8/16/2019 Problemas Selecionados 81

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Problemas Selecionados

por Sandro Davison

Vamos propor algumas questões, de níveis variados, voltados para os vestibulandos do IME edo ITA que querem aprofundar ferramentas de solução de problemas, e para os que gostam deolimpíadas.

Problema 1.   (2001 APICS Math Competition) Considere a sequência   {an}   com  a1   = 1, a2   = 1   e   an   =an−1+ an−2, para todo n2. Prove que

n=1

∞

an

4n+1 =

  111

Problema 2.   (2001 APICS Math Competition) Determine todas as funções reais diferenciáveis e que satis-fazem

f (x) + f (y) = f (  x + y1−x y

),∀x, y  ∈R, x y     1.

Problema 3.   (Berkeley Ph.D. Exam - Fall 90) Encontre todos os pares de inteiros a  e  b,  0  < a < b  tais que

ab= ba.

Problema 4.   (The Green Book of Mathematical Problems) Sejam   a1, a2,   ., an   reais, não todos nulos.

Determine o valor mínimo de

x12+ x2

2+   + xn2

em que todos os  xi  satisfazem

a1x1+ a2x2+   + anxn= 1.

Problema 5.  (IMO 66) Resolva a equação1

senx +

  1cosx

 = 1 p

em que   p  é um parâmetro real.

Discuta para quais valores de   p  a equação tem no mínimo uma solução real e determine o número de solu-

ções em [0, 2π)  para um dado p.

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Dicas:

1) A seqüência em questão é a conhecida seqüência de Fibonacci; pela também conhecida (?)

fórmula de Binet, temos que:

an =  1

5√ 

1 + 5√ 

2

n

−

1−   5√ 

2

n

em que  an  é o n-ésimo termo da seqüência de Fibonacci.Aplicando essa fórmula na questão, basta fazer que:

i=0

∞

f (i) =   limn→∞

i=0

n

f (i)

e recairemos na busca da soma da série de uma P.G. infinita.

2) Como a função   f (x)   é diferenciável para todos os reais, derive a equação funcional dadaem relação a  x  e a   y.

3) Como  a < b, faça a transformação  b = a(t + 1), t > 0, e lembre-se de que  et > t + 1.

4) Aqui pode-se fazer de duas formas. A primeira é utilizar a desigualdade de Cauchy-Schwarz com os vetores   (a1, a2,   , an)   e   (x1, x2,   , xn). O único problema dessa abordagem émostrar que a expressão pedida atinge de fato a cota encontrada por Cauchy-Schwarz.

A segunda forma será mostrada aqui sem provas, apenas como uma ferramenta diferente emuito útil em problemas desse tipo. Ela usa conceitos avançados de Cálculo Diferencial e Aná-lise Vetorial. São os chamados   Multiplicadores de Lagrange.

Para começarmos, imagine uma função   f (x, y):  R2 →  R   que leva um vetor do plano a umescalar real, isto é, uma superfície no espaço, que chamamos de campo escalar. Definimos deri-

vada parcial de   f   em relação a uma variável   xi, de forma intuitiva, como a derivada da funçãotomando-se todas as outras variáveis diferentes de   xi   como constantes. Assim, por exemplo, se

f  = x y z, então  ∂f 

∂x = y z,

  ∂f 

∂y = x z  e

  ∂f 

∂z = x y.

Definimos agora um novo vetor, chamado   gradiente   da função   f   (denotado por ∇f   - lê-se “nabla   f ”):

∇f  =

∂f 

∂x, ∂f 

∂y

em que  ∂f 

∂x  e

  ∂f 

∂y  são as derivadas parciais de f em relação a   x   e a   y. O vetor gradiente é um

vetor que sempre aponta para a direção de máximo crescimento da função.A técnica dos Multiplicadores de Lagrange é bem simples. Considere a função   f (x, y)  a ser

maximizada (minimizada) e uma outra função   g(x, y) = 0  chamada de  restrição . Visualize comosendo   f  uma superfície qualquer e   g  uma outra superfície que intersecta   f , definindo uma curvano espaço, da qual queremos extrair informações sobre máximos e mínimos.

Pode-se demonstrar (tal prova não é necessária aqui) que os máximos e/ou mínimos dessacurva no espaço acima definida satisfazem a equação vetorial:

∇f  = λ∇gou o equivalente sistema:

∂f 

∂x = λ

∂g

∂x

∂f 

∂y = λ

∂g

∂y

A equação mostra que os gradientes de   f   e   g   devem ser paralelos para que encontremosmáximos e mínimos dessa curva no espaço.

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Isolando   x   e   y   em função de   λ   e substituindo na função de restrição   g, encontraremos osvalores para os quais   f   é máxima/mínima.

Como exemplo, consideremos o problema de minimizar a função   f  = x1 +  x2 +  x3 +   + xn,sabendo-se que o produto de todas as variáveis  xi é constante igual a  k  (xi > 0,∀i).

Seja, então,   f (x1,   , xn) =  x1 +  x2 +  x3 +   + xn e   g(x1,   , xn)

−k =  x1 x2   xn

−k = 0  a

função de restrição. Logo, pela técnica:∇f  = λ∇g

(nesse caso de exemplo, o gradiente de ambas as funções será um vetor de n coordenadas, pois

as variáveis são   x1,   , xn). Como  ∂f 

∂xi= 1  e

  ∂g

∂xi=k     i

xk, ∀i, temos que o valor mínimo de   f   é

dado por   ni=1

n

xin

   , que é a tão conhecida desigualdade das médias aritmética e geométrica

(MAMG).

5) Nessa questão, escreva   p2 como produto de dois fatores dependentes de   p  e  x.