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Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
PUC/SP
Patrícia de Souza Ferreira da Cruz
Pensamento Algébrico e os Significados do Sinal de Igualdade: O Uso da
Oralidade e da Narrativa nas Aulas de Matemática
Mestrado em Educação Matemática
São Paulo - SP
2016
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
PUC/SP
PATRÍCIA DE SOUZA FERREIRA DA CRUZ
Pensamento Algébrico e os Significados do Sinal de Igualdade: O Uso da
Oralidade e da Narrativa nas Aulas de Matemática
Dissertação apresentado à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Prof.ª Dr.ª Barbara Lutaif Bianchini.
São Paulo - SP
2016
Banca Examinadora
__________________________
__________________________
__________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocópias ou eletrônicos. Assinatura:______________________________ Local e Data:__________________________
Dedicatória
A meus pais Maria Helena (in memoriam) e José, meu marido Gilberto e filhos
Giovanna, Rafaella e Matheus.
Meu carinho!
À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo por ter concedido bolsa de
estudos por meio do Programa de Bolsa Mestrado e Doutorado, sem a qual não
poderia ter iniciado o curso de Mestrado entre fevereiro de 2014 e janeiro de 2015.
À CAPES, por financiar a segunda metade do curso de Mestrado por meio da bolsa-
taxa, a partir de fevereiro de 2015.
Agradecimentos
A meus pais, por me ensinarem os verdadeiros valores da vida e por serem um
exemplo para todos, sobretudo a meu pai, que cuidou com tanta dedicação de
minha mãe até o final, acreditou em mim, incentivando-me e sempre me auxiliou.
A meus filhos e marido pela paciência e compreensão nos momentos em que
precisei me ausentar para a realização desta pesquisa.
A minha sogra, por cuidar de meus filhos em minhas ausências.
À querida Marli, pelas longas conversas, conselhos e por acreditar em mim.
A meus colegas do GPEA, pelas contribuições.
A meus colegas Luciane, Douglas, Priscila e Ivô, pelas conversas que me auxiliaram
a refletir em minha prática profissional e sobre o tema deste estudo.
Aos professores do PEPG em Educação Matemática da PUC/SP, em especial, Prof.
Dr. Benedito Antonio da Silva e Prof.ª Dra Célia Maria Carolino Pires,que tive o
privilégio de ser aluna e contribuíram tanto em minha trajetória acadêmica.
À minha orientadora Prof.ª Dra Bárbara Lutaif Bianchini, pela paciência, confiança e
orientações.
Às Prof.ª Dra Maria do Carmo de Souza e Prof.ª Dra Renata Rossini que gentilmente
aceitaram fazer parte da banca examinadora e que contribuíram com importantes
sugestões na realização desta pesquisa.
CRUZ, Patrícia de Souza Ferreira da. Pensamento Algébrico e os Significados do Sinal de Igualdade: O Uso da Oralidade e da Narrativa nas Aulas de Matemática. 115p. Mestrado em Educação Matemática. PUC/SP. São Paulo. 2016.
RESUMO
Este estudo tem como objetivo compreender e analisar de que forma a
comunicação, o aluno explicando como pensou para resolver a atividade na aula de
matemática poderá contribuir para o desenvolvimento do pensamento algébrico.
Para tanto, buscamos indícios do desenvolvimento de alguns elementos do
pensamento algébrico que podem ser atribuídos à compreensão do sinal de
igualdade com o sentido de equivalência. Para nortear este estudo formulamos a
seguinte questão de pesquisa: De que forma a comunicação na aula de
matemática poderá contribuir para a construção do pensamento algébrico?
Para realizar esta investigação de natureza qualitativa interpretativa, foi
desenvolvida uma sequência de atividades fundamentadas nos pressupostos da
Teoria das Situações Didáticas e dos Registros de Representação Semiótica, com
alunos do 7º ano de uma escola estadual, localizada em um bairro tradicional da
cidade de São Paulo. Os alunos foram colocados em situação de comunicação para
que pudessem agir, formular suas conjecturas e validar suas hipóteses. Em um
primeiro momento, os alunos em duplas resolveram as atividades produzindo um
sentido coletivo ao sinal de igualdade e comunicaram suas ideias, por meio da
escrita e da oralidade. Após esse primeiro momento, as duplas foram trocadas para
que pudessem validar suas respostas ou produzir um novo sentido ao sinal de
igualdade. A coleta de dados foi realizada por meio de gravações de áudio, vídeo e
algumas observações escritas em diário de campo. Para a análise, fez-se a
transcrição de alguns dos diálogos dos alunos com o intuito de identificar: (i) os
diferentes significados do sinal de igualdade apresentados pelos alunos e de que
modo podem interferir no desenvolvimento do pensamento algébrico; (ii) as
contribuições para o desenvolvimento do pensamento algébrico atribuídas à
interação, comunicação, com o colega; (iii) o registro da língua natural, como um
primeiro registro de representação semiótica da igualdade e a articulação com os
outros registros de representação semiótica. A partir destas análises, pudemos
constatar o desenvolvimento do pensamento relacional e do pensamento algébrico,
que foram facilitados pela comunicação entre os alunos e a negociação de
significados. A maior parte dos alunos, a princípio, evidenciou o significado do sinal
de igualdade como operador, ou seja, logo após o sinal de igualdade deveria estar
escrito o resultado da operação localizada, antes do sinal de igualdade. Os alunos
que mostraram o significado do sinal como operador, apresentaram dificuldade para
resolver as atividades e, em alguns momentos, ficaram sem saber como concluir a
atividade proposta. Em alguns casos, observamos que os alunos, em um primeiro
momento, evidenciaram o significado operacional, mas, com a interação com o
colega e com a atividade, conseguiram mobilizar os conhecimentos necessários
para atribuir um novo sentido ao sinal de igualdade como equivalência. Estes
últimos, conseguiram resolver as atividades de modo a deixar as sentenças
verdadeiras. A comunicação na aula de Matemática pode contribuir para que os
alunos produzam sentido de equivalência do sinal de igualdade facilitando o
desenvolvimento do pensamento algébrico, destacando-se o importante papel do
professor, como mediador dessa interação.
Palavras-chave: Educação Algébrica; Comunicação na aula; Oralidade na aula;
Sinal de igualdade; Pensamento Algébrico.
CRUZ, Patricia de Souza Ferreira da. Algebraic thinking and the meanings of
equal sign: the use of Orality and Storytelling in the math classes. 115p.
PUC/SP. São Paulo. 2016.
ABSTRACT
This study aims to understand and analyze how the communication, the
student explaining how thought to solve the activity in math class you will be able to
contribute to the development of algebraic thinking. To this end, we look for evidence
of the development of some elements of algebraic thinking that can be attributed to
the understanding of the equal sign with the sense of equivalence. To guide this
study have formulated the following research question: how communication in math
class you will be able to contribute to the construction of algebraic thinking? To
perform this qualitative interpretive research, developed a string of activities based
on the assumptions of the theory of Didactic Situations and records of Semiotic
Representation, with 7th grade students of a State school, located in a traditional
neighbourhood in the city of São Paulo. The students were placed in a situation of
communication so that they could act, formulate their conjectures and validate their
hypotheses. At first, the students in pairs decided activities producing a collective
sense the equal sign and communicated their ideas through writing and orality. After
that first time, the teams were swapped so that they could validate their responses or
produce a new sense to the equal sign. The data were collected by means of audio
recordings, video and some written observations in field journal. For the analysis, the
transcript of some of the students ' dialogues in order to identify: (i) the different
meanings of equal sign presented by the students and how it can interfere in the
development of algebraic thinking; (ii) contributions to the development of algebraic
thought attributed to interaction, communication, with fellow; (iii) the record of the
natural language, as a first record of semiotics of equal representation and liaison
with the other records of semiotic representation. From these analyses, we have
seen the development of relational thinking and algebraic thinking, which were
facilitated by communication between the students and the negotiation of meanings.
Most of the students, at first, the meaning of the equal sign as an operator, that is,
immediately after the equal sign should be writing the result of the operation, before
the equal sign. Students who showed the significance of the sign as an operator,
presented difficulty to address activities and, at times, were not knowing how to
complete the proposed activity. In some cases, we observe that students, at first,
showed the operational meaning, but, with the interaction with the partner and with
the activity, managed to mobilise the expertise to assign a new sense to the equal
sign as equivalence. The latter has overcome the activities so as to leave the
sentences true. Communication in math class can help students produce sense of
equivalence of the equal sign by facilitating the development of algebraic thinking,
emphasizing the important role of the teacher, as a mediator of this interaction.
Keywords: Algebraic Education; Communication in class; Orality in class; Equal
sign; Algebraic Thinking.
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 ............................................................................................................. 15
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 15
CAPÍTULO 2 ............................................................................................................. 29
REFERENCIAL TEÓRICO........................................................................................ 29
2.1 Registros de Representação semiótica .......................................................... 29
2.2 Teoria das Situações Didáticas ....................................................................... 35
2.3 Sentidos e Significados................................................................................... 37
CAPÍTULO 3 ............................................................................................................. 42
REVISÃO DA LITERATURA .................................................................................... 42
3.1 Comunicação na aula de Matemática ............................................................. 42
3.2 O pensamento algébrico ................................................................................. 49
3.3 Estudo sobre a igualdade ............................................................................... 58
CAPÍTULO 4 ............................................................................................................. 66
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ................................................................. 66
4.1 Metodologia de pesquisa ................................................................................ 66
4.2 A escola e os alunos ....................................................................................... 67
CAPÍTULO 5 ............................................................................................................. 69
O ESTUDO E APLICAÇÃO DO INSTRUMENTO PILOTO ...................................... 69
5.1 Análise prévia das atividades ......................................................................... 70
5.1.1 Atividade 1 .......................................................................................... 70
5.1.2 Atividade 2 .......................................................................................... 72
5.1.3 Atividade 3 .......................................................................................... 73
5.1.4 Atividade 4 .......................................................................................... 75
5.2 Análise do Piloto e Apresentação dos dados .................................................. 77
5.3 Análise e Apresentação dos dados da Pesquisa de Campo .......................... 86
5.3.1 Análise da resolução da atividade 1 ...................................................... 87
5.3.2 Análise da resolução da atividade 2 ...................................................... 90
5.3.3 Análise da resolução da atividade 3 ...................................................... 93
5.3.4 Análise da resolução da atividade 4 ...................................................... 98
5.3.5 Análise das resoluções após a troca das duplas ................................. 100
5.3.5 Síntese dos resultados obtidos ............................................................ 104
CAPÍTULO 6 ........................................................................................................... 110
CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 110
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 117
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Histórias com Matemática, Menezes et al. (2009) ................................................. 17
Figura 2: Atividade do Caderno do Aluno ............................................................................. 20
Figura 3: Aluna desenhando palitinhos e a tabuada do 3 ..................................................... 20
Figura 4: Instruções do rótulo do Leite Ninho ....................................................................... 41
Figura 5: Atividade aplicada na pesquisa de Mestre e Oliveira (2008) ................................. 64
Figura 6: Protocolo da atividade 1 da dupla 1 Felícia e Bruna ............................................. 78
Figura 7: Protocolo da atividade 2 da dupla 1 Bruna e Felícia ............................................. 79
Figura 8: Protocolo da atividade 2 da dupla 2 Gisele e Giovanna ........................................ 80
Figura 9: Representação da igualdade pela aluna Felícia .................................................... 81
Figura 10: Protocolo da atividade 3 dupla 1 Bruna e Felícia (após a troca das duplas) ........ 83
Figura 11: Protocolo da atividade 3 da dupla 2 Gisele e Giovanna - Registro em Tabela .... 84
Figura 12: Protocolo da atividade 3 da dupla1 Felícia e Bruna - Registro em Tabela........... 84
Figura 13: Protocolo da atividade 1 dupla 3 Helena e Bianca .............................................. 88
Figura 14: Protocolo da atividade 1 da dupla 4 Raul e Yara................................................. 90
Figura 15: Protocolo da atividade 2 da dupla 3 Helena e Bianca ......................................... 92
Figura 16: Protocolo da atividade 3 da dupla 3 Helena e Bianca ......................................... 97
Figura 17: Protocolo da atividade 4 da dupla 3 Helena e Bianca ....................................... 100
Figura 18: Protocolo da atividade 1 dupla 4 Raul e Yara ................................................... 101
Figura 19: Protocolo da atividade 3 do aluno Raul após a troca das duplas ...................... 102
Lista de Quadros
Quadro 1: Diferentes tipos de Registros .............................................................................. 30
Quadro 2: Apresentação da relação de equivalência entre os números que podem ser
escritos dentro da estrela e do quadrado que tornam a sentença verdadeira ...................... 31
Quadro 3: Vertentes do Pensamento Algébrico ................................................................... 51
Quadro 4: Quadro síntese ................................................................................................. 105
15
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
Acredito que a escolha do tema desta pesquisa foi influenciada por minha
trajetória profissional. Comecei a lecionar na rede estadual paulista, como
professora de Matemática com apenas 18 anos. Na época, em 1993, eu cursava o
3º semestre do curso de graduação em Matemática e fui contratada como professor-
aluno em caráter excepcional. Aprendi muito ministrando aulas, lembro-me de que o
curso de graduação ajudava pouco no trabalho em sala de aula, às vezes, no
intervalo entre as aulas, pedia ajuda a uma professora do curso, após o término das
aulas. Em 1995, formei-me e, em seguida, cursei Complementação Pedagógica com
habilitação em Administração e Supervisão Escolar. Prestei concurso público, em
1998, e efetivei-me como professora de Matemática na rede estadual paulista.
Com a implementação do Regime de Progressão Continuada, que pode ser
definido como uma "metodologia pedagógica avançada por propor uma avaliação
constante, contínua e cumulativa, além de se basear na ideia de que reprovar o
aluno sucessivamente não contribui para melhorar seu aprendizado." (MENEZES e
SANTOS, 2001, p.1), comecei a buscar estratégias alternativas para fazer com que
meus alunos se interessassem pela Matemática sem a ameaça da reprovação.
Realizei vários cursos oferecidos pela Secretaria da Educação do Estado de
São Paulo sobre metodologias de ensino e aprendizagem. Finalmente, em 2013, um
curso me chamou atenção: MGME (Melhor Gestão Melhor Ensino), cursos on-line
por meio do AVA (Ambiente Virtual de Aprendizagem) oferecidos pela EFAP (Escola
de Formação e Aperfeiçoamento de Professores) da Secretaria da Educação do
Estado de São Paulo. O curso foi oferecido em duas partes e uma delas baseou-se
na dissertação de mestrado de Márcia de Oliveira Cruz (2006) "Construção da
identidade pessoal e do conhecimento: A narrativa no Ensino de Matemática."
orientada pelo Prof. Dr. Nílson José Machado. O que me chamou mais a atenção foi
o fato de como a narrativa pode dar significado à identidade pessoal e também aos
conteúdos matemáticos facilitando, assim, a aprendizagem.
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Nesse curso, também construímos um blog coletivo, com o objetivo de fazer o
professor cursista utilizar as várias ferramentas disponíveis na internet para
estimular a participação dos alunos nas aulas. O curso despertou-me a necessidade
de aprofundar meu conhecimento, pois a ideia de utilizar a narrativa de histórias de
Matemática atraiu-me muito. Comecei a trabalhar a leitura de textos sobre
Matemática e fiz uma parceria com a professora da sala de leitura que foi bem
interessante. No entanto, eu ainda sentia necessidade de aprofundar meus
conhecimentos do uso da narrativa, visando a aprendizagem do objeto matemático.
Ao ingressar no Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação
Matemática - Mestrado, inseri-me no Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica –
GPEA (grupo de pesquisa em Educação Algébrica), coordenado pela Prof.ª Dra.
Bárbara Lutaif Bianchini, minha orientadora. No grupo, tive contato com vários
projetos que vêm sendo desenvolvidos e interessei-me, a princípio, por um deles “A
aprendizagem de Álgebra com a utilização de ferramentas tecnológicas”, mas, após
alguns meses tendo aulas de Formação de Professores e Desenvolvimento
Curricular em Matemática e Tópicos de Matemática Básica comecei a estudar o
currículo, metodologia de ensino, o que é Educação Matemática e como ela concebe
o ensino de Matemática, percebi que o uso das tecnologias para auxiliar o ensino da
álgebra é importante e surte resultados, e que existem muitas pesquisas a respeito
do tema.
Refletindo sobre minha prática, comecei a me interessar mais pela oralidade
na aula de Matemática, pois percebi que meus alunos tinham muito interesse
quando eu utilizava a narrativa da história da Matemática para explicar algum
conceito. Um dos fatos que me fez mudar o tema de pesquisa, ocorreu em sala de
aula, quando percebi um aluno da 6ª série triste e desatento, decidi iniciar a aula
narrando à classe uma história que pesquisei na internet (Figura 1), que, de forma
interessante, trata sobre a importância do zero e o valor posicional.
17
Figura 1- Texto "A importância do zero" e ilustração
Fonte: Histórias com Matemática, Menezes et al. (2009)
18
Após ler a história para a classe percebi como meu aluno tinha mudado sua
postura. Parou de chorar e ficou atento, interessado em saber o que eu expliquei,
após a leitura, sobre o sistema de numeração decimal. Percebi como a narrativa
pode ajudar meus alunos a superar suas dificuldades. Concordo com Cruz (2006,
p.6), entendendo que "as dificuldades enfrentadas pela maior parte de nossos
alunos não são de ordem técnica, mas de ordem afetiva: quando alguém se dispõe à
aprender, os obstáculos, ainda que difíceis, podem ser superados". O fato fez com
que eu percebesse como a comunicação na aula de matemática é essencial,
comecei a buscar metodologias de ensino que utilizassem a narrativa e a oralidade
nas aulas de Matemática.
Comecei a pesquisar de que forma a narrativa e a oralidade podem contribuir
para o ensino da Matemática e encontrei os grupos colaborativos. Um deles, que me
chamou a atenção, foi o grupo de Sábado, no qual os professores de Educação
Básica, reúnem-se com mestrandos, doutorandos e professores da UNICAMP para
refletir sobre sua prática, discutir questões da sala de aula e aprendizagem de
Matemática. Achei interessante o trabalho desenvolvido com atividades de
investigação em sala de aula. O Grupo de Sábado possui várias publicações com a
narrativa de experiências em sala de aula, como por exemplo, o livro "Análise de
Narrativas de Aulas de Matemática". Nesse livro, os autores narram as análises "da
prática de ensinar aprender matemática na escola básica." (FIORENTINI et al.,
2013, p.11). No livro citado, Garnica (2009) apresenta que a narrativa propicia o
processo de atribuição de significado aos ouvintes ou leitores que produzem suas
próprias narrativas que também serão lidas e escutadas. Pensei se as narrativas
podem contribuir para que os participantes do Grupo de Sábado reflitam, produzam
e ressignifiquem saberes da atividade profissional, as narrativas também poderiam
contribuir para que meus alunos refletissem, produzissem e ressignificassem os
saberes matemáticos.
A partir daí, mudei minha estratégia de ensino. Comecei a fazer com que,
meus alunos da 8ª série de uma Escola Estadual em São Paulo, participassem mais
da aula, narrando como pensaram para resolver o problema, trabalhando em grupos
e individualmente. Dessa maneira, pude identificar que alguns alunos, ainda
utilizavam palitinhos para tentar resolver problemas, ou seja, conforme Piaget
(1978), ainda se encontravam no estágio operacional-concreto.
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Um exemplo dessa situação ocorreu com a aluna Camila1 de 14 anos da 8ª
série/9º ano, no 2º bimestre de 2014. Nessa série, um dos conteúdos previstos é a
equação polinomial de 2º grau; ao usar o material fornecido pela Secretária da
Educação do Estado de São Paulo, o Caderno do Aluno2, expliquei que eles
poderiam resolver algumas equações de 2º grau utilizando os conhecimentos que já
possuíam (equações de 1º grau e fatoração).
Na atividade do Caderno do Aluno Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
(SÃO PAULO, 2009, p. 58), em um dos itens, os alunos teriam de encontrar dois
números cuja soma resultava 11 e o produto menos 12 (Figura 2). Após certo tempo,
pedi para que alguns alunos apresentassem suas resoluções à classe, explicando
como pensaram para chegar a esse resultado. Quando chegou o momento da aluna
mencionada fazer sua apresentação, ela explicou que desenhou palitinhos para
poder contar e tentar chegar à resposta, disse ter percebido que precisaria saber a
tabuada e também escreveu a tabuada do 3 na mesa (Figura 3).
1 Nome fictício para preservar a identidade da aluna.
2 A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo propôs, em 2008, um currículo básico para as
escolas da rede estadual nos níveis de Ensino Fundamental (Ciclo II) e Ensino Médio. Com isso, pretendeu apoiar o trabalho realizado nas escolas estaduais e contribuir para a melhoria da qualidade das aprendizagens dos alunos [...] há um segundo conjunto de documentos, com orientações para a gestão do Currículo na escola. Intitulado Caderno do Gestor, dirige-se especialmente às unidades escolares e aos professores coordenadores, diretores, professores coordenadores das oficinas pedagógicas e supervisores [...]. O Currículo completa-se com um conjunto de documentos dirigidos, especialmente, aos professores e aos alunos: os Cadernos do Professor e do Aluno, organizados por disciplina/ série(ano)/bimestre.(SÃO PAULO, 2011, p.8)
20
Figura 2- Atividade do Caderno do Aluno
Figura 3 Aluna desenhando palitinhos e a tabuada do 3.
Fonte:Dados da Pesquisa
Fonte: São Paulo (2009), p.58
21
Mesmo após escrever os múltiplos de 3, a aluna não conseguiu resolver a
atividade, pois o produto 12 é o resultado de 3 vezes 4. Como os alunos estavam
resolvendo a atividade em grupo, um deles apontou que o 12 era negativo e que,
nesse caso, um dos fatores deveria ser negativo. Eles perceberam que 12 também é
o produto de 12 vezes 1 e que os dois números desconhecidos seriam -1 e 12.
A aluna Camila mostrou ter confiança não apenas nela, mas, sobretudo em
seus colegas de classe. Acredito que essa confiança possa ter sido propiciada
baseada na observação da participação dos outros alunos. Ela viu que seus colegas
considerados "melhores alunos" também podem errar e também se expõem ao falar
suas ideias. Na turma criou-se um ambiente de respeito, pois todos foram
convidados a falar e não obrigados. Muitas vezes, alguns alunos por acreditarem
que são inferiores ou menos inteligentes que seus colegas acabam inibindo-se ou
inquietando-se e param de participar da aula, perdem o interesse em aprender
Matemática.
A comunicação na aula, mediada pelo professor que acolhe e abre espaço
para seu aluno falar, permite que os alunos exponham seus erros e atribuam um
novo sentido ao objeto matemático. No item 2.3, faremos um estudo sobre o sentido
e o significado, de acordo com Vygotsky.
Com essa atividade, pude perceber que utilizando a oralidade na aula de
Matemática identifico as dificuldades dos alunos que não reconheceria em uma aula
tradicional, e que os alunos também percebem o erro e tentam ressignificar o
conceito. Percebi que, quando o aluno explica como ele pensou para resolver o
exercício aos colegas e ao professor, ele compreende melhor e seus colegas
também entendem (FREITAS; FIORENTINI, 2007). Desse modo, os alunos,
socializando suas resoluções, trocam as estratégias e dão significado ao que
resolveram.
Em junho de 2014, participei do Seminário IV “Aprendizagem e
Desenvolvimento Profissional de Professores de Matemática: algumas
possibilidades de pesquisa”, ministrado pelo Prof. Dr. Dario Fiorentini e promovido
pelo Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC/SP.
Em sua fala, o professor Dario narrou uma experiência pessoal ocorrida no início de
sua carreira, como professor universitário. Naquele ano, ele ministrava aulas em
uma turma que precisava de recuperação e pediu para que seus alunos explicassem
22
na lousa como resolveram os exercícios. O professor Dario comentou que precisou
mandar seus alunos revisarem suas resoluções algumas vezes, mas o fato deles
explicarem a resolução aos colegas fez com que conseguissem realmente aprender.
Eu me identifiquei muito com essa fala e percebi que estava no caminho certo.
Essa estratégia depende da disponibilidade do professor, que abre espaço
para seu aluno falar. O papel do professor estimulando a oralidade em sala de aula
com perguntas desafiadoras é essencial para maior participação dos alunos. Ele
pode evitar as perguntas que necessitam apenas da memória, para que os alunos
sintam-se motivados a buscar uma resposta (MENEZES, 1996).
Para que ocorra uma mudança de atitude nas aulas, a participação do aluno é
primordial, é necessário que haja uma mudança no contrato didático3. O professor
não pode mais ser visto, como o transmissor do conhecimento, mas, como o
mediador que auxilia na construção do conhecimento, criando um milieu4, em que
serão desenvolvidas atividades que poderão estimular a aprendizagem. O aluno
deve perceber que também é responsável pela aprendizagem e não pode apenas
ficar esperando o professor explicar.
Conforme Brousseau (2008), a aprendizagem ocorre quando o aluno aceita o
problema fornecido pelo professor e envolve-se na utilização de estratégias (ação),
troca informações (formulação), por escrito ou oralmente e expõe o que aprendeu,
podendo debater e validar sua resolução (validação) para que, depois, o professor
possa "concluir e institucionalizar o novo conhecimento", característica da Teoria das
Situações Didáticas (TSD) desenvolvida por Guy Brousseau (ALMOULOUD, 2007,
p.49).
Meu interesse principal na TSD5 é na dialética da formulação e validação, nas
quais os alunos devem expor as ferramentas utilizadas e debater as soluções
encontradas. Este é um grande desafio para o professor que, muitas vezes, está
acostumado a apresentar o conteúdo com exemplos a serem seguidos.
3 O contrato didático de Guy Brousseau é o conjunto de cláusulas, que estabelecem as bases das
relações que os professores e os alunos mantêm com o saber. (SILVA, 1999, p.43). 4 A noção de milieu foi introduzida por Brousseau para analisar, de um lado, as relações entre os
alunos, os conhecimentos ou saberes e as situações e, por outro lado, as relações entre os próprios conhecimentos e entre as situações (ALMOULOUD, 2007, p.42). 5 Teoria das Situações Didáticas desenvolvida por Guy Brousseau (2008).
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Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN) (BRASIL,1998),
PCN, quando abordam a construção da cidadania, trazem uma reflexão sobre as
possíveis contribuições da Matemática "à formação do cidadão ao desenvolver
metodologias que enfatizem a construção de estratégias, a comprovação e
justificativa de resultados, a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo e a
autonomia advinda da confiança na própria capacidade para enfrentar desafios"
(BRASIL, 1998, p.27).
Nesse sentido, as atividades trabalhadas na TSD podem desenvolver essa
autonomia, que é proposta nos PCN, já que os alunos são estimulados a construir
estratégias (ação), a formulação e a validação de suas soluções.
Também nos PCN (BRASIL, 1998, p.48) são propostos objetivos para o
Ensino Fundamental em que, entre outros, aluno seja capaz de "comunicar-se
matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com
precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e
estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas". Ao
propor mudanças nos objetivos para o ensino fundamental, no modo de conceber a
aprendizagem também traz novas propostas para a avaliação
[...] é preciso repensar certas ideias que predominam sobre o significado da avaliação em Matemática, ou seja, as que concebem como prioritário avaliar apenas se os alunos memorizam as regras e esquemas, não verificando a compreensão dos conceitos, o desenvolvimento de atitudes e procedimentos e a criatividade nas soluções, que, por sua vez, se refletem nas possibilidades de enfrentar situações-problema e resolvê-las. [...] novas funções são indicadas à avaliação, na qual se destacam uma dimensão social e uma dimensão pedagógica [...] os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação, sejam eles provas, trabalhos, registros das atitudes dos alunos, forneçam ao professor informações sobre as competências de cada aluno em resolver problemas, em utilizar a linguagem matemática adequadamente para comunicar suas ideias, em desenvolver raciocínios e análises e em integrar todos esses aspectos no seu conhecimento matemático (BRASIL, 1998, p.54).
Outro documento oficial, o Currículo do Estado de São Paulo Matemática e
suas Tecnologias (SÃO PAULO, 2011), apoiado nas ideias da elaboração do Exame
Nacional do Ensino Médio (ENEM), aponta três eixos norteadores da educação que
estão incluídos no rol de competências básicas que devem ser desenvolvidas pelos
alunos, são eles:
24
• o eixo expressão/compreensão: a capacidade de expressão do eu, por meio das diversas linguagens, e a capacidade de compreensão do outro, do não eu, do que me complementa, o que inclui desde a leitura de um texto, de uma tabela, de um gráfico, até a compreensão de fenômenos históricos, sociais, econômicos, naturais, etc.; • o eixo argumentação/decisão: a capacidade de argumentação, de análise e de articulação das informações e relações disponíveis, tendo em vista a viabilização da comunicação, da ação comum, a construção de consensos e a capacidade de elaboração de sínteses de leituras e de argumentações, tendo em vista a tomada de decisões, a proposição e a realização de ações efetivas; • o eixo contextualização/abstração: a capacidade de contextualização dos conteúdos estudados na escola, de enraizamento na realidade imediata, nos universos de significações – sobretudo no mundo do trabalho –, e a capacidade de abstração, de imaginação, de consideração de novas perspectivas, de virtualidades, de potencialidades para se conceber o que ainda não existe (SÃO PAULO, 2011, p. 31-32).
Conforme o referido documento, o papel fundamental da matemática pode ser
percebido apoiado nos três eixos norteadores. No primeiro eixo, a Matemática e a
língua materna complementam-se e formam um meio capaz de expressar e
compreender o mundo. No segundo eixo, argumentação/decisão, a matemática e a
língua materna desenvolvem o raciocínio e a Matemática tem importante papel no
desenvolvimento da tomada de decisão. A resolução de problemas é mais nítida na
Matemática, na qual se inicia e, posteriormente, auxilia outras disciplinas. No terceiro
eixo, o documento apresenta que a Matemática é privilegiada para aprender a lidar
com abstrações.
Ainda, conforme o Currículo do Estado de São Paulo, as disciplinas devem
ser apresentadas aos alunos com significado, pois compreender o significado é mais
importante do que entender para que serve, pois a "utilidade prática nem sempre
pode ser associada ao que se ensina". E propõe que as narrativas são norteadoras
para a construção de significados, já que é "contando histórias que os significados
são construídos" (SÃO PAULO, 2011, p.45).
Como nosso interesse é tentar diminuir as dificuldades na aprendizagem de
álgebra pelos alunos do Ensino Fundamental II decidimos, eu e minha orientadora,
que iríamos pesquisar de que maneira a comunicação pode auxiliar no
desenvolvimento do pensamento algébrico, que é um tipo especial de pensamento
que, de acordo com Lee (2001, apud FIGUEIREDO, 2007) pode ser desenvolvido
por meio de atividades que levem o aluno a: "- Raciocinar sobre padrões;-
Generalizar ou pensar em termos do geral, vendo o geral no particular; - Controlar
mentalmente o ainda desconhecido; inverter e tornar a inverter operações; - Pensar
25
sobre conexões na Matemática em vez de objetos matemáticos." (LEE, 2001 apud
FIGUEIREDO, 2007, p.60-61).
De acordo com Lee (2001), retirado de Figueiredo (2007), quando a
aprendizagem da álgebra é iniciada, como uma linguagem, essa aprendizagem,
geralmente, não tem êxito, sobretudo quando os alunos ainda não conseguem
pensar algebricamente. Esse tema será abordado novamente mais adiante no
capítulo 3. Portanto, os alunos podem enfrentar dificuldade na aprendizagem de
Álgebra, pois não possuem o pensamento algébrico desenvolvido. Nesse sentido
procurei elaborar atividades que levassem o aluno a pensar em termos do geral para
a realização desta pesquisa.
Em atividades desenvolvidas pelo GPEA, constatei que, em pesquisas como
as de Ponte; Branco e Matos (2009) e Hamazaki (2010) sobre a construção do
pensamento algébrico, é evidenciada a importância dessa construção ser iniciada a
partir dos primeiros anos de escolaridade. Atividades de identificação de padrões,
em sequências numéricas ou em figuras, estimulam o desenvolvimento do
pensamento algébrico e devem ser trabalhadas desde cedo. De acordo com Vale e
Pimentel (2015), o trabalho com padrões pode ser considerado como transversal no
ensino da Matemática escolar, pois viabiliza diversidade de conexões e
profundidade com todos os tópicos da Matemática. De acordo com Lee (2001) apud
Figueiredo (2007), as atividades com padrões são uma boa opção para desenvolver
o pensamento algébrico em alunos de diferentes níveis, pois esse tipo de atividade
propicia que os alunos identifiquem os padrões e possam enunciar, oralmente ou por
escrito, suas observações.
Em sua pesquisa, Alvarenga e Vale (2007, p.29) constataram pesquisa que
as atividades de padrões desenvolvidas estimularam a compreensão, identificação e
construção de padrões e ainda, possibilitaram a comunicação desses padrões entre
os alunos que desenvolveram "seu poder matemático". Os autores citados
observaram que, após a identificação dos padrões, quando os alunos elaboraram a
generalização, utilizaram de forma compreensiva ou implicitamente alguns conceitos
de variáveis e de relações entre essas variáveis, que são elementos importantes
para o desenvolvimento do pensamento algébrico.
Hamazaki (2010, p.37) baseada em Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005)
destaca que o desenvolvimento do pensamento algébrico favorece que o aluno
26
"perceba e tente expressar relações entre as representações numéricas pertinentes
a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico,
produza mais de um modelo aritmético/algébrico ou geométrico para uma situação-
problema, desenvolva algum tipo de processo de generalização".
Ensinar álgebra vai muito além da memorização "ensino de matemática
mecanicista" de produtos notáveis ou da resolução de listas de exercícios de
equações, seguindo um exemplo dado pelo professor (NACARATO, 2012, p.11).
De acordo com os PCN (BRASIL, 1998, p.64), o ensino de Matemática para o
terceiro ciclo deve visar, entre outros, ao desenvolvimento:
Do pensamento algébrico, por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a: * reconhecer que representações algébricas permitem expressar generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema e favorecer as possíveis soluções; * traduzir informações contidas em tabelas e gráficos em linguagem algébrica e vice-versa, generalizando regularidades e identificar os significados das letras; * utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico. (BRASIL, 1998, p.64)
É, portanto, no terceiro ciclo que os alunos têm o primeiro contato com a
linguagem algébrica na escola; no entanto, o desenvolvimento do pensamento
algébrico pode ser iniciado antes, com atividades de identificação de padrões, em
sequências numéricas ou em figuras, nas quais alguns elementos característicos do
pensamento algébrico podem ser estimulados, como generalização e a construção e
utilização de expressões algébricas.
No decorrer do trabalho com os números, é fundamental estudar algumas relações funcionais pela exploração de padrões em sequências numéricas que levem os alunos a fazer algumas generalizações e compreender, por um processo de aproximações sucessivas, a natureza das representações algébricas. A construção dessas generalizações e de suas respectivas representações permite a exploração das primeiras noções de álgebra. (BRASIL, 1998, p.68)
De acordo com Ribeiro e Trivilin (2015), algumas das dificuldades
apresentadas pelos alunos na passagem da aritmética para a álgebra, sobretudo na
aprendizagem das equações, é o fato dos alunos possuírem uma concepção
limitada dos significados do sinal de igualdade. Existe uma separação entre
aritmética e álgebra, que é apresentada nos currículos escolares e, conforme os
autores supracitados, é necessária a realização de um trabalho no qual os alunos
27
possam desenvolver diferentes habilidades para reconhecer os significados do sinal
de igualdade.
Ribeiro e Trivilin (2015) salientam que, para Cai e Monyer (2007) esse
trabalho de pensar maneiras particulares, as interligações entre a aritmética e a
álgebra, pode contribuir com o desenvolvimento do pensamento algébrico.
Nesse sentido, a partir dos estudos realizados sobre o desenvolvimento do
pensamento algébrico em Lee (2001) e Alvarenga e Vale (2007) procuramos
elaborar atividades que levem o aluno a pensar em generalizar. Em pesquisas como
a de Ribeiro e Trivilin (2015), observamos a necessidade de identificar os
significados que os alunos atribuem ao sinal de igualdade. Para tanto, foram
elaboradas atividades nas quais os alunos deviam evidenciar o significado do sinal
de igualdade construído antes e após a realização da sequência de atividades. Os
alunos foram colocados em situação de comunicação para que pudessem formular
suas conjecturas e validar suas hipóteses. Os diálogos dos alunos foram analisados
com o objetivo de identificar de que maneira a comunicação pode auxiliar no
desenvolvimento do pensamento algébrico por meio de atividades que exijam
diferentes significados do sinal de igualdade.
Desse modo, a presente pesquisa foi realizada com uma turma de 7º ano de
uma escola da rede estadual paulista, na qual as estratégias usadas pelos alunos
foram registrada por meio de gravações de áudio, vídeo e registros em diário de
campo.
Assim, buscamos responder à seguinte questão de pesquisa: De que forma a
comunicação na aula de matemática poderá contribuir para a construção do
pensamento algébrico?
Para nortear a presente pesquisa, foram formuladas as seguintes questões:
a. Tendo em vista as dificuldades na aprendizagem de Álgebra apontadas
na literatura, de que modo a comunicação entre os alunos pode minimizar essas
dificuldades?
b. Quais contribuições atribuídas às interações podem auxiliar no
desenvolvimento do pensamento algébrico?
28
c. Como a oralidade na aula de matemática pode contribuir para a
construção do pensamento algébrico, por meio de experiências na resolução de
atividades que exijam a ressignificação do sinal de igualdade?
Para tanto foram elencados como referenciais teóricos, no Capítulo 2 para
fundamentar a pesquisa: a Teoria das Situações Didáticas de Brousseau (2008); os
Registros de Representação Semiótica de Duval (2003) e o Sentido e Significado de
Vygotsky (2008).
No Capítulo 3, a Revisão da Literatura para buscar e analisar as pesquisas
correlatas em Educação Matemática, sobre comunicação na aula de Matemática, o
pensamento algébrico e o sinal de igualdade.
No Capítulo 4, Procedimentos Metodológicos, a metodologia da pesquisa
escolhida e os critérios utilizados para a coleta de dados, são apresentados, bem
como uma descrição da escola e dos alunos, justificando essa escolha.
O Capítulo 5, aborda o objetivo, a apresentação e a análise de cada atividade
da sequência de atividades realizada na aplicação do instrumento piloto, a Pesquisa
Experimental e sua análise.
Para finalizar no Capítulo 6, serão apresentadas as considerações finais, nas
quais será realizada uma retomada das ideias principais e objetivo procurando
responder à questão de pesquisa, sugerindo novas pesquisas sobre o tema.
29
CAPÍTULO 2
REFERENCIAL TEÓRICO
As análises da pesquisa experimental, tanto o instrumento piloto como a de
campo são embasadas nos seguintes referenciais teóricos: A Teoria das Situações
Didáticas de Brousseau para analisar a Situação de Comunicação e sua relação
com a aprendizagem; os Registros de Representação Semiótica de Duval, pois os
diferentes significados do sinal de igualdade, que serão abordados no capítulo 3,
possibilitam diferentes tipos de registro de representação por parte dos alunos como:
registro na língua natural, numérico, em tabela e registro algébrico, motivo pelo qual
esta teoria é uma opção adequada para embasar as análises. A seguir será
apresentada uma síntese das principais características de cada uma delas e como
se relacionam com a presente pesquisa.
2.1 Registros de Representação Semiótica
Neste trabalho, foram analisados o pensamento algébrico evidenciado pelos
alunos e os significados que eles atribuem ao sinal de igualdade. Com relação ao
significado do sinal de igualdade, também foi analisado o pensamento relacional
evidenciado, procurando indícios do desenvolvimento do pensamento algébrico com
base no desenvolvimento do primeiro. O pensamento relacional é, de acordo com
Carpenter et al. (2003) apud Mestre e Oliveira (2008), a capacidade de perceber as
relações existentes entre as expressões numéricas localizadas nos dois membros
do sinal de igualdade. O pensamento relacional é portanto um entre os vários
elementos caracterizadores do pensamento algébrico.
O objeto matemático não pode ser visualizado por meio de instrumentos,
como microscópios ou telescópios. Nesse sentido, tudo o que observamos em
Matemática é um registro de representação semiótica do objeto matemático. Neste
trabalho, alunos utilizaram diferentes tipos de registros de representação semiótica
para representar a igualdade, o que permitiu que fizessem conversões entre os
diferentes registros. Duval (2003) apresenta o registro da língua natural, como um
30
primeiro registro de representação semiótica e mostra quatro tipos diferentes de
registros de representação que caracterizam a atividade matemática que são,
conforme os dados do quadro 1 a seguir:
Fonte: DUVAL (2003, p. 14)
Duval (2003) considera, para que o aluno não confunda o objeto matemático
com sua representação, necessário que ele consiga representar esse objeto com,
pelo menos, dois registros diferentes. Para tanto, o autor nos apresenta dois tipos de
transformações que podem ser realizadas nos registros de representação semiótica:
-Tratamento: transformações dentro de um mesmo registro. Por exemplo,
nesta pesquisa, quando o aluno manipular as expressões numéricas nos dois
membros do sinal de igualdade procurando equivalência entre elas, as
transformações (tratamento) permanecem no mesmo registro numérico.
-Conversões: são transformações em que ocorre mudança de registro, ou
seja, muda uma representação de um tipo de registro para um outro registro
diferente. Por exemplo, nesta pesquisa converter do registro da língua natural para
o registro numérico, ou registro numérico para um registro algébrico (equação).
Quadro 1 -Diferentes tipos de Registros
Representação Discursiva
Representação Não Discursiva
Registros Multifuncionais Os tratamentos não são algoritmizáveis.
Língua natural Associações verbais (conceituais). Formas de raciocinar: -argumentação a partir de observações, de crenças...; -dedução válida a partir de definição ou de teoremas.
Figuras geométricas planas ou em perspectivas (configurações em dimensão 0, 1, 2 ou 3). -apreensão operatória e não somente perceptiva; -construção com instrumentos.
Registros Monofuncionais Os tratamentos são principalmente algoritmos.
Sistemas de escritas -numéricas (binária, decimal, fracionária...); -algébricas; -simbólicas (línguas formais). Cálculo
Gráficos cartesianos -mudanças de sistemas de coordenadas; -interpolação, extrapolação.
31
Nesta pesquisa, veremos um exemplo de tratamento, que é o seguinte: os
alunos deverão completar a sentença com números inteiros de modo
que ela se torne verdadeira. Para completar a sentença, eles poderão utilizar o
registro da língua natural oralmente ou escrevendo a seu colega. Ele pode dizer
"quinze mais qual número é igual a dezoito mais um outro número", e o poderia
realizar o tratamento no registro da língua natural completando a sentença com
números, por exemplo "quinze mais três é igual a dezoito mais zero".
Os alunos podem ainda apresentar outro tipo de transformação, a conversão
entre registros de representação semiótica. Na conversão, os alunos representam o
mesmo objeto matemático, no caso desta pesquisa, a igualdade entre as duas
sentenças, utilizando outro tipo de registro, por exemplo, o registro da língua natural
e realizar a conversão para o registro numérico. Outro caso de conversão poderá ser
o seguinte: o registro numérico poderia ser o registro de partida, por exemplo,
15+3=18+0 e realizando tratamento no registro numérico poderia obter 15+4=18+1,
15+5=18+2, 15-1=18-4, etc. Na tentativa de organizar o registro numérico, os alunos
podem realizar a conversão para o registro em tabelas que seria o registro de
chegada, como representado nos dados do quadro abaixo:
Quadro 2 - Apresentação da relação de equivalência entre os números que podem ser
escritos dentro da estrela e do quadrado que tornam a sentença verdadeira
15+ 18+
3 0
4 1
-1 -4 Fonte: Elaborado pela pesquisadora
Ou ainda, os alunos ao perceberem a relação que existe entre os dois
números procurados, poderiam escrever uma sentença que generalize essa relação.
Por exemplo, a relação que existe entre os dois números desconhecidos para que a
sentença seja verdadeira é que o primeiro número precisa ser sempre três unidades
a mais que o segundo. Portanto, poderiam utilizar um registro algébrico, tal como
A=3+B. A referida atividade é a terceira da sequência proposta e requer um salto
conceitual em relação às duas anteriores, pois os alunos precisariam perceber a
relação existente entre as duas variáveis.
32
Na entrevista concedida à Freitas e Rezende (2013), Duval destaca a
diferença entre o compreender matematicamente e compreender do ponto de vista
cognitivo, que não basta justificar um resultado, mas, sim, ser capaz de reconhecer
o mesmo objeto matemático com diferentes tipos de registros os quais, muitas
vezes, têm conteúdos diferentes.
Compreender, do ponto de vista matemático, é ser capaz de justificar um resultado por meio de uma propriedade. Mas, do ponto de vista cognitivo, é primeiro reconhecer o mesmo objeto em diferentes representações semióticas que podem ser feitas a partir dele, cujos conteúdos não têm nada em comum. E isso significa pensar de forma espontânea, e por si só, em substituir uma dada representação semiótica por outra representação semiótica útil para um tratamento. Este aspecto é crucial para resolver qualquer problema (FREITAS; REZENDE, 2013, p.20).
Nessa entrevista, Duval destaca ainda a diferença entre o sucesso e as
dificuldades. Do ponto de vista cognitivo, o sucesso é o aluno ser capaz de utilizar
conhecimentos adquiridos em outras fases ou épocas para resolver um problema
que ele nunca tinha visto. No entanto, a avaliação desse sucesso é muito mais
demorada e poderá transcorrer por anos e continuar após o percurso escolar.
Com relação às dificuldades, Duval (FREITAS; REZENDE, 2013, p.21)
apresenta dois tipos de erros (i) transitórios e específicos; (ii) transversais. Os erros
transitórios podem ocorrer na introdução de um novo conceito, esse tipo de erro é
pontual. Já os erros transversais, "ressurgem sistematicamente e independente do
conteúdo matemático a mobilizar".
De acordo com Duval os erros transversais bloqueiam qualquer tipo de
progresso e, muitas vezes, essas dificuldades profundas não permitem que os
alunos avancem a aprendizagem em Matemática, que é analisada, como se fosse
apenas transitória, mas, na realidade "não decorrem apenas de uma deficiência na
aquisição de conceitos, mas, de um desconhecimento total dos gestos intelectuais,
quer dizer, de operações semicognitivas que são próprias da atividade Matemática"
O domínio desses gestos intelectuais se manifesta, no sujeito, por meio de iniciativas de exploração e de pesquisa diante de um problema, por um
33
autocontrole da pertinência matemática do que ele faz e por uma certa espontaneidade de transferir conhecimentos à novas situações. Isto significa o desenvolvimento de uma verdadeira autonomia intelectual nas atividades matemáticas e na resolução de problemas. Do ponto de vista psicológico, isso significa que o aluno adquire confiança em si mesmo. (FREITAS; REZENDE, 2013, p.21)
Para Duval (2003), a atividade de conversão é uma atividade de
transformação fundamental que conduz aos mecanismos de compreensão. O autor
destaca que a conversão deve ser tratada do ponto de vista cognitivo e não apenas
matemático.
De acordo com Duval (2003), as conversões podem ser congruentes ou não
congruentes. A congruência indica a ocorrência da representação inicial ser mais ou
menos "transparente" em relação à representação final, ou seja, quando as
conversões são congruentes consegue-se perceber o registro final a partir do
registro inicial. As conversões requeridas não congruentes são as mais difíceis, e os
bloqueios mais fortes por haver dificuldade do reconhecimento do mesmo objeto
matemático, em duas de suas representações diferentes, por parte dos alunos. A
compreensão em Matemática implica a capacidade de mudança de registro.
O primeiro registro na língua natural pressupõe, segundo Duval (2003, p.14)
"argumentação a partir de observações". Nesse sentido, também será analisada a
argumentação dos alunos e seus diálogos, sendo evidenciada a importância de
adotarmos também a Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau.
Na entrevista concedida, Duval destaca que devemos encarar o ensino de
Matemática do ponto de vista cognitivo e não apenas centrado na Matemática,
muitas vezes, os alunos conseguem, momentaneamente, ter sucesso em uma prova
de Matemática, pois conseguiram decorar um algoritmo, por exemplo. Mas,
cognitivamente, quando é requerida uma mudança de registro do mesmo objeto
matemático, o aluno fica impossibilitado de resolver o problema.
Para olhar as atividades matemáticas do ponto de vista dos próprios alunos, não se deve limitar ao objetivo local da introdução de um conceito particular de um nível de ensino particular. Ao contrário, é preciso olhar para as reações e as produções dos alunos durante períodos de tempo mais longos e em diferentes níveis de ensino. É assim que aparecem, como numa vista aérea, os vestígios enterrados no solo, esses erros ou bloqueios que permanecem os mesmos, independente dos conhecimentos matemáticos introduzidos. E de um
34
ano para o outro, eles se tornam os portais cada vez mais intransponíveis para os alunos, pelo menos enquanto o ensino de matemática permanecer unilateral, ou seja, centrado apenas na face exposta da matemática (FREITAS; REZENDE, 2013, p.25).
Nesta pesquisa, o tipo de atividade proposto solicita que o aluno faça
conversões entre os diferentes registros. Segundo Duval (2003) aprender
Matemática consiste em desenvolver uma progressiva coordenação entre vários
sistemas semióticos de representação. Foi criado um ambiente de comunicação, no
qual os alunos deveriam comunicar a seus colegas como pensaram para resolver a
atividade. Conforme o aluno conversa com o colega, ele tem uma representação
interna a que apenas ele tem acesso. Para comunicar essa ideia, ele transforma
essa representação em um registro de representação semiótica, um registro que
nem sempre representa o que realmente esse sujeito está pensando. Nesse sentido,
a oralidade vem para complementar essa representação.
Geralmente, o registro da língua natural é visto, em Matemática, por exemplo,
na resolução de um problema, como o seu enunciado. O aluno lê, interpreta e
transforma esse enunciado. Ele faz a conversão da representação linguagem
materna (ou língua natural, nos termos de Duval) para o registro algébrico. Quando
o aluno equaciona o problema, ele realiza a conversão entre os registros.
Neste estudo, o registro da língua natural, além de ser um primeiro registro de
representação semiótica, teve o papel de explicar os registros, conectando
diferentes registros. Por exemplo, para que os alunos possam perceber a relação
que existe entre as variáveis A e B na expressão 15+A=18+B construíram uma
tabela que relacionou A=B+3, 3 e 0, 4 e 1, 5 e 2, 2 e -1, etc. No entanto, como os
alunos ainda não tiveram contato com o registro algébrico, possivelmente, podem ter
dificuldade em representar a relação entre as variáveis A e B de maneira simbólica
ou utilizar o registro algébrico. Desse modo, o registro da língua natural
complementou o registro em tabela, para que ele percebesse a relação existente
que a variável A é sempre três unidades a mais que a variável B.
Muitas vezes, alguns alunos não conseguem representar de forma correta o
que estão pensando. Estes alunos expressam o significado que foi construído ao
longo dos anos iniciais do Ensino Fundamental, que tem o foco na aritmética. Nesse
sentido, o registro da língua natural (o aluno escrevendo ou falando sobre
matemática empregando a língua materna) pode complementar o que ele
35
representou e ajudar na compreensão, tanto da comunicação com seu colega como
na análise da pesquisa.
2.2 Teoria das Situações Didáticas
Esta pesquisa é compatível com características da Teoria das Situações
Didáticas de Brousseau (2008). Esta teoria amplia as relações das situações de
ensino que são representadas com um "triângulo", no qual são "consideradas tão
somente as relações entre os sistemas "professor", saber e "aluno"' (BROUSSEAU,
2008, p.54). Assim, para o autor supracitado esse esquema desconsidera a relação
do aluno com o "meio adidático"; desse modo a intervenção do professor, por meio
dos conhecimentos que ensina, provoca um funcionamento que pode existir em
outras circunstâncias além das que têm um fim didático, como os exercícios e
problemas propostos; é esse meio que não pode ser desconsiderado. Nesse sentido
a TSD propõe uma criação da relação entre o professor, aluno e o meio em que
ocorre a aprendizagem (BROUSSEAU, 2008).
Para compreender o processo de aprendizagem, de acordo com a
perspectiva apresentada por Brousseau (2008), é necessário destacar algumas
concepções como: meio, devolução, situação didática e situação adidática. Quando
há a intenção de aprendizagem, temos uma situação didática, esta intenção pode
ser implícita ou explícita, na qual existe uma relação entre o aluno, o professor e o
meio.
O meio citado anteriormente, além do ambiente e dos materiais, é a interação
existente entre o professor e os alunos, entre os próprios alunos, as relações entre
as situações, o conhecimento e os alunos. Já, quando a intenção didática não é
declarada, o "aluno torna-se capaz de pôr em funcionamento e utilizar por si mesmo
o saber que está construindo [...] em qualquer contexto de ensino e também na
ausência do professor" (BROUSSEAU, 1986, apud FREITAS, 1999, p. 69), temos,
então, a situação adidática. A devolução é quando o aluno aceita o problema
(situação adidática) fornecida pelo professor para si apropriando-se e agindo na
resolução.
36
Nas atividades propostas neste trabalho, os alunos foram colocados na
condição de investigadores, conforme a definição dada por Brousseau à situação
didática, na qual "o aluno deveria, pelo menos em parte, reproduzir características
do trabalho científico como garantia de uma construção efetiva do conhecimento".
Nesse sentido, os alunos puderam criar hipóteses (conjecturar), argumentar e
validar suas hipóteses. As etapas desenvolvidas na TSD de Brousseau (2008):
ação, formulação, validação e institucionalização foram utilizadas como critério de
análise para as atividades que foram aplicadas. Nessas atividades, os alunos em
duplas deveriam resolver alguns problemas, no qual o significado atribuído ao sinal
de igualdade, por parte dos alunos, poderia contribuir ou não para sua resolução.
Conforme a didática da Matemática, a construção do conhecimento ocorre a
partir da resolução de problemas. No vídeo "Didática da Matemática", Guy Brosseau
(2009), evidencia as Situações Didáticas, explicando cada uma delas. Ele aponta
que o professor organiza as Situações para o ensino do aluno. De acordo com
Brousseau (2009), o pensamento matemático pode ser expresso por provas, frases,
palavras, mas, acima de tudo é expresso por decisões. Brousseau (2009) aponta
que, muitas vezes as crianças não conseguem representar essas decisões. As
crianças decidem, mas sem saber o porquê, apenas acham que estão certas. A
essa tomada de decisão, para agir adequadamente na situação, Guy Brousseau dá
o nome de Situação de Ação.
Situação de Ação: na situação de ação, o aluno toma o problema para si, ou
seja, assume o problema como seu e mobiliza os conhecimentos que possui para
tentar resolvê-lo.
Situação de Formulação ou Situação de Comunicação: é uma situação na
qual os alunos necessitam comunicar uma informação Matemática. Essa
comunicação pode ocorrer com o meio (milieu). Na situação de formulação, procura-
se utilizar uma linguagem mais adequada às informações que se pretende
comunicar.
Situação de Validação: são as situações de prova ou discussões, nas quais
os alunos debatem, ou seja, tentam convencer os interlocutores da validade de suas
afirmações, a linguagem utilizada é uma linguagem matemática mais apropriada.
37
Nesta pesquisa, podemos identificar as etapas das Situações Didáticas da
seguinte maneira: Situação de ação: quando os alunos recebem as atividades,
aceitam o desafio e começam a agir, por exemplo, a princípio eles tentam resolver a
atividade, utilizando o sinal de igualdade com o sentido construído apoiado em suas
experiências, para tentar fazer com que a igualdade fique verdadeira; situação de
formulação: quando os alunos, em duplas, transmitem mensagens, ou seja,
formulam suas conjecturas e trocam suas hipóteses para tentar resolver a atividade
da melhor maneira. Nesse caso, os alunos confrontam o sentido que cada um traz
do sinal de igualdade e produzem um significado coletivo; situação de validação:
quando as duplas são trocadas e cada aluno tenta argumentar, defendendo sua
resolução, ou seja, expõe o significado produzido com sua antiga dupla e valida sua
resolução ou aceita a resolução do colega, produzindo um novo significado.
Freitas (1999) deixa claro que essas categorias de situações entrelaçam-se
fortemente, uma em relação às outras, e essa descrição não é para induzir uma
separação nítida entre elas.
Em nossa busca por trabalhos correlatos encontramos pesquisas que
utilizaram Investigação na aula de Matemática e atividades exploratório-
investigativas como as de Déchen (2008) e Fernandes (2011). Percebemos que a
Teoria das Situações Didáticas permite o trabalho com algumas atividades de
investigação e situações de comunicação, motivo pelo qual selecionamos, para
realizar a revisão da literatura, pesquisas com esse propósito, embora não
utilizassem a Teoria das Situações Didáticas.
Para analisar a sequência didática, utilizaremos elementos da Teoria das
Situações Didáticas que exige que os alunos confrontem o sentido que cada aluno
traz sobre o significado do sinal de igualdade; a seguir, será apresentado um estudo
sobre sentidos e significados de acordo com a visão de Vygotsky (2008).
2.3 Sentidos e Significados
Para analisar os diferentes significados que os alunos podem atribuir ao sinal
de igualdade, é necessário um estudo das relações entre significado e sentido.
38
Como aporte teórico, elegemos a obra de Vygostky (2008) intitulada "Pensamento e
Linguagem" em trechos nos quais a relação entre significado e sentido é abordada.
Oliveira (2013) citando Vygotsky diferencia duas funções da linguagem: como
intercâmbio social e como pensamento generalizante.
A linguagem como intercâmbio social tem a função de comunicação. É
destacado que, no princípio, o bebê não articula bem as palavras nem compreende
o significado das palavras que os adultos utilizam; no entanto, consegue comunicar
suas vontades e suas emoções por meio de gestos, expressões e sons. Nesse
sentido, de acordo com Vygotsky (2008), o que impulsiona o desenvolvimento da
linguagem, inicialmente, é a necessidade de comunicação.
Entretanto, para que a comunicação ocorra de uma forma mais sofisticada, ou
seja, diferente das manifestações dos bebês, é necessária a utilização de signos6
que traduzam de forma precisa sentimentos, desejos, pensamentos. Cada indivíduo
passa por diversas experiências, cada um com sua singularidade, criando um
mundo de experiências vividas. Para que as experiências de vida possam ser
comunicadas, precisam ser traduzidas em signos, sendo extremamente
simplificadas e generalizadas, a fim de que possam ser compreendidas por todos.
As palavras possuem um significado preciso, apesar das diferentes experiências
concretas que cada indivíduo possa ter vivido com o objeto representado.
A segunda função da linguagem, a de pensamento generalizante, é gerada
pelo fenômeno descrito acima. "A linguagem ordena o real, agrupando todas as
ocorrências de uma mesma classe de objetos, eventos, situações, sob uma mesma
categoria conceitual." (OLIVEIRA, 2013, p.45). Quando dizemos uma palavra, por
exemplo, livro, esta palavra tem um significado preciso. Algumas pessoas podem
não gostar de livro por lembrar de uma experiência que não foi muito agradável ao
ler em público, enquanto outras gostem muito. O conceito livro será compreendido
por todos, independentemente, das diversas experiências que os indivíduos possam
apresentar. O objeto denominado livro é classificado em um conjunto abstrato, na
qual um livro especial é uma parte desse conjunto. Assim, livro pertence a uma
6 Signos podem ser definidos como elementos que representam ou expressam outros objetos,
eventos, situações. A palavra mesa, por exemplo, é um signo que representa o objeto mesa; o símbolo 3 é um signo para a quantidade três; o desenho de uma cartola na porta de um sanitário é um signo que indica "aqui é o sanitário masculino". (OLIVEIRA, 2013, p.31, grifo da autora)
39
categoria que pode ser diferenciada de outras como "árvore", "cachorro", "janela",
etc.
De acordo com Oliveira (2013, p.50), a função da linguagem como
pensamento generalizante é a de tornar a linguagem um instrumento de
pensamento. A linguagem organiza o real e fornece os conceitos que compõem a
mediação entre o sujeito e o objeto de conhecimento. Oliveira (2013) salienta que
estas duas funções básicas da linguagem, o intercâmbio social e o pensamento
generalizante, encontram unidade no significado, pois os significados possibilitam a
"mediação simbólica entre o indivíduo e o mundo real".
Vygotsky (2008, p.150) aponta que "o significado de uma palavra representa
um amálgama tão estreito do pensamento e da linguagem, que fica difícil dizer se se
trata de um fenômeno da fala ou de um fenômeno do pensamento." (p.150). O autor
explica que o significado é uma parte fundamental da palavra, sem a qual é apenas
"um som vazio". Nesse sentido, refere que o significado poderia ser visto, como um
fenômeno da fala; no entanto, "o significado de cada palavra é uma generalização
ou um conceito", que são atos de pensamento e, portanto Vygotsky (2008) conclui
que o significado pode ser considerado, como um fenômeno do pensamento. O
autor acrescenta
O significado das palavras é um fenômeno de pensamento apenas na medida em que o pensamento ganha corpo por meio da fala, e só é um fenômeno de fala na medida em que está ligado ao pensamento, sendo iluminada por ele. É um fenômeno do pensamento verbal, ou da fala significativa- uma união da palavra e do pensamento. (VYGOTSKY, 2008, p.151)
Vygotsty (2008) afirma que suas investigações experimentais levaram à
comprovação de uma outra tese que o "significado das palavras evolui". Oliveira
(2013) cita que a transformação dos significados também ocorre no processo da
aprendizagem da linguagem pela criança. A autora refere que o processo de
transformação dos significados continua ocorrendo durante todo o desenvolvimento
do indivíduo. Quando se inicia o processo de aprendizagem escolar, o educador
interfere na formação da estrutura conceitual das crianças e adolescentes, na qual
40
as transformações dos significados deixam de ocorrer apenas, a partir da
experiência de vida.
Oliveira (2013, p.52) pautada em Vygotsky apresenta um outro aspecto da
questão do significado da palavra: "o significado propriamente dito e o "sentido"."
O significado propriamente dito refere-se ao sistema de relações objetivas que se formou no processo de desenvolvimento da palavra, consistindo num núcleo relativamente estável de compreensão da palavra, compartilhado por todas as pessoas que a utilizam. O sentido, por sua vez, refere-se ao significado da palavra para cada indivíduo, composto de relações que dizem respeito ao contexto de uso da palavra e às vivências afetivas do indivíduo. (OLIVEIRA, 2013, p.52)
Em nosso trabalho identificamos os diferentes significados que os alunos
atribuem ao sinal de igualdade. Consultando o dicionário Aurélio, Ferreira (2008)
encontrei que a palavra igual significa: 1. Que tem a mesma aparência, estrutura ou
proporção; idêntico. 2. Que tem o mesmo nível; plano. 3. Que tem a mesma
grandeza, valor, quantidade, quantia ou número. 4. Da mesma condição, categoria,
natureza, etc.. Já a palavra igualdade significa: 1.Qualidade ou estado de igual. 2.
Mat. Expressão com a qual se afirma que duas entidades (com o sinal = entre elas)
são iguais, ou devem ser assim consideradas.
Consultando o Dicionário da Matemática Moderna, Chambadal (1978),
encontramos o seguinte significado igualdade, noção primeira. - Um dos axiomas da
teoria dos conjuntos enuncia que dois conjuntos E de F são iguais se e somente se
E ⊂F e F ⊂ E. Em outras palavras, para que dois conjuntos sejam iguais, é
necessário e suficiente que tenham os mesmos elementos. A relação de igualdade é
-reflexiva: E = E; -simétrica: (E = F) ⇒(F= E); -transitiva: ((E = F) e (F = G)) ⇒ (E = G).
Ao observar o uso social do símbolo = percebemos que esse símbolo, muitas
vezes, é utilizado para representar a relação entre objetos diferentes. Por exemplo,
no modo de preparo indicado na lata do leite NINHO é utilizado o sinal = para o
resultado da mistura: 180ml água contida em um copo + 6 vezes a quantidade de
leite em pó, utilizando uma colher medida = ao copo com o leite pronto (Figura 4).
Quando vamos às compras, utilizamos a tecla de da calculadora para obter o
41
preço que devemos pagar. Quando as crianças escrevem a tabuada, elas utilizam o
sinal de igualdade da mesma forma, ou seja, para indicar o resultado da operação
que realizaram. De acordo com Oliveira (2013), citando Vygotsky, cada indivíduo
pode atribuir um sentido diferente ao significado da palavra, que depende do
contexto e de suas vivências.
Figura 4: Instruções do rótulo do Leite Ninho
Fonte: Embalagem de leite Ninho fases 3+ Nestle
No capítulo 3, será apresentado um estudo do sinal de igualdade em
pesquisas de Ponte; Branco e Matos (2009), Ribeiro e Trivilin (2015), sobre o
significado do sinal de igualdade, os sentidos que podem ser atribuídos a ele e suas
implicações no ensino de álgebra. Foi elaborada uma sequência de atividades para
que os alunos pudessem perceber o significado do sinal de igualdade com o sentido
de equivalência entre os dois membros de uma igualdade.
42
CAPÍTULO 3
REVISÃO DA LITERATURA
Para iniciar o trabalho de pesquisa, foi realizado um levantamento
bibliográfico nos bancos de teses da PUC/SP, da CAPES e no Google, entre artigos
de pesquisa, dissertações e teses que poderiam contribuir com relação às pesquisas
correlatas. Como o interesse nesta pesquisa é a comunicação na aula de
Matemática, o desenvolvimento do pensamento algébrico, os significados do sinal
de igualdade e o pensamento relacional, selecionamos trabalhos que, de alguma
maneira, se relacionassem com esses temas. As palavras-chave pesquisadas foram:
comunicação na aula de Matemática, interação, sinal de igualdade, pensamento
algébrico e pensamento relacional. Dentre os pesquisados, foram selecionados os
que trariam contribuições em comunicação na aula de Matemática, Nobre (1996);
Déchen (2008); Martinho e Ponte (2009); Santos (2009); Fernandes (2011),
Machado (2011), com o sinal de igualdade, Mestre e Oliveira (2008); Bandarra
(2011); Ribeiro e Trivilin (2015), pensamento algébrico, Fiorentini, Miorim, Miguel
(1993); Modanez (2003); Fiorentini, Fernades e Cristovão (2005); Figueiredo (2007);
Scarlassari (2007); Ponte, Branco e Matos (2009) e, a seguir, identificamos os
aspectos, que consideramos relevantes para esta pesquisa.
3.1 Comunicação na aula de Matemática
A comunicação vem sendo apontada como "elemento-chave na
aprendizagem da Matemática na escola básica", por estudos e orientações
curriculares pós-Movimento da Matemática Moderna em diferentes países
(SANTOS, 2009, p.119). As orientações baseadas na figura do professor, como o
centro de toda a transmissão do conhecimento foi dando lugar à visão que trata a
linguagem e a comunicação, "como parte do processo de construção de significados
na aprendizagem da Matemática."
Em Portugal, de acordo com o Programa de Matemática do Ensino Básico
(ME-DGIDC, 2007), a Comunicação Matemática é uma das capacidades
43
transversais a que se deve dar realce no trabalho da disciplina Matemática. De
acordo com o referido documento,
A comunicação envolve as vertentes oral e escrita, incluindo o domínio progressivo da linguagem simbólica própria da Matemática. O aluno deve ser capaz de expressar as suas ideias, mas também de interpretar e compreender as ideias que lhe são apresentadas e de participar de forma construtiva em discussões sobre ideias, processos e resultados matemáticos. A comunicação oral tem lugar tanto em situações de discussão na turma como no trabalho em pequenos grupos, e os registros escritos, nomeadamente no que diz respeito à elaboração de relatórios associados à realização de tarefas e de pequenos textos sobre assuntos matemáticos, promovem a comunicação escrita (ME-DGIDC, 2007, p. 8)
Um objetivo do Programa de Matemática do Ensino Básico (ME-DGIDC,
2007) de Portugal é o desenvolvimento da capacidade de comunicação, bem como
propiciar ambiente para que ela ocorra. As orientações curriculares brasileiras PCN
(BRASIL, 1998) preveem que
Como um incentivador da aprendizagem, o professor estimula a cooperação entre os alunos, tão importante quanto a própria interação professor-aluno. O confronto entre o que o aluno pensa e o que pensam seus colegas, seu professor e as demais pessoas com quem convive é uma forma de aprendizagem significativa, principalmente por pressupor a necessidade de formulação de argumentos (dizendo, descrevendo, expressando) e de validá-los (questionando, verificando, convencendo) (BRASIL, 1998, p.38).
As orientações curriculares consideram "relevante o desenvolvimento da
capacidade de comunicar, justificar, conjecturar, argumentar, partilhar, negociar com
os outros as suas próprias ideias." (SANTOS, 2009, p.119). Também os PCN
(BRASIL, 1998) trazem o papel fundamental da interação aluno-aluno na construção
do conhecimento, favorecendo o desenvolvimento das capacidades:
-perceber que além de buscar a solução para uma situação proposta devem cooperar para resolvê-la e chegar a um consenso; -saber explicitar o próprio pensamento e procurar compreender o pensamento do outro; -discutir as dúvidas, supor que as soluções dos outros podem fazer sentido e persistir na tentativa de construir suas próprias idéias;
44
-incorporar soluções alternativas, reestruturar e ampliar a compreensão acerca dos conceitos envolvidos nas situações e, desse modo, aprender (BRASIL,1998, p.39).
O Currículo do Estado de São Paulo, que é outro documento oficial, prevê
que as disciplinas sejam apresentadas aos alunos com significado, pois
compreender o significado é mais importante do que compreender para que serve e
nos apresenta um exemplo interessante da utilidade de um poema. O documento
apresenta a ideia de que um poema não tem uma utilidade prática, mas, ele significa
algo. E propõe que as narrativas sejam norteadoras para a construção de
significados, afirmando, que é contando histórias, que os significados são
construídos.
Sempre que os alunos nos perguntam sobre a utilidade prática, o que eles efetivamente buscam é que apresentemos um significado para aquilo que pretendemos que aprendam. E, na construção dos significados, uma ideia norteadora é a de que as narrativas são muito importantes, são verdadeiramente decisivas na arquitetura de cada aula. É contando histórias que os significados são construídos. E ainda que tais narrativas sejam, muitas vezes, construções fictícias ou fantasiosas, como ocorre no caso do recurso a jogos, uma fonte primária para alimentar as histórias a serem contadas é a História em sentido estrito: História da Matemática, História da Ciência, História das Ideias, História... (SÃO PAULO, 2011, p.45).
Nesse documento, uma proposta é que o professor seja um bom contador de
histórias para conseguir atrair o interesse dos alunos. Também são propostas
atividades que partam do todo para atrair o interesse do aluno, em um primeiro
momento, mesmo que os pormenores não sejam compreendidos a princípio, pois
eles poderão ser retomados mais tarde após o interesse ser despertado. O
documento ainda trata da importância da problematização, indicando que o
desenvolvimento da inteligência ocorre por meio da formulação de perguntas
Na exploração de cada centro de interesse, uma estratégia muito fecunda é a via da problematização, da formulação e do equacionamento de problemas, da tradução de perguntas formuladas em diferentes contextos em equações a serem resolvidas. Muito além dos problemas estereotipados em que a solução consiste em construir procedimentos para usar os dados e com eles chegar aos pedidos, os problemas constituem, em cada situação concreta, um poderoso exercício da capacidade de inquirir, de perguntar (SÃO PAULO, 2011, p.46).
45
De acordo com o Currículo do Estado de São Paulo, problematizar é
manifestar perguntas bem formuladas e, para que sejam respondidas, devemos
distinguir o que é relevante, de acordo com esse documento, essa capacidade deve
ser desenvolvida constantemente.
O papel do professor estimulando a oralidade em sala de aula com perguntas
desafiadoras é essencial para maior participação dos alunos. Ele pode evitar as
perguntas que necessitem apenas da memória, para que os alunos sintam-se
motivados a buscar uma resposta (MENEZES, 1996). De acordo com Santos (2009,
p.117) a comunicação na aula de Matemática é percebida por muitos autores "como
todas as formas de discurso, linguagens utilizadas por professores e alunos para
representar, informar, falar, argumentar, negociar significados". Desse modo a aula
de Matemática não pode ser vista como aprender a operar algoritmo em listas de
exercícios seguindo um exemplo dado.
De acordo com Martinho e Ponte (2005), o professor tem o papel estruturante
do discurso produzido na aula e no processo comunicativo, em geral. Os autores
citados baseados em Love e Mason (1995), destacam a importância do tipo de
pergunta que o professor faz e distinguem três tipos de perguntas: de focalização,
confirmação e inquirição.
As perguntas de focalização têm o objetivo de chamar a atenção do aluno
para algo específico; as de confirmação servem para que o professor teste os
conhecimentos nos quais, geralmente, ele já sabe a resposta. Esse tipo de pergunta
induz respostas imediatas e únicas e as perguntas de inquirição são as que de fato o
professor deseja saber alguma informação por parte do aluno. (MARTINHO;
PONTE, 2005).
Os pesquisadores acrescentam que, geralmente, as perguntas que ocorrem
em sala de aula são do tipo sanduíche, ou seja, enquadram-se em uma sequência
chamada "diálogo triádico" em que a fala do aluno situa-se entre duas do professor.
De acordo com Martinho e Ponte (2005), acreditamos que esse tipo de diálogo
abrange mais alunos e que esse tipo de interação enfatiza a existência de uma
autoridade na sala de aula.
46
Pesquisas como as de Nobre (1996), Déchen (2008) no Brasil e Martinho e
Ponte (2009) em Portugal, apresentam a comunicação como parte importante da
aprendizagem Matemática. Nobre (1996) propôs uma situação de comunicação em
sua pesquisa, na qual uma dupla teria de elaborar uma mensagem, como resolver
de um problema aritmético, para que a outra dupla fosse capaz de resolver um
problema análogo, decodificando a mensagem recebida. Com sua pesquisa Nobre
(1996), concluiu que os alunos em situação de comunicação podem explicitar a
resolução de problemas e validar suas resoluções. A autora destaca aspecto
importante que ocorreu na validação das atividades, o fato dos alunos terem
percebido que, para conseguir validar a mensagem, esta deveria ser precisa e clara
o que lhes permitiu "evoluir do uso da linguagem natural para a utilização de uma
linguagem simbólica" (NOBRE, 1996, p.173).
Déchen (2008) afirma que desenvolver a comunicação é também desenvolver
a linguagem, pois, em sua pesquisa, os alunos passaram a se comunicar de outra
forma, questionando mais o que não entenderam e expondo suas ideias. Déchen
(2008, p.110) observou que "aconteceram importantes características de
comunicação de um processo de aprendizagem investigativo, por meio do qual os
alunos puderam examinar outras perspectivas e desenvolver a habilidade de refletir
sobre elas, metas essenciais no desenvolvimento da comunicação na aula de
Matemática, como afirmam Alro e Skovsmose (2006)".
Com relação ao papel do professor, Déchen (2008) salienta que para que a
comunicação seja valorizada e aconteça, o professor deve escutar seus alunos,
incentivando-os a explicar suas ideias, pois em sua pesquisa observou como os
alunos sentiram-se valorizados ao participar das aulas sendo escutados pelos
colegas e pela professora. Martinho e Ponte (2009) nos mostram que o papel do
professor na comunicação na aula de Matemática é de extrema importância, por ser
o responsável pelas atividades que serão desenvolvidas.
Os autores supracitados apresentam que, de acordo com pesquisas, a
aprendizagem matemática requer uma construção gradual de um quadro de
referência, por meio do qual os alunos constroem seu próprio conhecimento de
Matemática em uma tensão dinâmica entre o conhecimento velho e o novo. O
professor exerce o papel fundamental para gerenciar esse processo, pois a
negociação de significados tende a diminuir com o aumento do controle do professor
sobre a dinâmica da sala de aula. Os professores também são responsáveis por
47
criar um clima de autoestima e respeito mútuo, para que os alunos sintam-se
confortáveis para participar da atividade em sala de aula.
Santos (2009) refere que o destaque que é dado ao tema "comunicação e
linguagem na aula de Matemática" é atribuído às concepções de como ocorre a
construção do conhecimento pelo sujeito. Para D'Amore apresentado por Santos
(2009), essas concepções refletem-se no ensino, de modo que a aprendizagem seja
vista como uma construção onde é necessário "socializar".
Para Martinho e Ponte (2005) as aulas em que ocorrem as interações aluno-
aluno, são mais ricas e produtivas que uma aula na forma tradicional.
As interacções entre alunos provocam discussões estimulando-os a novas descobertas e permitindo que construam um conhecimento mais sólido. Por outro lado, os alunos sentem-se mais confortáveis a falar em pequeno grupo do que em grande grupo (LESTER, 1996), num “meio sem ameaças” (BUSHMAN, 1995) onde se vão progressivamente apropriando da linguagem matemática. Ao falarem e ouvirem os colegas, clarificam os significados das palavras, bem como os seus pensamentos e ideias. Além disso, o conhecimento pessoal, ao ser combinado com o dos outros, torna-se útil (MARTINHO; PONTE, 2005, p.3).
Martinho e Ponte (2005) destacam que o professor acaba assumindo um
papel de coordenador e não de controlador, mas, isso, dependendo do tipo de aula.
Por exemplo, esse papel de coordenador ocorre em aulas que não são do tipo
expositivas ou de resolução de listas de exercícios. Nesse papel de coordenador das
aprendizagens, a pergunta tem um caráter essencial, conduzindo ao
desenvolvimento das capacidades de comunicação e raciocínio.
Fernandes (2011) realizou uma pesquisa com o intuito de compreender como
se desenvolve o letramento algébrico em alunos do 7º ano, reproduzindo uma
atividade exploratório-investigativa. O pesquisador verificou o importante papel de
mediação que o professor tem nesse tipo de atividade. A mediação do professor,
assim como o papel de "professor escriba" que ele desempenhou foram
fundamentais ao sucesso da pesquisa. O papel de "professor escriba" no sentido de
traduzir o que os alunos falavam para uma linguagem mais formal, por exemplo, na
representação de tabela ou a escrita de expressões algébricas, auxiliou a
compreensão da escrita formal (simbólica) por parte dos alunos.
48
Embasado em Vigotsky (2000), Fernandes (2011) identifica o processo de
interiorização que ocorre com um aluno que mudou sua postura com a realização de
atividades de investigação nas quais houve a interação entre os alunos e entre
alunos e professor. Fernandes (2011) comprovou a evolução que ocorreu com
relação à escrita algébrica dos alunos da primeira para a terceira atividade e como
essa evolução evidencia a inter-relação entre a oralidade e a escrita nas aulas de
Matemática.
Fernandes (2011, p.118) narra que o olhar para a oralidade surgiu durante o
processo de coleta de dados, como ficou preocupado no início da pesquisa com a
produção escrita apresentada pelos alunos, não imaginou que a saída fosse por
meio da oralidade. O pesquisador afirma que essas crenças originam-se na
"dimensão autônoma", que o letramento apresenta em nossa formação na qual a
escrita é "supervalorizada, em detrimento da oralidade, como possibilidade de
comunicar-se e argumentar matematicamente". O autor conclui que, com o
desenvolvimento dessa pesquisa, os alunos aprenderam mais que representar
algebricamente uma relação entre grandezas ou um número genérico, eles
aprenderam, de modo significativo a fazer e construir essa relação.
Machado (2011) defende que a Educação Básica visa à formação da
cidadania e não a formação de especialistas; nesse sentido, o que é ensinado nesse
nível de escolaridade deve ser acessível e compreensível a todos. As crianças
aprendem a língua materna com significado e, por meio da oralidade, elas
expressam o que pensam. Se a matemática for caracterizada como uma linguagem
formal, não abrangerá uma oralidade que possa apoiar sua aprendizagem, pois a
linguagem formal foi concebida para suprir as imperfeições das línguas naturais que
eram tidas como imperfeitas e ambíguas.
De acordo com Machado (2011, p.112) a linguagem formal é mais sintática,
ou seja, as linguagens formais foram construídas de maneira que "revelaram-se
tanto mais precisas quanto mais distantes da experiência, restringindo-se as
operações sintáticas sobre seus próprios símbolos". A linguagem matemática é
formal, mas está impregnada com a Língua Materna, e essa impregnação deve ser
aproveitada para dar significado ao objeto matemático. O autor citado (p.93) propõe
que "o verdadeiro significado da Matemática e das funções que deve desempenhar
49
nos currículos escolares devem ser buscados na mesma fonte onde se encontram
respostas às questões homólogas relativas ao ensino da Língua Materna".
Nesse tópico, procuramos refletir sobre a comunicação na sala de aula, o que
é necessário para que ela ocorra. As pesquisas apontam para o importante papel do
professor como mediador e que um novo tipo de comunicação na aula de
Matemática, como aulas de investigação, poderá possibilitar melhoria na qualidade
da aprendizagem.
No próximo item, será realizado um estudo sobre desenvolvimento do
pensamento algébrico e suas potencialidades no ensino de Álgebra. Ainda será
apresentado um estudo sobre o sinal de igualdade e como os diferentes significados
podem influenciar no desenvolvimento do pensamento algébrico, ou seja, na
aprendizagem da Álgebra. Este estudo se faz necessário, para que possamos
realizar as análises desta pesquisa.
3.2 O pensamento algébrico
As pesquisas como as de Scarlassari (2007), Ponte, Branco e Matos (2009),
Fiorentini, Fernandes e Cristovão (2005) que abordam o tema ensino de Álgebra,
apontam que os alunos apresentam dificuldades relacionadas à aprendizagem
desse tema. Estas dificuldades na aprendizagem vêm sendo apresentadas, em
muitos casos, como uma forma de exclusão, pois causam o fracasso escolar. Várias
pesquisas sobre o pensamento algébrico apresentam que o professor poderia
trabalhar com atividades que estimulassem esse tipo de pensamento, desde as
séries iniciais, pois o pensamento pode ser desenvolvido antes do domínio da
linguagem algébrica.
Os resultados de diversas investigações que têm se ocupado de questões relacionadas ao ensino e à aprendizagem de Álgebra e de Teoria dos Números, nos três níveis de educação: Infantil, Básica e Superior, têm confirmado o potencial do trabalho articulado da Álgebra e da Aritmética, visando a auxiliar a reconhecer e compensar limitações dos estudantes em seu entendimento conceitual; criar oportunidades para propor problemas propícios ao desenvolvimento de compreensão funcional e, também, estrutural da Matemática; investigar as habilidades dos estudantes para generalizar e fazer conjeturas e para encontrar maneiras de justificar essas
50
conjeturas, através do desenvolvimento de estratégias de prova indutivas e dedutivas."(MARANHÃO; MACHADO; COELHO, 2004, p.11)
Em sua pesquisa Scarlassari (2007, p.4) apresenta a sugestão de ensino
proposta por Davidov (1982), no qual a Álgebra poderia ser introduzida já nas séries
iniciais "como uma ciência das leis de relações quantitativas, de dependências de
grandezas, técnicas de cálculo e elementos da teoria dos números". A pesquisadora
afirma que, dessa forma, as crianças já começariam a perceber a Matemática como
uma disciplina além de números e operações. Para Araújo (2007), citado por
Scarlassari (2007), a Álgebra, quando é apresentada com listas de exercícios
mecanizados, por exemplo, os alunos passam a ter uma visão negativa sobre esse
tema desde muito cedo, pois essa aprendizagem não é significativa.
Um documento, publicado e distribuído por The Mathematical Association of
America intitulado "Álgebra: passagem para um futuro tecnológico" Katz (2007,
p.16), no qual é realizado um levantamento de pesquisas existentes, nos Estados
Unidos da América, e necessidades críticas para futuras pesquisas em Álgebra. No
referido documento, foram identificadas áreas críticas para a pesquisa e
desenvolvimento futuro em Álgebra básica: "(1) mudança sistêmica, por meio do
desenvolvimento de escolas de Álgebra Básica, (2) identificação dos principais
conceitos de Álgebra, e como estão relacionados ao currículo educacional K-127 de
Álgebra, e (3) compreensão da natureza abrangente do pensamento algébrico da
criança".
O documento ainda aponta ser necessária a realização de pesquisas sobre
como se desenvolve o processo da transição para a simbolização nos estudantes.
A transição histórica para a simbolização, como a conhecemos levou cerca de cem anos; ocorreu entre os séculos XVI e XVII, ainda que tenha havido várias tentativas anteriores em diferentes culturas. Então, não devemos nos surpreender com que os estudantes, às vezes, tenham problemas com essa transição. Assim, um estudo para investigar como esse processo acontece, e o que pode ser feito para torná-lo mais fácil, seria um incremento importante para a literatura educacional da Matemática (KATZ, 2007, p.8)
7 K-12 nos Estados Unidos equivale no Brasil da educação infantil à 3ª série do Ensino Médio
(Kindergarten-12th grade).
51
Em Portugal, Ponte (2006) afirma que existe um risco ao processo de ensino
quando se perde o significado do que o símbolo representa. Ele destaca que
por um lado, os símbolos têm um grande valor. Na verdade, o simbolismo algébrico tem o poder de aglutinar as ideias concebidas operacionalmente em agregados compactos, tornando por isso a informação mais fácil de compreender e manipular. Por outro lado, o simbolismo acarreta grandes perigos para o processo de ensino-aprendizagem, pois caímos no formalismo quando perdemos de vista o significado do que os símbolos representam e apenas damos atenção aos símbolos e ao modo de os manipular (DAVIS e HERSH, 1995 apud PONTE, 2006, p.6).
Ponte (2006) enfatiza que, o grande objetivo da Álgebra nos ensinos básico e
secundário é desenvolver o pensamento algébrico dos alunos. Ponte; Branco e
Matos (2009) apresentam que, a partir da década de 1980, a visão sobre o que deve
ser ensinado na escola básica e secundária gerou várias discussões. Dessas
discussões, surgiu o interesse por caracterizar os elementos do pensamento
algébrico.
Ponte; Branco e Matos (2009) destacam três vertentes do pensamento
algébrico: representar, raciocinar e resolver problemas conforme são descritas nos
dados do quadro abaixo:
Quadro 3 - Vertentes do Pensamento Algébrico
Representar
-Ler, compreender, escrever e operar com símbolos usando as
convenções algébricas usuais;
-Traduzir informação representada simbolicamente para outras
formas de representação (por objectos, verbal, numérica,
tabelas, gráficos) e vice-versa;
-Evidenciar sentido de símbolo, nomeadamente interpretando os
diferentes sentidos no mesmo símbolo em diferentes contextos.
Raciocinar -Relacionar (em particular, analisar propriedades);
-Generalizar e agir sobre essas generalizações revelando com-
preensão das regras;
-Deduzir.
Resolver -Usar expressões algébricas, equações, inequações, sistemas
52
problemas e
modelar
situações
(de equações e de inequações), funções e gráficos na
interpretação e resolução de problemas matemáticos e de
outros domínios (modelação).
Fonte: Ponte; Branco e Matos (2009, p.11)
No Brasil, Fiorentini; Miorim e Miguel (1993) indicam que a linguagem
algébrica e o pensamento algébrico podem se constituir independentemente, mas,
que, entre eles, existe uma relação dialética, ou seja, a aquisição de um facilita a do
outro. Por esse motivo, defendem que, no início do desenvolvimento do pensamento
algébrico não é necessário que os alunos estejam em um nível mais avançado com
relação à linguagem algébrica, ou seja, a construção do pensamento algébrico
poderia ocorrer desde as séries iniciais. No levantamento histórico realizado pelos
autores supracitados, foi identificado que tanto as concepções de Álgebra como as
de Educação Algébrica privilegiam a linguagem algébrica em detrimento do
pensamento algébrico.
A análise de sete situações-problema levaram Fiorentini; Miorin e Miguel
(1993, p.87) a concluir que o pensamento algébrico é um pensamento especial que
pode ser manifestado em outras áreas do conhecimento. Nessa análise, eles
identificaram elementos que consideraram caracterizadores do pensamento
algébrico, são eles: "percepção de regularidades, percepção de aspectos invariantes
em contraste com outros que variam, tentativas de expressar ou explicitar a estrutura
de uma situação-problema e a presença de um processo de generalização". Os
autores concluem que não existe apenas uma forma de expressar o pensamento
algébrico, que pode ser expresso por meio da linguagem natural, da linguagem
aritmética, geométrica ou por uma linguagem específica para esse fim, linguagem
simbólica.
Fiorentini; Fernandes e Cristóvão (2005) propõem uma quarta concepção de
Educação Algébrica, na qual o início do ensino da Álgebra pode se dar por
atividades de investigação matemática, ou melhor, tarefas exploratório-
investigativas. Os autores citados definem três etapas importantes (cuja ordem não
é, necessariamente, esta) que devem ser ponderadas nesse desenvolvimento: a
primeira etapa, seria a problematização de fatos aritméticos ou geométricos que
53
demandem a obtenção de generalizações, a representação de número generalizado
ou de grandezas incógnitas e variáveis; segunda etapa, fazer com que o aluno
atribua múltiplos sentidos e significados a uma expressão algébrica, ou seja, o
percurso inverso; a terceira, seria quando se atenta ao fato das expressões
algébricas poderem ser transformadas em expressões equivalentes e sobre os
procedimentos que as validam.
Fiorentini; Fernandes e Cristóvão (2005) apresentam alguns elementos
caracterizadores do pensamento algébrico:
- Estabelecer relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões
geométricos;
- Produzir mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-problema;
-Produzir vários significados para uma mesma expressão numérica;
- Interpretar uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre
duas expressões numéricas;
- Desenvolver algum tipo de processo de generalização;
- Perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias; e
-Desenvolver ou criar uma linguagem mais concisa ou sincopada8 ao
expressar-se matematicamente.
Os autores supracitados também listaram três categorias para analisar o
desenvolvimento do pensamento algébrico por meio de atividades exploratório
investigativas:
1a - Aquelas que denotaram um pensamento pré-algébrico: embora o aluno
utilize algum elemento considerado algébrico, ainda não concebe
generalização ou variável.
8 De acordo com Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), a linguagem sincopada é a utilização de símbolos
para representar as incógnitas. Um exemplo da linguagem sincopada é a expressão "cubus p.6 rebus aequalis 20 de Cardano (1545), esta expressão seria, posteriormente, correspondente a "x
3+6x=20"
na linguagem simbólica.
54
2a - Aquelas que denotaram um pensamento de transição do aritmético ao
algébrico: estabelecem alguns processos de generalização podendo ou não
utilizar linguagem simbólica.
3a - Aquelas que denotaram um pensamento algébrico mais desenvolvido,
nesta categoria o aluno evidencia a capacidade de pensar e expressar-se
genericamente.
Em sua tese de doutorado Figueiredo (2007) traduziu e utilizou, as categorias
de concepções de Álgebra e Educação Algébrica, conforme Lee (2001). Lee (2001,
apud FIGUEIREDO, 2007) realizou um estudo histórico internacional sobre a
Álgebra na escola elementar e, com base nesse estudo propõe um modelo sobre
visões desse campo que serão abordadas adiante. Lee (2001) questiona o propósito
da abordagem do ensino de expressões simbólicas e o jogo de sua manipulação no
Ensino Fundamental. A autora relata que a introdução da Álgebra como linguagem
pode não ser exitosa, sobretudo na escola elementar na qual as crianças ainda não
têm o pensamento algébrico suficientemente desenvolvido ou até mesmo na escola
secundária. No entanto, a maioria das escolas que pesquisou utiliza esta abordagem
de ensino.
Tais análises levaram Lee (2001) a ter outro olhar para a Álgebra: como
caminho de pensamento, como uma atividade.
De acordo com Lee (2001), existem alguns pontos que são mais apropriados
para introdução da Álgebra como:
- Raciocinar sobre padrões;
- Generalizar ou pensar em termos do geral, vendo o geral no particular;
- Controlar mentalmente o ainda desconhecido; inverter e tornar a inverter operações;
-Pensar sobre conexões na matemática em vez de objetos matemáticos.(LEE, 2001, apud FIGUEIREDO, 2007, p.60-61)
Lee (2001) também aponta que o pensamento algébrico vem sendo
introduzido com grande sucesso, como generalização ou como pensamento em
termos do geral. Afirma que podem ser trabalhadas em qualquer série perguntas,
como: Isto é sempre verdadeiro? Importa a ordem que fiz a operação? Há outra
55
resposta correta? Pois estas perguntas poderão auxiliar na generalização,
caracterizadora do pensamento algébrico. Ela acredita que os alunos poderão
identificar os padrões e, mais tarde, enunciar oralmente ou escrever suas
observações, afirma que esse tipo de trabalho constitui-se em uma boa opção para
se desenvolver o pensamento algébrico, para estudantes de idades muito variadas
em qualquer nível de escolaridade.
Com relação à Álgebra como Atividade, Lee (2001, p.62) afirma que, quando
comparada com outros campos da Matemática, há muito mais opções de atividades
algébricas envolvendo outras áreas. A autora considera que a importância e a
complexidade da Álgebra é subestimada, e que muitos vêem a manipulação
algébrica como "obscura", "decorada", "insensata" e "só técnicas".
Com relação ao trato da Álgebra apenas como regras de transformação,
Ponte também salienta que é uma visão redutora da Álgebra
A visão mais habitual da Álgebra é que se trata simplesmente de regras de transformação de expressões (monómios, polinómios, fracções algébricas, expressões com radicais) e processos de resolução de equações. Isso é testemunhado pela terminologia usada nos actuais programas dos 2.º e 3.º ciclos do ensino básico que, em vez de falarem em “Álgebra”, falam apenas em “cálculo” ou, ou seja, em “cálculo algébrico”. Trata-se, claramente, de uma visão redutora da Álgebra, que desvaloriza muitos aspectos importantes desta área da Matemática, quer relativos à Antiguidade (resolução de problemas), quer actuais (relações, estruturas algébricas), quer mesmo do período “clássico” da Álgebra (estudo de funções e da variação em geral) (PONTE, 2006, p. 6).
Para Lee (2001), existem muitos procedimentos disponíveis, como desenhos,
material manipulativo, programas de computador, gráficos ou tabelas que podem ser
utilizados na resolução de problemas envolvendo álgebra. A autora considera que
uma outra opção para o trabalho com atividades algébricas é a modelagem; aponta
que estudantes da escola secundária apegam-se a procedimentos mecânicos e
param de utilizar a forma intuitiva de resolução de problemas, que é empregada
pelos estudantes mais novos.
Com relação à visão da Álgebra como Aritmética Generalizada, Lee (2001)
nos apresenta que essa visão é criticada pelos pesquisadores, mas, que ainda é o
modelo dominante na pesquisa da Álgebra elementar e nos livros didáticos. Essa
56
visão tem, conforme a pesquisadora, muitas percepções diferentes, como: Álgebra
das generalizações de padrão numéricos; estudo da estrutura da aritmética e
eventualmente, o estudo das expressões simbólicas. Ela afirma que excetuando-se
o último, todas as outras são ótimas opções para o desenvolvimento do pensamento
algébrico. Ainda afirma que o trabalho com números é crucial para introdução da
Álgebra.
Lee (2001) aponta alguns temas que poderão ser adequados à Educação
Básica, entre outros, já citados anteriormente sobre o desenvolvimento do
pensamento algébrico, ela destaca:
Desenvolver a comunicação em uma linguagem algébrica, que deve ser inicialmente uma linguagem natural, uma linguagem referencial de manipulação ou uma linguagem localmente constituída na sala de aula. Lee (2001) sugere que precisa haver espaço para a evolução da linguagem da Álgebra elementar, em vez de se forçar o uso de representações simbólicas.(FIGUEIREDO, 2007, p.67)
De acordo com Figueiredo (2007), os pesquisadores Lee (2001) e Fiorentini;
Fernandes e Cristóvão (2005) defendem que a atividade algébrica deve propiciar o
desenvolvimento da linguagem algébrica, mesmo que no princípio seja uma
linguagem mista, que tente representar o pensamento algébrico. Figueiredo (2007)
destaca que Fiorentini; Fernandes e Cristóvão (2005) citam o conceito de
investigação, fundamentado em Ponte et al. (2003), como atividade de ensino-
aprendizagem, como uma perspectiva de trabalho pedagógico que pode ser
realizada, não apenas, no ensino de Álgebra, mas, em toda Matemática. Já Lee
(2001) apresenta o pensamento algébrico, como o tipo de pensamento que deve
estar por trás das atividades; no entanto, a pesquisadora não aponta explicitamente
uma perspectiva pedagógica para o trabalho do professor.
Em sua pesquisa, Fernandes (2011) nos mostra que ainda são poucos os
livros didáticos que trazem esse novo entendimento do ensino de Álgebra. Beltrame
(2009), citado por Fernandes (2011), afirma que a introdução ao ensino de Álgebra
ainda traz resquícios dos modelos linguístico-pragmático9 e fundamentalista-
9 o modelo linguístico-pragmático foi uma primeira concepção de Educação Algébrica durante o
século XIX e a primeira metade do séc. XX a qual "vincula o papel pedagógico da Álgebra como instrumento de resolução de problemas à concepção linguístico-semântico-sintática dessa disciplina." (FIORENTINI, MIORIM, MIGUEL, 1993, p. 83)
57
estrutural10, pois, ainda persistem na introdução ao cálculo algébrico. Além da
apresentação nos livros didáticos, outro problema apresentado por Fernandes
(2011, p.15) é o fato dos professores, tanto os com anos de experiência como os
iniciantes reproduzirem em sala de aula o ensino que vivenciaram em sua
escolaridade. O pesquisador aponta que mesmo os professores que, em algum
momento, tiveram contato com práticas inovadoras em sala de aula, voltam a
reproduzir o velho esquema de "uma aula expositiva, na qual não se valorizam a
problematização, a atribuição de sentidos e a negociação de significados aos entes
algébricos".
As pesquisas consultadas sobre o pensamento algébrico evidenciam a
importância que deveria ser dada ao desenvolvimento desse tipo de pensamento,
desde as séries iniciais do Ensino Fundamental. Estas pesquisas têm em comum a
Álgebra que não pode mais ser vista, como uma atividade mecanicista, e que para
isso devemos estimular o desenvolvimento do pensamento algébrico por meio de
atividades de investigação matemática, como a identificação e generalização de
padrões.
De acordo com Mestre e Oliveira (2008) citando Carpenter et al. (2003) o
pensamento algébrico pode ser desenvolvido por uma abordagem da Aritmética
generalizada. A Aritmética generalizada pode abranger a generalização de
operações aritméticas e suas propriedades, além da noção de equivalência
associada ao sinal de igualdade. Carpenter et al. (2003 apud MESTRE; OLIVEIRA,
2008) entendem o pensamento relacional, como a capacidade de perceber as
relações existentes entre as expressões numéricas.
De acordo com Stephens (2006), os autores Carpenter e Franke (2001) e
Blanton e Kaput (2001) utilizam a expressão "pensamento algébrico" para descrever
ao que ele chama de "pensamento relacional". Stephens (2007) apresenta que
pensadores relacionais utilizam a equivalência entre os dois membros do sinal de
igualdade de um modo diferente da equivalência de resultados. Para o pesquisador,
os pensadores relacionais são capazes de ver possibilidades de variação entre os
10
A concepção fundamentalista-estrutural, propõe que o papel pedagógico da álgebra é de fundamentador dos vários campos da matemática escolar. É nessa fase que ocorre uma "reorganização dos tópicos algébricos (expressões algébricas, valores numéricos, operações, fatoração)" (FIORENTINI, MIORIM, MIGUEL, 1993, p. 84)
58
números de uma relação, por exemplo, na expressão 73+49=72+?, eles podem
perceber que 73 é 1 a mais que 72 e que, portanto, o número que deve substituir o
ponto ? deve ser 1 a mais que 49. De acordo com Stephens (2007), o pensamento
relacional parece ser caracterizado por uma capacidade para ver possibilidades de
variação entre os números, em que é possível identificar possibilidades de mudança,
dependendo das operações envolvidas.
3.3 Estudo sobre a igualdade
Historicamente, o símbolo moderno de igualdade foi utilizado pela primeira
vez na Álgebra de Robert Record, a obra The Whetstone of Witte, publicada em
1557. Nessa obra, Record utilizou pela primeira vez o símbolo de igualdade,
justificou a adoção de um par de segmentos de reta paralelos para representar esse
símbolo pois, em sua opinião não poderia haver duas coisas mais iguais (EVES,
1997).
Ponte; Branco e Matos (2009) referem que o trabalho envolvendo as relações
iniciou-se, em Portugal, no primeiro ciclo. Nas séries iniciais os alunos são
estimulados a estabelecer relações entre números promovendo, desse modo, a
compreensão das operações, propriedades e das relações entre diferentes
operações. Os pesquisadores destacam que a noção de igualdade assume uma
importância especial, desde o início. As relações são expressas por meio da
linguagem natural e, posteriormente, utilizam alguns símbolos matemáticos. De
acordo com os pesquisadores, esse trabalho com relações pode contribuir para o
desenvolvimento do pensamento algébrico.
Esta primeira abordagem à identificação de relações e à sua representação contribui para o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos, preparando-os para a compreensão da linguagem algébrica (PONTE; BRANCO; MATOS, 2009, p.19)
Nos primeiros anos de escolaridade, o sinal de igual, assim como o sinal de
adição são utilizados pelos alunos na aprendizagem de Aritmética e, mais tarde, na
aprendizagem de Álgebra. De acordo com Branco (2008), os significados desses
59
símbolos são diferentes em cada uma das áreas e devemos desenvolver uma nova
compreensão desses símbolos ao iniciar o estudo da Álgebra.
Booth (1995) salienta a importância do significado dos símbolos de operações
e igualdade para as crianças. Ela sugere que devemos deixar claro que a soma, por
exemplo, não significa apenas uma instrução, mas também o resultado da adição
desse número e aponta:
Analogamente, é preciso acentuar o valor bidirecional do símbolo de igualdade, tanto se exigindo a leitura adequada do símbolo (por exemplo, "é igual a" em vez de "dá", como em "2 mais 3 dá 5"), como proporcionando aos alunos experiências com expressões da forma 5=2+3 (bem como 1+4=2+3, etc.) (BOOTH, 1995, p. 29)
Em Aritmética, o sinal de igual surge como um sinal de operação, e indica que
alguma ação deve ser realizada. Já nas equações algébricas, este sinal indica que
existe equivalência entre os membros (KIERAN, 1981, apud BRANCO, 2008). Para
Booth (1995), o sinal de igual em Aritmética tem uma direção apenas, da esquerda à
direita, na qual o resultado deve ser colocado após esse sinal. Já em Álgebra, o
sinal de igual indica a realização de "transformações conceituais, portanto, é
bidimensional" (SCARLASSARI, 2007, p.44)
De acordo com Ponte; Branco e Matos (2009), o conceito de igualdade em
Matemática refere-se mais à equivalência do que à identidade. Para os autores
supracitados a noção de identidade Matemática requer que os objetos sejam
idênticos em todos os aspectos e um objeto é idêntico apenas a ele mesmo.
No caso da noção de equivalência ou igualdade matemática podemos nos
referir a apenas uma propriedade comum. A relação de igualdade matemática utiliza
as mesma propriedades da relação de equivalência: simétrica; transitiva; reflexiva.
Desse modo será simétrica, pois se a=b então b=a, para todo a e b; e reflexiva, pois
a=a para todo a e transitiva se a=b e b=c então a=c.
Ainda de acordo com Ponte; Branco e Matos (2009), a relação que existe em
uma operação de adição e sua soma é uma relação de equivalência, pois os termos
são diferentes, mas representam a mesma quantidade, na qual o sinal de igualdade
é utilizado. A justificativa para essa relação é a propriedade "ter o mesmo número de
60
elementos", ou seja, é a reunião de dois conjuntos (disjuntos) que se unidos ficam
com a mesma quantidade de um outro.
Pesquisas como as de Kieran (1981), Bandarra (2011), Mestre e Oliveira
(2008), Ribeiro e Trivilin (2015), sobre os diferentes significados do sinal de
igualdade e suas implicações para a aprendizagem, referem que no Ensino
Fundamental I (1º e 2º ciclos de 1º ao 5º ano) há certo tipo de atividades
apresentadas para os alunos que fazem com que eles percebam o sinal de
igualdade com o significado de operador. A operação vem ao lado esquerdo do sinal
de igualdade e o aluno deverá colocar o resultado ao lado direito.
Bandarra (2011) cita uma pesquisa de Carpenter et al. (2003) na qual foi
verificado que as crianças estabelecem uma relação entre o sinal de igualdade e a
calculadora, pois encaram esse sinal como o resultado de uma operação a ser
resolvida. Ponte; Branco e Matos (2009) sugerem que as atividades não se limitem à
operação do lado esquerdo, como por exemplo, a+b=c, mas, que sejam
apresentadas também na forma c=a+b. Atividades envolvendo diferentes
significados do sinal de igualdade devem ser apresentadas, desde cedo às crianças
para que elas percebam o significado da equivalência entre as duas expressões a
que está antes e a que está depois do sinal de igualdade.
Ponte; Branco e Matos (2009), citam que Kieran (1981) distingue o
pensamento aritmético do pensamento algébrico, a partir dos dois modos de encarar
o sinal de igualdade (processual e estrutural). O pensamento aritmético é marcado
por cálculos, encontrando um resultado, o pensamento algébrico está relacionado
com a estrutura e as relações que os sustentam. Para Kieran (1981) a passagem
que se dá entre o pensamento aritmético para o pensamento algébrico é marcada
pela compreensão do sinal de igualdade. Quando o significado do sinal de igualdade
para o aluno é o de resultado de uma operação indica uma visão processual do sinal
de igualdade. Já quando ele consegue perceber a relação de equivalência que
existe entre as expressões localizadas dos dois membros do sinal de igualdade,
indica uma visão estrutural.
Para Booth (1995), uma das dificuldades na aprendizagem de Álgebra é
gerada em Aritmética pelas respostas únicas às operações, ou seja, os alunos ao
iniciarem o trabalho com Álgebra não aceitam a falta de fechamento. Para eles,
expressões como 3x+4y necessitam de uma resposta e eles acabam simplificando
61
essa dificuldade para 7xy. Ainda Booth (1995), em seu trabalho, percebe que, para
os alunos, o sinal de igualdade indica uma relação entre as etapas do cálculo que
estão sendo realizadas.
De acordo com Ponte, Branco e Matos (2009) o sinal de igual pode assumir
diferentes significados, dependendo da situação que se apresenta. Nesse sentido,
os autores citados identificam três significados que podem ser atribuídos ao sinal de
igual: como em um sentido processual pode ter um significado de "opere" que surge
nas operações aritméticas e na simplificação de expressões algébricas; pode
assumir um significado de equivalência entre expressões; significado de equação,
ou seja, apresenta a pergunta se as expressões forem equivalentes para um valor
desconhecido; e, ainda, pode ser usado para uma relação funcional, como uma
relação de dependência entre duas variáveis.
Pesquisas no Brasil, tais como a de Ribeiro (2007) que destaca que o estudo
das equações não pode ser utilizado apenas como procedimento e técnica de
resolução, para que o aluno seja capaz de entender a ideia com significado e
conseguir, por exemplo, resolver problemas. Silva e Ribeiro (2014) analisaram livros
didáticos brasileiros do EF I e do EF II e mostram que o sinal de igualdade é
apresentado como operador no ensino fundamental I, sendo pouco abordado o
significado relacional ou de equivalência.
As pesquisadoras Mestre e Oliveira (2008) destacam o caráter inovador que o
novo Programa de Matemática do Ensino Básico, em Portugal, representa com
relação ao tema Álgebra, pois considera o pensamento algébrico, como um dos
quatro eixos fundamentais: Números e operações, Álgebra, Geometria e
Organização e tratamento de dados. De acordo com o Programa de Matemática do
Ensino Básico de Portugal (ME-DGIDC, 2007), o tema Álgebra não aparece no 1º
ciclo, embora apresente alguns objetivos de natureza algébrica. De acordo com o
referido documento, no trabalho com sequências, relações entre números e
operações ou em simetria são evidenciadas ideias algébricas na identificação de
padrões e regularidades generalizáveis que auxiliam na capacidade de abstração,
contribuindo para o desenvolvimento do pensamento algébrico.
O objetivo da pesquisa de Mestre e Oliveira (2008, p.17) foi analisar como se
desenvolve o pensamento algébrico, em especial, analisar o pensamento relacional
62
evidenciado em atividade de igualdades com duas variáveis em uma turma de 4º
ano. De acordo com as autoras, os alunos tiveram o pensamento relacional
desenvolvido, em uma fase inicial e, posteriormente, foram explorados aspectos
centrais do pensamento funcional. As pesquisadoras destacam que o percurso foi
construído, levando-se em conta as dificuldades evidenciadas, "conduzindo os
alunos à apropriação do de outras formas de pensar que promovem o
desenvolvimento do pensamento algébrico".
Mestre e Oliveira (2008) citam que os pesquisadores Blanton e Kaput (2005)
entendem que o pensamento algébrico pode ser visto, como o processo pelo qual o
aluno expressa, por meio do discurso da argumentação, a generalização de ideias
matemáticas, utilizando símbolos, de modo gradual, de acordo com sua idade.
Uma abordagem possível para o desenvolvimento do pensamento algébrico é
a da Aritmética generalizada. "Isso implica a construção da generalização a partir
das relações numéricas e das operações aritméticas e suas propriedades e inclui
ainda a noção de equivalência associada ao sinal de igual (=)." (MESTRE e
OLIVEIRA, 2008, p.2). A essa capacidade de perceber as equações ou expressões
de uma maneira mais ampla e perceber as relações existentes entre elas, Carpenter
et al.(2003, apud MESTRE; OLIVEIRA, 2008, p.3) dão o nome de pensamento
relacional. Um exemplo de pensamento relacional é a expressão 8+4=___+5 que
pode ser resolvida de maneiras diferentes: 1ª somando 8 e 4 e, em seguida, verificar
quanto falta de 5 para chegar a 12 (que não relaciona os números envolvidos) ou 2ª
relacionando os números da igualdade, por exemplo, 4 é um a menos que 5 então
basta somar 7 "usando a seguinte relação: 8+4=(7+1)+4=7+(1+4)".
A pesquisa de Mestre e Oliveira (2008, p.3) mostra a implementação de uma
experiência que pretende desenvolver o pensamento algébrico em alunos de 4º ano.
Algumas atividades que exploram igualdades numéricas com duas variáveis são
aplicadas com o objetivo de analisar o pensamento relacional dos alunos. As autoras
apontam que segundo Stephens (2006) "O pensamento relacional pode ser
expresso através de uma grande variedade de métodos e formas, mas que
dependem sempre das ideias fundamentais de equivalência e compensação
requeridas em operações particulares".
63
De acordo com Fujii e Stephens (2008), citados por Mestre e Oliveira (2008),
os alunos possuem uma capacidade de usar exemplos para explicar a veracidade
de expressões numéricas, como 78-49+49=78, que, mais tarde, podem ser
generalizadas como a-b+b=a, essa capacidade foi descrita como pensamento quase
variável. A expressão quase variável é, portanto, conforme Fujii (2003) "um número
ou conjunto de números numa expressão que revelam a relação matemática
subjacente e que se manterá verdadeira independentemente dos números que
sejam usados"(MESTRE; OLIVEIRA,2008, p.4)
Mestre e Oliveira (2008, p.7)aplicaram atividades com a intenção de explorar
tarefas que visem a desenvolver o pensamento algébrico, analisando o pensamento
relacional evidenciado pelos alunos na resolução dessas tarefas. As duas aulas
foram filmadas e registradas. "A exploração destas tarefas tinha como objectivos a
identificação de regularidades e expressão da generalização pela linguagem natural,
e a iniciação de um percurso em direcção à simbolização pela passagem da
linguagem natural para a linguagem matemática".
O modelo de balança também foi utilizado para exemplificar a relação de
igualdade, como uma relação de equilíbrio.
Nas atividades, adaptadas do trabalho de Stephens e Wang (2008) por
Mestre e Oliveira (2008), nas quais os alunos deveriam atribuir valores às caixas A e
B, descobrindo a relação existente entre elas, mantendo a igualdade em
18+A=20+B. Os alunos descobrem a regra, ou seja, a estrutura daquela igualdade
numérica e conseguem explicitar de forma clara essa relação para qualquer número
colocado na caixa A e na caixa B. Os exemplos, anteriormente, analisados
evidenciam que a professora sugeriu diferentes representações para expressar as
relações existentes, a que os alunos foram correspondendo bem, embora ainda com
algumas limitações.
64
Figura 5- Atividade aplicada na pesquisa de Mestre e Oliveira (2008)
Em sua conclusão, as pesquisadoras citam que o conceito de generalização
aparece pela primeira vez com base na atividade com duas variáveis em uma
igualdade e que a noção de covariação entre as grandezas foi percebida e pode ter
Fonte: Mestre; Oliveira, 2008, p.9-10; p.14
65
sido desencadeada pelo fato de algumas das representações terem sido feitas por
meio de tabelas, mas, que "é também uma noção ainda em estado embrionário, mas
que se mostra promissora para as etapas seguintes de construção da noção de
variável." (p.22). Várias formas de representação foram usadas nas resoluções dos
alunos: a linguagem natural, tabelas, diagramas de setas e conseguiram, até
mesmo, apresentar a relação entre A e B de forma simbólica: A = 2+B. "Essas
tarefas permitiram trabalhar a generalização e simbolização a partir de expressões
numéricas particulares passíveis de ser generalizadas." (p.23). Elas concluem que
os alunos conseguiram mobilizar o pensamento relacional.
Em nossa pesquisa analisamos de que modo a comunicação na aula de
Matemática pode auxiliar o desenvolvimento do pensamento algébrico, identificando
os significados do sinal de igualdade evidenciados pelos alunos. Acreditamos,
conforme apresentado anteriormente, que o trabalho com os diferentes significados
do sinal de igualdade é importante e auxilia na aprendizagem de Álgebra e na
compreensão, mais adiante, das equações e funções. Buscamos identificar de que
modo esses significados podem contribuir ou criar obstáculos, para o
desenvolvimento do pensamento algébrico e de que maneira a comunicação pode
auxiliar os alunos a perceberem o significado de equivalência que existe no sinal de
igualdade.
No próximo capítulo, serão apresentados os procedimentos metodológicos: a
justificativa da escolha da escola e dos alunos; o estudo e a análise da sequência de
atividades aplicada nos instrumentos piloto e definitivo.
66
CAPÍTULO 4
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
4.1 Metodologia de pesquisa
Da mesma forma como descrevem Araújo e Borba (2013) "quando um
professor (de Matemática) se dispõe a realizar uma pesquisa na área de Educação
(Matemática), talvez seja porque ele vem problematizando sua prática" escolhi
pesquisar a comunicação na sala de aula apoiada em minha prática e nos
pressupostos teóricos e na revisão bibliográfica (respectivamente os Capítulos 2 e
3), percebendo que meus alunos ao narrarem como pensaram para resolver um
problema, conseguiam organizar suas ideias e como seus colegas interagiam e
significavam a resolução. Nesse sentido, a primeira questão de pesquisa que surgiu
foi : De que maneira a comunicação na aula de Matemática pode contribuir para
o desenvolvimento do pensamento algébrico? De acordo com Morse (1994)
citado por Araújo e Borba (2013, p.34) "muitas vezes, as questões de pesquisa se
originam na própria prática profissional do pesquisador".
Essa pesquisa tem uma abordagem qualitativa para analisar de que forma o
uso da oralidade e da narrativa nas aulas de Matemática pode contribuir para o
desenvolvimento do pensamento algébrico, pois, segundo D'Ambrósio (2013, p.12),
a pesquisa qualitativa "tem como foco entender e interpretar dados e discursos,
mesmo quando envolve grupos de participantes". Araújo e Borba (2013) nos
mostram que as informações obtidas em uma pesquisa qualitativa têm
características mais descritivas, valorizando o "significado dado às ações". Os
autores também citam cinco características da pesquisa qualitativa apresentadas
por Bogdan e Biklen:
1. Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente natural, constituindo o investigador o instrumento principal (p. 47);
2. A investigação qualitativa é descritiva (p.48); 3. Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo
do que simplesmente pelos resultados ou produtos (p.49); 4. Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados
de forma indutiva (p.50); e
67
5. O significado é de importância vital na abordagem qualitativa. (p.50). (BOGDAN; BIKLEN, 1994, apud ARAÚJO; BORBA, 2013, p.25)
Nesse sentido, em um primeiro momento, fizemos a revisão da literatura e o
estudo do referencial teórico.
Em uma segunda etapa, utilizamos pesquisa de campo para identificar as
contribuições da oralidade e narrativa nas aulas de Matemática para a construção do
pensamento algébrico, propondo atividades, elaboradas para serem desenvolvidas
de acordo com a Teoria das Situações Didáticas, com o intuito de identificar indícios
do desenvolvimento desse tipo de pensamento. Finalmente, fizemos a análise do
material coletado para identificar de que maneira a comunicação na aula de
matemática pode contribuir para o desenvolvimento do pensamento algébrico
(conforme p.50-51), em atividades que exijam que os alunos evidenciem o
significado do sinal de igualdade. Analisamos os diferentes tipos de registros de
representação semiótica (língua natural, numérico,algébrico e tabela), e a conversão
entre eles com embasamento teórico na teoria de Raymond Duval.
4.2 A escola e os alunos
Para realizar esta pesquisa foi escolhida uma Escola da rede Estadual
Paulista. Para facilitar sua realização, optamos pela escola onde trabalho, mas, com
uma turma que não tenho contato. Decidimos realizar a pesquisa em uma sala de
aula em que eu não atuasse como professora para interferir o mínimo possível nas
análises. Os alunos dessa turma são todos novos na escola, pois no ano anterior
não havia 6º ano nessa escola e, portanto, não tive contato com eles nos anos
anteriores, o que não acontece com as outras turmas.
O grande diferencial desta escola é o fato dela ter se tornado Escola Ensino
Integral, a partir de 2015, ano da realização dessa pesquisa. Os professores que
passaram a atuar na escola foram selecionados após um rigoroso processo, pois
recebem uma gratificação de 75% do salário base e possuem uma jornada de
trabalho de 8 horas diárias, ou seja, 40 horas semanais O professor trabalha no
máximo 30 horas com alunos, e o tempo restante é horário de estudo, 1 hora de
68
reunião com o Professor Coordenador de Área e os professores de sua área e 2
horas com o Professor Coordenador geral.
Na escola, os alunos permanece 8 horas e 40 minutos por dia, tendo aula da
Base Nacional Comum e Parte Diversificada na qual estão incluídas as aulas de
Orientação de Estudos, Protagonismo Juvenil, Projeto de Vida e Disciplina Eletiva.
Cada aluno escolhe um tutor que será o responsável pelo acompanhamento de seu
rendimento que fará reuniões quinzenais com seus tutorandos e bimestrais com os
responsáveis nas reuniões de pais e mestres. Os professores da Base Nacional
Comum são orientados a trabalhar com o Currículo do Estado de São Paulo (SÃO
PAULO, 2011), portanto, são desenvolvidas com os alunos as Situações de
Aprendizagem do Caderno do Aluno.
Nesta escola, estou atuando como professora 20 horas semanais e como
Professora Coordenadora de Área (PCA) 20 horas semanais, o que me fez ter outro
olhar para o ensino, pois, como PCA uma das minhas atribuições é a de assistir às
aulas dos professores de minha área, analisar e dar a devolutiva. A turma do 7º ano
ainda não teve contato com Álgebra escolar que, de acordo com os PCN e o
Currículo do Estado de São Paulo, deve ser iniciado na 6ª série/7º ano.
Todos os alunos que participaram da pesquisa são da mesma idade, 12 anos.
As quatro alunas que participaram da aplicação do instrumento piloto sempre
estudaram em escola pública. Duas alunas que participaram da aplicação da
pesquisa de campo estudaram em escolas particulares próximas à atual escola e,
por questões financeiras mudaram para a escola pública neste ano. Os outros
alunos estudaram em escola particular, no mínimo, até o terceiro ano do Ensino
Fundamental I. Os nomes dos alunos utilizados neste estudo são fictícios.
A escola possui livros didáticos que são utilizados como consulta pelo
professor, o material de uso obrigatório, no qual o professor pode fazer as
adequações necessárias é o material de apoio ao currículo. Todos os professores
trabalham com o Caderno do Aluno e Caderno do Professor, fornecidos pela
Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, o livro didático Projeto radix:
matemática, 7º ano, Jackson da Silva Ribeiro, São Paulo, editora Scipione, 2009,
adotado pela escola possui foi escolhido pelos professores que trabalhavam na
escola à época da escolha. Ou seja, o livro didático é utilizado pelo professor para
complementar as atividades do material fornecido pela SEE.
69
CAPÍTULO 5
O ESTUDO E APLICAÇÃO DO INSTRUMENTO PILOTO
A sequência das atividades desenvolvidas tem o objetivo, em primeiro lugar,
de analisar qual significado os alunos atribuem ao sinal de igual. No documento "A
álgebra no ensino básico", em Portugal, Ponte; Branco e Matos (2009) relacionam
três significados para o sinal "=", como operador, relacional e equivalência. Como já
citado anteriormente, o sinal de igualdade pode ter vários significados, para muitos
alunos do ensino fundamental II, esse significado ainda é opere, ou seja, tem função
parecida com a tecla da calculadora, a operação vem sempre antes do sinal "=" e o
resultado deve aparecer ao lado direito (BANDARRA, 2011).
De acordo com Kieran (1981), o significado operacional para o sinal de igual é
aprendido antes do sentido de equivalência e alguns alunos permanecem com o
sentido operacional mesmo quando o sinal "=" assume o sentido de equivalência.
Nesse sentido, de acordo com Ponte (2006), os vários significados que o sinal de
igual pode assumir, apresentam-se como um obstáculo à aprendizagem de Álgebra
e ao desenvolvimento deste pensamento.
Buscamos analisar de que modo a comunicação em atividades que exigem os
diferentes significados do sinal de igualdade podem auxiliar no desenvolvimento do
pensamento algébrico.
Baseada nas pesquisas de Mestre e Oliveira (2008), Ribeiro e Trivilin (2015)
sobre o sinal de igualdade, e Nobre (1996) sobre a situação de comunicação, foram
analisados os diferentes significados do sinal de igualdade por parte dos alunos e
aplicada uma sequência de atividades com o intuito de desenvolver o pensamento
algébrico. Nessa sequência, os alunos foram colocados em situação de
comunicação e foram analisado como essa comunicação pode, ou não, auxiliar o
desenvolvimento do pensamento algébrico.
A sequência de atividades foi dividida em três partes:
- a primeira parte, pretendeu identificar o significado do sinal de igualdade
evidenciado pelos alunos, de acordo com o significado atribuído ao sinal de
igualdade, pudemos identificar o pensamento relacional. Para identificarmos o
70
pensamento relacional, foi utilizada a categorização baseada em Bandarra (2011): (i)
relacional se a opinião do aluno consistir na utilização do símbolo de igual para
representar uma igualdade de expressões; (ii) de operacional se o aluno considerou,
que o resultado deveria ser colocado logo após o sinal de igualdade;
- a segunda parte o desenvolvimento do pensamento algébrico. Para procurarmos
indícios do desenvolvimento do pensamento algébrico listamos as categorias das
análises elaboradas por Fiorentini; Fernandes e Cristóvão (2005) quando os alunos
apresentam: (i) pensamento pré-algébrico: apesar de utilizar algum elemento
considerado algébrico, ainda não concebem a generalização ou variável; (ii)
pensamento de transição do aritmético ao algébrico: estabelecem alguns processos
de generalização, podendo ou não utilizar a linguagem simbólica; (iii) pensamento
algébrico mais desenvolvido, nesta categoria, o aluno evidencia a capacidade de
pensar e expressar-se genericamente.
Em todas as etapas, foi analisado de que maneira a comunicação entre os
alunos poderia contribuir para o desenvolvimento do pensamento algébrico. Para
auxiliar essa análise foi observada a mobilização dos conhecimentos antigos, o
compartilhamento de sentidos e a produção dos significados coletivos, bem como os
registros de representação semiótica. Esperávamos que os alunos conseguissem
realizar os registros da língua natural (oralmente ou por escrito) e aos poucos
fizessem a conversão para os registros numérico e algébrico.
Antes da realização do instrumento definitivo, foi elaborada uma análise
prévia que permitiu prever possíveis atitudes ou dificuldades enfrentadas pelos
alunos no intuito de minimizar possíveis obstáculos e a produção da versão
definitiva. Elaboramos quatro atividades apresentadas a seguir.
5.1 Análise prévia das atividades
5.1.1 Atividade 1
I- Objetivo
71
O objetivo desta atividade é de identificar qual o significado que cada aluno
atribui ao sinal de igualdade. De acordo com pesquisas, como Trivilin e Ribeiro
(2015), os alunos estão acostumados, desde o Ensino Fundamental I, com a
sentença localizada ao lado esquerdo do sinal de igualdade e estranham quando
isso é mudado. Como dito anteriormente, muitos alunos percebem o sinal de igual
apenas, como "opere". No capítulo em que tratamos do sinal de igualdade, vimos
que Ponte; Branco e Matos (2009), identificam três diferentes significados que
podem ser atribuídos ao sinal de igual: como "operador"; como "equivalência"; como
"relacional".
II- Apresentação
A primeira atividade foi baseada nos trabalhos de Mestre e Oliveira (2008) e
Bandarra (2011) como segue:
1-) Para cada uma das seguintes sentenças numéricas, escreva um número
na caixa, de modo que a igualdade seja verdadeira. Explique como pensou para
resolver.
27 + 19 = 30 + □ 10 - 5 = □ -4
18 - □ = 17 - 7 □+ 21 = 18 + 27
III- Análise da Situação
Esta atividade requer que o aluno utilize o registro numérico para representar
o significado que ele atribui para o sinal de igualdade. É provável que, na realização
da atividade 1, alguns alunos apresentem respostas do tipo "opere": 27+19=46;
48+3=51; 71+47= 118; -3+21=18, sem considerar a equivalência entre os dois
membros. Ao mostrar este tipo de significado, o aluno poderá complementar essa
representação com a oralidade, ou seja, no registro da língua natural, na tentativa de
72
explicar a exclusão do último termo do segundo membro da igualdade. Entretanto,
esperamos que os alunos consigam perceber a relação de equivalência existente
entre os dois membros do sinal de igualdade e completem de modo adequado, ou
seja, preenchendo os quadrados para que as sentenças fiquem verdadeiras.
O pensamento relacional será evidenciado baseado na categorização de
Bandarra (2011):
- A resposta será categorizada de relacional, se a opinião do aluno consistir
na utilização do símbolo de igual para representar uma igualdade de expressões;
- Será caracterizada de operacional, se o aluno considerar que o símbolo de
igual representa o resultado que deve ser obtido.
5.1.2 Atividade 2
I- Objetivo
O objetivo desta atividade é analisar se os alunos conseguem, em uma
situação problematizada ou em um problema do cotidiano evidenciar o pensamento
relacional. Esperamos que os alunos identifiquem facilmente a quantidade
desconhecida. Com esta atividade, poderemos identificar qual significado os alunos
atribuem ao sinal de igual.
II- Apresentação
2-) Dois amigos tinham a mesma quantidade de dinheiro e compraram cards. Após a compra cada menino ficou com o valor mostrado na figura.
73
a) Quanto custou cada card?
b) Quanto dinheiro cada menino tinha antes da compra?
III- Análise da Situação
A atividade 2 foi baseada na proposta de atividades da Brochura de Ponte;
Branco e Matos (2009). Esse tipo de atividade é uma sugestão para iniciar o
trabalho de análise de relações, envolvendo as quantidades desconhecidas com
uma variável. O aluno poderá manipular a quantidade desconhecida, como um
objeto inicialmente, depois determiná-la. Acreditamos que os alunos conseguirão
comparar as duas situações e perceber a equivalência entre elas. Esperamos que o
aluno perceba que como a quantidade de dinheiro entre os dois amigos é a mesma,
que eles consigam relacionar um card com R$3,50.
5.1.3 Atividade 3
I- Objetivo
O objetivo da atividade 3 é analisar o significado do sinal de igualdade que é
atribuído pelo aluno. Esperamos que os alunos já tenham percebido o sinal de
igualdade como equivalência. Acreditamos que os alunos irão utilizar os registros de
representação semiótica, realizando as conversões do registro da língua natural,
para o numérico. Na pesquisa de Mestre e Oliveira (2008), as crianças de 4º ano
conseguiram fazer a representação em tabelas e na linguagem algébrica, entretanto
não consideramos que esta seja uma possibilidade de ocorrência nesta pesquisa,
pois, na pesquisa realizada em Portugal a sequência didática foi desenvolvida por
um período mais longo, no qual os alunos já haviam realizado atividades que os
levaram à Aritmética generalizada.
74
II- Apresentação
3-) Você pode pensar sobre a seguinte sentença matemática:
15 + □ = 18 + □
caixa B caixa A
a) Em cada uma das sentenças abaixo, você pode colocar números nas
caixas A e B para fazer com que fiquem corretas?
15 + □ = 18 + □
caixa B caixa A
15 + □ = 18 + □
caixa B caixa A
15 + □ = 18 + □
caixa B caixa A
b) Qual é a relação existente entre os números das caixas A e B quando a
sentença fica verdadeira?
c) Se, em lugar de 15 e 18, o primeiro número fosse de 356 e o segundo
número 361 qual seria a relação entre os números nas caixas A e B?
d) Se colocar qualquer número na caixa A, você poderá ainda fazer uma
sentença correta? Explique, detalhadamente, como você pensou para responder.
e) O que você pode dizer sobre c e d nesta sentença matemática?
c + 4 = d + 12
III- Análise da Situação
A atividade 3 baseada no trabalho de Stephens (2008) visa a que o aluno
relacione os dois membros do sinal de igualdade e consiga chegar a algum tipo de
75
generalização. Na pesquisa de Mestre e Oliveira (2008) com alunos do 4º ano, em
Portugal, as pesquisadoras desenvolveram uma sequência que já visava a
generalização em operações aritméticas. Naquela pesquisa, quando a atividade na
qual a atividade 3 está baseada, foi aplicada com os alunos do 4º ano em Portugal,
eles perceberam que a caixa B deveria ter duas unidades a mais que a caixa A e
escreveram na linguagem Matemática, utilizando o registro simbólico B=A+2.
Nesta pesquisa, os alunos em duplas receberam o problema 3 que deveria
ser analisado. Acreditávamos que eles preencheriam o primeiro quadradinho com o
número 3, pois a sentença é 15+□=18+□, mas, após algum tempo, perceberiam a
equivalência que deve existir entre os dois membros do sinal de igualdade e
conseguiriam preencher os espaços indicados de modo que as sentenças ficassem
verdadeiras.
Os alunos deveriam perceber a relação entre os dois números, pois o número
da caixa B deve ser maior 3 unidades que o da caixa A. Esperávamos que, ao
chegar ao item e, os alunos conseguiriam compreender a sentença e o que
significam as letras nelas, conseguissem perceber a relação que existe entre elas
que é de oito unidades a mais para a letra c. Poderia ocorrer dos alunos
responderem essa atividade com exemplos.
Após os alunos terminarem as atividades, nesse momento, realizamos as
trocas das duplas para observarmos os diálogos entre elas. Cada aluno explicou
para sua nova dupla, como pensou para resolver as atividades desenvolvidas até
aqui, para que pudessem validar suas respostas ou produzir um novo sentido ao
sinal de igualdade. Esperávamos que os alunos do 7º ano que participaram desta
pesquisa conseguissem perceber a regularidade sugerida e que a situação de
comunicação entre os alunos, como em Nobre (1996), propiciasse que eles
evoluíssem do registro da língua natural para o registro simbólico.
5.1.4 Atividade 4
I- Objetivo
76
O objetivo desta atividade foi que os alunos conseguissem utilizar os
diferentes registros de representação semiótica e as conversões do registro da
língua natural para o numérico e que evidenciassem o desenvolvimento do
pensamento algébrico. Nesta atividade, esperávamos que os alunos conseguissem
apresentar algum tipo de generalização, mesmo que não fosse no registro algébrico,
mas, que fosse em uma linguagem mista criada por eles, seria suficiente para
identificarmos o desenvolvimento desse pensamento.
II- Apresentação
4) Dois irmãos ganharam presentes uma roupa e um brinquedo cada. As
crianças puderam escolher os presentes, mas o dinheiro gasto com cada criança foi
o mesmo. Se um deles escolheu uma bola de futebol de R$40,00 e o outro um jogo
de playstation de R$60,00. Quanto cada irmão pode gastar com roupas?
a) Invente uma regra para qualquer preço de roupa. Explique como você
pensou.
III- Análise da Situação
Nesta atividade, os alunos deveriam evidenciar o significado relacional do
sinal de igualdade. Eles deveriam perceber a relação existente entre os presentes
dos dois irmãos que representa uma relação de equivalência, pois ambos poderiam
gastar a mesma quantia em dinheiro no total. Um dos irmãos já gastou R$60,00 e o
outro R$40,00, o que indica que a relação entre os gastos é de R$20,00, ou seja, o
irmão que gastou menos poderia gastar 20 reais a mais com roupas. Esperávamos
77
que os alunos conseguissem apresentar algum tipo de generalização e fizessem as
conversões entre os registros da língua natural, registro numérico, registro em
tabelas e registro algébrico.
5.2 Análise do Instrumento Piloto e Apresentação dos dados
Antes da realização da pesquisa de campo, foram entregues na escola à
diretora e aos alunos, que aceitaram participar desta pesquisa, uma carta de
autorização e outra de Consentimento Livre e Esclarecido que foram assinadas por
todos seus responsáveis.
Na reunião que participei do Grupo de Pesquisa (GPEA), foi discutido com os
membros do grupo e foi sugerido aplicar um instrumento piloto em duas duplas para
que pudesse realizar qualquer alteração que fosse necessária, tanto na sequência
de atividades como na dinâmica das trocas de duplas, para que ocorresse a
situação de comunicação.
As duplas que participaram do instrumento piloto foram escolhidas ao acaso,
sendo quatro alunas. A aplicação ocorreu dia 22 de junho de 2015 durante uma aula
dupla de 50 minutos cada, em uma sala de aula que não estava sendo utilizada na
escola. Ao perceber que as alunas estavam cansadas, não entreguei a quarta
atividade.
Para realizar as análises, foram listados três aspectos que consideramos
relevantes para que os objetivos fossem contemplados: (i) os diferentes significados
do sinal de igualdade apresentados pelos alunos e de que modo podem interferir no
desenvolvimento do pensamento algébrico; (ii) as contribuições para o
desenvolvimento do pensamento algébrico atribuídas à interação e à comunicação,
com o colega; (iii) o registro da língua natural, como um primeiro registro de
representação semiótica da igualdade e a articulação com os registros numérico, em
tabela e algébrico.
Ao analisar o instrumento piloto pudemos verificar que as quatro alunas a
princípio evidenciavam ter a compreensão do sinal de igualdade, como operador,
como podemos observar na Figura 6 protocolo da primeira dupla Felícia e Bruna.
78
Figura 6: Protocolo da atividade 1- dupla 1 Felícia e Bruna
No protocolo, percebemos que a aluna preencheu as quatro sentenças de
modo que resultasse em uma sentença falsa. Percebemos que ela apenas
considerou os dois termos do primeiro membro e o primeiro termo do segundo
membro, desconsiderando o segundo termo do segundo membro. Em todos os itens
desta atividade, ela completou o final com outro sinal de igualdade, realizando a
operação do segundo membro. É interessante observar que, no quarto item, ela
completou o quadradinho com um número inteiro o -3 e completou a expressão
acrescentando =45 no final , ficando com -3+21=18+27=45.
Por meio do protocolo apresentado na Figura 6, analisamos que a dupla 1
Felícia e Bruna evidenciou o significado de opere do sinal de igualdade; para elas o
número que vem logo em seguida ao sinal de igualdade é o resultado da operação
localizada à esquerda do sinal de igualdade. Elas preencheram a atividade 1 do
mesmo modo destacado por Booth (1995), no qual o sinal de igualdade pode indicar
uma relação entre as etapas dos cálculos que estão sendo realizados, como por
exemplo, -3+21=18+27=45.
Já na atividade 2, que abordava uma relação de igualdade com um problema
envolvendo uma situação do cotidiano, a mesma dupla conseguiu resolver
corretamente.
Fonte: Dados da pesquisa
79
Figura 7: Protocolo da atividade 2- dupla 1 Bruna e Felícia.
Fonte: Dados da pesquisadora
11
Na atividade 2, as alunas conseguiram encontrar o valor de cada card
comparando os dois casos. Podemos observar no protocolo, Figura 7, que a escrita
da aluna sugere que ela consegue relacionar a quantidade de cards com o troco,
obtendo o valor de um card. Nesta atividade, as alunas não se confundiram, ou seja,
elas tinham clara a noção de equivalência, ou seja, nos dois casos apresentados
nessa atividade, o total em dinheiro para cada menino era o mesmo. Na atividade 2,
as duas duplas conseguiram evidenciar o pensamento relacional que ficou mais
evidente no protocolo da dupla 2 Gisele e Giovanna (Figura 8), ao observarmos o
desenho que elas fizeram no troco dado ao primeiro menino, conseguindo com que
os trocos ficassem iguais, concluindo que o preço de cada card só poderá ser
R$3,50. A resolução desta atividade pelas duplas do instrumento piloto aconteceu,
de acordo com a análise prévia realizada. Percebemos que os alunos conseguiram
em uma situação problematizada ou em um problema do cotidiano evidenciar o
pensamento relacional; os alunos identificaram facilmente a quantidade
desconhecida.
Figura 8: Protocolo da atividade 2 da dupla 2 Gisele e Giovanna
11
Transcrição do protocolo da dupla 1 na atividade 2: "a) Se o menino que comprou 2 pacotes ficou com 3 reais de troco e o que comprou 1 pacote ficou com 6,50. Se o menino que comprou 1 pacote comprasse outro pacote teria que ficar com 3 reais de troco, ou seja pagaria 3,50 pelo pacote. b) Agora que sabemos quanto custava, se o garoto que ficou com 6,50 não teria"
80
Fonte: Dados da pesquisador.
Já na atividade 3, a dupla 1, Felícia e Bruna, apresentou novamente o
significado do sinal de igualdade, como um operador. As alunas, sobretudo Felícia
que impôs mais sua opinião (uma característica observada pelos professores em
sala de aula), do mesmo modo que, na atividade 1, atribuíam um valor ao espaço
em branco para que o resultado da operação fosse o número que está logo após o
sinal de igualdade. De início, a dupla 1, Felícia e Bruna não conseguiu compreender
a atividade 3.
F: "O mais confuso é que não tem o resultado para saber o que vai aqui no meio." Br: "Ah! São todos iguais." F: "Se 15 mais 3 é igual a 18 mais bulhufas dá? Não entendi nada!" Pesquisadora: "Pensa, se você colocar 3 na estrela o que você tem que colocar no quadrado? F: "Pode ser negativo dentro?" Pesquisadora: "Por quê negativo?" F: "Porque se eu fizer 15+3=18 e 18-15=3." E representou utilizando setas como na Figura 9.
81
Figura 9: Representação da igualdade pela aluna Felícia
Fonte: Dados da pesquisadora
Quando questionadas sobre como realizaram a atividade para que a sentença
15+ = 18+ □, a explicação foi a seguinte: "15+que número é igual a 18? é 3. E o
18 menos que número dá 3? É o -15". Tentei fazer com que as alunas observassem
a atividade, tendo em vista a equivalência que deve haver entre os dois membros da
igualdade, mas, elas estavam convictas. A aluna Felícia conseguiu convencer a
colega Bruna que seu raciocínio estava correto e assim elas resolveram todas as
sentenças do item a, do mesmo modo. Essa passagem indica que as alunas não
compreendem o conceito de variável, ou seja não perceberam a relação que existe
entre as duas variáveis.
Santos (2009) ressalta que a linguagem utilizada na aula de Matemática é
uma mistura da linguagem comum e da linguagem matemática que possuem
aspectos bem diferentes. O aluno para chegar à linguagem Matemática utiliza a
linguagem comum, pois ele precisa de "significados referenciais na formação dos
conceitos matemáticos para a apropriação de uma linguagem específica."(SANTOS,
2009, p.122). Ao analisar o protocolo da aluna Felícia, de acordo com Vygotyky
(2008), podemos afirmar que ela traz os significados do sinal de igualdade que
foram construídos com base em suas experiências de vida. A dupla Felícia e Bruna,
construiu um significado momentâneo para o sinal de igualdade (Figura 9), ou seja,
de acordo com Oliveira (2013), baseada em Vygotsky, elas produziram um
significado coletivo ao compartilharem os sentidos que cada uma trazia sobre o sinal
de igualdade, mesmo sendo errado.
82
De acordo com Oliveira (2013), o processo de aprendizagem escolar pode
interferir na formação da estrutura conceitual12. Nesse sentido, as transformações
dos significados deixam de ocorrer apenas com base na experiência de vida. Este é
o papel fundamental do professor reconhecer o momento em que é necessário fazer
as intervenções para as transformações de significados.
Após as duas duplas resolverem as atividades, pedi para que duas alunas
trocassem de lugar, a fim de que pudessem explicar para sua nova dupla o modo
como resolveram a atividade. O confronto entre as hipóteses das duas duplas seria
uma maneira que as alunas teriam para comprovar ou validar, conforme Brousseau
(2008) sua conjectura ou descartá-la.
Quando as duplas foram trocadas, Felícia tentou convencer a colega
argumentando que seu raciocínio estava correto, mas, logo foi convencida pela sua
nova dupla que o sinal de igualdade teria de ser respeitado, elas deveriam "fazer
com que nos dois lados a conta desse o mesmo resultado" (dupla Felícia e Gisele),
ou seja, compreendido com o significado de equivalência.
Na troca, as novas duplas produziram um novo significado para o sinal de
igualdade. Gisele mostrou para Felícia que o segundo membro inteiro deveria ser
equivalente ao primeiro membro, ou seja, ela não poderia ignorar simplesmente o
outro número. As alunas retomaram a atividade 1, e Felícia percebeu que estava
errada e Gisele validou sua conjectura. Felícia, ao confrontar sua resposta com a de
sua nova parceira de dupla, transformou o significado que havia construído sobre o
sinal de igualdade. Ela percebeu que deve haver equivalência entre os dois
membros para que a sentença fique verdadeira, como pode ser observado no
protocolo da dupla 1 (Figura 10).
12
"As transformações de significados ocorrem não mais apenas a partir da experiência de vida, mas, principalmente, a partir de definições, referências e ordenações de diferentes sistemas conceituais, mediadas pelo conhecimento já consolidado na cultura." (OLIVEIRA, 2013, p.52)
83
Figura 10: Protocolo da atividade 3- dupla 1 Bruna e Felícia após a troca das duplas
Fonte: Dados da pesquisadora
Após a troca das duplas, a primeira dupla conseguiu preencher o item a da
atividade 3 de modo que as sentenças ficassem verdadeiras. Entretanto, não
conseguiram compreender a pergunta do item b, que se refere à relação existente
entre os números das Figuras A e B. Para que as duplas não ficassem bloqueadas,
sugeri que fizessem a representação da solução do item a em tabelas, para que
conseguissem perceber essa relação, conforme está na Figura 11.
No protocolo da dupla 2, Gisele e Giovanna (Figura 11), podemos observar
que elas parecem ter percebido a relação existente entre as variáveis que
escreveram embaixo da tabela.
84
Figura 11: Protocolo da dupla Gisele e Giovanna atividade 3- Registro em Tabela.
Fonte: Dados da pesquisadora
A dupla 1 também conseguiu representar o Registro em Tabela e, apenas
após esse registro, perceber a relação de dependência, conforme mostra a Figura
12.
Figura 12: Protocolo da dupla1 Felícia e Bruna atividade 3- Registro em Tabela.
Fonte: Dados da pesquisadora
85
Com o auxílio dos dados da tabela, elas perceberam facilmente a relação
existente entre as variáveis e completaram "3 números entre o número A e B". Como
já citado anteriormente, Duval (2003) considera que, para que o aluno não confunda
o objeto matemático com sua representação, é necessário que ele consiga
representar esse objeto com, pelo menos, dois registros diferentes. Nesse sentido,
os alunos realizando a conversão entre os registros da língua natural para o
numérico e em tabelas conseguem perceber o significado relacional do sinal de
igualdade.
Como a comanda para que as alunas não apagassem suas respostas não foi
dada, isso acabou ocorrendo. As alunas utilizaram o lápis para resolver a atividade e
fizeram a correção da atividade 3. Podemos observar no protocolo da Figura 10 que
a aluna Bruna ainda deixou o número 3 dentro da estrela e, depois em cima, ela
completou com um número que tornasse a sentença correta.
A realização do instrumento piloto foi essencial, para que imprevistos fossem
evitados no momento da aplicação do instrumento piloto, no qual tive problemas
técnicos com minha câmera, e a gravação do vídeo foi perdida. Como estava
sozinha na sala com os alunos, não pude observar as duas duplas ao mesmo tempo
e, muitos dados, que seriam importantes deixaram de ser registrados. Tentei ao
máximo registrar os diálogos e realizar as análises. Entretanto, apesar de tantos
problemas de ordem técnica (por falta de experiência) na aplicação do instrumento
piloto, a experiência foi tão rica em termos de atividade de investigação, na interação
entre as primeiras duplas e, sobretudo, na interação entre as segundas duplas,
formadas após a troca, que decidi manter a análise dos resultados do instrumento
piloto neste estudo.
Com base na aplicação do instrumento piloto, percebi que precisaria melhorar
os equipamentos de filmagem para que pudesse acompanhar melhor os diálogos
durante a análise. A sequência das atividades usada no piloto foi mantida para a
realização da pesquisa definitiva, pois os enunciados estavam claros e
desencadearam os diálogos entre os alunos, tornando possível identificar o
significado do sinal de igualdade que os alunos traziam, e a partir de sua realização
os alunos mostraram indícios do desenvolvimento do pensamento algébrico.
86
Outro ponto que me chamou atenção, foi o fato dos alunos ficarem esperando
o professor ensinar como era para ser feito, seguindo um exemplo dado. Apesar da
comanda ter sido dada, ou seja, os alunos deveriam ler o enunciado e tentar
resolver as atividades. Uma aluna na aplicação do instrumento piloto ficou brava
porque queria que eu explicasse o que ela deveria fazer. Percebemos que o contrato
didático implícito é forte e sua ruptura é difícil em alguns casos. Outro ponto
observado, os alunos não estão acostumados a trabalhar em grupo e, muitas vezes,
dispersam-se perdendo o foco da atividade. Entretanto, a interação entre os alunos
propicia a negociação de significados e, consequentemente, a apreensão do
conhecimento.
Os alunos com a personalidade mais forte, assumiram o papel de liderança.
Foi interessante observar que alguns alunos ficam esperando o exemplo que deve
ser seguido. Nesse trabalho, o professor saiu do papel principal propiciando a
autonomia dos alunos na apreensão do conhecimento. Acreditamos que alguns
alunos que possuem habilidade de liderança acabam conseguindo convencer o
outro mesmo sem ter argumentos matemáticos, fato que merece um estudo mais
aprofundado. No próximo item será realizada a apresentação e análise do
instrumento definitivo.
5.3 Análise e Apresentação dos dados da Pesquisa de Campo
A pesquisa de campo foi realizada em 24/08/2015, com o auxílio da
professora de Ciências, de nome fictício Magali, dessa turma. Como já mencionado
anteriormente, essa escola estadual funciona período integral, e os professores e
alunos permanecem das 7 horas e 30 minutos às 16 horas e 30 minutos. Decidimos
aplicar nossa Pesquisa de Campo para somente quatro alunos, pois acreditamos
que conseguiríamos coletar os dados em áudio e vídeo com melhor qualidade
trabalhando com poucos estudantes. Nesse dia, no período da tarde, os alunos
teriam uma aula dupla de artes, e a professora Roseli colaborando com meu
trabalho cedeu quatro alunos para participar da realização da pesquisa. Estes quatro
alunos foram convidados a participar e por vontade própria aceitaram o convite.
87
Dessa vez, diferente da aplicação do instrumento piloto, um dos participantes
era um menino e contei com o auxílio de uma professora para a filmagem durante a
realização da sequência de atividades. Em conversa com os professores de
Ciências, Matemática e Orientação de Estudos fui informada que o aluno era muito
participativo, gostava de falar e perguntava bastante, sendo uma boa opção para a
análise dos diálogos. As três alunas eram dedicadas e não apresentavam problemas
de aprendizagem. As autorizações para a participação da pesquisa foram entregues
junto, na época da aplicação do instrumento piloto.
Quando chamei os alunos à sala de aula, informei que eles trabalhariam em
duplas e que poderiam escolher seus colegas. Percebi que as meninas não se
sentiram muito à vontade para fazer dupla com o menino, então, informei que eu
poderia chamar mais uma menina e um menino se eles preferissem. Os alunos
disseram que não seria necessário.
5.3.1 Análise da resolução da atividade 1
Ao iniciarmos a realização da pesquisa de campo, formaram-se as duplas
Helena e Bianca; Raul e Yara (nomes fictícios). Como eu tinha câmera filmando as
duas duplas, e a professora Magali auxiliando-me na filmagem, ao perceber que a
dupla formada por Raul e Yara estava com mais dificuldades, acompanhei essa
dupla mais de perto. A dupla Helena e Bianca, logo no começo, demonstrou ter o
significado do sinal de igualdade como equivalência, como pode ser constatado no
diálogo a seguir.
Helena lê o enunciado da atividade 1 e exprime sua opinião:
H: "Acho isso fácil!" B:" Eu só não entendi isso aqui de igualdade!" (grifa a palavra igualdade com o lápis). H: "É tipo isso daqui, óh. 27 mais 19, é igual a, 30 mais num sei o quê, tá vendo? Igualdade"(circula 27+19), "Igualdade" B: "Ah tá!" H: "Quer dizer a soma desse daqui tem que ser ...." B: "Sei, tem que ser tipo equivalente a esse aqui." H: "É isso!"
(circula 30+ ).
88
Com esse diálogo, podemos perceber que o significado de equivalência do
sinal de igualdade prevaleceu, desde o começo nessa dupla.
Figura 13 : Protocolo da atividade 1 dupla 3 Helena e Bianca
Fonte: Dados da pesquisadora
H: "Quanto dá 27 mais 19?" B: "46. Agora a gente faz que número mais 30 dá 46? É 16. Então, 27+19=30+16." H: "Vamos ver. (Faz a conta) 46-30=16. Dá 16 tá certo." H: "O próximo, seguindo o mesmo raciocínio." H e B: As duas falam: "18 menos o que é igual a 17, menos o quê?" H: "Sempre tem um elemento da igualdade. Nesse caso aqui foi o 46." (aponta para o primeiro) "Aqui vai dar 10" (aponta para o segundo). "Então, acho que é 8, né?"
B: "Isso." B: "5 menos 10?" (Bianca inverte a ordem da operação e as duas respondem 5). H: "Tem que ser alguma coisa que dá 5. Sabe o que podemos fazer?" B: "E 4 menos?" H: "Tira esse 5 daqui 5+4. Entendeu?" B: "9-4?" H: "5."
89
B: "Ah! 5+4=9 e 9-4=5."
H: "Você sempre tem que fazer a operação inversa." B: "Tem que tirar a prova." H: "Real". B: "Prova real."
As duas fazem a operação 18+27=45.
H: "Então, temos que fazer 45-21."
H: "24." B: "Ah Menos! 24. Aí 24+21=45." H: "Certo."
Embora a dupla 3 tenha preenchido o primeiro quadradinho com o número
errado 12, podemos observar que o resultado da operação realizada à esquerda
estava correto. No diálogo também, em nenhum momento, elas mencionam o
número 12. Pode ter ocorrido um equívoco no momento de transcrever o resultado
(Figura 13). A dupla 3, Helena e Bianca, mostrou ter uma representação estrutural
do sinal de igualdade, o que de acordo com Kieran (1981), apontado anteriormente,
indica a passagem do pensamento aritmético para o algébrico, que é marcada pela
compreensão do sinal de igualdade, pois percebem a relação de equivalência entre
as sentenças localizadas entre os dois membros do sinal de igualdade.
Na pesquisa de Mestre e Oliveira (2008), o pensamento relacional é
identificado, quando os alunos, além de perceber o sinal de igualdade significando
equivalência entre os dois membros, relacionam os números da igualdade, por
exemplo, na sentença 27+19=30+ ; 27 é três unidades menor que 30, então,
bastaria subtrair 3, usando a seguinte relação: 27+19=(30-3)+19=30+(19-3). No
entanto, na atividade 1 nenhuma das quatro duplas conseguiu evidenciar esse tipo
de pensamento relacional. O que nos levou a estabelecer como critério de análise
para o pensamento relacional: se a dupla conseguisse relacionar os dois membros
do sinal de igualdade como sendo equivalentes.
Já com a dupla 2, Yara e Raul, analisando protocolos e as gravações dos
diálogos pudemos perceber que, no início Yara tinha compreendido a atividade 1 e
tentou explicar para Raul como deveriam realizar essa atividade. Raul respondeu
como Yara sugeriu, mas não compreendeu, pois o sentido que ele tinha do sinal de
igualdade era de opere e não de equivalência. Podemos observar esse fato no
protocolo da atividade 1 da dupla 4 (Figura 14).
90
Figura 14: Protocolo da dupla 4 Raul e Yara atividade 1
Fonte: Dados da pesquisadora
5.3.2 Análise da resolução da atividade 2
A dupla 1 evidenciou dificuldade para encontrar o preço de um card. Como
pode ser observado no diálogo:
B: "Quanto custa cada card?"
B: "Ele comprou 1, e o outro comprou 2. Se eles tinham a mesma quantia de dinheiro e o outro comprou 2. Se eles tinham a mesma quantia de dinheiro o que comprou 1 fica com troco maior. Quem comprou mais, fica com troco menor. Então, por exemplo, a gente tem que..."
É interrompida pela colega Helena:
H: "Quer dizer que cada card custa R$2,50?"
91
Bianca fica confusa e responde:
B: "É mais ou menos isso. Não sei!"
Percebemos que, neste momento, a interferência de Helena interrompeu o
raciocínio de Bianca, que ficou confusa. Quando Helena atribui um valor qualquer
para o preço de um card, faz com que a dupla comece a resolver a atividade por
tentativa e erro até chegar ao resultado. Diferente da dupla 1 do instrumento piloto
que resolveu a atividade, mostrando o pensamento relacional entre os elementos
dos dois membros da igualdade, como já apresentado na análise do instrumento
piloto na página 77 desta pesquisa.
As alunas continuam:
H: "Aqui dá um card. (Risca R$2,50) E aqui e aqui mais um card. Não!"
B: "6,7,8! Pera ai! Se, por exemplo, eles tivessem R$9,50 e comprassem um card de R$2,50. Qual seria o troco? Tipo se for R$6,50..."
H: "A gente pode jogar um número acima de R$6,50."
B: Concorda fazendo sinal positivo com a cabeça.
H: "Então, vamos jogar, sei lá, 9."
B: "Éh! R$9,50. Não, R$9,00."
H: "9 dividido por o que mesmo? 2,50 (olha para a folha da colega, fica em dúvida com a conta e retoma) Vamos jogar 8? (escreve 8,50÷2,50)."
B: "O que você tá fazendo?"
H: "Tô fazendo a divisão...." ficam em silêncio por algum tempo e desistem.
H: "E se fosse 9?"
B: "Acho que é 8,50."
H: "E se fosse R$3,50 cada card? E se fosse R$10,00? 3,5x2 dá 7+3 dá 10. Se fosse R$2,50 daria 5 e faltaria 4."
B: "Deixa eu ver" (faz as subtrações 10-3,50=6,50; 6,50-3,50=3,00 e valida).
Com esse diálogo, fica evidente ser necessário o desenvolvimento de
atividades que estimulem a análise de relações com uma variável. A dupla Helena e
Bianca poderia ter relacionado que a quantidade de dinheiro que o primeiro amigo
tem é igual a um card mais o troco do segundo amigo. A falta do pensamento
92
relacional no caso desta atividade interferiu, dificultando sua resolução. Podemos
observar no protocolo da dupla 3, Bianca e Helena, Figura 15, que elas resolvem por
tentativa e erro. Monstram ter compreendido que os valores são equivalentes, pois
os dois amigos, antes da compra, têm a mesma quantidade de dinheiro; no entanto,
não conseguem relacionar o troco dos dois amigos com o preço de um card, como
era esperado na análise prévia.
De acordo com os critérios de análise definidos a partir de Fiorentini;
Fernandes e Cristovão (2005), a dupla Helena e Bianca, nessa atividade, evidencia
ter o pensamento pré-algébrico, pois apesar das alunas perceberem o significado de
equivalência do sinal de igualdade, elas ainda não concebem a generalização ou
variável. Acreditamos que não compreensão do conceito de variável foi um dificultou
a resolução da atividade fazendo com que as alunas resolvessem por tentativa e
erro.
Figura 15: Protocolo da atividade 2 da dupla 3 Helena e Bianca
Fonte: Dados da pesquisadora
93
A dupla 4, Raul e Yara, não conseguiu resolver a atividade 2. Apenas após a
troca das duplas, com a interação entre: Raul e Bianca; Helena e Yara isto foi feito.
5.3.3 Análise da resolução da atividade 3
A dupla 3, Helena e Bianca, leu o enunciado da atividade 3 "você pode
colocar números nas figuras A e B para fazer com que fiquem corretas?" E
respondeu que sim. A dupla não demonstrou ter desenvolvido o pensamento
relacional como sendo capaz de relacionar os números das sentenças; no entanto,
relacionou os dois membros, pois percebeu o sinal de igualdade, como equivalência
entre os dois membros. Como podemos observar nos diálogos:
H: "Ah! São vários números que a gente pode colocar." B: "Mas, a sentença tem que ficar correta. O que mais 15 que vai dar 18 mais
o que? Vamos fazer 18+15?" (faz a adição na folha) "33." H: "E se fizer 15+33 (faz a adição15+33) 48." B: "48." H: "É igual a 18+30! Não!" B: "33+18 dá 51, 51-15..." H: "O que você tá fazendo?" B: "44. A maioria é meio par. Menos 51, 15 e 45."
A dupla parou de resolver e recomeçou do início, leram o enunciado
novamente, mas, desta vez a resposta foi "NÃO! Descobri que não" (risadas).
H: "15 pra chegar no 18 falta 3, não falta?" B: "Uh, Hum." H: "Tá aí nosso número." B: "Três?" H: "3 (acena positivamente com a cabeça)." Nesse momento, percebi que a dupla estava com dificuldades e resolvi
intervir.
94
Pesquisadora: "Apagaram tudo?" H: "É porque não fazia sentido." Pesquisadora: "O que vocês fizeram?" B: "É que tem que ver que número que somado com 15 dá 18, soma com ... .
Tentamos descobrir esse número aqui e um número mais 18 que seja igual a. Tipo a soma seja igual a esse." (apontando a expressão )
H: "É, mas não faz sentido!" Pesquisadora: "Que número vocês colocaram?" H: "33." Pesquisadora: "Tá, se for 33 aqui, que número vai ter que ser lá?" H: "Mas, não deu certo, professora." B: "18+15." H: "Dá 33." B: "Então, 15+18=18+15." Nesse momento, fica evidente que, para Helena, faltou a compreensão das
propriedades das operações; pois, de acordo com Ponte; Branco e Matos (2009) o
reconhecimento dos elementos neutros da adição e da multiplicação pelos alunos
"associados às propriedades das operações e à sua expressão, primeiro em
linguagem natural e depois, progressivamente, em linguagem simbólica, é um dos
aspectos do pensamento algébrico" (PONTE; BRANCO; MATOS, 2009, p.29).
Nesse momento as alunas não se entenderam, pois estavam falando de
coisas diferentes. Bianca tinha conseguido resolver a atividade: no entanto, Helena
não percebeu que o que a colega havia dito anteriormente estava correto
15+18=18+15, ou seja, utilizando a propriedade comutativa da adição. Para Helena
validar a operação, ela precisa "armar" e resolver a conta no papel, não utiliza
cálculo mental. Como podemos observar no diálogo que segue:
H: "15+33 dá 48; 18+ o que dá 48?"
Helena tampou os ouvidos e falou:
H: "Esquece esse 33. Pelo amor de Deus. 18-15 vai dar 3. Tá bom. Não, não é isso gente!"
B: "48 é um número fixo?" H: "Hum?"
15 + = 18 + □
95
B: "15+18=33; 15+33=48; 18+48=...." H: "Não, não é isso! Já sei! Já resolvi! Já consegui!" H: "Tá bem, o número fixo é 48, certo? Se o número fixo é 48. Lembra que a
gente tava fazendo 18+48? Não dá certo, porque vai dar um número muito alto, e tem que fazer 66-18. Não pode ser. Então, a gente tem que pegar o 33 certo? 18+33. Só que tem o seguinte, pra dar certo 33+15=48. Se aqui tem que ser 33, aqui tem que ser 30. 30+18."
B: "Dá 48. Meu, você é um gênio." H: "Éh! Eu sou um gênio!" B: "Então, o A é 30." H: "O A é 30 e o B é" B: "33. Caraca!" H: "AhAhAh! (dança)."
A dupla conseguiu resolver o primeiro item da atividade 3. No entanto, ainda
não conseguiu generalizar para qualquer número, ou seja, utilizaram os números
que apareceram na atividade para tentar resolver, a mesma situação foi descrita por
Mestre e Oliveira (2008) em sua pesquisa. Nesse sentido, identificamos a dupla com
o pensamento de transição do aritmético ao algébrico, pois nessa categoria o aluno
estabelece alguns processos de generalização podendo ou não utilizar a linguagem
simbólica.
B: "E isso aqui, o resto?" H: "Professora! E essas contas outras três, o que é pra fazer?" Pesquisadora: "Pra você completar com o que você quiser." H: "É pra colocar outros números?" Pesquisadora: "Pode ser outros números?" H: "Acho que sim, talvez!" Pesquisadora: "Então, tenta, se der..." B: "Dá pra fazer com 44?" H: "44? Por que 44?" B: "15+44" H: "Daria 59." B: "18 é um número par. Não daria um número ímpar daria?" H: "Daria! Poderia dar! Ahm! Parou tudo, Bia você é um gênio!" B: "Ah obrigada! H: "Não, não deu certo!"
Elas perdem o foco novamente. A próxima fala de Helena demonstra a falta
que o estudo das propriedades das operações faz, pois elas poderiam utilizar o
elemento neutro da adição:
96
H: "3 não daria certo, porque 15+3=18 e aqui teria que colocar outro número. Poderiam ser infinitos números que têm relação com 15 e 18."
B: "18+21=39" H: "E o que isso tem a ver?" B: "Que 15+... Ai! Eu odeio Matemática!" H: "Como você fala isso no trabalho da professora? Tá filmando." B: Olha para a câmera e fala "Não é nada pessoal, mas, eu odeio
Matemática." B: "15+ mais o quê que vai dar 39? 24. Ah! consegui!" H: "O que você fez?" B: "18+21=39 e 15+24=39." H: "Por que 24?" B: "Porque dá 39." H: "Ah! 21+3=24! Você é um gênio!" B: "Ah! Obrigada!" H: "Eu descobri uma coisa! Toda vez esse número é menor que esse 3." B: "Verdade. Toda vez 33-30=3, 24-21=3." H: "Então, a relação de... Meu Deus! Já consegui responder a b . Qual é a
diferença? A diferença sempre será 3." H: "Vamos voltar nesse. E se a gente fizer 15+18?" B: "33 a gente já fez." H: "15+36=18+33." H: "Lembra que a gente descobriu que a relação entre B e A sempre será -3?
Então, no item c, se a relação fosse 356 e o segundo 361 seria menos alguma coisa, e eu tô tentando descobrir o que é essa alguma coisa."
B: "Ah! Entendi!" H: "361-356=5 Seria 5." B: "Cinco, a diferença entre A e B seria 5."
A fala inicial da dupla "3 não daria certo porque 15+3=18 e aqui teria de
colocar outro número..." evidenciou a falta da compreensão do elemento neutro da
adição. A dupla agiu como se o zero não fosse um número possível. Esta outra fala
"[...]Poderiam ser infinitos números que têm relação com 15 e 18." mostrou que as
alunas ainda não concebiam totalmente a generalização, pois achavam que os
valores possíveis para as respostas deveriam estar relacionados com 15 e 18.
97
Figura 16: Protocolo da atividade 3 da dupla 3, Helena e Bianca.
Fonte: Dados da pesquisadora
A dupla 3 conseguiu perceber a relação que existe entre as duas variáveis,
entretanto, ainda revelou "um pensamento de transição do aritmético ao algébrico:
que estabelece alguns processos de generalização, podendo ou não utilizar a
linguagem simbólica", conforme a categorização de análise do desenvolvimento do
pensamento algébrico elaborada por Fiorentini;Fernandes e Cristovão (2005). Elas
acreditavam que os números desconhecidos ainda deveriam estar relacionados com
18 e 15. No item d, elas responderam que não poderiam escrever uma sentença
correta para qualquer número que fosse colocado na caixa A, como podemos
observar no protocolo da Figura 16.
No item d, a dupla conseguiu perceber a relação que existia entre as variáveis
e resolveu a atividade, da mesma maneira que no item anterior, apoiada nos
números fornecidos na atividade. Na expressão c+4=d+12, a dupla adicionou 4+12 e
obteve 16, que foi utilizado para substituir a variável c. As alunas evidenciaram o
98
desenvolvimento do pensamento algébrico, escrevendo um processo de
generalização, utilizando o registro na língua natural descrito no protocolo da dupla 3
Bianca e Helena: "A diferença entre os números desconhecidos e conhecidos
sempre será igual" (Figura 16).
Como destacaram Martinho e Ponte (2005), percebemos que a aprendizagem
matemática requer uma construção gradual de um quadro de referência, por meio do
qual os alunos constroem seu próprio conhecimento de Matemática em uma tensão
dinâmica, entre o conhecimento velho e o novo.
A dupla Raul e Yara não conseguiu resolver esta atividade até que as duplas
fossem trocadas. Nesse sentido, os alunos Raul e Yara foram considerados com o
pensamento pré-algébrico, pois ainda não concebiam generalização ou variável,
apesar de Yara compreender o significado do sinal de igualdade como equivalência.
5.3.4 Análise da resolução da atividade 4
As alunas Helena e Bianca resolveram a atividade 4 com bastante facilidade,
pois com o desenvolvimento da atividade anterior, elas conseguiram perceber a
relação de dependência que existe entre as variáveis. Identificamos alguns
elementos caracterizadores do pensamento algébrico: (i) Interpretar uma igualdade,
como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas; (ii)
Estabelecer relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões
geométricos e (iii) Desenvolver algum tipo de processo de generalização.
A dupla conseguiu utilizar vários tipos de registros, como: registro numérico;
simbólico; língua natural; registro algébrico. Como pode ser observado nos
seguintes diálogos:
B: "O dinheiro gasto com cada criança é o mesmo." H: "Eu sei!" B: "Então, se um gastou 60." H: "E se a gente fizesse igual ao outro exercício?" B: "Então!"
H: "Assim, oh! 40+□=60+O.(40+quadrado=60+círculo) Taran! Aqui a diferença é -20"
99
As alunas Helena e Bianca conseguiram converter o enunciado do problema
do registro da língua natural para uma registro simbólico, logo no começo do
exercício (DUVAL, 2003). Identificamos que as alunas conseguiram relacionar a
atividade 4 com a atividade 3 e conseguiram perceber a relação existente entre as
variáveis. No entanto, analisando os diálogos percebemos que as alunas ainda
apresentam dificuldades para expressar-se genericamente, apesar de
estabelecerem alguns processos de generalização, portanto as alunas foram
consideradas com o pensamento de transição do aritmético ao algébrico.
B: "Então, um jogo já é 60." H: " Se a gente pegar 20. 20+40=60. Hum! pera aí." B: "É 20+40=60, 2 e 4 dá 6." H: "40+60 dá 100." B: "Mas, a blusa pode ser mais cara que a outra?" H: "Pode. Mas, foi o mesmo preço, então a blusa tem o mesmo preço." B: " Não. A bola foi 40 e o jogo 60. Então, essa blusa aqui é mais cara que
essa. Vamos supor que essa blusa aqui custe 45 reais, essa aqui custa 25. H: "Não entendi nada, pode repetir, por favor!"
Nesse momento, Bianca consegue argumentar com Helena, fato que não
ocorreu nas atividades anteriores. Helena, que é uma menina mais desinibida,
consegue intimidar um pouco sua colega. Nas atividades anteriores, quando Bianca
tentava defender algum ponto de vista, recuava a qualquer palavra de sua colega.
Desta vez, Bianca conseguiu argumentar sua conjectura até o fim, sem permitir que
a interferência de sua colega a deixasse confusa. De acordo com Brousseau (2008)
na situação de validação, os alunos aprendem a convencer os colegas, assim como
aprendem "a se deixarem convencer sem ceder a argumentos retóricos, a soberba,
a intimidações etc." (BROUSSEAU, 2008, p.27). Os alunos passam a utilizar
argumentos que serão debatidos e, portanto, precisam afirmar que o que dizem é
verdadeiro de algum modo. As alunas conseguiram argumentar utilizando seus
conhecimentos matemáticos, conversaram sobre matemática ampliando seu
conhecimento. Nesse sentido, identificamos que as alunas desenvolveram o
pensamento do pré-algébrico para o pensamento de transição do aritmético ao
algébrico.
B: "A gente tem que inventar uma regra pra ver a blusa que ele vai comprar." H: "Ah! Pra ver qual blusa vai comprar?"
100
B: "O resultado tem que ser o mesmo. Isso, com isso, tem que ser o mesmo preço, não, é o mesmo dinheiro!"
H: "É o mesmo, o mesmo." B: "Isso!"
A dupla conseguiu resolver a atividade e me entregou. Eu lhes perguntei se
elas poderiam escrever uma regra como a que tem no exercício 3, elas responderam
que já fizeram com o quadradinho e o círculo. Mostrei o item e da atividade 3 que
possuía letras representando as variáveis, e Helena falou que poderia colocar x e y
no lugar do valor desconhecido e fez a representação, conforme apresentada no
protocolo da Figura 17. Com esta atividade, as alunas produziram o significado do
sinal de igualdade como equivalência, conseguiram relacionar os números
envolvidos na igualdade, evidenciando o desenvolvimento do pensamento relacional
e conseguiram produzir algum tipo de generalização, evidenciando o
desenvolvimento do pensamento algébrico.
Figura 17: Protocolo da atividade 4 da dupla 3
Fonte: Dados da pesquisadora
5.3.5 Análise das resoluções após a troca das duplas
Da mesma forma como foi feito no instrumento piloto, desta vez também
troquei as duplas. No entanto, tive de fazer algumas adaptações. A dupla 3, Helena
e Bianca, conseguiu chegar até o fim da sequência, o que não ocorreu com a dupla
Raul e Yara. Raul e Yara conseguiram resolver a atividade 1 apenas; Raul
demonstrava ter o significado do sinal de igualdade como "opere". Na interação com
Yara, ele conseguiu, aparentemente, compreender o sinal de igualdade como
equivalência e até fez a representação das respectivas igualdades no registro da
língua natural, conforme o protocolo da Figura 18.
101
Figura 18: Protocolo da atividade 1 dupla 4 Raul e Yara
Fonte : Dados da pesquisadora
A primeira frase "tiramos de conclusão que 27+19 não é 30, e sim 46" indica
que eles precisaram negociar significados do sinal de igualdade, pois 30 é o número
que vem logo depois do sinal na primeira atividade, que indica o significado de
opere.
Na segunda atividade, eles tentaram resolver por tentativa e erro, mas, da
mesma forma, como a dupla Helena e Bianca não evidenciaram o pensamento
relacional demonstrado pelas duplas que participaram da aplicação do instrumento
piloto. Raul e Yara atribuíram um valor para o card de R$4,50, tentaram resolver,
não conseguiram e desistiram da questão. Perguntaram se poderiam fazer a
atividade 3, pois a 2 estava muito difícil.
Na atividade 3, a dupla 4, Raul tentou colocar 3 no lugar da estrela e zero no
lugar do quadrado, mas Yara achou que ele estava errado. Raul foi o único aluno
que cogitou colocar o zero como resposta. Eu peço para que ele tente argumentar
com ela para defender seu raciocínio, mas ela não responde e para de falar.
O diálogo dos dois foi muito parado, pois Yara ficou tímida com a câmera e
falou muito baixo. Raul falou bastante e pediu para que ela falasse mais alto e, ao
contrário, falou cada vez mais baixo, até que parou de falar e só retomou quando as
duplas foram trocadas.
102
Quando a primeira dupla terminou toda a sequência de atividades, troquei as
duplas. Helena ficou ao lado de Yara e Raul fez dupla com Bianca.
Eles conferiram a atividade 1, que foi validada. Na atividade 2, Bianca explica
para ele como deve ser feita e ele tenta com alguns valores como 4,50, 2,50 e,
finalmente, consegue com 3,50, como podemos observar na Figura 19.
Figura 19 Protocolo da atividade 3 do aluno Raul após a troca das duplas
Fonte: Dados da pesquisadora
Já na atividade 3, Raul conversou com Bianca e perguntou se poderia ser
qualquer número. Ao responder que sim, Bianca ficou um pouco em dúvida, mas
Raul escreveu um número ao acaso, e fez com que Bianca percebesse que a
relação de dependência entre as variáveis teria de valer para qualquer número,
desde que a relação fosse respeitada. A interação com Raul fez com que Bianca
produzisse um novo significado para a variável. Ela percebeu que a generalização
refere-se a um valor desconhecido e que o valor de uma variável depende do valor
da outra, sempre respeitando a relação que existe entre elas, para qualquer número.
Nesse ponto, pudemos perceber que Bianca conseguiu demonstrar um "pensamento
algébrico mais desenvolvido; nessa categoria, o aluno evidencia a capacidade de
pensar e expressar-se genericamente", de acordo com a categorização da análise
do desenvolvimento do pensamento algébrico elaborada por Fiorentini; Fernandes e
Cristóvão (2005).
103
Já a aluna Yara, ao trocar a dupla ficou mais ativa participando mais, pois
concordava com a nova colega Helena. Conseguiu resolver as atividades, e
descobriu a relação entre as variáveis na atividade 3, conforme o diálogo abaixo:
H: "A grande questão que eu e a Bia percebemos, é que toda vez esse número e esse aqui têm uma ligação entre eles. É a diferença. De 27 para 30 são 3 números, e de 16 para 19 são 3 números. Nesse outro caso, aqui é 10."
Y: "Não é 9. Tá escrito 9 aí." H: "É 9." (Faz silêncio).
No diálogo acima, Helena mostrou possuir o pensamento relacional, pois
conseguiu relacionar os números 27 com 30 e 19 com 16 da igualdade
27+19=30+16. No entanto, logo, em seguida, ela se perde tentando relacionar os
números quando envolve subtração 10-5=9-4. As duas alunas, Helena e Yara,
mostraram ter o significado do sinal de igualdade, como equivalência entre duas
expressões.
As duas duplas resolveram por tentativa a atividade 2, conforme o diálogo:
H: "Se você consegue resolver a 1 você também resolve a 2." Y: "Eu fiz." H: "Como vocês fizeram?" Y: "Eu tentei 4,50 e 4,50 só que não deu. Daí, eu tentei 2,50 e também não
deu, aumentei para 3,50 e deu certo".
Já na atividade 3, Helena demonstrou ter compreendido parcialmente o
processo de generalização, pois ela ainda continuou fazendo alguma operação com
os números dados no enunciado para substituir na variável. No entanto, ela
percebeu a relação de dependência que existe entre as variáveis. Como podemos
observar no diálogo das alunas Yara e Helena sobre a atividade 3:
H: "É a mesma coisa que a outra, olha isso. Você vai ter que achar um jeito. Lembra que eu falei que tem sempre um número, que é uma diferença proporcional? Então, você vai ter que achar essa diferença. A diferença entre 15 e 18 é quanto?"
Y: "3." H: "Então, esse número com esse terá que ter 3 números de diferença." Y: "Então, seria..." H: "Você tem que fazer as contas. Primeiro, você vai ter que achar um
número fixo, pegando 15+18."
104
O diálogo mostra que os alunos mais tímidos aceitam as conjecturas dos
colegas que são mais extrovertidos, e esse fato acaba sendo um obstáculo nas
atividades nas quais sejam necessárias as interações e a negociação de
significados. A aluna Yara apresentou ter o pensamento relacional, ou seja, a
equivalência entre os dois membros do sinal de igualdade, da mesma maneira que
sua colega Helena. Entretanto, a inibição faz com que a aluna fique insegura apenas
aceitando, sem questionar. Na outra dupla, que se formou, após a troca, Raul e
Bianca, o fato do Raul ainda denotar o sentido operacional do sinal de igual, ou seja,
perceber o sinal de igualdade como opere, não o impediu de interagir com Bianca.
Muito pelo contrário, o fato de Raul perguntar para ela se poderia colocar qualquer
número para substituir uma das variáveis fez com que Bianca produzisse um novo
sentido à atividade. Bianca pôde compreender que a generalização substitui um
valor desconhecido, desmontando o significado que ela tinha produzido com sua
antiga dupla de que serviriam apenas os números obtidos baseados nas operações
realizadas com os números dados no enunciado. Nesse sentido consideramos que
Bianca ampliou o nível do pensamento do de transição do aritmético para o
algébrico para o pensamento algébrico mais desenvolvido, pois ela, aparentemente,
conseguiu perceber a generalização e evidenciou a capacidade de pensar e
expressar-se genericamente.
A seguir será realizada uma análise individual dos protocolos de desempenho
dos alunos, para que possamos identificar as mudanças que ocorreram, após a
aplicação da sequência de atividades.
5.3.5 Síntese dos resultados obtidos
Como apresentado no capítulo 5, utilizamos como fundamentação teórica os
elementos caracterizadores do pensamento algébrico apresentados por Fiorentini;
Fernandes e Cristóvão (2005): estabelecer relações/comparações entre expressões
numéricas ou padrões geométricos; produzir mais de um modelo aritmético para
uma mesma situação-problema; produzir vários significados para uma mesma
expressão numérica; interpretar uma igualdade, como equivalência entre duas
105
grandezas ou entre duas expressões numéricas; desenvolver algum tipo de
processo de generalização; perceber e tentar expressar regularidades ou
invariâncias; desenvolver ou criar uma linguagem mais concisa ou sincopada ao
expressar-se matematicamente.
Após a analise da resolução da sequência de atividades feita pelas duplas,
podemos concluir que os quatro alunos que participaram da realização da pesquisa
definitiva apresentavam tipos de pensamento diferentes. De acordo com os critérios
de análise que foram selecionados fundamentados nas categorias de Fiorentini;
Fernandes e Cristóvão (2005) a saber:
(i) pensamento pré-algébrico: apesar de utilizar algum elemento considerado
algébrico, ainda não concebe generalização ou variável;
(ii) pensamento de transição do aritmético ao algébrico: estabelece alguns
processos de generalização podendo ou não utilizar a linguagem simbólica; e
(iii) pensamento algébrico mais desenvolvido; nesta categoria, o aluno
evidencia a capacidade de pensar e expressar-se genericamente.
A seguir, serão apresentados os tipos de pensamentos que os alunos
apresentavam antes e como chegaram ao final da sequência de atividades.
Quadro 4- Quadro síntese
Aluno Características apresentadas antes da realização das atividades
Características apresentadas após a realização das atividades
Yara Pensamento: pré-algébrico;
Significado do sinal de igualdade: equivalência entre duas expressões; e
Elementos caracterizadores de pensamento algébrico: -interpretar uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas.
Pensamento: de transição do aritmético ao algébrico;
Significado do sinal de igualdade: equivalência entre duas expressões; e
Elementos caracterizadores de pensamento algébrico: -estabelecer relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões geométricos; -interpretar uma igualdade, como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas; -desenvolver algum tipo de processo de generalização; e -perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias.
106
Helena Pensamento: pré-algébrico;
Significado do sinal de igualdade: equivalência entre duas expressões; e
Elementos caracterizadores de pensamento algébrico: -produzir mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-problema; -produzir vários significados para uma mesma expressão numérica; e -interpretar uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas.
Pensamento: de transição do aritmético ao algébrico;
Significado do sinal de igualdade como: equivalência entre duas expressões; e
Elementos caracterizadores de pensamento algébrico: -estabelecer relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões geométricos; -produzir mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-problema; -produzir vários significados para uma mesma expressão numérica; -interpretar uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas; -desenvolver algum tipo de processo de generalização; -perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias; e -desenvolver ou criar uma linguagem mais concisa ou sincopada ao expressar-se matematicamente.
Raul Pensamento: aritmético;
Significado do sinal de igualdade como: Opere; e
Elementos caracterizadores de pensamento algébrico: O aluno não apresentou elementos caracterizadores do pensamento algébrico.
Pensamento: pré-algébrico;
Significado do sinal de igualdade como: equivalência entre duas expressões; e
Elementos caracterizadores de pensamento algébrico: -estabelecer relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões geométricos; -produzir mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-problema; -produzir vários significados para uma mesma expressão numérica; -interpretar uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas; e -perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias.
Bianca Pensamento: pré-algébrico;
Significado do sinal de igualdade como: opere, mas logo na primeira fala com a dupla Helena já percebeu a equivalência entre duas expressões; e
Elementos caracterizadores de pensamento algébrico: -produzir mais de um modelo
Pensamento: algébrico mais desenvolvido;
Significado do sinal de igualdade como: equivalência entre duas expressões; e
Elementos caracterizadores de pensamento algébrico: -estabelecer relações/comparações entre expressões numéricas ou
107
aritmético para uma mesma situação-problema; e -interpretar uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas.
padrões geométricos; -produzir mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-problema; -produzir vários significados para uma mesma expressão numérica; -interpretar uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas; -desenvolver algum tipo de processo de generalização; -perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias; e -desenvolver ou criar uma linguagem mais concisa ou sincopada ao expressar-se matematicamente.
Fonte: Dados da pesquisadora
Ao iniciar a atividade, a aluna Yara mostrava ter compreendido o significado
do sinal de igualdade, como uma equivalência entre duas equações, conforme a
análise dos diálogos apresentados na seção anterior. O fato fez com que
classificássemos o tipo de pensamento apresentado como pré-algébrico, pois de
acordo com Fiorentini; Fernandes e Cristóvão (2005), esse tipo de pensamento é
apresentado quando o aluno ainda não concebe a generalização, apesar de utilizar
algum elemento considerado algébrico. Após a realização da sequência de
atividades e da interação com os colegas, a aluna conseguiu perceber a relação
existente entre as variáveis o que caracterizou o pensamento, como sendo de
transição do aritmético ao algébrico, pois a aluna conseguiu estabelecer um
processo de generalização.
Desde o início, a aluna Helena, apresentou o significado de equivalência da
igualdade. Com a interação com a colega Bianca na realização da atividade,
mostrou ter desenvolvido alguns elementos caracterizadores do pensamento
algébrico, como perceber a relação existente entre expressões, interpretando a
igualdade, como equivalência entre duas grandezas e conseguiu escrever a relação
existente em uma linguagem algébrica. No entanto, ao analisar o diálogo da dupla
Helena e Bianca, percebemos que Helena admite apenas valores obtidos por meio
das operações realizadas com os valores apresentados na atividade, ou seja, ela
não consegue generalizar para qualquer valor. Portanto, foi classificada como
apresentando o pensamento de transição do aritmético ao algébrico.
108
O aluno Raul mostrou o significado operacional do sinal de igualdade. Para
ele, o resultado da operação localizada no primeiro membro da igualdade deveria
ser colocado logo após o sinal. Em interação com a colega Yara, apenas copiou a
resolução sem apreender o conhecimento. Após a troca das duplas, com a interação
com a colega Bianca, o aluno produziu um novo significado ao sinal de igualdade,
percebendo a equivalência que deve existir entre as expressões e a relação
existente entre as variáveis. Quando ele pergunta à colega "se a relação serve para
qualquer número?", ele apresenta algum processo de generalização e faz com que a
colega dê um passo além. Portanto, o aluno ao final da atividade apresentou o
pensamento de transição do aritmético ao algébrico.
No início a aluna Bianca pareceu não ter entendido o sinal de igualdade,
como uma equivalência, mas, logo percebeu a equivalência existente, mostrando ter
o pensamento pré-algébrico. Ao se analisar o diálogo da interação com a aluna
Helena, percebemos que Bianca conseguiu ver a relação existente entre as
variáveis, mas, apenas para valores obtidos com base nas operações com números
apresentados na atividade. Entretanto, a aluna, ao interagir com o aluno Raul que
perguntou se a relação valeria para qualquer número, conseguiu avançar. Bianca
conseguiu perceber que a generalização vale para qualquer número, caracterizando
um pensamento algébrico mais desenvolvido, pois nessa categoria o aluno
evidencia a capacidade de pensar e expressar-se genericamente.
Desse modo, pudemos perceber que os quatro alunos, após a realização da
sequência de atividades, ampliaram as características apresentadas, antes da
realização da atividade. Raul que tinha o pensamento aritmético e apresentava o
significado do sinal de igualdade como opere, conseguiu construir um novo
significado para o sinal de igualdade e apresentar alguns elementos
caracterizadores do pensamento algébrico. Helena e Yara evoluíram do pensamento
pré-algébrico para o pensamento de transição do aritmético para o algébrico,
embora Helena tenha apresentado mais elementos caracterizadores de pensamento
algébrico. Já Bianca mostrou ter avançado para um pensamento algébrico mais
desenvolvido, pois foi a única que mostrou um processo de generalização.
Nesta pesquisa o papel da pesquisadora era apenas de mediar a interação
entre os alunos, sem interferir muito nos diálogos das duplas. Quando
109
constatávamos que os alunos estavam errando tentávamos fazer com que eles
refletissem sobre o enunciado da atividade e interagisse com o colega. Após a
realização do instrumento definitivo, os oito alunos foram reunidos em uma sala de
aula e resolvemos juntos as 4 atividades da sequência, com a participação de todos.
110
CAPÍTULO 6
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta pesquisa teve como objetivo compreender e analisar de que forma a
comunicação, o aluno explicando como pensou para resolver a atividade, na aula de
matemática pode contribuir para o desenvolvimento do pensamento algébrico.. A
turma escolhida foi um 7º ano de uma escola da rede estadual paulista, localizada
em um bairro tradicional da zona norte da cidade de São Paulo. Procuramos criar
um ambiente propício ao desenvolvimento de elementos da Teoria das Situações
Didáticas. Os registros dos diálogos dos alunos ocorreram por meio de gravações de
áudio, vídeo e registros em diário de campo, para que pudéssemos analisar as
estratégias utilizadas para a resolução.
A pesquisa de campo procurou responder à seguinte questão de pesquisa:
De que forma a comunicação na aula de Matemática pode contribuir para a
construção do pensamento algébrico? Avalio que a realização desta pesquisa
obteve resultados positivos. Com base na análise dos resultados foi possível
constatar o desenvolvimento do pensamento relacional e do pensamento algébrico
que foram facilitados pela comunicação entre os alunos e a negociação de
significados.
Para responder à questão de pesquisa, foram utilizados, como aporte Teórico:
Duval (2003) com a Teoria dos Registros de Representação Semiótica, na qual pude
confirmar que os vários tipos de registros de um mesmo objeto podem auxiliar para
que os alunos não confundam o objeto matemático com sua representação;
Brousseau (2008) com os elementos da Teoria das Situações Didáticas, na qual a
situação de comunicação é salientada, como desencadeadora de aprendizagem
significativa; Vygoskky (2008) em sua obra Pensamento e Linguagem, para
analisarmos os sentidos que cada aluno atribuía ao sinal de igualdade e à produção
coletiva de significados.
Em pesquisas correlatas, pudemos constatar que as atividades de
investigação por parte dos alunos propiciam aprendizagem significativa. A proposta
de utilizar as características da Teoria das Situações Didáticas de Brousseau foi com
esse intuito. Os alunos foram apresentados a quatro atividades, nas quais deveriam
111
completar os espaços em branco com números para que as sentenças se tornassem
verdadeiras. A partir da leitura da comanda, sem maiores explicações por parte do
professor, os alunos, para resolver a atividade, tiveram de expor qual sentido sobre
o significado do sinal de igualdade eles traziam, ou seja, o significado produzido com
base em suas experiências de vida. A maior parte dos alunos, a princípio,
evidenciou o significado do sinal de igualdade como operador, ou seja, logo após o
sinal de igualdade deveria estar escrito o resultado da operação localizada antes do
sinal de igualdade. Os alunos que mostraram o significado do sinal, como operador
apresentaram dificuldade para resolver as atividades e, em alguns momentos,
ficaram bloqueados.
Em alguns casos, foi observado que alunos que em um primeiro momento
evidenciaram o significado operacional, mas, com a interação com o colega e com a
atividade, conseguiram mobilizar os conhecimentos necessários para atribuir um
novo sentido ao sinal de igualdade, como equivalência. Os alunos que evidenciaram
o significado do sinal de igualdade como equivalência, conseguiram resolver as
atividades de modo a deixar as sentenças verdadeiras.
Tanto na aplicação do instrumento piloto como na realização da pesquisa
definitiva, uma das duplas não conseguiu realizar as atividades, pois o significado do
sinal de igualdade, como operador foi um obstáculo para o avanço. No primeiro
momento, antes da troca, na dupla 4 (Raul e Yara) verificamos que Raul evidenciava
o significado do sinal de igualdade, como operador e Yara tentou explicar a atividade
1 para Raul, este concordou com ela, escrevendo o que era explicado. Como não
houve negociação de significados, Raul apenas aceitou o que sua colega disse, eles
não produziram um novo sentido.
A dupla 4, Raul e Yara, conseguiu resolver a atividade 2 por tentativa e erro,
até encontrar a resposta correta. Quando tentou resolver a atividade 3, ficou
evidente que Raul não havia compreendido, o que sua colega tinha explicado sobre
a relação de equivalência do sinal de igualdade. Yara não concordava com os
argumentos de Raul e, em lugar de rebater, ela parou de tentar resolver as
atividades, não quis mais falar nem resolveu a atividade. A dupla 4, Raul e Yara, não
foi produtiva, pois nenhum dos dois conseguiu avançar com essa interação. Talvez,
em uma sala de aula normal, sem câmera de vídeo filmando, pode ser que Yara não
tivesse ficado tão tímida e argumentado mais para defender suas conjecturas.
112
Nesse sentido, destacamos a importância do professor como um mediador
capaz de detectar as mudanças necessárias na dinâmica da sala de aula. Yara
mostrou, com sua postura, que não estava à vontade formando dupla com Raul. A
troca das duplas, a princípio, tinha o objetivo de fazer com que os alunos
explicassem para um outro aluno o significado produzido com sua antiga dupla. No
entanto, no caso da dupla 4, a troca das duplas foi essencial para que ocorresse a
interação.
No caso da dupla 1, Felícia e Bruna do instrumento piloto, a troca das duplas
foi um meio de fazer com que as alunas percebessem que o significado que elas
haviam produzido estava errado. Felícia, com a personalidade mais forte,
evidenciava o significado operacional e convenceu a colega Bruna que seu
raciocínio estava certo. Entretanto, quando as duplas foram trocadas, Gisele
conseguiu argumentar com Felícia, conseguindo provar que o sinal de igualdade
representava uma equivalência entre as duas expressões.
A dupla 2, Gisele e Giovanna, do instrumento piloto, em um primeiro momento
evidenciou o significado de "opere", pois procurava a resposta da operação após o
sinal de igualdade. No entanto, com a interação com a atividade, elas perceberam
que, para que a igualdade fosse verdadeira, deveria dar o mesmo resultado nos dois
membros.
Já a dupla 3, Helena e Bianca, desde o início mostrou perceber o sinal de
igualdade como equivalência, fato que contribuiu para que as alunas resolvessem as
quatro atividades. Uma dificuldade enfrentada pela dupla 3 foi a falta de um trabalho
baseado nas propriedades das operações e nas relações entre números e
operações (BANDARRA, 2011). Por exemplo, a dupla demorou muito tempo para
perceber a propriedade comutativa da adição na atividade 3, quando preencheu a
estrela com 18, 15+18=18+___. Também para reconhecer o elemento neutro da
operação de adição na mesma atividade 15+3=18+___. A questão do elemento
neutro foi verificada em todas as duplas, como se a utilização do número zero fosse
algo proibido.
Ficou evidente que o trabalho com os diferentes significados do sinal de
igualdade influencia no desenvolvimento do pensamento algébrico, pois os alunos
que conseguiram desenvolver o significado de equivalência do sinal de igualdade
revelaram indícios do desenvolvimento de alguns elementos do pensamento
113
algébrico, como: estabelecer relações/comparações entre expressões numéricas ou
padrões geométricos; produzir mais de um modelo aritmético para uma mesma
situação-problema; produzir vários significados para uma mesma expressão
numérica; interpretar uma igualdade, como equivalência entre duas grandezas ou
entre duas expressões numéricas e desenvolver algum tipo de processo de
generalização. (FIORENTINI; FERNANDES; CRISTÓVÃO, 2005).
A dupla 3 conseguiu mostrar algum tipo de generalização, pois percebeu a
relação de dependência existente entre as variáveis, conseguindo utilizar uma
representação simbólica. No entanto, a aluna Helena, em dupla com Bianca,
produziu um significado, no qual os valores que poderiam substituir as variáveis
poderiam ser apenas os encontrados, com base nas operações com os números
dados no exercício. Esse significado permaneceu até o momento da
institucionalização, no qual as quatro duplas puderam expor suas ideias e as duplas
do instrumento piloto explicaram a conversão do registro numérico para o registro de
tabela (DUVAL, 2003) que construíram com números aleatórios, incluindo números
inteiros negativos, que auxiliaram na identificação da relação existente entre as
variáveis de três unidades que deveriam ser respeitadas.
Com relação aos diferentes registros de representação semiótica, ficou
evidente que a conversão entre os registros colaborou para que os alunos
produzissem o significado de equivalência do sinal de igualdade. De acordo com
Duval (2003) os vários registros de representação de um objeto conceitual permitem
a apreensão conceitual desse objeto de forma significativa. As duplas 1 e 2 só
conseguiram perceber a relação de dependência entre as variáveis, após realizarem
a conversão do registro numérico para o registro de tabela.
Sendo assim, o trabalho com os diferentes significados do sinal de igualdade
poderia ser desenvolvido com os alunos, desde as séries iniciais para que o
significado de equivalência entre as duas expressões localizadas nos dois membros
da igualdade fosse percebido e não se tornasse um obstáculo à aprendizagem de
equação, ou um erro transversal. Os erros transversais são os que "ressurgem
sistematicamente e independente do conteúdo matemático a mobilizar" (FREITAS;
REZENDE, 2013, p.21). De acordo com Duval, em entrevista, os erros transversais
bloqueiam qualquer tipo de progresso e, muitas vezes, essas dificuldades profundas
não permitem que os alunos avancem a aprendizagem em Matemática.
114
Com esta pesquisa, pude comprovar que a comunicação na aula de
Matemática é indispensável para que os alunos possam produzir significados
coletivos, pois, de acordo com as pesquisas, a aprendizagem Matemática requer
uma construção gradual de um quadro de referências, por meio do qual os alunos
constroem seu próprio conhecimento de Matemática em uma tensão dinâmica entre
o conhecimento velho e o novo (MARTINHO e PONTE, 2009).
O papel do professor é essencial para que ocorra essa produção de
significados. Como já citado anteriormente, a interação entre uma das duplas não
ocorreu, e o professor precisa estar atento a esse tipo de ocorrência, mediando os
conflitos e estimulando os alunos a fazerem perguntas. Na troca das duplas,
observamos que Bianca em dupla com Helena, produziu um significado no qual
apenas os valores encontrados baseados nas operações com os números dados no
exercício poderiam substituir as variáveis, quando se deparou com a pergunta de
Raul, "se poderia ser qualquer número?" conseguiu produzir um novo significado e
avançou. Bianca conseguiu generalizar e mostrou indícios do desenvolvimento do
pensamento algébrico.
Os alunos trabalhando em grupo podem negociar significados, mas o
professor exerce importante papel nessa mediação. A personalidade do aluno pode
interferir nesse trabalho, auxiliando ou impedindo o avanço dos colegas, como
ocorreu em duas duplas desta pesquisa. A aluna Yara que era mais tímida, ficou
bloqueada, pois não conseguia argumentar com o colega. Já a aluna Felícia, que
tem a personalidade "forte", ou seja, consegue convencer seu colega da sua opinião,
em um primeiro momento ficou esperando que a professora explicasse o que era pra
ser feito, não aceitava a comanda que ela precisaria ler o problema e trocar ideias
com sua colega. Ela queria que a professora desse um exemplo, para que ela
pudesse resolver a atividade, a aluna foi muito resistente. Após esta primeira
barreira, na interação com a colega, a aluna conseguiu convencer sua dupla de que
seu raciocínio estava certo. Acredito que a personalidade mais forte de alguns
alunos possa intimidar os outros, que acabam aceitando um significado errado sem
argumentar. Nesse sentido, destacamos o importante papel do professor, como
mediador, auxiliando na produção de significados e dando voz a seus alunos para
que tenham coragem em defender seu ponto de vista em relação à Matemática.
115
Os resultados obtidos poderiam ter sido outros, se a pesquisa tivesse sido
realizada com todos os alunos da turma. Uma turma com 35 alunos, como ocorre
com frequência nas escolas estaduais, pode ser fator que dificulte a comunicação,
uma vez que os alunos não estão acostumados a trabalhar em grupo e precisariam
de um tempo maior para se acostumar a esse novo método.
Por meio do trabalho com os significados do sinal de igualdade, o professor
pode desenvolver conceitos como: variável, incógnita e generalização. Esses
conceitos, conforme apresentados na revisão da literatura, podem ser desenvolvidos
desde as séries iniciais por meio de atividades aritméticas, que poderão facilitar o
desenvolvimento do pensamento algébrico e, consequentemente, a introdução à
Álgebra.
Acreditamos que futuras pesquisas possam analisar o significado que os
alunos apresentam sobre o sinal de igualdade em diferentes séries do Ensino
Fundamental II, até a primeira série do Ensino Médio, identificando de que modo a
escolarização, ou seja, o estudo de álgebra pode modificar ou preservar o
significado do sinal de igualdade como "opere", que pode se tornar um erro
transversal, no sentido de Duval, perdurando até o Ensino Médio.
A realização desta pesquisa fez com que eu refletisse sobre minha própria
prática, como professora de Matemática. No início, as questões que eu trazia
relacionadas à sala de aula e dificuldades sobre a aprendizagem de álgebra
levaram-me a pesquisar a importância da comunicação. Percebi que eram questões
pessoais, pois a grande dificuldade que eu tinha era exatamente a comunicação,
não com os alunos, mas, a timidez para falar em público, apresentar trabalhos,
seminários e defender minha dissertação. Minha vontade de aprender e melhorar
minha prática profissional era tanta que, como exemplo, apresento uma situação que
ocorreu: em uma ocasião fui levada de guincho até à PUC, que após me deixar,
seguiu com meu carro quebrado, assim, consegui superar os obstáculos.
Ao pesquisar, produzi um novo significado sobre como deve ocorrer a
comunicação na aula e a realização deste trabalho fez com que eu desenvolvesse a
escrita. Durante o processo, no segundo ano do curso, comecei a atuar como
Coordenadora de Área na escola onde trabalho, o que dificultou um pouco, pois
passei a trabalhar 40 horas semanais (20h como coordenadora e 20h como
professora). No entanto, atuando como Coordenadora de Área procurei compartilhar
116
com meus colegas alguns conhecimentos que adquiri no curso de Pós-Graduação e
como professora procurava pôr em prática todo esse novo conhecimento.
Na tentativa de compreender a Proposta Curricular do Estado de São Paulo
(SÃO PAULO, 2011), que destaca: o foco na aprendizagem do aluno; o professor
como responsável por criar centros de interesse para atrair a atenção dos alunos; as
narrativas como uma boa opção para apresentar os significados dos conteúdos.
Pudemos concluir que, o professor pode fazer a sua parte para melhorar a
aprendizagem dos alunos permitindo outro tipo de comunicação na aula de
Matemática.
Esta pesquisa vai ao encontro do Currículo do Estado de São Paulo, pois a
comunicação proposta é a de que o aluno deve ser incentivado a formular
perguntas, pois, de acordo, com o referido documento o desenvolvimento da
inteligência está ligado à capacidade de fazer perguntas pertinentes ao tema. Nesse
sentido, a interação entre os alunos deve ser estimulada, para que eles possam
desenvolver a capacidade de argumentação.
Portanto, o resultado deste trabalho foi positivo não apenas para os alunos,
mas, sobretudo, para minha atuação como professora da rede estadual paulista.
Minha prática em sala de aula mudou e, hoje, dou voz a meus alunos, incentivando-
os a explicar, como realizaram as atividades e a argumentar para defender suas
conjecturas.
117
REFERÊNCIAS
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