planejamento e controle de estoques – parte ii prof. dr. marcos georges
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Planejamento e Controle de Estoques – Parte II
Prof. Dr. Marcos Georges
PUC C A M P I N A S
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Planejamento e Controle de Estoques
Lote Econômico com Variáveis Probabilística: Até o momento, todos os modelos partiam do
pressuposto de que a demanda era constante e determinística, o que dificilmente ocorre na prática;
Agora relaxa-se esta hipótese e supõe-se que a demanda é regida por uma distribuição de probabilidade, logo, incerta.
Inicialmente, para facilitar, suponha-se também uma demanda discreta.
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Planejamento e Controle de Estoques
Demanda: Constante ou Variável; Contínua ou Discreta; Determinística ou Estocástica
Dependência dos Itens: Dependente Independente;
Número de Itens Um ou muitos
Revisão do Tempo: Contínuo ou Periódica;
Capacidade / Recursos Limitado ou Ilimitado;
Lead Time: Instantâneo ou não;
Desconto: nenhum; Todas as quantidades; Somente acima de uma quantidade comprada
Horizonte de Planejamento: Simples, Finito ou Infinito
Dimensões na Modelagem de Estoques
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Planejamento e Controle de Estoques
As principais variáveis dos modelos probabilísticos são: A demanda: suponha que a demanda seja normalmente distribuída. O lead time: suponha também que o lead time seja normalmente distribuído. O nível de serviço: variável definida pela empresa que determina a porcentagens de pedidos que seguramente não faltará produto em estoque.
D~N(,); L~N(,); SL=1-P(DEstoque)
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Planejamento e Controle de Estoques
Cálculo do Ponto de Reposição:
222 ....
).(..
).(..
.
Ld
L
d
dLzLdR
dzLdR
LzLdR
LdR
Demanda e Lead Time constantes
Demanda variável e Lead Time constante
Demanda constante e Lead Time variável
Demanda e Lead Time variáveis
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Planejamento e Controle de Estoques
Ponto de Reposição
Estoque de Segurança
Demanda máxima provável durante
o Lead Time Demanda esperada durante
o Lead Time
Lead Time
Qu
anti
dad
e
Tempo
RISCO
NÍVEL DE SERVIÇO
O
z
Estoque de Segurança
Reposição
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Planejamento e Controle de Estoques
Exemplo: Um restaurante consome, em média, 50 vidros de palmito por semana, com desvio padrão de 3 vidros. O lead time médio de entrega é de 2 semanas com desvio padrão de uma semana. O risco máximo aceitável é de 10% de pedidos não atendidos.
z=1,28 é encontrado na tabela normal para SL=90%
23,1641.25009.2.28,12.50....
164)1.(50.28,12.50).(..
43,105)3.(2.28,12.50).(..
1002.50.
222
Ld
L
d
dLzLdR
dzLdR
LzLdR
LdR
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Planejamento e Controle de Estoques
Observem que o Ponto de Reposição é dado por:
R = d.L + Estoque de Segurança Ou seja, o estoque de segurança é calculado a partir da variabilidade da demanda, do lead time
de entrega e do nível de serviço desejado
23,641.25009.2.28,1...
64)1.(50.28,1).(.
43,5)3.(2.28,1).(.
222
Ld
L
d
dLzES
dzES
LzES
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Planejamento e Controle de Estoques
Outro problema comum quando se lida com demanda probabilística é encontrar o tamanho do lote que maximiza o lucro esperado.
Este problema é conhecido como problema do jornaleiro, e é simbolizado pela decisão de quantos jornais comprar no domingo. Se sobrar, é vendido como sucata na segunda, se faltar há um custo de não atender o cliente.
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Planejamento e Controle de Estoques
Considere: c : custo do produto; v : preço de venda do produto; f : custo da falta do produto; s : preço de venda da sobra; q : quantidade a ser comprada, o tamanho do lote; X : a demanda, que é uma variável aleatória cuja distribuição é conhecida ou, no mínino, tabelada;
Existe duas possibilidades a considerar Quando q>x , ou seja, quando sobra produto; Quando x>q , ou seja, quando falta produto.
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Planejamento e Controle de Estoques
O função lucro é dada por:
),().()],([ XqLucroxXPXqLucroE
O lucro esperado é dado por uma “média ponderada” do lucro obtido para uma dada demanda vezes a probabilidade desta demanda ocorrer, ou seja:
qxsxqcqvx
xqfqxcqvqXqLucro
caso
caso
,)(
,)(),(
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Planejamento e Controle de Estoques
Seu Manuel que decidir quantos frangos por para assar no dia de domingo. Os dados que seu Manoel tem são:
c = 5,00 : custo do produto; v = 10,00 : preço de venda do produto; f = 3,00 : custo da falta do produto; s = 4,00 : preço de venda da sobra;Distribuição da Demanda
0,2
0,3
0,4
0,1
0
0,5
30 40 50 60Quantidade de Frangos
P(X
=x)
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Planejamento e Controle de Estoques
O função lucro é dada por:
xqqxxqqx
qxxqqxqqXqLucro
se
se
,6)(4510
,38)(3510),(
Demanda (X) E[Lucro(q,X)]
30 40 50 60 P(x).Lucro
P(X=x) 0,2 0,3 0,4 0,1
LOTE
q=30 150 120 90 60 108
q=40 140 200 170 140 170
q=50 130 190 250 280 255
q=60 120 180 240 300 246
Este é o lucro esperado máximo
Este tamanho do lote a ser adotado
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Planejamento e Controle de Estoques
Lote Econômico com Demanda Probabilística com informação completa: Agora vamos sofisticar o modelo anterior
(problema do jornaleiro) e passar a utilizar uma distribuição de probabilidade definida para todos os possíveis valores da demanda, e não somente valores discretos;
Dessa forma é possível calcular o lucro esperado para qualquer valor de demanda e de tamanho do lote, melhorando o resultado.
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Planejamento e Controle de Estoques
Demanda: Constante ou Variável; Contínua ou Discreta; Determinística ou Estocástica
Dependência dos Itens: Dependente Independente;
Número de Itens Um ou muitos
Revisão do Tempo: Contínuo ou Periódica;
Capacidade / Recursos Limitado ou Ilimitado;
Lead Time: Instantâneo ou não;
Desconto: nenhum; Todas as quantidades; Somente acima de uma quantidade comprada
Horizonte de Planejamento: Simples, Finito ou Infinito
Dimensões na Modelagem de Estoques
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Planejamento e Controle de Estoques
A idéia é exatamente a mesma do modelo anterior, mas agora a demanda é dada por uma distribuição de probabilidade com função de densidade f(x) e função de distribuição acumulada F(X). Para este caso o lucro esperado é dado por:
Q
Q
dxxffqxcqvq
dxxfsxqcqvx
XqLucro
)(])([
)(])([
),( 0
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Planejamento e Controle de Estoques
Derivando o lucro esperado em relação ao tamanho do lote e igualando o resultado a zero obtem-se:
Q QQ
Q Q
dxxffdxxfcdxxfvdxxfsdxxfcdQ
Ld)()()()()(
)(
0 0
Q Q
Q
dxxffdxxfvdxxfsdxxfcdQ
Ld)()()()(
)(
0 0
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Planejamento e Controle de Estoques
)](1[)](1[)()(
QFfQFvQsFcdQ
Ld
fsv
fcvFQ
fsv
fcvQF
fvcQFfvs
QFfvsfvcdQ
Ld
1)(
)()(
0)()()(
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Planejamento e Controle de Estoques
Exemplo: seja o caso da padaria do Seu Manuel, mas agora ele sabe que a demanda é dada por distribuição Normal, com média de 44 clientes e desvio padrão de 9 clientes. Quantos frangos assar de modo a maximizar o lucro esperado?
3
2
3410
3510 11 FFQ
Qual o valor de x, tal que, F(Xx)=2/3 onde F~N(44,9)
Com a ajuda o Excel, usando a função INV.NORM(2/3;44;9) = 47,87, ou 48 frangos
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Planejamento e Controle de Estoques
Gestão de Estoque no tempo: Até o momento, todos os modelos partiam do
pressuposto de que o horizonte de planejamento era infinito.
Agora, vamos partir de uma hipótese mais realista, de que o horizonte de planejamento é finito, ou seja, vamos considerar a demanda para um certo número de meses e determinar qual é a melhor forma de atender esta demanda.
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Planejamento e Controle de Estoques
Demanda: Constante ou Variável; Contínua ou Discreta; Determinística ou Estocástica
Dependência dos Itens: Dependente Independente;
Número de Itens Um ou muitos
Revisão do Tempo: Contínuo ou Periódica;
Capacidade / Recursos Limitado ou Ilimitado;
Lead Time: Instantâneo ou não;
Desconto: nenhum; Todas as quantidades; Somente acima de uma quantidade comprada
Horizonte de Planejamento: Simples, Finito ou Infinito
Dimensões na Modelagem de Estoques
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Planejamento e Controle de Estoques
Os modelos básico de gestão de estoques com horizonte finito são:
Lot-for-lot: aqui é comprada a quantidade exata para atender a demanda do mês corrente;
Compra única: compra-se, no início do período, o suficiente para atender todos os meses;
Lote Econômico: compra-se lote definidos pelo lote econômico;
Part Period Balancing: compra até que o custo de estoque seja maior que o custo fixo de compra;
Silver Meal: busca minimizar o custo médio a cada compra; Modelos de Otimização: usam a programação matemática:
Wagner-Whitin (programação dinâmica), e Programação Linear Inteira mista
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Planejamento e Controle de Estoques
Exemplo: considere uma industria cuja demanda ao longo do ano seja
D = 2.000 un/ano
S = 500,00$/pedido
C = 50,00$/un
h = 24%/un-ano
($1/un-mês)
Demanda
0
50
100
150
200
250
300
jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez
Quando Pedir e Quanto Pedir para atender esta demanda?
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Planejamento e Controle de Estoques
Compra única: no início do período compra-se quantidade suficiente para todo o período.
mês demanda Lote Estoque $ estoque $pedido $ período
jan 200 2000 1800 R$ 1.800,00 R$ 500,00 R$ 2.300,00
fev 150 0 1650 R$ 1.650,00 R$ 0,00 R$ 1.650,00
mar 100 0 1550 R$ 1.550,00 R$ 0,00 R$ 1.550,00
abr 50 0 1500 R$ 1.500,00 R$ 0,00 R$ 1.500,00
mai 50 0 1450 R$ 1.450,00 R$ 0,00 R$ 1.450,00
jun 100 0 1350 R$ 1.350,00 R$ 0,00 R$ 1.350,00
jul 150 0 1200 R$ 1.200,00 R$ 0,00 R$ 1.200,00
ago 200 0 1000 R$ 1.000,00 R$ 0,00 R$ 1.000,00
set 200 0 800 R$ 800,00 R$ 0,00 R$ 800,00
out 250 0 550 R$ 550,00 R$ 0,00 R$ 550,00
nov 300 0 250 R$ 250,00 R$ 0,00 R$ 250,00
dez 250 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
total 2000 2000 R$ 13.100,00 R$ 500,00 R$ 13.600,00
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Planejamento e Controle de Estoques
Lot-4-Lot: a cada mês compra-se somente a quantidade a ser usada no mêsmês demanda Lote Estoque $ estoque $pedido $ período
jan 200 200 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00
fev 150 150 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00
mar 100 100 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00
abr 50 50 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00
mai 50 50 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00
jun 100 100 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00
jul 150 150 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00
ago 200 200 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00
set 200 200 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00
out 250 250 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00
nov 300 300 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00
dez 250 250 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00
total 2000 2000 R$ 0,00 R$ 6.000,00 R$ 6.000,00
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Planejamento e Controle de Estoques
Lote Econômico: compra com lotes definidos pela fórmula do Lote Econômico -> Q = (2x2000x500)/(50x0,24)=400
mês demanda Lote Estoque $ estoque $pedido $ período
jan 200 400 200 R$ 200,00 R$ 500,00 R$ 700,00
fev 150 0 50 R$ 50,00 R$ 0,00 R$ 50,00
mar 100 400 350 R$ 350,00 R$ 500,00 R$ 850,00
abr 50 0 300 R$ 300,00 R$ 0,00 R$ 300,00
mai 50 0 250 R$ 250,00 R$ 0,00 R$ 250,00
jun 100 0 150 R$ 150,00 R$ 0,00 R$ 150,00
jul 150 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
ago 200 400 200 R$ 200,00 R$ 500,00 R$ 700,00
set 200 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
out 250 400 150 R$ 150,00 R$ 500,00 R$ 650,00
nov 300 400 250 R$ 250,00 R$ 500,00 R$ 750,00
dez 250 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
total 2000 2000 R$ 1.900,00 R$ 2.500,00 R$ 4.400,00
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Planejamento e Controle de Estoques
O Silver Meal é um procedimento que baseia-se na determinação do número de compras a serem feitas ao longo de todo o período (no nosso exemplo 12 meses);
O objetivo é determinar qual o tamanho de cada compra de modo que o custo total médio mensal seja mínimo a cada compra; Se a compra é pequena, em geral o custo médio de estocagem é pequeno, mas o custo fixo médio é grande, se a compra é
grande, o custo fixo médio é pequeno, mas o custo médio de estocagem é grande.
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Planejamento e Controle de Estoques
mês demanda Lote $ estoque $pedido $ compra $ médio
1ºCompra
jan 200 200 0 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ 500,00
fev 150 350 150+0 R$ 500,00 R$ 650,00 R$ 325,00
mar 100 450 250+100+0 R$ 500,00 R$ 850,00 R$ 283,33
abr 50 500 300+150+50+0 R$ 500,00 R$ 1.000,00 R$ 250,00
mai 50 550 350+200+100+50+0 R$ 500,00 R$ 1.200,00 R$ 240,00
jun 100 650 450+300+200+150+100+0 R$ 500,00 R$ 1.700,00 R$ 283,33
2ºCompra
jun 100 100 0 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ 500,00
jul 150 250 150+0 R$ 500,00 R$ 650,00 R$ 325,00
ago 200 450 350+200+0 R$ 500,00 R$ 1.050,00 R$ 350,00
3ºCompra
ago 200 200 0 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ 500,00
set 200 400 200+0 R$ 500,00 R$ 900,00 R$ 450,00
out 250 650 450+250+0 R$ 500,00 R$ 1.200,00 R$ 400,00
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Planejamento e Controle de Estoques
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez550 0 0 0 0 250 0 400 0 550 0 250
Serão feitas 5 compras no ano. Os meses que ocorrerão ascompras e as quantidades a serem compradas estão abaixo
mês demanda Lote $ estoque $pedido $ compra $ médio
4ºCompra
out 250 250 0 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ 500,00
nov 300 550 300+0 R$ 500,00 R$ 800,00 R$ 400,00
dez 250 800 550+250+0 R$ 500,00 R$ 1.300,00 R$ 433,33
5ºCompra
dez 250 250 0 R$ 500,00 R$ 0,00 R$ 500,00
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Planejamento e Controle de Estoques
Silver Meal: busca o menor custo médio por pedidomês demanda Lote Estoque $ estoque $pedido $ período
jan 200 550 350 R$ 350,00 R$ 500,00 R$ 850,00
fev 150 0 200 R$ 200,00 R$ 0,00 R$ 200,00
mar 100 0 100 R$ 100,00 R$ 0,00 R$ 100,00
abr 50 0 50 R$ 50,00 R$ 0,00 R$ 50,00
mai 50 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
jun 100 250 150 R$ 150,00 R$ 500,00 R$ 650,00
jul 150 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
ago 200 400 200 R$ 200,00 R$ 500,00 R$ 700,00
set 200 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
out 250 550 300 R$ 300,00 R$ 500,00 R$ 800,00
nov 300 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
dez 250 250 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00
total 2000 2000 R$ 1.350,00 R$ 2.500,00 R$ 3.850,00
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Planejamento e Controle de Estoques
O Part Period Balancing é um método que busca a compra para os períodos seguintes de modo que o custo de armazenagem seja menor que o custo fixo, pois, quando o custo de armazenagem se torna maior que o custo fixo, é preferível comprar a estocar.
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Planejamento e Controle de Estoquesmês demanda Lote $ estoque comparação $ fixo
1ºCompra
jan 200 200 0 < 500
fev 150 350 150+0 < 500
mar 100 450 250+100+0 < 500
abr 50 500 300+150+50+0 igual 500
2ºCompra
mai 50 50 0 < 500
jun 100 150 100+0 < 500
jul 150 300 250+150+0 < 500
ago 200 500 450+350+200+0 > 500
3ºCompra
ago 200 200 0 < 500
set 200 400 200+0 < 500
out 250 650 450+250+0 > 500
4ºCompra
out 250 250 0 < 500
nov 300 550 300+0 < 500
dez 250 800 550+250+0 > 500
5ºCompra 500
dez 250 250 0 < 500
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Planejamento e Controle de Estoques
PART PERIOD BALANCING
mês demanda Lote Estoque $ estoque $pedido $ período
jan 200 500 300 R$ 300,00 R$ 500,00 R$ 800,00
fev 150 0 150 R$ 150,00 R$ 0,00 R$ 150,00
mar 100 0 50 R$ 50,00 R$ 0,00 R$ 50,00
abr 50 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
mai 50 300 250 R$ 250,00 R$ 0,00 R$ 250,00
jun 100 0 150 R$ 150,00 R$ 500,00 R$ 650,00
jul 150 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
ago 200 400 200 R$ 200,00 R$ 500,00 R$ 700,00
set 200 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
out 250 550 300 R$ 300,00 R$ 500,00 R$ 800,00
nov 300 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
dez 250 250 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00
total 2000 2000 R$ 1.400,00 R$ 2.500,00 R$ 3.900,00
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Planejamento e Controle de Estoques
O Método de Wagner-Whitin é um procedimento recursivo baseado em programação dinâmica que busca, mês a mês, qual é melhor estratégia para atender os meses remanescentes;
No final de qualquer período j (considerando a ausência de estoque) é possível calcular todas as possibilidades para atender os meses restantes, período a período, onde este período varia de j até k, onde k = j +1, j +2, ..., T
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Planejamento e Controle de Estoques
Defina-se as seguintes variáveis: Cjk = o custo total de produção/compra no período j +1 para
atender a demanda no período compreendido entre j +1 até k; O Custo Total no período j para a demanda ente (j +1, k) é
dado por:
1
11
k
jtttjjk NhSC
Custo Fixo em j +1
Quantidade em
estoque no período
t
Custo de estocagem
t
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Planejamento e Controle de Estoques
O procedimento recursivo consiste em calcular qual o melhor custo total global da compra/produção:
TkCZminZ jkjkj
k ,...,2,1,*
10
A cada estágio procura-se minimizar a combinação dos custos entre dois pontos (j ,k), acrescentando a programação ótima até o ponto j ;
O procedimento é recursivo, iniciando em k =1 até T, definindo-se Z0=0.
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Planejamento e Controle de Estoques
Exemplo:
500)0(15000100101 SZCZZ
1000500500
650)150(1500
21121
2100202 SZCZ
hNSZCZZ
1150500650
1100)100(1500500)(
850)100250(1500)(
32232
321131
3210030
3
SZCZ
NhSZCZ
NNhSZCZ
Z
Adm. Produção II Prof. Dr. Marcos Georges 38
Planejamento e Controle de Estoques
1500500100
1400)50(1500850)(
1300)50100(1500650)(
1350)50100200(1500500
)(
1200)50100200350(1500
)(
44454
543353
5432252
54321151
543210050
5
SZCZ
NhSZCZ
NNhSZCZ
NNNhSZCZ
NNNNhSZCZ
Z
1350500850
1200)50(1500650)(
1200)50150(1500500)(
1000)50150300(1500)(
43343
432242
4321141
43210040
4
SZCZ
NhSZCZ
NNhSZCZ
NNNhSZCZ
Z
Adm. Produção II Prof. Dr. Marcos Georges 39
Planejamento e Controle de Estoques
050.4
000.4
450.9
800.10
300.12
600.13
111211
101210
3123
2122
1121
0120
12
CZ
CZ
CZ
CZ
CZ
CZ
Z
Melhor Solução
Z10= Z7 + C710
Z7= Z3 + C37
Z3= Z0 + C03
As Compras ocorrerão em
C1012 ; C710 ; C37 ; C03
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Planejamento e Controle de Estoques
mês demanda Lote Estoque $ estoque $pedido $ período
jan 200 450 250 R$ 250,00 R$ 500,00 R$ 750,00
fev 150 0 100 R$ 100,00 R$ 0,00 R$ 100,00
mar 100 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
abr 50 350 300 R$ 300,00 R$ 0,00 R$ 300,00
mai 50 0 250 R$ 250,00 R$ 0,00 R$ 250,00
jun 100 0 150 R$ 150,00 R$ 500,00 R$ 650,00
jul 150 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
ago 200 650 450 R$ 450,00 R$ 0,00 R$ 450,00
set 200 0 250 R$ 250,00 R$ 500,00 R$ 750,00
out 250 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
nov 300 550 250 R$ 250,00 R$ 500,00 R$ 750,00
dez 250 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
total 2000 2000 R$ 2.000,00 R$ 2.000,00 R$ 4.000,00
Wagner Whitin: procedimento recursivo.
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Planejamento e Controle de Estoques
Otimização utilizando a Programação Linear Inteira Mista; Considere as seguintes variáveis:
Qi = a quantidade comprada no mês i (lote);
Zi = variável de compra no mês i, se Zi = 1 há compra, se Zi = 0 não há compra no mês i ;
Bi = estoque no início do mês i ;
Ei = estoque no final do mês i ;
Di = demanda no mês i ; S = custo do pedido; h = custo de armazenagem por unidade por mês; M = um número muito grande;
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Planejamento e Controle de Estoques
,...,n iZ
,...,n iQ
,...,n iE
,...,n iB
,...,n iQMZ
,...,n iDQBE
,...,n iEB
B
as
EhZSCTMin
i
i
i
i
ii
iiii
ii
n
ii
n
ii
11,0
10
10
10
10
1
20
0
..
1
1
11
Função objetivo: minimizar os custos totais = custo pedido + custo armazenagem em todos os meses
Restrição de estoque: o estoque no início é zero e o estoque no inicio do mês é igual ao final do mês anterior
Restrição de conservação de massa: final – inicio – entra=saiu
Assegura que a compra só ocorrerá quando Q>0
Restrições de não negatividade
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Planejamento e Controle de Estoques
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Planejamento e Controle de Estoques