pme 3361 processos de transferência de...
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ESCOLA POLITÉCNICA DA USP DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA
SISEA – LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS www.usp.br/sisea
PME – 3361 Processos de Transferência de Calor
Prof. Dr. José R Simões Moreira
2o semestre/2018 versão 1.5
primeira versão: 2005
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ http://www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2018
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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Este trabalho perfaz as Notas de Aula da disciplina de PME 3361 - Processos de Transferência de Calor (antiga PME 2361) ministrada aos alunos do 3º ano do curso de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica da USP. O conteúdo aqui apresentado trata de um resumo dos assuntos mais relevantes do livro texto “Fundamentos de Transferência de Calor e Massa” de Incropera e Dewitt. Também foram utilizados outros livros-texto sobre o assunto para um ou outro tópico de interesse, como é o caso do “Transferência de Calor” de Holman. O objetivo deste material é servir como um roteiro de estudo, já que tem um estilo quase topical e ilustrativo. De forma nenhuma substitui um livro texto, que é mais completo e deve ser consultado e estudado.
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Prof. José R. Simões Moreira Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2457667975987644
Breve Biografia
Graduado em Engenharia Mecânica pela Escola Politécnica da USP (1983), Mestre em Engenharia Mecânica pela mesma instituição (1989), Doutor em Engenharia Mecânica - Rensselaer Polytechnic Institute (1994) e Pós-Doutorado em Engenharia Mecânica na Universidade de Illinois em Urbana-Champaign (1999). Atualmente é Professor Associado da Escola Politécnica da USP, professor do programa de pós-graduação do Instituto de Energia e Meio Ambiente (IEE-USP), professor de pós-graduação do programa de pós-graduação em Engenharia Mecânica da EPUSP, pesquisador do CNPq, consultor ad hoc da CAPES, CNPq, FAPESP, entre outros, Foi secretário de comitê técnico da ABCM, Avaliador in loco do Ministério da Educação. Tem experiência na área de Engenharia Térmica, atuando principalmente nos seguintes temas: mudança de fase líquido-vapor, uso e processamento de gás natural, refrigeração por absorção, tubos de vórtices, sensores bifásicos, energia solar, ciclos termoquímicos e sistemas alternativos de transformação da energia. Tem atuado como revisor técnico de vários congressos, simpósios e revistas científicas nacionais e internacionais. MInistra(ou) cursos de Termodinâmica, Transferência de Calor, Escoamento Compressível, Transitórios em Sistemas Termofluidos e Sistemas de Cogeração, Refrigeração e Uso da Energia e Máquinas e Processos de Conversão de Energia. Coordenou cursos de especialização e extensão na área de Refrigeração e Ar Condicionado, Cogeração e Refrigeração com Uso de Gás Natural, termelétricas, bem como vários cursos do PROMINP. Atualmente coordena um curso de especialização intitulado Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética por meio do PECE da Poli desde 2011 em sua décima quarta edição. Tem sido professor de cursos de extensão universitária para profissionais da área de termelétricas, válvulas e tubulações industriais, ar condicionado, tecnologia metroferroviária e energia. Tem participado de projetos de pesquisa de agências governamentais e empresas, destacando: Fapesp, Finep, Cnpq, Eletropaulo, Ipiranga, Vale, Comgas, Petrobras, Ultragaz e Fapesp/BG-Shell. Foi agraciado em 2006 com a medalha ´Amigo da Marinha`. Foi professor visitante na UFPB em 2000 - João Pessoa e na UNI - Universitat Nacional de Ingenieria em 2002 (Lima - Peru). Foi cientista visitante em Setembro/2007 na Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (Suiça) dentro do programa ERCOFTAC - ´European Research Community On Flow, Turbulence And Combustion`. Participou do Projeto ARCUS na área de bifásico em colaboração com a França. Foi professor visitante no INSA - Institut National des Sciences Appliquées em Lyon (França) em junho e julho de 2009. Tem desenvolvido projetos de cunho tecnológico com apoio da indústria (Comgas,Eletropaulo, Ipiranga, Petrobras e Vale). Possui duas patentes. É autor de mais de 100 artigos técnico-científicos, além de ser autor dos livros “Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética (2017) e "Fundamentos e Aplicações da Psicrometria" (1999), beom como autor de um capítulo do livro "Thermal Power Plant Performance Analysis" (2012). Já orientou mais de 20 mestres e doutores, além de cerca de 50 trabalhos de conclusão de curso de graduação e diversas monografias de cursos de especialização e de extensão, bem como trabalhos de iniciação científica, totalizando um número superior a 90 trabalhos. Possui mais de 100 publicações, incluindo periódicos tecnico-científicos nacionais e internacionais. Finalmente, coordena o laboratório e grupo de pesquisa da EPUSP de nome SISEA - Lab. de Sistemas Energéticos Alternativos.
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AULA 1 - APRESENTAÇÃO 1.1. INTRODUÇÃO Na EPUSP, o curso de Processos de Transferência de Calor sucede o curso de Termodinâmica clássica no 3º ano de Engenharia Mecânica. Assim, surge de imediato a seguinte dúvida entre os alunos: Qual a diferença entre “Termo” e “Transcal”? ou “há diferença entre elas”? Para responder à essa dúvida, vamos considerar dois exemplos ilustrativos das áreas de aplicação de cada disciplina. Para isso, vamos recordar um pouco das premissas da Termodinâmica. A Termodinâmica lida com estados de equilíbrio térmico, mecânico e químico, e é baseada em três leis fundamentais:
- Lei Zero (“equilíbrio de temperaturas” – permite a medida de temperatura e o estabelecimento de uma escala de temperatura)
- Primeira Lei (“conservação de energia” – energia se conserva)
- Segunda Lei (“direção em que os processos ocorrem e limites de conversão de uma forma de energia em outra”)
Dois exemplos que permitem distinguir as duas disciplinas: (a) Equilíbrio térmico – frasco na geladeira Considere um frasco fora da geladeira à temperatura ambiente. Depois, o mesmo é colocado dentro da geladeira, como ilustrado. Claro que, inicialmente, fG TT
inicial final As seguintes análises são pertinentes, cada qual, no âmbito de cada disciplina:
frasco
ambientef TT Gf TT
t
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Termodinâmica: TmcUQT - fornece o calor total necessário a ser transferido do frasco para resfriá-lo baseado na sua massa, diferença de temperaturas e calor específico médio – APENAS ISTO! Transferência de calor: responde outras questões importantes, tais como: quanto tempo t levará para que o equilíbrio térmico do frasco com seu novo ambiente (gabinete da geladeira), ou seja, para que Tf = TG seja alcançado? É possível reduzir (ou aumentar) esse tempo?
Assim, a Termodinâmica não informa nada a respeito do intervalo de tempo t para que o estado de equilíbrio da temperatura do frasco ( fT ) com a da geladeira ( GT ) seja
atingido, embora nos informe quanto de calor seja necessário remover do frasco para que esse novo equilíbrio térmico ocorra. Por outro lado a disciplina de Transferência
de Calor vai permitir estimar o tempo t , bem como definir quais parâmetros podemos interferir para que esse tempo seja aumentado ou diminuído, segundo nosso interesse. De uma forma geral, toda vez que houver gradientes ou diferenças finitas de temperatura ocorrerá também uma transferência de calor. A transferência de calor pode se dar no interior de um corpo ou sistema ou na interface da superfície deste corpo e um meio fluido.
(b) Outro exemplo: operação de um ciclo de compressão a vapor
TERMIDINÂMICA: 1ª Lei: cec qqw . Permite conhecer ou estabelecer o trabalho
e os fluxos de calor envolvidos, mas não permite dimensionar os equipamentos (tamanho e diâmetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por exemplo), apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do equipamento, como o COP:
c
e
w
qCOP
TRANSFERÊNCIA DE CALOR: permite dimensionar os equipamentos térmicos de transferência de calor. Por exemplo, responde às seguintes perguntas:
compressor válvula
condensador
evaporador
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- Qual o tamanho do evaporador / condensador? - Qual o diâmetro e o comprimento dos tubos? - Como atingir maior / menor troca de calor? - Outras questões semelhantes.
Problema-chave da transferência de calor: o conhecimento do fluxo de calor. O conhecimento dos mecanismos de transferência de calor permite: - Aumentar o fluxo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.; - Diminuir o fluxo de calor: Evitar ou diminuir as perdas durante o “transporte” de frio ou calor como, por exemplo, tubulações de vapor, tubulações de água “gelada” de circuitos de refrigeração; - Controle de temperatura: motores de combustão interna, pás de turbinas, aquecedores, etc. 1.2 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR A transferência de calor ocorre de três formas, quais sejam: condução, convecção e radiação térmica. Abaixo se descreve cada um dos mecanismos.
(a) Condução de calor - Gases, líquidos – transferência de calor dominante ocorre da região de alta temperatura para a de baixa temperatura pelo choque de partículas mais energéticas para as menos energéticas. - Sólidos – energia é transferência por vibração da rede (menos efetivo) e, também, por elétrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condutores elétricos. Geralmente, bons condutores elétricos são bons condutores de calor e vice-versa. E isolantes elétricos são também isolantes térmicos (em geral). A condução, de calor é regida pela lei de Fourier (1822)
dx
dTAq
x
. .
x
sólido
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onde: A : área perpendicular ao fluxo de calor xq
T : temperatura A constante de proporcionalidade é a condutividade ou condutibilidade térmica do material, k, ou seja:
dx
dTkAqx
As unidades no SI das grandezas envolvidas são:
[x
q ] = W ,
[ A ] = 2m , [T ] = K ou Co , [ x ] = m .
assim, as unidades de k são: [ k ] = Cm
Wo
ou Km
W
A condutividade térmica k é uma propriedade de transporte do material. Geralmente, os valores da condutividade de muitos materiais encontram-se na forma de tabela na seção de apêndices dos livros-texto. Necessidade do valor de (-) na expressão Dada a seguinte distribuição de temperatura: Para 12 TT
T2
T1
T
x
T
xx1 x2
0xq (pois o fluxo de calor flui da região de maior para a de menor temperatura. Está,
portanto, fluindo em sentido contrário a orientação de x)
Além disso, do esquema: 00
0
x
T
x
T, daí tem-se que o gradiente também será
positivo, isto é:
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0dx
dT mas, como 0k (sempre), e 0A (sempre), conclui-se que,
então, é preciso inserir o sinal negativo (-) na expressão da condução de calor (Lei de Fourier) para manter a convenção de que 0xq na direção de x.
Se as temperaturas forem invertidas, isto é, 21 TT , conforme próximo esquema, a equação da condução também exige que o sinal de (-) seja usado (verifique!!)
De forma que a Lei da Condução de Calor é: Lei de Fourier (1822)
(b) Convecção de Calor A convecção de calor é baseada na Lei de resfriamento de Newton (1701)
)( TTAq S
onde, a proporcionalidade é dada pelo coeficiente de transferência de calor por
convecção, h, por vezes também chamado de coeficiente de película. De forma que:
dx
dTkAq
x
)( TThAq S
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onde: A : Área da superfície de troca de calor;
ST : Temperatura da superfície;
T : Temperatura do fluido ao longe. - O problema central da convecção é a determinação do valor de h que depende de muitos fatores, entre eles: geometria de contato fluido-superfície (área da superfície, sua rugosidade e sua geometria), propriedades termodinâmicas e de transportes do fluido, temperaturas envolvidas, velocidades. Esses são alguns dos fatores que interferem no seu valor. (c) Radiação Térmica A radiação térmica é a terceira forma de transferência de calor e é regida pela lei de Stefan – Boltzmann. Sendo que Stefan a obteve de forma empírica (1879) – e Boltzmann, de forma teórica (1884). Corpo negro – irradiador perfeito de radiação térmica
(para um corpo negro) constante de Stefan – Boltzmann (5,669x10-8 W/m2 K4)
Corpos reais (cinzentos) 4ATq , onde é a emissividade da superfície que é sempre menor que a unidade.
Mecanismo físico: Transporte de energia térmica na forma de ondas eletromagnéticas
ou fótons, dependendo do modelo físico adotado. Não necessita de meio físico para se propagar. Graças a essa forma de transferência de calor é que existe vida na Terra devido à energia na forma de calor da irradiação solar que atinge nosso planeta.
4ATq
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Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro Fundamentos de transferência
de calor e massa, Incropera
1.1 A base, com 5 mm de espessura, de uma panela com diâmetro de 200 mm pode ser feita com ferro fundido (k=80,2 W/(m K)) ou cobre (k=390 W/(m K)). Quando usada para ferver água, a superfície da base exposta à água encontra-se a 110ºC. Se calor é transferido do fogão para a panela a uma taxa de 600 W, qual é a temperatura da superfície voltada para o fogão para cada um dos dois materiais? Dados do problema: Diâmetro do fundo da panela: ∅ = ��
Espessura do fundo da panela: = ��
Condutividade dos materiais: alumínio - � = , � � ; cobre - � = � �
Temperatura no fundo do lado em contato com a água: � = °�
Desenho esquemático:
Hipóteses: 1. Regime permanente
2. Problema unidimensional
Solução: Da lei de Fourier: � = −�� � = −�� � − �
Sabendo que � = �, e que � = ��24 = , ∗ , 24 = , � � = ��� + �
Para o ferro fundido: � = � ∗ , �, �� � ∗ , � + = , °�
Para o cobre:
� = � ∗ , ��� � ∗ , � + = , °�
Note-se que devido à condutividade do cobre ser maior do que a do alumínio a diferença de
temperatura entre T1 e T2 são menores.
1.2 Uma caixa de transmissão, medindo w=0,3 m de lado, recebe uma entrada de potência de Pent=150 HP fornecida por um motor elétrico. Sendo a eficiência de transmissão η=0,93; com o escoamento do ar caracterizado por T∞=30ºC e h = 200 W/(m2K). Nessas condições, pede-se qual é a temperatura superficial da caixa de transmissão? Dados do problema: Dimensões do cubo = , �
Quantidade de faces exposta: 6
Potência de entrada: � = ��
Rendimento da caixa de transmissão: � = ,
Temperatura do ar: �∞ = °�
e
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Conversão de unidade: �� = �
Hipóteses: 1. Regime permanente
2. Coeficiente convectivo e temperatura na superfície uniforme
3. Transferência de calor por radiação desprezível
Solução: � = Da lei de resfriamento de Newton: � = ℎ � � − �∞ = ℎ � − �∞
A potência transmitida é dada por � = � �. Logo, a parte não foi transmitida se
transformou em um fluxo de calor que pode ser obtido por: � = � − � = �� ��� − , = �
Igualando ambos obtemos a temperatura da superfície: � = �∞ + � ℎ = °� + �∗ �� � , � = , °�
1.3 Considere a caixa de transmissão do problema anterior, mas agora permita a troca por
radiação com a sua vizinhança, que pode ser aproximada por um grande envoltório a Tviz
=30ºC. Sendo a emissividade da superfície da caixa a ε=0,8, qual é a sua temperatura?
Dados do problema: Dimensões do cubo = , �
Quantidade de faces exposta: 6
Potência de entrada: � = ��
Rendimento da caixa de transmissão: � = ,
Temperatura do ar: �∞ = °�
Hipóteses: 1. Regime permanente
2. Coeficiente convectivo e
temperatura na superfície
uniforme
3. Transferência de calor por
radiação com a vizinhança
Solução:
Aproveitando a solução do exercício anterior: � = � e � =
A transferência de calor se dá por convecção e radiação, fazendo um balanço de energia para
regime permanente temos que: � − � í = Sendo que: � � = �[ ℎ � − �∞ + ��(�4 − ����4 )]
Igualando a taxa de calor da transmissão temos (nota: as temperaturas têm que ser absolutas:
� = , [ � − + , ∗ , ∗ −8 �4 − 4 ]
Radiação Convecção
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Após tentativa e erro, obtém-se: � ≈ � = °� Notamos que para a temperatura � ≈ � , a � � ≈ � e � = �, ou seja, a
transferência de calor por convecção é predominante. E como vimos no exercício anterior, se
desprezarmos a radiação a temperatura da superfície será de � = , °�.
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AULA 2 – CONDUÇÃO DE CALOR
CONDUÇÃO DE CALOR
Condutibilidade ou Condutividade Térmica, k
Da Lei de Fourier da condução de calor, tem-se que o fluxo de calor, q, é diretamente
proporcional ao gradiente de temperaturas, de acordo com a seguinte expressão:
x
Tkq
, onde A é a área perpendicular à direção do fluxo de calor e k é a
condutividade térmica do material.
As unidades no SI da condutividade térmica, k, do material, são:
x
TA
qk
m
Cm
Wk
o2
Cm
Wk
o ou
Km
W
.
Sendo:
k: condutividade (de transporte) do material que pode ser facilmente determinada de
forma experimental. Valores tabelados de diversos materiais se encontram na seção de
apêndice do livro-texto.
Exemplo de experimento laboratorial para obtenção de k
isolante
x
A
Resistência
elétrica
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
i
Pontos de medição de
temperatura
q
A
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No experimento indicado, uma corrente elétrica é fornecida à resistência elétrica
enrolada em torno da haste do bastão. O fluxo de calor gerado por efeito joule vai ser
conduzido da haste para o bastão (lado direito). Mediante a instalação de sensores de
temperatura (termopares, por ex.), pode-se levantar o perfil da distribuição de
temperaturas ao longo de bastão, como aquele indicado no gráfico acima. Estritamente
falando, esse perfil temperatura é linear, como vai se ver adiante. Por outro lado, o fluxo
de calor fornecido é a própria potência elétrica dissipada, ou seja, IUIRq 2 .
Sendo a seção transversal A conhecida, então, da lei de Fourier, determina-se a
condutividade térmica do material da haste, k. Neste caso,
x
TA
qk
.
Um aspecto importante da condução de calor é que o mecanismo da condução de calor é
diferente dependendo do estado físico e da natureza do material. Abaixo, indicam-se os
mecanismos físicos de transporte de acordo com o estado físico.
Gases
O choque molecular permite a troca de energia cinética das moléculas mais
energéticas para as menos energéticas. A energia cinética está relacionada com a
temperatura absoluta do gás. Quanto maior a temperatura, maior o movimento
molecular, maior o número de choques e, portanto, mais rapidamente a energia térmica
flui. Pode-se mostrar que.
Tk
Para alguns gases, a pressão moderada, k é só função de T. Assim, os dados
tabelados para uma dada temperatura e pressão podem ser usados para outra pressão,
desde que seja à mesma temperatura. Isso não é valido próximo do ponto critico.
Líquidos
Qualitativamente o mecanismo físico de transporte de calor por condução nos
líquidos é o mesmo do que o dos gases. Entretanto, a situação é consideravelmente mais
complexa devido à menor mobilidade das moléculas.
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Sólidos
Duas maneiras básicas regem a transferência de calor por condução em sólidos:
vibração da rede cristalina e transporte por elétrons livres. O segundo modo é o mais
efetivo e é o preponderante em materiais metálicos. Isto explica porque, em geral, bons
condutores de eletricidade também são bons condutores de calor. A transferência de
calor em isolantes se dá, por meio da vibração da rede cristalina, que é menos eficiente.
O diagrama a seguir ilustra qualitativamente as ordens de grandeza da condutividade
térmica dos materiais. Nota-se que, em geral, a condutividade aumenta na sequência de
gases, líquidos e sólidos e que os metais puros são os de maior condutividade térmica.
EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR EM COORDENADAS CARTESIANAS
Balanço de energia em um
volume de controle elementar
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BALANÇO DE ENERGIA (1ª LEI) NO VC DIFERENCIAL
Fluxo de Taxa de Taxa temporal Fluxo de
calor que calor de variação calor que
entra no + gerada = da energia + deixa o
V.C. no V.C. Interna no V.C. V.C.
(I) (II) (III) (IV)
Sejam os termos:
(I) Fluxo de calor que entra no VC
Direção x
x
TdAk
x
Tdzdykq xxx
-
Direção y
y
Tdzdxkq yy
y
Tdzdxkq yy Direção z y
Tdydxkq zz
(II) Taxa de calor (energia térmica) gerado no interior do VC:
dz q '''
G dydxEG
onde: '''
gq = Taxa de calor gerado na unidade de volume. 3mW
(III) Taxa temporal de variação da energia interna
t
Tcdzdydx
t
um
t
UEar
onde: c = calor específico; m = massa elementar do V.C. e a densidade. CkgkJ o/
(IV) Fluxo de calor que deixa o V.C. – expansão em serie de Taylor:
Direção x: xdx
qqq xxdxx )(0 2dxdx
x
qqq x
xdxx
Direção y:
dy
y
qqq
y
ydyy
z
Tdydxkq zz
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Direção z:
dzz
qqq z
zdzz
Então, juntando os termos (I) + (II) = (III) + (IV), vem:
dzz
qqdy
y
qqdx
x
t
Tcdxdydzdxdydzqqqq z
z
y
y
x
xGzyx
'''
+ ordem superior
simplificando os termos zyx qqq e , , vem:
, ''' dzz
qdy
y
qdx
x
q
t
Tcdxdydzdxdydzq zyx
G
e, substituindo a Lei de Fourier para os termos de fluxo de calor,
dxdydzkz
dxdydzky
dxdydzkxt
Tcdxdydzdxdydzq zyxG
z
T
y
T
x
T '''
Dividindo ambos os lados pelo volume de controle elementar dxdydz, temos finalmente:
Essa é a equação geral da condução de calor. Não existe uma solução analítica para
todos os casos e geometrias, porque se trata de um problema que depende das condições
inicial e de contorno. Por isso, ela é geralmente resolvida para diversos casos que
dependem da geometria do problema, do fato de ser ou não em regime permanente, bem
como das condições de contorno. Evidentemente, procura-se uma solução do tipo:
),,,( tzyxTT . A seguir são apresentados alguns casos básicos.
Casos:
A) Condutividade térmica uniforme (material isotrópico) e constante (independe de T)
kkkk zyx
t
T
k
q
z
T
y
T
x
T'''
g
T
1
2
2
2
2
2
2
2
onde,
t
T
z
T
y
T
x
T "'
cqkz
ky
kx
Gzyx
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=c
k
é conhecida como difusibilidade ou difusividade térmica, cuja unidade no SI é:
s
m
s
s
J
mW
Kkg
J
m
kg
Km
W
c
k ²²
3
Essa equação ainda pode ser escrita em notação mais sintética da seguinte forma:
onde:
2
2
2
2
2
22
zyx
é o operador matemático chamado de Laplaciano no
sistema cartesiano de coordenadas.
Esta última forma de escrever a equação da condução de calor é preferível, pois,
embora ela tenha sido deduzida acima para o sistema cartesiano de coordenadas, a
formulação simbólica do laplaciano independe do sistema de coordenadas adotado.
Caso haja interesse em usar outros sistemas de coordenadas, basta substituir o
Laplaciano do sistema de interesse, como exemplificado abaixo,
- Cilíndrico: 2
2
2
2
2
2 11
zrrr
rr
- Esférico: 2
2
222
2
2
2 sen
1 sen
sen
11
rrr
rrr
B) Sem geração de calor e k uniforme e constante, 0''' Gq
(Eq. de Fourier)
C) Regime permanente (ou estacionário) e k uniforme e constante, 0
t
T
(Eq. de Poisson)
D) Regime permanente e k constante e uniforme
(Eq. de Laplace)
t
T
k
qT G
1
'''
2
t
TT
12
0'''
2 k
qT G
02 T
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Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro Fundamentos de transferência
de calor e massa, Incropera
2.1 Considere uma parede plana com 100 mm de espessura e condutividade térmica de 100 W/m
K. Supondo a manutenção de condições de regime permanente, com T1 = 400 K e T2 = 600 K,
determine o fluxo de calor q”x e o gradiente de temperatura dT/dx para os sistemas de
coordenadas mostrados.
Dados do problema: T1 = 400 K ; T2 = 600 K ; k= 100 W/
m K ; L=100 mm. Hipóteses:
1. Transferência de calor
unidimensional
2. Propriedades, k é constante
3. Regime permanente
4. Sem geração interna de calor
Solução: A equação de transferência de calor: ��′′ = −� ��
O gradiente de temperatura é constante na parede é constante podendo ser representado desta
forma: �� = � − �
Substituindo os valores numérico no gradiente, temos:
a) �� = � −� = −, = /�
b) �� = � −� = −, = − /�
c) �� = � −� = −, = /�
A taxa de calor é calculada utilizando a equação da Lei de Fourier e considerando k=
100 W/m.
a) ��" = − � = − ��
b) ��" = − � − = + ��
c) ��" = − � = − ��
2.2 Condução unidimensional, em regime permanente, com geração de energia interna
uniforme ocorre em uma parede plana com espessura de 50 mm e uma condutividade
térmica constante igual a 5 W/ (m K). Nessas condições, a distribuição de temperaturas tem
a forma T (x)= a +b x +cx2. A superfície em x=0 está a uma temperatura T(0) = T0 =120°C.
Nessa superfície, há convecção com um fluido a T∞ = 20°C com h = 500 W/(m2 K). A
superfície em x=L é isolada termicamente.
(a) utilizando um balanço de energia global na parede, calcule a taxa de geração interna de
energia utilizando um balanço de energia na parede, calcule a taxa de geração interna de
energia.
(b) determine os coeficientes a, b e c aplicando as condições de contorno na distribuição de
temperaturas especificada. Use os resultados para calcular e representar graficamente a
distribuição de temperatura.
Desenho esquemático:
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20
Hipóteses: 1. Regime estacionário
2. Condução unidimensional
3. Propriedades constantes e geração interna de calor constante
4. Condição de contorno, x=L é adiabático
Solução: (a) a geração interna de energia pode ser obtida pelo balanço de energia na parede �̇′′ − �̇ í′′ + �̇�′′ =0 onde �̇ í′′ = � �′′
Substituindo temos: ℎ �∞ − � + �̇ =
sendo �̇ = −ℎ �∞−� = −5 � − °�, = , �
b) aplicando as condições de contorno podemos obter os coeficientes a, b e c da equação de
distribuição de temperatura.
Condição de contorno 1: quando x= 0, convecção na superfície. �̇′′ − �̇ í′′ = � �′′ − ��′′ = o qual, ��′′ = −� ��)�=
Substituindo ��′′ (distribuição de temperatura), ℎ �∞ − � − [−� + + � �= ] = , assim obtemos o coeficiente b: = − ℎ �∞ − �� = −5 � − °� 5 � = , �
Condição de contorno 2: x=L, parede adiabática ou superfície isolada �̇ − �̇ � = −��′′ = onde, ��′′ = −� ��)�= �[− + + �]�= = assim obtemos c, = − = − , , = − ,
Desde que a temperatura em x=0 é conhecida, T(0)=T0 =120°C, obtemos:
� = °� = + + ou a =120°C obtendo o perfil de temperatura
� � = °� + , � � − , � �
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AULA 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM GERAÇÃO – PLACA OU PAREDE PLANA
O caso mais simples que se pode imaginar de transferência de calor por condução é o
caso da parede ou placa plana, em regime permanente, sem geração interna de calor e
propriedades de transporte (condutividade térmica) constantes. Este é o caso ilustrado
na figura abaixo em que uma parede de espessura L, tendo a face esquerda mantida a
uma temperatura T1, enquanto que a face à direita é mantida à temperatura T2. Poderia se
imaginar que se trata, por exemplo, de uma parede que separa dois ambientes de
temperaturas distintas. Como se verá, a distribuição de temperaturas T(x) dentro da
parede é linear, como indicado na figura, com T1 > T2.
Para resolver esse caso, vamos partir da equação geral da condução de calor, deduzida
na aula anterior, isto é:
t
T
k
qT G
1
'''
2
Introduzindo as simplificações do problema, vem:
i. Não há geração interna de calor: 0 Gq
ii. Regime permanente: 0
t
T
iii. Unidimensional (1D): 1
2
22
x
Assim, com essas condições, vem que 02
2
x
Td, e a solução procurada é do tipo T(x).
Para resolver essa equação considere a seguinte mudança de variáveis: dx
dT
Logo, substituindo na equação, vem que 0dx
d
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23
Integrando por separação de variáveis vem:
1Cd , ou seja: 1C
Mas, como foi definido dx
dT 1C
dx
dT
Integrando a equação mais uma vez, vem:
21)( CxCxT Que é a equação de uma reta, como já antecipado.
Para se obter as constantes C1 e C2, deve-se aplicar as condições de contorno que, nesse
exemplo, são dadas pelas temperaturas superficiais das duas faces. Em termos
matemáticos isso quer dizer que
(A) em x = 0 1TT
(B) e em x = L 2TT
De (A): 12 TC
e de (B): 112 TLCT L
TTC 12
1
Assim,
Para efeito de ilustração, suponha que 21 TT , como mostrado na figura abaixo.
Cálculo do fluxo de calor transferido através da
parede
.
Para isso, deve-se usar a Lei de Fourier, dada por:
dx
dTkq
e, substituindo a distribuição de temperaturas,
vem:
L
TTkT
L
xTT
dx
dkq 12
112
, ou,
em termos de fluxo de calor por unidade de área,
temos: mW 212''
L
TTk
Esquecendo o sinal de (-), já que sabemos a direção do fluxo de calor, vem
112 )()( TL
xTTxT
L
Tkq
''
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Conhecida a equação que rege do fluxo de calor através da parede, podemos: Aumentar o fluxo de calor q”: . Com o uso de material bom condutor de calor, isto é, com k
. Ou, pela diminuição da espessura da parede, isto é L
Ou diminuir o fluxo de calor q”: . Com o uso de material isolante térmico k
. Ou, pelo aumento da espessura da parede, isto é L
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR – TUBO CILÍNDRICO.
Este é o caso equivalente, em coordenadas cilíndricas, ao da condução de calor
unidimensional, em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica
constante estudado acima para uma parede ou placa plana. A diferença é que sua
aplicação é para tubos cilíndricos.
A equação geral é da forma t
T
k
qT G
1
'''
2
Neste caso, a geometria do problema indica que se deve resolver o problema em
coordenadas cilíndricas. Para isso, basta usar o Laplaciano correspondente, isto é:
t
T
k
q
z
TT
rr
Tr
rr
G
111 '''
2
2
2
2
2
Introduzindo as simplificações:
i. Não há geração interna de calor: 0 Gq
ii. Regime permanente: 0
t
T
iii. Unidimensional (1D): que é válido para um tubo muito longo, ou
seja, T não depende de z, logo 02
2
z
T
iv. Há uma simetria radial, T não depende de , isto é: 02
2
T
As simplificações (iii) e (iv) implicam que se trata de um problema unidimensional na
direção radial, r. A aplicação dessas condições resulta em:
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25
0
dr
dTr
dr
d, onde a solução procurada é do tipo )(rTT
As condições de contorno para a ilustração indicada acima são:
A superfície interna é mantida a uma temperatura constante, isto é: ii TTrr
A superfície externa é também mantida a uma outra temperatura constante, isto é:
ee TTrr
Solução:
1a Integração – separe as variáreis e integra uma vez, para resultar em:
10 Cdrdrdr
dTrd 1C
dr
dTr
Integrando pela 2a vez, após separação de variáveis, vem:
21 Cr
drCdT
Portanto, a distribuição de temperaturas no caso do tubo cilíndrico é logarítmica e não
linear como no caso da parede plana.
Determinação de 1C e 2C por meio da aplicação das condições de contorno:
(A) ii TTrr 21 )ln( CrCT ii
(B) ee TTrr 21 ) ln( CrCT ee
Fazendo-se (A) – (B), temos que e
i1
r
rln CTT ei , ou
e
i1
r
rln
ei TTC
Finalmente, na eq. da distribuição de temperaturas:
Distribuição de temperatura, supondo ei TT .
21 )ln( CrCrT
e
ei TTT
rT
e
e
i r
rln
r
rln
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26
Te
Ti
re ri raio
Lei logarítmica T
O fluxo de calor é obtido por meio da Lei de Fourier, isto é, dr
dTkq
Atenção a esse ponto, a área A é a área perpendicular ao fluxo de calor e não a área da
seção transversal. Portanto, trata-se da área da “casquinha” cilíndrica ilustrada abaixo.
rLA 2 (área da casca cilíndrica), L é o comprimento do tubo
Substituindo a distribuição logarítmica de temperatura na equação de Fourier,
21 )ln()( CrCrT , vem:
])ln([2 21 CrCdr
drLkq
ou, efetuando a derivação, temos:
r
kLrCq1
2 1
ou, ainda: 12 kLCq
Substituindo, 1C :
e
i
r
rln
2 ie TTkLq
(W)
O fluxo de calor total q é constante através das superfícies cilíndricas!
Entretanto, o fluxo de calor por unidade de área, ''q , depende da posição radial
e
i
ie
r
r
TT
rL
kL
A
ln
)(
2
2''
e
i
ie
r
r
TT
r
kq
ln
)('' 2
mW
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Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro transferência de calor e massa,
Çengel. 3.1. Considere que a base do ferro de passar roupa doméstico possui uma espessura de L
= 0,5 cm, e uma área de A = 300 cm2, o material de ferro com condutividade térmica, k
= 15 W/m. A superfície interna da placa é aquecida por uma resistência de 1200 W e a
superfície externa ocorre uma transferência de calor por convecção a vizinhança com T∞
= 20°C como apresentado na figura abaixo. Considerando um coeficiente de
transferência de calor por convecção, h = 80 W/m2°C, e que a transferência de calor por
radiação é desprezível, determine a distribuição de temperatura ao longo da placa e a
temperatura da superfície interna e externa.
Hipóteses: Estado estacionário
A condução e calor é unidimensional
As propriedades físicas constantes
Sem geração interna de energia
A isolação térmica na superfície interna é
perfeitamente adiabático
Dados do problema: h = 80 W/m
2°C ; L = 0,5 cm ; A = 300 cm
2; T∞ = 20°C ; k
= 15 W/m
Solução: O fluxo de calor na superfície interna é dada por, ̇ = �̇� � = �, � = �� .
A partir da equação de difusão do calor e as hipóteses admitida obtemos a equação diferencial
abaixo: �� =
Integrando a equação acima duas vezes obtemos o perfil de temperatura: �� = � . Integrando mais uma vez obtemos, � � = � � + � . C1 e C2 são as constantes de
integração e são obtidas aplicando as condições de contorno.
Condição de contorno 1: Na superfície interna, � = , −� ��|�= = ̇ , o que indica que −�� = ̇ e � = − �̇
Condição de contorno 2: Na superfície externa, � = , � = � + � e −� �� = ℎ[� − �∞] → −�� = ℎ[ � + � − �∞] Substituindo � = − �̇ e resolvendo para obter C2, temos: � = �∞ + ℎ̇ + �̇ . Substituindo
as constantes no perfil de temperatura obtemos:
� � = �∞ + ̇ ( − �� + ℎ ) Aplicando os valores na equação acima para � = e � = , � encontramos a
temperatura da superfície interna e externa respectivamente.
� = °� + �� ( , ���°� + �� °�)
= °� � = °� + ���� °� = °�
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3.2. Um tubo por onde passa vapor de água possui as seguintes dimensões: comprimento, L=20
m; raio interno r1= 6 cm; raio externo r2=8 cm; e condutividade térmica, k= 20W/m°C. A
temperatura média da superfície interna e externa, T1=150°C e T2=60°C, são mantidas
constantes. Obtenha a distribuição de temperatura da parede do tubo e determine a perda de
calor do vapor por meio da parede do tubo. Hipóteses:
1. Regime estacionário
2. Condução de calor unidimensional
3. As propriedades físicas
4. Sem geração calor
Solução: Da equação de difusão de calor para
coordenada cilíndrica, ( �) =
Integrando uma vez temos, � = e integrando mais
uma vez obtemos o perfil de temperatura: � = � ln + � Aplicando as condições de contorno para determinar as constantes,
C.C 1: = � = � = °� → � = � ln + � →� = � −�ln
C.C 2: = � = � = °� → � = � ln + � →� = � − � −�ln ln
Substituindo as constantes no perfil de temperatura obtemos: � = lnln � − � + �
A taxa de calor do vapor é determinada utilizando a lei de Fourier, �̇ = −�� � = −� � � = − �� � = �� � − �ln Substituindo os valores numéricos obtemos: �̇ = � ( ��°�) � − °�ln ,, = ��
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AULA 4 – PAREDES PLANAS COMPOSTAS Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de calor – paredes compostas.
Para resolver de forma rápida e simples este problema, note que o fluxo de calor q é o mesmo que atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as seguintes equações:
- parede 1: 1
211
)(
L
TTAkq
Ak
qLTT
1
121
- parede 2: 2
322
)(
L
TTAkq
Ak
qLTT
2
232
- parede 3: 3
433
)(
L
TTAkq
Ak
qLTT
3
343
Assim, somando os termos _____________
de todas as paredes: Ak
LqTT
i
i 41
ou, simplesmente,
R
Tq
onde, T refere-se à diferença total de temperaturas da duas faces externas e R é a
resistência térmica da parede composta, dada por Ak
LR
i
i
ANALOGIA ELÉTRICA Nota-se que existe uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos de condução de calor, fazendo a seguinte correspondência:
qi TU
TÉRMICOÔHMICORR
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Por meio de analogia elétrica, configurações mais complexas (em série e paralelo) de paredes podem ser resolvidas.
Circuito elétrico equivalente
Fluxo de calor que é:
T
total
R
Tq
5//1 RRRRT
com
432//
1111
RRRR
Resistência térmica de contato Quando as superfícies de dois sólidos são colocadas em contato para formar uma parede composta, a região interfacial entre eles pode ter uma resistência térmica de contato, � ," , devido ao fato de que não existe uma contato “perfeito” entre as duas superfícies, como ilustrado abaixo, devido à rugosidade superficial. A transferência de calor se dará por condução nos pontos de contato dos picos das rugosidades e pela condução através do fluido que preenche o espaço entre as superfícies. Radiação térmica também pode estar presente.
q
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31
A resistência térmica de contato é dada por � ," = � − ���"
Alguns valores de resistência térmica estão indicados na Tabela 3.2 do livro do Incropera, reproduzida a seguir.
CONDUÇÃO EM PLACA PLANA COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR Geração interna de calor pode resultar da conversão de uma forma de energia em calor. Exemplos de formas de energia convertidas em calor: 1. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor (efeito Joule)
2RIP (W) Onde: P : potência elétrica transformada em fluxo de calor por efeito Joule (W)
R : resistência ôhmica ( ) I : corrente elétrica (A)
Ainda, U : diferença de potencial elétrico (V)
UIP ou R
UP
2
Em termos volumétricos, '''Gq )/( 3mW ,
V
PqG '''
(W/m3), onde V : volume onde o
calor é gerado. 2. Geração de calor devido a uma reação química exotérmica )0( ''' Gq como, por
exemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. Já, no caso de uma reação endotérmica, 0''' Gq .
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32
3. Outras formas tais de geração de calor devido à absorção de radiação, nêutrons, etc... Parede (placa) plana com geração de calor uniforme (resistência elétrica plana). Esse é o caso de resistências elétricas planas. Lb
T1
T2
2L
2b
i
Equação geral
t
T
k
qT G
1'''
2 , sendo que 0
t
T (regime permanente)
0'''
2 k
qT G )(xTT
Condições de contorno: (1) Lx 1TT (2) Lx 2TT
Solução
Seja a seguinte mudança de variável (apenas por conveniência): dx
dT ,
Então k
q
dx
d G'''
Integrando essa equação por partes, vem:
1
'''
Cdxk
qd G , mas como
1
'''
então , Cxk
q
dx
dT
dx
dT G
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33
Integrando novamente: Obs.: Trata-se de uma distribuição parabólica de temperaturas.
Como no caso da resistência elétrica '''Gq (geração de calor) é positivo e,
claro, k também é positiva, a constante que multiplica o termo 2x é negativa parábola com a concavidade voltada para baixo. Por outro lado, se '''
Gq for negativo, o que pode ocorrer com processos de curas de algumas
resinas (processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para cima.
Determinação das constantes 1C e 2C : Condições de contorno
(1) 21
2'''
1 2CLC
k
LqT G - temperatura da face esquerda conhecida
(2) 21
2'''
2 2CLC
k
LqT G - temperatura da face direita conhecida
Somando (1)+(2), vem:
2
2'''
21 2Ck
LqTT G
k
LqTTC G
22
2'''21
2
.
Substituindo em (1) ou (2), tem-se L
TTC
212
1
Então, a distribuição final de temperaturas é:
CASOS:
(A) Suponha que as duas faces estejam à mesma
temperatura: STTT 21 . Daí, resulta que:
21
2'''
2)( CxC
k
xqxT G
22)(
2
)()( 21
12
22''' TT
L
xTT
k
xLqxT G
SG T
k
xLqxT
2
)()(
22'''
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34
É uma distribuição simétrica de temperaturas. A máxima temperatura, nesse caso, ocorre no plano central, onde 0x (note a simetria do problema). Se for o caso pouco comum de uma reação endotérmica, ou '''
Gq < 0, a concavidade seria voltada para abaixo
e, no plano central, haveria a mínima temperatura.
Também poderia se chegar a essa expressão usando 0dx
dT
S
GCMÁX
Tk
LqTT
2
2'''
O fluxo de calor (lei de Fourier)
dx
dTkAq ou, o fluxo de calor por unidade de área,
dx
dTk
A
qq '' , substituindo a distribuição de temperaturas, vem:
S
'''G'' T
k
)xL(q
dx
dkq
2
22,
ou, simplesmente: No plano central (x = 0) o fluxo de calor é nulo devido à simetria do problema e das condições de contorno. Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabática, 0'' q
(B) Nesse caso, suponha que a temperatura de uma das faces seja maior: Por exemplo,
21 TT , como ilustrado abaixo a seguir.
'''''Gxqq
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35
Plano em que ocorre a máxima temperatura, máxT ( máxx ) Sabemos que o fluxo de calor é nulo em máxx :
0máxxdx
dTk ou
022
)()(2
2112
22'''
TT
L
xTTxL
k
q
dx
d G , que resulta em:
02
)( 12'''
L
TTx
k
qmáx
G
Cuja solução é: Substituindo-se o valor de xmáx na expressão da distribuição da temperatura, encontra-se o valor da máxima temperatura máxT . Tente fazer isso!
PENSE: Suponha que você é um engenheiro-perito e é chamado para dar um parecer
sobre um incêndio com suspeita de ter origem no sobreaquecimento do sistema elétrico.
Como você poderia, a partir de uma análise na fiação elétrica, inferir se houve ou não
sobreaquecimento à luz do assunto tratado nesta aula?
Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro Fundamentos de transferência
de calor e massa, Incropera 4.1. O vidro traseiro de um automóvel é desembaçado pela passagem de ar quente sobre sua superfície interna. (a) Se o ar quente está a T∞,i = 40°C e o coeficiente de convecção correspondente é a hi = 30 W/(m2 K), quais as temperaturas das superfícies interna e externa de uma janela de vidro de 4 mm de espessura se a temperatura do ar ambiente é T∞,e = -10°C e o coeficiente de convecção associado é he = 65 W/(m2 K)?
'''12
2
)(
G
máxLq
kTTx
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36
Diagrama esquemático do problema:
Hipóteses:
1. Regime estacionário 2. Condução unidimensional 3. A transferência de calor por radiação é desprezível 4. As propriedades físicas são constantes
Solução: (a) O fluxo pode ser obtido por: �′′ = �∞, − �∞,� � = �∞,� − �∞,ℎ + � + ℎ� = °� − − °�� + , �, � + �
= °�, + , + , � / = � Se o fluxo de calor �′′ = ℎ�(�∞,� − �∞, ), a temperatura da superfície é: � ,� = �∞,� − �′′ℎ� = °� − ���� � = , °�
Da mesma forma obtemos para a temperatura da superfície externa: � , = �∞, − �′′ℎ� = − °� − ���� � = , °C
4.2.Uma parede plana de espessura 0,1 m e condutividade térmica k = 25 W/(m K) com geração volumétrica de calor uniforme de 0,3 MW/m3 é isolada de um lado enquanto o outro lado é exposto a um fluido a 92°C. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a parede e o fluido é 500W/(m2 K). Determine a temperatura máxima da parede.
Hipóteses: 1. Regime estacionário 2. Condução unidimensional 3. Geração de energia uniforme no
volume 4. A superfície interna é adiabática
Solução: A equação do perfil de temperatura é para parede plana é dado por; � � = � � + � Como a parede interna é adiabática, a temperatura no ponto � = , é a temperatura máxima na parede que pode ser obtido com a equação: � = �̇�� + �
A temperatura externa pode obtida por: � = �∞ + �̇ℎ = °� + , � , �� = + = °�
Consequentemente obtemos: � = , � , � ��� + °� = + = °�
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37
AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR e COEFICIENTE
GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna de calor em cilindros maciços. Como exemplo de aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule devido à passagem de corrente elétrica em fios elétricos, como indicado na figura ao lado. Partindo da equação geral da condução de calor:
t
T
k
qT
'''G
12
(Regime permanente)
Neste caso, é conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é:
2
2
2
2
22 11
z
TT
rr
Tr
rrT
Hipóteses adicionais
- simetria radial: 02
2
(não há influência da posição angular numa seção
transversal, pois há simetria radial)
- o tubo é muito longo: 02
2
z
(não há efeitos de borda na direção axial)
Logo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou seja, )(rTT Assim, introduzindo essas simplificações na equação geral da condução, vem:
01
'''
k
q
dr
dTr
dr
d
r
G
Ou, integrando por partes:
1
'''
Crdrk
q
dr
dTrd G
, ou, ainda: 1
2'''
2C
k
rq
dr
dTr G
Integrando novamente por separação de variáveis:
2
1'''
2Cdr
r
Cr
k
qdT G
21
2'''
ln4
)( CrCk
rqrT G
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38
*condições de contorno para obtenção das constantes C1 e C2: (1) STrrT )( 0 a temperatura da superfície TS é conhecida
(2) 00
rdr
dT simetria radial na linha central
Isso implica dizer que o fluxo de calor é nulo na linha central e, como decorrência,
também pode-se afirmar que a máxima temperatura máxT ocorre nessa linha.
Da segunda condição de contorno, vem que:
02
lim 1'''
0
r
C
k
rqG
r
Do que resulta em 01 C , para que a expressão permaneça sempre nula.
Da primeira condição de contorno.
2
20
4C
k
rqT
'''
GS ou,
k
rqTC G
S 4
20
'''
2
Finalmente, a equação da condução de calor fica:
É uma distribuição parabólica de temperatura (2º. grau) !
Sendo, SG
máx Tk
rqT
4
20
'''
Calcule o fluxo de calor!
SG Trrk
qT 22
0
'''
4
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39
EXEMPLO DE APLICAÇÃO Considere uma resistência tubular cilíndrica longa revestida de isolamento térmico perfeito do seu lado externo. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a iT .
Considere, ainda, que ocorre geração de calor '''
Gq uniforme.
a) calcule a distribuição de temperaturas na parede da resistência cilíndrica; b) determine o fluxo de calor total removido (internamente) da resistência tubular; c) determine a temperatura da superfície externa da resistência.
Solução: Hipóteses: as mesmas que as anteriores.
Eq. 01 '''
k
q
dr
dTr
dr
d
r
G
Condições de contorno: (1) ii TrrT )( (temperatura interna constante)
(2) 0erdr
dT (fluxo de calor nulo na superfície)
A solução geral, como já visto, é:
21
2'''
ln4
)( CrCk
rqrT G
Sendo, 1C e 2C saem das condições de contorno do problema específico:
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40
i
ie
ieG Tr
r
r
rr
k
rqrT
ln2
4)(
2
222'''
k
rqC eG
2
2'''
1 ;
)ln(2
4
22'''
2 i
e
ieGi r
r
r
k
rqTC
Assim,
O fluxo de calor é:
dr
dTkAq
)()2( rTdr
drLkq
Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem:
22'''ieG rrq
L
q (W/m)
A temperatura máxima é:
emáx TT
i
i
e
e
eieG
emáx Tr
r
r
rr
k
rqTT
ln2
4 2
222'''
OUTRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO Num fio de aço inoxidável de 3,2mm de diâmetro e 30cm de comprimento é aplicada uma tensão de 10V. O fio está mantido em um meio que está a C
o95 e o coeficiente de transferência de calor vale CmkW
o2/10 . Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de cm70 e sua
condutibilidade térmica vale CmW o/5,22
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41
CTo
c 267
Solução:
Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume.
R
URiP
22 ;
A
LR
m 81070
mL 3,0 , 26232
100425,84
)102,3(
4m
DA
2
6
8
106111,2100425,8
3,01070R
kWP 830,3106111,2
1002
3,0100425,8
1083,31083,36
33
LAV
PqG
3910587,1
m
WqG
hA
PTTTThAP PP )(
3,0)102,3(1010
1083,395 33
3
PT
CTo
P 222
k
rqTT oG
Pc 4
2
5,224
)106,1(10587,1222
239
cT
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42
RESISTÊNCIA TÉRMICA – Várias Situações
- paredes planas
R
TTq 21
kA
LR
- circuito elétrico
- paredes compostas
- Circuito elétrico
Ainda,
onde
432//
1111
RRRR
5//1 RRRREQ
EQR
TTq 21
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43
- Tubo cilíndrico
R
TTq ei ;
kL
rr
Ri
e
2
ln
- Tubo cilíndrico composto
- Circuito elétrico
ieq RR
Para dois tubos:
Lk
r
r
R1
1
2
1 2
ln
Lk
r
r
R2
2
3
2 2
ln
Lk
r
r
Ri
i
i
eq 2
ln 1
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44
Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor?
Lei de convecção (Newton)
)( TThAq p e
hA
TTq
p
1
onde, hA
1 é a resistência térmica de convecção
- Circuito elétrico
Para o caso em que houver convecção em ambas as paredes:
- Convecção em tubo cilíndrico
LkA
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45
Tabela-resumo de Resistências Térmicas
Circuito Elétrico
Fluxo de
Transferência
de calor
Resistências Térmicas
Parede plana
R
TTq 21
kA
LR
Parede plana com convecção
R
TTq 21
321 RRRR
AhkA
L
AhR
21
11
Paredes compostas
EQR
TTq 21
5//1 RRRREQ
432//
1111
RRRR
Tubo cilíndrico
R
TTq ei
kL
rr
Ri
e
2
ln
Tubo cilíndrico composto
eq
ei
R
TTq
Lk
r
r
Ri
i
i
eq 2
ln 1
Convecção externa em tubo cilíndrico
eq
ei
R
TTq
hAkL
rr
Ri
e
eq
1
2
ln
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46
COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR U O coeficiente global de transferência de calor é definido por:
totalTUAq
Claramente, U está associado com a resistência térmica,
- parede plana
AhkA
L
AhR
21
11
TUAR
Tq
RUA
1 ou
RAU
1
Logo,
21
111
hk
L
h
U
- tubo cilíndrico
Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à área interna do tubo, iU , ou à área externa, eU . No entanto, os dois valores são
intercambiáveis mediante a seguinte expressão:
totaliitotalee TAUTAU
Logo, iiee AUAU
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47
U referido à área externa:
e
rr
e
e
hkL
AU
i
e 1
2
ln1
U referido à área interna:
ee
irr
i
i
hA
A
kL
AU
i
e
2
ln
1
RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO TÉRMICO As tubulações que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isoladas do meio
ambiente a fim de restringir a perda (ou ganho) de calor do fluido, que implica em
custos e ineficiências. Aparentemente, alguém poderia supor que a instalação pura e
simples de camadas de isolantes térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais
pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta
operação.
Como visto, o fluxo de calor é
hLrkL
TTq
e
rr
i
i
e
2
1
2
ln
ou, hrk
TTLq
e
rr
i
i
e 1ln
)(2
Note que o raio externo que aparece no
denominador dessa expressão tem duas
contribuições: uma no termo de condução e a
outra no termo de convecção. De forma que, se
o raio externo do isolamento aumentar, ele
diminui uma das resistências térmicas (a de convecção), enquanto que a resistência
térmica de condução aumenta. Isto está ilustrado no gráfico acima e dá origem a um
ponto de maximização. Do cálculo, sabe-se que a máxima transferência de calor ocorre
quando a derivada é nula, isto é,
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48
h
krcrit
2.
1
.
12
1ln
)(20
erhe
rk
hrk
TTL
dr
dq
e
rr
i
ei
e
Assim,
2
11
ee hrkr
critr é o chamado raio crítico de isolamento.
Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor que h
k a transferência de calor
será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio
crítico – conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao
desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de
isolamento for maior que a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão
de fato diminuir a perda de calor.
Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por
convecção de h = Cm
Wo27 (convecção natural). A tabela a seguir indica os raios críticos
de isolamento para alguns isolantes térmicos.
material
CmW
ok critr (mm)
Teflon 0,350 50,0 Papel 0,180 25,7 Couro 0,159 22,7
Borracha macia 0,130 18,6 Silicato de cálcio 0,055 7,9
Lã de vidro 0,038 5,4 Poliestireno expandido 0,027 3,9
Folhas de papel e alumínio de
vidro laminado 0,000017 0,0024
Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro transferência de calor e massa,
Çengel 5.1 Um fio com 3 mm de diâmetro e 5 m de comprimento com isolante de plástico, espessura de 2 mm e condutividade térmica, k = 0,15 W/m°C. Medições elétricas indicam que passa uma corrente de 10 A pelo fio e a queda de tensão ao longo do fio é de 8 V. O isolamento de plástico fica exposto ao ar com T∞ = 30°C e o coeficiente de transferência de calor, h = 12W/m
2°C.
Determine a temperatura na superfície de contato entre o fio e o isolante em operação de regime permanente, e determine o raio crítico.
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49
Hipóteses: 1. Regime permanente 2. A condução de calor unidimensional 3. As propriedades físicas constantes 4. A resistência de contato entre fio e o isolante é desprezível 5. A transferência de calor por radiação está incluída no
coeficiente de transferência de calor Solução: A taxa de transferência de calor do fio para o isolante é igual a taxa de geração de calor produzido devido à resistência, assim podemos obter: ̇ = ̇� = � = � = A área da superfície externa, � = � � � = � , � � = , � E as resistências apresentadas são dados por: � � = ℎ� = � °� , � = , °�
�� �� = ln ����� = ln ,, � , �°� � = , °�
Portanto: �� = �� �� + � � = , + , = , °�� ̇ = �1−�∞������ → determinando a temperatura na superfície de contato entre o fio e a capa de
plástico: � = �∞ + ̇ �� = °� + , °�� = °� Ainda determinamos o raio crítico do isolamento: �� = �ℎ = , �°�� °� = , � = , ��
O raio crítico, rcr , com o aumento da espessura da capa de plástico a taxa de transferência de calor aumenta se a temperatura da superfície de contato permanecer constante. Este comportamento ocorre até que o raio da capa plástico atinja o raio crítico.
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AULA 6 - ALETAS OU SUPERFÍCIES ESTENDIDAS
Considere uma superfície aquecida (ou resfriada) que se deseja trocar calor com um
fluido que a envolve que está à temperatura T∞.
Da lei de resfriamento de Newton, vem que o fluxo de calor trocado é dado por
TThAq s , onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a
área de troca de calor e Ts e T∞ são as temperaturas da superfície do fluido (ao longe).
Por uma simples análise, sabe-se que a transferência de calor pode ser melhorada, por
exemplo, aumentando-se a velocidade do fluido em relação à superfície. Com isso,
aumenta-se o valor do coeficiente de transferência de calor h e, por conseguinte, o
fluxo de calor trocado. Porém, há um preço a pagar e este preço é o fato que vai se
exigir a utilização de equipamentos de maior porte para movimentação do fluido, ou
seja, maiores ventiladores (ar) ou bombas (líquidos).
Uma forma muito empregada de se aumentar a taxa de transferência de calor consiste
em aumentar a superfície de troca de calor com o emprego de aletas, como as ilustradas
abaixo.
Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transferência de calor pelo
aumento da área exposta ou de contato entre a superfície aquecida e o fluido.
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 51
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Alguns poucos exemplos de aplicação de aletas:
(1) camisa do cilindro de motores de combustão interna resfriados a ar, como os do
“velho” fusca e motores de motocicletas;
(2) carcaça de motores elétricos;
(3) condensadores e evaporadores, como os de aparelhos de ar condicionado;
(4) dissipadores de componentes eletrônicos e de CPUs de computadores;
(5) orelhas de elefantes.
TIPOS DE ALETAS
A figura abaixo ilustra uma série de exemplos de aletas. Evidentemente, existem
centenas ou milhares de formas construtivas que estão, muitas das vezes, associadas ao
processo construtivo das mesmas (extrusão, soldagem, etc).
(j) (k)
Figura 1– Diferentes tipos de superfícies aletadas, de acordo com Kreith e Bohn. (a)
aleta longitudinal de perfil retangular; (b) tubo cilíndrico com aletas de perfil
retangular; (c) aleta longitudinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil
parabólico; (e) tubo cilíndrico equipado com aleta radial; (f) tubo cilíndrico equipado
com aleta radial com perfil cônico truncado; (g) pino cilíndrico; (h) pino cônico
truncado; (i) pino parabólico; (j) fotografias de tipos de aletas radiais; (k) dissipador de
calor
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EQUAÇÃO GERAL DA ALETA
Volume de controle
elementar, C
Hipóteses:
- regime permanente;
- temperatura uniforme na seção transversal;
- propriedades constantes.
Balanço de energia
convecçãopCVdo
saiquequecalordefluxo
III
conduçãopCVo
deixaquequecalordefluxo
II
conduçãopCVno
entraquecalordefluxo
I
/../../..
(I) dx
dTkAq xx
(II) )( 2dxodxdx
dqqq x
xdxx expansão em série de Taylor
(III) )TT(hAq Lc
)( TThPdxqc
P : perímetro “molhado”, isto é, o perímetro da superfície externa (área lateral, AL) da
aleta que se encontra em contato com o fluido.
Substituindo-se as equações acima no balanço global de energia, vem:
dxTThPdxdxdx
dqqq x
xx )(
0)( TThPdx
dqx
Ou, substituindo a lei de Fourier da condução:
0)(
TThPdx
dTA
dx
dk
Sendo dTdTT
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mxmx ececx 21)(
0
k
hP
dx
dA
dx
d Esta é a equação geral da Aleta
)(x que é a distribuição de temperaturas ao longo da aleta;
)(xAA que depende da geometria da aleta (deve ser conhecida).
ALETA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE: RETANGULAR
Do ponto de vista matemático, a equação de aleta mais simples de ser resolvida é a de
seção transversal constante como, por exemplo, uma aleta prismática de seção
transversal retangular ou circular. Assim, da equação geral com A = cte, vem:
02
2
2
m
dx
d,
kA
hPm 2
A solução é do tipo: ,
Essa solução provém do polinômio característico, o qual possui duas raízes reais e
distintas (m e –m) . Veja a seção “ lembrete de cálculo” abaixo.
Determinação das constantes 1c e
2c vêm das condições de contorno:
a1 Condição de Contorno
TT
TTxpara
bb
b
)0(
)0(0
0
2
0
1
ececb
bcc 21
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LEMBRETE DE CÁLCULO
Solução geral de equação diferencial homogênea de a2 ordem e coeficientes constantes
02
2
cydx
dyb
dx
yd
Assume-se que nxey
Substituindo essa solução, vem
02 nxnxnx cebneen nxe
Daí, obtém-se o polinômio característico
02 cbnn
Caso 1: 1n e
2n reais e distintos
xnxn
ececy 21
21
Caso 2: 1n e
2n reais iguais
xnxn
xececy 11
21
Caso 3: conjugados complexos
qipn 1; qipn 2
)]()cos([ 21 qxsencqxcey px
Onde, 2
bp ;
2
4 2bcq
A outra relação entre as condições de contorno depende do tipo de aleta, conforme
os casos (a), (b) e (c), abaixo estudados:
(a) aleta muito longa Nesse caso, admite-se que a aleta é muito longa e sua
extremidade já atingiu a temperatura do fluido. Do ponto de
vista matemático uma aleta muito longa pode ser
simplificada como uma aleta de comprimento “infinito”, isto é:
0 ouTTx
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x
kA
hP
b
mx
b ex
ex )(
)(
Assim,
b
mxmx
xccececlim
2121 00
De forma que, a distribuição de temperaturas nesse caso é:
Ou, substituindo a definição de , vem:
O fluxo de calor total transferido pela aleta
O fluxo de calor total transferido pela aleta pode
ser calculado por dois métodos:
(1) aletabasecondaleta qq . (o fluxo de calor total
transferido é igual ao fluxo de calor por condução na base da aleta)
(2) dxTThPqaleta )(0
(o fluxo de calor total transferido é a integral do
fluxo de calor convectivo ao longo de toda a superfície da aleta)
Usando o método (1), vem:
00
x
b
x
baletadx
dkA
dx
dTkAq
Mas, cteAAb
0
)(
x
mx
b
mx
baleta emkAedx
dkAq
kA
hPkAq baleta
hPkAq baleta ou )( TThPkAq baleta
Pelo outro método (2):
x
kA
hP
bb
eTT
T)x(T)x(
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mLmL
mL
bee
ec 1
dxhPqaleta
0
; cteP
dxehPq mx
baleta 0
bbmb
mx
bmx
baleta hPkAm
hPe
m
hP
m
ehPdxehPq
1limlimlim
00
ou, )( TThPkAq baleta o mesmo resultado anterior!
(b) caso em que a extremidade da aleta é adiabática
(finito) Nesse caso, admite-se que a transferência de calor na
extremidade da aleta é muito pequena. Portanto,
admite-se que é adiabático:
LxLx dx
d
dx
dT
0 (extremidade adiabática), ou 021 mxmx ececdx
d
De onde, se obtém, mLmL
mL
b
ee
ec
2
Mas como bcc 21 , então:
Logo, substituindo na equação, vem:
mx
c
mLmL
mLmx
c
mLmL
mL
b
eee
ee
ee
e
21
Ou
2/
2/)()(
mLmL
xLmxLm
b ee
ee
ou
mLcosh
)xL(mcosh
T)x(T
T)x(T)x(
bb
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)mL(senh
mkhmLcosh
)xL(msenhmk
h)xL(mcosh
T)x(T
T)x(T)x(
bb
)mL(senh
mkh)mLcosh(
)mL(conhmk
h)mL(senh)TT(hPkAq b
Lembrete de funções hiperbólicas:
FUNÇÃO DEFINIÇÃO DERIVADA )(xsenh
2
xx ee
)cosh(x
)cosh(x
2
xx ee
)(xsenh
tanh �
)cosh(
)(
x
xsenh
)(sec 2 xh
O fluxo de calor total transferido pela aleta
O mesmo resultado do caso anterior
00 cosh
)(cosh
x
b
x
aletamL
mxL
dx
dkA
dx
dkAq
)()cosh(
)(m
mL
mLsenhkA b
)(mLtghmkA b
)LkA
hP(tghhPkAq b
(c) aleta finita com perda de calor por convecção na extremidade
Caso realista.
Condição de contorno na extremidade:
em
)( TThdx
dTkLx L
Lx
condução na extremidade = convecção
Distribuição de temperaturas
Fluxo de calor
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 58
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Tabela Resumo. Distribuição de temperaturas e perda de calor em aletas de seção
transversal uniforme.
Caso
Condição de
contorno na
extremidade � = �
Distribuição de Temperatura
Fluxo de Calor
a
Aleta muito
longa
x
kA
hP
bb
eTT
TxTx )()(
)TT(hPkAq baleta
b
Extremidade
adiabática
mL
xLm
TxT
TxTx
bb cosh
)(cosh
)(
)()(
)mL(tghhPkA)TT(q b
c
Convecção na
extremidade
(caso real)
)(cosh
)()(cosh
)(
)()(
mLsenhmk
hmL
xLmsenhmk
hxLm
TxT
TxTx
bb
)()cosh(
)()()(
mLsenhmk
hmL
mLconhmk
hmLsenhTThPkAq b
� = √ℎ���
Comprimento Corrigido de Aleta
Em muitas situações, costuma-se usar a solução do caso (b) – extremidade adiabática –
mesmo para os casos reais. Para isso, usa-se o artifício de “rebater” a metade da
espessura t para cada lado da aleta e definir o chamado comprimento corrigido de aleta,
LC. Com isso, usa-se o caso (b) de solução mais simples.
b
t
L t/2
Lc=L+t/2
2/tLLc
L t/2
Lc
O erro introduzido por
essa aproximação será
menor que 8% desde que
5,0k
ht
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 59
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Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro fundamentos de transferência
de calor e massa, Incropera 6.1 Tubos de cobre foram fixados à placa absorvedora de um coletor solar plano, conforme
mostrado na figura.
A placa absorvedora, feita com a liga de alumínio (2024-T6), possui 6 mm de espessura e é
isolada termicamente na sua superfície interior. Há vácuo no espaço que separa a superfície
superior da placa e a placa de cobertura transparente. Os tubos encontram-se espaçados entre si
por uma distância L de 0,02 m e água escoa nos tubos para remover a energia coletada. A água
pode ser suposta estar a uma temperatura uniforme Ta=60°C. Em condições de operação em
regime permanente, nas quais o fluxo radiante liquido na superfície absorvedora é de �′′ = W/m
2. Nessas condições, quais
são a temperatura máxima na placa e
taxa de transferência de calor para a
água por unidade de comprimento do
tubo? Note que �′′ representa o
efeito líquido da absorção da radiação
solar pela placa absorvedora e da troca
de radiação entre placa absorvedora e
a placa de cobertura. Você pode supor
que a temperatura da placa
absorvedora exatamente acima de um
tubo seja igual à da água.
Hipótese: 1. Regime permanente
2. Condução unidimensional
3. Absorção de radiação uniforme na superfícia da placa
4. A perda por cndução no isolamento é desprezível
5. A perda de calor por convecção é desprezível
6. A temperatura da placa absorvedora no ponto x=0, a temperatura da placa é igual da água
na entrada
Solução: Pela tabelas de propriedades, temos que: � = ��°� , a placa absorvedora atua
como uma superfície estendida (aleta), e a equação diferencial que descreve a distribuição de
temperatura pode ser obtida com o balanço de massa no volume de controle:
Obtemos: ��′ + �′′ �� − ��+ �′ = , sendo que ��+ �′ = ��′ + �′� �� e , ��′ = −�� �� Então temos: �′′ − � [−�� ��] = ou
�� + ���′′�� =
Integrando duas vezes, a solução geral para a distribuição de temperatura é dada por: � � = − �′′�� � + � +
Aplicando as condições de contorno: � = � → = � ��|�= = → = ���′′ ���
Consequentemente: � � = ���′′�� � − � + � , a temperatura máxima na placa absorvedora, o
qual ocorre em � = �, é dado por:
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�� � = � ( ) = �′′ �� + � A taxa de energia coletada por tubo pode ser obtido a equaçãod a lei de Fourierno ponto, � = .
Essa é a energia transferido para o tubo por condução proveniente da placa absorvedora,
portanto: �′ = [−� � ��|�= ] consequentemente, multiplicando-se por 2, pois, o calor vem dos dois
lados temos: �′ = − �′′′
Portanto: �� � = 8 �� , �8 [ 8 �� ] , 6 � + ° ou �� � = , ° �′ = − , � 8 �� ou �′ = − ��
6.2 Uma barra de latão de 100 mm de comprimento de 5 mm de diâmetro se estende
horizontalmente de um molde de fundição a 200°C. a barra está no ar ambiente com T∞=20°C e
h=30 W/m2K. Qual é a temperatura da barra a 25, 50 e 10 mm a partir do molde?
Hipótese:
1. Regime estacionário
2. Condução unidimensional
3. Propriedades físicas e, h,
são constantes
4.Radiação é desprezível
Da tab ela de propriedades dos materiais, latão k=133 W/mK.
� = [ ℎ��� ] = [ ℎ��� ] = [ ℎ� ] = [ �� , � ] � = , �− Ainda de acordo com a tabela de resumo de distribuição de temperatura, a distribuiçãod e
temperatura tem a seguinte forma: � = c sh � �−� + ℎ/�� se h � �−�c sh ��+ ℎ�� se h �� � as relações ℎ�� = ��, �− �� = ,
Sabendo que � = ° , a distribuição de temperatura é dada por: � = cosh � − � + , senh � − �, °
A partir da equação descrita acima é possivel encontrar a temperatura para cada distância
obtendo a tabela abaixo:
m (m) Cosh m(L-x) Senh m(L-x) � � ° � = , 1,55 1,19 136,5 156,5 � = , 1,24 0,725 108,9 128,9 = , 1 0 87 107
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61
AULA 7 – EFICIÊNCIA E EFETIVIDADE DE ALETAS Eficiência de Aleta A teoria desenvolvida na aula anterior é bastante útil para uma análise em detalhes para o projeto de novas configurações e geometrias de aletas, bom como para comparar entre si o desempenho de diferentes tipos de aletas. Para alguns casos simples, existem soluções analíticas, como foi o do caso estudado da aleta de seção transversal constante. Seções geométricas irregulares ou que envolvem condições de contorno mais complexas podem ser resolvidas mediante solução numérica da equação diferencial geral da aleta. Porém, existe um método de seleção de tipos de aletas baseado no chamado método da eficiência da aleta. Sendo que a eficiência de aleta,
A , é definida por
idealcasobase.tempàestivessealetaacasootransmitidseriaquecalorfluxo
realcasoaleta/potransmitidcalordefluxoA
q
qb
qb= cte
L
Pode ser utilizado o comprimento corrigido, dado por: Lc = L+ t/2
Para o caso estudado na aula anterior da aleta retangular de extremidade adiabática, a
aplicação da definição de eficiência de aleta resulta em:
c
c
bc
cbA
mL
mLtgh
hPL
mLtghhPkA )()(
qq , com
kA
hPm
Por outro lado, o perímetro molhado é dado por
btbP 2)(2 (para t << b, aleta fina), sendo btA , de onde se obtém:
cc Lkt
hmL
2
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Cálculo do Fluxo de Calor Através da Aleta Da definição de eficiência de aleta, o fluxo de calor real transferido pela aleta, qA, pode ser obtido por meio de maxqq AA , onde o máximo fluxo de calor transferido, qmax, é
aquele que ocorreria se a aleta estivesse toda à temperatura da base, isto é:
bahAq qmax ,
onde, Aa é a área total exposta da aleta e TTbbq
Assim, o fluxo de calor real transferido pela aleta é:
baaA hAq q
Note que a eficiência da aleta, a , selecionada sai de uma tabela, gráfico ou equação.
Na sequência deste texto há uma série de gráficos para alguns tipos de aletas. Deve-se usar aleta quando:
(1) h é baixo (geralmente em convecção natural em gases, como o ar atmosférico) (2) Deve-se usar um material de condutividade térmica elevado, tais como cobre e
alumínio, por razões que veremos adiante. O alumínio é superior devido ao seu baixo custo e baixa densidade. Exemplo de Aplicação Em um tubo de diâmetro externo de 2,5 cm são instaladas aletas circulares de alumínio por um processo de soldagem na superfície. A espessura das aletas é de 0,1 cm e o diâmetro externo das mesmas é de 5,5 cm, como ilustrado. Se a temperatura do tubo for de 100oC e o coeficiente de transferência de calor for de 65 W/m2
K, calcule o fluxo de calor transferido pela aleta.
Solução Trata-se de aleta circular de alumínio. O valor da condutividade térmica é de 240 W/moC (obtido por consulta a uma tabela de propriedades termofísicas dos sólidos). Vamos calcular os parâmetros do gráfico correspondente dado na página 63 à frente.
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63
mt
LLmL
mt
c 0155,02
015,001,02
)5,25,5(
001,0
255,01055,1240650155,0 1055,1001,00155,05,055,12123
c25
PcP kAhLmtLA
Para o uso do gráfico (pg.63), precisamos ainda da razão entre o raio externo corrido e o raio interno da aleta.
24,225,1
2/1,075,22/
1
2
1
2
r
tr
r
r c Com esses dois parâmetros no gráfico, obtemos
%91A . Assim, o fluxo de calor trocado pela aleta é: , 5,177500394,06591,0 WhAq baaA q Já que a área exposta da aleta, vale,
. 00394,02 221
22 mrrA ca
Exemplo de Aplicação (cont...) Admitindo que o passo das instalações da aleta é de 1 cm, qual deve ser o fluxo de calor
total transferido pelo tubo, se o mesmo for de 1 m de comprimento.
Solução O tubo terá 100 aletas. O fluxo de calor trocado por aleta já é conhecido do cálculo anterior. O fluxo de calor da porção de tubos sem aletas será:
aletas. há não que em tubodo área a é onde ),( sassasa ATThAq
221 07068,0 8,7061,010010025,12)(2 mcmtNLrA aTsa
Assim, Wqsa 6,344)25100(07068,065 O fluxo de calor trocado pelas 100 aletas será Wqca 17505,17100 Finalmente, o fluxo total de calor trocado pelo tubo será
Wqqq casaT 5,209417506,344 e %6,83%1002095
1750%
Como se vê, a instalação das aletas aumenta consideravelmente a transferência de calor.
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64
Ap – área de seção transversal de aleta
Tipo Aa área total exposta da aleta
b – largura da aleta Lc = L-corrigido t = espessura
Retangular cbL2
Triangular 2/122 )2/(2 LLb
Parabólica 2/122 )2/(05,2 LLb
Anular 2/121
222 rrb c
Fluxo de calor transmitido pela aleta:
baahAq qÁrea total da aleta
Eficiencia da aleta (f da figura)
TTbbq
base Aa é a área total exposta da
aleta Para obter a eficiência da aleta, use os dados geométricos disponíveis e os indicados nos gráficos. Uma vez obtida a eficiência da aleta, calcule o fluxo real de calor através da simples expressão acima. Comentários: Aleta triangular (y ~ x) requer menos material (volume) para uma mesma dissipação de calor do que a aleta retangular. Contudo, a aleta de perfil parabólico é a que tem melhor índice de dissipação de calor por unidade de volume (q/V), mais é apenas um pouco superior ao perfil triangular e seu uso é raramente justificado em função de maior custo de produção. A aleta anular é usada em tubos.
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65
Efetividade da Aleta
Como visto, a eficiência de aleta é somente um procedimento de seleção de tipos
de aletas, já que uma tabela, gráfico ou equação fornece as eficiências das aletas e os
cálculos se dão a partir desse ponto. Mas, é preciso continuar com a análise para
determinar se, de fato, haverá incremento ou não da transferência de calor com a
instalação de aletas. Claro que está informação é crucial para que o engenheiro decida
pela instalação de aletas. Para que se possa seguramente tomar uma decisão sobre a
vantagem ou não da instalação de aletas, deve-se lançar mão do método da efetividade
de aleta, . Nesse método, compara-se o fluxo de calor através da aleta com o fluxo de
calor que o ocorreria caso ela não tivesse sido instalada. Lembrando que caso a aleta
não existisse, a transferência de calor em questão ocorreria através da área da base da
aleta, Ab. Assim, define-se a efetividade como sendo a razão entre o fluxo de calor
através da aleta pelo fluxo de calor através da base da aleta, ou seja:
bb
aleta
aletas
aleta
hA
q
q
q
q
/
Ab, Tb
O fluxo de calor sem a aleta, q s/aleta, é o que ocorreria na base da aleta, conforme
ilustração acima. Como regra geral, justifica-se o caso de aletas para ε > 2.
Para aleta retangular da extremidade adiabática
bb
cb
hA
mLtghhPkA
)(
Nesse caso: A = Ab e, portanto, kPhA
mLtgh c
/
)(
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66
Exemplos de Aplicação Exemplo de aplicação 1 – Uma aleta de aço inoxidável, seção circular de dimensões L
= 5 cm e r = 1 cm, é submetida à três condições de resfriamento, quais sejam:
A – Água em ebulição; h = 5000 W/m2K B – Ar – convecção forçada; h = 100 W/m2K C – Ar – Convecção natural; h = 10 W/m2K Calcule a efetividade da aleta, para os seguintes dados: - k aço inox = 19 W/m K (obtido de uma tabela de propriedades de transporte) - Comprimento corrigido: Fórmula 2/rLLc
L= 5cm
Solução:
kPhA
mLtgh c
/
)( , com
hh
kr
h
rk
rh
kA
hPm 24,3
01,0.19
2222
e 2/01,005,024,3 hmLc , ou
seja: hmLc 178,0 .
No denominador tem-se: hh
k
hr
rk
rh
kP
hA0162,0
19.2
01,0.
22
2
.
Substituindo estes dois resultados na expressão da efetividade, vem:
h
htgh
0162,0
)178,0(
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67
Agora, analisando os três casos (valores diferentes de h)
Caso A : h = 5000 W/m2 K 873,0145,1
1
50000162,0
)5000178,0(
tgh
Caso B : h = 100 W/m2 K 833,5162,0
945,0
1000162,0
)100178,0(
tgh
Caso C : h = 10 W/m2K 0,10051,0
510,0
100162,0
)10178,0(
tgh
Comentário - Como visto, a colocação da aleta nem sempre melhora a transferência de calor. No
caso A, por exemplo, a instalação de aletas deteriora a transferência de calor, já que ε<1.
Um critério básico é que a razão hA/Pk deve ser muito menor que 1 para justificar o uso
de aletas.
Caso (A) 31,1kP
hA
Caso (B) 026,0kP
hA
Caso (C) 00262,0kP
hA
- Informação importante: A aleta deve ser colocada do lado do tubo de menor coeficiente de transferência de calor, que é também o de maior resistência térmica. Exemplo de aplicação 2 – Considerando o problema anterior, suponha que a aleta seja
constituída de três materiais distintos e que o coeficiente de transferência de calor seja h
= 100 W/m2 oC. Calcule a efetividade para cada caso.
Das tabelas de propriedades de transporte dos materiais, obtém-se: A – Cobre k = 368 W/m K B – Aço inox k = 19 W/m K C – Alumínio k = 240 W/m K Solução:
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68
kkkr
hm
4,141
01,0.
100.22 e, portanto,
kkmLc
76,72/01,005,0
4,141
No denominador, agora temos: kkk
hr
kP
hA
2
1
2
01,0.100
2
Substituindo ambos os resultados, obtém-se:
)/76,7(2 ktghk Caso (A): k = 368 W/m K (cobre) ε = 10,7 Caso (B): k = 19 W/m K (aço inox) ε = 5,8 Caso (C): k = 240 W/m K (alumínio) ε = 10,1 Comentário: O material da aleta é bastante importante no que tange a efetividade de uma aleta. Deve-
se procurar usar material de elevada condutividade térmica (cobre ou alumínio).
Geralmente, o material empregado é o alumínio por apresentar várias vantagens, tais
como:
(1) É fácil de ser trabalhado e, portanto, pode ser extrudado;
(2) Tem custo relativamente baixo;
(3) Possui uma densidade baixa, o que implica em menor peso final do
equipamento;
(4) Tem excelente condutividade térmica.
Em algumas situações as aletas podem ser parte do projeto original do equipamento e
serem fundidas juntamente com a peça, como ocorre com as carcaças de motores
elétricos e os cilindros de motores resfriados a ar, por exemplo. Nesse caso, as aletas são
feitas do mesmo material da carcaça do motor.
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69
Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro fundamentos de transferência
de calor e massa, Incropera
7.1 Como mais e mais componentes são colocados em um circuito integrado individual (chip), a taxa de calor que é dissipada tende a aumentar. Por outro lado, esse aumento está limitado pela temperatura máxima permitida de operação do chip, que é aproximadamente 75°C. Para maximizar a dissipação de calor propõe-se utilizar uma matriz 4x4 de aletas de cobre em forma de pino que podem ser fixadas através de processos metalúrgicos à superfície externa de um chip quadrado de 12,7 mm de lado. (a)Esboce o circuito térmico equivalente para a montagem pino-chip-placa, admitindo condições de estado estacionário unidimensional e resistência de contato desprezível entre os pinos e o chip. Numa forma variável, enumere as resistências apropriadas, temperaturas e taxas de calor. (b)Para as seguintes condições: Rt,c=10
-4 m
2K/W, Lb= 5 mm, kb = 1 W/m
oC, T∞,0= T∞,i = 20°C;
hi=40W/m2o
C, h0=250W/m2o
C, qual é a máxima taxa na qual o calor pode ser dissipado no chip quando os pinos estão no lugar? Isto é, qual é o valor de qc para Tc=75°C? O diâmetro e o comprimento do pino são Dp=1,5 mm e Lp=15 mm.
Hipóteses: 1. Regime permanente 2. Condução unidimensional 3. A resistência de contato entre o
chip e pino é desprezível 4. Propriedades físicas são
constante 5. A resistência térmica do chip é
desprezível 6. A temperatura no chip é
uniforme Solução: a) O esquema da resistência térmica é dado pela figura abaixo:
Tendo a dissipação de calor pela a placa inferior, qi, e a dissipação e calor pelas aletas, qt.
A energia dissipada pela placa é dada por: �� = � −�∞,�(ℎ�+� ,′′ +� )/�
Já a energia dissipada pelas aletas é dada por: � = � −�∞,� ,
A resistência das aletas é dada por � , = ℎ � − , onde = − �� − ; � = � + � e � = �� = �� + � .
b) Fazendo alguns cálculos para aleta e substituindo os valores na equações acima, obtemos � .
� = ��; � = √ ℎ �� ; = tanh �� ; � = � � ;� = � = � ; � = �� Resolvendo as equações obtemos que � = , � e �� = , �, consequentemente � = , �
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70
7.2 Água é aquecida por meio de um tubo de cobre de 50 mm de diâmetro submerso em um tanque. Gases quentes de combustão (Tg=750 K) escoam no interior do tubo. Para aumentar a transferência de calor para água, quatro aletas planas de seção transversal uniforme formando um cruzamento são inseridas em cada tubo. As aletas possuem 5 mm de espessura e também são feitas de cobre (k = 400 W/m
oC). Se a temperatura da superfície do tubo é Ts =350 K e o
coeficiente de transferência de calor por convecção do lado do gás é hg = 30W/m2o
C, qual a taxa de transferência de calor para á água por metro de tubo?
Hipóteses: 1. Regime permanente 2. Condução unidimensional 3. Propriedades físicas constantes 4. A radiação térmica é desprezada 5. O coeficiente de convecção são constantes 6. O tubo cilíndrico pode ser adotado como uma
placa plana com aletas retangulares e com a superfície da ponta adiabática Solução:
A taxa de transferência de calor por unidade de tubo: �′ = ℎ�′ �� − � = − �′�′ − �′ = = , � = , � �′ = �′ + �′ = , � + �� − � = , � + � x , � − x , � = , � Para aletas com a ponta adiabática temos, = � � = tanh �ℎ x � −� , lembrando que, � = x �, e neste problema está sendo calculado
por metro de tubo, ou seja, = �. = √ℎ� � = [ ℎ � + � � � x � ] (�� − � )≈ [ �� � �� , � ] = �
� = √ ℎ��� = { ℎ � + �� � x � } / = [ �� ��� , � ] / , � = ,
E ainda temos que tanh � = , = � ,�� , � = � � = ,
= − ,, − , = ,
�′ = , �� , � = ��
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71
AULA 8 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSITÓRIO – SISTEMA CONCENTRADO
Introdução
Quando um corpo ou sistema a uma dada temperatura é bruscamente submetido a novas
condições de temperatura como, por exemplo, pela sua exposição a um novo ambiente de
temperatura diferente, certo tempo será necessário até que seja restabelecido o equilíbrio
térmico. Exemplos práticos são aquecimento/resfriamento de processos industriais,
tratamento térmico, alimentos colocadas na geladeira, materiais inseridos em fornos, entre
outros. No esquema ilustrativo abaixo, suponha que um corpo esteja inicialmente a uma
temperatura uniforme T0. Subitamente, é exposto a um ambiente que está a uma
temperatura maior T∞2. Uma tentativa de ilustrar o processo de aquecimento do corpo está
indicada no gráfico temporal do esquema. A forma da curva de aquecimento esperada é, de
certa forma, até intuitiva para a maioria das pessoas, baseado na própria experiência
pessoal.
T0
1T
10 TT
Tempo t=0
2T
2T
T0
t
t
T(t)
Uma análise mais detalhada e precisa do problema do aquecimento do exemplo
ilustrativo acima vai, entretanto, indicar que o aquecimento do corpo pode não ocorrer de
forma uniforme no seu interior. Na ilustração que segue, indica-se de forma ilustrativa a
temperatura na no centro Tc, e numa posição qualquer na superfície Ts. Note que as curvas
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72
de aquecimento não são iguais. Isto indica que a variação da temperatura no corpo não é
uniforme dentro do corpo, de uma forma geral. Esta análise que envolve o problema da
difusão interna do calor é um pouco trabalhosa do ponto de vista matemático, mas pode ser
resolvida para alguns casos de geometrias e condições de contorno simples, como será visto
na próxima aula. Casos mais complexos podem ser resolvidos de forma numérica.
Entretanto, o interesse da aula de hoje é numa hipótese simplificadora que funciona para
um grande número de casos práticos. A ideia consiste em assumir que todo o corpo tenha
uma única temperatura uniforme a cada instante. Esta hipótese é chamada de sistema
concentrado, objeto de análise na sequência.
2T
T0
t
Ts
T0
TC
2T
T
T0
Sistema
Concentrado
TC
Sistema Concentrado A hipótese é que a cada instante t, o sistema tenha uma só temperatura uniforme T(t).
Isto ocorre em situações nas quais os sistemas (corpos) tenham sua resistência interna à
condução desprezível face à resistência externa à troca de calor externa que, geralmente se
dá por convecção. Para conduzir essa análise, lança-se mão do esquema abaixo de um
corpo a uma temperatura inicial T0 e que, subitamente, é exposto a um ambiente de
temperatura T∞, de forma a que ocorra transferência de calor convectiva.
T0
T
q convecção
TS
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73
O balanço de energia fornece o seguinte esquema
Balança de energia
= Termo (I):
dt
dTc
dt
du
dt
dum
dt
dU
m = massa do corpo; U = energia interna do corpo; u = energia interna específica do corpo; ρ = densidade do corpo; = volume do corpo; c = calor específico do corpo. Termo (II):
)( TThAqconv h = coeficiente transferência de calor por convecção para o fluido circunvizinho; A = área da superfície do corpo em contato com o fluido; T = temperatura instantânea do corpo T = T (t); T = temperatura ao longe do fluido. Assim, pelo esquema do balanço de energia, vem:
)( TThAdt
dTc
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, cuja condição inicial é T(t=0) = T0. Separando as variáveis para se realizar uma integração por partes, vem:
dtc
hA
TT
dT
Taxa temporal de variação de energia
interna do corpo (I)
Fluxo de calor Trocado por convecção
(II)
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74
Por simplicidade, seja dTdTT , então:
dtc
hAd
, ou
t
t
dtc
hAd
00
, do que resulta em:
tc
hA
0
ln .
Finalmente,
tc
hA
e
0
ou t
c
hA
eTT
TT
0
Analogia Elétrica
Essa equação resulta da solução de um sistema de primeira ordem. Soluções desse tipo
ocorrem em diversas sistemas físicos, inclusive na área de eletricidade. Existe uma analogia
perfeita entre o problema térmico apresentado e o caso da carga e descarga de um capacitor,
como ilustrado no esquema abaixo.
V
t
V0 C R
V0
Inicialmente o capacitor C é carregado até uma tenção elétrica V0 (chave ligada).
Depois, a chave é aberta e o capacitor começa a se descarregar através da resistência R.
A solução desse circuito RC paralelo é
RC
t
eV
V
0
Note a Analogia
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75
Elétrica Térmica Tensão, V TT
Capacitância, C c Resistência, R hA/1
Circuito térmico equivalente
V
t
T0
V0
c hA/1
T Constante de tempo do circuito elétrico,
RC
A constante de tempo é uma grandeza muita prática para indicar o quão rapidamente o capacitor se carrega ou se descarrega. O valor de, t , e é o instante em que a tensão do capacitor atingiu o valor de e-1 ~ 0,368
368,011
0
eee
V
V
Com isso, pode-se fazer uma análise muito interessante, como ilustrado no gráfico
abaixo que indica a descarga do capacitor para diferentes constantes de tempo. Quanto maior for a constante de tempo, mais o capacitor demora para atingir o valor de 0,368V0.
V
t
V0
III
III
IV
1 2 3 4
0,368V0
Por analogia, a constante de tempo térmica será:
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76
t
tt
c
hA
eeTT
TT
0
→ hA
ct
Veja o gráfico ilustrativo abaixo para ver a influência da constante de tempo térmica.
tt
TT
TT0
)(368,0 0 TT
Um exemplo interessante da aplicação dos conceitos de transitório térmico é o caso da
medida de temperaturas com sensores do tipo termopar e outros. Esses sensores consistem
de dois fios unidos pelas suas extremidades que formam uma junção. Essa junção é exposta
ao ambiente que se deseja medir a temperatura. Suponha, de forma ilustrativa, um ambiente
que idealmente sua temperatura tem o comportamento ilustrado pela linha cheia no
esquema abaixo, isto é, sua temperatura oscila entre T∞1 e T∞2, de período em período (onda
quadrada). Agora, deseja-se selecionar um sensor que acompanhe o mais próximo possível
o seu comportamento. Três sensores de constantes térmicas diferentes são mostrados. Note
que o sensor de maior constante térmica, 3 , praticamente não “sente” as variações de
temperatura, enquanto que o sensor de menor constante térmica acompanha melhor as
variações de temperatura. Esse exemplo poderia ser o caso de um motor de combustão
interna em que as temperaturas da câmara variam com a admissão e combustão dos gases.
Com esse simples exemplo, mostra-se a importância da constante térmica.
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77
t
10 TT
TT
20 TT
tP 2tP 3tP
12 1
13
A equação que rege o regime transitório concentrado pode ainda ser reescrita para se obter
a seguinte forma
FoBie
TT
TT
0
Onde, Bi é o número de Biot, definido por k
hLBi , e Fo é o número de Fourier, definido
por 2L
tFo
(trata-se de um “tempo” adimensional). Sendo,
h = coeficiente transferência de calor por convecção;
= difusividade térmica;
k = condutividade térmica;
L = comprimento característico do corpo;
O número de Biot é uma razão entre a resistência interna à condução de calor e a resistência
externa à convecção.
Pode-se adotar L como sendo a razão entre o volume do corpo pela sua área exposta à troca
de calor.
expostaárea
corpodoolume
v
A
VL
Para concluir esta aula, deve-se informar o limite da aplicabilidade da hipótese de sistema
concentrado. Mostra-se que a hipótese de sistema concentrado admite solução razoável
desde que:
1,0Bi
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78
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 1 (adaptado de Incropera, ex. 5.1)
Termopares são sensores muito precisos para medir temperatura. Basicamente, eles são
formados pela junção de dois fios de materiais distintos que são soldados em suas
extremidades, como ilustrado na figura abaixo. A junção soldada pode, em primeira análise,
ser aproximada por uma pequena esfera de diâmetro D. Considere um termopar usado para
medir uma corrente de gás quente, cujas propriedades de transporte são: k = 20 W/m K,
c = 400 J/kg K e = 8500 kg/m3. Inicialmente, o termopar de D = 0,7 mm está a 25oC e é
inserido na corrente de gás quente a 200oC. Quanto tempo vai ser necessário deixar o
sensor em contato com o gás quente para que a temperatura de 199,9oC seja indicada pelo
instrumento? O coeficiente de transferência de calor vale 400 W/m2K.
SOLUÇÃO
Comprimento característico: mD
A
VL
43
10167,16
107,0
6
Número de Biot: 34
10333,220
10167,1400
k
hLBi
Da expressão da temperatura, vem 76,320020025
2009,199ln
10333,2
1ln
13
0
TT
TT
BiFo
Dado que 610883,54008500
20
c
k
e
2L
tFo
, vem:
s
LFot 4,7
10883,5
10167,176,32006
242
Comentário: note que o número de Biot satisfaz a condição de sistema concentrado 1,0Bi . Um tempo de 7,4 s é necessário para obter uma leitura precisa de temperatura. O que aconteceria com o tempo se o diâmetro do termopar fosse reduzido à metade?
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79
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2
Melancias são frutas muito suculentas e refrescantes no calor. Considere o caso de uma melancia a 25oC que é colocada na geladeira, cujo compartimento interno está a 5oC. Você acredita que o resfriamento da melancia vai ocorrer de forma uniforme, ou se, depois de alguns minutos a fatia da mesma estará em temperaturas diferentes? Para efeito de estimativas, considere que a melancia tenha 30 cm de diâmetro e suas propriedades de transporte sejam as da água. Considere, também, que o coeficiente de transferência de calor interno do compartimento da geladeira valha h = 5 W/m2oC. Solução: á��� = , �/�°
Cálculo do Nº de Biot � = ℎ , sendo = �
= , = , �
D= 0,3 m � = 0,0 ×0,02 =
Conclusão, a melancia não vai resfriar de forma uniforme. Isto está de acordo com sua experiência?
D = 0,3 m
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80
AULA 9 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSITÓRIO – SÓLIDO SEMI-INFINITO
Fluxo de Calor num Sólido Semi-Infinito
Na aula anterior foi estudado o caso da condução de calor transitória para sistemas
concentrados. Aquela formulação simplificada começa a falhar quando o corpo possui
dimensões maiores e propriedades de transporte tais que a resistência interna à
condução não pode ser desprezada face à resistência externa à convecção (Bi > 0,1).
Soluções analíticas existem para casos em que uma das dimensões é predominante e
muito grande que, em termos matemáticos, é dito infinito. Considere o esquema abaixo
de um sólido com uma superfície exposta à troca de calor (à esquerda) e sua dimensão
se estende à direita para o infinito (daí o nome de semi-infinito). A face exposta sofre
bruscas mudanças de condição de contorno, como se verá.
Condições de contorno
(A) Temperatura constante na face exposta:
TiT0
x
Solução: T(x, t)
Equação geral condução de calor
t
T
k
qT
1'''2
Por não haver geração interna de calor, vem que t
T
x
T
1
2
2
, a qual é submetida as
seguintes condições:
- Condição inicial: iTxT )0,(
- Condição de contorno: 0),0( TtT
Sem apresentar detalhes da solução do problema, prova-se que a distribuição de
temperaturas é dada por:
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81
t
xerf
TT
TT
i 20
0,
Onde, erf é a chamada função erro de Gauss, cuja definição é dada por:
t
x
det
xerf
2
0
22
2
Vista em forma gráfica, esta função tem o seguinte comportamento.
Para valores numéricos de T = T (x,t), veja a Tabela B – 2 do livro do Incropera
e Witt. Note que o seu comportamento se parece com uma exponencial “disfarçada”.
Tabela B-2 do Incropera
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82
Fluxo de calor numa posição x e tempo t
Para se obter o fluxo de calor instantâneo numa dada posição qualquer, basta aplicar a
lei de Fourier da condução. Isto é feito substituindo a distribuição de temperaturas
acima, na equação de Fourier, isto é:
t
x
iix dex
TTkAt
xerfTTT
xkA
x
TkAq
2
0
000
22)()
2()(
t
x
xe
TTkAt
x
i
2
)(240
2
, do que, finalmente, resulta em:
t
x
ix e
t
TTkAq
40
2
)(
(B) Fluxo de calor constante na face exposta:
Neste outro caso, estuda-se que a face exposta está submetida a um fluxo de calor
constante,
Tiq0qx
x
Partindo da equação da condução de calor t
T
x
T
1
2
2
, submetida às seguintes
condições:
- Condição inicial: iTxT )0,(
- Condição de contorno: 0
0
qx
TkA
x
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83
A solução é:
t
xerf
kA
xq
kA
et
q
TT
t
x
i
21
20
4
0
2
NOTA: Obtenha o fluxo de calor!!
(C) Convecção de calor na face exposta
Nesse terceiro caso, analisa-se o caso em que ocorre convecção de calor na face
exposta à esquerda.
Tiqx
x
T
Novamente, partindo da equação da condução de calor sem geração interna, vem:
t
T
x
T
1
2
2
, a qual é submetida às seguintes condições:
- Condição inicial: T (x,o) = Ti
- Condição de contorno:
TtThAx
TkA
x
),0(0
(condução interna =
Convecção)
A solução é:
k
th
t
xerfe
t
xerf
TiT
TT k
th
k
hx
i
21
21
2
2
NOTA: Obtenha o fluxo de calor! – use a Lei de Fourier!
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84
Outros casos de condução transitória de interesse
Placas, chapas, cilindros e esferas são geometrias muito comuns de peças
mecânicas. Quando o número de Biot é pequeno, basta que se use a abordagem de
sistema concentrado. Entretanto, quando isso não ocorre, há de se resolver a equação
geral da condução de calor. No entanto, para essas geometrias básicas, Heisler
desenvolveu soluções gráficas, como mostrado na tabela abaixo.
Tabela – convenção para uso dos diagramas de Heisler
Placas cuja espessura é
pequena em relação as outras
dimensões
Cilindros cujos diâmetros são
pequenos quando comparados
com o comprimento
Esferas
T0 Te
x
2L
T
T
Te r0
r0
rTe
T
TtrTouTtxT ),(),(
TTii
TT00
TTee
Número de Biot: k
hLBi
L – dimensão características (dada no gráfico)
Número de Fourier, Fo (tempo adimensional), definido por
22 cL
kt
L
tFo
Calor total trocado pelo corpo Qi
iii cTTcQ )(
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85
Gráficos de Heisler para uma placa de espessura 2L. Para outras geometrias (esfera e
cilindro): ver Apêndice D do Incropera e Witt
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86
Exemplo:
Uma placa de espessura de 5 cm está inicialmente a uma temperatura uniforme de
425 ºC. Repentinamente, ambos os lados da placa são expostos à temperatura ambiente,
T = 65 ºC com hmédio = 500 W/m2 ºC. Determinar a temperatura do plano médio da placa
e a temperatura a 1,25 cm no interior da mesma, após 3 min.
Dados:
k = 43,2 W/mK
α = 1,19 x 10-5
m2/s
x
5 cm
h
Solução:
2L = 5 cm = 0,05 m → L = 0,025 m
1,0289,02,43
025,0500
k
hLBi
Não se aplica a solução de sistema concentrado. Portanto, use a solução de Heisler. Para
isso, deve-se calcular os parâmetros para os gráficos da página anterior, que são:
45,3289,0
11
Bi e 43,3
025,0
1801019,12
5
20
L
tF
Do diagrama de Heisler (página anterior), vem:
e C,)(C 2274506542565 . Assim,
CT o2270 Na linha de centro após 3 mim
Do gráfico para uma posição qualquer x:
45,3/1 iB
5,0025,0
0125,0/ Lx
95,00
95,0)65227(6595,0)( 0 CCTTTT
CT o9,218 p/ min3,5,0 tL
x
45,3165,0
11
iB
43,30 F
45,00 i
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AULA 10 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME PERMANENTE BIDIMENSIONAL
Condução Bidimensional
Até a presente aula, todos os casos estudados referiam-se à condução de calor
unidimensional em regime permanente, ou seja, não se considerava a distribuição
espacial da temperatura para além de uma dimensão. Também foram estudados os casos
transitórios em uma dimensão. Evidentemente, muitos problemas reais são bi ou
tridimensionais. Soluções analíticas existem para um número limitado de problemas de
condições de contorno e geometrias simples. Os casos mais realistas devem ser
resolvidos de forma numérica. Entretanto, neste curso introdutório é importante que o
estudante tenha uma visão das soluções analíticas existentes e, para isso, é resolvido um
problema clássico que é o método da separação das variáveis para uma placa retangular
bidimensional.
O Método da Separação de Variáveis Seja uma placa retangular, submetida às condições de contorno ilustrados, isto é, todos os lados estão à mesma temperatura T1, exceto o lado superior que está à T2.
y
b
T2
T1
T1
T1
L
T(x,y)
x
Placa retangular com as condições de contorno indicadas, procura-se T (x,y) Equação da condução de calor
t
T
k
qT
1'''2
Hipóteses:
(1) Regime permanente (2) Sem geração interna de calor (3) Bidimensional
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As hipóteses resultam em: 02 T ou 02
2
2
2
y
T
x
T
Condições de contorno – temperaturas dos quatro lados
(1) T(0,y) = T1 (2) T(L,y) = T1 (3) T(x,0) = T1 (4) T(x,b) = T2
É conveniente realizar uma mudança de variáveis
12
1
TT
TT
Condições de contorno na nova variável θ são:
(1) θ(0,y) = 0 (2) θ(L,y) = 0 (3) θ(x,0) = 0 (4) θ(x,b) = 1
A variação elementar de temp. é dTT
dT
12
Então, 02
2
2
2
yx
Esta é a equação da condução na nova variável θ.
A técnica de separação das variáveis supõe que a distribuição de temperaturas θ(x,y)
seja o produto de duas outras funções X e Y as quais, por sua vez, são funções
exclusivas apenas das variáveis do problema x e y, isto é:
yYxXyx ),(
Assim, a derivada parcial em relação à x dessa nova função são:
Primeira derivada: dx
dXY
x
Segunda derivada: 2
2
2
2
dx
XdY
x
Analogamente em relação à y:
Segunda derivada: 2
2
2
2
dy
YdX
y
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 89
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Logo, substituindo essas derivadas segundas parciais na equação diferencial da condução, vem:
02
2
2
2
dy
YdX
dx
XdY
ou, dividindo-se pelo produto XY, vem:
2
2
2
2 11
dx
Xd
Xdy
Yd
Y
É digno de nota que na equação acima o lado esquerdo é uma função exclusiva de y
e o lado direito, uma função exclusiva de x. No entanto, os dois lados da equação são
sempre iguais. Isto implica dizer que cada lado da equação não pode ser nem função de
x, nem de y, já que de outra forma não seria possível manter a igualdade sempre válida.
De forma que a igualdade deve ser uma constante que, por conveniência matemática, se
usa o símbolo 2 . Dessa forma, tem se:
22
21 dx
Xd
X e
22
21 dy
Yd
Y
Note que a equação diferencial parcial original deu origem à duas outras equações
diferenciais comuns ou ordinárias. As soluções dessas duas novas equações são bem
conhecidas (lembre-se do polinômio característico) e são:
xsenCxCxX 21 cos , e
yy eCeCyY 43
De forma que, voltando à variável original, yYxXyx ),( , a solução global é:
yy eCeCxsenCxCyx 4321 .cos,
A obtenção das constantes depende das condições de contorno impostas. Assim:
Da 1a Condição de contorno: θ(0,y) = 0
0.0.0.cos,0 4321 yy eCeCsenCCy
De onde se conclui que a única possibilidade é que 01 C
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Agora, da 3ª condição de contorno: θ(x,0) = 0
432 .0 CCxsenC
de onde se obtém que 043 CC 43 CC
Da 2ª condição de contorno: θ(L,y) = 0
)(.0 42yy eeCLsenC
mas, como simultaneamente as duas constantes não podem ser nulas, isto é:
042 CeC , logo, deduz-se que 0)( Lsen
Os possíveis λ que satisfazem essa condição são: nL
ou, seja L
n n = 1,2,3, .....
nota: λ = 0, resulta na solução trivial e não foi considerada. λ são os autovalores.
Portanto, a distribuição de temperaturas até o presente é:
)(
42 22,
L
ynsenh
L
yn
L
yn
C
n
ee
L
xnsenCCyx
n
ou, seja )()(,L
ynsenh
L
xnsenCyx nn
Para cada n = 1,2,3,... Existe uma solução particular θn. Daí também ter juntado as constantes 42 CeC num nova única constante Cn que dependem do valor de n. Então a solução geral deve ser a combinação linear de todas as possíveis soluções.
L
ynsenh
L
xnsenCyx
n
n
1
,
Cn deve ser obtido da última condição de contorno: θ(x,b) = 1, isto é:
L
bnsenh
L
xnsenC
n
n
1
1
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A última e mais difícil tarefa é de encontrar os coeficientes Cn da série acima para
obter a distribuição final de temperaturas. Essa tarefa é realizada usando a teoria das
funções ortogonais, revista abaixo.
REVISÃO DO CONCEITO DE FUNÇÕES ORTOGONAIS
Um conjunto infinito de funções g1(x), g2(x), é dito ortogonal no domínio bxa , se
b
a
nm nmpdxxgxg /0)()( (dica: note que se parece com produto escalar de
vetores: o produto escalar de dois vetores ortogonais é nulo)
Muitas funções exibem a propriedade de ortogonalidade, incluindo )(L
xnsen e )cos(
L
xn em
Lx 0 Verifica-se também, que qualquer função f(x) pode ser expressa numa série infinita de funções ortogonais, ou seja:
1
)()(m
mm xgAxf
Para se obter os coeficientes Am; procede-se da seguinte forma:
(1) Multiplica-se por )(xgn , ambos os lados da igualdade:
1
)()()()(m
mmnn xgAxgxfxg
(2) Integra-se no intervalo de interesse:
dxxgAxgdxxfxgb
am
mmn
b
an
1
)()()()(
Usando a propriedade de ortogonalidade, ou seja:
nmsedxxgxgb
anm 0)()(
Pode-se eliminar a somatória, então: dxxgAdxxfxgb
amm
b
am )()()( 2
Finalmente, as constantes da série Am podem ser obtidas:
dxxg
dxxfxgA
b
am
b
am
m
)(
)()(
2
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Voltando ao problema, tem-se:
1
1n
nL
bnsenh
L
xnsenC
(A)
Comparando com o caso acima, vemos que f(x) = 1 e que
,....2,1;)(
n
L
xnsenxg
ortogonalfuncão
n
Logo, expandindo a função f(x) = 1, vem
1
1
n
nL
xnsenA
Assim, podem ser obtidos os coeficientes da série, como visto na revisão acima:
ndx
L
xnsen
dxL
xnsen
An
L
L
n
1)1(2 1
0
2
0
Então,
11)1(2
1
1
n
n
L
xnsen
n
(B)
Comparando (A) com (B), vem:
1
1
1
1)1(2
n
n
n
nL
xnsen
nL
bnsenh
L
xnsenC
Então, da igualdade das séries:
,....3,2,1;
1)1(2 1
n
L
bnsenhn
Cn
n
De forma que a solução final do problema é:
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 93
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1
1 1)1(2),(
n
n
L
bnsenh
L
ynsenh
L
xnsen
nyx
É interessante ver o gráfico desta função
y
b
Lx
1
75.050.0
25.0
10.0
0
00
Calcule o fluxo de calor. Nesse caso, você precisa calcular qx e qx. Note que o fluxo de calor, nesse caso, será dado de forma vetorial, isto é:
ix
Tkqx
e jy
Tkq y
. Sendo que o fluxo total de calor será yx qqq e o
módulo do fluxo de calor será 22yx qqq em W/m2
Faça os Exercícios 4.2 e 4.3 do Incropera e Witt Método Gráfico O método gráfico é empregado para problemas bidimensionais envolvendo condições de contorno adiabáticas ou isotérmicas. Exige paciência, sendo que o objetivo é construir uma malha formada por isotérmicas e linhas de fluxo de calor constante. Com a finalidade de ilustrar o método, considere uma seção quadrada, cuja superfície interna é mantida a T1 e a externa T2.
T2
T1
(1) O primeiro passo é identificar todas as possíveis linhas de simetria do problema tais linhas são determinadas pela geometria e condição simétricas.
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 94
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T2
T1
SIMETRIA
SIMETRIA
(2) As linhas de simetria são adiabáticas, ou seja, não há fluxo de calor na direção perpendicular a elas. Portanto, podem ser tratados como linhas de fluxo de calor constante.
T2
T1
PAREDES ADIBATICAS
(3) Traças algumas linhas de temperatura constante. Lembre-se que elas são perpendiculares às linhas de fluxo constante.
T2
T1
(4) As linhas de fluxo constante devem ser desenhadas criando quadrados curvilíneos. Isto é feito fazendo como que as linhas de fluxo cruzem as linhas de temperatura constantes em ângulo reto e impondo que todos os quadrados tenham aproximadamente, o mesmo comprimento.
qX
DL
LINHAS DE FLUXO CTE.
(ADIABÁTICO)
(OU QUADRADO CURVILÍNEO)
(5) Quando houver um “canto” isotérmico”, a linha de fluxo cte. Deve bissectar o ângulo formado pelas duas superfícies
T
T
LINHA DE FLUXO CTE.
O fluxo de calor, por unidade de espessura de material, que atravessa o quadro curvilíneo ilustrado é:
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 95
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DD
Dl
Tlkqi (1)
qi
DL
DL
O fluxo de calor acima é o mesmo que atravessa qualquer região que esteja limitada pelas mesmas linhas de fluxo constantes desde T1 até T2. Então, pode-se escrever que.
N
TTT 12 D (2)
T1
T2
Onde N é o numero de incrementos de temperatura entre T1 e T2. (no exemplo N = 5). Assim, de (1)
N
TTkqi
)( 12 (3)
O fluxo de calor total, q, é a soma de todos os M “Faixas” formadas por duas linhas adjacentes de fluxo de calor (no exercício M = 5)
)( 121
TTkN
Mqq
M
i
i
Define-se a razão M/N como o fator de forma do sistema, assim:
)(5 12 TTkq Exercícios Resolvidos: Exercícios adaptados do livro fundamentos de transferência
de calor e massa, Incropera
10.1. Um forno longo, construído de tijolo refratário com condutividade térmica de 1,2 W/mK, possui a seção transversal mostrada com temperatura de superfície interna e externa de 600 e 60°C, respectivamente. Determine o fator de forma e a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento utilizando o método de representação gráfica do fluxo. Hipóteses:
1. Condução bidimensional 2. Propriedades físicas constantes 3. Comprimento do forno, l
Solução: Considerando o forno simétrico, podemos fazer a análise em um quarto do forno. Portanto a fluxo de transferência de calor por unidade de comprimento, l, é dada por: �′ = �� = �� − , onde, S é fator de forma para a seção simétrica. Escolhendo 3
incrementos de temperatura, N, podemos plotar o gráfico do fluxo abaixo:
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 96
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Da equação do fator de forma temos: = �
ou �� = = 8,5 = ,
Assim podemos obter o fluxo de calor, �′ = � , � , � � − °� = , �
Obs*: O fator de forma também pode ser estimado a partir da tabela 4.1 do livro fundamentos de transferência de calor e massa do Incropera. A seção consiste em duas paredes (uma horizontal e outra na vertical) com um canto de junção. Utilizando as relações da tabela obtemos: = , , + , + ,, = ,
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor
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97
AULA 11 – SOLUÇÃO NUMÉRICA - DIFERENÇAS FINITAS
Como estudado na aula anterior, a solução da equação da condução de calor em
configurações bi e tridimensional é bastante complexa e, verdadeiramente, na maioria dos
casos práticos não existe nem solução analítica. Nesse caso, lança-se mão de métodos
numéricos de solução. Há uma grande variedade de métodos disponíveis na literatura, mas
vamos nos ater a apenas um dos métodos: o das diferenças finitas.
A idéia consiste em dividir a região que está sendo examinada em pontos discretos ou
pontos nodais, e aplicar um balanço de energia para cada ponto nodal, conforme ilustrado
no esquema abaixo. Assim, transforma-se o meio contínuo original em um meio discreto
formado por uma matriz de pontos com propriedades térmicas que “concentram” as
informações do meio contínuo original naqueles pontos. Considerando o esquema a seguir,
considere o ponto nodal (m,n) indicado, tendo como vizinhos os pontos nodais (m-1,n) à
esquerda, (m+1,n) à direita, (m,n-1) abaixo e (m,n+1) acima. A distância entre os pontos
nodais é x e y, nas duas direções principais.
m,n
x
ym,nm+1,nm-1,n
m,n+1
m,n-1
y,n
x,m
Pontos Nodais
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A equação da condução de calor em RP, 2-D é dada por 02
2
2
2
y
T
x
T. Ela pode assim
ser assim discretizada:
x
TT
x
T nmnm
nm
)( ,1,
,2
1 (Primeira derivada na direção x – face esquerda)
x
TT
x
T nmnm
nm
)( ,,1
,2
1 (Primeira derivada na direção x – face direita)
Assim,
x
x
T
x
T
x
T nmnm
,
2
1,
2
1
2
2
(Segunda derivada na direção x – centro)
Ou, ainda, após substituição das primeiras derivadas: 2
,,1,1
,2
2
)(
2
x
TTT
x
T nmnmnm
nm
Analogamente, na direção y: 2
,1,1,
,2
2
)(
2
y
TTT
y
T nmnmnm
nm
Assim, a equação original da condução de calor diferencial pode ser aproximada por uma
equação algébrica,
2
2
2
2
y
T
x
T04 ,1,1,,1,1 nmnmnmnmnm TTTTT , se Δx = Δy
A equação acima é a forma da equação do calor em diferenças finitas para o caso em RP, 2-
D. Note que a temperatura nodal Tm,n representa a média aritmética das quatro temperaturas
da sua redondeza.
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O que acontece nas regiões de contorno do problema?
Suponhamos que haja convecção, conforme ilustrado. Um nó (à direita) se situa sobre a
superfície ou no contorno do meio.
m,nm-1,n
m,n+1
m,n-1
Convecção
T
Procede-se a um balanço de energia para o ponto (m,n) em questão
)()(
2
)(
2
)(,
1,,1,,,1,
TTyh
y
TTxk
y
TTxk
x
TTyk nm
nmnmnmnmnmnm
se Δx = Δy
0)2(2
12 1,1,,1,
nmnmnmnm TTTT
k
xh
k
xhT
Para outras condições de contorno, equações semelhantes podem ser escritas.
Por exemplo, um canto superior à direita:
m,nm-1,n
m,n-1
Ty
x
x = y
0)(212 1,,1,
nmnmnm TTT
k
xh
k
xhT
Ver tabela 4.2 (Incropera) ou Tabela 3.2 Holman para outras condições e geometrias.
Tabela 4.2 do Incropera.
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Uma vez que as equações de todos os pontos nodais forem estabelecidas, obtém-se um
sistema de N equações por N incógnitas do tipo:
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NNNNNN
NN
NN
cTaTaTa
cTaTaTa
cTaTaTa
...
....
....
....
...
...
2211
22222121
11212111
Ou, em notação simplificada matricial, vem:
][]].[[ CTA
Estudar exemplo resolvido 4.3 (Incropera)
Uma técnica antiga de solução manual de sistemas lineares de equações é o chamado
método da relação. Nesta técnica, a equação nodal é, primeiramente, igualada a zero:
0...2211 nnmnmm cTaTaTa
Em seguida é igualada a um resíduo e depois segue-se o seguinte procedimento de solução:
1 – Admite-se uma distribuição inicial de temperatura;
2 – O valor do resíduo em cada ponto nodal é calculado;
3 – “Relaxar” o maior resíduo encontrado para zero (ou próximo) mudando a temperatura
do ponto nodal correspondente;
4 – Recalcular os resíduos para esta nova temperatura;
5 – Continuar o processo 3 – 4 até que todos os resíduos sejam nulos ou próximos de zero.
Hoje em dia, há muitos programas de computador e até de calculadoras que resolvem um
sistema linear de equações por diversas técnicas. Basta selecionar um deles. Por exemplo, o
método de eliminação gaussiana.
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Exemplo Resolvido
Uma placa retangular é submetida às condições de contorno ilustradas na figura. Pede-se
calcular a distribuição de temperatura nos pontos nodais mostrados, dados que:
h = 200 W/m2 ºC
T = 20 ºC
k = 10 W/m ºC
x = y = 10 cm
5 6 7 6 5
3 4 3
1 2 1
20T C
100°C
100°C
100°C
OBS: Observar a simetria do problema (nós com o mesmo número)
Solução:
Pontos nodais interiores (1-4) - vale a seguinte equação:
04 ,1,1,,1,1 NMNMNMNMNM TTTTT
Portanto,
042:4
01004:3
010042:2
0)100(24:1
7432
6431
421
321
TTTTnó
TTTTnó
TTTnó
TTTnó
Ponto nodal 5 (canto) – vale a seguinte equação
0)(2 ,1,
fixonmnm TTT
k
xh
k
xhT
nó 5: 0)100(2010
1,02002
10
1,020065
TT , ou
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01404 65 TT
Pontos nodais com convecção (6 – 7) – vale a seguinte equação:
022
12 ,1,11,,
nmnmnmnm TTTT
k
xh
k
xhT
nó 6: 022
120
10
1,02002
10
1,02007536
TTTT , ou
022
120
10
1,02002
10
1,02007536
TTTT , ou ainda,
0402
14
2
17653 TTTT
nó 7: 0)22(2
1404 647 TTT , ou
0404 764 TTT
Em forma de Matriz temos:
40
40
140
0
100
100
200
41010002
14
2
10100
0140000
1004210
0101401
0001042
0000114
7
6
5
4
3
2
1
T
T
T
T
T
T
T
Solução do sistema pelo método de eliminação gaussiana
CT
CT
CT
CT
CT
CT
CT
7,36
8,38
7,44
2,68
3,74
2,87
4,90
7
6
5
4
3
2
1