PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO

RUÍDO EM MODULAÇÕES ANALÓGICAS

Evelio M. G. Fernández - 2011

Processo Aleatório (ou Estocástico): Função aleatória do tempo para modelar formas de onda desconhecidas.

Processos Aleatórios

• Um processo aleatório, observado num instante de tempo é uma variável aleatória

• Processo Aleatório: conjunto indexado de V.A. onde o índice é o tempo.

• Para uma V.A: o resultado de um experimento aleatório é associado a um número.

• Para um processo aleatório: o resultado de um experimento aleatório é associado a uma forma de onda que é uma função do tempo.

Processos Aleatórios: Caracterização Estatística

( ) ( ) ( )( )ktXtXtX xxxFk

,,, 2121KL

Função de Distribuição Conjunta

Processo Aleatório Estacionário: A sua caracterização estatística é independente do tempo em que a observação do processo é iniciada,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )ktXtXtXktXtXtX xxxFxxxFkk

,,,,,, 2121 2121KK LL =+++ τττ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1

x(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1

y(t)

( )

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−==

=

2112212 0

0

ττττττ

μμ

ddRhhRtYE

H

XY

XY

Processos Estacionários

Exemplo: Densidade Espectral de Potência

( )[ ] ( ) ( )∫∞

∞−

= dffSfHtYE X22

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

Δ<±

Δ<±=

fff

ffffH

c

c

21,0

21,1

( )[ ] ( ) ( )cXc fSftYEffSe Δ≈→<<Δ 22

Densidade Espectral de Potência: Propriedades

( ) ( )

( )[ ] ( )

( )( ) ( ) realfor aleatório processo o se.4

0.3

.2

0.1

2

fSfSfS

dffStXE

dRS

XX

X

X

XX

=−≥

=

=

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

ττ

Exemplo: Onda senoidal com fase aleatória

( ) ( )τπτ cX fAR 2cos2

2

= ( ) ( ) ( )[ ]ccX ffffAfS ++−= δ4

2

Exemplo: Seqüência binária aleatória

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

T

TT

ARX

τ

ττ

τ

,0

,12

( ) ( )fTTAfSX22 sinc=

Processos Gaussianos

( )( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−

=2

2

2

21 Y

Yy

YY yf σ

μ

σπ

Teorema do Limite Central: O efeito soma devido a um grande número de causas independentes tende a um processo Gaussiano

∞→≈+++= nxxxY n para Gaussiana21 L

Propriedades de um Processo Gaussiano, X(t)

• Quando X(t) passa por um sistema LIT, o processo de saída continua sendo Gaussiano

• Considerando um conjunto de V.A. X(t1), X(t2), ..., X(tn) resultantes da observação de X(t) em t1, t2, ..., tn, se X(t) for Gaussiano, esse conjunto de V.A. será conjuntamente Gaussiano ∀n.

• Se as V.A. X(t1), X(t2), ..., X(tn) de um processo Gaussiano não são correlacionadas, ou seja,

então essas V.A. são estatisticamente independentes

( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] kitXtXEik tXitXk ≠=−− ,0μμ

• Ruído: Sinais indesejáveis que perturbam a transmissão e o processamento de sinais no receptor e que são incontroláveis

– Fontes externas: ruído atmosférico, galáctico e ruído provocado pelo homem

– Fontes internas: flutuações espontâneas de corrente ou tensão em circuitos elétricos

• Ruído Impulsivo: Resulta da natureza discreta da corrente• Ruído Térmico: Resulta do movimento aleatório de elétrons em um

condutor.

[ ] ( )22 Volts4 fkTRVE TN Δ=

k – Constante de Boltzmann = 1,38×10–23 Joules/K

T – Temperatura em K

R – Resistência em Ohms

Ruído Térmico: Modelos Equivalentes

Ruído Branco: Forma idealizada cuja densidade espectral de potência é independente da freqüência de operação

N0 = k⋅Te

Temperatura equivalente de ruído do receptor: Temperatura na qual um resistor ruidoso tem de ser mantido a fim de que, conectando-se o resistor àentrada de uma versão sem ruído, ele produza a mesma potência disponível de ruído na saída do sistema que a produzida por todas as fontes de ruído do sistema real.

Exemplo: Ruído branco na saída de um filtro passa-baixas ideal

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

>

<<−=

Bf

BfBNfSN

,0

,2

0

( ) ( )ττ τπ BBNdfeNR fjN 2sinc

2 020 == ∫

∞

∞−

1. Num jogo de loteria a cada semana é sorteado um dos 100 possíveis números, sendo que cada apostador só pode escolher um número por aposta. O preço da aposta é de R$ 1,00 e o prêmio é de R$ 50,00 para cada aposta ganhadora.

a) Sendo x a V.A. que representa o valor arrecadado pela casa de apostas em cada aposta, determine o valor médio e a variância dessa variável.

b) Se numa dada semana são feitas 10000 apostas, qual a probabilidade de que essa casa de apostas tenha prejuízo nessa semana? Dica: utilize o teorema do limite central.

2. Considere o processo X(t) = acos(ω0t + Θ) V, onde Θ é uma variável aleatória com densidade uniforme no intervalo [0, 2π], e a éuma V. A. discreta, sendo P(a = 1) = P(a = 2) = ½.

a) Calcule E[X(t)], RX(t1, t2) e σX2(t).

b) Esse processo é ergódico na média? E na autocorrelação?

Modelo do Receptor

Característica Ideal do Ruído Filtrado

Modelo de Transmissão Banda Base

Receptor DSB-SC com Detecção Coerente

Propriedades de nI(t) e nQ(t) (Seção 1.11)

• nI(t) e nQ(t) têm valor médio igual à zero.

• Se n(t) for Gaussiano, então nI(t) e nQ(t) serão conjuntamente Gaussianos.

• Se n(t) for estacionário, então nI(t) e nQ(t) serão conjuntamente estacionários.

Propriedades de nI(t) e nQ(t) (cont.)

• nI(t) e nQ(t) têm a mesma densidade espectral de potência dada por

• nI(t) e nQ(t) têm a mesma variância que o ruído de banda estreita n(t).

• Se n(t) for Gaussiano, e SN(f) for simétrica em relação à freqüência fc, então nI(t) e nQ(t) serão estatisticamente independentes.

( ) ( ) ( ) ( )⎩⎨⎧ ≤≤−++−

==contrário caso,

,0

BfBffSffSfSfS cNcN

NN QI

Problema 2.46 – Haykin

Modelo de Receptor AM

Diagrama Fasorial para Modulação AM

Modelo de Receptor FM

Diagrama Fasorial Recepção FM

Análise do Ruído no Receptor FM

Diagrama Fasorial – Portadora sem Modular

Efeito de SNR baixa no Receptor

Efeito Limiar

Pré-Ênfase e Deênfase em FM

Pré-Ênfase e Deênfase em FM

a) Filtro de Pré-Ênfase. b) Filtro de Deênfase