Procedimento Eficiente Para Análise De Seções Em Concreto Armado

Usando O Modelo De Treliça Com Amolecimento Jordlly R. B. Silva

1, Bernardo Horowitz

2 1 Universidade Federal de Pernambuco / Departamento de Engenharia Civil / jordlly@hotmail.com 2 Universidade Federal de Pernambuco / Departamento de Engenharia Civil / horowitz@ufpe.br

Resumo O presente trabalho trata sobre um procedimento eficiente para determinar o comportamento carga-deformação pré-pico de seções de vigas em concreto armado sujeitas à iteração entre momento torsor e esforço cortante, usando o modelo de treliça com amolecimento e combinação de solicitações. Ao contrário de técnicas de solução por tentativa e erro, tradicionais na utilização desse tipo de modelo, o procedimento proposto se baseia em estabelecer o problema como um sistema de equações não lineares, com restrições, e resolvê-lo utilizando algoritmos de otimização, usando como estimativa inicial para a solução a resposta obtida em um modelo elástico linear. De acordo com o modelo escolhido, é possível determinar o estado de tensão-deformação de um painel de concreto armado, sujeito a um encurvamento, com base em 4 variáveis primárias. Como esse mesmo modelo idealiza seções de concreto como a associação de 4 painéis fissurados, conclui-se que é possível definir o comportamento da seção com base em 16 variáveis primárias. Com isso, o problema se resume a um sistema não linear com 16 incógnitas e 16 equações, onde as variáveis primárias são selecionadas de forma a beneficiar a eficiência do processo de solução. Uma vez formulado o procedimento, os resultados obtidos pelo mesmo, para situações de torção pura e combinação desse esforço com cortante, são comparados com dados de experimentos encontrados na literatura, onde é vista boa proximidade. Além disso, com o objetivo de verificar a validade do procedimento proposto em uma situação real de verificação estrutural, foi desenvolvido um estudo admitindo-se a iteração entre o momento torsor e o esforço cortante, onde, é possível observar uma considerável diminuição da rigidez à torção da seção com a atuação simultânea dos dois esforços. De forma geral, esse procedimento se mostrou uma opção viável, pois, além dos resultados já comentados, também apresentou boa eficiência computacional. Palavras-chave Concreto armado; Rigidez à torção; Combinação de esforços; Torção; Cortante. Introdução No projeto de estruturas aporticadas em concreto armado, é importante determinar corretamente os coeficientes de rigidez usados tanto nas análises em serviço como na capacidade resistente limite das peças. De forma geral, essa tarefa não é trivial. No caso da rigidez à torção efetiva (GC ), por exemplo, essa propriedade é muito sensível à geometria da seção, fissuração do concreto e escoamento do aço, podendo variar consideravelmente com o nível de carregamento aplicado.

Além disso, outro fator que dificulta a análise é o efeito da atuação simultânea de esforços seccionais (combinação de flexão, cortante e torção) na rigidez da seção, associação essa que tende a induzir os coeficientes calculados para grandezas diferentes daquelas relativas às ações isoladas. Uma má avaliação dos coeficientes de rigidez pode conduzir a análise para valores que não condizem com a realidade, principalmente em estruturas hiperestáticas, onde o efeito da redistribuição dos esforços é mais atuante. Por outro lado, uma prática corrente da engenharia nacional é admitir, em verificações para o estado limite último, coeficientes de rigidez referentes ao comportamento linear elástico da estrutura multiplicados por redutores de inércia normativos. É evidente que essa abordagem visa simplificar e facilitar o processo e, de forma geral, conduz a análise a valores aceitáveis. Porém, existem situações particulares onde essa prática não é mais suficiente, sendo necessária a utilização de ferramentas mais sofisticadas para determinar os coeficientes de rigidez das análises e, consequentemente, os esforços internos de projeto. Um exemplo real com essas características é apresentado nesse texto. O presente trabalho trata sobre o desenvolvimento de uma ferramenta para o cálculo dos valores efetivos de rigidez à torção em seções de concreto armado, visando servir como subsídio para análises estruturais. Para isso, foi formulado um procedimento eficiente para determinar o comportamento pré-pico de seções em concreto armado sujeitas à combinação de flexão, cortante e torção, usando o modelo de treliça com amolecimento e combinação de solicitações, Combined-Action Softened Truss Model (CA-STM), GREENE (2006), onde o problema é resolvido considerando um sistema de equações não linear, com restrições, e a estimativa inicial para a solução admite um modelo elástico linear. Modelo de treliça com amolecimento e combinação de solicitações O modelo adotado, conhecido como CA-STM, calcula o comportamento carga-deformação pré-pico de seções em concreto armado com base na idealização da estrutura como a associação de quatro painéis de concreto fissurados, Figura 1.

Figura 1 – Estrutura idealizada pelo modelo, adaptado: GREENE (2006)

A teoria de vigas de seção fechada com parede delgada sujeitas à torção assume que a estrutura resiste a esse esforço solicitante através de um fluxo de cisalhamento constante ao longo do perímetro da seção transversal. O CA-STM admite que tanto seções vazadas como maciças, sujeitas a combinação de torção com outros esforços, podem fazer uso dessa mesma hipótese. Com isso, o núcleo de concreto é desconsiderado no cálculo da resistência da seção.

O mecanismo de resistência idealizado em cada painel é o modelo de treliça com amolecimento e ângulo variável, HSU e MO (2010), onde a malha de armaduras ortogonais (formada pelos aços longitudinais e transversais) trabalha a tração e as bielas de concreto, definidas pelas fissuras diagonais, trabalham em compressão. Nesse modelo de treliça, o sistema de coordenadas principal é referente às tensões resultantes no concreto e o ângulo das fissuras em relação ao eixo longitudinal ( ,D iα ) varia de forma que a contribuição do concreto na resistência ao cisalhamento da peça seja nula. É desconsiderado o efeito de pino nas armaduras e admitido aderência perfeita entre o concreto e o aço. Um conceito básico usado no CA-STM é que as tensões e deformações admitidas neles são os valores médios ao longo de várias fissuras. Devido à descontinuidade criada pela fissuração, ocorre uma diferença no comportamento ao longo do painel e uma medida usada para fazer uma avaliação razoável do problema é adotar esse conceito de tensões médias e deformações médias, ao invés de estudar pontos específicos do elemento. Entre as várias premissas adotadas no CA-STM algumas delas dizem respeito à transformação da seção real estudada em uma seção fictícia usada no método, Figura 2. A seção transversal original da viga pode ser definida, basicamente, com os parâmetros b e h , base e altura, e a espessura real em cada face it , onde o índice i faz referência à numeração dos painéis, Fig. 2.

Figura 2 – Transformação da seção estudada, adaptado: GREENE (2006)

O modelo em questão faz uso da geometria do fluxo de cisalhamento da seção para definir as espessuras dos quatro elementos de concreto idealizados ( ,D it ). Com base nisso, admite-se que a linha central do fluxo coincide com os eixos dos painéis, podendo ser localizada de acordo com as dimensões 0b e 0h , onde 0A é a área inclusa pela linha central do fluxo. Quando uma

viga é submetida à torção, as faces do elemento, uma vez planas, assumem a forma de um paraboloide hiperbólico e isso causa uma flexão nas bielas de concreto, formadas entre as fissuras. O CA-STM considera esse efeito através de um gradiente linear nas deformações principais de compressão nos painéis ( ,D iε ), onde, as deformações referentes às faces externas

e internas são representadas, respectivamente, por ,DS iε e ,A iε . Com isso, é possível concluir

que ,D iε é igual à média aritmética de ,DS iε e ,A iε e que a curvatura da biela em cada painel ( iψ ) pode ser determinada de acordo com Eq. (1).

, ,, 2

DS i A i

D i

ε εε

+=

, ,

,

DS i A i

i

D it

ε εψ

−= −

(1)

Para criar uma forma sistemática de estudar essas variáveis, foi necessário definir o índice iz , parâmetro adimensional que limita o comportamento da biela de acordo com cada caso, Eq. (3). No presente texto, essa incógnita foi escolhida para variar entre 0 e 3 e foi selecionada como uma variável primária do problema.

,,

0 , para 0 2

( 2) , para 2 3i

A i

i DS i i

z

z zε

ε< ≤

= − < ≤

,

, para 0 22

, para 2 3

ii i

D i

i i

tz z

t

t z

< ≤= < ≤

(2)

Uma etapa de grande importância durante a formulação do problema usando o CA-STM é o cálculo das áreas de aço equivalentes em cada painel. Os critérios adotados no modelo podem ser encontrados tanto em GREENE (2006) como em SILVA (2016). O modelo estudado considera que as seções idealizadas resistem a esforços tangenciais (momento torsor e esforço cortante) através de fluxos de cisalhamento constantes ao longo dos painéis. A convenção de sinais adotada admite que essas solicitações são positivas quando circulam no sentido anti-horário no perímetro da seção. O Fluxo referente à torção segue a teoria clássica da resistência dos materiais enquanto que no caso do esforço cortante, o CA-STM admite que dos quatro painéis que compõem a seção apenas os dois elementos paralelos ao sentido do carregamento contribuem para a resistência da peça. Para um esforço cortante YV , apenas o painéis impares (1 e 3) atuam e para ZV apenas os pares (2 e 4). Com isso, devido ao fato do modelo considera a distribuição de cisalhamento constante nos painéis, pode-se admitir a interação entre as duas parcelas ( i

q ) apenas com base na sua soma, Eq. (3).

10 02 2

X YT Vq

A h= +

2

0 02 2X ZT V

qA b

= +

30 02 2

X YT Vq

A h= −

4

0 02 2X ZT V

qA b

= −

(3)

Por fim, é possível calcular a tensão de corte resultante por elemento ( ,LT iτ ) de acordo com a divisão do fluxo de cisalhamento em cada painel pela sua espessura, como mostra Eq. (4).

,,

iLT i

D i

q

tτ =

(4)

O modelo estudado considera que as seções idealizadas resistem ao momento fletor ( YM e

ZM ) e ao esforço axial ( XN ) através de tensões normais uniformemente distribuídas na face de

cada painel ( ,L iσ ), como mostram as equações Eq. (5) e Eq. (6).

0,3 ,3 0 ,1 ,1 0[ ( ) ( )]

2Y L D L D

bM t h t hσ σ= −

0

,4 ,4 0 ,2 ,2 0[ ( ) ( )]2Z L D L D

hM t b t bσ σ= −

(5)

,1 ,1 0 ,2 ,2 0 ,3 ,3 0 ,4 ,4 0( ) ( ) ( ) ( )X L D L D L D L DN t h t b t h t bσ σ σ σ= + + + (6)

O mecanismo de resistência adotado para os painéis do CA-STM é o mesmo usado no modelo de treliça com amolecimento, onde as equações de equilíbrio e compatibilidade relativas são:

,2 2, , , , , ,

, 0,

cos ( ) sen ( ) L i

L i D i D i R i D i L i

d i i

Af

t wσ σ α σ α

= + +

(7)

2 2 TT, R, , D, , ,

,

cos ( ) sen ( )i i D i i D i T i

d i

Af

t sσ σ α σ α

= + +

(8)

. , , , ,( )sen( )cos( )sinal( )LT i R i D i D i D i iqτ σ σ α α= − (9)

. , , , ,2( )sen( )cos( )sinal( )LT i R i D i D i D i iqγ ε ε α α= − (10)

, , , ,T i R i D i L iε ε ε ε= + − (11)

Os parâmetros ,T iσ e ,LT iτ representam as tensões transversais e de cisalhamento em cada

painel, enquanto que ,D iσ e ,R iσ são as tensões principais de tração e compressão no concreto. As incógnitas ,L i

f e ,T if retratam as solicitações nos aços longitudinais e transversais e s é o espaçamento da armadura transversal. O parâmetro ,LT iγ representa a deformação de corte no painel, enquanto que o termo sinal( )iq serve de ferramenta para garantir a concordância dos

sinais. Os termos ,R iε , ,L iε e ,T iε são, respectivamente, as deformações principal de tração,

longitudinal e transversal nos painéis. A variável 0,iw é a largura relativa de cada painel.

Segundo GREENE (2006), a resistência à compressão e a tração do concreto podem ser modeladas de acordo, respectivamente, com Eq. (12) e (13), onde ckf é a resistência

característica à compressão do concreto e crε e oε são, respectivamente, a deformação de tração relativa ao surgimento de fissuras no concreto (geralmente adotada igual a 30.1 10−× ) e a deformação de compressão de pico ( 32 10−× ). Os parâmetros

gA e cpA , representam as áreas

bruta e externa da seção de concreto. A resistência à tração do concreto ( ,R iσ ), geralmente desprezada em outros modelos de treliça, tem particular importância no presente trabalho, onde possibilita que o método faça razoável estimativa do comportamento da seção para carregamentos em serviço.

2, , , , ,

, ,, , , ,

,2

, ,

2,

0.91 1 , para

3 3 1 600

2 0.9

1 600

DS i DS i A i A i DS i

ck A i DS i

o o DS i o o DS i A i R i

D i

DS i o DS i

ck

o R i

f

f

ε ε ε ε εε ε

ε ε ε ε ε ε ε εσ

ε ε ε

ε ε

− − − < − +

= − +

, , , para A i DS iε ε

=

(12)

Com o objetivo de evitar a descontinuidade na primeira derivada no ponto de escoamento do aço, relativo a uma curva elasto-plástica perfeita, foi necessário fazer uma regularização da relação constitutiva do aço, para não ocorrerem problemas de convergência no método. A curva proposta é baseada na função de Ramberg-Osgood, SILVA (2016), Eq. (14), onde o índice SS pode ser substituído por L ou T, referindo-se tanto a armadura longitudinal como a transversal. O termo

SE é o modulo de elasticidade do aço e Syε a deformação de escoamento.

( )

,,

,

, ,

, para 2

exp 350 , para 2

g ck R i

R i cr

cp cr

R i

g ck

R i cr R i cr

cp

A f

A

A f

A

εε ε

εσ

ε ε ε ε

≤

= − − >

(13)

( )

, , 0.254

,

1 0.0020.002

1 1 0.002

SS i S SS i

SS i

Sy

f E εεε

− = + + −

(14)

Procedimento de solução proposto

Uma prática corrente na utilização de técnicas relacionadas com o modelo de treliça com amolecimento é resolver o sistema não-linear envolvido com base em técnicas de solução por tentativa e erro. De forma geral, essa metologia tende a encontrar corretamente a resposta, porém, quando o número de estimativas é muito grande, o método perde eficiência e pode se tornar uma opção impraticável. A seguir é apresentada uma alternativa eficiente para procedimento de solução do sistema de equações referente ao CA-STM. No estudo de painéis fissurados de concreto armado submetidos a esforços de membrana, sabe-se que, é possível definir o comportamento da estrutura com base nas deformações principais no concreto ( ,D iε e ,R iε ) e no ângulo formado entre o eixo principal de compressão e

a direção longitudinal referente ( ,D iα ). Porém, quando um painel sofre um encurvamento é necessário adicionar o efeito da curvatura da peça ( iψ ) no processo de análise. Portanto, como o CA-STM idealiza seções de concreto armado como a associação de quatro painéis com curvatura e cada um deles pode ser analisado de acordo com quatro variáveis primárias, é possível concluir que todo o comportamento da seção pode ser estudado com base em dezesseis incógnitas, são elas: , , ,[ , , , ] para 1 4D i R i D i i iε ε α ψ = … . No presente trabalho, com o

objetivo de aumentar a eficiência do procedimento proposto, algumas variáveis primárias foram substituídas por outras equivalentes que se ajustaram melhor ao método. Com isso, as novas incógnitas adotadas são: , , ,[ , , , ] para 1 4DS i R i L i iz iε ε ε = … .

Uma consideração importante em relação às deformações ,DS iε , ,R iε e ,L iε é que, no procedimento proposto, são computados seus valores multiplicados por mil. Isso foi feito para evitar que essas variáveis primárias sejam muito menores que iz , e assim não ocorram problemas numéricos de convergência decorrentes disso. A técnica proposta consiste em: assumir um valor fixo pra deformação ,1DSε e, no lugar de definir as próprias solicitações em si, estabelecer relações constantes dos outros cinco esforços com o momento torsor (

XN /

XT ,

YV /XT ,

ZV /XT , YM /

XT e ZM /

XT ). Decorrente disso, XT toma o lugar de ,1DSε como variável

primária e os esforços solicitantes variam proporcionalmente com o aumento da torção. Com isso, as novas variáveis primárias são: , , ,[ , , , , ] para 1 4 e 2 4X DS j R i L i iT z i jε ε ε = =… … .

Como o momento torsor XT passa a ser considerado mais uma incógnita do problema,

também é necessário normalizar essa variável. Isso é foi feito dividindo-se XT pelo momento

torsor de fissuração da seção real, 20.33 ( )CR ck cp cpT f MPa A p= , ACI 318-14. O termo cpp é o perímetro externo da seção. Dessa forma, o procedimento pode ser apresentado como: Dada a geometria da seção real ( it , b e h ), a armadura longitudinal e transversal equivalente em cada painel, as propriedades mecânicas do concreto ( CE , ckf , oε , e crε ) e do aço ( SE , Lyf e Tyf ), as relações dos esforços

solicitantes com o momento torsor (X

N /XT ,

YV /XT ,

ZV /XT , YM /

XT e ZM /

XT ) e a deformação

,1DSε , determine as variáveis XT , ,2DSε , ,3DSε , ,4DSε , ,R iε , ,L iε e iz que minimizam a função

CA STMF − , sujeita a restrição 0 3iz≤ ≤ , até uma tolerância aceitável (Tol ).

O desenvolvimento da função resíduo CA STMF − , Eq. (15), conta com certas premissas, são elas:

• A transferência de tensões transversais entre os painéis na Eq. (10) é nula, ( )CA STMF i− ;

2 2 T, , D, , T,

,

,13

,24

,,13

,24

cos ( ) sin ( )

( ) sin(2 ) co( 4)

( 8)

(13)

(14)

(15)

(16)

R i D i i D i i

d i

L

L

CA STM D i

LCA STM

LCA STM

CA STM

CA STM

CA STM

CA STM

Af

t s

F i

F i

F i

F

F

F

F

σ α σ α

φφ

θ αφ

φ

−

−

−

−

−

−

−

+ +

−

− + + +

=

T,13

T,242 2, ,

T,13

T,24

, , , ,

,

0,3 ,3 0 ,1 ,1 0

0,4 ,4 0 ,2 ,2 0

,1 ,1 0 ,2 ,2 0

s ( ) sin ( )

( )sin( ) cos( )sign( )

( ) ( )2

( ) ( )2

( ) ( )

D i D i

iR i D i D i D i i

D i

L D L D Y

L D L D Z

L D L D

qq

t

bt h t h M

ht b t b M

t h t b

φφ

α αφ

φ

σ σ α α

σ σ

σ σ

σ σ σ

− − +

− −

− −

− − + + ,3 ,3 0 ,4 ,4 0

,1 ,2 ,3 ,4

( ) ( )L D L D X

L L L L

t h t b Nσ

ε ε ε ε

+ − − + −

(15)

• A curvatura dos painéis, Eq. (1), concorda com a obtida por ONSONGO (1978),

( 4)CA STMF i− + , onde θ é a rotação axial da seção e ,13Lφ , ,24Lφ , ,13Tφ e ,24Tφ as curvaturas

longitudinais e transversais da seção, GREENE (2006); • A tensão de corte da Eq. (4) concorda com a encontrada em Eq. (9), ( 8)CA STMF i− + ; • É garantido o equilíbrio longitudinal da seção com Eq. (5) e (6), (13 15)CA STMF − − ;

• Por fim, é garantida a compatibilização das deformações nos quatro painéis através da última linha da função resíduo (16)CA STMF − , SILVA (2016).

O procedimento proposto usa como estimativa para o primeiro ponto da solução o comportamento obtido com base em um modelo elástico linear de um painel de concreto simples submetido ao cisalhamento puro, SILVA (2016). Uma vez que esse elemento idealizado representa os quatro painéis, os valores iniciais para as variáveis primárias correspondentes em diferentes elementos terão o mesmo valor. Decorrente disso, os valores

arbitrados inicialmente para as deformações de compressão na face externa nos painéis, 0,DS i

ε ,

concordam com o ,1DSε previamente assumido. Por sua vez, as outras estimativas iniciais das variáveis primárias são deduzidas de acordo com o círculo de Mohr e considerando o comportamento elástico linear. No caso de 0

iz é considerado um valor médio relativo ao intervalo estudado 0 3iz≤ ≤ , no presente estudo foi admito o valor unitário.

Com isso, pode-se definir o procedimento proposto como: [0] Inicialização: Informe Tol , 0

,1DSε , ,MAXDSε e m axn

[1] Ponto inicial: faça uma estimativa inicial para a solução com base no modelo linear elástico de um painel sujeito a cisalhamento puro, SILVA (2016) e 1k =

[2] Resolver: para ,1k

DSε resolver a função resíduo CA STMF − , Eq. (15), sujeita a 0 3iz≤ ≤ ,

utilizando como ponto inicial as respostas obtidas em 1k − [3] Incrementar: aumentar a deformação inicial

1,1 ,1 ,1

k k

DS DS DSε ε ε+ = + ∆

[4] Verificar: Avaliar se os critérios de parada foram atingidos: Se 1,1 ,MAX

k

DS DSε ε+ > , 1k k

X XT T −< ou maxk n= , fazer 1k k= + e retornar para [2], caso contrário, finalizar o processo.

Nesse procedimento o parâmetro ,1k

DSε varia de forma crescente até o valor máximo ( ,MAXDSε ),

geralmente tido como 33.5 10−× , através de um incremento fixo em cada iteração ( ,1DSε∆ ). Com isso, é resolvido um sistema de equações não linear em cada situação, onde a estimativa inicial para os novos sistemas de equações são os resultados da iteração anterior. Esse processo se repete até o número máximo de pontos ( maxn ) ser atingido, a deformação ,1DSε ser

superior ao limite ,DS MAXε ou até o momento torsor XT se igualar a resistência de pico. Validação do procedimento de solução proposto Originalmente, o CA-STM foi validado por GREENE (2006) com base na comparação entre o comportamento carga-deformação da estrutura previsto pelo modelo e os dados experimentais obtidos em 28 ensaios de laboratório. Com o objetivo de verificar a eficiência do procedimento de solução proposto, alguns desses experimentos foram selecionados para uma análise adicional, considerando tanto o caso de torção pura como a combinação desse esforço com o cortante. Basicamente, a atuação conjunta do momento torsor com o esforço cortante foi considerada através da viga RC-23, RAHAL e COLLINS (1995). A Figura 3 ilustra a comparação da curva torsor-rotação experimental e a obtida no procedimento para a viga RC-23, onde, também são mostradas as rigidezes à torção elástica (

ELASGC ) e última

(ULTGC ) referentes à análise experimental e as calculadas através de formulações teóricas

clássicas, SILVA (2016), juntamente com os divisores à torção relativos. Por fim, além da acurácia demonstrada pelo método, é importante ressaltar a sua eficiência computacional. O tempo médio de processamento levado pelo computador para executar todo o procedimento descrito foi aproximadamente quinze segundos, sendo as especificações do processador usado: Intel® Core™ i5-2450M @ 2.50GHz. Com isso, conclui-se que a associação do CA-STM com procedimento de solução proposto tende a se mostrar uma opção atrativa para análise de seções com combinação torsor-cortante.

Figura 3 – Comparação da curva torsor-rotação experimental e do procedimento

Exemplo de aplicação do procedimento proposto A seguir, é apresentado um exemplo de aplicação do procedimento proposto em um caso real. O exemplo em questão surgiu durante a verificação estrutural de um pedestal de concreto armado que serve de suporte para um tanque de armazenamento com finalidades industriais. A Figura 4 mostra uma vista tridimensional dessa. De acordo com essa ilustração, pode-se perceber que o problema trata de uma estrutura hiperestática submetida à torção de equilíbrio, decorrente da viga curva (60/148). Tendo em vista que, nesse tipo de análise, a relação entre a rigidez à flexão dos pilares ( EI ) e a rigidez à torção das vigas (GC) influencia consideravelmente na distribuição dos esforços internos e que o exemplo estudado trata de uma estrutura de concreto armado, onde, GC varia significativamente com o aumento da carga aplicada, pode-se concluir que estimar corretamente o diagrama das solicitações internas nesse problema é uma atividade não trivial. Com o objetivo de determinar o divisor a torsor efetivo para a viga V1, foi utilizado o procedimento proposto, tanto para torção pura como para combinação desse esforço com o cortante, Figura 4. Como pode ser observado, com a atuação simultânea das duas solicitações, a rigidez última sofre uma expressiva diminuição. Em relação à eficiência computacional, o tempo médio de processamento para executar todo o procedimento descrito foi 60 segundos, novamente utilizando-se um processador Intel® Core™ i5-2450M @ 2.50GHz. Na situação de torção pura, foi obtido um divisor a torção (9,7) com razoável proximidade ao adotado no cálculo da armadura da seção (6,67). Isso mostra que, nesse caso, a recomendação da NBR-6118/2007 foi plausível. Porém, quando é levada em conta a combinação do torsor com o esforço cortante, essa conclusão já não é mais válida, visto que o divisor à torção obtido (30,9) na atuação simultânea das duas solicitações se mostrou bastante elevado. Por fim, na falta de uma ferramenta de análise não linear apropriada para estudar toda a estrutura, recomenda-se utilizar no estudo do pedestal de concreto, ou de estruturas similares, uma envoltória dos esforços internos obtidos em análises com o coeficiente normativo e com o divisor calculado por um modelo semelhante ao discutido no presente trabalho.

Figura 4 – Curvas torsor-rotação da viga V1 do exemplo de aplicação

Conclusões

É preciso prever o real comportamento de seções em concreto armado sujeitas a ação combinada dos esforços seccionais de flexão, cortante e torção para calcular as rigidezes apropriadas em análises estruturais para verificações dos estados limites de serviço e ruptura. Na literatura os modelos de treliça com amolecimento são resolvidos tradicionalmente utilizando-se o método das tentativas e erro. Nesse trabalho, foi desenvolvido um procedimento eficiente de solução utilizando a tecnologia de sistemas de equações não lineares sujeitos a restrições. No caso do CA-STM, o problema pode ser formulado em termos de um sistema não linear com 16 equações e 16 incógnitas. O procedimento foi implementado em linguagem MATLAB e aplicado a ensaios experimentais da literatura, onde foi observada boa aderência. Foi aplicado o procedimento implementado no estudo de um caso real de um pedestal de concreto, onde, ficou demonstrada a significativa influência do esforço cortante na redução da rigidez à torção da seção nesse problema.

Referências

AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. ACI 318 – Building Code Requirements for Structural Concrete. 2014.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de Estruturas de Concreto, NBR – 6118 (2007). ABNT, Rio de Janeiro, Brasil, 2007.

GREENE, G. G. Jr., 2006. “Behavior of reinforced concrete girders under cyclic torsion and torsion combined with shear: experimental investigation and analytical models”, Ph.D. Dissertation, Department of Civil Engineering, University of Missouri-Rolla, USA.

HSU, T. T. C.; MO, Y. L., 2010. Unified Theory of Concrete Structures. Wiley. ONSONGO, W. M., 1978. “The Diagonal Compression Field Theory for Reinforced Concrete Beams

Subjected to Combined Torsion, Flexure and Axial Loads,” Ph.D. Dissertation, Department of Civil Engineering, University of Toronto, Canada, 246 pp.

RAHAL, K. N.; COLLINS, M. P., 1995. “Effect of the Thickness of Concrete Cover on the Shear-Torsion Interaction – an Experimental Investigation,” ACI Structural Journal, V. 92, pp. 334-342.

SILVA, J. R. B., 2016. “Procedimento Eficiente Para Análise De Seções Em Concreto Armado Usando O Modelo De Treliça Com Amolecimento”, Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Pernambuco, Brasil.