PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO

FORTIUM – Grupo Educacional

Faculdade Fortium Docente: Jeferson de Arruda E-mail: profjeferson_df@hotmail.com

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3.1 - PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA O estudo da propriedade distributiva pode ser resumido no estudo de três propriedades básicas. Para tanto, sejam Rdcba ∈,,, . Assim, temos que: Propriedade 1: cabacba ..).( +=+ Propriedade 2: cabaacb ..).( +=+ Propriedade 3: dbcbdacadcba ....)).(( +++=++ Logo abaixo, apresentaremos não a demonstração, mas a explicação de como utilizar corretamente cada uma dessas propriedades. Considerando as propriedades 1 e 2, para multiplicarmos um número pela diferença (ou soma) de outros dois, ou seja, calcularmos alguma coisa do tipo )52.(7 − , podemos utilizar a propriedade distributiva. Note que, neste exemplo poderíamos também resolver a multiplicação utilizando as regras de precedência como aprendemos nos primeiros capítulos. Para aplicarmos a propriedade distributiva, podemos utilizar como “apoio” para a solução às “famosas setinhas”, para tanto, devemos proceder da seguinte maneira: 1º passo: Devemos colocar setas “saindo” do número que se encontra multiplicando os parênteses (colchetes ou chaves) e “chegando” em cada um dos números que se encontram dentro dos parênteses, ou seja: 2º passo: Devemos multiplicar os números que se encontram no começo e no final de cada seta, respectivamente. Como toda multiplicação, devemos fazer o jogo de sinal. Assim, )52.(7 − =7.2+7.(-5)=14-35=-21 Como exemplo, vamos desenvolver o produto )3.(2 −− x . Seguindo os dois passos iniciais, temos: = 62)3.(2.2 +−=−−− xx Considerando a propriedade 3, para multiplicarmos uma diferença (ou soma) de dois números pela soma (ou diferença) de outros dois números, ou seja, calcularmos alguma coisa do tipo

)54).(23( +− , podemos utilizar a propriedade distributiva. Observe que este exemplo, também poderia ser resolvido pelas regras de precedência. Para aplicarmos a propriedade distributiva, podemos utilizar como “apoio” para a solução às “famosas setinhas”, para tanto, devemos proceder da seguinte maneira: 1º passo: Devemos colocar setas “saindo” de cada um dos números que se encontram no primeiro parentes (colchetes ou chaves) e “chegando” em todos os números que se encontram dentro do segundo parênteses, ou seja: 2º passo: Devemos multiplicar os números que se encontram no começo e no final de cada seta, respectivamente. Assim, 910815125.24.25.34.3)54).(23( =−−+=−−+=+−

)52.(7 −

)54).(23( +−

)3.(2 −− x

2

Como outro exemplo, vamos desenvolver o produto )3).(2( −+ xx . 6362)3.(.)3.(2.2 22 −−=−+−=−++−+= xxxxxxxxx Se utilizada corretamente, várias multiplicações podem ser simplificadas através da aplicação da propriedade distributiva. Como exemplo, vamos multiplicar 1279 por 7. Observe que, )9702001000(1279 +++= , assim,

7).9702001000(7.1279 +++= Logo, aplicando a propriedade 2, temos:

895363490140070007.97.707.2007.10007.1279 =+++=+++= Outro fato interessante é que sempre que desejamos realizar a multiplicação de um número par por 5, basta realizar uma divisão desse número por 2 e a seguir acrescentar zero no resultado. Por exemplo, vamos multiplicar 1278 por 5. Note que 1278 dividido por 2 é igual a 639, assim,

63905.1278 = Por outro lado, caso o número a ser multiplicado por 5 seja um número ímpar, basta escrevê-lo como um número par somado com uma unidade(o número par acrescentado de uma unidade deverá ser igual ao número original). A seguir, realizar a multiplicação. Como exemplo, vamos multiplicar 1279 por 5. Observe que 1279=1278+1, assim, 6395563905.15.12785.1279 =+=+= . 3.2 - OS PRODUTOS NOTÁVEIS Os produtos notáveis que mais se destacam na álgebra são: 2)( ba + , 2)( ba − , )).(( baba −+ ,

3)( ba + e 3)( ba − . Note que, aplicando a propriedade distributiva, temos: I) 22222 2)).(()( babababababababa ++=+++=++=+ , ou seja, 222 2)( bababa ++=+ . Assim, dizemos que o quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro número, mais duas vezes o primeiro número vezes o segundo número, mais o quadrado do segundo número. II) 22222 2)).(()( babababababababa +−=+−−=−−=− , ou seja, 222 2)( bababa +−=− . Assim, dizemos que o quadrado da diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro número, mais duas vezes o primeiro número (com o sinal desse número) vezes o segundo número(com o sinal desse número), mais o quadrado do segundo número. III) 2222)).(( babababababa −=−−+=−+ , ou seja, 22)).(( bababa −=−+ . Assim, dizemos que o produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro número menos o quadrado do segundo número. IV) =+++++=+++=++=+ 3222232223 22)).(2().()()( bababbabaababababababa

3223 33 babbaa +++= , ou seja, 32233 33)( babbaaba +++=+ . Assim, dizemos que o cubo da soma de dois números é igual ao cubo do primeiro número, mais três vezes o quadrado do primeiro número vezes o segundo, mais três vezes o primeiro número vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo número. V) =−++−−=−+−=−−=− 3222232223 22)).(2().()()( bababbabaababababababa

3223 33 babbaa −+−= , ou seja, 32233 33)( babbaaba −+−=− . Assim, dizemos que o cubo da diferença de dois números é igual ao cubo do primeiro número, menos três vezes o quadrado do

)3).(2( −+ xx

3

primeiro número vezes o segundo, mais três vezes o primeiro número vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo número. Em resumo: I) 222 2)( bababa ++=+ II) 222 2)( bababa +−=− III) 22)).(( bababa −=−+ IV) 32233 33)( babbaaba +++=+ V) 32233 33)( babbaaba −+−=− INTERESSANTE! Para desenvolvermos 4)( ba + , devemos: 1º passo: Colocar a e b elevado ao expoente 4 nas extremidades, assim:

4a ........................................... 4b

2º passo: Entre 4a e 4b , coloque os produtos ab n-1 vezes(n é número que está sobre o o parênteses), no nosso caso, 4-1=3 vezes.

4a +ab+ab+ab+ 4b

3º passo: Decrescer os expoentes de 4a até 1a e crescer os expoentes de 1b até 4b . 432234 babbabaa ++++

4º passo: Coloque o expoente (no nosso caso 4) como coeficiente do segundo termo. Para encontrarmos o valor do coeficiente do terceiro termo, devemos multiplicar o coeficiente do termo anterior àquele que estamos procurando o coeficiente (no nosso caso, o segundo termo, ou seja, 4) pelo valor pelo expoente do a do termo anterior àquele que estamos procurando e dividir o resultado desta multiplicação pelo número de termos anterior àquele que estamos buscando o coeficiente. Assim, 432234 ??4 babbabaa ++++ . Dessa forma, o valor do coeficiente do terceiro termo é

obtido, fazendo 623.4= . Dessa maneira, 432234 ?64 babbabaa ++++ . Para encontrar o valor do

coeficiente do quarto termo, basta fazermos 432.6= , onde 6 é o coeficiente do termo anterior

(terceiro termo) àquele que estamos procurando (quarto termo), 2 é o expoente do a do termo anterior (terceiro termo) àquele que estamos procurando (quarto termo) e 3 é o número de termos anterior ao termo para o qual estamos buscando o valor do seu coeficiente. Logo, ( ) 4322344 464 babbabaaba ++++=+ . Para desenvolvermos ( )5ba + , devemos: 1º passo: 5a ..................................... 5b 2º passo: 4a +ab+ab+ab+ab+ 4b 3º passo: 54322345 babbababaa +++++

4º passo: 54322345 510105 babbababaa +++++ , onde 24.510 = ,

33.1010 = e

42.105 = .

Logo, ( ) 543223455 510105 babbababaaba +++++=+ .

4

Quando ocorrer um sinal negativo entre os termos, para o desenvolvimento do binômio, basta considerar o sinal como parte do termo, conservando o sinal positivo no segundo passo. Como exemplo, vamos desenvolver ( )5yx − . Inicialmente, note que ( ) ( )( )55 yxyx −+=− , assim: 1º passo: 5x ..................................... ( )5y− 2º passo: 4x +x ( )y− +x ( )y− +x ( )y− +x ( )y− + ( )4y− 3º passo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )54322345 yyxyxyxyxx −+−+−+−+−+

4º passo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )54322345 510105 yyxyxyxyxx −+−+−+−+−+ , onde 24.510 = ,

33.1010 = e

42.105 = .

Logo, ( ) 543223455 510105 yxyyxyxyxxyx −+−+−=− . Outra maneira de desenvolvermos a potência de uma soma (ou diferença) é utilizando o teorema conhecido como teorema binomial, freqüentemente atribuído a Newton. Tal teorema diz que:

( ) ∑=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

n

k

kknn bakn

ba0

..

Onde, Rba ∈, , Nn∈ , ( )!!!

knkn

kn

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ e ( )( )( )( ) 1.2...4.3.2.1.! −−−−= nnnnnn .

Os coeficientes ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

são chamados coeficientes binomiais.

Como exemplo, vamos, novamente, desenvolver ( )5yx − . Inicialmente, note que

( ) ( )( )55 yxyx −+=− , assim, conforme a fórmula ( ) ∑=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

n

k

kknn bakn

ba0

.. , temos:

( )( )5yx −+ = ( )∑=

− −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5

0

5 ..5

k

kk yxk

=

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )555445335225115005 .55

.45

.35

.25

.15

.05

yxyxyxyxyxyx −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−−−−

ou ainda,

( )( ) =−+ 5yx ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5413223145 .1.55

.45

.35

.25

.15

1.05

yyxyxyxyxx −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

Por outro lado, sabendo que 1!1!0 == , note que,

( ) 1!5!5

!5.1!5

!05!0!5

05

===−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( ) 5!4!4.5

!4.1!5

!15!1!5

15

===−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( ) 10220

1.24.5

!24.5

!3!.2!3.4.5

!3!.2!5

!25!2!5

25

======−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( ) 10220

1.24.5

!24.5

!2!3!3.4.5

!2!.3!5

!35!3!5

35

======−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

5

( ) 515

!1!4!4.5

!1!.4!5

!45!4!5

45

====−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( ) 1!5!5

1!.5!5

!0!.5!5

!55!5!5

55

====−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Como,

( )( ) =−+ 5yx ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5413223145 .1.55

.45

.35

.25

.15

1.05

yyxyxyxyxx −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛,

105

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, 5

15

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, 10

25

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, 10

35

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, 5

45

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ e 1

55

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, temos,

( )( ) =−+ 5yx ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5413223145 .1.1..5..10..10..51..1 yyxyxyxyxx −+−+−+−+−+ , dessa forma,

calculando as potências e realizando as multiplicações, temos: ( )( ) =−+ 5yx 54322345 510105 yxyyxyxyxx −+−+− , ou ainda,

( ) 543223455 510105 yxyyxyxyxxyx −+−+−=− 3.3 - FATORAÇÃO A fatoração consiste em transformar uma soma ou diferença em produto. Nesta seção, apresentaremos seis processos de fatoração, a saber: Evidenciação, Agrupamento, Diferença entre dois quadrados, Fatoração da soma ou diferença entre dois cubos, Trinômio quadrado perfeito e Fatoração por artifício. 3.3.1 – Evidenciação (1º caso) É o processo de separar os termos comuns e de menor expoente. Como exemplo, vamos fatorar 465432 32 xaxaxa −+ . Observe que os elementos comuns são “a” e “x”, onde os menores expoentes são 2 e 3, respectivamente. Assim, basta colocá-los em evidência e a seguir dividir cada termo por 32 xa . Note que:

132

32

=xaxa 22

32

54

22 xaxaxa

= xaxa

xa 432

46

33−=

−

Logo, =−+ 465432 32 xaxaxa ( )xaxaxa 42232 321 −+

Como segundo exemplo, vamos fatorar 465432 30612 xaxaxa −+ Quando ocorrer a presença de coeficientes inteiros (diferente de 1) nos termos, devemos inicialmente, fatorar todos os coeficientes. Assim,

4654322465432 .5.3.23.2.3.230612 xaxaxaxaxaxa −+=−+ A seguir, devemos encontrar os elementos comuns com os menores coeficientes. Nesse caso, “2”, “3” “a” e “x”, sendo os menores coeficientes iguais a 1,1,2 e 3, respectivamente. Dessa forma, basta colocá-los em evidência e a seguir dividir todos os termos por 323.2 xa . Observe que,

6

23.2

.3.232

322

=xaxa 22

32

54

3.23.2 xa

xaxa

= xaxa

xa 432

46

53.2

.5.3.2−=

−

Logo,

=−+ 465432 30612 xaxaxa ( )xaxaxa 42232 523.2 −+ , ou ainda, =−+ 465432 30612 xaxaxa ( )xaxaxa 42232 526 −+

Uma forma alternativa para a utilização do método de fatoração chamado Evidenciação, pode ser obtida, encontrando inicialmente o Maior Divisor Comum entre os coeficientes. Assim, considerando como exemplo a expressão 465432 30612 xaxaxa −+ , devemos encontrar o MDC entre os valores 12, 6 e 30. O processo de cálculo do MDC é semelhante ao processo utilizado para calcular o MMC, a diferença é que estaremos procurando valores que dividam ao mesmo tempo todos os fatores. Desse modo, temos,

63.232

5,1,215,3,6

30,6,12

=

Logo, 6)30,6,12( =MDC . Depois de encontrarmos o MDC entre os coeficientes da expressão 465432 30612 xaxaxa −+ , devemos observar quais são as “letras” com o menor expoente que aparece em todos os termos. Como podemos notar, os valores não numéricos comuns são 32 xa . Dessa forma, o valor comum em todos os termos é o produto do MDC por 32 xa , ou seja, 326 xa . A próxima etapa é semelhante àquela vista anteriormente, ou seja, devemos dividir cada uma dos termos por 326 xa . Assim,

26

1232

32

=xaxa 22

32

54

66 xa

xaxa

= xaxa

xa 432

46

5630

−=−

Logo,

465432 30612 xaxaxa −+ = ( )xaxaxa 42232 526 −+ 3.3.2 - Agrupamento (2º Caso) Este método consiste em colocar os termos comuns em evidência parcialmente, isto é, entre os termos, localizamos aqueles que possuem termos comuns e então, aplicamos o processo de fatoração chamado Evidenciação. Como exemplo, vamos fatorar byaybxax +++ . Note que, os dois primeiros termos, têm um elemento em comum “x”. Já os dois últimos têm em comum o elemento “y”. Assim, aplicando o primeiro caso de fatoração em blocos (os dois primeiros termos e os dois últimos termos), temos: ( ) ( )baybax +++ . Note agora, que o termo ( )ba + é comum, assim, colocando-o em evidência,

temos: ( )( )bayx ++ . .

7

3.3.3 - Diferença entre dois quadrados (3º Caso) Como o próprio nome diz, para utilização desse método devemos ter um termo positivo e outro negativo. Como exemplo, vamos fatorar 22 ba − . 1º passo: devemos encontrar a raiz quadrada de cada um dos termos(desprezando o sinal), assim:

aa =2 e bb =2 2º passo: Identificar o termo que possui sinal negativo(no nosso caso o segundo termo, 2b ) e escrever um produto da soma pela diferença das duas raízes encontradas, sendo que a variação de sinal deverá ocorrer na raiz do termo negativo( no nosso caso, b). Assim:

( )( )baba −+ . Logo, =− 22 ba ( )( )baba −+ . Fatoremos agora, 22 425 yx +− 1º passo: xx 525 2 = e yy 24 2 = 2º passo: ( )( )yxyx 25.25 +−+ Logo, =+− 22 425 yx ( )( )yxyx 25.25 +−+ Como último exemplo, pergunta-se: Qual o valor de 22 20062007 − ? Se observarmos atentamente, podemos notar que temos uma diferença entre dois quadrados, assim: 1º passo: 200720072 = e 200620062 = 2º passo: ( )( ) =−+ 20062007.20062007 40131.4013 = Logo, =− 22 20062007 ( )( ) 401320062007.20062007 =−+ , ou seja, =− 22 20062007 4013. 3.3.4 - Fatoração da soma ou diferença entre dois cubos (4º Caso) Para fatorar uma soma ou diferença entre dois cubos, como por exemplo, 33 ba − ,devemos: 1º passo: Calcular a raiz cúbica de cada um dos termos. Assim, conforme nosso exemplo, aa =3 3

e bb =3 3 . 2º passo: Observar o sinal dos termos, caso os dois sejam positivos devemos considerar o sinal (+), porém, caso um deles seja negativo, devemos considerar o sinal (-). No exemplo acima, devemos considerar o sinal negativo (-). 3º passo: Se o sinal obtido no segundo passo for negativo (nosso exemplo), escrever o produto da diferença (o sinal negativo deve acompanhar a raiz cúbica do termo negativo) entre a raiz cúbica de cada um dos dois termos pela soma do quadrado da raiz cúbica do primeiro termo com o produto da raiz cúbica do primeiro termo pela raiz cúbica do segundo com o quadrado da raiz cúbica do segundo termo, ou seja, considerando uma diferença do tipo, 33 ba − , teremos

)).(( 22 bababa ++− . Assim, 33 ba − = )).(( 22 bababa ++− . Por outro lado, se o sinal obtido no segundo passo for positivo, escrever o produto da soma entre a raiz cúbica de cada um dos dois termos pelo trinômio constituído pelo valor positivo do quadrado da raiz cúbica do primeiro termo com o valor negativo do produto da raiz cúbica do primeiro termo

8

pela raiz cúbica do segundo com o valor positivo do quadrado da raiz cúbica do segundo termo, ou seja, considerando uma soma do tipo, 33 ba + , teremos )).(( 22 bababa +−+ . Assim,

33 ba + = )).(( 22 bababa +−+ . Logo, 33 ba − = )).(( 22 bababa ++− . Exemplos: a) Fatorar 33 yx + 1º passo: xx =3 3 e yy =3 3 2º passo: Os dois termos têm sinal positivo. 3º passo: )).(( 22 yxyxyx +−+ Logo, 33 yx + = )).(( 22 yxyxyx +−+ .

B) Fatorar 33

278yx

−

1º passo: 28

33 xx= e

3273

3 yy=

2º passo: O segundo termo tem sinal negativo e o segundo tem sinal positivo.

3º passo: ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

22

33.

22.

32yyxxyx , ou ainda, ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

22

964.

32yxyxyx

Logo, 33

278yx

− = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

22

964.

32yxyxyx .

Caso os dois termos forem negativos, ou seja, se desejarmos fatorar 33 yx −− , basta, inicialmente, colocar o sinal negativo em evidência, dessa forma teremos, 33 yx −− = ( )33 yx +− . A seguir, aplicar as propriedades aprendidas anteriormente. Logo, 33 yx −− = )).(( 22 yxyxyx +−+− . 3.3.5 - Trinômio do quadrado perfeito (5º Caso) O que caracteriza um trinômio do quadrado perfeito é que ele possui três termos e os termos extremos possuem raízes e o termo do meio é igual(com exceção do sinal) ao dobro do produto das duas raízes encontradas. A seguir, basta escrever o trinômio como quadrado da soma ou diferença (o que irá decidir entre a soma e a diferença será o sinal do termo do meio) Exemplos: a) =++ 962 xx Solução: 1º passo: xx =2 e 39 = 2º passo: (CONFERINDO) 2. xx 63. = 3º passo: (temo do meio positivo) ( )23+x Logo, =++ 962 xx ( )23+x

9

b) =+− 484 2 xx Solução: 1º passo: xx 24 2 = e 24 = 2º passo: (CONFERINDO) 2. xx 82.2 = 3º passo: (temo do meio negaitivo) ( )222 −x Logo, =+− 484 2 xx ( )222 −x

c) =+− 2342 25541 babba

Solução:

1º passo: 242

21

41 abba = e bb 525 2 =

2º passo: (CONFERINDO) 2. 32 55.21 abbab =

3º passo: (temo do meio negaitivo) 2

2 521

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − bab

Logo, =+− 2342 25541 babba

22 5

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − bab

3.4.6 – Fatoração por artifício(6º Caso) A Fatoração por artifício consiste em somarmos e subtrairmos um mesmo valor à expressão inicial de modo que possamos conseguir termos que possam ser fatorados por algum dos métodos conhecidos. Como exemplo, vamos fatorar a expressão 652 +− xx . Inicialmente, devemos verificar se o trinômio 652 +− xx não é um Trinômio Quadrado Perfeito, o que, conforme a seção 3.4.5, poder ser feito facilmente. Lembrando que, ( ) 963 22 +−=− xxx , nós iremos reescrever o trinômio 652 +− xx . Observe que,

652 +− xx = 33652 +−+−+− xxxx , por outro lado, 33652 +−+−+− xxxx = 3962 −++− xxx .

Como ( ) 963 22 +−=− xxx e 652 +− xx = 3962 −++− xxx , temos que, 652 +− xx = ( ) ( )33 2 −+− xx

Conforme a seção 3.3.2, sabemos que ( ) ( ) ( ) ( )[ ]13.333 2 +−−=−+− xxxx , ou ainda, ( ) ( ) ( )( )2.333 2 −−=−+− xxxx . Assim, sendo 652 +− xx = ( ) ( )33 2 −+− xx e ( ) ( ) ( )( )2.333 2 −−=−+− xxxx , temos que,

652 +− xx = ( )( )2.3 −− xx . Como segundo exemplo, vamos fatorar 63 +− xx . Para a fatoração deste trinômio, devemos utilizar o artifício de somar e subtrair 2. Assim,

63 +− xx = 2263 −++− xx , ou ainda, 63 +− xx = 283 −−+ xx , ou mesmo,

63 +− xx = )2(233 +−+ xx . Conforme a seção 3.3.4, sabemos que )42).(2(2 233 +−+=+ xxxx . Como 63 +− xx = )2(233 +−+ xx e )42).(2(2 233 +−+=+ xxxx , temos que,

10

63 +− xx = )2()42).(2( 2 +−+−+ xxxx , ou ainda, 63 +− xx = [ ]1)42().2( 2 −+−+ xxx , ou mesmo,

63 +− xx = )32).(2( 2 +−+ xxx Para aplicação deste método de fatoração não temos uma regra, contudo, sua utilização pode ser muito útil em diversas situações. 3.4.7 – Aplicação simultânea de vários métodos de fatoração Muitas vezes precisamos utilizar mais de um caso de fatoração, para que assim, possamos obter sucesso na fatoração de alguns polinômios. Vejamos alguns exemplos: a) =− 22 ayax Aplicando evidenciação, temos:

=− 22 ayax ( )22 yxa − . Aplicando a diferença entre dois quadrados, temos:

=− 22 ayax ( )22 yxa − ( )( )yxyxa −+= .. Assim, =− 22 ayax ( )( )yxyxa −+ .. . b) =−++ 92 22 aaxx Aplicando trinômio do quadrado perfeito nos três primeiros termos, temos:

=−++ 92 22 aaxx ( ) 92 −+ ax Aplicando a diferença entre dois quadrados, temos:

=−++ 92 22 aaxx ( ) ( )[ ] ( )[ ]3.392 −+++=−+ axaxax Assim, =−++ 92 22 aaxx ( )( )3.3 −+++ axax c) ( ) ( ) =+−++ 322 425 baxbabaxy Aplicando trinômio do quadrado perfeito dentro do primeiro parênteses, temos:

( ) ( ) =+−++ 322 425 baxbabaxy ( ) ( )32 45 baxbaxy +−+ Aplicando evidenciação, temos:

( ) ( ) =+−++ 322 425 baxbabaxy ( ) ( )32 45 baxbaxy +−+ ( ) ( )[ ]baybax +−+= 452 Assim, ( ) ( ) =+−++ 322 425 baxbabaxy ( ) ( )baybax 4452 −−+ d) =+−− byby 22 Aplicando a diferença entre dois quadrados nos dois primeiros termos, temos:

=+−− byby 22 ( )( ) bybyby +−−+ . Colocando em evidência o sinal negativo dos últimos dois termos, temos:

=+−− byby 22 ( )( ) bybyby +−−+ . ( )( ) ( )bybyby −−−+= . Aplicando evidenciação, temos:

=+−− byby 22 ( )( ) ( )bybyby −−−+ . ( ) ( )[ ]1. −+−= byby Assim, =+−− byby 22 ( )( )1. −+−= byby .

11

3.3 – EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Muitas vezes, para resolvermos algumas equações algébricas será necessário utilizarmos todas as teorias apresentadas neste capítulo e, às vezes, dependendo da equação, será necessário acrescentar novas teorias. Iniciaremos o nosso estudo sobre as Equações Algébricas resolvendo uma equação, ou seja, buscando os valores para variável x que é satisfazem a equação. Para tanto, considere a equação,

365

12432

23

=+−+−−

xxxxx

Inicialmente, uma das alternativas de solução é tentar fatorar os polinômios. Assim, aplicando o Agrupamento (no polinômio que está sendo dividido) e a Fatoração por artifício (no polinômio que está dividindo), temos:

33365

)3(4)3(2

2

=+−+−+−

−−−xxxxxxx , ou ainda,

3)3(96

)3).(4(2

2

=−++−

−−xxx

xx , ou mesmo,

3)3()3(

)3).(4(2

2

=−+−−−

xxxx , assim, temos

3)2).(3()3).(4( 2

=−−−−

xxxx

Neste momento, é possível simplificarmos a equação, donde teremos:

3242

=−−

xx

Observe que, 42 −x pode ser fatorado através da Diferença entre dois quadrados, assim, temos

32

)2)(2(=

−+−

xxx , ou ainda,

32 =+x , donde, 1=x .

Portanto, a solução da equação 365

12432

23

=+−+−−

xxxxx , ou, em outras palavras, o valor de x que

satisfaz (que torna a equação verdadeira) é igual a 1.

Outro caminho para resolvermos a equação 365

12432

23

=+−+−−

xxxxx é utilizarmos a Divisão de

Polinômios.

Para realizarmos a Divisão de Polinômios, ou seja, a divisão )()(

xSxP onde )(xP e )(xS são

polinômios e )(xS é um polinômio não-nulo, devemos, inicialmente, encontrarmos valores que são, ao mesmo tempo, raízes de )(xP e )(xS , ou seja, valores r, tais que, 0)( =rP e 0)( =rS . Considerando 1243)( 23 +−−= xxxxP e 65)( 2 +−= xxxS , podemos notar que os valores 2 e 3 são raízes dos polinômios )(xP e )(xS , pois 0)2( =P , 0)2( =S , 0)3( =P e 0)3( =S . Dessa maneira, o polinômio )3).(2()( −−= xxxD , ou ainda, 65)( 2 +−= xxxD é divisor dos polinômios )(xP e )(xS . Uma vez identificado um divisor comum entre os dois polinômios, podemos realizar tal divisão. Como )()( xSxD = , podemos realizar a divisão direta entre )(xP e

)(xS .

12

Inicialmente, devemos colocar os polinômios que serão divididos em uma chave de divisão, onde )(xP é o dividendo, )(xD é o divisor, )(xQ será o quociente da divisão e )(xR será o resto. Assim,

Colocando os valores na chave, temos Uma vez que os valores encontram-se na chave, devemos, inicialmente, procurar um valor que multiplicado por 2x seja igual do termo com maior expoente (no nosso caso, 3x ) que se encontra no polinômio que é o dividendo. Como podemos notar, ao multiplicarmos x por 2x , teremos como resposta 3x . Logo, o primeiro termo do polinômio que representará o quociente da divisão é x . Assim, A seguir, devemos multiplicar o valor que colocamos como um dos termos do quociente da divisão por todos os termos presentes no divisor, subtraindo a resposta do dividendo. Dessa forma,

Observando a divisão, podemos notar que o resto, até o momento, é igual a 12102 2 +− xx . Dessa maneira, de modo semelhante, devemos procurar um valor que, multiplicado por 2x , seja igual a

22x , subtraindo a resposta do resto 12102 2 +− xx . Como valor procurado é 2, temos Como o resto é zero, o resultado da divisão de )(xP por )(xS é igual ao quociente da divisão, ou seja, 2+x .

Como )()(

651243

2

23

xSxP

xxxxx

=+−+−− e 2)(

)()(

+== xxQxSxP , temos que 2

651243

2

23

+=+−+−− x

xxxxx . Por

outro lado, como 265

12432

23

+=+−+−− x

xxxxx , para resolver a equação 3

651243

2

23

=+−+−−

xxxxx , basta

resolver 32 =+x , donde 1=x .

Portanto, a solução da equação 365

12432

23

=+−+−−

xxxxx é 1=x .

Como segundo exemplo, vamos resolver a equação no conjunto dos números racionais, ou em outras palavras, vamos encontrar as raízes racionais da equação 0146 23 =+−+ xxx . Sabemos que, para uma equação do terceiro grau não há uma fórmula única para a solução, porém, em equações do primeiro e segundo grau há formulas para solução das equações. Assim, nosso objetivo aqui, será fatorar o polinômio 0146 23 =+−+ xxx até que este se transforme no produto de um polinômio do primeiro grau por um polinômio do segundo grau. Se nós encontrarmos uma das raízes do polinômio, podemos utilizar a divisão de polinômios para obtermos a fatoração. Para tanto, utilizaremos uma definição e um teorema que serão enunciados abaixo.

)()()()(

xQxRxDxP

651243 223 +−+−− xxxxx

xxxxxx 651243 223 +−+−−

x12102 2 +− xx

652 +− xx1243 23 +−− xxxxxx 65 23 −+−

2+x12102 2 +− xx

652 +− xx1243 23 +−− xxxxxx 65 23 −+−

12102 2 −+− xx0

13

Definição 1: Chamaremos de equação polinomial com coeficientes inteiros na variável x, a toda equação que possa ser escrita da forma,

0012

23

32

21

1 =+++++++ −−

−− axaxaxaxaxaxa n

nn

nn

n K , Onde, 012321 ,,,,,,, aaaaaaa nnn K−− são números inteiros. Os valores 012321 ,,,,,,, aaaaaaa nnn K−− são os coeficientes de tal polinômio.

Teorema 1: (Teorema das raízes racionais) Se o número racional qp , com p e q, primos entre si

( 1),( =qpmmc ) é uma raiz da equação polinomial de coeficientes inteiros, 001

22

33

22

11 =+++++++ −

−−

− axaxaxaxaxaxa nn

nn

nn K

então p é divisor de 0a e q é divisor de na . Como o nosso objetivo é encontrar pelo menos uma das raízes racionais da equação

0146 23 =+−+ xxx , o Teorema 1 é de grande valor, pois o teorema, apesar de não garantir a existência de raízes racionais, nos diz que, se houver raízes racionais tais raízes satisfazem o teorema. Assim, para verificar se há raízes racionais basta encontrarmos todos os divisores de na (no nosso caso, 63 == aan ) e 0a ( no nosso caos, 10 =a ) e analisarmos todas as possibilidades de formar números racionais onde { }1,1)1()( 0 −==∈ DaDp e

{ }6,6,3,3,2,2,1,1)6()()( 3 −−−−===∈ DaDaDq n .

Analisando todas as possibilidades, temos que ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−−−∈

61,

61,

31,

31,

21,

21,1,1

qp , ou seja, se o

polinômio 0146 23 =+−+ xxx possuir raízes racionais, tais raízes pertencem ao conjunto

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−−−

61,

61,

31,

31,

21,

21,1,1 .

Para identificarmos as raízes racionais, devemos substituir x da equação 0146 23 =+−+ xxx por

cada um dos valores do conjunto ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−−−

61,

61,

31,

31,

21,

21,1,1 e verificarmos a resposta.

Note que, 1−=x satisfaz a equação, pois, 0146 23 =+−+ xxx

( ) ( ) ( ) 011.411.6 23 =+−−−+− , ou ainda, 01416 =+++− , ou seja,

00 =

Se o leitor desejar, verificar quais dos valores do conjunto acima satisfaz a equação 0146 23 =+−+ xxx .

Por outro lado, considerando a proposta feita antes de enunciarmos a Definição 1 e o Teorema 1 para a solução da equação 0146 23 =+−+ xxx , iremos utilizar a divisão de polinômios para fatorar a equação. Como -1 é uma raiz da equação 0146 23 =+−+ xxx , o binômio 1+x , divide o polinômio 146 23 +−+ xxx . Vejamos:

156 2 +− xx145 2 +−− xx

1+x146 23 +−+ xxx23 66 xx −−

xx 55 2 +

0

1+x1−− x

14

Assim, ( )( )156.1146 223 +−+=+−+ xxxxxx . Neste momento, utilizando a fórmula de Bákara,

podemos encontrar as duas raízes da equação 0156 2 =+− xx , ou seja, 31 e

21 . Desse modo,

( )( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=+−+=+−+

21.

31.1156.1146 223 xxxxxxxxx , ou seja,

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=+−+

21.

31.1146 23 xxxxxx .

Como ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=+−+

21.

31.1146 23 xxxxxx e procuramos a solução da equação

0146 23 =+−+ xxx , basta encontrar os valores que satisfazem a equação

( ) 021.

31.1 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ xxx , ou seja, 1,

31 e

21 .

Portanto, as raízes racionais da equação 0146 23 =+−+ xxx são 1, 31 e

21 .

“Todos nós queremos e até sonhamos com a vida melhor, mas são poucos que acordam cedo para conquistá-la.”

Autor desconhecido

15

EXERCÍCIOS 1) Desenvolva:

a) =− )54.(3 b) =+− 5).32( c) =+−− )32.(2 d) =+ )3.(2 x e) =−+− )75).(32( f) =−+− )5).(2( xx

g) =+− )1).(1( xx h) =++ )3).(3( xx i) [ ] =+++ )2.()2).(2( xxx j) =−−− )1)(1).(1( xxx

k) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

531.

42xyx

l) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − zyxxm

3.

2

m) ( ) =+ 22x n) ( ) =− 33x

2) Fatorar:

a) =+ xx 2 b) =+ 22x c) =+ 255x d) =− aax 2 e) =+ ax 210 f) =+ xx 525 2 g) =− 22012 xx h) =+1510x i) =+ xx 108 2 j) =−− xx 23

k) =−− 23212 xx l) =+++ 632 xaax m) =−+− 933 xaax n) =−+− 22xaax o) =− 42x p) =− 29 x q) =− 254 2x r) =− 236100 x s) =++ 122 xx

t) =+− 962 xx u) =+− 9124 2 xx v) =+− 169 2 xx x) =+− 122 xx y1) =−83x y2) =+ 33 ax w) =−−− 1243 23 xxx z) =+− 232 xx

3) Simplifique:

a) =217x

b) =xx

24 2

c) =2

3

93.12x

x

d) =+2

210 ax

e) =+−

xx

39 2

f) =+

++1

122

xxx

g) =+−

−12

12 xx

x

h) =−

−+−62

933x

xaax

i) ( )( )

=−−

2

4

22

xx

j) ( )( ) ( )

=−−

−32.32

322

4

xxx

k) =−−++−−

8888

34

235

xxxxxx

l)(*) =−−−+−−

1222483

23

34

xxxxxx

m)(*) 262

252

23

+−+−−

xxxxx

4) Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio )(xP pelo polinômio )(xS no seguintes casos: a) 133)( 23 +++= xxxxP e 1)( += xxS ; b) 133)( 23 −+−= xxxxP e 1)( −= xxS ; c) 233)( 235 +++−= xxxxxP e 1)( −= xxS ; d) 8434)( 235 +++−= xxxxxP e 13)( 2 −−= xxxS ; e) 8335)( 245 ++−= xxxxP e 13)( 23 −+= xxxS ;

16

5) Resolva:

a) =+

+−+++8

888

)1(2)1.(5)1(7)1(

xxxx

b) ( ) =−+−+−

5

55

)3(152)3(5)3(

xxxxx

c) =+

+−+3

45

)22()22()22(

xxx

d) =−

−−−3

34

)2()2()2(

xyxyxy

6) Determine, quando possível, as soluções racionais das seguintes equações algébricas:

a) 365

12432

23

=+−+−−

xxxxx

b) 0935 23 =++− xxx c) 51510 35 −++ xxx =0 d) 05534 =+−− xxx e) 02464 23 =−+− xxx f) 016816102 23456 =++−−−+ xxxxxx

g) ( )

0)1(

25).1(

21

312

2

2 =−−

+−

−−

−xx

xxxx

xxx

h) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )( )3

3

2

3

334

4

2323.3

22.

2.33

−−+

=−−

−−−

xxx

xx

xxx

i) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )3

3

3

3

334

4

22.2

242

23

2.33

−−

=−

−−+

−+

−−−

xxx

xx

xxxx

7) Dado o polinômio xxxxxP .)1).(10).(4()( 22 +−−= , as raízes desse polinômio são: a) 2,-2,10 e -1 b) 2,-2,-10 e 1 c) 3,-3,4 e -1 d) 3,-3,-4 e 1

17

GABARITO Exercício 1: a) -3 b) 5 c) -2 d) 32 +x e) -2 f) 1072 −+− xx g) 12 −x

h) 962 ++ xx i) 8126 23 +++ xxx j) 133 23 −+− xxx

k) 2012106

2 xyyxx−−+

l)

xzxyxmzmymx+−−−+

3226

3

m) 442 ++ xx n) 27279 23 −+− xxx

Exercício 2: a) xxx 33.)21( ==+ b) )1(2 +x c) )5(5 +x d) )2( −xa e) )5(2 ax + f) )15(5 +xx g) )53(4 xx − h) )32(5 +x i) )54(2 +xx j) xxx 5)5()23( −=−=−−

k) )83(4 xx +− l) )2)(3( ++ xa m) )3)(3( −+ xa n) )1)(2( −+ xa o) )2)(2( −+ xx p) )3)(3( xx +− q) )52)(52( +− xx r) )610)(610( xx +− s) 2)1( +x t) 2)3( −x

u) 2)32( −x v) 2)13( −x x) 2)1( −x y1) ( )42).2( 2 ++− xxx y2) ( )22).( aaxxax +−+ w) )3).(2).(2( ++− xxx z) )1).(2( −− xx

Exercício 3:

a) 3x

b) x2 c) x4

d) axax+=

+ 52

)5(2

e) xx

xx−=

+−+ 3

3)3).(3(

f) 11

)1)(1(+=

+++ x

xxx

g) 1

1)1(1

2 −=

−−

xxx

h) 2

3)3(2

)3)(3( +=

−−+ a

xxa

i) 2)2( −x

j) 32 −x k) 1−x l) 2−x

m) 2

2+x

Exercício 4: a) 12)( 2 ++= xxxQ e 0)( =xR b) 12)( 2 +−= xxxQ e 0)( =xR c) 63)( 34 +++= xxxxQ e 8)( =xR

d) 2463)( 23 +++= xxxxQ e 3282)( += xxR

e) 54185)( 2 +−= xxxQ e 4618154)( 2 −+−= xxxR

Exercício 5:

a) 23 b)

21 c) 264 2 ++ xx

d) 12 −− xy

18

Exercício 6: a) { }1=S b) { }3,1−=S c) Não admite soluções racionais. d) A única raiz racional é igual a 1. (é importante ressaltar que, existem outras raízes, como por exemplo, 3 5 , porém não são racionais). e) { }6,2,2 −−=S f) { }1,1,2,2 −−=S g) { }1=S h) { }2−=S

i) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

21S

Exercício 7: a