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PROCEDIMENTOS DE RESOLUÇÃO DE ALUNOS EM PROBLEMAS DE ESTRUTURA ADITIVA COM A IDEIA DE
COMPOSIÇÃO
Edda Curi, Universidade Cruzeiro do Sul, [email protected]
Cintia Ap. Bento dos Santos, Universidade Cruzeiro do Sul,
RESUMO
O presente artigo apresenta uma análise a partir de dados coletados no desenvolvimento de um Projeto de Pesquisa no âmbito do Programa Observatório da Educação, financiado pela Capes. O objetivo do presente trabalho é evidenciar como alunos na fase de escolarização da 4ª série/ 5º ano demonstram seus conhecimentos em relação ao campo aditivo em se tratando da ideia de composição. A partir das análises o grupo tem a possibilidade de fazer intervenções que contribuem para a aprendizagem dos alunos. Palavras chaves: campo aditivo, ideia de composição, grupo de pesquisa.
ABSTRACT
This paper presents an analysis from data collected in the development of a research project under the Centre for Education Program, funded by Capes. The objective of this paper is to show how students during of schooling in the 4th grade / 5th grade demonstrate their knowledge regarding the additive field in the case of the idea of composition. From the analysis the group has the possibility of interventions that contribute learning to student. Keywords: additive field, composition idea, a research group.
1 Introdução
Este artigo apresenta um recorte dos estudos desenvolvidos no âmbito do
Projeto de Pesquisa Prova Brasil de Matemática: revelações e possibilidades de
avanços nos saberes de alunos de 4ª série/5º ano e indicativos para formação de
professores. Este Projeto conta com o apoio financeiro da Coordenação de
Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e está alocado no âmbito
do Programa Observatório da Educação.
O objetivo do presente trabalho é evidenciar como alunos na fase de
escolarização da 4ª série/ 5º ano demonstram seus conhecimentos em relação ao
campo aditivo no que se trata da ideia de composição. Não buscamos apenas
evidenciar os erros dos alunos, mas também como estes apresentam seus registros
escritos quando acertam um determinado problema. Consideramos que este ponto
seja uma forma de entender como alunos constroem seus conhecimentos.
Nossa fundamentação teórica apoia-se na teoria dos Campos Conceituais de
Vergnaud (1996, 2009) e como este autor considera em sua teoria a importância do
erro, utilizamos ao longo de nossas considerações a questão da análise de erros,
para a qual nos embasamos em estudos de Cury (2007).
Antes de apresentarmos a fundamentação teórica e nossas analises, iremos
apresentar brevemente nosso contexto de pesquisa.
2 Sobre o projeto de pesquisa
O Projeto em questão é desenvolvido por um Grupo de Pesquisa registrado
no Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e
consolidado em uma instituição privada de Ensino Superior da cidade de São Paulo,
é coordenado pela líder desse Grupo de Pesquisa. Maiores detalhes sobre o Projeto
podem ser encontrados em Curi (2010).
Os participantes desse projeto têm formação diferenciada e atuam
profissionalmente em segmentos diferentes. Além de professores que atuam no
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade,
o projeto envolve um estudante de Doutorado, sete estudantes do Mestrado
Profissional, seis estudantes de graduação do Curso de Pedagogia e sete
professoras que atuam nos anos iniciais do Ensino Fundamental na rede pública de
São Paulo.
A partir dos materiais disponibilizados pelo Instituto Nacional de Estudos e
Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), o grupo de pesquisa busca analisar
os resultados do desempenho dos alunos apontados na Prova Brasil de
Matemática/2007, principalmente no que se refere às escolas envolvidas no Projeto.
Esse grupo se reúne a cada quinze dias nas dependências da Universidade.
O Grupo de Pesquisa vivencia um trabalho colaborativo, em que todos têm
oportunidade de falar e ouvir os colegas e que, por meio de experiências didáticas,
busca-se o desenvolvimento profissional de todos os participantes.
Boavida e Ponte (2002) esclarecem que o trabalho colaborativo tem se
revelado importante para o desenvolvimento de projetos de intervenção educativa
centrados em problemas específicos como um meio para atingir certos objetivos,
como se propõe o Projeto de Pesquisa descrito inicialmente.
Estes pesquisadores afirmam que:
Um grupo colaborativo nem sempre é fácil de instituir e de manter em funcionamento, mas, quando se estabelece com um objetivo e um programa de trabalho claramente assumido, constitui um dispositivo com um grande poder realizador. (BOAVIDA; PONTE, 2002, p. 3)
Dessa forma, acreditamos que a pesquisa colaborativa possibilita propor
soluções para as dificuldades de ensino e aprendizagem em Matemática detectadas
pelo próprio Grupo, contribuindo para a aprendizagem e qualificação de todos os
envolvidos no Projeto.
Nessa perspectiva de trabalho, a experiência do professor tem voz e as
práticas de sala de aula bem sucedidas ou não, são relatadas e compartilhadas com
o Grupo de Pesquisa, possibilitando aprofundar reflexões sobre as ações e o
desenvolvimento da prática.
3 Sobre a teoria dos Campos Conceituais e suas contribuições para o estudo
Para este artigo apresentamos encaminhamentos que apoiam-se na Teoria
dos Campos Conceituais defendida pelo pesquisador francês Gérard Vergnaud,
buscando apontar e interpretar alguns saberes matemáticos dos estudantes do 5º
ano do Ensino Fundamental ao resolverem problemas envolvendo os diferentes
significados da adição ou subtração.
Nesse sentido, o estudo da Teoria dos Campos Conceituais pode oferecer
elementos conceituais relevantes na construção de um olhar aprofundado sobre as
produções matemáticas dos estudantes ao resolverem os problemas das estruturas
aditivas.
O Grupo de Pesquisa considerou ainda que, os estudos sobre a teoria
defendida por Gerard Vergnaud pode contribuir, inclusive, na elaboração de
situações problema. A este respeito Campos et al (2007) esclarece que:
A teoria dos “Campos Conceituais” de Vergnaud (1990a., 1993, 1998, 2001) fornece elementos par a análise das dificuldades dos estudantes e constitui uma ferramenta poderosa para a construção de situações-problema. Isto porque ela apresenta um quadro coerente para o estudo do
desenvolvimento e da aprendizagem de competências complexas (CAMPOS et al, 2007, p.224).
Vergnaud (1996, 2009) apresenta em sua Teoria dos Campos Conceituais
importantes estudos que contribuem para o ensino das operações matemáticas, em
que estudou as estruturas aditivas e multiplicativas para investigar as dificuldades
que os alunos encontram em tais procedimentos. Porém, neste artigo situaremos o
leitor apenas em relação ao campo aditivo, visto que nossas análises neste
momento encontram-se nesta etapa de desenvolvimento.
Vergnaud (1996) defende que o conhecimento organiza-se a partir de
Campos Conceituais, definindo como Campo Conceitual um conjunto informal e
heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e
operações de pensamento, conectados uns aos outros e, provavelmente,
entrelaçados durante o processo de aquisição, sendo solucionados por conceitos,
procedimentos e representações. Segundo Vergnaud (2009), o domínio de um
campo conceitual leva anos, e a organização de seus conceitos é progressiva e
jamais acabada.
Segundo Vergnaud (1996), os problemas de adição e subtração da aritmética
podem ser gerados a partir de seis relações de base, sendo elas: composição de
duas medidas numa terceira; transformação (quantificada) de uma medida inicial
numa medida final; relação (quantificada) de comparação entre duas medidas;
composição de duas transformações; transformação de uma relação e composição
de duas relações.
Conforme mencionado anteriormente neste artigo nosso instrumento análise
se apoia na ideia de composição, dessa forma passamos a esclarecer sobre esta
categoria do Campo Aditivo.
Para a ideia de composição Vergnaud (1996) classifica os problemas onde
ocorre a união de dois estados para se chegar a um terceiro estado, sem haver a
necessidade de transformação no ambiente. Estas situações apresentam a ideia de
“tirar” ou “juntar”.
Para completar a definição, é importante destacar que Vergnaud (1996)
distingue essa categoria em três estados: inicial, intermediário e final. No quadro 1
apresentamos um exemplo da busca de cada estado para a ideia de composição.
Quadro 1 – Problemas com a ideia de composição
IDEIA Busca do Estado
Final
Busca do Estado
Inicial
Busca do Estado
Intermediário
Composição
Em um vaso há 8 flores brancas e 6 flores amarelas. Quantas flores há no vaso?
Em um vaso há algumas flores brancas e 6 flores amarelas, no total são 14 flores. Quantas flores brancas há no vaso?
Em um vaso de 14 flores, 8 são flores brancas. Quantas flores amarelas há no vaso?
Fonte: Torres, 2008, p. 38
4 Sobre o instrumento utilizado e as análises realizadas
Conforme citamos anteriormente, este instrumento foi elaborado pelo grupo
participante do projeto e desenvolvido por uma das professoras participantes em
uma turma de 4ª série/ 5º ano, turma esta composta por 28 alunos. O instrumento
era composto por três problemas do Campo Aditivo especificamente constando da
ideia de composição. Nessa elaboração, o grupo de pesquisa escolheu o contexto
do problema e também os números que deveriam fazer parte do enunciado de
acordo com a experiência das professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental
que participavam da pesquisa.
Os problemas que compuseram o instrumento estão apresentados no quadro
2.
Quadro 2 – Problemas com a ideia de composição
IDEIA Busca do Estado
Final
Busca do Estado
Inicial
Busca do Estado
Intermediário
Composição
Numa festa de aniversário havia 1120 brigadeiros e 1285 beijinhos. Quantos doces havia nessa festa?
Numa festa de casamento há alguns brigadeiros e 723 beijinhos. No total, são 1335 doces. Quantos são os brigadeiros?
Na festa da Escola Pinguinho há 1250 doces, sendo 810 brigadeiros e os demais beijinhos. Quantos são os beijinhos?
Fonte: elaborado pelo grupo
A partir dos protocolos iniciou-se então a análise dos caminhos realizados
pelos alunos para que pudessem chegar a um resultado. Aqui apresentaremos
alguns protocolos e discutiremos a luz de nosso referencial teórico.
Nesta etapa passamos então a analisar as produções dos alunos por
considerarmos importante a forma como eles apresentam seus registros para um
determinado problema. Cury (2007) afirma que a análise das produções dos alunos
possibilita o entendimento de como se dá a apropriação do saber pelos mesmos,
onde deve-se partir dos erros detectados, utilizando-os como “trampolim para a
aprendizagem”, a partir do momento em que os alunos passam a construir
conhecimento por meio dos questionamentos de suas respostas.
Na sequência apresentamos nas figuras 1 e 2 os protocolos do aluno 002
Figura 1 – Protocolo do aluno 002 Fonte: Arquivo das pesquisadoras
Figura 2 – Protocolo do aluno 002 Fonte: Arquivo das pesquisadoras
Ao analisarmos os protocolos do aluno 002, podemos verificar que não foram
encontradas dificuldades para a compreensão do problema de composição, nem
mesmo seus estados. Observamos que o aluno escreve corretamente os algoritmos
para subtração e quanto ao procedimento utilizado para a resolução é possível
verificar que o aluno se utiliza de recursos de contagem, como é o caso da
representação de “palitos” constatada acima dos algoritmos para a realização da
subtração necessária na operação na casa da unidade de milhar, em que ele separa
esta parte da operação como se estivesse resolvendo a situação “12 – 8 e 13 – 7”,
ou seja, o aluno faz a operação centrado nas ordens de grandeza dos números.
Podemos notar também que o aluno apresenta o registro de resposta
adequadamente.
Na próxima figura a abordagem de Vergnaud (1996) em relação à ideia de
composição funciona como um indicador de como o aluno demonstra o
conhecimento que adquiriu.
Figura 3 – Protocolo do aluno 003 Fonte: Arquivo das pesquisadoras
O protocolo do aluno 003, igualmente aos protocolos do aluno 002, permite-
nos verificar que não foram encontradas dificuldades para a compreensão do
problema de composição em seu estado inicial. Quanto ao procedimento utilizado
para a resolução, o mesmo também utiliza de recursos de contagem, através da
representação de “palitos” para a realização da operação na casa da unidade de
centena, este aluno também opera separadamente “13 – 7”.
O registro de resposta feito pelo aluno 003 também é apresentado de forma
adequada.
Fica evidente que os alunos 002 e 003 apresentam êxito na resolução do
problema, embora tenham suas formas de resolução realizadas por contagem no
que se refere “às casas da unidade milhar e das centenas”. Isso evidencia que os
alunos ainda não generalizam o trabalho com números dessa ordem de grandeza e
que se apropriam do cálculo formal apenas quando precisam realizar operações
com unidades e dezenas. Muitas vezes pensamos que o importante é verificar
apenas os erros cometidos pelos alunos, porém é importante também verificar seus
acertos, pois estes indicam como os mesmos constroem e manifestam seus
conhecimentos.
Já o protocolo do aluno 004 mostra que este conseguiu identificar o problema
de composição, bem como seu estado.
Figura 4 – Protocolo do aluno 004 Fonte: Arquivo das pesquisadoras
Ele utiliza o algoritmo adequado para a resolução, porém ao observarmos
seus registros podemos verificar uma confusão na adição ao chegar na ordem das
unidades de milhar, em que ele considera que “1+1=1”. Uma hipótese é que o aluno
não atribua significado ao número 1, considerando que a soma neste caso seria o
próprio número 1.
Observamos que este aluno diferentemente dos demais não utilizou a
representação de “palitos” para a adição na ordem da unidade de milhar.
Percebemos que ele apresenta preocupação com o registro de resposta, porém o
resultado é incorreto. Observamos neste caso que o aluno apresenta clareza na
elaboração do algoritmo de adição, mas possui dificuldades no procedimento da
adição, devido à compreensão do significado do número.
Sobre a análise das respostas dos alunos Cury (2007) salienta que o
importante não é o acerto ou o erro em si e sim as formas com que os alunos se
apropriam de um determinado conhecimento, estas formas emergem na produção
escrita e podem evidenciar as dificuldades dos alunos.
Os protocolos do aluno 005 mostram que ele conseguiu identificar os
problemas de composição nos estados apresentados e utilizou os algoritmos
adequados para a resolução.
Figura 5 – Protocolo do aluno 005 Fonte: Arquivo das pesquisadoras
Figura 6 – Protocolo do aluno 005 Fonte: Arquivo das pesquisadoras
Podemos notar nas figuras 5 e 6 que o aluno realiza a operação de subtração,
chega ao resultado e em seguida faz o processo inverso somando o resultado obtido
com o número fornecido no enunciado a fim de verificar se a resposta está correta,
ou seja, ele tira a “prova real”. Esse procedimento nos permite levantar a hipótese de
que o professor provavelmente em sala costuma orientar os alunos para que tirem a
“prova real”, uma vez que, nesta fase de escolarização os alunos ainda não
generalizam as operações a fim de fazer verificações de resultados por meio da
operação inversa. A validação da resposta poderia ter sido obtida mais rapidamente
se o professor usasse a calculadora como instrumento para fazer a prova real.
Quanto ao registro de resposta observamos que o aluno 005 o realiza de
maneira bastante “tímida”, uma hipótese é que talvez ele não tenha certeza de que o
resultado que encontrou seja correto.
A partir das análises realizadas, verificamos que os alunos compreenderam a
ideia do uso das operações adequadas e, em sua grande maioria conseguiram
efetuar o algoritmo corretamente. Mas apesar dos resultados verificados pela
análise, é importante que o estudo dos procedimentos seja realizado não somente
em cálculos incorretos para que seja identificada a dificuldade do aluno, mas
também em cálculos corretos, onde é possível observar o desempenho do mesmo
diante do problema e quais estratégias foram utilizadas para se chegar ao resultado,
para que o professor possa partir de tais estratégias a fim de estabelecer relações
significativas ao aluno, demonstrando também outras alternativas de resolução. Os
registros dos alunos nos dão indícios também de como professores trabalham as
operações em sala de aula e nos fazem pensar em que outras metodologias para o
trabalho com o campo aditivo poderiam ser desenvolvidas sem apenas estar
centradas na utilização dos algoritmos.
5 Considerações Finais
A partir do estudo realizado podemos evidenciar que é de suma importância
intensificar a análise dos procedimentos realizados pelos alunos durante as
atividades, sendo possível, desse modo, buscar subsídios que contribuam para a
aprendizagem do aluno e também para a ampliação das metodologias utilizadas por
professores no que trata do ensino das operações no campo aditivo.
Em nossas análises foi possível observar que os registros dos alunos
acabaram por se agrupar em três situações:
1. Eles acertam a resposta do problema, elaboram corretamente o algoritmo
da operação, porém para realização da operação da ordem da unidade de
centena utilizam a contagem por “palitos”. Tratando a operação da ordem
de milhar como se fosse uma operação da ordem de dezenas com
unidades.
2. Eles acertam a resposta do problema, elaboram corretamente o algoritmo
da operação, não utilizam o registro de “palitos”, porém realizam o
procedimento de “prova real”.
3. Eles erram a resposta do problema, mas elaboram corretamente o
algoritmo da operação, não utilizam o registro de palitos e o erro se dá na
ordem da unidade de milhar em que apresentam dificuldades para operar
com o significado do número 1.
Constatamos que as dificuldades concentram-se na quarta ordem da unidade
de milhar e centena, neste caso ou eles recorrem em sua maioria à representação
por “palitos” por não possuírem domínio do cálculo formal ou erram a questão
quando a quarta ordem da unidade de milhar possui o número 1, nesse caso eles
ignoram a operação com este número porque não sabem adicioná-lo.
Verificamos que há necessidade de que se trabalhe com os alunos números
de ordens e classes maiores, uma vez que, suas dificuldades concentram-se a partir
das centenas.
Observamos também que as resoluções dos alunos ficam restritas aos
algoritmos e isso indica que há necessidade do professor trabalhar outras
estratégias de resolução que não apenas esta. O trabalho centrado apenas em
procedimentos de resolução por algoritmos o ensino das operações acaba
mecanizado não possibilitando ao aluno muitas vezes a construção dos conceitos
necessários mais adiante à sua generalização e ao significado que esta operação
possui.
Ao analisarmos os estudos e as pesquisas realizadas pelo grupo, podemos
concluir que têm sido possível observar significativas contribuições quanto ao
desenvolvimento profissional de cada um dos integrantes do projeto, por meio das
trocas de experiências ocorridas a partir das pesquisas, discussões e observações
dos estudos realizados com os alunos. Estas análises retomam suas discussões
para o grupo e possibilitam a ampliação do olhar dos participantes em relação a sua
prática profissional.
A partir de tais análises, é possível que o professor possa diagnosticar os
níveis de aprendizagem em que se encontram os alunos, utilizando-os como ponto
de partida para uma reflexão que vise encontrar novos caminhos para a prática
pedagógica dos docentes, de modo a usufruir das sugestões recebidas através das
interações ocorridas no grupo, possibilitando que o trabalho com as operações
utilize de fato a noção dos Campos Conceituais não como uma forma de evidenciar
que alunos demonstram saber elaborar algoritmos para as operações, mas que
aprendam o significado e os conceitos envolvidos em tais operações, de forma que
tenham estes conhecimentos disponíveis em outras situações que surgirão mais
adiante em sua vida escolar.
6 Referências
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