processos aleatórios e ruído - faculdade de tecnologialeobravo/gerais/notas de aula slides.pdf ·...

Telecomunicações 1(TEC) 1

Processos Aleatórios e Ruído• Revisões Estatística• Variável aleatória X

• Momentos mais importantes são

( ) ( )

( ) ( )

[ ] ( )∫∞

∞−

=

=

≤=

dxxfxXEnOrdemdeMomentos

xFdx

dxfadeprobabiliddedensidadeFunção

xXPxFcumulativaãodistribuiçdeFunção

nn

XX

X

- média (valor esperado) n=1 µX=E[X]=- valor quadrático médio n=2 E[X2]

X


Processos Aleatórios e Ruído

Se y=g(x) será [ ] ( )[ ] ( ) ( )dxxfxgXgEYE X∫∞

∞−

==

Momentos centrais de ordem n

( )[ ] ( ) ( )dxxfxXE X

n

Xn

X ∫∞

∞−

−=− µµ

Momento central de ordem 1 é sempre nulo

Momento central de ordem 2 é a variância

[ ] ( )[ ] ( ) ( )dxxfxXEX XXXX ∫∞

∞−

−=−== 222 var µµσ

σX chama-se desvio padrão



Obviamente

[ ] [ ] [ ][ ] 22

22222 22

X

XXXXX

XE

XEXEXXE

µ

µµµµσ

−=

=+−=+−=

Assim a variância é igual ao valor quadrático médio apenas se amédia for nula.



Momentos conjuntos de duas variáveis X e Y

• Caso geral[ ] ( )dxdyyxfyxYXE XY

jiji ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

= ,

• Caso particular- corr elação - i=j=1

[ ] ( )dxdyyxxyfXYE XY∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

= ,

• Correlação das variáveis X-µX e Y-µY chama-se covariância

[ ] [ ] YXXYEXY µµ−=cov


Processos Aleatórios e Ruído• Coeficiente de correlação de X e Y

[ ])(cov

covanormalizadariância

XY

YXσσρ =

• X e Y são descorrelacionadas se cov[XY]=0

• X e Y são ortogonais se E[XY]=0 (correlação nula)

• Se X e Y tiverem média nula e forem ortogonais então são descorrelacionadas

• Se X e Y forem estatisticamente independentes são descorrelacionadas (inverso pode não ser verdadeiro)



• Conceito de processo aleatório

Espaço de Amostras

t

t

t

tk

X1(t)

X2(t)

Xn(t)



• As funções amostra do processo são Xn(t), cada uma delas umafunção da variável tempo

• Para um instante fixo tk os valores das diversas funções amostraconstituem uma variável aleatória no conjunto das funçõesamostra

( ){ } ( ) ( ) ( ){ }knkkk txtxtxtX ,...,, 21=Instantes diferentes corresponderão a variáveis aleatórias diferentes.

Processo Aleatóri o é a designação atribuida ao conjunto destas variáveis aleatórias



• Assim para uma variável aleatória o resultadode uma experiência aleatória é um númeroenquanto para um processo aleatório o resultadode uma experiência aleatória é uma função dotempo (função amostra do processo aleatório)



• A caracterização estatística dum processo aleatório faz-se dando

( ) ( ) ( )( )ktXtXtX xxxFk

,...,, 21...21

Se deslocarmos todos os instantes de observação de um mesmo valor τ teremos

( ) ( ) ( )( )ktXtXtX xxxFk

,...,, 21...21 τττ +++

Um processo diz-se estacionári o no sentido estrito se

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )ktXtXtXktXtXtX xxxFxxxFkk

,...,,,...,, 21...21... 2121=+++ τττ



• Num processo estacionário no sentido estrito verifica-senecessariamente:

- a função de distribuição de 1ª ordem é independente do tempo

- a função de distribuição de segunda ordem só depende do intervalo de tempo entre os instantes de observação

( )( ) ( )( ) ( )xFxFxF XtXtX == +τ

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2121021 ,,,1221

ttxxFxxF ttXXtXtX ∀= −



• Um processo aleatório diz-se estacionário no sentido lato se

µX(t)=µX para todo o tRX(t1,t2)=RX(t2-t1) para todo o t1 e t2

Estas duas condições não são suficientes para garantir esta-cionaridade no sentido estrito.

Todos os processos estacionários no sentido estrito são obviamente estacionários no sentido lato.



• A média de um processo estacionário é então independente dotempo

( ) ( )[ ] ( )( ) XtXX dxxxftXEt µµ === ∫∞

∞−

Chama-se função de autocorrelação do processo aleatório X a

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )

( ) ( ) 211221

2121212121

,,

,,21

ttttRttR

seráioestacionárforprocessooSe

dxdxxxfxxtXtXEttR

XX

tXtXX

∀−=

== ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−



• È costume escrever τ=t2-t1 vindo:

( )τXR

Idêntica nota-se se pode usar para a covariância.Propriedades

( ) [ ]( ) ( )( ) ( )0

0 2

XX

XX

X

RR

RR

XER

≤−=

=

τττ



• Significado físico da autocorrelação

• Mede a interdependência entre as variáveis aleatóriascorrespondentes à amplitude de um processo em instantediferentes. Se um processo for de variação rápida no tempo afunção de autocorrelação decresce rapidamente a partir daorigem.

Variação lentaVariação rápida

RX(τ)



• Exemplo: processo gera amostras dadas por

( ) ( )

( ) dissoforaemf

tfAtX c

0,2

1

,2cos

πθππ

θ

π

<<−=

Θ+=

ΘSerá

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( )[ ]=+++=

=+=

θτπθπ

ττ

tftfAE

tXtXER

cc

X

2cos2cos2



• donde

( ) ( )[ ] ( )[ ]τπθτππτ cccX fEA

ftfEA

R 2cos2

24cos2

22

+++=

O primeiro termo é nulo logo

( ) ( )τπτ cX fA

R 2cos2

2

=

A potência média do processo será E[X2]=RX(0)=A2/2



• Médias temporais de funções amostra

( )

observaçãodeervalooTtTsendo

XdttxT

TT

T

X

int

)(2

1

<<−

>=<= ∫−

µ

No caso geral µX(T) é uma variável aleatória pois depende dointervalo de tempo escolhida para a observação.



• Se o processo for estacionário no sentido latoserá

( )[ ] ( ) ( )[ ]

X

T

T

X

T

T

T

T

X

dtT

dttxET

dttxT

ETE

µµ

µ

==

==

=

∫

∫∫

−

−−

2

1

2

1

2

1

Diz-se que a média temporal é uma estimativa não tendenciosa(ou não enviesada) da média de conjunto.



• A função de autocorrelação temporal de x(t) observada em -T<t<T define-se de forma idêntica por

( ) ( ) ( )∫−

+=T

T

X dttxtxT

TR ττ2

1,

RX é também uma variável aleatória.



• Um processo aleatório diz-se ergódico na média se as médias deconjunto e as médias temporais forem iguais. Nesse caso

( )( )[ ] 0varlim

lim

=

=

∞→

∞→

T

T

XT

XXT

µ

µµ

Um processo aleatório diz-se ergódico na autocorrelação se

( ) ( )( )[ ] 0,varlim

,lim

=

=

∞→

∞→

TR

RTR

XT

XXT

τ

ττ



• Para ser ergódico um processo X(t) tem de serestacionário no sentido lato.

• O conceito de estacionaridade pode estender-sea estatísticas de ordem superior.

• Os processo ergódicos que vamos estudar sãoergódicos, que se ajustam bem à repre-sentaçãodo ruído que queremos desenvolver



• Transmissão de um processo aleatório atravésde um sistema linear(fi ltro linear invariante no tempo) com resposta impulsional h(t)

h(t)X(t) Y(t)

Pode provar-se que se X(t) for estacionário no sentido lato, Y(t) também será.



• O processo aleatório à saída estará relacionado com o da entradapois

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 111111

111

111

ττµττττµ

τττµ

τττ

dthdtXEht

dtXhEtYEt

sendo

dtXhtY

XY

Y

−=−=

−==

−=

∫∫

∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−



• Se o processo for estacionário como é normalconsiderar-se em Telecomunicações

( ) ( )011 Hdh XXY µττµµ == ∫∞

∞−

A função de autocorrelação da saída para os instantes t e u será

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−−= ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−222111, ττττττ dtXhdtXhEutRY



• Para o caso particular do processo ser estacionário será

( ) ( ) ( ) ( ) 212121 ττττττττ ddRhhR XY −−= ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

Dado que RY(0)=E[Y2] obtem-se o resultado muito importante

( )[ ] ( ) ( ) ( ) 2112212 ττττττ ddRhhtYE X −= ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

que é uma constante (no caso da estacionaridade).



• Densidade Espectral de Potência

Sabemos que

( ) ( )

( )[ ] ( ) ( ) ( ) 2112222

21

1

1

exp

τττττ

τ

τπ

τπ

ddRhdfefHtYE

anteriorressãonadosubstituin

dfefHh

Xfj

fj

−

=

=

∫ ∫ ∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−


Processos Aleatórios e Ruído• Esta expressão pode escrever-se sob a forma

( )[ ] ( ) ( ) ( ) 12

12222 1 τττττ τπ deRhdfHdftYE fj

X∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−=

Fazendo τ=τ2-τ1

( )[ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )[ ] ( ) ( ) ττ

ττ

ττττ

τπ

τπ

τπτπ

deRfHdftYE

fHehdmas

deRehdfHdftYE

fjX

fj

fjX

fj

2

2

2

*222

2222

2

2

2

−∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∫∫

∫

∫∫∫

=∴

=

=


Processos Aleatórios e Ruído• Chama-se Função Densidade Espectral de Potência do

Processo Aleatório à função

( ) ( ) ττ τπ deRfS fjXX

2−∞

∞−∫=

Ou

( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] ( )

( ) ( )fSfHfSse

fdfStYEsejaou

dffSfHtYE

XY

Y

X

2

2

2

2

)(=

=

=

∫

∫∞

∞−

∞

∞−



• Isto leva-nos a uma representação dos processosno domínio das frequências com a propriedadeessencial que é a função SX é transformada deFourier de RX

• Vejamos mais algumas propriedades destarepresentação



• Esta relação fundamental entre SX e RX

( ) ( )

( ) ( ) dfefSR

deRfS

fjXX

fjXX

τπ

τπ

τ

ττ

2

2

∫

∫∞

∞−

−∞

∞−

=

=

Costuma designar-se por teorema de Wiener-Khi ntchine ou Einstein- Wiener-Khintchi ne



• Propriedades( ) ( )

( )[ ] ( )

( )( ) ( )

( )( )

fdpdeespropriedadtem

dffS

fSfp

fSfS

fS

dffStXE

dRS

X

XX

XX

X

X

XX

∫

∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=−

=−−≥−

=−

=−

)(5

4

03

2

01

2

ττ



• Exemplos:• 1- Caso anterior ( ) ( )Θ+= tfAtX cπ2cos

Tínhamos encontrado

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]ccX

cX

ffffA

fS

fA

R

++−=

∴=

δδ

τπτ

4

2cos2

2

2

O que ra de prever. Além disso E[X2]=A2/2.



• 2- Sequência binária aleatória

A

-A

T

De amplitude A ou -A, instante de início do primeiro impulso td é uma variável aleatória uniforme com valores entre 0 e T sendoigualmente provável a ocorrência de amplitudes positivas ounegativas num determinado intervalo de tempo T.

td



• No livro mostra-se que será

( )î

=<

−

≥

TparaT

A

TparaXRτ

τ

ττ

1

0

2

A2

τT

RX(τ)



• logo( )

( )fTcTA

deT

AfS fT

T

X

22

22

sin

1

=

=

−= −

−∫ τ

τ τπ

A2T

1/T 2/Tf

SX(f)



• Processos Aleatórios Gaussianos

Um processo aleatório diz-se Gaussiano se as suas variáveis aleatórias tem funções densidade de probabilidade gaussianas.

( )( )

( ) 2

2

2

2

2

2

2

2

1

10

2

1

y

Y

YY

y

Y

Y

eyf

ese

eyf Y

Y

−

−−

=

==

=

π

σµ

πσσµ

Esta última distribuiçãocostuma designar-se porN(0,1)



• Os processos gaussianos são muito importantesem Telecomunicações por duas razões:– mais fácil obter resultados analíticos neste caso,

– muitos dos processos aleatórios que se utilizam pararepresentar processos físicos podem seraproximados por processos gaussianos.



• A justif icação é o teorema do limite central.• Dado um conjunto de N variáveis aleatórias estatisticamente

independentes com a mesma função de distribuição média edesvio padrão, a variável soma tem distribuição gaussiana…

• Esta situação verifica-se em muitas situações em que o ruídogerado por um sistema, resulta da contribuição de um grandenúmero de variáveis independentes.



• Propriedades de um processo Gaussiano➊ Um processo X(t) quando passa através de um sistema linear

mantem-se gaussiano

➋ Considerando um conjunto de variáveis aleatórias X(t1), X(t2),

X(t3),…,X(tn) resultantes da observação de um processoaleatório X(t), se o processo X(t) é Gaussiano, a fdp de qualquerconjunto destas variáveis é conjuntamente Gaussiana



• Definindo

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )µµ

π

µµ

µ

−Σ−− −

∆=

−=

=

−−=

=

xx

nntXtX

n

tXitXkikX

itX

T

n

ik

i

exxf

seescreverpode

Xdevalorumx

tXtXiáveisconjuntovectorX

tXtXEttC

tXE

1

1

2

1

2/12/1,...,

1

2

1,....,

,...,var

,



• Sendo[ ]

( ){ }

Σ=∆Σ=Σ

==Σ==

−

deanteer

deinversa

ttCariânciadematriz

médiavector

ikX

n

mindet

,cov

,...,

1

1 µµµ

Esta propriedade signifi ca que é muito mais fácil caracterizarestatisticamente um processo Gaussiano que outro qualquer.



➌ Um processo aleatório estacionário no sentido lato é-o nosentido estrito.

➍ Se n variáveis aleatórias extraídas de um processo aleatóriogaussiano forem descorrelacionadas elas serão estatisticamenteindependentes.



• Ruído• Chama-se ruído a sinais não desejados que perturbam a

transmissão e o processamento de sinais e que sãoincontroláveis. As sua fontes podem ser externas ao sistemas(ruído atmosférico, galáctico, solar,…) ou internas (ruídotérmico de resistências, ruído gerado em dispositivosactivos,…).

• O ruído é inevitável e representa a limitação fundamental dacomunicação.

• Dois tipos mais comuns de ruídos em electrónica são o ruídoimpulsional (shot) e o ruído térmico.



• Ruído Shot• Resulta da natureza discreta da corrente. A corrente eléctrica

não é um fluxo contínuo de carga mas sim a passagem de cargasdiscretas a um determinado ritmo. Por exemplo a corrente de umfotodetector resulta da emissão de electrões sempre que incideum fotão. Os electrões são emitidos em instantes aleatórios τk,cada um gera um impulso de corrente e a corrente total resultada soma destes impulsos. Corrente pode ser modelada por umprocesso X(t) do seguinte tipo, designado “shot noise”

( ) ( )∑∞

∞−

−= kthtX τ



• À medida que o número de electrões emitido cresce N(t),número de electrões emitido em [0,t] é um processo aleatórioestocástico. Seja ν o valor médio do número de electrõesemitido por unidade de tempo. O valor médio de emissões entret e t+ to será

[ ] 0tE λν =O número de electrões emitido entre t e t+to segue a distribuiçãode Poisson com valor médio λto.

( ) ( )0

!0 t

k

ek

tkP λλν −==



• Pode provar-se que

( )∫∞

∞−

= dtthX λµ

Em que h(t) é a forma do impulso de corrente gerado pela carga.No caso de o impulso ser considerado muito estreito (Dirac) como sucede na maior parte dos dispositivos electrónicos devidoà alta velocidade, a densidade espectral de potência pode ver-se que é plana.



• Ruído Térmico• Ruído resultante da agitação dos electrões num condutor. A

tensão de ruído medida nos terminais de uma resistência emequilíbrio térmico à temperatura absoluta T (=273+TºC) emedida numa banda ∆f é dada por

[ ] 22 4 voltsfkTRvE tn ∆=

sendo k a constante de Boltzman =1,38x10-23 J/ºK



• O esquema equivalente de uma resistência com ruído

Rreal

Rs/ruído

Rs/ruído

~E[v2

tn]

E[I2tn]

[ ] [ ]1

22

22 4

−=

∆==

RGcom

ampfkTGR

VEIE

tntn



• Dado que o número de electrões em movimentonum condutor é muito elevado e que eles semovem de forma independente, a aproximaçãode considerar que o ruído térmico é umprocesso aleatório Gaussiano é válida.



• Uma gerador transmite máxima potência a umacarga quando esta´tem valor igual à suaimpedância característica valendo essa potênciaV2/4R

~

R

VRl

P( )

R

VP

RRP

RR

VRIRIVP

máx

lmáx

l

lll

4

..

2

2

22

=

=↔+

===



• Assim a potência máxima de ruído que se pode extrair de umaresistência, também chamada potência disponível será dadapor

wattsfkTPavail ∆=A densidade de potência deste ruído é também constante, isto é,depende de ∆f mas é independente do valor absoluto da fre-quência. Será SW=kT ou se considerarmos frequências + e- kT/2.Este tipo de ruído é muito importante em Telecomunicações e chama-se ruído branco por analogia com o que se passa com a luz branca que possui igual energia a todas as cores.



• Ruído Branco pode assim dizer-se que é umruído representado por uma densidade espectralde potência constante que vamos representar doseguinte modo:

( )2

oW

NfS =

O factor 2 resulta da necessidade de considerar frequências + e -No expressa-se em W/Hz.



• No caso geral, mesmo que o ruído à entrada deum receptor não provenha de uma resistência, épossível definir uma temperatura equivalente deruído Te tal que a densidade de potência deruído No seja

eo kTN =



• Propriedades do Ruído Branco

f

SW(f)No/2

τ

RW(τ)No

2δ(τ)

A autocorrelação desta forma implica que amplitudes em ins-tantes diferentes são descorrelacionadas logo independentes.



• Estritamente falando o ruído branco é irrealizável porquecontem energia infinita. Este foi aliás um paradoxo da físicaporque significava que era possível extrair energia de qualquersistema com ruído…

• Foi resolvido com mecânica quântica que mostrou que para oruído térmico existe uma alteração da lei a altas frequências

fq

SW(f)Joelho verifica-se a frequências da ópticaà temperatura ambiente e a frequências de micro-ondas a temperaturas ~ To



• Ruído Branco Filtrado• Suponhamos que ruído densidade No/2 passa por fil tro passa

baixo de banda B.

Filtro P BaixoFmáxima=B

SW(f) SN(f)

SW(f)

SN(f)

Bf

f

No/2

No/2



• A função de autocorrelação do ruído filtrado será

( ) ( )ττ τπ BcBNdfeN

R ofj

B

B

oN 2sin

22 == ∫

−

RN(τ)

NoB

1/2B

1/B3/2B τ

Filtragem introduz correlaçãoentre amplitudes em instantesdiferentes, o que não existia àentrada no ruído branco. Fisica-mente é fácil de perceber...



• Tudo isto é observável e pode ser medido no laboratório no casode sinais estacionários e ergódicos

X

Atraso τ

IntegraçãoRuído

RN(τ)

O cálculo da transformada de RN(τ) dar-nos-á as características espectrais



• Ruído filt rado por um circuito RC

C

R

Ruídobranco

Ruídofiltrado

( )

RCf

fjffRCjfH

c

c

π

π

2

1

/1

1

21

1

=

+=

+=

O cálculo da densidade de potência de ruído à saída é trivial



• Será

( ) ( )

( ) RCoN

oN

eRC

NfR

e

fRC

NfS

τ

π

−=

+=

4

21

2/2

RN(τ)

SN(f)

f

τ

No/4RC

No/2

No/4

fc=1/2πRC



• Largura de Banda Equivalente de Ruído

( ) ( ) dffHNdffHN

N oo

saída

2

0

2

2 ∫∫∞∞

∞−

==

Mesmo ruído aplicado a um fi ltro ideal (ganho constante)= H(0)teríamos ( ) ( )

( )

( )20

2

2

0

0

H

dffH

Bse

HBNidealN

N

Nosaída

∫∞

=

=



• Graficamente|H(f)|2

f

Iguais áreas

Para o caso do RC será BN=πfc/2=1/4RC.



• Ruído de Banda Estreita• Situação análoga aos sinais de banda estreita. Quando se estreita

o espectro ele tende para uma risca ou seja uma sinusoide.

f

SN(f)

fc-fc fc+Bfc-B-fc-B -fc+B



• Se virmos um destes processos no osciloscópio de facto parece-se com uma sinusoide modulada em ampli tude e fase.

t

Frequência instantâneavizinha de fc



• Tal como aconteceu anteriormente com os sinais é possíveldefinir este tipo de sinais em termos de:

– componentes em fase e quadratura

– envolvente e fase.

• No primeiro caso teremos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tfsentntftntn cQcI ππ 22cos −=

É fácil mostrar que aquelas componentes podem calcular-se do seguinte modo (analiticamente ou no laboratório).



• Extracção das componentes Regeneração do emfase e quadratura ruído de banda estreita

x

x

FiltroP Baixo

FiltroP Baixo

x

x

Σ

nI(t)

nQ(t)

2cos(2πfct)

-2sen(2πfct)

cos(2πfct)

sen(2πfct)

+

-n(t)



• Propriedades das componentes em fase e quadratura

– tem média nula,

– n(t) Gaussiana implica componentes gaussianas

– n(t) estacionário as componentes são conjuntamenteestacionárias

– Densidades espectrais de potência obtem-se fazendo

( ) ( ) ( ) ( ){ BfBparaffSffS

dissoforaoNN

cNcN

QIfSfS

≤≤−++−==



• graficamenteSN(f)

SNI(f), SNQ(f)



– nI(t) e nQ(t) tem a mesma variância que n(t)

– se n(t) é Gaussiana e a sua densidade de potência emtorno de fc, então nI e nQ são estatisticamenteindependentes.

• Exemplo:

Filtro Passa Banda(fc, 2B)

Ruídobranco

n(t)2B << fc

No/2



• Pode calcular-se a autocorrelação do ruído à saída por

( )

( ) ( )τπτ

τ τπτπ

co

fjBf

Bf

ofjBf

Bf

oN

fBcN

dfeN

dfeN

Rc

c

c

c

2cos2sin2

2222

=

=+= ∫∫+

−

+−

−−

RN(τ)2NoB

1/2B 1/B



• O espectro e autocorrelação das componentes I e Q serão

τ

fB-B

No

RNI(τ)=RNQ(τ)=2NoBsinc(2Bτ)



• Envolvente e Fase de um ruído de Banda Estreita

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )tn

tnarctgt

tntntr

sendo

ttftrtn

I

Q

QI

c

=

+=

+=

ψ

ψπ

22

2cos

É possível deduzir as propriedades destas duas variáveis aleatórias a partir das que conhecemos de nI e nQ (ver Haykin).



• A envolvente seque a estatística de Rayleigh. Sejam R e Ψ asvariáveis aleatórias cujos valores correspondem a r e ψ.

( )

( )î

=

î

=

≥

≤≤

Ψ

−0

202

1

0

22

2

2rparae

r

dissoforaoR

para

dissofora

r

rf

f

σσ

πψπψ Variável uniformemente dis-

tribuida.

Variável segue distribuição de Rayleigh.

R e Ψ são independentes.σ2 é a variância de n(t).



• Rayleigh é uma distribuição importante em Telecomunicações

σ

eσ1

fR(r)

Mediana ponto r1 parao qual P(r<=r1)=0,5 é

r1=1,185σ.

Valor médio é µR=(π/2)1/2σValor quadrático médio E[R2]=2σ2

Variância σR2=(4-π)σ2/2

P(R>=kσ)=exp(-k2/2)



• Sinal sinusoidal mais ruído de banda estreita

• Caso muito frequente

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

( )

( ) ( ) ( )tfsentntftnA

tfsentntftntfA

tntfAtx

cQc

tn

I

cQcIc

c

I

ππ

ππππ

22cos

22cos2cos

2cos

−+=

=−+==+=

′

� ��

Se n(t) for gaussiano, n’ I(t) e nQ(t) são gaussianos e estatis-ticamente independentes.Média de n’ I(t) é A e a média de nQ (t) é nula.Variâncias de n’ I(t) e de nQ (t) são ambas iguais a σ2.



• A envolvente e a fase serão

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )tn

tnarctgt

tntntr

I

Q

QI

′=

+′=

ψ

22

Neste caso se Α#0 as variáveis aleatórias R e Ψ serão dependentes.



• A variável R obedece a uma distribuição de Rice

( )

( ) ψπ

σσ

πψ

σ

dexI

sendo

ArIe

rrf

xo

o

Ar

R

∫=

=

+−

2

0

cos

22

2

2

1

2

22

Função de Bessel de 1ªespécie modifi cada deordem 0.



• Normaliza-se fazendo v=r/σ e a=A/σ com fV(v)=σfR(r) e vem

( ) ( )avIvevf o

av

V2

22 +−=

a=0a=1

a=2a=3 a=5



• Para a=0 a distribuição de Rice coincide com a de Rayleigh

• Quanto maior for a(=A/σ) mais a f.d.p. de Rice se aproxima daGaussiana (portanto para situações em que o ruído em muitomenor que o sinal sinusoidal adicionado).

• O livro desenvolve algumas experiências por simulação muitointeressantes e importantes que eu não tenho tempo de mostrarmas sugiro que as sigam.



• Ruído na prática. Já vimos:– é aproximado por processo aleatório estacionário ergódico e

gaussiano

– à entrada é muitas vezes aproximado por um ruído branco (éassim no ruído shot e no térmico)

– interessa usar a potência disponível que, havendo adaptação,é a potência efectivamente transferida

– é sempre possível associar uma temperatura a uma fonteatravés de (B banda de observação)

kB

PT a=



• Caracterização de um sistema do ponto de vista do ruído -Temperatura equivalente de ruído Te.

QuadripoloGanho gBanda B

RuídoTemperaturaTi

Ruído à saídaPotência No

Ganho em potência disponível será a relação entre as potênciasdisponíveis à saída e à entrada. É igual ao ganho se o sistema estiver adaptado. Será



Se definirmos uma temperatura Te tal que

BgTTkNo

escreverpodemos

BgkTN

ei

e

)(

int

+=

=

�quadripolopelogeradoRuídoentradadaeprovenientRuído

io NBgkTN int+= ��



• Isto corresponde a referir o ruído do quadripolo à entrada erepresenta-lo por uma temperatura.

+ gTi

Te

Ampli ficador/fi ltrosem ruído

Quadripolo c/ ruído

No



• Temperatura equivalente de uma cadeia

G1

Te1

G2

Te2

Gn

Ten

Ti

Qual a temperatura equivalente desta cadeia? Introduzamos um diagrama em que as fontes de ruído correspondentes a cada umdos elementos esteja presente.



• Será

Ou

+ g1

Te1

+ g2

Te2

+ gn

Ten

Ti

+ g1 g2 gnTi

∏−++++ 1

1

211

...32

1 n

i

eeee

g

T

gg

T

g

TT n



• Numa cascata de quadripolos teremos portanto no caso geral,que se costuma designar fórmula de Friis:

∏−++++ 1

1

211

...32

1 n

i

eeee

g

T

gg

T

g

TT n

Resultado muito importante que revela que numa cadeia oelemento mais importante é o primeiro. De facto se este tiverganho elevado, as contribuições dos andares seguintes para oruído final são muito pequenas.



• Factor de Ruído• É uma forma alternativa um pouco mais complicada mas que,

por ser comum, temos que estudar.

• Define-se factor de ruído do seguinte modo

QuadripoloTi=To=290K

OBS: À entrada tem que estar um ruído à temperatura de referencia To,escolhida de forma a ser próximada temperatura ambiente.

To corresponde a 17ºC



• Define-se Factor de Ruído F para um quadripolo com Ti=To

o

o

N

N

entradadaeprovenientsaídaàdisponívelPotência

saídaaruídodedisponívelTotalPotênciaF

′==

Mas, pela definição de Te( )

( )1

1

log

−=

∴+=+=

=′+=

FTT

T

Te

T

TTF

o

BgkTN

BgTTkN

oe

oo

eo

oo

eoo



• Por aplicação directa da fórmula de Friis é fácilmostrar que numa cadeia será

∏−

−++−+−+= 1

1

21

3

1

21

1...

11n

i

n

g

F

gg

F

g

FFF



• Chama-se temperatura de ruído do Sistema,escreve-se Tsis, à temperatura soma de Ti comTe.

• É o ruído total referido à entrada.



• Exemplos:

• 1 - Receptor com ganho g=105, B=36MHz, sem ruído, possui àentrada temperatura de ruído gerada pela antena Tant=To=290K.Qual a potência de ruído à saída?

dBWNgN

dBWBkxNN

dBemou

WxgNN

WxxxxxBkTN

idBdBdBo

HzemBdBWem

idBi

io

anti

4,78

4,128log10290log10log10

1044,1

1044,110362901038,1

10

)(0,204

1010

8

13623

−=+=

−=+==

==

===

−

−

−−

� ��



• 2- Um receptor com F=1,5dB tem à entradauma antena com Tant=120K. Calcular Te e Tsis?

KTTT

KFTT

F

eantsis

oe

236

116)14,1(290)1(

4,110 15,0

=+==−=−=

≈=



• 3- Determine a temperatura de sistema doseguinte receptor

g1=100Te1=30K

g2=10F2=6dB

g3=1000F3=12dB

Tant=50K



• Teremos

( )( )

KTTT

KFTTF

KFTTF

eisis

oe

oe

931000

4350

100

8703050

435011610

8701410

32,1

3

26,0

2

3

2

=+++=+=

=−=∴≈=

=−=∴≈=

Apesar da menor qualidade dos últimos andares do receptoreles contribuem muito pouco para a degradação do sinal doponto de vista do ruído.



• 4- Considere a ligação por feixe abaixo. Qual a relaçãopotência de portadora/potência de ruído (C/N) na saída?

EmissorReceptorTe=450KB=36MHz

Pe=-25dBW

GantT=35dB

GantR=35dBTant=290K

f=11GHzl=40km



• Atenuação em espaço livre

( ) dBN

C

BkT

C

N

C

N

C

N

C

KT

dBWC

dBlfL

dBo

sis

i

sis

i

io

sis

i

kmGHzdB

0,243,1243,100

740450290

3,100353,1453525

3,145log20log204,92 1010

=−−−=

=

=

=

=+=−=+−+−=

=++=



• C é a potência da portadora. Calcula-se arelação C/N na entrada util izando o ruído Tsis

que inclui a potência ruído introduzida peloreceptor referida à entrada. Ao fazermos issoestamos a incluir toda a degradação do sinal queo receptor irá introduzir e temos por isso arelação C/N da saída.



• Factor de Ruído de uma linha com perdas– Este caso particular é muito importante pois as

linhas à entrada dos receptores tem que serconsideradas como causadoras de atenuação eafectam a qualidade dos receptores

– Consideremos uma linha em equilíbrio térmico, comtemperatura constante e igual a To, adaptada nosdois extremos como é habitual acontecer emsistemas de transmissão



• Teremos:

R RAtenuação L = g-1

Ni= KToB

No=KToB pois linha adaptada é equivalente a uma resistência de valor igual a R à temperatura To

F=No/gNi=NoL/Ni=L - Factor de ruído igual à atenuação.

To

To

processos aleatórios e ruído - faculdade de tecnologialeobravo/gerais/notas de aula slides.pdf ·...

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