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Topografia – Engª Florestal Página 1de 7

Topografia 2005

Folha prática Nº 5 – Cálculo de Áreas

Regente João Sousa1

Cursos Engª FlorestalInstituição Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro

Departamento MatemáticaCalendarização 2º ano, 2º semestre

Créditos 3 UC

1 Assistente, UTAD, Portugal | Website: home.utad.pt/~jjsousa | Email: [email protected]

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Medição de áreas na carta

Métodos de integração numérica

Fig. 1D

yy y10 2

C

yyn-1

S - área da figura ABCDd - intervalo constante entre ordenadasyi - ordenadas marcadas perpendiculares ao segmento

n

A B

d d d

AB (i=1,2,...,n)

A. Método dos trapézios (regra de Bezout)

y

S d 0 yn y y

... y

2 1 2 n 1

B. Método de Simpson

Divide-se a área num número par de intervalosdS .

..... , com n par

0 4 3 5 1 2 2 4 2 3 y

yn y y yn

y y yn

Método analítico ou de Gauss

Fig. 2

y P2

P1 S

A1

2P3

1 y

y2

n

2 x2

1x

xS ∑ yi1 yi x

A

P412 i1

2

ii1

x

Métodos mecânicos - Planímetro Polar

Constituição3

2

O Planímetro polar é constituido fundamentalmente por:

1- Haste traçadora

11

10 9

12 7 6

81

13

2- Haste polar

4 3- Pólo4- Anel

5 5- Lupa com marca6- Parafuso de fixação7- Parafuso de pequenos

movimentos

8- Nónio da haste traçadora9- Conta voltas10- Roda integradora ou

tambor11- Nónio12- Roda de Apoio13- Caixa


A haste polar tem uma extremidade fixa, o pólo. A haste traçadora é munida de uma caixa que contém o conta voltas, a roda integradora e o nónio e ainda de uma lente com marca que percorre o contorno da figura cuja área se pretende medir.

A haste polar tem comprimento constante enquanto a haste traçadora tem comprimento regulável. O comprimento das duas hastes condiciona o alcance do aparelho.Pode utilizar-se o planímetro com o pólo exterior à figura (caso mais geral) ou com o pólo interior à figura.

1- Medição de áreas com pólo exterior à figura

A área de uma figura é proporcional ao comprimento do arco registado no conta-voltas, tambor e nónio, quando se percorre o contorno dessa figura com a marca da haste traçadora, no sentido dos ponteiros do relógio.

Assim, e para um dado comprimento da haste será:

S = Kﾴn

Sendo:S - área da figura limitada pelo contorno fechadoK - constante instrumental (função do comprimento da haste traçadora)n - diferença de leituras registadas na caixa

n = nf - ni

nf - leitura finalni - leitura inicial

Os planímetros são acompanhados por uma tabela em que para uma determinada escala é fixado o comprimento da haste traçadora sendo dada a constante instrumental.

Assim, no cálculo da área de uma figura representada a uma dada escala, começa-se por colocar a caixa da roda integradora na posição indicada na tabela para essa escala, para o que será necessário actuar nos parafusos micrométricos.

Seguidamente, percorre-se o contorno da figura no sentido dos ponteiros do relógio lendo-se os valores iniciais e finais indicados no conta-voltas, tambor e nónio.

As leituras apresentam-se com 4 algarismos A B C D correspondendo A ao conta-voltas (dividido em 10 partes), B e Cao tambor que é dividido em 100 partes iguais e D ao nónio.

A área do terreno obtém-se multiplicando a diferença de leituras, n, pelo valor indicado na tabela correspondente à posição anteriormente definida.

Para o caso de a escala não estar representada na tabela, ter-se-á de optar por outra escala, procedendo-se de forma análoga ao indicado anteriormente. Seguidamente, há que fazer a correcção devido às escalas, bastando multiplicar S pelo factor 2

m1

2m ou seja:

Área

2

1mﾴ

S m

m1 = denominador da escala da figuram2 = denominador da escala da carta

2

2 passa-se à escala 1:1. Multiplicando depois por m2 passa-se à escala 1: m11Dividindo por m2

2- Medição de áreas com pólo interior à figura

O percurso deve ser feito no sentido anti-horário. Neste caso, raramente utilizado é necessário acrescentar uma outra constante C devido ao facto de o planimetro descrever uma circunferência (círculo base)

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1) Se o limite da área a medir está totalmente dentro da base do circulo é necessário subtrair à constante aditiva a leitura feita.

S K ﾴ (C n )

Polo

2) Se o limite da área a medir está totalmente fora da base do circulo, é necessário somar à constante aditiva a leitura feita.

Fig. 4

)S K ﾴ (C n

3) Área dentro e fora da base do circulo

S = Kﾴ(Cﾱn)

Uso correcto do planímetro

Fig. 5

1) O planímetro deve ser usado sobre uma superfície horizontal.2) Deve evitar-se uma posição do pólo que obrigue o tambor a sair da fôlha do papel em que se trabalha.3) Antes de fazer a primeira leitura deve verificar-se se o pólo escolhido permite que a marca percorra todo o contorno.4) O percurso sobre o contorno deve ser feito no sentido do movimento dos ponteiros do relógio ou no sentido anti-

horário se utilizarmos respectivamente o planimetro com pólo exterior ou interior à figura.5) Deve efectuar-se mais do que uma determinação e tomar-se a média.6) Na prática evita-se a utilização do planímetro com o pólo interior. Tratando-se de grandes superfícies divide-se esta

em parcelas mais pequenas cujas áreas se possam determinar com o pólo exterior. A área total será a soma das áreas parcelares.

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Problemas

1. Seleccionar no campo um terreno para medição da respectiva área. Com uma estação total estacionada no interior do terreno levantar, em planimetria, os vértices que definem a fronteira do terreno, considerada como polígono.

a) Calcule as coordenadas dos vértices levantados e determine o valor da área pelo método analítico.

b) Implante na folha de papel quadriculado, numa escala adequada, os pontos levantados. Obtenha o valor da área utilizando o planímetro polar.

Efectue várias medições. Para o valor da área considere o valor médio. Encontre ainda uma estimativa de erro utilizando o desvio padrão das medidas.

ii ni nf Ai A A

1

2

3

n n

A∑ ∑ A A2

i

Média: A i1 Desvio padrão:

n

A

i 1

i

n 1

2. Estacionou-se uma estação total no interior do terreno representado (ponto E) tendo-se observado os seus vértices. As leituras efectuadas estão no quadro ao lado:

2 Ponto LH (g) dh (m)1 349.932 44.7212 40.898 63.2463 120.415 80.0004 240.898 63.246

1

a) Na representação acima os pontos E e 3

E distam 4 cm. Determina a sua escala.3

b) Calcule a área do terreno usando a decomposição em triângulos radiais.

c) Qual a área que a figura ocuparia se fosse representada à escala 1:500? Apresente os cálculos.

4


3. Na seguinte quadrícula, centimétrica, está representado em planta a área para o projecto de plantação de uma determinada espécie arbórea.

Y

21 3

4 E8

67

5 9

OX

Do local conhecem-se as coordenadas de O e E (quadro abaixo).

Ponto X (m) Y (m)O 32 200 164 800E 32 365 164 845

a) Obtenha a escala da planta.b) Apresente as coordenadas planas dos pontos 1, 4 e 7.c) Obtenha a área real da figura usando um método exacto.d) Qual a área, em cm2, que a figura acima ocuparia numa planta se esta estivesse à escala 1:200?

(exame de 11/07/2001)

4. O perímetro de uma determinada área florestal, representada numa carta à escala 1:15.000, foi percorrido 3 vezes com um planímetro polar com o intuito de detrminar o valor da sua área. As leituras obtidas foram 1730, 1744, 1722 e 1350.

a) Comente, de forma critica, as leituras obtidas com o planímetro.

b) Sabendo que o planímetro está calibrado para obter áreas na carta em mm2

determine a área real mais provável.

Apresente-a em ha.

c) Apresente uma estimativa para o erro cometido na medida.

(Exame de 22/09/2001)


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