podemos constatar que, se o processo é reversível e () ds

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos

Variação de Entropia em Processos Reversíveis

2

2 11 .rev

Qs sT

δ − = ∫

Podemos constatar que, se o processo é reversível e adiabático ( ) 0

0q

ds=

=Para processos reversíveis:

.q T dsδ =Portanto, o calor num diagrama T-s pode ser visualizado, como a área abaixo de um processo reversível.

ds

TT

s

1

2

δq=Tdsrevers

ível



Façamos uma análise restrita a:

1. Processo reversível

2. Motor térmico

3. Ciclo de Carnot1. dois processos isotérmicos reversíveis

2. dois processos adiabáticos reversíveis

Ciclo de Carnot no diagrama Temperatura Entropia (T x S):

O rendimento do ciclo pode ser expresso em termos de áreas:

1-a-b-2-1 área1-4-3-2-1 área========

H

líqtérmico Q

Wη

QL

W



• 1-2, transferência de calor positiva isotérmica (do reservatório de alta temperatura, TH, para o fluido de trabalho)

a entropia do sistema aumenta.

• 2-3, processo adiabático reversível

o processo é adiabático, portanto a entropia permanece constante. Este é um processo isoentrópico e a temperatura do fluido de trabalho atinge TL

• 3-4, transferência de calor negativa isotérmica (do fluido de trabalho para o reservatório de baixa temperatura, TH.

a entropia do sistema diminui.

• 4-1, processo adiabático reversível, e portanto isoentrópico

HHrev TQQ

TTQSS 21

2

1

2

1

121 ========

====−−−− ∫∫∫∫∫∫∫∫ δδ

Processos:

0====

==== ∫∫∫∫revT

QdS δ

LLrev TQ

QTT

QSS 432

1

4

3

341 ========

====−−−− ∫∫∫∫∫∫∫∫ δδ



Considerando os processos reversíveis de transferência de calor, analisamos um processo 1-2 de mudança de estado de líquido para vapor saturado no diagrama T x s:

Como trata-se de um processo a pressão constante, da definição de entalpia, o calor transferido por unidade de massa é igual a hlv , assim:

Th

Tq

QmTT

Qm

sss lv

rev

lv ============

========−−−− ∫∫∫∫∫∫∫∫2

1

212

1

1211 δδ

Obs.: verifique nas tabelas termodinâmicas a relação entre a variação da entropia e variação da entalpia descrita acima.

Se continuamos transferindo calor a pressão constante ao vapor saturado, temos:

∫∫∫∫∫∫∫∫ ========3

2

3

232

1 TdsQm

q δÉ necessário conhecer a relação entre T e s, pois T não é cte.

mas: 2-b-c-3-2 área 32 ====q



Exemplo 1:

Água inicialmente como líquido saturado a 100oC estácontida num conjunto êmbolo-cilindro. A água realiza um processo ao estado correspondente de vapor saturado, durante o qual o êmbolo move-se livremente no cilindro. Se a mudança de estado ocorre através do aquecimento da água num processo internamente reversível a pressão e temperatura constantes, determine o trabalho e a transferência de calor por unidade de massa, ambos em kJ/kg.



Duas relações termodinâmicas importantes

Equações de Gibbs:

pdVdUTdS ++++====

========

++++====

pdVWTdSQ

WdUQ

δδ

δδ :Lei 1a

VdpdHTdS −−−−====

++++++++====++++====

(1) em se-substituiVdppdVdUdH

pVUH

(1)

(2)

A integração deve ser realizada ao longo de um caminho reversível, porém as equações de Gibbs podem ser aplicadas a um processo irreversível, pois lida-se apenas com propriedades termodinâmicas.



Variação de entropia de um gás perfeito

pdvduTds +=

Da 1ª equação de Gibbs:

Para um gás perfeito:

vRTpdTcdu vo == e

Assim:

vRdv

TdTcds vo +=

Integrando:

∫

+=−2

1 1

212 ln

vvR

TdTcss vo



Analogamente, da 2ª equação de Gibbs:

vdpdhTds −=

Para um gás perfeito:

pRTvdTcdh po == e

Assim:

pRdp

TdTcds po −=

Integrando:

∫

−=−2

1 1

212 ln

ppR

TdTcss po



Para integrar as equações acima, devemos conheceras relações entre calores específicos e a temperatura.

1- Calores específicos constantes:

−

=−1

2

1

212 lnln

ppR

TTcss po

e

+

=−1

2

1

212 lnln

vvR

TTcss vo

2- Equações ajustadas empiricamente para cpo (Tab. A.6):

3- Integração dos cálculos da termodinâmica estatística(Tabs. A.7 e A.8):

dTTc

sT

T

pooT

o

∫=Assim

( )

−−=−1

212 ln

12 ppRssss o

ToT

Portanto, temos três possibilidades para avaliar :

3- Tabelas de gás ideal

2- Equações empíricas

1- Calor específico constante

precisão

(-)

(+) poc



Processo politrópico reversível para gás perfeito

Para processo reversível, adiabático, i.e., isoentrópico, com cpo = cte:

−

==−1

2

1

212 lnln0

ppR

TTcss po

ou

=

1

2

1

2 lnlnpp

cR

TT

poe

pocR

pp

TT

=1

2

1

2

mas:

kk

ccc

cR

po

vopo

po

1−=−

=

onde:

vo

po

cc

k =Assim:

kk

pp

TT

1

1

2

1

2

−

=1

2

1

1

2−

=k

vv

TT k

vv

pp

=2

1

1

2

.ctepvk =



.cteVp n =

ou

n

VV

pp

=2

1

1

2

( ) 1

2

1/1

1

2

1

2−−

=

=nnn

VV

pp

TT

e

( )nTTmRVpdW

−−== ∫ 1

122

1

( )1≠n

1

22

1

lnVVmRTVpdW == ∫ ( )1=n

Relembrando que para processo politrópico de gás ideal:

e

• Processo isotérmico (T = cte.): pv = cte; n = 1• Processo isobárico (p = cte.): pv0 = cte; n = 0• Processo isocórico (v = cte.): pvºº = cte; n = ∞• Processo isoentrópico (s = cte.): pvk = cte; n = k

Portanto:



Exemplo 2

Ar realiza um processo isentrópico de p1 = 1 bar, T1 = 300 K até um estado final onde a temperatura é T2 = 650 K. Empregando o modelo do gás ideal, determine a pressão final p2, em bar. Resolva usando (a) dados de da tabela A.7 (van Wylen, 6a ed.) e (b) razão de calores específicos constante, k avaliado na temperatura ambiente (Tab. A.5).

0Ts

podemos constatar que, se o processo é reversível e () ds

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