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ANTONIO JOSÉ BORGES
POLINÔMIOS NO ENSINO MÉDIO:
UMA INVESTIGAÇÃO EM LIVROS DIDÁTICOS
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
PUC/SP São Paulo
2007
ANTONIO JOSÉ BORGES
POLINÔMIOS NO ENSINO MÉDIO:
UMA INVESTIGAÇÃO EM LIVROS DIDÁTICOS
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob
a orientação da Profª. Drª. Sônia Pitta Coelho
PUC/SP São Paulo
2007
Banca Examinadora
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________________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial
desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _________________________________ Local e Data: __________________
Vê, estão voltando as flores
Vê nesta manhã tão linda
Vê como é bonita a vida
Vê, há esperança ainda.
Vê, as nuvens vão passando
Vê um novo céu se abrindo
Vê o sol iluminando
Por onde nós vamos indo.
Paulo Soledade
Dedico este trabalho
à Mirtes, a mulher da minha vida e
companheira de sempre;
a meus pais Hilda e Antonio, pela vida;
a meus fi lhos Gerusa, Cauê e Caio,
como exemplo;
aos que se tornaram a minha família,
por todo o carinho que me dão:
ao Marcelo,
à Maira e ao Marco,
à Patrícia e ao Kwong,
ao Thomas, meu neto mais jovem que
já amo tanto
e, em especial, com todo o meu amor,
à Marcela, neta querida, que nasceu
junto com este projeto, que desde pe-
quenina, ainda não sabendo nada, me
ensinou tanto e que, do seu jeito, este-
ve ao meu lado em TODAS as horas.
AGRADECIMENTOS
Agradeço à Professora Doutora Sônia Pitta Coelho pela competência e ele-
vado espírito profissional com que me
orientou e pela compreensão nas horas
mais difíceis;
à Professora Doutora Lourdes de La Rosa Onuchic e ao Professor Doutor Ruy César Pietropaolo, que muito me
honraram ao aceitarem participar da
Banca Examinadora, e que enriquece-
ram sobremaneira este trabalho com
suas crít icas e sugestões;
aos Professores do Programa de Es-tudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universida-de Católica de São Paulo, pelo ensi-
namento e experiência que transmitiram
e pelos novos horizontes que mostra-
ram;
a todos os amigos, sem necessidade
de nomear um a um, por todo o incenti-
vo que me deram, de todas as formas,
de perto ou de longe.
O autor
RESUMO
Nosso trabalho investiga se os tópicos polinômios e funções são arti-
culados, em livros didáticos de Matemática destinados ao Ensino Médio bra-
sileiro. Para tanto, pesquisamos o tema na literatura didática disponível, em
documentos oficiais, em dissertações e teses defendidas no Brasil e em arti-
gos de congressos internacionais. Nossa análise investigou três das onze
coleções de Matemática aprovadas em 2005 pelo Programa Nacional do Li-
vro para o Ensino Médio do Ministério da Educação e Cultura. Examinamos o
tratamento expositivo e o corpo de exercícios dessas três coleções. Quanto
ao tratamento expositivo, investigamos como os assuntos polinômios e fun-
ção polinomial são tratados, e como são relacionados, se este for o caso.
Quanto ao corpo de exercícios, buscamos observar se as coleções dão a ca-
da exercício o tratamento de polinômio ou de função polinomial. Concluímos
que duas das coleções não articulam os temas no tratamento expositivo nem
no corpo de exercícios, enquanto que a terceira coleção esboça tal articula-
ção no plano expositivo e desenvolve-a com algum detalhe em seu corpo de
exercícios.
Palavras-Chave: polinômio, função, livro didático, ensino-aprendizagem.
ABSTRACT
Our research investigates if the topics polynomials and functions are
articulated, in Brazilian high school mathematics textbooks. We study the
subject in the available literature, official documents, thesis defended in Brazil
and international congress’ articles. Our analysis examines three among
eleven Mathematics’ collections approved in 2005 by the National Textbook
Program to High School of the Brazilian Ministry of Education and Culture.
We take a nearer view of the expositive treatment and the set of exercises of
these three collections. For the expositive treatment, we research how the
topics polynomials and polynomial function are explained and related, if so.
For the exercises, we seek to find if the collections give to each of them a
polynomial or, instead, a polynomial-function treatment. We conclude that two
of the three collections don’t relate the topics neither in the expositive treat-
ment nor in the set of exercises, while the third collection sketches such ar-
ticulation in the expositive plane and slightly develops it in the exercise set.
Keywords: polynomial, function, mathematics textbook, teaching and
learning.
S U M Á R I O Apresentação .......................................................................................... 14 Capítulo 1. Panorama do tema polinômios na educação matemáti-
ca .........................................................................................
16 Capítulo 2. Uma análise sobre livros didáticos e escolha das cole-
ções .....................................................................................
26
2.1. Uma análise sobre livros didáticos brasileiros do Ensino Médio: alguns subsídios .....................................................
27
2.2. Porque defendemos a articulação entre polinômios e fun-
ções ....................................................................................
32
2.3. O catálogo do programa nacional de livros do ensino mé-dio .......................................................................................
34
2.3.1. Um pouco da história do PNLEM ............................ 35
2.3.2. Resenhas e escolha das coleções .......................... 37
Capítulo 3. O tratamento expositivo–I: as primeiras idéias sobre
polinômios ..........................................................................
42
3.1. Distribuição dos conteúdos nas coleções escolhidas ........ 43
3.2. Distribuição do conteúdo nos livros 1.................................. 46
3.3. Polinômios nos livros 1........................................................ 49 Capítulo 4. O tratamento expositivo–II: polinômios, equações e
gráficos ...............................................................................
57
4.1. Distribuição do conteúdo nos livros 3 ................................. 57
4.2. Polinômios nos livros 3 ....................................................... 62
4.2.1. Polinômios, funções polinomiais e as funções afim e quadrática .............................................................
63
4.2.2. Raízes, equações e funções polinomiais ................ 68
4.2.3. Gráficos e elementos de cálculo ............................. 73
4.3. Conclusões sobre o tratamento expositivo ......................... 82
Capítulo 5. O corpo de exercícios ........................................................ 89
5.1. O corpo de exercícios da coleção A ................................... 90
5.2. O corpo de exercícios da coleção B ................................... 90
5.3. O corpo de exercícios da coleção C ................................... 91 Capítulo 6. Conclusões finais ............................................................... 98 Referências bibliográficas ................................................................... 106
LISTA DE FIGURAS Figura 1 – Gráficos de funções polinomiais de grau maior que 2 na
coleção C ..........................................................................
68 Figura 2 – Ilustração do gráfico de função polinomial como linha
contínua na coleção A .......................................................
74 Figura 3 – Ilustração do gráfico de uma função que apresenta bicos
na coleção A ......................................................................
75 Figura 4 – Ilustração das intersecções com os eixos do gráfico de
uma função polinomial na coleção A .................................
76 Figura 5 – Ilustração geométrica do teorema de Bolzano na coleção
A ........................................................................................
77
LISTA DE TABELAS Tabela 1 – Questões investigadas nos Livros 1 .................................. 50 Tabela 2 – Questões investigadas nos Livros 3 – primeiro bloco ....... 63 Tabela 3 – Valores para a construção de gráficos de funções
polinomiais de grau maior que 2 na coleção C ................. 68 Tabela 4 – Questões investigadas nos Livros 3 – segundo bloco ...... 69 Tabela 5 – Questões investigadas nos Livros 3 – terceiro bloco ........ 73 Tabela 6 – Corpo de exercícios nos Livros 3 – coleção C (Ignez) ...... 91
LISTA DE QUADROS Quadro 1 – Conteúdo da coleção A (Adilson) ..................................... 43 Quadro 2 – Conteúdo da coleção B (Guelli) ........................................ 44 Quadro 3 – Conteúdo da coleção C (Ignez) ........................................ 45
A P R E S E N T A Ç Ã O
Nosso trabalho, organizado em 6 capítulos, investiga,
fundamentalmente, se o tema polinômios é articulado ao tema funções em
livros didáticos do Ensino Médio.
Iniciamos com uma investigação sobre o tema Polinômios na literatura
disponível na Educação Matemática, pesquisando e consultando
documentos oficiais, dissertações e teses defendidas no Brasil, a literatura
para-didática, artigos da Revista do Professor de Matemática (RPM), de
congressos internacionais recentes; os resultados dessa investigação estão
descritos no capítulo 1.
No capítulo 2 relatamos alguns resultados de duas análises já
existentes sobre livros didáticos brasileiros do Ensino Médio: a do livro
“Exame de Textos – Análise de Livros de Matemática para o Ensino Médio”,
trabalho coordenado por Elon Lages Lima, publicado em 2001 e o Catálogo
do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio (PNLEM): Matemática,
na versão 2005 do Ministério da Educação e Cultura (MEC). Da primeira
análise, coordenada pelo professor Elon Lages Lima, comentamos as
15
principais conclusões sobre o tratamento de polinômios nos livros didáticos
brasileiros. Da segunda, expomos os critérios de avaliação do livro didático
de Matemática, adotados pelos pareceristas do PNLEM, e apresentamos a
análise geral de 3 das 11 coleções examinadas nesse documento.
A seguir, passamos a relatar a nossa própria análise das possíveis
articulações entre os temas polinômios e funções, nessas mesmas 3
coleções do PNLEM, nos seus livros 1 (primeiros volumes), nos quais são
abordadas as funções afim e quadrática e nos seus livros 3 (terceiros
volumes), que tratam dos temas polinômios, funções polinomiais e equações
algébricas. Examinamos dois aspectos dos livros: o tratamento expositivo e
o corpo de exercícios. O tratamento expositivo dos livros 1 é analisado no
capítulo 3 e o dos livros 3, no capítulo 4. O capítulo 5 destina-se ao exame
do corpo de exercícios dos livros 1 e dos livros 3.
Por fim, nossas conclusões são apresentadas no capítulo 6.
C A P Í T U L O 1
PANORAMA DO TEMA POLINÔMIOS
NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Nosso trabalho investiga o tratamento dado a polinômios em livros
didáticos recentes, detendo-se nas possíveis relações explicitadas com
funções.
Iniciamos expondo o resultado de nossa investigação na literatura
disponível sobre o tema na Educação Matemática.
Do ponto de vista de documentos oficiais, os Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio 2000 do Ministério da Educação
e Cultura (MEC), que por simplicidade denominaremos PCNEM-2000,
recomendam que “aspectos do estudo de polinômios e equações
algébricas podem ser incluídos no estudo de funções polinomiais,
enriquecendo o enfoque algébrico que é feito tradicionalmente”. (PCNEM,
2000, p. 43, grifo nosso).
Consultamos também a Proposta Curricular para o Ensino de
17
Matemática do 2º grau da Secretaria da Educação do estado de São Paulo,
em sua terceira edição, de 1995, que doravante, por simplicidade,
denominaremos PROPOSTA.
A PROPOSTA foi elaborada visando auxiliar as escolas da rede oficial
do estado de São Paulo, bem como os seus professores, na organização dos
planos de ensino referentes à disciplina Matemática. Assim, consideramos
apropriado consultar as recomendações contidas nesse documento, do qual,
a seguir, passamos a destacar as principais indicações relacionadas ao tema
polinômios.
Na p. 18, a PROPOSTA sugere para os cursos com 4 ou 5 aulas por
semana a seguinte distribuição de conteúdo [grifos nossos]:
1ª série: Função (com Progressão Aritmética). Trigonometria no
triângulo. Potências e Expoentes com Exponencial e Logaritmo.
2ª série: Trigonometria (1ª volta). Análise Combinatória. Probabilidade.
Geometria. Prismas. Sistemas Lineares com Matriz e
Determinante.
3ª série: Geometria Analítica. Matemática Financeira ou Estatística.
Geometria. Polinômios e Equações Polinomiais. Números
Complexos.
Observamos, entretanto, que o tema polinômios não figura na
distribuição sugerida de conteúdos para os cursos com 2 ou 3 aulas por
semana.
Portanto, a PROPOSTA considera que os temas polinômios e
equações polinomiais devam figurar na grade curricular do Ensino Médio das
18
escolas públicas do estado de São Paulo, embora apenas quando o número
de aulas semanais de matemática é máximo. Consideramos que a própria
sugestão de inclusão desses temas confere-lhes a devida importância,
corroborada mais adiante, nas p. 42-43, na seção Conteúdos, Objetivos e
Comentários, em que a PROPOSTA sugere sobre os temas polinômios e
equações polinomiais os seguintes conteúdos e objetivos:
Conteúdo: Estudo dos polinômios e seus elementos. Raízes de polinômios. Objetivos: Determinar polinômios a partir de informações sobre seu grau e seus coeficientes; operar com polinômios dando ênfase à divisão de polinômios; conceituar raízes de polinômios. Conteúdo: Resolução de Equações Polinomiais. Objetivos: Achar as raízes de uma equação polinomial; estudar relações entre co-eficientes e raízes; pesquisar raízes racionais, raízes inteiras e raí-zes complexas.
Vale destacar que, ao contrário dos PCNEM-2000, a PROPOSTA não
faz menção à articulação entre polinômios e funções polinomiais, o que
talvez possa ser atribuido à diferença de datas entre os documentos.
Procuramos também elencar e consultar as dissertações e teses que
tratam do nosso tema. Pesquisando os volumes: v. 7 (n. 11/12), v. 9 (n.
15/16) e v. 12 (n.21) da revista Zetetiké, que trazem a relação de teses e
dissertações de mestrado e doutorado em Educação Matemática produzidas
e defendidas na Faculdade de Educação da Universidade Estadual de
Campinas (FE/UNICAMP), no período de 1995 a 1997, e no Brasil, no
período de 1998 a 2003, não encontramos nenhuma tese ou dissertação
sobre o tema polinômios. Uma dissertação cujo assunto se aproxima do
nosso se ocupa do ensino-aprendizagem de Equações Polinomiais. Trata-se
do texto Ensino-aprendizagem das equações algébricas através da resolução
19
de problemas, de Elizabeth Quirino de Azevedo (2002).
Como existe uma articulação natural entre equações algébricas (ou
polinomiais) e polinômios, examinamos detidamente essa dissertação, em
cujo resumo a autora destaca:
Este trabalho tem como tema central de investigação o ensino-aprendizagem das equações algébricas através da resolução de problemas. [...] Os tópicos de análise foram: a importância do ensino-aprendizagem das equações algébricas no final do terceiro ano do Ensino Médio, a utilização das equações algébricas em cursos universitários e como o ensino das equações algébricas no final do Ensino Médio é visto por alguns autores de livros didáticos e pesquisadores em Educação Matemática. Ainda, o tema equações algébricas assume o papel de enfeixar um programa de ensino de matemática ao longo de doze anos de estudo. [...] (AZEVEDO, 2002, p. do resumo).
Embora os enfoques sejam diferentes, há, sem dúvida, uma estreita
relação entre os dois trabalhos e muitas das observações de Azevedo
aplicam-se à nossa pesquisa. A seguir destacamos as principais dessas
observações.
Na dissertação de Azevedo, lê-se que autores nacionais pesquisados
falam sobre equações algébricas como “um tópico que deve ser explorado no
Ensino Médio” [Carneiro (1998); Dante (1999) e Lima (1996), apud Azevedo,
2002, p.45] e que “[...] quanto aos métodos numéricos para resolução de e-
quações [do 3º e 4º graus] estamos absolutamente convictos de que devam
ser introduzidos no curso secundário [atual ensino médio]” (Carneiro, 1999,
apud Azevedo, 2002, p. 45).
Sobre a análise de documentos legais, Azevedo (2002, p.54) conta
que, em junho de 2000, recebeu da Secretaria de Educação do Estado de
São Paulo (SEESP) um documento com as Matrizes Curriculares de
20
referência para o Sistema de Avaliação do Ensino Básico (SAEB), contendo
uma relação dos conteúdos de Matemática para a 3ª série do Ensino Médio,
na qual polinômios e equações polinomiais aparecem como último tópico,
após os números complexos, fechando, assim, o programa curricular
projetado para o Ensino Médio (grifo nosso). Portanto, a autora defende
que “equações algébricas é um tópico que faz parte do currículo e é o
arremate de um programa inteiro” (Azevedo, 2002, p. 55, grifo nosso).
Na conclusão de sua dissertação, Azevedo (2002, p. 170) reitera a
importância do ensino de equações algébricas:
Na possibilidade de mudanças no currículo do Ensino Médio, tirando-se dele os Números Complexos, como desejado por alguns, conseqüentemente seria retirado o tópico Equações Algébricas. Com isso, o trabalho de equações algébricas se encerraria nas equações do 2º grau, sem que se trabalhasse o caso de discriminante negativo. Nossa defesa é de que o programa do Ensino Médio, projetado para os três anos, ficaria inacabado, uma vez que todo o estudo sobre números se completa com os Números Complexos e as Equações Algébricas não só fecham um estudo algébrico como também todo um programa de ensino, uma vez que, para trabalhar bem Equações Algébricas, os alunos precisam de todos os Conjuntos Numéricos de N a C, da Álgebra do Ensino Fundamental e Médio, da Geometria e da Trigonometria.
Da literatura paradidática, destacamos que no Brasil foi publicado
em 1995 um importante livro que se ocupa do ensino de Álgebra, com 33
artigos de estudiosos estrangeiros da área de Educação Matemática. Trata-
se da tradução por Hygino H. Domingues de “As Idéias da Álgebra”, o livro
do ano do National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) de 1988,
organizado por Arthur F. Coxford e Albert P. Shulte. No prefácio dessa obra,
seu tradutor colocava:
21
[...] O que ocorre no ensino da álgebra em nível médio talvez seja uma fixação exagerada nas manipulações mecânicas com símbolos, e isso, se de um lado pode produzir uma falsa sensação de facilidade, de outro pode produzir uma impressão muito forte de inutilidade, além de dar apenas uma idéia muito pálida e parcial da natureza e do alcance dessa matéria. Na verdade, vários dilemas sérios se apresentam no ensino da álgebra em nível elementar e somente os conhecendo a fundo se podem evitar as concepções erradas de que está pontilhado. Esses dilemas e essas concepções erradas, entre muitas outras coisas, são tratados neste livro [...]
A respeito da expressão “nível médio”, usada por DOMINGUES,
cumpre observar, por oportuno, que no Brasil a educação básica é formada
pelas oito séries do Ensino Fundamental, para idades de 7 a 14 anos e pelas
três séries do Ensino Médio, para idades de 15 a 17 anos. Nos Estados
Unidos esse período escolar corresponde às cinco séries da Elementary
School, para idades de 6 a 10 anos, seguidas das três séries dos Middle
Grades (Graus Médios), para idades de 11 a 13 anos, mais as quatro séries
da High School, para idades de 14 a 17 anos. Assim, a expressão “nível
médio”, empregada por Domingues no parágrafo acima, sendo de uma
tradução, refere-se ao ensino da álgebra no respectivo nível de escolaridade
nos Estados Unidos. Acrescente-se ainda que, em conseqüência das
sucessivas reformas do ensino que ocorreram no Brasil, em lugar da
expressão Ensino Médio usaram-se outras como Ensino de Segundo Grau,
Ensino Secundário, Curso Científico (área de ciências exatas e biológicas),
Curso Clássico (área de ciências humanas), Curso Colegial.
No mesmo livro acima citado, há vários artigos que demonstram
preocupação ou oferecem sugestões para o ensino de polinômios.
Comentaremos um deles, que apresenta argumentos para aumentar o
espaço dedicado a polinômios na álgebra escolar. Trata-se do artigo Os
22
polinômios no currículo da escola média que objetiva, segundo seus autores,
Theodore Eisenberg e Tommy Dreyfus, “dar uma idéia de como e por que os
polinômios devem fazer parte da escola média”. Observamos, por oportuno,
que a Escola Média americana corresponde à 6ª, 7ª e 8ª séries do Ensino
Fundamental brasileiro; assim, a expressão “escola média”, empregada
diversas vezes no artigo, tem essa acepção. No artigo, Eisenberg & Dreyfus
(1988?, apud Coxford & Shulte, 1995, p. 127-134) assinalavam que, nos
últimos vinte anos, parece ter havido uma redução da ênfase sobre
polinômios no currículo da escola média. Relatam que em Israel, por
exemplo, os alunos primeiro aprendem a fatorar o polinômio associado à
equação do segundo grau [equação quadrática] e igualam cada fator a zero
para obter as raízes. Nesse momento, mesmo sem saber, estão aplicando o
teorema da decomposição, conseqüência do teorema fundamental da
álgebra, ainda que para o caso particular de um polinômio de grau 2, de
coeficientes e raízes reais, fazendo ))(( 212 xxxxacbxax −−=++ . Estão
também aplicando os conceitos de raiz e de divisor ou fator de um polinômio,
bem como a propriedade do anulamento do produto de números reais, ou
seja: sendo a e b números reais, se a.b=0, então a=0 ou b=0, resultado
que vale também para mais de dois fatores. Porém, logo depois, o professor
introduz a fórmula resolutiva usual a
acbbx2
42 −±−= , que é de tal forma
incorporada pelos alunos, especialmente pelos de menor capacidade em
Matemática, que sua aplicação na resolução de equações do segundo grau
se torna um procedimento mecânico, cujo significado vai se esvaziando com
23
a repetição de sua aplicação.
Ainda segundo o artigo, numa turma de introdução ao cálculo de
alunos da Universidade Ben-Gurion, que não se destinavam à área de
Ciências Exatas, 50% dos alunos resolveram equações como 052 =+ xx e
010 2 =− xx pela fórmula resolutiva; não usaram o eficiente recurso da
fatoração ( ) 05 =+xx e ( ) 010 =− xx , que seria muito mais simples para obter
as raízes. Para equações como 0452 =+− xx , que também poderia ser
resolvida por fatoração ]0)4)(1[( =−− xx , a porcentagem de alunos que a
resolveram pela fórmula subiu para 70%. Além disso, a maioria dos alunos
revelou não ter idéia de como abordar o problema de achar as raízes de uma
equação de grau superior a dois e nem do que significa achar as raízes de
uma equação. Na verdade, para esses alunos, resolver uma equação
quadrática é substituir números numa fórmula, sem ter muita consciência do
que está acontecendo.
O levantamento acima evidencia a tendência a enfatizar
procedimentos, em prejuízo do desenvolvimento dos conceitos e de
estruturas ligadas ao tema, o que pode levar a se considerar a Matemática
como um simples elenco de algoritmos, além dessa tendência pouco
contribuir para que os alunos apliquem e generalizem o que aprenderam.
Segundo o artigo, para que o ensino de polinômios não caminhe nessa
direção, a ênfase no uso da fórmula resolutiva, por exemplo, deve diminuir,
as equações quadráticas devem ser tratadas como equações polinomiais de
grau dois e, como tais, casos particulares de polinômios mais gerais.
Concluem os autores do artigo:
24
A solução de problemas que, à primeira vista, parecem não ter qualquer ligação com polinômios acaba dependendo muito deles. Os polinômios são onipresentes em matemática, e é importante que os alunos os dominem com segurança.
Buscamos também artigos sobre polinômios na Revista do
Professor de Matemática (RPM). Merece menção o artigo Equações
algébricas - um assunto para o ensino médio? CARNEIRO (1999, p. 31-40),
no qual o autor afirma que muitas oportunidades para motivar os temas da
Matemática com problemas interessantes e realistas são perdidas, ao deixar
fora dos programas do Ensino Médio a resolução de equações polinomiais
de grau superior a dois. A seguir apresenta quatro problemas que recaem em
equações algébricas de grau 3 e sugere métodos numéricos para a
resolução.
Em congressos internacionais recentes, embora o tema polinômios
seja pouco citado explicitamente, vê-se preocupação com o ensino da
álgebra, especialmente em como dar-lhe significado. Destacamos o XII
Congresso de Estudo da International Commission on Mathematical
Instruction (ICMI), cujo tema foi: The Future of the Teaching and Learning of
Algebra, realizado em dezembro de 2001 na Universidade de Melbourne,
Austrália. Em artigo apresentado nesse Congresso, escreveu MESA (2001,
p. 454, tradução nossa):
Como parte de um esforço para superar a falta de significado em álgebra [no ensino médio], várias abordagens têm sido sugeridas: resolução de problemas, abordagem funcional, generalização, [...] todas elas parecendo ajudar a dar significado à álgebra.
A abordagem funcional, mencionada por MESA, preconiza, entre
outras coisas, privilegiar as funções como o veículo principal para a
25
introdução de variáveis e da álgebra. Para nós, a citação é significativa, uma
vez que nosso tema de investigação é a relação explicitada em livros
didáticos entre polinômios e funções polinomiais.
Outro artigo do mesmo congresso adota ponto de vista semelhante:
STUMP e BISHOP (2001, p. 567-568), em trabalho que propõe um curso de
Álgebra para professores da educação básica, defendem que o tema funções
polinomiais [e não polinômios] seja tratado com destaque, na seqüência do
programa, entre os tópicos funções afins e funções exponenciais.
C A P Í T U L O 2
UMA ANÁLISE SOBRE LIVROS DIDÁTICOS
E ESCOLHA DAS COLEÇÕES
Um dos indicadores de como os assuntos são abordados na prática
de professores são os livros didáticos. Segundo MESA (2001, p.455, tradu-
ção nossa):
[...] As razões de escolher livros didáticos estão enraizadas na convicção de que eles são um elemento crucial na educação escolar. Os livros didáticos sintetizam o que é conhecido sobre um conceito, sob múltiplas perspectivas: histórica, pedagógica e ma-temática. Como documentos, eles estabelecem informações valio-sas sobre a aprendizagem potencial que poderia ocorrer numa sala de aula. [...] Uma investigação do conteúdo de livros didáticos é re-levante não somente para complementar o conjunto de pontos de vista sobre um tópico particular, mas também para ajudar a expli-car sua relação com a dificuldade de aprendizagem dos conceitos associados.
Em outro trabalho, MESA (2004, p. 255, tradução nossa) coloca que
“os livros didáticos preenchem muitos propósitos” e completa com opiniões
de vários outros autores: “eles são uma mídia poderosa para o ensino e a
27
aprendizagem” (TANNER, 1988, p. 141, apud MESA, 2004, p.255); “determi-
nam qual é a matemática escolar (e, analogamente, [qual deve ser a mate-
mática] para programas de estudo e provas)” (DÖRFLER; MCLONE, 1986, p.
93, apud MESA, 2004, p. 255); “são essenciais para efetiva aprendizagem
nas nações em desenvolvimento” (FARRELL; HEYNEMAN, 1994, p.6360,
apud MESA, 2004, p. 255); “junto com provas e avaliações, cumprem uma
função de responsabilidade e controle” (WOODWARD, 1994, p.6366, apud
MESA, 2004, p. 255).
Assim, nosso corpo de dados será constituido de livros didáticos.
Já há um trabalho no Brasil analisando conteúdos de coleções recen-
tes de livros didáticos para o Ensino Médio, e começaremos examinando o
que esse trabalho diz a respeito do tema polinômios.
2.1. UMA ANÁLISE SOBRE LIVROS DIDÁTICOS BRASILEIROS
DO ENSINO MÉDIO: ALGUNS SUBSÍDIOS
De 1988, ano em que o artigo “Os polinômios no currículo da escola
média” (EISENBERG; DREYFUS, 1995), comentado no capítulo 1, foi publi-
cado, aos dias atuais, o tratamento do tema polinômios não parece ter sofri-
do grandes renovações no plano nacional, se tomarmos as abordagens su-
geridas em livros didáticos como um indicador. Prova disso está na obra que,
em 2001, alguns pesquisadores do Instituto de Matemática Pura e Aplicada
(IMPA), subvencionados pela fundação Apoio à Cultura, Educação e Promo-
ção Social (VITAE), publicaram: o livro “Exame de Textos – Análise de Livros
28
de Matemática para o Ensino Médio”, trabalho de Elon Lages Lima (editor) e
outros sete analistas (Augusto César Morgado, Edson Durão Júdice, Eduar-
do Wagner, João Bosco Pitombeira de Carvalho, José Paulo Quinhões Car-
neiro, Maria Laura Magalhães Gomes e Paulo Cezar Pinto Carvalho). Na a-
presentação do texto, afirma o editor que os analistas propuseram-se a “con-
tribuir para a melhoria da qualidade dos livros-texto destinados ao ensino
médio, complementando a ação do MEC, que até então avaliava os livros do
ensino fundamental, da primeira à oitava série”. Por razões de praticidade,
daqui em diante vamos nos referir a esse livro como “Exame de Textos” sim-
plesmente. Nessa obra, os pesquisadores analisaram 12 coleções, de 3 vo-
lumes cada, dentre as principais obras didáticas de Matemática publicadas e
adotadas no Ensino Médio das escolas brasileiras até então. Lamentavel-
mente, não podemos dar melhores referências sobre o ano de edição das
coleções analisadas, pois o texto não faz menção a isso.
A seguir comentamos as principais conclusões sobre o tratamento de
polinômios que extraímos dessa obra.
Segundo o livro “Exame de Textos”, p. 43, o estudo elementar dos po-
linômios [o que é feito no Ensino Médio] justifica-se por duas principais ra-
zões. Em primeiro lugar, por sua aplicação às equações algébricas, como
as de primeiro e segundo graus, que são estudadas no livro 1 (primeira sé-
rie), no qual são também estudadas as funções afim e quadrática ou as e-
quações algébricas de grau maior que dois, que podem ser estudadas no
livro 3 (terceira série). Entre estas, as de terceiro grau, que ocorrem na geo-
metria, em problemas relativos a volumes ou as de graus arbitrários nas
29
questões de Matemática Financeira (p. 345). Em segundo lugar, porque a-
presenta interessantes questões de divisibilidade, análogas às de números
inteiros (p. 376 e 377).
Nas pp. 76 e 308, o livro afirma que os polinômios são funções de
uma natureza particularmente simples, que podem [e devem] ser olhadas
sob os pontos de vista [que se entrelaçam e se complementam]:
• aritmético, em que se consideram as propriedades de divi-
sibilidade, análogas às dos números inteiros;
• algébrico, das operações algébricas e resolução de equa-
ções;
• geométrico ou analítico, em que os polinômios são vistos
como uma importante categoria de funções de uma variável
e na qual é possível estudar suas propriedades por meio
dos seus gráficos;
• numérico no cálculo de suas raízes por métodos aproxima-
dos.
Vale ressaltar que o que os autores denominam o ponto de vista geo-
métrico ou analítico é o que pretendemos investigar em livros didáticos.
Entretanto, os livros didáticos em geral não exploram essa riqueza de
interpretações e articulações potenciais, como é possível concluir da leitura
de “Exame de Textos”.
Ainda segundo o “Exame de Textos”, nos volumes destinados à tercei-
ra série, os autores, em geral, perdem a oportunidade de interligar os assun-
tos estudados durante todo o Ensino Médio utilizando o tópico polinômios, o
30
que proporcionaria uma visão integrada da Matemática (p. 164, 344, 345),
ponto de vista já expresso por AZEVEDO, conforme mencionamos no capítu-
lo 1.
Ainda segundo o texto, em alguns livros didáticos, os polinômios nem
sequer são considerados como funções (p. 76), sendo apresentados como
objetos meramente formais e cujo significado situa-se fora do alcance do a-
luno. Alguns livros esclarecem, mas outros confundem os conceitos de poli-
nômios e de funções e não estabelecem claramente as diferenças e as rela-
ções entre um e outro (p. 342, 377, 404, 453, 461). Novamente, observamos
que este é nosso tema de investigação.
Há ainda outros que parecem “dar as costas às diretrizes curriculares
para o ensino médio, constituindo-se num tipo de livro ultrapassado, cuja úni-
ca função parece ser a de adestrar alunos para os exames vestibulares” (p.
143).
Em alguns outros livros didáticos, sempre segundo os autores da refe-
rida análise, não há um só gráfico de um polinômio de grau superior a 2 (p.
44, 220, 456). A apresentação de alguns gráficos de polinômios de graus
baixos (3 ou 4) serve, pelo menos, para que o aluno perceba, em relação às
raízes reais de um polinômio de coeficientes reais, a diferença entre os casos
de grau ímpar e grau par (p. 308, 309); que veja com clareza que toda e-
quação algébrica (ou polinômio) de grau ímpar e coeficientes reais possui ao
menos uma raiz real (p. 376) ou um número ímpar de raízes reais; ou que o
número de raízes reais é par, se o polinômio é de grau par. São aplicações
do importante teorema de Bolzano, sobre raízes reais de um polinômio de
31
coeficientes reais, que se tornam bem mais visíveis e compreensíveis para o
aluno, quando mostradas graficamente (p. 342).
Poucos livros apresentam algum processo para a obtenção de valores
aproximados para as raízes reais de uma equação de grau superior a 2, no
ponto de vista dos analistas. Pelo menos o método da bissecção poderia ser
apresentado, o que seria muito mais eficiente para o aluno do que a mecani-
zação das fórmulas (p. 45, 220, 309, 342, 456). A maioria ignora completa-
mente a tecnologia atual e não orienta nem incentiva o uso de uma boa cal-
culadora ou computador, especialmente para o trabalho repetitivo de contas
(p. 91, 143, 220, 266, 378).
Destacamos que, no posfácio da obra (p. 463), os analistas apresen-
tam uma espécie de conclusão geral, resumindo-a sob a forma de um supos-
to “livro didático genérico”. A conclusão assim se inicia: “Tomemos quatorze
assuntos dentre os mais relevantes que se estudam no Ensino Médio e ve-
jamos rapidamente como o livro genérico os trata”. Sobre os assuntos fun-
ções e polinômios extraímos que o livro didático genérico:
• define função como relação binária, ponto de vista que ne-
nhum matemático ou usuário da Matemática adota em seu
dia-a-dia; as funções que surgem no livro são “bolinhas” e
“flechinhas” ou então dadas por fórmulas;
• não traz gráficos de polinômios de grau superior a 2;
• não traz exemplos de problemas contextuais que requei-
ram a resolução de uma equação de grau superior ao se-
32
gundo.
Segundo a análise dos pesquisadores do IMPA, no livro “Exame de
Textos”, a idéia de articular o estudo de polinômios com funções é uma abor-
dagem que dá sentido ao tema; por outro lado, a abordagem formal é consi-
derada pelos pesquisadores como mecânica, desprovida de sentido, transmi-
tindo uma imagem da Matemática como um mero conjunto de algoritmos.
2.2. PORQUE DEFENDEMOS A ARTICULAÇÃO
ENTRE POLINÔMIOS E FUNÇÕES
A nosso ver a abordagem formal, que usualmente é feita nos livros di-
dáticos, não tem sido eficaz na construção, nem no desenvolvimento do con-
ceito de polinômio, que, dessa maneira, torna-se extremamente abstrato e
sem sentido para o aluno do Ensino Médio. Além disso, tal construção do
conceito não explora a existência de um caminho “natural” das funções afins
e quadráticas, que o aluno já conhece, aos polinômios. Entendemos por ca-
minho “natural” o percurso, pelo qual é possível definir as funções afim e
quadrática como funções polinomiais do primeiro e segundo grau, respecti-
vamente. A seguir, pode-se mostrar, sem dificuldades, que o produto de duas
funções polinomiais do 1º grau é uma função polinomial do 2º grau. Depois,
pode-se investigar a recíproca, ou seja, se toda função polinomial do segun-
do grau pode ser “fatorada” num produto de duas funções polinomiais do
primeiro grau de raízes reais. Lembramos que a construção que estamos
33
propondo pode e deve ser acompanhada de experiências gráficas, envolven-
do a reta e a parábola, gráficos cartesianos das funções polinomiais do pri-
meiro e do segundo grau, respectivamente, que o aluno, nesse momento, já
conhece. E pode, ainda, ser enriquecida com aplicações práticas, contextua-
lizando, por exemplo, com a função receita obtida na venda de x unidades de
um determinado produto, cujo preço de venda unitário (em unidades monetá-
rias $) seja dado, por exemplo, por -2x+6. Assim, a receita (quantidade X
preço de venda) seria expressa pela função polinomial do segundo grau
6x-2x6)x(-2x 2 +=+ , num determinado domínio de validade (da Álgebra e do
mercado). Então, multiplicar essas funções é uma forma de obter outras. A-
lém disso, vai-se construindo, também naturalmente, a compreensão do teo-
rema fundamental da Álgebra e suas aplicações, num caminho mais eficaz e
didático, ou seja, dos fatores para o produto, ainda que em alguns casos par-
ticulares. Tal seqüência de construção facilitará, no futuro, a aplicação desse
teorema no sentido inverso, isto é, do polinômio para os seus fatores, como
realmente será utilizado pelo aluno no tópico equações algébricas, na se-
qüência do programa. Evidentemente, antes de desenvolver o tópico equa-
ções algébricas, ou paralelamente, seriam introduzidos os números comple-
xos, o que possibilitaria ampliar o universo das raízes para o conjunto dos
complexos.
Em seguida, podem-se fazer experiências analíticas e gráficas com
produtos de 3 funções polinomiais do primeiro grau, produtos de uma do pri-
meiro por uma do segundo grau, pesquisar se todas as funções polinomiais
do terceiro grau são obtidas dessa maneira, e assim por diante. No momento
34
oportuno, pode-se passar para funções polinomiais de quarto grau, e justifi-
car, a partir daí, o estudo das equações algébricas (gráficos, busca de raízes,
relações entre os coeficientes e as raízes, etc.).
Por outro lado, avaliamos que o percurso acima descrito está em con-
sonância tanto com os PCNEM-2000 (Parâmetros Curriculares Nacionais pa-
ra o Ensino Médio 2000 do Ministério da Educação e Cultura), como com a
PROPOSTA (Proposta Curricular para o Ensino de Matemática 2º grau),
pois, como salientamos no capítulo 1, os PCNEM-2000 recomendam: “as-
pectos do estudo de polinômios e equações algébricas podem ser incluídos
no estudo de funções polinomiais, enriquecendo o enfoque algébrico que é
feito tradicionalmente” e a PROPOSTA na seção Considerações sobre os
conteúdos, pp. 21-22, sugere (grifo nosso):
E o que dizer do ensino de Polinômios e Equações Algébricas? [...] A sugestão é que não se faça no [ensino de] 2º grau um se-mestre de estudo sobre polinômios e equações algébricas, mas que eles sejam tratados à medida que haja necessidade e sempre que possível recorrendo à fatoração e a casos já conhecidos.
2.3. O CATÁLOGO DO PROGRAMA NACIONAL
DE LIVROS DO ENSINO MÉDIO
Para obter subsídios sobre coleções dedicadas ao Ensino Médio, con-
sultamos o Catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio
(PNLEM): Matemática, na versão 2005 do Ministério da Educação e Cultura
(MEC), texto ao qual, daqui em diante, em nome da simplicidade, vamos nos
referir como Catálogo do PNLEM ou, simplesmente, Catálogo.
35
Nossa pesquisa analisou três das onze coleções de livros didáticos de
Matemática, recentemente aprovadas pelo PNLEM, por nós escolhidas se-
gundo critérios que estão explicitados mais adiante, no item 2.3.2, e que i-
dentificamos, respectivamente, por coleção A (Adilson), coleção B (Guelli) e
coleção C (Ignez):
• Coleção A (Adilson): Matemática: uma atividade humana,
de Adilson Longen, Base Editora e Gerenciamento Pedagó-
gico, 2003.
• Coleção B (Guelli): Matemática, de Oscar Augusto Guelli
Neto, Editora Ática, 2004.
• Coleção C (Ignez): Matemática Ensino Médio, de Kátia
Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz,
Saraiva Livreiros Editores S/A, 2003.
2.3.1. UM POUCO DA HISTÓRIA DO PNLEM
O texto seguinte é baseado em dados obtidos no Catálogo do PNLEM,
disponíveis em < www.mec.gov.br >.
Em 1985, o Ministério da Educação iniciou a distribuição de livros di-
dáticos aos alunos matriculados no Ensino Fundamental da rede pública, a-
través do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), cujo objetivo é ofere-
cer gratuitamente livros didáticos de qualidade a alunos e professores de es-
colas públicas do Ensino Fundamental, como apoio ao processo ensino-
36
aprendizagem. O Programa Nacional do Livro Didático/PNLD, em sua pro-
posta inicial, previa apenas a escolha dos livros pelo professor, com a con-
seqüente distribuição pelo MEC.
A partir de 1993, para garantir a qualidade desses livros e do ensino,
evidenciou-se a necessidade de uma análise do material distribuído, de for-
ma que, em 1995, pela primeira vez, a escolha dos livros pelos professores
passou a ser feita com base no Guia de Livros Didáticos, no qual são publi-
cadas, em forma de resenhas, as análises elaboradas por especialistas nas
diversas áreas do conhecimento. Essa avaliação das obras didáticas por es-
pecialistas, promovida e coordenada pelo Plano Nacional do Livro Didático
(PNLD), resultou em importantes reflexos, tanto no mercado editorial quanto
na escola. Quanto ao mercado editorial, constatou-se melhora na qualidade
do material enviado para a avaliação, aumento de coleções e de livros reco-
mendados, redução de obras excluídas e uma renovação da produção didá-
tica brasileira com a inclusão de novas obras para avaliação. Quanto aos be-
nefícios para a escola, os professores passaram a escolher livros didáticos
melhor qualificados do que os que escolhiam antes das análises elaboradas
por especialistas, melhorando a qualidade do material didático oferecido ao
aluno.
Desde 1996, o processo de avaliação pedagógica sistemática das o-
bras inscritas no PNLD é coordenado pela Secretaria de Educação Básica do
MEC e é realizado em parceria com universidades públicas que se respon-
sabilizam pela avaliação dos livros didáticos.
37
Dados os resultados positivos do PNLD, o MEC decidiu ampliar a dis-
tribuição de livros didáticos e as avaliações também para o Ensino Médio.
Desde 2004, por intermédio da Secretaria de Educação Média e Tec-
nológica – SEMTEC, em parceria com o Fundo Nacional de Desenvolvimento
da Educação – FNDE, o MEC está implantando gradativamente o Programa
Nacional do Livro para o Ensino Médio (PNLEM). Inicialmente, de forma ex-
perimental, até o início de 2005, 2,7 milhões de livros das disciplinas Portu-
guês e Matemática foram distribuídos a 1,3 milhão de alunos da primeira sé-
rie do Ensino Médio de 5.392 escolas das regiões Norte e Nordeste. Aos pro-
fessores sugeriu-se que escolhessem, a partir das recomendações da edição
2005 do Catálogo, para Português, um livro único para os três anos letivos
seguintes (2005, 2006 e 2007) e, para Matemática, uma coleção composta
por três volumes, cada um dedicado ao conteúdo de um ano.
No início de 2006, 7,01 milhões de alunos das três séries do Ensino
Médio de 13,2 mil escolas do país receberam livros de Matemática e Portu-
guês.
2.3.2. RESENHAS E ESCOLHA DAS COLEÇÕES
Passemos aos critérios de avaliação do livro didático de Matemática,
adotados pelos pareceristas do PNLEM e constantes do Catálogo, que re-
comenda (p. 71) (grifos nossos):
38
Para ser compatível com os objetivos do ensino de Mate-mática no Ensino Médio, um livro didático deve abranger um amplo espectro de conteúdos nos campos da aritmética, da geometria, da álgebra, das grandezas e medidas, da estatística, das probabilida-des e da combinatória.
[...] Deve, igualmente, afastar-se da compartimentaliza-ção e procurar ampliar as ocasiões de articulação entre os dife-rentes temas, evitando o inconveniente de se limitar à apresenta-ção de conteúdos de maneira concentrada em uma parte da cole-ção e desconectada de outros conteúdos. Por exemplo, é freqüen-te que sejam abordadas as funções apenas no primeiro volume da coleção e os conceitos de geometria analítica no último volume com pouquíssimas conexões com os demais conteúdos. É também importante que, no livro didático, atenda-se a requisitos de diver-sidade. Um mesmo conceito matemático pode ser abordado em mais de um dos campos temáticos acima referidos e, mesmo den-tro de cada um deles, pode ser tratado de diferentes pontos de vis-ta.
Atentando para essa orientação, entendemos que, embora os critérios
não mencionem especificamente polinômios e funções polinomiais, eles re-
comendam articulações entre temas. Note-se, contudo, que o próprio Catálo-
go do PNLEM sugere outras articulações semelhantes (p. 71-72):
[...] Além disso, a representação no plano cartesiano per-
mite ligar as propriedades de uma função com as de seu gráfico e a geometria analítica pode aparecer, então, como um campo de confluência de vários conceitos — função, equação, figura geomé-trica, etc. — que deveriam ser desenvolvidos e integrados no de-correr de todo o ensino médio.
[...] A função linear e sua estreita relação com o conceito de proporcionalidade entre grandezas é uma primeira dessas fun-ções relevantes, que se amplia para o estudo da função linear afim e correlatas, e suas inúmeras aplicações.
[...] A função quadrática é um tema propício para a ligação com o conhecimento adquirido sobre a equação do 2º grau, que deve ser retomada, com atenção à importante técnica de completar quadrados. A função quadrática articula-se bem com o estudo ge-ométrico da parábola, além de ter papel relevante como modelo, por exemplo, para o movimento uniformemente acelerado.
Quanto aos nossos critérios de escolha das 3 coleções, duas foram
selecionadas por terem características opostas, segundo critérios do Catálo-
go, com relação à compartimentalização: a coleção A (Adilson), que se ca-
racteriza por apresentar os conteúdos em grandes blocos, e a coleção B
39
(Guelli) que representa o modelo que distribui o conteúdo das várias áreas
pelos três volumes da coleção. A coleção C (Ignez) foi escolhida por repre-
sentar o modelo da diversidade de enfoques e representações matemáticas.
Abaixo, resumimos do Catálogo os trechos das resenhas dessas três
coleções relacionados à distribuição de conteúdos, diversidade de enfoques
e outras considerações pertinentes à nossa investigação (grifos nossos).
Sobre a coleção A (Adilson)
• Em cada série, os temas são tratados em grandes blo-
cos, o que contribui para a fragmentação do conhecimento
matemático.
• Os conteúdos são introduzidos por meio de uma situação-
problema interna ou externa à Matemática ou a partir de co-
nhecimentos prévios, o que pode facilitar a atribuição de
significados aos conceitos matemáticos.
• As demonstrações apresentadas na coleção são de fácil
compreensão, embora seu número seja reduzido.
• O livro do professor contém vários subsídios que auxiliam o
docente, sugere leituras complementares, atividades a se-
rem desenvolvidas pelos alunos, propostas de avaliação e
de articulações entre conteúdos matemáticos e, destes,
com outras disciplinas.
40
• Na distribuição dos conteúdos, adota-se o modelo de con-
centrar grandes blocos temáticos em determinadas sé-
ries. Pode-se verificar falta de articulação em alguns con-
teúdos, como no estudo de funções e progressões ou na li-
gação entre probabilidade e estatística.
Sobre a coleção B (Guelli)
• Em sintonia com as novas tendências no ensino da Matemá-
tica, os conteúdos das várias áreas e subáreas da Matemá-
tica distribuem-se em cada um dos três livros da cole-
ção.
• Persiste, no entanto, a opção por extensos blocos temáticos,
em cada volume, e há pouca articulação entre os temas tra-
tados em cada um deles.
• O enfoque dado aos conteúdos é, essencialmente, algé-
brico, com ênfase na simbologia matemática, em particular
nos blocos temáticos relativos às funções e à trigonometria.
Essa opção pode dificultar a aprendizagem do aluno.
• Com relação à abordagem dos conteúdos, pode-se obser-
var, no livro de 1ª série que, no estudo das funções, as de-
finições e as propriedades não recebem o devido tratamen-
to, que é substituído pela ênfase nas equações e nas ine-
41
quações correspondentes a essas funções. Conexões im-
portantes não são devidamente exploradas, tais como fun-
ção afim e progressão aritmética. Quanto à diversidade de
enfoques, constata-se que o ponto de vista algébrico é privi-
legiado em toda a coleção.
Sobre a coleção C (Ignez)
• A coleção apresenta uma boa seleção de conteúdos,
adequadamente distribuídos, com destaque para a
presença da estatística em seus três volumes, apesar de
haver uma sobrecarga de conteúdos de trigonometria.
• A metodologia adotada caracteriza-se por uma diversi-
dade de enfoques e representações matemáticas, ar-
ticulando conhecimentos de modo a favorecer um pro-
cesso de retomada e aprofundamento.
• Inúmeras situações do cotidiano, vinculadas à Mate-
mática, favorecem a compreensão dos conteúdos.
Assim, optamos por centrar nossa investigação na questão: O tema
polinômios é articulado ao tema funções em livros didáticos? Para respondê-
la, examinamos dois aspectos dos livros: o tratamento expositivo, apresen-
tado nos dois próximos capítulos, e o corpo de exercícios, tema do capítulo
5.
C A P Í T U L O 3
O TRATAMENTO EXPOSITIVO–I:
AS PRIMEIRAS IDÉIAS SOBRE POLINÔMIOS
Preliminarmente, observamos que os conteúdos polinômios, funções
polinomiais e equações algébricas são usualmente abordados nos livros 3
(terceiros volumes) das coleções. Entretanto, como buscamos articulações
entre polinômios e funções, examinamos também os livros 1 (primeiros vo-
lumes), pois as primeiras funções polinomiais estudadas no Ensino Médio – a
função afim e a função quadrática – são abordadas nesses volumes.
43
3.1. DISTRIBUIÇÃO DOS CONTEÚDOS NAS COLEÇÕES ESCOLHIDAS
A partir de dados obtidos nas Resenhas de Matemática do Catálogo
do PNLEM, organizamos os quadros 1, 2 e 3, apresentados a seguir, para
dar uma idéia da distribuição geral de conteúdos nas 3 coleções escolhidas
(grifos nossos).
Quadro 1: Conteúdo da coleção A (Adilson) Livro 1 - 1ª série Livro 2 - 2ª série Livro 3 - 3ª série
• Tópicos de Matemática do Ensino Fundamental: números reais; potencia-ção; radiciação; expres-sões algébricas; equa-ções e sistemas de e-quações; medidas; nú-meros proporcionais; tri-ângulo retângulo; círculo e circunferência; equa-ções do 2º grau. • Conjuntos: noções im-portantes; subconjuntos; operações entre conjun-tos. • Funções: função; fun-ção afim; função qua-drática; conceito de mó-dulo; função exponencial; logaritmos; composição e inversão de funções; fun-ção logarítmica. • Trigonometria: o sistema trigonométrico; seno e co-seno de um arco; outras razões trigonométricas; operações com arcos; funções trigonométricas; fatoração de razões trigo-nométricas; trigonometria num triângulo qualquer.
• Seqüências numéricas: médias; seqüências; pro-gressão aritmética; pro-gressão geométrica; juros simples e compostos • Geometria no plano: ân-gulos; triângulos; polígo-nos; retas e ângulos na circunferência; polígonos regulares. • Análise combinatória e
probabilidades: princípio
fundamental da conta-
gem; permutação; combi-
nação simples; binômio
de Newton; probabilida-
des.
• Geometria espacial: pontos, retas e planos; perpendicularismo; polie-dros; prismas; cilindros; pirâmides; cones; esfera.
• Introdução à estatística: noções de estatística; medidas estatísticas. • Matrizes, sistemas linea-res e determinantes: sis-temas de equações linea-res; discussão de um sistema linear; matrizes; determinantes; teoremas sobre determinantes. • Geometria analítica: in-trodução; equações da reta; ângulos entre retas; equação da circunferên-cia; distâncias; cônicas. • Números complexos e equações polinomiais: polinômios; divisão de polinômios; números complexos; plano com-plexo; operações com números complexos; e-quações algébricas; re-lações de Girard.
44
Quadro 2: Conteúdo da coleção B (Guelli) Livro 1 - 1ª série Livro 2 - 2ª série Livro 3 - 3ª série
• O plano de coordena-das: distância entre dois pontos; declividade de um segmento; estudo da reta. • Funções: relação e função; funções poli-nomiais de 1º e 2º graus; funções exponen-cial e logarítmica; equa-ções e inequações; ma-temática financeira. • O espaço: retas e pla-nos; projeções. • Seqüências, progres-sões aritmética e geomé-trica. • Estatística e probabili-dade: gráficos e tabelas; média, mediana, moda, desvio padrão; probabili-dade matemática. • Resolução de triângulos: razões trigonométricas; teoremas dos co-senos e dos senos.
• Funções trigonométri-cas: circunferência trigo-nométrica; seno; co-seno; tangente; equações e i-nequações; identidades trigonométricas; funções periódicas; funções inver-sas. • Matrizes, determinantes e sistemas lineares: ope-rações com matrizes; transposta e inversa; cál-culo de determinantes; resolução e discussão de sistemas lineares. • Áreas e volumes de pris-mas e pirâmides. • Métodos de contagem, organização e coleta de dados: princípio funda-mental da contagem; permutações; combina-ções; desenvolvimento de um binômio; cálculo de probabilidades; noções de estatística.
• Geometria analítica: dis-tância entre dois pontos; declividade de um seg-mento; estudo da reta; inequações; ângulos. • Geometria analítica e corpos redondos: circun-ferência; áreas e volumes de cilindros e cones; esfe-ra e superfície esférica; parábolas; elipses e hi-pérboles. • Números complexos, funções polinomiais e cálculo informal: opera-ções com complexos; forma trigonométrica; re-solução de equações polinomiais; teorema fundamental da álgebra; limites; derivadas; regras de derivação. • Estatística, probabilida-de e análise de informa-ção: histogramas e polí-gonos de freqüência; me-didas de centralização e dispersão, ajuste de retas.
45
Quadro 3: Conteúdo da coleção C (Ignez)
Livro 1 - 1ª série Livro 2 - 2ª série Livro 3 - 3ª série • Conjuntos numéricos e intervalos na reta real. • Estatística, Relações entre grandezas • Funções. • Funções do 1o grau. • Funções do 2o grau. • Seqüências, progressão aritmética e progressão geométrica. • Função exponencial, equação exponencial e inequação exponencial. • Logaritmo e função loga-rítmica. • Módulo de um número real e função modular. • Função composta e fun-ção inversa. • Trigonometria do triân-gulo retângulo. • Arcos de circunferência, ângulos e círculo trigono-métrico. • Funções trigonométri-cas: definição, periodici-dade e gráfico. • Relações trigonométri-cas num triângulo qual-quer.
• Estatística. • Contagem. • Probabilidade. • Sistemas lineares. • Matrizes. • Determinantes. • Geometria de posição. • Sólidos geométricos: poliedros. • Sólidos geométricos: corpos redondos. • Geometria métrica es-pacial. • Funções trigonométri-cas: redução ao 1º qua-drante. • Equações trigonométri-cas e inequações trigo-nométricas. • Funções trigonométricas da soma. • Funções trigonométricas inversas.
• Noções de matemática financeira. • Estudo analítico do pon-to. • Estudo analítico da reta. • Estudo analítico da cir-cunferência. • Estudo analítico das cô-nicas. • Probabilidade e estatís-tica. • Funções trigonométri-cas: cotangente, secante e co-secante. • Polinômios. • Números complexos. • Equações polinomiais. • Taxa de variação de fun-ções.
Examinamos a distribuição dos conteúdos diretamente relacionados
com o tema de nossa dissertação, os quais, destacados em negrito nos qua-
dros acima, são: equações do primeiro e do segundo grau, função afim, fun-
ção quadrática, polinômios, função polinomial, números complexos, equa-
ções polinomiais ou algébricas, teorema fundamental da álgebra, relações de
Girard, elementos de Cálculo, que se distribuem nos livros 1 e 3 das três co-
leções analisadas.
46
3.2. DISTRIBUIÇÃO DO CONTEÚDO NOS LIVROS 1
Os quadros 1, 2 e 3 registram os conteúdos das coleções em níveis
mais gerais, de capítulos ou unidades. Paralelamente, analisando mais deti-
damente os próprios livros das coleções, registramos também os itens espe-
cíficos de cada título mais geral.
Pelos quadros acima pode-se observar que, nos livros 1, as três cole-
ções apresentam como conteúdo comum a função afim e a função quadráti-
ca, apenas dando nomes diferentes para essas funções: funções afim e qua-
drática na coleção A (Adilson), funções polinomiais de 1º grau e de 2º grau
na coleção B (Guelli) e funções do 1º e do 2º grau na coleção C (Ignez). Em
nosso texto, em nome da clareza, ao mencionarmos essas funções, usare-
mos respectivamente a terminologia função afim e função quadrática.
Por outro lado, pela análise mais detida dos próprios volumes das co-
leções, constata-se que, no livro 1, a coleção A apresenta:
• Na p. 41 e seguintes: uma revisão de equação do 1º grau e de
sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas, vistos
no ensino fundamental.
• Na p. 91 e seguintes: uma revisão de equações do 2º grau, e-
quações completas, dedução da fórmula resolutiva, equações
incompletas, relações entre raízes e coeficientes, fatoração da
equação, assuntos também normalmente vistos no Ensino Fun-
damental.
47
• Na p. 160 e seguintes: a função afim, seu gráfico, o estudo do
sinal da função pelo gráfico e a função linear, como caso parti-
cular da função afim.
• Na p. 169 e seguintes: a função quadrática, seu gráfico, o vérti-
ce da parábola, a imagem da função, algumas aplicações sobre
o valor máximo, estudo do sinal pelo gráfico e a forma canôni-
ca.
Já a coleção B apresenta:
• Na p. 16 e seguintes: como descrever uma reta a partir de uma
equação, aplicando o conceito de declividade e apresenta a e-
quação da reta em três formas: ponto-declividade, reduzida e
geral.
• Na p. 35 e seguintes: função polinomial de 1º grau, seu gráfico,
uma revisão de desigualdades, inequação polinomial de 1º grau
associada ao gráfico da função.
• Na p. 44: uma revisão dos métodos de resolução da equação
polinomial de 2º grau.
• Na p.45 e seguintes: função polinomial de 2º grau, a parábola, o
vértice, a imagem da função, a forma canônica, inequações po-
linomiais de 2º grau pela parábola, inequação produto e ine-
quação quociente pelos gráficos das funções, pontos críticos
(máximo e mínimo da função).
48
E a coleção C apresenta:
• Na p. 105 e seguintes: funções do 1º grau e seu gráfico cartesi-
ano, função identidade, conceito de função crescente e função
decrescente, inequação do 1º grau e estudo (algébrico) do sinal
da função do 1º grau, inequação-produto e inequação-
quociente (envolvendo apenas funções do 1o grau) pelo quadro
de sinais.
• Na p. 131 e seguintes: funções do 2º grau e seu gráfico cartesi-
ano, a fórmula da equação do 2º grau, raízes da função do 2º
grau, ponto em que a parábola intercepta o eixo Oy, vértice da
parábola, concavidade da parábola, valor máximo ou mínimo e
conjunto imagem da função do 2º grau, estudo do sinal da fun-
ção do 2º grau e estudo de inequações do 2º grau pelo gráfico.
A nossa investigação do livro 1 revelou que a coleção A apresenta
uma revisão de alguns assuntos normalmente desenvolvidos no Ensino Fun-
damental, como equações do 1º grau e os principais métodos de resolução
de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas, o que não ocorre
nas coleções B e C. Entretanto, as três coleções apresentam uma revisão de
equações do 2º grau, sendo a da coleção A a mais abrangente; a da coleção
B se limita a métodos de resolução, enquanto que a coleção C revisa apenas
a fórmula resolutiva.
Em relação à função afim, as diferenças começam, como já observa-
mos, na nomenclatura. As três coleções apresentam uma definição, o gráfico
49
(reta) e o estudo do sinal (pelo gráfico ou algebricamente). A coleção A apre-
senta ainda a função linear como caso particular da função afim e encerra o
tema. As coleções B e C vão além disso e incluem a resolução de inequa-
ções do 1º grau, precedida de uma revisão sobre desigualdades no caso da
coleção B. A coleção C acrescenta um pouco mais: função identidade, fun-
ção crescente e função decrescente , inequação produto e inequação quoci-
ente (pelo quadro de sinais), envolvendo funções afins.
Quanto à função quadrática, além das já mencionadas diferenças de
nomenclatura, as três coleções apresentam uma definição, gráfico (parábo-
la), conceitos de vértice e imagem da função, estudo do sinal pelo gráfico,
máximos e mínimos. A coleção A apresenta ainda a forma canônica, enquan-
to que a coleção B apresenta, além da forma canônica, inequação-produto e
inequação-quociente (estudo pelo gráfico) e a coleção C destaca o ponto on-
de a parábola intercepta o eixo y e a concavidade da parábola.
3.3. POLINÔMIOS NOS LIVROS 1
Passemos agora a investigar se as coleções articulam os temas poli-
nômios e funções, e como o fazem, em caso afirmativo. Para isso, iniciamos
nossa análise investigando se as coleções mencionam as expressões fun-
ção polinomial e polinômio e que relações são explicitadas entre esses
termos nos livros 1. A tabela 1 apresenta os resultados.
50
Tabela 1: Questões investigadas nos Livros 1
Coleção
Questão A (Adilson) B (Guelli) C (Ignez) Menciona função polinomial? Não Sim Sim
Menciona polinômio? Não Não Sim
Relaciona os termos? Não se aplica Não se aplica Não
Na p. 160 do livro 1, a coleção A inicia a abordagem do tema função
afim contextualizando com o exemplo de um vendedor de computadores e
de programas de informática, cujo salário é composto de uma parte fixa de
R$500,00 e uma parte variável correspondente à comissão de 4% sobre o
total das vendas, o que é representado por xy 04,0500 += . Então, o autor
afirma que a sentença xy 04,0500 += “é uma função que relaciona o salário
em função do total de vendas”. Prossegue afirmando que é um exemplo de
função afim e apresenta a seguinte definição:
Uma função f: IR → IR é denominada função afim
na variável independente x, quando for da forma
baxxfy +== )( , onde a e b são números reais.
Mais adiante, na p. 169, repetindo o recurso da contextualização, ini-
cia a abordagem da função quadrática, tomando o exemplo de um criador de
galinhas que resolve construir um galinheiro retangular de área máxima, a-
proveitando um muro já existente no local. O criador dispõe de 60 metros de
tela para fechar os outros três lados do retângulo. Representando por x e y
as medidas dos lados, o autor mostra que a área do retângulo é dada por
51
xxS 602 2 +−= e destaca que essa igualdade representa a área em função
da medida da largura do retângulo.
Acrescenta que “uma função que relaciona uma variável dependente
em função de outra variável (dita independente), por meio de uma sentença
de 2º grau, é dita função quadrática”. O que seria uma sentença de 2º grau?
O autor não explica, muito menos define, mas, logo após o exemplo, dá a
seguinte definição de função quadrática:
Uma função f: IR → IR é denominada função [talvez
o autor quisesse dizer função do 2º grau] ou função
quadrática na variável independente x, quando for
da forma cbxaxxfy ++== 2)( , onde a e b são
números reais, com 0≠a .
Tanto no caso da função afim quanto no da função quadrática, o livro
segue desenvolvendo os outros itens do conteúdo, tais como gráfico (reta ou
parábola), sinal da função etc., mas não menciona a palavra polinômio nem a
expressão função polinomial. Assim, não faz relação das funções afim e
quadrática com nenhum tipo de polinômio.
Na coleção B, o autor inicia a apresentação da por ele denominada
função polinomial de 1º grau na p. 35 do livro 1, indo diretamente à defini-
ção:
Considere dois números reais a e b, com 0≠a .
Uma função cujos valores são dados por uma fór-
mula como baxxf +=)( chama-se função poli-
nomial de 1º grau.
52
E acrescenta que “o domínio é o conjunto formado por todos os núme-
ros reais x para os quais a fórmula tem significado” e que “a imagem é o con-
junto formado por todos os números reais f(x) para os quais a fórmula tem
significado”.
A seguir, o autor apresenta o gráfico da função 12)( += xxf , simples-
mente como sendo a reta obtida a partir de 3 pontos, correspondentes aos
valores de x: 0,1 e -1, registrados numa tabela como:
X 2x+1 F(x)
0 2.0 + 1 1
1 2.1 + 1 3
-1 2.(-1) + 1 -1
Apenas nos exercícios (pp. 36-37) aparece a oportunidade da contex-
tualização, como no de número 12:
Uma agência de aluguel de automóveis cobra R$40,00 por
dia mais R$0,50 por quilômetro rodado.
a) Expresse o custo do aluguel de um automóvel em função
do número de quilômetros rodados e trace o gráfico.
b) Quanto custa alugar um automóvel para uma viagem de
um dia, percorrendo 200 km?
c) Uma pessoa pagou R$89,00 pelo aluguel de um automó-
vel por um dia. Quantos quilômetros rodou?
De modo análogo, na p. 45, o autor inicia a apresentação da por ele
denominada função polinomial de 2º grau, mais uma vez indo diretamente
à definição:
53
Considere três números reais a, b e c, com 0≠a .
Uma função cujos valores são dados por uma fór-
mula como cbxaxxf ++= 2)( é chamada função
polinomial de 2º grau ou função quadrática.
Nas pp. 48 e 49, apresenta uma dedução correta da forma canônica,
mas as coordenadas do vértice da parábola “aparecem” de modo não muito
claro a partir dessa forma canônica. Mostra, como exemplo, o gráfico da fun-
ção quadrática 322 ++−= xxy , a partir de 5 pontos, registrados numa tabe-
la, na qual os valores de x são mais convenientes (simétricos aos do x do
vértice):
x -x2+2x+3 y
1 -12+2(1)+3 4
0 -02+2(0)+3 3
-1 -(-1)2+2(-1)+3 0
2 -22+2(2)+3 3
3 -32+2(3)x+3 0
Novamente, não há nenhuma tentativa de justificar a forma do gráfico.
Não apresenta nenhum exemplo de contextualização que faça apare-
cer a necessidade de aplicar a função quadrática.
Na p. 105 do livro 1, as autoras da coleção C iniciam a abordagem do
tema funções afins, que chamam de funções do 1º grau, afirmando que
“As funções do 1º grau correspondem a relações entre a variável dependente
e a variável independente expressas por polinômios do 1º grau”.
54
Louve-se a tentativa das autoras de relacionar função polinomial com
o polinômio do 1º grau, embora não definam este último.
Na seqüência, o texto traz um exemplo que introduz a contextualiza-
ção. As autoras colocam a situação de um carro de corrida, que já continha 8
litros de combustível, sendo abastecido durante 6 segundos por uma bomba
que injetava 3 litros de gasolina por segundo; uma tabela (acompanhada da
reta correspondente ao gráfico cartesiano) registra a cada segundo o volume
em litros de gasolina contido no tanque de combustível do carro:
t (s) V ( l )
2 V(2)=2.3+8=14
3 V(3)=3.3+8=17
4 V(4)=4.3+8=20
5 V(5)=5.3+8=23
6 V(6)=6.3+8=26
Logo após, vem a conclusão das autoras:
“Podemos expressar a relação entre V e t por 8.3 += tV , ]6,0[∈t ”
e a definição formal:
Uma função f, de IR em IR, que a todo número x as-
socia o número bax + , com a e b reais, 0≠a , é
denominada função do 1º grau.
55
A seguir, passam a apresentar o item Gráfico cartesiano da função
do 1º grau, escrevendo “Vamos esboçar o gráfico da função polinomial do
1º grau (grifo nosso) 32 += xy , ...”. Merece menção a inconsistencia de ter-
minologia, que consiste em chamar a função afim de função do primeiro
grau, e depois referir-se a ela como função polinomial do 1o grau. Seguem
justificando que “o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta”
(com argumentos geométricos) e desenvolvem o restante do conteúdo já re-
lacionado anteriormente.
Destacamos a hesitação das autoras já quanto ao nome da função
que estão apresentando. Mencionam, sem desenvolver, que existe uma rela-
ção entre função afim e polinômio do 1o grau (que não definem); em seguida,
definem função afim, nomeando-a como função do 1º grau; na seqüência,
mencionam sem definir a expressão função polinomial do 1º grau.
Na p. 131, as autoras da coleção C iniciam a abordagem do tema fun-
ções quadráticas, contextualizando de imediato com o exemplo do gráfico
(já pronto no livro) da altura y alcançada por um foguete, que fora lançado,
mas caiu devido a uma pane do sistema, em função do tempo t. Comentam
que, a partir do gráfico, podemos obter informações sobre a altura máxima
atingida pelo foguete, o tempo que levou para atingir o ponto mais alto etc.
No final, observam que o gráfico foi obtido a partir da função
25,2305,12 tty −+= , ]12,0[∈t , com t medido em segundos e y, em metros,
fórmula essa que o aluno aprenderá em Física, no estudo do movimento de
56
projéteis. Chamam-na de função do 2º grau ou quadrática e apresentam a
seguinte definição:
Uma função f, de IR em IR, que a todo número x as-
socia o número cbxax ++2 , com a, b e c reais e
0≠a , é denominada função do 2º grau ou função
quadrática.
Estranhamente, as mesmas autoras que, ao apresentarem a definição
de funções do 1º grau, escreveram “As funções do 1º grau correspondem a
relações entre a variável dependente e a variável independente expressas
por polinômios do 1º grau”, não fazem nenhum tipo de associação com poli-
nômios do 2º grau, quando definem a função quadrática.
Assim, em relação à questão “O tema polinômios é articulado ao tema
funções em livros didáticos?”, objeto de nossa investigação, podemos dizer
que, nos livros 1, a coleção C é a única que faz menção à função polinomial
associada a polinômio. Entretanto, não é clara a relação entre os vários ter-
mos empregados por ela: função do 1o grau, polinômio do 1o grau, função
polinomial do 1o grau, função do 2o grau. Como já dissemos anteriormente,
suas autoras mencionam que existe uma relação entre função afim e polinô-
mio do 1o grau, mas não chegam a desenvolver essa relação.
C A P Í T U L O 4
O TRATAMENTO EXPOSITIVO–II:
POLINÔMIOS, EQUAÇÕES E GRÁFICOS
4.1. DISTRIBUIÇÃO DO CONTEÚDO NOS LIVROS 3
Analisando os livros 3, observamos a apresentação dos seguintes
conteúdos relativos ao tema de nosso trabalho:
Na coleção A:
• p. 196 e seguintes: polinômios, grau, valor numérico, igualdade,
polinômio nulo, adição e multiplicação de polinômios.
• p. 203 e seguintes: divisão de polinômios, dispositivo de Briot-
Ruffini no caso do divisor x±a, teorema do resto, teorema de
D’Alembert, divisão pelo produto (x-a)(x-b).
• p. 211 e seguintes: números complexos, o plano complexo.
58
• p. 239 e seguintes: equações algébricas, teorema fundamental
da álgebra, teorema da decomposição, multiplicidade de uma
raiz, raízes racionais, raízes imaginárias, relações de Girard.
• pp. 254 a 256: gráfico de uma função polinomial [apenas uma
idéia geral].
Na coleção B:
• p. 92 e seguintes: Números complexos
• p. 102 e seguintes: Um algoritmo especial [sem nomear como
Briot-Ruffini] para o valor numérico de funções polinomiais e pa-
ra o teorema do resto, teorema do fator (sem dizer que é o de
D’Alembert), raízes racionais, resolução de equações polinomi-
ais, teorema fundamental da Álgebra, raízes conjugadas (com-
plexas).
• p. 111 e seguintes: Noção intuitiva de limite, limite no infinito pa-
ra uma função polinomial, a derivada [como limite] e equação
da reta tangente, regras de derivação, máximos e mínimos rela-
tivos de funções polinomiais pelo sinal da derivada e sua rela-
ção com os intervalos onde a função é crescente ou decrescen-
te.
Na coleção C:
• p. 193 e seguintes: polinômio como soma algébrica de mo-
nômios e respectivo grau, valor numérico, função polinomial,
operações com polinômios [adição, subtração, multiplicação
59
e divisão], método da chave, método de Descartes [dos coe-
ficientes a determinar], divisão de um polinômio por um bi-
nômio do 1º grau, divisão sintética [ou algoritmo de Briot-
Ruffini], divisibilidade por x-a (teorema do resto e raiz de um
polinômio P(x)), decomposição em fatores e resolução de
equações e inequações.
• p. 218 e seguintes: números complexos.
• p. 255 e seguintes: equação polinomial, teorema fundamen-
tal da Álgebra e teorema da decomposição, multiplicidade de
uma raiz, relações de Girard [para equações de grau 2, 3 e
4], raízes imaginárias [conjugadas], pesquisa de raízes ra-
cionais, gráficos de funções polinomiais [apenas uma idéia,
num exemplo] na sessão denominada Flash Matemático.
• p. 277 e seguintes: taxa de variação média [de uma função],
variação instantânea de uma função e noção de derivada,
noção intuitiva de limite de uma função, taxa de variação ins-
tantânea de uma função, derivada e reta tangente ao gráfico
de uma função num ponto, interpretação cinemática da deri-
vada (velocidade escalar e aceleração escalar), função deri-
vada, derivada de algumas funções, sinal da derivada rela-
cionado a intervalos onde a função é crescente ou decres-
cente, pontos de máximo e de mínimo de uma função.
60
O assunto polinômios é desenvolvido de modo semelhante nas cole-
ções A e C, que apresentam definição, grau, valor numérico e operações. A
coleção B trabalha alguns conteúdos de uma forma diferente das demais: os
assuntos vão sendo introduzidos e desenvolvidos uns em seguida aos ou-
tros, sem uma separação clara em capítulos específicos por temas. Assim,
logo em seguida ao item Potências de números complexos, a coleção B a-
presenta e justifica o algoritmo de Briot-Ruffini, usando-o inicialmente como
um algoritmo especial para calcular o valor numérico de funções polinomiais
e, mais adiante, utiliza esse algoritmo, mais o teorema do resto e o que cha-
ma de “teorema do fator” [sem dizer que é o teorema de D’Alembert] para o
caso específico da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo x-a;
contudo, não apresenta o caso geral da divisão de polinômios, diferentemen-
te das coleções A e C. Na seqüência, as coleções A e C focam o caso parti-
cular da divisão por binômio do 1º grau e também apresentam o algoritmo de
Briot-Ruffini, o teorema do resto e o teorema de D’Alembert. A coleção A a-
presenta ainda a divisão pelo produto (x-a)(x-b). Já a coleção C relaciona o
teorema do resto com raiz de um polinômio P(x) e apresenta a decomposição
em fatores, associada à resolução de equações e inequações.
Quanto ao item números complexos, as três coleções desenvolvem o
conteúdo previsto para o Ensino Médio, variando a ordem em que o fazem:
nas coleções A e C, depois de polinômios e na B, antes.
O tema equações algébricas é desenvolvido de modo semelhante pe-
las coleções A e C, que apresentam a definição de equação algébrica (na
coleção A) ou equação polinomial (na coleção C), o teorema fundamental da
61
Álgebra, o teorema da decomposição, a multiplicidade de uma raiz, o teore-
ma das raízes racionais, o teorema das raízes imaginárias (conjugadas) e as
relações de Girard para equações de grau 2, 3, 4 e n, na coleção A, e grau 2,
3 e 4, na coleção C. A coleção B não define equação polinomial, mas associa
o teorema do resto com raiz da equação P(x)=0, onde P(x) é o mesmo poli-
nômio que aparece como exemplo no teorema do resto. Apresenta ainda o
teorema das raízes racionais, a resolução de equações polinomiais, o teore-
ma fundamental da Álgebra e a propriedade das raízes conjugadas.
No texto final da unidade, a coleção A apresenta uma definição de po-
linômio como função e algumas considerações gerais sobre o gráfico de uma
função polinomial, relacionando-o com continuidade, raízes reais, multiplici-
dade, número de pontos em que “corta” o eixo x e o teorema de Bolzano
[sem enunciá-lo formalmente]. Além disso, faz ilustrações geométricas gené-
ricas, mas não apresenta nenhum exemplo de gráfico de polinômio em parti-
cular. A coleção C faz algo semelhante na sessão chamada Flash Matemáti-
co, na qual apresenta dois exemplos de gráfico de função polinomial, um de
grau 5 e outro de grau 6, a partir de uma investigação de suas raízes racio-
nais.
Quanto a relações com cálculo diferencial, a coleção A nada apresen-
ta. A coleção B apresenta, como já relacionamos anteriormente, uma noção
intuitiva de limite, limite no infinito para uma função polinomial, a derivada
[como limite] e a equação da reta tangente, [algumas] regras de derivação,
máximos e mínimos relativos de funções polinomiais pelo sinal da derivada e
sua relação com os intervalos onde a função é crescente ou decrescente e,
62
aí sim, comenta o esboço do gráfico de uma função polinomial (de grau 3) a
partir dos seus pontos de máximo e de mínimo relativos. Já a coleção C a-
presenta o conceito de taxa de variação média de uma função e usa a noção
intuitiva de limite para introduzir a taxa de variação instantânea de uma fun-
ção e, a partir daí, como também já relacionamos anteriormente, seguem: a
noção de derivada, reta tangente, interpretação cinemática, função derivada,
derivada de algumas funções, sinal da derivada, pontos de máximo local e de
mínimo local, e, como aplicação desses conceitos, a construção do gráfico
de uma função (polinomial de grau 3).
4.2. POLINÔMIOS NOS LIVROS 3
Investiguemos agora como o tema é abordado nos livros 3. Para tanto,
elaboramos dez questões, numeradas de 1 a 10, que estão distribuídas nas
tabelas 2, 4 e 5, comentadas nas seções 4.2.1, 4.2.2 e 4.2.3, respectivamen-
te. As tabelas apresentam os resultados de nossa investigação e examinam
também as eventuais articulações com as funções polinomiais afim e quadrá-
tica, bem como com elementos do cálculo diferencial.
63
4.2.1. POLINÔMIOS, FUNÇÕES POLINOMIAIS E
AS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA
Iniciamos pela tabela 2, cujas questões (de 1 a 5) examinam as rela-
ções entre polinômios, função afim, função quadrática e funções polinomiais.
Tabela 2: Questões investigadas nos Livros 3 – primeiro bloco
Coleção
Questão A(Adil-
son) B(Guel-
li) C(Ig-nez)
1) Menciona polinômio? Sim Sim Sim
2) Define grau de polinômio? Sim Não Sim
3) Menciona função polinomial? Sim Sim Sim
4) Relaciona as expressões função polinomi-
al e polinômio? Não Não Sim
5) Identifica como funções polinomiais as
funções afim e quadrática? Não Não Sim
Quanto às questões da tabela 2, as coleções A e C definem polinômio
e grau de polinômio, enquanto a coleção B só menciona. Quanto ao item
função polinomial, a coleção C define-a e as coleções A e B mencionam,
mas não a definem. A relação entre os conceitos de função polinomial e de
polinômio é, em geral, apresentada de forma confusa, como exporemos no
decorrer da análise. No que diz respeito a reconhecer as funções afim e qua-
drática (já apresentadas nos livros 1) como polinomiais, apenas a coleção C
o faz.
64
A coleção A, na p. 196 do livro 3, apresenta polinômios como “as ex-
pressões que representam a área de um retângulo de dimensões x e x+5 ou
a área total de um cubo de aresta x” [a expressão área do cubo se refere à
área da superfície do cubo], articulando-os com o assunto área, da geometri-
a. Em seguida, define formalmente: “polinômio na variável x é toda expres-
são P(x) que pode ser reduzida à forma 01
1 ....)( axaxaxP nn
nn +++= −
− , on-
de:
• 01 ...,, aaa nn − são números reais denominados coeficientes do polinômio;
• as parcelas 01
1 ...,,, axaxa nn
nn
−− são os termos do polinômio;
• os expoentes n, n-1, ... são números naturais.
A seguir, define grau de um polinômio como sendo “o maior expoente
da variável tal que o coeficiente do termo correspondente seja diferente de
zero”.
Na p. 197, há um “recado” para o leitor: “Observe que todo polinômio
na variável x é também uma função”, sem justificativa ou explicação desse
fato. Além disso, o autor não utiliza o nome função polinomial, nesse momen-
to de seu texto. Introduz o valor numérico de um polinômio, associando o do
polinômio ao da função correspondente, baseado no que já afirmara antes
(“todo polinômio é uma função, ...”), ainda sem explicar como se faz tal asso-
ciação. E, apesar de citar, durante todo o capítulo, mais algumas vezes o fato
de que todo polinômio é uma função, jamais explica como o leitor pode cons-
tatar a associação de polinômio com esse tipo de função, à qual não dá ne-
nhum nome específico nesse ponto de seu texto. Menciona, sem definir pro-
65
priamente, a expressão “função polinomial” apenas no final, na seção deno-
minada Gráfico de uma função polinomial (pp. 254-256). Comentaremos es-
sa abordagem mais à frente.
A coleção B, no livro 3, introduz, na p. 102, o termo funções polinomi-
ais – antes de introduzir o termo polinômio – através de exemplos, quando
faz a apresentação informal do conhecido algoritmo de Briot-Ruffini, como
podemos observar no quadro abaixo:
As funções cujos valores são dados por fórmulas tais como:
54)( += xxf 452)( 2 +−= xxxg ixixxxh 52)( 23 +−+=
são chamadas de funções polinomiais.
No entanto, essa afirmação não pode ser considerada como uma defi-
nição. No restante da seção, não menciona mais a expressão função polino-
mial.
Na p. 104, apresenta o teorema do resto, no enunciado do qual apare-
ce o termo polinômio, sem definição. Detalhamos abaixo o trecho correspon-
dente:
Para todo polinômio P(x) de grau n diferente de zero e para cada
número complexo a existe um polinômio Q(x) de grau n-1 tal que:
)()()()( aPxQaxxP +−=
66
Não relaciona os conceitos, nem os termos polinômio e função poli-
nomial, nem reconhece como polinomiais as funções afim e quadrática. Co-
mo conseqüência de sua abordagem, naturalmente não define grau de poli-
nômio.
A coleção C, nas pp. 193-194 do livro 3, define formalmente polinômio
e grau de um polinômio, após definir monômio (e grau de monômio), binômio
e trinômio, como segue:
Um monômio de uma variável é o produto de uma constante não nula
a por uma variável x elevada a um número natural n.
Um monômio é da forma axn, onde a é o coeficiente do monômio, a∈IR,
n é o grau do monômio e xn é a parte literal, n∈N.
Após definir monômios semelhantes, acrescenta:
A soma algébrica de dois monômios não-semelhantes chama-se bi-
nômio; a de três monômios não-semelhantes entre si chama-se tri-
nômio.
A expressão 013
32
21
1 ... axaxaxaxaxa nn
nn
nn
nn ++++++ −
−−
−−
− , com
nn aaaaa ,,...,,, 1210 − números reais, n∈N e an≠0, é chamada de poli-
nômio de grau n na variável x.
Os monômios 011
1 ,...,, axaxaxa nn
nn
−− são os termos do polinômio.
67
Na p. 197, define formalmente “função polinomial”, da seguinte forma:
Dados os números reais ,,...,,,, 0121 aaaaa nnn −− n∈N, a função P, de IR
em IR, definida por:
012
21
1 ...)( axaxaxaxaxP nn
nn
nn +++++= −
−−
− ,
é denominada função polinomial ou simplesmente polinômio.
Os monômios 011
1 ,...,, axaxaxa nn
nn
−− são os termos ou monômios;
0121 ,,...,,, aaaaa nnn −− são os coeficientes de P, e x é a variável real
dessa função.
Portanto, a coleção C explicita uma relação entre polinômios e funções
polinomiais de IR em IR. Além disso, ao identificar os termos polinômio e fun-
ção polinomial, procura introduzir o leitor ao costume disseminado de chamar
as funções polinomiais de polinômios. Nos exemplos que acompanham a de-
finição de função polinomial, retoma as funções afim e quadrática. Na p. 198,
acrescenta: “O estudo dos polinômios nos permite aprofundar o conceito de
funções para aquelas de grau maior que 2 ...”. E prossegue “... observe, por
exemplo, os esboços dos gráficos cartesianos das funções f(x) = x3-3x2+2x e
g(x) = x4-5x2+4:
68
Tabela 3: Valores para a construção de gráficos de funções
polinomiais de grau maior que 2 na coleção C
x -1 0 0,5 1 1,5 2 x -2 -1,5 -1 0 1 1,5 2
f(x) -6 0 0,375 0 -0,375 0 g(x) 0 -2,1875 0 4 0 -2,1875 0
Figura 1: Gráficos de funções polinomiais de grau maior que 2 na coleção C
Analisando esses gráficos, podemos verificar que os zeros ou raízes
de f são 0, 1 e 2 e de g são -2, -1, 1 e 2” . Depois de relembrar algumas de-
finições sobre funções, faz uma relação superficial com os conceitos básicos
do estudo de gráficos: raiz, função crescente, decrescente, ponto de máximo
(mínimo) local. Portanto, esboça, mas não explora, a articulação investigada.
4.2.2. RAÍZES, EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS
As questões da tabela 4 (de 6 a 8) servem para exame do tratamento
de equações polinomiais e suas relações com os polinômios e com funções
polinomiais.
69
Tabela 4: Questões investigadas nos Livros 3 – segundo bloco
Coleção
Questão A(Adilson) B(Guelli) C(Ignez)
6) Menciona raiz de polinômio? Sim Sim Sim
7) Menciona equação polinomial (ou algébri-
ca)? Sim Sim Sim
8) Relaciona raiz do polinômio e raiz da e-
quação com ZERO da função polinomial? Não Não Sim
Todos os livros 3 mencionam as expressões raiz de polinômio e equa-
ção polinomial, além de relacionar as raízes das equações às raízes dos po-
linômios correspondentes. Detalhamos isso abaixo, na análise.
Comecemos com a coleção A. Lembremos que, conforme a seção an-
terior, essa coleção define polinômio e grau e menciona - sem definir - fun-
ção polinomial, preferindo trabalhar com o conceito local de valor numérico
de um polinômio.
O autor define raiz de polinômio numa observação, na p. 198, assim:
Observação:
Se o valor numérico de um polinômio para x=α é igual a zero, dize-
mos que α é raiz (ou zero) do polinômio, isto é P(α)=0.
Na p. 239, introduz o assunto equações algébricas, articulando-o à
geometria através do exemplo de uma caixa de papelão de altura x, largura
2x e comprimento 3x, e propõe o problema de como determinar o valor de x,
sabendo que a área total [da superfície do papelão] deverá ser 726 cm2. O
70
desenvolvimento leva à equação 0332 =−x , que o texto denomina equação
algébrica do 2º grau. A seguir, define formalmente:
Uma equação algébrica, ou equação polinomial, é uma equação do tipo
P(x)=0,
onde P(x) é um polinômio não-nulo. Caso o polinômio tenha grau igual a n, di-
zemos que a equação tem grau n.
Podemos dizer que uma equação polinomial ou equação algébrica, na in-
cógnita x, é uma equação que pode ser escrita na forma
0(...) 012
21
1 =+++++ −− axaxaxaxa n
nn
n ,
onde 0121 ,...,,...,, aeaaaa nn − são os coeficientes da equação.
Note-se o desaparecimento da condição “polinômio não nulo” na se-
gunda formulação.
Prossegue o desenvolvimento do assunto equações algébricas, dando
ênfase aos casos de obtenção de raízes racionais (para uma equação algé-
brica de coeficientes inteiros) e imaginárias [complexas conjugadas] (para
uma equação algébrica de coeficientes reais).
Retomamos o que constatamos sobre a coleção B: esta introduz a ex-
pressão função polinomial através de exemplos, faz uso do termo polinômio
– sem definir – e, conseqüentemente, não define grau de polinômio.
Na p. 105, o autor enuncia e demonstra o que chama de teorema do
fator: “No conjunto dos números complexos, x-a é um fator de um polinômio
P(x) se, e somente se, a é uma raiz de P(x)=0”. Observe-se o uso das ex-
71
pressões polinômio (novamente), raiz e P(x)=0, que não são definidos no
texto em parte alguma.
Nas pp. 105-106, ao introduzir o conhecido teorema das raízes racio-
nais, o autor usa um exemplo, que leva à pergunta “A equação 52 =x tem
raízes racionais?”, na qual usa a expressão equação. Prosseguindo, escreve:
“Para responder a esta questão, em primeiro lugar observe as condições que
deve satisfazer um número racional para que seja raiz de um polinômio com
coeficientes inteiros, por exemplo, 6-13x9x-2xP(x) 23 += ”. Vê-se, portanto,
que o autor, de maneira confusa, menciona, mas não define, a expressão ra-
iz de um polinômio.
Mais adiante, o autor coloca o seguinte [grifos nossos]: “Isto nos con-
duz ao teorema acerca das raízes de uma equação polinomial na forma
comum, ou seja, uma equação em que um membro é 0 e o outro membro
é um polinômio na forma ‘simplificada’...”, em que menciona a expressão
equação polinomial, definida de maneira confusa, já que não explica o que
é um polinômio na forma simplificada.
Passemos à coleção C, lembrando que ela, no livro 1, faz uso dos
termos função do primeiro e do segundo grau, no lugar de funções afim e
quadrática. Além disso, menciona, sem definir, polinômio do 1o grau e função
polinomial do 1o grau. No livro 3, primeiro define formalmente polinômio e
grau de polinômio, depois define função polinomial e, em seguida, identifica
as duas expressões (polinômio e função polinomial).
72
A coleção C, na p. 198, define formalmente raiz de uma função polinomial
ou de um polinômio como segue:
A raiz ou zero de uma função polinomial, ou polinômio,
011
1 ...)( axaxaxaxP nn
nn ++++= −
− , an≠0, é o número real c, tal
que P(c)=0.
Na p. 255, introduz o assunto equações polinomiais, também contex-
tualizando com a geometria, com o exemplo de uma caixa sem tampa, cujo volume
deve ser 2 m3 e que se pretende fazer recortando quadrados de lados x dos quatro
cantos de uma folha retangular de papelão, o que leva à equação
210144 23 =+− xxx . Na p. 256, logo depois, apresenta a definição formal, como
segue:
Equação polinomial (ou algébrica) de grau n≥1 é toda equação
da forma:
0... 012
21
1 =+++++ −−
−− axaxaxaxa n
nn
nn
n 1
onde a variável x e os coeficientes 0121 ,...,,,,0 aaaaa nnn −−≠ per-
tencem ao conjunto dos números complexos e n∈N*.
Um número complexo r é raiz (ou solução) de 1 se, e somente
se, 0... 012
21
1 =+++++ −−
−− arararara n
nn
nn
n .
73
As autoras não observam no texto que essa definição é a generaliza-
ção, para os números complexos, da definição de raiz de função polinomial,
que já havia sido dada no conjunto dos números reais.
Na seqüência, apresentam os casos conhecidos de pesquisa e obten-
ção de raízes de uma equação polinomial – os mesmos apresentados na co-
leção B.
4.2.3. GRÁFICOS E ELEMENTOS DE CÁLCULO
Finalmente, vamos analisar as questões da tabela 5 (9 e 10), que se
referem a gráficos de funções polinomiais e relações com o cálculo diferenci-
al.
Tabela 5: Questões investigadas nos Livros 3 – terceiro bloco
Coleção
Questão A(Adilson) B(Guelli) C(Ignez)
9) Apresenta gráficos de funções polinomiais
de grau maior que 2? Sim Sim Sim
10) Menciona termos do Cálculo Diferencial,
como limites, derivadas, máximos e mínimos
etc?
Não Sim Sim
Observamos inicialmente que todas as coleções apresentam gráficos
de funções polinomiais de grau maior que 2. A coleção A é a única que não
apresenta elementos de cálculo diferencial, limitando-se a mencionar “função
74
polinomial” [sem definir] apenas no final (pp. 254 a 256), onde apresenta al-
gumas observações sob o título Gráfico de uma função polinomial. O obje-
tivo, segundo o próprio autor, é “observar alguns fatos [...] para estabelecer
algumas relações entre equações algébricas, polinômios e funções [...] e
responder uma questão: como é o comportamento gráfico de uma função po-
linomial?”. Esse texto é desenvolvido como segue:
Começa afirmando: “um polinômio 01
1 ....)( axaxaxP nn
nn +++= −
− é
uma função de IR → IR, isto é, uma função com domínio no conjunto dos reais
e contradomínio também no conjunto dos reais”.
Em seguida, apresenta (sem nenhuma explicação) os seguintes fatos:
1º) “O gráfico de uma função polinomial é sempre uma linha contí-
nua”, [...] “não apresenta bicos”, e ilustra com as figuras:
Figura 2: Ilustração do gráfico de função polinomial como linha contínua na coleção A
Na figura 2, não se especifica de qual polinômio é o gráfico.
75
Figura 3: Ilustração do gráfico de uma função que apresenta bicos na coleção A
Observe-se que, até esse momento do texto, ao leitor só foram apre-
sentados os gráficos das funções afim e quadrática. Entretanto, o autor não
recorre a esses gráficos (reta e parábola, respectivamente) para levar o leitor
a compreender, no nível intuitivo, a “continuidade” da função polinomial.
Também não se preocupa em apresentar algum recurso prático (uma tabela
de valores de x e y, por exemplo), que possibilite ao leitor intuir o aspecto das
curvas em questão.
2º) “A intersecção [...] com o eixo das ordenadas é o ponto (0; a0) e a
intersecção [...] com o eixo das abscissas é o ponto (ou são os pontos, quan-
do houver mais de um) (xi, 0), onde xi é raiz de equação [cremos que o corre-
to seria da equação] P(x) = 0”. Ilustra com a figura:
76
Figura 4: Ilustração das intersecções do gráfico de uma função polinomial com os eixos na coleção A
O autor registra, junto à figura reproduzida acima, que “a0 é o termo
independente de x”. Em nome da correção e da clareza, observamos que ao
contrário da apresentada na figura 3, a notação correta para os pontos onde
o gráfico da função intercepta o eixo x seria: (x1, 0), (x2, 0) e (x3, 0).
3º) Cita o teorema de Bolzano, sem deixar claro qual é o seu enuncia-
do, em trecho que reproduzimos a seguir (p. 255):
“Sejam P(x)=0 uma equação polinomial com coeficientes reais e o in-
tervalo real (a;b). Se P(a) e P(b) têm sinais contrários, então existe um núme-
ro ímpar de raízes reais da equação entre a e b”. Na p. 256, faz a ilustração
geométrica desse fato (figura 4), porém não afirma claramente no texto que o
enunciado acima é o do teorema de Bolzano.
77
Figura 5: Ilustração geométrica do teorema de Bolzano na coleção A
Aplica o teorema, num exemplo, na forma de exercício resolvido: “Ve-
rificar, sem resolver a equação, a existência de raízes reais no intervalo (0; 2)
da equação algébrica x3-5=0”. Para resolver, observa que P(0).P(2)<0 e, por-
tanto, a equação admite ao menos uma raiz real no intervalo (0;2), mas nada
afirma sobre o valor dessa raiz nem mesmo um valor aproximado. Propõe,
para discussão pelo leitor, sem apresentar as respostas nem comentários,
outros dois exemplos: no primeiro, afirma que a equação 023 =+++ kxxx
tem uma raiz real entre 1 e 2 e pergunta os possíveis valores que k pode as-
sumir e, no segundo, pergunta se a equação 012 23 =−+− xxx admite raiz
real no intervalo (1;2).
Concluímos que nesse texto o autor ensaia, mas não consegue efeti-
vamente “estabelecer algumas relações entre equações algébricas, polinô-
mios e funções” nem mostrar “como é o comportamento gráfico de uma fun-
ção polinomial”, como pretendia.
78
A coleção B prefere tratar dos gráficos de funções polinomiais nas pá-
ginas dedicadas ao Cálculo. Vejamos como o faz:
Na p.111, apresenta uma noção intuitiva de limite, apoiada, num pri-
meiro momento, numa função afim [definida por f(x)=2x+3], seu correspon-
dente gráfico (reta) e duas tabelas de valores numéricos. Mostra que à medi-
da em que a variável x assume valores “muito próximos” de 0 (zero), os valo-
res correspondentes de f(x) ficam “muito próximos” de 3 e conclui da seguin-
te forma:
“Dizemos neste caso que o limite de f(x) quando x tende a 0 é 3 e es-
crevemos: { 3)(lim0
=→
xfx
”
Apresenta, também intuitivamente, a noção de continuidade de uma
função, apoiando-se em ocorrências ou não ocorrências de “saltos” e “bura-
cos”, em gráficos de funções genéricas, e explicita a relação usual entre limi-
te e continuidade, como segue (p. 113):
“De modo geral, uma função é contínua se pudermos traçar
seu gráfico completo sem levantar o lápis do papel, ou seja, o gráfico
é uma curva sem buracos ou saltos.
Mais exatamente, uma função f(x) é contínua em x=b se satis-
fizer estas três condições:
a) f(b) está definida; b) )(lim xfbx→
existe; c) )()(lim bfxfbx
=→
79
Na p. 115, apresenta, mais uma vez intuitivamente, o item Limite no
infinito de uma função polinomial, apoiando-se na idéia sugerida pelo
comportamento dos gráficos de uma função quadrática e outra afim.
Na p. 117, introduz o conceito de derivada, inicialmente associado ao
valor da declividade da reta tangente à curva num ponto, tomando como e-
xemplo uma função quadrática para, depois, num outro exemplo de função
do mesmo tipo, apresentar o conceito de derivada como o conhecido limite
hxfhxf
h
)()(lim0
−+→
.
Na p. 121, há, ainda, uma sessão chamada máximos e mínimos re-
lativos de funções polinomiais, onde apresenta - especificamente para
funções polinomiais - os clássicos resultados para funções quaisquer, que
relacionam:
a) o sinal das derivadas primeira e segunda com os intervalos
onde a função é crescente ou decrescente;
b) os pontos onde se anula a derivada primeira e a ocorrência
de ponto de máximo ou de mínimo relativo.
A coleção C apresenta gráficos de funções polinomiais definidas a par-
tir de polinômios de grau maior que 2 em três momentos:
a) na p. 198, como já citamos, logo após a definição de função poli-
nomial, para as funções definidas por xxxxf 23)( 23 +−= e
80
45)( 24 +−= xxxg , respectivamente, cujos gráficos são obtidos pelas
respectivas tabelas de valores para x e f(x);
b) na pág. 273, após ter desenvolvido a unidade Equações Polinomi-
ais, na seção Flash Matemático. Aborda aí o tópico Gráficos de fun-
ções polinomiais, começando com um exemplo de uma função defi-
nida a partir do polinômio 22)( 45 −−+= xxxxP . O gráfico é esboçado
apoiando-se na pesquisa de suas raízes racionais (-2, -1 e 1) e no fato
(apenas citado) de o gráfico de uma função polinomial ser contínuo.
Faz um estudo essencialmente qualitativo do gráfico dessa função po-
linomial de 5o grau, com 3 raízes racionais. Mostra como se pode a-
char essas raízes; em seguida, usa o algoritmo para dividir pelos bi-
nômios do 1º grau correspondentes e explora isso exaustivamente,
decompondo o polinômio em fatores irredutíveis em IR [sem usar essa
terminologia]. Assinala, então, as raízes no eixo x e esboça o gráfico,
apenas estudando o sinal da imagem da função para um determinado
valor da variável independente, “escolhido” no intervalo das raízes.
Depois, sugere que o leitor tente fazer o mesmo para
23456 642)( xxxxxxQ −−−−= ;
c) na unidade 11 (última do livro), denominada Taxa de variação de
funções, em que trata de parte do cálculo diferencial. Fazemos abaixo
um breve resumo dessa abordagem:
81
Na p. 277, introduz o conceito de taxa de variação média, contextuali-
zando com a situação da “curva de crescimento de Diogo (trata-se da altura
de um menino) de 1997 a 2003”, propondo a questão: “...qual foi o cresci-
mento anual médio nos períodos [1997, 1999], [1997, 2000], ..., [1997,
2003]?”. Depois, na p. 281, define derivada ou taxa de variação instantânea
de uma função num ponto, relacionando-a com o coeficiente angular da reta
tangente ao gráfico da função no ponto e apoiando-se na noção intuitiva de
limite de uma função num ponto. Mais adiante, na p. 291, conceitua a função
derivada (definição formal) e apresenta as derivadas das funções definidas
por f(x)=c (constante), f(x)=xn e xxf =)( . Em seguida, na p. 296, apresenta
informalmente os resultados que relacionam o sinal da derivada de uma fun-
ção f com os intervalos em que f é crescente ou decrescente e, na p. 298, os
resultados que relacionam a derivada com os pontos de máximo e de mínimo
locais de uma função f, ilustrando com trechos de gráficos cartesianos de
funções genéricas. Finalmente, nas pp. 300-301, mostra a aplicação de todos
esses resultados em dois exercícios resolvidos: o primeiro, pede os pontos
de máximo ou de mínimo locais, os intervalos em que é crescente ou decres-
cente e o esboço do gráfico da função polinomial, definida por
xxxxf 33
)( 23
−−= ; o segundo, pede os intervalos de crescimento e decres-
cimento e os valores máximos e mínimos, locais e absolutos, da função poli-
nomial definida por 34)( xxxf +−= .
82
4.3. CONCLUSÕES SOBRE O TRATAMENTO EXPOSITIVO
Nossa investigação sobre a articulação entre Polinômios e Funções
em livros didáticos revelou quanto aos livros 1, que a Coleção A não mencio-
na a palavra polinômio, nem a expressão função polinomial e, conseqüente-
mente, não faz relação das funções afim e quadrática com nenhum tipo de
polinômio.
Já a Coleção B apresenta as funções afim e quadrática com os nomes
de função polinomial de 1º grau e função polinomial de 2º grau, respectiva-
mente e, assim, menciona a expressão função polinomial, ainda que só para
nomear as funções afim e quadrática. Porém, não cita o termo polinômio e,
portanto, não relaciona as expressões e muito menos os conceitos de função
polinomial e polinômio.
Ainda quanto aos livros 1, a coleção C é a única que menciona função
polinomial associada a polinômio. Entretanto, é confusa a relação entre os
vários termos empregados por ela: função do 1o grau, polinômio do 1o grau,
função polinomial do 1o grau, função do 2o grau. Suas autoras mencionam
que existe uma relação entre função afim e polinômio do 1o grau, mas não
chegam a desenvolver essa relação.
Quanto aos livros 3, nossa investigação revelou que as coleções A e
C mencionam e definem o termo polinômio formalmente e utilizam-no em to-
do o desenvolvimento do assunto Polinômios. Já a coleção B, na seção des-
83
tinada ao assunto, menciona o termo polinômio várias vezes, sem contudo
definí-lo em nenhuma delas.
A coleção C define formalmente a expressão função polinomial e as
coleções A e B mencionam, mas não a definem.
A coleção A, durante o desenvolvimento do assunto, em seu capítulo
14 - Polinômios, utiliza freqüentemente o termo polinômio e, apesar de citar
várias vezes que “todo polinômio é uma função”, não usa nenhuma vez a ex-
pressão função polinomial nesse momento e também não explica como fazer
a associação entre polinômio e função. A expressão função polinomial ocor-
re, de modo isolado, apenas no final do livro, após já terem sido desenvolvi-
dos os assuntos Polinômios, Números Complexos e Equações Algébricas, na
seção Gráfico de uma função polinomial, que ocupa somente três páginas
(pp. 254-256); nestas, finalmente afirma que (grifos nossos) “Um polinômio
01
1 ....)( axaxaxP nn
nn +++= −
− é uma função de IR → IR, isto é, uma função
com domínio no conjunto dos reais e contradomínio também no conjunto dos
reais”, depois “O gráfico de uma função polinomial é sempre uma linha con-
tínua ...”, e mais adiante: “Na função polinomial da forma
01
1 ....)( axaxaxP nn
nn +++= −
− o termo a0 é denominado termo independente
de x.”
Quanto à coleção B, é oportuno esclarecer que desenvolve o assunto
em sua UNIDADE 3 – NÚMEROS COMPLEXOS, FUNÇÕES POLINOMIAIS
E CÁLCULO INFORMAL (grifo nosso), sugerindo explicitamente que preten-
de tratar com o nome de Funções Polinomiais o tema que usualmente é de-
nominado Polinômios, dando a entender a intenção de promover a articula-
84
ção dos dois conceitos, destacando-a já logo no título, para conferir-lhe maior
importância. Porém, o que se observa é que essa coleção faz um uso isolado
da expressão funções polinomiais. De fato, inicia o desenvolvimento do as-
sunto pela seção denominada AULA 8 - Um algoritmo especial, na qual faz
uma apresentação informal do algoritmo de Briot-Ruffini; ali, utiliza pela pri-
meira vez a expressão funções polinomiais apenas em exemplos, sem definí-
la. A partir daí, passa a usar o termo polinômio, que é introduzido (também
sem definição) na seção imediatamente seguinte denominada AULA 9 – Teo-
rema do resto, quando enuncia esse teorema para polinômios; só volta a u-
sar o termo função polinomial na seção AULA 16 – Limite no infinito de uma
função polinomial, quando já está apresentando elementos de Cálculo Infor-
mal.
A coleção C define formalmente a expressão função polinomial na se-
ção 2 – Função polinomial da unidade 8, logo após ter definido (também for-
malmente) o termo polinômio e, nessa definição, identifica as expressões po-
linômio e função polinomial. Porém, também faz uso isolado da expressão
função polinomial nessa seção do texto, pois, a seguir, afirma que o estudo
dos polinômios permite aprofundar o conceito de função para as de grau
maior que 2 (embora não tenha definido grau de uma função, utilizou, no
livro 1, a terminologia função do primeiro grau e função do segundo grau
para se referir às funções afim e quadrática, respectivamente). Mas limita-se
a apresentar como exemplos os esboços dos gráficos cartesianos de uma
função polinomial de grau 3 e de outra de grau 4. Encerra a seção com co-
mentário superficial sobre a relação entre os conceitos de raiz, função cres-
85
cente, decrescente, ponto de máximo (mínimo) local. Prossegue no desen-
volvimento do assunto Polinômios, nomeando-os sempre como polinômios,
até o final. Só volta a usar a expressão função polinomial bem mais tarde,
após já ter desenvolvido os temas Números Complexos e Equações Polino-
miais, na seção Flash Matemático (pp. 273-274). Nessa seção, sob o título
Gráficos de funções polinomiais afirma (grifo nosso): “Com o que estudamos
até aqui vamos tentar esboçar o gráfico de uma função polinomial a partir
de suas raízes...” e o faz tomando como exemplo a função definida por
22)( 45 −−+= xxxxP . Aí, utiliza apenas pesquisa de raízes racionais e algo-
ritmo de Briot-Ruffini para fatorar o polinômio, seguida de valores do polinô-
mio em pontos entre as raízes. Encerra a seção, propondo ao leitor: “Tente
fazer o mesmo para 23456 642)( xxxxxxQ −−−−= .”
Apenas a coleção C reconhece as funções afim e quadrática como
funções polinomiais, embora num único momento do texto, ao definir fun-
ção polinomial (p. 197). Após a definição (formal), acrescenta:
“Já conhecemos várias funções polinomiais e todas elas têm domí-nio IR: f(x)=0 é função nula; f(x)=k é função constante;
afim; ou grau 1º do função é a axaxf 1 ,0,)( 01 ≠+=
quadrática ou grau 2º do função é a axaxaxf 2 ,0,)( 012
2 ≠++= .”
Mesmo assim, observe-se que as autoras da coleção C não chegam a
usar as expressões completas função polinomial do 1º grau e função poli-
nomial do 2º grau para nomear as funções afim e quadrática, respectiva-
mente, embora o façam esporadicamente no livro 1. Já as coleções A e B
não fazem nenhuma menção a respeito.
86
A coleção A relaciona Equações Algébricas com Polinômios de forma
explícita já na própria definição (pp. 239-240), onde coloca: “Uma equação
algébrica, ou equação polinomial, é uma equação do tipo 0)( =xP , onde P(x)
é um polinômio não nulo....” Tal relação estende-se às aplicações do Teore-
ma Fundamental da Álgebra (“Toda equação algébrica de grau n, 1≥n , pos-
sui pelo menos uma raiz complexa”, p.241), utilizado para demonstrar (e o
autor demonstra-o, de fato), na mesma página, o Teorema da Decomposição
(“Toda equação algébrica de grau n, 1≥n , pode ser decomposta em n fato-
res do 1º grau, isto é: 0.... 01
1 =+++ −− axaxa n
nn
n pode ser escrita na forma
0)(.(...).)).(.( 21 =−−− nn xxxa ααα , em que nαααα ,...,,, 321 são as raízes da
equação”. O autor inicia a demonstração, afirmando: “Vamos considerar o
polinômio 01
1 ....)( axaxaxP nn
nn +++= −
− , onde 0≠na ...” E prossegue: “Pelo
Teorema Fundamental da Álgebra P(x) possui pelo menos uma raiz comple-
xa 1α , isto é 0)( 1 =αP . Logo P(x) pode ser escrito na forma
)().()( 11 xQxxP α−= ...” Em seguida, afirma que )(1 xQ tem grau n-1 e faz in-
dução informal sobre o grau de P.
Na coleção B a relação entre Equações Polinomiais e Polinômios é
confusa, uma vez que, como já vimos anteriormente, o autor não define ne-
nhum dos dois conceitos. Fica a cargo do leitor perceber que essa relação
está “subentendida” no desenvolvimento do texto. Por outro lado, a relação
entre as raízes do polinômio e as raízes da equação polinomial correspon-
dente fica um pouco mais clara na seção AULA 10 – Teorema do fator do
que na seção AULA 13 – Teorema fundamental da Álgebra. De fato, na pri-
87
meira o autor enuncia (p. 105): “No conjunto dos números complexos, ax − é
um fator de um polinômio P(x) se, e somente se, a é uma raiz de 0)( =xP ” e,
na segunda, afirma (p. 108): “Toda equação polinomial de grau n diferente de
0, com coeficientes complexos, tem exatamente n raízes complexas”, não
usando nenhuma vez o termo polinômio em toda esta seção, preferindo sem-
pre as expressões equação ou equação polinomial.
Já na coleção C, embora as relações entre Equações Polinomiais e
Polinômios e as destes dois conceitos com os Teoremas Fundamental da Ál-
gebra e da Decomposição não sejam tão explícitas quanto na coleção A, a-
creditamos que não se exige do leitor grande esforço para percebê-las. Ocor-
re que, no texto da coleção C, suas autoras referem-se ora a equação poli-
nomial, ora a polinômio, como é possível perceber nos enunciados do Teo-
rema Fundamental da Álgebra (p. 257, grifo nosso): “Toda equação polino-
mial de grau 1≥n admite, pelo menos, uma raiz complexa” e do Teorema da
Decomposição (p. 258, grifo nosso): “Todo polinômio de grau n, com 1≥n ,
pode ser fatorado em n fatores do 1º grau com coeficientes complexos.”,
complementado pelas autoras com a frase (grifos nossos): “O teorema nos
assegura que o número de raízes complexas de um polinômio de grau
1≥n é exatamente n.”
A coleção A é a única que não apresenta elementos de cálculo dife-
rencial e, quanto às funções polinomiais de grau maior que 2, exibe apenas
gráficos genéricos, sem especificar o grau da função; isso é feito numa única
seção, denominada Gráfico de uma função polinomial (p. 254), como já co-
mentamos anteriormente.
88
A coleção B apresenta apenas um gráfico de função polinomial de
grau maior que 2, para a função definida por xxxf 27)( 3 +−= (p. 124), apli-
cando recursos de cálculo diferencial, tais como: derivadas primeira e segun-
da, obtenção de máximos e mínimos relativos da função.
Já a coleção C, como vimos anteriormente, apresenta gráficos de fun-
ções polinomiais de grau maior que 2 em três momentos:
a) Na p. 198, constroem-se dois gráficos, para as funções definidas
por xxxxf 23)( 23 +−= e 45)( 24 +−= xxxg , respectivamente, usando a ta-
bela de valores para x e f(x);
b) na p. 273, constrói-se um gráfico, para função definida por
22)( 45 −−+= xxxxP , a partir de suas raízes (racionais) e usando o valor
numérico P(0);
c) Na unidade 11, pp.301-302, em dois exercícios resolvidos, aplica
elementos de cálculo diferencial: o primeiro, pede os pontos de máximo ou
de mínimo locais, os intervalos em que é crescente ou decrescente e o esbo-
ço do gráfico da função polinomial, definida por xxxxf 33
)( 23
−−= ; o segun-
do pede os intervalos de crescimento e decrescimento e os valores máximos
e mínimos, locais e absolutos, da função polinomial definida por
34)( xxxf +−= , cujo gráfico não é pedido, mas é exibido como ilustração.
Quanto ao algoritmo de Briot-Ruffini, só a coleção B explora seu uso
para obter o valor numérico de polinômios, enquanto as coleções A e C mos-
tram apenas o emprego usual do processo para obter o quociente e o resto.
C A P Í T U L O 5
O CORPO DE EXERCÍCIOS
Neste capítulo, relatamos os resultados de nossa análise sobre o cor-
po de exercícios das seções destinadas ao tema Polinômios nas coleções
analisadas, lembrando que este é o segundo aspecto dos livros didáticos que
estudamos para responder a nossa questão objeto, ou seja: O tema polinô-
mios é articulado ao tema funções em livros didáticos? Assim, para investigar
também nos exercícios se e como ocorre a articulação entre os temas, exa-
minamos se o tratamento dado a cada exercício é de polinômio ou de função
polinomial.
Conforme nossas conclusões sobre o tratamento expositivo, relatadas
no capítulo anterior, observamos que, nos livros 1, nenhuma das três cole-
ções faz a articulação das funções afim e quadrática com polinômios. Assim
sendo, decidimos investigar no presente capítulo apenas o corpo de exercí-
cios dos livros 3, nos quais tal articulação é pelo menos esboçada.
90
5.1. O CORPO DE EXERCÍCIOS DA COLEÇÃO A
Na seção em que é tratado o tema Polinômios, a coleção A apresenta
28 exercícios distribuídos nas pp. 201-202 e nas pp. 209-210, sendo que to-
dos eles têm o tratamento de polinômio; portanto, a coleção não traz ne-
nhum exercício com o tratamento de função polinomial. Para ilustrar, a-
presentamos dois desses exercícios:
● Exercício 12 (p. 202): “Os polinômios mxxP +−= 2)( e nxxQ +=)( são tais
que 132)(.)( 2 −−−= xxxQxP . Obtenha os valores de m e de n.”
● Exercício 7 (p. 209): “Obtenha o quociente e o resto da divisão do polinô-
mio 1)( 99100 ++= xxxP por 12 −x .”
5.2. O CORPO DE EXERCÍCIOS DA COLEÇÃO B
A coleção B, na seção em que trata do tema Polinômios, traz um total
de 12 exercícios nas páginas 103, 104 e 105. Onze deles têm o tratamento
de polinômios e apenas um de função polinomial:
● Exercício 36 (p. 103): “Considere a função cujos valores são dados por
44)( 23 +++= xixxxP . Calcule )1( iP + ”. É um exercício sobre o valor numé-
rico de uma função polinomial do terceiro grau, envolvendo números comple-
xos. Os demais são do tipo seguinte:
● Exercício 41 (p. 105): “Encontre m para que 3−x seja um fator de
mxxxxP ++−= 23 196)( ”.
91
5.3. O CORPO DE EXERCÍCIOS DA COLEÇÃO C
A coleção C dá um tratamento mais completo ao corpo de exercícios,
como pode ser observado na tabela 6 abaixo:
Tabela 6: Corpo de exercícios nos Livros 3 – coleção C
Identificação dos exercícios
Identificação do tema
Página Seção Número Polinômio Função polinomial
195 Exercícios Resolvidos ER1, ER2 X 196 Problemas e Exercícios 1-8, 10 X 9 X 197 Invente Você 1 X 199 Exercício Resolvido ER3 X 200 Problemas e Exercícios 11 X 12 X 13 X 14 X 15-17 X Invente Você 2 X 206-207 Exercícios Resolvidos ER4-ER6 X 207-208 Problemas e Exercícios 18-33 X 208 Invente Você 3, 4 X 209 Problemas e Exercícios 34, 35 X 210-212 Exercícios Resolvidos ER7-ER10 X ER11 X 213 Problemas e Exercícios 36-41 X 42 X Invente Você 5 X 214 Calculadora 2 X 59 48 11
TOTAIS 100% 81,4% 18,6%
Pode-se observar, quanto aos exercícios, que a coleção C apresenta
maior variedade não só de seções, como de temas abordados. São apresen-
tados 59 exercícios, distribuídos em 5 tipos diferentes de seções, denomina-
das Exercícios Resolvidos, Problemas e Exercícios, Invente Você, Saia Des-
sa e Calculadora, que se sucedem, em vários blocos, acompanhando o de-
senvolvimento do texto da Unidade 8 – Polinômios.
92
Ao contrário das coleções A e B que, em sua quase totalidade, explo-
ram apenas o tema polinômios, a coleção C apresenta também vários exer-
cícios sobre função polinomial. De fato, do total de 59 exercícios apresenta-
dos na coleção C, 48 têm o tratamento de polinômios (cerca de 81,4%) e ou-
tros 11 são de função polinomial (representando cerca de 18,6% do total).
Por oportuno e dada a pertinência à questão que investigamos, pas-
samos a relatar a seguir nossa análise dos 11 exercícios sobre função poli-
nomial da coleção C.
● 1) p. 196, seção Problemas e Exercícios, exercício 9: apresenta o desenho
de uma pista de atletismo e fornece o perímetro interior da pista em metros.
Pede:
a) o raio das semicircunferências, que são as cabeceiras da pista, o que leva
à resolução da equação do primeiro grau 4002240 =+ rπ , onde r é o raio das
semicircunferências;
b) a área da pista, em função de sua largura x, o que leva à obtenção de um
polinômio (função polinomial) do segundo grau em x, ou seja
xxxA 400)( 2 += π , onde A(x) denota a área da pista.
● 2) p. 199, seção Exercício Resolvido, exercício ER3: “De um prisma qua-
drangular regular, em que a aresta da base mede x e a altura mede 3, foi
cortado um cubo de aresta x [...]”
Pede:
93
a) a expressão do volume V da parte restante do prisma, em função de x,
que resulta no polinômio (função polinomial) do terceiro grau 323)( xxxV −= ;
b) as raízes, o domínio e o gráfico dessa função;
c) para que valores de x o volume é maior que 2 e menor que 4 e o que signi-
fica V(x)=0 e V(x)=4.
● 3) p. 200, seção Problemas e Exercícios, exercício 11: “Um campo retan-
gular tem comprimento 2x-1 e largura x+5, em metros [...]”
Pede:
a) as expressões do perímetro e da área [do retângulo], que resultam, res-
pectivamente, no polinômio do primeiro grau 86 +x e no polinômio do se-
gundo grau 592 2 −+ xx ;
b) os graus dos polinômios obtidos;
c) calcular e interpretar os zeros das funções [correspondentes aos polinô-
mios obtidos, ou seja: 86)( += xxp e 592)( 2 −+= xxxA , onde p(x) e A(x)
denotam, o perímetro e a área, respectivamente].
● 4) p. 200, seção Problemas e Exercícios, exercício 12: “O sr. João gastou
R$ 100,00 em x caixas de sabão em pó num supermercado. Ele quer vender
todas as caixas em seu mercadinho e obter um lucro de R$ 2,50 por caixa.
[...]” Pede:
a) a expressão do preço de cada caixa, o que dá a expressão algébrica
5,2100+
x;
94
b) a receita quando o sr. João vendeu todas as caixas, o que dá o polinômio
de primeiro grau x5,2100 + ;
c) justificar por que uma das expressões obtidas em a ou b não é um polinô-
mio, para o que as autoras dão a seguinte resposta: “A expressão em a não
é um polinômio pois há variável no denominador.”
● 5) p. 200, seção Problemas e Exercícios, exercício 13: “Luiz e Cristina fize-
ram uma viagem de carro de 500 km e revezaram-se na direção. Cristina
guiou x km e Luiz, o dobro; depois, Cristina guiou mais 100 km e Luiz dirigiu
o resto da viagem. Expresse, em função de x, a última etapa do trajeto feito
por Luiz.” A reposta é o polinômio do primeiro grau x3400 − .
● 6) p. 200, seção Problemas e Exercícios, exercício 14: “Uma arquiteta está
projetando um móvel em forma de paralelepípedo. Pelos seus cálculos, a
medida da área da base, em cm2, é dada por xx 52 + , e as medidas, em cm,
dos comprimentos da base e da altura do móvel são, respectivamente, 5+x
e 402 −x . Sabendo que o móvel será em madeira, responda:
a) os valores que x pode assumir [domínio de funções]”, o que leva à resolu-
ção do sistema composto pelas inequações (polinomiais) do primeiro grau
>−>+
>
040205
0
xxx
e cuja solução é x>20;
“b) a expressão que dá o perímetro da face da frente do móvel, em função de
x”, que é o polinômio do primeiro grau 706 −x ;
95
“c) as expressões que dão, em função de x, a largura e o volume do móvel”,
que são, respectivamente, o polinômio do primeiro grau x e o polinômio [fun-
ção polinomial] do terceiro grau xxx 200302 23 −− ;
“d) as dimensões do móvel para que a área do tampo seja de 1800 cm2”, o
que leva à resolução da equação [polinomial] do segundo grau
0180052 =−+ xx .
● 7) p. 200, seção Invente Você, exercício 2: Pede que o leitor imagine um
monumento em forma de cilindro e elabore um problema que envolva o vo-
lume (V) e o raio (r) em uma função, além do domínio e da seguinte tabela:
r 0 1 1,5 2 10V
Evidentemente, a resposta é pessoal, mas parece-nos que a intenção das
autoras é a de que o leitor obtenha uma função polinomial do primeiro grau,
que relacione o volume e o raio, em função da altura do cilindro.
● 8) p. 212, seção Exercícios Resolvidos, Exercício ER11: Apresenta a figura
de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, x+1 e 3x+1, em metros e
pede a equação que dá os valores de x quando o volume for 42 m3, que é a
equação polinomial do terceiro grau 04243 23 =−++ xxx . Sabendo que 2 é
uma solução, pede que o leitor investigue se há outras raízes positivas dessa
equação.
96
● 9) p. 213, seção Problemas e Exercícios, exercício 42: “Uma empresa de
marketing estima que, n meses após o lançamento de um novo produto no
mercado, o número de famílias que irão comprá-lo é, em milhares, dado pela
expressão )12(9
10)( nnnf −= , com 120 ≤≤ n . [...]” Pede:
a) o esboço do gráfico de f, que é uma função polinomial do segundo grau
em n, cuja resolução leva á construção de um arco de parábola com conca-
vidade para cima;
b) após quantos meses será máximo o número de pessoas que poderão
comprar o produto, o que leva ao cálculo do ponto de máximo de f, ou seja a
abscissa do vértice da parábola citada em a.
● 10) p. 213, seção Invente Você, Exercício 5:
97
Embora a resposta seja pessoal, quer nos parecer que a intenção das auto-
ras é a de que o leitor represente o volume da embalagem por uma função
polinomial do terceiro grau em x, como xxxxV )210)(216()( −−= .
● 11) p. 214, na seção Calculadora, Exercício 2: “Um depósito de combustí-
vel tem a forma de um cilindro, cujo diâmetro da base, em metros, é dado por
42 −x . A altura é dada por 22 +x . [...]”. Pede:
a) os valores de x que tornam o problema possível, o que leva à resolução
da inequação (polinomial) do primeiro grau 042 >−x ;
b) a expressão para a capacidade do reservatório, que dá o polinômio (fun-
ção polinomial) do terceiro grau )2()2( 22 +−= xxV π ;
c) o número de latas de tintas necessárias para pintar o reservatório por fora,
que é um problema de geometria métrica, envolvendo cálculo de áreas.
C A P Í T U L O 6
CONCLUSÕES FINAIS
Passemos então a relatar as conclusões finais de nossa investigação.
Conforme mencionamos no início do capítulo 1, nosso trabalho inves-
tiga o tratamento dado a polinômios em livros didáticos recentes, dando es-
pecial atenção às possíveis relações explicitadas com funções. Nesse capítu-
lo expusemos os resultados que observamos na literatura disponível e nas
orientações governamentais sobre o tema do nosso trabalho.
Analisamos dois documentos oficiais: os PCNEM-2000 (Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio 2000 do Ministério da Educação
e Cultura) e a PROPOSTA (Proposta Curricular para o Ensino de Matemática
do 2º grau da Secretaria da Educação do estado de São Paulo, terceira edi-
ção, 1995). Os PCNEM-2000 recomendam que “aspectos do estudo de poli-
nômios e equações algébricas podem ser incluídos no estudo de funções po-
linomiais, enriquecendo o enfoque algébrico que é feito tradicionalmente”. Já
99
a PROPOSTA considera que os temas polinômios e equações polinomiais
devam figurar na grade curricular do Ensino Médio das escolas públicas do
estado de São Paulo, embora apenas quando o número de aulas semanais
de matemática é máximo (4 ou 5 aulas por semana). Ao contrário da PRO-
POSTA, os PCNEM-2000 recomendam a articulação entre polinômios e fun-
ções polinomiais. Entretanto, como vimos no capítulo 2, a PROPOSTA, suge-
re que “...não se faça no [ensino de] 2º grau um semestre de estudo sobre
polinômios e equações algébricas, mas que eles sejam tratados sempre que
possível recorrendo à fatoração e a casos já conhecidos”.
Entre dissertações e teses publicadas no Brasil, encontramos apenas
o texto Ensino-aprendizagem das equações algébricas através da resolução
de problemas, de Elizabeth Quirino de Azevedo (2002), de tema semelhante
ao nosso, cuja autora defende que “equações algébricas é um tópico que faz
parte do currículo e é o arremate de um programa inteiro”.
Da literatura paradidática, destacamos alguns artigos de “As Idéias da
Álgebra”, tradução do livro do ano do National Council of Teachers of Ma-
thematics (NCTM) de 1988, organizado por Arthur F. Coxford e Albert P.
Shulte; estes demonstram preocupação ou oferecem sugestões para o ensi-
no de polinômios. Num deles, cujo título é Os polinômios no currículo da es-
cola média, seus autores, Theodore Eisenberg e Tommy Dreyfus, propõem
que as equações quadráticas devem ser tratadas como equações polinomi-
ais de grau dois, privilegiando portanto a conexão com polinômios que inves-
tigamos.
100
Dos artigos sobre polinômios na Revista do Professor de Matemática
(RPM), destacamos o de título Equações algébricas - um assunto para o en-
sino médio?, de CARNEIRO (1999). O autor afirma que muitas oportunida-
des para motivar os temas da Matemática com problemas interessantes e
realistas são perdidas, ao deixar fora dos programas do Ensino Médio a reso-
lução de equações polinomiais de grau superior a dois.
De congressos internacionais recentes, destacamos o XII Congresso
da International Commission on Mathematical Instruction (XII ICMI). Neste,
em artigos distintos, temos: MESA (2001) sugere a abordagem funcional, que
preconiza privilegiar as funções como o veículo principal para a introdução de
variáveis e da álgebra; STUMP e BISHOP (2001) propõem um curso de Ál-
gebra para professores da educação básica e defendem que o tema funções
polinomiais [e não polinômios] seja tratado com destaque, na seqüência do
programa, entre os tópicos funções afins e funções exponenciais.
No capítulo 2 explicamos as razões de tomarmos como nosso campo
de investigação livros didáticos, pois acreditamos que um dos indicadores de
como os assuntos são abordados na prática de professores são justamente
os livros didáticos.
Buscando análises já existentes de livros didáticos do Ensino Médio
no Brasil, encontramos duas dignas de nota: identificamos uma por Exame
de Textos (“Exame de Textos – Análise de Livros de Matemática para o En-
sino Médio”), publicada em 2001, e a outra por Catálogo ou Catálogo do PN-
LEM (Catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio – PN-
LEM: Matemática) na versão 2005 do Ministério da Educação e Cultura.
101
No “Exame de Textos”, Elon Lages Lima (editor) e outros sete pesqui-
sadores do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), analisam 12 co-
leções, de 3 volumes cada, dentre as principais obras didáticas de Matemáti-
ca publicadas e adotadas no Ensino Médio das escolas brasileiras até então.
Observamos que seus autores colocam que os polinômios são funções de
natureza simples, que devem ser olhadas sob alguns pontos de vista que se
entrelaçam e se complementam: aritmético (em que se consideram as pro-
priedades de divisibilidade, análogas às dos números inteiros), algébrico (das
operações algébricas e resolução de equações), geométrico ou analítico (em
que os polinômios são vistos como uma importante categoria de funções de
uma variável e na qual é possível estudar suas propriedades por meio dos
seus gráficos) e numérico (no cálculo de suas raízes por métodos aproxima-
dos). Nossa investigação centrou-se sobre o que os autores dessa obra de-
nominam o ponto de vista geométrico ou analítico. Da leitura de “Exame de
Textos”, concluímos, entretanto, que os livros didáticos em geral não explo-
ram essa riqueza de interpretações e articulações potenciais. Por outro lado,
a análise dos pesquisadores do IMPA concluiu que a idéia de articular o es-
tudo de polinômios com funções é uma abordagem que dá sentido ao tema,
enquanto que abordagem formal é considerada pelos pesquisadores como
mecânica, desprovida de sentido, transmitindo uma imagem da Matemática
como um mero conjunto de algoritmos.
O Catálogo, por outro lado, é um documento oficial que contem as a-
nálises de onze coleções de livros didáticos de Matemática, aprovadas pelos
pareceristas do PNLEM. No capítulo 2, resumimos os trechos das resenhas
102
sobre as coleções analisadas pelo Catálogo, relacionados à distribuição de
conteúdos, diversidade de enfoques e outras considerações pertinentes à
nossa investigação. Apoiados nessas análises, escolhemos três das onze
coleções aprovadas pelo PNLEM. Duas delas, por terem características o-
postas, segundo critérios do Catálogo, com relação à compartimentalização:
a coleção A (Adilson), que se caracteriza por apresentar os conteúdos em
grandes blocos e a coleção B (Guelli) que representa o modelo que distribui
o conteúdo das várias áreas pelos três volumes da coleção. A terceira cole-
ção C (Ignez) foi escolhida por representar o modelo da diversidade de enfo-
ques e representações matemáticas. Centramos nossa investigação na
questão ”O tema polinômios é articulado ao tema funções em livros didáti-
cos?” Para respondê-la, optamos por examinar dois aspectos das três cole-
ções que escolhemos: o tratamento expositivo e o corpo de exercícios. Nos
capítulos 3 e 4 registramos nossas observações sobre o tratamento expositi-
vo dos livros 1 e 3 das três coleções (os livros 2 não abordam o conteúdo po-
linômios).
Nossa investigação revelou que nos livros 1 não se faz a articulação
entre polinômios e funções. De fato, a coleção A não faz relação das funções
afim e quadrática com nenhum tipo de polinômio, não menciona a palavra
polinômio, nem a expressão função polinomial; a coleção B não cita o termo
polinômio e menciona a expressão função polinomial só para nomear as fun-
ções afim e quadrática, que são apresentadas como função polinomial de 1º
grau e função polinomial de 2º grau, respectivamente; a coleção C é a única
que esboça uma tentativa de articulação, que no entanto é marginal. Suas
103
autoras mencionam que existe uma relação entre função afim e polinômio do
1º grau, mas não chegam a desenvolver essa relação e fazem uso confuso
das expressões função do 1º grau, polinômio do 1º grau, função polinomial
do 1º grau, função do 2º grau.
Passemos aos livros 3. A coleção A utiliza freqüentemente o termo po-
linômio e, apesar de citar várias vezes que “todo polinômio é uma função”,
não explica como fazer a associação entre polinômio e função; a expressão
função polinomial ocorre, de modo isolado, no final do livro, na seção Gráfico
de uma função polinomial, que ocupa somente três páginas; apenas nesse
momento a expressão é definida. A coleção B desenvolve o assunto em sua
UNIDADE 3 – NÚMEROS COMPLEXOS, FUNÇÕES POLINOMIAIS E CÁL-
CULO INFORMAL (grifo nosso), sugerindo no titulo a intenção de promover a
articulação dos dois conceitos. Porém, acaba fazendo um uso isolado da ex-
pressão funções polinomiais, pois utiliza-a pela primeira vez no início do as-
sunto e a partir daí, passa a usar o termo polinômio; nesse momento do tex-
to, a relação com as funções é explicitada apenas para o cálculo de valores
particulares de polinômios com o auxílio do algoritmo da divisão de polinô-
mios. O termo função polinomial so ressurge no final do livro 3, na seção
AULA 16 – Limite no infinito de uma função polinomial, no contexto do Cálcu-
lo Informal. A coleção C faz uma articulação parcial dos temas polinômios e
funções, pois, como vimos, identifica as expressões polinômio e função poli-
nomial de início, quando define esses dois conceitos. Porém, também faz
uso isolado da expressão função polinomial. De fato, na seqüência, afirma
que o estudo dos polinômios permite aprofundar o conceito de função para
104
as de grau maior que 2 (sic), mas limita-se a apresentar os esboços dos grá-
ficos de apenas uma função polinomial de grau 3 e de outra de grau 4. Só
volta a usar a expressão função polinomial após ter desenvolvido os temas
Números Complexos e Equações Polinomiais, na seção Flash Matemático.
Lá, apresenta o esboço, a partir de suas raízes, do gráfico da função
22)( 45 −−+= xxxxP , que denomina função polinomial. Entretanto, é digno
de nota que apenas essa coleção reconheça as funções afim e quadrática
como funções polinomiais, ainda que num único momento do texto, ao definir
função polinomial.
Portanto, as coleções A e B não relacionam os termos nem articulam
os conceitos de polinômio e função polinomial. A coleção C explicita tal rela-
ção, ao identificar as expressões polinômio e função polinomial, quando defi-
ne função polinomial e esboça a articulação que investigamos – embora a
explore pouco.
No capítulo 5 registramos nossa investigação sobre o corpo de exercí-
cios das coleções. Optamos por fazê-lo apenas para os livros 3, já que a
análise do tratamento expositivo revelou que nos livros 1 não se faz a articu-
lação entre polinômios e funções e, nos livros 3, tal articulação é pelo menos
esboçada.
Nossa pesquisa revelou que, se quanto ao tratamento expositivo as
coleções A e B não fazem a articulação entre polinômios e funções, muito
menos o fazem em seus respectivos corpos de exercícios. De fato, a coleção
A apresenta 28 exercícios, todos eles com o tratamento de polinômio (ne-
nhum com o tratamento de função polinomial) e a coleção B traz um total de
105
12 exercícios, sendo onze deles com o tratamento de polinômios e apenas
um de função polinomial. Se a coleção C em seu tratamento expositivo esbo-
ça, mas não explora a articulação entre polinômios e funções, já no corpo de
exercícios destaca-se bastante das coleções A e B, pois do total de 59 exer-
cícios apresentados, 48 têm o tratamento de polinômios (cerca de 81,4%) e
outros 11 são de função polinomial (representando cerca de 18,6% do total).
A investigação revelou também os exercícios da coleção C que envolvem
funções polinomiais trazem como contexto: cálculo de perímetro, áreas, vo-
lumes, preço, receita, lucro, os quais certamente contribuem para dar um
sentido prático ao ensino dos polinômios.
Assim, concluímos que as coleções A e B não articulam os temas po-
linômios e funções no tratamento expositivo e nem no corpo de exercícios. A
coleção C esboça tal articulação no plano expositivo e explora-a com algum
detalhe em seu corpo de exercícios.
Ao encerrar, manifestamos aqui o desejo de que este trabalho possa
servir de ponto de partida e incentivo a outros estudiosos, que certamente
desenvolverão mais a fundo o tema e esperamos ter contribuido de alguma
forma com o ensino de matemática em nosso país.
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