po program a ca poprogramacaolinearo linear

Pesquisa OperacionalSistemas Produtivos

Programação LinearFormulação de Problemas

Programação Linear é uma técnica adotada em situações onde existem vários produtos a fabricar, com auxílio de várias máquinas, necessitando-se de programa para decidir qual máquina utilizar para a fabricação de cada produto tendo-se em conta a produção máxima, o custo mínimo ou algum outro critério de eficácia. Também é muito utilizada em problemas de alocação de recursos limitados a atividades em competicão, bem como em outros problemas que tenham uma formulação matemática similar.

Os estudos de Programação Linear permitem responder as questões como:

Na vigência de certas condições de produção, qual quantidade de determinado produto, dentre vários, deve-se produzir para se obter o maior lucro possível?

Sendo impostas algumas especificações, qual é a composição da mistura que corresponde ao custo mínimo?

Conhecendo-se um certo número de condições de mercado (produtos, fornecedores, consumidores), como estabelecer os circuitos de distribuição de modo a minimizar o custo total?

Estando impostas as condições de trabalho, como repartir o contingente de mão-de-obra entre as diferentes tarefas e especialidades, com o objetivo de minimizar as despesas ou maximizar a eficiência?

A formulação do problema a ser resolvido por programação linear segue alguns passos básicos:

PASSO 1: determine a grandeza a ser otimizada e expresse-a como uma função matemática. Isto feito serve para definir as variáveis de entrada. Deve ser definido o objetivo básico do problema, ou seja, a otimização a ser alcançada. Por exemplo, maximização de lucros, ou de desempenhos, ou de bem-estar social; minimização de custos, de perdas, de tempo. Tal objetivo será representado por uma função objetivo, a ser maximizada ou minimizada.

PASSO 2: Identifique todas as exigências, restrições e limitações estipuladas e expresse-as matematicamente. Estas condições constituem as restrições. Por exemplo, quantidade de equipamento disponível, tamanho da área a ser explorada, capacidade de um reservatório, exigências nutricionais para determinada dieta, etc.

PASSO 3: Expresse todas as condições implícitas. Tais condições não são estipuladas explicitamente no problema, mas são evidentes a partir da situação física sendo modelada. Geralmente estas condições envolvem requisitos de serem não negativos ou de serem inteiros os valores das variáveis de entrada.

O problema geral de programação linear pode ser definido por:

Maximizar (ou minimizar) Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn Função Objetivo

sujeito a (s.a.)a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn < b1 (ou >, ou =)

Restrições técnicas

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn < b2 (ou >, ou =)...

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn < bm (ou >, ou =)

x1, x2,..., xn > 0Restrições de não

negatividade

Exemplos:

1


1. Uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente a oficina fabrica apenas dois produtos: mesa e armário, ambos de um só modelo. Para efeito de simplificação, será considerado que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-de-obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na tabela a seguir.

Recurso DisponibilidadeMadeira 12m2

Mão-de-obra 8h

O processo de produção é tal que, para fazer 1 mesa, a fábrica gasta 2m2 de madeira e 2 horas de mão-de-obra. Para fazer um armário, a fábrica gasta 3m2 de madeira e 1 hora de mão-de-obra. Além disso, o fabricante sabe que cada mesa dá uma margem de contribuição para o lucro de $4 e cada armário dá uma margem de $1. O problema do fabricante é encontrar o programa de produção que maximiza a margem de contribuição total para o lucro.

Como variáveis de decisão, serão considerados os seguintes dados:x1 quantidade a produzir de mesa; ex2 quantidade a produzir de armário.

Com essa definição de variáveis pode-se escrever as relações matemáticas que formam o modelo. Assim, para a função objetivo tem-se:

Margem de Contribuição Total: Z = 4.x1 + 1.x2

Para as restrições, a relação lógica existente é:Utilização de recurso < disponibilidade do recurso

Assim, tem-se:Para madeira: 2.x1 + 3.x2 < 12

Utilização de madeira para

os dois produtos

Disponibilidade de madeira

Para mão-de-obra 2.x1 + 1.x2 < 8

Utilização de mão-de-obra para os dois

produtos

Disponibilidade de mão-de-obra

O modelo completo é:Achar x1 e x2, de modo a:Maximizar Z = 4.x1 + 1.x2

s.a.2.x1 + 3.x2 < 12

Restrições técnicas2.x1 + 1.x2 < 8

x1 > 0Restrições de não negatividade

x2 > 0

2


2. Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é 1.000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 1.800 unidades monetárias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1.200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e de 30 unidades anuais para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens?

Como variáveis de decisão, serão considerados os seguintes dados:x1 quantidade anual a produzir de P1 e x2 quantidade anual a produzir de P2.

Com essa definição de variáveis pode-se escrever as relações matemáticas que formam o modelo. O objetivo é maximizar o lucro, que pode ser calculado:

Lucro devido a P1: 1.000 . x1 (lucro por unidade de P1 x quantidade produzida de P1)Lucro devido a P2: 1.800 . x2 (lucro por unidade de P2 x quantidade produzida de P2)Lucro toral: Z = 1.000.x1 + 1.800.x2

Assim, para a função objetivo tem-se: Maximizar: Z = 1.000.x1 + 1.800.x2

Para as restrições, a relação lógica existente é: Utilização de recurso < disponibilidade do recurso. As restrições impostas pelo sistema são:

a. Disponibilidade de horas para a produção: 1.200 horasHoras ocupadas com P1: 20.x1 (uso por unidade x quantidade produzida)Horas ocupadas com P2: 30.x2 (uso por unidade x quantidade produzida)Total em horas ocupadas na produção: 20.x1 + 30.x2

Assim, temos:Para horas para a produção: 20.x1 + 30.x2 < 1.200

Total em

horas ocupadas na

produção

Disponibilidade de horas para a

produção

b. Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda)Disponibilidade para P1: 40 unidadesQuantidade a produzir de P1: x1

Restrição descritiva da situação: x1 < 40Disponibilidade para P2: 30 unidadesQuantidade a produzir de P2: x2

Restrição descritiva da situação: x2 < 30

O modelo completo é:

Achar x1 e x2, de modo a:Maximizar Z = 1.000.x1 + 1.800.x2

s.a.20.x1 + 30.x2 < 1.200

Restrições técnicasx1 < 40x2 < 30

x1 > 0Restrições de não negatividade

x2 > 0

3


3. Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidade e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.

4. Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 150 unidades monetárias. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.

5. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranja a 20 unidades monetárias de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 unidades monetárias de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerina a 30 unidades monetárias de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema.

6. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa B, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema.

7. Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro de tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa, o modelo do sistema descrito.

4


8. Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos: R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o peço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $120,00 por unidade e P2, $150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.

ProdutoRecurso R1 por

unidadeRecurso R2 por

unidadeRecurso R3 por

unidadeP1P2

24

32

53

Disponibilidade de recurso por mês

100 90 120

Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o modelo do sistema.

9. Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas:

A (arrendamento) – destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $300,00 por alqueire por ano.

P (pecuária) – usar outras parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100 kg/alqueire) e irrigação (100.000 l de água/alqueire) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $400,00 por alqueire por ano.

S (plantio de soja) – usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.00 l de água/alqueire para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 500,00/alqueire no ano.

Disponibilidade de recursos por ano:12.750.000 l de água14.000 kg de adubo100 alqueires de terra

Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão.

10. O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econômica de aumentar em 30% as vendas de seus dois produtos P1 e P2. As alternativas são:

Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um investimento mínimo de $ 3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada $ 1.000,00 investidos.

Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada $ 1.000,00 investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno é de 10%.

A empresa dispõe de $ 10.000,00 para esse empreendimento. Quanto deverá destinar a cada atividade? Construa o modelo do sistema descrito.

5


11. Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados:

Material Recuperado 1 – MR1 – Composição:

Ferro – 60% Custo por kg: $ 0,20Carvão – 20%Silício – 20%

Material Recuperado 2 – MR2 – Composição:Ferro – 70% Custo por kg: $ 0,25Carvão – 20%Silício – 5%Níquel – 5%

A liga deve ter a seguinte composição final:

Matéria-prima % mínima % máximaFerro 60 65

Carvão 15 20Silício 15 20Níquel 5 8

O custo dos materiais puros é (por kg): ferro: $ 0,30; carvão: $ 0,20; silício: $ 0,28; níquel $ 0,50. Qual deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais disponíveis, com menor custo por kg? Construa o modelo de decisão.

12. Uma rede de depósitos de material de construção tem 4 lojas que devem ser abastecidas com 50 m3 (loja 1), 80 m3 (loja 2), 40 m3 (loja 3) e 100 m3 (loja 4) de areia grossa. Essa areia pode ser carregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas distâncias às lojas estão no quadro (em km):

L1 L2 L3 L4P1 30 20 24 18P2 12 36 30 24P3 8 15 25 20

O caminhão pode transportar 10 m3 por viagem. Os portos têm areia para suprir qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a distância total percorrida entre os portos e as lojas e supra as necessidades das lojas. Construa o modelo linear do problema.

Referências bibliográficas

ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. (2004). Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para análise de decisões. 3ª ed. Editora LTC, Rio de Janeiro, RJ.

BRONSON, Richard. (1985). Pesquisa Operacional. Editora McGraw-Hill, São Paulo, SP.

LISBOA, Érico. (2002). Pesquisa Operacional. http://www.ericolisboa.eng.br

6

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SILVA, Ermes Medeiros da; et al. (1996). Pesquisa Operacional. 2ª Ed. Editora Atlas, São Paulo, SP.

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Programação LinearSolução para Modelos de com Duas Variáveis de Decisão (x1 e x2)

Método Gráfico

Essa técnica consiste em representar num sistema de eixos ortogonais o conjunto das possíveis soluções do problema, isto é, o conjunto de pontos (x1, x2) que obedecem ao grupo de restrições impostas pelo sistema em estudo. O desempenho do modelo é avaliado através da representação gráfica da função objetivo. As soluções são classificadas de acordo com sua posição no gráfico. A função objetivo também pode ser avaliada calculando-se o seu valor para os pontos que pertencem ao contorno da região viável.

Gráfico do conjunto de soluções

A representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis (x1, x2) é uma reta. A representação gráfica de uma inequação linear com duas variáveis (x1, x2) é uma área do gráfico limitada pela reta correspondente à equação. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1: Representar graficamente a inequação: x1 + 2x2 > 10

a. Construir a reta correspondente à equação: x1 + 2x2 = 10 (acompanhe no gráfico a seguir)Para traçarmos a reta, precisamos de dois pontos. Determinar os pontos de interseção da reta

com cada um dos eixos, é mais fácil:Fazendo x1 = 0, teremos:0 + 2x2 = 10 (substituímos x1 por 0)2x2 = 10 (equação a ser resolvida)x2 = 10/2 (2 que estava multiplicando x2, passa para o outro lado dividindo – operação inversa)Assim,x2 = 5Um dos pontos da reta será: x1 = 0 e x2 = 5, ou seja, o ponto (0, 5).

Procedemos da mesma maneira, agora fazendo x2 = 0. Então teremos:x1 + 2.0 = 10 (substituímos x2 por 0)x1 + 0 = 10 (como 2 vezes 0 é igual a 0, temos esta equação a ser resolvida)Assim,x1 = 10O outro ponto da reta será: x1 = 10 e x2 = 0, ou seja, o ponto (10, 0).

A reta é então traçada, conforme o gráfico a seguir. Podemos observar que há uma região sombreada no gráfico, que corresponde à região viável (região de soluções) limitada pela inequação x1 + 2x2 > 10. A região viável, então, é aquela que se encontra na região superior da reta, pois a inequação define que x1 + 2x2 deve ser maior ou igual a 10. No próximo item vamos verificar esta constatação.

8


b. Testar a inequação: x1 + 2x2 > 10Tomamos um ponto qualquer de uma das regiões limitadas pela reta. Consideremos o ponto x1 = 10

e x2 = 5 (conforme mostrado no gráfico anterior).Substituindo na inequação (x1 + 2x2 > 10), teremos:10 + 2.5 > 10 ou 20 > 10, o que é verdadeiro. Portanto, a região das soluções da inequação é

aquela que contém o ponto testado.Vamos ainda testar um ponto que não esteja na região sombreada, como o ponto de origem, ou

seja, x1 = 0 e x2 = 0.Substituindo na inequação (x1 + 2x2 > 10), teremos:0 + 2.0 > 10 ou 0 > 10, o que NÃO é verdadeiro. Portanto, este ponto e os outros que se

encontram abaixo da reta não pertencem à região das soluções.

Exemplo 2: Representar graficamente a solução do sistema:x1 + 3x2 < 122x1 + x2 > 16x1 > 0x2 > 0

Solução:Vamos representar cada uma das retas correspondentes:1. x1 + 3x2 = 12 se x1 = 0, então 0 + 3 . x2 = 12. Portanto, x2 = 12/3 ou x2 = 4.

se x2 = 0, então x1 + 3 . 0 = 12. Portanto, x1 = 12.Assim, os pontos que utilizamos para traçar esta reta são: (0, 4) e (12, 0). A região viável

limitada por esta reta é aquela que está abaixo da reta, conforme o gráfico abaixo, pois a inequação define que x1 + 3x2 deve ser menor ou igual a 12.

2. 2x1 + x2 = 16 se x1 = 0, então 2.0 + x2 = 16. Portanto, x2 = 16.se x2 = 0, então 2.x1 + 0 = 16. Portanto, x1 = 16/2 ou x1 = 8.

Os pontos que utilizamos para traçar esta reta são: (0, 16) e (8, 0). A região viável limitada por esta reta é aquela que está acima da reta, conforme o gráfico abaixo, pois a inequação define que 2x1 + x2 deve ser maior ou igual a 16.

As restrições de não negatividade x1 > 0 e x2 > 0 representam o primeiro quadrante do gráfico de soluções.

9


Vamos testar para cada reta qual a região que corresponde à solução da inequação. Para isso escolhemos um ponto fora das retas, por exemplo, o ponto (8, 16).

1. x1 + 3x2 < 12; substituindo x1 = 8, x2 = 16, obtém-se:8 + 3 . 16 < 12 ou 56 < 12; a desigualdade é falsa.Solução: região oposta (veja a flecha indicativa).

2. 2x1 + x2 > 16; substituindo x1 = 8, x2 = 16, obtém-se:2 . 8 + 16 > 16 ou 32 > 16; a desigualdade é verdadeira. (Flecha indicativa da solução na região

do ponto testado.)

A região de soluções aparece sombreada no gráfico. Esta é a região que contém todas as possíveis soluções para o sistema e onde todas as restrições são respeitadas.

Método gráfico

Para encontrarmos a solução de um problema de programação linear com duas variáveis de decisão através do método gráfico, podemos adotar os seguintes passos:

1) traçar as retas correspondentes a cada restrição, num sistema de eixos x1 e x2;2) determinar a região viável (região onde se encontram todas as possíveis soluções para o

problema em questão);3) determinar os pontos que delimitam a região viável;4) calcular o valor da função objetivo para cada um dos pontos da região viável;5) a partir dos cálculos realizados para Z, determinar o ponto que corresponde à otimização

pretendida (maximizar ou minimizar) e então determinar o ponto ótimo.

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Exemplos:

1) Certa empresa de alimentos congelados processa batatas em embalagens de batatinha frita, picadinho de batata e flocos para purê. As batatas podem ser compradas de duas fontes, cada uma fornecendo lucros distintos. A empresa necessita determinar a quantidade de batata a ser comprada de cada fonte (x1 e x2), de forma a obter o maior lucro. Embora uma das fontes apresente o maior lucro, o aproveitamento das batatas de cada fonte se dá de forma diversa. Além disso, a empresa deve considerar o seu potencial de vendas, para cada um dos produtos.

O problema de programação linear a ser resolvido é:Maximizar Z = 5x1 + 6x2

s.a.2x1 + 3x2 < 18 (restrição para batatinha frita)2x1 + x2 < 12 (restrição para picadinho)3x1 + 3x2 < 24 (restrição para flocos)x1 > 0, x2 > 0 (restrições de não-negatividade)

Para resolver este problema de programação linear, seguiremos os passos citados anteriormente:

I) Traçar as retas correspondentes a cada restrição, num sistema de eixos x1 e x2.

a) Reta relativa à restrição da batatinha frita:2x1 + 3x2 = 18Se x1 = 0, então 2 . 0 + 3 . x2 = 18. Portanto, x2 = 18/3 ou x2 = 6.Se x2 = 0, então 2 . x1 + 3 . 0 = 18. Portanto, x1 = 18/2 ou x1 = 9.

Assim, os pontos que utilizamos para traçar esta reta são: (0, 6) e (9, 0). A região viável limitada por esta reta é aquela que está abaixo da reta, conforme o gráfico abaixo, pois a inequação define que 2x1 + 3x2 deve ser menor ou igual a 18.

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b) Reta relativa à restrição do picadinho:

2x1 + x2 = 12Se x1 = 0, então 2 . 0 + x2 = 12. Portanto, x2 = 12.Se x2 = 0, então 2 . x1 + 0 = 12. Portanto, x1 = 12/2 ou x1 = 6.

Assim, os pontos que utilizamos para traçar esta reta são: (0, 12) e (6, 0). A região viável limitada por esta reta é aquela que está abaixo da reta, conforme o gráfico abaixo, pois a inequação define que 2x1 + x2 deve ser menor ou igual a 12.

c) Reta relativa à restrição dos flocos:

3x1 + 3x2 = 24Se x1 = 0, então 3 . 0 + 3 . x2 = 24. Portanto, x2 = 24/3 ou x2 = 8.Se x2 = 0, então 3 . x1 + 3 . 0 = 24. Portanto, x1 = 24/3 ou x1 = 8.

Assim, os pontos que utilizamos para traçar esta reta são: (0, 8) e (8, 0). A região viável limitada por esta reta é aquela que está abaixo da reta, conforme o gráfico abaixo, pois a inequação define que 3x1 + 3x2 deve ser menor ou igual a 24.

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II) Determinar a região viável (região onde se encontram todas as possíveis soluções para o problema em questão).

A região viável é a região que contém todas as possíveis soluções para o sistema e onde todas as restrições (batatinha frita, picadinho,flocos) são respeitadas. Pode ser definida como a região comum a todas as restrições. Esta região é demonstrada na figura a seguir.

Podemos observar que a restrição referente aos flocos não influencia a região de soluções. Esta região ficou delimitada pelas restrições da batatinha frita e do picadinho.

III) Determinar os pontos que delimitam a região viável.

Pelo gráfico acima podemos constatar que a região viável é delimitada por quatro linhas que se encontram em quatro pontos. Três destes pontos podem ser facilmente verificados, e são: (0, 0), (6, 0) e (0, 6). O quarto ponto é aquele em que as retas correspondentes às restrições, da batatinha frita e do picadinho, se encontram. Sendo este ponto comum às duas retas, ele pode ser determinado resolvendo o sistema correspondente às duas retas.

2x1 + 3x2 = 18 (restrição para batatinha frita)2x1 + x2 = 12 (restrição para picadinho)

Se subtrairmos uma reta da outra, podemos eliminar uma das variáveis das equações, e então determinar a outra.

Assim:2x1 + 3x2 = 18

- (2 x 1 + x 2 = 12)0.x1 + 2x2 = 6

x2 = 6/2x2 = 3

Substituindo x2 = 3 em qualquer uma das equações acima, obtemos x1.

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Então:2x1 + 3 . 3 = 182x1 + 9 = 182x1 = 18 – 92x1 = 9x1 = 9/2x1 = 4,5

O ponto comum é x1 = 4,5 e x2 = 3.

IV) Calcular o valor da função objetivo para cada um dos pontos da região viável.

A partir dos pontos da região viável, definidos anteriormente, podemos calcular o valor da função objetivo para cada ponto.

A função objetivo é dada pela equação Z = 5x1 + 6x2

Função objetivo para o ponto (0, 0) Z (0, 0) = 5 . 0 + 6 . 0 = 0Função objetivo para o ponto (6, 0) Z (6, 0) = 5 . 6 + 6 . 0 = 30 + 0 = 30Função objetivo para o ponto (0, 6) Z (0, 6) = 5 . 0 + 6 . 6 = 0 + 36 = 36Função objetivo para o ponto (4,5 , 3) Z (4,5 , 3) = 5 . 4,5 + 6 . 3 = 22,5 + 18 = 40,5

V) A partir dos cálculos realizados para Z, determinar o ponto que corresponde à otimização pretendida (maximizar ou minimizar) e então determinar o ponto ótimo.

Através dos cálculos para Z, realizados no passo anterior, podemos obter o ponto ótimo do problema. A otimização desejada no problema é maximizar. Assim, aquela função objetivo que apresentar o maior valor (problema de maximização), nos fornecerá a solução do problema. Ou seja, as quantidades a serem compradas de cada uma das fontes.

O maior valor para a função objetivo foi 40,5 e corresponde ao ponto x1 = 4,5 e x2 = 3, que é considerado o ponto ótimo do problema e é demonstrado na figura a seguir.

Portanto, a fim de obter o maior lucro, a quantidade de batata a ser comprada pela empresa de cada fonte é 4,5 e 3 (em unidades de peso).

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2) A empresa Nova Linha produz artigos de vidro de alta qualidade: janelas e portas, em três seções de produção:

Seção de Serralharia: para produzir as estruturas de alumínio Seção de Carpintaria: para produzir as estruturas de madeira Seção de Vidro e Montagem: para produzir vidro e montar as portas e janelas

Devido à diminuição dos lucros, o gerente geral decidiu reorganizar a produção, e propõe produzir só 2 produtos que têm uma melhor aceitação entre os clientes. Estes produtos são:

Produto 1: uma porta de vidro com estrutura de alumínio Produto 2: uma janela grande com estrutura de madeira.

O Departamento de Marketing concluiu que a empresa pode vender tanto de qualquer dos dois produtos, tendo em conta a capacidade de produção disponível. Como ambos os produtos partilham a capacidade de produção da seção Nº3, o gerente solicitou ao Departamento de Pesquisa Operacional da empresa a resolução deste problema.

O Departamento de PO para realizar a formulação do problema, procurou os seguintes dados:

a capacidade de produção por minuto de cada seção a ser utilizada na produção de ambos os produtos

a capacidade de produção por minuto de cada seção, a ser utilizada para produzir uma unidade de cada produto

os lucros unitários para cada produto

Estes dados estão resumidos na seguinte tabela:

Capacidade utilizada por unidade de produção

Secção Nº Produto 1 Produto 2 Capacidade disponível

1 1 0 4

2 0 2 123 3 2 18

Lucro unitário(em reais)

3 5

Então, o problema de programação linear a ser resolvido é:

Maximizar Z = 3x1 + 5x2, sujeito a x1 £ 4 2x2 £ 12

3x1+ 2x2 £ 18

x1 ³ 0, x2 ³ 0

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Primeiramente vamos identificar os valores de (x1, x2) que satisfaçam todas as restrições (região de admissibilidade)

1º) x1 ³ 0, x2 ³ 0 Þ (x1 , x2) estão no 1º Quadrante2º) x 1 £ 4 Þ (x1 , x2) estão situados à esquerda ou sobre a reta x1 = 43º) 2x2 £ 12 Þ x 2 £ 6 Þ (x1 , x2) estão situados abaixo ou sobre a reta x2 = 64º) 3x1 + 2x2 £ 18 Þ (x1 , x2) estão situados abaixo ou sobre a reta 3x1 + 2x2 =18

Para determinar a solução ótima consideramos que a função objetivo Z = 3x1 + 5x2 define uma reta que pode ser deslocada paralelamente no sentido do seu gradiente (garantindo o crescimento de Z), até se tornar tangente à região admissível.

Neste caso o ponto de tangência (2,6) otimiza a função objetivo, pelo que a solução pretendida é x1 = 2, x2 = 6. O valor ótimo é 36.

Portanto, Nova Linha deve fabricar duas portas (produto 1) e seis janelas (produto 2) por minuto obtendo um lucro de 36 reais por minuto.

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