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Universidade Federal Rural de Pernambu o - UACSA
Atividade Práti a 3: Cir uitos de Primeira Ordem
Prof. Fernando Gonçalves de Almeida Neto
16 de novembro de 2015
1 Objetivo
Esta atividade práti a tem por objetivo explorar on eitos rela ionados a ir uitos des ritos por equações
diferen iais de primeira ordem. Na primeira etapa da atividade práti a, a onstante de tempo de um ir uito
RC será medida e omparada ao valor teóri o al ulado. Em seguida, uma ex itação senoidal será usada para
que seja veri ada a defasagem entre orrente e tensão no ir uito RC. Para fazer as medições, novos re ursos
do os ilos ópio serão explorados. Ao nal da atividade experimental, o estudante estará mais habituado a
usar o os ilos ópio e será apaz de omparar riti amente dados experimentais om os previstos pela teoria
de ir uitos elétri os.
2 Introdução Teóri a
Neste tópi o abordaremos brevemente apa itores e sua apli ação em ir uitos RC, revisando os on eitos
apresentados em aula. Também iremos apresentar a forma omo as medições serão realizadas para estimar
a onstante de tempo do ir uito.
2.1 Capa itores
Capa itores são bipolos passivos, uja equação que rela iona a orrente e a tensão entre seus terminais é
dada por
i(t) = Cdv(t)
dt, (1)
onde C é onhe ida omo apa itân ia e é dada em unidades de farad (F).
Em geral, quando observamos diagramas elétri os, apa itores são representados omo apresentado na
Figura 1, ou om representações que derivam desse modelo.
PSfrag repla ements
C
Figura 1: Representação do apa itor em diagramas elétri os
A apa itân ia é uma ara terísti a que depende da físi a do dispositivo. Em sua interpretação mais
simples, um apa itor pode ser visto omo onstituído de duas pla as paralelas, entre as quais existe um
material isolante (um dielétri o) que impede a passagem de argas entre elas. A apa itân ia asso iada ao
dispositivo vai depender da área dessas pla as (A), da distân ia entre as pla as (d) e do material isolante, ao
qual é asso iado uma grandeza denominada permissividade elétri a (ǫ). A apa itân ia é então obtida omo
uma relação de todas essas grandezas:
C = ǫA
d. (2)
Dessa forma, alterando-se alguma dessas ara terísti as (ou algumas delas) durante a fabri ação do ompo-
nente, pode-se alterar o valor nal da apa itân ia.
Assim omo os resistores, apa itores podem ser lassi ados em duas ategorias: xos e variáveis. Os
símbolos omumente usados para representá-los em diagramas elétri os são apresentados na Figura 2.
Capa itores xos possuem valor xo de apa itân ia e podem ser en ontrados em diversos formatos e
tamanhos. Em geral, para o mesmo tipo de onstrução do apa itor, quanto maior a apa itân ia desejada,
maior o dispositivo. O aumento das dimensões do bipolo, nessas situações, está rela ionado ao aumento da
área ou da espessura do dielétri o. Para aumentar o valor da apa itân ia sem que se aumente demais as
dimensões do bipolo, algumas té ni as de fabri ação podem ser utilizadas. Uma forma é dispor as pla as
(ou lâminas) e o dielétri o em faixas longas e estreitas, que são sobrepostas e depois enroladas de forma
1
PSfrag repla ements
Figura 2: Capa itor de valor xo (à esquerda) e variável (à direita)
ompa ta (vide Figura 3). O dielétri o irá impedir que as pla as se toquem, permitindo que se aumente a
área das pla as sem que se obtenha um dispositivo muito grande. Com essa té ni a são obtidos apa itores
de formato ilíndri o e retangular.
PSfrag repla ements
Figura 3: Capa itor obtido por meio do enrolamento das lâminas ondutoras e do dielétri o
Outra maneira muito apli ada para a fabri ação de apa itores é por meio do empilhamento das pla as
do dielétri o e das pla as ondutoras (vide Figura 4), que também levam ao aumento da área total das
pla as, mas mantendo o dispositivo ompa to. Dessa forma, a área total é propor ional ao número de pla as
empilhadas.
PSfrag repla ements
Pla a ondutora
Pla a ondutora
Dielétri o
Figura 4: Capa itor obtido por meio do empilhamento das lâminas ondutoras e do dielétri o
Essas té ni as de fabri ação e outras não- itadas neste texto permitem a produção de uma grande va-
riedade de apa itores, que são desenvolvidos para diversos propósitos e para suprir diferentes restrições
de apli ação. Apesar da grande variedade, vale a pena desta ar alguns tipos de apa itores xos que são
frequentemente en ontrados no mer ado:
1. Capa itores eletrolíti os: são fá eis de serem identi ados pelo seu formato ( ilíndri o) e por apresenta-
rem informações impressas no invólu ro. Geralmente são polarizados, o que signi a que a forma omo
são inseridos no ir uito é relevante para o seu fun ionamento. O terminal de maior poten ial do bipolo
geralmente é indi ado por um +, ou . Em geral, esses omponentes ofere em os maiores valores de
apa itân ia disponíveis, om valores típi os entre 0, 1µF e 15000µF. As tensões de fun ionamento são
tipi amente valores entre 5V e 450V. Um exemplo de apa itor eletrolíti o é apresentado na Figura 5a.
A representação apli ada para representar apa itores eletrolíti os em diagramas elétri os é apresentada
na Figura 5b.
(a) Exemplo de apa itor eletrolíti o
PSfrag repla ements
C
(b) Modelo do apa itor eletrolíti o, indi ando a polaridade
Figura 5: Capa itor eletrolíti o e modelo para diagrama elétri o
2
2. Capa itores erâmi os ou apa itores de dis o: usam um dielétri o de erâmi a. Tipi amente apresen-
tam valores de apa itân ia entre 10pF e 0, 0047µF, om altas tensões de trabalho, que podem hegar
a 10kV.
Figura 6: Exemplo de apa itores erâmi os
3. Capa itores de poliéster: Possuem formato retangular ou arredondado, om terminais axiais ou radiais.
A faixa típi a de valores é de 100pF a 10µF. As tensões de trabalho podem variar de alguns pou os
Volts a 2000V, dependendo do bipolo.
Figura 7: Exemplo de apa itor de poliéster
4. Capa itores de óleo: são usados em apli ações industriais, por exemplo, em apli ações de que demandam
alta tensão. Podem forne er valores de apa itân ia que variam entre 0, 001µF e 10000µF, om tensões
de trabalho de até 150kV. São fabri ados via imersão de uma série de pla as paralelas em um banho
de óleo ou material impregnado om óleo.
Figura 8: Exemplo de apa itor de óleo
5. Outros apa itores: Além desses, existem diversos outros tipos de apa itores, por exemplo de mi a, a-
pa itores de imersão e de outros materiais. O leitor pode pro urar informações adi ionais nas referên ias
do nal do texto.
Enquanto apa itores xos têm suas araterísti as físi as denidas para garantir um valor espe í o de
apa itân ia, apa itores variáveis, por outro lado, permitem que o valor da apa itân ia seja modi ado
por meio de alguma alteração físi a do bipolo. Um apa itor de eixo de ar variável (vide Figura 9a), por
exemplo, permite que se altere a apa itân ia girando o eixo do omponente, tal que se pode alterar a área
das pla as em ontato no apa itor . Um trimmer (vide Figura 9b) é um outro exemplo de apa itor variável,
de dimensão muito menor, que pode ter seu valor de apa itân ia alterado pela redução da área de ontato
entre as pla as ou então alterando-se a distân ia entre elas.
(a) Capa itor de eixo de ar variável
PSfrag repla ements
(b) Trimmer
Figura 9: Exemplos de apa itores variáveis
3
2.2 Leitura dos valores de apa itân ia
Os fabri antes utilizam diversos esquemas de identi ação dos valores nominais de apa itân ia nos dispo-
sitivos. Em geral, é simples identi ar o valor nominal de um apa itor eletrolíti o, uma vez que esse valor e
a tensão de operação am expressos no invólu ro do bipolo. Para omponentes fabri ados de outras formas,
a leitura do valor nominal pode ser um pou o mais trabalhosa. Como regra geral, assume-se que o tamanho
do apa itor já seja um indi ativo do valor de sua apa itân ia, uma vez que a maioria dos esquemas de
impressão não indi a se o valor está em pF ou µF. As unidades menores geralmente têm valores da ordem
de pF e as maiores de µF. Dessa forma, alguns asos mais típi os podem ser itados:
1. Unidades muito pequenas ostumam ser identi adas por dois algarismos e uma letra. Os algarismos
indi am o valor em pF, enquanto que a letra indi a a tolerân ia, que pode ser lida onsultando uma
tabela. Note que essa letra é sempre diferente de u (U), p (P) e n (N), que são reservadas para unidades
de mi ro, pi o e nano, respe tivamente.
Figura 10: Código de apa itores de dimensão muito reduzida
2. Em apa itores em que apare em algarismos seguidos por uma letra que represente um submúltiplo de
10 (por exemplo, n, u ou p), o valor nominal é dado pelos dígitos seguidos desse fator multipli ativo.
Quando esse fator multipli ativo é n, o apa itor tem seu valor expresso em nF. Nos apa itores da
Figura 11, 10n indi a 10nF, enquanto que 1n2 indi a 1,2nF.
Figura 11: Código de apa itores om letra indi ando o fator multipli ativo
3. Existem apa itores em que apare em três dígitos que podem ser seguidos (ou não) de uma letra
diferente de u, n e p. Os dois primeiros dígitos indi am o valor da apa itân ia e o último a potên ia
(o número de zeros) do valor ompleto, dado em pF. A letra indi a a tolerân ia.
Figura 12: Código apa itores om 3 dígitos e tolerân ia
4
Figura 13: Código de ores de apa itores de poliéster
4. Alguns apa itores de poliéster usam ódigos de ores para indi ar o valor da apa itân ia. Nesse aso,
pode-se onsultar uma tabela para fazer a leitura da apa itân ia, omo a apresentada na Figura 13.
Note que tal omo foi observado para os valores omer iais de resistên ias, os valores de apa itores
disponíveis no mer ado são produzidos seguindo um onjunto de valores pré-denidos pelos fabri antes. Para
tomar onhe imento desses valores, deve-se onsultar um atálogo om a des rição dos valores disponíveis.
2.3 Cir uitos RC
Um ir uito RC é onstituído apenas por resistores e apa itores. Para ompreender seu fun ionamento e
estudar a dinâmi a de arga e de des arga de um apa itor, vamos onsiderar um ir uito RC ujas equações
de orrente e de tensão em seus elementos podem ser des ritas por meio de uma equação diferen ial de
primeira ordem. Para isso, vamos onsiderar o ir uito da Figura 14 e vamos estudar duas situações:
1. Até o instante t = 0−s assume-se que o ir uito estava desenergizado e o apa itor estava des arregado.
No instante t = 0s a have é one tada ao ponto a e o apa itor omeça a se arregar por meio de uma
tensão ontínua Vg.
2. No instante t = T1s a have é one tada ao ponto b e o apa itor passa a des arregar em um resistor,
em um ir uito sem ex itação.
PSfrag repla ements
R
C
vR(t)
vC(t)
Vg
a
bi(t)
Figura 14: Cir uito RC
2.3.1 Capa itor arregando om entrada onstante ( have one tada ao ponto a)
Assuma que ini ialmente o apa itor está des arregado e a fonte está desligada. Quando a have é
one tada ao ponto a, o ir uito de interesse orresponde ao ir uito da Figura 15.
No instante t = 0s, em que a have é one tada ao ponto a, uma tensão de Vg V é ligada ao ir uito. A
tensão instantânea no apa itor (vC(t)) será al ulada apli ando-se a Lei de Kir hho das tensões na malha,
isto é,
vC(t) + vR(t) = Vg. (3)
Notando que
vR(t) = Ri(t) (4)
5
PSfrag repla ements
R
C
vR(t)
vC(t)
Vg
i(t)
a
Figura 15: Cir uito RC om ex itação
e
i(t) = CdvC(t)
dt, (5)
a equação (3) pode ser rees rita omo
dvC(t)
dt+
1
RCvC(t) = Vg. (6)
Para resolver a equação (6), podemos reorganizar a equação e al ular a integral indenida dos dois lados da
igualdade: ∫dvC
vC − Vg
=
∫
−1
RCdt
ln(vC − Vg) = −t
RC+ K
︸︷︷︸
constante
vC(t) = e−t
RC eK︸︷︷︸
onstante
+Vg = A︸︷︷︸
=eK
e−t
RC + Vg. (7)
Para al ular o valor da onstante A, lembramos que no instante t = 0−s o apa itor estava des arregado,
tal que vC(0−) = 0V. Contudo, para o apa itor deve ser mantida a ontinuidade do valor da tensão, tal que
vC(0−) = vC(0
+) = 0. Substituindo essa informação na equação (7), obtém-se
vC(0+) = Ae−
0RC + Vg = 0 ⇒ A = −Vg. (8)
Dessa forma, usando A = −Vg na equação (7), al ula-se
vC(t) = Vg(1− e−t
RC ) V. (9)
Lembrando que
τ = RC s (10)
é a onstante de tempo do ir uito, obtemos
vC(t) = Vg(1− e−t
τ ) V, (11)
que irá des rever o arregamento do apa itor ao longo do tempo. A Figura 16 apresenta a forma de vc(t)nessa situação.
A partir da equação de tensão do apa itor e da gura obtida, podemos tirar algumas on lusões:
1. Vemos que em t → ∞ a tensão do apa itor orresponde ao valor vC(∞) = Vg. Dessa forma, podemos
dizer que a tensão do apa itor será igual a Vg depois de um longo tempo, que orresponde à situação
em que o ir uito está em regime CC e o apa itor orresponde a um aberto.
2. Quando t = τs, vc(τ) = Vg(1 − e−1) ≈ 0, 63VgV. Ou seja: para esse ir uito, depois de t = τ segundos
(uma onstante de tempo), a tensão no apa itor já atingiu aproximadamente 63% de seu valor nal.
3. Em t = 5τ segundos, a tensão no apa itor equivale a vC(5τ) = Vg(1 − e−5) = 0, 9933Vg ≈ Vg, tal que
pode-se onsiderar que o ir uito já atingiu o regime CC a partir desse instante.
Nesse aso, se tivermos a esso à urva de tensão do apa itor e soubermos o valor de Vg, podemos estimar
o valor de τ a partir da Figura 16. Basta en ontrar o ponto na urva para o qual a tensão equivale a
aproximadamente 63% de Vg e veri ar em que instante isso o orre. Esse instante será igual ao valor de τ .
Essa abordagem será apli ada durante a atividade práti a.
6
00
PSfrag repla ements
τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ
T
e
n
s
ã
o
(
V
)
Tempo (s)
0, 63Vg
Vg
Figura 16: Curva de tensão no ir uito RC durante o arregamento do apa itor
2.3.2 Capa itor des arregando sem ex itação de entrada ( have one tada ao ponto b)
Considere que após T1 >> 5τ segundos a have do ir uito da Figura 14 é alterada para a posição b,
de forma que o ir uito passa a se omportar omo um ir uito RC sem ex itação, omo apresentado na
Figura 17.
PSfrag repla ements
R
C
vR(t)
vC(t)
i(t)b
Figura 17: Cir uito RC sem ex itação
Podemos onsiderar que no instante t = T−
1 s (o instante imediatamente anterior à onexão da have ao
ponto b) o ir uito já atingiu o regime CC, uma vez que mais de 5 onstantes de tempo já se passaram. Nesse
aso, a ondição ini ial de ir uito sem ex itação orresponde a
vC(T−
1 ) = Vg(1 − e−T
−
1τ ) ≈ Vg. (12)
Para resolver o ir uito para t > T1, apli amos a Lei de Kir hho das tensões no ir uito da Figura 17 para
obter
vR(t) + vC(t) = 0. (13)
Lembrando que
vR(t) = Ri(t) (14)
e
i(t) = CdvC(t)
dt, (15)
a equação (13) pode ser rees rita omo
dvC(t)
dt+
1
RCvC(t) = 0. (16)
A solução da equação (16) é obtida de forma semelhante ao usado para resolver a equação (6):
dvC(t)
vC(t)= −
1
RCdt
7
ln vC(t) = −t
RC+ K1
︸︷︷︸
onstante
vC(t) = B︸︷︷︸
=eK1
e−t
RC , t > T1, (17)
que orresponde a
vC(t) = B︸︷︷︸
=eK1
e−t
τ , t > T1, (18)
uma vez que τ = RC. Note que a expressão obtida para vC(t) nesse item só é válida para t > T1. Para
0 ≤ t ≤ T1, vale a expressão obtida na equação (11).
Para al ular a onstante B, lembramos da ondição ini ial vC(T−
1) = vC(T
+
1) = Vg. Substituindo em
(18), obtém-se
vC(T+
1 ) = Vg = Be−T1τ → B = Vge
T1τ . (19)
Substituindo em (18):
vC(t) = VgeT1τ e−
t
τ = Vge−
(t−T1)τ
V, t > T1. (20)
Dessa forma, podemos denir a equação da tensão no apa itor em função das expressões obtidas em (11) e
(20):
vC(t) =
0, t < 0
Vg(1− e−t
τ ), 0 ≤ t ≤ T1
Vge−
(t−T1)
τ , t > T1
. (21)
A gura obtida a partir dessa equação é apresentada a seguir.
0
PSfrag repla ements
T1
T
e
n
s
ã
o
(
V
)
Tempo (s)
Vg
Figura 18: Curva de tensão do apa itor no ir uito RC: arregamento e des arregamento
Podemos fazer algumas observações sobre o des arregamento do apa itor:
1. Considerando a equação (20) e a Figura 19 (que mostra a des arga do apa itor em detalhes), vemos
que quando t → ∞ a tensão do apa itor orresponde ao valor vC(∞) = 0V. Dessa forma, podemos
dizer que a tensão do apa itor no ir uito sem ex itação será igual a 0V depois de um longo tempo, o
que orresponde à situação em que o apa itor des arrega ompletamente sua arga na resistên ia R.
Em t = T1s, a tensão no apa itor orreponde à ondição ini ial vC(T1) = Vg V.
2. Quando t = (T1+τ)s, vc(T1+τ) = Vg e−1 ≈ 0, 37Vg V. Ou seja: em t = T1+τ segundos (uma onstante
de tempo desde o desligamento da fonte em t = T1s), a tensão no apa itor já atingiu aproximadamente
37% do valor ini ial.
3. Em t = T1 + 5τ segundos, a tensão no apa itor equivale a vC(T1 + 5τ) = Vge−5 = 0.0067Vg ≈ 0V, tal
que pode-se onsiderar que o apa itor já terminou de des arregar.
Se tivermos a esso à urva de tensão do apa itor des arregando e soubermos o valor de Vg, podemos
estimar o valor de τ . Basta en ontrar o ponto em que a tensão do apa itor de ai até aproximadamente
37% de seu valor ini ial e veri ar o intervalo entre o valor máximo de tensão e essa medida. Esse intervalo
forne erá uma estimativa do valor de τ .
8
0
PSfrag repla ements
T1 + τ T1 + 2τ T1 + 3τ T1 + 4τ T1 + 5τT1
T
e
n
s
ã
o
(
V
)
Tempo (s)
0, 37Vg
Vg
Figura 19: Curva de tensão no apa itor do ir uito RC durante o des arregamento
2.3.3 Medição da onstante de tempo om o os ilos ópio
Para medir a onstante de tempo, usaremos nesta atividade experimental o os ilos ópio para observar
a tensão no apa itor. Para onseguirmos fazer o " haveamento"do ponto a para o ponto b rapidamente,
podemos usar ao invés de haves (que foram usadas na expli ação apenas por fa ilidade de explanação) uma
forma de onda de tensão de entrada vg(t) onveniente, que implemente essa operação de "ligar"e "desligar"a
tensão de entrada em algum instante espe í o. Para implementar essa função, podemos usar uma onda
quadrada omo a apresentada na Figura 20 (a onda de or vermelha). Além da onda quadrada favore er
o " haveamento"da fonte de tensão do modo ligado para o desligado, esse tipo de onda permite que o
os ilos ópio mostre uma onda "parada"na tela do equipamento.
Para que o os ilos ópio onsiga mostrar uma tensão "parada"em sua tela, é ne essário que a onda seja
periódi a, isto é, é ne essário que o formato de onda seja repetido i li amente. Se este for o aso, o
os ilos ópio pode amostrar ontinuamente diversos i los ou períodos do sinal para apresentar uma onda
estável na tela. Quando a onda a ser observada não é í li a, o os ilos ópio só onsegue obter amostras de
uma realização da onda e não é possível mostrá-la de forma duradoura na tela.
Para este experimento, desejamos observar a arga e a des arga do apa itor no ir uito RC. Se tentarmos
olhar apenas uma realização (um " haveamento"de a para b) desse experimento, não é possível observar a
onda na tela do os ilos ópio. Dessa forma, pre isamos garantir i los ontínuos de arga e de des arga do
apa itor, repetidos ao longo do tempo. Para garantir a repetição dos i los de arga e des arga do apa itor,
usaremos uma onda quadrada, ujo valor máximo (valor de pi o) será igual a Vg e o valor mínimo será zero,
omo mostrado na Figura 20. Es olhendo um período de duração igual a 2T1 ( om T1 >> 5τ) para ada
i lo da onda quadrada, garantimos que o apa itor se arregue e des arregue totalmente em ada período.
Dessa forma, obteremos uma onda de tensão no apa itor semelhante ao sinal preto da Figura 20. Es olhendo
algum i lo de arga ou de des arga do ir uito, podemos medir o valor de τ usando os re ursos de medição
do os ilos ópio e o método apresentado na seção anterior.
2.4 Usando os ursores para realizar medidas om o os ilos ópio
Como men ionado na atividade práti a anterior, o os ilos ópio possui diversos menus om funções úteis
à observação de sinais de tensão. Nesta atividade experimental usaremos uma nova ferramenta de medição
manual: os ursores.
Para usar os ursores, basta a essar o menu ursor no painel de opções do os ilos ópio. Quando a essada
essa opção de medida, surgem na tela duas linhas verti ais (se a opção ursor de medida de tempo estiver
a ionada) ou duas linhas horizontais (se a opção ursor de medida de tensão estiver a ionada). Note que entre
as opções desse menu, pode-se es olher a origem (que pode ser a medida de tensão do anal 1 ou do anal 2
do os ilos ópio) e a opção do tipo de medida (que pode ser uma tensão ou tempo). O valor de orrente ou
de tensão medido por ada ursor é mostrado na tela. Também é apresentado o valor da diferença entre as
medidas dos dois ursores.
Este re urso será apli ado muitas vezes durante a parte experimental.
9
PSfrag repla ements
T1
2T1
2T1 3T1 4T1 5T1 6T1
00
T
e
n
s
ã
o
(
V
)
Tempo (s)
vC(t)
Vg
Figura 20: Tensão de entrada quadrada e respe tiva medida no apa itor
2.5 Defasagem entre orrente e tensão em um ir uito RC fasorial
Como apresentado nas aulas teóri as, podemos analisar um ir uito em regime permanente CA (ou seja,
um ir uito uja a entrada é uma senóide e para o qual já se passou tempo su iente para que os transitórios
da resposta tenham de aído para zero), usando fasores e a representação por números omplexos.
Para um ir uito RC, a representação fasorial é apresentada na Figura 21.
PSfrag repla ements
I
Vg−
j
ωC
R
VC
VR
Figura 21: Cir uito RC fasorial
Vemos do diagrama elétri o que, para o apa itor, a relação entre os fasores de tensão e de orrente é
dada por
VC
I= −
j
ωC. (22)
Dessa forma, podemos reorganizar a equação para obter
I = jωCVC . (23)
Se a orrente i(t) for uma ossenóide dada por
v(t) = Vm os(ωt) V, (24)
então a tensão será dada por
i(t) = ωCVm os(ωt+ 90o) A. (25)
A partir das equações (24) e (25), observamos que existe uma defasagem de 90o entre a orrente e a tensão
em um apa itor. De fato, observando a Figura 22, vemos que a tensão está atrasada de 90o em relação à
orrente, ou que a orrente está adiantada de 90o em relação à tensão.
2.5.1 Medida do ângulo de defasagem usando o os ilos ópio
Podemos usar o os ilos ópio para medir a defasagem entre duas senóides.
10
0 1 2 3 4 5−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
PSfrag repla ements
Tempo (s)
Tensão (V)
Corrente (A)
Figura 22: Defasagem entre tensão e orrente no apa itor
Para introduzir o método, onsidere a Figura 23.
Podemos al ular a defasagem entre as ondas indiretamente, usando os ursores de tempo do os ilos ópio.
Para isso, onsidere, por exemplo, o instante em que ada uma das ondas ruza o zero, passando de um vale
para um pi o. Se medirmos a diferença de tempo entre esses dois eventos, podemos obter a diferença de
tempo ∆t, indi ada na gura. Lembrando que em um período ompleto T de os ilação da senóide existe uma
variação de 360o, podemos obter o ângulo de defasagem usando uma regra de três, isto é,
T − 360o
∆t − θ, (26)
de onde obtemos o ângulo de defasagem θ:
θ = 360o∆t
T. (27)
Dessa forma, sabemos que a defasagem entre as ondas é propor ional a ∆t. Note que omo a onda preta está
adiantada em relação à onda vermelha, basta adi ionar θ ao argumento do osseno da onda preta, ou então
adi ionar −θ ao argumento do osseno da onda vermelha, para re uperar a fase da onda desejada.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5Relação corrente x tensão no capacitor
PSfrag repla ements
Tempo (s)
Tensão (V)
Corrente (A)
∆t
T
Figura 23: Medida de defasagem entre tensão e orrente
11
3 Referên ias Bibliográ as
1. BOYLESTAD, Robert L.. Introdução à análise de ir uitos. 12. ed. São Paulo: Pearson Prenti e-
Hall,2012.
2. ORSINI, L. Q.; CONSONNI, D.. Curso de Cir uitos Elétri os. 2. ed. São Paulo: Edgard Blü her,
2004. 1 v.
3. JOHNSON, David E.; HILBURN, John L.; JOHNSON, Johnny Ray. Fundamentos de análise de
ir uitos elétri os. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
4. NILSSON, James William; RIEDEL, Susan A.. Cir uitos elétri os. 8. ed. São Paulo: Pearson
Prenti e-Hall, 2009.
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4 Roteiro da atividade práti a
Nesta seção são es lare idas as atividades que devem ser desenvolvidas em laboratório e entregues ao
professor sob a forma de relatório.
O relatório deve onter introdução, desenvolvimento e on lusão. Deve onter também as tabelas de
medições (que serão devidamente indi adas na des rição das atividades a seguir), os pro edimentos adota-
dos pelos estudantes para realização dos experimentos, guras (quando soli itadas), respostas das questões
teóri as propostas (quando soli itadas) e as on lusões dos estudantes a partir dos dados obtidos.
4.1 Parte 1 da atividade práti a
1. Medição da onstante de tempo: Em sua ban ada estão disponíveis alguns resistores e apa itores.
Identique os valores nominais desses omponentes e onra seus valores nominais.
Componente Valor Nominal
R1 10kΩC 3.3nF
(a) Cal ule a partir desses valores de resistên ia e de apa itân ia a onstante de tempo teóri a do
ir uito RC série da Figura 24 usando esses omponentes.
(b) Monte em sua protoboard o ir uito RC série mostrado na Figura 24. Ajuste o gerador de funções
para forne er uma onda quadrada de amplitude 5Vpp, om valor médio 2, 5V. (Note que vo ê
pode denir esse valor médio de tensão no gerador de funções, ajustando o valor do Oset para
2, 5V.) Ajuste a frequên ia de os ilação para um valor f <1
10τHz. Com esse valor de frequên ia,
garantimos que o apa itor se arrega e se des arrega ompletamente om 5V em ada período de
os ilação de vg(t). (Por quê?)PSfrag repla ements
a
b c
C1
R1
vC(t)vg(t)
vR(t)
i(t)
Figura 24: Cir uito da primeira parte da experiên ia
( ) Ligue o gerador de funções ao ir uito. Para veri ar a amplitude do sinal vg(t) e sua frequên ia,
one te a garra ja aré ao ponto a e o gan ho da ponta de prova ao ponto b do ir uito. Certique-se
de que existe ao menos um período ompleto da onda na tela do os ilos ópio, utilizando os knobs
de ajuste de tensão e de es ala de tempo do anal utilizado. Utilize o menu measure para veri ar
o valor de vg(t). Faça os ajustes ne essários aso a tensão não esteja orreta.
(d) Cone te a garra ja aré da ponta de prova do os ilos ópio ao ponto a do ir uito da Figura 24 e o
gan ho ao ponto c. Use os knobs de ajuste da es ala de tensão e da es ala tempo para olo ar ao
menos um i lo ompleto da onda na tela. Faça um desenho da onda observada. Não se esqueça
de adi ionar as es alas de tensão e de tempo. Apresente no relatório.
(e) Use o knob de ajuste da es ala de tempo para favore er a visualização da urva de arregamento do
apa itor. Use os ursores de tempo e de tensão para estimar o valor de τ , onforme apresentado na
seção 2.3.1. Compare sua estimativa om o valor teóri o. Apresente esses valores e suas on lusões
no relatório.
(f) Repita o item anterior para a urva de des arga do apa itor. Estime o valor de τ nesse aso e
apresente seu valor e suas on lusões no relatório.
(g) Altere o valor vg(t) para 10Vpp e ajuste o valor médio para 5V (ajuste o Oset do gerador de
funções para isso). Estime para esse valor de vg(t) a onstante de tempo. O que vo ê espera que
se altere no valor da onstante de tempo? Como esse valor se ompara om os que vo ê mediu
antes? Apresente esse valor no relatório e justique o que vo ê mediu.
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4.2 Parte 2 da atividade práti a
1. Alterações na onstante de tempo om a mudança dos omponentes: Para a nova montagem,
altere o ir uito da Figura 24 para o ir uito da Figura 25.
PSfrag repla ements
a
b c
C1 C2
R1
R2
vC(t)
vR(t)vg(t)
Figura 25: Cir uito da segunda parte da experiên ia
Componente Valor Nominal
R1 10kΩR2 10kΩC1 3.3nFC2 3.3nF
(a) Ajuste o mesmo valor de frequên ia usado na etapa anterior e ajuste o gerador de funções para
forne er uma onda quadrada de 5Vpp e valor médio de 2, 5V. Conra o valor da tensão entre
os pontos a e b e verique se a tensão desejada está orretamente ajustada. Em seguida, use o
os ilos ópio para medir a tensão entre os pontos a e c. Ajuste o os ilos ópio para mostrar ao
menos um período da onda na tela.
(b) Use um dos métodos des ritos para estimar a onstante de tempo. Apresente o valor obtido no
relatório.
( ) Cal ule o valor teóri o da onstante de tempo nesse aso e ompare om sua medida. Compare,
também, omo o valor obtido na parte 1 da atividade práti a. Apresente suas on lusões no
relatório.
(d) Retire uma das resistên ias do ir uito. O que se alterou na forma de onda observada? Qual a
expli ação? Obtenha o valor da onstante de tempo nesse aso e apresente no relatório.
4.3 Parte 3 da atividade práti a
Veri ação da defasagem entre orrente e tensão em um ir uito RC fasorial: Monte novamente
o ir uito da Figura 24, mas substitua a onda quadrada por uma senóide de amplitude de 5Vpp e de frequên ia
de 1kHz. Ajuste o valor médio para 0V.
1. Cone te a garra ja aré do anal 1 do os ilos ópio ao ponto a do ir uito e o gan ho ao ponto b. Verique
o valor de vg(t) e faça orreções aso seja ne essário.
2. Cone te o gan ho do anal 2 ao ponto c do ir uito. Use o modo Math do os ilos ópio para al ular
Ch1 - Ch2. Note que quando fazemos essa operação, al ulamos vR(t) = vg(t)− vc(t), ou seja, obtemos
a tensão no resistor. Como a tensão do resistor e sua orrente estão em fase (não possuem defasagem
entre si), quando medimos essa tensão, obtemos um sinal propor ional à orrente que ir ula na malha
(e onsequentemente no ir uito). Dessa forma, olhando o sinal obtido via operação Ch1 - Ch2 e o
sinal do anal 2 (que forne e a tensão vC(t)), temos a relação de defasagem entre orrente e tensão no
apa itor.
3. Identique a onda de tensão do apa itor e a onda propor ional à sua orrente na tela do os ilos ópio.
Faça um desenho e apresente no relatório. (Não se esqueça de forne er as es alas!)
4. Use o método apresentado na seção 2.5.1 para al ular o valor de ∆t. Cal ule a defasagem (em graus)
entre as ondas. Esse resultado orresponde ao esperado? Justique sua resposta.
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4.4 Questões (devem ser respondidas no relatório)
1. Para estimar a onstante de tempo, usamos uma tensão de entrada vg(t) em que o i lo de arga e de
des arga do apa itor é ompleto. Ou seja, o apa itor se arregou até o valor de Vg V e depois se
des arregou até 0 V. De fato, é ne essário que o apa itor de arregue e se des arregue ompletamente
para que possamos estimar a onstante de tempo? Explique sua resposta.
2. Suponha que vo ê tivesse a esso à medida da tensão de arregamento de um ir uito RC e que também
onhe esse o valor da resistên ia do ir uito. Como vo ê faria para estimar o valor da apa itân ia do
ir uito?
5 Material disponível para o experimento
• Resistores de 10kΩ
• Capa itores de 3, 3nF
• Protoboard
• Gerador de funções
• Os ilos ópio
• Cone tores para a protoboard
• Cabos banana-banana ou banana-ja aré
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