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Problemas e Exercícios

Problemas e Exercícios

Introdução à Estatística 1. Diga porque é que as seguintes situações representam más amostras:

a) Para saber qual o candidato mais votado, para a Câmara de determinada cidade, auscultou-se a opinião dos clientes de determinado supermercado. b) Para conhecer a situação financeira das empresas têxteis portuguesas, verificou-se a situação das empresas que tiveram maior volume de exportações, no último ano.

2. Num estudo feito numa escola, recolheram-se dados referentes às seguintes variáveis: (A) idade (E) tempo gasto diariamente no estudo (B) ano de escolaridade (F) distância de casa à escola (C) sexo (G) local de estudo (D) nota na disciplina de Matemática (H) número de irmãos

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a) Das variáveis indicadas, quais são as quantitativas e quais são as qualitativas?

b) Das variáveis quantitativas, diz quais são contínuas.

3. Para realizar um estudo sobre o tempo gasto, em minutos, por 60 elementos de um clube de karting num circuito de 20 voltas, registou-se o tempo gasto por 16 desses elementos. Os resultados foram os seguintes:

14,1 13,5 15,0 16,2 17,6 18,7 13,1 15,4

16,6 17,2 14,8 15,9 18,0 16,3 14,9 14,3

3.1. Indique: a) a população; b) a amostra. 3.2. Indique a variável estatística do estudo e classifique-a. 3.3. Indique quatro valores que a variável estatística pode assumir.

Organização de Dados e Gráficos 4. Numa cidade de 20000 habitantes fez-se um inquérito sobre o meios de transporte utilizado diariamente para se deslocarem para o emprego. Foram interrogadas 2500 pessoas e os resultados foram registados no seguinte gráfico:

Construa uma tabela com a frequência relativa de cada um dos transportes.

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5. Neste gráfico de barras está representada a evolução da população residente portuguesa ao longo dos anos, segundo os dados estatísticos obtidos nos recenseamentos.

a) Qual o valor aproximado da população residente em Portugal no ano de 1989? b) Qual ou quais o(s) ano(s) em que a população residente em Portugal foi igual a 10 milhões? c) A partir de que anos os portugueses residentes passam a ser mais de 10 milhões? d) Qual parece ser a evolução nos próximos anos? 6. A Raquel fez um inquérito para a disciplina de Estudo Acompanhado sobre quantas horas os colegas estudavam por dia. Obteve o histograma seguinte:

a) Quantas classes formou a Raquel? b) Com que amplitude? c) Em que intervalo se encontra a resposta mais frequente? d) Qual a percentagem de alunos que estuda no máximo 6 horas? e) Há alunos que estudam mais do que meio dia? f) Construa o respectivo polígono de frequências.

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7. As alturas, em centímetros, dos alunos de uma turma do 10º ano são as seguintes:

150 169 174 155 165 170 172

152 158 163 158 166 158 166

170 171 162 171 161 154 168

161 164 166 164 162 156 167 a) Construa uma tabela de frequências, agrupando os dados em classes. b) Represente graficamente os dados, utilizando o tipo de gráfico que achar mais conveniente.

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm24/solucoes.htm - E7

Medidas de Localização 8. Os seguintes valores representam o número de medalhas (ouro, prata e bronze) obtidas nos jogos olímpicos de Verão de 1976:

Construa um diagrama de caule-e-folhas ou um histograma dos dados e identifique o tipo de distribuição.

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm24/solucoes.htm - E8 9. Considere várias representações gráficas, como por exemplo, histogramas referentes a notas de várias turmas.

a) Compare a posição relativa das medianas das notas das três turmas. b) Considere a classe 1). Será de esperar que a média e a mediana das notas dessa turma, estejam próximas?

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c) Considere os dados da classe 2). Será de esperar que a mediana seja superior à média ou inferior? Sugestão: Pode-se considerar notas de um teste aplicado a várias turmas para comparar turma! 10. Num inquérito à comunidade científica sobre a utilização de meios informáticos, realizado pela Fundação para o Desenvolvimento dos Meios Nacionais de Cálculo Científico, obtiveram-se os seguintes resultados quanto ao tipo de problemas tratados:

Construa um diagrama de extremos e quartis dos dados e discuta-o.

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm24/solucoes.htm - E10 11. Num determinado teste realizado a 50 estudantes obtiveram-se as seguintes pontuações:

Depois de ordenada a amostra construa a função distribuição empírica e determine: a) a nota N, tal que 50% dos alunos tenham notam menor ou igual a N; b) qual a percentagem P de alunos com nota menor ou igual a 81.

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm24/solucoes.htm - E11

Medidas de Dispersão 12. Seguidamente apresentam-se algumas estimativas para a velocidade da luz determinadas por Michelson em 1882 (Statistics and Data Analysis, Siegel).

299,96 299,88 299,90 299,94 299,88

299,96 299,85 299,94 299,80 299,84

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Utilizando uma máquina que só admite números até 6 dígitos: a) determine a média. b) determine o desvio padrão, utilizando a expressão da definição. c) determine o desvio padrão, utilizando a fórmula deduzida para efeitos de cálculo, e compare o resultado, com o obtido na alínea anterior. Qual a resposta correcta? d) subtraia 299 a cada um dos dados e determine o desvio padrão, dos resultados obtidos, utilizando a fórmula utilizada na alínea anterior. Comente os resultados obtidos. e) calcule a média dos valores com que trabalhou na alínea anterior. Adicione à média obtida 299. Compare-a com a obtida na alínea a. 13. O Sr. Malaquias, cujas habilitações literárias não vão além da 4º ano de escolaridade, respondeu a dois anúncios de oferta de emprego. As empresas trabalham no mesmo ramo, pelo que o serviço que o Sr. Malaquias iria fazer seria semelhante em qualquer das empresas. Resolveu saber alguma coisa sobre os ordenados processados nos dois sítios, tendo obtido a seguinte informação:

Empresa A Empresa B Média 445 € 475 € Mediana 400 € 350 € Desvio padrão 160 € 190 €

Qual das empresas aconselharia o Sr. Malaquias a escolher ? Explique porquê. 14. Considere os seguintes resultados de um exame de Matemática realizado a 213 alunos:

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Freq. Abs.

1 1 5 7 12 13 16 15 17 32 17 21 12 16 8 4 7 5 4

a) Calcule a média e o desvio padrão dos dados. b) Represente graficamente os dados na forma de um histograma considerando as seguintes classes: [1,3[, [3,5[, [5,7[, [7,9[, [9,11[, [11,13[, [13,15[, [15,17[, [17,19[, [19,21[. c) Qual o aspecto apresentado pelo histograma? d) Verifique quantas notas pertencem ao intervalo . Corresponde a que percentagem? Comente o valor obtido.

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e) Verifique quantas notas pertencem ao intervalo. Corresponde a que percentagem? Comente o valor obtido. 15. Suponha que se adicionou 100 a cada um dos valores de uma amostra. 15.1. O que é que acontece ao: a) Desvio padrão. b) Amplitude inter-quartil. c) Amplitude. d) Média. e) Mediana. 15.2. Suponha que obteve o valor de -40.5 para a variância. O que conclui? 15.3. Suponha que a amplitude de uma amostra é 105.4 e que ao calcular o desvio padrão obteve o valor 260.6. O que conclui?

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Distribuições Bidimensionais 16. A tabela seguinte apresenta três conjuntos de dados A, B e C, preparados pelo estatístico Frank Anscombe, para ilustrar os perigos de calcular medidas sem primeiro representar os dados. Os conjuntos de dados A, B e C têm a mesma correlação e a mesma recta de regressão (Moore, 1995): A

x 10 8 13 9 11 14 6 4 12 7 5 y 8.04 6.95 7.58 8.81 8.33 9.96 7.24 4.26 10.84 4.82 5.6

B

x 10 8 13 9 11 14 6 4 12 7 5 y 9.14 8.14 8.74 8.77 9.26 8.10 6.13 3.10 9.13 7.26 4.74

C

x 8 8 12 8 8 8 8 8 8 8 19 y 6.58 5.76 7.71 8.84 8.47 7.04 5.25 5.56 7.91 6.89 12.50

a) Calcule o coeficiente de correlação e a recta de regressão para cada um dos conjuntos de dados e verifique que são iguais. b) Para cada um dos conjuntos de dados faça o diagrama de dispersão e represente a recta de regressão. Em qual das situações acha que pode utilizar a recta de regressão para estimar o valor de y para x=13.5? Justifique a resposta.

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17. Os coeficientes de correlação correspondentes a cada uma das distribuições representadas são: - 0.01, - 0.86, 0.89. Observe-as cuidadosamente e faça corresponder a cada um o seu coeficiente de correlação.

Globais 18. O grupo do Manuel fez um trabalho de estatística para a disciplina de Matemática sobre o número de horas que os alunos da escola passavam por semana em frente à televisão. Face a esta pergunta obtiveram diferentes respostas. Ficaram na dúvida de como haveriam de tratar os valores. Consegues ajudar?

0 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 11 12 12 12 12 12 12 12 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 17 17 18 19 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 22 22 22 22 22 23 23 24 24 24 24 24 25 25 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 35 35 37

a) Agruparias em classes? Se sim, em quantas? b) Constrói uma tabela de frequências relativa e absoluta. c) Qual foi a classe que incluiu as respostas mais frequentes? d) Escolhe um símbolo adequado e constrói um pictograma. e) Este foi um histograma construído pelo Miguel, colega do Rui. Achas que está correcto? Identifica os erros.

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http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm24/solucoes.htm - E18

19. O pai do Ricardo lê determinado jornal todos os fins-de-semana. Um dia, o Ricardo, curioso, procurou no site de um jornal uma estatística sobre a quantidade de jornais vendidos diariamente e encontrou o gráfico representado a seguir.

a) Partindo desta contagem, elabora um gráfico circular. b) Qual é a moda? Que significa? c) Qual foi o jornal menos vendido?

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm24/solucoes.htm - E19 20. A tabela seguinte apresenta os dados relativos à população residente no Norte do país e na cidade do Porto.

Distribuição da População residente segundo os grupos etários, 1997 (%)

Classes Norte Porto

0-14 18,7 15

15-29 16,8 14

30-44 26,9 20,1

45-59 25 24

> = 60 12,6 10,8

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a) Transporta os dados da tabela relativos à zona Norte para um gráfico de barras. b) Constrói o polígono de frequências. c) A cidade do Porto tem a mesma percentagem de crianças e jovens que toda a Zona Norte do país? d) Em que classe se encontra a mediana das idades da população? e) Qual a classe modal da população residente na cidade do Porto? E no Norte do país?

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm24/solucoes.htm - E20 21. Nuno: Na nossa empresa ganha-se mal em comparação à do lado... Vasco: Não se ganha nada mal... Olha que a nossa média de ordenados é de 873 €! Nuno: O quê? Sabes que o salário que a maior parte dos trabalhadores recebe é de 350 €? 21.1 Que medida está aqui evidenciada pelo Nuno? Vasco: Que é que isso tem? Nuno: E sabes que a mediana dos salários é de 500 €? 21.2 E agora, o que significa a medida de tendência central que usou o Nuno? Nuno: Na empresa vizinha o salário mais recebido é de 700 € e a mediana também é de 700€. Vasco: Continuo a dizer que a média dos nossos salários é de 873 €... E, sabes mais, na empresa vizinha o salário médio é inferior... É só de 750 €... 21.3 Comente este diálogo.

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22. O Joaquim andou a investigar qual o tamanho do calçado que a sua família usava e obteve a seguinte tabela:

31-33 34-36 37-39 40-42 43-45 46-48

1 3 14 11 5 0

a) Em quantas classes dividiu ele os dados obtidos? b) Qual a amplitude de cada classe? c) Elabora um pictograma com a informação dada pelo Joaquim com um símbolo à tua escolha. d) Qual foi a classe que englobou mais respostas dadas? Que nome se dá a essa classe? e) Qual é a marca dessa classe? f) Construa o polígono de frequências. g) Qual a classe que obteve menos respostas? h) Qual a percentagem de pessoas que calça menos de 40?

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm24/solucoes.htm - E22 23. A Ana resolveu perguntar aos seus amigos e colegas qual era a estação do ano que eles preferiam. Após 180 questionários e a organização dos dados, obteve um gráfico circular. Os números correspondem à amplitude dos ângulos ao centro.

a) Qual foi a percentagem de pessoas que responderam que gostavam mais da Primavera? b) Quantos responderam que gostavam mais do Inverno? c) Qual foi a moda? A quantas pessoas corresponde? d) Qual foi a estação menos escolhida?

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm24/solucoes.htm - E23 24. Fez-se um inquérito a um grupo de jovens sobre as idas ao cinema no último mês e os resultados estão sintetizados no seguinte gráfico:

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24.1. Construa uma tabela de frequências absolutas, relativas, relativas em percentagem e relativas acumuladas em percentagem. 24.2. Qual a percentagem de jovens que foi, no máximo, duas vezes ao cinema? 24.3. Indique a moda. 24.4. Calcule: 24.4.1. a mediana 24.4.2. os quartis.

25. Quinze amigos resolveram participar na Mini-Maratona de Lisboa, que consiste em atravessar a ponte 25 de Abril. A distância que os atletas têm de percorrer é 7 Km, tendo realizado para tal vários treinos. No último, as distâncias percorridas foram as seguintes (em Km):

5,9 6,5 6,8 7,1 6,9

5,5 6,1 6,3 6 6,4

7 7,2 6,8 7,1 7,4

25.1. Qual a variável estatística em estudo? Classifique-a. 25.2. Construa uma tabela de frequências. 25.3. Qual a distância média percorrida no último treino pelos quinze amigos? 25.4. Dos 15 amigos, quantos correram menos de 7 Km no último treino? Qual a percentagem correspondente? 25.5. Que percentagem dos 15 amigos treinou pelo menos 6 Km? 25.6. Quantos amigos treinaram entre 6 e 7 Km? Qual a percentagem correspondente? 25.7. Indique a classe modal e a classe mediana. 25.8. Indique a moda.

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25.9. Indique a mediana e os quartis.