Produto Vetorial em coordenadas

V = (v1, v2, v3) = v1~i + v2~j + v3~k

W = (w1,w2,w3) = w1~i + w2

~j + w3~k

V ×W = (v2w3 − v3w2 , v3w1 − v1w3 , v1w2 − v2w1)

E mais facil memorizar o seguinte determinante simbolico

V ×W = det

~i ~j ~kv1 v2 v3w1 w2 w3

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Propriedades do produto vetorial

Sejam V e W vetores em R3. Entao

1 V ×W = −(W × V ).

2 V ×W = ~0 se V = αW ou se W = αV .

3 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.

4 Se α ∈ R, (αV )×W = V × (αW ) = α(V ×W ).

5 V × (W + U) = V ×W + V × U.

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Produto Vetorial em R3

O comprimento de V ×W e a area do paralelogramo definido por V e W .

‖ V ×W ‖ = ‖ V ‖‖W ‖ sen(θ)

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Produto Vetorial em R3

O sentido de V ×W e tal que: V , W e V ×W , nesta ordem, satisfazema regra da mao direita.

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Produto Vetorial em R3

Portanto o produto vetorial V ×W e caracterizado por:

(norma) ‖ V ×W ‖ = ‖ V ‖‖W ‖ sen(θ).

(direcao) V ×W e perpendicular ao plano de V e W .

(sentido) V , W e V ×W satisfazem a regra da mao direita.

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Exemplo

Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = (−1, 3, 0) e W = (2, 1, 5).

V ×W = det

~i ~j ~k−1 3 0

2 1 5

V ×W = ~i

∣∣∣∣ 3 01 5

∣∣∣∣ − ~j

∣∣∣∣ −1 02 5

∣∣∣∣ + ~k

∣∣∣∣ −1 32 1

∣∣∣∣ .V ×W = 15~i + 5~j + (−7)~k = (15, 5,−7).

Tire a prova, verificando que 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.

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Planos no Espaco

Um plano pode ser dado de varias maneiras:

Por 3 pontos nao colineares passa um unico plano.

Dadas duas retas concorrentes.

Dadas duas retas paralelas.

Dado um ponto e uma reta, existe um unico plano ortogonal a reta eque passa por este ponto.

Algumas destas situacoes podem ser caracterizadas pelo produto escalar.Outras, pelo produto vetorial.

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Planos, dado um ponto e um vetor normal

Seja dado um ponto P0 e um vetor N 6= ~0.Existe um unico plano α que passa por P0 e que e ortogonal ao vetor N.

Nesta situacao N e um vetor normal ao plano.

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Planos, dado um ponto e um vetor normal

Um ponto P = (x , y , z) pertence a este plano se os vetores N = (a, b, c) e−−→P0P = (x − x0, y − y0, z − z0) sao perpendiculares.

〈N,−−→P0P〉 = 0 ⇔ a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0

ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0

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Planos, dado um ponto e um vetor normal

P ∈ α ⇔ 〈N,−−→P0P〉 = 0 ⇔ ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0

O lado direito desta igualdade e uma constante d = ax0 + by0 + cz0. Daıum ponto P = (x , y , z) pertence ao plano se

ax + by + cz = d

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Planos, dado um ponto e um vetor normal

Exemplo: Determine a equacao geral do plano que passa porP0 = (2, 3,−4) e que e ortogonal ao vetor N = (5,−2, 3)

Solucao. A equacao geral do plano e da forma ax + by + cz = d , em queos coeficientes a, b e c sao as coordenadas de um vetor ortogonal aoplano. Neste caso, a equacao do plano tem a forma

5x − 2y + 3z = d .

Substituindo o ponto P0 = (2, 3,−4), calculamos d .

5 · 2− 2 · 3 + 3 · (−4) = d ⇒ d = −8

Equacao do plano 5x − 2y + 3z = −8 .

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Exemplo:Calcule a equacao do plano que contem os pontos (1, 0, 0), (0, 1, 0) e(0, 0, 1)

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Exemplo: area de triangulos no espaco

Exemplo: Calcule a area do triangulo de verticesA = (4, 1, 2), B = (3, 5, 3) e C = (−2, 3, 5).

area(∆ABC ) =1

2‖−→AB ×

−→AC ‖

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Exemplo: area de triangulos no espaco

A = (4, 1, 2), B = (3, 5, 3) e C = (−2, 3, 5).

Sabemos que area(∆ABC ) =1

2‖−→AB ×

−→AC ‖

−→AB = (−1, 4, 1)

−→AC = (−6, 2, 3)

−→AB ×

−→AC = det

~i ~j ~k−1 4 1−6 2 3

= (10,−3, 22).

area(∆ABC ) =1

2‖−→AB ×

−→AC ‖ =

1

2

√102 + (−3)2 + 222 =

1

2

√593.

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Exemplo: equacao do plano dado 3 pontosUma outra forma de calcular o plano que passa por 3 pontos dados.

3. Determine a equacao geral do plano que contem os pontos

A = (1, 1, 1) , B = (−2, 3, 3) , C = (2, 3, 1)

Solucao: Um ponto P = (x , y , z) pertence a este plano se o seguintevetores sao coplanares

−→AP = (x − 1, y − 1, z − 1) ,

−→AB = (−3, 2, 2) ,

−→AC = (1, 2, 0)

det

x − 1 y − 1 z − 1−3 2 21 2 0

= 0

2(y − 1)− 6(z − 1)− 2(z − 1)− 4(x − 1) = 0−4(x − 1) + 2(y − 1)− 8(z − 1) = 0−4x + 2y − 8z = −4 + 2− 8 = −10 ⇒ 2x − y + 4z = 5

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Exemplo: plano por duas retas concorrentes

4. Verifique se as seguintes retas sao paralalelas, concorrentes oureversas. Se possıvel determine a equacao do plano que contem asduas retas.

x = 3 + ty = 3 + 2tz = 4 + t

x = −1 + 2sy = −2 + sz = 3 − s

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Exemplo: plano por duas retas paralelas

5. (a) Encontre a equacao parametrica da reta r que passa pelos pontosA = (3, 5, 3) e B = (1, 1, 1).

(b) Considere s a reta (x , y , z) = (1, 2, 3) + t(1, 2, 1). Verifique se as retasr e s sao paralelas, reversas ou concorrentes.

(c) Ache, se possıvel, uma equacao geral do plano que contem as retas r es.

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