PROBLEMAS SELECIONADOS DE

ELETRICIDADE

PROFESSOR HELANDERSON SOUSA

1) Na figura abaixo todas as resistências valem R. Determine a resistência

equivalente entre os pontos A e B

Solução:

Se considerarmos apenas a parte do circuito a esquerda da linha

tracejada na figura abaixo

Essa parte corresponde ao mesmo circuito, pois a retirada de apenas uma

célula não afetará a resistência equivalente do resistor. Assim teremos:

Onde X é a resistência equivalente entre os pontos A e B.

Logo:

(XR/X + R) +R = X resolvendo para X temos:

X =(R/2)(1 + )

2) Cada ramo, do circuito mostrado a seguir, possui resistência R

Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B.

HelanDICA!: Simplifique as resistências que estão claramente em

série e depois use transformação delta-estrela

3) Na figura abaixo os resistores nas arestas de cada balão valem R, assim

como os da estrela de Davi na parte de baixo do circuito. O único

resistor do qual o valor da resistancia é diferente de R, é mostrado do

lado esquerdo da estrela.

Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B.

4) A resistência equivalente entre os pontos A e B da figura é:

a) R/3 b) R/2 c) 2R/3 d) 4R/3 e) 2R Solução: Na figura é fácil ver que os resistores de resistência R estão em curto-circuito e o circuito que nos resta é:

Assim teremos RAB = 4R/3

5) Uma armação cúbica de arames onde cada aresta possui resistência R é

mostrada na figura abaixo.

Determine a resistência equivalente ao ligarmos o cubo a um circuito

entre os pontos:

a) 1 e 7

b) 1 e 2

c) 1 e 3

6) Sabendo que todos os resistores possuem a mesma resistência R,

determine a resistência equivalente entre os pontos A e B.

HelanDICA!: Repare que esse é o mesmo caso do item (a) da

questão anterior, o circuito dessa vez está arranjado de uma

forma plana.

7) Na figura espacial abaixo, todos resistores possuem a mesma

resistência . Sabendo que a resistência equivalente entre os

pontos e é 5 , determine o valor de N

Solução: Na figura podemos notar que alguns resistores estão

entre pontos de mesmo potencial, ou seja ddp = 0, e nesse caso

podemos desconsiderar tais resistores

Retirando os resistores que tem ddp = 0 podemos redesenhar a

figura da seguinte forma:

Da figura vemos n + 2 resistores em cada “ramo” como os quatro

“ramos” estão em paralelo e a resistência equivalente entre os

pontos A e B é dada, podemos escrever:

5R = (n + 2)R/4 logo n = 18

8) (ITA-2001) Sabendo que R3 = R1 /2, para que a resistência

equivalente entre os pontos A e B da associação da figura seja igual a 2R2 a razão r = R2 / R1 deve ser:

a) 3/8 b) 8/3 c) 5/8 d) 8/5 e) 1

9) A figura abaixo representa um circuito ilimitado composta por

resistores de resistência R1 e R2 de valores respectivamente

iguais a 4 e 3 . Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B

Solução: A parte a direita da linha vermelha na figura abaixo, pó

ser considerado o mesmo circuito inicial, visto que a escada de resistores se repete ilimitadamente.

E também possui a mesma resistência equivalente que o circuito inicial. Assim podemos redesenhar o circuito da seguinte

maneira.

Resolvendo o circuito e igualando X, que é a resistência

equivalente entre os pontos A e B teremos:

(XR2/R2 +X) +R1 = X Resolvendo para X chegamos a:

X = (1+ )

Substituindo os valores dados, temos X = 6

10) No arranjo de resistores mostrados abaixo, determine a

resistência equivalente entre os pontos A e B se todas as resistências valem 3R

Solução: Seguindo o mesmo raciocínio da questão anterior, podemos redesenhar a figura da seguinte forma:

Onde X é a resistência equivalente entre os pontos A e B. Resolvendo esse circuito e igualando a X (que é a resistência equivalente AB) achamos que é pedido na questão.

OBS: ESSA QUESTÃO ENVOLVE CONHECIMENTOS DE TRENFORMAÇÃO DELTA-ESTRELA, CASO NÃO TENHA INTIMIDADE

COM O ASSUNTO PROCURRE VER ANTES.

11) No arranjo infinito de resistores abaixo, todas as

resistências valem R.

HelanDICA! Segue o mesmo raciocínio da questão anterior

12) Como mostra a figura abaixo, uma malha espacial infinita de

resistores foi construída. Na associação, todos os resistores são

iguais a . Determine a resistência equivalente entre os pontos

e .

13) A figura abaixo mostra uma rede de células quadradas

ilimitadas, a resistência entre cada nó é sempre R. Determine a

resistência entre A e B

14) Na figura abaixo, estão associados N geradores em série, em que

suas forças eletromotrizes crescem em progressão geométrica.

Sabendo que todos os resistores da figura apresentam a mesma

resistência, determine o número de geradores associados para

que o potencial no ponto G seja de 1640 Volts. Considere os

geradores como ideais.

Resolução: Seja K = 1 V + 3 V + 9 V + 27 V + . . . + EN.

Os resistores que estão na linha de simetria (acinzentado) são anulados, pois todos os pontos do circuito pertencentes a esta

linha possuem o mesmo potencial.

Por um lado, temos:

K – 0 = UA + UC + UB + UB + UC + UA ∴ UA + UB + UC = K/2 Por outro: K – VG = UA + UC + UB, sendo UA + UB + UC = K/2, tem-se VG = K/2.

Portanto, concluímos que o potencial no ponto G é a metade da soma 1 V + 3 V + 9 V + 27 V + . . . + EN. Logo, se VG = 1640 V, K = 3280 V. Temos que determinar quantos termos da P.G. (1, 3, 9, 27 ...)

devem ser somados para que a soma dê 3280. Pela soma dos N

termos iniciais de uma P.G., temos:

3280 = ∴ =

15) Na figura abaixo se mostra uma rede elétrica. Determine a

resistência equivalente entre os terminais a e b se todas as

resistências são iguais a R.

16) Sabendo que todos os resistores da figura abaixo possuem a

mesma resistência , determine a resistência equivalente entre os

pontos e .

17) Achar a resistência equivalente no hexágono abaixo, nas três

situações, sendo que cada ramo possui resistência R.

a)

b)

c)

18) Consider the ladder of resistors r, each of resistance shown

in Figure. What is the resistance seen between terminals A and C?

Solution: By Guide to physics

problems

Define equivalent resistances R and R’ as shown in Figure S.3.29a. By

symmetry, the equivalent resistances attached to points A and C are both R. The total resistance between terminals A and C is the sum of

the series Resistance

19) Duas placas paralelas quadradas de lado L, separadas por uma

distância d, são inseridas em um grande reservatório contento

um dielétrico liquido de constante dielétrica k, conforme mostra a

figura abaixo.

Determine a capacitância desse capacitor.

Solução: Podemos considerar o arranjo como dois

capacitores em paralelo. Assim teremos:

Ceq = ekA/2d + eA/2d

Ceq = (eA/2d)(k + 1)

20) A figura abaixo mostra dois capacitores com metade do espaço

entre suas placas preenchido com um dielétrico de constante

dielétrica K1. As áreas e as distâncias de separação dos

capacitores são idênticas. Qual deles possui maior capacitância, o

mostrado na figura (a) ou o mostrado na figura (b)?

Solução:

No caso (a) podemos considerar o arranjo como dois capacitores em

paralelo, pois tanto a parte com o dielétrico como a sem dielétrico

estão sob uma mesma tensão.

Assim a capacitância equivalente será dada por

Ceq = C1 + C2 onde C1 = K1e0A/2d e C2 = e0A/2d

Logo Ceq = (e0A/2d)(K1 + 1)

No caso (b) podemos considerar o arranjo como dois capacitores em

série, pois o potencia total entre as placas é igual a soma do

potencia na parte com dielétrico com o potencial na parte sem o

dielétrico.

Assim Ceqb = C1.C2/(C1 + C2)

Onde C1 = Ke0A/ d e C2 = e0A/ d

Substituindo esses valores em Ceqb chegamos a (2e0A/d)(k/k+1)

Fazendo Ceqb/ceq = que é menor que 1 pois k é maior que 1

Concluímos que Ceq Ceqb

21) Um capacitor de placas paralelas apresenta distância de

separação entre as placas d. O espaço entre as placas é

preenchido com dois dielétricos, um de espessura d/4 e

constante dielétrica K1 e o outro com espessura 3d/4 e constante

dielétrica k2. Determine a capacitância desse capacitor em função

de C0, a capacitância sem dielétricos.

22) Três dielétricos com constantes dielétricas K1, K2 e k3

preenchem partes de um capacitor de placas paralelas com mesmo volume como mostra as figuras abaixo. A área das placas

é A e a separação entre elas é d. Calcule a capacitância do sistema em (a) e em (b).

a)

b) c) Qual dos dois capacitores possui maior capacitância?

HelanDICA! Veja a resolução da questão 19

23) Três capacitores estão ligados em paralelo. Cada um deles tem

armaduras de área A com espaçamento d entre elas. Qual deve ser a distância entre as armaduras de um único capacitor, cada

uma com área também igual a A, de modo que sua capacitância seja igual à da associação em paralelo? (b) Repita o cálculo supondo que a associação seja em série.

24) Considere um capacitor de placas paralelas (preenchido com ar) onde uma das placas é conectada a uma mola com constante de força k e a outra placa é fixa como mostra a figura. Se o capacitor possui carga Q e a área das placas vele A, determine o deslocamento da mola.

Solução:

F = = Kx x =

25) Considere as figuras (a) e (b) abaixo, onde há um dielétrico de constante

dielétrica Z. Determine em qual dos casos haverá maior deslocamento da

mola.

a)

b)

26) Determina a capacidade de um circuito ilimitado, formado pela sucessão de capacitores idênticos , cada um com capacidade C, Como mostrado na figura.

HelanDICA!: Segue o mesmo raciocínio da escada de resistores.

27) A figura mostra um capacitor variável, que usa o ar como

dielétrico, do tipo empregado na sintonia dos aparelhos de rádio. As armaduras são ligadas alternadamente, um grupo delas estando fixo e o outro podendo girar em torno de um eixo.

Considere um conjunto de n armaduras de polaridade alternada, cada uma de área A de tal forma que a distância entre as placas

de um capacitor é sempre o dobro da distância que separa as placas de seu antecessor, sabemos que a distância entre as duas primeiras placas é d. Determine a capacitância máxima que

podemos obter desse capacitor.

Solução: Com n placas temos uma associação de n – 1 capacitores em paralelo, assim a capacitância equivalente e dada pela soma das capacitâncias de cada capacitor. Do

enunciado, se a distância entre as placas do primeiro capacitor é d temos que entre as placas do segundo é 2d

entre as placas do terceiro d......entre as placas do

(n -1)esimo d. A questão pede a capacitância máxima e sabemos que cada capacitor tem sua capacitância diretamente proporcional a

área, logo a capacitância de cada um e consequentemente a capacitância equilavente será máxima quando toda área A estiver a “disposição” do capacitor. Assim podemos escrever:

Ceq = Ae/d + Ae/2d + Ae/ d +...+ Ae/ d

Ceq = ( 1/ + 1/2 + 1 / +...+1/

Resolvendo a P.G.,...

Ceq = (2

28) A figura mostra dois capacitores em série, com uma seção central rígida,

de comprimento b, que pode se mover verticalmente. Determine a capacitância máxima e mínima que podemos obter com esse capacitor.

Solução: considere as distâncias arbitrarias c e d entre as placas e as haste rígida, como mostra a figura abaixo.

Vemos que a = c + b + d Nesse caso temos dois capacitores em série, logo a capacitância equivalente é dada por:

1/Ceq =1/C1 +1/C2 (eq 1)

C1 = eA/c e C2 = eA/b Substituindo esses valores em (eq 1) temos Ceq = Ae/(a –b)

Desta forma vemos que a capacitância desse sistema é constante, independente da distância das placas à haste rígida, não havendo assim um valor máximo ou mínimo.

29) Um gás ideal encontra-se inicialmente sob pressão de 1 atmosfera e

ocupa o volume de 1 litro em um cilindro de raio 5/ m, cujo embolo mantém a placa p2 de um capacitor afastada 10cm da placa p1. Nessa

situação existe uma energia de 171,5 J armazenada no capacitor, havendo entre suas placas a tenção de 5 V. Determine o calor da capacitância quando o êmbolo for levantado, reduzindo a pressão isotermicamente para 0,8 atm.

30) Um capacitor a vácuo é inicialmente conectado a uma bateria de tensão

V0 até ser carregado. Em seguida, a bateria é desconectada e um loquinho de porcelana, de constante dielétrica k e espessura b. é introduzido entre as placas do capacitor, paralelamente às mesmas. Se

a distância entre as placas do capacitor vale d b, a tensão elétrica final entre as placas do capacitor vale:

a) V0[1 + (k – 1/k)]

b) V0[1 + (1 – 1/k)]

c) V0[1 + (1/k - 1)]

d) V0[1 + (k – 1/k)]

e) V0[1 + (k + 1/k)]

Solução: O esquema pode ser considerado como três capacitores em série, de tal forma que a voltagem resultante é a soma das voltagens nas duas partes com vácuo e na parte com o dielétrico.

Na figura, c e a são as distâncias entre a placas e o dielétrico. Considere Vd =Nova tensão, após introduzido o dielétrico Vb = tensão no dielétrico de espessura b Va = tensão no espaço entre a placa inferior e o dielétrico, separadas por uma distância a Vb = tensão no espaço entre a placa superior e o dielétrico, separadas por uma distância b Podemos escrever:

Vd = Va + Vc + Vb Vb = Ea + (E/k)b + Ec (eq 1) Onde E é o campo elétrico inicial entre as placas, repare que no trecho com dielétrico, o campo elétrico é reduzido em k vezes(k dado na questão) Da figura vemos que a + c + b = d

Assim (eq1) pode ser escrita Vd = E(d – b) + (E/k)b = Ed( d – b + b/k) Sabemos que Ed = V0 Com um pouco de álgebra temos:

Vd = V0[1 + (1/k - 1)]