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Probabilidade III

Ulisses U. dos Anjos

Departamento de EstatísticaUniversidade Federal da Paraíba

Período 2014.1

Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 1 / 42

Sumário

1 Apresentação do Curso

2 Vetores AleatóriosFunção de Distribuição conjuntaFunção de Probabilidade ConjuntaFunção Densidade de probabilidade Conjunta

3 Distribuição Condicional

4 Independência entre variáveis aleatórias

5 Modelos Probabilísticos MultivariadosDistribuição MultinomialDistribuição Uniforme multivariada


Apresentação do Curso

Conteúdo Programático

1. Vetores aleatórios n-dimensionais.2. Função de distribuição conjunta. Vetor aleatório discreto:

função de probabilidade conjunta. Vetor aleatório contínuo:densidade conjunta. Distribuições marginais. Densidadescondicionais a n variáveis. Critérios de independência paravetores aleatórios independentes

3. Funções de variáveis aleatórias: método da integral deconvolução, Distribuição da soma de variáveis aleatórias, casodiscreto e contínuo

4. Funções de variáveis aleatórias: método do jacobiano,Distribuição do produto e do quociente de variáveis aleatórias.

5. Estatísticas de ordem. Definições. Distribuição dasestatísticas de ordem, Distribuição conjunta das estatísticasde ordem. Algumas funções das estatísticas de ordem(amplitude amostral e mediana). Função de distribuiçãoempírica.


Apresentação do Curso

Conteúdo Programático

6. Esperança de funções de vetores aleatórios. Propriedades.Momentos mistos e covariância. Propriedades básicas dacovariância. Coeficiente de correlação: Propriedades.Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Função geradora demomentos conjunta.

7. Esperança condicional. Variância condicional. Propriedadesmais importantes da esperança e variância condicionais.

8. Função de regressão.9. Esperanças de vetores aleatórios e matrizes de covariância.

Propriedades mais importantes.10. Distribuição normal multivariada. Distribuição condicional

normal multivariada. Distribuição marginal.


Vetores Aleatórios

Vetores Aleatórios

Definição 2.1 (Vetor Aleatório)

Seja (Ω,F ,P) um espaço de probabilidade. Então uma funçãoX : Ω→ <m é denominado um vetor um vetor aleatório se a imageminversa de todo Boreliano, B = (B1, . . . ,Bm), do <m for um elemento deF , isto é,

X−1(B) =ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B

∈ F

A Definição 2.1 significa que a função

X(ω) =(X1(ω), . . . ,Xm(ω)

)é tal que, para todo i = 1, . . . ,m e todo Bi ⊂ <, tem-se X−1

i (Bi ) ∈ F .


Vetores Aleatórios

Vetor Aleatório

Observação 2.1

Da Definição de 2.1 segue que,ω ∈ Ω : X1(ω) ≤ x1, . . . ,Xm(ω) ≤ xm

=

m⋂i=1

ω ∈ Ω : Xi (ω ≤ xi

)

também é um evento. De fato, poisω ∈ Ω : Xi (ω ≤ xi

) é um evento

para todo i = 1, . . . ,m, pois X−1i (Bi ) ∈ F , e a interseção de eventos é

também um evento, visto que qualquer σ−álgebra é fechada para uniões einteresecções.


Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta

Função de Distribuição Conjunta

Definição 2.2

A função distribuição conjunta de um vetor aleatório X, representada porFX ou simplesmente F , é definida por

F (x) = F (x1, . . . , xm) = P(X1 ≤ x1, . . . ,Xm ≤ xm

)para qualquer x ∈ <m.



Função de Distribuição Conjunta: Propriedades

Seja X um vetor aleatório em (Ω,F ,P) então, para qualquer x ∈ <m, F (x)satisfaz as seguintes propriedades:

(P1) F (x) é não decrescente em cada uma de suas coordenadas;De fato, considere um j qualquer fixo, e aj ≤ bj então⋂

i 6=j

ω ∈ Ω : Xi (ω) ≤ xi

∩ω ∈ Ω : Xj(ω) ≤ aj

está contido em,⋂

i 6=j

ω ∈ Ω : Xi (ω) ≤ xi

∩ω ∈ Ω : Xj(ω) ≤ bj

Logo, F (x1, . . . , aj , . . . , xm) ≤ F (x1, . . . , bj , . . . , xm).



Demonstração

(P2) F (x) é contínua à direita em cada uma de suas coordenadas;Isto significa que,

limyj↓xj

F (x1, . . . , yj , . . . , xm) = F (x1, . . . , xj , . . . , xm)

(P3) Se para algum j, xj → −∞, então

limxj→−∞

F (x1, . . . , xj , . . . , xm) = 0

e se para todo i, xi →∞, então

limxi→∞

F (x1, . . . , xm) = 1

(P4) F (x) é tal que, para todo ai , bi ∈ <, tal que ai ≤ bi , temosque,

P(a1 < X1 ≤ b1, . . . , am < Xm ≤ bm,

)≥ 0



Exemplo

Exemplo 2.3

Considere uma central de reservas de uma companhia aérea e, para umachamada ao acaso estamos interessados em duas quantidades aleatórias:X1 é o tempo de espera e X2 é o tempo de atendimento, ambas emminutos. Suponha que o comportamento conjunto dessas variáveis sejarepresentada pela função de distribuição abaixo:

F (x1, x2) =

0 se x1 < 0 ou x2 < 0;1 − exp

(− x1

)− exp

(− 2x2

)+ exp

(− (x1 + 2x2)

)se x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

(1)



Função de Distribuição Marginal

Definição 2.4

Seja F (x) a função de distribuição de (X1, . . . ,Xm). Para cada k,k = 1, . . . ,m, definimos a Função de Distribuição Marginal de Xk por;

F (xk) = limxi→∞,∀i 6=k

F (x)

Exemplo 2.5

Considere a função de distribuição do Exemplo 2.3:

F (x1, x2) =

0 se x1 < 0 ou x2 < 0;1 − exp

(− x1

)− exp

(− 2x2

)+ exp

(− (x1 + 2x2)

)se x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.



Continuação Exemplo 2.5

Assim,F (x1) = lim

x2→∞F (x1, x2) = 1− exp

(− x1

)e

F (x2) = limx2→∞

F (x1, x2) = 1− exp(− 2x2

)


Vetores Aleatórios Função de Probabilidade Conjunta

Função de Probabilidade Conjunta

Definição 2.6

Seja X for um vetor aleatório discreto, então a Função de ProbabilidadeConjunta é definida por,

PX(x) = P(X1 = x1, . . . ,Xm = xm)

e deve satisfazer as seguintes propriedades:(i) P(X1 = x1, . . . , xm) ≥ 0, ∀ x ∈ <m;(ii)

∑x∈<m P(X1 = x1, . . . ,Xm = xm) = 1



Exemplo

Exemplo 2.7

Duas moedas honestas são lançadas de forma independente e considere asseguintes variáveis aleatórias:

X : número de caras;Y : função indicadora de faces iguais

Assim a função de probabilidade conjunta é dada por:

P(X = x,Y = y) =

0 se x = 0, y = 014 se x = 0, y = 112 se x = 1, y = 00 se x = 1, y = 10 se x = 2, y = 014 se x = 2, y = 1

(2)




Considere as seguintes regiões para a Função de distribição Conjunta de Xe Y

Quadro 2.1

X < 0 0 ≤ X < 1 1 ≤ X < 2 X ≥ 2y < 0 0 0 0 0

0 ≤ Y < 1 0 0 12 0

Y ≥ 1 0 14 0 1

4




Assim, analisando o a função de distribuição conjunta é dada por:

F (x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y) =

0 se x < 0 ou y < 00 se 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 114 se 0 ≤ x < 1, 0y ≥ 112 se 1 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 134 se 1 ≤ x < 2, y ≥ 112 se x ≥ 2, 0 ≤ y < 11 se x ≥ 2, y ≥ 1

(3)


Vetores Aleatórios Função Densidade de probabilidade Conjunta

Função Densidade de probabilidade Conjunta

Definição 2.8

Seja X um vetor aleatório contínuo, então dada a função de distribuiçãoconjunta F (x) associada a X, existe um função f : <m → <+ denominadafunção densidade de probabilidade conjunta (fdpc), tal que,

F (x) =

∫ x1

−∞· · ·∫ xm

−∞f (x)dy1 · · · dym.

Da Definição 2.8 segue que

f (x) =∂m

∂x1 · · · xmF (x) (4)



Função Densidade de probabilidade Conjunta

Proposição 2.1 (Propriedades da Função Densidade de probabilidadeConjunta)

Seja f uma função que satisfaz as condições da Definição 2.8, então(P1) f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ <m;(P2)

∫∞−∞ · · ·

∫∞−∞ f (x)dx1 · · · dxm

A função densidade de probabilidade marginal é dada por

f (xk) =

∫ ∞−∞· · ·∫ ∞−∞

f (x)dxi1 · · · dxim−1 , ∀ij 6= k (5)

ou da Definição de Função de distribuição Marginal, segue que

f (xk) =∂

∂xkF (xk) (6)



Exemplo

Exemplo 2.9

Considere a função de distribuição do Exemplo 2.3

F (x1, x2) =

0 se x1 < 0 ou x2 < 0;1 − exp

(− x1

)− exp

(− 2x2

)+ exp

(− (x1 + 2x2)

)se x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

A função densidade de probabilidade conjunta é dada por

∂

∂x1F (x1, x2) = exp

(− x1

)− exp

(− (x1 + 2x2)

)logo

f (x1, x2) =∂2

∂x1x2F (x1, x2) = 2 exp

(− (x1 + 2x2)

)




As funções de distribuição marginais de X1 e X2 foram calculadas noExemplo 2.5, logo as densidades marginais são dadas por

f (x1) =∂

∂x1

(1− exp

(− x1

))= exp

(− x1

)e

f (x2) =∂

∂x2

(1− exp

(− 2x2

))= 2 exp

(− 2x2

)


Distribuição Condicional


Definição 3.1

Sejam X e Y duas variáveis em (Ω,F ,P) e B1 e B2 ∈ < comP(Y ∈ B2) > 0. Então, a probabilidade condicional de X dado Y ∈ B2 édado por

P(X ∈ B1 | Y ∈ B2

)=

P (X ∈ B1 ∩ Y ∈ B2)P(Y ∈ B2

) (7)



Distribuição Condicional: Y v.a. discreta

Se Y for uma variável discreta e y ∈ < tal que P(Y = y) > 0, então paraX uma variável aleatória qualquer, tem-se que

P(X ∈ B1 | Y = y) =P (X ∈ B1 ∩ Y = y)

P(Y = y

) (8)

Logo, pelo teorema da Probabilidade total segue que a distribuiçãomarginal de X é dada por

P(X ∈ B1) =∑y∈<

P(X ∈ B1 | Y = y)P(Y = y) (9)



Distribuição Condicional: Y v.a. discreta

Tomando B1 = (− inf, x ] na Relação (8), obtemos a função dedistribuição condicional de X dado = y

FX |Y

(x | Y = y

)=

P (X ≤ x ∩ Y = y)P(Y = y

) (10)

Consequentemente, a Relação (9) nos fornecerá a função de distribuiçãomarginal de X

FX (x) =∑y∈<

F(x | Y = y

)P(Y = y) (11)

Da Relação (10) segue que a função de distribuição conjunta é dada por,

FX ,Y (x , y) =∑

k:k≤y

P(Y = y

)F(x | Y = k

)(12)




Se ambas as variáveis forem discretas então a função de probabilidadecondicional é dada por

P(X = x | Y = y) =P(X = x ,Y = y)

P(Y = y)(13)

Se ambas as variáveis forem contínuas então a função densidade deprobabilidade condicional é dada por

fX |Y (x | y) =fX ,Y (x , y)

fY (y)(14)

Da Relação (14) segue que

FX |Y (x | y) =

∫ x

−∞fX |Y (z | y)dz (15)




Da Relação (15) segue que

FX ,Y (x , y) =

∫ y

−∞fY (t)FX |Y (x | t)dt (16)

eFX (x) =

∫ ∞−∞

fY (y)FX |Y (x | y)dy . (17)



Exemplo

Exemplo 3.2

Considere duas variáveis aleatórias: X discreta e Y contínua, com funçãomista de probabilidade conjunta dada por

f (x , y) =

xyx−1

3 se x ∈ 1, 2, 3, 0 ≤ y ≤ 10 caso contrário.

(18)

1 Verifique que é de fato uma função de probabilidade;2 Determine suas marginais;3 Determine suas condicionais;4 Determine sua função distribuição conjunta.


Independência entre variáveis aleatórias


Definição 4.1

Seja X = (X1, . . . ,Xm) um vetor aleatório m-dimensional definido em(Ω,F ,P). Então as variáveis X1, . . . ,Xm serão independentes se a suadistribuição conjunta é dada por

PX(X1 ∈ B1, . . . ,Xm ∈ Bm) =m∏

i=1

P(Xi ∈ Bi ).

para qualquer B = (B1, . . . ,Bm) ∈ <m.

Segue da Definição 4.1 que para qualquer sub-família de X as variáveistambém serão independentes, pois se tomarmos algums Bi = <, aDefinição 4.1 continuará sendo válida.




Observação 4.1Se X = (X1, . . . ,Xm) um vetor aleatório discreto então

PX(X1 = x1, . . . ,Xm = xm) =m∏

i=1

P(Xi = xi )

Se X = (X1, . . . ,Xm) um vetor aleatório contínuo então,

fX(x1, . . . , xm) =m∏

i=1

f (xi )

Em ambos os casos a função de distribuição será dada por

FX(x1, . . . , xm) =m∏

i=1

F (xi )



Exemplo

Exemplo 4.2

Sejam X e Y a duração da vida de dois dispositivos eletrônicos. suponhaque a função densidade conjunta seja dada por

fX ,Y (x , y) = e−(x+y)I[0,∞)(x)I[0,∞)(y)

Verifique se X e Y são independentes.

As marginais são dadas por

fX (x) =

∫ ∞0

e−(x+y)I[0,∞)(x)dy = −e−xe−y∣∣∣∞0

= −e−x(0− 1) = e−x

do mesmo modo, fY (y) = e−y I[0,∞)(y), portanto,

fX (x)fY (y) = e−x I[0,∞)(x)e−y I[0,∞)(y) = e−(x+y)I[0,∞)(x)I[0,∞)(y) = f (x , y)

Logo, X e Y são independentes.Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 29 / 42


Exemplo

Exemplo 4.3

Suponha que a densidade conjunta de X e Y é dada por

fX ,Y (x , y) = 8xy I[0,1](x)I[x ,1](y)

Verifique se X e Y são independentes.

As marginais são dadas por

fX (x) =

∫ 1

x8xy I[0,1](x)dy = 8x I[0,1](x)

∫ 1

xydy = 4x(1− x2)I[0,1](x)



Exemplo

Para determinar a marginal para Y, primeiro note que,

I[0,1](x)I[x ,1](y) = I[0,1]×[x ,1](x , y) = I[0,y ]×[0,1](x , y) = I[0,y ](x)I[0,1](y)

Assim,

f (Y ) =

∫ y

08xy I[0,1](y)dx = 8y I[0,1](y)

∫ y

0xdx = 4y3I[0,1](y)

Portanto,

f (x)f (y) = 4x(1− x2)I[0,1](x)4y3I[0,1](y) = 16(x − x3)y3I[0,1](x)I[0,1](y)

que é diferente de fX ,Y (x , y) = 8xy I[0,1](x)I[0,1](y), logo X e Y não sãoindependentes.


Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Multinomial

Distribuição Multinomial

Definição 5.1

Considere um experimento que é repetido n vezes de modo independente,com m possíveis resultados ou eventos de interesse Ai , cada um comprobabilidade pi = P(Ai ) ≥ 0, i = 1, . . . ,m e

∑mi=1 pi = 1. Seja

X1, . . . ,Xm variáveis aleatórias que correspondem ao número de ocorrênciasde cada um dos m possíveis resultados nas n repetições do experimento.Desta forma, o vetor aleatório X = (X1, . . . ,Xm) segue o modelomultinomial com função de probabilidade conjunta dada por,

P(X1 = x1, . . . ,Xm = xm) =n!

x1! · xm!px11 . . . pxm

m (19)

se 0 ≤ xi ≤ m,∑m

i=1 xi = n. e

P(X1 = x1, . . . ,Xm = xm) = o (20)

caso contrário.Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 32 / 42


Distribuição Multinomial: marginais

Se X = (X1, . . . ,Xm) segue o modelo multinomial, com parâmetrosn, p1, . . . , pm, então Xi ∼ Bin(n, pi ), logo E (Xi ) = npi eVar(Xi ) = npi (1− pi ).

Demonstração.De fato, como o experimento é repetido n vezes de modo independente ecada evento de interesse Ai pode ocorrer com probabilidade pi , segue dadefinição da distribuição de binomial que cada Xi possui distribuiçãobinomial com parâmetros n e p.



Exemplo

Exemplo 5.2

Uma barra de comprimento especificado é fabricada. Admita-se que ocomprimento real X (polegadas) seja uma variável aleatória uniformementedistribueid sobre [10, 12]. Suponha-se que somente interesse saber se umdos três eventos seguintes terá ocorrido:

A1 = X < 10, 5 A2 = 10, 5 ≤ X ≤ 11, 8 A3 = X > 11, 8

Dado que 10 barras foram fabricadas, qual a probabilidade de cinco seremmenor que 10,5 e duas serem maior que 11,8?


Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada

Distribuição Uniforme multivariada

Definição 5.3

Dizemos que um vetor é uniformemente distribuído sobre uma região A,A ⊂ <m, se

f (x1, . . . , xm) = c IA(x1, . . . , xm)

em que,

c =1∫

·· ·∫

Adx1 · · · dxm

.



Exemplo

Exemplo 5.4

Suponhamos que o vetor aleatório X = (X1,X2) seja uniformementedistribuido sobre a região delimitada pelas curvas x2 = x1 e x2 = x2

1 para0 ≤ x1 ≤ 1 e 0 ≤ x2 ≤ 1, conforme figura abaixo:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x2

x 1

x2 = x1

x2 = x12

Figura : Uniforme MultivariadaUlisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 36 / 42


Exemplo

1 Para x1 < 0 ou x2 < 0 tem-se F (x1, x2) = 0;2 Para 0 ≤ x1 ≤ 1 e x2

1 ≤ x2 ≤ x1 tem-se

F (x1, x2) = 6(x1x2 −

x222− x3

13

)= 6x1x2 − 3x2

2 − 2x31 = p(x1, x2)

3 Para 0 ≤ x1 ≤ 1 e x2 < x21 ou x1 > 1 e 0 ≤ x2 ≤ 1, portanto para

x1 > 0 e 0 ≤ x2 ≤ min(x21 , 1) tem-se

F (x1, x2) = p(√x2, x2) = 6

√x2x2 − 3x2

2 − 2√x2

3 = 4x322 − 3x2

2

4 Para 0 ≤ x1 ≤ 1 e x2 > x1 tem-se

F (x1, x2) = p(x1, x1) = 6x1x1 − 3x21 − 2x3

1 = 3x21 − 2x3

1

5 Para x1 > 1 e x2 > 1 tem-se F (x1, x2) = 1.



Distribuição Normal multivariada

Dizemos que um vetor aleatório X segue o modelo normal multivariado sesua densidade de probabilidade conjunta é dada por

f (x) =(2π)− p

2∣∣Σ∣∣− 1

2 exp[−12(x− µ

)tΣ−1(x− µ

)]para −∞ < xi <∞, i = 1, . . . , p. Notação: X ∼ Np

(µ,Σ

). Em que

µ =

µ1µ2...µp

e Σ =

σ11 σ12 . . . σ1pσ21 σ22 . . . σ2p. . . . . . . . . . . . . . . .σp1 σp2 . . . σpp

é o vetor de médias e a matriz de covariâncias, respectivamente.



Distribuição normal multivariada

Utilizando o teorema da decomposição espectral, a função densidade danormal multivariada pode ser expressa como,

f (x) =(2π)− p

2∣∣Σ∣∣− 1

2 exp

[−12(x − µ

)t ( p∑i=1

1λi

e ieti

)(x − µ

)]

=(2π)− p

2∣∣Σ∣∣− 1

2 exp

[−12

p∑i=1

1λi

(x − µ

)te ieti(x − µ

)]

=(2π)− p

2∣∣Σ∣∣− 1

2 exp

[−12

p∑i=1

1λi

[(x − µ

)te i

]2]Se com exceção da diagonal principal, todos os elementos de Σ forem zero,isto é, todas as covariâncias forem zero, as p componentes de X serãoindependentes, pois nesse caso teremos(verificar!),

f (x) = f1(x1)f2(x2) · · · fp(xp).




O contorno de uma densidade de probabilidade constante é a superfície deum elipsóide centrado em µ e é igual ao conjunto de pontos,

x ∈ Rp :(x − µ

)tΣ−1(x − µ

)= c2

.

Esses elipsóides têm eixos ±c√λie i , onde (λi , e i ) é um par de

autovalor-autovetor da matriz Σ. De fato, para x − µ = c√λie i tem-se

que, para i = 1,

(x − µ

)tΣ−1(x − µ

)=

p∑i=1

1λi

[(x − µ

)te i

]2=

p∑i=1

1λi

[c√λiet

1e i

]2

=1λ1

c2λ1

et1e1︸︷︷︸=1

2

+1λ2

c2λ2

et1e2︸︷︷︸=0

2

= c2




Para i = 2,

(x − µ

)tΣ−1(x − µ

)=

p∑i=1

1λi

[c√λiet

2e i

]2

=1λ1

c2λ1

et2e1︸︷︷︸=0

2

+1λ2

c2λ2

et2e2︸︷︷︸=1

2

= c2


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