Física na Escola, v. 13, n. 1, 2012 19Determinação da velocidade do som no ar através do eco

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Este trabalho apresenta um experimento sim-ples e de fácil reprodução de determinação davelocidade do som no ar através do eco. Tubosde diferentes comprimentos são utilizados epara analise e coleta de dados utilizamos umprograma freeware de análise sonora. Os resul-tados obtidos conduziram a precisões e exati-dões inferiores a 1%, o que viabiliza sua implan-tação, em qualquer escola, como um bom re-curso didático na compreensão de fenômenoscorrelacionados a acústica.

Os estudantes dos cursos técnicosde radioterapia e/ou dos cursosdestinados a profissionais na área

de saúde, em geral encontram muita difi-culdade na compreensão dos conceitosfísicos correlacionados à formação de ima-gens médicas. De um lado pela ausênciade conhecimentos prévios em decorrênciada pouca base adquirida nesta área de co-nhecimento, de outro pela ausência derecursos didáticos disponíveis que lhespossibilitem uma maior interação com afísica envolvida na produção destas ima-gens.

O diagnóstico por imagem é bastanteamplo e envolve diferentes tipos de inte-rações e técnicas de tratamento e análise,tais como interação de radiações ionizan-tes com a matéria como as produzidas natomografia computadorizada; interaçãocom radiações na região de radiofrequên-cia em aparelhos de ressonância magnéticanuclear e interação de ondas ultra-sônicasem exames de ultra-sonografia. O experi-mento proposto neste artigo permite tra-tar conceitualmente a produção de ima-gens ultra-sônicas e possibilita determinarde maneira simples a velocidade do somno ar.

Resumo teórico

Características gerais

Em uma primeira análise podemosdizer que uma onda é um movimentooscilatório de uma dada grandeza físicaque se propaga no espaço e no tempo. Seesta onda necessitar de um meio para sepropagar, diz-se que é uma onda mecâ-nica, como por exemplo um pulso que sepropaga em uma corda. A Fig. 1 mostraa tela do simulador “Ondas em Corda” doPhet (Project at the University of Colo-rado) [1], que representa uma onda trans-versal se propagando em uma corda. Te-mos, neste caso, um exemplo de ondatransversal em que a geração da onda se

dá como o resultado da oscilação para ci-ma e para baixo da extremidade esquerdado fio em um movimento harmônico sim-ples de amplitude A e com frequência fdada por

, (1)

onde λ representa o comprimento de ondae v a velocidade de propagação.

Podemos dizer que para um movi-mento ondulatório, um efeito local podeestar associado a uma causa distante, ehá uma defasagem de tempo entre a causae o efeito, que depende das propriedadesdo meio e encontra sua expressão na velo-cidade da onda [2]. Assim, se Ψ(x, t) re-presenta a grandeza física que se propagaao longo do eixo x com uma dada velo-cidade v, devemos ter que

. (2)

Para ondas transversais em fios ho-mogêneos, submetidos a uma força tenso-ra T e densidade linear μ, como o exemplodo simulador da Fig. 1, a velocidade depropagação é dada pela relação

. (3)

No entanto, podemos gerar um mo-vimento ondulatório com propagação namesma direção de oscilação, e neste casotemos as chamadas ondas longitudinais.

Para compreender este tipo de movi-mento ondulatório, vamos considerar aFig. 2, relativa a um aplicativo em Javado curso em física do Prof. Angel FrancoGarcia [3], que representa uma propa-gação longitudinal. Podemos ver tanto afunção senoidal que representa o deslo-camento do pistão ao longo do eixo hori-zontal e das demais partículas no interiordo tubo, como também o deslocamentodas partículas ao longo do tubo (eixo x)

Marisa Almeida Cavalcante*,Renata Peçanha eVinicius Freitas LeiteDepartamento de Física, PontifíciaUniversidade Católica de São Paulo,São Paulo, SP, Brasil*E-mail: marisac@pucsp.br

Física na Escola, v. 13, n. 1, 201220 Determinação da velocidade do som no ar através do eco

da posição destas partículas ao longo dotubo.

Fica fácil observar na Fig. 2 que ocomprimento de onda representa a dis-tância entre os pontos de mesma fase.Quanto menor esta distância, maior seráa frequência de vibração do pistão paraum mesmo valor de velocidade de propa-gação da onda. De outro lado, mantendo-se o valor deste espaçamento e aumen-tando-se o valor da velocidade, percebe-se um aumento na frequência de vibraçãodo pistão.

Considerando y(x, t) a função que re-presenta o deslocamento das partículas nointerior do tubo da Fig. 2, podemos dizerque a pressão P é representada pela função

P(x, t) = PM sen (kx - wt - π/2), (4)

onde

PM = ρ.w.v.ym, (5)

com a função deslocamento dada por

y(x, t) = ym sen (kx - wt), (6)

onde ym corresponde ao deslocamento má-ximo das partículas (ou amplitude emrelação à posição de equilíbrio), k é o nú-mero de onda dado por 2π/λ, w é a fre-quência angular dada por 2π/T, ρ é a den-sidade do gás e v é a velocidade de propa-gação da onda no meio.

Note que a onda de pressão Eq. (4)está defasada de π/2 em relação à onda dedeslocamento da Eq. (6). Ou seja, quandoem um ponto (x) do tubo da Fig. 3, o des-locamento das partículas em relação à po-sição de equilíbrio for máximo/nulo, o“excesso” de pressão naquele ponto, emrelação ao valor normal, será nulo/máxi-mo. Isto, na prática, corresponde a umararefação/compressão das partículas dogás.

Assim, o movimento de compressão

e rarefação provoca a movimentação dasmoléculas presentes. Esse movimentoorganizado produz ondas longitudinaisque chamamos de ondas sonoras.

Velocidade de propagação deondas sonoras

A velocidade com a qual uma onda so-nora percorre um meio, quando a variaçãoda pressão não é muito grande, é dada por

, (7)

onde ρ é a densidade do meio e B representao módulo de elasticidade do meio e é dadopor

,

(8)

que corresponde à razão da variação depressão pela variação relativa no volumepara um gás confinado no interior de umtubo como na Fig. 2.

Como a propagação do som se dámuito rapidamente, podemos considerarque o mecanismo desta propagação é adia-bático [4], ou seja, não há troca de calorentre as partículas que vibram e o ambien-te. Desta forma podemos dizer que

PVγ = constante, (9)

onde γ = Cp/Cv, sendo Cp a capacidade calo-rífica do gás a pressão constante e CV acapacidade calorífica a volume constante.Assim teremos que

. (10)

Levando a Eq. (10) na Eq. (9), teremos

B = -γP. (11)

Considerando um gás ideal, P = nRT/V,teremos na Eq. (7) para a velocidade dosom que

. (12)

Para o ar, γ é da ordem de 1,402; M0 é amassa molecular para o ar, 29,0 × 10-3

kg/mol; R é a constante universal dosgases, 8,31 J/mol K, e T é a temperaturaabsoluta. Substituindo-se estes valoresteremos para a velocidade do som o valorda ordem de 330 m/s, para 0 °C.

A Eq. (12) mostra que a velocidadedo som, em qualquer gás, é diretamenteproporcional à raiz quadrada da tempe-ratura absoluta. Assim, se conhecermosa velocidade do som à temperatura T1, po-deremos determinar a sua velocidade aoutra temperatura T2 através da equação(T1 e T2 em graus Kelvin)

Figura 1 - Simulador em Java do sitio “PhET Project at the University of Colorado” emque se pode alterar amplitude, frequência da oscilação, amortecimento e tensão da corda.

Figura 2 - Simulador em Java para ondas longitudinais. A função senoidal representa odeslocamento do pistão e de todas as partículas no interior do tubo.

Física na Escola, v. 13, n. 1, 2012 21Determinação da velocidade do som no ar através do eco

. (13)

Se expressarmos a temperatura do gásem graus Celsius, obtemos a seguinte rela-ção para a velocidade do som no ar [5]

v = 330,4 + 0,59T (m/s) (14)

Intensidade sonora

Considerando a Eq. (4) relativa à pro-pagação da “onda de pressão”, a intensi-dade sonora pode ser calculada pela rela-ção

, (15)

onde PM corresponde à amplitude máxi-ma de pressão, ρ à densidade do meio e và velocidade de propagação do som.

Como exemplo de ordem de grandeza,considere os seguintes dados: densidadedo ar da ordem de 1,2 g/cm3, velocidadedo som da ordem de 330 m/s e o menorsom audível cuja potencia é da ordem de0,0002 dinas/cm2.

Substituindo-se na Eq. (14) teremos

I0 = 10-12 W/m2.

Por outro lado, a máxima intensidadesonora que o ouvido humano pode supor-tar é da ordem de 1,0 W/m2, ou seja, 1012

vezes maior I0. Como este intervalo édemasiadamente grande, utilizamos umabase logarítmica para indicar intensidadesonora que é denominada decibel (dB).

A intensidade relativa Ir do som é,portanto

Ir = 10 log (I/I0), (16)

onde I0 corresponde a 10-12

W/m2. Assim, para umaintensidade máxima su-portável de 1,0 W/m2 te-remos Ir = 120 dB.

Ondas sonoras e suapercepção peloouvido humano

O movimento decompressão e rarefação doar provoca a movimen-tação de suas moléculas.Esse movimento organi-zado produz ondas longi-tudinais, assim a energiausada para movimen-tação e produção do somé transmitida pelo ar, demolécula para molécula,de maneira que o somatinge o nosso ouvido.

Em nosso ouvido, es-sas ondas atingem umamembrana chamada tím-pano, que vibra com amesma frequência das ondas, transmitindoao cérebro, através de impulsos elétricos, asensação sonora.

A percepção sonora está relacionadatanto com a intensidade do som quantocom sua frequência. Em geral, percebemossons acima de 0 dB com tolerância máxi-ma até 120 dB. Por outro lado, o ouvidohumano é sensibilizado em uma faixa defrequência compreendida entre 20 Hz e20 kHz.

A curva da Fig. 4 mostra o limiar daaudição para diversas frequências [7]. Ob-serve que a região de máxima sensibilidade

está compreendida entre1000 e 5000 Hz (pararealizar um teste online desensibilidade auditiva emfunção da frequência reco-mendamos o teste de per-cepção auditiva disponívelna Ref. [8], onde percebe-seque sons graves são aquelesque apresentam baixa fre-quência, e sons agudos, altafrequência.

Frequências abaixo de20 Hz são classificadas co-mo infra-som. O som decor-rente de infra-som é extre-mamente grave e apesar denão serem ouvidas, suas vi-brações podem ser perce-bidas e até mesmo produzirefeitos sobre as pessoas. Co-mo exemplos destas fontessonoras têm-se os vulcões,avalanches e terremotos. A

detecção destas ondas se dá através desismógrafos, e pode-se, assim, “prever”catástrofes naturais. Alguns animaistambém utilizam este tipo de som para secomunicarem, como, por exemplo, oselefantes [9].

Já as frequências acima do limite su-perior de audição (20 kHz) são conhecidaspor ultra-som. O seu uso em baixa inten-sidade possibilita transmitir energia atra-vés de um meio e obter informações, comopor exemplo ensaios não-destrutivos demateriais, medida de propriedades elásticasdos materiais e diagnósticos médicos [10].As aplicações de alta intensidade têm comoobjetivo produzir alteração do meio atravésdo qual a onda se propaga. A terapia mé-dica, atomização de líquidos, ruptura decélulas biológicas, solda e homogeneizaçãode materiais são alguns exemplos deaplicações com ultra-som. O uso do ultra-som de baixa intensidade em medicina, paradiagnóstico, se baseia na reflexão das ondasultra-sônicas. Convém notar que o dia-gnóstico com ultra-som é mais seguro doque a radiação ionizante, como os raios-X,e por isso é preferível em exames pré-natais.As vantagens do diagnóstico com o ultra-som são sua segurança e sua conveniênciapor ser não-invasivo, além de sua capaci-dade em detectar fenômenos não percep-tíveis pelos raios-X.

Impedância acústica e a forma-ção de imagens ultra-sônicas

O principio básico de produção de ima-gem em equipamentos de ultra-sonografiaé a produção de ecos. O princípio pulso-

Figura 3 - Esquema morfofisiológico das principais estru-turas do ouvido [6].

Figura 4 - Curva de limiar de audição para diferentes fre-quências.

Física na Escola, v. 13, n. 1, 201222 Determinação da velocidade do som no ar através do eco

eco refere-se à emissão de um pulso curtode ultra-som que atravessa os tecidos [10].Ao encontrar algum obstáculo, parte destepulso será refletido e parte será transmitido.O equipamento guarda o tempo gasto en-tre a emissão do pulso e a recepção do eco,transformando-o em distância percorridae representado em tela. A calibração destesaparelhos utiliza um valor constante develocidade do som igual a 1540 m/s, quecorresponde à velocidade média de trans-missão do som através dos constituintesdo corpo humano, uma vez que suasvelocidades são muito semelhantes, excetoà do ar (pulmão e intestino) e dos ossos.

No processo de interação som-tecido,uma grandeza que merece destaque é aimpedância acústica e a consequente ate-nuação. A impedância acústica de ummeio está relacionada com a resistênciaou dificuldade do meio à passagem dosom. Corresponde ao produto da densi-dade do material pela velocidade do somno mesmo. Quando o feixe sonoro atra-vessa uma interface entre dois meios coma mesma impedância acústica, não há re-flexão e a onda é toda transmitida ao se-gundo meio. É a diferença de impedânciaacústica entre dois tecidos que define aquantidade de reflexão na interface, pro-movendo sua identificação na imagem.

A Tabela 1 mostra os diferentes va-lores de velocidade e impedância acústicapara alguns tecidos [11].

Por exemplo, um nódulo no fígado serámais facilmente identificado se sua im-pedância acústica for bastante diferentedo parênquima hepático ao redor; aocontrário, quanto mais próxima suaimpedância acústica do parênquimahepático normal, mais dificuldadeteremos em identificá-lo, porque poucareflexão sonora ocorrerá. Resumindo,quanto maior a diferença de impedânciaentre duas estruturas, maior será aintensidade de reflexão e mais facilmentepodemos diferenciá-las na imagem [10].

Experimento realizado

O experimento consiste em utilizar umtubo fechado em uma de suas extre-midades, de comprimento conhecido, e pro-duzir um som em uma das extremidades.Um microfone colocado na extremidadeaberta do tubo registrará o som emitido eapós um determinado intervalo de temporegistrará o sinal decorrente do ecoproduzido pela reflexão deste sinal naextremidade fechada do tubo. Para o regis-tro e análise deste sinal utilizamos umprograma freeware de análise de som, oAudacity, cuja versão 1.26 está disponívelno vínculo da Ref. [12]. Este programa per-

mite observar a evoluçãotemporal do sinal com reso-luções na faixa de 26 μs,mais do que suficientes parao experimento proposto.Utilizamos tubos de196,50 cm; 393,38 cm e589,19 cm, designados por1, 2 e 3, respectivamente.Para a produção do sinalsonoro, utilizamos umachave de contato tipo telé-grafo, que permite a produ-ção de um pulso de duraçãobastante pequena (menorque o tempo que se desejadeterminar, ≅ 10 ms). Parafechar a extremidade dostubos, utilizamos um discode PVC.

Cada tubo foi posicionado de modoque sua extremidade aberta ficasse emcontato com a chave, pela qual o sinal so-noro foi emitido, e com o microfone cap-turamos tanto a emissão do sinal quantoa sua reflexão do som, como mostra aFig. 5. Esse procedimento foi realizadopara os três tubos já mencionados.

A gravação foi feita através doprograma Audacity e a Fig. 6 mostra oteste de som realizado antes da obtençãodos dados.

O programa também possui um edi-tor de “envelope de amplitude”, espectro-grama e uma janela para análise de fre-quências e áudio em geral. Assim, atravésdele foi possível reconhecer o sinal emitido,o eco, e suas propriedades: amplitude, fre-

quência e sua evolução com o tempo.

Resultados

Verificamos inicialmente a forma depulso sonoro emitido pela chave tipo “telé-grafo” na ausência dos tubos, gerando osinal da Fig. 7.

Este procedimento é necessário paraobservarmos o tempo total de “duração”deste sinal, que deve ser menor do queintervalo de tempo que desejamos deter-minar (para o menor tubo, 196,50 cm decomprimento, que é ordem de 10 ms). AFig. 7 mostra que a duração deste sinal épelo menos metade do valor do tempo quese deseja medir. Vale lembrar que, enquan-to o eixo horizontal indica o tempo emsegundos, o vertical indica uma grandeza

Figura 5 - Os tubos foram sempre mantidos na horizon-tal para facilitar a emissão e gravação do sinal sonoro.

Figura 6 - Exemplo de um som qualquer para análise no Audacity.

Tabela 1 - Transmissão do ultra-som em alguns tecidos.

Material ρ (kg/m3) V (m/s) Z (kg/m2s)

Ar 1,29 331 (em CNTP) 426Água 1000 1480 1,48 x 106

Cérebro 1020 1530 1,56 x 106

Músculo 1040 1580 1,64 x 106

Gordura 920 1450 1,33 x 106

Osso 1900 4040 7,67 x 106

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Referências

[1] Sitio do simulador Onda em Corda doprojeto Phet da University of Colo-rado http://phet.colorado.edu/en/simulation/wave-on-a-string, acessoem 17/6/2011.

[2] A.P. French, Vibrações e Ondas (Editorada UniB, Brasília, 2001).

[3] Sitio do Prof. Angel Franco Garcia, simu-lação Ondas Longitudinais, http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/ondaArmonica/ondasArmonicas.html, acesso em 17/6/2011

[4] Relatório para a determinação da velo-cidade do som no ar da Universidadede Maringá, disponível em http://w w w. e b a h . c o m . b r / c o n t e n t /ABAAABQLUAJ/relatorio-velocidade-som, acesso em 17/11/2011.

[5] M.A. Cavalcante e C.F.C. Tavolaro, Físicana Escola 44444(1), 29 (2003).

[6] Retirado do sitio http://www.prof2000.pt/users/eta/Ruido.htm,acesso em 18/6/2011.

[7] Sítio Ações Integradas Sobre o Sentido daAudição, projeto Ciência Viva, Minis-tério da Educação, Porto, Portugal,disponível em http://telecom.inescn.pt/research/audio/cienciaviva/,acesso em 18/7/2011.

[8] Teste percepção sonora on-line, http://www.phys.unsw.edu.au/~jw/hearing.html acesso em 17/6/2011.

[9] P. Cleto, in: Reportagem Super Abril,outubro de 1993, disponível em http://super.abril.com.br/mundo-animal/arte-enganar-animais-tambem-mentem-440915.shtml (acesso em 12/9/2012).

[10] Apostila de ultra-sonografia do Depar-tamento de Radiologia da Faculdade deMedicina da Universidade de São Pau-lo, São Paulo, SP. Disponível em http:// w w w. h c n e t . u s p . b r / i n r a d /departamento/graduacao/aula/apostilafisicausg.pdf, acesso em 18/6/2011.

[11] E. Okuno, I.L. Caldas e C. Chow, Físicapara Ciências Biológicas e Biomédicas(Harper & Row, São Paulo, 1982).

[12] Sitio em que se pode baixar a versão1.2.6 do programa Audacity: http://xviiisnefnovastecnologias.blogspot.com/2009/01/software-de-anal ise-sonora.html Acesso em 18/06/21011.

[13] Acesso a tabela de correção de Studart:http://labempucsp.blogspot.com/2011/03/tabela-de-student.html,acesso em 18/6/2011.

[14] Blog da disciplina de Física Aplicada aBiologia e Medicina do curso de FísicaMédica da PUC/SP, disponível emhttp://fambpucsp.blogspot.com/2011/01/arquivos-de-dados-para-experimento-de.html, acesso em 18/6/2011.

proporcional à amplitude do som.Posteriormente foram feitas as medi-

das dos intervalos de tempo decorridos en-tre o sinal produzido e a detecção do eco,para cada um dos tubos. É fácil perceber,nas Figs. 8, 9 e 10, que o efeito do eco éevidenciado pelo aumento nos intervalosde tempo entre os dois sinais, uma vezque o sinal correspondente ao eco demoramais a aparecer para os tubos de maiorescomprimentos.

Consideramos contribuição da incer-teza tipo A para a medida de tempo, bemcomo a correção de Studart [13] para graude confiança em 90%. Já para a incerteza

Figura 7 - Exemplo do sinal sonoro semnenhum tubo.

Figura 8 - Sinal sonoro propagado e refle-tido dentro do tubo 1.

Figura 9 - Exemplo de sinal sonoro com otubo 2.

Figura 10 - Exemplo de sinal sonoro como tubo 3.

na medida do comprimento considera-sea incerteza da trena utilizada, graduadaem mm, ou seja, 0,5 mm. A Tabela 2 re-presenta os dados obtidos

Com os valores fornecidos, foi cal-culado o valor da velocidade levando emconta as medidas em cada tubo, gerandouma velocidade para cada um deles,indicados na Tabela 3. Dos valores obtidos,comparando com velocidade da Eq. (14)para valor da temperatura medida de 27(0,5) °C, que nos fornece um valor de346,3 (0,3) m/s, verifica-se uma totalcompatibilidade nos resultados.

Disponibilizamos os arquivos sono-ros para os tubos 1, 2 e 3, bem como oarquivo obtido na ausência dos tubos noBlog da disciplina Física Aplicada a Biolo-gia e Medicina do curso de Física Médicada PUC/SP [14].

Considerações finais

O experimento proporciona de formasimples e de fácil reprodução, a determi-nação da velocidade do som no ar, comuma boa margem de precisão e exatidão,principalmente se levarmos em conta asimplicidade do aparato experimental. Apossibilidade de utilização de um progra-ma freeware de análise de som é tambémbastante interessante, e viabiliza sua apli-cação em qualquer instituição de ensino.

Outro fator de relevância é que oexperimento permite ao estudante visuali-zar o fenôeno de reflexão sonora, tão im-portante para a compreensão das imagensde ultra-sonografia.

Estudos adicionais estão sendo reali-zados para verificarmos a dependência daamplitude do sinal em função de diferentesparâmetros, tais como comprimento dotubo e material que constitui a sua extre-midade, e que dá origem à reflexão. Talestudo permitirá melhor compreender aimpedância acústica bem como a atenua-ção do sinal, parâmetros importantes noprocesso de formação de imagens.

Tabela 3 - Velocidade no som medida.

Velocidade (m/s)

Tubo 1 346 (1)Tubo 2 346,0(0,9)Tubo 3 346,4(0,5)

Tabela 2 - Medidas experimentais nos tu-bos.

Intervalo entre sinal e captura do eco (ms)

11,3 11,411,4 11,4

Tubo 1 11,3 11,311,4 11,4

22,8 22,822,7 22,7

Tubo 2 22,6 22,822,7 22,8

34,0 34,134,0 33,9

Tubo 3 34,0 34,034,1