polinomios_exercicios + gabarito
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EXERCÍCIOS SOBRE POLINÔMIOS
1) Encontre as raízes dos polinômios abaixo.
a) 8x2x)x(P 2 −+=
b) xx2x)x(G 23 +−=
c) 2x3x)x(F 2 +−=
2) Divida o polinômio P(x) pelo polinômio D(x) e apresente o resultado na forma
)x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= onde R(x) é o resto e Q(x) é o quociente.
a) 1x4x2x)x(P 23 +−+= e 1x)x(D −=
b) 4x3x)x(P 24 −−= e 2x)x(D +=
c) 2x3xx)x(P 23 −+−= e 3x2x)x(D 2 +−=
d) 2xx)x(P 34 −+= e 5xx)x(D 2 +−=
3) Utilize produtos notáveis para expandir as expressões abaixo.
a) ( x + 1 )2
b) ( a + 5 )2
c) ( a2 + 1 )2
d) ( 3y + 2 )2
e) 2
4y
2x
+
f) ( 2a + 10 )2
g) ( x2 + y2 ) 2
h) ( 2xy + 5 )2
i) ( 2 – s )2
j) (2m – n )2
k) 2
3y
2x
−
l) (a2 – b2 )2
m) 2
21
a
−
n) ( )223 ab3a −
o) (2+m) (2-m)
p)
−
+2d
3c
2d
3c
q) ( 1 – 3v) (1 + 3v)
r) ( 1 + a )3
s) 3
3s
2x
+
t) ( 2c + 3d)3
u) (2 – x)3
v) (a2 – 2)3
w) 3
s21
−
x) (3m – 2n )3
y) (2m –b) (2m + b)
z) 3
43a
+
4) Fatore (ao máximo) os polinômios abaixo.
a) 222232 zx3zyx5zx2zx +−−
b) 2222222 yt3zy5xyt12xyz20tx12zx20 −+−+−
c) ( ) ( ) ( )22 cz5)cz5(yx2yx ++++−+
d) 43
x1263
x9 2 ++
e) ( ) ( ) 2222 36191219 xxxx ++−+
f) nn xx 236 +
g) 2222
36316
ybabxyxa
+−
5) Simplifique as expressões abaixo utilizando as operações necessárias.
a) xy
yx
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
22 22.
+
+−
+−+
+−
−−+
b) 2
22
44
22
22
2
4.
42
x
yx
yx
yx
yx
xyx
xyx
x −
−+
++
++
−
c) 2222
22
xa
bx
ba
xa
+÷
−
d)
bb
aba1
1
113
+−
+
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE POLINÔMIOS
1) a) x = - 4 e x = 2 b) x = 0 e x = 1 (raiz dupla) c)x = 1 e x = 2
2) a) 1x3x)x(Q 2 −+= ; 0)x(R = portanto, ( )( ) 01x3x1x1x4x2x 223 +−+−=+−+
b) 2xx2x)x(Q 23 −+−= ; 0)x(R = portanto, ( )( ) 02xx2x2x4x3x 2324 +−+−+=−−
c) 1x)x(Q += ; 5x2)x(R −= portanto, ( )( ) 5x21x3x2x2x3xx 223 −+++−=−+−
d) 3x2x)x(Q 2 −+= ; 13x13)x(R +−= portanto,
( )( ) 13133252 2234 +−−++−=−+ xxxxxxx
3)
a) x2 + 2x + 1
b) a2 + 10a + 25
c) a4 + 2 a2 + 1
d) 9y2 + 12y + 4
e) 16y
4xy
4x 22
++
f) 4 a2 +40a + 100
g) x4 + 2x2y2 + y4
h) 4x2y2 + 20xy +
25
i) 4 – 4s + s2
j) 4m2 – 4mn + n2
k) 2 2
4 3 9x xy y− +
l) a4 – 2a2b2 + b4
m) 2 14
a a− +
n) 6 4 2 2 46 9a a b a b− +
o) 4-m2
p) 2 2
9 4c d−
q) 1 – 9v2
r) 1 + 3 a + 3 a2 + a3
s) 3 2 2 3
8 4 6 27x x s xs s+ + +
t) 8c3 + 36c2d + 54cd2 + 27d3
u) 8 – 12x + 6x2 – x3
v) a6 – 6 a4 + 12 a2 – 8
w) 2 31 3 38 4 2
s s s− + −
x) 27m3-54m2n+36mn2-8n3
y) 4m2 – b2
z) 3 21 416 64
27 3a a a+ + +
4)
a) x2z(1 – 2xz – 5y + 3z)
b) 2 2(2 ) (5 3 )x y z t+ −
c) 2( 5 )x y z c+ − −
d)
+
+41
x31
x9
e) 4(3 1)x −
f) 2 (6 1)n nx x +
g) 2
by64ax
−
5)a)
2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
( ) ( )2 2 2( ) 2 2 2( )( )( ). . .
( ) ( ) 2 2( )( )
4 2( ). 4
2( )
x y x y x y x yx y x y x xy y x xy y x yx y x y x y x y
x y x y xy xy xyx y x y x xy y x xy yx y x y x y x y
xy x yxyx y
+ − + − −−+ + + + − + − +− + + −= = =
+ − + + − + + + − ++− + + −
+=
+
b) x4 – y4 = (x2 – y2 ). (x2 +y2) = ( x+y).(x-y). (x2 +y2)
2 2 2 2 2
2 2 4 4 22 4( ).
4
x x x x y x yx y x y x y x y x
−+ + + =− + + −
=2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( )( ) ( )( ) 2 ( )( ) 4 ( )( )( ).
( )( )( ) 4
x x y x y x x y x y x x y x y x y x y x y
x y x y x y x
+ + + − + + + − + + −
+ − +=
=4 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 2 2 2 2
2 2 22 2 4 1( ).
4
x x y x y xy x x y x y xy x x y x y
x y x
+ + + + + − − + − +
+=
=4 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 1 4 ( ) 1( ). . 1
4 4
x x y x x y
x y x x y x
+ += =+ +
c) 2 2 2 2 2 2 4 4
2 2 2 2 2 2 2 3.
a x bx a x a x a xbxa b a x a b a b x
− − + −÷ = =
+
d)
3
3 23 3
2 3 2 2 2 2
1 1 11 ( 1)( 1) 1
.1 1 1 ( 1)1
ba b b b b b bab ab
b b ab b b ab b b abbb b
+++ + − + +
= = = =− + − + − +− +