO – ÁREA: APOIO ESPECIALIZADO – ESPECIALIDADE: CONTABILIDADE – CARGO 20 - 2010). Em economia, juro é a remuneração paga pelo tomador de um empréstimo junto ao detentor do capital emprestado pelo seu uso. O valor do juro é função crescente do tempo e do volume de capital em negociação, sendo




a proporcionalidade direta a relação de uso mais comum entre essas grandezas. A constante de proporcionalidade, conhecida como taxa de juros, é influenciada por fatores como: inflação, inadimplência e o custo de oportunidade. A taxa de juros i que o tomador do empréstimo deve estar disposto a pagar em um período deve satisfazer à inequação:

� ≥ �1 + ��1 + <�1 − C − 1

em que a é a taxa de inflação, b é a taxa de inadimplência e c é o custo de oportunidade, por unidade de tempo, todos expressos em sua forma unitária.

Tendo como referência as informações acima, julgue os itens a seguir.

A diferença entre a remuneração de capital - devido a empréstimo, investimento etc. - nos regimes de juros simples e compostos dá-se pelo fato de que, no caso de juros compostos, o cálculo da remuneração por determinado período é feito sobre o capital inicial acrescido dos rendimentos nos períodos anteriores, e, no caso de juros simples, a remuneração é calculada apenas sobre o capital inicial.

Solução:

Senhores, não se assustem com enunciado grande. Tudo bem? O que nos importa aqui é o final do enunciado, que nos traz exatamente a reprodução do que dissemos já por algumas vezes.

Vocês já sabem que a remuneração de um capital aplicado é chamada também de juros. Em juros simples, os juros, a cada mês, são a simples multiplicação da taxa pelo capital inicial. Em juros compostos, por sua vez, os juros são a multiplicação da taxa pelo capital inicial mais a multiplicação da taxa pelos juros já acumulados nos meses anteriores.

Vamos lembrar olhando as fórmulas?

Em juros simples:

M = C + C x i no 1º mês

M – C + C x i + C x i no 2º mês

M = C + C x i + C x i + C x i no 3º mês

E no mês “n” temos:

M = C + C x i x n

Ou seja, a cada mês é somada uma parcelinha de juros de valor C x i.

Já em juros compostos:

M = C + C x i no 1º mês (nesse primeiro mês é igual nos juros simples).

M = C + C x i + (C + C x i) x i = C x (1 + i)² no 2º mês.

E no n-ésimo mês temos:




M = C x (1 + i)n.

Portanto, senhores, está CERTA a questão. E foi bem fácil, apesar do extenso enunciado.

Gabarito: (C)

39. (FGV – SEFAZ/RJ/AFRE – 2008). A taxa de juros mensal, juros compostos, que faz com que um capital aumente de R$ 1.500 para R$ 1.653,75 em 2 meses é de:

a) 2%.

b) 5%.

c) 3%.

d) 10%.

e) 8%.

Solução:

¥ � : � (1 + �)±

1653,75 = 1500 � (1 + �)� 1653,751500 = (1 + �)�

¶1653,751500 = 1 + �

Turma, que continha ruim, não é? Aqui acho melhor darmos uns passos atrás e, como é questão de múltipla escolha, vamos testar as opções.

1653,75 = 1500 � (1 + �)�

A gente percebe que 1500 não é muito maior do que 1653,75, então acho interessante começar testando as alternativas menores, como 2% e 3%.

Com 2% teremos:

1653,75 = 1500 � (1 + 0,02)� 1653,75 = 1500 � 1,0404

Vamos tirar as últimas duas casas decimas do 1,0404 pra facilitar as contas.




1653,75 � 1500 � 1,04

1653,75 = 1560

Ops! O lado direito ficou muito abaixo. Vamos pular o valor de 3% e testar logo o 5% então.

1653,75 = 1500 � (1 + 0,05)� 1653,75 = 1500 � 1,1025

Novamente, vou tirar as duas últimas casas decimais.

1653,75 = 1500 � 1,10

1653,75 = 1650

Gente, ficou perto demais!! Como as opções estão com boa distância uma da outra (as outras seriam 3% e 8%), com certeza 5% é a resposta.

Agora, se você quiser voltar lá naquela raiz e resolver, você terá:

¶1653,751500 = 1 + � ·1,1025 = 1 + �

1,05 = 1 + � � = 0,05

� = 5%

Gabarito: (B)

40. (CESPE – ABIN/ATI/Contabilidade – 2010). Considerando que determinado investidor tenha aplicado um capital em um banco que paga juros compostos mensais de 0,8%, e tomando 1,1 como o valor aproximado de 1,00812, julgue o item subsequente.

Se o investidor tivesse aplicado R$ 10.000,00, no referido banco, o montante da aplicação, ao final de 12 meses, seria superior a R$ 10.800,00.

Solução:

¥ = : � (1 + �)±

¥ = 10000 � (1 + 0,008)G� ¥ = 10000 � (1,008)G�




Senhores, na aula 1 veremos que esse (1+i)n é chamado de FATOR DE CAPITALIZAÇÃO ou FATOR DE VALOR FUTURO ou FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL ou, ainda, FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL PARA PAGAMENTO ÚNICO. Muitas vezes ele será dado pela questão como foi aqui no enunciado ou por meio de tabelas. Veremos isso nas aulas 1 e 2.

¥ � 10000 � 1,1

¥ = 11.000

Gabarito: (C)


Se 2 capitais iguais forem aplicados, nessa instituição, a juros compostos de 0,95% ao mês e outro for aplicado a juros simples mensais e se os montantes, ao final de 12 meses, forem iguais, então a taxa de juros simples mensais terá sido inferior a 1,1%.

Solução:

A questão diz que os capitais são iguais. Então vamos chamar ambos de “C”. Teremos:

: � (1 + �)± = : �(1 + � � �)

Podemos cortar “C” dos dois lados.

(1 + �)± = (1 + � � �)

(1 + 0,0095)G� = (1 + � � 12)

O fator de acumulação (1,0095)12 foi dado e vale 1,12.

1,12 = 1 + � � 12

� = 0,01

� = 1% �� 'ê�

Como 1% é menor que 1,1%, a questão está CERTA. Gabarito: (C)




01. (CESPE – STM/Analista Judiciário/Contabilidade - 2011) Mateus comprou, por R$ 200.000,00, um terreno de 1.800 m², formado por cinco lotes, cujos preços de compra foram proporcionais às suas respectivas áreas: dois de 250 m², um de 350 m², um de 450 m² e um de 500 m². Dois meses depois, vendeu um dos lotes de 250 m² por R$ 40.000,00, o de 350 m² por R$ 50.000,00 e o de 450 m² por R$ 60.500,00. O terreno correspondente aos dois lotes restantes foi dividido entre os dois filhos de Mateus: João, de 21 anos de idade, e Pedro, de 24 anos de idade. A respeito dessa situação, julgue o item a seguir.

Se, na divisão do terreno, correspondente aos lotes não vendidos entre João e Pedro, a cada um dos filhos coube uma área de terreno proporcional à sua idade, então Pedro ficou com uma área de 400 m² de terreno.

02, 03 e 04 (CESPE – STF/Analista Judiciário/Área Administrativa/Contabilidade - 2008). Em um tribunal, há 210 processos para serem analisados pelos juízes A, B e C. Sabe-se que as quantidades de processos que serão analisados por cada um desses juízes são, respectivamente, números diretamente proporcionais aos números a, b e c. Sabe-se também que a + c = 14, que cabem ao juiz B 70 desses processos e que o juiz C deverá analisar 80 processos a mais que o juiz A. Com relação a essa situação, julgue os itens seguintes.

02. O juiz A deverá analisar mais de 35 processos.

03. b = 7.

04. c < 10.

05. (CESPE – ANAC/Analista Administrativo - 2009). (ADAPTADA) Acerca de grandezas proporcionais e de matemática financeira, julgue o item que segue.

Se um avião a uma velocidade média de 800 km por hora gasta 2 h 30 min entre os aeroportos A e B, então, para efetuar o mesmo percurso em exatamente 2 h, a velocidade média desse avião deverá ser de 960 km/h.

06. (CESPE – ANAC/Analista Administrativo - 2009). Acerca de grandezas proporcionais e de matemática financeira, julgue o item que segue.

Considerando que, no hangar de uma companhia de aviação, 20 empregados, trabalhando 9 horas por dia, façam a manutenção dos aviões em 6 dias, então, nessas mesmas condições, 12 empregados, trabalhando com a mesma

8. Lista de exercícios.




eficiência 5 horas por dia, farão a manutenção do mesmo número de aviões em menos de 2 semanas.

07. (CESPE – ANTAQ/Analista Administrativo/Ciências Contábeis - 2009). Acerca das questões básicas de matemática financeira, julgue o item seguinte.

Se 10 barcos, com capacidade de transportar 80 toneladas cada um, fazendo o percurso entre dois portos, à velocidade de 10 nós, durante 5 dias, podem transportar carga total de 1.000 toneladas, desprezando-se eventuais atrasos decorrentes da chegada e da partida dos portos, então, nas mesmas condições, 8 barcos precisarão ter uma capacidade acima de 65 toneladas para transportar, entre os mesmos portos, carga total de 900 toneladas, à velocidade de 12 nós, durante 6 dias.

08. (ESAF – RFB/ATRFB - 2009) Em um determinado período de tempo, o valor do dólar americano passou de R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período. Assim, com relação a esse período, pode-se afirmar que:

a) O dolar se desvalorizou 25% em relação ao real.

b) O real se valorizou 20% em relação ao dólar.

c) O real se valorizou 25% em relação ao dólar.

d) O real se desvalorizou 20% em relação ao dólar.

e) O real se desvalorizou 25% em relação ao dólar.

09. (FJG – Secretaria Municipal de Fazenda do Rio de Janeiro/Analista de Planejamento e Orçamento – 2011). Em uma operação financeira, comandada pelo regime dos juros simples, é possível afirmar que:

(A) os juros e o valor futuro são diretamente proporcionais

(B) os juros e o valor futuro são inversamente proporcionais

(C) juros não devidos e pagos são capitalizados

(D) juros devidos e não pagos não são capitalizados

(E) o valor futuro será dado pelo principal deduzido dos juros

10. (CESPE – TCU/Auditor Federal de Controle Externo/Área: Controle Externo/Especialidade: Auditoria Governamental - 2013) Considere que Fábio tenha depositado R$ 360,00 em 2 de fevereiro, em 2 de março e em 2 de abril, respectivamente. Se Fábio tivesse escolhido depositar esses valores, nas mesmas datas, em uma conta que remunera o capital a juros simples de 3% ao




mês, então o valor que constaria na conta, em 2 de maio, relativo a esses três depósitos, seria superior a R$ 1.140,00.

11. (FGV – SEFAZ/RJ - Auditor Fiscal da Receita Estadual –2009). Um investidor aplicou R$ 1.000,00 durante dois anos a uma taxa de 20% ao ano, juros compostos. Ao final desse período, esse investimento totalizava:

a) R$ 694,44.

b) R$ 1.400,00.

c) R$ 1.440,00.

d) R$ 1.514,12.

e) R$ 2.200,00.

12. (FGV –SEFAZ/RJ/Auditor Fiscal da Receita Estadual – 2007). Em um país, o Produto Interno Bruto (PIB) aumentou 6,0% em um ano, enquanto a população aumentou 2,0% no mesmo período. Então, pode-se dizer que a evolução do PIB per capita foi:

a) inferior a 2,0%.

b) igual a 2,0%.

c) entre 2,0% e 3,0%, excluindo os extremos.

d) igual a 3,0%.

e) superior a 3,0%.

13. (VUNESP – AFR/SP/Auditoria Fiscal - 2002) A passagem de ônibus teve um reajuste, passando de R$ 1,15 para R$ 1,40. O aumento em porcentagem foi de, aproximadamente:

a) 28%

b) 25%

c) 22%

d) 20%

e) 18%

14. (ESAF – CGU/TFC – 2001). O nível geral de preços em determinada região sofreu um aumento de 10% em 1999 e 8% em 2000. Qual foi o aumento total dos preços no biênio considerado?

a) 8%




b) 8,8%

c) 10,8%

d) 18%

e) 18,8%

15. (CESPE –SEFAZ/AL/ACA – 2002) Uma loja anunciou a venda de computadores como reproduzido na figura abaixo.

Com base nas informações constantes no anúncio, julgue o item que se segue.

O preço à vista é 20% menor que o preço a prazo.

16. (CESPE – PCF /Área 1 – 2002). No sistema de juros compostos, julgue o item que se segue.

Suponha que para uma mercadoria cujo custo de fabricação é de R$ 650,00, paga-se, sobre o preço de venda, 15% de impostos e 10% referente à propaganda. Para se obter um lucro de 10% sobre o preço de venda, essa mercadoria deverá ser vendida por mais de R$ 1.200,00.

17. (CESPE – MDIC/ACE – 2001) Texto-I

Presidente lança nova etapa do Programa Brasil Empreendedor (PBE)

Apoiado no tripé capacitação, apoio financeiro e assessoria empresarial, e reforçado agora com os incentivos à exportação, o PBE, no seu segundo ano, visa criar 600 mil postos de trabalho. Para isso, o governo federal vai pôr à disposição R$ 9 bilhões e 200 milhões para um universo de 1 milhão e 250 mil operações de crédito e capacitar 2 milhões e 600 mil potenciais empreendedores.

Capacitação − A primeira fase do PBE foi anunciada pelo presidente Fernando Henrique Cardoso em 5 de outubro de 1999. Até setembro de 2000, o PBE




capacitou 2 milhões e 800 mil pessoas interessadas em abrir seu próprio negócio, superando a meta de atender 2 milhões e 300 mil pretendentes. As operações de crédito somaram 1 milhão e 200 mil, número superior à meta de 1 milhão e 150 mil. Na sua primeira fase, o PBE pôs à disposição R$ 9 bilhões e 400 milhões para novos empreendimentos, ultrapassando em R$ 1 bilhão e 400 milhões a meta prevista, com operações no valor médio de R$ 8 mil.

MDIC em notícias. Ano II, n.º 12, nov./2000, p. 3 (com adaptações).

Texto-II

Um marceneiro foi beneficiado com um crédito de R$ 8.000,00 do PBE para abrir sua própria oficina. O orçamento necessário para o seu projeto era de R$ 12.000,00 e, para viabilizá-lo mais rapidamente, ele contraiu um empréstimo igual a esse último valor junto a um agente financeiro, a ser pago em três parcelas trimestrais de R$ 5.000,00, a primeira delas tendo vencimento 3 meses após o recebimento da quantia correspondente ao empréstimo. Considere que o crédito oriundo do PBE seja liberado somente um mês após o marceneiro ter recebido o empréstimo do agente financeiro.

Suponha que o marceneiro mencionado no texto II fabrique cadeiras e as exporte pelo valor unitário de 250 dólares norte-americanos e as venda por 300 reais a unidade no mercado brasileiro. Além disso, ele começou a receber o dinheiro proveniente dessas vendas um mês após ter contraído o empréstimo de R$ 12.000,00 para montar a sua oficina. Considere, ainda, que os custos totais do marceneiro sejam de 95% em cada unidade exportada e de 90% em cada unidade vendida no mercado interno. Supondo que US$ 1.00 seja equivalente a R$ 1,90 e que o marceneiro venda, a cada mês, 60 cadeiras no mercado externo e 40 no mercado interno, julgue o item que se segue.

O lucro, em reais, do marceneiro em cada unidade vendida no mercado interno é inferior ao lucro, em reais, obtido em cada unidade exportada.

18. (CESPE – ANATEL/AA/Contabilidade - 2004). Sabendo que determinada imobiliária cobra do proprietário de um imóvel uma comissão de 5% sobre o preço de venda deste, julgue o item a seguir.

Se a comissão da imobiliária pela venda de um imóvel foi de R$ 4.300,00, então o proprietário desse imóvel recebeu pela sua venda mais de R$ 80.000,00.

19. (CESPE – TJ/TRT6/Administrativa – 2002). Julgue o item seguinte.

Considere que a cesta básica tenha seu preço majorado a cada mês, de acordo com a inflação mensal. Se, em dois meses consecutivos, a inflação foi de 5% e 10%, então a cesta básica, nesse período, foi majorada em exatamente 15%.




20. (CESPE – AUFC/Controle Externo/Auditoria de Obras Públicas – 2009). Tomando 1,03 como valor aproximado para 1,340,1, julgue o item subsequente, relativo a cálculo de juros.

Se um capital de R$ 10.000,00 for aplicado pelo período de 1 ano à taxa de juros simples de 6% ao mês, então, ao término desse período, o montante existente nessa aplicação será superior a R$ 17.400,00.

21. (CESPE – TER/TJ/ES - Administrativa/Contabilidade – 2011). Com base nos conceitos e aplicações da matemática financeira, julgue o seguinte item.

Se uma pessoa investir determinada importância em um tipo de investimento cujo rendimento mensal é de 10% a juros compostos e, ao final de dois meses, o montante disponível for de R$ 121 mil, então a importância investida foi de R$ 96.800,00.

(CESPE – BACEN/Analista/Contábil-Financeira – 2000). Com base nas informações do texto, julgue os itens seguintes.

Cliente paga até 10,70% no cheque especial

Uma pesquisa mensal de taxas de juros bancários, feita entre 11 e 12 de janeiro de 2000 pela Fundação PROCON / SP, detectou que a maior taxa mensal do cheque especial chegou a 10,70%, nos bancos Real e Bandeirantes. No caso de empréstimo pessoal, a maior taxa atingiu os 5,50% ao mês, no Itaú e BCN. Nos quatorze bancos pesquisados, a taxa média mensal do cheque especial foi de 9,66% (inferior aos 9,69% de dezembro de 1999), enquanto a do empréstimo pessoal ficou nos 4,85% (em dezembro de 1999, ela foi de 4,98%).

No caso do cheque especial, verificou-se que a menor taxa de juros mensal foi praticada pela Caixa Econômica Federal e, quanto ao empréstimo pessoal, a pesquisa detectou que a menor taxa mensal (4,20%) foi praticada pelo BANESPA.

"Economia". In: Hoje em dia. 20/1/2000 (com adaptações).

22. Em janeiro de 2000, a taxa média mensal do empréstimo pessoal nos quatorze bancos pesquisados foi inferior a 98% da taxa correspondente no mês de dezembro de 1999.

23. Em relação ao empréstimo pessoal, para se elevar a taxa de juros mensal praticada pelo BANESPA de 4,20% para 5,20%, seria necessário aumentar a taxa praticada por esse banco por ocasião da pesquisa em mais de 20% de seu valor.




24. O Banco Bandeirantes teria de reduzir a sua taxa de juros mensal do cheque especial praticada por ocasião da pesquisa em mais de 10% de seu valor para que ela se igualasse à taxa média mensal do cheque especial nos quatorze bancos pesquisados.

25. A taxa de juros mensal do empréstimo pessoal do BANESPA precisaria ser aumentada em mais de 150% para igualar-se à taxa de juros mensal do cheque especial do Banco Real.

(CESPE – MPU/Analista de Orçamento – 2010). Em determinado órgão do Poder Executivo, foram alocados R$ 110.000,00 no orçamento para a aquisição de 1.000 cadeiras de escritório. Com a previsão de realização de um concurso para provimento de novas vagas, constatou-se a necessidade de compra de mais 300 cadeiras, além das 1.000 já previstas.

Com base nas informações da situação hipotética apresentada, julgue os itens a seguir.

26. Se o orçamento for reduzido para R$ 22.000,00, então, é correto afirmar que esse valor é 400% menor do que foi previamente alocado.

27. Se, na hora da compra das 1.000 cadeiras iniciais, um dos fornecedores oferecer uma cadeira a mais a cada três cadeiras adquiridas, então, é correto afirmar que essa proposta é equivalente à concessão de um desconto de 25%.

28. Para a aquisição das 300 unidades adicionais, a verba suplementar deverá ser de 35% do valor inicialmente alocado, desde que não haja mudança no preço das cadeiras.

29. Se houver aumento de 20% no preço para as 300 cadeiras adicionais, a verba suplementar para aquisição dessas cadeiras será igual a 36% do valor originalmente alocado para a aquisição das 1.000 cadeiras iniciais.

30. Caso seja oferecido um desconto de 10% sobre o valor das cadeiras adicionais, o preço unitário de cada uma delas será inferior a R$ 100,00.

31. (FGV - AFRE RJ – 2009). O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias, é de:




a) R$ 6.255,00.

b) R$ 5.500,00.

c) R$ 6.500,00.

d) R$ 4.855,00.

e) R$ 4.675,50.

32. (FGV - AFRE RJ – 2009). Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros simples de 5% ao mês durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao mês durante 2 meses, resultando em R$ 13.200,00. O valor do montante inicial era de:

a) R$ 18.500,00.

b) R$ 13.000,00.

c) R$ 12.330,00.

d) R$ 11.000,00.

e) R$ 10.000,00.


O montante obtido por um investimento de R$ 5.000,00, aplicado por 10 meses, nessa instituição, a juros simples mensais de 1,8% será superior a R$ 5.850,00.

34. (CESPE - PCF/Área 1 – 2004). Julgue o item que se segue.

O período que um capital deve ficar aplicado à taxa de juros simples de 8% ao mês para que o montante final obtido seja igual a 3 vezes o capital inicial é inferior a 26 meses.

35. (FGV – SEFAZ/RJ/AFRE – 2009). Para um principal de R$ 100.000,00, um indivíduo retirou o valor de R$ 150.000,00 ao final de 6 meses. A rentabilidade anual desse investimento, no regime de juros compostos, foi de:

a) 50%.

b) 125%.

c) 100%.

d) 5%.

e) 120%.




36. (FGV – SEFAZ/RJ/AFRE – 2009). Um investidor aplicou R$ 1.000,00 durante dois anos a uma taxa de 20% ao ano, juros compostos.

Ao final desse período, esse investimento totalizava:

a) R$ 694,44.

b) R$ 1.400,00.

c) R$ 1.440,00.

d) R$ 1.514,12.

e) R$ 2.200,00.

37. (FCC - TRF2/TJ/Administrativa – 2007). Um capital de R$ 400,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, à taxa de 36% ao ano. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos, à taxa de 3% ao mês, por um bimestre. O total de juros obtido nessas duas aplicações foi:

a) R$ 149,09

b) R$ 125,10

c) R$ 65,24

d) R$ 62,55

e) R$ 62,16

38. (CESPE – STM/ ANALISTA JUDICIÁRIO – ÁREA: APOIO ESPECIALIZADO – ESPECIALIDADE: CONTABILIDADE – CARGO 20 - 2010). Em economia, juro é a remuneração paga pelo tomador de um empréstimo junto ao detentor do capital emprestado pelo seu uso. O valor do juro é função crescente do tempo e do volume de capital em negociação, sendo a proporcionalidade direta a relação de uso mais comum entre essas grandezas. A constante de proporcionalidade, conhecida como taxa de juros, é influenciada por fatores como: inflação, inadimplência e o custo de oportunidade. A taxa de juros i que o tomador do empréstimo deve estar disposto a pagar em um período deve satisfazer à inequação:

� ≥ �1 + ��1 + <�1 − C − 1

em que a é a taxa de inflação, b é a taxa de inadimplência e c é o custo de oportunidade, por unidade de tempo, todos expressos em sua forma unitária.

Tendo como referência as informações acima, julgue os itens a seguir.

A diferença entre a remuneração de capital - devido a empréstimo, investimento etc. - nos regimes de juros simples e compostos dá-se pelo fato de que, no caso de juros compostos, o cálculo da remuneração por determinado período é feito




sobre o capital inicial acrescido dos rendimentos nos períodos anteriores, e, no caso de juros simples, a remuneração é calculada apenas sobre o capital inicial.

39. (FGV – SEFAZ/RJ/AFRE – 2008). A taxa de juros mensal, juros compostos, que faz com que um capital aumente de R$ 1.500 para R$ 1.653,75 em 2 meses é de:

a) 2%.

b) 5%.

c) 3%.

d) 10%.

e) 8%.

40. (CESPE – ABIN/ATI/Contabilidade – 2010). Considerando que determinado investidor tenha aplicado um capital em um banco que paga juros compostos mensais de 0,8%, e tomando 1,1 como o valor aproximado de 1,00812, julgue o item subsequente.

Se o investidor tivesse aplicado R$ 10.000,00, no referido banco, o montante da aplicação, ao final de 12 meses, seria superior a R$ 10.800,00.


Se 2 capitais iguais forem aplicados, nessa instituição, a juros compostos de 0,95% ao mês e outro for aplicado a juros simples mensais e se os montantes, ao final de 12 meses, forem iguais, então a taxa de juros simples mensais terá sido inferior a 1,1%.




1 C 9 D 17 E 25 C 33 C

2 E 10 C 18 C 26 E 34 C

3 C 11 C 19 E 27 C 35 B

4 E 12 E 20 E 28 E 36 C

5 E 13 D 21 E 29 C 37 D

6 E 14 E 22 C 30 C 38 C

7 E 15 E 23 C 31 A 39 B

8 C 16 E 24 E 32 E 40 C

41 C

9. Gabarito.



AULA 00 - ANEXO 1 - FRAÇÕES – pág. 1

AULA 00 - ANEXO 1 - FRAÇÕES

Pessoal, vamos lembrar aqui de algumas coisas importantes sobre operações com frações?

Soma de frações:

Grave isso: só se pode somar frações com denominadores iguais. Então, se os denominadores forem diferentes, você tem que:

1 - Tirar o MMC entre2 os denominadores. Este será o novo denominador das duas frações;

2 – Dividir o MMC por cada denominador antigo;

3 – Multiplicar o valor da divisão pelo respectivo numerador;

4 – Trocar o numerador por esse valor de multiplicação e trocar o denominador pelo MMC.

Gente, isso é uma receitinha de bolo. É decorar e sempre seguir ela.

Exemplo:

12 + 5

3

1 – MMC entre os denominadores “2” e “3”.

Praticamente, amigos, em vez de trabalhar com o MMC eu trabalho direto com a simples multiplicação entre os dois valores de denominador. Também pode e dá no mesmo. Então eu faço dois vezes três. Pronto: o número SEIS será meu novo denominador. Minhas novas frações terão, ambas, o número 6 embaixo.

2 x 3 = 6

12 + 5

3

2 Você pode escolher tirar o MMC ou simplesmente calcular o produto dos denominadores e usar este produto como seu novo denominador. Tanto faz. Eu, particularmente, costumo trabalhar com o produto.




2 - Dividir o MMC (ou a multiplicação dos denominadores, se formos fazer pela multiplicação) pelo valor dos antigos denominadores.

6/2 = 3

6/3 = 2

G� 3� 3

KD 2�

3 – Multiplico o resultado de cada divisão pelo respectivo numerador.

G� 3� +

KD 2�

3 x 1 = 3

2 x 5 = 10

4 – Troco os numeradores por esses produtos e os denominadores pelo MMC entre os denominadores (ou pela multiplicação dos denominadores, se eu tiver escolhido fazer pela multiplicação).

12 + 5

3 � 36 + 10

6

Agora sim, com as duas frações com mesmos denominadores, é só SOMAR OS NUMERADORES E REPETIR O DENOMINADOR (O DENOMINADOR NÃO SE SOMA!).

12 + 5

3 � 36 + 10

6 � 3 + 106 = 136

Então um meio mais cinco terços é o mesmo que treze sextos.

Multiplicação de frações:




Basta fazer numerador vezes numerador e denominador vezes denominador.

12 � 5

3

12 � 5

3 � 1 � 52 � 3 = 56

Logo um meio vezes cinco terços resulta em cinco sextos.

Multiplicação de fração por um número:

Às vezes vamos nos deparar com algo do tipo:

53 � 7

Neste caso, basta lembrar que todo número, se for dividido por 1, dá exatamente o próprio número. Então eu penso que 7 é a mesma coisa que 7 sobre 1 e faço o produto de frações que já vimos.

53 � 71 = 5 � 73 � 1 = 353

Ás vezes vamos ter algo do tipo:

25 � 15%

Será a mesma coisa. Vamos pensar que o número 15% é a mesma coisa que 15% dividido por 1.

25 � 15%1 = 2 � 15%5 � 1 = 30%5 = 6%

Divisão de frações:




Imagine que apareça algo do tipo:

1 2M5 3M

Aqui vamos seguir a seguinte receitinha de bolo.

1º) Repete a primeira fração;

2º) Troca o sinal de dividido que está entre as duas frações por vezes;

3º) Inverte a segunda fração (o numerador vira denominador e o denominador vira numerador);

4º) Faz a nova conta que passou a ser uma multiplicação.

G�KD

1º) Repete a primeira fração:

12

2º) Troca o sinal de dividir que está entre as duas frações por vezes:

12 �

3º) Inverte a segunda fração. Então 5/3 vira 3/5.

12 � 3

5

4º) Faz a nova conta que passou a ser uma multiplicação. Então numerador multiplica numerador e denominador multiplica denominador.

1 2M5 3M

� 12 � 3

5 � 1 � 32 � 5 = 310

Logo um meio dividido por cinco terços resulta em três décimos, ou, simplesmente, 0,3.



AULA 00 - ANEXO 2 - EXPOENTES – pág. 1

AULA 00 - ANEXO 2 - EXPOENTES

Queria aqui fazer uma breve explicação sobre a matemática envolvida no uso de expoentes. Gente, sabemos que:

8� � + 10 = 9 , ��ã� � = 9 − 10

Isso porque se 10 está sendo somado a “A”, então 10 passará para o outro lado da igualdade sendo subtraído.

Também sabemos que:

8� 10 � = 9 , ��ã� � = 910

Isso porque se 10 está multiplicando “A”, então 10 passará para o outro lado da igualdade dividindo tudo o que estiver do outro lado.

O que muita gente não sabe é o seguinte:

8� � = 9 ��ã� � = √9¹

Ou seja: se uma coisa é expoente de um lado, ela passa para o outro lado como uma raiz de tudo o que estiver do outro lado. No exemplo acima, podemos dizer que “A é igual à raiz sexta de B”. Veja os exemplos abaixo:

2� = 4 ∴ 2 = √4º ∴ 2 = 2 ¦ >(� é ;�!"�"��!�!

2D = 8 ∴ 2 = √8¼ ∴ 2 = 2 ¦ >(� é ;�!"�"��!�!

3D = 27 ∴ 3 = √27¼ ∴ 3 = 3 ¦ >(� é ;�!"�"��!�!

5D = 125 ∴ 5 = √125¼ ∴ 5 = 5 ¦ >(� é ;�!"�"��!�!

2½ = 16 ∴ 2 = √16¾ ∴ 2 = 2 ¦ >(� é ;�!"�"��!�!




Tínhamos a seguinte expressão em determinada etapa do exercício anterior:

1,15 � (1 + �)

Ora, agora já sabemos que o expoente “6” passará para o outro lado como uma raiz sexta. É por isso que tivemos:

·1,15¹ = 1 + �

Só mais um detalhe que pode pintar em alguma questão e que muita gente pode já não se lembrar. Vamos ver:

Sabemos que 2² é 4.

Mas quanto vale 4G �M ? Vamos ler como “quatro elevado a um meio”, tudo bem?

Ou quanto vale 27G DM ? Vamos ler como “vinte e sete elevado a um terço”.

É muito simples. Uma fração no expoente de um número é o mesmo que uma raiz. Então, elevar a ½ nada mais é do que tirar a raiz quadrada do número. Elevar a 1/3 nada mais é do que tirar a raiz cúbica do número.

Diante disso, teremos:

4G �M = √4º = 2

27G DM = √27¼ = 3

Você quer saber o porquê de eu estar explicando isso aqui? É pelo seguinte: às vezes os enunciados das questões podem dizer assim: “resolva o

problema dado que 10240,1 é igual a 2”.

Aí o candidato que não tiver visto um expoente em forma de fração vai ficar travado. Mas você não irá!! Você é um samurai e a gente vai treinar bastante juntos.

Nós sabemos que 0,1 é o mesmo que 1 sobre 10 (ou “um décimo”). Então, se você vir algo desse tipo, você vai pensar:




1024E,G é o mesmo que 1024G GEM .

Então digamos que você chegue em uma aplicação com tempo de 10 meses, taxa mensal desconhecida, montante 1024 e capital aplicado 1 real.

Você teria:

¥ � : (1 + �)±

1024 = 1 � (1 + �)GE 1024 = (1 + �)GE

Se o expoente é 10 de um lado, então ele passa para o outro lado como

raiz décima (ou como o expoente 1/10. Dá no mesmo).

1024G GEM = 1 + � 1024E,G = 1 + �

( �'C!��"� >(� � �!�C �'� ¿á "�� >(�� ;� � 1024E,G) 2 = 1 + �

� = 2 = 200% �� 'ê�

Seria a maior taxa de juros do mundo, eu sei. Rs! Mas foi só para ilustrar a matemática. Certo?

prof. guilherme corrêa - aula 00 · preparatória de cadetes do exército (espcex). foi um começo...

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