Prof: Frederico Nunes

Grupo (Polo Simples):

Diogo Moury

Pedro Ishimaru

João Victor da Silva

Convolução (Definição):

𝑓 ∗ 𝑔 𝑡 = h(t) = −∞

∞

𝑓 𝑡 𝑔 𝜏 − 𝑡 𝑑𝜏

Operador Linear - Propriedades:

Comutatividade: 𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑔 ∗ 𝑓

Associatividade: 𝑓 ∗ 𝑔 ∗ ℎ = 𝑓 ∗ 𝑔 ∗ ℎ

Distributividade: 𝑓 ∗ 𝑔 + ℎ = 𝑓 ∗ 𝑔 + 𝑓 ∗ ℎ

Associatividade Escalar: 𝑐 𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑐𝑓 ∗ 𝑐𝑔

Embasamento Matemático

Interpretação Intuitiva:

Mede a área submetida pela superposição de f(t) e g(t) em função do deslocamento

Embasamento Matemático

Variável Aleatória : variável quantitativa, depende de fatores aleatórios

Função densidade de probabilidade: integra-se a função para obter a

probabilidade da variável assumir um valor dentro de um intervalo

Variáveis Aleatória Múltiplas Independentes

Conceitos Estatísticos

Dispositivo 2 funciona após o Dispositivo 1 deixar de funcionar

Variáveis Aleatórias T1, T2 são independentes

T(t) = T1(t) + T2(t)

Função densidade de probabilidade de T?

ℎ 𝑡 = −∞

∞

𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

Aplicação Prática

Duração de Vida de um Dispositivo Eletrônico

𝑃 𝑡 = 𝜆𝑒−𝜆𝑡

Aplicação Prática

Considerando as densidades de probabilidade:

𝑓 𝑡 = 0.5𝑒−0.5𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0𝑔 𝑡 = 1𝑒−1𝑡

Densidade de probabilidade resultante é dada por

ℎ 𝑡 = −∞

∞

𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

Aplicação Prática

ℎ 𝑡 = −∞

∞

𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

ℎ 𝑡 = 0

𝑡

𝛼1𝑒−𝛼1𝜏𝛼2𝑒

−𝛼2(𝑡−𝜏)𝑑𝜏

ℎ 𝑡 =𝛼1𝛼2𝛼2 − 𝛼1

𝑒−𝑡𝛼1 − 𝑒−𝑡𝛼2 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0

Aplicação Prática

Aplicação Prática

ℎ 𝑡 =0.5 ∗ 1

1 − 0.5𝑒−0.5𝑡 − 𝑒−𝑡

ℎ 𝑡 = 𝑒−0.5𝑡 − 𝑒−𝑡 , 𝑡 ≥ 0

Qual a probabilidade que os dois dispositivos falhem no intervalo 5 ≤ 𝑡 ≤ 7?

5

7

(𝑒−0.5𝑡 − 𝑒−𝑡)𝑑𝑡 = 0.0979

Logo, a probabilidade é de 9,79%.

Aplicação Prática

Referências

[1] P. L Meyer - Probabilidade: Aplicações à Estatística - Ed. Livro Técnico.

[2] Circuitos Elétricos, James W. Nilson, Susan A. Riedel; 8 ed., São Paulo, Pearson Prentice Hall, 2009.

[3] Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno,Willian E. Boyce, Richard C. DiPrima; 9 ed.; Rio de Janeiro, LTC editora;