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Princípios da Mecânica Quântica

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 46

Princípios da Mecânica Quântica

• Vetores de estado e o princípio da superposição

• A regra de Born

• Complementaridade e o princípio da incerteza

• Colapso do vetor de estado• Colapso do vetor de estado

• Evolução unitária

• Sistemas de N estados

• Sistemas compostos. Emaranhamento


Vetores de Estado

e o

Princípio da SuperposiçãoPrincípio da Superposição


Sistemas de dois estados

• esquerda / direita

• horizontal / vertical

• para cima / para baixo• para cima / para baixo

• sim / não

• 0 / 1



fóton refletido


cara coroafóton transmitido


=2

1

a

aAgrandeza física observável:

a2a1


A = ? a2a1

a2a1medidor de “A”

ou

Sistemas clássicos

• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.

• Representação dos estados: pontos no “eixo A”


Aa1 a2

sistema tem

A = a1

sistema tem

A = a2

Sistemas quânticos: vetores de estado

• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.

• Representação dos estados: vetores ortogonais

(e de comprimento unitário) em um espaço de

duas dimensõesa


1a

2a

sistema tem

A = a2

sistema tem A = a1

A notação de Dirac

vetor ↔ L

identificação

aa


↓↑

b↔

21 aa

direitaesquerda

10

exemplos:

O que muda?

Passar de dois pontos em uma reta para doisvetores perpendiculares não parece ser mais domudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.

2a

?


1aAa1 a2

O que muda é o seguinte:

O Princípio da Superposição

Qualquer combinação linear dos vetores |a1⟩ e |a2⟩representa um estado físico do sistema.

2211 acac +=ψ


1a

2a ψ

Significado de |ψ⟩

• A = a1 e A = a2 ?

• esquerda e direita?

• horizontal e vertical?

2a ψ

• horizontal e vertical?

• sim e não?

• 0 e 1?


1a

O espaço de estados é grande

• Um sistema quântico de dois estados tem muito

mais que dois estados, tem infinitos estados.

• Os estados |a1⟩ e |a2⟩ formam uma “base” do

espaço de estados.


1a

2a

Princípio da Superposição: formulação geral

Se |ϕ⟩ e |χ⟩ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema.

χβ+ϕα=ψ


ϕ

χ ψ

Uma complicação

• As constantes c1 e c2 podem ser números

complexos (o espaço de estados é um

espaço vetorial complexo).

• Deve-se ter cuidado com figuras como

esta:esta:


1a

2a

ψc2

c1

Outras complicações

• Qual o significado de “ortogonalidade”

num espaço vetorial complexo?

• Como se define “comprimento” de um

vetor nesse espaço?


1a

2a

?

Produto escalar

O produto escalar ⟨ϕ|ψ⟩ dos vetores |ϕ⟩ e |ψ⟩ é umnúmero complexo com as seguintes propriedades:

1. |ψ⟩ = |ψ1⟩ + |ψ2⟩ ⇒ ⟨ϕ|ψ⟩ = ⟨ϕ|ψ1⟩ + ⟨ϕ|ψ2⟩

2. |χ⟩ = c |ψ⟩ ⇒ ⟨ϕ|χ⟩ = c ⟨ϕ|ψ⟩


2. |χ⟩ = c |ψ⟩ ⇒ ⟨ϕ|χ⟩ = c ⟨ϕ|ψ⟩

3. ⟨ψ|ϕ⟩ = ⟨ϕ|ψ⟩* (* indica o conjugado complexo)

4. ⟨ψ|ψ⟩ ≥ 0 (note que (3) implica em ⟨ψ|ψ⟩ real)

5. ⟨ψ|ψ⟩ = 0 ⇔ |ψ⟩ = 0 (“0” é o vetor nulo)

Produto escalar

Forçando um pouco a notação de Dirac, podemos escrever as propriedades (1) e (2) como

1. ⟨ϕ|ψ +ψ ⟩ = ⟨ϕ|ψ ⟩ + ⟨ϕ|ψ ⟩


1. ⟨ϕ|ψ1+ψ2⟩ = ⟨ϕ|ψ1⟩ + ⟨ϕ|ψ2⟩

2. ⟨ϕ|cψ⟩ = c ⟨ϕ|ψ⟩

Produto escalar

• É importante notar que num espaço vetorial complexo o produto escalar não é comutativo; pela propriedade (3), a ordem dos fatores altera o produto.

• Uma consequência disso é que o produto escalar é • Uma consequência disso é que o produto escalar é antilinear no primeiro argumento:

⟨ cϕ|ψ⟩ = c*⟨ϕ|ψ⟩


Ortogonalidade

Os vetores |ϕ⟩ e |ψ⟩ são ortogonais se seu produto escalar é zero:

0=ψϕ


0=ψϕ

Norma

A norma ||ψ|| do vetor |ψ⟩ é definida por

ψψ=ψ

• ||ψ|| é o “comprimento”, “tamanho”, “módulo” do vetor |ψ⟩

• |χ⟩ = c |ψ⟩ ⇒ ||χ|| = |c| ||ψ||

• ||ψ|| = 0 ⇔ |ψ⟩ = 0

• outra notação: || |ψ⟩ || ≡ ||ψ||


O produto escalar em termos das componentes

2211

2211

adad

acac

+=ϕ

+=ψ

121

*

2212

*

1222

*

2111

*

1 aacdaacdaacdaacd +++=ψϕ

• Usando as propriedades (1), (2) e (3):


• Como |a1⟩ e |a2⟩ são ortogonais, ⟨a1|a2⟩ = ⟨a2|a1⟩ = 0 e portanto

222

*

2111

*

1 aacdaacd +=ψϕ

• Como |a1⟩ e |a2⟩ têm comprimento unitário, ⟨a1|a1⟩ = ⟨a2|a2⟩ = 1, temos finalmente que:

2

*

21

*

1 cdcd +=ψϕ

As componentes em termos do produto escalar

2211 acac +=ψ

2121111 aacaaca +=ψ

• Usando as propriedades (1) e (2) temos

• Como ⟨a1|a1⟩ = 1 e ⟨a1|a2⟩ = 0,


• Como ⟨a1|a1⟩ = 1 e ⟨a1|a2⟩ = 0,

ψ= 11 ac

• Da mesma forma,

ψ= 22 ac

2,1n,ac nn =ψ=• Ou seja:

A norma em termos das componentes

2

*

21

*

1 cdcd +=ψϕ

2

2

2

12

*

21

*

1 cccccc +=+=ψψ


2

2

2

1 cc +=ψ

A Regra de Born


A Regra de Born

2211 acac +=ψ

a

2a

ψc2

c


1a c1

A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é

2

2

2

1

2

nn

cc

c)a(P

+=

(n = 1, 2)

A Regra de Born

2211 acac +=ψ

a2a122

2

11

cc

c)a(P

+=


|ψ⟩ a2a1

a2a1

medidor de “A”

2

2

2

1 cc +

2

2

2

1

2

22

cc

c)a(P

+=

A regra de Born

Como

e

ψ= nn ac

2

2

2

1 cc +=ψ


2

2

n

n

a)a(P

Ψ

Ψ=

a regra de Born pode ser escrita de forma independente das coordenadas:

21 cc +=ψ

Probabilidade total

1cc

c

cc

c)a(P)a(P

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

121 =

++

+=+


Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.

A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)

Normalização do vetor de estado

Ψ

Ψλ=Φ

2211 acac λ+λ=Φ2211 acac +=Ψ


|Φ⟩ e |Ψ⟩ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!

)a(Pcc

c

cc

c)a(P n2

2

2

1

2

n

2

2

2

1

2

nn ΨΦ =

+=

λ+λ

λ=

Ψ×λ=Φ

Normalização do vetor de estado

Todos os vetores ao longo de uma dada “direção” representam o mesmo estado

físico.

Podemos trabalhar apenas


Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”:

1=Ψ

1cc,acac2

2

2

12211 =++=Ψou seja,

1aa 21 ==Note que |a1⟩ e |a2⟩ já estão normalizados:

2

nn c)a(P =

Vetores normalizados: a Regra de Born

2211 acac +=ψ

aa2

c)a(P =

(normalizado)


a2a1

a2a1

a2a1

medidor de “A”

11 c)a(P =

2

22 c)a(P =

|ψ⟩

Vetores normalizados: a Regra de Born

Em termos do produto escalar, se |Ψ⟩ está normalizado a probabilidade é dada por:

2a)a(P Ψ=


2

nn a)a(P Ψ=

Amplitude de probabilidade

cn = ⟨an|Ψ⟩ ⇔ amplitude de probabilidade

probabilidade = |amplitude de probabilidade|2


Ψ=Ψ nn x)x(função de onda:

2

nn )x()x(P Ψ=

Amplitude de probabilidade

De forma mais geral:

• ⟨Φ|Ψ⟩ = amplitude de probabilidade de uma medida resultar em |Φ⟩, para um sistema no estado |Ψ⟩

Ψ → Φ ⟨Φ Ψ⟩


• P(Ψ → Φ) = |⟨Φ|Ψ⟩|2 = probabilidade de uma medida resultar em |Φ⟩, para um sistema no estado |Ψ⟩

• P(Ψ → Φ) = P(Φ → Ψ) embora ⟨Φ|Ψ⟩ ≠ ⟨Ψ|Φ⟩ (⟨Φ|Ψ⟩ = ⟨Ψ|Φ⟩*)

Frequência dos resultados de medidas

N medidas de A(N→ ∞)

a2a1

a2a1

Ψ

Ψ

N1 ↔ a1

N2 ↔ a2

acac +=Ψ


Ψa2a1

••• podemos prever

a frequência dosresultados:

2

111 c)a(P

N

N==

2

222 c)a(P

N

N==

2211 acac +=Ψ

Valor médio dos resultados

valor médio de A:

N

aNaNA 2211 +

=

a2a1

a2a1

Ψ

Ψ


Ψa2a1

•••

2211 acac +=Ψ

2

2

21

2

1 acacA +=

Incerteza

2211 acac +=Ψ

a

2a

Ψc2

c1, c2 ≠ 0

impossível prever o


possível prever o resultado

(probabilidade = 100%):

valor de A “bem definido”

1a

c1

impossível prever o resultado de uma medida

0c,1ca 211 ==↔=ΨouSe

1c,0ca 212 ==↔=Ψ

Incerteza

2211 acac +=Ψ

∆A = incerteza de A no estado |Ψ⟩

( ) 2222 AAAA)A( −=−=∆


( ) AAAA)A( −=−=∆

1a=Ψou

2a=Ψ∆A = 0

Complementaridade

e o

Princípio da IncertezaPrincípio da Incerteza


Complementaridade

a2a1

A1a

2a

duas grandezas

físicas: A e B


B

b2b1

2b

1b

físicas: A e B

Grandezas compatíveis e incompatíveis

1a

2a

1b

2b

A e B compatíveis


2b

1b

2a

1a

A e B incompatíveis

A e B complementares: incompatibilidade “máxima”

O Princípio da Incerteza

2b

2a

Ψ

A e B incertos

(∆ A ≠ 0, ∆ B ≠ 0)

A bem definido, B incerto

(∆ A = 0, ∆ B ≠ 0)

B bem definido, A incerto


1b

1a

B bem definido, A incerto

(∆ B = 0, ∆ A ≠ 0)

O Princípio da Incerteza

2b

2a

Ψ

A e B incompatíveis ⇒nenhum estado |Ψ⟩ com ∆A = 0 e ∆B = 0


1b

1a

Exemplo: posição e momentum

Xx1 x2

duas posições: |x1⟩, |x2⟩ (“aqui”, “ali”)

dois estados de movimento: |p ⟩, |p ⟩ (“repouso”, “movimento”)


dois estados de movimento: |p1⟩, |p2⟩ (“repouso”, “movimento”)

2p1p

2x

1x

impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos

Resumo da “cinemática” quântica

estado físicovetor no espaço

de estados


grandeza física

sistema de eixos (uma “base”) no

espaço de estados

Resumo da “cinemática” quântica

probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1

ou A = a2

2a

a

projeção do vetor de estado no eixo |an⟩

⇓probabilidade da

medida resultar em A = a


grandezas físicasincompatíveis

(complementares)

diferentes sistemas de eixos no espaço

de estados

1a em A = an

• “Colapso” durante uma medida

• Evolução unitária (equação de

Como o vetor de estado muda com o tempo?


• Evolução unitária (equação de

Schroedinger)

Colapso do Vetor de Estado

Colapso do vetor de estado

a2a1Ψ

antes da

medida


a2a1 2adepois da

medida


2a

Ψ

resultado

A = a2

resultado

A = a


1a

A = a1

medida de A resulta em an ⇒ logo após a medida o vetor de estado do sistema é |an⟩


• O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com 100% de probabilidade.

• O estado | an ⟩ é o único em que a nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade.

• |Ψ⟩ → |an⟩: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.

• O colapso aplica-se a medidas “ideais” (medidas de von Neuman, ou projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por exemplo:

– Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção – não há mais fóton após a primeira medida.

– Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente possuem uma resolução finita.


Medidas simultâneas de duas grandezas

Ψ Φa2a1

b2b1

(A, B)

(∆ A ≠ 0, ∆B ≠ 0) (∆ A = 0, ∆B = 0)


(A, B)

Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado |Φ⟩ com ∆A = 0 e ∆B = 0.

É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível).

Evolução Unitária

A equação de Schroedinger

• Evolução temporal do vetor de estado:

|Ψ(0)⟩ → |Ψ(t)⟩

• Dinâmica quântica: determinada pela

energia do sistema (o conceito de força

é pouco relevante).


A (solução da) equação de Schroedinger

2E

1E

Sistema de dois estados

Dois níveis de energia: E1, E2


2211 EcEc)0t( +==Ψ

2

/tEi

21

/tEi

1 EecEec)t( 21 hh −− +=Ψ

• ћ = constante de Planck (÷ 2π) ≈ 1×10-34 Js

• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que ascomponentes do vetor de estado sejam reais em t = 0,

para t ≠ 0 elas serão complexas:

A (solução da) equação de Schroedinger

• A evolução |Ψ(0)⟩ → |Ψ(t)⟩ ditada pela equação deSchroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) edeterminista (sem elementos probabilísticos).


h/tEi

nnnec)t(c

−=

Propriedades da equação de Schroedinger

• Linearidade:

)t()0(

)t()0(

bb

aa

Ψ→Ψ

Ψ→Ψ)0()0()0( ba Ψβ+Ψα=Ψ

)t()t()t( ba Ψβ+Ψα=Ψ


t = 0 t ≠ 0

Demonstração da linearidade

2211b

2211a

EdEd)0(

EcEc)0(

+=Ψ

+=Ψ

ba

E)dc(E)dc(

)0()0()0(

β+α+β+α=

Ψβ+Ψα=Ψ


222111 E)dc(E)dc( β+α+β+α=

( ) ( ))t()t(

EecEecEecEec

Ee)dc(Ee)dc()t(

ba

2

/tEi

21

/tEi

12

/tEi

21

/tEi

1

2

/tEi

221

/tEi

11

2121

21

Ψβ+Ψα=

+β++α=

β+α+β+α=Ψ−−−−

−−

hhhh

hh


• Conservação da norma do vetor de estado:

)0()t( Ψ=Ψ)t(Ψ

)0(Ψtamanho não muda


• Conservação da ortogonalidade entre vetores:

)0(Ψ

)t(Ψ

)0(Φ)t(Φ

dois vetores perpendicularescontinuam perpendiculares

Conservação do produto escalar

2

/tEi

21

/tEi

1

2

/tEi

21

/tEi

1

EedEed)t(

EecEec)t(

21

21

hh

hh

−−

−−

+=Φ

+=Ψ

2

*

21

*

1

/tEi

2

/tEi*

2

/tEi

1

/tEi*

1

cdcd

)ec)(ed()ec)(ed()t()t( 2211

+=

+=ΨΦ −−−+ hhhh


2211 cdcd +=

)0()0()t()t( ΨΦ=ΨΦ

conservação da norma:

conservação da ortogonalidade:

)0()t( Ψ=Ψ

0)t()t(0)0()0( =ΨΦ⇒=ΨΦ

• Determinismo

• Continuidade

• Linearidade


“evolução unitária”

• Conservação da norma

• Conservação da ortogonalidade


Estados estacionários

nE)0( =Ψ n

/tEiEe)t( n h−=Ψ

mesma “direção” que |En⟩

• Estado de energia bem definida En:


• |Ψ(0)⟩ e |Ψ(t)⟩ representam o mesmo estado físico.

• Estados de energia bem definida são “estacionários”.

Conservação da energia

2

/tEi

21

/tEi

1 EecEec)t( 21 hh −− +=Ψ

2

n

2/tEi

nn cec)t,E(P n == − h

22EcEcE)t,E(PE)t,E(PE +=+=


)0()t(EE

ΨΨ=

)0t,E(P)t,E(P nn ==

2

2

21

2

12211)t(EcEcE)t,E(PE)t,E(PE +=+=

Ψ

Eq. de Schroedinger x Processos de medida

• Equação de Schroedinger:

– contínua

– determinista

– válida enquanto não se faz uma medida

• Colapso do vetor de estado:

– descontínuo

– probabilístico

– ocorre durante a medida


Eq. de Schroedinger x Processos de medida

Dois tipos de evolução temporal?

• Equação de Schroedinger:

– interação do sistema quântico com outros

sistemas quânticos.

– A = a e A = a– A = a1 e A = a2

• Colapso do vetor de estado:

– interação do sistema quântico com um aparato

clássico, o aparelho de medida (o “observador”).

– A = a1 ou A = a2


O “problema da medida”

Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?

a2a1a2a1 a2a1

Descrição quântica do aparelho de medida:

| ⟩| ⟩↑ | ⟩


| ⟩| ⟩↑ | ⟩

22 aa ⇒↑

11 aa ⇒↑22112211 acacacac +⇒+↑ ↑

equação de Schroedinger:

o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo!

aparelho de medida:

O “problema da medida”

• Porque as superposições quânticas não são encontradasno mundo macroscópico?– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em

duas direções ao mesmo tempo.

– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.

• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estadoscom a observação de apenas alguns poucos estadosmacroscópicos?


Uma descrição do processo de medidabaseada na equação de Schroedingerdeve dar respostas a essas questões.

Física quântica x física clássica

• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquerprocesso de interação entre objetos clássicos e quânticos…

L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics

• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal,não podem ser propriamente incluídos no domínio denão podem ser propriamente incluídos no domínio deaplicação da mecânica quântica.

N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935

• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo emuma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e nãofosse governado pela mecânica quântica.

J. Bell, Against measurement


Física quântica x física clássica

físicaquântica

físicaclássica


…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teoriasfísicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas aomesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...

- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics

Sistemas de N Estados

Você está emtodo lugar


Sistemas de 3 estados

2a

1a a3a1a2

Três valores possíveis para a grandeza A:


1a

3a

332211 acacac ++=Ψ

3,2,1,||)( 2 == ncaP nn

Sistemas de N estados

2a

1a

N valores possíveis para a grandeza A:

aNa1a2

...


3aNa...

(impossível desenharN eixos perpendiculares) ∑

=

=ΨN

1n

nn ac

N,2,1n,|c|)a(P 2

nn K==

Sistemas de infinitos estados

• N pode ser infinito:

∑∞

=

=Ψ1n

nn ac

• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:


• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:

∫=Ψ a)a(cda

∫′′

′

=′′′a

a

2|)a(c|da)a,a(P

2|)a(c|)a(p =densidade de probabilidade:

probabilidade:

Exemplo: a = x = posição de uma partícula


∫ Ψ=Ψ x)x(dx


∫ Ψ=2

1

x

x

2

21 |)x(|dx)x,x(P

2|)x(|)x(p Ψ=densidade de probabilidade:

probabilidade:

função de onda: Ψ(x)


• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:

∫∑ +=Ψ a)a(cdaacn

nn


Exemplo: a = E = energia de uma partícula

∫∑ +=Ψ E)E(cdEEcn

nn

Produto escalar

∑∑==

=Φ=ΨNN

1n

nn

1n

nnab,ac

∑∑∞∞

=Φ=Ψnnnn

ab,ac

∑=

=ΨΦN

1n

nnc*b

∑∞

=ΨΦnn

c*b


∑∑== 1n1n

∑=1n

∫∫ Φ=ΦΨ=Ψ x)x(dx,x)x(dx

∫ ΨΦ=ΨΦ )x()x(*dx

Produto escalar

∫∑

∫∑+=Φ

+=Ψ

E)E(bdEEb

E)E(cdEEc

n

nn

n

nn


∫∑ +=ΨΦ )E(c)E(*bdEc*bn

nn

Sistemas Compostos


Sistemas compostos

|an⟩I |bs⟩II


sistema I sistema II

∑β=χs

IIssIIb∑α=ϕ

nInnI

a

Sistemas compostos

subsistema I

|an, bs ⟩

subsistema II


∑=Ψs,n

sns,n b,ac

subsistema I subsistema II

sistema composto

Produto tensorial

IIsInIIsInsn babab,a ⊗≡≡


A notação do produto tensorial tornaevidentes algumas propriedades que osestados do sistema composto devem ter.

Produto tensorial

Por exemplo:

∑β=χs

IIssIIb

∑α=ϕn

InnIa• sistema I no estado

• sistema II no estado

sistema composto no estado


sistema composto no estado

∑

∑

∑∑

βα=

βα=

β

α=χϕ=χϕ

s,n

snsn

s,nIIsInsn

sIIss

nInnIII

b,a

ba

ba,

Produto tensorial

IIsIIInIsnsn ba,b,a χϕ=βα=χϕ

Note que

ou, de maneira geral,

**)(*)(,,

ββ′

αα′=βαβ′α′=χϕχ′ϕ′ ∑∑∑


IIIIII

s

ss

n

nnsn

s,n

sn **)(*)(,,

χχ′ϕϕ′=

ββ′

αα′=βαβ′α′=χϕχ′ϕ′ ∑∑∑

)b(P)a(P)b,a(P sIInIsn =

Uma consequência disso é

Estados separáveis

• Estados separáveis (estados “produto” ou “fatorizáveis”):

IIIχϕ=Ψ ↔ sistema I no estado |ϕ⟩, sistema II no estado |χ⟩

∑=Ψs,n

sns,n b,acEstado geral do sistema composto:


IIIχϕ=Ψ ↔ sistema I no estado |ϕ⟩, sistema II no estado |χ⟩

∑ βα=Ψs,n

snsn b,a

sns,nc βα=

Nem todo estado é separável, pois nem sempre .sns,nc βα=

Estados emaranhados

2211 b,a2

1b,a

2

1+=Ψ

0e1

12212211 =βα=βα=βα=βα

Exemplo: o estado

não é separável, do contrário deveríamos ter


0e2

12212211 =βα=βα=βα=βα

Estados não-separáveis são chamados deestados emaranhados.

o que é impossível. A primeira equação diz que todos os α’s e β’s são diferentes de 0 e a segunda diz que pelo menos dois deles são nulos.

Estados emaranhados

∫ Ψ=Ψ 212121 x,x)x,x(dxdx

)x()x()x,x( 2121 χϕ=Ψ

Outro exemplo: a função de onda de duas partículas

O estado |Ψ⟩ é separável se


pois nesse caso

( ) ( )IIIII222

I111 x)x(dxx)x(dx χ⊗ϕ=χ⊗ϕ=Ψ ∫∫

Se o estado |Ψ⟩ é emaranhado.)x()x()x,x( 2121 χϕ≠Ψ

Emaranhamento

• Não é possível associar vetores de estado aos subsistemasindividuais.

• O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando ossubsistemas estão separados por distâncias macroscópicas,

• Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos damecânica quântica.mecânica quântica.

“O melhor conhecimento possível de um todo não inclui omelhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmoquando essas estão completamente separadas umas dasoutras e no momento não influenciam umas às outras.”

- E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics(o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger)


princípios da mecânica quântica - if.ufrj.brcarlos/fismod/antigo/03_mecanicaquantica_2014.pdf ·...

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