Pitgoras e a Aplicao dos Nmeros na

Harmonia

Por Alain-Jacques L. de Burlet (RA 007913)

Trabalho desenvolvido para a disciplina Histria da Fsica, lecionada pelo

prof. Roberto Martins

Resumo

Pitgoras se destacou por relacionar fenmenos fsicos a relaes

matemticas. Segundo ele, a natureza regida por nmeros. Neste

trabalho, vamos estudar as suas contribuies especcas na rea da

harmonia musical, ao estudar instrumentos de corda.

1 Introduo

Como se deu o incio da formalizao do conhecimento sobre harmonia? Este

o tema sobre este trabalho, em que iremos explorar os primeiros estudos

relacionados a harmonia registrados, feitos ainda na poca da Grcia antiga,

por flsofos pitagricos.

Pitgoras de Samos, que viveu entre 571 e 496 a.C., foi um dos primeiros

lsofos que fez uso da matemtica para estudar fnomenos sicos. No campo

da matmatica e geometria, um de seus mais conhecidos trabalhos o famoso

Teorema de Pitgoras, que apesar de levar seu nome no foi criado por ele,

e sim demonstrado, pois h registros que egpcios j possuam este conhec-

imento, s que em forma de receita matmatica. Alguns dos trabalhos de

Pitgoras foi sobre a aplicao dos nmeros harmonia, estudando instru-

mentos de corda.

A seguir, iremos discutir os fundamentos fsicos da harmonia, um pouco

da histria e dos pontos de vista de pitgoras, e por m seu trabalho com

instrumentos msicais de corda, cujos resultados inuenciaram o desenvolvi-

mento da msica ocidental.

1

Figura 1: Pulso em uma corda tensionada.

2 Fundamentos Fsicos da Harmonia

O oscilador harmnico aparece inmeras vezes no estudo da fsica. A prpria

luz, objeto freqente de estudo dos gregos, descrita pela mecnica quntica

como um oscilador harmnico. Aqui nos retringiremos a estudar as ondas.

Seja uma corda tensionada a uma trao , conforme mostrada na gura1. Nesta gura, estamos vendo um pulso, sendo que o observador se en-

contra no mesmo referencial do pulso, ou seja, se movendo com velocidade

~v junto com ele. Vamos considerar um pequeno elemento de comprimentoda corda l, parte de um crculo de raio R, compreendido por um angulo. A fora de trao ~ puxa tangencialmente o comprimento em cada ex-tremidade. Como podemos ver, as componentes horizontais se cancelam,

restando somente as componentes verticais, que se somam formando a fora

restauradora

~F . Podemos dizer que:

F = 2( sin ) (2) = lR(1)

Acima zemos a aproximao sin para pequeno. Tambm faz-senecessrio observar que 2 = l/R. Seja a massa do elemento m:

m = l (2)

Onde a densidade linear da corda. No instante de tempo em que agura ilustra, o elemento de comprimento est se movendo em um circulo de

raio R. Isto implica numa fora centrpeta:

2

Figura 2: Exemplo de instrumento de cordas: guitarra.

F = mv2

R= (l)

v2

R(3)

Igualando as duas foras das equaes 1 e 3, temos:

l

R= (l)

v2

R(4)

O que nos deixa com:

v =

(5)

Ou seja: a velocidade com que uma onda se propaga em uma corda de-

pende somente da trao e da densidade linear da corda.

Para ilustrar o processo de emisso de sons, vamos utilizar o exemplo da

guitarra (gura 2). Para a emisso de diferentes timbres, a guitarra tem seis

cordas com densidades diferentes. Cada corda corresponde a uma nota musi-

cal, sendo que a primeira e a sexta (mais na e a mais grossa) correspondem

a uma mesma nota.

Notemos tambm que o brao da guitarra dividido em trastes. Ao

prender uma corda em um determinado trate, teremos uma nota musical.

Para enteder isso invocamos a tradicionalssima equao de ondas v = f ,em que f a frequncia1. Quando prendemos a corda em qualquer traste,mudamos o comprimento de onda dos harmnicos, mudando assim a notaemitida.

1

A nota musical emitida est diretamente relacionada com a frequncia de vibrao da

corda.

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3 A Histria e a Filosoa de Pitgoras

Nascido na pequena ilha de Samos, no mar Egeu, Pitgoras comeou seus

estudos na juventude sob tutela do lsofo Ferecdio, discipulo de Tales de

Mileto. Ainda jovem, partiu em direo ao Egito, onde iniciou seus estudos

sobre os antigos mistrios egpcios. Ainda foi at a Babilnia e Caldia,

onde aprimorou seus estudos, e por m recebeu a orientao do lsofo

Epimnides, na ilha de Creta. Depois disso, voltou a ilha de Samos.

Entretanto, em vista do regime tirano instalado em sua terra natal, e por

suas crticas pblicas a este regime foi exilado e se mudou para Crotona, no

sul da Italia. L, fundou sua prpria escola, em que aplicou as doutrinas

que havia estudado em suas viagens anteriores. Sua escola inclusive iniciou

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uma revoluo na educao tica na poca. Em sua empreitada nesta rev-

oluo, Pitgoras fez inimigos, e teve que deixar Crotona mudando-se para

Metaponto, onde residiu at o nal de sua vida.

A losa pitagrica se embasa na armao de que os nmeros con-

stituem a substncia una e essencial de todas as coisas. Esta substncia

seria imutvel. A geometria e a msica eram peas fundamentais em sua

losoa. O fato das relaes entre em guras geomtricas poderem ser ex-

pressas como razes entre nmeros naturais era de grande importncia para

os pitagricos. Deus est continuamente medindo a Terra, dizia Pitgo-

ras. A palavra geometria vem de geo = Terra e metria = medir. Esta

harmonia matemtica era a pea fundamental para explicar toda a criao,

existncia e operao do universo.

Entretanto o fato de a diagonal do quadrado ser

2 vezes o lado causougrande consternao entre os pitagricos, pois sua viso de perfeio divina

estava embasada no fato de medidas de objetos geomtricos poderem ser

expressas em forma de razes de nmeros inteiros, como mencionado anteri-

ormente. Este problema foi a temtica do Escndalo dos Irracionais.

A harmonia musical entra no modelo de Pitgoras de forma curiosamente

parecida com a concepo da fsica moderna. Para os pitagricos, todas as

coisas vibram, com seu determinado nmero especco de vibraes - har-

mnicos. Ele armava tambm que todas as coisas vibram numa grande

harmnia universal, assim como as notas numa msica: todas as coisas tem

relao nmerica ou harmnica no universo. Tambm a relao entre os opos-

tos (como quente e frio; duro e macio; par e mpar; etc...) inuia fortemente

na harmonia das coisas. Cada coisa em sua essncia composta de uma

combinao de opostos, sendo a harmonia caracterizada quando os opostos

esto balanceados.

Os pitagricos tambm zeram grandes realizaes na rea de demon-

strao matemtica. Alm do famoso teorema de Pitgoras, que foi demon-

strado por ele, as seguintes realizaes podem ser atribudas aos pitagricos:

a classicao dos nmeros em: primos e compostos, pares e mpares,amigos, perfeitos e gurados;

o mximo divisor comum e o mnimo mltiplo comum; que a soma dos ngulos internos de um tringulo igual a dois ngulosretos;

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se um polgono tem n lados, ento a soma dos ngulos internos dopolgono igual a (2n 4) ngulos retos;Pitgoras tambm se aplicou muito ao tentar relacionar a matemtica,

geometria e at a msica com a astronomia. Segundo ele, os corpos celestes

estariam harmnicamente relacionados, interagindo entre si atravs de suas

vibraes. Com os seus mtodos calculou razes entre a distncia Terra-Sol

e Terra-Lua, entre os dimetros da Terra e da Lua, assim como entre o da

Terra e do Sol.

4 Pitgoras e a Harmonia

Como vimos anteriormente, a Harmonia uma parte importantssima da

losoa pitagrica, para no dizer essencial. Todas as coisas estariam vi-

brando, tendo relaes harmnicas umas com as outras.

O trabalho de Pitgoras no que abrange a msica est muito relacionado

s notas musicais tiradas de um instrumentos. Ele classicou os harmnicos,

julgando quando um som era anado ou no, e usando a matemtica pode

fazer uma anlise semelhante feita na geometria: descrever conguraes

de instrumentos utilizando razes de nmeros inteiros.

Pitgoras teria feito alguns experimentos com instrumentos de corda de

forma a obter as relaes entre os sons anados ou agradveis com o compri-

mento da corda que era posta a vibrar e com a tenso aplicada ela.

No primeiro experimento, Pitgoras teria posto a vibrar uma corda ten-

sionada, produzindo um som anado. Depois disso, prendeu a corda na

metade de seu comprimento e a ps a vibrar novamente. Obteve a chamada

Oitava, que a mesma nota anterior, s que com o dobro de frequncia. Dada

a razo entre os comprimentos, ele atribuiu Oitava a razo de

12. Testando

outras razes, ele tambm chegou Quarta (

34) e Quinta (

23). Ao descobrir

a razo matemtica entre as frequncias e as notas, Pitagoras estabeleceu a

razo pela qual os intervalos so divididos em 12 semitons no ocidente, que

so

2

:

d, d# ,r, r# ,mi, f, f# ,sol, sol# ,l ,l# e siEm instrumento de cordas atuais como violo ou guitarra, a vibrao da

corda solta e presa no dcimo-segundo traste produz a mesma nota, mas com

2

Em notao musical # e b denotam notas sustenidas e bemis, respectivamente.

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a frequncia dobrada, o que facilmente comprova que Pitgoras pode mesmo

ter feito este experimento.

No entanto, o experimento relativo ao estudo das diferentes tenses apli-

cadas cordas questinvel. O experimento, segundo Bocius, pode ter

sido feito da seguinte maneira: o instrumento era composto de quatro cor-

das iguais, cada uma tensionada por um peso diferente. Em uma unidade

de medida de peso arbitrria, os pesos colocados nas cordas eram 6, 8, 9 e

12. A escolha por esses pesos especcos provavelmente se deu devido a suas

propriedades aritmticas:

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Figura 3: Relacao entre peso e frequncia.

o 9 a mdia aritmtica entre 12 e 6; o 8 a mdia harmnica entre 12 e 6; 12

9= 8

6.

Os resultados obtidos seriam:

Peso 6 produzia o tom; Peso 12 produzia a Oitava; Peso 9 produzia a Quinta; Peso 8 produzia a Quarta;

8

Como podemos ver na gura 3 corresponde a uma relao linear. Entre-

tanto, pela equao 5 podemos tirar facilmente que a frequncia varia com a

raiz quadrada da tenso. Assim sendo, o experimento relatado por Bocius

inverossmil.

Referncias

[1] http://www.matematica.br/historia/pitagoras.html

[2] http://www.mundodoslosofos.com.br/pitagoras.htm

[3] http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/musica/pitagoras.htm

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