prof. drª marília brasil xavier · 21) 9 palitos de modo que não reste nenhum quadrado na...

Prof. Drª Marília Brasil Xavier

REITORA

Profª. Drª. Maria das Graças Silva

VICE-REITORA

Prof. Dr. Ruy Guilherme Castro de Almeida

PRÓ-REITOR DE ENSINO E GRADUAÇÃO

Profª. M.Sc. Maria José de Souza Cravo

DIRETORA DO CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

Prof. M.Sc. Antonio Sérgio Santos Oliveira

CHEFE DO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

Prof. M. Sc. Rubens Vilhena Fonseca

COORDENADOR DO CURSO DE MATEMÁTICA

COORDENADOR DO CURSO DE MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA

Atividades Complementares – Desafios

Geométricos com Palitos de Fósforo.

Rubens Vilhena Fonseca

Maria da Glória Costa Lima

BELÉM – PARÁ – BRASIL

- 2009 -

MATERIAL DIDÁTICO

ELABORAÇÃO DO CONTEÚDO

Rubens Vilhena Fonseca

COLABORAÇÃO

Maria da Glória Costa Lima

EDITORAÇÃO ELETRONICA

Odivaldo Teixeira Lopes

ARTE FINAL DA CAPA

Odivaldo Teixeira Lopes

REALIZAÇÃO

APRESENTAÇÃO.

A nossa preocupação em oferecer às crianças, jovens e adultos, independentemente de sua classe social, um passatempo economicamente acessível gerou esse livro. Nele são propostos 100 “problemas”, com soluções, que oferecem uma opção para jogos individuais e/ou coletivos e apresentam concomitantemente um recurso educacional pelos desafios que propõem. Por serem utilizados apenas palitos de fósforo, na sua resolução, o desafio poderá ser proposto em qualquer lugar, exigindo o mínimo recurso no ambiente no qual acontecerá. Esta será, certamente, uma brincadeira divertida para os que dela queiram fazer uso.

A maioria dos desafios apresentados exige, de quem os enfrenta, um mínimo de entendimento matemático, embora tenha todo um conhecimento científico sustentando suas proposições.

Além de uma simples opção de divertimento, os desafios que compõem esse livro podem ser um recurso didático para o professor ou, no mínimo, uma fonte de idéias para que ele pense em renovar as suas aulas, tornando-as mais divertidas e atraentes. Esta proposta seria viável desde o ensino fundamental onde o senso comum dos desafios enquanto brincadeira está mais presente e o lúdico é mais notório, até o ensino superior em disciplinas como a Lógica, por exemplo, devido à variedade de opções de conteúdos que podem ser desmembrados a partir desses desafios. Desse modo, o processo do desenvolvimento e da compreensão de conceitos matemáticos de forma mais significativa estaria sendo favorecido, possibilitando a aplicação em situações-problema contextualizadas e/ou interdisciplinares, conforme sugerem os PCNs, bem como se desenvolveria uma visão positiva em relação à Matemática, que é temida e “incompreensível” para muitos.

É consenso que os jogos estimulam o pensamento na construção do raciocínio lógico e reflexivo através das resoluções dos quebra-cabeças porque é uma das atividades que mais envolvem os alunos. “O que é Matemática senão a solução de quebra-cabeças? E o que é Ciência senão um esforço sistemático para obter respostas cada vez melhores para os quebra-cabeças impostos pela natureza”. (Martin Gardner,). Assim, de uma forma geral, os desafios que propomos nesse livro devem exercer uma grande atração sobre crianças, jovens e adultos permitindo, principalmente às crianças, a organização do pensamento lógico-abstrato necessário ao desenvolvimento das idéias matemáticas.

O jogo em geral é um elemento externo que atua internamente no sujeito, possibilitando-o a chegar a uma nova estrutura de pensamento. Colocar o aluno diante de situações de jogo pode ser uma boa estratégia para aproximá-lo dos conteúdos culturais a serem veiculados na escola como também estar promovendo o desenvolvimento de novas formações cognitivas.

Os desafios que esse livro propõe podem ser utilizados na sala de aula como motivadores para o estabelecimento de situações que levem o indivíduo a construir, identificar, diferenciar, reconhecer e comparar formas geométricas, visualizar figuras, analisar características das construções, conjecturar sobre relações entre os jogos, observar movimentos realizados no plano, as simetrias das formas, a conservação da forma após a realização de um movimento, etc. Podem ainda estimular, nessas ocasiões, habilidades de raciocínio como organização, atenção e concentração, tão necessárias ao aprendizado da Matemática bem como suscitar a curiosidade em relação a outros tipos de desafios uma vez que as figuras dos quadrados, triângulos e polígonos são muito estudadas.

Grande parte desses desafios é conhecida de longa data porém as construções e as observações pedagógicas direcionadas ao professor são de importância relevante porque acredito que se todos nós fôssemos apresentados aos jogos e desafios desde cedo, fazendo com que os mesmos estivessem em nossas vidas naturalmente possibilitaríamos, por esse meio, o desenvolvimento do raciocínio independente. Essa minha crença é reforçada por um relato feito por uma colega de trabalho que não teve a oportunidade de vivenciar vitórias ou fracassos que envolvem os desafios sente-se “atordoada” quando com eles se depara chegando a “desconfiar” do seu raciocínio lógico. Isso faz-nos ver que se

esconde em seu interior o medo enraizado das cobranças feitas por pais e/ou mestres rigorosos. Certamente eles não tiveram a visão pedagógica do lúdico como elemento de aprendizagem deixando essa lacuna, ainda hoje, não compreendida em sua formação.

Daí a importância de oferecer às crianças atividades dinâmicas, quer na escola ou em casa, que irão contribuir para a construção de sua personalidade com esse “jogo” de errar e acertar no qual o medo de errar será eliminado pela vontade de acertar. Assim, obviamente, a criança “acorda” para a beleza do pensar, do desenvolvimento da criatividade, do desafiar-se, do vencer, do construir estratégias, do agir livremente porém com objetividade, do concluir que a derrota é um indicativo para que suas estratégias sejam revistas já que desafiar e ser desafiado são experiências que estão presentes no nosso cotidiano, mesmo que inconscientemente e, sem as quais, o espírito humano deixa de manifestar-se livremente, como diz Leibniz “os jogos auxiliam a inteligência. Nos jogos o espírito humano se manifesta mais livremente. Seria desejável que existisse um curso inteiro de jogos tratados matematicamente”.

Todos os desafios presentes neste livro já foram experimentados por uma variedade de pessoas que abrange desde os alunos das séries iniciais do ensino fundamental, onde tenho colegas atuando, até com futuros professores de Matemática e de Formação de Professores para as séries inicias, com os quais trabalho. O feedback dado por eles muito contribuiu para termos a coragem de querer publicar este livro.

Enfim, acredito que o livro é um prazer em perfeita simbiose com o aprender em seus cem desafios, mais quatro, aqui apresentados.

CONSIDERAÇÕES E SUGESTÕES FINAIS

O livro foi dividido em seis partes assim classificadas: I-Quadrados; II-Retângulos, Triângulos e Losangos; III - Miscelânea; IV - Áreas; V - Igualdade e VI - Os Romanos. Os desafios foram agrupados por semelhança de tema para que possam ser apresentados de forma mais coerente, porém sem a obrigação de que sejam desfrutados em uma seqüência específica porque eles são independentes entre si. No final do livro são apresentadas as soluções. Esperamos, é óbvio, que o leitor apenas as consulte depois de ter se confrontado com os desafios por um período de tempo razoável. Assumimos, porém, que as soluções apresentadas podem não ser as únicas possíveis.

“Antes de iniciar a resolução dos desafios, leia as seguintes considerações que julgamos serem importantes”:

Você vai encontrar mais de 100 desafios que vão mexer com a sua imaginação.

Esses desafios se utilizam dos palitos de fósforo.

Procure uma superfície plana para dispor os palitos e arrume-os com cuidado, observando o número de peças que vão ser utilizadas e o seu tipo.

Alguns desafios são bem fáceis, outros “divertidos” e há os que exigirão um maior esforço. Não desanime! Tente mais um pouco! Dê-se a oportunidade de vencer, pela persistência em tentar resolver.

Prof. Rubens Vilhena Fonseca

Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

9

IMPORTANTE: Mover um palito de fósforo significa mudá-lo de posição sem

alterar o número total de palitos. Retirar um palito de fósforo significa que ele não fará parte da

resposta, portanto, ficará reduzido o número de palitos dados no enunciado do problema.

Acrescentar um palito de fósforo significa que o número total dado no enunciado será aumentado quando da resposta.

I. Quadrados

Observe a figura abaixo: Para formar os 5 quadrados que a compõem foram utilizados 12 palitos. Com imaginação e muita criatividade tente resolver os 6 primeiros desafios propostos.

Mova: 1) 3 palitos e forme 3 quadrados.

2) 4 palitos e forme 4 quadrados.


Retire: 4) 2 palitos e forme 2 quadrados.

5) 3 palitos e mova 2 para formar 3 quadrados.

6) 1 palito e mova 4 para formar 11 quadrados.

Nos desafios 7, 8,9,10 e 11 mova:



Departamento de Matemática, Estatística e Informática Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância

10

9) 3 palitos e forme 4 quadrados interligados.




11

Os desafios seguintes são sobre a figura abaixo.

Retire: 12) 4 palitos e forme 5 quadrados.

13) 5 palitos para formar 6 quadrados .

14) e 15) 6 palitos para formar 5 quadrados (duas soluções).

16) e 17) 8 palitos e forme 5 quadrados (duas soluções).


19) e 20) 8 palitos e forme 2 quadrados (duas soluções).


12

A figura abaixo possui vários quadrados, retire:

21) 9 palitos de modo que não reste nenhum quadrado na figura. 22) Na figura abaixo, retire 3 palitos e forme 3 quadrados.

A figura abaixo refere-se as questões 23 e 24

23) Retire 5 palitos e forme 3 quadrado.


13

24) Retire 6 palitos e forme 2 quadrados. 25) Na figura abaixo, retire 6 palitos e forme 6 quadrados.

26) Na figura abaixo, retire 4 palitos e forme 9 quadrados.


14

27) Na figura abaixo, retire 7 palitos e forme 4 quadrados.

Temos 6 palitos de fósforos. Dois estão quebrados ao meio. Use todos os palitos e forme:

28) 1 quadrado. 29) 2 quadrados. 30) 3 quadrados. 31) 4 quadrados.

Pegue palitos e construa a figura abaixo.


15

32) Retire, primeiramente, 2 palitos e forme 5 quadrados; 33) Da figura que você construiu acima, mova 2 palitos e forme 4 quadrados.

Nos desafios 34,35 e 36, observe as figuras e mova:




16

36) 4 palitos e forme um outro quadrado menor sem sobrepor os palitos.

Nos desafios 37 e 38 considere a figura abaixo e construa:

37) 4 quadrados movendo 3 palitos.

38) 8 quadrados de mesma área com 15 palitos. Não é permitido quebrar palitos.

Observe a figura abaixo e vença mais estes desafios, movendo:

39) 3 palitos e formando 3 quadrados.

40) 4 palitos e formando 3 quadrados.


17

II. Retângulos, Triângulos e Losangos.

41) Mova 3 palitos e forme 4 triângulos.

Observe a figura abaixo e resolva os desafios seguintes. Para isso, mova:

42) 4 palitos e forme 3 triângulos.





Retire: 47) 3 palitos e forme 3 triângulos interligados.


18

Resolva os desafios sobre a figura abaixo, movendo:

48) 6 palitos e formando 6 losangos. 49) 2 palitos e formando 6 triângulos.

50) Na figura abaixo mova 2 palitos e forme 6 triângulos.

51) Na figura abaixo retire 4 palitos e forme 4 triângulos.


19

52) Mova 1 palito e forme 4 retângulos.

53) Na figura, os quatro triângulos foram construídos usando-se 9 palitos. Retire três e

construa 4 triângulos novamente.

54) Mova 3 palitos e forme 8 triângulos.

55) Mova 4 palitos, na figura abaixo, de modo a obter 3 triângulos.


20

A figura abaixo foi construída com 13 palitos de fósforos. Tente resolver os desafios

56,57, 58 e 59, retirando:

56) 2 palitos de modo a ficarem 4 triângulos.




A figura abaixo deve ser utilizada para resolver os desafios 60 e 61 e dela se deve

retirar:

60) 4 palitos para obter 5 triângulos.

61) 6 palitos para que fiquem apenas 3 triângulos.


21

III- Miscelânea 62) O peixinho da figura está nadando para a esquerda. Mova 3 palitos para que ele nade no

sentido contrário.

63) F aça com que o “bichinho” abaixo olhe para a direita, movendo dois palitos.

64) Movendo 6 palitos nesses dois copinhos, forme uma casinha.


22

Tente colocar o gelo fora do copinho, sem mexê-lo do lugar, movendo:

65) 2 palitos. 66) 3 palitos.

67) O “pirulito” abaixo foi formado com palitos. Mova 4 palitos e forme 2 “pirulitos”.

Mova: 68) 2 palitos e dobre o valor do número abaixo.

69) 5 palitos e coloque a balança em equilíbrio.


23

70) 2 palitos e acrescente mais 1 para obter o tempo exato das 4 e meia.

71) 2 palitos e forme 4 polígonos de mesma forma.

72) Acrescente 3 palitos e obtenha 11.

73) Consiga o nome de outra nota musical com o mesmo número de palitos (desconsidere a falta do acento).


24

IV- ÁREAS

Nos desafios seguintes, considere cada palito com o comprimento de 1 cm

74) 14 palitos formam uma área de 12 cm2 . Mova 8 palitos de modo que a área passe a ter

8 cm2.

75) Adicione 2 palitos à figura de modo que a sua nova área seja o dobro da apresentada.

Nos desafios 76, 77 e 78, observe a figura e mova:

76) 5 palitos de forma a reduzir a área da figura pela metade.


25

77) 3 palitos de forma que a área da nova figura seja 5/9 da área original.

78) 3 palitos e reduza a área da figura em 2/3.

Nos desafios 79 e 80, 20 palitos estão divididos em 2 grupos A e B, A com 6 e B com 14.

Cada grupo forma um polígono fechado cuja medida da região interior do grupo B é o

triplo da medida da região interior do grupo A.

79) Divida esses 20 palitos em dois grupos de 13 e 7 palitos e forme polígonos fechados

cuja medida da região interior de um grupo também seja o triplo da medida da região interior do outro grupo.


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80) Desloque um palito do grupo B para o grupo A e forme dois novos polígonos com 15(B) e 7(A) palitos de modo que a medida da área de um seja também o triplo da medida da área do outro.

81) Acrescente 11 palitos ao quadrado abaixo de maneira que ele fique dividido em quatro

partes com a mesma área.

82) Divida o quadrado em duas regiões iguais utilizando os quatro palitos.


27

V. IGUALDADES

As igualdades dos desafios 83, 84, 85, 86, 87 e 88 como se pode ver estão incorretas

então, para torná-las verdadeiras, mova:

83) 1 palito.

84) 1 e retire 1.

85) 2 palitos.

Mova apenas 1 palito em cada um dos desafios 86, 87 e 88, de modo a tornar as igualdades

verdadeiras.

86)

87)


28

88)

VI – OS ROMANOS

Como se pode ver, a igualdade acima está incorreta. Para torná-la verdadeira, mova:

89) 1 palito.

90) 3 palitos (duas soluções).

Nos problemas abaixo, mova apenas um palito para que as igualdades fiquem corretas.

91)

92)

93)


29

94)

95)

96)

97)

98)

99)

100) Mova um palito e torne a igualdade verdadeira com aproximação de duas casas decimais exatas.


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EPÍLOGO

Nosso livro chegou ao fim e nosso desejo é que ele tenha sido um companheiro constante e divertido para você e todos ao seu redor.

Não poderíamos nos despedir sem parabenizá-lo pelo seu esforço em resolver os desafios aqui propostos. E como forma de incentivá-lo deixaremos 4 probleminhas extras para você se divertir.

Até a próxima, se Deus quiser.

Usando palitos forme os números 0, 2, 4, 5, 6, 7, 8 conforme se vê abaixo:

Nos desafios a seguir você deve dizer qual o número mínimo de palitos, e como eles devem ser movidos para conseguir o que se pede.

1) A partir de 25, escreva 52.




5) Quatro quadrados estão sendo formados por 16 palitos. Tente retirar 2 palitos,

movimentando 4 deles para obter ONZE.

6) Em baixo há 3 quadrados e 1 palito solto. Retire 2 palitos, movimente 1 e obtenha OITO.


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Uma Breve História do Fósforo

lguém já disse antes da invenção dos fósforos que fazer fogo não era nada fácil. Pode-se até dizer que era “fogo” mesmo. Embora a humanidade tenha aprendido a obter o fogo na última Era Glacial o registro dos métodos utilizados datam de 4000 a.C. A imagem de dois pedaços de madeira sendo friccionados a uma pedra (de

preferência o sílex e o quartzo duro), que é tão famosa, retrata a realidade de então. Durante muito tempo foi assim mesmo, friccionando-se pedaços de madeira e pedras é que se obteve o fogo.

Os “fósforos” tornaram-se conhecidos dos Chineses no século VI. Eram simples varinhas com enxofre que se acendiam em contato com a chama e entre 1669 e 1675 o alquimista alemão, de Hamburgo, Henning Brandt, descobriu o elemento fósforo e suas propriedades inflamáveis quando buscava transformar alguns metais em ouro. Usou para isso compostos que agregavam areia e até a urina do próprio pesquisador. Entretanto, só muito tempo depois, através de um longo processo de descobertas e experimentações é que se conseguiu chegar aos palitos de fósforo que conhecemos hoje.

No Ocidente as primeiras experiências ocorreram em 1680 quando o físico e químico inglês Robert Boyle, tentando encontrar um novo explosivo percebeu, por acaso, as propriedades explosivas do elemento químico “fósforo” quando observou que ao ter mexido suas misturas químicas com um palito ela secou, em forma de lágrima, que continha fósforo. E então para eliminá-la ele raspou contra a pedra do laboratório e viu arder fogo, nascendo naquele momento o fósforo de fricção.

Então, em 1845 a descoberta do fósforo amorfo por Anton Von Schrotte levou à fabricação de palitos de segurança onde apenas uma porção dos ingredientes para combustão encontrava-se na cabeça do palito. Já na superfície de atrito da caixinha de fósforos era passada uma camada de fósforo amorfo fazendo com que o palito só pegasse fogo após o atrito da sua cabeça nesta superfície. Fácil e seguro, pois do contrário, muita caixa de fósforos sairia explodindo por aí.

A cabeça do palito de fósforo é feita de uma massa química mas não contém fósforo nem pólvora como muita gente pensa. Esta massa contém um elemento químico chamado clorato de potássio que cede oxigênio facilmente. É na lixa da caixinha de fósforos que se encontra o elemento químico fósforo e a cabeça do palito quando risca a lixa retira dela um pouco de fósforo que reage com o clorato de potássio e o oxigênio. Assim, o fósforo acende e daí a origem do nome que deriva do grego e significa portador de luz.

A palavra fósforo é proveniente do grego phos, que significa luz e phoros, que significa transportador.

No dicionário Aurélio você encontra as seguintes definições: Fósforo: --1. Elemento de número atômico 15, não metálico, reativo, com diversos compostos importantes. (Símbolo: P. É um elemento luminoso na obscuridade, e que arde em contato com o ar.) 2. Palito provido de uma cabeça composta de corpos que se inflamam quando atritados com uma superfície áspera.

A idéia de uma pequena lasca de madeira impregnada de enxofre como maneira habitual de acender o fogo surgiu em 1800 e os primeiros fósforos foram comercializados em 1830 pelo químico inglês Jonh Walker, em Londres; chamou-lhes primeiro de fósforos “lucíferos”, mas como a palavra lembrava Lúcifer, príncipe dos demônios, as pessoas diziam que tudo aquilo fazia pensar no inferno, então, depois, chamo-os «fósforo de Prometeu» por ser a esta personagem mitológica a quem competia manter o fogo sagrado. Desde a descoberta do fogo (um dos maiores marcos do desenvolvimento da história da humanidade) o homem percebeu que dominá-lo seria fundamental para a segurança e evolução de sua espécie.

A


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RESOLUÇÃO

1)

2)

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7)

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Questões Extras

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4)

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prof. drª marília brasil xavier · 21) 9 palitos de modo que não reste nenhum quadrado na...

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