Produção de raios X

Paulo Roberto Costa - IFUSP

O espectro contínuo de raios X

Da mesma forma que as aplicações dos raios X foram intensamente

investigadas no início do século passado, o entendimento teórico sobre a forma

com que a natureza responde aos estímulos elétricos que ocorrem em um tubo

de raios X foi alvo de intensos estudos desde os primórdios do século XX.

Naquela época ainda não havia um entendimento profundo sobre a natureza

eletrodinâmica do processo de interação de partículas carregadas com a

matéria, nem tampouco instrumentos de medição sofisticados o suficiente para

permitir a determinação de correlações entre os parâmetros de estímulo dos

elétrons no tubo e a produção de fótons. Apesar disso, duas características logo

foram percebidas: a limitação em um valor mínimo do comprimento de onda da

energia produzida e a existência de um máximo de intensidade na distribuição

das partículas produzidas em função deste comprimento de onda.

Os estudos experimentais iniciais sobre a natureza do espectro contínuo de

raios X podem ser divididos em duas categorias principais, relacionadas à

espessura do alvo a ser atingido pelo feixe de elétrons:

Alvos espessos e massivos o suficiente para frear todos os elétrons

incidentes;

Alvos compostos por folhas finas de material, onde uma fração

significativamente alta dos elétrons incidentes são transmitidos,

mas suficientemente espesso para que os elétrons interajam nele.

O primeiro caso, considerando alvos espessos, representa a situação na qual

aparece a maior parte das aplicações, em especial a utilização dos raios X em

Medicina, objeto de estudo do presente trabalho. A utilização de alvos finos é

dedicada à investigação de processos fundamentais relacionados ao estudo da

produção de raios X (Dyson, 1990).

Devido a sua importância menor para as aplicações a serem tratadas nos

capítulos seguintes desta tese, o fenômeno de geração de raios X pela interação

de elétrons com alvos finos será tratado de forma resumida neste texto. Um dos

primeiros estudos consistentes sobre a produção de raios X pela passagem de

2

elétrons por alvos de pequena espessura foi realizado por Nicholas, nos anos

vinte do século passado (Nicholas, 1929, Nicholas, 1927). O entendimento da

teoria conhecida até então foi descrita por Brunner (Brunner, 1938). Uma

abordagem completa e bem referenciada pode ser consultada nos itens 2.2 e

2.3 do livro de Dyson (Dyson, 1990)

Em um experimento clássico, usando instrumentos rudimentares, mas técnicas

experimentais muito aprimoradas para a época em que foram realizadas, William

Duane e Franklin L. Hunt (Duane and Hunt, 1915) determinaram o que

chamaram de comprimento de onda efetivo. Para isso fizeram com que um feixe

de raios X produzido por um tubo de Coolidge conectado a uma fonte de alta

tensão de 43 kV, aproximadamente constante, fossem detectados após

atravessarem uma espessura de 2 mm de alumínio (Behling, 2015). Os autores

correlacionaram este comprimento de onda específico com o coeficiente de

atenuação mássico do alumínio através da expressão

(1)

Os autores repetiram o experimento utilizando fontes de tensão contínua bem

calibradas e concluíram que a aplicação de tensões contínuas não produzia raios

X homogêneos em termos energéticos, como se poderia esperar. Além disso,

utilizando diferentes espessuras de alumínio e diferentes tensões aplicadas,

perceberam que tanto o coeficiente de absorção, quanto o comprimento de onda

efetivo, decresciam a medida que os raios X atravessavam a matéria.

Perceberam, por seus resultados, que deveria haver um comprimento de onda

mínimo relacionada à aplicação de uma dada diferença de potencial.

Dyson (Dyson, 1990) aponta, ainda, a proporcionalidade entre a

intensidade da parte contínua do espectro de raios X por unidade de energia,

𝐼ℎ𝜈, de frequência, 𝐼𝜈, ou de comprimento, 𝐼𝜆, de ondas como:

Logo,

𝜆𝑒 = [1

14,9(

𝜇

𝜌)]

13

𝐼ℎ𝜈|𝑑(ℎ𝜈)| = 𝐼𝜈|𝑑𝜈| = 𝐼𝜆|𝑑𝜆| ⟹ 𝐼ℎ𝜈 = 𝐼𝜈 |𝑑𝜈

𝑑(ℎ𝜈)| = 𝐼𝜆 |

𝑑𝜆

𝑑(ℎ𝜈)|

3

(2)

Na equação acima, ℎ é a constante de Planck, 𝑐 é a velocidade da luz e e 𝜆 o

comprimento de onda do fóton.

Clayton Ulrey estudou o fenômeno de bremsstrahlung experimentalmente e,

em 1918 publicou um trabalho na Physical Review (Ulrey, 1918) apresentando

detalhes de seu experimento e seus resultados. O trabalho destaca o intrincado

aparato experimental desenvolvido em seu laboratório na Universidade de

Colúmbia, ao realizar adaptações em um tubo de Coolidge, introduzindo um

anodo com o formato de um prisma hexagonal em cujas faces foram acopladas

placas de níquel, molibdênio, cromo, paládio, tungstênio e platina. Utilizando um

criativo mecanismo, o sistema permitia que os elétrons acelerados atingissem as

diferentes faces do prisma e, consequentemente, gerasse raios X a partir da

interação com elementos de números atômicos diferentes.

Continuaram a investigação do fenômeno utilizando um espectrômetro de

raios X emprestado de David Locke Webster (Webster, 1915, Webster, 1934)

que estava pesquisando a emissão de raios X característicos na Universidade

de Stanford. O instrumento continha um conjunto de fendas e um cristal de

calcita, que possui planos refletores distando 3,03 × 10-8 cm, permitindo

identificar a intensidade do feixe em função do comprimento de onda. O feixe

refletido passava através de outra fenda, atingido uma câmara de ionização com

uma fina janela de mica (Ulrey, 1918). Com este instrumento, e aplicando a Lei

de Bragg, perceberam a correlação entre tensão aplicada e valor máximo do

comprimento de onda dos raios X produzidos. Na mesma série de experimentos

perceberam que este comprimento de onda máximo era invariante com a

corrente aplicada ao tubo. Com isso, correlacionaram tensão aplicada ao tubo,

𝑉0, e comprimento de onda mínimo dos fótons gerados, 𝜆0, como:

𝑉0𝑒 = ℎ𝜈0 =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝜆0 ⟹ 𝜆0 =

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝑒𝑉0 (3)

A equação (3) é conhecida como lei de Duane-Hunt e sua forma

modificada, evidenciando a energia máxima dos fótons e não seu comprimento

𝐼ℎ𝜈 =1

ℎ𝐼𝜈 =

𝜆2

𝑐ℎ𝐼𝜆

4

de onda mínimo, é a base para procedimento de calibrações de valores de

tensão aplicados em equipamentos de raios X modernos utilizando a técnica de

end-point (Silva et al., 2000a, Silva et al., 2000b, Terini et al., 2004, Silva, 2001).

Alvos espessos, de maior interesse no presente trabalho, foram tratados por

Dyson como efeitos em “alvos opacos aos elétrons” (Dyson, 1990). O autor

descreve que as observações iniciais realizadas por Ulrey (Ulrey, 1918) e por

Kulenkampff (Kulenkampff, 1922) usando alvos de platina, latão, cobre, prata e

alumínio, usando diferentes faixas de tensão de aceleração, permitiram a

identificação de uma relação entre a intensidade da radiação emitida, o número

atômico do material do alvo e a frequência dos fótons emitidos, que foi proposta

como:

𝐼(𝑉, 𝑍) = 𝐴𝑍(𝜈0 − 𝜈) + 𝐵𝑍2 (4)

Nesta equação, 𝜈0 representa a frequência máxima dos fótons emitidos e 𝐴 e

𝐵 são constantes independentes da tensão aplicada ou no número atômico e foi

identificada uma relação aproximada 𝐵 𝐴⁄ ≈ 0,0025 para a faixa de tensões

avaliadas, entre 7 e 12 kV, ou seja, o valor de B é pouco relevante comparado a

A e a relação entre intensidade e o número atômico do material foi identificada

como aproximadamente linear. Além disso, posteriormente, com medições em

outras faixas de tensão, foi identificada uma proporcionalidade da intensidade do

feixe com 𝑉2 por Kulenkampff e Schmidt (Kulenkampff and Schmidt, 1943). Esta

proporcionalidade é utilizada, até hoje, como uma regra prática para relacionar

intensidade do feixe de raios X com a tensão aplicada. Por outro lado, a

proporcionalidade da intensidade de forma linear com o número atômico pode

ser explicada pela maior auto-atenuação dos fótons produzidos com o maior

número atômico do material, principalmente devido ao efeito fotoelétrico.

Resultados experimentais adicionais são descritos por Dyson (Dyson, 1990)

para outros alvos e tensões aplicadas aos tubos.

Investigações empíricas sobre o comportamento da distribuição de intensidade

de fótons, produzidos por tubos de raios X, em função de seus comprimentos de

onda ou de suas energias continuaram pelas décadas seguintes. Destacam-se,

além dos já citados, os experimentos de Stephenson e Mason (Stephenson and

Mason, 1949) e de Peterson e Tomboulian (Peterson and Tomboulian, 1962) que

permitiram a adequação das informações experimentais para outros materiais e

5

tensões aplicadas. Com isso, conjuntos de dados relacionando as intensidades

de emissão com o número atômico para diferentes faixas de aceleração dos

elétrons foram obtidas. Esses dados levaram os autores a elaborarem uma

relação aproximada entre a intensidade do feixe e o comprimento de onda dos

fótons na forma

I(λ) =1

λα, com 1,8 ≤ α ≤ 2,7 (5)

Os experimentos, porém, não permitiam levar em consideração a auto-

atenuação dos fótons pelo alvo utilizado e referem-se a medições realizadas em

ângulos de cerca de 90º em relação à direção de incidência dos elétrons.

Medições complementares, com outros materiais, outros valores de tensão

aplicada e avaliando os fótons de raios X produzidos na direção de incidência

dos elétrons, porém usando alvos espessos, foram realizadas por Dyson (Dyson,

1959). Neste caso, a radiação produzida foi analisada utilizando uma câmara de

ionização acoplada a um analisador de altura de pulsos monocanal. Dyson,

ainda, considerou a atenuação dos fótons no caminho que atravessam o alvo,

bem como a espessura de ar entre a saída do alvo e o contador. Por fim, de

forma cuidadosa, considerou, na correção se seus dados, a eficiência do

contador em relação a energia dos fótons incidentes. Com seus resultados,

semelhantes aos obtidos por Kulenkampff, pôde concluir que a anisotropia da

radiação era pequena e não deveria estar relacionada à difusão ou ao

espalhamento de elétrons dentro do alvo. Além disso, analisando os resultados

obtidos com energias maiores e comparando-os com os medidos em outros

ângulos e com alvos finos, percebeu que a anisotropia era semelhante à que ele

havia obtido no estudo de raios X produzidos por alvos espessos. Mais ou menos

na mesma época, estudos de Edelsak e colaboradores (Edelsack et al., 1960)

usando um acelerador Van der Graff operando em tensões de 1, 1,5 e 2 MeV e

um detector de iodeto de sódio de 4 polegadas de comprimento, permitiram o

levantamento de espectros apresentados em intervalos de vinte canais. Após

cuidadosas correções de seus resultados experimentais, comparou-os com

resultados semiempíricos, demonstrou comportamento do espectro com relação

à proporcionalidade de sua intensidade com o número atômico do alvo, bem

como o desvio desta proporcionalidade com o uso de alvos de número atômico

alto e baixas energias.

6

Ainda no campo experimental, as distribuições angulares correspondentes à

emissão de fótons de raios X através da interação de elétrons com alvos

espessos foram exploradas desde meados da década de 1930. Diversos autores

trataram esta questão empiricamente, na tentativa de elucidar como os efeitos

de espalhamento e difusão dos elétrons dentro do meio afetavam a distribuição

angular dos fótons produzidos em diferentes energias de aceleração dos

elétrons. Dyson (Dyson, 1990) descreve, com razoável nível de detalhes, os

principais resultados empíricos obtidos entre os anos de 1933 e 1959. Entre eles,

o autor mostra resultados obtidos em seu próprio laboratório (Dyson, 1959),

trazendo evidências do comportamento angular dos fótons produzidos em alvos

de ouro e de alumínio após a interação de elétrons acelerados por uma diferença

de potencial de 12,05 kV, por berílio usando tensão de aceleração de 8,36 kV e

por polímeros com tensão de 10,05 kV.

Dyson (Dyson, 1990) descreve, ainda, resultados interessantes para o contexto

do presente trabalho obtidos por Thordarson (Thordarson, 1939), que utilizou

tensões entre 60 e 170 kV e alvos de alumínio e tungstênio, ou seja, englobando

material e faixa de energias utilizados em imagens radiológicas. Seus resultados

apresentaram boa concordância com a teoria de Sommerfeld (Sommerfeld,

1929), que será abordada adiante, até tensões de 110 kV. Por fim, Dyson

(Dyson, 1990) apresenta um interessante resultado comparativo, anteriormente

apresentado por Sesemann (Sesemann, 1941), entre os dados angulares para

diferentes tensões de aceleração com feixes utilizando distintas filtrações,

publicados previamente. Os dados experimentais são, também comparados com

a previsão teórica de Sommerfeld (Sommerfeld, 1929), mostrando uma

excelente concordância entre teoria e os experimentos. A descrição de outros

experimentos, realizados com energias maiores, não serão abordadas no

presente texto. Dyson (Dyson, 1990) apresenta uma excelente descrição destes

experimentos realizados no século passado.

Estas evidências experimentais relacionadas à interação de elétrons

acelerados por diferentes potenciais com materiais de diferentes números

atômicos estavam fortemente correlacionadas com o acentuado

desenvolvimento da eletrodinâmica e da mecânica quântica. Nos parágrafos que

seguem, será apresentado um resumo dos principais resultados teóricos que

7

corroboraram com as cuidadosas medições realizadas por diversos cientistas e

que levaram ao atual estágio do conhecimento sobre a produção de raios X.

A discussão resumida que se segue usa a mesma sequência adotada por

Dyson (Dyson, 1990), apresentando inicialmente, de forma resumida e

simplificada, a determinação da distribuição angular dos fótons emitidos pela

interação, seguindo da apresentação teórica que deduz a distribuição energética

do espectro contínuo. Finalmente, são apresentados os efeitos que ocorrem em

alvos espessos, tais como os efeitos de espalhamento dos elétrons no alvo e a

perda de energia. Serão, também, abordados temas de interesse prático e que

possuem correlações com a teoria da produção dos raios X, tais como a

eficiência de emissão do espectro contínuo, que está relacionada ao rendimento

de tubos de raios X utilizados nas diversas aplicações que serão descritas nos

capítulos subsequentes.

A teoria do eletromagnetismo prevê que uma carga acelerada perde energia na

forma de radiação eletromagnética. Se a aceleração se dá devido à interação

com outra partícula carregada, ambas emitem radiação e irá ocorrer uma

superposição coerente entre os campos de radiação (Jackson, 1999) e a

amplitude dos campos depende do produto entre a carga elétrica e a aceleração

que a partícula é submetida. Assim, no caso da desaceleração de um elétron por

um núcleo atômico, sendo o primeiro muito mais leve e, portanto, podendo ser

acelerado mais intensamente, o campo de radiação dele será muito mais

significativo do que o produzido pelo núcleo. Neste caso, o problema é modelado

como a colisão entre uma partícula leve interagindo com um campo elétrico fixo

e a consequente emissão de radiação.

No caso da interação de elétrons acelerados com um alvo espesso, muitas das

interações que acarretam a desaceleração dos elétrons se dão, essencialmente,

com os elétrons orbitais do meio. Isto pode gerar ionizações cujas

consequências no processo de geração do espectro de energias resultante

serão discutidas posteriormente. Contudo, algumas interações se dão através

da interação coulombiana com núcleos atômicos, que também levam à

desaceleração e, como previsto na teoria eletromagnética clássica, à emissão

de radiação (Jackson, 1999).

Considerando um deslocamento de amplitude 𝑓 de uma carga elétrica a partir

de um ponto de origem no espaço, os vetores que representam os campos

8

magnético, 𝐇 , e elétrico, 𝐄, associados a este deslocamento podem ser

representados por:

𝐇 =e

4πcr2𝐟̈ × 𝐫 e 𝐄 =

e

4πε0c2r3(𝐫 × (𝐫 × 𝐟)̈) (6)

Onde 𝐫 representa o vetor posição da carga com relação à origem e e é a carga

do elétron. Supondo, por simplicidade, que a desaceleração do elétron se dá de

forma retilínea, mas considerando que a grandeza 𝑓̈ não tem a mesma direção

do movimento dos elétrons, mas sim uma direção determinada pela força

coulombiana exercida pelo núcleo, pode-se demonstrar que sua magnitude é

dada por:

�̈� =1

4𝜋𝜀0

𝑍𝑒2

𝑚(𝑎(𝑡))2 (7)

Onde 𝑎(𝑡) é a variável relacionada à distância relativa entre o elétron e o núcleo

atômico com 𝑍 prótons com o qual está interagindo através do campo

coulombiano. Como o elétron encontra-se em movimento, esta variável é

dependente do tempo. Além disso, num modelamento realista, deve-se

considerar que o elétron não interage somente com o núcleo, mas com o átomo

como um todo, ou seja, existe uma contribuição relacionada à presença dos

elétrons orbitais. Jackson (Jackson, 1999) argumenta que as contribuições

diretas dos elétrons orbitais relacionadas à aceleração do elétron incidente são

pequenas e podem ser negligenciadas. Contudo, estes elétrons orbitais

oferecem um efeito secundário de blindagem com campo elétrico proveniente do

núcleo atômico (screening), que é tratada no caso de perdas de energias

radiativas relativísticas. Este efeito, contudo, será ignorado na abordagem

simplificada a ser apresentada nos parágrafos seguintes.

Sendo 𝜃 a direção na qual um campo elétrico ou magnético é medido em

relação à direção de um feixe incidente de elétrons acelerados ou desacelerados

e considerando a radiação emitida no plano x-y, as componentes z do campo

magnético e 𝜃 do campo elétrico ficam:

Hz =�̈�𝑒

4𝜋𝑐𝑟𝑠𝑒𝑛θ considerando Hr = 0 e Hθ = 0 (8)

Eθ =�̈�𝑒

4π𝜀0c2r𝑠𝑒𝑛θ considerando Er = 0 e Ez = 0 (9)

Um tratamento bastante completo do problema da produção de radiação por

partículas carregadas aceleradas utilizando os chamados potenciais de Liénard-

9

Wiechert, que definem os vetores dos campos elétricos e magnéticos criados por

cargas em movimento arbitrário, tanto para os casos relativísticos quanto não-

relativísticos, é apresentado por Marion e Heald (Marion and Heald, 1980).

O Vetor de Poynting, 𝐍, associado à fluência de energia relacionada à esta

desaceleração é dado por:

𝐍 = 𝐄 × 𝐇 (10) Sendo Eθ a magnitude do campo elétrico na direção 𝜃 e Hz a magnitude do

campo magnético na posição 𝑧, a fluência de energia na direção de observação

definida por (𝑧, 𝜃) é dada por (Marion and Heald, 1980)

N = EθHz =1

4πε0

c

4π(

�̈�𝑒rc2

)

2

𝑠𝑒𝑛2θ (11)

Sommerfeld (Sommerfeld, 1964) e Jackson (Jackson, 1999) demonstram

o comportamento dipolar desta distribuição espacial de energia, que se

manifesta analiticamente no termo 𝑠𝑒𝑛2𝜃 que aparece na equação (11). A

potência irradiada pode ser obtida pela integração em todos os ângulos, ou seja

𝐼 = ∫ 𝑁2𝜋𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 =𝜋

0

1

4πε0

c

4π(

𝑓̈𝑒

rc2)

2

∫ 2π𝑟2𝑠𝑒𝑛3𝜃𝑑𝜃𝜋

0

=1

4πε0

2𝑒2𝑓̈2

3𝑐3

(12)

A equação (12) é conhecida como fórmula de Larmor para a potência irradiada

por uma partícula carregada acelerada, com velocidade não-relativística (Marion

and Heald, 1980). Jackson (Jackson, 1999) apresenta, também, sua

generalização relativística. Combinando as equações (7) e (12), obtém-se a

potência irradiada como:

𝐼 = (1

4πε0)

2 2𝑒6

3𝑐3𝑍2

𝑚2(𝑎(𝑡))4 (13)

A equação (13) demonstra uma proporcionalidade bem conhecida entre a

intensidade da radiação emitida no processo de bremsstrahlung e o quadrado

do número atômico do material que compõe o alvo. Considerações mais

sofisticadas relacionadas aos efeitos relativísticos que ocorrem quando elétrons

são acelerados por diferenças de potenciais usuais em tubos de raios X de

aplicações médicas (acima de alguns kV) são tratadas em textos clássicos de

eletromagnetismo (Jackson, 1999) e em textos modernos de Física das

10

Radiações (Podgorsak, 2010), levando ao seguinte resultado para a intensidade

instantânea do feixe irradiado:

𝐼 =1

4πε0

𝑐

4𝜋(

�̈�𝑒

𝑟𝑐2)

2𝑠𝑒𝑛2𝜃

(1 − 𝛽𝑐𝑜𝑠𝜃)6 (14)

Nesta equação, que explicita uma dependência angular da intensidade de

fótons emitida com a aceleração do elétron em um dado instante, vale a

representação relativística 𝛽 = 𝑣 𝑐⁄ . O valor de interesse prático, contudo, é seu

valor integrado no tempo (Dyson, 1990, Podgorsak, 2010), ou seja:

∫ 𝐼𝑑𝑡 =1

4πε0

𝑐2

16𝜋(

𝑓̈𝑒

𝑟𝑐2)

2

[1

(1 − 𝛽𝑐𝑜𝑠𝜃)4− 1]

𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃 (15)

A equação (15) é válida para o limite de energias mais altas, onde a variação

de velocidade do elétron é desprezível durante seu processo de freamento. O

tratamento adotado por Sommerfeld (Sommerfeld, 1929, Sommerfeld, 1964)

para outras faixas de energia considera a velocidade média do elétron e leva a

previsões que estão de acordo com observações experimentais de Kulenkampff

(Kulenkampff, 1928, Kulenkampff, 1938).

Podgorsak (Podgorsak, 2010) trata, de forma complementar aos textos já

citados, da correlação entre a intensidade de radiação emitida por elétrons com

energias cinéticas diferentes. Este resultado está diretamente associado à

dedução da equação (15) e relaciona-se à arquitetura de construção dos

modernos tubos de raios X utilizados nas mais variadas aplicações.

Mais relevante que a distribuição angular dos fótons emitidos para as

aplicações da espectroscopia de raios X de interesse em Medicina é sua

distribuição energética e as intensidades totais emitidas. Estas intensidades

podem ser representadas pelo rendimento, em função das variáveis como a

tensão aplicada no tubo e o número atômico do material do alvo. Assim, pode-

se recorrer aos trabalhos de Kramers (Kramers, 1923) que adotou como modelo

cinético do elétron dentro do alvo considerando uma trajetória parabólica e

obteve equações para a intensidade da radiação emitida aplicando as leis da

eletrodinâmica clássica. Na mesma época, Kirkpatrick (Kirkpatrick, 1923) obteve

resultados experimentais que, apesar de rudimentares, corroboravam com as

equações obtidas por Kramers.

De forma simplificada, Kramers associou a trajetória do elétron no campo

coulombiano no alvo na forma de componentes de Fourier, impondo que o limite

11

de emissão de mais alta energia deveria ser equivalente à máxima energia que

os elétrons atingiam o alvo, ou seja, ℎ𝜈 = 𝑒𝑉, sendo 𝑉 a diferença de potencial

que fornece a energia cinética para os elétrons. Assim, considerando um único

elétron atravessando um alvo fino consistindo de 𝑛 átomos por unidade de

volume (𝑛 = 𝑁𝐴𝜌 𝐴⁄ ), a intensidade de raios X emitidos em um intervalo de

frequência 𝑑𝜈 será (Dyson, 1990)

𝑖(𝜈)𝑑𝜈𝑑𝑥 = {

16𝜋2

3√3

𝑍2𝑒5𝑛

𝑐3𝑚𝑉𝑑𝜈𝑑𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜈 < 𝜈0

0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜈 ≥ 𝜈0

(16)

Nesta equação, novamente, aparece a dependência quadrática com Z, como

comentado anteriormente. Integrando a equação (16) sobre todas as

frequências, obtêm-se:

𝑖𝑑𝑥 =16𝜋2

3√3

𝑍2𝑒6𝑛

𝑐3𝑚ℎ𝑑𝑥 (17)

Este resultado é válido para um alvo fino, no qual o elétron atravessa sem perda

considerável de energia. O tratamento completo do problema pode ser feito

considerando a função de onda do elétron antes e após a interação coulombiana.

Isto foi estudado por Sommerfeld (Sommerfeld, 1929, Sommerfeld, 1964)

usando o ferramental matricial da Mecânica Quântica e os momentos elétricos

resultantes da interação, distribuídos em todo espaço. O mesmo problema foi

detalhado por Kirkpatrick e Wiedmann (Kirkpatrick and Wiedmann, 1945). Este

estudo está resumido em Dyson (Dyson, 1990) e não será detalhado no presente

trabalho. Cabe somente ressaltar que a dedução da equação (17) por

Sommerfeld não é válida quando a velocidade do elétron se aproxima da

velocidade da luz.

Uma abordagem mais robusta para o problema tratando de velocidades

relativísticas do elétron e adotando as aproximações de Born foi apresentada por

Bethe e Heitler (Bethe and Heitler, 1934). Os resultados desses autores mantêm

a proporcionalidade com 𝑍2 da intensidade de fótons emitidos pela interação dos

elétrons, mas considera a possibilidade do elétron emitir mais que um fóton antes

de atingir a situação de repouso. Os autores ainda demonstram uma expressão

para prever a quantidade média de fótons emitidos em função da energia do

elétron incidente.

12

Um tratamento bastante completo dos processos de bremsstrahlung nas

situações clássicas, ou seja, considerando elétrons incidentes no limite não-

relativístico ((𝑣 𝑐⁄ ) ≪ 1), no limite não-relativístico, porém considerando a

aproximação de Born segundo a mecânica quântica e argumentos

semiclássicos, e no caso relativístico, aplicando-se ou não as transformações de

Lorentz, são apresentados, detalhadamente, por Jackson (Jackson, 1999). O

mesmo autor trata, ainda, da questão da blindagem do campo no núcleo pelos

elétrons orbitais e da perda de energia por transições radiativas relativísticas,

sempre comparando os resultados semiclássicos com os obtidos por Bethe e

Heitler (Bethe and Heitler, 1934) através da aplicação de ferramentas da

mecânica quântica.

Conforme apresentado anteriormente, os resultados de Bethe e Heitler, apesar

de fundamentais para o entendimento do processo de emissão de raios X

através da interação do elétron em movimento com os átomos do alvo, não

permitem a total compreensão dos fenômenos de maior interesse para as

aplicações que serão descritas nos capítulos que seguem. Na maioria das

aplicações práticas que serão descritas, o processo de emissão de

bremsstrahlung se dá com a utilização de alvos espessos, onde outros

fenômenos, tais como o espalhamento dos elétrons e a blindagem do campo

elétrico nuclear pelos elétrons orbitais, devem ser considerados.

Este problema foi tratado na década de 1930 por Hans Bethe e Felix Bloch, que

desenvolveram uma nova teoria para o poder de freamento colisional de elétrons

interagindo com meios, tomando por base a teoria quântica e conceitos

relativísticos. A teoria de Bethe-Bloch (Ziegler, 1999) aperfeiçoava a teoria

clássica da Bohr, obtendo excelentes resultados quando comparados a dados

experimentais (Podgorsak, 2010). Seus resultados, apresentados na forma de

funções que quantificam o poder de freamento dos elétrons, normalmente

divididos entre colisões soft e hard, em função de diversos parâmetros de

interesse, são bastante conhecidas por textos didáticos da área de Física das

Radiações (Okuno and Yoshimura, 2010, Podgorsak, 2010, Attix, 1986, Johns

and Cunningham, 1983).

O resultado das interações previstas por Bethe e Block, para fins práticos

relacionados ao alcance de elétrons, 𝑅, em meios espessos, pode ser expressa,

simplificadamente, como uma lei de potência na forma 𝑅 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 × 𝑉𝛼. Esta

13

regra aproximativa entre alcance dos elétrons e tensão de aceleração, chamada

lei de Thomson-Whiddington, é frequentemente utilizada para a obtenção de

valores aproximados de intensidade do feixe de raios X produzidos quando se

conhece o valor de 𝑉 e é aplicada em diversos modelos de simulação

computacional de espectros de bremsstrahlung, como será abordado em

capítulos posteriores. O valor de 𝛼, contudo, varia de acordo com a tensão a ser

aplicada, sendo em torno de 1,7 para tensões de 20 kV e caindo

progressivamente até 1 para tensões de 1 MV. Whiddington (Whiddington,

1912), porém, encontrou 𝛼 = 2 para energias de elétrons entre 8 e 30 keV. O

apêndice 1 de Dyson (Dyson, 1990) apresenta outros resultados destas

aproximações, em outras faixas de energia e com comparações interessantes

com resultados experimentais.

Pode-se, ainda, correlacionar os resultados de Kramers com a lei de

Thompsom-Whiddington e derivar uma expressão simplificada para a

intensidade do espectro de raios X considerando um alvo fino e uma pequena

auto-atenuação dos fótons de raios X pelo material do alvo. Esta expressão é

representada por (Dyson, 1990)

𝐼(𝜈) = 𝐴𝑍(𝜈0 − 𝜈) (18)

Onde 𝐴 é uma constante, semelhante à que aparece nos resultados de

Kulenkampff (Kulenkampff, 1922, Kulenkampff, 1928).

O problema pode, ainda, ser tratado de forma mais complexa considerando

alvos semi-finos, ou seja, quando a espessura, 𝑑𝑥, não é suficiente para levar os

elétrons ao repouso. Neste caso, a intensidade total do feixe, semelhante ao

resultado apresentado na equação (17), é dada por

𝐼𝑑𝑥 =16𝜋2

3√3

𝑒5

𝑐3𝑚𝑍2𝑛

𝑒

ℎ𝑑𝑥 (19)

A integração desta equação para um valor finito de 𝑥 demonstra que a

intensidade total emitida em um alvo semi-fino é independente da energia do

elétron e que espessuras semelhantes irão produzir intensidades totais

semelhantes. A única hipótese necessária é que o elétron emerja do alvo com

uma velocidade finita. Isto leva a resultados conhecidos e, normalmente,

utilizados para representar, de forma didática, a emissão de raios X por alvos

14

espessos como se fossem superposições de alvos semi-finos (Johns and

Cunningham, 1983, Behling, 2015, Brosed, 2011).

Por fim, uma questão de alta relevância relacionada ao bremsstrahlung com

relação às aplicações que serão tratadas no presente texto é o rendimento

associado à produção de raios X em função do material do alvo e da tensão

aplicada para a aceleração dos elétrons. Kirkpatrick e Wieldmann (Kirkpatrick

and Wiedmann, 1945) compararam a intensidade total de um campo de radiação

gerado por uma partícula carregada acelerada usando uma aproximação não

relativística e considerando os momentos elétricos efetivos no plano x-y,

transversal à direção da trajetória da partícula, que resultam em “componentes”

de intensidade de radiação 𝐼𝑥 e 𝐼𝑦, obtendo:

𝐼 = ∫ [𝐼𝑥𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐼𝑦(1 + 𝑐𝑜𝑠

2𝜃)]2𝜋𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 =8

3𝜋(𝐼𝑥 + 2𝐼𝑦)

𝜋

0

(20)

Os autores compararam este resultado à perda de energia de elétrons

acelerados interagindo com alvos finos, o que permitiu a derivação da seguinte

expressão:

𝜂 = 2,8 × 10−6𝑍𝑉 (21)

Na equação (21), 𝜂 representa a eficiência (ou rendimento) de produção de

fótons, 𝑍 é o número atômico do material do alvo e 𝑉 é a diferença de potencial

aplicada, expressa em quilovolts. Dyson (Dyson, 1990) descreve resultados de

diversos trabalhos experimentais realizados em meados do século passado para

demonstrar as relações entre a energia fornecida para os elétrons e o número

atômico de um alvo fino com a quantidade de radiação absoluta gerada no

processo. Muitos destes trabalhos buscavam confirmar os resultados teóricos de

Sommerfeld.

Contudo, os resultados de interesse real para as aplicações de espectros em

Medicina são aqueles gerados por alvos espessos. Neste caso, os resultados

obtidos por Krammers (Kramers, 1923) e por Compton e Allison (Compton and

Allison, 1940) podem ser representados na forma

𝑃 = 𝐾𝑍𝑉2 (22)

Nesta equação, 𝑃 representa a potência irradiada por unidade de corrente e 𝐾

é uma constante adimensional que varia entre 0,92x10-6 e 1,1 x10-6. Resultados

15

semelhantes a estes são, atualmente, usados em textos didáticos relacionados

à tecnologia dos raios X (Behling, 2015) ou à Física do Diagnóstico por Imagem

(Bushberg et al., 2012, Dance et al., 2014). O valor da constante 𝐾, contudo, foi

revisado por diferentes autores, tais como Green e Cosslett (Green and Cosslett,

1968) e por Dyson (Dyson, 1959). Este último apresenta, em seu livro-texto

(Dyson, 1990), uma comparação entre seus resultados e o valor constante de

Compton e Allison e discute o comportamento do valor de 𝐾 em função do

numero atômico, que passa por um valor mínimo em 𝑍 ≈ 60, variando entre

1,5x10-6 para 𝑍 = 13 e 0,85 para 𝑍 = 79.

Observando a equação (4), considerando que a intensidade irradiada pode ser

interpretada como a potência irradiada por unidade de frequência por intervalo

unitário de corrente, e usando relação aproximada 𝐵 𝐴⁄ ≈ 0, temos:

𝐼(𝑉, 𝑍) =𝑃

𝑣≈ 𝐴𝑍(𝜈0 − 𝜈)

Logo, integrando e utilizando a relação para os fótons de maior energia

criados nas interações, ℎ𝜈0 = 𝑉𝑒, obtemos a seguinte expressão para a potência

irradiada por unidade de corrente:

𝑃 ≈ ∫ 𝐴𝑍(𝜈0 − 𝜈)𝜈𝑑𝜈 = 𝐴𝑍𝜈0

2

2=

𝐴

2(

𝑒

ℎ)

2

𝑍𝑉2𝜈0

0

(23)

Como o rendimento pode ser definido como a potência irradiada dividida pela

potência elétrica aplicada (lembrando que a definição de 𝑃, acima, é de potência

irradiada por unidade de corrente e a potência elétrica é o produto da tensão

aplicada pela corrente), temos:

𝜂 =𝑃

𝑉=

𝐴

2(

𝑒

ℎ)

2

𝑍𝑉 = 𝐾𝑍𝑉 (24)

Ou seja, comparando este resultado com a equação (22) obtemos;

𝐾 = 𝐴

2(

𝑒

ℎ)

2

Pode-se, por fim, definir o rendimento como função da energia do elétron

incidente (Nicholas, 1930). Neste caso, temos:

𝜂 =𝐴

2

𝑒

ℎ2𝑍(𝑉𝑒) =

𝐴

2

𝑒

ℎ2𝑍𝐸 = 𝐾´𝑍𝐸 (25)

Onde

𝐾´ = 𝐴

2

𝑒

ℎ2

16

Recomenda-se o texto de Radiation Physics for Medical Physicists, de Ervin

Podgorsak (Podgorsak, 2010) para leitores que desejam aprofundamento no

tema da produção de radiação em tubos de raios X. Além de uma profunda e

completa abordagem da física da produção dos raios X, o capítulo 14 do livro

traz uma interessante abordagem sobre os diferentes tipos de aceleradores de

partículas que resultam em emissão de radiação e suas particularidades.

17

O espectro de raios X característicos

As técnicas experimentais utilizadas nos primeiros anos de estudo da produção

dos raios X buscavam respostas para a distribuição energética do feixe

produzido. Naquela época, a instrumentação para exploração dos fenômenos de

difração ainda não havia sido desenvolvida e os cientistas experimentais

utilizavam o comportamento da absorção dos raios X pela matéria como única

fonte de informação empírica para avançar em seus resultados.

Foi através do estudo da penetração da radiação-X em diferentes materiais que

se deduziu que os espectros gerados por tubos de raios X eram compostos por

um componente contínuo, descrito no item anterior, mas que também deveria

haver um componente discreto. Descobriu-se, mais tarde, com os trabalhos de

Bohr, Sommerfeld e muitos outros, que esta componente discreta tratava-se de

várias linhas. Depois, o desenvolvimento da Mecânica Quântica permitiu a

compreensão completa da estrutura fina deste tipo de espectro de radiação

eletromagnética.

O desenvolvimento do modelo de Bohr permitiu o entendimento e a

quantificação dos níveis energéticos das diversas camadas eletrônicas,

agrupadas em orbitais K, L, M, etc., e caracterizadas pelo Número Quântico

principal, 𝑛. Por esta teoria, considerando um átomo semelhante do hidrogênio,

porém com número atômico efetivo, 𝑍𝑒𝑓𝑓, correspondendo ao número atômico

corrigido pelo efeito de blindagem dos elétrons orbitais (screening), os níveis de

energia dos diferentes elétrons distribuídos em um átomo são representados por

(Podgorsak, 2010, Dyson, 1990):

𝐸𝑛 = −𝑚𝑟2ℏ2

[𝑍𝑒𝑓𝑓𝑒

2

4𝜋𝜀0]

21

𝑛2= −

𝑅ℎ𝑐𝑍𝑒𝑓𝑓2

𝑛2 (26)

Na equação (26), 𝑅 = (1

4𝜋𝜀0)

2 𝑚𝑟𝑒4

4𝜋ℏ3𝑐 é a contante de Rydberg e 𝑚𝑟 =

𝑚𝑀

𝑀+𝑚

é a massa reduzida do elétron orbital, sendo 𝑚 a massa do elétron e 𝑀 é a massa

atômica. O modelo de Bohr-Sommerfeld, contudo, leva em consideração

fenômenos adicionais, como o momento angular orbital e o acoplamento spin-

órbita. O detalhamento deste modelo foge ao escopo do presente texto e pode

ser encontrado na maioria dos livros didáticos de Física Moderna. A partir do

detalhamento deste modelo, que considera efeitos relativísticos, pode-se deduzir

uma equação geral para o nível energético de um átomo deste tipo levando-se

18

em consideração, além do número quântico principal, 𝑛, o número quântico

momento angular, 𝑙, e o número quântico de spin, 𝑠 (Dyson, 1990):

𝐸𝑛,𝑙,𝑗 = −𝑅ℎ𝑐 [(𝑍 − 𝜎𝑠)

2

𝑛2+

𝛼2(𝑍 − 𝜎𝑠´)

4

𝑛4(

𝑛

𝑗 +12

−3

4)] (27)

Na equação (27), 𝛼 =𝑒2

4𝜋𝜀0ℏ𝑐 é a constante de estrutura fina, 𝑗 = 𝑙 ± 𝑠 é o número

quântico angular total e 𝜎𝑠 e 𝜎𝑠´ são constantes que corrigem o efeito da

blindagem parcial do campo elétrico do núcleo pelos elétrons orbitais.

Um fator não considerado na discussão acima e que completa o modelo

é o efeito de uma quantização magnética, associado ao número quântico

magnético 𝑚𝑗, que assume valores tais que |𝑚𝑗| ≤ 𝑗. Esta característica adicional

dos níveis energéticos de um átomo, associado ao Efeito Zeeman (Leroy and

Rancoita, 2009) bastante conhecido na espectroscopia ótica, não é observável

em espectros de raios X. Contudo, contribui para a definição das intensidades

das linhas características, uma vez que influencia as probabilidades de transição

entre estados.

Para a correta interpretação do espectro característico produzido em

tubos de raios X, o fenômeno de interesse está relacionado às transições

eletrônicas que ocorrem após o átomo entrar em estado de ionização ou

excitação por um estímulo externo. Isso ocorre, por exemplo, após a interação

com um elétron acelerado. O rearranjo das camadas eletrônicas pode ser

seguido de uma transição que produz fótons de raios X com energia equivalente

à diferença de energia entre as camadas onde houve a transição, ou através de

um processo competitivo, conhecido como efeito Auger. Uma das diferenças

entre esses processos reside na complexidade da cadeia de rearranjos

decorrentes de cada tipo de emissão. Quando um fóton de raios X característicos

é emitido pelo átomo, uma vacância em uma camada eletrônica aparece, e que

deve ser novamente preenchida. No caso da emissão de um elétron Auger, duas

vacâncias aparecem. Além disso, após uma ionização, diferentes combinações

destes fenômenos podem ocorrer.

Um conjunto de linhas espectrais características dos espectros de raios X

utilizados em aplicações médicas, em especial na mamografia, são os dubletos

𝐾∝1 e 𝐾∝2, relacionados a transições que ocorrem após a ionização na camada-

19

K do átomo. Estas linhas respeitam as regras de seleção para radiação de dipolo

(Jackson, 1999, Eisberg and Resnick, 1994). A energia do dubleto 𝐾𝛼 pode ser

calculada pela fórmula aproximada (Dyson, 1990):

𝐸 =3

4𝑅ℎ𝑐(𝑍 − 𝜎𝑚)

2 (28)

Com 𝜎𝑚 ≈ 1, que foi obtida por Moseley e a dependência em 𝑍2 é conhecida

como Lei de Moseley. As linhas 𝐾𝛽 apresentam linhas correspondentes a

energias ligeiramente superiores às linhas 𝐾𝛼, sendo 2,5% mais altas para o

sódio, que é o elemento químico mais leve no qual linhas 𝐾𝛽 podem aparecer, e

15% mais energéticas para o urânio.

O tratamento das linhas características L é importante para o correto

entendimento da fenomenologia associada ao processo de transições

eletrônicas em átomos ionizados. Contudo, as emissões de fótons referentes a

estas linhas têm poucas aplicações práticas na área de imagens médicas. Estas

linhas aparecerem em espectros muito fracamente filtrados e são de importância

marginal para os casos que serão explorados no presente documento. Assim,

uma abordagem detalhada pode ser obtida com a leitura de textos didáticos de

Física Moderna ou no capítulo 3 do livro de Dyson (Dyson, 1990).

Linus Pauling, em 1927, realizou cálculos teóricos para as constantes 𝜎𝑠 e 𝜎𝑠´

(Pauling, 1927), obtendo excelente concordância com resultados experimentais.

O tratamento matemático e conceitual para obtenção destas constantes é

bastante complexo, mas a ideia geral é relativamente simples.

O efeito da blindagem do campo do núcleo depende da quantidade de carga

parcial que existe no interior do átomo. Assim, depende daquelas cargas

distribuídas em raios menores que o raio da carga que está sentindo campo

(blindagem interna) e das cargas distribuídas em raios superiores (blindagem

externa). A blindagem interna depende, fundamentalmente, da carga total

contida dentro do raio de interesse e sua distribuição é pouco importante. Por

outro lado, a blindagem externa tem forte dependência na distribuição de cargas,

uma vez que cargas distribuídas muito distantes do raio de interesse vão produzir

um efeito de blindagem pequeno em comparação com aquelas cargas situadas

em raios ligeiramente superiores ao raio onde se situa a carga que está sujeita

aos efeitos do campo. Uma discussão detalhada e bem referenciada relacionada

aos valores de 𝜎𝑠 e 𝜎𝑠´ pode ser encontrada em (Bambynek et al., 1972) e na

20

dissertação de mestrado de Suelen Barros (Barros, 2014), que acompanha uma

excelente pesquisa bibliográfica sobre o assunto.

Para o interesse do presente trabalho é importante tratar dos temas

relacionados ao rendimento da produção de radiação fluorescente e do efeito

Auger, citado anteriormente. Após um elétron acelerado por uma dada diferença

de potencial atingir um átomo do alvo e ionizá-lo, removendo um elétron orbital

de uma das camadas internas, o rearranjo eletrônico pode gerar um fóton de

raios X ou, alternativamente, ocorrer uma transição não-radiativa. Neste caso, a

energia disponibilizada pelo processo de acomodação das camadas eletrônicas

é utilizada para liberar outro elétron orbital de uma das camadas mais externas.

Este processo é conhecido como efeito Auger e o elétron ejetado é chamado

elétron Auger (Johns and Cunningham, 1983, Podgorsak, 2010). Para um átomo

com muitas camadas eletrônicas que realiza processos Auger após uma

ionização, um grande conjunto de recombinações eletrônicas são possíveis, o

que torna o espectro de emissões Auger bastante complexo (Dyson, 1990).

Sem entrar em maiores detalhes destes processos, pode-se definir o

rendimento fluorescente após a ionização de um átomo com a remoção de um

elétron da camada K como:

𝜔𝐾 =𝑁𝐾

𝑁𝐾 + 𝐴𝐾 (29)

Onde 𝑁𝐾 é o número de fótons de raios X da série K emitidos e 𝐴𝐾 é o número

correspondente de elétrons Auger. Assim, a determinação de valores dos

rendimentos 𝜔𝐾 (ou 𝜔𝐿, 𝜔𝑀, etc.) para diferentes átomos depende,

fundamentalmente, das probabilidades relativas de ocorrência destes dois

processos competitivos. De forma simplificada, pode-se determinar que a

probabilidade de ocorrência de emissões de elétrons Auger varia pouco com o

número atômico, enquanto a probabilidade de emissão de raios X característicos

é proporcional à 𝑍4. Isso é demonstrado por Dyson (Dyson, 1990) considerando

a emissão radiativa pelo átomo como um oscilador clássico amortecido,

chegando no resultado:

𝜔𝐾 =𝑍4

𝑎𝐾+𝑍4, 𝑎𝐾 = 1,12 × 10

6 (30)

Bambynek e col. (Bambynek et al., 1972) apresentam uma versão polinomial

semiempírica relacionando o rendimento fluorescente com o número atômico:

21

[𝜔𝐾

1 − 𝜔𝐾]

14

= 𝐵0 + ∑ 𝐵𝑖𝑍𝑖

𝑝

𝑖=1

(31)

Onde os valores das constantes do polinômio referentes às medições

realizadas por diferentes autores estão tabelados em (Bambynek et al., 1972).

Além disso, Dyson (Dyson, 1990) faz um resumo da quantificação do rendimento

fluorescente quando o elétron removido do átomo se situava na camada L.

Outro tema relevante para a correta interpretação dos espectros de raios X

obtidos em equipamentos de uso em Medicina diagnóstica ou para aplicações

associadas é a intensidade relativa das linhas características que aparecem

nestes espectros. Este tema foi, e vem sendo, tratado por diversos autores e

resultados obtidos pelo autor do presente texto, em colaboração com outros

colegas e estudantes, será discutida posteriormente (Lopez Gonzales et al.,

2015, Bontempi et al., 2016)

Dyson (Dyson, 1990) apresenta, ainda que de forma resumida dada a

complexidade do assunto, a influência das regras de transição e redistribuições

de Coster-Kronig e como elas influenciam, estatisticamente, as intensidades

relativas das linhas características que ocorrem após processos de ionização de

um átomo (Wu et al., 2012, Rahangdale et al., 2016, Barros et al., 2015,

Fernandez-Varea et al., 2014).

Podemos, enfim, apresentar os fundamentos básicos relacionados à emissão

de radiação característica por alvos finos e espessos. No caso de alvos finos, a

expressão para a seção de choque de ionização associada à (𝑛, 𝑙)-ésima

camada, 𝜎𝑛.𝑙, pode ser expressa como:

𝜎𝑛𝑙 =1

(4𝜋𝜀0)22𝜋𝑒4𝑍𝑛𝑙

𝑚0𝑣2|𝐸𝑛𝑙|𝑏𝑛𝑙𝑙𝑛 [

2𝑚0𝑣2

𝐵𝑛𝑙] (32)

Nesta equação, 𝑍𝑛𝑙 é o número de elétrons na camada, |𝐸𝑛𝑙| é a energia

de ligação dos elétrons na camada considerada, 𝑏𝑛𝑙 é uma constante numérica,

𝐵𝑛𝑙 é uma função da energia de ligação dos elétrons e 𝑒, 𝑚0 e 𝑣 são,

respectivamente, a carga, a massa de repouso e a velocidade dos elétrons

incidentes. Após uma série de considerações práticas, Dyson apresenta a

seguinte expressão para esta seção de choque, considerando a interação de um

elétron com energia cinética superior a energia de ligação da camada K de um

átomo e ionizando-o pela remoção do elétron desta camada:

22

𝜎𝐾 =1

(4𝜋𝜀0)22𝜋𝑒4

𝐸𝐸𝐾𝑏𝐾𝑙𝑛[𝑈𝐾] (33)

Na equação (33), 𝐸 é a energia cinética do elétron incidente, 𝐸𝐾 é a

energia de excitação da camada K e 𝑈𝐾 = 𝐸 𝐸𝐾⁄ é a razão de excitação. Esta

expressão é bem confirmada por resultados experimentais provenientes de

interação de elétrons com alvos finos de diferentes materiais. Mais uma vez,

Dyson (Dyson, 1990) apresenta uma detalhada comparação entre o resultado

apresentado na equação (33) e dados experimentais de diferentes autores.

A abordagem de maior importância para as aplicações relacionadas ao

presente trabalho é aquela que assume que o alvo é espesso. Neste caso, os

elétrons que atingem o alvo perdem, gradualmente, sua energia cinética através

de interações elásticas e inelásticas. Assim, a seção de choque para obtenção

do rendimento fluorescente relacionado à radiação característica deve ser

integrada considerando a distância que o elétron percorre dentro do alvo. Pra

isso, utiliza-se a expressão para perda de energia inicial, 𝐸0, do elétron incidente

e considerando ionizações na camada K, o número de fótons de raios X emitidos

por elétron incidente é dado por:

𝑁𝐾 = 𝜔𝐾 ∫ 𝜎𝐾

𝐸𝐾

𝐸0

𝑛 (𝑑𝐸

𝑑𝑥)

−1

𝑑𝐸 (34)

Nesta equação, 𝑛 é o número de átomos por unidade de volume e 𝑑𝐸

𝑑𝑥 é o

poder de freamento do material para elétrons incidentes, dado pela fórmula de

Bethe-Block. Esta fórmula, que é apresentada na maioria dos textos didáticos da

área de Física das Radiações (Johns and Cunningham, 1983, Podgorsak, 2010)

pode ser representada como:

𝑑𝐸

𝑑𝑥= −

1

(4𝜋𝜀0)24𝜋𝑒4𝑛𝑍

𝑚0𝑣2𝑙𝑛 [(

𝑒

2)

12 𝑚0𝑣

2

2𝐽 ̅]

= −1

(4𝜋𝜀0)22𝜋𝑒4𝑛𝑍

𝐸𝑙𝑛 [(

𝑒

2)

12 𝐸

𝐽 ̅] ≈ −

1

(4𝜋𝜀0)2𝑘𝑛𝑍

2𝐸

(35)

Nesta equação, 𝐽 ̅ é a média geométrica dos potencias de ionização e

excitação do átomo e 𝑘 é uma constante. A última aproximação considera a

pequena variação do termo logarítmico com 𝑍 e com 𝐸 e é válida como uma boa

aproximação para elétrons incidentes com energias inferiores a 40 keV.

23

Substituindo a equação (33) em (34) e utilizando o resultado obtido na

equação (35) temos:

𝑁𝐾 =𝜔𝐾4𝜋𝑒

4𝑏𝑘𝑘𝑍𝐸𝐾

∫ 𝑙𝑛 [𝐸

𝐸𝐾] 𝑑𝐸 =

𝐸0

𝐸𝐾

𝜔𝐾4𝜋𝑒4𝑏𝑘

𝑘𝑍[𝑈0𝑙𝑛𝑈0 − (𝑈0 − 1)] (36)

Onde 𝑈0 =𝐸0

𝐸𝐾⁄ . Introduzindo, explicitamente, a dependência do

rendimento fluorescente usando a equação (30), temos:

𝑁𝐾 =𝑍3

𝑎𝐾 + 𝑍44𝜋𝑒4𝑏𝑘

𝑘[𝑈0𝑙𝑛𝑈0 − (𝑈0 − 1)] (37)

A Figura 1 apresenta o comportamento do número de fótons gerados por

fluorescência após a remoção direta de um elétron da camada K de um átomo.

O gráfico apresenta somente o comportamento da proporcionalidade

𝑍3 (𝑎𝐾 + 𝑍4)⁄ , com os demais termos da equação (37) aparecendo como um

fator de normalização. Nota-se que, para elementos leves, o crescimento do

número de fótons emitidos é dominado pelo termo 𝑍3 e cresce rapidamente.

Porém, para átomos com número atômico próximos a 40 esta tendência se

inverte e o termo em 𝑍4 no denominador passa a dominar. Além disso, nota-se

que o rendimento de produção de radiação fluorescente é a mesma,

independente da energia do elétron incidente, desde que este tenha energia

suficiente para provocar o processo de ionização do átomo.

0 20 40 60 80 100

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

NK/[

(4e

4b

K/k

)(U

0ln

U0-(

U0-1

)]

Z

Figura 1 - Comportamento do número de fótons gerados por fluorescência após a remoção direta de um elétron da camada K de um átomo

24

O modelamento para radiação fluorescente apresentado até aqui leva em

consideração somente a ionização de átomos resulta diretamente da interação

com elétrons incidentes. Contudo, quando se trata de alvos espessos, a radiação

contínua gerada no alvo contém fótons com energia suficiente para, também,

provocar ionizações nos átomos e provocar a emissão de radiação de

fluorescência. Este fenômeno, conhecido como produção indireta de radiação

fluorescente, aumenta a intensidade de raios X característicos no espectro. Este

aumento depende, entre outras coisas, da quantidade de fótons produzidos pelo

processo de bremsstrahlung no material do alvo.

A quantificação desta contribuição ao espectro discreto produzido por alvos

espessos pode ser realizada considerando a razão:

𝑆 =𝑌𝐾𝑁𝑐

(38)

Onde o numerador representa o número de ionizações da camada K

produzidas por impacto de elétrons e o denominador o número de fótons no

espectro contínuo com energia ℎ𝜈 > 𝐸𝐾. Inicialmente pode-se considerar o

cálculo de 𝑌𝐾 como:

𝑌𝐾 = 𝑛 ∫ 𝜎𝐾𝑑𝑥𝑥𝐾

0

=1

(4𝜋𝜀0)22𝜋𝑒4

𝐸𝐾𝑏𝐾𝑛 ∫

1

𝐸𝑙𝑛 [

4𝐸

𝐵𝐾] 𝑑𝑥

𝑥𝐾

0

=1

(4𝜋𝜀0)22𝜋𝑒4

𝐸𝐾𝑏𝐾𝑛 ∫ 𝑙𝑛 [

4𝐸

𝐵𝐾]

1

𝐸

𝑑𝑥

𝑑𝐸𝑑𝐸

𝐸𝑥

𝐸0

(39)

Nesta equação, 𝑛 representa o número de átomos por unidade de volume

do material do alvo, 𝜎𝐾 é a seção de choque de ionização definida na equação

(33) e 𝑥𝐾 é a distância que os elétrons atravessam até perderem energia e esta

se tornar inferior à energia necessária para ionização dos átomos do alvo. A

partir da equação (35), pode-se definir a Lei de Thomsom-Widdington (Dyson,

1990) como:

𝑑𝑥

𝑑𝐸=-(4𝜋𝜀0)

2 2𝐸

𝑘𝑛𝑍 (40)

Substituindo (40) em (39) e definindo 𝐵𝐾 = 𝑎𝐸𝐾 e 𝑈0 = 𝐸𝑜 𝐸𝐾⁄ , obtemos:

𝑌𝐾 =4𝜋𝑒3𝑏𝐾

𝑍𝑘[𝑈0𝑙𝑛 (

4𝑈0𝑎

) − (𝑈0 − 1) − 𝑙𝑛 (4

𝑎)] (41)

Para o cálculo do denominador da equação (38), pode-se retomar a expressão

definida na equação Erro! Fonte de referência não encontrada., desprezando-

25

se o termo de baixa amplitude que varia com 𝑍2 e representando-a como a

energia irradiada por unidade de frequência por elétron incidente como

𝐸𝜈 = 𝐶𝑍(𝜈0 − 𝜈) (42)

Na equação (42), 𝐶 = 𝐴𝑐𝑒. Assim, o número de fótons com energia ℎ𝜈

produzidos pode ser expresso como

𝑛𝜈 =𝐶𝑍(𝜈0 − 𝜈)

ℎ𝜈 (43)

Deste modo, o número de fótons de raios X característicos criados de forma

indireta, pela interação fluorescente causada por fótons do espectro contínuo é

dada por:

𝑁𝑐 = ∫ 𝑛𝜈𝑑𝜈𝜈0

𝜈𝐾

=𝐶𝑍

ℎ∫

(𝜈0 − 𝜈)

𝜈𝑑𝜈

𝜈0

𝜈𝐾

=𝐶𝑍

ℎ[𝜈0𝑙𝑛 (

𝜈0𝜈𝐾

) − (𝜈0 − 𝜈𝐾)] =𝐶𝑍𝐸𝐾

ℎ2[𝑈0𝑙𝑛(𝑈0) − (𝑈0 − 1)]

(44)

Por fim, combinando (44) e (43) obtemos

𝑆 =4𝜋𝑒4ℎ2𝑏𝐾𝐶𝐸𝐾𝑘𝑍2

[𝑈0𝑙𝑛 (4𝑈0

𝑎 ) −(𝑈0 − 1) − 𝑙𝑛 (

4𝑎)]

[𝑈0𝑙𝑛(𝑈0) − (𝑈0 − 1)] (45)

Outro parâmetro importante para a análise das linhas características emitidas

em espetros provenientes de alvos espessos é dado pela razão entre o número

de ionizações da camada K produzidas por impacto de elétrons e o número de

ionizações produzidas por fluorescência:

𝑃 =𝑌𝐾𝐹𝐾

(46)

Esta razão representa a proporcionalidade entre os processos de ionizações

provocados pelos diferentes estímulos (impacto dos elétrons ou radiação

fluorescente). O fenômeno foi estudado por diversos autores para os elementos

químicos prata, paládio e cobre (Dyson, 1990), que encontraram valores

aproximadamente constantes para uma grande faixa de tensões de aceleração

dos elétrons. Usando esta grandeza, pode-se expressar o aumento da radiação

fluorescente produzida devido a produção indireta como (𝑃 + 1) 𝑃⁄ .

Para obter uma representação mais exata do número de fótons produzidos por

radiação fluorescente relacionados à ionização da camada K, deve-se levar em

consideração o efeito de retroespalhamento dos elétrons, que reduz a eficiência

26

de produção desta radiação por um fator 𝑅, e o efeito da auto-absorção dos

fótons produzidos pelo próprio material do alvo, representada por 𝑓(ℎ𝜈, 𝜃), que

será definida adiante.

Assim, combinando esses fatores e a razão (𝑃 + 1) 𝑃⁄ com e equação (34),

obtém-se

𝑁𝐾 = 𝜔𝐾𝑛𝑓(ℎ𝜈, 𝜃) (𝑃 + 1

𝑃) ∫ 𝜎𝐾

𝐸𝐾

𝐸0

(𝑑𝐸

𝑑𝑥)

−1

𝑑𝐸 (47)

Dyson (Dyson, 1990) discute e apresenta resultados de diferentes abordagens

práticas, com resultados experimentais e cálculos numéricos realizados por

diferentes autores referentes aos possíveis valores de 𝑌𝐾. Um desses resultados,

obtidos por Green e Cosslett (Green and Cosslett, 1961), representa uma

aproximação numérica da intensidade de raios X fluorescentes emitidos como:

𝑌𝐾 = 9,54 × 104

𝑅𝜔𝐾𝑐𝐴

[𝑈0𝑙𝑛(𝑈0) − (𝑈0 − 1)] (48)

Na equação acima, 𝜔𝐾 é o rendimento de produção de radiação fluorescente

da camada K e 𝑐 =1

(4𝜋𝜀0)2𝑁𝐴𝑘𝑍

𝐴, sendo 𝑁𝐴 o número de Avogadro e 𝐴 o número

de massa dos átomos que compõe o alvo e 𝑅 varia pouco com a energia do

elétron.

A fração fluorescente produzida indiretamente é corresponde à parte do

espectro de fluorescência emitido pela excitação por fótons do espectro contínuo

com energias superiores a 𝐸𝐾.

Dyson (Dyson, 1990) afirma que cerca da metade dos fótons incidentes em um

alvo com a forma convencional será absorvida pelo próprio alvo. Desta forma,

tem-se:

𝐹𝐾 =1

2𝑁(ℎ𝜈 > 𝐸𝐾)𝑓𝐾 (49)

Ona equação (49), 𝑓𝐾 = (𝑟𝐾 − 1) 𝑟𝐾⁄ é a proporção das interações dos raios X

dentro do alvo que ocorrem com elétrons da camada K, sendo 𝑟𝐾 a razão da

descontinuidade da absorção na borda K, relacionada à ocorrência do efeito

fotoelétrico.

O número de fótons produzidos por elétron incidente por intervalo de energia

(em keV) para o espectro contínuo pode ser obtido, usando a equação (43),

como:

27

𝑛(ℎ𝜈) =𝐶𝑍

ℎ2(ℎ𝜈0 − ℎ𝜈)

ℎ𝜈= 2,76 × 10−6𝑍

(ℎ𝜈0 − ℎ𝜈)

ℎ𝜈 (50)

Assim,

𝑁(ℎ𝜈 > 𝐸𝐾) = 2,76 × 10−6𝑍 ∫

(ℎ𝜈0 − ℎ𝜈)

ℎ𝜈𝑑(ℎ𝜈)

ℎ𝜈𝑘

ℎ𝜈0

= 2,76 × 10−6𝑍ℎ𝜈𝑘[𝑈0𝑙𝑛(𝑈0) − (𝑈0 − 1)]

(51)

Usando a fórmula empírica

ℎ𝜈𝐾 = 1,263 × 10−2(𝑍 − 2)2 [𝑘𝑒𝑉] (52)

E considerando

𝑟𝐾−1

𝑟𝐾≈ 0,85 𝑝𝑎𝑟𝑎 30 ≤ 𝑍 ≤ 80 (53)

Conclui-se que

𝐹𝐾 = 1,46 × 10−8(𝑍 − 2)2𝑍𝜔𝐾[𝑈0𝑙𝑛(𝑈0) − (𝑈0 − 1)] (54)

Assim, o número total de fótons de raios X fluorescentes provenientes de

interações com a camada K produzidos por elétron incidente no alvo pode ser

obtido adicionando as equações (47) e (55):

𝑁𝐾 = 𝑌𝐾+𝐹𝐾

= 𝜔𝐾 (9,54 × 104

𝑅

𝑐𝐴+ 1,46 × 10−8(𝑍 − 2)2𝑍) [𝑈0𝑙𝑛(𝑈0)

− (𝑈0 − 1)]

(55)

Expressando a relação acima na forma de fótons por unidade de ângulo sólido

(esterradianos) obtém-se (Dyson, 1990):

𝑁𝐾4𝜋

= 𝜔𝐾 (2,80 × 103

𝑅

𝑐𝐴+ 4,27 × 10−10(𝑍 − 2)2𝑍) (𝑈0 − 1)

1,67 (56)

Onde foi utilizada a relação semiempírica, válida para 1,5 ≤ 𝑈0 ≤ 16 com erro

inferior a 10%:

[𝑈0𝑙𝑛(𝑈0) − (𝑈0 − 1)] ≈0,365(𝑈0 − 1)1,67

As últimas considerações a serem feitas com respeito à produção de

raios X característicos referem-se às correções a serem adotadas devido à

variação da produção de radiação deste tipo com a profundidade no alvo e

devido a efeitos de auto-absorção. Assim, supondo que um elétron tem energia

inicial 𝐸0 e atinge um alvo espesso, após atravessar uma distância 𝑥 no alvo, o

número de ionizações pode ser representado por (Dyson, 1990):

𝑌𝐾𝑑𝑥 = 𝜎𝐾(𝐸)𝑛𝑑𝑥 (57)

28

Usando a equação (33), pode-se escrever:

𝜎𝐾𝐸𝐾2 =

1

(4𝜋𝜀0)22𝜋𝑒4

𝐸𝐸𝐾

𝑏𝐾𝑙𝑛[𝑈𝐾] =1

(4𝜋𝜀0)22𝜋𝑒4

𝑈𝐾𝑏𝐾𝑙𝑛[𝑈𝐾]

Da equação (35), obtemos, por integração:

𝐸 = 𝐸0(1 −𝑥

𝑥0⁄ )1/2

A equação (57) pode ser utilizada para representar a quantidade de ionizações

por elétron incidente por unidade de comprimento do caminho percorrido em

função da penetração dentro do alvo como

𝑌𝐾𝑑𝑥 =1

(4𝜋𝜀0)22𝜋𝑒4𝑛𝑏𝐾

𝑈0𝐸𝐾2(1 − 𝑥 𝑥0⁄ )

1/2𝑙𝑛 [𝑈0(1 −

𝑥𝑥0⁄ )

1/2] 𝑑𝑥 (58)

Onde 𝑈0 =𝐸0

𝐸𝐾⁄

O retroespalhamento dos elétrons incidentes no alvo é o fator preponderante

que afeta a produção de raios X característicos associados às camadas

eletrônicas mais internas dos átomos do alvo. A produção deste tipo de radiação

irá diminuir em profundidades maiores do alvo e irá aumentar sua produção em

camadas mais superficiais do alvo (Dyson, 1990, Behling, 2015). O

retroespalhamento, contudo, irá sempre ter um efeito redutor em relação à

quantidade total que poderia ser produzida, em especial devido à perda de

elétrons na superfície do alvo. O fator de redução, como apresentado

anteriormente, é denotado por 𝑅.

O tratamento adequado desta parte do problema da geração de

radiação X por alvos espessos passa pela análise da razão entre a radiação

emitida e a gerada dentro do alvo, ou seja:

𝑓(ℎ𝜈, 𝜃) =∫ 𝐼(𝜌𝑧)𝑒−[𝜒(ℎ𝜈,𝜃)∙𝜌𝑧]𝑑(𝜌𝑧)

∞

0

∫ 𝐼(𝜌𝑧)𝑑(𝜌𝑧)∞

0

(59)

Na equação (59), 𝜃 representa o ângulo de saída ou de observação dos raios

X que emergem do alvo, 𝜒(ℎ𝜈, 𝜃) = (𝜇

𝜌) (ℎ𝜈)𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝜃), sendo (

𝜇

𝜌) (ℎ𝜈) o

coeficiente de atenuação mássico do material do alvo em função da energia dos

fótons e 𝑧 representa a profundidade no alvo em que a radiação característica

foi gerada. Dyson (Dyson, 1990) ressalta que, à medida que 𝑧 aumenta, a

magnitude de 𝑥 progressivamente aumenta devido à maior obliquidade da

trajetória do elétron, resultante de sua perda de energia.

29

O fator 𝑧 × 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝜃) corresponde ao caminho percorrido pelos fótons dentro do

alvo. Este mesmo tratamento foi adotado por Soole (Soole, 1972, Soole and

Jager, 1970, Soole, 1971, Soole, 1977), na década de 1970, tanto para espectros

contínuos quanto para a radiação característica. Esta mesma abordagem foi

adotada, posteriormente, em modelos mais sofisticados para previsão de

espectros de raios X e que serão tratados posteriormente neste texto (Tucker et

al., 1991, Costa et al., 2007).

Este tema foi amplamente estudado nas décadas de 1960 e 1970 por diferentes

métodos. Green (Green, 1963) e Bishop (Bishop, 1965) trataram a questão

através de simulação Monte Carlo, exemplificando os resultados através da

interação de elétrons com alvos de cobre. Green obteve ainda, resultados para

a distribuição angular e da anisotropia da radiação característica emergente

deste tipo de alvo, correlacionando estes efeitos com auto-absorção da radiação

(Green, 1964). Neste estudo, o autor demonstrou que a função definida em (59)

é, aproximadamente, independente do número atômico.

Green (Green, 1964) faz, ainda, um interessante tratamento para obtenção de

curvas genéricas para as produções direta e indireta de radiação característica

por diferentes materiais utilizados como alvo, considerando a auto-atenuação

pelo material. Para isso, considera que, após o elétron atingir a uma

profundidade na qual fenômenos de difusão dominam a trajetória do elétron

dentro do alvo, o mesmo se movimenta de forma aleatória até alcançar uma

energia cinética semelhante à energia térmica do meio. Assim, sendo 𝑙 o livre

caminho médio do elétron e 𝑀 o número de eventos de espalhamento que

ocorrem enquanto ele percorre este caminho, o alcance medido ao longo de sua

trajetória pode ser dado por:

𝑥 = 𝑀𝑙 = 𝑘𝐸𝑛 (60)

Na relação (60) deve-se assumir que 1,7 ≤ 𝑛 ≤ 2 e 𝑘 é uma constante de

proporcionalidade (Green, 1964). A penetração dos elétrons pode, então, ser

definida como:

𝑧 = 𝑙√𝑀 = 𝑙(𝑘𝐸𝑛)12 (61)

Considerando a faixa de valores previstos para 𝑛, espera-se uma relação quase

linear entre a penetração dos elétrons e a energia dos elétrons após estes

alcançarem a condição de difusão. Dyson (Dyson, 1990) ressalta, ainda, que a

30

hipótese de aleatoriedade da trajetória dos elétrons é tanto melhor quanto maior

o número atômico do meio, devido ao aumento da probabilidade de

espalhamento devido ao potencial nuclear nestes casos.

Para concluir a discussão sobre esse tema, é de interesse prático associar os

resultados obtidos para a razão entre o espectro característico e o contínuo

produzidos com o bombardeio de elétrons em um alvo espesso. Este tema será

retomado posteriormente neste trabalho, em conexão com os trabalhos recentes

com colaboração do autor (Lopez Gonzales et al., 2015, Bontempi et al., 2016).

Aqui será apresentado, a título de introdução, a abordagem apresentada por

Dyson (Dyson, 1990), baseado nos dados experimentais de Green (Green,

1963) e Tothill (Tothill, 1968).

Tothill apresenta resultados da razão entre a intensidade das linhas

características 𝐾𝛼 = 𝐾𝛼1 + 𝐾𝛼2 e o espectro de radiação contínua para espectros

obtidos com alvo de tungstênio e tensões de aceleração dos elétrons de até 250

kV. Apresenta, também, uma interessante discussão teórica com base em

resultados anteriores de outros autores, que compara com seus valores obtidos

experimentalmente utilizando contadores proporcionais.

A razão 𝑆, definida na equação (38), pode agora ser revista considerando a

razão 𝐽𝑑 e ter as intensidades da radiação característica 𝐾𝛼 diretamente

produzidas e a radiação contínua. Esta grandeza pode ser representada por:

𝐽𝑑 = 2𝑆𝑓𝛼𝜔𝐾ℎ𝜈𝐾𝛼ℎ𝜈𝐾[𝑈0𝑙𝑛𝑈0 − (𝑈0 − 1)]𝐸02

= 2𝑆𝑓𝛼𝜔𝐾ℎ𝜈𝐾𝛼ℎ𝜈𝐾

[𝑈0𝑙𝑛𝑈0 − (𝑈0 − 1)]𝑈02

(62)

Para considerar a produção indireta de radiação característica, a equação (62)

precisa ser multiplicada pelo fator (𝑃+1

𝑃), como discutido na dedução da equação

(47).

31

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