EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIROEDITAL 2016-1

Primeiro Semestre de 2016 - 09 de novembro de 2015

LEIA COM ATENCAO.(IF YOU WANT THE ENGLISH VERSION OF THE QUESTIONS, PLEASE ASK THE EXAMINER.)

A PROVA E COMPOSTA DE 5 BLOCOS:Bloco 1: Mecanica ClassicaBloco 2: Ondas, Fluidos e TermodinamicaBloco 3: EletromagnetismoBloco 4: Ondas Eletromagneticas, Otica e Fısica ModernaBloco 5: Mecanica Quantica

• Todos os candidatos devem escolher 4 dos 5 blocos para resolver. Os candidatos ao doutoradodevem OBRIGATORIAMENTE escolher o bloco 5 (Mecanica Quantica).

• A escolha do bloco que NAO sera corrigido deve estar claramente registrada na folha de rosto docaderno de respostas.

• Cada bloco contem 3 questoes de multipla escolha e uma questao discursiva.

• Duas respostas erradas a questoes de multipla escolha cancelam uma resposta correta a outraquestao de multipla escolha, dentro do universo de 12 questoes de multipla escolha dos 4 blocosescolhidos.

• Respostas em branco nao tem nenhum efeito sobre a correcao das outras questoes.

A PROVA TEM DURACAO MAXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.

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BLOCO 1: Mecanica Classica

Multipla escolha

Problema 1: Um foguete se encontra distante de qualquer fonte de potencial gravitacional de talforma que o sistema pode ser considerado isolado. Sabendo que este foguete estava inicialmente paradoe depois seus motores sao ligados expelindo gases a uma velocidade constante em relacao ao foguetepodemos afirmar que:

a) O foguete se move no sentido oposto ao dos gases ejetados, assim como o centro de massa do sistema.

b) O foguete se move no sentido oposto ao dos gases ejetados. No entanto o centro de massa do sistemanao se move.

c) A energia cinetica do foguete aumenta, logo nao existe conservacao do momento.

d) O foguete se move no sentido oposto ao dos gases ejetados. No entanto o centro de massa do sistemanao se move, embora nao exista conservacao do momento.

Problema 2: Em um sistema classico unidimensional temos uma partıcula de massa m sujeita a umpotencial da forma V (x) = a

x4 − bx2 onde a > 0 e b > 0, como se mostra na Figura 1. E correto dizer

que:

Figura 1: Problema 2.

a) A partıcula pode se mover desde x = −∞ ate x =∞, dependendo apenas da energia total.

b) A partıcula nunca vai ser observada na origem sendo impossıvel transitar ao longo de todos os valoresde x, independente do valor de sua energia.

c) Existem dois pontos de mınimo no potencial e uma partıcula com energia suficiente pode passar deum mınimo a outro.

d) Com energia mecanica nula a partıcula esta parada.

2

Problema 3: Um sistema estelar isolado e constituıdo apenas por duas estrelas de raios identicos.A massa da estrela mais densa e cerca de 3 vezes a massa da estrela menos densa e elas interagemgravitacionalmente. Sabendo que seu movimento e limitado, ou seja, que as estrelas tem um afastamentomaximo e tornam a se aproximar de forma periodica, determine qual das afirmacoes e verdadeira.

a) A estrela menos densa tem uma orbita elıptica em torno da estrela mais densa.

b) O movimento pode ser compreendido como correspondendo a uma orbita elıptica da massa reduzidaem torno da estrela mais densa.

c) O movimento pode ser compreendido como correspondendo a uma orbita elıptica da massa reduzidaem torno do centro de massa do sistema.

d) Como o centro de massa nao necessariamente se encontra sobre qualquer uma das estrelas e impossıveldeterminar qual a trajetoria realizada em qualquer tipo de referencial ou sistema de coordenadas.

Discursiva

Problema 4: A Figura 2 mostra duas configuracoes distintas de um sistema de dois corpos commassas m1 e m2, com m2 > m1/2. Na configuracao inicial (i) o sistema e solto com velocidade inicialnula quando as distancias ao teto sao l1 e l2. Seja j o vetor unitario no eixo y de um referencial inercialO, como se mostra na Figura 2. Suponha que o fio e inextensıvel, e que tanto o fio quanto as polias temmassa desprezıvel.

a) Qual e a relacao entre as velocidades do dois corpos?

b) Determine as velocidades ~v1 e ~v2 dos dois corpos, depois que o corpo de massa m2 desceu umadistancia y2 (configuracao (ii)).

c) A partir de seus resultados, calcule as aceleraces ~a1 e ~a2 dos dois corpos.

Figura 2: Problema 4.

3

BLOCO 2: Ondas, Fluidos e Termodinamica

Multipla escolha

Problema 5: Um sistema termodinamico, inicialmente em temperatura absoluta T1, contem umamassa m de agua com calor especıfico c. Calor e adicionado ate que a temperatura sobe para T2. Avariacao de entropia da agua e:

a) 0

b) T2 - T1

c) mc ln(T2 - T1)

d) mc ln(T2 / T1)

Problema 6: A tela do osciloscopio (Figura 3) exibe duas ondas senoidais de mesma frequencia. Avarredura horizontal do osciloscopio esta definida para 100 ns/cm e os ganhos verticais dos canais 1 e 2sao definidos em 2 V/cm cada um. O nıvel de tensao-zero de cada canal e dada na direita da figura. Adiferenca de fase entre as duas ondas e aproximadamente:

a) 45o

b) 75o

c) 120o

d) 180o

Figura 3: Problema 6.

Problema 7: Um fluido incompressıvel de densidade ρ flui atraves de um tubo horizontal de raio re, em seguida, passa atraves de uma constricao de raio r/2. Se o fluido tem pressao P0 e velocidade v0antes da constricao, a pressao na constricao e:

4

a) menor do que P0 e depende da velocidade na constricao e da velocidade antes da constricao.

b) menor do que P0 e nao depende da velocidade na constricao. Depende apenas da pressao externasobre a constricao.

c) igual a P0, porque o fluido e incompressıvel.

d) maior do que P0 e depende da velocidade na constricao e da velocidade antes da constricao.

Discursiva

Problema 8: A equacao de estado para um mol de dioxido de carbono (CO2) de gas e dado por:(p+

a

V 2

)(V − b) = RT

onde a e b sao constantes positivas.

a) Calcule o trabalho W1 realizado por um mol de gas em uma expansao isotermica reversıvel a partirde um volume inicial V1 para um volume final V2, a temperatura T .

b) Qual seria o trabalho W2 calculado para o mesmo processo, mas considerando o dioxido de carbonocomo um gas ideal?

c) Interprete o sentido fısico das constantes a e b.

5

BLOCO 3: Eletromagnetismo

Multipla escolha

Problema 9: Um balao esferico inflavel contem um objeto de carga positiva fixado ao seu centro. Deque modo varia o potencial eletrico, o campo eletrico e o fluxo de campo eletrico total na superfıcie dobalao a medida que este se expande?

a) Todos os tres diminuem.

b) O potencial e campo eletrico diminuem e o fluxo total aumenta.

c) O potencial e campo eletrico aumentam e o fluxo total diminui.

d) O potencial e campo eletrico diminuem e o fluxo total permanece constante.

Problema 10: Considere a distribuicao de potencial eletrico indicado no grafico abaixo (Figura 4):

Figura 4: Problema 10.

Qual das seguintes configuracoes de carga, indicadas abaixo (Figura 5), da origem ao potencial acima?

Figura 5: Problema 10.

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Problema 11: Considere um pendulo suspenso no ponto P e contendo um disco metalico na outra

extremidade como se mostra na Figura 6. Dentro da regiao A ha um campo magnetico externo−→B ext =

−|Bext|z perpendicular ao plano de movimento do pendulo.

Figura 6: Problema 11.Nota: θA e o angulo no qual o disco metalico comeca a entrar na regiao A.

Indique o grafico correto na Figura 7 com relacao ao campo magnetico induzido no disco (−→B ind) ao longo

de meia oscilacao.

Figura 7: Problema 11.

Discursiva

Problema 12: Considere o circuito da Figura 8.

a) Discuta qualitativamente qual sera a contribuicao para o campo magnetico no ponto P correspondentea cada segmento do circuito.

b) Determine o campo magnetico (modulo, direcao e sentido) no ponto P.

7

Figura 8: Problema 12.

c) Considere a situacao limite θ → 2π. Esboce o circuito nessa situacao e determine o novo campomagnetico (modulo, direcao e sentido) no ponto P .

8

BLOCO 4: Ondas Eletromagneticas, Otica e Fısica Moderna

Multipla escolha

Problema 13: Os fenomenos chamados “altura aparente dos astros” e “miragem” sao consequencias:

a) da difusao ou dispersao da luz na atmosfera.

b) da forma esferica da Terra.

c) da variacao do ındice de refracao do ar com respeito a sua densidade.

d) das grandes distancias entre os objetos e os olhos do observador.

Problema 14: A Figura 9 ilustra um experimento onde um feixe de luz atravessa a fronteira entredois materiais, A e B, que possuem ındices de refracao nA e nB respectivamente, no sentido indicadopelas setas da figura. O feixe de luz e transmitido atraves do material A, incidindo na interface entre osdois materiais fazendo um angulo θA com a normal. O feixe emerge no material B formando um anguloθB com a normal e θA > θB.

Figura 9: Problema 14.

Podemos afirmar que:

(1) o ındice de refracao nA do material A e maior que o ındice de refracao nB do material B.

(2) a velocidade de propagacao da luz e menor no material B.

(3) os angulos θA e θB estao relacionados com os ındices de refracao nA e nB.

Escolha a alternativa correta.

a) As afirmacoes (1) e (2) estao corretas.

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b) As afirmacoes (1) e (3) estao corretas.

c) As afirmacoes (2) e (3) estao corretas.

d) Todas as afirmacoes estao corretas.

Problema 15: Um astronomo observou a luz proveniente de duas estrelas diferentes e concluiu quea temperatura da estrela A era maior que a temperatura da estrela B. Como pode o astronomo terchegado a esta conclusao?

a) Observando a intensidade da luz emitida por cada estrela e atribuindo a temperatura mais alta aestrela cuja a luminosidade e maior.

b) Observando o comprimento de onda emitido por cada estrela e atribuindo a temperatura mais altaa estrela que emite luz com maior comprimento de onda.

c) Observando o comprimento de onda emitido por cada estrela e atribuindo a temperatura mais altaa estrela que emite luz com menor comprimento de onda.

d) Observando o efeito Doppler e atribuindo a temperatura mais alta a estrela com o maior desvio parao vermelho.

Discursiva

Problema 16: Uma fonte pontual de luz monocromatica de comprimento de onda λV esta brilhandoatraves de duas fendas estreitas separadas por uma distancia d (d e da ordem de λV ) iluminando umanteparo que foi colocado a uma distancia D das fendas (D � d) como se mostra na Figura 10.

Figura 10: Problema 16.

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a) Faca um diagrama esquematico do padrao da intensidade da luz observada na tela.

b) Explique, apenas de forma qualitativa (nao ha necessidade de fazer as contas), por que observamosmaximos e mınimos na tela.

c) Supondo que a distancia entre dois maximos de primeira ordem (centro do anteparo) para uma fontede luz vermelha e ∆V e a distancia entre os dois primeiros maximos de primeira ordem da fonte deluz azul e ∆A, calcule a razao ∆V /∆A em funcao dos comprimentos de onda λV e λA das fontesvermelha e azul respectivamente.

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BLOCO 5: Mecanica Quantica(OBRIGATORIO PARA CANDIDATOS A DOUTORADO)

Multipla escolha

Problema 17: Dois observaveis sao ditos incompatıveis quando:

a) eles nao apresentam as mesmas simetrias.

b) os operadores associados a eles nao comutam.

c) eles nao sao associados a mesma grandeza fısica.

d) os operadores associados a eles comutam.

Problema 18: Uma partıcula de spin 1/2 passa por um detector, onde a componente Sz de seu spin emedida, tendo valor Sz = ~/2. Em seguida, fazemos uma medida da componente Sx, obtendo Sx = ~/2.Considere as seguintes afirmacoes:

(1) Uma nova medida de Sz levaria necessariamente a Sz = ~/2.

(2) Uma nova medida de Sx levaria necessariamente a Sx = ~/2.

(3) Uma nova medida de Sz levaria possivelmente a Sz = −~/2.

(4) Uma nova medida de Sx levaria possivelmente a Sx = −~/2.

Quais sao as afirmacoes verdadeiras?

a) apenas (1)

b) apenas (2)

c) (1) e (4)

d) (2) e (3)

Problema 19: Uma partıcula de massa m esta sujeita a um potencial V (x) = mω2x2/2 (um osciladorharmonico simples unidimensional). Se e introduzida uma parede em x=0, de tal forma que V (x) =∞para x < 0 (sem alterar o potencial para x > 0), entao os nıveis de energia permitidos para o sistemasao:

a) 0, ~ω/2, ~ω, ...

b) ~ω/2, 3~ω/2, 5~ω/2, ...

c) 3~ω/2, 7~ω/2, 11~ω/2, ...

d) ~ω, 2~ω, 3~ω, ...

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Discursiva

Problema 20: Suponha que a funcao de onda abaixo esta associada a uma partıcula de massa msujeita a um potencial unidimensional. Sejam ainda C e x0 duas constantes reais positivas.

ψ(x) =

{C(x2 − x20) se −x0 < x < x0

0 se x < −x0 ou x > x0

a) E possıvel mostrar que C e x0 satisfazem a relacao C2 = (15/16)(1/x0)5. Indique qual o argumento

para chegar a este resultado. Apenas indique o argumento: neste item nao e necessario fazer oscalculos.

b) Calcule a incerteza do operador posicao ∆x =√〈x2〉 − 〈x〉2.

c) Calcule a incerteza do operador momento linear ∆p.

d) Mostre explicitamente, utilizando os calculos anteriores, que o princıpio da incerteza de Heisenberge satisfeito para esta funcao de onda.

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EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIROEDITAL 2016-1

First Semester 2016 - November 9th, 2015

READ CAREFULLY.

THE EXAM CONSISTS OF 5 BLOCKS:Block 1: Classical MechanicsBlock 2: Waves, Fluids and ThermodynamicsBlock 3: ElectromagnetismBlock 4: Electromagnetic Waves , Optics and Modern PhysicsBlock 5: Quantum Mechanics

• All applicants must choose only 4 of the 5 blocks to solve. PhD candidates MUST choose theblock 5 (Quantum Mechanics).

• The block that will NOT be corrected should be clearly registered in the cover sheet of the answerbook.

• Each block consists of 3 multiple-choice questions and a discursive question.

• Two wrong answers to multiple-choice questions cancel one correct answer to another multiple-choice, within the universe of 12 multiple-choice questions of the 4 selected blocks.

• Blank answers will have no effect on the correction of other questions.

YOU CAN USE UP TO 4 HOURS TO SOLVE THE EXAM. HAVE A GOOD EXAM.

1

BLOCK 1: Classical Mechanics

Multiple-choice

Problem 1: A rocket is distant from any source of gravitational potential, such that the system canbe considered isolated. Knowing that this rocket was initially at rest, and then its engines are turnedon expelling gas at a constant speed relative to the rocket, we can say that:

a) The rocket moves in the opposite direction to the ejecting gas, as well as the center of mass of thesystem.

b) The rocket moves in the opposite direction to the ejecting gases. However the center of mass of thesystem is not moving.

c) The kinetic energy of the rocket increases, so there is no linear momentum conservation.

d) The rocket moves in the opposite direction to the ejecting gas. However the center of mass of thesystem does not move, although there is no momentum conservation.

Problem 2: In a one-dimensional classical system we have a particle of mass m subjected to a potentialof the form V (x) = a

x4 − bx2 where a > 0 and b > 0, as shown in Figure 1. It is correct to say that:

Figure 1: Problem 2.

a) The particle can move from x = −∞ to x =∞ depending only on the total energy.

b) The particle will never be observed at the origin and it is impossible to move over all values of xregardless of its energy value.

c) There are two minima in the potential and a particle with enough energy would be able to pass fromone minimum to another.

d) With zero mechanical energy the particle is at rest.

2

Problem 3: An isolated star system is composed only by two stars of identical radius. The mass ofthe denser star is 3 times the mass of the less dense and they interact gravitationally. Knowing thattheir movement is limited, i.e., the stars have a maximum distance and approach each other periodically,determine which of the statements is true:

a) The less dense star has an elliptical orbit around the denser star.

b) The movement can be understood as an elliptic orbit of the reduced mass around the denser star.

c) The movement can be understood as an elliptic orbit of the reduced mass around the center of massof the system.

d) As the center of mass is not necessarily located in any of the stars, it is impossible to determine thetrajectory performed on any type of referential or coordinate system.

Discursive

Problem 4: The Figure 2 shows two distinct configurations of a system of two bodies with masses m1

and m2, with m2 > m1/ 2. In the initial configuration (i) the system is released from rest with respectto the inertial frame O. Let l1 and l2 be their respective distances from the ceiling. Let j be the unitvector on the y axis (see Figure 2). Assume the wire is inextensible and that both the wire and thepulleys have negligible masses.

a) What is the relation between the velocities of the two bodies?

b) Determine the velocities ~v1 and ~v2 of the two bodies, after the body of mass m2 came down a distancey2 from the ceiling (configuration (ii)).

c) From the above result, evaluate the accelerations ~a1 and ~a2 of the two bodies.

Figure 2: Problem 4.

3

BLOCK 2: Waves, Fluids and Thermodynamics

Multiple-choice

Problem 5: A thermodynamic system, initially at absolute temperature T1, contains a mass m ofwater with specific heat capacity c. Heat is added until the temperature rises to T2. The change inentropy of the water is:

a) 0

b) T2 - T1

c) mc ln(T2 - T1)

d) mc ln(T2 / T1)

Problem 6: The oscilloscope screen (Figure 3) displays two sinusoidal waveforms of the same fre-quency. The horizontal sweep of the oscilloscope is set to 100 ns/cm and the vertical gains of channels 1and 2 are each set to 2 V/cm. The zero-voltage level of each channel is given at the right in the figure.The phase difference between the two waveforms is about:

a) 45o

b) 75o

c) 120o

d) 180o

Figure 3: Problem 6.

4

Problem 7: An incompressible fluid of density ρ flows through a horizontal pipe of radius r andthen passes through a constriction of radius r/2. If the fluid has pressure P0 and velocity v0 before theconstriction, the pressure in the constriction is:

a) lower than P0 and it depends on the velocity in the constriction and the velocity before the constric-tion.

b) lower than P0 and it does not depend on the velocity in the constriction. It only depends on theexternal pressure on the constriction.

c) equal to P0 because the fluid is incompressible.

d) higher than P0 and it depends on the velocity in the constriction and the velocity before the con-striction.

Discursive

Problem 8: The state equation for a mole of carbon dioxide (CO2) gas is given by:(p+

a

V 2

)(V − b) = RT

where a and b are positive constants.

a) Calculate the work W1 done by one mole of gas in a reversible isothermal expansion from an initialvolume V1 to a final volume V2, at temperature T .

b) What would be the work W2 calculated for the same process but considering the carbon dioxide asan ideal gas?

c) Interpret the physical meaning of the constants a and b.

5

BLOCK 3: Electromagnetism

Multiple-choice

Problem 9: A spherical inflatable balloon contains a positively charged object in its center. As thisballoon inflates, what happens to the electric potential, the electric field and the total electric field fluxon the balloon surface? Suppose that the object remains at the center.

a) They all decrease.

b) The potential and electric field decrease while the total flux increases.

c) The potential and electric field increase while the total flux decreases.

d) The potential and electric field decrease while the total flux remains constant.

Problem 10: Consider the electric potential distribution indicated in the following graph (Figure 4):

Figure 4: Problem 10.

What is the charge configuration shown in Figure 5 that produces this electric potential distribution?

Figure 5: Problem 10.

6

Problem 11: Consider a pendulum held at P with a metallic disk at its extremity as shown in the

Figure 6. In the region A there is an external magnetic field−→B ext = −|Bext|z perpendicular to the

oscillation plane of the pendulum.

Figure 6: Problema 20.Note: θA is the angle for which the metallic disk starts entering in region A.

Regarding the induced magnetic field on the metallic disk along half period, mark the correct answer inFigure 7.

Figure 7: Problem 11.

Discursive

Problem 12: Consider the circuit displayed in Figure 8.

a) Discuss in a qualitative way the contributions for the magnetic field at the point P from each circuitsegment.

b) Obtain the magnetic field (magnitude, direction and orientation) at point P.

7

c) Consider the limit situation θ → 2π. Draw the new circuit in this situation and determine the newmagnetic field (magnitude, direction and orientation) at the point P .

Figure 8: Problem 12.

8

BLOCK 4: Electromagnetic Waves , Optics and Modern Physics

Multiple-choice

Problem 13: The phenomena called “apparent height of the stars” and “mirage” are direct conse-quences of:

a) diffusion or scattering of light in the atmosphere.

b) the spherical shape of the earth.

c) the variation of the air refractive index with respect to its density.

d) the large distances between the objects and the observer’s eyes.

Problem 14: In Figure 9, it is shown an experiment where a light beam crosses the boundary betweentwo materials A and B, which have refractive indices nA and nB, respectively. The propagation directionis indicated by the arrows in the figure. The light beam is transmitted through the material A, reachingthe interface between the two materials at an angle θA to the normal. The beam emerges in the materialB forming an angle θB with the normal, and θA > θB.

Figure 9: Problem 14.

Consider the following statements:

(1) The refractive index nA of material A is larger than the refractive index nB of the material B.

(2) The speed of light is smaller in material B.

(3) The angles θA and θB are related to the refractive indices nA and nB.

Choose the correct alternative:

a) Statements (1) and (2) are correct.

b) Statements (1) and (3) are correct.

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c) Statements (2) and (3) are correct.

d) All the statements are correct.

Problem 15: An astronomer observed the light coming from two different stars and found that thetemperature of the star A was higher than the temperature of the star B. How could the astronomerhave come to this conclusion?

a) By observing the intensity of light emitted by each star and assigning the highest temperature to thestar with higher luminosity.

b) By observing the wavelength emitted by each star and assigning the highest temperature to the starthat emits light with longer wavelength.

c) By observing the wavelength emitted by each star and assigning the highest temperature to the starthat emits light with shorter wavelength.

d) By observing the Doppler effect and assigning the highest temperature to the star with the largestredshift.

Discursive

Problem 16: A monochromatic point source of wavelength λR is shining through two narrow slitsseparated by a distance d (d is of the order of λR). The light source illuminates the screen which isplaced at a distance D from the slits (D � d) as shown in Figure 10

Figure 10: Problem 16.

a) Sketch the pattern of light intensity observed on the screen.

b) Explain only qualitatively (no need of calculations), why we observe high and low intensity peaks onthe screen.

c) Let ∆R be the distance between the two first order maxima (at the center of the screen) for a red lightsource, and ∆B the distance between the two first order maxima for a blue light source. Evaluatethe ratio ∆R/∆B as a function of the wavelengths λR and λB of red and blue sources respectively.

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BLOCK 5: Quantum Mechanics

Multiple-choice

Problem 17: Two observables are said to be incompatible when:

a) they don’t present the same symmetries.

b) the operators associated to them do not commute.

c) they are not associated to the same physical quantity.

d) the operators associated to them commute.

Problem 18: A particle of spin 1/2 passes through a detector, in which the Sz component of its spinis measured. The measured value is Sz = ~/2. Subsequently, a measurement of the Sx component isperformed, resulting in Sx = ~/2. Consider the following statements:

(1) A new Sz measurement would necessarily result in Sz = ~/2.

(2) A new Sx measurement would necessarily result in Sx = ~/2.

(3) A new Sz measurement would possibly result in Sz = −~/2.

(4) A new Sx measurement would possibly result in Sx = −~/2.

Which among the statements are true?

a) only (1)

b) only (2)

c) (1) and (4)

d) (2) and (3)

Problem 19: A particle of mass m is subjected to a potential V (x) = mω2x2/2 (a unidimensionalsimple harmonic oscilator). If a wall is introduced at x = 0, in such a way that V (x) = ∞ for x < 0(with no modification of the potential for x > 0), then the allowed energy levels for the system are:

a) 0, ~ω/2, ~ω, ...

b) ~ω/2, 3~ω/2, 5~ω/2, ...

c) 3~ω/2, 7~ω/2, 11~ω/2, ...

d) ~ω, 2~ω, 3~ω, ...

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Discursive

Problem 20: Suppose that the following wavefunction is associated to a particle of mass m subjectedto a unidimensional potential. Let C and x0 be two real positive constants.

ψ(x) =

{C(x2 − x20) if −x0 < x < x0

0 if x < −x0 or x > x0

a) It is possible to show that C and x0 satisfy the relation C2 = (15/16)(1/x0)5. Indicate the argument

that leads to this result. Just indicate the argument: in this item it is not necessary to perform thecalculations.

b) Calculate the uncertainty of the position operator ∆x =√〈x2〉 − 〈x〉2.

c) Calculate the uncertainty of the linear momentum operator ∆p.

d) Show explicitly, using the previous calculations, that the Heisenberg uncertainty principle is satisfiedfor this wavefunction.

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