2º trimestre

Caroline de Souza TidraInformática, manhãProfessora: Aline de BonaIFRS Campus OsórioAgosto de 2011

Sumário Introdução Conteúdos do trimestre Desenvolvimento de todos conteúdos Exercício favorito Diferenças entre funções de 1° grau e 2° grau Correção da Prova Pbworks Sujestão Curiosidade Poesia Matemática Auto-Avaliação Turma Conclusão Mensagem final

IntroduçãoNo portfólio deste trimestre estarei apresentando umpouco de cada conteúdo aprendido. Ao passar dos slidesvocê verá exemplos, atividades, prova e definições queforam feitos em aula ou em horários extra com aprofessora Aline de Bona.

Conteúdos do trimestre O que são funções polinomiais?

Função Polinomial de 1º grau

• Função Afim

• Função Linear

• Função Identidade

• Função Constante

• Determinação à partir do gráfico

• Função de 1º grau crescente ou

decrescente

• Zeros da função

• Estudo do sinal da função de 1° grau

Função Polinomial de 2º grau

• Concavidade da parábola

• Zeros de uma função quadrática

• Vértice da parábola

• Conjunto imagem da função

quadrática

• Valor mínimo e valor máximo da

função quadrática

• Crescimento e decrescimento de uma

função quadrática

• Estudo do sinal da função quadrática

DesenvolvimentoO que é funções polinomiais?

Função polinomial, é uma função com mais ou no mínimo um termo onde cada termo tem uma variável independente com o grau zero ou maior que um. Sendo o grau o expoente da variável, e o grau da função polinomial é maior grau dos termos e este define a representação gráfica.

Ex: y = x³ + 1 – Grau da função = 3, pois é o expoentey = 2x + 4 – Grau da função = 1

P.S: Definição feita em sala de aula com a turma toda!

DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grauFunção polinomial do 1º grau tem a sua forma f(x) = ax +b

com a e b, sendo números reais e a ≠ 0 (caso a = 0 tem-se

f(x) = b, que representa a função constante). Os números

Representados por a e b são chamados coeficientes,

enquanto x é a variável independente.

Então, são função polinomiais do 1º grau:

Exemplo Função Coeficientes

f(x) = 2x + 20 a = 2 e b = 20

f(x) = 10x a = 10 e b = 0

f(x) = -3x + 4 a = -3 e b = 4

DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grauExemplo: Uma fábrica de bolsas tem o custo fixo mensal de R$ 5 000,00.Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que afábrica tenha um lucro mensal de R$ 4 000,00, ela deverá fabricar e vendermensalmente x bolsas. a) Qual o valor de x? x = 450 unidades vendidas para ter 4 mil de lucro mensal.b) Qual o valor do x para ocorrer prejuízo no mês? Se vender 249 unidades ou

menos já terá prejuízo. →

x = quantidade de bolsascusto fixo mensal = 5 milcusto unitário = 25 reaispreço unitário = 45 reaislucro mensal = 4 milx = ?

l(x) = 45.x – 25x – 500l(x) = 20x – 50004000 + 5000 = 20x9000 = 20x9000/20 = xx = 450

0 = 20x – 5000 → 5000/20 → x = 250

DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau Função Afim

No caso de a ≠ 0 e b ≠ 0, a função polinomial do 1° grau recebe o nome de Afim.

Exemplos: f(x) = x + 8 (a = 1 e b = 8) f(x) = ½x – 4 (a = ½ e b = -4)

Chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto

dos reais, tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R.

Na função afim, nota-se:

- O gráfico da função afim é f(x) = ax + b é uma reta.

- D = R e Im = R.

- Sendo o gráfico da função uma reta,

basta considerarmos dois pontos (x, y) do

plano cartesiano para construirmos o gráfico.

DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau Função LinearNo caso de b = 0, a função polinomial do 1° grau recebe o nomede linear.Se construirmos, um gráfico da função f(x) = 2x:Podemos observar o gráficoda função linear f(x) = ax éuma reta que contém a origem (0, 0) do sistemacartesiano. Para construir essegráfico basta determinar apenas mais um ponto (x, y) do plano cartesiano e fazer a reta.

x 2x = y

-2 -4

-1 -1

0 0

1 2

2 4

DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau Função IdentidadeNo caso de a = 1 e b = 0, a função polinomial do 1° graurecebe o nome de função identidade.Se construirmos, um gráfico da função f(x) = x:

Podemos observar que:- D = R e Im = R- O gráfico identidade éuma reta que divide o 1°e o 3º quadrante.

x x = y

-2 -1

-1 -1

0 0

1 1

2 2

DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau Função ConstanteNo caso a = 0 e b ∈ R, a função é expressa por f(x) = b e recebe onome de função constante.Exemplo: f(x) = √3Se construirmos, um gráfico da função f(x) = 3:

D = RIm = {3}O gráfico da função f(x) = b é sempre uma reta paralela ao eixo x.Se:b > 0 a reta fica acima do eixo x.b = 0 a reta fica sobre o eixo x.b < a reta fica abaixo do eixo x.

DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau Função ConstanteExemplo: O gráfico mostra a relação entre o espaço S percorrido e o tempo t gasto

um motorista em uma viagem. No eixo horizontal está representado o tempo (t),

em horas, gasto no percurso e no eixo vertical a distância (S) percorrida, em

quilômetros. Observando o gráfico, você poderia dizer que esse motorista ficou

parado em algum momento da viagem? Caso a resposta seja afirmativa, quantas

horas esse motorista permaneceu parado?

Sim, o motorista ficou parado

entre 2 e 5 horas, ou seja, permaneceu

no mesmo lugar por 3 horas.

DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau Determinação à partir do gráficoResolver a função f(x) = ax + b cujo gráfico seguinte:y = 1 → 1 = a + by = 7 → 7 = 3a + b

Sistema

-a –b = -13a +b = 72a = 6a = 3

a + b = 13a + b = 7 { para determinar a e b:

Logo: a função procurada é f(x) = 3x - 2

a + b = 13 + b = 1b = 1 – 3b = -2

DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau Função de 1º grau crescente ou decrescenteConsiderando dois valores do domínio D (2 e 4), temos:f(2) = 3f(4) = 7

Considerando dois valores do domínio D (2 e 4), temos:f(2) = -7f(4) = -13

• Quando os valores de x aumentam e os de y também a função é crescente.• Quando os valores de x aumentam e os de y diminuem a função é

decrescente, ou x diminui e y aumenta também é decrescente.Regra para qualquer função:x1>x2 e y1>y2 → função crescentex1>x2 e y1<y2 → função decrescentex1<x2 e y1>y2 → função decrescente

}

}

→ f(2)<f(4) → a função é crescente

→ f(2)>f(4) → a função é decrescente

DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau

Zeros da função

Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor de x que anula a função, isto é, f(x) = 0.

Exemplo: Calcular o zero da função f(x) = -3x + 5

f(x) = -3x + 5 = 0 → -3x = -5 → 3x = 5 → x = 5/3

Logo: zero da função dada é x = 5/3

DesenvolvimentoFunção Polinomial de 1º grau

Estudo do sinal da função de 1° grau

Lista 01/08: O estudo do sinal de uma função y = (f) significa

determinar para que os valores x do domínio da função a

imagem f(x) será positiva, negativa ou nula.

Em outras palavras, estudar o sinal de uma função f significa

determinar para que valores de x temo f(x)>0, f(x)<0 ou f(x) = 0.

Ou seja, estudar o sinal de uma função consiste em

determinar os intervalos nos quais a função tem imagem

negativa e os intervalos nos quais a função tem imagem

positiva.

DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau Função Polinomial do 2º grau

Função Polinomial do 2º grau pode também ser chamada

de função quadrática. A função é dada por f(x) = ax² + bx + c, com a,

b, c reais e a ≠ 0.

O gráfico de uma função do 2º grau é uma

curava aberta chamada parábola, pois toda

que contém o “x²” o gráfico é em forma de

parábola.

DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau Concavidade da parábola

Concavidade de uma parábola é a abertura para cima ou para baixo.

Exemplos:

f(x) = x² - 2x – 3, temos a = 1>0

f(x) = 2x², temos a = 2>0

Em ambos, a parábola tem concavidade para cima.

f(x) = -x² + 2x – 3, temos a = -1<0

f(x) = -2x² + 1x -4, temos a = =2<0

Em ambos, a parábola tem a concavidade para baixo.

DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau Zeros de uma função quadrática

Zeros ou raízes da função é os valores de x que anulam a função, ou seja, que à torna f(x) = 0.

a) Se ∆>0 → a função y = ax² + bx + c tem dois zeros desiguais (x1 e x2).b) Se ∆ = 0 → a função y = ax² + bx + c tem um zero real duplo (x1 = x2).c) Se ∆<0 → a função y = ax² + bx + c não tem zero real.d) A soma das raízes é dada por: x¹ + x² = -b/ae) O produto das raízes é dada por: x¹ . x²= c/aExemplo: 1) Determine a equação x² - 4x – 5 = 0∆ = b² - 4ac = (-4)² - 4(1)(-5) = 36>0 (a função tem dois zeros reais diferentes)x = -b ± √∆ = -(-4) ± √36 = 4 ± 6

2a 2.(1)

Logo: os zeros da função y = x² + 4x – 5 são x¹ = 5 e x² = -1.

{ x¹ = 5x² = -1

DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau Zeros de uma função quadrática 2) A função f(x) = x² -2x + 3k tem dois zeros iguais. Nestas condições,

determine os valores reais de k.A condição para que a função tenha zeros reais iguais é que ∆ = 0.∆ = b² - 4ac = (-2)² - 4.(1).(30k) = 4 – 12k4 – 12k = 0 → -12k = -4 → 12k = 4 → k = 4/12 → k =1/3 Logo: k = 1/3

DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau Vértice da parábolaO vértice da parábola de uma função é o ponto máximo quando a

parábola está para baixo e é o ponto mínimo quando a parábola

está para baixo. A parábola, que representa o gráfico da função

f(x) = ax² + bx + c, passa por um ponto V, chamado vértice, cujas

coordenadas são (abscissa) e (ordenada).

Fórmula para calcular

o vértice

∆

DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau Conjunto imagem da função quadráticaPara obter o conjunto imagem de uma função quadrática podemosaplicar as coordenadas do vértice. Exemplo: Determinar o conjunto imagem da função f(x) = x² - 3x +2.f(x) = x2 – 3x + 2∆ = 1 > 0

= 3/2

∆ = - ¼

a = 1 > 0

Logo: Im = {y ∈ R | y ≥ -¼}

DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau Valor mínimo e valor máximo da função quadrática

Exemplo: Determinar o valor de k de modo que a função f(x) = -x² - 2x + k

tenha 2 como valor máximo.

Yv = 2f(x) = -x² - 2x – k Yv =2 = -((-2)² - 4.(-1).k)

4.(-1)2 = -(4 + 4k)

4-8 = -4 -4k → -8 + 4 = -4k → -4 = -4k → k = -4/-4 → k = 1

Obs: Em uma parábola a concavidade é para cimaou para baixo, onde no ponto máximo ou mínimo está localizado o vértice.

DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau Crescimento e decrescimento de uma função quadrática

Em uma parábola, metade é crescente e a outra metade édecrescente. Concavidade voltada para cima:

Decrescente do –infinito (-∞) ao vértice Crescente do vértice ao infinito (∞)

Concavidade voltada para baixo: Crescente do –infinito (-∞) ao vértice Decrescente do vértice ao infinito (∞)

DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau Crescimento e decrescimento de uma função quadrática

Exemplo: Para que valores da função f(x) = x² - 2x – 3 é:a) crescente?b) decrescente?

f(x) = x² - 2x – 3a = 1>0 (valor mínimo)∆ = 4 + 12 = 16>0(zeros desiguais)Xv = -b = 2 = 1

2a 2Yv = - ∆ = - 16 = -4

4a 4Logo: a) f(x) é crescente para x ≥ 1b) f(x) decrescente para x ≤ 1

vértice

decrescente↓ ↑crescente

V (1, -4)

DesenvolvimentoFunção Polinomial do 2º grau Estudo do sinal da função quadrática

Inicialmente determinamos as raízes reais (se existirem) do polinômio

quadrático. A seguir podemos estudar o sinal utilizando o gráfico da

função ou o quadro de sinais (com a função na forma fatorada). O

exemplo seguinte nos mostra tais possibilidades.

As raízes da função polinomial y = x² - 3x - 4 são x = -1 e x = 4

Exercício favorito *-*

Observe o gráfico e responda as perguntas abaixo:

a) Determine os intervalos emque a função é:- crescente: [-2, 1] e [2, 3]- decrescente: [3, 4]

b) O que ocorre com a função no intervalo [1, 2]? No intervalo [1, 2] fica em repouso.

Diferenças entre funções de 1° grau e 2° grau

Para identificar o tipo de função que é tratado em provas

ou trabalhos, destacam-se duas característica predominantes:

1ª) Fórmulas:

Função de 1º grau → f(x) = ax + b

Função de 2º grau → f(x) = ax² + bx + c

2º Gráficos

Função de 1º grau → sempre é uma reta.

Função de 2º grau → sempre é uma parábola, pois o a é

elevado ao quadrado. (ax²)

Parábola →

Reta → FP de 2º grau

FP de 1º grau

Obs: Tive uma pequena dificuldadeem perceber as diferenças entre asfunções, e isso foi a causa de várioserros. Então coloquei no Portfólio asdiferenças, para aprender mais e lembrar!

Correção da Prova 21) f(0) = 6 → cf(1) = 2f(-2) = 20

f(x) = ax² + bx + c

a . 1² + b . 1 + 6 = 2 → a + b = -4 . (2)a . (-2)² + b . (-2) + 6 = 20 → 4a - 2b = 142a + 2b = -8 a + b = -44a - 2b = 14 1 + b = -4

6a = 6 b = -5f(x) = x² - 5x + 6

a → x² - 5x + 6 = 0Bhaskara {2, 3}b → V (-b/2a, -∆/4a) Bhaskara = ((-5)²/2*1, -((-5)² - 4*1*6)/4*1)c → a =1 → parábola U d → Im [-1/4, +∞) e → É crescente do [2,5 +∞)

f →

Obs: Foi difícil desenhar esse gráfico no paint!Não aprendi a usar o Graphmatica!

Correção da Prova 22) h(t) = 5t (8 - t) = 40t - 5t² = -5t² + 40t Bhaskara: a = -5, b = 40, c = 0

a → h(3) = -5 . 3² + 40 . 3 = -45 + 120 = 75 m

b → 60 = -5t² + 40t → 5t² - 40t - 60 = 0 (Bhaskara : t1 = 2 segundos, t2 = 6 segundos)

c → (-40/2*(-5), -(40² - 4*(-5)*0)/4*(-5))V = 4,80

Amáx= 80m no t = 4 seg.

3) f(x) = x² - 3x + k → a = 1, b = -3, c = k

a → ∆ > 0 9/4>k

b → ∆ = 0

c → ∆ < 0 9/4<k

∆ = (-3)² - 4*1*k

∆ = 9 - 4k → 9 - 4k > 0 - 9 > 4k - 9/4 > k

9 - 4k = 0

9 = 4k

4) Yv = 4

-∆ = -(b² - 4ac) = 44ª 4a -((-4)² - 4*(-1)*k) = 4

4. (-1)

4 + k = 4k = 0

Correção da Prova 25) P = 2b + 2h = 120 cmA = b * h → h = (120 - 2b)/2 → h = 60 - bA = bx (60 - b)A = 60b - b²

Yv = -∆ = -(60² - 4*(-1)*0)4a 4*(-1)

-3600 → A = 900 cm-4

6) V (3, -4) f(2) = 0(x1 + x2)/2 = 3(2 + x2) = 3

2 + x2 = 6x2 = 6 - 2x2 = 4

a → f(x) > 0 : [-∞ , 2) V (4, +∞ ) b → f(x) = 0 : {2, 4} c → f(x) < 0 : (2, 4)

7) O resumo fiz na prova, não escreverei aqui, já que o portfólio em si mesmo responde essa questão : )

b

b

h h

Pbworks: carolsouza.pbworks.com

Mantenho meu Pbworks organizado e possivelmente atualizado.Nesse trimestre pelo o acúmulo de trabalhos, provas e tarefas à fazer, não postei duas das listas dadas, mas postarei logo, mesmo que atrasadas :)

SugestãoDepois de dadas as listas de exercícios temos prazo parapostá-las no Pbworks.

Depois de postadas as listas não sabemos se está certo omodo de desenvolvimento da função, pois ás vezes afunção já vem com o resultado.

Minha sugestão é que as listas fossem corrigidas uma àuma, depois de algumas semanas da postagem, nosestudos orientados para não ficar dúvidas sobre asquestões feitas e temos certeza se está certa ou errada.

CuriosidadeVocê é capaz de somar os algarismos de 1 a 100 em poucos minutos?

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) aos 10 anos de idade respondeu rapidamente 5.050 ao seu professor surpreendendo-o pela sua grande habilidade na matemática. Em 1792, seu talento foi reconhecido pelo duque de Braunschweig, que lhe garantiu recursos para prosseguir o estudo de matemática. Gauss criou a geometria diferencial, e fez novas descobertas como a Lei da Reciprocidade Quadrática, que introduz o conceito de congruência e o Teorema Fundamental da Álgebra. Em 1801, publicou Disquisitiones Arithmeticae, seu tratado sobre a Teoria dos Números. No mesmo ano, calculou a órbita do asteróide Ceres. Com base em uma teoria que desenvolveu, previu corretamente onde e quando o Ceres deveria reaparecer. Morreu em 23 de fevereiro de 1855, sendo considerado o "Príncipe da Matemática".

Vejam abaixo a resolução proposta por Gauss (isso aos 10 anos de idade):

101, 101, 101, ..., 101, 101, 101100 x

Portanto 1 + 2 + 3 +...+ 99 + 100 = (100x101)/2= 5050!

Achei bem legal essa curiosidade e então decidi postar aqui no portfólio!

Poesia MatemáticaÀs folhas tantas do livro matemático, um Quociente apaixonou-se

um dia doidamente por uma Incógnita.

Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base uma figura ímpar; olhos rombóides, boca trapezóide, corpo retangular, seios esferóides.

Fez de sua uma vida paralela à dela até que se encontraram no infinito.

"Quem és tu?", indagou ele em ânsia radical.

"Sou a soma do quadrado dos catetos.

Mas pode me chamar de Hipotenusa.

"E de falarem descobriram que eram

(o que em aritmética corresponde a almas irmãs)primos entre si.

E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potenciação traçando ao sabor do momento e da paixão retas, curvas, círculos

e linhas sinoidaisnos jardins da quarta dimensão.

Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana e os exegetas do Universo Finito.

Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.

E enfim resolveram se casar constituir um lar, mais que um lar, um perpendicular.

Convidaram para padrinhos o Poliedro e a Bissetriz.

Poesia MatemáticaE fizeram planos, equações e diagramas para o futuro sonhando com uma

felicidade integral e diferencial.

E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos.

E foram felizes até aquele dia em que tudo vira afinal monotonia.

Foi então que surgiu O Máximo Divisor Comum freqüentador de círculos concêntricos,viciosos.

Ofereceu-lhe, a ela,uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominador comum.

Ele, Quociente, percebeu que com ela não formava mais um todo,uma unidade.

Era o triângulo, tanto chamado amoroso.

Desse problema ela era uma fração, a mais ordinária.

Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade e tudo que era espúrio passou a ser moralidade como aliás em qualquer sociedade.

Poesia Matemática de Millôr Fernandes

Auto-AvaliaçãoNesse trimestre meu rendimento escolar “matemático” não foi dos melhores.Tive e ainda tenho muitas dificuldades, e dúvidas na aprendizagem dasfunções polinomiais, tanto de 1º grau como a de 2º grau.Tenho indo nos estudos orientados de matemática para assim aprender mais,e isso já me ajuda bastante.Gostaria de novamente alcançar a média 7, pois, reconheço que não meesforcei o suficiente para alcançar mais. Mas, isso já está mudando, depois quelevei um susto ao ver minha nota.Pretendo tomar meus horários vagos à me dedicar em cumprir todas astarefas à fazer, principalmente as de matemática.Trimestre que vem vou apresentar o artigo científico, já tenho bastantes idéiase já comecei a ler o artigo sobre a energia.Me dedicarei mais e vou estar presente em todas as aulas extras dematemática.Sei que preciso melhorar e tenho absoluta certeza que vou me esforçar paraisso.

Turma, Informática- manhãVou levar pra sempre uma

lembrança de cada um.Adoro-os ♥

Conclusão

O meu portfólio ficou bem simples, coloquei o que achei de mais importante nesse trimestre e algumas coisas que ao passar dos dias gostei como curiosidades, a poesia e o exercício favorito.

Mensagem final

Ninguém pode ser perfeito.

Mas todos podem ser melhores.

Bob Esponja