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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Ciencias Matematicas e da Natureza
Instituto de Matematica
Primeiro Teste de Calculo Infinitesimal I
28 de Marco de 2003
Cassio Neri Marco Cabral
Instrucoes:
• Todas as questoes devem ter suas respostas justificadas.
• Nao use somente sımbolos matematicos, explique os passos da solucao em Por-
tugues claro e sucinto.
• Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.
• E proibido o uso de calculadora.
Questao 1 [2,5 pontos] Calcule os limites abaixo quando existirem:
a) limx→1
x3 − x
x2 − 3x + 2b) lim
x→2
x2 − 4x + 4
x3 − 3x2 + 4
Questao 2 [3,75 pontos] Considere a funcao f dada por
f(x) =
x + 1 se x ≤ 0,
2x + 1 se 0 < x < 1,
−x + 2 se x ≥ 1.
Calcule os limites abaixo quando existirem:
a) limx→0
f(x) b) limx→
1
2
f(x) c ) limx→1
f(x)
Questao 3 [3,75 pontos] Considere a funcao f(x) = x3 − x.
a) Determine a equacao da reta tangente ao grafico da funcao f no ponto(x0, x
3
0− x0).
b) Usando (3.a) determine os valores de a e b onde f assume seus valoresmaximo e mınimo, respectivamente, no intervalo (−1, 1).
-1 a b 1 x
y
-1 a b 1 x
y
-1 a b 1 x
y
BOA SORTE !
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Ciencias Matematicas e da Natureza
Instituto de Matematica
Segundo Teste de Calculo Infinitesimal I
4 de Abril de 2003
Cassio Neri Marco Cabral
Instrucoes:
• Todas as questoes devem ter suas respostas justificadas.
• Nao use somente sımbolos matematicos, explique os passos da solucao em Por-
tugues claro e sucinto.
• Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.
• E proibido o uso de calculadora.
Questao 1 [7,5 pontos] Para cada uma das funcoes abaixo, determine ovalor de a, se for possıvel, de modo que a funcao seja contınua.
a)
f(x) =
x3 − 4x2 + 5x − 2
x3 − 2x2 + xse x 6= 1,
a se x = 1.
b)
f(x) =
2x + 5 se x < −1,
a se x = −1,
x2 − 3 se x > −1.
c )
f(x) =
x2 + 2 se x < 0,
a se x = 0,
√x + 4 se x > 0.
Questao 2 [2,5 pontos] De exemplo de polinomios p(x) e q(x) tais que
a funcao racional f(x) =p(x)
q(x)tenha grafico semelhante ao esbocado abaixo.
-1 1 2 x
y
-1 1 2 x
y
-1 1 2 x
y
-1 1 2 x
y
-1 1 2 x
y
BOA SORTE !
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Ciencias Matematicas e da Natureza
Instituto de Matematica
Terceiro Teste de Calculo Infinitesimal I
11 de Abril de 2003
Cassio Neri Marco Cabral
Instrucoes:
• Todas as questoes devem ter suas respostas justificadas.
• Nao use somente sımbolos matematicos, explique os passos da solucao em Por-
tugues claro e sucinto.
• Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.
• E proibido o uso de calculadora.
Questao 1 [2 pontos] Calcule:
limx→2
(x − 2) sen
(
x2 + 3x + 7
x2 − 3x + 2
)
.
Questao 2 [6 pontos] Seja f uma funcao contınua tal que f(1) = 2, f(2) = 3,f(3) = −1 e f(4) = 2. Diga se e verdadeiro ou falso:
a) Pode-se afirmar que f nao tem raiz em [1, 2].b) Pode-se afirmar que f tem pelo menos duas raızes em [1, 4].c ) Pode-se afirmar que f tem exatamente uma raiz em [2, 3].
Questao 3 [2 pontos] A funcao parte inteira de x, denotada por bxc edefinida como sendo o unico inteiro n tal que n ≤ x < n + 1. Exemplos:b1, 5c = 1, b1c = 1 e b−1, 5c = −2. Calcule o limite abaixo, se ele existir:
limx→∞
x
⌊
1
x
⌋
.
BOA SORTE !
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Ciencias Matematicas e da Natureza
Instituto de Matematica
Quarto Teste de Calculo Infinitesimal I
09 de Maio de 2003
Cassio Neri Marco Cabral
Instrucoes:
• Todas as questoes devem ter suas respostas justificadas.
• Nao use somente sımbolos matematicos, explique os passos da solucao em Por-
tugues claro e sucinto.
• Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.
• E proibido o uso de calculadora.
Questao 1 [4 pontos] Considere um triangulo retangulo de catetos de com-primentos 5 e 12. Entre todos os retangulos inscritos neste triangulo que temum de seus lados sobre um cateto, determine os lados daquele que tem areamaxima.
Questao 2 [6 pontos] Esboce o grafico da funcao f abaixo, explicitandoraızes, pontos de maximo e de mınimo locais e globais, pontos de mudanca deconcavidade e assıntotas horizontais e verticais.
f(x) = e−x2+3x−2.
BOA SORTE !
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Ciencias Matematicas e da Natureza
Instituto de Matematica
Primeira Prova de Calculo Infinitesimal I
12 de Maio de 2003
Cassio Neri Marco Cabral
Instrucoes:
• Todas as questoes devem ter suas respostas justificadas.
• Nao use somente sımbolos matematicos, explique os passos da solucao em Por-
tugues claro e sucinto.
• Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.
• E proibido o uso de calculadora.
Questao 1 [2 pontos] Calcule os limites abaixo, quando existirem.
a) limx→0
3x + tan 5x
sen 2x. b) lim
x→2
(x − 2)(x2 − 4)
x3 − 5x2 + 8x − 4.
Questao 2 [2 pontos] Calcule as derivadas das funcoes abaixo:
a) f(x) = sen(3x + e2x). b) g(x) =3√
x + 1
x2 + 1.
Questao 3 [2 pontos] Seja f(x) = x4 − 2x3 + x2 + 1. Mostre que existea ∈ R tal que f(a) = 10.
Questao 4 [2 pontos] Esboce o grafico da funcao f abaixo, explicitandoraızes, pontos de maximo e de mınimo locais e globais, pontos de mudanca deconcavidade e assıntotas horizontais e verticais.
f(x) =−x3
(x − 1)2(x + 2)+ 2.
Sugestao: pode-se adimitir (sem justificativa) que
f ′(x) =6x2
(x − 1)3(x + 2)2e f ′′(x) =
−6x(3x2 + 2x + 4)
(x − 1)4(x + 2)3.
Questao 5 [2 pontos] Uma cerca de 8m e paralela a um predio alto (vejafigura). Se a cerca esta a 1m do predio, qual o comprimento da menor escadaque alcanca a parede do predio?
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
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���������
��������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
PSfrag replacementsescada
cerc
a
1m
8m
BOA SORTE !
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Ciencias Matematicas e da Natureza
Instituto de Matematica
Quinto Teste de Calculo Infinitesimal I
23 de Maio de 2003
Cassio Neri Marco Cabral
Instrucoes:
• Todas as questoes devem ter suas respostas justificadas.
• Nao use somente sımbolos matematicos, explique os passos da solucao em Por-
tugues claro e sucinto.
• Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.
• E proibido o uso de calculadora.
Questao 1 [3 pontos] Calcule os limites abaixo:
a) limx→1
sen(x2 − 2x + 1)
log x,
b) limx→+∞
ex
x2,
c ) limx→2
x2 + 3x − 1
x2 + 2x − 1.
Questao 2 [5 pontos] Determine o ponto do grafico de f(x) =√
x maisproximo ao ponto (2, 0).
Questao 3 [2 pontos] Seja f : [0, +∞) → R tal que
1. f(0) = 0,
2. f e derivavel e f ′ e integravel,
3. f ′(x) ≤ 1, ∀x > 0.
Mostre que f(x) ≤ x, ∀x > 0.
BOA SORTE !
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Ciencias Matematicas e da Natureza
Instituto de Matematica
Sexto Teste de Calculo Infinitesimal I
30 de Maio de 2003
Cassio Neri Marco Cabral
Instrucoes:
• Todas as questoes devem ter suas respostas justificadas.
• Nao use somente sımbolos matematicos, explique os passos da solucao em Por-
tugues claro e sucinto.
• Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.
• E proibido o uso de calculadora.
Questao 1 [4 pontos] Seja
f(x) =
x se 0 < x ≤ 2,
−1 se 2 < x ≤ 4,
x − 2 se 4 < x ≤ 5.
Determine:
a)
∫ 3
0
f(x)dx. b)
∫ 5
1
f(x)dx.
Questao 2 [4 pontos] Calcule, usando o Teorema Fundamental do Calculo,
∫
4
1
(2√
x − 3x3 − 1)dx.
Questao 3 [2 pontos] Diga se sao verdadeiras ou falsas cada uma das afir-mativas abaixo, justificando suas respostas.
a) Se
∫
b
a
f(x)dx = 0, entao f(x) = 0 para todo x ∈ [a, b].
b)
∫
b
a
(
f(x))2
dx =
[
∫
b
a
f(x)dx
]2
.
BOA SORTE !
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Ciencias Matematicas e da Natureza
Instituto de Matematica
Setimo Teste de Calculo Infinitesimal I
06 de Junho de 2003
Cassio Neri Marco Cabral
Instrucoes:
• Todas as questoes devem ter suas respostas justificadas.
• Nao use somente sımbolos matematicos, explique os passos da solucao em Por-
tugues claro e sucinto.
• Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.
• E proibido o uso de calculadora.
Questao 1 [8 pontos] Calcule
a)
∫ex cos(ex + 3)dx
b)
∫sen xecos xdx
c )
∫xex
2
dx
d)
∫e
1
log x
x
dx
e )
∫1
0
x
1 + x2dx
f )
∫x log xdx
g)
∫1
0
x cos2 xdx +
∫1
0
x sen2xdx
h)
∫ex cosxdx
Questao 2 [2 pontos] Calcule
∫log xdx.
Sugestao: use que log x = 1 · log x e integre por partes.
BOA SORTE !
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Ciencias Matematicas e da Natureza
Instituto de Matematica
Oitavo Teste de Calculo Infinitesimal I
13 de Junho de 2003
Cassio Neri Marco Cabral
Instrucoes:
• Todas as questoes devem ter suas respostas justificadas.
• Nao use somente sımbolos matematicos, explique os passos da solucao em Por-
tugues claro e sucinto.
• Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.
• E proibido o uso de calculadora.
Questao 1 [4 pontos] Calcule as areas hachuradas das figuras (a) e (b).
Questao 2 [4 pontos] Calcule o volume do solido de revolucao gerado quandoa regiao hachurada da figura (c) e rotacionada em torno do
a) eixo x b) eixo y.
Questao 3 [2 pontos] Considere um movel preso a uma mola e deslizandosobre uma superfıcie sem atrito (veja figura (d)). Sua aceleracao e dada pora(t) = Aω2 cos(ωt) ∀t ≥ 0 (onde A e ω sao constantes). No instante t = 0o movel esta na posicao x(0) = −A e tem velocidade v(0) = 0. Determine afuncao x(t) que determina a posicao do corpo ao longo do tempo.
PSfrag replacements
xxxxxxxxxxx
yyyyyyyyyyy
00000000000 11111111111
2A
−A
y = x2y = x2y = x2y = x2y = x2y = x2y = x2y = x2y = x2y = x2y = x2
y = x − x2y = x − x2y = x − x2y = x − x2y = x − x2y = x − x2y = x − x2y = x − x2y = x − x2y = x − x2y = x − x2
y = sen(x)y = cos(x)
(a)
PSfrag replacements
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy012A
−Ay = x2
y = x − x2
y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)y = sen(x)
y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)y = cos(x)
(b)
PSfrag replacements
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
0000000000000000000000 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2222222222222222222222A
−Ay = x2
y = x − x2
y = sen(x)y = cos(x)
(c)
��������������������
���������������������������������������������
� � � � � � � � � � �
���������������������������������
PSfrag replacements
x
y
0
12
A−A
y = x2
y = x − x2
y = sen(x)y = cos(x)
(d)
BOA SORTE !
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Ciencias Matematicas e da Natureza
Instituto de Matematica
Ultimo Teste de Calculo Infinitesimal I - Ufa!
27 de Junho de 2003
Cassio Neri Marco Cabral
Instrucoes:
• Todas as questoes devem ter suas respostas justificadas.
• Nao use somente sımbolos matematicos, explique os passos da solucao em Por-
tugues claro e sucinto.
• Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.
• E proibido o uso de calculadora.
Questao 1 [2,5 pontos] Calcule a area da superfıcie de revolucao geradapela rotacao do grafico de y = x3 em torno do eixo x com x ∈ [0, 1].
Resposta:π
27(103/2
− 1).
Questao 2 [2,5 pontos] Considere a funcao g dada por
g(x) =
∫ x
3
ds
s∀x > 0.
Mostre que g(ab) = g(a) + g(b) + log 3.
Questao 3 [2,5 pontos] Calcule o comprimento total do perımetro da astroide:x2/3 + y2/3 = 1.Resposta: 6.
PSfrag replacements
−1
−1
1
1
x
y
Questao 4 [2,5 pontos] Uma barraca de camping e construıda sobre umabase quadrada com duas varetas identicas conforme a figura abaixo. No sis-tema de coordenadas mostrado na figura, uma das varetas tem forma dada pelaequacao y = 1 − x2. Calcule o volume da barraca.Resposta: 1.
PSfrag replacements
y = 1 − x2
0
x
y
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Ciencias Matematicas e da Natureza
Instituto de Matematica
Segunda Prova de Calculo Infinitesimal I
2 de Julho de 2003
Cassio Neri Marco Cabral
Instrucoes:
• Todas as questoes devem ter suas respostas justificadas.
• Nao use somente sımbolos matematicos, explique os passos da solucao em Por-
tugues claro e sucinto.
• Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.
• E proibido o uso de calculadora.
Questao 1 [2 pontos] Sabendo que
∫ 2
−1
f(x) dx = 5,
∫ 2
−1
g(x) dx = −3 e
∫ 0
−1
f(x) dx = 7,
calcule:
a)
∫
2
−1
(
f(x) + 2g(x))
dx b)
∫
1
−1/2
g(2x) dx
c )
∫
1
1
g(x2) dx d)
∫
2
0
f(x) dx
Questao 2 [2 pontos] Calcule as integrais abaixo.
a)
∫
4π2
π2
sen√
x√
xdx b)
∫
ln 3
ln 2
ex
ex + 4dx c )
∫
sen(ln x) dx
Questao 3 [2 pontos] A regiao plana limitada acima pelo grafico da funcao
f(x) =√
1−ln xx , abaixo pelo eixo x, a esquerda por x = 1 e a direita por x = e, e
girada em torno do eixo x, obtendo-se um solido de revolucao. Calcule o volumedeste solido.Resposta: π/e.
Questao 4 [2 pontos] Determine o comprimento do grafico da funcao f(x) =ln(x +
√x2 − 1) para x ∈ [1, 2].
Resposta:√
3.
Questao 5 [2 pontos] Deseja-se fazer um download de um arquivo de 300.000Kbytes. Iniciando as 23:00h, sabe-se que t segundos depois a velocidade detransmissao e dada, em Kbytes por segundo, por
v(t) = 10 + 2 cos
(
π +πt
2
)
.
Determine se as 8:00h do dia seguinte o download tera terminado.
BOA SORTE !
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Ciencias Matematicas e da Natureza
Instituto de Matematica
Prova Final de Calculo Infinitesimal I
11 de Julho de 2003
Cassio Neri Marco Cabral
Instrucoes:
• Todas as questoes devem ter suas respostas justificadas.
• Nao use somente sımbolos matematicos, explique os passos da solucao em Por-
tugues claro e sucinto.
• Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.
• E proibido o uso de calculadora.
Questao 1 [2 pontos] Calcule os limites abaixo:
a) limx→0+
x ln x b) limx→0
tan 3x
2xc ) lim
x→2
x2 − 3x + 2
x2 − 3x + 5
Questao 2 [2 pontos] Calcule as integrais abaixo:
a)
∫ √2
1
xe−x2
dx b)
∫ 3π/4
0
| cosx| dx c )
∫x(ln x)2 dx
Questao 3 [2 pontos] Esboce o grafico de uma funcao contınua f que sa-tisfaca
• f(0) = 2, f(−2) = 1 e f ′(0) = 0.
• limx→+∞
f(x) = −1 e limx→−∞
f(x) = 0.
• limx→2+
f(x) = +∞ e limx→2−
f(x) = −∞.
• f ′(x) > 0 se x < 0 e f ′(x) < 0 se x > 0.
• f ′′(x) < 0 se |x| < 2 e f ′′(x) > 0 se |x| > 2.
Questao 4 [2 pontos] A pagina de um livro deve ser retangular e ter umaarea de 90 cm2 com margens laterais e superior de 1 cm, e inferior de 1/2 cm.Determine as dimensoes da pagina que permitirao a maior area impressa.
Questao 5 [2 pontos] Determine a area da regiao compreendida entre osgraficos de y = x3 − x e y = sen(πx) com x ∈ [−1, 1].
BOA SORTE !
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Ciencias Matematicas e da Natureza
Instituto de Matematica
Segunda Chamada de Calculo Infinitesimal I
16 de Julho de 2003
Cassio Neri Marco Cabral
Instrucoes:
• Todas as questoes devem ter suas respostas justificadas.
• Nao use somente sımbolos matematicos, explique os passos da solucao em Por-
tugues claro e sucinto.
• Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.
• E proibido o uso de calculadora.
Questao 1 [2 pontos] Um copo de papel em forma de cone deve conter36πcm3. Determine a altura do copo que requer a menor quantidade de papel.
Questao 2 [2 pontos]
a) Mostre que x5 + 10x + 3 = 0 possui exatamente uma raız real.
b) Determine o valor de C de modo que a funcao f abaixo seja contınua emR. Justifique sua resposta.
f(x) =
{
Cx2 − 3 se x ≤ 2,Cx + 2 se x > 2.
Questao 3 [2 pontos] Esboce o grafico da funcao f abaixo, explicitandoraızes, pontos de maximo e de mınimo locais e globais e pontos de mudanca deconcavidade.
f(x) = x(ln x)2 ∀x > 0.
Questao 4 [2 pontos] Calcule as integrais abaixo.
a)
∫
1
−2
|x(x2−1)| dx b)
∫
ln x√x
dx c )
∫
sen(x)√
1 + cos(x) dx
Questao 5 [2 pontos] A regiao plana limitada acima pelo grafico da funcaoy = (ln x)/2, abaixo pelo eixo x e a direita por x = e2, e girada em torno doeixo y, obtendo-se um solido de revolucao. Calcule o volume deste solido.
BOA SORTE !