philippe w. courteille, apostila do curso

.

Aulas em Fısica para pos-graduacao

Eletrodinamica

Ph.W. CourteilleUniversidade de Sao Paulo

Instituto de Fısica de Sao Carlos30 de janeiro de 2018

Sumario

0 Preface 10.1 Organizacao do curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Bibliografia recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I Introducao ao electromagnetismo 3

1 Fundamentos e ferramentas matematicas 51.1 A analise vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Algebra vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Campos escalares e vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Transformacao de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Calculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 O gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 O divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 O rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4 Expansao de Taylor de campos escalares e vetoriais . . . . . . . . . . . . . 111.2.5 Regras de calculo com derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Calculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 Integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Integral de superfıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3 Integral de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.4 O teorema fundamental para gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.5 O teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.6 O teorema de Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Coordenadas curvilıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.1 Elementos diferenciais em coordenadas curvilıneas . . . . . . . . . . . . . 171.4.2 Gradiente em coordenadas curvilıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.3 Divergente em coordenadas curvilıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.4 Rotacional em coordenadas curvilıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.5 Coordenadas cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.6 Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 A funcao δ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.1 A funcao de Dirac em 1 dimensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.2 A funcao de Dirac em 2 e 3 dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.3 Sinais analıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 Tabelas de formulas da Fısica III (Eletrodinamica) . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6.1 Grandezas e formulas do eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6.2 Unidades CGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6.3 Regras basicas da analise vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6.4 Regras deduzidas da analise vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.6.5 Regras integrais da analise vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3

4 SUMARIO

1.7.1 A analise vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7.2 Calculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.7.3 Calculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.7.4 Coordenadas curvilıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.7.5 A distribuicao δ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 Eletrostatica 45

2.1 A carga eletrica e a forca de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.1.1 Quantizacao e conservacao da carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.1.2 A lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Propriedades do campo eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.1 Linhas de campo e o fluxo eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.2 Divergencia do campo eletrico e a lei de Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.3 Rotacao do campo eletrico e a lei de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 O potencial escalar eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.1 As equacoes de Laplace e de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.2 Potencial criado por distribuicoes de cargas localizadas . . . . . . . . . . . 51

2.3.3 Condicoes de contorno eletrostaticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4 Energia eletrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4.1 Energia de uma distribuicao de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4.2 Densidade de energia de um campo eletrostatico . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.3 Dieletricos e condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4.4 Inducao de cargas (influencia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4.5 Pressao eletrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.5 Tratamento de condicoes de contorno e o teorema da unicidade . . . . . . . . . . 58

2.5.1 O metodo das cargas imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5.2 Solucao formal do problema eletrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.5.3 Funcao de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5.4 Equacao de Poisson com condicoes de contorno de Dirichlet . . . . . . . . 61

2.5.5 Equacao de Poisson com condicoes de contorno de von Neumann . . . . . 62

2.6 Solucao da equacao de Laplace em situacoes de alta simetria . . . . . . . . . . . 62

2.6.1 Separacao de variaveis em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . 62

2.6.2 Separacao de variaveis em coordenadas cilındricas . . . . . . . . . . . . . 63

2.6.3 Separacao de variaveis em coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . 64

2.7 Expansao multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.7.1 O monopolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.7.2 O dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.7.3 O quadrupolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.7.4 Expansao em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.8.1 A carga eletrica e a forca de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.8.2 Propriedades do campo eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.8.3 O potencial escalar eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.8.4 Energia eletrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.8.5 Tratamento de condicoes de contorno e o teorema da unicidade . . . . . . 84

2.8.6 Solucao da equacao de Laplace em situacoes de alta simetria . . . . . . . 87

2.8.7 Expansao multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

SUMARIO 5

3 Propriedades eletricas da materia 93

3.1 Polarizacao de dieletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.1.1 Energia de dipolos permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.1.2 Inducao de dipolos em dieletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.1.3 Polarizacao macroscopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.1.4 Campo eletrostatico num meio polarizado ou dieletrico . . . . . . . . . . . 96

3.1.5 Deslocamento eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.1.6 Susceptibilidade eletrica e permitividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.2 Influenca de cargas e capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.2.1 Capacitores e armazenamento de energia eletrica . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3 Conducao de corrente e resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.3.1 Movimento de cargas em dieletricos e condutores . . . . . . . . . . . . . . 102

3.3.2 A lei de Ohm, correntes estacionarias em meios contınuos . . . . . . . . . 102

3.4 O circuito eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.4.1 As regras de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.4.2 Instrumentos de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.5.1 Polarizacao de dieletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.5.2 Influenca de cargas e capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.5.3 Conducao de corrente e resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.5.4 O circuito eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4 Magnetostatica 123

4.1 A corrente eletrica e a forca de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.1.1 O efeito Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.1.2 A lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.2 Propriedades do campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.2.1 Linhas de campo e fluxo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.2.2 Divergencia do campo magnetico e a lei de Gauß . . . . . . . . . . . . . . 127

4.2.3 Rotacao do campo magnetico e a lei de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.3 O potencial vetorial magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.3.1 As equacoes de Laplace e de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.3.2 Condicoes de contorno magnetostaticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.4 Expansao multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.4.1 Momentos magneticos multipolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.5.1 A corrente eletrica e a forca de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.5.2 Propriedades do campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.5.3 O potencial vetorial magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.5.4 Expansao multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5 Propriedades magneticas da materia 151

5.1 Magnetizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.1.1 Energia de dipolos permanentes e o paramagnetismo . . . . . . . . . . . . 151

5.1.2 Impacto do campo magnetico sobre orbitas eletronicas e o diamagnetismo 153

5.1.3 Magnetizacao macroscopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.1.4 Campo magnetostatico de um material magnetizado . . . . . . . . . . . . 155

5.1.5 O campo H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6 SUMARIO

5.1.6 Susceptibilidade magnetica e permeabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.2 Inducao de correntes e indutancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.2.1 A forca eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.2.2 A lei de Faraday-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.3 A energia magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.3.1 Densidade de energia de um campo magnetostatico . . . . . . . . . . . . . 1635.3.2 Indutancias e armazenamento de energia magnetostatica . . . . . . . . . . 163

5.4 Corrente alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.4.1 Oscilacoes eletromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.4.2 Circuitos de corrente alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.5.1 Propriedades magneticas da materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.5.2 Inducao de correntes e indutancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.5.3 A energia magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.5.4 Corrente alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

II Eletrodinamica classica 185

6 Equacoes de Maxwell 1876.1 As leis fundamentais da eletrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.1.1 O teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.1.2 Potenciais na eletrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1906.1.3 As equacoes de Maxwell macroscopicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.1.4 As leis fundamentais em materiais polarizaveis e magnetizaveis . . . . . . 197

6.2 As leis de conservacao no electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.2.1 Conservacao de carga e equacao de continuidade . . . . . . . . . . . . . . 1986.2.2 Conservacao de energia e teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . 1986.2.3 Conservacao de momento linear e o tensor de estresse de Maxwell . . . . 1996.2.4 Conservacao do momento angular do campo eletromagnetico . . . . . . . 202

6.3 Formulacao potencial da eletrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.3.1 Os potenciais vetorial e escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.3.2 Transformacao de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.3.3 A funcao de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.3.4 Potenciais retardados de distribuicoes de carga contınuas . . . . . . . . . 2066.3.5 Campos retardados na eletrodinamica e as equacoes de Jefimenko . . . . 2106.3.6 Os potenciais de Lienard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.3.7 Os campos de uma carga puntiforme em movimento . . . . . . . . . . . . 212

6.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.4.1 As leis fundamentais da eletrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.4.2 As leis de conservacao no electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . 2176.4.3 Formulacao potencial de eletrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

0 SUMARIO

Capıtulo 0

Preface

O curso e divido em duas partes. A parte I da apostila da uma introducao ao electromagnetismono nıvel de um curso de graduacao. A partir dos fenomenos eletricos e magneticos observados emexperiencias sao derivadas as leis fundamentais de Gauss, Faraday, Ampere e Maxwell permitindouma descricao completa do electromagnetismo culminando no conjunto das equacoes de Maxwell.

O procedimento da parte II da apostila e contrario. A partir das equacoes de Maxwell saodeduzidos fenomenos electromagneticos, como a radiacao e o papel da forca electromagnetica ematomos. Tambem, derivamos leis fundamentais de conservacao e a relacao do electromagnetismocom a teoria da relatividade especial. Esta parte e um curso de pos-graduacao em eletrodinamicaclassica.

1. Equacoes de Maxwell. 2. Potenciais escalar e vetorial. 3. Transformacoes de calibre. 4.Funcao de Green para a equacao de onda. 5. Equacoes do electromagnetismo. 6. Conservacaode energia, momento linear e momento angular para um sistema de partıculas carregadas ecampos eletromagneticos. 7. Ondas planas em meios nao condutores. 8. Polarizacao de ondaseletromagneticas. 9. Reflexao e refracao de ondas eletromagneticas em interfaces planas entredieletricos. 10. Polarizacao por reflexao e reflexao interna total. 11. Dispersao em frequencia dedieletricos, condutores e plasmas. 12. Ondas eletromagneticas em meios condutores ou dissipati-vos. 13. Relacoes de Kramers-Kronig. 14. Guias de ondas cilındricos. 15. Cavidades ressonantescilındricas. 16. Radiacao de fontes localizadas harmonicamente oscilantes. 17. Radiacao dipolareletrica, dipolar magnetica e quadrupolar eletrica. 18. Antenas simples. 19. Teoria escalar dedifracao. 20. Teoria vetorial de difracao. 21. Potenciais e campos de Lienard-Wiechert parapartıculas puntiformes. 22. Propriedades de transformacoes dos campos eletromagneticos e suasfontes sob o grupo de Poincare. 23. Taxas de emissao de energia, momentum linear e momentumangular por uma partıcula em movimento arbitrario. 24. Reacao de radiacao.

0.1 Organizacao do curso

A apostila foi desenvolvida para o curso Eletromagnetismo A (SFI5708) oferecido pelo Institutode Fısica de Sao Carlos (IFSC) da Universidade de Sao Paulo (USP). O curso e destinado aestudantes em Fısica de pos-graduacao. A apostila e uma versao preliminar continuamentesujeita a correcoes e modificacoes. Notificacoes de erros e sugestoes de melhoramento sempresao bem-vindas. A apostila incorpora exercıcios as solucoes das quais podem ser obtidas doautor.

Informacoes e anuncios a respeito do curso serao publicados na pagina web:http://www.ifsc.usp.br/ strontium/ − > Teaching − > SFI5708

A avaliacao do estudante sera feita baseado em provas escritas e um seminario sobre umtopico especıfico. No seminario o estudante apresentara um topico em 15 minutos. Ele tambementregara um trabalho cientıfico de 4 paginas em forma digital. Topicos possıveis sao:

1

2 CAPITULO 0. PREFACE

- Os deslocamentos de Goos-Hanchen e de Imbert-Fedorov,- Existencia de monopolos magneticos e a quantizacao da carga,- O dilemma de Abraham-Minkowski,- O teorema de Helmholtz,- A radiacao de Cerenkov,- O modelo de Lorentz da radiacao de um atomo,- O modelo de Drude para interacao com metais,- As relacoes de Kramers-Kronig,- Sinais analıticos,- A quantizacao do campo eletromagnetico,- Fibras opticas.

0.2 Bibliografia recomendada

J.B. Marion , Classical Eletromagnetic Radiation,W.K. H. Panofsky e M. Phillips, Classical Electricity and MagnetismJ.J. Jackson, Classical electrodynamics (John Wiley & Sons, 1999)D.J. Griffiths, Introduction to ElectrodynamicsJ.R. Reitz, F.J. Milford, R.W. Christy, Foundation of electromagnetic theory

Parte I

Introducao ao electromagnetismo

3

Capıtulo 1

Fundamentos e ferramentasmatematicas

A forca eletrodinamica e uma das 4 forcas fundamentais, alem da gravitacao, da forca nuclearforte e da forca nuclear fraca. Ela e uma forca de longo alcance (F ∝ r−2), do mesmo jeito comoa gravitacao mas diferentemente das forcas nucleares, que sao de curto alcance. Diferentementeda gravitacao, ela pode ser atrativa ou repulsiva. O fato experimentalmente observado, que

Figura 1.1: As quatro forcas fundamentais conhecidas.

dois corpos espacialmente separados podem exerces forcas mutuas (alem da gravitacao), nao eexplicavel dentro da mecanica classica. E necessario a introducao de um novo grau de liberdadechamado de carga eletrica que, para tomar em conta a possibilidade de forcas atrativas ourepulsivas, deve existir com dois sinais diferentes: positivo ou negativo. Cargas identicas serepelem, cargas diferentes se atraem. Outras observacoes sugeram que a carga e uma grandezaconservada e quantizada.

A eletrodinamica e uma teoria de campo, isto e, ela consegue descrever todos fenomenoseletricos ou magneticos observados da seguinte maneira: Cada carga da origem a um campo deforca, chamado de campo eletrico E, que acelera a outras cargas. No entanto, outras observacoesexperimentais sugerem a existencia de um outro campo a forca, chamado de campo magnetico Bcuja existencia e necessario para entender forcas somente atuando sobre cargas em movimento.Isto e, os campos eletrico e magnetico sao introduzidos para explicar as forcas chamadas deCoulomb e de Lorentz,

F = qE + v ×B . (1.1)

Assim, os campos sao grandezas distribuıdas no espaco, que alem disso podem variar no tempo,

F = F(r, t) . (1.2)

Os campos representam uma poderosa ferramenta matematica para descrever as forcas, quesao as unicas grandezas observaveis do electromagnetismo. Ou seja, nao temos senso para vera eletricidade. So podemos inferir pela observacao de forcas. Do outro lado, a formulacao

5

6 CAPITULO 1. FUNDAMENTOS E FERRAMENTAS MATEMATICAS

da eletrodinamica por campos de forcas, que sao campos vetoriais, pode ser substituıda poruma descricao por potenciais, que sao campos escalares. Em muitas circunstancias, potenciaisfacilitam a resolucao de problemas eletrodinamicos, mas e importante ter em mente, que ospotenciais nao sao diretamente observaveis.

A eletrodinamica do Maxwell tem uma relacao muito profunda com a teoria da relativi-dade especial de Einstein, tal que as teorias sao mutuamente necessarias para ser validas. Areformulacao relativıstica permite destilar as simetrias inerentes a eletrodinamica de maneiraaltamente estetica.

Em visto do papel fundamental dos campos escalares e vetoriais, introduziremos neste cursoas nocoes matematicas basicas em teoria de campos, isto e, o calculo diferencial e integral comcampos em coordenadas cartesianas ou curvilıneas. Tambem precisaremos nocoes basicas denumeros complexos e da distribuicao de Dirac.

1.1 A analise vetorial

1.1.1 Algebra vetorial

Comecamos com uma pequena revisao da algebra vetorial. Um vetor e uma grandeza fısicacomposta por um valor, uma direcao e uma unidade. Por exemplo, v sendo a velocidade deum corpo medida em metros por segundo na direcao para o norte. Matematicamente os vetoresformam um espaco vetorial, isto e, uma construcao algebraica caracterizada pela existencia devarias operacoes definidas pelas seguintes leis.

A adicao de vetores e uma operacao comutativa e associativa, isto e,

A + B = B + A e (A + B) + B = A + (B + C) . (1.3)

A multiplicacao com um escalar e comutativa e distributiva,

λA = Aλ e λ(A + B) = λA + λB . (1.4)

O produto escalar definido por,A ·B ≡ AB cos θ , (1.5)

onde θ e o angulo entre os dois vetores, e comutativo e distributivo mas nao associativo,

A ·B = B ·A e A · (B + C) = A ·B + A ·C e (A ·B)B 6= A(B ·C) . (1.6)

Finalmente, o produto vetorial definido por

A×B ≡ ABn sin θ , (1.7)

onde θ e o angulo entre os dois vetores e n um vetor unitario mostrando na direcao perpendiculara A e B, e distributivo mas nem comutativo nem associativo,

A×B = −B×A 6= B×A e A× (B + C) = A×B + A×C (1.8)

e (A×B)×C 6= A× (B×C) .

Uma vez que escolhemos uma base, isto e, um conjunto de tres vetores linearmente inde-pendentes, podemos tambem dar os vetores em termos dos seus componentes nesta base. Abase mais comum e o sistema de coordenadas cartesianas caracterizado por tres vetores fixos eortogonais, ex, ey e ez, tal que cada vetor pode ser decomposto como,

A = Axex +Ayey +Azez . (1.9)

1.1. A ANALISE VETORIAL 7

Nesta representacao as operacoes do espaco vetorial ficam,

A + B = (Ax +Bx)ex + (Ay +By)ey + (Az +Bz)ez (1.10)

λA = λAxex + λAyey + λAzez

A ·B = AxBx +AyBy +AzBz

A×B =

AyBz −AzByAzBx −AxBzAxBy −AyBz

.

Exemplo 1 (Triplos produtos): Combinacoes de produtos escalares e vetoriais podem serusadas para calcular outras grandezas geometricas. Um exemplo e o triplo produto escalardefinido por A · (B×C) satisfaz as seguintes permutacoes,

A · (B×C) = C · (A×B) = −C · (B×A) = (A×B) ·C .

O seu valor absoluto |A · (B ×C)| tem o significativo do volume do paralelepıpedo abertopelos vetores. O triplo produto vetorial definido por A× (B×C) pode ser simplificado,

A× (B×C) = B · (A ·C)−C · (A ·B) .

Verificamos a comutatividade e a distributividade do produto escalar e do vetorial no Exc. 1.7.1.1

e exercemos a aplicacao destes nos Excs. 1.7.1.2 ate 1.7.1.4.

1.1.2 Campos escalares e vetoriais

A aplicacao mais basica de vetores e a designacao de posicoes no espaco, r = xex + yey + zez.Outras grandezas fısicas podem depender da posicao onde elas sao medidas. No caso que umagrandeza variando com a posicao e escalar, φ = φ(r), falamos de campo escalar. A distribuicaoda temperatura num espaco e um exemplo para um campo escalar. No caso que se trata de umvetor, A = A(r), falamos de campo vetorial. A luz e um exemplo para um campo vetorial.

A posicao e geralmente definida a respeito do centro do sistema de coordenadas, chamadode origem, tal que a distancia a partir de centro e dada por,

r ≡√

r · r =√x2 + y2 + z2 , (1.11)

com er sendo o vetor unitario, chamado de versor, mostrando na direcao r. Por exemplo, en-contraremos frequentemente na eletrodinamica grandezas (campos) que dependem da distanciaentre uma fonte localizada na posicao r′ e um detector colocado na posicao r, φ(R) = φ(r− r′),

eR =(x− x′)ex + (y − y′)ey + (z − z′)ez√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2. (1.12)

1.1.3 Transformacao de vetores

A definicao do vetor como grandeza tendo uma magnitude e uma direcao e inequıvoca, porexemplo, a velocidade v de um carro numa estrada. No entanto, a representacao do vetordepende da orientacao do sistema de coordenadas cartesianas, que e totalmente arbitraria. Porexemplo, um vetor dado por r = xex + yer + zez em um sistema sera descrito por r = x′e′x +y′e′y + z′e′z num outro sistema. Se os dois sistemas sao simplesmente rotados, temos,

r′ =

x′

y′

z′

=

Rxx Rxy RxzRyx Ryy RyzRzx Rzy Rzz

xyz

= Rr , (1.13)


ou 1,

r′k =∑

l

Rklrl . (1.14)

Por exemplo, para uma rotacao em torno do eixo z por um angulo φ temos,

x′

y′

z′

=

cosφ sinφ 0− sinφ cosφ 0

0 0 1

xyz

. (1.15)

Matrizes de rotacao R devem satisfazer os seguintes requerimentos:

• A transformacao preserve os comprimentos e orientacoes de vetores e os angulos entrevetores. Isto e, o produto escalar satisfaz Rr2 ·Rr2 = r1 · r2.

• A transformacao e ortogonal, R−1 = R†, e unitaria, detR = 1.

O comportamento de vetores sob transformacoes de sistemas de coordenadas e uma impor-tantıssima caracterıstica das grandezas fısicas e das teorias governando as suas dinamicas. Porexemplo, enquanto a mecanica classica e definida pela transformacao de Galilei, a mecanicarelativıstica e definida pela transformacao de Lorentz, e veremos mais para frente, que a ele-trodinamica e incompatıvel com a transformacao de Galilei. Nos Excs. 1.7.1.5 ate 1.7.1.14praticamos o calculo com matrizes de rotacoes.

1.2 Calculo diferencial

A derivada de uma funcao unidimensional Φ(x) mede quao rapidamente a funcao varia quandomudamos a posicao x. Isto e, quando mudamos x por um montante dx, f muda por um montantedΦ dado por,

dΦ =

(dΦ

dx

)dx . (1.16)

Claro que fica mais complicado, quando φ e um campo dependendo de tres coordenadas, porqueprecisamos especificar em qual direcao estamos mudando a posicao. Temos,

dΦ =

(∂Φ

∂x

)dx+

(∂Φ

∂y

)dy +

(∂Φ

∂z

)dz . (1.17)

Esta equacao lembra o produto escalar, pois,

dΦ =

(ex∂Φ

∂x+ ey

∂Φ

∂y+ ez

∂Φ

∂z

)· (dxex + dyey + dzez) ≡ ∇Φ · dr , (1.18)

definindo um novo operador chamado de nabla,

∇ ≡

∂/∂x∂/∂y∂/∂z

. (1.19)

1Notamos aqui que um tensor de dimensao 2 se transforma como,

T ′kl =∑l,k

RkmRlnTmn .

1.2. CALCULO DIFERENCIAL 9

1.2.1 O gradiente

A derivada tres-dimensional ∇Φ e chamada de gradiente do campo escalar Φ,

∇Φ(r) = ex∂Φ

∂x+ ey

∂Φ

∂y+ ez

∂Φ

∂z, (1.20)

e mede a variacao do valor do campo de Φ para Φ + dΦ, quando o vetor e infinitesimalmentedeslocado entre dois pontos r e r + dr.

Entendemos a interpretacao geometrica do gradiente atraves da formulacao como produtoescalar:

dΦ = ∇Φ · dr = |∇Φ| · |dr| cos θ , (1.21)

onde θ e o angulo entre o gradiente e o deslocamento infinitesimal. Agora fixamos uma magnitudede deslocamento |dr| e procuramos a direcao θ na qual a variacao dΦ e maxima. Obviamente,achamos a direcao θ = 0, isto e, quando o gradiente mostra na mesma direcao como o desloca-mento predefinido.

O gradiente de um campo escalar Φ(r) calculado num ponto r indica a direcao damaior variacao do campo a partir deste ponto, e o seu valor absoluto e uma medidapara a variacao.

O conceito do gradiente e facil entender em um paisagem dois-dimensional: Imagine ficar numvertente de uma montanha. Dependendo da direcao onde voce vai e da duracao da caminhada dr,voce vai ganhar ou perder uma certa energia potencial dΦ, que voce pode calcular pelo produtoescalar ∇Φ · dr. Se a direcao escolhida e aquela do gradiente, voce vai perder (ou ganhar) ummaximo de energia potencial. Se voce escolhe uma direcao perpendicular ao gradiente, isto e,ao longo de uma linha equipotencial, a energia potencial fica inalterada. Isso e ilustrado naFig. 1.2.

Consideramos o exemplo de um campo parabolico, Φ(r) = −r2:

∇(−r2) =

−2x−2y−2z

= −2r . (1.22)

Achamos, que em qualquer ponto a variacao e mais rapida em direcao radial.

Figura 1.2: O gradiente indica a direcao da maior variacao do campo Φ.

Apesar do operador ∇ ter a forma de um vetor, sozinho ele nao faz sentido. Na verdadese trata de um operador vetorial, isto e, uma prescricao matematica agindo sobre um campoescalar. Mesmo assim, ele assimila todas as propriedades de um vetor. (Veremos na mecanicaquantica que isto e mais do que uma coincidencia.) Portanto, de maneira similar que ja usamos


para exprimir o gradiente, podemos tentar aplicar ele em campos vetoriais usando os produtosescalar ou vetorial ja definidos sobre o espaco vetorial,

grad Φ(r) ≡ ∇Φ(r) e div A(r) ≡ ∇ ·A(r) e rot A(r) ≡ ∇×A(r) . (1.23)

Praticamos o calculo com o operador de gradiente nos Excs. 1.7.2.1 ate 1.7.2.3.

1.2.2 O divergente

Vamos agora analisar o significativo possıvel da expressao ∇ ·A chamada de divergente. E facilmostrar,

∇ ·A(r) =∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

. (1.24)

Obviamente o divergente e um campo escalar calculado a partir de um campo vetorial.

O divergente mede quanto um campo vetorial A(r) espalha para fora a partir doponto r. Para um dado volume infinitesimal ele mede a diferencia entre o numerode linhas de campo que entram e que saem.

Podemos imaginar como uma distribuicao de carga estendida, exposta a um campo com di-vergencia, comecara se concentrar (espalhar) no caso de um dreno (fonte).

Exemplo 2 (Divergencia de um campo radial): Consideramos o exemplo de um camporadial, A(r) = r:

∇ · r =∂x

∂x+∂y

∂y+∂z

∂z= 3 . (1.25)

1.2.3 O rotacional

Vamos agora analisar o significativo possıvel da expressao ∇×A chamada de rotacional. E facilmostrar,

∇×A(r) =

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez∂x ∂y ∂zAx Ay Az

∣∣∣∣∣∣= ex

(∂Az∂y− ∂Ay

∂z

)+ ey

(∂Ax∂z− ∂Az

∂x

)+ ez

(∂Ay∂x− ∂Ax

∂y

).

(1.26)Obviamente o rotacional e um campo vetorial calculado a partir de um outro campo vetorial.

O rotacional mede quantas das linhas de um campo vetorial A(r), que passam porum volume infinitesimal, voltam.

Podemos imaginar como uma distribuicao de carga estendida dentro de um campo com rotacaocomecara girar.

Consideramos os exemplos mostrados na figura 1.3. As propriedades de divergencia e derotacao sao complementares. Existem campos so com uma das propriedades, com ambas oucom nenhuma. Nos casos, em que tem rotacao, fica problematico colocar linhas equipotenciais:Ou porque, as linhas de campo nao sao ortogonais as linhas equipotenciais, ou porque elasvoltam.

1.2. CALCULO DIFERENCIAL 11

(a) (b) (c) (d) (e)

Figura 1.3: (a) Campo sem divergencia, (b) com divergencia constante, (c) com divergenciaradial, (d) com rotacional e (e) com rotacional.

Exemplo 3 (Rotacao de um campo radial): Consideramos o exemplo de um camporadial, A(r) = −yex + xey:

∇×A =

0− ∂zx∂z(−y)− 0∂xx− ∂y(−y)

= 2ez . (1.27)

Praticamos o calculo com o divergente e o rotacional nos Excs. 1.7.2.4 ate 1.7.2.6.

1.2.4 Expansao de Taylor de campos escalares e vetoriais

Conhecemos bem a expansao de Taylor de funcoes de uma variavel:

f(x+ h) = exp(h ddx)f(x) =

∞∑

ν=0

1ν!(h

ddx)νΦ(x) = Φ(x) + hΦ′(x) + h

2 Φ′′(x) + ... . (1.28)

A generalizacao da expansao para um campo escalar, que e uma funcao de um vetor, e,

Φ(r + h) = exp(h · ∇r)Φ(r) =∞∑

ν=0

1

ν!(h · ∇r)

νΦ(r) (1.29)

= Φ(r) + (h · ∇r)Φ(r) + 12(h · ∇r)(h · ∇r)Φ(r) + ... .

Isso corresponde a translacao de um operador de momento ∇r. Estudamos a expansao de Taylorno Exc. 1.7.2.7.

1.2.5 Regras de calculo com derivadas

No total existem quatro tipos de produtos diferentes envolvendo campos escalares e vetoriais,ΦΨ, ΦA, A ·B e A×B, e seis regras de produto para calcular as seguintes expressoes,

∇(ΦΨ) , ∇(A ·B) , ∇· (ΦA) , ∇· (A×B) , ∇× (ΦA) , ∇× (A×B) . (1.30)

Segundas derivadas tambem podem ser definidas em seis combinacoes diferentes,

∇ · (∇φ) , ∇× (∇φ) , ∇(∇ ·A) , ∇ · (∇×A) , ∇× (∇×A) . (1.31)

Como estas regras sao frequentemente utilizadas elas sao resumidas nas Secs. 1.6.3 e 1.6.4.

As regras podem ser derivadas por componentes. Ferramentas muito uteis para isso saoo sımbolo de Kronecker e o tensor de Levi-Civita. Consideramos um sistema de coordenadas


cartesianas i = 1, 2, 3. As coordenadas neste sistema sao xi e as derivadas ∂i ≡ ∂∂xi

. O sımbolode Kronecker e definido por,

δmn =

1 para m = n

0 senao. (1.32)

O tensor de Levi-Civita e definido por

εkmn =

1 quando (kmn) e uma permutacao par de (123)

−1 quando (kmn) e uma permutacao impar de (123)

0 quando pelo menos dois ındices sao identicos

. (1.33)

Seguinte a convencao de soma de Einstein, fazemos automaticamente a soma de uma expressaosobre todos os ındices aparecendo duas vezes. Por exemplo, o produto escalar pode ser escrito,

A ·B =∑

i

AiBi ≡ AiBi . (1.34)

Para o produto vetorial obtemos,

(A×B)k ≡ εkmnAmBn . (1.35)

Outros exemplos serao discutidos nos Excs. 1.7.2.8 ate 1.7.2.10.

1.3 Calculo integral

Tres tipos de integrais sao frequentemente usados na eletrodinamica, a integral de linha ou decaminho, a integral de superfıcie ou fluxo e a integral de volume.

1.3.1 Integral de linha

A integral de linha e definida sobre um caminho C(a,b) ligando um ponto inicial a e um pontofinal b. Enquanto o vetor de deslocamento infinitesimal dl segue o caminho ponto por ponto(vide Fig. 1.4), o valor do campo e a direcao (no caso de um campo vetorial) sao avaliados,multiplicados com dl e somados,

∫

C(a,b)Φdl ,

∫

C(a,b)A · dl . (1.36)

Note, que no caso do campo vetorial, a integral e tomada sobre um produto escalar entre o campoe o caminho local. O trabalho exercido por um campo de forca, W ≡

∫F · l e um exemplo.

Para um caminho que atravessa um campo cruzando todas as linhas de forca num angulo reto,a integral de caminho zera, o que significa que nao tem trabalho acumulado.

Dependendo das propriedades do campo a integral pode depender so dos pontos a e b eindepender do caminho C entre eles. Neste caso, dizemos que o campo vetorial e um campoconservativo, mas isto nao e sempre o caso. Escolhendo a = b temos caminhos fechados, quepodem ser considerados como encerrando uma superfıcie no espaco 3D. Usamos a notacao,

∮

∂SA · dl , (1.37)

onde a notacao ∂S sugere, que o caminho vai ao longo da borda da superfıcie S.

1.3. CALCULO INTEGRAL 13

Figura 1.4: Integrando ao longo de um caminho no espaco tres-dimensional.

Na pratica, e util achar uma parametrizacao l(t) do caminho com um parametro (tempo)t ∈ [0, 1]. Isso nos permite calcular explicitamente,

∫

C(a,b)∇Φ · dl =

∫ 1

0∇Φ(r) · dl(t)

dtdt . (1.38)

Exemplo 4 (Integral do caminho): Como exemplo, vamos calcular a integral do caminhoparametrizado por l(t) = ex cos t + ey sin t, que e um circulo unitario em torno da origem,dentro do campo A(r) = −yex + xey:

∮A · dl =

∫ 2π

0

(−yex + xey) · dldtdt (1.39)

=

∫ 2π

0

(−ex sin t+ ey cos t)

(exd cos t

dt+ ey

d sin t

dt

)dt =

∫ 2π

0

(sin2 t+ cos2 t)dt = 2π .

Calculamos exemplos de integrais de caminho nos Excs. 1.7.3.1 ate 1.7.3.4.

1.3.2 Integral de superfıcie

A integral de superfıcie e definida sobre uma superfıcie S, que pode ser torta no espaco tres-dimensional. A superfıcie e subdividida em areas infinitesimais dS e o valor do campo e a direcao(no caso de um campo vetorial) sao avaliados, multiplicados com dS e somados,

∫

SΦdS ,

∫

SA · dS . (1.40)

O vetor da area dS e a normal local. Isto e, no caso do campo vetorial, a integral e tomadasobre um produto escalar entre o campo e a area local. O fluxo de linhas de campo atravessandouma superfıcie, Ψ ≡

∫E · dS e um exemplo. A normal da superfıcie de um volume e geralmente

tomada como saindo do volume. Por exemplo, no plano x-y o elemento de superfıcie pode serescrito dS = ezdxdy em coordenadas cartesianas. Para superfıcies curvadas ou em coordenadascurvilıneas a expressao sera mais complicada.

Frequentemente consideramos superfıcies fechadas, que podem ser consideradas como encer-rando um volume no espaco 3D. Usamos a notacao,

∮

∂VA · dS , (1.41)

onde a notacao ∂V sugere, que a superfıcie encerra o volume V.


Exemplo 5 (Fluxo de um campo): Como exemplo, calculamos o fluxo do campo A =−yex + x2yey atraves do cubo unitario:

∮

cubo

A · dS =

∫ 1

−1

∫ 1

−1

A|z=1ezdxdy +

∫ 1

−1

∫ 1

−1

A|z=−1(−ez)dxdy +

∫ 1

−1

∫ 1

−1

A|x=1exdydz

+

∫ 1

−1

∫ 1

−1

A|x=−1dydz +

∫ 1

−1

∫ 1

−1

A|y=1eydzdx+

∫ 1

−1

∫ 1

−1

A|y=−1(−ey)dzdx

= 0 + 0 +

∫ 1

−1

∫ 1

−1

(−y)dydz +

∫ 1

−1

∫ 1

−1

ydydz +

∫ 1

−1

∫ 1

−1

x2dzdx+

∫ 1

−1

∫ 1

−1

x2dzdx

=8

3. (1.42)

Calculamos exemplos de integrais de superfıcie nos Excs. 1.7.3.5 ate 1.7.3.8.

1.3.3 Integral de volume

A integral de volume e ∫

VΦdV ,

∫

VAdV . (1.43)

No caso de um campo vetorial, escrevemos simplesmente: ex∫AxdV + ey

∫AydV + ez

∫AzdV .

Exemplo 6 (Integral de volume): Por exemplo, calculamos a massa de um cubo comdensidade homogenea ρ0:

m =

∫ a/2

−a/2

∫ a/2

−a/2

∫ a/2

−a/2ρ0dxdydz = a3ρ0 . (1.44)

Calculamos um exemplo de um integral de volume no Exc. 1.7.3.9.

1.3.4 O teorema fundamental para gradientes

O teorema fundamental do calculo infinitesimal diz,

∫ fb

fa

df =

∫ b

aF (x)dx = f(b)− f(a) ou df = F (x)dx , (1.45)

para F (x) = dfdx . Isto e, a derivacao e a integracao sao operacoes inversas.

Agora, conhecemos no calculo vetorial tres tipos diferentes de derivadas e um teorema fun-damental para cada uma. Para gradientes,

∫

C(a,b)∇Φ · dl = Φ(b)− Φ(a) ou dΦ = ∇Φ · dl . (1.46)

Como o lado direito nao depende do caminho C, a integral do gradiente tambem nao pode. Porconsequencia, ∮

C∇Φ · dl = 0 . (1.47)

A interpretacao geometrica do teorema fundamental para gradientes e simples: Escalandouma montanha seguindo um caminho passo a passo e ganhando a cada passo a energia potencialdΦ = ∇Φdx, obtemos ao final a diferencia de energia Φ(b) − Φ(a) entre o ponto final e inicialda caminhada. A independencia do caminho e uma propriedade inerente de gradientes.

1.3. CALCULO INTEGRAL 15

Exemplo 7 (Teorema fundamental para gradientes): Consideramos o exemplo se-guinte. Para caminhar dentro do potencial Φ(r) = xy2 entre os pontos r1 = (0, 0, 0)e r2 = (2, 1, 0) podemos escolher entre varios caminhos, p.ex., l1(t) = ex2t + eyt oul2(t) = ex2t + eyt

2 com t ∈ [0, 1]. Para os dois casos obtemos o mesmo ganho de ener-gia potencial Φ(r2)− Φ(r1) = 2:

∫

C(r1,r2)

∇Φ · dl1 =

∫ 1

0

(exy2 + ey2xy) · (ex2 + ey)dt =

∫ 1

0

(2t2 + 4t2)dt = 2 (1.48)

∫

C(r1,r2)

∇Φ · dl2 =

∫ 1

0

(exy2 + ey2xy) · (ex2 + ey2t)dt =

∫ 1

0

(2t4 + 8t4)dt = 2 .

Um exemplo da aplicacao do teorema fundamental para gradientes e discutido no Exc. 1.7.3.10.

1.3.5 O teorema de Stokes

O teorema de Stokes permite converter uma integral de superfıcie em uma integral de linha desdeque o campo a ser integrado pode ser exprimido por um rotacional,

∫

S(∇×A) · dS =

∮

∂SA · dl . (1.49)

Para encontrar uma interpretacao geometrica lembramos que a rotacao mede a torcao docampo A sobre uma distribuicao de cargas. A integral sobre o rotacional dentro de uma dadasuperfıcie (ou, mais preciso, o fluxo do rotacional atraves desta superfıcie) mede a quantidadetotal de torcao. Uma regiao com rotacao e como um batedor de cozinha mexendo na superfıciede um lıquido incompressıvel: Quanto mais batedores ficam dentro da superfıcie, mais lıquidosera movimentado ao longo das bordas da superfıcie. Em vez de medir o numero de batedores(lado esquerda do teorema (1.49)), podemos tambem caminhar ao longo da borda da superfıciee medir quanto o fluxo esta seguindo a direcao da borda (lado direito do teorema (1.49)).

Uma consequencia interessante do teorema de Stokes e que a integral de caminho independeda forma da superfıcie. Isto e, se o campo a ser integrado pode ser exprimido por um rotacional,podemos deformar a superfıcie (sem tocar na borda) sem mudar a torcao do campo,

∮

S(∇×A) · dS = 0 . (1.50)

Isso e analogo ao corolario obtido para gradientes (1.47).

Exemplo 8 (Teorema de Stokes): Consideramos o exemplo seguinte. O campo seja dadopor, A = −yex + xey, tal que ∇×A = 2ez. A superfıcie seja um disco de raio R encerrado

por um caminho circular parametrizado por, l =

R cosωtR sinωt

0

. Entao,

∮

circulo

A · dl =

∫ 2π

0

A · ldt =

∫ 2π/ω

0

−yx0

·

−Rω sinωtRω cosωt

0

dt = 2πR2

∫

disco

(∇×A) · dS =

∫

disco

002

ezdA = 2

∫

disco

dA = 2πR2 .

Nos Excs. 1.7.3.11 e 1.7.3.12 mostramos aplicacoes do teorema de Stokes.


1.3.6 O teorema de Gauß

O teorema de Gauß permite converter uma integral de volume em uma integral de superfıciedesde que o campo a ser integrado pode ser exprimido por um divergente,

∫

V(∇ ·A) · dV =

∮

∂VA · dS . (1.51)

Para encontrar uma interpretacao geometrica lembramos que a divergencia mede a forca deexpansao do campo A sobre uma distribuicao de cargas. A integral sobre o divergente dentro deum dado volume mede a quantidade total de expansao. Uma regiao com divergencia e como umatorneira liberando um lıquido incompressıvel: Quanto mais torneiras ficam dentro do volume,mais lıquido sera expelido pelas bordas do volume. Em vez de medir o numero de torneiras (ladoesquerda do teorema (1.51)), podemos tambem contornar o volume medindo o fluxo atraves dasuperfıcie (lado direito do teorema (1.51)).

Figura 1.5: Ilustracao dos teoremas de Gauß (acima) e de Stokes (embaixo).

Exemplo 9 (Teorema de Gauß): Consideramos o exemplo seguinte. O campo seja dadopor, A = r, tal que, ∇ · A = 3. O volume seja uma esfera de raio R encerrada por umasuperfıcie. Entao:

∮

superficieesferica

A · dS =

∫

superficieesferica

r · erdS = rr2

∫ 2π

0

∫ π

0

sin θdθdφ = 4πR3

∫

esfera

(∇ ·A)dV =

∫

esfera

3dV = 34π

3R3 = 4πR3 .

Nos Excs. 1.7.3.13 ate 1.7.3.16 mostramos aplicacoes do teorema de Gauß.

Os teoremas de Stokes e Gauß exemplo frequentemente sao usando no contexto de coordena-das cilındricas ou esfericas. Por isso, vamos adiar a apresentacao de exemplos ate ter discutidocoordenadas curvilıneas.

1.4. COORDENADAS CURVILINEAS 17

1.4 Coordenadas curvilıneas

Os sistemas de coordenadas mais utilizados sao as coordenadas cartesianas, cilındricas e esfericas.As coordenadas cilındricas sao exprimidas em termo de coordenadas cartesianas como,

xyz

=

ρ cosφρ sinφz

. (1.52)

As coordenadas esfericas sao exprimidas em termo de coordenadas cartesianas como,

xyz

=

r sin θ cosφr sin θ sinφr cos θ

. (1.53)

A tarefa agora e de exprimir os elementos diferenciais, isto e, os elementos de linha, desuperfıcie e de volume, assim como os operadores diferenciais, isto e, o gradiente, o divergente,o rotacional e o laplaciano em termo de coordenadas curvilıneas. Vamos primeiro considerar ocaso geral.

A transformacao a partir de um sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) para um sistemageral, curvilınea (u, v, w) seja dado por,

r ≡

x(u, v, w)y(u, v, w)z(u, v, w)

. (1.54)

A mudanca dur resultante de uma pequena variacao du e entao dur = ∂r∂udu e fica na direcao do

novo versor eu. Os versores do novo sistema, portanto, podem ser escritos como,

eu = U(u, v, w)∂r

∂u, ev = V (u, v, w)

∂r

∂v, ew = W (u, v, w)

∂r

∂w, (1.55)

onde

U =

∣∣∣∣∂r

∂u

∣∣∣∣−1

, V =

∣∣∣∣∂r

∂v

∣∣∣∣−1

, W =

∣∣∣∣∂r

∂w

∣∣∣∣−1

. (1.56)

Nos Excs. 1.7.4.1 e 1.7.4.2 consideramos transformacoes em coordenadas cilındricas e esfericas.

1.4.1 Elementos diferenciais em coordenadas curvilıneas

No seguinte nos restringimos para coordenadas ortogonais, onde os versores ficam perpendicu-lares. Neste caso, o diferencial total dr tem a forma,

dr =∂r

∂udu+

∂r

∂vdv +

∂r

∂wdw = eu

du

U+ ev

dv

V+ ew

dw

W, (1.57)

e tem o comprimento,

|dr|2 =

(du

U

)2

+

(dv

V

)2

+

(dw

W

)2

. (1.58)

O elemento de volume e,

dτ = dsudsvdsw . (1.59)


1.4.2 Gradiente em coordenadas curvilıneas

Podemos agora exprimir o gradiente de um campo escalar Φ em coordenadas curvilıneas orto-gonais,

grad Φ = ∇Φ = fueu + fvev + fwew , (1.60)

onde os fi sao funcoes que ainda devem ser determinadas. Neste fim comparamos os coeficientesdas expressoes,

dΦ =∂Φ

∂udu+

∂Φ

∂vdv +

∂Φ

∂wdw , (1.61)

e, inserindo (1.57) e (1.60),

dΦ = dr · ∇Φ =fuUdu+

fvVdv +

fwWdw . (1.62)

Obtemos,

∇Φ =

(U∂Φ

∂u

)eu +

(V∂Φ

∂v

)ev +

(W∂Φ

∂w

)ew . (1.63)

1.4.3 Divergente em coordenadas curvilıneas

Agora mostraremos como exprimir o divergente de um campo vetorial A em coordenadas cur-vilıneas ortogonais,

div A = ∇ ·A . (1.64)

A derivacao e um pouco complicada. Comecamos exprimir os versores eu, ev e ew pelos gradi-entes ∇u, ∇v e ∇w, usando a expressao para o gradiente (1.63),

∇u = U eu , ∇v = V ev , ∇w = W ew . (1.65)

Agora exprimimos cada versor como produto vetorial de dois destes gradientes,

∇u×∇v = UV eu × ev = UV ew (1.66)

∇v ×∇w = VW ev × ew = VW eu

∇w ×∇u = WU ew × eu = WU ev .

Depois escrevemos A = aueu + avev + awew e comecamos considerando o primeiro termo dodivergente:

∇ · (aueu) = ∇ ·( auVW∇v ×∇w

)(1.67)

= (∇v ×∇w) · ∇( auVW

)+

auVW∇ · (∇v ×∇w) usando ∇ · (αA) = A · (∇α) + α(∇ ·A)

= VW eu ·[euU

∂

∂u

( auVW

)+ evV

∂

∂v

( avVW

)+ ewW

∂

∂w

( awVW

)]

+auVW

[∇w · (∇×∇v)−∇v · (∇×∇w)] usando ∇ · (A×B) = B · (∇×A)−A · (∇×B)

= UVW∂

∂u

( auVW

)usando ∇× (∇α) = 0 .

Similarmente podemos mostrar,

∇ · (avev) = UVW∂

∂v

( avUW

)e ∇ · (awew) = UVW

∂

∂w

( awUV

). (1.68)

Com isso obtemos finalmente,

∇ ·A = UVW

[∂

∂u

( auVW

)+

∂

∂v

( avUW

)+

∂

∂w

( awUV

)]. (1.69)

1.4. COORDENADAS CURVILINEAS 19

1.4.4 Rotacional em coordenadas curvilıneas

Agora mostraremos como exprimir o rotacional de um campo vetorial A em coordenadas cur-vilıneas ortogonais,

rot A = ∇×A . (1.70)

Depois escrevemos de novo A = aueu+avev+awew e comecamos considerando o primeiro termodo rotacional:

∇× (aueu) = ∇×(auU∇u)

usando (1.65) (1.71)

=(∇auU

)×∇u+

auU

(∇×∇u) usando ∇× (αA) = (∇α)×A + α(∇×A)

= U(∇auU

)× eu e ∇× (∇α) = 0 usando (1.65)

= U

[euU

∂

∂u

(auU

)+ evV

∂

∂v

(auU

)+ ewW

∂

∂w

(auU

)]× eu

= U

[evW

∂

∂w

(auU

)− ewV

∂

∂v

(auU

)]

= UVW

[ev

1

V

∂

∂w

(auU

)− ew

1

W

∂

∂v

(auU

)].

Similarmente podemos mostrar,

∇× (avev) = UVW

[ew

1

W

∂

∂u

(avV

)− eu

1

U

∂

∂w

(avV

)](1.72)

∇× (awew) = UVW

[eu

1

U

∂

∂v

(awW

)− ev

1

V

∂

∂u

(awW

)].

Com isso obtemos finalmente,

∇×A = euVW

[∂

∂v

(awW

)− ∂

∂w

(avV

)]+ evUW

[∂

∂w

(auU

)− ∂

∂u

(aww

)](1.73)

+ ewUV

[∂

∂u

(avV

)− ∂

∂v

(auU

)],

ou, escrito como determinante,

∇×A = UVW det

euU

evV

ewW

∂∂u

∂∂v

∂∂w

auU

avV

awW

. (1.74)

1.4.5 Coordenadas cilındricas

Agora identificamos as coordenadas gerais u, v e w com coordenadas as cilındricas ρ, θ e φdefinidas na Eq. (1.52). No Exc. 1.7.4.3 calculamos para o elemento de linha,

dr = dρeρ + ρdφeφ + dzez , (1.75)

o elemento de distancia,

|dr|2 = (dρ)2 + (ρdφ)2 + (dz)2 , (1.76)


o elemento de uma superfıcie dada por z = z(ρ, φ),

ds =

(−∂z∂ρ

eρ −1

ρ

∂z

∂φeφ + ez

)ρdρdφ , (1.77)

e o elemento de volume,dτ = rdzφdr . (1.78)

Nos Excs. 1.7.4.4 ate 1.7.4.6 calculamos, respectivamente, o gradiente,

∇Φ = eρ∂Φ

∂ρ+ eφ

1

ρ

∂Φ

∂φ+ ez

∂Φ

∂z, (1.79)

o divergente,

∇ ·A =1

ρ

∂

∂ρ[ρ aρ] +

1

ρ

∂

∂φ[aφ] +

∂

∂z[az] , (1.80)

o rotacional,

∇×A = eρ1

ρ

[∂az∂φ− ρ∂aφ

∂z

]+ eφ

[∂aρ∂z− ∂az

∂ρ

]+ ez

1

ρ

[∂

∂ρ(ρaφ)− ∂aρ

∂φ

](1.81)

e o operador de Laplace,

∆Φ ≡ ∇ · (∇Φ) =1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂Φ

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2Φ

∂φ2+∂2Φ

∂z2. (1.82)

em coordenadas cilındricas.

Figura 1.6: Ilustracao das coordenadas cartesianas, polares, cilındricas e esfericas.

1.4.6 Coordenadas esfericas

Agora identificamos as coordenadas gerais u, v e w com coordenadas as esfericas r, θ e φ definidasna Eq. (1.53). No Exc. 1.7.4.3 calculamos para o elemento de linha,

dr = drer + rdθeθ + r sin θdφeφ , (1.83)

o elemento de distancia,|dr|2 = (dr)2 + (rdθ)2 + (r sin θdφ)2 , (1.84)

1.5. A FUNCAO δ DE DIRAC 21

o elemento de uma superfıcie dada por r = r(θ, φ),

ds =

(er −

1

r

∂r

∂θeθ −

1

r

1

sin θ

∂r

∂φeφ

)r2 sin θdθdφ , (1.85)

e o elemento de volume,dτ = dsudsvdsw = r2 sin θdθdφdr . (1.86)

Nos Excs. 1.7.4.4 ate 1.7.4.6 calculamos, respectivamente, o gradiente,

∇Φ = er∂Φ

∂r+ eθ

1

r

∂Φ

∂θ+ eφ

1

r sinφ

∂Φ

∂φ, (1.87)

o divergente,

∇ ·A =1

r2

∂Φ

∂r[r2ar] +

1

r sin θ

∂Φ

∂θ[sin θ aθ] +

1

r sin θ

∂Φ

∂φ[aφ] , (1.88)

o rotacional,

∇×A = er1

r sin θ

[∂Φ

∂θ(sin θaφ)− ∂Φ

∂φ(aθ)

]+ eθ

1

r sin θ

[∂Φ

∂φ(ar)− sin θ

∂Φ

∂r(raφ)

](1.89)

+ eφ1

r

[∂Φ

∂r(raθ)−

∂Φ

∂θ(ar)

]

e o operador de Laplace,

∆Φ ≡ ∇ · (∇Φ) =1

r2

∂

∂r

(r2∂Φ

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Φ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2Φ

∂φ2, (1.90)

em coordenadas esfericas.

1.5 A funcao δ de Dirac

Calculamos o divergente do campo vetorial A = r/r3 em coordenadas esfericas 2,

∇ ·A =1

r2

∂

∂r

(r2 1

r2

)= 0 , (1.91)

tal que esperamos, ∫

esfera∇ ·AdV = 0 . (1.92)

Isto e surpreendente, pois a intuicao nos deixe esperar uma divergencia enorme perto da origem.O problema e, que o campo A diverge na origem, o que necessita uma modificacao da expressaopara o gradiente. A lei de Gauß nos da uma indicacao, pois seguinte esta lei, o resultado (1.92)deveria estar igual a integral de superfıcie,

∮

∂ esferaA · dS =

∫ 2π

0

∫ π

0

erR2· (R2 sin θdθdφer) = 4π . (1.93)

Como a integral (1.92) contem uma divergencia dentro do volume de integracao, concluımos quea integral (1.93), que nao tem divergencia dentro da superfıcie de integracao e mais confiavel.Portanto, procuramos uma funcao δ satisfazendo,

∫

esfera∇ ·A(r)dV =

∫

esfera4πδ(r)dV = 4π , (1.94)

isto e, uma funcao tendo a propriedade de matar integrais.

2Ou em coordenadas cartesianas: ∇ ·A = ∂∂r3

xr3

+ ∂∂r3

yr3

+ ∂∂r3

zr3

= 3r3−3x2rr6

+ ... = 0.


1.5.1 A funcao de Dirac em 1 dimensao

Em 1 dimensao a funcao de Dirac e definida por,

δ(x) ≡

0 para x 6= 0

∞ para x = 0, (1.95)

tal que ∫ ∞

−∞δ(x)dx = 1 . (1.96)

A funcao de Dirac pode ser descrita como o limes de uma serie de funcoes contınuas,

δ(x) = limn→∞

1

π

1

1 + n2x2(1.97)

δ(x) = limn→∞

n

π

(sinnx

nx

)2

δ(x) = limn→∞

1

π

sinnx

x= lim

n→∞1

2π

∫ +n

−neikxdk .

Tambem verificamos, que a funcao de Dirac e par, δ(−x) = δ(x), nao linear, δ(ax) = δ(x)/|a|,e pode ser interpretada como a derivada da funcao de Heavyside,

∫ x

−∞δ(x′)dx′ = Θ(x) ou

dΘ

dx= δ(x) . (1.98)

Treinamos o calculo com a funcao de Dirac nos Excs. 1.7.5.1 ate 1.7.5.4.

-1 0 1

0

5

10

15

x

δn(x

)

-1 0 1

0

5

10

15

x

δn(x

)

Figura 1.7: Ilustracao da funcao 1π

sinnxx (esquerda) e da funcao 1

πn

1+n2x2(direita) para varios

n→∞.

1.5.2 A funcao de Dirac em 2 e 3 dimensoes

Em mais dimensoes a funcao δ e frequentemente usada para parametrizar pontos, caminhos ousuperfıcies dentro de um volume. Por exemplo, uma carga puntiforme Q no lugar a pode serdescrita pela distribuicao de densidade tres-dimensional,

ρ(r) = Qδ3(r− a) = Qδ(x− ax)δ(y − ay)δ(z − az) , (1.99)

uma corrente I dentro de uma espira circular com raio R dentro do plano z = 0 gera umadensidade de corrente,

j = Iδ(r −R)δ(z)eφ , (1.100)


chamada de fio de corrente. Similarmente, uma distribuicao dois-dimensional de carga σ ho-mogeneamente na espalhada na superfıcie de uma esfera com raio R pode ser descrita peladistribuicao de densidade tres-dimensional,

ρ(r) = σδ(r −R) . (1.101)

Tais parametrizacoes sao uteis, pois podem ser aplicadas em leis fundamentais do electromag-netismo (vide Exc. 1.7.5.5).

Exemplo 10 (Parametrizacao da distribuicao de corrente): Como exemplo calcula-mos a corrente I produzida pela distribuicao (1.100) atravessando uma area retangular emtorno do ponto r = Rex,

∫

area

j · dA = I

∫ R+∆x

R−∆x

∫ ∆z

−∆z

δ(r −R)δ(z)eydA = I

∫ r+∆x

r−∆x

δ(x−R)dx = I .

Exemplo 11 (Parametrizacao da distribuicao de carga): Num outro exemplo calcu-lamos a carga total Q produzida pela distribuicao (1.101),

∫

volume

ρ(r)dV = σ

∫ 2π

0

∫ π

0

∫ ∞

0

δ(r −R)r2 sin θdθdφdr = σ4πR2 = Q .

Exemplo 12 (Funcao de Dirac na lei de Coulomb): Num terceiro exemplo mostramos,que o campo de uma carga puntiforme, %(r) = Qδ(x)δ(y)δ(z), pode ser obtida a partir dalei de Coulomb,

E =

∫%(r′)

4πε0

r− r′

|r− r′|3 dV′ =

Q

4πε0

r

r3.

1.5.3 Sinais analıticos

Em teoria de processamento de sinais, um sinal analıtico e uma funcao de valores complexossem componentes de frequencia negativas. As partes real e imaginaria de um sinal analıticosao mutuamente relacionadas por uma transformacao de Hilbert. Inversamente, a representacaoanalıtica de uma funcao de valores reais e um sinal analıtico, que compreende a funcao originale sua transformada de Hilbert. Essa representacao facilita muitas manipulacoes matematicas.A ideia basica e que os componentes de frequencia negativa da transformada de Fourier (ouespectro) de uma funcao real sao superfluos, devido a simetria hermitiana de tal espectro. Essescomponentes de frequencia negativa podem ser descartados sem perda de informacoes, desdeque estejamos dispostos a lidar com uma funcao complexa. Isso torna certos atributos da funcaomais acessıveis, particularmente para aplicacao em tecnicas de manipulacao de radiofrequencias.

Enquanto a funcao manipulada nao possui componentes de frequencia negativa (isto e, aindae analıtica), a conversao inversa de complexa para real e apenas uma questao de descartar aparte imaginaria. A representacao analıtica e uma generalizacao do conceito do fasor: enquantoo fasor e restrito a amplitude, fase e frequencia invariantes no tempo, o sinal analıtico permiteparametros temporalmente variaveis.


1.5.3.1 Funcao de transferencia gerando um sinal analıtico

Consideramos uma funcao real s(t) com a sua transformada de Fourier S(f). Entao a transfor-mada exibe uma simetria hermitiana a respeito do ponto f = 0, pois,

S(−f) = S(f)∗ , (1.102)

A funcao

Sa(f) ≡

2S(f) para f > 0

S(f) para f = 0

0 para f < 0

= S(f) + sgn(f)S(f) , (1.103)

onde sgn(f) calcula o sinal de f , somente contem as componentes nao-negativas de S(f). Estaoperacao e reversıvel devido a simetria hermitiana de S(f):

S(f) =

12Sa(f) para f > 0

Sa(f) para f = 012Sa(−f)∗ para f < 0

= 12 [Sa(f) + Sa(−f)∗] . (1.104)

O sinal analıtico de s(t) e a transformada inversa de Fourier de Sa(f),

sa(t) ≡ F−1[Sa(f)] = F−1[S(f) + sgn(f) · S(f)] (1.105)

= F−1[S(f)] + F−1[sgn(f)] ? F−1[S(f)] = s(t) + i[

1πt ? s(t)

]= s(t) + is(t) ,

onde ? denota a convolucao e

s(t) ≡ H[s(t)] ≡ 1πt ? s(t) = 1

πP∫ ∞

−∞

s(τ)

t− τ dτ , (1.106)

com P denotando o valor principal de Cauchy e a definicao da transformacao de Hilbert de s(t) 3.

Exemplo 13 (Sinal analıtico do cosenus): Consideramos o sinal s(t) = cosωt, ondeω > 0. Agora

s(t) = cos(ωt− π2 ) = sinωt ,

sa(t) = s(t) + is(t) = cosωt+ i sinωt = eiωt .

Em geral, a representacao analıtica de uma simples funcao sinusoidal e obtida exprimindo elaem termos de exponenciais complexos, descartando as componentes de frequencia negativase dobrando as componentes de frequencia positiva, como no exemplo s(t) = cos(ωt + θ) =12 (ei(ωt+θ) + e−i(ωt+θ)). Aqui obtemos diretamente pela formula de Euler,

sa(t) =

ei(ωt+θ) = ei|ω|teiθ se ω > 0

e−i(ωt+θ) = ei|ω|te−iθ se ω < 0.

A representacao analıtica de uma soma de funcoes senoidais e a soma das representacoes

analıticas dos senuses individuais.

3Tambem vale,

s(t) = − 1π

limε→0

∫ ∞ε

s(t+ τ)− s(t− τ)

τdτ

H(H(s))(t) = −s(t) .


Notamos que nao e proibido computar sa(t) para um s(t) complexo. So que esta repre-sentacao pode ser nao-reversıvel, pois o espectro original geralmente nao e simetrico. Por isso,com a excecao do caso s(t) = e−iωt com ω > 0, onde,

s(t) = ie−iωt (1.107)

sa(t) = e−iωt + i2e−iωt = e−iωt − e−iωt = 0 ,

assumimos s(t) reais.Tambem notamos que, desde que s(t) = Re[sa(t)], podemos recuperar as componentes de

frequencia negativa simplesmente descartando Im[sa(t)], o que pode parecer contra-intuitivo.Do outro lado, a parte complexa conjugada s∗a(t) somente contem as componentes de frequencianegativa. Portanto, s(t) = Re[s∗a(t)] recupera as componentes suprimidas de frequencia positiva.No Exc. 1.7.5.6 calculamos a intensidade de uma onda eletromagnetica.

1.5.3.2 Envelope e fase instantanea

Um sinal analıtico tambem pode ser exprimido em coordenadas polares,

sa(t) = |sa(t)|eiφ(t) , (1.108)

em termos de uma amplitude instantanea ou envelope |sa(t)| variando com o tempo e um angulode fase instantaneo φ(t) ≡ arg[sa(t)]. Na Fig. 1.8 a curva azul mostra s(t) e a curva vermelhamostra |sa(t)|.

Figura 1.8: Ilustracao de uma funcao (azul) e a magnitude de sua representacao analıtica (ve-melho).

A derivada temporal da fase instantanea desembrulhada e a frequencia angular instantanea,

ω(t) ≡ dφ(t)

dt. (1.109)

A amplitude instantanea e a fase e frequencia instantanea sao usadas, em algumas aplicacoes,para medir e detectar caracterısticas locais do sinal ou para descrever a demodulacao de umsinal modulado. As coordenadas polares convenientemente separem efeitos de modulacao deamplitude e de fase.

Sinais analıticos frequentemente sao deslocados em frequencia (down-conversion) para 0 Hz,o que pode criar componentes de frequencia negativa (nao-simetricas):

s′a(t) ≡ sa(t)e−iω0t = sm(t)ei(φ(t)−ω0t) , (1.110)


onde ω0 e uma frequencia angular de referencia arbitraria. A funcao s′a(t) se chama envelopecomplexa ou ’baseband’. A envelope complexa nao e unica, mas determinada pela escolha deω0. Este conceito e frequentemente usado lidando com sinais de passa-banda. Quando s(t) eum sinal modulado, ω0 e convenientemente escolhido como a frequencia portadora.


1.6 Tabelas de formulas da Fısica III (Eletrodinamica)

1.6.1 Grandezas e formulas do eletromagnetismo

carga Q unidade basica SI [C]

campo eletrico (lei de Coulomb) E dE(r) = 14πε0

dQ(r−r′)|r−r′|3

lei de Coulomb E(r) = 14πε0

∫Vρ(r′)(r−r′)|r−r′|3 d3r′

princıpio de superposicao F = F1 + F2

forca de Coulomb FC FC = qE

momento dipolar eletrico p p ≡ qrtorque eletrico ~τ τ = p×E

energia potencial do dipolo eletrico Ue Ue = −p ·Efluxo eletrico Ψe Ψe ≡

∫S E · dS

lei de Gauß eletrica∮S E · dS = Qdentro

ε0= 1

ε0

∫V ρ(r′)d3r′

gradiente ∇ ∇ ≡∑k ek∂∂xk

potencial V V ≡ −∫γ E · dr

voltagem U U12 ≡ V2 − V1

capacitancia C C ≡ QU

capacitor de placas C = ε0Ad

resistencia (lei de Ohm) R R ≡ UI

lei 1. de Kirchhoff∑

k Uk = 0 em cada malha

lei 2. de Kirchhoff∑

k Ik = 0 em cada no

campo magnetico (lei de Biot-Savart) B dB(r) = µ04π

∫CId~×(r−r′)|r−r′|3

lei de Biot-Savart B(r) = µ04π

∫V

(r−r′)×j(r′)|r−r′|3 d3r′

forca de Lorentz FL FL = qv ×B

momento dipolar magnetico ~µ ~µ ≡ IAtorque magnetico ~τ ~τ = ~µ×B

energia potencial do dipolo magnetico Um Um = −~µ ·Bfluxo magnetico Ψm Ψm ≡

∫S B · dS

lei de Gauß magnetica∮S B · dS = 0

lei de Ampere∮C B · d~= µ0Identro = µ0

∫S j(r

′)d2r′

lei de Faraday Uind = −dΦmdt

indutancia L L ≡ − UinddI/dt

auto-indutancia de uma bobina L = µ0N2πr2

`

vetor de Poynting S S ≡ E×H

1.6. TABELAS DE FORMULAS DA FISICA III (ELETRODINAMICA) 29

deslocamento eletrico D D = εE

polarizacao P P = D− ε0E

excitacao magnetica H H = µ−1B

magnetizacao M M = µ−10 B−H

1.6.2 Unidades CGS

Na eletrodinamica sao usados frequentemente unidades CGS, tambem chamadas de unida-des gaussianas. Nesta apostila usamos exclusivamente unidades SI do Systeme Internationald’Unites. Para fazer a conversao e suficiente deixar,

e→ eCGS√

4πε0 , j→ jCGS√

4πε0 (1.111)

E→ ECGS

√1

4πε0, B→ BCGS

√µ04π

D→ DCGS

√ε04π , H→ HCGS

√1

4πµ0

P→ PCGS

√4πε0 , M→MCGS

√4πµ0.

As equacoes de Maxwell no sistema irracional gaussiano ficam,

rot H = 1c∂tD + 4π

c j , div D = 4π% . (1.112)

Alem disso,

u = 18π (E2 + B2) , S = c

4π (E×B) . (1.113)

As equacoes materiais para meios dieletricos sao,

D = εE , P = χεE , ε = 1 + 4πχε , (1.114)

e para meios dia- e paramagneticos,

B = µH , M = χµH , µ = 1 + 4πχµ . (1.115)

1.6.3 Regras basicas da analise vetorial

Tem as seguintes regras basicas:

E ·B = B ·E mas E · ∇ 6= ∇ ·E , (1.116)

φB = Bφ mas φ∇ 6= ∇φ ,E×B = −B×E mas E×∇ 6= −∇×E ,

E · (B×C) = B · (C×E) ,

E× (B×C) = ,

∇f(φ(r)) =∂f

∂φ∇φ(r) regra de cadeia ,

∇(E ·B) = ∇(EB) +∇(EB) regra de produto para escalares ou vetores .


1.6.4 Regras deduzidas da analise vetorial

Tem as regras deduzidas:

∇(φ+ ψ) = ∇φ+∇ψ , (1.117)

∇(φψ) = φ∇ψ + ψ∇φ ,∇ · (E + B) = ∇ ·E +∇ ·B ,

∇× (E + B) = ∇×E +∇×B ,

∇ · (φE) = φ(∇ ·E) + (∇φ) ·E ,

∇× (φE) = φ(∇×E) + (∇φ)×E ,

∇ · (E×B) = (∇×E) ·B−E · (∇×B) ,

∇×(E×B) = (B · ∇)E− (E · ∇)B + E(∇ ·B)−B(∇ ·E) ,

∇(E ·B) = E× (∇×B) + B×(∇×E) + (E · ∇)B + (B · ∇)E ,

∇× (∇φ) = 0 = ∇ · (∇×E) ,

∇× (∇×E) = ∇(∇ ·E)−∆E ,

∇ · (∇φ) = ∆φ ,

E · (∇φ) = (E · ∇)φ ,

E× (∇φ) = (E×∇)φ ,

∇φ =dφ

dr∇r regra de cadeia ,

∇φ(ψ) =dφ(ψ)

dψ∇ψ ,

∇ ·E(ψ) =dE(ψ)

dψ· ∇ψ ,

∇×E(ψ) = −dE(ψ)

dψ×∇ψ .

1.6.5 Regras integrais da analise vetorial

Tem as regras integrais:

∫

V∇φdV =

∫

SφdS, (1.118)

∫

V∇ ·EdV =

∮

∂VE · dS regra de Gauß ,

∫

A∇×E · dS =

∮

∂CE · dl regra de Stokes ,

∫

Vφ(∇ψ)dV =

∫

∂VφψdS−

∫

V(∇φ)ψdV regra de Green ,

∫

V[φ(∆ψ)− (∆φ)ψ] dV =

∫

∂V[φ(∇ψ)− (∇φ)ψ] · dS

∫

Vφ(∆ψ)dV =

∫

V(∆φ)ψdV ∆e hermitiano, quando lim

r→∞rφ(r) = 0 = lim

r→∞rψ(r) ,

d

dt

∫ b(t)

a(t)f(x, t)dx =

∫ b(t)

a(t)

∂f

∂τ(x, t)dx+

db(t)

dtf(b, t)dx− da(t)

dtf(a, t)dx .

1.7. EXERCICIOS 31

Notacao

∇φ · dS = ∇φ · n dS =∂φ

∂ndS . (1.119)

1.7 Exercıcios

1.7.1 A analise vetorial

1.7.1.1 Ex: Algebra vetorial

a. Mostre que os produtos escalares e vetoriais sao distributivos.b. Determine se o produto vetorial e associativo.


a. Considere o cubo unitario com um canto fixo na origem e gerado pelos vetores, a = (1, 0, 0),b = (0, 1, 0) e c = (0, 0, 1). Determine o angulo entre aquelas diagonais que passam pelo centrodo cubo.b. Considere o plano contendo os pontos a, b e c dados em (a). Use o produto vetorial paracalcular o versor deste plano.


a. Prove a regra a×(b×c) = b(a·c)−c(a·b) escrevendo os dois lados em forma por componentes.b. Prove a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b). Em quais condicoes vale a×(b×c) = (a×b)×c?


a. Dois vetores mostram a partir da origem para os pontos r = (2, 8, 7) e r′ = (4, 6, 8). Determinea distancia entre os pontos.

1.7.1.5 Ex: Rotacao do sistema de coordenadas

a. Prove que a matriz de rotacao dois-dimensional

cosφ sinφ

− sinφ cosφ

preserve o produto escalar, isto e, A′xB′x +A′yB

′y = AxBx +AyBy.

b. Quais sao os constrangimentos para os elementos Rij da matriz de rotacao tres-dimensionalnecessarias para preservar sob transformacao o comprimento de um vetor arbitrario?


Encontre a matriz descrevendo uma rotacao de 120 em torno do eixo ~ω = (1, 1, 1).


Considere a transformacao que corresponde a uma inversao dos componentes do vetor r −→ −re encontre como o produto vetorial e o triplo produto escalar se transformam sob inversao.


1.7.1.8 Ex: Matrizes de rotacao

Mostre, que o produto escalar a ·b e o angulo α entre os dois vetores ficam preservados, quandogiramos os dois vetores por um angulo θ em torno de um qualquer eixo.


Considere a matriz,

r =1

2

√2√

2 0

−1 1√

2

1 −1√

2

.

a. Mostre, que r e uma matriz de rotacao.b. Determine o eixo de rotacao.Ajuda: O eixo de rotacao a fica invariavel sob rotacao: ra = a. Use esta condicao.c. Determine o angulo de rotacao.Ajuda: Considere para isso um vetor que fica perpendicular a a.


Uma rotacao pelo angulo φ em torno do eixo z e descrito pela matriz de rotacao Dz(φ) com,

Dz(φ) =

cosφ sinφ 0

− sinφ cosφ 0

0 0 1

.

a. Mostre por um calculo explicito que matrizes inversas satisfazem, D−1z (φ) = Dz(−φ) = Dt

z(φ).b. Mostre, Dz(φ1)Dz(φ2) = Dz(φ1 + φ2) = Dz(φ2)Dz(φ1).c. Mostre, [Dz(φ1)Dz(φ2)]t = Dt

z(φ2)Dtz(φ1).


a. Seja dada a base (ex, ey, ez) em coordenadas cartesianas. Determine as matrizes de trans-formacao para as bases cilındricas (eρ, eϕ, ez) e esfericas (er, eθ, eϕ) e a sua inversa.b. Transforme para os dois casos os campos de forca,

F1 = −κ

x

y

z

F2 = γ

y

−x0

F3 = δ

− xz√x2+y2

− y z√x2+y2√

x2 + y2

.

c. Mostre de maneira geral, que para matrizes de rotacao, os vetores que correspondem as colunasdas matrizes sao mutuamente ortogonais. O mesmo vale para as linhas das matrizes. Use paraisso a relacao, AtA = AAt = 1.

1.7. EXERCICIOS 33

1.7.1.12 Ex: Sistema rotativo

Considere um sistema de coordenadas rotativo, que no tempo t = 0 coincide com o sistema delaboratorio, mas gira em relacao ao sistema de laboratorio com a velocidade angular ω = 2π/T ,T = 10 s, em torno do eixo x. Neste sistema de coordenadas a rotacao de um ponto de massa edada pelo vetor,

~r′ =

1

1

0

.

a. Determine o vetor da posicao deste ponto a respeito do sistema de coordenadas de laboratorio.b. Considere o vetor de posicao no tempo t = 5s e determine a sua velocidade medida no sistemagirante e no sistema de laboratorio.

1.7.1.13 Ex: Sistema rotativo

Considere dois sistemas de coordenadas, ambos com a origem no centro da Terra e com o seueixo z em paralelo ao eixo de rotacao da Terra. O sistema rotativo gira com a Terra, enquantoo sistema de laboratorio e fixo no sistema solar. Um aviao se move com velocidade constante vrelativo a superfıcie da Terra numa trajetoria direta a partir do polo norte ate o equador, ondeele chega apos um tempo de τ = 12 h. Qual e a velocidade do aviao (como funcao do tempo)visto pelo sistema de laboratorio?


Aqui queremos girar uma haste em torno de varios eixos e determinar, se a sua orientacao finaldepende do caminho de rotacao. Sabemos, que a matriz

Rz(α) =

cosα sinα 0

− sinα cosα 0

0 0 1

descreve a transformacao de um vetor sob rotacao do sistema de coordenadas por um angulo αem torno do eixo z.a. Mostre, que rotacoes correspondentes em torno do eixo x, resp., do eixo y sao dadas por,

Rx(α) =

1 0 0

0 cosα sinα

0 − sinα cosα

, Ry(α) =

cosα 0 − sinα

0 1 0

sinα 0 cosα

.

b. Mostre, que uma rotacao do sistema de coordenadas em torno do eixo y por um anguloα = π/2 leve ao mesmo resultado como uma rotacao em torno do eixo z pelo angulo π/2 seguidopor uma rotacao em torno de x pelo angulo π/2 seguido por uma rotacao em torno de z peloangulo 3π/2.


1.7.2 Calculo diferencial

1.7.2.1 Ex: Operadores diferenciais

Encontro os gradientes dos seguintes campos escalares:a. Φ(r) = x2 + y3 + z4 ,b. Φ(r) = x2y3z4 ,c. Φ(r) = ex sin y ln z .

1.7.2.2 Ex: Paisagem 2D

Uma paisagem 2D e parametrizada por h(x, y) = 10(2xy − 3x2 − 4y2 − 18x+ 28y + 12).a. Onde fica topo da montanha?b. Qual e a sua altura?


Calcule ∇r′ |r− r′|n.


Calcule o divergente e o rotacional do campo vetorial A = e−x2yex + z

1+y2ey + xez no ponto

(0, 1, 1).

1.7.2.5 Ex: Fontes e vortices

a. Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial A = Axex +Ayey +Azez.b. Calcule para os seguintes campos as fontes e os vortices:

A1 = −yex + xey , A2 = +yex + xey ,

A3 = +xex + yey , A4 = +xex + xey .

c. Faz uma ilustracao grafica dos campos e da uma interpretacao geometrica de div e rot.

1.7.2.6 Ex: Fontes e vortices

Calcule o divergente ∇ · rr3

.

1.7.2.7 Ex: Expansao de Taylor em 3D

Considere a funcao,

f(x) =1

|d− x| .

Calcule a expansao de Taylor desta funcao em coordenadas cartesianas em x na posicao x = 0(em todas as tres coordenadas espaciais) ate segunda ordem inclusive.

1.7. EXERCICIOS 35

1.7.2.8 Ex: Tensor de Levi-Civita

Prove as seguintes relacoes para o sımbolo de Kronecker e o tensor de Levi-Civita por distincaodos casos nos ındices,a. εijkδij = 0 ,b. εijkεijk = 6,c. εijkεijn = 2δkn,d. εijkεimn = δjmδkn − δjnδkm.

1.7.2.9 Ex: Tensor de Levi-Civita

Sejam dados os vetores A, B, C e D ∈ R3. Usando o sımbolo de Kronecker e o tensor deLevi-Civitaa. mostre A×Bi = εijkAjBk;b. prove a relacao, (A×B) ·C = (B×C) ·A = (C×A) ·B; c. usando a formulas de (b) deriveas seguintes regras de calculo:

i. (A×B)2 = A2B2 − (A ·B)2

ii. (A×B) · (C×D) = (A ·C)(B ·D)− (A ·D)(B ·C) ;

d. prove que:

i. (A×B) · [(B×C)× (C×A)] = [A · (B×C)]2

ii. A× (B×C) + B× (C×A) + C× (A×B) = 0 .

1.7.2.10 Ex: Tensor de Levi-Civita e tautologias vetoriais (H21)

Sejam Ψ e Φ campos escalares e A, B, C e D campos vetoriais. Mostre as seguintes identidadescom a ajuda do sımbolo de Kronecker:a. A · (B×C) = B · (C×A),b. (A×B) · (C×D) = (A ·C)(B ·D)− (B ·C)(A ·D),c. (A×B)× (C×D) = ((A×B) ·D)C− ((A×B) ·C)D,d. ∇(ΦΨ) = Φ∇Ψ + Ψ∇Φ,e. ∇× (ΦA) = (∇Φ)×A + Φ∇×A,f. ∇× (A×B) = (B · ∇)A− (A · ∇)B + A(∇ ·B)−B(∇ ·A),g. ∇(A ·B) = A× (∇×B) + B× (∇×A) + (A · ∇)B + (B · ∇)A,h. ∇ · (∇Φ) = ∆Φ,i. A · (∇Φ) = (A · ∇)Φ,j. A× (∇Φ) = (A×∇)Φ.k. ∇ · (A×B) = B · (∇×A)−A · (∇×B),l. ∇ (ΨA) = A · ∇Ψ + Ψ∇ ·A,m. ∇ · (Ψ∇Ψ) = Ψ∆Ψ + (∇Ψ)2

n. ∇ · (A×B) = B · (∇×A)−A · (∇×B),o. ∇ · (∇×A) = 0,p. ∇× (∇Φ) = 0,q. ∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A.


1.7.3 Calculo integral

1.7.3.1 Ex: Integral de caminho e trabalho

Seja dado um campo eletrico A(r) = E0zez. Uma carga +q seja deslocada numa linha reta doponto (0, 0, 0) ate o ponto (1, 1, 1).a. Escreve uma parametrizacao da trajetoria.b. Calcule o trabalho gastada nesta carga explicitamente ao longo da integral de caminho W =q∫

E(r) · dr.c. Calcule o trabalho pelo potencial φ.


Seja dado um campo E dependendo de z da maneira seguinte E = E0zez. A carga q sejamovimentada numa trajetoria em forma de espiral r(t) com o raio R

r(t) =

R cos t

R sin t

h6π t

entre z = 0 ate z = h. Faz um esquema de r(t). Calcule o trabalho gasto na carga explicitamentepela integral de linha W = q

∫E · dr. Como podemos calcular o trabalho mas facilmente?


Calcule a integral de caminho do campo Φ = x2ex+2yzey +y2ez a partir da origem ate o ponto(1, 1, 1) para tres caminhos diferentes:a. Para o caminho (0, 0, 0) −→ (1, 0, 0) −→ (1, 1, 0) −→ (1, 1, 1);b. para o caminho (0, 0, 0) −→ (0, 0, 1) −→ (0, 1, 1) −→ (1, 1, 1);c. em linha reta.

1.7.3.4 Ex: Parametrizacao de curvas

O movimento de um ponto de massa e dado em coordenadas cartesianas pelo vetor r(t) =(ρ cosφ(t), ρ sinφ(t), z0) com ρ = vt e φ = ωt + φ0. Qual e a figura geometrica tracejada pelomovimento? Exprime a velocidade r(t) e a aceleracao r(t) em coordenadas cartesianas. Calcule|r(t)|2, |r(t)|2,r(t) · r(t) e r(t)× r(t).

1.7.3.5 Ex: Integrais de superfıcie

Dado seja o campo vetorial A = zyex+y3 sin2 xey+xy2ezez. Calcule as integrais∫

A · dF sobreo triangulo (0, 0, 0) → (0, 3, 0) → (0, 0, 3) → (0, 0, 0), e sobre o retangulo (2, 2, 0) → (2, 4, 0) →(4, 4, 0)→ (4, 2, 0)→ (2, 2, 0).


Calcule a integral sobre uma superfıcie fechadaa. do campo A = r sobre o cubo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 eb. do campo A = ρEρ sobre a superfıcie radial do cilindro 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ ρ ≤ 1.

1.7. EXERCICIOS 37


Calcule para o campo vetorial A(r) = cr com c =constante a integral de superfıcie

I =

∫

F

A(r)× dS

a. sobre a superfıcie de uma esfera (raio R, centro na origem das coordenadas)b. sobre a superfıcie de um cilindro (raio R, comprimento L).


Prove a relacao:

tij ≡∫

O(a)

dfxixj =4π

3a4δij ,

onde i, j = 1, 2, 3, x1 = x, x2 = y, x3 = z, e a integral tem que ser calculada sobre a superfıciede uma esfera com raio a.

1.7.3.9 Ex: Integral de volume

Calcule a integral de volume da funcao Φ = z2 sobre o tetrahedron com os cantos em (0, 0, 0),(1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).

1.7.3.10 Ex: Teorema fundamental para gradientes

1.7.3.11 Ex: Teorema integral de Stokes

Calcule para o campo seguinte,

A(r) =

yz

azx

xy

usando a lei de Stokes a integral de caminho∮

A · r para uma integracao ao longo de um cırculocom raio R em torno do eixo z na posicao z = h.

1.7.3.12 Ex: Teorema integral de Stokes

Calcule a integral∮C x(ex + ey) dr, onde C seja o cırculo unitario no plano x-y.

1.7.3.13 Ex: Teorema integral de Gauß

Calcule o fluxo do campo vetorial A(r) = r atraves de uma esfera com raio Ra. pela integral de superfıcie eb. com a ajuda do teorema de Gauß pela integral de volume sobre o divergente.



Seja F a superfıcie de um volume arbitrario V . Determine para A(x1, x2, x3) = (ax1, bx2, cx3)a validade da relacao ∮

FdF ·A = (a+ b+ c)V .


Sejam a um campo escalar e B um campo vetorial. Mostre que vale,

∫

V

d3r B · ∇a =

∫

O(V )

aB · dF−∫

V

d3r a∇ ·B .

1.7.3.16 Ex: Teoremas integral de Gauß

Calcule a integral∮F x(ex + ey) dF, onde F seja a superfıcie de uma esfera unitaria.

1.7.4 Coordenadas curvilıneas

1.7.4.1 Ex: Coordenadas esfericas e cilındricas

a. Exprime as coordenadas cilındricas ρ, ϕ, z em termos das cartesianas x, y, z.b. Exprime as coordenadas esfericas r, θ, ϕ em termos das cartesianas x, y, z.


Exprime os versores er, eθ, eϕ em termos dos ex, ey ez e verifique a ortogonalidade da baseesferica.

1.7.4.3 Ex: Elementos diferenciais em coordenadas curvilıneas (T4)

Mostramos em aula, que a transformacao a partir de um sistema de coordenadas cartesianas(x, y, z) para um outro sistema curvilıneo e ortogonal (u, v, w) e dada por r ≡ (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)).Agora, considere coordenadas polares esfericas r ≡ (x(r, θ, φ), y(r, θ, φ), z(r, θ, φ) definidas emaula.a. Calcule as funcoes Ur, Vθ,Wφ definidas por

Ur =

∣∣∣∣∂r

∂r

∣∣∣∣−1

, Vθ =

∣∣∣∣∂r

∂θ

∣∣∣∣−1

, Wφ =

∣∣∣∣∂r

∂φ

∣∣∣∣−1

.

b. Determine as coordenadas cartesianas dos novos versores er, eθ, eφ, desenhe a posicao destesvectores num ponto r0 e verifique a ortogonalidade dos versores.c. Determine o diferencial total dr, o elemento de linha (ds)2 = |dr|2 e o elemento de volumedτ = dsudsvdsw em termo das novas coordenadas.e. Repete os passos (a)-(c) para coordenadas polares planares.

1.7. EXERCICIOS 39


Calcule ∇Φ, ∇ ·A, ∇×A e ∆Φ = ∇ · (∇Φ)a. em coordenadas esfericas (r, θ, φ).b. em coordenadas cilındricas (ρ, φ, z).

1.7.4.5 Ex: Divergencia em coordenadas curvilıneas

Calcule a divergencia do campo de forca F(r) =

x2y

2yz

x+ z

em coordenadas (a) cartesianas e (b)

cilındricas e compare os resultados.

1.7.4.6 Ex: Operadores diferenciais em coordenadas curvilıneas

Em coordenadas cartesianas o elemento diferencial de linha tem a forma dr = exdx+eydy+ezdze em coordenadas ortogonais arbitrarias

dr = e1h1dq1 + e2h2dq2 + e3h3dq3

com ei = ∂r∂qi·∣∣∣ ∂r∂qi

∣∣∣−1

e hi =∣∣∣ ∂r∂qi

∣∣∣. Para coordenadas esfericas (r, φ, θ) achamos hr = 1, hφ =

r sin θ, hθ = r; para coordenadas cilındricas (ρ, φ, z) achamos hρ = 1, hφ = ρ, hz = 1.a. O gradiente tem a form geral

∇iΦ(r) =1

hi

∂

∂qiΦ(r) .

Determine o gradiente em coordenadas esfericas e cilındricas.b. O divergente de um campo vetorial A tem a forma geral

∇ ·A(r) =1

h1h2h3

[∂

∂q1(A1h2h3) +

∂

∂q2(A2h1h3) +

∂

∂q3(A3h1h2)

].

Determine ∇ ·A em coordenadas esfericas e cilındricas.c. Use os resultados em (a) e (b) para determinar o operador de Laplace

∆ = ∇ · ∇

em coordenadas esfericas.

1.7.4.7 Ex: Aceleracao em coordenadas esfericas

Em coordenadas esfericas o vetor de velocidade tem a seguinte forma,

~v =dr

dt= rer + rθeθ + φr sin θeφ .

Calcule o vetor de aceleracao em coordenadas esfericas. Respeite que os vetores da base tambemdevem ser derivadas pelo tempo.


1.7.4.8 Ex: Elemento de volume em coordenadas curvilıneas

a. Calcule a superfıcie de um retangulo com largura a e altura b em coordenadas cartesianas.b. Calcule a superfıcie de um disco do raio R em coordenadas polares.c. Calcule o volume de um cuboide com as dimensoes a, b, c em coordenadas cartesianas.d. Calcule o volume um cilindro com o raio R e altura H em coordenadas cilındricas.e. Calcule o volume uma esfera com o raio R em coordenadas esfericas.

1.7.4.9 Ex: Volume esferico

O volume de um corpo e dado pela seguinte formula:

V =

∫

V1 dV .

a. Calcule o volume de uma esfera em 3D em coordenadas esfericas.Pela lei integral de Gauß podemos estabelecer uma relacao entre o volume da esfera e a suasuperfıcie. (Ajuda: Para qual campo vetorial A vale: ∇ ·A = 1?)b. Agora calcule o volume da esfera neste sentido. Pode assumir, que a superfıcie da esfera econhecida.c. Derive analogamente a formula acima uma relacao geral entre o volume de uma hiperesfera n-dimensional e a sua hipersuperfıcie (n−1)-dimensional. Ajuda: A lei de Gauß vale em dimensoesarbitrarias com o operador nabla n-dimensional definido por, ∇ = (∂/∂x1, . . . , ∂/∂xn).

1.7.4.10 Ex: Volume esferico

A distribuicao de densidade de um gas seja dada por n(r) = C2 − x2

r20− y2

r20− z2

r20. Determine a

constante C de tal maneira, que densidade n(r) fica normalizada ao numero de atomos no gas,isto e,

∫V n(r)d3r = N , onde V e o volume dentro do qual a densidade e positiva, n(r) ≥ 0.

1.7.4.11 Ex: Volumes esferico e cilındrico

a. Integre uma superfıcie circular com raio R em coordenadas cartesianas e depois em coorde-nadas polares.b. A distribuicao de densidade de um gas atomico aprisionado seja descrita por n(r) = n0e

−r2/r2 ,onde n0 = 1013 cm−1 e a densidade maxima e r = 100 µm uma medida para a extensao da

1.7. EXERCICIOS 41

distribuicao. Calcule o numero de atomos N =∫R3 n(r)d3r, integrando em coordenadas carte-

sianas e depois em coordenadas polares.c. Calcule a densidade de um cilindro homogeneo de massa 10 kg e comprimento 20 cm inte-grando sobre seu volume.d. A distribuicao de densidade de um gas atomico aprisionado seja descrita por n(ρ, z) =

max

0, n0 ·(

1− ρ2

ρ2m− z2

z2m

), onde n0 = 1013 cm−3 e a densidade maxima e zm = 2ρm = 100 µm

uma medida para a extensao da distribuicao. Calcule o numero de atomos, integrando em co-ordenadas cilındricas.

1.7.4.12 Ex: Volume cilındrico

Considere um material (gas ou lıquido) cuja densidade de massa ρ(r) depende da coordenada zda seguinte forma: ρ(r) = ρ0(1− αz). Este material seja colocadop dentro de um cilindro (raioR e altura c) ate a massa total no cilindro ser M . O cilindro fica em pe numa area circular sobredo xy em z = 0.a. Calcule o parametro de densidade ρ0.b. Calcule o vetor do centro de massa rs do material no cilindro.c. Agora coloca o mesmo material dentro de uma esfera de raio R em vez do cilindro. Quais saoos resultados neste case, se α = 0.1 /m, R = 1 m e M = 10 kg.d. Um bolo da massa M , altura h e raio R seja cortado em quarto pedacos iguais. Calcule ocentro de massa de um pedaco. Calcule o centro de massa do resto do bolo quando um pedacofor tirado.

1.7.4.13 Ex: Potencial vetorial em coordenadas curvilıneas

Seja dado um campo B constante orientado na direcao z. Qual e o potencial vetorial A em(a) coordenadas esfericas, (b) coordenadas cilındricas, e (c) coordenadas cartesianas? Para ocaso (c) tambem considere a transformacao de calibre A′ = A +∇λ com λ = ±Bxy/2.

1.7.4.14 Ex: Tensores de n-esima ordem

Seja dado F = E + iB e F∗ = E− iB. Identifique (neste ordem) o escalar F∗ · F/(8π), o vetorF∗ × F/(8πi) e a Dyade (tensor) (F∗F + FF∗)/(8π). O que acontece com estas grandezas, setrocamos F por e−iφF, onde φ e suposto constante?

1.7.4.15 Ex: Jacobiano

O jacobiano de um campo F e definido por,

J ≡ ∂(F1, .., Fm)

∂(x1, .., xn)≡(∂Fm∂xn

)

mn

.

a. Calcule o jacobiano da transformacao de coordenadas cilındricas (ρ, z, ϕ) para coordenadascartesianas (x, y, z).b. Calcule o jacobiano da transformacao de coordenadas esfericas (r, θ, ϕ) para coordenadascartesianas (x, y, z).


1.7.4.16 Ex: Jacobiano

Determine o jacobiano das transformacoes de Galilei,

ct′ = ct e x′ = x e y′ = y e z′ = z − uc ct ,

e de Lorentz,

ct′ = γ(ct− ucx) e x′ = x e y′ = y e z′ = γ(z − u

c z) .

1.7.4.17 Ex: Teorema de Gauß em coordenadas curvilıneas

a. Verifique o teorema de Gauß para a funcao A = r2er usando o volume de uma esfera de raioR.b. Faca o mesmo para a funcao B = r−2er e discute o resultado.


Calcule a divergencia da funcao,

A = rer cos θ + reθ sin θ + reϕ sin θ cosϕ .

Verifique o teorema de Gauß para esta funcao usando o volume de uma semiesfera invertida deraio R deitada no plano xy.


Calcule o gradiente e o laplaciano da funcao T = r(cos θ + sin θ cosϕ). Verifique o laplacianoconvertendo T em coordenadas cartesianas. Verifique o teorema de Gauß usando o caminhol1(t) = 2ex cosπt + 2ey sinπt para t ∈ [0, 0.5] seguido por l2(t) = 2ey sinπt − 2ez cosπt parat ∈ [0.5, 1].


a. Encontre a divergencia da funcao,

A = ρeρ(2 + sin2 ϕ) + ρeϕ sinϕ cosϕ+ 3zez .

b. Verifique o teorema de Gauß para esta funcao usando um quadrante de um cilindro com raioR = 2 e altura h = 5.c. Encontre o rotacional de A.

1.7.5 A distribuicao δ de Dirac

1.7.5.1 Ex: A distribuicao δ

As seguintes propriedades sao, entre outras, caracterısticas para a funcao δ de Dirac,

b∫

a

f(x)δ(x− c) dx =

f(c) se c ∈ [a, b]

0 senao.

1.7. EXERCICIOS 43

Sendo g(x) uma funcao com passagens de zero simples xn, isto e, g(xn) = 0 e g′(xn) 6= 0, temos

δ(g(x)) =∑

n

1

|g′(xn)|δ(x− xn) .

Use estas relacoes para resolver as seguintes integrais,a.∫ 5−2 dx (x2 − 5x+ 6) δ(x− 3).

b.∫∞−∞ dx x2 δ(x2 − 3x+ 2) .


a. Calcule∫ π

0 dθ sin3 θ δ(cos θ − cos π3 ).b. Seja agora r0 um vetor tres-dimensional fixo com coordenadas cartesianas x0, y0 e z0. Paraa funcao δ tres-dimensional vale,

∫

V

f(r)δ(r− r0)d3r =

f(r0) se r0 e dentro do volume V

0 senao.

Em coordenadas cartesianas, δ(3)(r − r0) ≡ δ(x − x0)δ(y − y0)δ(z − z0). Exprime δ(3)(r − r0)em coordenadas cilındricas (ρ, ϕ, z) como produto de tres funcoes uni-dimensionais δ em ρ− ρ0,ϕ− ϕ0 e z − z0.


Calcule as seguintes expressoes:a.∫ +1−1 δ(x)[f(x)− f(0)] dx,

b.∫ 3−1(x3 − x) sin

(π4x)δ(x− 2) dx,

c.∫ 2π

0 sinx δ(cosx)dx,d.∫R3 δ(r −R)d3r,

e.∫R3 δ(r −R)δ(z)d3r,

f.∫∞−∞

(ddxδ(x)

)f(x)dx por integracao parcial,

g.∫∞−∞

(dn

dxn δ(x))f(x)dx.


Mostre, ∫ ∞

−∞1 · f(k)dk =

∫ ∞

−∞1(x)f(x)dx = 2πf(0) ,

onde f(k) ≡∫∞−∞ e

−ikxdx e a transformada de Fourier e f(x) ≡∫∞−∞ e

ikxdk a transformadainversa. Mostre tambem,

1 = 2πδ(x) .

Ajuda: 1 = eik0.

1.7.5.5 Ex: Parametrizacao de correntes

Parametrize a densidade de corrente j(r′) de uma espira de correntea. em coordenadas cartesianas eb. em coordenadas esfericas.


1.7.5.6 Ex: Intensidade de uma onda eletromagnetica

Calcule a intensidade da onda eletromagnetica dada por (a) E(r, t) = E0 cos(kz−ωt) e (b) E(r, t) =E0e

ikz−iωt. Discute!

Capıtulo 2

Eletrostatica

Ja vimos que todos os fenomenos eletromagneticos sao devidos a cargas, que estas cargas saoquantizadas e conservadas e que vale o princıpio de superposicao das forcas. Em principioseria possıvel, calcular a forca exercida por cada carga sobre cada outra carga. Na realidadea situacao e bem complicada, pois a forca nao so depende da posicao da carga, mas tambemda sua velocidade e aceleracao. Alem disso, a informacao sobre a situacao atual da carga so setransmite com a velocidade finita da luz.

Para simplificar o problema vamos inicialmente somente considerar cargas imoveis. A ele-trostatica e a teoria tratando de cargas eletricas imoveis, o problema fundamental sendo o calculoda forca exercida por distribuicoes espaciais de cargas.

2.1 A carga eletrica e a forca de Coulomb

2.1.1 Quantizacao e conservacao da carga

Sabemos que a materia comum consiste de atomos geralmente eletricamente neutros. Um atomo,consiste de um nucleo pesado e de uma camada de eletronica muito leve. O nucleo, em torno, efeito de um certo numero de protons e de neutrons. Cada proton carrega uma carga elementarpositiva Q = +e, isto e, a carga e quantizada em unidades de e. Para um atomo ficar neutro, onumero de eletrons (com carga negativa −e) na camada deve ser igual ao numero de atomos.

Corpos macroscopicos sao geralmente neutros, mas isso nao significa, que cargas positivas enegativas podem se aniquilar. Mas o que eles podem fazer, e de se concentrar em uma regiaorestrita do espaco. Entao, as forcas exercidas por cargas positivas e negativas acumuladasdentro desta regiao sobre outras cargas muito afastadas se compensam. Este efeito e chamadode blindagem.

Nao obstante, e possıvel, exercendo trabalho, separar cargas positivas e negativas (gerandopolarizacoes em materiais dieletricos ou correntes em metais condutores), e fazer experimentoscom objetos macroscopicos eletricamente carregados.

2.1.2 A lei de Coulomb

Para comecar consideramos so uma carga puntiforme Q no lugar r′ exercendo uma forca sobreoutra carga localizada em r. A chamada forca de Coulomb e,

FC =Qq

4πε0

r− r′

|r− r′|3 , (2.1)

onde ε0 e uma constante chamada de permitividade do espaco livre. A forca de Coulomb diminuıquadraticamente com a distancia e se dirige ao longo da reta passando pelas duas cargas. Note,

45

46 CAPITULO 2. ELETROSTATICA

que a forca pode ser atrativa (para Qq < 0) ou repulsiva (para Qq > 0). Vide os exercıcios2.8.1.1 ate 2.8.1.22.

Seguinte o princıpio de superposicao a forca agindo sobre a carga prova nao e influenciadapela existencia possıvel de outras forcas, por exemplo, exercidas por outras cargas Qk localizadasem outras posicoes rk,

F = F1 + F2 + ... =∑

k

Qkq

4πε0

r− rk|r− rk|3

. (2.2)

Introduzindo uma abreviacao,

E =∑

k

Qk4πε0

r− rk|r− rk|3

, (2.3)

chamada de campo eletrico, podemos exprimir a forca de Coulomb como,

FC = qE . (2.4)

Usando a funcao de Dirac podemos parametrizar a distribuicao de cargas por,

%(r) =∑

k

Qkδ3(r− rk) . (2.5)

A carga de um so eletron e pequena, e frequentemente sao muitas cargas envolvidas em fenomenoseletricos. Assim, o caracter discreto da carga nao aparece, e a reparticao das cargas parece umadistribuicao suave de densidade de carga, tal que,

∫

R%(r′)dV ′ =

∫

R

∑

k

Qkδ3(r′ − rk)dV

′ =∑

k

Qk . (2.6)

Com esta aproximacao (modelo fluido),

∑

k

Qk... −→∫dV ′%(r′)... , (2.7)

a lei de Coulomb pode ser escrita,

E =

∫%(r′)4πε0

r− r′

|r− r′|3dV′ , (2.8)

pois inserindo a distribuicao discreta (2.5) restauramos a lei de Coulomb (2.3).

Tambem e possıvel definir a partir de % uma densidade superficial de carga σ dois-dimensionalou uma densidade linear de carga λ uni-dimensionais usando a funcao de Dirac. Por exemplo,a densidade superficial numa camada esferica:

%(r) = σ(θ, φ)δ(r −R) , (2.9)

ou a densidade linear num anel,

%(r) = λ(φ)δ(r −R)δ(z) . (2.10)

Substituindo % da lei de Coulomb reduzimos a dimensionalidade da integral.

2.2. PROPRIEDADES DO CAMPO ELETRICO 47

2.2 Propriedades do campo eletrico

Em princıpio o problema fundamental da eletrostatica e resolvido com a lei de Coulomb. Napratica, o calculo do campo eletrico gerado por uma distribuicao de carga pode ser complicado.No entanto, frequentemente os problemas eletrostaticos tem simetrias permitindo a resolucaopor outras tecnicas evitando as integrais da lei de Coulomb.

2.2.1 Linhas de campo e o fluxo eletrico

Calculando para uma distribuicao de cargas o campo vetorial sobre uma matriz de pontos obte-mos diagramas como aquele mostrado na Fig. 2.1. As setas representam, atraves do comprimentodo vetor, o valor do campo e, atraves da orientacao do vetor, a direcao da forca exercida pelocampo. O diagrama sugere conectar as setas formando linhas chamadas de linhas de campo.Estas linhas sao nada mais do que as trajetorias adotadas por cargas provas colocadas dentrodo campo 1. Linhas de campo nunca podem se cruzar (senao a direcao da forca agindo sobreuma carga prova seria ambıgua) e nunca podem comecar ou terminar no espaco livre. Sempreelas saem de uma carga positiva e terminam numa carga negativa.

Figura 2.1: Linhas de campo de duas cargas opostas (esquerda) e iguais (direita).

O fluxo eletrico e um medida da densidade das linhas de campo atravessando uma superfıcie.Como ja dizemos, a densidade das linhas de campo corresponde ao valor do campo eletrico E.O versor da superfıcie S sendo localmente perpendicular ao plano, precisamos tomar a integraldo produto escalar,

ΨE ≡∫

SE · dS . (2.11)

Entao, em vez de ilustrar a amplitude de um campo atraves do comprimento das setas mostrandoa forca exercida sobre uma carga prova, E ∝ F, podemos ilustrar a amplitude atraves dadensidade local das linhas de campo, E ∝ ΨE .

O conceito do fluxo nos permite formular quantitativamente a afirmacao, que linhas de camponao podem comecar ou terminar no espaco livre, mas sempre saem (ou penetram) em cargas.Para isso, calculamos o fluxo atraves de uma esfera em torno de uma carga eletrica q localizadana origem usando a lei de Coulomb:

∮

superficie esfericaE · dS =

∮

superficie esferica

1

4πε0

q

|r|2 er · r2 sin θdθdφer =q

ε0. (2.12)

Com o princıpio de superposicao podemos generalizar este resultado para distribuicoes de cargas

1A representacao por linhas (em vez de vetores) perde a informacao sobre a forca local do campo. No entanto,esta informacao ainda e encodada na densidade local das linhas de campo.


arbitrarias Q. A chamada lei de Gauß, ou terceira equacao de Maxwell,

∮

∂VE · dS =

Q

ε0, (2.13)

afirma que a quantidade de linhas de campo que entram num volume sem carga V atraves deuma superfıcie fechada ∂V deve ser igual a quantidade de linhas que saem. A lei tambem afirmaque existem cargas eletricas que agem como fontes ou absorvedores de linhas de campo.

2.2.2 Divergencia do campo eletrico e a lei de Gauß

A teorema integral de Gauß (1.51) permite reescrever a lei de Gauß (2.13). De um lado, temos,∮

∂VE · dS =

∫

V∇ ·EdV , (2.14)

do outro lado, podemos exprimir a carga total dentro do volume V como soma sobre a distri-buicao de carga,

Q =

∫

V%(r)dV . (2.15)

comparando os integrantes, obtemos a forma diferencial da lei de Gauß ou terceira equacao deMaxwell:

∇ ·E =%

ε0. (2.16)

A lei de Gauß pode tambem ser derivada diretamente da lei geral de Coulomb: Calculamoso divergente e do campo da formula (2.8),

∇ ·E = ∇r ·∫%(r′)4πε0

r− r′

|r− r′|3dV′ =

1

4πε0

∫%(r′)∇r ·

r− r′

|r− r′|3dV′ (2.17)

=1

4πε0

∫%(r′)4πδ3(r− r′)dV ′ =

%(r)

ε0.

Na forma integral, a lei de Gauß e muito util para calcular campos eletricos particularmenteem situacoes com um alto grau de simetria. Vamos discutir alguns exemplos no seguinte.

Exemplo 14 (Campo eletrico fora de uma esfera carregada): Consideramos umaesfera com raio R carregando a carga total Q. A lei de Gauß diz,

∮

∂VE · dS =

Q

ε0,

onde escolhemos como volume uma esfera com raio r > R. De primeira vista, isso naoparece ajudar muito, pois o campo, que nos interesse fica na integral. Mas podemos explorara simetria do sistema para simplificar a integral, pois E = Eer e dS = dSer, tal que podemosescrever a integral, ∫ π

0

∫ 2π

0

Er2 sin θdθdφ = 4πr2E =Q

ε0.

Portanto,

E =Q

4πε0r2er .

Isso e justamente a lei de Coulomb. E interessante observar, que o campo nao depende

da distribuicao % da carga dentro do volume. E claro que, para aproveitar da simetria do

sistema, e importante escolher o volume adequado.

2.3. O POTENCIAL ESCALAR ELETRICO 49

Exemplo 15 (Caixa contendo uma interface): Damos agora um outro exemplo dautilidade da lei de Gauß considerando uma caixa contendo uma interface. Procuramos ocampo eletrico gerado por um plano infinitamente extenso carrando uma densidade de cargasuperficial homogenea σ. Por simetria, o campo E deve atravessar perpendicularmente oplano e ter direcoes opostas acima e embaixo do plano. Imaginamos agora uma caixinha depılulas retangular encerrando uma pequena area do plano de maneira que duas superfıcies(com area S) da caixinha sao paralelas ao plano. Dentro da caixinha encontramos a carga,

Q = ε0

∮

Scaixa

E · dS = ε0

∫

Ssuperior

EdS + ε0

∫

Sinferior

EdS = 2SE .

Do outro lado, Q =∫Vcaixa

%dV = σS. Assim,

E =σ

2ε0n .

Pode parecer estranho o fato, que o campo eletrico nao depende da distancia do plano, mas

isso e devido ao fato, que o plano e suposto infinito, conceito irrealıstico. Para uma superfıcie

limitada esperamos componentes do campo nao perpendiculares a interface vindo das bordas

da superfıcie.

2.2.3 Rotacao do campo eletrico e a lei de Stokes

A teorema integral de Stokes (1.49) permite reescrever a quarta equacao de Maxwell (2.23).Temos, ∮

∂SE · dr = 0 =

∫

S(∇×E) · dS , (2.18)

obtemos a forma diferencial da segunda equacao de Maxwell:

∇×E = 0 . (2.19)

A segunda equacao de Maxwell (aplicada a eletrostatica) pode tambem ser derivada direta-mente da lei geral de Coulomb: Calculamos o rotacional e do campo da formula (2.3),

∇×E = ∇r ×∫%(r′)4πε0

r− r′

|r− r′|3dV′ =

1

4πε0

∫%(r′)∇r ×

r− r′

|r− r′|3dV′ = 0 . (2.20)

O fato que o rotacional de qualquer campo eletrostatico deve zerar representa uma restricaosevera. Por exemplo, nao existe nenhuma distribuicao de carga levando a um campo da formaE = yex.

A consequencia direta desta lei e, que nos permite introduzir o conceito do potencial. Isto e,e fundamental, pois a eletrodinamica pode ser inteiramente formulada em termos de potenciais.Por isso, vamos dedicar a secao seguinte inteira a potenciais eletricos.

2.3 O potencial escalar eletrico

Ja notamos que o campo eletrico gera uma forca que pode acelerar uma carga Q ao longo deuma linha de campo. Portanto, o campo eletrico contem uma energia potencial que ele podeconverter em energia cinetica exercendo um trabalho, W =

∫F · r = Q

∫E · r. A grandeza 2,

Φa,b ≡∫

Ca,bE · dr (2.21)

2Notamos que o potencial e ligado a energia potencial, mas nao igual.


e chamada de diferencia de potencial eletrico entre os pontos a e b delimitando um caminhoCa,b.

A lei de Stokes (2.18) nos permite afirmar, que a diferencia de potencial (2.21) nao dependedo caminho escolhido, pois para dois caminhos diferentes C e C′ entre os pontos a e b temos,

∫

C(a,b)E · dr−

∫

C′(a,b)E · dr = 0 . (2.22)

Por consequencia, o potencial definido entre um ponto de referencia O e um ponto de observacaor e inequıvoco,

Φ(r) = −∫ r

OE · dr , (2.23)

e a diferencia de potencial entre dois pontos a e b e bem definida,

Φ(b)− Φ(a) = −∫ b

aE · dr . (2.24)

O teorema fundamental para gradientes, do outro lado, fala que,

Φ(b)− Φ(a) =

∫ b

a(∇Φ) · dr . (2.25)

Estes resultados sendo validos para qualquer escolha de pontos a e b, concluımos por comparacaodestas duas equacoes,

E = −∇Φ . (2.26)

Exemplo 16 (Potencial de uma carga puntiforme): Para um campo eletrico geradopor uma carga eletrica e localizada na origem podemos facilmente calcular a integral ao longode uma trajetoria C entre dois pontos a e b usando a lei de Coulomb:

∫

CE · dr =

∫ b

a

1

4πε0

e

|r|2 er · (erdr + eθrdθ + eφr sin θdφ)

=1

4πε0

∫ b

a

e

r2dr =

1

4πε0

(e

ra− e

rb

).

Com o princıpio de superposicao podemos generalizar este resultado para distribuicoes de

cargas arbitrarias Q.

Alguns comentarios sao adequados:

• A formulacao pelo potencial (um campo escalar) em vez do campo eletrico vetorial e maiscompacta. Ela resume a lei de Coulomb (2.8) junto com a restricao (2.19).

• O ponto de referencia O e arbitrario. A troca deste ponto de referencia por um outro O′so adiciona uma constante global ao potencial, pois,

Φ′(r) = −∫ r

O′E · dr = −

∫ O

O′E · dr−

∫ r

OE · dr = K + Φ(r) , (2.27)

mas nao afeta nem a diferencia de potenciais,

Φ′(b)− Φ′(a) = Φ(b)− Φ(a) , (2.28)

2.3. O POTENCIAL ESCALAR ELETRICO 51

nem o campo eletrico,

∇Φ′ = ∇Φ . (2.29)

Concluımos que o potencial nao e uma grandeza real, mas um truque matematico parasimplificar a nossa vida 3. Geralmente, o ponto de referencia e colocado no infinito, O =∞,e a constante global, que pode ser escolhida livremente, e fixada por,

Φ(∞) ≡ 0 . (2.30)

• Do mesmo jeito como campo, o potencial obedece o princıpio de superposicao.

2.3.1 As equacoes de Laplace e de Poisson

Ja aprendemos as duas equacoes definindo o campo eletrostatico (2.19) e (2.16), isto e, ∇×E = 0e ∇ ·E = %/ε0. Vamos agora reescrever estas equacoes para o potencial,

∇× (∇Φ) = 0 , ∇ · ∇Φ = ∆Φ = −%/ε0 . (2.31)

Assim, a formulacao pelo potencial (2.21) automaticamente satisfaz o requerimento (2.19),que o rotacional deve desaparecer.

Do outro lado, temos uma equacao diferencial de segunda ordem chamada de equacao dePoisson. Em regioes sem carga, esta equacao vira a equacao de Laplace,

∆Φ = 0 . (2.32)

2.3.2 Potencial criado por distribuicoes de cargas localizadas

A equacao de Poisson permite reconstruir a distribuicao de cargas uma vez que o potencial econhecido. No entanto, geralmente queremos fazer o contrario. Comecamos com uma cargapuntiforme localizada na origem o potencial da qual e,

Φ(r) = −∫

E · dr′ = −1

4πε0

∫Q

r′2dr′ =

1

4πε0

Q

r′

∣∣∣∣r

∞=

1

4πε0

Q

r. (2.33)

Seguinte o princıpio de superposicao, para uma distribuicao discreta de cargas Qk localizadasnos pontos rk,

Φ(r) =1

4πε0

∑

k

Qk|r− rk|

. (2.34)

Finalmente, para uma distribuicao contınua %(r′), obtemos a solucao fundamental do problemaeletrostatico,

Φ(r) =1

4πε0

∫dQ′

|r− r′| =1

4πε0

∫%(r′)|r− r′|d

3r′ . (2.35)

A partir desta equacao podemos verificar a lei de Coulomb (2.8).

Distribuicoes de baixa dimensionalidade podem ser tratadas por parametrizacoes adequadas,como nos exemplos (2.9) e (2.10).

3Veremos mais tarde, que esta conclusao deve ser revisada na mecanica quantica no contexto do efeito deAharonov-Bohm.


Figura 2.2: As leis fundamentais da eletrostatica relacionam as tres grandezas fundamentais, adistribuicao de carga %, o campo eletrico E e o potencial eletrico Φ.

2.3.3 Condicoes de contorno eletrostaticas

Ja notamos, que o campo eletrico sempre sofre uma descontinuidade na passagem atraves deuma distribuicao de carga superficial. Para estudar isso, consideramos uma interface carregadae atravessada por um campo eletrico exterior Eext. Agora, fazemos dois experimentos de pen-samento: (1) Imaginamos uma caixinha retangular de pılulas encerrando uma pequena parteda interface, como mostrado na Fig. 2.3. A altura ε da caixinha seja tao baixa, que o fluxoatravessando os lados da caixinha pode ser desprezado. Assim,

∮E · dS = 1

ε0Q = 1

ε0σS , (2.36)

onde E e o campo eletrico total (isto e, a soma do campo gerado pela carga de superfıcie e docampo Eext). A e a superfıcie da caixinha. Isso da,

E⊥cima − E⊥baixo = 1ε0σ . (2.37)

(2) Imaginamos uma superfıcie retangular perpendicular a interface e cortando a interface. Comomostrado na Fig. 2.3, a altura ε da superfıcie seja tao baixa, que a diferenca de potencial aolongo dos ramos verticais pode ser desprezado. Assim,

∮E · dl =

∫Ecima · dl +

∫Ebaixo · dl = (Ecima −Ebaixo) · l = 0 , (2.38)

onde l e o comprimento da superfıcie. Isso da,

E‖cima = E

‖baixo . (2.39)

Ou seja, atravessando uma interface carregada, so a parte do campo eletrico perpendiculara interface sofre uma descontinuidade. Isso simplesmente reflete o fato, que a carga gera o seuproprio campo eletrico, que e perpendicular a interface (como mostrado no Exemplo 15) e sesobrepoe ao externo.

O potencial, do outro lado, e contınuo, pois a integral entre um ponto a acima da interfacee um ponto b abaixo e, ∫ a

bE · dl = Φ(b)− Φ(a)

a→b−→ 0 . (2.40)

2.4. ENERGIA ELETROSTATICA 53

Figura 2.3: Superfıcie S em torno de um volume em forma de caixa de pılulas encerrando umapequena parte da interface, caminho l em torno de uma pequena area cortando a interface ediferenca de potencial entre os pontos a e b.

2.4 Energia eletrostatica

Calculamos o trabalho necessario para mover uma carga teste q entre dois pontos a e b dentrodo potencial criado por uma distribuicao de cargas,

W = −∫ b

aF · dr = −q

∫ b

aE · dr = q[Φ(b)− Φ(a)] . (2.41)

Como o trabalho nao depende do caminho, chamamos o potencial de conservativo. Levando acarga teste a partir do ponto de referencia para o infinito,

W = q[Φ(b)− Φ(∞)] = qΦ(b) . (2.42)

Neste sentido, o potencial e nada mais do que a energia por unidade de carga q necessaria paralevar uma partıcula do infinito ate um ponto r.

2.4.1 Energia de uma distribuicao de cargas

A proxima pergunta e, qual energia e precisa para reunir uma distribuicao de cargas levandoelas uma por uma do infinito ate pontos predefinidos. Cada carga Qk gasta um trabalho Wk, soa primeira carga nao gasta, W1 = 0. Usando a abreviacao,

Wk,m ≡1

4πε0

QkQm|rk − rm|

, (2.43)

o trabalho e facilmente calculado para a segunda carga, W2 = W1,2. Para a terceira e a quartacarga precisamos adicionalmente os trabalhos,

W3 = W1,3 +W2,3 e W4 = W1,4 +W2,4 +W3,4 . (2.44)

A regra geral e obvia: Para N cargas precisamos no total fornecer o trabalho,

W =

N∑

k=1

Wk =

N∑

k=1

N∑

m=1m<k

Wk,m =1

2

N∑

k=1

N∑

m=1m 6=k

Wk,m . (2.45)

Explicitamente, chamando de Φ o potencial criado por todas as carga menos a carga Qk,

Φ(rk) ≡N∑

m=1m6=k

1

4πε0

Qm|rk − rm|

, (2.46)


podemos escrever a energia como,

W = 12

∑

k

QkΦ(rk) . (2.47)

Para distribuicoes contınuas, esta equacao vira,

W = 12

∫ΦdQ = 1

2

∫%ΦdV . (2.48)

2.4.2 Densidade de energia de um campo eletrostatico

A energia de uma distribuicao de carga contınua pode ser reescrita usando a lei de Gauß,

W = ε02

∫(∇ ·E)ΦdV . (2.49)

Integracao por parte permite transferir a derivada de E para Φ,

W = ε02

[∮

∂VΦEdS −

∫

VE · (∇Φ)dV

]. (2.50)

A integral de superfıcie pode ser desprezada, pois podemos escolher o volume de integracao Varbitrariamente grande. Exprimindo o gradiente pelo campo,

W = ε02

∫

VE2dV = ε0

2

∫

VudV , (2.51)

introduzindo a densidade de energia,

u ≡ ε02 E2 . (2.52)

Exemplo 17 (Energia eletrostatica de uma camada esferica carregada): Comoexemplo calculamos a energia eletrostatica de uma camada esferica de raio R uniformementecarregada com a carga total Q. Usando a formula (2.48) obtemos,

W =1

2

∫%ΦdV =

1

2

∫Q

4πR2δ(r −R)ΦR2 sin θdθdφdr =

Q

2Φ(R) =

Q

2

1

4πε0

Q

R=

Q2

8πε0

1

R.

Alternativamente, calculamos pela formula (2.51),

W =ε02

∫

R3

E2dV =ε02

∫

r≥R

(1

4πε0

Q

R2

)2

R2 sin θdθdφdr =Q2

8πε0

∫ ∞

R

1

R2dr =

Q2

8πε0

1

R.

1. Comparando as expressoes para a energia eletrostatica (2.47) e (2.51) 4 percebemos umainconsistencia, pois a segunda so permite energias positivas, enquanto a primeira permiteenergias positivas e negativas, por exemplo, no caso de duas cargas com sinais opostosquerendo se atrair.

Na verdade, ambos as equacoes sao corretas, mas pertencem a situacoes levemente dife-rentes. A equacao (2.47) nao toma conta do trabalho necessario para criar estas cargas

4Ou equivalentemente (2.48), que tambem nao pode ser negativa.


elementares puntiformes. De fato, a equacao (2.51) indica que e a energia de uma cargapuntiforme diverge,

W =ε02

1

(4πε0)2

∫

R3

( er2

)2r2 sin θdrdθdφ =

e2

8πε0

∫ ∞

0

1

r2r2 sin θdrdθdφ→∞ .

A equacao (2.51) e mais completa, no sentido, que ela da a energia total armazenada naconfiguracao de carga, mas a (2.47) e mais apropriada, quando trabalhamos com cargaspuntiformes, porque preferimos ignorar a parte necessaria a construcao dos eletrons. Dequalquer jeito, nao sabemos criar ou desmontar eletrons.

A inconsistencia entra na derivacao, quando fazemos a transicao entre as Eqs. (2.47) e(2.48). Na primeira, Φ(ri) representa o potencial devido a todas as outras cargas excetoqi, enquanto na segunda Φ(r) e o potencial total. Para uma distribuicao contınua nao temdiferenca, pois a quantidade de carga no ponto r e desprezavel, e a sua contribuicao parao potencial e zero.

Na pratica, a divergencia nao aparece, pois quando utilizamos a Eq. (2.51) geralmenteconsideramos distribuicoes de cargas suaves e nao cargas puntiformes.

2. A energia e armazenada no campo eletrostatico inteiro, isto e, precisamos integrar sobreo espaco inteiro R3.

3. O princıpio de superposicao nao vale para a energia eletrostatica, pois ela e quadratica noscampos,

∫(E1 + E2)2dV 6=

∫(E2

1 + E22)dV .

2.4.3 Dieletricos e condutores

Em um material isolador, tal que borracha ou vidro, os eletrons sao ligados a um atomo parti-cular. Eles podem ser deslocados dentro do atomo por um campo eletrico externo, o que criauma polarizacao do atomo. Mas eles nao se afastam do atomo. Em contraste, em um materialcondutor, tal que um metal, um ou varios eletrons podem vagar livremente.

Quais sao as caracterısticas de um condutor suposto ideal?

1. E = 0 dentro de um condutor. O campo eletrico dentro de um condutor deve zerar,pois senao teria forcas sobre as cargas trabalhando para rearranjar elas ate as forcas (e omovimento) parar. Em presenca de uma campo eletrico exterior, as cargas se arranjam demaneira a gerar um campo proprio destinado a compensar o campo externo.

2. % = 0 dentro de um condutor. Como nao tem campo eletrico, a lei de Gauß impedecargas sobrando no interior, pois % = ∇ ·E/ε0.

3. Toda carga residual fica na superfıcie, pois nao pode ficar por dentro.

4. Condutor como equipotencial. Como nao tem campo eletrico, a lei de Stokes impedepotenciais diferentes, pois Φ(b)− Φ(a) = −

∫ ba E · dr = 0.

5. E e perpendicular a superfıcie perto da superfıcie. Senao, as componentes do campoeletrico paralelas a superfıcie criariam forcas para rearranjar as cargas ate as componentesparalelas desaparecer. Por consequencia, linhas do campo eletrico que encontram umcondutor ficam ortogonal a superfıcie E⊥∂V .


2.4.4 Inducao de cargas (influencia)

Colocando uma carga em frente de um condutor neutro medimos uma forca de atracao. A razaoe, que as cargas livres do condutor com sinal oposto sao atraıdas, enquanto as cargas com omesmo sinal sao repelidas 5. Agora, como as cargas de sinal oposto sao mais perto da cargaexterior, do que aquelas do mesmo sinal, a forca de atracao dominara a forca de repulsao (videFig. 2.4 esquerda).

Figura 2.4: Influenca eletrostatica.

O campo eletrico dentro de um condutor deve zerar, mas isso vale so para a maca do condutore nao necessariamente para impurezas dieletricas ou cavidades encerradas pelo condutor. Porexemplo, no caso em que tem uma carga +q dentro de uma cavidade encerrada (vide Fig. 2.4direita), o campo eletrico dentro da cavidade claramente e diferente de zero. No entanto, comoele deve zerar no interior do condutor, a lei de Gauß requer, que dentro de um volume encerradopor uma superfıcie gaussiana, a carga total deve zerar. Escolhendo esta superfıcie gaussianamuito perto da cavidade, achamos que deve se ter formada uma carga superficial nas bordasda cavidade compensando a carga +q dentro da cavidade. Esta carga so pode vir da superfıcieexterior, que agora tambem fica carregada com a carga oposta. Desta maneira a carga +q ficavisıvel no exterior do condutor.

O campo eletrico dentro de uma cavidade sem cargas encerrada por um condutor deve zerar,pois sem cargas, as linhas de campo so poderiam atravessar a cavidade. No entanto, os pontos deentrada e de saıda entre a cavidade e o condutor estao no mesmo potencial, e nao tem carga desuperfıcie. Isto e o princıpio da gaiola do Faraday, onde pessoas dentro de uma gaiola condutorasao blindados e assim protegidos de fenomenos eletricos como descargas de relampagos.

A migracao das cargas livres em condutores para a superfıcie tambem e chamada de efeitoskin: O potencial dentro do metal fica constante, e o campo eletrico desaparece E = 0.

Exemplo 18 (Condutores com cavidades): Duas cavidades com raios a e b sao extraıdasde uma esfera condutor neutra de raio R. No centro de cada cavidade tem uma carga, qa eqb, respectivamente.

• As cargas nas superfıcies das cavidades σa e σb devem ser organizadas de maneira ablindar as cargas qa,b para evitar a formacao de um campo eletrico dentro do condutor.Como as cargas ficam no centro das esferas obtemos simplesmente, σa = qa

4πa2 e σb =qb

4πb2 . As cargas utilizadas para blindagem faltam no condutor e devem ser compensadaspor cargas de sinal oposto. O unico lugar onde estas cargas opostas podem se acumulare a superfıcie exterior do condutor. Assim, temos a carga superficial σR = −qa−qb

4πR2 .

• O campo fora do condutor e consequentemente, E = qa+qb4πε0

rr3 , onde r e o ponto de

observacao a partir do centro do condutor.

5Ou seja, as cargas se reorganizam de maneira a compensar o campo eletrico criado pala carga ate zerar ocampo total dentro do condutor.


• Dentro de cada cavidade o campo eletrico e determinado pela lei de Gauß, E =qa,b

4πε0rr3 ,

onde r e o ponto de observacao a partir do centro da cavidade. Note, que a cargasuperficial σa,b nao influencia o campo.

• Como as cargas qa,b nao sentem campos exteriores, elas nao sao sujeitas a forcas.

• Colocando uma terceira carga qc perto do condutor a distribuicao de carga σR mudariade maneira a zerar o campo eletrico dentro do condutor. Assim, as outras grande-zas determinadas em (a)-(d) nao mudariam. O condutor efetivamente desacoplatodos os processos acontecendo em superfıcies desconectadas.

2.4.5 Pressao eletrostatica

Qual e a forca exercida por um campo eletrico aplicado Eext sobre uma superfıcie condutoracarregada? Sabemos, que carga superficial causa uma descontinuidade do campo eletrico, talque precisamos calcular a forca sobre um elemento de superfıcie dS como a media das forcasagindo por cima e por baixo,

dF = dSσ

2(Eacima + Eabaixo) = PdS , (2.53)

onde P e a pressao eletrostatica (vide Fig. 2.5).

Figura 2.5: Pressao eletrostatica exercida por um campo Eext sobre um elemento de superfıciecarregado.

No caso de uma superfıcie fina, temos,

Eacima = Eext +σ

2ε0n , Eabaixo = Eext −

σ

2ε0n , (2.54)

tal que a pressao e,

P = σEext . (2.55)

No caso de uma superfıcie carregada de um condutor massivo sem campo externo,

Efora =σ

ε0n , Edentro = 0 , (2.56)

tal que a pressao e,

P =σ

2

σ

2ε0n =

ε0

2E2foran . (2.57)

Isto e, mesmo sem campo externo um condutor carregado sofre uma forca tendo a empurrar-lodentro do campo criado por ele mesmo, independentemente do sinal da carga. E interessantenotar, que esta forca vai com o quadrado de σ e de Efora.


2.5 Tratamento de condicoes de contorno e o teorema da unici-dade

Na pratica, a solucao do problema eletrostatico, isto e, a resolucao da equacao de Poisson,pode ser dificultada por condicoes de contorno. Por exemplo, cargas em frente de superfıciescondutores induzem uma redistribuicao de cargas no condutor de maneira a alterar o campoeletrico. O campo e inequivocamente determinado pela carga e as condicoes de contorno. Nestasecao discutiremos o metodo das cargas imagens, que e um modelo heurıstico, e o tratamentomatematico das condicoes de contorno.

2.5.1 O metodo das cargas imagens

Uma maneira de simular condicoes de contorno consiste em ”inventar”cargas imaginarias e dis-tribuir elas de maneira, que o campo total automaticamente satisfaz estas condicoes de contorno.Isso geralmente so e possıvel, quando a disposicao da carga e as condicoes de contorno tem umalto grau de simetria. Este e o metodo chamado de metodo da carga imagem.

O caso mais simples e aquele da carga puntiforme Q em uma distancia d em frente de umplano condutor e aterrado. Por influenca, a carga vai induzir uma redistribuicao de cargas nocondutor da tal maneira que as linhas de campo cruzam a superfıcie do condutor em angulo reto.No entanto, as mesmas condicoes de contorno podem ser satisfeitas por substituicao do planocondutor por uma segunda carga imaginaria com sinal oposto na posicao da imagem da primeiracarga pegando o plano como espelho. Do ponto de vista do campo as duas configuracoes saoequivalentes, mas o campo e bem mais facil calcular no caso da carga e sua imagem baseado nalei de Coulomb. Vide os Excs. 2.8.5.1, 2.8.5.2, 2.8.5.3, 2.8.5.4 e 2.8.5.5.

Exemplo 19 (Carga superficial induzida): No caso da carga puntiforme em frente deum plano condutor, que e o mais simples imaginavel, as condicoes de contorno sao,

Φ(x, y, 0) = 0 , Φ(|r| d) = 0 ,

o potencial e,

Φ(r) =1

4πε0

(Q√

x2 + y2 + (z − d)2+

−Q√x2 + y2 + (z + d)2

),

e o campo e,

E = −∇Φ =−Q4πε0

(−1

√x2 + y2 + (z − d)2

3 (ez − r) +1

√x2 + y2 + (z + d)2

3 (ez + r)

).

Podemos agora calcular a distribuicao de carga na superfıcie. A lei de Gauß diz,∫

caixa

E · dS =Q

ε0=

1

ε0

∫%(r)dV =

1

ε0

∫σ(x, y)δ(z)dV =

1

ε0

∫σ(x, y)dA .

Portanto, sobre a superfıcie,

ez ·E(x, y, z = 0) =σ(x, y)

ε0.

Resolvendo pela densidade de carga,

σ(x, y) = ε0ez ·E(x, y, z = 0) =−Q4π

2√x2 + y2 + d2

3 .

Tambem, podemos verificar que a carga total na superfıcie e, Qs = −Q.

2.5. TRATAMENTO DE CONDICOES DE CONTORNO E O TEOREMA DA UNICIDADE59

Figura 2.6: Carga puntiforme em frente de um plano condutor.

2.5.2 Solucao formal do problema eletrostatico

A solucao da equacao de Laplace nao e unica, mas pode depender de condicoes de contornoimpostas pela geometria do sistema. Por exemplo, uma carga no espaco livre criara um outrocampo do que uma carga acima de um plano condutor. As duas condicoes de contorno maiscomuns sao as chamadas de condicao de contorno de Dirichlet e a condicao de contorno de vonNeumann. A condicao de Dirichlet fixa o valor do potencial numa geometria de superfıcies en-cerrando um volume, Φ|∂V = Φ0, aquela de von Neumann fixa o valor do gradiente do potencial,∇Φ|∂V = E0. Vamos discutir estas condicoes no seguinte.

Usando as seguintes quatro relacoes,

(i) ∇2 14π|r−r′| = −δ(r− r′) (2.58)

(ii) ∇ · (φF) = φ(∇ · F) + (∇φ) · F

(iii)

∫

V∇ · FdV ′ =

∫

∂VF·dS′

(iv) ∇2Φ = − %ε0,

resolvemos agora a equacao de Poisson,

Φ(r) =

∫

VΦ(r′)δ(r− r′)dV ′ = −1

4π

∫

VΦ(r′)︸︷︷︸φ

∇ ·(∇ 1|r−r′|

)

︸︷︷︸F

dV ′ com (i) (2.59)

= 14π

∫

V∇Φ(r′)︸︷︷︸

F

· ∇ 1|r−r′|︸︷︷︸φ

dV ′ − 14π

∫

V∇ ·(

Φ(r′)∇ 1|r−r′|

)dV ′ com (ii)

= − 14π

∫

V1

|r−r′|∇ · ∇Φ(r′)dV ′ + 14π

∫

V∇ ·(

1|r−r′|∇Φ(r′)

)dV ′ − 1

4π

∫

V∇ ·(

Φ(r′)∇ 1|r−r′|

)dV ′ .

Finalmente, usando as relacoes (iii e iv), obtemos o resultado final,

Φ(r) = 14πε0

∫

V%(r′)|r−r′|dV

′ + 14π

∮

∂V

(Φ(r′)∇′ 1

|r−r′| − 1|r−r′|∇′Φ(r′)

)· dS′ , (2.60)

que e uma versao integral da equacao de Poisson. Para volumes indo para infinito, onde opotencial desaparece, as integrais de superfıcie podem ser desprezados e obtemos a forma familiarda lei de Coulomb. Para volumes limitados, as condicoes de contorno nas superfıcies podeminfluenciar o potencial dramaticamente.


Exemplo 20 (Consistencia da relacao de Green): Obviamente, ao impor condicoesde contorno que coincidem com superfıcies equipotenciais do campo criado pela distribuicaode cargas, os termos de superfıcie zeram. Escolhendo como exemplo uma carga puntiformecolocada na origem, %(r′) = Qδ3(r′), e inserindo o seu potencial,

Φ(r = Rer) =Q

4πε0

1

R=

Q

4πε0

1

|r− r′|

∣∣∣∣r∈∂V

. (2.61)

dentro da relacao (2.60), percebemos que os integrais de superfıcie se cancelam.

Figura 2.7: Ilustracao das condicoes de contorno.

O termo de superfıcie pode ser interpretado em termos de uma densidade de carga superficialpois sabemos que a normal do campo eletrico sofre uma descontinuidade ao atravessar umasuperfıcie carregada 6:

σ(r′)ε0

= −∇′Φ(r′) · n . (2.62)

Consideramos o exemplo de uma distribuicao de carga, %(r′), cercada por uma superfıcieonde o potencial zera, Φ(r′)|∂V ′ = 0, tal que o primeiro termo de superfıcie da relacao (2.60)desaparece. Inserindo a expressao (2.62) no segundo termo de superfıcie, a relacao fica,

Φ(r) =1

4πε0

∫

V

%(r′)|r− a| +

1

4πε0

∮

∂V

σ(r′)|r− r′|dS

′ . (2.63)

A interpretacao desta lei de Coulomb modificada e, que a carga induz uma distribuicao dedensidade superficial de cargas σ dentro do plano condutor que modifica o potencial eletrico, talque a condicao de contorno e satisfeita.

2.5.3 Funcao de Green

A funcao 14π|r−r′| nao e a unica de satisfazer a condicao (2.58)(i). Na verdade, existe uma classe

inteira de funcoes chamadas de funcoes de Green definidas por,

∇2G(r, r′) ≡ −δ(r− r′) . (2.64)

6Podemos derivar isto considerando um disco fino dentro do plano x-y homogeneamente carregado com adensidade de carga σ0,

Φ(zez) =1

4πε0

∫disco

σ(r′)

|zez − r′|dA′ =

σ0

2ε0

∫ R

0

1√r′2 + z2

r′dr′ =σ0

2ε0[√R2 + z2 − z] ,

e portanto,

Ez = −dΦ(zez)

dz= − σ0

2ε0

(z√

R2 + z2− 1

)zR−→ σ0

2ε0.

2.5. TRATAMENTO DE CONDICOES DE CONTORNO E O TEOREMA DA UNICIDADE61

Obviamente, para estas funcoes a formula derivada em (2.59) sera generalizada,

Φ(r) = 1ε0

∫

V%(r′)G(r, r′)dV ′ +

∮

∂V

(Φ(r′)∇G(r, r′)−G(r, r′)∇Φ(r′)

)· dS′ . (2.65)

A vantagem da funcao de Green e, que temos a liberdade de adicionar qualquer funcao F ,

G(r, r′) =1

4π|r− r′| + F (r, r′) (2.66)

satisfazendo a equacao de Laplace,∇2F (r, r′) = 0 , (2.67)

tal que a funcao de Green (2.66) ainda satisfaz a definicao (2.64). Temos a liberdade de escolhera funcao F de maneira a eliminar um dos dois integrais de superfıcie na Eq. (2.65) obtendo umaexpressao so envolvendo condicoes de contorno de Dirichlet ou de von Neumann.

2.5.4 Equacao de Poisson com condicoes de contorno de Dirichlet

O primeiro teorema de unicidade proclama,

A solucao da equacao de Poisson (ou Laplace) em um volume V e determinado demaneira unica, se Φ e especificado na superfıcie do volume ∂V.

Para provar este teorema, vamos especificar que o potencial adota o valor Φ0 na superfıcie(nao necessariamente constante) e considerar duas solucoes possıveis da equacao de Laplace, Φ1

e Φ2. A diferencia Φ3 ≡ Φ1 −Φ2 desaparece na superfıcie, Φ3|∂V = 0, e tambem deve satisfazera equacao de Laplace: ∇2Φ3 = 0. Agora, como a equacao de Laplace nao permite maxima oumınima locais 7, Φ3 deve zerar em todo o espaco (vide Fig. 2.8 esquerda).

Figura 2.8: Ilustracao dos teoremas de unicidade.

Consideramos, por exemplo, um volume restrito V sem cargas, % = 0, cercado por umaborda condutora ∂V mantida num potencial fixo, Φ(r ∈ ∂V) = Φ0 = const. Isto e, por exemplo,o caso dentro de materiais condutores como metais. Portanto, ∆Φ = 0 dentro do volume. Umasolucao trivial possıvel da equacao de Laplace e, Φ(r) = Φ0. O teorema de unicidade, agora, nosinforma que isso e a unica solucao.

Para implementar este teorema escolhemos as seguintes condicoes de contorno,

GD(r, r′∈∂V) = 0 , (2.68)

tal que a relacao (2.64) fica,

Φ(r) = 1ε0

∫

V%(r′)GD(r, r′)dV ′ +

∮

∂VΦ(r′)∇′GD(r, r′) · dS′ . (2.69)

Vide os Excs. 2.8.5.7, 2.8.5.8 e 2.8.5.9.

7Pois num maximo (mınimo) hipotetico teremos ∇2Φ3 < 0 (> 0).


2.5.5 Equacao de Poisson com condicoes de contorno de von Neumann

O segundo teorema de unicidade proclama,

Num volume V cercado por condutores e contendo uma densidade de carga especi-ficada %, o campo eletrico e determinado de maneira unica pela carga total de cadacondutor.

Para provar este teorema, vamos considerar um conjunto de condutores i cada um trazendoa carga Qi. Supondo que existem duas solucoes para o campo eletrico entre os condutores, E1

e E2, cada um destes campo deve satisfazer, ∇ ·E1 = ∇ ·E2 = Qi. A diferencia E3 ≡ E1 −E2

tambem deve satisfazer a lei de Gauss ∇ · E3 = 0. Portanto, E3 deve zerar em todo o espaco(vide Fig. 2.8 direita) 8.

No caso de von Neumann escolhemos,

∇′GN (r, r′∈∂V) = − nS , (2.70)

pois precisamos satisfazer a definicao (2.60),

−1 =

∫

V∇′2GN (r, r′)dV ′ =

∮

∂V∇′GN (r, r′) · dS =

∮

∂V−nS · dS (2.71)

tal que,

Φ(r) = 1ε0

∫

V%(r′)GN (r, r′)dV ′ − 1

A

∮

∂VΦ(r′)dA′ −

∮

∂VGN (r, r′)∇′Φ(r′) · dS′ . (2.72)

O primeiro termo de superfıcie e simplesmente a media do potencial sobre a area da superfıcie.

2.6 Solucao da equacao de Laplace em situacoes de alta simetria

A equacao de Poisson (ou de Laplace) e uma equacao diferencial parcial de segunda ordem,que depende de tres coordenadas espaciais. No entanto, varias situacoes se caracterizam porsimetrias, que permitem desprezar alguns dimensoes espaciais e dramaticamente simplificar odesfaio matematico. No seguinte, discutiremos situacoes de simetria cartesiana, cilındrica eesferica.

2.6.1 Separacao de variaveis em coordenadas cartesianas

Em situacoes, onde a simetria do problema sugere uma separacao das variaveis cartesianas,podemos fazer o ansatz,

Φ(r) = X(x)Y (y)Z(z) . (2.73)

Em coordenadas cartesianas a equacao de Laplace se escreve,[∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

]Φ = 0 . (2.74)

Inserindo o ansatz na equacao de Laplace e dividindo por Φ,

1

X

∂2X

∂x2+

1

Y

∂2Y

∂y2+

1

Z

∂2Z

∂z2= 0 . (2.75)

8A prova e um pouco simplificado. Consulte [2] para uma prova mais completa.

2.6. SOLUCAO DA EQUACAO DE LAPLACE EM SITUACOES DE ALTA SIMETRIA 63

Os tres termos sao funcoes de diferentes variaveis e devem, portanto, ser separadamente cons-tantes,

1

X

∂2X

∂x2= C1 ,

1

Y

∂2Y

∂y2= C2 ,

1

Z

∂2Z

∂z2= C3 = −C1 − C2 . (2.76)

A vantagem deste procedimento e, que as equacoes diferenciais para as tres coordenadasespaciais sendo desacopladas, elas podem ser resolvidas separadamente. No melhor dos casos, ocampo e homogeneo em uma das coordenadas, o que reduz a dimensionalidade do problema.

Exemplo 21 (Campo de uma placa aterrada): Por exemplo, para calcular o campo deuma placa mantida num potencial fixo Φ0 e infinitamente estendida no plano x-y, podemoscolocar X ′(x) = Y ′(y) = 0 e resolver a equacao,

∂2Z

∂z2= 0 , (2.77)

o que da, Φ(r) = Z(z) = Cz+ Φ0 e E = Cez. As constantes C e Φ0 devem ser especificadas

por condicoes de contorno adicionais. Vide o Exc. 2.8.6.1.

2.6.2 Separacao de variaveis em coordenadas cilındricas

Em situacoes, onde a simetria do problema sugere uma separacao das variaveis cilındricas,podemos fazer o ansatz,

Φ(r) = R(r)F (φ)Z(z) . (2.78)

Em coordenadas cilındricas a equacao de Laplace se escreve,

[1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2

∂φ2+

∂2

∂z2

]Φ = 0 . (2.79)


1

Rρ

∂

∂ρ

(ρ∂R

∂ρ

)+

1

F

∂2F

∂φ2+

1

Z

∂2Z

∂z2= 0 . (2.80)


1

Rρ

∂

∂ρ

(ρ∂R

∂ρ

)= C1 ,

1

F

∂2F

∂φ2= C2 ,

1

Z

∂2Z

∂z2= C3 = −C1 − C2 . (2.81)

Exemplo 22 (Campo de um fio retilıneo): Muitas geometrias tem simetria cilındrica,tal que as equacoes em θ e em z desaparecem. Por exemplo, para calcular o campo de umfio retilıneo, infinito e mantida num potencial fixo, basta resolver uma equacao diferencialradial,

∂

∂ρ

(ρ∂R

∂ρ

)= 0 ,

o que da, Φ(r) = R(ρ) = C ln ρ + Φ0 e E = Ceρ/ρ. As constantes C e Φ0 devem ser

especificadas por condicoes de contorno adicionais.


2.6.3 Separacao de variaveis em coordenadas esfericas

Em situacoes, onde a simetria do problema sugere uma separacao das variaveis esfericas, pode-mos fazer o ansatz,

Φ(r) = R(r)T (θ)F (φ) . (2.82)

Em coordenadas esfericas a equacao de Laplace se escreve,

[1

r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2

∂φ2

]Φ = 0 . (2.83)


1

R

∂

∂r

(r2∂R

∂r

)+

1

T sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂T

∂θ

)+

1

Fr2 sin2 θ

∂2F

∂φ2= 0 . (2.84)


1

R

∂

∂r

(r2∂R

∂r

)= C1 ,

1

T sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂T

∂θ

)= `(`+ 1) (2.85)

1

Fr2 sin2 θ

∂2F

∂φ2= m = −C1 − `(`+ 1) .

Exemplo 23 (Esfera com potencial fixo): Muitas geometrias tem simetria esferica, talque as equacoes em θ e em φ desaparecem. Por exemplo, para calcular o campo de umaesfera mantida num potencial fixo, basta resolver uma equacao diferencial radial,

1

R

∂

∂r

(r2 ∂R

∂r

)= 0 ,

o que da, Φ(r) = R(r) = −C/r + Φ0 e E = Cer/r2. As constantes C e Φ0 devem ser

especificadas por condicoes de contorno adicionais.

Em caso de simetria unicamente azimutal, temos m = 0 e C1 = −`(` + 1). As solucoes daequacao radial sao simples,

R(r) = A`r` +

B`r`+1

. (2.86)

As solucoes da equacao angular sao chamados de polinomios de Legendre,

T (θ) = P`(cos θ) . (2.87)

Eles podem ser derivados a partir da formula de Rodrigues,

P`(z) =1

2``!

(d

dz

)`(z2 − 1)` . (2.88)

Os primeiros polinomios sao,

P0(z) = 1 , P1(z) = z , P2(z) = 12(3z2 − 1) , P3(z) = 1

2(5z3 − 3z) . (2.89)

Contudo obtemos,

Φ(r) =∞∑

`=0

(A`r

` +B`r`+1

)P`(cos θ) . (2.90)

2.7. EXPANSAO MULTIPOLAR 65

Exemplo 24 (Camada esferica carregada): Neste exemplo consideramos uma camadaesferica carregando uma carga superficial descrita por σ(θ). As regioes r ≤ R e r ≥ R saotratadas separadamente. O ansatz (2.90) nao pode divergir, tanto no interior da esfera, ondedevemos deixar B` = 0, como no exterior, onde devemos deixar A` = 0. Na superfıcie mesmoo potencial tem que ser contınuo, tal que

0 = [Φ≥ − Φ≤]r=R =

∞∑

`=0

BlR`+1

P`(cos θ)−∞∑

`=0

A`R`P`(cos θ) ,

resultando em B` = A`R2`+1. Do outro lado, o campo eletrico e descontınuo,

−σ(θ)

ε0=

[∂Φ≥∂r− ∂Φ≤

∂r

]

r=R

=

∞∑

`=0

(2`+ 1)A`R`−1P`(cos θ) .

Os coeficientes sao,

A` =1

2ε0R`−1

∫ π

0

σ(θ)P`(cos θ) sin θdθ ,

o que pode ser verificado pela relacao de ortogonalidade,

∫ 1

−1

P`(z)P`′(z)dz =2δ`,`′

2`+ 1.

Particularmente para o caso σ(θ) = σ0 cos θ = σ0P1(cos θ) obtemos,

A` =σ0

2ε0R`−1

∫ π

0

P1(z)Pl(z)dz =σ0

2ε0R`−1

2

2`+ 1δ`,1 =

σ0

3ε0δ`,1 .

Finalmente,

Φ(r) =

σ0

3ε0r cos θ = σ0

3ε0r · ez para r ≤ R

σ0R3

3ε01r2 cos θ = σ0R

3

3ε0r·ez

r3 para r ≥ R .

Figura 2.9: Distorcao do campo por uma esfera metalica.

2.7 Expansao multipolar

A ideia basica da expansao multipolar e a descricao aproximativa do potencial gerado por umadistribuicao arbitraria de cargas localizadas dentro de um volume V. Quanto maior a distanciaentre o ponto de observacao e a distribuicao de cargas em comparacao com a extensao dovolume V, tanto mais o potencial parece aquele de uma carga puntiforme. Quanto menor adistancia, tanto mais outros termos (os momentos multipolares) devem ser tomados em conta,Φ(r) =

∑k Φk(r). Ordens multipolares elevados decaem cada vez mais rapido, como r−1, com

a distancia entre o ponto de observacao e o volume concentrando a carga.


Ja vimos como fazer a expansao de Taylor de campos escalares na formula (1.28) 9. Aquiqueremos expandir em termos de r−1. Comecamos expandindo a funcao,

1

|r− r′| =1

r

∞∑

`=0

(r′

r

)`P`(cos θ′) , (2.91)

onde θ′ e o angulo entre r e r′. Inserindo a expansao dentro da lei de Coulomb (2.35),

Φ(r) =1

4πε0

∫%(r′)|r− r′|d

3r′ =1

4πε0

∞∑

`=0

1

r`+1

∫%(r′)r′`P`(cos θ′)d3r′ . (2.92)

Exemplo 25 (Expansao multipolar por polinomios de Legendre): Para discutir a ex-pansao multipolar da funcao 1

|r−r′| escolhemos o eixo r como eixo de simetria, como ilustrado

na Fig. 2.10, pois neste sistema de coordenadas a funcao tem simetria azimutal na variavelr′. Por isso, podemos aplicar a solucao da equacao de Laplace em coordenadas esfericasderivada acima,

Φ(r′) =

∞∑

`=0

(A`r

′` +B`r′`+1

)P`(cos θ′) .

Para esta solucao convergir, precisamos num primeiro caso em que r′ < r garantir B` = 0tal que,

1

|r− r′| =

∞∑

`=0

A`(r)r′`P`(cos θ′) .

No segundo case em que caso r′ > r precisamos garantir A` = 0, tal que,

1

|r− r′| =

∞∑

`=0

B`(r)

r′`+1P`(cos θ′) ,

Os coeficientes A`(r) e B`(r) nao podem depender de r′. Vamos agora olhar para estesegundo caso e renomear as variaveis r↔ r′:

1

|r′ − r| =

∞∑

`=0

B`(r′)

r`+1P`(cos θ) .

Comparando isto com o primeiro caso e usando θ = −θ′ achamos,

A`(r)r`+1 =

B`(r′)

r′`= const = C .

Portanto,

1

|r− r′| =

∞∑

`=0

Cr′`

r`+1P`(cos θ′) .

A constante C pode ser calibrada considerando um caso particular, por exemplo r ‖ r′ er r′. Neste caso, como P`(1) = 1, a expansao multipolar,

1

|r− r′| =1

|r − r′| =

∞∑

`=0

Cr′`

r`+1,

e nada mais do que a expansao de Taylor em torno do ponto r − r′ ' r.9Usando a seguinte propriedade dos polinomios de Legendre,

1√1 + η(η − 2z)

=∑`

η`P`(z) ,

onde o lado esquerda se chama a funcao geradora dos polinomios.


Figura 2.10: No sistema de coordenadas r = ez a funcao |r− r′|−1 tem simetria azimutal.

2.7.1 O monopolo

Para n = 0 a contribuicao do momento monopolar Q para o potencial e,

Φ0(r) =Q

4πε0

1

ronde Q =

∫

Vd3r′ %(r′) (2.93)

e Q justamente a carga eletrica.

2.7.2 O dipolo

Para n = 1 a contribuicao do momento dipolar d para o potencial segue imediatamente daformula (2.91),

Φ1(r) = 14πε0

1r2

∫%(r′)r′P1(cos θ′)d3r′ = 1

4πε01r3

∫%(r′)rr′ cos θ′d3r′ = 1

4πε0rr3·∫%(r′)r′d3r′ .

Obtemos,

Φ1(r) =1

4πε0

∑

k

dkxkr3

onde d =

∫

Vd3r′ r′%(r′) . (2.94)

2.7.3 O quadrupolo

Para n = 2 a contribuicao do momento quadrupolar qi,j para o potencial segue imediatamenteda formula (2.91),

Φ2(r) = 14πε0

1r3

∫%(r′)r′2P2(cos θ′)d3r′ = 1

4πε01r3

∫%(r′)r′2 3 cos2 θ′−1

2 d3r′

= 14πε0

12r5

∫%(r′)(3(r · r′)2 − r2r′2)d3r′ = 1

4πε01

2r5

∑

k,m

∫%(r′)(3xkx

′kxmx

′m − xkxmr′2δk,m)d3r′ .

Obtemos,

Φ2(r) =1

4πε0

1

2

∑

k,m

qk,mxkxmr5

onde qk,m =

∫

Vd3r′ (3x′kx

′m − r′2δk,m)%(r′) . (2.95)

Exemplo 26 (Momentos multipolares de um dipolo): Como exemplo, consideramos odipolo mais simples, que consiste de duas cargas e e −e separadas por uma distancia fixa a,que nos escolhemos paralela ao eixo z. O momento monopolar e,

Q =

∫d3r′ [eδ(a2 ez − r′)− eδ(a2 ez + r′)] = 0 ,


como esperado. O momento dipolar e,

d =

∫d3r′ r′[eδ(a2 ez − r′)− eδ(a2 ez + r′)] = ea

0

0

1

,

e o momento quadrupolar e,

qk,m =

∫d3r′ (3x′kx

′m − r′2δkm)[eδ(a2 ez − r′)− eδ(a2 ez + r′)]

=ea2

4

−1 0 0

0 −1 0

0 0 2

−

ea2

4

−1 0 0

0 −1 0

0 0 2

= 0 .

Vide os Excs. 2.8.7.1 ate 2.8.7.10.

Exemplo 27 (O dipolo eletrico): O gradiente do potencial de um dipolo e,

E1 = −∇ r · p4πε0r3

=−1

4πε0ex

∂

∂x

xpx + ypy + zpz(x2 + y2 + z2)3/2

+ ...

=−1

4πε0expx(x2 + y2 + z2)3/2 − (xpx + ypy + zpz)3x(x2 + y2 + z2)1/2

(x2 + y2 + z2)3+ ...

=−1

4πε0expxr

2 − r · p3x

r5+ ... =

1

4πε0

3(er · p)er − p

r3.

2.7.4 Expansao em coordenadas cartesianas

A expansao multipolar tambem pode ser feita em coordenadas cartesianas por uma serie deTaylor da funcao de Green 10. Para isso avaliamos a funcao G(r, r′) = G(r − r′) em torno dadistancia r− r′ ' r,

G(r− r′) =∑

k

1

k!(r′ · ∇)kG(r) = G(r) +

∑

k=1

x′k∂

∂xkG(r) +

1

2!

(3∑

k=1

x′k∂

∂xk

)2

G(r) + ... (2.96)

= G(r) +∑

k=1

x′k∂

∂xkG(r) +

1

2!

3∑

k,m=1

x′kx′m

∂2

∂xk∂xmG(r) + ...

= G(r) +∑

k=1

x′k∂

∂xkG(r) +

1

6

3∑

k,m=1

(3x′kx′m − r′2δk,m)

∂2

∂xk∂xmG(r) + ...

A ultima transformacao vale se a funcao G satisfaz a equacao de Laplace, ∇2G = 0.

Exemplo 28 (Expansao multipolar cartesiana): Como exemplo, expandimos o poten-cial de Coulomb, G(r− r′) = 1

|r−r′| . As primeiras derivadas,

∂

∂xk

1

|r− r′| =xk − x′k|r− r′|3 ,

10Podemos imaginar a funcao de Green como o potencial criado por uma distribuicao de carga puntiforme,%(r′) = Qδ(r− a), pois Φ(r) =

∫G(r− r′)%(r′)dV ′ = QG(r′ − a). Isso e, os termos multipolares entram devido a

um pequeno esticamento da distribuicao de carga em torno do ponto r′ = a

2.8. EXERCICIOS 69

Figura 2.11: Expansao de Taylor da funcao de Green em torno do ponto r− r′ ' r.

e as segundas derivadas,

∂2

∂xk∂xm

1

|r− r′| =3(xk − x′k)2 − (r− r′)2δk,m

|r− r′|5 ,

permitem calcular,

1

|r− r′| =1

r+

r · r′r3

+1

6

3∑

k,m=1

3xkxm − r2δk,mr5

(3x′kx′m − r′2δk,m) .

A expansao octupolar do potencial de Coulomb e,

1

3!(r′ · ∇)3 1

r′=

1

6

3∑

k,m,n=1

x′kx′mx′n

−15xkxmxn + 3r′′(xkδmn + xmδkn + xnδmk)

r7.

Inserindo na lei de Coulomb,

Φ(r) =1

4πε0

∫%(r′)

|r− r′|dV′ =

1

4πε0

1

rQ+

r

r3· d +

1

6

3∑

k,m=1

3xkxm − r2δk,mr5

qk,m + ...

,

com as definicoes dos momentos multipolares.

2.8 Exercıcios

2.8.1 A carga eletrica e a forca de Coulomb

2.8.1.1 Ex: • Forca de Coulomb

Uma carga puntiforme de −2.0 µC e uma carga puntiforme de 4.0 µC estao separadas por umadistancia L. Onde deveria ser colocada uma terceira carga puntiforme para que a forca eletricanesta terceira carga fosso igual a zero?


Uma partıcula puntiforme que tem uma carga de −1.0 µC esta localizada na origem; umasegunda partıcula puntiforme que tem carga de 2.0 µC esta localizada em x = 0, y = 0.1 m;e uma terceira partıcula puntiforme tem uma carga de 4.0 µC esta localizada em x = 0.2 m,y = 0. Determine a forca eletrica em cada uma das tres cargas puntiformes.


Uma carga puntiforme de −5.0 µC esta localizada em x = 4.0 m, y = −2.0 m, e uma segundacarga puntiforme de 12.0 µC esta localizada em x = 1.0 m, y = 2.0 m.a. Determine o modulo, a direcao e o sentido do campo eletrico em x = −1.0 m, y = 0.b. Calcule o modulo, a direcao e o sentido da forca eletrica em um eletron colocado em campoeletrico em x = −1.0 m, y = 0.


2.8.1.4 Ex: Forca de Coulomb

Imagine um eletron perto da superfıcie da Terra. Em qual ponto deverıamos colocar um segundoeletron para que a forca eletrostatica entre os eletrons compensasse a forca de gravitacao da Terrasobre o primeiro eletron?

2.8.1.5 Ex: Forca de Coulomb

Tres cargas positivas e puntiformes Q1, Q2 e Q3 ficam nos cantos de um triangulo equilaterocom o comprimento da aresta L = 10 cm. Calcule o valor e a direcao da forca agindo sobre umeletron localizado no centro do triangulo.


Duas partıculas carregando cargas iguais q estao colocadas numa distancia reciproca de r =3 mm e depois soltadas. A aceleracao da primeira partıcula logo depois de estar soltada ea1 = 7 m/s2, e a aceleracao de segunda partıcula e a2 = 2 m/s2. A massa da primeira partıculae m1 = 6 · 10−7 kg.a. Qual e a massa da segunda partıcula?b. Qual e a carga das partıculas?


Uma pequena bolinha de grafite suspensa num fio (massa m = 1 kg) seja tocada por uma varetade plastico eletricamente carregada e pega 1% da sua carga. O resultado disso e que a bolinhafica deslocada por um angulo de 30, enquanto a vareta e mantida na altura da bolinha. Adistancia entre o centro da bolinha e a extremidade da vareta e 10 cm.a. Calcule a forca exercida pelo fio sobre a bolinha?b. Supoe que a carga da vareta seja totalmente concentrada em sua extremidade. Qual e a cargana bolinha e na vareta?

2.8.1.8 Ex: • Aceleracao de cargas

Um eletron tem uma velocidade inicial de v0 = 2 · 106 m/s no sentido de +x. Ele entra em umaregiao que tem campo eletrico uniforme E = (300 N/C) ex.a. Determine a aceleracao do eletron.b. Quanto tempo leva par que o eletron percorra s = 10.0 cm ao longo do eixo x no sentido +xna regiao que tem campo.c. Em que angulo e em que direcao o movimento do eletron e defletido enquanto ele percorre os10.0 cm na direcao x?

2.8.1.9 Ex: • Aceleracao de cargas

Uma partıcula carregada de 2.0 g e liberada a partir do repouso em uma regiao que tem umcampo eletrico uniforme E = (300 kN/C)ex. Depois de percorrer uma distancia de 0.5 m nestaregiao, a partıcula tem uma energia cinetica de 0.12 J. Determine a carga da partıcula.

2.8.1.10 Ex: Moedas de cobre carregadas

A carga positiva do proton e a carga negativa do eletron tem o mesmo valor absoluto. Supoe queos valores absolutos teriam uma diferenca relativa de so 0.0001%. Considere moedas de cobre

2.8. EXERCICIOS 71

com 3 · 1022 atomos. Qual seria a forca de repulsao de duas moedas afastadas de 1 m?Ajuda: Um atomo de cobre neutro contem 29 protons e a mesma quantidade de eletrons

2.8.1.11 Ex: • Peso do eletron

Uma esfera metalica e carregada com Q = +1µC. Determine se a massa da esfera aumenta oudiminuı e calcule o valor?

2.8.1.12 Ex: O atomo de hidrogenio

No atomo de hidrogenio a distancia tıpica entre o proton de carga positiva e o eletron de carganegativa e d ∼ 5 · 10−11 m.a. Calcule a forca de Coulomb.b. Compare esta forca com a forca gravitacional entre os dois corpos.c. O que deveria ser a velocidade do eletron em torno de nucleo para compensar a atracaogravitacional pela forca centrifuga?

2.8.1.13 Ex: O atomo de hidrogenio

O atomo de hidrogenio pode ser visto como um proton puntiforme e um eletron distribuıdocom a densidade de carga ρ = Ae−2r/aB em torno do proton que fica no centro. Aqui A e umaconstante, aB ' 0.53 · 10−10 m o raio de Bohr e r a distancia do centro.a. Calcule A considerando o fato que o atomo e eletricamente neutro.b. Calcule a amplitude do campo eletrico no raio r = aB.

2.8.1.14 Ex: Exercıcio de compreensao

Duas esferas metalicas sao colocadas numa distancia d uma da outra e respetivamente carregadascom as cargas +Q e −2Q.a. As esferas se atraem ou se repelem?b. O que acontece se deixamos as esferas entrar em contato e depois colocar na mesma distanciad. Qual e o valor da mudanca da forca?

2.8.1.15 Ex: • Esfera carregada numa mola

Uma bola com a massa m seja suspensa numa mola com a constante f .a. O que sera o deslocamento da bola devido a seu peso? O que sera a frequencia de oscilacao?b. Agora a bola seja carregada com a carga Q e uma segunda bola com a mesma carga sejaaproximada por baixo a primeira bola. Derive a conexao entre a posicao da primeira bola z1 eda posicao da segunda z2. A posicao z1 = 0 seja a posicao de repouso da mola, isto e a posicaoque a mola teria sem massa suspensa. CUIDADO: obtem-se uma equacao de terceira ordem emz1, nao tenta resolver!c. Para qual posicao da segunda bola z2 a primeira bola fica na posicao de repouso da mola, istoe, para qual z2 achamos que z1 = 0 e uma solucao? Existem outras solucoes? Quais sao as suasinterpretacoes?d. Qual e a frequencia de oscilacao nestas condicoes, quando a bola 1 fica somente um poucodeslocado em torno de z1 = 0? Use a aproximacao 1

(a−x)2≈ 1

a2+ 2

a3x (vale para para x a).


2.8.1.16 Ex: Estabilidade de uma distribuicao de cargas

Sejam dadas as distribuicoes de carga mostradas na figura. Todas as cargas positivas e negativastem o mesmo valor absoluto.a. Determine se uma destas distribuicoes e estavel? O que acontece nos diferentes casos?b. E possıvel escolher os valores absolutos das cargas de tal maneira a fazer com que as confi-guracoes ficam estaveis?

2.8.1.17 Ex: Estabilidade de uma distribuicao de cargas

Tres bolinhas com massa m e cada uma carregada com a carga Q sao colocadas numa tigelaparabolica. Esta pode ser descrita como superfıcie no espaco, onde a coordenada z da superfıciee dada por z = z(x, y) = A(x2 + y2). A gravitacao mostra para −ez. Qual e a distanciaas bolinhas adotam, quando colocamos como condicao adicional, que todas as cargas ficam namesma altura?

2.8.1.18 Ex: Ioes no potencial harmonico

Dois ıons com a carga positiva +e sao confinadas num potencial harmonico isotropico. Cadaıon tem a energia potencial U = 1

2mω2r2, onde r e a distancia do centro do potencial. Os ıons

sejam em repouso, so considere duas dimensoes.a. Qual e a distancia dos dois ıons do centro?b. Calcule a distancia para tres ıons identicos.

2.8.1.19 Ex: Esferas no fio

Duas bolas identicas com massa m = 0.1 kg sao suspensas no mesmo ponto de teto por um fiode 1 m de comprimento e tendo a mesma carga. Qual e o valor da carga se os dois centros dasbolas se afastam de uma distancia de 4 cm. Use a aproximacao sinα ≈ tanα ≈ α para angulosα pequenos.

2.8.1.20 Ex: Osciloscopio

Consideramos um modelo simples de um osciloscopio. Dentro do dispositivo fica um tubo deBraun, dentro do qual eletrons sao acelerados por uma tensao U ate uma velocidade v. Depois,os eletrons voam atraves das placas de um capacitor e sao desviados pelo campo eletrico E docapacitor. (No osciloscopio real tem dois capacitores: um para desviamento horizontal outrapara vertical.) Depois de capacitor os eletrons voam para uma tela, onde eles produzem umponto brilhante.a. Calcule a velocidade v dos eletrons para uma tensao aceleradora de U = 1 kV. (Nao considereefeitos relativısticos!)b. O capacitor tem um comprimento de l = 5 cm e uma distancia das placas de d = 2 cm.

2.8. EXERCICIOS 73

Qual e a tensao maxima permitida Umax no capacitor para evitar que os eletrons batem umadas placas do capacitor? (Os eletrons entram no capacitor pelo meio entre as placas.)c. O que deve ser a distancia entre as placas e a tela (que tem o comprimento 10 cm), para quecom tensao Umax maxima a area inteira da tela seja utilizada?Comentario: Despreze efeitos de borda do capacitor!

2.8.1.21 Ex: • Eletron entre placas carregadas

Entre duas placas horizontais paralelas tem um campo eletrico homogeneo |E| = 2 · 103 N/C.A placa inferior e carregada com carga positiva, a placa superior negativa, tal que o campo eorientado para cima. O comprimento das placas e L = 10 cm, a sua distancia d = 2 cm. Apartir da borda esquerda da placa inferior um eletron e baleado com uma velocidade inicial|v0| = 6 · 106 m/s sobre o angulo 45 para o espaco entre as placas.a. Quando o eletron vai encontrar uma das placas?b. Qual e a placa sendo eventualmente encontrada e em qual distancia horizontal do ponto detiro?

2.8.1.22 Ex: • Problema de Coulomb-Kepler

Consideramos duas partıculas carregadas com cargas Q1 e Q2 e massas m = m1 = m2 localizadassobre o eixo ez que, por simplicidade, so podem se movimentar ao longo de ez e sao sujeitos aforca mutua de Coulomb.a. Deriva as equacoes diferenciais para as posicoes z1 e z2 das duas partıculas. Reduz o numerode variaveis do problema, introduzindo a variavel de diferenca z = z2−z1 e estabelece a equacaodiferencial para z.b. E equacao diferencial obtida tem a mesma forma como a do problema de Kepler na mecanicaque, no entanto, nao e definido ao longo de um eixo mas num plano. O que sao as solucoesdo problema de Kepler? Qual grandeza fısica importante nao aparece reduzindo a liberdade demovimento para um eixo? O que seria o impacto desta restricao sobre as solucoes do problemade Kepler? Qual e a liberdade adicional no problema de Coulomb-Kepler em comparacao como problema de Kepler?c. A equacao diferencial de Kepler nao e facil para resolver. Mesmo assim, podemos aprenderalgo olhando para o diagrama de do espaco de fase. Para isso, consideramos duas partıculasidenticas Q = Q1 = Q2 e m = m1 = m2, colocadas em uma distancia z0. O que acontecera?Como se comportam as velocidades das duas partıculas v1 e v2 uma a respeito da outra? Deriveuma relacao entre a distancia z e a velocidade v de uma das partıculas (conservacao de energia).Qual e o valor da velocidade para z →∞? Faz um grafico do diagrama de espaco de fase (z, v)para tres distancias z0 diferentes.

2.8.1.23 Ex: Partıcula girando em torno de um fio carregado

Uma linha infinitamente longa uniformemente carregada com carga negativa, tem densidade decarga igual a λ e esta localizada no eixo z. Uma pequena partıcula carregada positivamente temmassa m e uma carga q, e esta em orbita circular de raio R no plano xy centrada na linha decargas.a. Deduza uma expressao para a rapidez da partıcula.b. Obtenha uma expressao para o perıodo da orbita da partıcula.


2.8.2 Propriedades do campo eletrico

2.8.2.1 Ex: Uso da funcao de Dirac na lei de Coulomb

Mostre como as seguinte formulas da lei de Coulomb para distribuicoes de densidade um-, doise tri-dimensional,

E(r) =1

4πε0

∫

V

r− r′

|r− r′|3 ρ(r′)dV ′

E(r) =1

4πε0

∫

A

r− r′

|r− r′|3σ(r′)dA′

E(r) =1

4πε0

∫

C

r− r′

|r− r′|3λ(r′)dC ′

sao relacionadas usando a nocao da funcao δ de Dirac, definida por,

δ(x) =

∞ para x = 0

0 para x 6= 0

tal

∫f(x)δ(x− a)dx = f(a)∞ 1

∞ = f(a) .

Utilize os exemplos de a. uma distribuicao linear de carga ao longo do eixo x, dada por ρ(r′) =λ(x′)δ(y′)δ(z′), e b. uma distribuicao superficial de carga no plano z = 0, dada por ρ(r′) =σ(x′, y′)δ(z′).

2.8.2.2 Ex: Campo eletrico gerado por uma distribuicao linear de carga

Calcule o campo eletrico gerado por uma distribuicao linear de carga. Analise o campo numaregiao afastada.

2.8.2.3 Ex: Campo eletrico produzido por um disco carregado

a. Calcule o campo eletrico ao longo do eixo de simetria gerado por um disco fino de raio Runiformemente carregado com a carga Q.b. Discuta o limite R → ∞ assumindo que a densidade de carga superficial seja mantida cons-tante.

2.8.2.4 Ex: Campo eletrico produzido por uma camada esferica

Uma carga q esta deposita numa esfera solida condutora de raio R.a. Parametrize a distribuicao de carga ρ(r).b. Determine a densidade de carga superficial σ na superfıcie da esfera.c. Usando a lei de Gauß,

∮∂V E(r) · da = Q

ε0, calcule o campo eletrico dentro e fora da esfera.

d. Usando a lei de Coulomb, E(r) = 14πε0

∫A

r−r′|r−r′|3σ(r′)dA′ em coordenadas esfericas,

r′ =

R sin θ′ cosφ′

R sin θ′ sinφ′

R sin θ′

e dA′ = R2 sin θ′dθdφ′ ,

2.8. EXERCICIOS 75

calcule o campo eletrico Ez(z) ao longo do eixo z dentro e fora da esfera. Ajuda:

∫ R

−R

z − z′√z2 − 2zz′ +R23dz

′ =

−2Rz2

0

2Rz2

para

z < −R−R < z < R

R < z

.

2.8.2.5 Ex: Campo de uma esfera homogeneamente carregada

Calcule com a lei de Gauß o campo eletrico de uma esfera homogeneamente carregada (cargaQ, raio R)a. para r < R eb. para r ≥ R.

2.8.2.6 Ex: Campo de uma distribuicao de carga com simetria esferica

O campo eletrico gerado por uma distribuicao de carga esfericamente simetrica ρ(r) pode serdado na forma,

E(r) =r

r34π

∫ r

0dr′ r′ 2 ρ(r′) ,

onde a origem fica no centro da esfera e r = |r|.a. Mostre que divE = 4π ρ e rotE = 0.b. Calcule o campo para uma esfera de raio R, que fica homogeneamente carregada no volumeinteiro com a carga total Q.c. Resolve (b) para uma esfera concentrica oca homogeneamente carregada com raio interno Ri,raio externo Ra e carga total Q.d. Resolve (c) para o caso, que o centro da parta esferica oca seja deslocado de um vetor d arespeito do centro da superfıcie esferica.Ajuda: O campo eletrico e uma grandeza aditiva.

2.8.2.7 Ex: Campo de uma distribuicao de carga com simetria esferica

Uma esfera de raio R fica no vacuo. Ela e feita de um material com a permitividade ε constantee carrega no seu centro a carga q.a. Calcule o campo o campo eletrostatico E no interior e no exterior da esfera.b. Calcule o potencial eletrostatico Φ no espaco inteiro.

2.8.2.8 Ex: Distribuicao de carga

Seja dada a densidade de carga ρ(r) = cr∫ R

0 dr′δ(r′ − r), onde r = |r|, R > 0 e c = const. Acarga total seja Q.a. Faz um esquema da funcao ρ(r). Como e a relacao entre a constante c e a carga total Q?b. Comece mostrando, que o campo eletrico criado por uma distribuicao de carga esfericamentesimetrica ρ pode ser escrita na forma E(r) = r

r3

∫ r0 dr

′r′2 1ε0ρ(r′) . Aqui r e o vetor partindo da

origem no centro de simetria e alcancando a superfıcie. Determine o valor absoluto e a direcaodo campo eletrico E(r) para |r| < R e |r| > R para a dada distribuicao de carga. Faz umesquema do perfil |E(r)|.



Uma fina lamina quadrada e condutora tem bordas com d = 5.0 m de comprimento e uma cargaresultante de Q = 80 µC. Considere que a carga esteja uniformemente distribuıda nas faces dalamina.a. Determine a densidade de carga em cada face da lamina e o campo eletrico nas proximidadesde uma das faces.b. A lamina esta colocada a direita de um plano infinito, nao condutor e carregado, com densidadede carga igual a σinf = 2.0 µC/m2, com as faces da lamina paralelas ao plano. Determine ocampo eletrico em cada face da lamina e determine a densidade de carga em cada face.


Uma superfıcie grande, plana, nao-condutora e nao uniformemente carregada esta ao longo doplano x = 0. Na origem, a densidade de carga e de σ = 3.1 µC/m2. A uma pequena distancia dasuperfıcie no sentido positivo do eixo x, a componente x do campo eletrico e Edir = 4.65·105 N/C.Qual e o valor de Ex a uma pequena distancia da superfıcie no sentido negativo do eixo x.


Uma lamina plana infinita nao-condutora tem uma densidade superficial de carga de σ1 =+3.0 µC/m2 e esta no plano y0 = −0.6 m. Uma segunda lamina plana infinita tem densidadesuperficial de carga de σ2 = −2.0 µC/m2 e esta no plano x0 = 1.0 m. Finalmente, uma fina cascaesferica nao-condutora com raio de R = 1.0 m e como centro no plano z0 = 0 na intersecao dosdois planos carregados, tem uma densidade densidade superficial de carga de σ3 = −3.0 µC/m2.Determine a magnitude, a direcao e o sentido do campo eletrico no eixo x ema. x1 = 0.4 m eb. x2 = 2.5 m.

2.8.2.12 Ex: Esfera carregada

Uma esfera solida nao condutora de raio R = 1.0 cm tem uma densidade volumetrica uniformede carga. A magnitude do campo eletrico a r = 2.0 cm do centro da esfera e Er = 1.88 ·103 N/C.a. Qual e a densidade volumetrica de carga da esfera?b. Determine a magnitude do campo eletrico a uma distancia de d = 5.0 cm do centro da esfera.

2.8.2.13 Ex: Fluxo eletrico

Um carga puntiforme Q e colocada no centro de uma bola hipotetica com o raio R, que numlado e cortada numa altura h. O que e o fluxo do campo eletrico E atraves do plano do corteA?


O cubo mostrado na figura tem um comprimento de borda de d = 1.4 m e fica dentro de umcampo eletrico.a. Calcule o fluxo eletrico atraves da area direita do cubo para um campo eletrico dado porE = −3 V/m · ex + 4 V/m · ez. Qual e o fluxo total atraves da superfıcie inteira do cubo?b. Calcule o fluxo total atraves da superfıcie inteira do cubo para o campo eletrico E = −4 V/m2 ·ex + (6 V/m + 3 V/m2 · y)ey. Qual e a carga contida no cubo?

2.8. EXERCICIOS 77

Aufgabe 7 (Elektrostatische Energie)Wie groß ist die elektrostatische Energie(a) von vier gleichgroßen Ladungen Q, die sich an den Ecken eines Tetraeders mit Kan-tenlange d befinden?(b) einer mit der Ladung Q homogen geladenen dielektrischen Kugel mit Radius R?Berechnen Sie hierzu das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb des Kugelradius mitdem Gauss-Satz.

Aufgabe 8 (Fluss)Eine Punktladung Q sitze im Zentrum einer Kugel mit Radius R, die an einer Seite inder Hohe h flach abgeschnitten wurde. Wie groß ist der Fluss des elektrischen Feldes ~Edurch die Schnittebene A ?

R

h

Q

AA

Aufgabe 9 (Dipol im Feld)Gegeben sei ein Molekul, das aus zwei starr miteinander verbundenen Massen m1 = m2 =10−25 kg bestehe, die sich im Abstand von d = 10−12 m befinden und Elementarladun-gen +e bzw.−e besitzen. Berechnen Sie das elektrische Dipolmoment ~d = d · ex dieserLadungsverteilung. Nun wird das Molekul durch Anlegen eines homogenen elektrischenFeldes ~E = 100 V/m ez in Rotation versetzt. Berechnen Sie die Rotationsgeschwindigkeitdes Molekuls als Funktion des Winkels zwischen Dipolmoment und elektrischem Feld.

y

x

z


E

z

R

Calcule o fluxo do campo eletrico E(r) = E0ez atraves da semi-esfera com o raio R mostradana figura.


z

R

L

E

Calcule o fluxo do campo vetorial com simetria cilındrica E(r) = E0eρ atraves da meia superfıciecilındrica mostrada na figura com raio R e comprimento L.

2.8.2.17 Ex: Campo eletrico de uma folia carregada

Uma folia nao-condutora infinitamente extensa carrega num dos dois lados uma carga com adensidade de superfıcie de 0.1 µC/m2. Qual e distancia das superfıcies equipotenciais com umadiferencia de potencial de 50 V?

2.8.2.18 Ex: Campo eletrico entre planos carregados

Considere dois planos finos nao-condutores com extensao infinita perpendiculares ao eixo x ecruzando este eixo nas posicoes x1 e x2 com x1 < x2. Os planos sao uniformemente carregadoscom densidades de cargas σ1 e σ2. Calcule os campos eletricos nas tres regioes x < x1 ex1 < x < x2 e x2 < x. Discuta os casos particulares σ2 = σ1 e σ2 = −σ1.

2.8.2.19 Ex: Campo eletrico de um uma fotocopiadora

O campo eletrico logo acima da superfıcie do tambor carregado de uma fotocopiadora tem ovalor absoluto 2.3 ·105 N/C. O tambor tem um comprimento de 42 cm e um diametro de 12 cm.a. Qual e a densidade de cargas na superfıcie suposta condutora?b. Qual e a carga total no tambor?c. Diminuindo o tambor para 8 cm no ambito de construir uma fotocopiadora mais compacta,o campo na superfıcie deve ficar o mesmo. O que deve ser a carga neste caso?


2.8.2.20 Ex: Contador Geiger

Um contador Geiger-Muller consiste consiste essencialmente de um tubo de metal cheia com gas(raio interior ra) e de um fio fino no interior (raio ri). Entre os dois e colocada uma alta tensao.O contador serve, por exemplo, para deteccao de partıculas carregadas, que produzem do gaspares de eletrons e ıons, que depois sao extraıdos por uma tensao aplicada e detectados comosinal eletrico.a. Calcule o potencial φ(r), onde φ(ra) = 0 e φ(ri) = U = 1000 V.b. Sejam ri = 15 µm, ra = 1 cm. Calcule a forca do campo na superfıcie da carga.c. O caminho livre medio no gas e L = 3 µm. Em qual distancia do fio RI acontece a formacaode uma avalanche, isto e, um eletron parado depois de uma colisao e acelerado numa distanciaL ate a energia de ionizacao EI = 5 eV e, assim, pode gerar um outro par de eletron-ıon nacolisao subsequente?

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Uma fina casca esferica nao-condutora, uniformemente carregada, com raio R, tem uma cargatotal positiva igual a Q. Um pequeno pedaco e removido da superfıcie.a. Quais sao o modulo, a direcao e o sentido do campo eletrico no centro do buraco?b. O pedaco e colocado de volta no buraco. Determine a forca eletrica exercida no pedaco.c. Usando a magnitude da forca, calcule a pressao eletrostatica que tende a expandir a esfera.

2.8.2.22 Ex: Fluxo atravessando um cone

Um cone circular reto imaginario com angulo de base θ e raio de base R esta em uma regiaolivre de cargas que tem um campo eletrico uniforme E (linhas de campo sao verticais ao eixodo cone). Qual e a razao entre o numero de linhas de campo por unidade de area entrando nabase e o numero de linhas por unidade de area entrando na superfıcie conica do cone. Use a leide Gauß em sua resposta.

2.8.2.23 Ex: Gerador de Van de Graaf

A camada esferica (raio R) de um gerador de Van de Graaf deve ser carregada ate uma diferenciade potencial de 106 V. O que deve ser o diametro mınimo da esfera para evitar descarregamento

2.8. EXERCICIOS 79

por relampago?Ajuda: O campo de descarga disruptiva do ar seja 3 · 106 V/m.

2.8.2.24 Ex: Acelerador de Van de Graaff

Protons sao liberados a partir do repouso em um sistema acelerador de Van de Graaff. Osprotons estao inicialmente localizados onde o potencial eletrico tem um valor de 5.0 MV, eentao, eles viajem atraves do vacuo ate uma regiao onde o potencial e zero.a. Determine a rapidez final destes eletrons.b. Determine a magnitude do campo eletrico acelerador se o potencial mudar uniformementesobre uma distancia de 2.0 m.

2.8.2.25 Ex: Gaiola de Faraday

Mostre que num espaco confinado por uma superfıcie aterrada o campo eletrico deve desaparecer.

2.8.2.26 Ex: Guia de onda

A figura mostra uma porcao da secao transversal de um cabo concentrico infinitamente longo.O condutor interno tem uma densidade linear de carga de 6.0 nC/m e o condutor externo naotem carga resultante.a. Determine o campo eletrico para todos os valores de R, onde R e a distancia perpendicularao eixo comum no sistema cilındrico.b. Quais sao as densidades superficiais de carga nas superfıcies do lado de dentro e do lado defora do condutor externo?

2.8.2.27 Ex: Equacoes fundamentais da eletrostatica

a. Da as equacoes fundamentais da eletrostatica em forma integral e diferencial.b. Da a equacao fundamental em termo do potencial eletrostatico.

2.8.3 O potencial escalar eletrico

2.8.3.1 Ex: Teorema de Earnshaw

Mostre que o potencial eletrostatico no espaco livre nao exibe maximo. Comentario: Isso e arazao porque nao e possıvel confinar partıculas carregadas em campos eletrostaticos.


2.8.3.2 Ex: Potencial eletrico entre cargas puntiformes

Uma partıcula puntiforme tem uma carga igual a +2.0 µC e esta fixa na origem.a. Qual e o potencial eletrico V em um ponto a 4.0 m da origem, considerando que V = 0 noinfinito?b. Quanto trabalho deve ser realizado para trazer uma segunda carga puntiforme que tem umacarga de +3.0 µC do infinito ate uma distancia de 4.0 m da carga de +2.0µC?


Tres partıculas puntiformes identicas de carga q estao nos vertices de um triangulo equilateroque esta circunscrito em um cırculo de raio a contido no plano z = 0 e centrado na origem. Osvalores de q e a sao +3.0 µC e 60 cm, respectivamente. (Considere que o potencial seja zerobem distante de todas as cargas.)a. Qual e o potencial eletrico na origem?b. Qual e o potencial eletrico no ponto do eixo z que esta em z = a?c. Como mudariam suas respostas para as Partes a. e b. se as cargas ainda estivessem mais emum dos vertices do triangulo? Explique sua resposta.


Duas partıculas puntiformes identicas, carregadas positivamente, estao fixas no eixo x em x = +ae x = −a.a. Escreva uma expressao para o potencial eletrico V (x) como uma funcao de x para todos ospontos no eixo x.b. Represente V (x) versus x para todos os pontos no eixo x.


O campo eletrico no eixo x devido a uma carga puntiforme fixa na origem e dado por E =(b/x2)ex, onde b = 6.0 kV ·m e x 6= 0.a. Determine a amplitude e o sinal da carga puntiforme.b. Determine a diferencia de potencial entre os pontos no eixo x em x = 1.0 m e x = 2.0 m.Qual destes pontos esta num potencial maior?

2.8.3.6 Ex: Ruptura dieletrica do ar

Determine a densidade superficial maxima de carga σmax que pode existir na superfıcie dequalquer condutor antes que ocorra a ruptura dieletrica do ar.

2.8.3.7 Ex: Energia potencial de uma esfera carregada

a. Quanta carga esta na superfıcie de um condutor esferico isolado que tem um raio de R =10.0 cm e esta carregado com 2.0 kV?b. Qual e a energia potencial eletrostatica deste condutor? (Considere que o potencial e zerodistante da esfera.)

2.8.3.8 Ex: Energia de uma partıcula num potencial

Quatro cargas puntiformes estao fixas nos vertices de um quadrado centrado na origem. O com-primento de cada lado do quadrado e 2a. As cargas estao localizadas em: +q esta em (−a,+a),

2.8. EXERCICIOS 81

+2q esta em (+a,+a), −3q esta em (+a,−a) e +6q esta em (−a,−a). Uma quinta partıculacom massa m e carga +q e colocada na origem e liberada a partir do repouso. Determine suarapidez quando ela estiver bem distante da origem.

2.8.3.9 Ex: Energia de uma partıcula num potencial

Duas esferas metalicas tem raio de 10 cm cada uma. Os centros das duas esferas estao separadospor 50 cm. As esferas estao inicialmente neutras, mas uma carga Q e transferida de uma esferapara outra, criando uma diferenca de potencial entre elas de 100 V. Um proton e liberadodo repouso na superfıcie da esfera carregada positivamente e viaja para a esfera carregadanegativamente.a. Qual e a energia cinetica assim que ele chega na esfera carregada negativamente?b. Com que rapidez ele colide na esfera?

2.8.3.10 Ex: Potencial de esferas conectadas

Um condutor esferico de raio R1 esta carregado com Vi = 20 kV. Quando ele e conectadoatraves de um fio condutor muito fino e longo, a um segundo condutor esferico bem distante,seu potencial cai para Vf = 12 kV. Qual e o raio da segunda esfera?

2.8.3.11 Ex: Potencial de um disco carregado

Ao longo do eixo central de um disco carregado uniformemente, em um ponto a 0.6 m do centrodo disco, o potencial e 80 V e a intensidade do campo e 80 V/m. A uma distancia de 1.5 m, opotencial e 40 V e a intensidade do campo eletrico e 23.5 V/m. (Considere que o potencial sejamuito distante do disco). Determine a carga total do disco.

2.8.3.12 Ex: Potencial de cascas esfericas

Duas cascas esfericas condutoras concentricas tem cargas iguais com sinais opostos. A cascainterna tem raio externo a e a carga +q; a casca externa tem raio interno b e a carga −q.Determine a diferenca de potencial Va − Vb entre as cascas.

2.8.3.13 Ex: Potencial eletrico de um disco

Um disco de raio R tem uma distribuicao superficial de carga dada por σ = σ0r2/R2, onde σ0

e uma constante e R e a distancia ao centro do disco.a. Determine a carga total no disco.b. Determine a expressao para o potencial eletrico a uma distancia z do centro do disco no eixoque passo pelo centro do disco e e perpendicular ao seu plano.

2.8.3.14 Ex: Potencial eletrico de um bastao

Um bastao de comprimento L tem uma carga total Q uniformemente distribuıda ao longo deseu comprimento. O bastao esta ao longo do eixo x com seu centro na origem.a. Qual e o potencial eletrico como funcao da posicao ao longo do eixo x para x > L/2?b. Mostre, que para x L/2, seu resultado se reduz ao devido a uma carga puntiforme Q.


2.8.3.15 Ex: Potencial de um disco fino

Calcule o potencial eletrico de um disco fino homogeneamente carregado com a carga Q ao longodo eixo de simetria.

2.8.3.16 Ex: Potencial eletrico de quatro fios

Considere quatro fios orientados paralelamente a direcao z, como mostra a figura. Os fios sejamcarregados com a carga por unidade de comprimento q/L.a. Calcule o potencial eletrico como funcao de x e y.b. Expande o potencial em torno de x = 0 e y = 0 (|x|, |y| a) ate segunda ordem. Qual e aforma do potencial neste ponto?

a

-a

-a a

+q/L

-q/L-q/L

+q/L

y

x

2.8.3.17 Ex: Lei de Stokes

Considere um fio fino retilıneo de comprimento infinito uniformemente carregado com a densi-dade de carga linear λ.a. Parametrize a densidade de carga linear usando a funcao δ.b. Usando a lei de Gauss, calcule o campo eletrico.c. Calcule a integral de caminho

∫E · ds para o caminho parametrizado por s(t) = ρ(ex cos t+

ey sin t) com t ∈ [0, 2π].d. A partir do campo eletrico obtido em (b) calcule ∇ × E em coordenadas cartesianas oucilındricas.Ajuda: ∇× S = eρ

1ρ

[∂Sz∂φ − ρ

∂Sφ∂z

]+ eφ

[∂Sρ∂z − ∂Sz

∂ρ

]+ ez

1ρ

[∂∂ρ(ρSφ)− ∂Sρ

∂φ

].

2.8.4 Energia eletrostatica

2.8.4.1 Ex: Movimento de duas cargas

Duas partıculas com massas m1 e m2 e cargas Q1 > 0 e Q2 > 0 sao colocadas numa distanciareciproca d0 e podem se mover livremente no espaco.a. O que vai acontecer com as partıculas qualitativamente? Qual relacao vale para todos ostempos para as velocidades das duas partıculas v1 e v2?b. Calcule as velocidades das duas partıculas como funcao da sua distancia e faz um esquemadas funcoes v1(d), resp. v2(d) (diagrama de espaco de fase). Quais sao as velocidades alcancadasno limite d→∞?

2.8. EXERCICIOS 83

2.8.4.2 Ex: Armadilha de Paul

Sejam dados quatro fis paralelos ao longo da direcao z e formando no plano xy uma configuracaoquadrupolar, como mostra a figura. Die carga agora e ±q por unidade de comprimento l. Calculeo potencial eletrico como funcao de x e y no centro entre os fis e expande em torno de x = 0 ey = 0 (|x|, |y| a) ate segunda ordem. Qual forma o potencial tem nesta posicao? Voce achapossıvel aprisionar uma partıcula carregada neste potencial?

2.8.4.3 Ex: Energia do eletron

Supondo que a carga seja homogeneamente distribuıda sobre um esfera calcule o raio ”classicodo eletron”.

2.8.4.4 Ex: Raio do eletron

a. Tente calcular a energia eletrostatica do campo de um eletron por,

EF =

∫

R3

ε02

E2(r) d3r

Qual problema aparece no calculo da parte radial da integral∫dr, se o limite inferior de inte-

gracao vai para r0 → 0?b. Este problema e conhecido com divergencia da auto-energia. E possıvel contornar este pro-blema, deixando o limes para fora e colocando como limite de integracao o raio classico doeletron r0. A energia do campo eletrico EF e entao identificado com a metade da energia damassa E = 1

2mec2, onde me e a massa de um eletron e c a velocidade da luz. Calcule o raio

classico do eletron!

2.8.4.5 Ex: Energia eletrostatica

a. Escreve a energia potencial de uma carga q no campo exterior E = −~∇Φ?b. Qual e o valor da energia eletrostatica de N cargas puntiformes?c. Qual e o valor da energia de uma distribuicao de cargas no campo eletrico E(r)?d. Quais sao as condicoes de contorno para o campo E na superfıcie de um condutor?e. Desenhe o campo eletrico de uma carga puntiforme q localizada em frente de um planometalico. Qual e a carga induzida? Qual e o valor da forca sobre a carga q?


Qual e a energia eletrostatica dea. quatro cargas Q iguais localizadas nas esquinas de um tetraedro com o comprimento de cantosd?b. uma esfera dieletrica com raio R homogeneamente carregada com a carga Q? Para isso,calcule o campo eletrico no interior e exterior da esfera usando a lei de Gauß.


a. Oito cargas puntiformes q sao colocadas nos cantos de um cubo com o comprimento da arestal. Calcule a energia eletrostatica desta configuracao.b. Um balao com raio R seja carregado homogeneamente co a carga Q. Qual e o valor daenergia eletrostatica? Qual e a forca necessaria para inflar o balao ainda mais, desprezando aforca elastica do balao?


2.8.4.8 Ex: Separacao de cargas

Duas esferas neutras condutoras estao em contato e estao presas em bastoes isolantes sobre umagrande mesa de madeira. Um bastao carregado positivamente e aproximado da superfıcie deuma das esferas no lado oposto ao ponto de contato com a outra esfera.a. Descreva as cargas induzidas nas duas esferas condutoras e represente a distribuicao de decargas em ambas.b. As duas esferas sao separadas e, entao, o bastao carregado e afastado. A seguir, as esferassao afastadas por uma grande distancia. Represente as distribuicoes da carga nas esferas depoisde separadas.

2.8.5 Tratamento de condicoes de contorno e o teorema da unicidade

2.8.5.1 Ex: Carga imagem

Um fio fino e longo fica suspenso ao longo da direcao y numa distancia z = d paralelo a umaplaca metalica aterrada. A placa seja infinitamente estendida no plano (x, y). A superfıcie daplaca orientada ao lado do fio seja em z = 0. Na superfıcie do fio tem a carga Q/l por unidadede comprimento.a. Faz um esquema do campo eletrico no semi-espaco z > 0. Ajuda: Use o principio da cargaimagem!b. Calcule o perfil do campo eletrico em proximidade da superfıcie da placa.c. Qual e a densidade superficial de cargas σ(x, y) na superfıcie da placa.d. Qual e a carga induzida na placa por unidade de comprimento na direcao y?Comentario: Um problema similar acontece para condutores em circuitos imprimidos. A placametalica corresponde ao revestimento de cobre parte traseira do circuito.


Considere o esquema, ilustrado na figura, de uma carga puntiforme (+q) em frente de um cantode uma parede aterrada.a. Determine a posicao e o valor das cargas imagens.b. Calcule o potencial eletrostatico Φ(r) no quadrante superior direito.


Dentro de uma esfera oca metalica aterrada com o raio interior a seja uma carga +Q na posicaor1 = (0, 0, z1). Determine a carga Q′ e a posicao r2 de uma carga imagem com a qual e possıveldescrever o potencial Φ(r) da distribuicao de carga original somente usando o sistema consistindoda carga e da carga imagem. Determine Φ(r).Ajuda: A posicao r2 e a carga Q′ nao sao inequivocamente determinados. Escolhe r1 = (0, 0, z1)e z2/a = a/z1.

2.8. EXERCICIOS 85

zx

z

q'

q

z

2

1


Uma superfıcie condutora no plano (x, y) tem uma protuberancia em forma de uma semi-esferacom raio R. O centro da esfera fica no plano e na origem das coordenadas. Sobre o eixo desimetria ez numa distancia d > R a partir do plano tem uma carga puntiforme Q. Determinecom o metodo da carga imagem o potencial Φ(r) e a forca F sobre a carga Q.a. Para fazer com que a superfıcie da semiesfera fica uma superfıcie equipotencial (Φ ≡ 0)precisamos de uma carga espelho Q1 sobre o eixo z numa distancia z1 a partir da origem.Determine Q1 e z1.b. Para o plano (x, y) virar uma superfıcie equipotencial tambem, precisamos de mais duascargas imagem Q2 e Q3. Determine o valor e a posicao destas cargas.c. Com os valores e as posicoes das cargas determine: O potencial eletrostatico Φ(r) para umponto arbitrario r acima da superfıcie condutora, a forca F sobre a carga Q e a sua direcao(repulsiva ou atrativa).

+q

R

z

d


Considere uma esfera condutora oca com raio R cujo centro fica na origem. Na posicao com ovetor a (|a| > R) seja uma carga puntiforme q.a. A esfera seja aterrada (isto e, Φ = 0 na borda da esfera oca). Calcule o potencial fora daesfera usando o metodo da carga imagem.b. Calcule a carga induzida na superfıcie da esfera.c. O que muda quando a esfera nao e aterrada, mas neutra?

2.8.5.6 Ex: Carga puntiforme em frente de um condutor

Considere uma carga puntiforme Q localizada numa distancia d em frente de um plano condutorinfinitamente estendido.a. Encontre a parametrizacao %(r) da distribuicao de carga de volume para a carga e sua imagem.


b. Calcule o potencial a partir da distribuicao %(r).c. Calcule o campo eletrico a partir da distribuicao %(r).d. Calcule a distribuicao de carga superficial σ(ρ) induzida no condutor usando a lei de Gauss.e. Calcule o potencial Φ(z) ao longo do eixo z a partir da lei de Coulomb usando a distribuicaode carga superficial σ(ρ).f. Compare o resultado obtido em (e) com o potencial produzido pela carga imagem calculadoem (b).

Ajuda:∫

1√u2+a2

31√

u2+b2udu = 1

a2−b2√

u2+b2

u2+a2

2.8.5.7 Ex: Condicoes de contorno de Dirichlet pelo metodo de Green (T6)

Aqui queremos analisar o problema do potencial no semi-espaco definido por z ≥ 0 com condicoesde contorno de Dirichlet no plano z = 0 e no infinito.a. Determine a funcao de Green correspondente.b. O potencial teja no plano z = 0 dentro de um cırculo do raio a o valor fixo Φ0. Fora destecırculo e no mesmo plano o potencial seja Φ = 0. Derive a expressao integral para o potencialnum ponto no semi-espaco superior com as coordenadas cilındricas (ρ, φ, z).c. Mostre agora que o potencial ao longo de um eixo atravessando perpendicularmente o centrodo plano do cırculo e dado por Φ(z) = Φ0(1− z/

√a2 + z2).

2.8.5.8 Ex: Placas condutoras com cargas espelhos pelo metodo de Green (H7)

Sejam dadas das placas planas condutoras (infinitamente estendidas) com a distancia mutua L.Exatamente no meio entre as placas fica uma carga puntiforme +q. Use o metodo de uma serieinfinita de imagens espelhos para calcular o potencial entre as placas e a forca sobre uma placa.

2.8.5.9 Ex: Esfera oca pelo metodo de Green (H8)

Consideramos uma esfera oca condutora (com a camada infinitamente fina) com o raio a. Emcoordenadas esfericas o potencial na superfıcie da esfera seja dado por Φ(a, θ, φ) = Φ0 cos θ.a. Calcule utilizando a funcao de Green para a esfera, o potencial e o campo no interior da esfera

2.8. EXERCICIOS 87

sobre o eixo z.b. Mostre que Φ(r, θ, φ) = Φ0(r/a) cos θ e a solucao para o interior da esfera e vale E(r) =−(Φ0/a)ez.

2.8.6 Solucao da equacao de Laplace em situacoes de alta simetria

2.8.6.1 Ex: Separacao de variaveis

Calcule o potencial dentro de um guia de onda retangular infinito na direcao z resolvendo aequacao de Laplace usando o metodo de separacao das variaveis.

2.8.6.2 Ex: Campo de uma esfera com buraco (H11)

Na superfıcie de uma esfera oca de raio R, da qual foi cortado no polo norte uma tampadefinida pelo angulo de abertura θ = α, fica uma densidade de carga superficial homogeneamentedistribuıda Q/4πR2.a. Mostre que o potencial no interior do volume da esfera pode ser escrito na forma,

Φ(r, θ, φ) =Q

2

∞∑

`=0

1

2`+ 1[P`+1(cosα)− P`−1(cosα)]

r`

R`+1P`(cos θ)

onde devemos para ` = 0 colocar P`−1(cosα) = −1. Qual e a forma do potencial no exterior daesfera oca?b. Determine o valor absoluto e a direcao do campo eletrico na origem.c. Qual potencial obtemos para α→ 0?Ajuda: Use a seguinte relacao para a densidade de carga de superfıcie:

− σε0

=

[∂Φ>

∂r− ∂Φ<

∂r

]

r=R

,

onde os ındices < resp. > mostram para as regioes no interior resp. no exterior da esfera. Paraa integracao a seguinte relacao de recursao e util,

Pl(x) =1

2`+ 1

(dP`+1(x)

dx− dP`−1(x)

dx

)

que vale para ` > 0.

2.8.7 Expansao multipolar

2.8.7.1 Ex: Multipolos

Uma carga puntiforme de tamanho +2Q fica no lugar (0, 0, a), uma outra de tamanho +1Q nolugar (0, 0,−a). Calcule a. a contribuicao monopolar, b. dipolar e c. quadrupolar da expansaomultipolar.

2.8.7.2 Ex: Momento di- e quadrupolar de distribuicoes de cargas esfericas

Distribuicoes de cargas esfericamente simetricas tem momento dipolar ou quadrupolar? Justifi-que!


2.8.7.3 Ex: Dipolo eletrico

Um dipolo eletrico consiste de duas cargas do valor q = 1.5 nC distante de d = 6 µm.a. Qual e o momento dipolar?b. Calcule o potencial do dipolo ao longo do eixo de simetria ez e no plano x-y.c. O dipolo fica num campo eletrico de forca 1100 N/C. Qual e a diferenca das energias potenciaiscomparando as orientacoes paralela e antiparalela do dipolo?

2.8.7.4 Ex: Dipolo eletrico

Um dipolo eletrico com o momento d fica no lugar r. Na origem das coordenadas tem umacarga puntiforme e.a. Calcule a energia potencial do dipolo.b. Calcule a forca agindo sobre o dipolo.c. Calcule a forca agindo sobre a carga. Vale o axioma de Newton da mecanica: ”actio =reactio”?

2.8.7.5 Ex: Dipolo eletrico num campo

Qual e a forca agindo sobre um dipolo eletrico p = ed · er no ponto r alinhado ao longo das linhasde campo de um campo externo produzido por esfera com raio R homogeneamente carregadacom uma carga Q?

R

-ee

Qd

r

2.8.7.6 Ex: Dipolo eletrico num campo

Considere uma molecula que consiste de duas massas rigidamente interligadas m1 = m2 =10−25 kg com uma distancia de a = 10−12 m e com as cargas +e resp. −e.a. Calcule o momento dipolar eletrico d = d · ex desta distribuicao de cargas.b. Agora a molecula seja colocada em rotacao por um campo eletrico homogeneo E = ez ·100 V/m. Calcule a velocidade de rotacao da molecula como funcao do angulo entre o momentodipolar e o campo eletrico.Ajuda: A soma das energias cineticas e eletrostaticas e conservada durante a rotacao.

2.8.7.7 Ex: Campo dipolar em duas dimensoes

Considere dois condutores paralelos infinitamente longos com distancia d tendo a densidadelinear de cargas +λ resp. −λ (carga ±Q por comprimento de condutor l). Usando o teorema deGauß calcule primeiro o campo eletrico e o potencial eletrico de um condutor. Entao calcule opotencial de ambos os condutores por superposicao dos potenciais individuais como funcao dadistancia r e do angulo α (vide figura). Nota: Escolhe como volume de integracao um cilindrocom o comprimento l e o raio r ao longo do eixo de simetria em torno do fio. Determine ocomportamento assintotico para r d/2 e para r d/2. Para fazer isso, faz uma expansaode Taylor da expressao usando: ln 1+ε

1−ε ≈ −2ε + O(ε3). Escreve o resultado como funcao do

2.8. EXERCICIOS 89

momento dipolar p, onde p = |p| = λd e positivo e indica a direcao do vetor do momentodipolar mostrando do condutor positivo ate o negativo.

2.8.7.8 Ex: Campos dipolares e quadrupolares (T8)

Seja dado um sistema de tres cargas puntiformes alinhadas ao eixo z: nas posicoes z = ±a temoscargas do valor +Q, na posicao z = 0 a carga −2Q.a. Determine a distribuicao de carga em termos da funcao δ em coordenadas cartesianas.b. Calcule o potencial eletrostatico Φ(r) desta distribuicao de cargas e aproxime para grandesdistancias |r| a. (Ajuda: Escreve os denominadores que aparecem como 1

|r±a| = 1r

1√1+x

com

x ≡ a2±2a·rr2

e expande ate segunda ordem em a.)c. Calcule o momento monopolar e as componentes cartesianas do momento dipolar e do tensorquadrupolar.d. Calcule os potenciais monopolar, dipolar e quadrupolar e mostre, que o resultado coincidecom a expansao (b).e. Agora gira o sistema de coordenadas em torno do eixo x com um angulo de 45. Quais saoos novos valores para os momentos multipolares? (Ajuda: O tensor quadrupolar se transforma

com a matriz de rotacao λ como q′il = λilqlmλ†mj).

2.8.7.9 Ex: Multipolos

Sejam dadas as duas distribuicoes de cargas mostradas no grafico.a. Calcule para os dois casos primeiro o potencial eletrico Φ na distancia r = 2a, r = 10a er = 100a para respetivamente os angulos α = 0, α = 45 e α = 90.b. Os resultados devem agora ser comparados com aqueles da expansao quadrupolar. Quais saoos momentos monopolar, dipolar e quadrupolar nestas duas geometrias? Calcule a contribuicoesmonopolar, dipolar e quadrupolar do potencial eletrico nas mesmas posicoes como acima. Com-pare estes valores com aqueles calculados exatamente e identifique as contribuicoes dominantes.

2.8.7.10 Ex: Multipolos (K1)

Quatro cargas puntiformes +e ficam nas coordenadas cartesianas (x, y, z) = (0, d, 0), (0,−d, 0), (0, 0, d), (0, 0,−d)e quatro outras cargas −e nos pontos (−d, 0, 0), (−d

2 , 0, 0), (d, 0, 0). Calcule o momento mono-polar e as componentes cartesianas do momento dipolar e quadrupolar desta distribuicao decargas.

2.8.7.11 Ex: Momentos multipolares de uma distribuicao de carga (T9)

Uma esfera oca ideal com R0 tem a densidade superficial de carga σ(r, θ, φ) = σ0 cos θ comσ0 =constante. Calcule:


+q

+q

+q

-q

-q-q

x

x

y

y

-a

-a

-a

+a

+a

+a

r

r

r

r

r

r

Dipol

Quadrupol

a. Os momentos multipolares desta distribuicao de carga.b. O potencial eletrostatico fora da esfera.

2.8.7.12 Ex: Momento multipolar de um nucleo atomico (H10)

Um modelo simples de um nucleo atomico deformado e um corpo homogeneamente carregadocoma carga total Ze e a superfıcie R(θ) = R0(a(β)+βY20(θ)) (quadrupoloido). Supomos agora, queo valor absoluto do parametro de deformacao β seja muti pequeno a respeito de 1. Para o raiomedio vale R0 = 1.2 A1/3 [fm], onde A e o numero dos nucleons presentes.a. Visualize a forma do nucleo.b. Determine a(β) ate termos quadraticos em β a partir do requerimento, que o volume donucleo seja sempre V = 4πR3

0/3.c. Calcule os momentos multipolares Qlm ate o momento octupolar e ate os termos lineares emβ. Existem momentos multipolares que zeram exatamente?d. Calcule o potencial eletrostatico tambm ate termos lineares em β.

2.8.7.13 Ex: Interacao dipolo-dipolo

a. Considere um dipolo eletrico com momento dipolar d. Mostre que o campo eletrico do dipoloe dado por:

E(r = rer) = − 1

4πε0

d− 3er(er · d)

r3.

Pode utilizar a expressao para o potencial de um dipolo.b. Use este resultado para calcular a energia de interacao U12 de dois dipolos iguais localizadosnuma distancia reciproca d para as configuracoes dos dipolos esquematizadas.

Ajuda: Para calcular a energia de interacao U12(a) entre os dois dipolos consideramos a

Hausaufgabe 4 (Dipol-Dipol Wechselwirkung)

1. Gegeben Sei ein elektrischer Dipol mit dem Dipolmoment ~d. Zeigen Sie, dass daselektrische Feld des Dipols gegeben ist durch :

~E(~r = rer) = − 1

4πǫ0

~d− 3er(~der))

r3. (10)

Hierzu durfen Sie den Ausdruck fur das Potenzial eines Dipols verwenden.

2. Nutzen Sie dieses Ergebnis, um die Wechselwirkungsenergie U12 zweier gleicherDipole, die sich im Abstand d voneinander befinden, fur folgende Anordnung derDipole zu berechnen: Hinweis: Um die Wechselwirkungsenergie U12(~a) zwischen

d d

d dd d

d d

1 1

1 1

2 2

2 2a a

a a

(i) (ii) (iii) (iv)

den beiden Dipolen zu berechnen, betrachten wir die Energie des Dipols 1 im elek-trischen Feld des Dipols 2. Dann gilt: U12(~a) = −~d1 ~E2. In welchen Anordnungenziehen sich die Dipole an, in welchen stossen sie sich ab?

3. Ein aktuelles Forschungsgebiet beschaftigt sich mit kalten dipolaren Molekulen. InTubingen wird z.B. an kalten RbLi-Molekulen geforscht, welche ein permanenteselektrisches Dipolmoment von dRbLi = 4.3 Debye besitzen. Wie groß muss die Dichteder Atome n sein, wobei n = a−3 gilt, damit die Dipolwechselwirkung U0 mindestensso groß ist wie die thermische Energie der Molekule. Ultrakalte Molekule besitzentypischerweise eine Temperatur von 10−6 K.

LosungDas Potenzial eines Dipols lautet

Φ(~r) =1

4πǫ0

~d~r

r3. (11)

Das elektrische Feld ist gegeben durch ~E = −~∇Φ Mit Ableiten ergibt sich:

−~∇Φ =−1

4πǫ0

[(dx, dy, dz)

r3− 3

2

~d · ~rr5

(2x, 2y, 2z)

]= (12)

=−1

4πǫ0

[~d

r3− 3

~d~r

r5~r

]=

−1

4πǫ0

[~d

r3− 3

~err3er

]= (13)

=−1

4πǫ0

~d− 3(~d · er) · err3

(14)

energia do dipolo 1 no campo eletrico do dipolo 2. Entao vale: U12(a) = −d1E2. Em quaisconfiguracoes os dipolos se atraem, em quais se repelem?c. Uma area de pesquisa atual trata de moleculas dipolares frias, por exemplo, moleculas deRbLi tendo um momento eletrico dipolar permanente de dRbLi = 4.3 Debye. Qual deve ser

2.8. EXERCICIOS 91

a densidade dos atomos n, onde n = a−3, para obter uma interacao dipolar U0 pelo menostao grande como a energia termica das moleculas? Moleculas ultrafrias tipicamente tem umatemperatura em torno de 10−6 K.

2.8.7.14 Ex: Efeito fotoeletrico

Durante o processo descrito pelo efeito fotoeletrico, luz ultravioleta pode ser usada para carregareletricamente um pedaco de metal.a. Se esta luz incide em uma barra de material condutor e eletrons sao ejetados com energiasuficiente para escapar da superfıcie do metal, quanto tempo depois o metal tera uma cargaresultante de de +1.5 nC se 1.0 · 106 eletrons sao ejetados por segundo?b. Se 1.3 eV e necessario para ejetar um eletron da superfıcie, qual e a potencia do feixe de luz?(Considere que o processo seja 100% eficiente.)

2.8.7.15 Ex: Polonio e uso da funcao de Green (H9)

O metal radioativo Polonio (Po), descoberto por Marie e Pierre Curie em 1898, cristaliza emuma rede cubica simples (cada atomo tem seis vizinhos de maneira regular). O nucleo contem84 protons e o diametro do atomo e aproximadamente 3 · 10−8 cm. Calcule a distribuicao dopotencial no interior de uma celula primitiva de um cristal de Po atravessada por uma correnteconstante. Supoe o seguinte modelo para o cristal: Os nucleos atomicos (raio ∼ 9 · 10−13 cm)ficam nas posicoes x′λµν = (λa + a/2, µa + a/2, νa + a/2) para λ, µν = 0,±1,±2, ..., e seraotratados como cargas puntiformes. A camada eletronica de um atomo de Po seja representadapor cargas induzidas num cubo condutor aterrado com o comprimento dosa cantos a, no meiodo qual fica o nucleo positivamente carregado e induzindo estas cargas. Prossegue da maneiraseguinte:a. Comece para mostrar, que

G(r, r′) = 32πa

∞∑

l,m,n=1

1l2+m2+n2 sin lπx

a sin lπx′

a sin mπya sin mπy′

a sin nπza sin nπz′

a ,

e a funcao de Green para o problema de contorno de Dirichlet de um cubo com o comprimentodas bordas a.b. Calcule o potencial no atomo na posicao (a/2, a/2, a/2), onde supomos para o interior do cubouma densidade de carga da forma ρ(x′, y′, z′) = qδ(x′−a/2)δ(y′−a/2)δ(z′−a/2) e que o potencialnas seis superfıcies do cubo adota os seguintes valores: Φ(r′) = 0 na superfıcie x′ = 0, Φ(r′) = V0

na superfıcie x′ = a e Φ(r′) = V0x′/a nas outras 4 superfıcies y′ = 0, y′ = a, z′ = 0, z′ = a.

c. Reformule o termo descrevendo a contribuicao da superfıcie para o potencial usando, que para0 < x < π vale: 1 = (4/π)(sinx+ (1/3) sin 3x+ (1/5) sin 5x+ ...) e x = 2(sinx− (1/2) sin 2x+(1/3) sin 3x− (1/4) sin 4x+ ...).

2.8.7.16 Ex: Potencial eletrostatico de uma esfera oca com funcao de Green (K3)

Na superfıcie de uma esfera oca com raio b sem cargas tem o determinado potencial V (θ, φ) =V0[P2(cos θ) + αP3(cos θ)]. Calcule o potencial eletrostatico Φ(r) no interior da esfera.Ajuda: A funcao de Green para o espaco interior entre duas esferas concentricas com raios a eb (a < b) e,

G(r, r′) =∞∑

l=0

4π

2l + 1

[1−

(ab

)2l+1][rl< −

a2l+1

rl+1<

][1

rl+1>

− rl>b2l+1

]+l∑

m=−lYlm(Ω)Y ∗lm(Ω′) .


onde r< ≡ min(|r|, |r′|) e r> ≡ max(|r|, |r′|). Alem disso sabemos, Yl0(θ, φ) =√

(2l + 1)/4πPl(cos θ).

Capıtulo 3

Propriedades eletricas da materia

Existem varios tipos de materiais, como solidos, lıquidos, gases, metais, madeiras ou vidros,quer todos respondem diferentemente a campos eletricos aplicados. No entanto, a maioriados materiais podem, pelo menos aproximadamente ser classificados em duas categorias: Nummaterial chamado de dieletrico (ou isolador) os eletrons sao fortemente ligados aos atomos. Nummetal os eletrons sao livres. Fora disso tem os semicondutores com propriedades particulares.

Sob a influencia de forcas eletricas (ou magneticas) os eletrons podem ser deslocados dentrode um corpo macroscopico, assim produzindo uma polarizacao, quando os eletrons sao ligados,ou uma corrente, quando os eletrons sao livres.

3.1 Polarizacao de dieletricos

Consideramos primeiramente dieletricos. Os blocos elementares (moleculas) de materiais dieletricospodem reagir de varias maneiras a campos eletricos aplicados: Eles podem ser insensıveis acampos eletricos ou se comportar como dipolos permanentes. Os dipolos permanentes existemindependentemente da aplicacao de um campo exterior, mas geralmente (sem campo exterior)ficam com orientacoes aleatorias e desordenadas. Sob a influencia de um campo exterior osdipolos tentam se reorientar, o que e chamado polarizacao de orientacao.

Tambem e possıvel que nao possassem momento dipolar intrınseco, mas desenvolvem ummomento dipolar sob a acao de um campo exterior. Neste caso falamos de dipolos induzidos.O dipolo induzido se forma pela presenca de uma campo deslocando os centros de massa dascargas positivas e negativas um a respeito do outro produzindo uma polarizacao de translacao.

3.1.1 Energia de dipolos permanentes

Moleculas polares exibem momentos eletricos permanentes. Agua e um exemplo ou o sal de mesaNa+Cl−. A razao e, que os halogeneos tem uma eletroafinidade bem maior que os alcalinos etentar roubar e monopolizar a nuvem eletronica.

A energia potencial de um dipolo depende da sua orientacao a respeito do campo eletrico.Usando a parametrizacao %(r′) = Q[δ3(r′− d

2 )− δ3(r′+ d2 )] achamos para a energia de interacao

com um campo homogeneo dado por Φ(r′) = −E0z′ e,

Hint =

∫%(r′)Φ(r′)dV = −QE0dz = −p ·E . (3.1)

Assim 1,

Hint = −p ·E . (3.2)

1Podemos tambem calcular a energia de um dipolo num campo eletrico pelo trabalho necessario para girar elea partir da sua posicao de repouso, Hint =

∫~τ · dθ =

∫p×Edθ =

∫ θ0pE sin θdθ = −pE cos θ.

93

94 CAPITULO 3. PROPRIEDADES ELETRICAS DA MATERIA

A energia e mınima quando p ‖ E.

Para calcular a energia de interacao entre dois dipolos p1 e p2 calculamos a energia do p1

dentro do campo criado pelo p2 e derivado no Exemplo 27,

Hint = −p1 ·E2 = −p1 ·1

4πε0

3(er · p2)er − p2

r3=

1

4πε0

p1 · p2 − 3(p1 · er)(p2 · er)r3

. (3.3)

3.1.1.1 Alinhamento de dipolos permanentes

Dentro de um campo homogeneo a forca sobre um dipolo eletrico (neutro) p = Qd zera, poisF = QE + (−Q)E = 0. No entanto, vai ter um torque, pois,

~τ =d

2×QE +

−d

2× (−Q)E = p×E . (3.4)

Isso significa, que uma molecula livre de se mover vai girar em torno do seu centro de massa,como ilustrado na Fig. 3.1, ate (em presencia de dissipacao) encontrar a orientacao com a menorenergia. Nesta orientacao a molecula fica alinhada ao campo aplicado. Vide o Exc. 3.5.1.1.

Figura 3.1: Torque sobre um dipolo exercido por um campo eletrico.

Dentro de um campo nao homogeneo as forcas sobre as cargas ±Q nao se compensam 2,F = QE+ −QE− = Q(d · ∇)E. Assim,

F = (p · ∇)E . (3.5)

Colocado em frente de uma superfıcie condutora um dipolo sente as forcas exercidas pelascargas imagens. No Exc. 3.5.1.2 calculamos o torque exercido por uma superfıcie condutorasobre um dipolo.

3.1.2 Inducao de dipolos em dieletricos

A priori, atomos e moleculas neutras nao-polares nao deveriam reagir a campos eletricos apli-cados. No entanto, o fato que atomos sao compostos por distribuicoes de cargas positivas (con-centradas num nucleo pesado) e negativas (concentradas numa camada eletronica leve), permiteum deslocamento mais ou menos importante destas distribuicoes de cargas a respeito do centrode massa. Consequentemente, o campo eletrico polariza o atomo e induz um momento dipolareletrico aproximadamente proporcional ao campo,

p = αpolE , (3.6)

onde a constante αpol e chamada de polarizabilidade.

2Notamos, que a forca que uma campo exerce sobre um dipolo pode ser calculada como gradiente da energiade interacao: F = −∇Hint = ∇(p ·E) = (p · ∇)E + (E · ∇)p + (p×∇)×E + (E×∇)× p = (p · ∇)E.

3.1. POLARIZACAO DE DIELETRICOS 95

Exemplo 29 (Polarizabilidade de um atomo primitivo): Num modelo primitivo ima-ginamos um atomo como um nucleo puntiforme com a carga +Q e uma esfera eletronicauniformemente carregada do raio a trazendo a carga inversa −Q. Na presenca de um campoexterno E o nucleo sera deslocado levemente por uma distancia d/2 para um lado e a camadaeletronica por uma distancia −d/2 para o lado oposto. O atomo polarizado esta em equilıbrio,quando o campo criado pelo dipolo induzido Edp (calculado no Exc. 2.8.2.5) igualiza o campoexterno, isto e,

Edp =1

4πε0

Qd

a3= E .

Portanto,αpol4πε0

=p

4πε0E= a3 ≈ 0.15 · 10−30 m3 ,

utilizando a = aB o raio de Bohr. Isto representa, apesar da simplicidade do modelo, uma

boa aproximacao. Um modelo um pouco melhor e discutido no Exc. 3.5.1.3.

Os valores da polarizabilidade atomica variam de αpol/4πε0 = 0.205 · 10−30 m3 para helio e59.6 · 10−30 m3 para cesio. Isso mostra, que e bem mais difıcil polarizar atomos com camadaseletronicas fechadas (como os gases nobres) do que atomos com eletrons de valencia isolados(como os alcalinos). Moleculas podem reagir de maneira mais complicada a campos aplicadosnecessitando uma interpretacao da polarizabilidade αpol como tensor representado por umamatriz.

3.1.2.1 Energia de dipolos induzidos

Calculamos agora a energia de uma molecula polarizavel dentro de um campo eletrico externo.Esperamos duas contribuicoes: A primeira e a energia Wind armazenada no campo criado pelaseparacao das cargas sob acao do campo externo. A segunda e a energia Hint de interacao dodipolo induzido com o campo externo.

Wind se calcula pelo trabalho gastado separar as cargas. Seja e a carga de valencia ligada amolecula. A forca entre esta carga e a molecula e descrita, em primeira aproximacao, por umoscilador harmonico com a constante de mola k. Dentro do campo eletrico, a carga sente a forcaeE, mas no mesmo tempo a forca da ”mola molecular” indo no sentido oposto. Em equilıbrio,

−kd + eE = 0 . (3.7)

Para induzir este dipolo, o campo eletrico precisa fazer o trabalho,

Wind = 12kd

2 = 12eEd . (3.8)

Definindo o dipolo induzido como pind ≡ Zed, obtemos:

Wind = 12pi ·E . (3.9)

Como a energia de um dipolo num campo eletrico externo e, Hint = −pi · E, para o dipoloinduzido obtemos a energia total,

Htot = Hint +Wind = −12pi ·E . (3.10)

O valor da energia e menor do que no caso de um dipolo permanente (3.5), pois uma parteenergia e gastada em trabalho necessario para criar o dipolo no primeiro lugar. Exprimindo omomento dipolar pela polarizabilidade (3.6),

Htot = −αpol2

E2 . (3.11)


3.1.3 Polarizacao macroscopica

Com isso podemos agora descrever, o que acontece com um material dieletrico colocado numcampo eletrico: Se a substancia consiste de atomos neutros (ou moleculas nao-polares), o campoinduzira em cada partıcula um pequeno momento dipolar mostrando em direcao do campo. Sea substancia consiste de moleculas polares, cada dipolo permanente tentara de orientar ao longodo campo 3.

Note, que estes dois mecanismos produzem o mesmo resultado: uma multitude de pequenosdipolos alinhados ao longo do campo aplicado. A soma dos momentos microscopicas da origema uma polarizacao macroscopica definida pela soma sobre todos os momentos dipolares,

P =Np

V. (3.12)

Na realidade, os dois tipos de polarizacao nao sempre sao bem separados, e existem casosonde ambos contribuem. Nao obstante, em geral e bem mais facil girar uma molecula (energiarotacional) do que estender ela (energia vibracional). Em alguns materiais (ferroeletricos) epossıvel gelar a polarizacao.

3.1.4 Campo eletrostatico num meio polarizado ou dieletrico

Nesta secao vamos descrever o campo eletrico dentro de um meio polarizado esquecendo a causafısica da polarizacao P. O campo produzido pela polarizacao (nao o campo externo) pode sercalculado pela soma dos campos produzidos pelos dipolos individuais,

Φ(r) =1

4πε0

∑

k

pk · (r− rk)

|r− rk|3−→ 1

4πε0

∫

VdV ′

P(r′) · (r− r′)|r− r′|3 , (3.13)

introduzindo a distribuicao de momento dipolar P(r′) por pk → PdV ′. Podemos reescrever aintegral na forma,

Φ(r) =1

4πε0

∫

VP(r′) · ∇′ 1

|r− r′|dV′ =

1

4πε0

[∫

V∇′ · P(r′)|r− r′|dV

′ −∫

V

1

|r− r′|∇′P(r′)dV ′

]

=1

4πε0

∮

∂V

P(r′)|r− r′|dS

′ − 1

4πε0

∫

V

1

|r− r′|∇′ ·P(r′)dV ′ . (3.14)

Definindo,

σb ≡ P · nS e %b ≡ −∇ ·P , (3.15)

obtemos

Φ(r) =1

4πε0

∮

∂V

σb|r− r′|dS

′ − 1

4πε0

∫

V

%b|r− r′|dV

′ . (3.16)

O significativo deste resultado e, que o potencial (e portanto a campo tambem) de um objetopolarizado e o mesmo como aquele produzido por uma distribuicao de volume %b mais umadistribuicao superficial de carga σb. O ındice b indica o fato que consideramos aqui ”boundcharges”(isto e, cargas localizadas). Em vez de integrar as contribuicoes de todos os dipolosinfinitesimais individuais, como na Eq. (3.13), podemos tentar encontrar estas cargas ligadas, edepois calcular os campos que elas produzem como ja fizemos no capitulo anterior.

3Note, que movimento termico, particularmente em temperaturas altas, compete com este processo, tal que oalinhamento nunca e perfeito.

3.1. POLARIZACAO DE DIELETRICOS 97

Figura 3.2: Polarization distorsion.

Exemplo 30 (Teoria microscopica de dipolos induzidos): Como exemplo calculamos ocampo eletrico produzido por uma polarizacao homogenea dentro de uma esfera. Enquantoa carga de volume e zero (senao P nao poderia ser uniforme), a carga superficial e σb =P · nS = P cos θ. Esta distribuicao de carga gera um potencial que, aplicando o resultadoderivado no Exemplo 24, podemos escrever,

Φ(r, θ) =

P

3ε0r cos θ = 1

4πε0

p·rR3 para r ≤ R

P3ε0

R3

r2 cos θ = 14πε0

p·rr3 para r ≥ R ,

com p = 4π3 R

3P. O potencial produz um campo, que fica uniforme dentro da esfera,

E = −∇Φ =

− P

3ε0ez

∂Φ∂z = − P

3ε0para r ≤ R

P3ε0

R3

r2 cos θ = 14πε0

3(er·p)er−pr3 para r ≥ R .

A interpretacao fısica da carga de superfıcie produzida por uma polarizacao uniforme e sim-plesmente um deslocamento de todos os eletrons do corpo a respeito dos nucleos positivamentecarregados. Como os eletrons permanecem ligados aos nucleos, a carga de volume dentro per-manece neutra. No entanto, nas bordas do corpo acumula-se carga negativa de um lado e cargapositiva do outro.

3.1.5 Deslocamento eletrico

Na secao anterior achamos, que o efeito da polarizacao pode ser entendido como sendo produzidopor uma carga de volume %b = −∇ ·P dentro do dieletrico e uma carga na superfıcie do corpoσb = P · nS . No entanto, muitos materiais tem caracterısticas dieletricas e no mesmo tempocaraterısticas condutores, que nao resultam de uma polarizacao e que tomamos em conta poruma distribuicao de cargas livres, %f , o ındice f indicando ”free charges”.

3.1.5.1 A lei de Gauß em meios dieletricos

A lei de Gauß em meios arbitrarios agora se generaliza,

ε0∇ ·E = % = %b + %f = −∇ ·P + %f , (3.17)

onde E agora e o campo eletrico total. Definindo o deslocamento eletrico,

D ≡ ε0E + P , (3.18)

podemos agora escrever,∇ ·D = %f . (3.19)


O deslocamento eletrico e aquela parte que so vem de cargas livres (isto e, uteis para trans-porte de corrente). Tambem podemos definir a susceptibilidade eletrica χε via

P = ε0χεE , (3.20)

ou a permitividade ε viaD = εE = ε0(1 + χε)E . (3.21)

Note, que a rotacao da polarizacao nao necessariamente zera, pois a susceptibilidade podedepender da posicao, χε = χε(r),

∇×D = ε0(∇×E) +∇×P = ∇× (ε0χεE) 6= 0 . (3.22)

Por isso, D geralmente nao pode ser derivado de um potencial, e a lei de Coulomb nao vale paraD. Em materiais anisotropicos a susceptibilidade e a permitividade devem ser entendidas comotensores.

3.1.5.2 Condicoes de contorno envolvendo dieletricos

A lei de Gauß∮

D · dS = Qf permite determinar o comportamento do deslocamento eletricoperto de interfaces,

D⊥cima −D⊥baixo = σf . (3.23)

Do outro lado, a lei de Stokes ∇×D = ε0∇×E +∇×P = ∇×P da,

D‖cima −D

‖baixo = P

‖cima −P

‖baixo . (3.24)

Isto e em contraste com o comportamento do campo eletrico em interfaces (2.37) e (2.39).

3.1.6 Susceptibilidade eletrica e permitividade

3.1.6.1 Dieletricos lineares

Para muitos materiais, quando o campo eletrico aplicado nao e forte demais, a polarizacao eproporcional ao campo, P ∝ E, isto e, a susceptibilidade eletrica depende das propriedadesmicroscopicas do material e de fatores externos como a temperatura, mas nao do campo, χε 6=χε(E). Assim, meios lineares podem ser caracterizados por uma constante,

εr ≡ε

ε0, (3.25)

chamada de permitividade relativa.

Exemplo 31 (Teoria microscopica de dipolos induzidos): Sabemos que um campoeletrico externo Eext aplicado a um meio puramente dieletrico linear gera uma polarizacaomacroscopica proporcional ao campo,

P = χεε0Eext .

Do outro lado, se o material consiste de atomos (ou moleculas nao-polares), o momentodipolar microscopico induzido em cada atomo e proporcional ao campo local,

pind = αpolEloc .

Aqui Eloc e o campo total devido ao campo aplicado Eext e tambem o campo Eself gerado pelapolarizacao dos outros atomos que estao em volta. A pergunta agora e, qual e a relacao entre

3.2. INFLUENCA DE CARGAS E CAPACITANCIA 99

a polarizabilidade atomica αpol (caracterizando a amostra do ponto de vista microscopico)e a susceptibilidade χe (caracterizando a amostra do ponto de vista macroscopico)?Para comecar consideramos densidades suficientemente baixas, que e uma boa aproximacaosupor que o atomo nao sente a polarizacao dos vizinhos, Eloc ' Eext. Ja notamos naEq. (3.12), que a polarizacao e nada mais que a soma sobre todos os momentos dipolares in-duzidos pelo campo eletrico local, tal que, comparando as duas ultimas relacoes, um primeirochute seria de afirmar,

χε =N

V

αpolε0

.

Mas para gases densos, vai ter uma correcao, e o campo local sera uma superposicao do campoexterior e o campo gerado pelos dipolos circundantes, Eloc = Eext+Eself . Para estimar estecampo, imaginamos um unico dipolo localizado dentro de uma esfera. A polarizacao do meiocircundante e modelizado por uma densidade de carga de superfıcie do valor σb ≡ −P cos θ.O campo eletrico produzido por esta distribuicao de carga foi calculado no Exemplo 30:Eself = P/3ε0. Com isso calculamos,

χε =P

ε0Eext=

P

ε0(Eloc − Eself )=

P

ε0(pind

αpol− P

3ε0)

=Nαpol/ε0V

1−Nαpol/3ε0V.

Esta equacao e conhecida com formula de Clausius-Mossotti. A diferencia entre o denomina-dor e 1, chamada de deslocamento de Lorentz-Lorenz, vem de deslocamentos de energia dosatomos devido a interacoes dipolo-dipolo. Para baixas densidades reencontramos a relacaolinear. Em termos da permitividade relativa tambem podemos escrever,

αpolε0

=3

N

εr − 1

εr + 2.

Figura 3.3: O campo local Eloc e a soma do campo externo Eext e do campo gerado pelapolarizacao Eself .

3.2 Influenca de cargas e capacitancia

Supomos agora que temos dois condutores separados, um carregando a carga +Q e o outro −Q.Como o potencial de cada condutor e o mesmo em cada ponto do seu corpo, podemos especificaruma diferencia de potencial, chamada de tensao, entre eles,

U ≡ Φ+ − Φ− = −∫ (+)

(−)E · dl , (3.26)

que nao depende da distribuicao das cargas atraves dos condutores. No entanto, sabemos da leide Coulomb, que o campo eletrico e proporcional a carga Q e pela equacao de cima, tambem atensao. O fator de proporcionalidade e chamado de capacitancia,

C ≡ Q

U. (3.27)


3.2.1 Capacitores e armazenamento de energia eletrica

Um dispositivo capaz de armazenar cargas se chama capacitor.

Exemplo 32 (Capacitor de placas): A geometria mais simples para um capacitor saoduas placas condutoras (area S) paralelas com uma distancia d. A distribuicao de cargasuperficial σ = Q/S produz um campo E = σ/ε0 e uma diferencia de potencial U = Ed, talque,

C = ε0S

d. (3.28)

Para carregar um capacitor devemos levar eletrons do lado positivo para o lado negativo docapacitor. Para um eletron, isso necessita um trabalho,

∆We =

∫ d

0F · dr = ed|E| = eU .

Para uma pequena quantidade de carga dq,

∆We =

∫U dQ =

∫ Q

0

Q

CdQ =

Q2

2C=

1

2CU2 .

Faz os Exc. 3.5.2.1-3.5.2.10.

3.2.1.1 Capacitores com dieletricos

Na presenca de um dieletrico a capacitancia aumenta, C = εrCvac. Assim, a energia tambemaumenta por uma fator de εr.

Consideramos um capacitor com dieletrico linear carregado com a carga livre %f que gerauma tensao U nos eletrodos. Queremos saber o trabalho para adicionar mais uma pequena cargaδ%f para o volume infinitesimal dV ,

δW =

∫U δ%fdV . (3.29)

Agora, com a Eq. (3.19) escrevemos %f = ∇ ·D e δ%f = ∇ · δD, tal que,

δW =

∫

VU∇ · δDdV =

∫

∂VU δD · dS−

∫

VδD · ∇UdV =

∫

VδD ·EdV . (3.30)

Para um dieletrico linear, D = εE, tal que, E · δD = Eε · δE = 12δ(εE

2) = 12δ(D ·E), dando,

δW = 12

∫δ(D ·E)dV . (3.31)

Finalmente, para carregar o capacitor completamente,

W =

∫δW = 1

2

∫D ·E =

∫udV , (3.32)

com a densidade de energia,

u =1

2E ·D . (3.33)

Faz os Exc. 3.5.2.11-3.5.2.18.

3.3. CONDUCAO DE CORRENTE E RESISTENCIA 101

Exemplo 33 (Forcas sobre dieletricos): Dieletricos em campos eletricos sao sujeitos aforcas devido a polarizacao induzida ao meio. Consideramos o exemplo de um capacitor deplacas dentro do qual inserimos um dieletrico. No esquema mostrado na Fig. 3.4 o campoeletrico atravesse homogeneamente o capacitor e tambem o corpo dieletrico, tal que as forcasdeveriam desaparecer. Do outro lado, nas bordas o dieletrico distorce o campo, tal que forcassao possıveis.Contudo e mais facil calcular a forca pelo gradiente da energia potencial, F = −∇W . Se ocorpo dieletrico pode se mover em direcao x, temos,

F = −dWdx

= − d

dx

Q2

2C= − d

dx

CU2

2.

Usamos a primeira expressao, quando a carga no capacitor e mantida constante, e a segunda,quando a tensao no capacitor e mantida constante. Inserindo gradualmente o dieletrico,temos uma parte sem e outra com dieletrico:

C = Cvacx

a+ Cvacεr

a− xa

.

Mantendo a carga constante,

F =Q2

2C2

dC

dx= − d

dx

Q2

2(Cvacxa + Cvacεr

a−xa )

=Q2

2Cvac

−aχε(a− xχε)2

.

Como a forca e negativa, o dieletrico e puxado dentro do capacitor.A situacao e diferente, quando mantemos a tensao constante, por exemplo, conectando ocapacitor a uma bateria. Neste caso precisamos usar a segunda expressao. No entanto,e necessario tomar em conta o trabalho UdQ que a bateria deve fazer para aumentar acarga no capacitor afim de manter a tensao constante quando aumentamos a capacidade viaCvac → C,

dW = −Fdx+ UdQ .

Assim,

F = −dWdx

+ UdQ

dx= −U

2

2

dC

dx+ U2 dC

dx=

Q2

2C2

dC

dx,

e obtemos o mesmo resultado como no caso em que mantemos a carga constante.

Figura 3.4: Forca sobre o dieletrico entre as placas de um capacitor.

3.2.1.2 Circuitos de capacitores

Para circuitos em paralelo Ctot = C1 + C2, para circuitos em serie C−1tot = C−1

1 + C−12 . Faz os

Exc. 3.5.2.19-3.5.2.27.

3.3 Conducao de corrente e resistencia

Para carregar um capacitor precisamos transportar cargas ate os seus eletrodos. Permitindo umdeslocamento de cargas fugimos, nesta secao, pela primeira vez dos premisses da eletrostaticae introduzimos o conceito da corrente como sendo devido a um movimento de cargas dentro deum condutor. Por enquanto, nao vamos levantar a pergunta como esta corrente possa agir sobreoutras cargas ou correntes, este assunto sendo tratado no capıtulo seguinte.


3.3.1 Movimento de cargas em dieletricos e condutores

Na eletrostatica a forca eletromotriz acelerando uma carga Q e a forca de Coulomb, F = QE.Interpretando a corrente como a soma dos movimentos vk de todas as cargas

∑kNkV Qk dentro de

um volume V , introduzimos a densidade de corrente de maneira analoga a densidade de cargas,

j(r) =∑

k

NkQkV vk −→ %(r)vmed(r) , (3.34)

onde a media e calculada sobre um pequeno volume. O fluxo de cargas dentro e fora do volumesatisfaz a equacao de continuidade,

∇ · j + ∂t% = 0 . (3.35)

Para interpretar este equacao consideramos um volume V e calculamos o fluxo de cargas atravesda superfıcie do volume,

I ≡∮

∂VjdS =

∫

V∇ · jdV =

∫

V%dV = Q . (3.36)

Isto e, as cargas passando atraves da superfıcie devem se acumular dentro do volume. O fluxode cargas I se chama corrente.

3.3.2 A lei de Ohm, correntes estacionarias em meios contınuos

No caso de cargas livres dentro de um condutor, observamos empiricamente, que a forca eletro-motriz leve a uma corrente estacionaria. Obviamente, esta corrente depende do campo eletrico,

j = j(E) , (3.37)

desprezando a forca magnetica, que geralmente e fraca. Alem disso encontramos empiricamente,que a corrente frequentemente e proporcional ao campo,

j = ςE . (3.38)

com a condutividade ς. Esta observacao e chamada de lei de Ohm.

Dizemos anteriormente, que a E = 0 no interior de um condutor, mas isso era valido parasituacoes eletrostaticas, j = 0. O que mais e, para condutores perfeitos, E = j/ς = 0 mesmoquando tem corrente.

3.3.2.1 Visao microscopica da conducao

A lei de Ohm pode parecer surpreendente, pois a corrente sendo o resultado de uma cargaacelerada por uma diferencia de potencial, o fluxo de carga (isto e, a corrente) deveria crescertemporalmente a medida que a velocidade da carga aumenta. De fato, os eletrons aceleradosentram frequentemente em colisao com os atomos do condutor e sao desacelerados pela forcaeletromotriz F = mea ou redirecionados. Alem disso, em temperatura finita, a velocidadetermica dos eletrons e muito alta,

vterm =

√2kBT

3me≈ 6700 m/s , (3.39)

3.3. CONDUCAO DE CORRENTE E RESISTENCIA 103

de maneira que a velocidade media fica constante. O tempo entre duas colisoes pode ser relaci-onado ao caminho livre do eletron λ por,

t =λ

vterm. (3.40)

Agora a velocidade media e,

vmed =1

t

∫ t

0v(t′)dt′ =

at

2. (3.41)

Finalmente, com na moleculas por unidade de volume cada uma fornecendo N eletrons livres, adensidade de corrente e,

j = naNQvmed = naNqt

2meF = naNQ

λ

2mevtermF =

naNQ2λ

2mevtermE . (3.42)

Isto e, a condutividade pode ser estimada como,

ς =naNQ

2λ

2mevterm. (3.43)

A resistividade e

ρ ≡ 1

ς. (3.44)

Notamos, que a resistividade depende da temperatura, ρ ∝ T 1/2.

Figura 3.5: Visao microscopica da corrente.

Exemplo 34 (Estimacao da velocidade media dos eletrons): Baseado na Eq. (3.34)queremos estimar a velocidade media de propagacao dos eletrons num fio de cobre (raioR = 1 mm) percorrido por uma corrente de I = 1 A. Com a densidade do cobre de ρm =

8920 kg/m3, a sua massa atomica ma = 63.5u e N = 1 eletron de valencia por atomo

estimamos,

vmed =I

naNeπR2=

Iu

maeπR2' 8.5 cm/h .

3.3.2.2 Resistores e consumo de energia

Consideramos o condutor com a geometria mais comum: o fio metalico e um cilindro com areatransversal S e comprimento L. Aplicando um campo eletrico,

I = j · S = ςE · S =ςS

LU , (3.45)


Figura 3.6: Conceito da resistencia.

onde R = l/ςA e chamado de resistencia. Nesta forma a lei de Ohm adota a foram seguinte,

U = RI . (3.46)

Uma consequencia das colisoes frequentes dos eletrons com os atomo e o aquecimento docondutor. A potencia gastada numa resistencia R e,

P = V I = RI2 . (3.47)

3.3.2.3 Circuitos de resistores

Para circuitos em paralelo R−1tot = R−1

1 +R−12 , para circuitos em serie Rtot = R1 +R2.

3.4 O circuito eletrico

Dentro de um condutor (ideal) a diferencia de potencial zera em todo lugar ∆Φ = 0, indepen-dentemente do seu comprimento ou da sua forma. Em situacao estacionaria, isto e, na presencade campos eletricos estaticos, os eletrons livres se auto-organizem criando um desequilıbrio localde carga de maneira a satisfazer esta condicao. Quando a condicao esta satisfeita, o movimentode carga ligado a sua reorganizacao espacial termina.

Para sustentar uma corrente estacionaria precisamos reciclar os eletrons, isto e, desperdicaros eletrons acumulados no lado, onde o condutor fica num potencial mais positivo e criar no-vos eletrons no lado, onde o condutor fica num potencial mais negativo. Em outras palavras,precisamos fechar o circuito por um dispositivo de dreno-fonte de eletrons chamado de fonte detensao ou fonte de corrente dependendo das propriedades do dispositivo.

Alem da fonte existe uma grande variedade de componentes eletronicos capazes de manipularo potencial ou a corrente em maneiras diferentes, como resistores, capacitores, indutancias outransistores. Em um circuito, estes componentes sao interligados por fios condutores supostosideais que carregam um dado potencial sem perdas de um componente ate um outro.

3.4.1 As regras de Kirchhoff

Circuitos eletricos podem ser mais complicados e consistir de varios ramos. A regra das malhas,∑

k

Uk = 0 (3.48)

e a regra dos nos, ∑

k

Ik = 0 , (3.49)

regulam o comportamento do potencial e da corrente em qualquer circuito e servem para analisedas suas propriedades.

3.5. EXERCICIOS 105

Figura 3.7: Ilustracao da lei das malhas e da lei dos nos de Kirchhoff.

Exemplo 35 (Circuito R-C em serie): Alem da fonte de tensao chegamos a conhecerdois tipos de elementos podendo influenciar localmente a tensao ou a corrente: o capacitore o resistor. O circuito eletrico mais simples imaginavel contendo estes dois componentes eo circuito R-C ilustrado na Fig. ??. Este circuito pode ser tratado pelas leis de Kirchhoff,

RU

C

Figura 3.8: Ilustracao de um circuito R-C.

0 = UF + UC + UR e IF = IC = IR . (3.50)

Como a corrente e a mesma em cada ponto do circuito, temos a equacao diferencial,

0 = UF +Q

C+RI = UF + 1

C

∫ t

0

Idt′ +RI , (3.51)

que pode ser resolvido rapidamente impondo a condicao que a carga do capacitor seja inici-almente zero,

I(t) = I0(1− e−t/RC) . (3.52)

3.4.2 Instrumentos de medidas

Instrumentos de medida de tensao e de corrente sao discutidos no curso de Fısica III, e naovamos repetir isso aqui.

3.5 Exercıcios

3.5.1 Polarizacao de dieletricos

3.5.1.1 Ex: Torque sobre dipolos

Calcule o torque sobre um dipolo em frente de uma superfıcie condutora.

3.5.1.2 Ex: Torque sobre dipolos

Considere a configuracao de dois dipolos mostrada na figura e calcule os torques recıprocos.


3.5.1.3 Ex: Polarizabilidade do hidrogenio

Na mecanica quantica achamos para a distribuicao de carga na eletronica do atomo de hi-drogenio,

%(r) =Q

πa3B

e−2r/aB .

Calcule a polarizabilidade.

3.5.1.4 Ex: Susceptibilidade

Um litro de agua e evaporado em 10 m3 de ar seco na temperatura T = 300 K.a. Calcule a densidade dipolar n do ar. Supoe que so os momentos dipolares das moleculasevaporadas contribuem.b. Determine a susceptibilidade χε do ar. Use a relacao P = ε0χεE, bem como a lei de Curiepara a polarizacao P introduzida em aula.

3.5.2 Influenca de cargas e capacitancia

3.5.2.1 Ex: Capacitores

Sejam dados dois condutores isoladores carregando cargas iguais mas com sinais opostos ±Q.A capacidade desta configuracao e a razao entre o valor absoluto de carga de um condutor e ovalor absoluto da diferencia de potencial entre os dois condutores. Usando a lei de Gauß calculea capacidade dea. 2 planos grandes paralelos com area A e pequena distancia d;b. 2 condutores cilındricos concentricos (sem as superfıcies nas extremidades) com raios ρ1 e ρ2.c. 2 superfıcies esfericas concentricas com raios r1 e r2.Ajuda: Escolhe o volume de integracao adaptado a simetria respetiva do sistema.

3.5.2.2 Ex: Capacitancia de uma gota de mercurio

A capacidade de uma gota esferica de mercurio com raio R e dada por C = 4πε0R. Duas destasgota confluem. Qual e a capacidade desta gota maior?

3.5.2.3 Ex: Placas carregadas

Considere uma placa metalica fina e muito estendida, d2 A, com a area A e a espessura dcarregada com a carga Q. Calcule a distribuicao de carga (densidade de carga de superfıcie) eo campo eletrico nos dois lados da placa negligenciando efeitos de borda. Como se mudam adistribuicao de carga e o campo eletrico, quando colocamos em vez de uma placa duas placascom espessura d em uma distancia l uma placa sendo carregada com a carga Q e a outra com−Q.

3.5. EXERCICIOS 107

3.5.2.4 Ex: Capacitor de placas

Um capacitor seja feito de duas placas planas metalicas com a superfıcie 1 m2. Qual deve ser adistancia das placas para dar ao capacitor uma capacidade de 1 F? E possıvel construir um talcapacitor?

3.5.2.5 Ex: Capacitor cilındrico

Um capacitor cilındrico e feito de duas superfıcies cilındricas coaxiais e infinitesimalmente finascom raios R1 e R2. Por simplicidade, supoe que os cilindros sejam infinitamente estendidas nadirecao z. A carga por unidade de comprimento no cilindro interior e +Q/l, no cilindro exterior−Q/l. Calcule o campo eletrico E(r) como funcao da distancia a partir do eixo de simetria rpara r ≤ R1, R1 < r < R2 e r ≥ R2.Ajuda: Use a simetria do problema e a lei de Gauß.

3.5.2.6 Ex: Capacitor cilındrico (T7)

Dois cilindros condutores ocos concentricos com paredes infinitamente finas, com os raios a e b(a < b) e com o comprimento l sao carregados com as cargas +q resp. −q. l seja muito maiorque b, tal que efeitos de borda sao negligenciaveis. Por razoes de simetria, o campo eletrico sopode ter uma componente radial.a. Escreve a distribuicao de carga ρ(r) em coordenadas cilındricas (r, φ, z) com a ajuda da funcaoδ.b. Calcule o campo eletrico E(r, φ, z) no espaco inteiro (r < a, a < r < b, b < r). Utilize paraisso as equacoes fundamentais da eletrostatica e ∇·E = 1

rddr (eEr). Alternativamente, esta parte

pode ser resolvida usando a lei de Gauß.c. Calcule a diferencia de potencial |Φ(r = b)− Φ(r = a)| entre as duas superfıcie dos cilindros.Para isso, calcule a integral de linha

∫E · dr ao longo de um caminho adequado.

d. A capacidade C do dispositivo e definida pelo valor absoluto da razao entre a carga num doscilindros e a diferencia de potencial entre os cilindros. Calcule a capacidade deste ”capacitorcilındrico”.

3.5.2.7 Ex: Capacitor esferico

Considere uma bola homogeneamente carregas com raio R1 e uma camada esferica infinitamentefina homogeneamente carregada com raio R2. A bola tem a carga total +Q, a camada −Q.Calcule o campo eletrico E(r) para r ≤ R1, R1 < r < R2 e r ≥ R2.Ajuda: Use o fato que E deve ser, por razoes de simetria, radialmente simetrico e depende dadensidade de cargas atraves de ∇ ·E(r) = ρ(r)/ε0. Alem disso use a lei de Gauß.

3.5.2.8 Ex: Nuvem de tempestade

Uma nuvem de trovoado com 17 km2 de area total flutua numa altura de 900 m acima dasuperfıcie da Terra e forma junto com ela um capacitor de placas.a. Calcule a capacidade deste capacitor de placas (a area a ser considerada na Terra seja igualaquela da nuvem).b. Qual pode ser o tamanho da carga da nuvem de trovoado antes do capacitor descarregar? (Aforca de campo de descarregamento no ar e 104 V/cm).c. O capacitor e totalmente descarregado por um relampago uma vez que a forca crıtica docampo e alcancada. Qual e a corrente fluindo para Terra se a duracao do relampago e 1 ms?


d. A qual potencia isto corresponde? Por quanto tempo uma central eletrica com uma potencia2000 MW deve trabalhar para produzir a energia liberada pelo relampago?

3.5.2.9 Ex: Capacitor esferico

Um capacitor esferico e composto por duas esferas condutoras concentricas de raios R1 e R2,com R1 < R2. A esfera interna possui carga +Q e a esfera externa possui carga −Q. a. Calculeo modulo do campo eletrico e a densidade de energia em funcao de r, onde r e a distancia radiala partir do centro das esferas, para qualquer r. b. Determine a capacitancia C do capacitor.c. Calcule a energia associada ao campo eletrico acumulada em uma casca esferica de raio r,espessura dr e volume 4πr2dr localizada entre os condutores. Integre a expressao obtida paraencontrar a energia total acumulada entre os condutores. De sua resposta em termos da cargaQ e da capacitancia C.

3.5.2.10 Ex: Para-raio

A absorcao de um relampago por um para-raio pode ser descrito pelo seguinte modelo (es-quematizado na figura): O plano (x, y) de um sistema de coordenadas cartesianas divide umsemi-espaco com a condutividade κ (solo da Terra, z < 0) de um espaco com a condutividade0 (ar, z > 0). No centro das coordenadas fica um electrodo semiesferico extremamente condu-tante conectado com o para-raio com o diametro d. Corrente I pode atravessar a semiesfera eentrar no semiespaco condutor. Por razoes de simetria, a densidade de corrente pode dependersomente da distancia r a partir da origem das coordenadas e deve ser orientada de maneiraradial: j = jr(r)er. Todas as questoes seguintes se referem a pontos no semiespaco condutor noexterior do electrodo.a. Calcule a densidade de corrente j como funcao da amplitude de corrente I e da distancia rda origem. Ajuda: A corrente fluindo do electrodo para o semiespaco condutor, tambem devesair da semiesfera K.b. Determine o campo eletrico E(r).c. Determine a tensao eletrica U(x, s) entre dois pontos no eixo x positivo, tendo as coordenadasx e x+ s, respectivamente.d. Determine a tensao Utot para x = d/2 e s→∞. Qual resistencia ohmica pode ser atribuıdaao semiespaco condutor?

Hausaufgaben (Abgabe: 19.06.2007)

14) Gewitterwolke

5

Eine Gewitterwolke mit 17 km2 Gesamtflache schwebt in 900 m Hohe uber der Erdoberflache undbildet mit ihr einen “Plattenkondensator”.

(a) Berechnen Sie die Kapazitat dieses Plattenkondensators (die begrenzende Flache auf der Erde seigleich der Wolkenflache).

(b) Wie groß kann die Ladung der Gewitterwolke werden, bis sich der “Kondensator” entladt? (DieDurchschlagsfeldstarke von Luft betragt 104 V/cm).

(c) Der Kondensator wird, wenn er die kritische Feldstarke erreicht, durch einen Blitz vollstandigentladen. Welcher Strom fließt zur Erde, wenn der Blitz 1 ms dauert?

(d) Welcher Leistung entspricht dies? Wie lange musste ein Kraftwerk mit 2000 MW Leistung arbei-ten, um die von Blitz freigesetzte Energie zu produzieren?

15) Blitzableiter

7

Ein Blitzeinschlag in einen Blitzableiter kann durchfolgendes Modell beschrieben werden: Die (x, y)-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems trennteinen Halbraum mit der elektrischen Leitfahigkeit κ(Erdreich, z < 0) von einem mit der Leitfahigkeit 0(Luft, z > 0). Im Koordinatenursprung befindet sicheine mit dem Blitzableiter verbundene hochleitfahigehalbkugelformige Elektrode mit Durchmesser d, uberdie ein Strom I in den leitfahigen Halbraum hin-einfließt. Aus Symmetriegrunden kann die Strom-dichte nur vom Abstand r vom Koordinatenursprungabhangen und muss radial gerichtet sein: ~ = jr(r) r .

NONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONNONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONNONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONNONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONNONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONNONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONNONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONNONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONNONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONNONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONNONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONNONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONNONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONNONONONONONONONONONONONONONONONONONONONONON

POPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOP

κ

I

K

d

z

0 x

Alle folgenden Fragen beziehen sich auf Punkte im leitfahigen Halbraum außerhalb der Elektrode.

(a) Berechnen Sie die Stromdichte ~ als Funktion der Stromstarke I und des jeweiligen Abstands rvom Ursprung.

Hinweis: Der aus der Elektrode in den leitfahigen Halbraum hineinfließende Strom I fließt durchdie Halbkugelschale K auch wieder hinaus.

(b) Ermitteln Sie das elektrische Feld ~E(~r).

(c) Bestimmen Sie die elektrische Spannung U(x, s) zwischen zwei Punkten auf der positiven x-Achse, welche die x-Koordinaten x bzw x + s haben.

(d) Geben Sie die Spannung Utot fur x = d/2 und s→ ∞ an. Welcher Ohmsche Widerstand kann alsohier dem leitfahigen Halbraum zugeordnet werden?

Figura 3.9

3.5. EXERCICIOS 109

3.5.2.11 Ex: Capacitor de placas (H13)

Um capacitor de placas ideal consiste de duas placas paralelas numa distancia d. Uma das placas,definidas pelos cantinhos (0, 0, 0), (a, 0, 0), (a, b, 0) e (0, b, 0)), seja carregada com a carga −Q, aoutra definida pelos cantinhos (0, 0, d), (a, 0, d), (a, b, d) e (0, b, d), tem a carga +Q. Uma partedo espaco intermediario (ate a superfıcie entre os pontos (x, 0, 0), (x, b, 0), (x, b, d) e (x, 0, d))seja enchida por um dieletrico homogeneo com a constante de dieletricidade ε; o resto do espacoentre as placas seja vazio. Supomos, que a e b sejam muito grandes, tal que efeitos de bordapodem ser desprezados.a. Calcule o campo eletrico E e o deslocamento dieletrico D entre as placas. Ajuda: Utilize∇×E = 0 e ∇ ·D = %. Use as densidades superficiais de cargas.b. Calcule a energia do campo eletrostatico W deste dispositivo.c. Qual forca F = −dW/dx age sobre o dieletrico para um deslocamento infinitesimal dx?

3.5.2.12 Ex: Capacitor esferico com dieletrico (H14)

Duas esfera condutores concentricas com os raios a e b (a < b) tem as cargas ±Q. A metade doespaco entre as esferas seja enchido por um dieletrico ε =constante.a. Determine o campo eletrico em todos os pontos entre as esferas.b. Calcule a distribuicao da carga superficial sobre a esfera interior.c. Calcule a densidade de carga de polarizacao induzida na superfıcie do dieletrico em r = a.

3.5.2.13 Ex: Potencial de uma esfera carregada (T10)

Uma esfera de raio R seja no vacuo. Ela consiste de um material com a constante de dieletrici-dade ε = constante e carrega no seu meio a carga q. Calcule o potencial no espaco inteiro.

3.5.2.14 Ex: Capacitor de placas com dieletrico

Sejam dadas duas eletrodos paralelos com area A e distancia d (veja a figura). Calcule a forcasobre o eletrodo superior na direcao x, uma vez para tensao constante V0 e uma vez para cargaconstante Q nos dois seguintes casos:a. Os eletrodos ficam dentro de um liquido dieletrico com permitividade ε.b. Um dieletrico fixo com permitividade ε seja introduzido entre as placas do capacitor. Nalacuna residual nao tem meio dieletrico.

Hausaufgabe 4 (Plattenkondensator mit Medium)Gegeben seien zwei parallele Elektroden mit Flache A und Abstand d (Abbildung).Berechnen Sie die Kraft auf die obere Elektrode in x-Richtung, einmal fur konstanteSpannung V0 und einmal fur konstante Ladung Q in beiden folgenden Fallen:

(a) Die Elektroden befinden sich in einer dielektrischen Flussigkeit mit Permittivitat ǫ.

(b) Eine festes Dielektrikum mit Permittivitat ǫ wird zwischen die Kondensatorplatteneingefuhrt. Im Restspalt befindet sich kein Medium.

- -+ +V0 V0

(a) (b)

e

-Q -Q

+Q +Q

e

e0

x x

⋆ Hausaufgabe 5 (Kondensatorschaltungen)Berechnen Sie die Gesamtkapazitat folgender drei Schaltungen: Losung

C1 C1C1

C2 C2

C2

C3 C3

C3

C4 C4

C4

C5

(a) (b) (c)

a) Bei Reihenschaltung werden Kapazitaten reziprok addiert, bei Parallelschaltungennormal addiert.Cges =

C1C2

C1+C2+ C3C4

C3+C4

b) Durch Umzeichnung des Schaltbildes sieht man, dass es sich um zwei in Reihe geschal-tete Parallelschaltungen der Kondensatoren C1 und C3 bzw. C2 und C4 handelt.Cges =

(C1+c3)(C2+C4)(C1+C3)+(C2+C4)

c) Durch Umzeichnung erkennt man, dass die in Reihe geschalteten Kondensatoren C2

und C4 parallel zu C5 und den in Reihe geschalteten Kondensatoren C1 und C3

geschaltet sind.Cges =

C2C4

C2+C4+ C5 +

C1C3

C1+C3

Abgabe: Montag, 2.6.2008 um 12h, Kasten im Eingangsbereich D-Bau.Bitte Namen und Ubungsgruppe deutlich auf dem Blatt vermerken!!http://www.pit.physik.uni-tuebingen.de/Courteille/Uebungen.htm


O capacitor de placas mostrado na figura tem uma superfıcie das placas de A = 115 cm2 euma distancia de d = 1.24 cm. Entre as placas temos a diferencia de potencial de U0 = 85.5 Vproduzida por uma bateria. Agora a bateria e removida e uma placa dieletrica de espessurab = 0.78 cm e a constante dieletrica ε = 2.61 e inserida como mostrado na figura. Primeiramentecalcule


a. a capacidade do capacitor sem dieletrico eb. a carga livre nas placas do capacitor.c. Agora, o dieletrico e inserido. Calcule o campo eletrico nos espacos vazios e dentro dodieletrico, bem comod. a diferencia de potencial entre as placas.e. Qual e o valor da capacidade do capacitor com dieletrico?f. Agora supoe, que a bateria permanece conectada com o capacitor enquanto o dieletrico einserido dentro do espaco entre as placas. Calcule agora a capacidade do capacitor,g. a carga nas placas do capacitor eh. o campo eletrico no espaco vazio e dentro do dieletrico.

b

d

Q

-Q


Considere um capacitor de placas quadratico com comprimento das bordas l e distancia dasplacas d.a. Qual e a capacidade do capacitor vazio? Qual e a energia eletrostatica, quando as placas saocarregadas com as cargas mantidas fixas +Q e −Q?b. Um dieletrico com espessura d, largura L > l e constante dieletrica ε e agora inserido pelolado. Qual e a energia eletrostatica em funcao da profundidade de penetracao x para 0 < x < l?c. Qual e a forca agindo sobre o dieletrico com funcao de x para 0 < x < l?

Universitat Tubingen SoSe 2008Klausur I zum Integrierten Kurs Physik II 5.6.2008

Aufgabe 1 (Kondensatorschaltungen)Berechnen Sie die Gesamtkapazitat folgender Schaltung,

P1 P2

P3

C

C C C C

(a) zwischen den Punkten P1 und P3,(b) zwischen den Punkten P1 und P2.

Aufgabe 2 (Kondensator mit Dielektrikum)Gegeben sei ein quadr. Plattenkondensator mit Seitenlangen l und Plattenabstand d.

-Q

l

l

d

x

e +Ql

L

d

(a) Wie groß ist die Kapazitat des leeren Kondensators? Wie groß ist die elektrostatischeEnergie, wenn sich auf den beiden Platten die Ladungen +Q und −Q befinden?(b) Von der Seite wird ein Dielektrikum mit Dicke d, Breite l, Lange L > l und Dielek-trizitatskonstante ǫ in den Kondensator eingefuhrt. Wie groß ist die elektrostatischeEnergie in Abhangigkeit der Einfuhrtiefe x fur 0 < x < l?(c) Welche Kraft wirkt auf das Dielektrikum als Funktion von x fur 0 < x < l?


Num capacitor de placas consistente de duas placas metalicas paralelas de area 0.5 m2 e distantede d = 10 cm tem uma tensao de U0 = 1000 V.a. Quais sao os valores para a capacidade C do capacitor, para o campo electrico E entre asplacas e para a densidade superficial de carga σ nas placas?b. Um quarto do volume do capacitor agora e enchido por um dieletrico (ε = 5), como mostradono esquema. Qual e agora o valor da capacidade Cg?Ajuda: Nota que no diagrama de circuito equivalente, so podem inseridas placas de capacitoresimaginarios ao longo de linhas equipotenciais!

3.5. EXERCICIOS 111

4) Koaxialkabel

8

Ein Koaxialkabel bestehe aus zwei unendlich langen konzentrischen zylin-derformigen metallischen Leitern der Radien R1 und R2 und jeweils vernach-lassigbarer Dicke. Der Raum zwischen den Leitern ist mit einem Isolator mitrelativer Permeabilitat µ gefullt (siehe Skizze).(a) Beide Leiter fuhren in gegenlaufiger Richtung jeweils den Strom I, wobei die

Stromdichte Zylindersymmetrie aufweist. Berechnen Sie Magnetfeld ~B undmagnetische Erregung ~H als Funktion des Abstandes r von der Mittelachsedes Kabels in den Bereichen r < R1, R1 < r < R2 und r > R2.

2R2R

1

2

µ

(b) Welche magnetische Feldenergie ist pro Langeneinheit im Kabel gespeichert?

5) Spule und Schleife

8

Betrachtet werde eine Spule mit N = 1000 Windungen, Querschnittflache A=2cm2, Lange `= 6cm und ohmschen Widerstand R = 10Ω.(a) Welche Induktivitat L hat die Spule?

(b) Zum Zeitpunkt t = 0 wird Schalter S geschlossen und damit an der Spuleeine Gleichspannung U = 12V angelegt. Zeigen Sie, dass das Magnetfeldin der Spule danach den zeitlichen Verlauf B(t)=B0[1−exp(−Rt/L)] hat.Berechnen Sie B0.

NONONONONONONONONONONONNONONONONONONONONONONONPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOP

U

S

Uind

Spule

(c) Welche Spannung Uind(t) wird an einer um die Spule gelegten Induktionsschleife gemessen?Zeigen Sie, dass der Maximalwert dieser Spannung nur von U0 und N abhangt.

(d) Hangt |Uind| davon ab, wie die Ebene der Induktionsschleife relativ zur Spulenachse orientiert ist?

Hinweise: Nehmen Sie an, dass ~B innerhalb der Spule parallel zu deren Langsachse und homogen istund außerhalb der Spule verschwindet.

6) Ein Kondensator

8

An einem Plattenkondensator aus zwei parallelen Metallplatten der Flache 0.5m2, diesich im Abstand d = 10cm gegenuberstehen, liegt eine Spannung U0 = 1000V an.(a) Wie groß sind die Kapazitat C des Kondensators, die elektrische Feldstarke E

zwischen den Platten und die Flachenladungsdichte σ auf den Platten?

(b) Ein Viertel des Kondensatorvolumens wird nun mit einem Dielektrikum (ε = 5)gefullt, siehe Skizze. Wie groß ist nun die Kapazitat C′?

Hinweis: Beachten Sie beim Ersatzschaltbild, dass Kondensatorplatten nur entlangAquipotentialflachen eingefugt werden durfen!

QRQRQQRQRQQRQRQQRQRQQRQRQQRQRQ

SRSSRSSRSSRSSRSSRS

TRTTRTTRTURUURUURU

d/2

d

ε

7) Geschwindigkeitsfilter

8

Elektronen werden durch eine Beschleunigungsspannung U aus derRuhe beschleunigt und gelangen dann in einen Kondensator, in demein homogenes elektrisches Feld von E = 2kV/m sowie ein homo-genes Magnetfeld von B = 1mT herrschen; ~E, ~B und die Elektron-Flugrichtung stehen paarweise senkrecht aufeinander. U wird so ein-gestellt, dass der Strahl im Kondensator nicht abgelenkt wird. B

QuelleElektronen−

+−U

E

e−

(a) Welche Krafte wirken im Kondensator auf die Elektronen?

(b) In welche Richtung zeigt das Magnetfeld aus der Blickrichtung des Elektronenstrahls, wenn ~Enach unten gerichtet ist? Begrundung!

(c) Welche Geschwindigkeit v haben die Elektronen im Kondensator?Ersatzlosung: v = 106 m/s.

(d) Welche Beschleunigungsspannung wurde eingestellt?

Hinweis: Elektronen haben Masse me = 9.11×10−31 kg und Ladung Q =−e =−1.619×10−19 C.

3.5.2.18 Ex: Capacitor de agua

Considere um capacitor de placas (distancia das placas d = 20 cm, area das placas A = 400 cm2),que pode ser enchido ate a metade com agua (constante dieletrica εw = 80.3). Colocamos umatensao de U = 240 V.a. Calcula a capacidade do capacitor para os seguintes casos:i. Sem agua.ii. A agua fica perpendicular as placas.iii. A agua fica paralelo as placas .b. Calcule as cargas nas placas para estes tres casos.c. Compare a energia do campo eletrico nos casos (i) e (iii). De qual fonte vem a diferencia deenergia, quando o capacitor e enchido com agua?

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Experimentalphysik 2, Sommersemester 2007Universitat Erlangen–Nurnberg

Ubungsblatt 6 (12.06.2007)Ubungen: Di 12:00 in 00.732, TL-307; 12:30 in TL-2.140;

Di 13:00 in HH, 14:00 in 00.103, 00.732, 01.332,01.779, 02.779, TL-2.140, TL-307, HE

Vorlesungen: Mo & Mi 10:15, Horsaal HGwww.pi1.physik.uni–erlangen.de/ ˜katz/ss07/p2

Prasenzaufgaben

11) Wasserkondensatoren

Gegeben ist ein Plattenkondensator (Plattenabstand d = 20 cm, Plattenflache A = 400 cm2), der zurHalfte mir Wasser (Dielektrizitatskonstante εw = 80.3) gefullt werden kann. Es liegt eine Spannungvon U = 240 V an.

2OH

H2O

U

U

U

(i) (ii) (iii)

(a) Berechnen Sie die Kapazitat des Kondensators fur folgende Falle:

(i) Ohne Wasser.(ii) Das Wasser steht senkrecht zu den Platten.

(iii) Das Wasser steht parallel zu den Platten.

(b) Berechnen Sie die Ladungen auf den Kondensatorplatten fur die drei Falle.

(c) Vergleichen Sie die elektrische Feldenergie fur die Falle (i) und (iii). Aus welcher Quelle kommtdie entsprechende Energiedifferenz beim Fullen des Kondensator mit Wasser?

12) Spiegelladungen

Skizzieren Sie die Spiegelladungen und Feldlinienbilder fur die rechts gezeigtenAnordnungen von Ladung Q und geerdeten Metallplatten.

Q

13) Poisson-Gleichung

In einer Kugel des Durchmessers 2a sei eine Gesamtladung Q homogen verteilt. Bestimmen Sie dasPotential φ(~r) und die elektrischen Feldstarke ~E(~r) im gesamten Raum durch Losung der Poisson-Gleichung ∆φ = −ρ(~r)/ε0.

Hinweis: Der Radialanteil des Laplace-Operators in Kugelkoordinaten ist1r2

∂

∂r

(

r2 ∂

∂r

)

.

3.5.2.19 Ex: Circuito de capacitores

A capacitancia dos capacitores no circuito esquematizado sao C1 = 10 µF, C2 = 5 µF e C3 =4 µF. A tensao e U = 100 V. Calcule:a. A capacitancia total.b. Determine para cada capacitor o valor da carga, a tensao e a energia armazenada.

C1

C2

C3U

3.5.2.20 Ex: Circuitos de capacitores

Calcule a capacidade total dos circuitos mostrados na figuraa. entre os pontos P1 e P3,


b. entre os pontos P1 e P2.

Universitat Tubingen SoSe 2008Klausur I zum Integrierten Kurs Physik II 5.6.2008

Aufgabe 1 (Kondensatorschaltungen)Berechnen Sie die Gesamtkapazitat folgender Schaltung,

P1 P2

P3

C

C C C C

(a) zwischen den Punkten P1 und P3,(b) zwischen den Punkten P1 und P2.

Aufgabe 2 (Kondensator mit Dielektrikum)Gegeben sei ein quadr. Plattenkondensator mit Seitenlangen l und Plattenabstand d.

-Q

l

l

d

x

e +Ql

L

d

(a) Wie groß ist die Kapazitat des leeren Kondensators? Wie groß ist die elektrostatischeEnergie, wenn sich auf den beiden Platten die Ladungen +Q und −Q befinden?(b) Von der Seite wird ein Dielektrikum mit Dicke d, Breite l, Lange L > l und Dielek-trizitatskonstante ǫ in den Kondensator eingefuhrt. Wie groß ist die elektrostatischeEnergie in Abhangigkeit der Einfuhrtiefe x fur 0 < x < l?(c) Welche Kraft wirkt auf das Dielektrikum als Funktion von x fur 0 < x < l?

3.5.2.21 Ex: Circuitos de capacitores

Calcule a capacidade total dos circuitos mostrados na figura:

Hausaufgabe 4 (Plattenkondensator mit Medium)Gegeben seien zwei parallele Elektroden mit Flache A und Abstand d (Abbildung).Berechnen Sie die Kraft auf die obere Elektrode in x-Richtung, einmal fur konstanteSpannung V0 und einmal fur konstante Ladung Q in beiden folgenden Fallen:

(a) Die Elektroden befinden sich in einer dielektrischen Flussigkeit mit Permittivitat ǫ.

(b) Eine festes Dielektrikum mit Permittivitat ǫ wird zwischen die Kondensatorplatteneingefuhrt. Im Restspalt befindet sich kein Medium.

- -+ +V0 V0

(a) (b)

e

-Q -Q

+Q +Q

e

e0

x x

⋆ Hausaufgabe 5 (Kondensatorschaltungen)Berechnen Sie die Gesamtkapazitat folgender drei Schaltungen: Losung

C1 C1C1

C2 C2

C2

C3 C3

C3

C4 C4

C4

C5

(a) (b) (c)

a) Bei Reihenschaltung werden Kapazitaten reziprok addiert, bei Parallelschaltungennormal addiert.Cges =

C1C2

C1+C2+ C3C4

C3+C4

b) Durch Umzeichnung des Schaltbildes sieht man, dass es sich um zwei in Reihe geschal-tete Parallelschaltungen der Kondensatoren C1 und C3 bzw. C2 und C4 handelt.Cges =

(C1+c3)(C2+C4)(C1+C3)+(C2+C4)

c) Durch Umzeichnung erkennt man, dass die in Reihe geschalteten Kondensatoren C2

und C4 parallel zu C5 und den in Reihe geschalteten Kondensatoren C1 und C3

geschaltet sind.Cges =

C2C4

C2+C4+ C5 +

C1C3

C1+C3


3.5.2.22 Ex: Energia em combinacoes de capacitores

a. Dois capacitores identicos estao conectados em paralelo. Esta combinacao e, entao, conectadaaos terminais de uma bateria. Como a energia total armazenada na combinacao em paralelodestes dois capacitores se compara a energia total armazenada se apenas um dos capacitoresestivesse conectado aos terminais da mesma bateria?b. Dois capacitores identicos, descarregados, estao conectados em serie. Esta combinacao e,entao, conectada aos terminais de uma bateria. Como a energia total armazenada na com-binacao em serie destes dois capacitores se compara a energia total armazenada se apenas umdos capacitores estivesse conectado aos terminais da mesma bateria?


Um capacitor de placas contendo ar tem placas com area de 2.0 m2 separadas por 1 mm e estacarregada com 100 V.a. Qual e o campo eletrico entre as placas?b. Qual e a densidade de energia eletrica entre as placas?c. Determine a energia total multiplicando sua resposta para a parte (b) pelo volume entre asplacas.d. Determine a capacitancia deste arranjo.e. Calcule a energia total usando U = 1

2CV2 e compare sua resposta com com o resultado da

parte (c).

3.5.2.24 Ex: Combinacao de capacitores

Um capacitor de 10.0 µF e um capacitor de 20.0 µF estao conectados em paralelo aos terminaisde uma bateria de 6.0 V.a. Qual e a capacitancia equivalente desta combinacao?

3.5. EXERCICIOS 113

b. Qual e a diferenca de potencial em cada capacitor?c. Determine a carga em cada capacitor.d. Determine a energia armazenada em cada capacitor.

3.5.2.25 Ex: Serie infinita de capacitores

Qual e a capacitancia equivalente (em termos de C, que e a capacitancia de um dos capacitores)da escada infinita mostrada na figura.

C

C

C

C

C

C

C

C ...

3.5.2.26 Ex: Reconexao de capacitores

Um capacitor de 100 pF e um capacitor de 400 pF sao, ambos, carregados a 2.0 kV. Eles sao,entao, desconectados da fonte de tensao e conectados juntos, placa positiva a placa positiva eplaca negativa a placa negativa.a. Determine a diferenca de potencial resultante em cada capacitor.b. Determine a energia dissipada quando as conexoes sao feitas.

3.5.2.27 Ex: Reconexao de capacitores

Um capacitor de 1.2 µF e carregado a 30 V. Depois da carga o capacitor e desconectado da fontede tensao e e conectado aos terminais de um segunda capacitor que havia sido previamentedescarregado. A tensao final no capacitor de 1.2 µF e 10 V.a. Qual e a capacitancia do segundo capacitor?b. Quanta energia foi dissipada quando a conexao foi feita?

3.5.3 Conducao de corrente e resistencia

3.5.3.1 Ex: A partıcula alpha

Um feixe de partıculas α (q = +2e), que se movem com a energia cinetica constante E = 20 MeV,corresponde a uma corrente de I = 0.25 µA. O feixe esta dirigido perpendicularmente a umasuperfıcie plana.a. Quantas partıculas α encontram a superfıcie em t = 3 s?b. Quantas partıculas α ficam em cada instante de tempo num segmento do feixe de s = 20 cmde comprimento?c. Qual diferencia de potencial uma partıcula α deve percorrer, para ser acelerado do repousoate uma energia de 20 MeV?

3.5.3.2 Ex: Potencia eletrica

Um diferencia de potencial de 120 V alimenta um aquecedor, cuja resistencia e 14 Ω quandoquente.a. Com qual taxa este dispositivo transforma energia eletrica em calor?b. Qual e a fatura do consumo de eletricidade para t = 5 h de operacao com um preco daeletricidade de S = 5 ct/kWh?


3.5.3.3 Ex: Lei de Ohm e potencia eletrica

De quantos graus se aquece um condutor de cobre de 100 m de comprimento e 1.2 mm2 dediametro, sendo percorrida por 1 hora por uma corrente de 6 A? Supoe que o calor nao edissipado e utilize os seguintes dados: resistividade especıfica: ρ = 0.02 Ωmm2/m; densidade:ρCu = 8.93 kg/dm3; capacidade calorıfica especifica: cCu = 389.4 J/kg K.

3.5.3.4 Ex: Equacao de continuidade e grandezas conservadas

A equacao de continuidade,

ρ+∇ · (~vρ) = 0 ,

aparece em varias areas da fısica e descreve, por exemplo, a conservacao da materia, carga ouprobabilidade.a. Explique, baseado na lei de Gauß, a relacao entre a equacao de continuidade e a conservacaoda carga.b. Considere um exemplo mecanico simples: Uma garrafa de gas de 10 l e aberta deixandoescapar gas. Determine com a ajuda da equacao de continuidade depois de quantos minutos ametade do gas foi embora, se o gas sai com a velocidade constante de v = 1 m/s e a valvula temuma area transversal de saıda de A = 10 mm2?

3.5.3.5 Ex: Deriva dos eletrons num fio condutor

Um fio de ouro tem secao transversal com diametro de 0.1 mm. As extremidades deste fio saoconectadas aos terminais de uma bateria de 1.5 V. Se o comprimento do fio e 7.5 cm, quantotempo, em media, e necessario para que ois eletrons que saem do terminal negativo da bateriacheguem ao terminal positivo? Considere que a resistividade do ouro seja2.44 · 10−8 Ωm.

3.5.4 O circuito eletrico

3.5.4.1 Ex: Problemas de arranque

R

U

mot

RkabRbat

0

O motor de arranque de um carro roda lento demais. O mecanico tem que decidir qual parteesta defeituosa: o motor, o cabo de alimentacao ou a bateria. De acordo com as instrucoestecnicas do fabricante, a resistencia interna de uma bateria de U0 = 12 V nao deve ultrapassarRbat < 0.02 Ω, a resistencia do motor nao deve ultrapassar Rmot < 0.2 Ω e a resistencia doscabos nao deve ser superior a Rcab < 0.04 Ω. O mecanico examina o motor de arranque, eencontra uma diferenca de potencial de 11.4 V na bateria, de 3 V no cabo, e uma corrente de50 A no circuito de arranque. Qual elemento do motor de arranque esta defeituoso?

3.5.4.2 Ex: Celula solar

Uma celula solar gera uma tensao de 0.1 V com uma carga resistiva de 500 Ω, mas so uma tensaode 0.15 V com uma carga resistiva de 1000 Ω. Considere a celula como uma fonte de tensao realcom resistencia interna.a. Quais sao a resistencia interna e a tensao sem carga da celula?b. Calcule as eficiencias obtidas com as duas cargas mencionadas.

3.5. EXERCICIOS 115

3.5.4.3 Ex: Medicao de corrente e tensao

O circuito (a) mostra um amperımetro com resistencia interna RA e um voltımetro com a re-sistencia interna RU para medir a resistencia R. O valor da resistencia segue de R = UV /IR,onde UV e o valor indicado pelo voltımetro e IR a corrente atraves da resistencia. Uma parte dacorrente medida pelo amperımetro IA corre, no entanto, atraves do voltımetro, tal que a relacaoUV /IA dos valores medidos somente indica uma resistencia aparente, que nos chamaremos deR′.a. Como a resistencia de verdade R e resistencia aparente R′ sao interligados atraves da re-sistencia interna RV do voltımetro? Como deve ser escolhida a resistencia interna do voltımetro,para que R′ → R?b. Tambem com o circuito (b) e possıvel medir uma resistencia com um amperımetro e umvoltımetro, e tambem neste caso a razao entre os valores medidos da somente uma resistenciaR′ aparente. Como podemos determinar a resistencia R agora, e como deve ser escolhida aresistencia interna RA do amperımetro?

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3.5.4.4 Ex: Integrador com amplificador operacional

Baseado nas duas regras de ouro para amplificadores operacionais, (1) I+ = I− = 0 A e (2)U+ = U−, qua a tensao de saıda Ua no circuito de integracao mostrado na figura vale: Ua =

1RC

∫Uedt.

R

C

UR UR

IR

IC

3.5.4.5 Ex: Fonte de corrente real

a. Como a resistencia interna de uma fonte de corrente Ri deve ser especificada para obter umacorrente tao independente como possıvel da carga do consumidor?b. Voce quer conduzir 40 A atraves de uma bobina eletrica. A bobina tem a resistencia ohmicaR = 1 Ω. Qual deve ser a resistencia interna da fonte de corrente para que um aumento daresistencia de 10% nao muda a corrente de mais de 0.1%?

3.5.4.6 Ex: Fonte de tensao real

Uma bateria pode ser entendida como fonte de tensao real, composta por uma fonte de tensaoideal U0 e uma resistencia interna Ri. A tensao fornecida pela bateria depende da carga doconsumidor R. Qual corrente corre atraves do resistor R e qual tensao Uout fornece a bateria?Como a carga resistiva deve ser escolhida para maximizar a potencia ohmica no resistor R?


RU

C

RU

U

Ri

0

RI I

Ri

0

3.5.4.7 Ex: Circuito com bateria

Duas baterias 1 e 2 (tensoes U1 = 2 V e U2 = 0.5 V) e tres resistores R1 = R2 = R3 = 1 Ω saoconectados como mostrado na figura.a. Quais correntes atravessam os resistores R1, R2 e R3?b. Qual pe a queda de tensao entre os pontos A e B?

Probeklausur im Integrierten Kurs Physik II, SS 2008, 30.06.2008 besprochen in den Präsenzstunden 11 und 12

Aufgabe 1: Schaltung mit zwei Batterien (8 Punkte) Zwei Batterien 1 und 2 (Spannungen U1=2 V und U2 = 0.5 V, sowie drei Widerstände R1 = R2 = R3 = 1 Ω sind wie in der Abbildung geschaltet. a) Welche Ströme fließen durch die Widerstände R1, R2 bzw. R3? b) Wie groß ist der Spannungsabfall zwischen den Punkten A und B?

R1

R2

U1

U2

R3

A B

Aufgabe 2: Induktiver Schaltkreis (8 Punkte) Wir betrachten eine Reihenschaltung aus einer langen Spule, einer Spannungsquelle (Spannung U) und einem ohmschen Widerstand R = 100 Ω. Die Spule hat 50 Windungen pro cm und eine Induktivität von 200 mH. Für Zeiten t < 0 fließe kein Strom durch die Spule. Zur Zeit t = 0 werde die Spannung schlagartig von 0 auf 10 V erhöht. Nach welcher Zeit erreicht das Magnetfeld in der Spule π⋅10-4 T?

R

LU

Aufgabe 3: Fallender Stab (6 Punkte) Ein metallischer Stab (Länge L = 1 m) fällt im Gravitationsfeld der Erde (Bei t = 0 sei die Anfangsgeschwindigkeit 0). Der Stab sei parallel zum Erdboden orientiert, senkrecht zum Stab und parallel zum Erdboden herrsche das Magnetfeld B

r (Betrag: 2⋅10-5 T).

v

B

Welche Spannung wird zwischen den Enden des Drahtes in Abhängigkeit von der Fallstrecke h induziert? Welchen Spannungswert erhalten Sie nach einem Fall von 5 m? Aufgabe 4: Leitende Kreisringe (8 Punkte) Gegeben seien zwei "unendlich dünne", leitende, konzentrische Ringe mit Radien a und b (a < b). Die Ringe sollen in der xy-Ebene liegen und ihren gemeinsamen Schwerpunkt im Ursprung haben. Auf dem inneren Ring möge sich homogen verteilt (d. h. mit konstanter Streckenladungsdichte) die Ladung +q, auf dem äußeren homogen verteilt die Ladung -q befinden.

1

3.5.4.8 Ex: Circuito com bateria

Tres baterias (U1 = 20 V, U2 = 5 V, U3 = 20 V) cada uma com resistencia interna finita de 0.1 Ωsejam conectadas em paralelo. Em serio com este circuito sejam conectadas duas resistencias(R1 = 100 Ω, R2 = 200 Ω) (vide esquema). Qual e a tensao eletrica em R1 e R2?

R

U

2R1

3

U2

U1

3.5.4.9 Ex: Regras de Kirchhoff

O circuito de corrente mostrado na figura consiste de fontes de tensao U1 = 20 V e U2 = 10 Ve de resistencias R1 = 150Ω, R2 = R3 = R5 = 100Ω e R4 = 50Ω. Qual e a corrente medida noamperımetro A?


Sejam dados R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω, tal como ε1 = 2 V e ε2 = ε3 = 4 V.a. Mostre que a regra dos nos de Kirchhoff para correntes estacionarias e uma consequencia da

3.5. EXERCICIOS 117


16) Eisenstabbahn

5

Zwei parallele Modelleisenbahnschienen haben eine Dicke von d = 5mm und einen lichten Abstanda = 50mm. Sie sind durch einen senkrecht zu den Schienen liegenden, beweglichen Metallstab derMasse m = 0.5g leitend verbunden. Ein an die Schienen angelegter Strom, der auch durch den Me-tallstab fließt, bewirkt die Beschleunigung des Stabes entlang der Schienen.

(a) Berechnen Sie das Magnetfeld zwischen den beiden Schienen, wenn durch beide der gleiche (aberunterschiedlich gerichtete) Strom I fließt. Vernachlassigen Sie dabei Inhomogenitaten am Beginnder Schienen und das vom Strom durch den Stab erzeugte Magnetfeld.

(b) Wie groß ist die Kraft in Schienenrichtung, die den Stab beschleunigt?

(c) Welcher Strom ware notwendig, um den Stab bei einer Schienenlange von l = 5m auf eine Ge-schwindigkeit von 10m/s zu beschleunigen? Vernachlassigen Sie alle Reibungseffekte.

17) Massenspektrometer

3

Ein Massenspektrometer bestehe wie im Bild skiz-ziert aus einem Kondensator mit PlattenabstabdD = 5mm, der sich in einem homogenen Magnet-feld der Starke B = 0.4T befinde. Ein Isotopenge-misch aus einfach positiv geladenen Kohlenstoffio-nen 12C und 14C tritt durch eine Lochblende in denKondensator ein. Nach Durchlaufen des Konden-sators bewegen sich die Ionen im Magnetfeld aufeiner Halbkreisbahn und werden von einem Detek-tor gezahlt, dessen Abstand y zur Lochblende vari-iert werden kann.

U

D

y

v

B

(a) Welche Spannung muss an die Kondensatorplatten angelegt werden, damit nur Ionen einer Ge-schwindigkeit von v = 105 m/s den Kondensator durch die zweite Blende verlassen konnen?

(b) In welchen Abstanden y werden die beiden Kohlenstoffisotope jeweils detektiert?

18) Kirchhoffsche Regel

4

Der im Bild gezeigte Stromkreis besteht aus denSpannungsquellen U1 = 20V und U2 = 10V so-wie den Widerstanden R1 = 150Ω, R2 = R3 =

R5 = 100Ω und R4 = 50Ω. Welcher Stromwird am Amperemeter A gemessen?

+-

U1

R4

R1

A

R3

R5

+-

U2

R2

equacao de continuidade∮~jd ~A = dq

dt .b. Calcule as correntes atravessando as tres baterias ideais no circuito mostrado na figura.c. Calcule a diferenca de potenciais entre os pontos a e b.

RU U1 3

2

R1 R1

R1 R1

a

b

U2


Considere o seguinte circuito alimento por uma bateria de tensao V . Calcule usando as leis deKirchhoff as tensoes e correntes nos pontos P1 e P2. Qual e a resistencia total deste circuito?

R1 R1

R2 R2

R3

P1

P2

0 v

3.5.4.12 Ex: Combinacao de resistores

Voce tem no maximo 5 resistencias de 100 Ω cada uma. Constroi circuitos tendo a resistenciatotal de a. R = 25 Ω, b. R = 66.6 Ω, c. R = 120 Ω.

3.5.4.13 Ex: Circuito com capacidades e resistores

No circuito mostrado na figura seja R1 = 600 Ω, R2 = 200 Ω, R3 = 300 Ω, C = 20 µF eU = 12 V.a. Calcule as tensoes medidas nas resistencias individuais e no capacitor assim como a correntetotal Iges, quando o capacitor e totalmente carregado (caso estacionario).


b. No tempo t = 0 o interruptor S esta aberto. Depois de qual tempo a tensao no capacitor caipara 10 mV?

R

U

2

R1 R3

S

C

3.5.4.14 Ex: Circuito com capacidades e resistores

Considere o circuito mostrado na figura com os seguintes valores R1 = R3 = 100 Ω, R2 = R4 =200 Ω, C1 = C2 = 10 µF e U0 = 20 V.a. Calcule a resistencia e a capacidade equivalente do circuito.b. No tempo t = 0 o interruptor S e fechado. Determine a equacao diferencial para a tensaoU(t) no capacitor C1 e resolve-a. Quando a tensao cai para 1/e do seu valor maximo?c. Determine a evolucao da amplitude da corrente no resistor R3.

R

S

4R3

R2

R1

C2

C1

U0

3.5.4.15 Ex: Circuitos de resistores e capacitores

Calcule a resistencia e a capacitancia total dos seguintes circuitos.Ajuda para (e): Considere o capacitor como um conjunto de capacitores com/sem dieletricoem serie e em paralelo.

3.5.4.16 Ex: Carregamento de um capacitor

O circuito mostrado na figura consiste de uma fonte de tensao U , uma resistencia R e umacapacidade C. No inicio seja U = 0. A partir do tempo t = 0 a fonte de tensao fornece o valorconstante U = U0. Calcule a evolucao temporal da corrente I no circuito, assim como a evolucaotemporal das tensoes no capacitor e na resistencia.Ajuda: Comeca estabelecendo a equacao diferencial para a corrente I.

3.5.4.17 Ex: Circuito R-C

Considere o circuito eletrico mostrado na figura com as fontes ideais de tensao Uk, as resistenciasRk e o capacitor C. Inicialmente o interruptor C1 e aberto.

3.5. EXERCICIOS 119

RU

C

a. Calcule a carga Q0 no capacitor depois de um longo tempo.b. Agora o interruptor esta fechado. Usando as leis de Kirchhoff, exprime a carga no capacitorcomo funcao da corrente IC atravessando o capacitor e dos parametros indicados na figura.c. Baseado no resultado obtido em (b), calcule a evolucao temporal da carga no capacitor.d. Indique os valores para t = 0 e t→∞.e. Discuta os casos (i) U2 = U1 e (ii) U2 = −U1.

RR

U1 U2

C

RC

3.5.4.18 Ex: Resistencia interna de uma bateria

Uma fonte de potencia de 5 V tem uma resistencia interna de 50 Ω. Qual e o menor resistor quepode ser colocado em serio com a fonte de potencia para que a queda de potencial no resistorseja maior que 4.5 V?

3.5.4.19 Ex: Circuito com duas baterias

No circuito mostrado na figura, as baterias tem resistencias internas desprezıveis. Determinea. a corrente em cada ramo do circuitob. a diferenca de potencial entre os pontos a e b, ec. a potencia fornecida por cada bateria.


12 V 12 V6 W

4 W 3 Wa

b

3.5.4.20 Ex: Circuito com tres baterias

Para o circuito mostrado na figura, determine a diferenca de potencial entre os pontos a e b.

2 V 2 V4 W

1 W 1 Wa

b1 W 1 W

4 V

3.5.4.21 Ex: Voltımetro real

O voltımetro mostrado na figura pode ser modelado como um voltımetro ideal (um voltımetroque tem uma resistencia interna infinita) em paralelo com um resistor de 10 MΩ. Calcule aleitura no voltımetro quandoa. R = 1.0kΩ,b. R = 10.0kΩ,c. R = 1.0MΩ,d. R = 10.0MΩ,e. R = 100.0MΩ.f. Qual e o maior valor possıvel de R se a tensao medida deve estar dentro de 10 por cento datensao verdadeira (isto e, a queda de tensao em R sem colocar o voltımetro)?

10 V VR

2R

voltímetro

3.5.4.22 Ex: Circuito com bateria e capacitor

A chave mostrada na figura e fechada depois de ter permanecida aberta por um longo tempo.a. Qual e o valor inicial da corrente na bateria logo apos a chave S ter sido fechada?b. Qual e a corrente na bateria depois de um longo tempo apos a chave ter sido fechada?c. Quais sao as cargas nas placas dos capacitores depois de um longo tempo apos a chave tersido fechada?d. A chave S e reaberta. Quais sao as cargas nas placas dos capacitores depois de um longotempo apos a chave ter sido reaberta?

3.5. EXERCICIOS 121

50V

15

S

12

15

10F

F

10

3.5.4.23 Ex: Circuito com bateria e capacitor

No circuito mostrado na figura, o capacitor tem capacitancia de 2.5 µF e o resistor tem resistenciade 0.5 MΩ. Antes de a chave ser fechada, a queda de potencial no capacitor e 12 V, comomostrado. A chave S e fechada em t = 0.a. Qual e a corrente imediatamente depois de a chave ter sido fechada?b. Em que instante t a tensao no capacitor e 24 V?

36 VR

12 V

S

C

3.5.4.24 Ex: Corrente trifase

Calcula a potencia transmitida por uma corrente trifase.

Capıtulo 4

Magnetostatica

A magnetostatica e a teoria tratando de correntes estacionarios, o problema fundamental sendo ocalculo da forca exercida por distribuicoes espaciais de correntes. A causa de uma corrente sendoo deslocamento de eletrons, obviamente correntes nao sao estacionarias no sentido stricto. Noentanto, se o transporte das cargas acontece de maneira que cada carga saindo de um elementode volume e imediatamente substituıda por uma outra carga equivalente, temos na integral sobreos elementos de volume uma distribuicao de carga estacionaria.

4.1 A corrente eletrica e a forca de Lorentz

No capıtulo anterior mostramos que cargas podem viajar atraves de condutores eletricos, assimproduzindo correntes. Observamos experimentalmente que condutores eletricamente neutros po-dem exercer forcas reciprocas. Passando corrente pro dois fios finos paralelos quase infinitamentelongos observamos, que eles se atraem (repelem) quando a direcao da corrente e (anti-)paralela.Tambem observamos que agulhas de bussolas sao desviadas perto de um condutor carregandocorrente em uma direcao descrevendo um cırculo concentrico em torno do condutor. Obviamentea forca NAO se dirija ao longo das linhas do campo. Estas observacoes mostram a presenca deum outro fenomeno e uma outra forca nao explicada pela lei de Coulomb (vide Fig. 4.1).

Figura 4.1: Forca mutua de dois condutores carregando correntes antiparalelo e paralelo. Torqueexercida por uma corrente sobre uma bussola.

Aparentemente, a nova forca nao se orienta a direcao da corrente I, nem a direcao das linhasdescritas pela bussola, mas perpendicularmente aos dois. Para descrever o fato, postulamos aexistencia de um campo B chamado de campo magnetico, tal que a forca e descrita pelo produtovetorial,

FL = Il×B , (4.1)

onde l um elemento do caminho da corrente. Esta forca se chama de forca de Lorentz. Note,que esta forca se comporta como um pseudovetor (vide o Exc. 1.7.1.7).

123

124 CAPITULO 4. MAGNETOSTATICA

Para analisar este fenomeno do ponto de vista microscopico estabelecemos a hipotese que aforca observada tem a ver com o movimento das cargas constituindo a corrente dentro do postu-lado campo magnetico. Ja introduzimos no capıtulo anterior a nocao da corrente e conectamosa densidade de corrente com a velocidade de propagacao nas Eqs. (3.34) e (3.42),

j(r′) = %(r′)v′ . (4.2)

Com isso,

FL = I

∫

Cdl′ ×B = I

∫

Ce′j ×Bdl′ (4.3)

=

∫

VIδ2(r′⊥ − l⊥)e′j ×BdV ′ =

∫

Vj(r′)×BdV ′ =

∫

V%(r′)v′ ×B(r′)dV ′ ,

onde simplificamos a notacao j(r′) = Iδ2(r′⊥ − l⊥)e′j = Iδ(e1 · r′ − e1 · l)δ(e2 · r′ − e2 · l)e′j , ondee1,2 e e′j sao todos mutuamente ortogonais. Concluımos,

FL = Qv ×B . (4.4)

Figura 4.2: Parametrizacao de um fio de corrente usando a seguinte receita: Para cada pontodo espaco r′ ∈ R verifique se este ponto tambem fica em r′ ∈ C, isto e, se existe um t tal quer′ = l(t). Para este ponto determine a direcao do caminho, e′j = dl/|dl|, encontre dois versoresortogonais e1,2 e aplica a distribuicao de Dirac nestas dimensoes.

Exemplo 36 (Movimento ciclotron e sıncrotron): Uma consequencia do fato que,seguinte (4.4), a forca sobre cargas em movimento e sempre perpendicular a velocidade dacarga, e que sua trajetoria num campo magnetico homogeneo e circular. A forca centrifugacompensa a forca de Lorentz, quando,

FL = QvB = mv2

R= Fcf ,

o que permite determinar o raio R do cırculo 1.

Este fato e utilizado em aceleradores de partıculas chamados de ciclotrons, onde feixes de

partıculas carregadas sao acelerados em regioes de campos eletricos e desviados por meio de

campos magneticos homogeneos espacialmente localizados entre as regioes de aceleracao.

Uma consequencia importante da forma particular da forca de Lorentz e o fato, que forcasmagneticas nao trabalham, pois

Wmg =

∫

CF · dl = 0 .

1Este comportamento pode ser observado injetando um partıculas carregadas num campo magnetico ho-mogeneo. Feixes colimados de eletrons podem ser criados por um dispositivo de eletrodos chamado de cilindro deWehnelt usado em tubos de raios de catodo chamados de tubo de Braun.

4.1. A CORRENTE ELETRICA E A FORCA DE LORENTZ 125

A direcao do movimento de uma carga pode ser alterada por campos magneticos, mas nao ovalor absoluto da velocidade. Isso pode parecer surpreendente, pois sabemos que com ımaspodemos exercer forcas corpos de ferro.

Exemplo 37 (Trabalho magnetico): Consideramos um laco condutor carregando cor-rente parcialmente imerso num campo magnetico homogeneo, como mostra a Fig. 4.3. Odispositivo esta em equilıbrio, quando,

F = IaB = mg .

Se a corrente ultrapassa o valor mg/aB, observa-se uma forca vertical levantando o disposi-tivo, tal que ele ganha energia potencial,

W = Fh ,

onde h e a altura adquirida. No entanto, o movimento vertical corresponde a uma corrente

Iez que cria uma forca contraria a corrente I, tal que a bateria precisa trabalhar para manter

a corrente. O campo magnetico so reorienta a forca em uma direcao tendo uma componente

paralela ao pedaco de fio horizontal, assim permitindo a bateria trabalhar ao encontro deste

forca. Discutiremos isto de um outro ponto de vista no contexto da lei de Lenz-Faraday.

Figura 4.3: Dispositivo hipotetico para fazer o campo magnetico trabalhar.

4.1.1 O efeito Hall

Como exemplo consideramos o efeito Hall: Como ilustrado na Fig. 4.4, uma corrente flui para olado direito atraves de uma haste retangular de um material condutor na presencia de um campomagnetico B uniforme orientado perpendicularmente. Se as cargas moveis sao positivas, elasserao defletidas pelo magnetico na direcao para baixo. Esta deflexao resulta numa acumulacaode cargas nos lados superior e inferior da haste que, em torno, produz uma forca eletrica deCoulomb force contrariando a forca magnetica. O equilıbrio e atingido, quando as duas secancelam:

FC = QE = QUHw

= QvmedB = FL . (4.5)

A diferencia de potencial entre os lados superior e inferior se chama tensao de Hall. A velocidademedia das cargas pode ser estimada a partir da Eq. (3.42),

vmed =j

naNQ, (4.6)


onde na e a densidade volumetrica de moleculas do material da haste uma fornecendo N eletronslivres cada uma. Agora, usando as dimensoes da haste esquematizada na Fig. 4.4, calculamos atensao de Hall,

UH = vmedBw =j

naNQBw =

IB

d naNQ= AH

IB

d, (4.7)

onde AH = 1/naNQ e uma constante que depende do material da haste.

Se as cargas moveis fossem negativas, a tensao de Hall mudaria o sinal. Este fato podeser usado para identificar o sinal das cargas com condutores de corrente desconhecidos. Faz os

Figura 4.4: Ilustracao do efeito Hall.

Excs. 4.5.1.1-4.5.1.13.

4.1.2 A lei de Biot-Savart

Do mesmo jeito como parametrizamos distribuicoes de cargas (linear, superficial e volumetrica)na eletrostatica,

∑

k

(..)Qk −→∫

C(..)λdl ∼

∫

S(..)σdS ∼

∫

V(..)%dV , (4.8)

podemos parametrizar distribuicoes de correntes (linear, superficial e volumetrica) na magne-tostatica,

∑

k

(..)Qkvk −→∫

C(..)Idl ∼

∫

S(..)~κdS ∼

∫

V(..)jdV . (4.9)

Na eletrostatica tivemos a condicao % = 0. Com o mesmo ponto de partida obtemos para amagnetostatica pela equacao de continuidade (3.35),

∇ · j = 0 . (4.10)

O equivalente da lei de Coulomb e, na magnetostatica, a lei de Bio-Savart,

B(r) =µ0

4π

∫

C

I(r′)× (r− r′)|r− r′|3 dl′ =

µ0I

4π

∫

C

dl′ × (r− r′)|r− r′|3 =

µ0

4π

∫

Vj(r′)× r− r′

|r− r′|3dV′ . (4.11)

Similarmente do jeito como a lei de Coulomb pode ser aplicada na eletrostatica para calcularo campo eletrico produzido por distribuicoes de carga podemos aplicar a lei de Biot-Savart namagnetostatica para calcular o campo magnetico produzido por correntes.

Exemplo 38 (Campo magnetico de um fio de corrente retilıneo): Consideramos umfio infinitamente longo e fino orientado ao longo do eixo z percorrido por uma corrente I

4.2. PROPRIEDADES DO CAMPO MAGNETICO 127

parametrizada por j(r′) = ezIδ(x′)δ(y′). Usando r = ρeρ + zez e r′ = z′ez calculamos,

B(r) =µ0I

4π

∫ ∞

−∞dz′

ez × (r− r′)

|r− r′|3 =µ0I

4πez × ρeρ

∫ ∞

−∞

dz′√ρ2 + (z − z′)2

3

=µ0I

4πez × ρeρ

[z′

ρ2(ρ2 + z′2)−

12

]∞

−∞=µ0I

4πez × ρeρ

2

ρ2=µ0I

2πρeφ .

Com isso podemos agora calcular a forca que esta corrente pode exercer sobre outra correnteI2 paralela mas distante de ρ:

F = I2lez ×B =µ0II2l

2πρ(−eρ) .

Entao a forca e atrativa.

Exemplo 39 (Campo magnetico de uma espira de corrente circular): Consideramosuma corrente circular parametrizada por j(r′) = eφIδ(z)δ(ρ − R). Seguinte a lei de Biot-Savart o campo magnetico gerado e,

B(r) =µ0

4π

∫

V

j(r′)× (r− r′)

|r− r′|3 dV ′ =µ0I

4π

∮

C

eφ′ × (r−Rer′)

|r−Rer′ |3Rdφ′ .

Sobre o eixo de simetria r = zez,

B(zez) =µ0IR

4π

∮

C

eφ′ × (zez −Rer′)√R2 cos2 φ′ +R2 sin2 φ′ + z2

3 dφ′ =

µ0IR

4π

∮

C

zer +Rez√R2 + z2

3 dφ′ =

µ0IR2

2√R2 + z2

3 ez ,

onde a integral contendo o termo zer zera por simetria.

Faz os Excs. 4.5.1.15-4.5.1.16.

4.2 Propriedades do campo magnetico

4.2.1 Linhas de campo e fluxo magnetico

O fluxo magnetico e introduzido da mesma maneira como o fluxo eletrico,

ΨM ≡∫

SB · dS . (4.12)

Faz o Exc. 4.5.2.1.

4.2.2 Divergencia do campo magnetico e a lei de Gauß

Vamos calcular o divergente do campo magnetico dado pela lei de Biot-Savart 2,

∇r ·B =µ0

4π

∫

V[∇r × j(r′)] · r− r′

|r− r′|3dV′ − µ0

4π

∫

Vj(r′) ·

[∇r ×

r− r′

|r− r′|3]dV ′ = 0 , (4.13)

pois, como ja mostramos anteriormente, o rotacional de um campo de forma coulombiana zera.Portanto,

∇ ·B = 0 . (4.14)

2Usando a regra ∇ · (E×B) = (∇×E) ·B−E · (∇×B).


Com a lei de Gauß podemos derivar a versao integral desta afirmacao,

∮

∂VB · dS = 0 . (4.15)

Comparando esta equacao com a equacao correspondente da eletrostatica (2.13), deduzimos aseguinte interpretacao: O fluxo magnetico ΨM total atravessando uma superfıcie fechada devezerar e nao pode ser alterada por hipoteticas cargas magneticas, ou seja, cargas magneticas naoexistem!

A consequencia direta desta lei e, que nos permite introduzir o conceito do potencial vetorial.Isto e, e fundamental, pois a eletrodinamica pode ser inteiramente formulada em termos depotenciais. Por isso, vamos dedicar a secao seguinte inteira a potenciais magneticos.

4.2.3 Rotacao do campo magnetico e a lei de Ampere

Vamos agora calcular o rotacional do campo magnetico dado pela lei de Biot-Savart 3,

∇r ×B =µ0

4π

∫

V−[j(r′) · ∇r]

r− r′

|r− r′|3dV′ +

µ0

4π

∫

Vj(r′)

(∇r ·

r− r′

|r− r′|3)dV ′ (4.16)

=µ0

4π

∫

V[j(r′) · ∇r′ ]

r− r′

|r− r′|3dV′ +

µ0

4π

∫

Vj(r′)4πδ(r− r′)dV ′

=µ0

4π

∫

V[j(r′) · ∇r′ ]

r− r′

|r− r′|3dV′ + µ0j(r) . (4.17)

Considerando a componente x,

(∇r ×B)x =µ0

4π

∫

Vj(r′) · ∇r′

x− x′|r− r′|3 + µ0jx(r)

= −µ0

4π

∮

∂Vj(r′)

x− x′|r− r′|3dS

′ +µ0

4π

∫

V

x− x′|r− r′|3∇r′ · j(r

′)dV ′ + µ0jx(r) .

A integral de superfıcie zera, quando o volume vai para infinito. Do outro lado, ∇ · j = −% = 0.Com isso, obtemos,

∇×B = µ0j . (4.18)

Os resultados (4.14) e (4.18), representam partes da primeira e quarta equacao de Maxwell.A equacao (4.18) tambem e chamada lei de Ampere. A versao integral pode ser obtida pela leide Stokes, ∮

CB · dl = µ0I . (4.19)

A interpretacao da lei de Ampere e, que cada corrente produz um campo magnetico rotacional,isto e, com linhas de campo fechadas. Medindo o campo magnetico ao longo de um caminhofechado podemos avaliar a corrente que passa atraves da superfıcie encerrada pelo caminho.

A lei de Ampere tem muitas aplicacoes. Vamos discutir alguns no seguinte.

Exemplo 40 (Campo magnetico de um fio de corrente retilıneo): Vamos reavaliaro exemplo 38 usando a lei de Ampere,

∮B · dl = B

∫ 2π

0

ρdφ = B2πρ = µ0I .

3Usando a regra ∇× (E×B) = (B · ∇)E− (E · ∇)B + E(∇ ·B)−B(∇ ·E).

4.2. PROPRIEDADES DO CAMPO MAGNETICO 129

Portanto,

B =µ0I

2πρ.

Exemplo 41 (Lei de Ampere): Podemos usar a lei de Ampere para mostrar que um campomagnetico localmente uniforme, tal como o mostrado na Fig. 4.5, nao e possıvel. Conside-ramos a curva retangular mostrada pelas linhas tracejadas. Com a geometria escolhida, acurva nao engloba corrente,

µ0I = 0 .

Do outro lado, o campo magnetico acumulado ao longo da curva e

∮

C

B · dl 6= 0 .

Isso e contraditor. Assim, este exemplo mostra que na ausencia de correntes qualquer campo

Figura 4.5: Impossibilidade de um campo magnetico homogeneo localizado.

magnetico e conservativo. Poderıamos entao definir um potencial cujo gradiente seria o

campo magnetico, so que este potencial deveria ser simplesmente conectado, isto e, nao

atravessado por correntes, o que limita o uso pratico deste potencial.

Exemplo 42 (Campo de um solenoide): Um solenoide e uma bobina muita longa (adistancia entre duas espiras consecutivas e bem menor do que o raio e o comprimento total dabobina) percorrido por uma corrente I (vide o esquema na Fig. 4.6). A lei de Ampere pode serusada para calcular facilmente o campo magnetico dentro de um solenoide de comprimentototal l com N espiras,

Bdl =

∮

CB · dr = µ0I dN .

Portanto,

B = µ0IdN

dl.

Figura 4.6: Esquema de um solenoide com a densidade de espiras dN/dl.

Faz os Excs. 4.5.2.2-4.5.2.7.


4.3 O potencial vetorial magnetico

O fato que o divergente do campo magnetico zera, ∇ ·B = 0, nos permite introduzir um campovetorial A chamado de potencial vetorial do qual o campo magnetico e o rotacional,

B = ∇×A . (4.20)

4.3.1 As equacoes de Laplace e de Poisson

A lei de Ampere fala,

µ0j = ∇×B = ∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A . (4.21)

Note que, do mesmo jeito como podemos adicionar uma constante ao potencial eletrostaticosem mudar o campo eletrico, temos a liberdade de adicionar ao potencial vetor um gradiente deum campo escalar,

∇×A = ∇× (A +∇Ψ) , (4.22)

desde que o rotacional de um gradiente sempre zera. Essa liberdade nos permite impor outrascondicoes ao potencial escalar. Uma dela e o calibre de Coulomb,

∇ ·A ≡ 0 . (4.23)

Para mostrar, que sempre e possıvel escolher uma funcao Ψ tal, que o potencial vetor A +∇Ψsatisfaz a condicao (4.23) e no mesmo tempo produz o mesmo campo magnetico (4.22), bastainserir este potencial na Eq. (4.23) e achar uma solucao formal da seguinte equacao de Poisson,

∇2Ψ = −∇ ·A . (4.24)

e simplesmente o potencial de Coulomb [vide (2.33)],

Ψ(r) =1

4π

∫

V

∇r′ ·A(r′)|r− r′| dV ′ , (4.25)

supondo que ∇ ·A r→∞−→ 0.Dentro do calibre de Coulomb a Eq. (4.21) tambem adota a forma simples de uma equacao

de Poisson,

∇2A = −µ0j , (4.26)

que podemos resolver,

A(r) =µ0

4π

∫j(r′)|r− r′|d

3r′ . (4.27)

Esta relacao e o equivalente do potencial eletrostatico (2.35). Verificamos, que recuperamos alei de Biot-Savart (4.8) por,

∇r ×A(r) =µ0

4π

∫

Vj(r′)× |r− r′|

|r− r′|3dV′ . (4.28)

Exemplo 43 (Potencial vetor de uma corrente uni-dimensional): Como exemploconsidere uma corrente uni-dimensional, j(r′) = Iδ2(r′ − s⊥)e′j ,

A(r) =µ0I

4π

∫

C

ds′

|r− r′| e B(r) =µ0I

4π

∫

C

ds′ × |r− r′||r− r′|3 .

4.3. O POTENCIAL VETORIAL MAGNETICO 131

Para um elemento de corrente orientada ao longo do eixo z,

A(r) =µ0I

4π

∫ a

0

ezdz′

√ρ2 + (z − z′)2

=µ0I

4πez ln

−(z − a) +√r2 + (z − a)2

−z +√r2 + z2

.

O esquema 4.7 resume as leis fundamentais da magnetostatica.

Figura 4.7: Organigrama das leis fundamentais da magnetostatica. Note, que nao tem expressaosimples para calcular A a partir de B.

4.3.2 Condicoes de contorno magnetostaticas

Para encontrar as condicoes de contorno magnetostaticas impostas por interfaces percorridas porcorrentes prosseguimos do mesmo jeito como no caso eletrostatico. Primeiramente, consideramosa ”caixa de pilula”esquematizada na Fig. 4.8. A partir de

∮B · dS = 0 , (4.29)

achamos para a componente do campo magnetico perpendicular a interface,

B⊥cima = B⊥baixo . (4.30)

Figura 4.8: Superfıcie A em torno de um volume em forma de caixa de pılulas encerrando umapequena parte da interface, caminhos em torno de uma pequena area cortando a interface eficando perpendicular (l1) ou paralelo (l2) a corrente superficial.

Agora consideramos um caminho fechado no plano definido pelo campo magnetico e perpen-dicular a corrente. A partir de

∮B · dl2 = (B

(2)cima −B

(2)baixo)l2 = µ0I = µ0κl2 , (4.31)


onde definimos κ ≡ I/l2 como a densidade de corrente superficial, isto e, a corrente dI fluindoatraves de uma fita de largura dl2 colada a interface. Achamos,

B(2)cima −B

(2)baixo = µ0κ . (4.32)

Assim, a componente de B paralela a superfıcie mas perpendicular a corrente e descontınua deum valor µ0κ.

Similarmente, uma volta em direcao paralela a corrente mostra que a componente paralelae contınua, ∮

B · dl1 = (B(1)cima −B

(1)baixo)l1 = 0 . (4.33)

Em resumo,

Bcima −Bbaixo = B‖cima −B

‖baixo = µ0~κ× n . (4.34)

Do mesmo jeito como o potencial escalar na eletrostatica, o potencial vetor e continuo atravesa interface,

Acima = Abaixo , (4.35)

pois ∇ ·A = 0 garante que a componente normal e continua e,

∮A · dl =

∫∇×AdS =

∫B · dS = ΨM , (4.36)

significa, que as componentes tangenciais sao contınuas (o fluxo atraves uma volta amperianade espessura desprezavel zera). Do outro lado, a derivada de A herda da descontinuidade de B:

∂Acima

∂n− ∂Abaixo

∂n= −µ0~κ , (4.37)

onde n e a coordenada perpendicular a superfıcie.

Exemplo 44 (Prova da descontinuidade da derivada do potencial vetor): Paraprovar a afirmacao (4.37) consideramos uma corrente de superfıcie em direcao ~κ = κexdentro de uma interface no plano xy. Entao

Bcima −Bbaixo =

0

µ0κ

0

=

∂yA(z)cima − ∂zA

(y)cima

∂zA(x)cima − ∂xA

(z)cima

∂xA(y)cima − ∂yA

(x)cima

−

∂yA(z)baixo − ∂zA

(y)baixo

∂zA(x)baixo − ∂xA

(z)baixo

∂xA(y)baixo − ∂yA

(x)baixo

.

Agora,

0 = ∂yA(z)cima − ∂yA

(z)baixo = ∂zA

(y)cima − ∂zA

(y)baixo = ∂xA

(y)cima − ∂xA

(y)baixo = ∂yA

(x)cima − ∂yA

(x)baixo

µ0κx = ∂zA(x)cima − ∂zA

(x)baixo − ∂xA

(z)cima + ∂xA

(z)baixo .

Assumindo um campo uniforme, so a derivada em z pode contribuir, tal que,

µ0κx = ∂zA(x)cima − ∂zA

(x)baixo .


4.4 Expansao multipolar

Usando a expansao (2.91) podemos expandir o potencial vetor do mesmo jeito como fizemoscom o potencial eletrostatico na formula (2.92),

A(r) =µ0I

4π

∮1

|r− r′|dl′ =

µ0I

4π

∞∑

`=0

1

r`+1

∮r′`P`(cos θ′)dl′ . (4.38)

Explicitamente,

A(r) =µ0I

4π

[1

r

∮dl′ +

1

r2

∮r′ cos θ′dl′ +

1

r3

∮r′2(3

2 cos2 θ′ − 12)dl′ + ...

]. (4.39)

4.4.1 Momentos magneticos multipolares

Como nao existem monopolos magneticos, o primeiro termo da expansao multipolar sera∮dl′ =

0. O proximo termo e o termo dipolar,

Adip =µ0I

4πr2

∮r · r′dl′ . (4.40)

Fazendo o calculo,

c ·∮

r · r′dl′ =∮

c(r · r′) · dl′ =∫∇r′ × [c(r · r′)] · dS′ (4.41)

= −∫ [

c×∇r′(r · r′)]· dS′ = − (c× r) ·

∫dS′ = −c ·

(r×

∫dS′),

para constantes c arbitrarias, achamos,

Adip = − µ0I

4πr2r×

∫dS′ =

µ0

4π

m× r

r2onde m ≡ I

∫dS (4.42)

e o momento dipolar magnetico.

Exemplo 45 (Momento magnetico de uma espira de corrente): O momento magneticode uma espira condutor de raio R deitada no plano xy e percorrida por uma corrente e cal-culado por,

m = I

∫dS = IπR2ez .

4.5 Exercıcios

4.5.1 A corrente eletrica e a forca de Lorentz

4.5.1.1 Ex: Forca sobre condutor de corrente

Um pedaco de fio em forma de semicırculo (raio R, semicırculo em z = 0 no plano xy) ficadentro de um campo magnetico B homogeneo e orientado em direcao z, como mostra o esquema.Atraves do fio corre uma corrente I. Calcule a forca sobre o laco e compare-a com a forca sobreum pedaco de fio reto orientado ao longo do eixo y com comprimento 2R. A corrente neste fiocorre em direcao ey.


y

xB

I

4.5.1.2 Ex: Forca de Lorentz

Num cilindro de madeira de massa m = 0.25 kg e comprimento L = 10 cm e enrolada umabobina de fio condutor com 10 espiras de tal maneira, que o eixo do cilindro fica dentro do planoda bobina. O cilindro fica sem deslizar sobre um plano inclinado por α = 30 a respeito dahorizontal, de maneira que o plano da bobina e paralelo ao plano inclinado. A configuracao todaseja dentro de um campo magnetico vertical e homogeneo com o valor absoluto de B = 0.5 T.Qual deve ser a corrente mınima atraves da bobina para impedir a bobina de girar em torno doseu centro de massa?

C L

RU Ue a

C

L

R

U Ue a

BmL

α

I

z

ω

L

R(t)U

R

4.5.1.3 Ex: Espectrometro de massa de campo magnetico

Um espectrometro e utilizado para separar ıons de uranio duplamente ionizados da massa 3.92×10−25 kg de outros isotopos similares. Os ıons sao primeiramente acelerados por uma diferenciade potencial de 100+kV e depois entram num campo magnetico homogeneo, onde eles saodesviados numa orbita circular do raio 1 m. Depois de ter percorrido um angulo de 180, elesentram por uma fenda de 1 mm de largura e 1 cm de altura e sao acumulados num coletor.a. Determine o campo magnetico do espectrometro de massa a partir do balanco energetico dosıons (individuais).b. O dispositivo deve separar 100 mg dos ıons desejados por hora. Qual deve ser a intensidadeda corrente ionica no feixe?c. Qual e o calor produzido no coletor em uma hora?

4.5.1.4 Ex: Espectrometro de massa

Em um espectrometro de massa, um ıon de 24Mg monovalente tem massa igual a 3.983 ·10−26 kge e acelerado atraves de uma diferenca de potencial de 2.5 kV. Ele entra, entao, em uma regiaoonde e defletido por uma campo magnetico de 557 G.a. Determine o raio de curvatura das orbitas do ıon.b. Qual e a diferenca entre os raios das orbitas dos ıons 26Mg e 24Mg? Considere que a razaoentre as massas seja 26 : 24.

4.5. EXERCICIOS 135

4.5.1.5 Ex: Magnetron

Um magnetron consiste de um tubo de diodo, um anodo a forma de um cilindro circular comraio RA = cm no centro do qual fica coaxialmente localizado o filamento do catodo. Sobre otubo de vidro deste diodos e enrolada uma bobina cilındrica, cujo eixo coincide com o anodo.A bobina seja suficientemente longa, de modo que o campo magnetico ao longo do catodopode ser considerado como homogeneo. Os eletrons emitidos a partir do fio de catodo sao sob ainfluencia simultanea do campo eletrico entre catodo e anodo, U = 1000 V e do campo magneticoB = 0.533 · 10−2 T. O ultimo foi ajustado, de modo que os eletrons nao atingem o anodo porpouco. Todo o aparelho e basicamente um filtro de velocidade para eletrons e, assim, uma versaocompacta do experimento e/m de J.J. Thomson (1987). Determinem a partir da equacao demovimento de um eletron no tubo, o racio e/m.

4.5.1.6 Ex: Tiras de cobre condutoras

Uma fita de cobre de comprimento l = 2 cm, largura b = 1 cm e espessura d = 150 µm ficadentro de um campo magnetico homogeneo B do valor 0.65 T, orientado perpendicularmente aolado plano da fita. A concentracao das cargas livres em cobre vale 8.47×1028 eletrons/m3. Quale a diferencia de potencial V atraves da largura da fita, se ela e percorrida por uma corrente deI = 23 A?


Um fio linear, firme e horizontal de 25 cm de comprimento, tem massa igual a 5 g e esta conectadoa uma fonte de fem atraves de fios leves e flexıveis. Um campo magnetico de 1.33 T e horizontale perpendicular ao fio. Determine a corrente necessaria para fazer o fio flutuar, isto e, quandoo fio e liberado a partir do repouso, ele permanece em repouso.


Um fio conduzindo corrente e curvado em um semicırculo fechado de raio R que esta no planoxy. O fio esta em um campo magnetico uniforme que esta na direcao +z, como mostra a figura.Verifique que a forca exercida no anel e zero.

4.5.1.9 Ex: Forca de Coulomb e de Lorentz

Duas cargas puntiformes iguais estao, em algum instante, localizadas em (0, 0, 0) e em (0, b, 0).Ambas estao se movendo com rapidez v na direcao +x (considere v c). Determine a razaoentre a magnitude da forca magnetica e a amplitude da forca eletrica em cada carga.

4.5.1.10 Ex: Armadilha de Penning

Na armadilha de Penning, partıculas carregadas se movem sob a influencia de um campomagnetico homogeneo B = Bhez e um campo eletrico quadrupolar, E = Eq(ρeρ − 2zez). Em


quais orbitas a partıcula se move.Ajuda: Considere os movimentos axiais e radiais separadamente. No movimento radial consi-dere dois casos:1. A influencia do campo eletrico e desprezavel,2. a forca centrıpeta e desprezavel.

4.5.1.11 Ex: Armadilha magnetica perto de um fio de corrente

Um fio condutor infinitamente longo (raio R, eixo em direcao z na posicao x = y = 0) carregauma corrente I.a. Calcule o campo magnetico dentro e fora do fio.b. Agora e adicionado um campo magnetico homogeneo Bapl = B0ex. Calcule o valor absolutodo campo magnetico total |Btot| dentro e fora do fio.c. Onde aparecem dentro e fora do fio pontos onde |Btot| zera? Quais condicoes para osparametros I, R e B0 devem ser satisfeitas para ter tais pontos?

4.5.1.12 Ex: Carga em campos homogeneos (H25)

Uma carga e se move no vacuo sob a influencia de campos homogeneos E e B. Supoe, queE · B = 0 e v · B = 0. Para qual velocidade a carga se move sem aceleracao? Qual e o valorabsoluto da sua velocidade, se |E| = |B|?

4.5.1.13 Ex: Forca sobre uma distribuicao de corrente num campo magnetico(H27)

A forca sentida por uma distribuicao de corrente j(r) num campo magnetico exterior e,

F =1

c

∫

V

d3r′j(r′)×B(r′) .

Mostre, que esta forca tambem pode ser escrita como integral sobre a superfıcie S encerrando ovolume V :

Fj =

∫

S

3∑

i=1

dfiTij .

com

Tij =1

4π

[BiBj −

1

2B2δij

].

4.5.1.14 Ex: Trem acelerado pelo campo magnetico da Terra

Analise o seguinte conceito de propulsao para trens. O trem deve ser propulsado pela forcamagnetica da componente vertical do campo magnetico da Terra agindo sobre os eixos do trempercorridos de corrente. O valor da componente vertical do campo magnetico da Terra seja10 µT, os eixos tem o comprimento de 3 m. A corrente e alimentada pelos trilhos e flui de umtrilho pelas rodas condutantes e os eixos para o outro trilho.a. O que deveria ser a amplitude da corrente para gerar a forca modesta de 10 kN sobre umeixo?b. Qual e a taxa de perda de energia eletrica por producao de calor?

4.5. EXERCICIOS 137

4.5.1.15 Ex: Lei de Biot-Savart

Consideramos um fio infinitamente longo e fino orientado ao longo do eixo z e concentricamenteabracado por um condutor oco com raio R e espessura de parede negligenciavel. Atraves docondutor flui a corrente I0 e atraves do fio a corrente I1.a. Calcule baseado na lei de Biot-Savart o campo magnetico produzido pelo fio interno numadistancia d do eixo z.b. Calcule a forca exercida pelo campo magnetico do fio interno sobre um elemento de superfıciedo condutor percorrido de corrente.c. Qual e a pressao resultante com I1 = −I0 = 10 A, R = 1 mm?Ajuda: ∫ b

a(c2 + x2)−

32dx =

[ xc2

(c2 + x2)−12

]ba


Consideramos um condutor oco infinitamente longo correndo ao longo do eixo z com espessurade parede finita com raio interior R− ε e raio exterior R+ ε. A densidade de corrente j0 dentrodo condutor oco seja constante e a corrente total seja I0.a. Calcule j0 a partir de I0, ε e R.b. Calcule baseado na lei de Ampere o campo magnetico produzido pelo condutor oco numadistancia ρ do eixo z para R− ε < ρ < R+ ε.c. Calcule a forca resultante sobre um elemento de volume do condutor percorrido de corrente.d. Integre a forca radial e calcule o limite ε→ 0.e. Qual e a pressao resultante em I0 = 10 A, R = 1 mm? A forca age para dentro ou para fora?

4.5.1.17 Ex: Campo magnetico da Terra

O campo magnetico da Terra e aproximadamente 0.6 G nos polos magneticos e aponta vertical-mente para baixo no polo magnetico no hemisferio morte. Se o campo magnetico fosse devido auma corrente eletrica circulando em um anel com raio igual ao nucleo de ferro interno da Terra(aproximadamente 1300 km),a. qual seria a magnitude da corrente necessaria?b. Que sentido teria a corrente − o mesmo do movimento de rotacao da Terra ou o oposto?Explique sua resposta.


Considere o seguinte dispositivo: Uma corrente I corre atraves de dois aneis identicos infinita-mente finos com raio R. O centro comum dos dois aneis fica na origem das coordenadas. Umdos aneis fica do plano x-y o outro no plano x-z.a. Parametrize a densidade de corrente j em coordenadas esfericas.b. Mostre, que o campo B resultante deste dispositivo na origem e dado por:

B(0) = −µ0I

2

1

Rez −

µ0I

2

1

Rey .

Ajuda: Uma funcao δ em coordenadas esfericas para a variavel r deve ser multiplicada por 1r ;

uma funcao δ em coordenadas esfericas para a variavel φ deve ser multiplicada por π2 .


4.5.2 Propriedades do campo magnetico

4.5.2.1 Ex: Fluxo magnetico

Um longo solenoide tem n voltas por unidade de comprimento, raio R1 e conduz uma correnteI. Uma bobina circular de raio R2 e com N voltas e coaxial ao solenoide e esta equidistante desuas extremidades.a. Determine o fluxo magnetico atraves da bobina se R2 < R1.b. Determine o fluxo magnetico atraves da bobina se R2 > R1.

4.5.2.2 Ex: Campo magnetico de um anel condutor e a lei de Ampere

Um laco condutor em forma de anel fica no plano y-z; o eixo do laco seja o eixo x. Ele epercorrido por uma corrente I e gera no eixo o campo Bx = 1

2µ0IR2(x2 +R2)−3/2.

a. Calcule a integral de linha∫

Bd~s ao longo do eixo x entre x = −L e x = +L.b. Mostre, que para L→∞ a integral de linha converge para µ0I.Ajuda: Este resultado tambem pode ser obtido com a lei de Ampere, quando fechamos ocaminho de integracao atraves do semicırculo com o raio L, para o qual vale B ≈ 0, quando Le muito grande.

4.5.2.3 Ex: Leis de Biot-Savart e de Ampere

a. Calcule o campo magnetico gerado por uma corrente constante I num pedaco condutorretilıneo de comprimento L.b. Mostre que para um condutor infinitamente longo a lei de Biot-Savart se torna a lei de Ampere.

4.5.2.4 Ex: Solenoide

a. Para determinar o numero de espiras de um solenoide com o diametro D = 4 cm e o com-primento L = 10 cm, um experimentador passa uma corrente I = 1 A atraves da bobina. Elemede o campo magnetico B = 10 mT. Quantos espiras sao?b. Para confirmar ele mede o diametro do fio de cobre (d = 1 mm) e a resistencia ohmica achandoR = 2 Ω. No internet ele acha a resistividade de cobre ρ = 1.7 · 10−8 Ωm.

4.5.2.5 Ex: Bobina toroidal

Uma bobina com N espiras seja colocada em forma de toroide de simetria rotacional em tornode eixo z e cujo centro fica na origem das coordenadas. A bobina seja densamente enrolada epercorrida por uma corrente I (veja esquema).a. Calcule a componente eφ do campo B para z = 0 (plano x-y) em funcao da distancia ρ daorigem.b. Determine a componente eφ do campo B no espaco inteiro fora do toroide. Esquematize acomponente eφ em funcao de ρ.c. Qual deve ser o valor de b, para que Bφ seja constante dentro do toroide com uma precisaode α = 1%, quando a = 1 cm? [Isto e, vale: Bφ(b− a)−Bφ(b+ a) < α ·Bφ(b)]


Um toroide firmemente enrolado com 1000 voltas tem raio interno de 1.0 cm, raio externo de2.0 cm e conduz uma corrente de 1.5 A. O toroide esta centrado na origem com os centros dasvoltas individuais no plano z = 0. No plano z = 0:

4.5. EXERCICIOS 139

a b

I N

a. Qual e a intensidade do campo magnetico a uma distancia de 1.1 cm da origem?b. Qual e a intensidade do campo magnetico a uma distancia de 1.5 cm da origem?

4.5.2.7 Ex: Densidade de corrente inomogenea

A densidade de corrente num fio reto de comprimento infinito com o raio R cresce linearmentea partir do centro para fora, j(r) = j0rez, onde ez mostra na direcao do fio e a corrente totalpassando pelo fio e I.a. Calcule j0 como funcao de I.b. Calcule usando a lei de Ampere o campo magnetico no fio dentro e fora do fio.c. Faz um grafico do campo magnetico normalizado, B(r)/BR, versus r/R, onde BR ≡ µ0I/2πR.

4.5.2.8 Ex: Campo magnetico no cabo coaxial

Um cabo coaxial consiste em um condutor interior com raio R1 e um condutor exterior cilındricocom raio interior R2 e raio exterior R3. Em ambos os condutores flui a mesma corrente I emdirecoes opostas. As densidades de corrente em cada condutor sejam homogeneas.a. Calcule as densidades de corrente em cada condutor.b. Calcule o campo magnetico B(r) para r ≤ R1,c. para R1 ≤ r ≤ R2,d. para R2 ≤ r ≤ R3,e. para R3 ≤ r.

4.5.2.9 Ex: Campo magnetico de um condutor percorrido de corrente (T12)

Em um condutor reto, infinitamente longo com area transversal circular com raio R corre umcorrente I com uma distribuicao de densidade de corrente uniforme. Como vao as linhas decampo da inducao magnetica B?a. Calcule B dentro e fora do condutor.b. Esquematize o perfil de B(r) ≡ |B(r)|, onde r seja a distancia a parir do eixo de simetria docondutor em uma direcao perpendicular a esta.


4.5.3 O potencial vetorial magnetico

4.5.3.1 Ex: Bobina de Helmholtz e anti-Helmholtz

a. Mostre, que o campo magnetico de um laco condutor redondo percorrido de corrente com raioR no eixo de simetria e dado por,

B(z) = −µ0I

2

R2

√R2 + z23 ez .

b. Agora, considere dois lacos identicos paralelos com distancia d = R colocados no eixo desimetria. Os lacos sao percorridos por correntes I de amplitudes iguais. Qual e o comportamentodo campo magnetico no eixo de simetria para o caso de (i) sentidos iguais das correntes (ii)sentidos opostos? Escolhendo como origem o centro entre as duas bobinas, expande o campomagnetico ate segunda ordem numa serie de Taylor em torno da origem.

4.5.3.2 Ex: Bobinas de Helmholtz

Duas bobinas circulares identicas, de raio R e espessura desprezıvel, sao montadas com seus eixoscoincidentes com o eixo z, conforme mostrado na figura abaixo. Seus centros estao separadospor uma distancia d, com o ponto medio P coincidindo com a origem do eixo z. As bobinastransportam correntes eletricas de mesma intensidade I, e ambas no mesmo sentido anti-horario.a. Utilize a lei de Biot-Savart para mostrar que o campo magnetico B(z) ao longo do eixo z e

~Bt+(z) = −µ0I

2ez

(R2

√R2 + (z −R/2)23 ±

R2

√R2 + (z +R/2)23

).

b. Admitindo que o espacamento d seja igual ao raio R das bobinas, mostre que no ponto Pas seguintes igualdades sao validas: dB/dz = 0 e d2B/dz2 = 0. c. Considerando os graficosabaixo, qual curva descreve o campo magnetico ao longo do eixo z na configuracao do item (b)?Justifique. d. Supondo que a corrente na bobina superior tenha seu sentido invertido, calcule onovo valor do campo magnetico no ponto P.


Um par de bobinas identicas, cada com raio de 30 cm, esta separado por uma distancia igual aosseus raios. Denominadas bobinas de Helmholtz, elas sao coaxiais e conduzem corrente iguais emsentidos tais que seus campos axiais estao na mesma direcao e sentido. Uma caracterıstica dasbobinas de Helmholtz e que o campo magnetico resultante na regiao entra as bobinas e bastanteuniforme. Considere que a corrente em cada uma seja 15 A e que ha 250 voltas para cada bobina.Usando uma planilha eletronica, calcule e faca um grafico do campo magnetico como funcao dez, a distancia ao centro das bobinas ao longo do eixo comum, para −30 cm < z < +30 cm. Emque intervalo de z o campo varia menos que 20%?

4.5. EXERCICIOS 141


Duas bobinas circulares identicas, de raio R e espessura desprezıvel, sao montadas com seus eixoscoincidentes com o eixo z, conforme mostrado na figura abaixo. Seus centros estao separadospor uma distancia d, com o ponto medio P coincidindo com a origem do eixo z. As bobinastransportam correntes eletricas de mesma intensidade I, e ambas no mesmo sentido anti-horario.a. Utilize a lei de Biot-Savart para mostrar que o campo magnetico B(z) ao longo do eixo z e

Bt+(z) = −µ0I

2ez

(R2

√R2 + (z −R/2)23 ±

R2

√R2 + (z +R/2)23

).

b. Admitindo que o espacamento d seja igual ao raio R das bobinas, mostre que no ponto Pas seguintes igualdades sao validas: dB/dz = 0 e d2B/dz2 = 0. c. Considerando os graficosabaixo, qual curva descreve o campo magnetico ao longo do eixo z na configuracao do item (b)?Justifique. d. Supondo que a corrente na bobina superior tenha seu sentido invertido, calcule onovo valor do campo magnetico no ponto P.

4.5.3.5 Ex: Potencial vetorial de um campo homogeneo

Consideramos um campo magnetico homogeneo em direcao z,

B = Bez .

Invente um potencial vetor A, tal que B = rot A. Como fica o potencial vetor no calibre deCoulomb (isto e, com a condicao de calibre: div A = 0).

4.5.3.6 Ex: Potencial vetor e campo eletrico de uma esfera carregada girante(T11)

Na superfıcie de uma esfera oca com raio R seja distribuıda de maneira homogenea a carga Q.A esfera gira com velocidade angular constante ~ω em torno de um diametro.a. Determine a densidade de corrente produzida pelo movimento j(r).b. Derive as componentes do potencial vetor A(r) e da inducao magnetica B(r).

4.5.3.7 Ex: Espiras finas condutoras

Considere um laco condutor circular com raio R. O fio do laco seja infinitamente fino (funcaoδ). Atraves do laco flui uma corrente continua I.a. Qual e a expressao para a densidade de corrente j(r)? Exprime o resultado em coordenadasesfericas considerando, que a integral da corrente sobre uma superfıcie perpendicular ao fio deve


dar I.b. Calcule o momento dipolar magnetico deste laco percorrido de corrente,

m =1

2c

∫[r× j(r)]d3r .

c. Para grandes distancia de uma distribuicao de corrente localizada, o potencial vetor A edominado pela contribuicao dipolar,

A(r) =m× r

r3.

Qual e, nesta aproximacao, o valor do potencial vetor A e do campo magnetico B para o lacocondutor?


Considere um sistema de N lacos condutores diferentes (usar funcoes δ), atraves dos quais correuma corrente Ij (j = 1, . . . , N). O fluxo magnetico para o laco j entao e dado por,

Φj =N∑

m=1

∫

Fj

Bm · dS ,

onde a integral deve ser tomada sobre a area encerrada pelo circuito de corrente j e Bm e aparte do campo magnetico devido ao circuito j.a. Mostre,

Φj = c

N∑

m=1

LjmIm

com o coeficiente de inducao,

Ljm = 1c2

∫j

∫m drj · drm

|rj − rm| ,onde as integrais sao tomadas sobre os circuitos j e m.b. Mostre tambem, que a energia do campo magnetico do sistema de lacos e dada por,

W =1

2

∑

j,m

LjmIjIm .


Um laco condutor feito de dois semicırculos (veja esquema) com raios ri = 0.3 m e ra = 0.5 mseja percorrido de uma corrente I = 1.5 A.a. Calcule o momento magnetico ~µ do laco condutor.b. O laco condutor agora e perfurado por um campo B da forca B = 0.3 T. Calcule o torqueresultante m sobre o laco condutor, quando o campo B fica (i) em direcao z, (ii) em direcao xe (iii) ortogonal ao plano do esquema.

4.5. EXERCICIOS 143

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Experimentalphysik 2, Sommersemester 2007Universitat Erlangen–Nurnberg

Ubungsblatt 8 (26.06.2007)Ubungen: Di 12:00 in 00.732, TL-307; 12:30 in TL-2.140;

Di 13:00 in HH, 14:00 in 00.732, 00.103, 01.332,01.779, 02.779, TL-2.140, TL-307, HE

Vorlesungen: Mo & Mi 10:15, Horsaal HGwww.pi1.physik.uni–erlangen.de/˜katz/ss07/p2

Prasenzaufgaben

16) Hall-EffektEin d = 1cm dicke und b = 1.5cm breite Silberplatte wirdlangs von einem Strom I = 2.5A durchflossen. Senkrechtzur Platte herrscht ein homogenes Magnetfeld der Starke1.25T. Senkrecht zu ~B und der Stromrichtung wird eineHallspannung von −0.334µV gemessen.(a) Berechnen Sie die Driftgeschwindigkeit der Ladungs-

trager.

(b) Bestimmen Sie die Anzahldichte der Ladungstrager derSilberplatte.

b

d

I

B

(c) Vergleichen Sie das Ergebnis von Teilaufgabe (a) mit der Anzahldichte der Elektronen der Platte(Dichte ρ = 10.5g/cm3, molare Masse mMol = 107.9g/mol).

(d) Auf welcher Seite der Platte befindet sich das hohere Potential?

17) LeiterschleifeEin Leiterschleife, bestehend aus zwei Halbkreisen (sieheBild) mit Radien ri = 0.3m und ra = 0.5m, wird von einemStrom I = 1.5A durchflossen.(a) Berechnen Sie das magnetische Moment ~µ der Leiter-

schleife.

(b) Diese wird nun von einem B-Feld der Starke B = 0.3Tdurchsetzt. Berechnen Sie das resultierende DrehmomentM auf die Leiterschleife, wenn das B-Feld (i) in z-Richtung, (ii) in x-Richtung und (iii) senkrecht zur Zei-chenebene orientiert ist.

ri

ra

I

zx

4.5.3.10 Ex: Transformacao de calibre

Seja dado o potencial vetor,

A(r) =1

y2 + z2 + a2

0

z

−y

.

Discute o campo magnetico correspondente B = ∇×A.a. Mostre que o potencial

A′(r) =1

y2 + z2 + a2

0

y + z

z − y

da o mesmo campo magnetico como o potencial A(x).b. Mostre:

A′(r) = A(r)−∇α(r)

e determine α(r).

4.5.3.11 Ex: Calibre de Coulomb

Seja dado o potencial vetorial,

A(x, y, z) =(x+ y)Ex + (−x+ y)Ey√

x2 + y2.

Encontre uma transformacao de calibre α(x, y, z), onde A → A′ = A − ∇α, tal que potencialvetorial transformado satisfaz o calibre de Coulomb.Ajuda: O operador de Laplace em coordenadas cilındricas tem a forma,

∆ =1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂

∂ρ

)+

∂2

∂z2+

1

ρ2

∂2

∂φ2.

onde ρ2 = x2 + y2.

4.5.4 Expansao multipolar

4.5.4.1 Ex: Momento magnetico

Calcule o torque sobre uma bobina retangular de N espiras colocada num campo magneticohomogeneo como mostra a figura.


4.5.4.2 Ex: Momento magnetico

a. Determine o momento magnetico de um laco condutor circular com raio R dentro do qualcorre uma corrente I1. O laco condutor fica no plano x-y.b. Agora dois segmentos exteriores do circulo sejam deformados numa distancia a em anguloreto na direcao −ez. Qual e o momento magnetico da nova configuracao.c. Agora considere uma corrente I2 filiforme infinitamente longo numa distancia d da origem eorientada em direcao ez. Qual e o torque agindo sobre as configuracoes em (a) e (b).

4.5.4.3 Ex: Momento magnetico de um cubo

Um condutor carrega a corrente I = 6 A ao longo do caminho esquematizado na figura, quecorre por 8 dos doze cantinhos do cubo cujo comprimento e L = 10 cm.a. Calcule o momento magnetico dipolar ao longo do caminho.b. Calcule a inducao magnetica B nos pontos (x, y, z) = (0, 5 m, 0) e (x, y, z) = (5 m, 0, 0).

I

dA x

yz

4.5.4.4 Ex: Momento magnetico de um disco circular fino

Considere um disco muito fino, com raio R, homogeneamente carregado com a carga Q e girandoem torno do eixo ez com a velocidade angular ω.a. Parametrize a distribuicao de carga e de corrente.b. Calcule o momento magnetico.

4.5.4.5 Ex: Bussola magnetica

Um topografo use uma bussola magnetica, enquanto ele fica 6.1 m sob uma linha de alta tensaona qual corre uma corrente de 100 A. O componente horizontal do campo magnetico da Terra

4.5. EXERCICIOS 145

neste lugar seja 20 µT. Quao grande e o campo magnetico devido a corrente no local da bussola?O campo magnetico vai perturbar bussola perceptivelmente?

4.5.4.6 Ex: Torque de uma agulha magnetica

Uma agulha magnetica tem um momento magnetico dipolar µ = 10−2 Am2. Calcule o torquesobre a agulha devido a componente horizontal do campo magnetico da Terra no equador (BH =4 · 10−5 T), se o polo norte magnetico da agulha mostra para direcao nordeste.

4.5.4.7 Ex: Circuito condutor curvo

Um laco condutor retangular seja deformado no meio dos cantos (comprimento a) para formarum angulo reto. O laco condutor seja percorrido por uma corrente I. Calcule o momentomagnetico dipolar m desta configuracao. Da o valor absoluto e a orientacao de m.Ajuda: Use o princıpio de superposicao e substitua a geometria acima por uma sobreposicaode dois lacos condutores.

a/2

I

a/2

b

bI

4.5.4.8 Ex: Momento magnetico do eletron (H20)

Na mecanica quantica relativıstica o momento magnetico do eletron tem o valor,

µ = gµB1

2=

e~2mc

= 9.28 · 10−31 T cm3 .

Este exercıcio tem o objetivo de mostrar, que a interpretacao classica deste momento magneticocomo momento magnetico de uma distribuicao de carga girante leve a contradicoes intrınsecas.Para isto, supomos o seguinte modelo do eletron: O eletron seja uma esfera de massa m(= 9.1× 10−28 g) com o raio r0 e carrega sua carga e de maneira homogenea na sua superfıcie.Ele gira em torno do seu eixo z com a velocidade angular ω. O movimento da carga de superfıciecausa um momento magnetico.a. Calcule o ”raio classico”r0 do eletron baseado no requerimento, que a energia do campo ele-trostatico do eletron seja igual a sua energia de repouso, mc2. Ajuda: Escreve a distribuicao decarga ρ(r). Determine a partir disso o campo eletrico fora do eletron. Utilize o resultado paracalcular a energia do campo eletrostatico W = (1/8π)

∫dτ |E|2.

b. Determine o momento magnetico do eletron girando calculando o potencial vetorial e a inducaomagnetica. Utilize as simetrias do problema e, calculando os integrais sobre angulos, so use asrelacoes de ortonormalizacao das funcoes esfericas harmonicas.Ajuda: A densidade de corrente de uma distribuicao de carga movida e j(r) = ρ(r)~v(r). Devidoa simetria do problema, segue imediatamente, que j(r) so pode ter uma componente φ. Deter-mine agora as componentes cartesianas de j e exprime estas por funcoes esfericas harmonicas.Calcule o potencial vetorial,

A(r) =1

c

∫d3r′

j(r′)|r− r′|

e utilize para isso a expansao do denominador por funcoes esfericas harmonicas. Calcule Ar, Aθe Aφ. Vide 4.5.4.20.


c. Use os resultados precedentes para calcular a velocidade angular ω e a velocidade orbital ne-cessarias para alcancar o valor especificado pela mecanica quantica para µ. Qual e a consequenciapara a velocidade na superfıcie do eletron? Onde fica a contradicao?

4.5.4.9 Ex: Dipolo magnetico (K2)

Um dipolo magnetico ~µ = µez fica na origem do sistema de coordenadas e tem o valor µ =1esu · cm. Este dipolo gera uma inducao magnetica da forma,

B(r) =3r(~µ · r)− r2~µ

r5.

a. Em qual distancia da origem o valor absoluto de B adota o valor 1 esu/cm2, indo (i) nadirecao z, (ii) na direcao x e (iii) na direcao da diagonal dentro do plano x− z?b. Em qual direcao mostra B nestes tres casos?

4.5.4.10 Ex: Momento magnetico dipolar de uma espira condutora retangular(T13)

Um laco condutor (ideal) retangular com comprimento das bordas a e b seja percorrido por umacorrente I.a. De a distribuicao de densidade de corrente j.b. Calcule o momento magnetico dipolar correspondente M.

4.5.4.11 Ex: Momento magnetico dipolar de uma espira retangular (H18)

O laco condutor retangular do Exc. ?? seja deformado no meio dos cantos (comprimento a)para formar um angulo reto (vide figura). Ele seja percorrido por uma corrente I. Calcule omomento magnetico dipolar desta geometria.

4.5.4.12 Ex: Forca sobre as paredes de um cilindro oco (H16)

Considere uma camada cilındrica infinitamente longa de raio a dentro da qual corre uma corrente.A forca magnetica sobre este cilindro oco e tal, que tenta comprimir o cilindro. Para contrariaresta forca, podemos encher o interior do cilindro com um gas de pressao P . Qual e a pressaonecessaria para equilibrar a forca magnetica?

4.5.4.13 Ex: Bobina infinitamente densa (H17)

Uma bobina com N espiras enroladas de maneira ”infinitamente densa”e percorrida por umacorrente I. Ela forma a respeito do eixo z um toroide com simetria rotacional com um raiointerior b− a e um raio exterior b+ a. A figura mostra a area transversal de um corte no planoperpendicular ao plano xy. a. Calcule explorando a geometria deste dispositivo em coordenadascilındricas (ρ, φ, z) a componente φ da inducao magnetica B no plano xy (isto e, para z = 0)em funcao da distancia ρ a partir da origem do sistema de coordenadas. Ajuda: Use a lei deStokes.b. Qual e o valor da componente φ de B no espaco inteiro fora do toroide (isto e, tambem paraz 6= 0).c. Desenhe o perfil de Bφ(ρ) no plano z = 0 em funcao de ρ.d. Seja a = 1 cm. Qual deve ser o valor de b em 1. aproximacao, para que Bφ no toroide sejaconstante dentro de 1%? Ajuda: (1± ε)−1 ≈ 1∓ ε.

4.5. EXERCICIOS 147

4.5.4.14 Ex: Campo magnetico num espaco oco cilındrico (H15 ou H24)

Em um cilindro massivo condutor e infinitamente longo de raio a tem, paralelo ao eixo docilindro e em uma distancia d dela, um espaco oco tambem cilındrico de raio b (d + b < a).A densidade de corrente dentro deste cilindro metalico perfurado seja homogenea e orientadaparalelamente ao eixo de simetria do cilindro massivo (eixo z). Usando a lei de Ampere e oprincıpio da superposicao linear determine o valor absoluto e a orientacao do campo magneticodentro do furo.

4.5.4.15 Ex: Torque de um cilindro condutor (H28)

Determine o torque (por unidade de comprimento) sentido por um cilindro condutor massivocom raio R, que gira lentamente com velocidade angular ω constante em torno em um campoB homogeneo em torno do seu eixo. B seja ortogonal ao eixo do cilindro.

4.5.4.16 Ex: Aneis girantes (K4)

Considere dois aneis concentricos ”infinitamente finos”com os raios a e b (a < b). Os aneis sejamno plano xy e o seu centro comum seja na origem. Sobre o anel interior tem, homogeneamentedistribuıda (isto e, com densidade de carga linear constante), a carga +q, e sobre o anel exteriora carga −q.a. Escreve a densidade de carga ρ(r) = ρ(r, φ, z) em coordenadas cilındrica.b. Agora, o dispositivo inteiro gira com velocidade angular constante ω em torno de eixo desimetria z. Determine a densidade de corrente resultante j(r) = j(r, φ, z) tambem em coordena-das cilındricas.c. Quais sao as componentes cartesianas da densidade de corrente j?d. Calcule o momento magnetico dipolar m do dispositivo girante.

4.5.4.17 Ex: Modelo atomico de Rutherford

No modelo do atomo ”classico”de Rutherford um atomo de hidrogenio e descrito por um eletron(carga −e) orbitando em uma trajetoria circular com velocidade angular constante ω um nucleo(carga +e). A condicao de equilıbrio e escolhida de maneira, que a forca de Coulomb e a forcacentrifuga se compensam. No entanto, seguinte o Exc. ??, um tal eletron representa uma fontede radiacao. A potencia radiada diminuı a energia do eletron (dE/dt = −I com I do Exc. ??(c)).Derive uma equacao diferencial para a variacao temporal do raio R(t) da orbita do eletron eintegre-a com as condicoes de contorno t0 = 0 e R(t0) = aB, onde aB = 0.53× 10−8 cm e o raiode Bohr. Depois de qual tempo T temos R(T ) = 0?

4.5.4.18 Ex: Campo magnetico dentro de um tubo de corrente

Um tubo condutor oco com camada fina seja percorrido por uma corrente ao longo do eixo desimetria. A corrente seja uniformemente distribuıda. Calcule a o campo magnetico dentro efora de um de correntea. a partir da lei de Ampere eb. a partir da lei de Biot-Savart.


4.5.4.19 Ex: Inducao magnetica no condutor oco (T14)

Um condutor (ideal e infinitamente fino) seja em cima do eixo z e percorrido por uma corrente Iem direcao +z. Este condutor seja encerrado por um cilindro oco condutor com raio R, dentrodo qual corre, homogeneamente distribuıdo, uma corrente total I em direcao oposta −z (cabocoaxial). Calcule a inducao magnetica dentro e fora deste dispositivo.

4.5.4.20 Ex: Anel de corrente (H19)

Um anel de corrente (ideal) no plano x − y com raio a e centro na origem seja percorrido poruma corrente I. Em coordenadas esfericas a densidade de corrente e dada por,

j(r) = j(r, θ, φ) =I

aδ(cos θ)δ(r − a)eφ .

Para |r| a o potencial correspondente entao tem a forma,

A(r) = A(r, θ, φ) =Iπa2

cr2sin θeφ .

e para a inducao magnetica vale,

B(r) = B(r, θ, φ) =Iπa2

cr3(2 cos θer + sin θeθ) .

onde er, eθ e eφ sao os versores em direcao r, θ e φ.a. Calcule as componentes cartesianas de j(r).b. Calcule as componentes cartesianas do momento magnetico dipolar M usando a formula,

M =1

2c

∫d3r′(r′ × j(r′)) .

c. Quais sao as componentes de M em direcao r, θ e φ.d. Mostre com a ajuda de (c), que a inducao magnetica num ponto r da superfıcie arbitrariopode ser escrito,

B(r) =3er(M · er)−M

r3.

e. Calcule as componentes cartesianas da inducao magnetica e verifique com a ajuda de (b), quetambem em coordenadas cartesianas,

B(r) =3r(M · r)− r2M

r5.

4.5.4.21 Ex: Campo magnetico de uma bobina longe (T18)

Determine o campo magnetico H no interior de uma bobina muito longa percorrida de corrente.O numero de espiras seja n, o comprimento da bobina l, o seu raio a e a amplitude da correnteI. Como muda o campo magnetico, se a bobina tem um nucleo de ferro com a permeabilidadeµ?

4.5. EXERCICIOS 149

4.5.4.22 Ex: Campo dipolar blindado (H23)

O campo magnetico de um dipolo seja blindado por uma esfera oca (raio interior a, raio exteriorb) feita de um material com a permeabilidade µ. O dipolo PM seja no centro da esfera e mostreem direcao z.a. Mostre, que o campo magnetico H no espaco inteiro pode ser escrito como gradiente negativode um potencial ΦM (r).b. Mostre, que este potencial magnetico satisfaz no espaco inteiro a equacao de Laplace,4ΦM (r) =0.c. Para resolver esta equacao de Laplace, faz o seguinte ansatz de separacao das variaveis,

Φ(i)M (r, θφ) =

∞∑

l=0

+l∑

m=−l

4π

2l + 1

[β

(i)lmr

l + γ(i)lm

1

rl+1

]Ylm(θ, φ) .

onde os β(i)lm e γ

(i)lm sejam constantes e i = I, II, II denotam as diferentes regioes (I : 0 ≤ r <

a , II : a ≤ r ≤ b , III : b < r). Quais sao as consequencias para os β(i)lm e γ

(i)lm devido ao fato,

que ΦM

1. e, na origem, o potencial de um campo dipolar puro PM?2. e cilindricamente simetrico a respeito do eixo z?3. desaparece no infinito?d. Nas interfaces entre as diferentes regioes a componente normal da inducao magnetica Be a componente tangencial do campo magnetico H sao contınuas. Utilize estas condicoes

para estabelecer um sistema de equacoes para os coeficientes β(i)lm e γ

(i)lm, usando gradrΦM =

∂ΦM∂r , gradθΦM = 1

r∂ΦM∂θ , ∂Y10

∂θ =√

2l+14π P 1

l (cos θ), bem como as relacoes de ortogonalidade∫dΩY ∗l0(Ω)Yl′0(Ω) = δll′ e

∫ +1−1 dxP

1l (x)P 1

l′ (x) = δll′2

2l+1(l+1)!(l−1)! .

e. Resolve os sistema de equacoes primeiramente para o caso l 6= 1.f. Resolve os sistema de equacoes para l = 1.g. Qual e a aparencia do campo magnetico fora da esfera para µ 1?

Capıtulo 5

Propriedades magneticas da materia

5.1 Magnetizacao

As manifestacoes mais conhecidas do magnetismo sao certamente imas, agulhas de bussolas eo campo magnetico da Terra, e nao e obvia a relacao com os campos magneticos produzidospor correntes discutidos no capıtulo anterior. Nao obstante, todos os fenomenos eletricos saoultimamente devidas a correntes, mesmo que elas sejam microscopicas, por exemplo, orbitas deeletrons em torno de nucleos atomicos ou girando em torno do seu proprio eixo. Do ponto de vistamacroscopico podemos tratar estes correntes circulares como dipolos magneticos. Geralmente,os dipolos de um meio tem orientacoes aleatorias, tal que os campos magneticos produzidos secancelam. No entanto, quando aplicamos um campo magnetico exterior, os dipolos podem serealinhar e magnetizar o meio.

Existem varias manifestacoes macroscopicas dos momentos dipolares microscopicos conheci-das como para-, dia- e ferromagnetismo. Discutiremos estas nos capıtulos seguintes.

5.1.1 Energia de dipolos permanentes e o paramagnetismo

Figura 5.1: (a) Ilustracao do torque exercido por um campo magnetico sobre um dipolomagnetico. (b) Um eletron girando em torno de um nucleo pode ter momento angular orbi-tal e intrınseco. (c) Momentos dipolares se adicionam de maneira vetorial.

Consideramos espiras de corrente de forma retangular 1. No caso da geometria exibida naFig. 5.1(a) as forcas agindo sobre as bordas a se cancelam, pois os pontos de acao ficam numalinha. Do outro lado, as forcas agindo sobre as bordas b,

F± = ±Ib×B = ±IbBey , (5.1)

contribuem a criar um torque,

~τ = a2 × F+ + −a

2 −×F− = IBba× ey = IabBex sin θ , (5.2)

Com a definicao do momento magnetico (4.42) achamos,

~τ = m×B . (5.3)

1Formas arbitrarias podem ser construıdas por matrizes de espiras retangulares.

151

152 CAPITULO 5. PROPRIEDADES MAGNETICAS DA MATERIA

Podemos tambem calcular a energia de um dipolo num campo magnetico pelo trabalhonecessario para girar ele a partir da sua posicao de repouso,

Hint =

∫ θ

0~τ · dθ =

∫ θ

0m×Bdθ =

∫ θ

0mB sin θdθ = −mB cos θ , (5.4)

tal que,

Hint = −m ·B . (5.5)

A formula (5.3) vale para campos magneticos homogeneos ou, entao, para dipolos quase puntifor-mes em campos inomogeneos. Ela representa o equivalente magnetico do torque sobre dipoloseletricos (3.4). O torque e dirigido de maneira a alinhar o momento dipolar em direcao docampo magnetico. Este mecanismo e utilizado para explicar o fenomeno do paramagnetismo[vide Fig. 5.3(a)].

Em fısica atomica aprendemos, que os eletrons ligados a atomos podem ter, alem do momentoangular orbital devido ao movimento tipo planetario em torno do nucleo atomico, um momentoangular intrınseco chamado de spin como se o eletron fosse uma pequena esfera de carga girandoem torno do seu proprio eixo [vide ilustracao da Fig. 5.1(b)]. Os spins dos varios eletrons dacamada eletronica de um atomo geralmente se acoplam para formar um momento dipolar total,que interage com o campo magnetico externo. Este e o chamado efeito Zeeman. Os spins podemse emparelhar e se compensar em pares de maneira a zerar o momento magnetico dipolar doatomo [vide ilustracao da Fig. 5.1(c)]. Note que um campo magnetico externo forte pode quebraro acoplamento de maneira a interagir separadamente com os spins dos eletrons isso e chamadode efeito de Paschen-Back.

O paramagnetismo e observado em materiais com componentes tendo momentos magneticosdipolares permanentes, isto e, em elementos quımicos com eletrons de valencia desemparelhados.Nao e observado em gases nobres, cristais covalentes, etc., mas em solidos com eletrons isoladosem subcamadas internas.

Diferentemente do torque, a forca exercida por um campo homogeneo sobre um dipolo zera,

F = I

∮dl×B = I

(∮dl

)×B = 0 . (5.6)

Para campos inomogeneos precisamos calcular a forca a partir do gradiente da energia como,

F = −∇Hint = ∇(m ·B) = m× (∇×B) + (m · ∇)B = (m · ∇)B . (5.7)

Esta formula pode ser obtida por expansao de Taylor do campo magnetico (vide Exc. 5.5.1.1).

Figura 5.2: Ilustracao da forca exercida por um campo magnetico inomogeneo sobre um dipolomagnetico: Se o dipolo e orientado na mesma direcao, ele e atraıdo para o maximo do campo,se ele e anti-paralelo, ele e repelido.

5.1. MAGNETIZACAO 153

5.1.2 Impacto do campo magnetico sobre orbitas eletronicas e o diamagne-tismo

Um campo magnetico pode ter um outro efeito sobre o movimento de um eletron. Consideramosum eletron girando numa orbita circular de raio R. Se o movimento do eletron e rapido, apareceuma corrente,

I =−eT

=−ev2πR

, (5.8)

criando um momento dipolar,

m = IA =−eTπR2ez =

−e2vRez . (5.9)

Agora, a orbita do eletron pode ser, por exemplo, um orbital atomico ou uma trajetoria de umeletron livre num condutor. O magnetismo de um gas de eletrons livres num metal e tratado pelateoria do diamagnetismo de Landau. Nesta teoria consideramos, que as trajetorias dos eletronssao curvadas pela forca de Lorentz o que, devido a regra de Lenz, cria um campo contrarioao campo magnetico aplicado. Isto e, o fluxo magnetico e expelido do material. Em camposmagneticos inomogeneos, os materiais sao repelidos por altas amplitudes de campo 2.

Figura 5.3: Interpretacao classica do paramagnetismo (a) e do diamagnetismo (b): No para-magnetismo, os dipolos permanentes se reorientam na direcao do campo exterior. Em camposinomogeneos, os dipolos sao atraıdos para o maximo. No diamagnetismo, correntes sao forcadasem orbitas circulares e os dipolos assim induzidos sao orientados em direcao oposta ao campoexterior. Em campos inomogeneos, os dipolos sao repelidos do maximo.

O caso do orbital atomico e tratado pela teoria do diamagnetismo de Langevin. Nesta teoriaconsideramos orbitais de Bohr de eletrons ligados a um nucleo pela forca de Coulomb. Empresencia de um campo magnetico externo o dipolo sente um torque, mas alem disso, o campotem o efeito de acelerar ou desacelerar o eletron dependendo da sua orientacao. Para estimareste efeito consideramos a condicao de equilıbrio da orbita do eletron,

FC =1

4πε0

e2

R2= me

v2

R= Fcentrifuga . (5.10)

Adicionando um campo magnetico orientado ao longo do eixo de rotacao 3,

FC + FL =1

4πε0

e2

R2+ ev′∆B = me

v′2

R= Fcentrifuga . (5.11)

Subtraindo estas equacoes,

ev′∆B =me

R(v′2 − v2) =

me

R(v′ − v)(v′ + v) ' 2me

Rv′∆v , (5.12)

2Note, que alguns metais podem ser fracamente paramagneticos devido a um efeito chamado de paramagnetismode Pauli.

3No exercıcio 5.5.1.2 mostramos, que o raio da orbita eletronica nao muda.


tal que

∆v =eR∆B

2me. (5.13)

A aceleracao do eletron, quando ligamos o campo magnetico, aumenta o valor do momentodipolar, pois com a formula (5.9),

∆m =−e2

∆vRez = −e2R2

4me∆B . (5.14)

Mas a mudanca e sempre contraria a direcao do campo magnetico, mesmo se o momentodipolar fosse inicialmente alinhado ao campo [vide Fig. 5.3(b)] 4. Portanto, o dipolo e repelidopor um campo magnetico inomogeneo. Note, que trocando o sinal da carga nao afeta ∆m.

O diamagnetismo e uma propriedade de todos os materiais, mas frequentemente e escondidopela presenca de momentos magneticos permanentes. Portanto, para observar diamagnetismo,e preciso escolher materiais sem momento magnetico permanente, como atomos com camadaseletronicas fechadas. Muitos materiais amorfos (como madeira, vidro, borracha, etc..) e muitosmetais se comportam se maneira diamagnetica.

Vale ressaltar, que o comportamento magnetico de um corpo macroscopico nao e neces-sariamente o mesmo como aquele da partıcula elementar. Por exemplo, o sodio metalico ediamagnetico enquanto o sodio gasoso e paramagnetico.

paramagnetismo diamagnetismo

atomos com e− desemparelhados atomos com e− emparelhados

m robusto e independe de B m fraco e m ∝ B

M ‖ B y forca atrativa M ‖ −B y forca repulsiva

µ > 1 y χ > 0 µ < 1 y χ < 0

Tambem e importante notar, que aspectos essenciais do para- e o diamagnetismo atomicosao quanticos. Isto e, teorias quantitativas devem ser formuladas dentro da mecanica quantica.Uma teoria classica so pode dar uma estimativa do qualitativa do efeito.

5.1.3 Magnetizacao macroscopica

Na presencia de um campo magnetico, a materia fica magnetizada, isto e, os dipolos atomicos oumoleculares sao alinhados em uma direcao particular. Ja discutimos dois mecanismos possıveiscausando esta reorientacao, o para- e o diamagnetismo. Independentemente do mecanismomedimos o grau de orientacao pela grandeza vetorial,

M =Nm

V. (5.15)

chamada de magnetizacao. Ela tem a mesma funcao como a polarizacao da eletrostatica. Naseguinte secao calcularemos a partir de uma dada magnetizacao M o campo que ela produz.

Na maioria dos materiais o diamagnetismo e o paramagnetismo sao efeitos muito fracos eso podem ser detectados por medidas sensıveis e campos magneticos fortes. A fraqueza da

4Se a distribuicao de carga esfericamente simetrica, podemos supor 〈x2〉 = 〈y2〉 = 〈z2〉 = 13〈r2〉, onde 〈r2〉 e a

distancia media entre o eletron e o nucleo. Portanto, 〈R2〉 = 〈x2〉 + 〈y2〉 = 23〈r2〉. Se N e o numero de atomos

por unidade de volume, temos χ = µ0NmB

= −µ0NZe2

6m〈r2〉.


magnetizacao permite desprezar o campo produzido por magnetizacao em materiais nao ferro-magneticos. Em contraste, nos materiais ferro, nıquel ou cobalto as forcas sao entre 104 e 105

maiores.

5.1.4 Campo magnetostatico de um material magnetizado

Consideramos uma amostra de dipolos magneticos. De acordo com a formula (4.42), o potencialvetor e dado por,

A(r) =µ0

4π

∑

k

m× (r− r′)|r− r′|3 −→ µ0

4π

∫

VdV ′

M× (r− r′)|r− r′|3 , (5.16)

introduzindo a distribuicao de momento dipolar M(r′) por mk → MdV ′. Como no caso ele-trostatico podemos, reescrever a integral na forma,

A(r) =µ0

4π

∫

VM(r′)×∇′ 1

|r− r′|dV′ =

µ0

4π

[−∫

V∇′ × M(r′)

|r− r′|dV′ +∫

V

1

|r− r′|∇′ ×M(r′)dV ′

]

=µ0

4π

∮

∂V

M(r′)× dS′|r− r′| +

µ0

4π

∫

V

1

|r− r′|∇′ ×M(r′)dV ′ . (5.17)

Comparando estes termos com a formula (4.27), achamos que o primeiro termo parece umpotencial de uma corrente de superfıcie, enquanto o segundo parece um potencial de uma correntede volume. Definindo,

~κb ≡M× nS e jb ≡ ∇×M , (5.18)

obtemos

A(r) =µ0

4π

∮

∂V

~κb|r− r′|dS

′ +µ0

4π

∫

V

jb|r− r′|dV

′ . (5.19)

O significado deste resultado e, que o potencial (e portanto o campo tambem) de um objetomagnetizado e o mesmo como aquele produzido por uma distribuicao de corrente de volume jbmais uma distribuicao de superfıcie ~κb. Em vez de integrar as contribuicoes de todos os dipolosinfinitesimais individuais, como na Eq. (5.17), podemos tentar encontrar estas correntes ligadas,e depois calcular os campos que elas produzem como ja fizemos no capıtulo anterior.

5.1.5 O campo H

Na secao anterior achamos, que o efeito da magnetizacao pode ser entendido como sendo pro-duzido por correntes localizados dentro do material jb = ∇ × M e na superfıcie do corpo~κb = M × nS . O campo devido a magnetizacao e aquele produzido por estas correntes. Alemdisso, existem obviamente correntes livres jf como, por exemplo, aqueles gerados pelo movimentode eletrons livres num metal.

5.1.5.1 A lei de Ampere em materiais magnetizados

A lei de Ampere em meios arbitrarios agora se generaliza,

1µ0∇×B = j = jb + jf = ∇×M + jf , (5.20)

onde B agora e o campo magnetico total. Definindo um novo campo H, as vezes chamado deexcitacao magnetica,

H ≡ µ−10 B−M , (5.21)


podemos agora escrever,

∇×H = jf . (5.22)

O campo H e aquela parte que so vem de correntes livres. Tambem podemos definir asusceptibilidade magnetica χµ via 5,

M = χµH , (5.23)

ou a permeabilidade µ via

B = µH = µ0(1 + χµ)H . (5.24)

Note, que a divergencia da magnetizacao nao necessariamente zera, pois a susceptibilidadepode depender da posicao, χµ − χµ(r),

∇ ·H = µ−10 ∇ ·B−∇ ·M = −∇ · (χµH) 6= 0 . (5.25)

Por isso, H geralmente nao pode ser derivado de um potencial vetor, e lei de Biot-Savartnao vale para H. Em materiais anisotropicos a susceptibilidade e a permeabilidade devem serentendidas como tensores.

5.1.5.2 Condicoes de contorno envolvendo materiais magneticos

A Eq. (5.25),∮

H · dS = −∮

M · dS, permite determinar o comportamento do deslocamentoeletrico perto de interfaces,

H⊥cima −H⊥baixo = −M⊥cima +M⊥baixo . (5.26)

Do outro lado, a lei de Ampere ∇×H = jf da,

H‖cima −H

‖baixo = ~κf × n . (5.27)

Isto e em contraste com o comportamento do campo magnetico em interfaces (4.30), (4.32) e(4.34). Faz os Excs. 5.5.1.7 ate 5.5.1.9.

5.1.6 Susceptibilidade magnetica e permeabilidade

Materiais respondem a campos magneticos aplicados H gerando uma magnetizacao M, tal quea inducao magnetica total e B = µ0H +µ0M. As varias maneiras como o material se comportadepende do valor da susceptibilidade. No vacuo χ = 0, para diamagnetos tıpicos χ . 0, parasupercondutores χ = −1, para paramagnetos χ & 0 e para ferromagnetos χ 1.

Valores tıpicos sao listados na seguinte tabela:

5note, que esta definicao nao e simetrica com aquela da susceptibilidade eletrica (3.20).


material χµ[10−5] tipo do magnetısmo

supercondutor −105 dia-

carbonio −2.1 Langevin dia-

cobre −1 Landau dia-

agua −0.9 Langevin dia-

hidrogenio −0.00022 Langevin dia-

oxigenio (gas) 0.2 para-

sodio (metal) 0.7 Pauli para-

magnesio 1.2 Pauli para-

lıtio 1.4 Pauli para-

cesio 5.1 Pauli para-

platino 28

oxigenio (lıquid) 390

gadolınio 48000 ferro-

ferro ferro-

5.1.6.1 Meios lineares

Para muitos materiais, quando o campo magnetico aplicado nao e forte demais, a magnetizacaoe proporcional ao campo, M ∝ B, isto e, a susceptibilidade magnetica depende das propriedadesmicroscopicas do material e de fatores externos como a temperatura, mas ao do campo, χµ 6=χµ(B). Assim, meios lineares podem ser caraterizados por uma constante,

µr ≡µ

µ0, (5.28)

chamada de permeabilidade relativa.

5.1.6.2 O papel da temperatura no paramagnetismo

Observa-se que, em campos magneticos inomogeneos, materiais paramagneticos sao atraıdos emdirecao de altos campos, mas com uma forca que diminuı com a temperatura. Isto e entendidopelo efeito Zeeman: O momento dipolar so pode existir em poucos valores possıveis (quanti-zados). Estes nıveis correspondem a energias bem-definidas (chamadas de subnıveis Zeeman).Em alta temperatura todos os subnıveis Zeeman sao igualmente populados, tal que a forca to-tal cancela. Em temperatura baixa as populacoes sao distribuıdas seguinte a lei de Boltzmannnk/nl = e−(Ek−El)/kBT , isto e, os nıveis mais baixos (que sao justamente os buscadores de campoalto) dominam.

Exemplo 46 (Paramagnetismo de amostras quentes): Como exemplo, consideramosatomos com duas orientacoes possıveis para o momento magnetico permanente, m · B =±mB. A magnetizacao produzida por n = n+ + n− atomos agora e M = n+m+ + n−m−.


As duas orientacoes sao populadas de acordo com a lei de Boltzmann n+/n− = e−2mB/kBT ,tal que,

M

n=emB/kBT − e−mB/kBTemB/kBT + e−mB/kBT

m ' mB

kBTm .

Para campos fracos, obtemos de lei de Curie,

χµ =M

H' nm2B

kBTH' µ0nm

2

kBT∼ T−1 .

Para campos fortes, a magnetizacao satura. Assumindo m ' µB (Vide Exc. 5.5.1.4), esti-

mamos para um metal com n ≈ 1022 cm−3 em temperatura ambiente, χµ ≈ 2.6× 10−4 6.

5.1.6.3 Ferromagnetismo

Em um meio linear o alinhamento dos dipolos magneticos e garantido pela aplicacao de umcampo exterior. Existem, no entanto, materiais magneticos que nao dependem de camposaplicados. Este fenomeno de magnetizacao ’congelada’ e chamado de ferromagnetismo. Comono caso do para magnetismo, ferromagnetos desenvolvem dipolos associados a spins de eletronsdesemparelhados, so que alem disso os dipolos interagem fortemente e, por uma razao quesomente pode ser dentro de uma teoria quantica, gostam de se orientar paralelamente 7

A correlacao e tao forte, que dentro de regioes chamadas de domınios de Weiss quase 100%dos dipolos sao alinhados. Do outro lado, um bloco de material ferromagnetico consiste demuitos domınios, cada um tendo uma magnetizacao apontando numa direcao aleatoria, tal queo bloco visto como um todo nao exibe magnetizacao macroscopica. No interior de um domıniode Weiss a magnetizacao e tao forte, que mesmo um campo magnetico exterior forte nao podeinfluenciar o alinhamento. Do outro lado, no limite entre domınios de Weiss o alinhamento naoe bem definido, tal que o campo exterior pode exercer um torque τ = m × B deslocando aslimites de maneira a favorecer aqueles domınios ja alinhados. Para um campo suficientementeforte um domınio prevalecera e o material ferromagnetico satura.

Observa-se, que o alinhamento nao e inteiramente reversıvel, isto e, nao todos os domıniosde Weiss voltam para orientacao inicial (sem campo aplicado). Por consequencia, o material ficapermanentemente magnetizado. Este efeito e chamado de remanencia.

Para compensar a remanencia e necessario aplicar um campo em direcao oposta (videFig. 5.4) 8. Ultrapassando este ponto observamos saturacao na direcao contraria. Finalmente,voltando para situacao inicial, tracejamos uma curva chamada de curva de histerese, que indicaque a magnetizacao nao so depende do campo magnetico aplicado, mas tambem da ”histo-ria”de campos aplicados. A Fig. 5.4 mostra como um campo aplicado pode ser dramaticamenteamplificado por ferromagnetismo.

6Em metais os eletrons livres contribuem ao paramagnetismo. Em metais a lei de Curie nao se aplica, mas χse encontra sendo quase constante. A razao e, que a distribuicao de Boltzmann e inapropriada, mas precisamosusar a distribuicao de Fermi. A distribuicao de energia ρ(ε)nFD(ε) dos eletrons depende da orientacao a respeitodo campo magnetico aplicado: Aqueles eletrons orientados anti-/paralelo tem a sua energia reduzida/aumentada.Para manter um EF uniforme, eletrons com spin paralelo se mudam para spin antiparalelo, tal que o sistemainteiro fica levemente high-field seeking. Isto e chamado de paramagnetismo de Pauli. Este efeito sempre competecom a resposta diamagnetica, que envolve todos os eletrons e tem sinal oposto.

7A sobrevivencia de domınios em reservatorios termicos nao pode ser entendida por interacoes classicas entredipolos. Devemos contemplar um modelo de estrutura de bandas, em particular, as bandas do orbital 3d fornecemeletrons para os elementos ferromagneticos Fe, Co, Ni. Estas bandas sao tao proximas, que a interacao de troca(exchange interaction) influencia as orientacoes dos spins em bandas vizinhas. Isto induz correlacoes entre spinsde atomos vizinhos.

8Em pratica, para desmagnetizar um bloco de ferro aplicamos uma tensao alternada gradualmente reduzindoa sua amplitude.

5.2. INDUCAO DE CORRENTES E INDUTANCIA 159

Figura 5.4: Curva de histerese da magnetizacao. Para comparar as escalas plotamos em unidadesreais (Tesla) o campo aplicado (H ∝ I no caso de um solenoide) versus o campo obtido (B 'M).

Como ja discutido, a temperatura tem a tendencia de randomizar o alinhamento dos dipolosatomicos. Para temperatura baixa o calor nao sera suficiente para desalinhar os dipolos dentrodos domınios de Weiss. E interessante que, ultrapassado uma temperatura bem definida (atemperatura de Curie do ferro e 770 C), o ferro faz uma transicao de fase abrupta para umestado paramagnetico.

Note, que tambem existem materiais antiferromagneticos (MnO2), onde os atomos vizinhostem spins antiparalelos.

5.2 Inducao de correntes e indutancia

Ja vimos que a causa fundamental de uma corrente j e o movimento de cargas Q [vide Eq. (3.34)].Para incitar cargas a mover precisamos de uma forca,

j = ςF

Q, (5.29)

onde ς e um fator de proporcionalidade chamado de condutividade e F e a forca de Coulomb-Lorentz, tal que,

j = ς(E + v ×B) . (5.30)

A primeira parte, j = ςE, e a lei de Ohm ja discutida na Sec. 3.3. Agora, embora de tomar emconta da forca de Coulomb agindo sobre eletrons viajando em condutores vamos considerar aforca de Lorentz.

5.2.1 A forca eletromotriz

Considerando um circuito eletrico fechado com fonte de corrente e consumidor, conhecendo alentidao da velocidade media dos eletrons carregando a corrente (vide Exc. ??), nao e imediata-mente obvio, porque a corrente pode comecar a correr simultaneamente em todos as partes docircuito. A explicacao e que, se isso nao fosse o caso, cargas deveriam se acumular em partes docircuito criando um desequilıbrio local. A consequencia disso e a criacao de um campo eletricotrabalhando para eliminar o desequilıbrio. Este campo E se adiciona a forca eletromotriz f0

exercida pela fonte de corrente. Se a fonte tem uma resistencia interna, como esquematizado naFig. 5.5(a), parte da forca eletromotriz fi e gastada nela,

fi = f0 + E . (5.31)


Figura 5.5: (a) Forca eletromotriz f0 de uma qualquer fonte de tensao, forca fi gastada naresistencia interna da fonte e forca eletrostatica E no circuito. (b) Forca eletromotriz f0 geradapelo movimento de uma parte do circuito dentro de um campo magnetico.

No caso de uma fonte ideal, fi = 0, a integral de linha ao longo do circuito,

E ≡∫ −

+f0 · dl = −

∫ −

+E · dl = U , (5.32)

e igual a tensao.A forca eletromotriz pode ser causada por baterias, fotocelulas, geradores, etc.. No caso do

gerador, a forca eletromotriz e a forca de Lorentz agindo sobre cargas livres de um condutormovimentado dentro de um campo magnetico aplicado. Imaginamos, e esquema ilustrado naFig. 5.5(b). Quando a parte do condutor entre os pontos A e B (comprimento h) e movida paradireita com a velocidade v dentro do campo magnetico B, as cargas positivas sao aceleradaspara cima, como no caso do efeito Hall. Obtemos uma forca eletromotriz,

E ≡∮

fL · dl = hvB , (5.33)

que age como uma fonte de tensao. Claro que nao e o campo magnetico atraves da forcade Lorentz que exerce o trabalho, mas a pessoa empurrando o condutor: Chamando de u avelocidade ao longo do condutor adquirida pelas cargas aceleradas, esta velocidade cria dentrodo campo magnetico uma forca eletromotriz u × B ao encontro do movimento do condutorexercendo o trabalho por unidade de carga,

∫fpull · dlw = −

∫(u×B) · dlw =

∫uBex · dlw =

∫ h

0

v

tan θB cos(90 − θ) dh

cos θ= hvB = E .

(5.34)Achamos, que o trabalho exercido por unidade de carga exatamente compensa a forca eletromo-triz.

Aplicando a definicao do fluxo magnetico (4.12) a situacao ilustrada na Fig. 5.5(b),

ΨM =

∫B · dS = Bhx , (5.35)

podemos reformular a Eq. (5.33),

hBv = −hBx = −dΨM

dt= E . (5.36)

Entao a variacao temporal do fluxo magnetico induz uma forca eletromotriz contraria. Isso econhecido como regra de Lenz.

5.2. INDUCAO DE CORRENTES E INDUTANCIA 161

5.2.2 A lei de Faraday-Lenz

Em uma serie de experimentos Michael Faraday demonstrou que a relacao (5.36) pode sergeneralizada para qualquer geometria do circuito imerso no campo magnetico, velocidade domovimento e ate para geometrias variando temporalmente. As aplicacoes deste efeito sao inu-meraveis, vide Excs. 5.5.4.14 ate 5.5.4.14. Relacionando a forca eletromotriz de uma lado coma criacao de uma tensao (5.32), E =

∮E · dl, e do outro lado com a variacao do fluxo (5.36),

E = −dΨMdt , podemos escrever,

∮E · dl = − ∂

∂t

∫B · dS . (5.37)

Na versao diferencial temos,

∇×E = −∂B∂t

. (5.38)

Note, que na ausencia de variacoes temporais do campo magnetico reencontramos a eletrostatica,∇×E = 0.

5.2.2.1 Indutancia mutua

Figura 5.6: Inducao.

Aqui consideramos duas espiras de formas arbitrarias. A primeira carrega a corrente I1 eproduz um campo magnetico, que podemos calcular, por exemplo, pela lei de Biot-Savart,

B1 =µ0I1

4π

∮dl1 × (r− r′)|r− r′|3 . (5.39)

A parte do fluxo magnetico passando pela segunda espira e,

ΨM2 =

∫B1 · dS2 ≡M21I1 , (5.40)

onde M21 e uma constante que so depende da geometria das duas espiras. Ela se chama in-dutancia mutua e pode ser exprimida como

M21 =1

I1

∫∇×A1 · dS2 =

1

I1

∮A1 · dl2 (5.41)

=1

I1

∮ (µ0I1

4π

∮dl1|r− r′|

)· dl2 =

µ0

4π

∮ ∮dl1 · dl2|r− r′| .


A simetria desta formula sugere,

M21 = M12 = M . (5.42)

Podemos largar os ındices e chamar as duas constantes de M . A conclusao disso e, que inde-pendentemente das formas e posicoes das espiras, o fluxo atraves da espira 2 quando jogamosuma corrente I na espira 1 e identico ao fluxo atraves de 1 quando jogamos a mesma correnteI em 2,

I1 = I2 = I =⇒∫

B1 · dS2 =

∫B2 · dS1 . (5.43)

Exemplo 47 (Dınamo): Consideramos um bobina rotatoria colocada em movimento poruma manivela dentro de um campo magnetico como mostra a figura. A tensao gastada noresistor e,

U =

∮E · dl = − d

dtΨM = − d

dt

∫B · dA = − d

dtBA cosωt = ωBA sinωt .

Figura 5.7: Esquema de um gerador de tensao alternada (ou dınamo).

5.2.2.2 Auto-indutancia

O fluxo magnetico produzido pela corrente na espira 1 nao somente atravessa a segunda espira,mas tambem a primeira espira mesmo. Portanto, cada variacao do fluxo tambem vai induziruma forca eletromotriz nesta espira 1,

ΨM1 = M11I1 ≡ LI1 , (5.44)

onde a constante L e chamada de autoindutancia. Com a lei de Lenz-Faraday,

E = −dΨM

dt= −LI . (5.45)

Exemplo 48 (Auto-indutancia de um solenoide): Consideramos o solenoide mostradona figura. Com a formula do exemplo 42 calculamos o fluxo magnetico,

ΨM =

∫B · dA = µI

N

lNπR2 .

Comparando com a formula (5.44), achamos a autoindutancia,

L = µN2

lπR2

5.3. A ENERGIA MAGNETOSTATICA 163

Figura 5.8: Esquema de um solenoide caracterizado por uma autoindutancia L.

5.3 A energia magnetostatica

Para calcular a energia magnetostatica vamos proceder da maneira seguinte: Vamos procuraruma expressao geral adivinhada por analogia com a energia eletrostatica, W = 1

2

∫%ΦdV , e

mostrar que, aplicada a uma espira esta expressao da o resultado certo. A formula analoga departida e,

W = 12

∫j ·AdV . (5.46)

5.3.1 Densidade de energia de um campo magnetostatico

A energia de uma distribuicao de corrente pode ser reescrita usando a a lei de Ampere,

W = 12µ0

∫(∇×B) ·AdV . (5.47)

Integracao por partes permite transferir a derivada de B para A,

W = 12µ0

[−∮

(A×B) · dS +

∫B · (∇×A)dV

]. (5.48)

A integral de superfıcie pode ser desprezada, pois podemos escolher o volume de integracao Varbitrariamente grande. Exprimindo o gradiente pelo campo,

W = 12µ0

∫B2dV = 1

2µ0

∫udV , (5.49)

introduzindo a densidade de energia,

u ≡ 12µ0

B2 . (5.50)

Pode parecer estranho, que precisamos de energia para construir um campo magnetico que,em torno nao pode exercer trabalho. No entanto, para construir este campo magnetico e ne-cessario variar ele, o que, seguinte a lei de Faraday induz um campo eletrico. Este campo, emtorno pode trabalhar. Inicialmente nao tem E e no fim tambem nao tem; mas entrementes,enquanto B esta se construindo, tem. O trabalho e feito ao encontro do campo E.

5.3.2 Indutancias e armazenamento de energia magnetostatica

Usando a formula da energia magnetostatica,

W = 12

∫j ·AdV = 1

2

∮I ·Adl = I

2

∮A · dl = I

2

∫(∇×A) · dS = I

2

∫B · dS = I

2ΨM . (5.51)


Finalmente, considerando uma bobina e usando a formula (5.44),

W = 12LI

2 , (5.52)

o que corresponde a potencia,dW

dt= −EI = LI

dI

dt. (5.53)

5.4 Corrente alternada

5.4.1 Oscilacoes eletromagneticas

Ja vimos que o capacitor de placa e o dispositivo mais basico para armazenar energia ele-trostatica num campo eletrico (homogeneo), enquanto o solenoide e o dispositivo mais basicopara armazenar energia magnetostatica num campo magnetico (homogeneo). Colocando umsolenoide com indutancia L e um capacitor com capacitancia C em um circuito eletrico obser-vamos achamos, que a energia eletrica pode ser convertida em energia magnetica e vice versade maneira analoga como energia potencial pode ser inter-convertida em energia cinetica numsistema de massa-mola. Isso pode gerar oscilacoes (eletromagneticas).

Exemplo 49 (Circuito oscilatorio): Consideramos primeiramente um circuito com umabobina e um capacitor em serie. A lei das malhas de Kirchhoff requer, Uind = UC , o que da,

−LdIdt

=Q

C

ouLI + C−1I = 0 .

Agora, consideramos um circuito com uma bateria, um interruptor, uma bobina e um resistorem serie. A lei das malhas de Kirchhoff requer, U0 = −Uind + UR = LI +RI, o que da,

dI

I − U0/R= −R

Ldt

com a solucao

I(t) =U0

R+

(I0 −

U0

R

)e−Rt/L ,

onde escolhemos a corrente inicial I0 = 0.

5.4.2 Circuitos de corrente alternada

Para discutir tensoes alternadas, consideramos o circuito mostrado na Fig. ?? alimentado poruma fonte de tensao, U(t) = U0e

iωt. Para facilitar as expressoes matematicas adotamos anotacao complexa. O objetivo e de calcular a corrente para os varios tipos de consumidores Zque ja conhecemos. No caso de uma resistencia ohmica temos,

I =U0

Reiωt =

U

R. (5.54)

Portanto,

Z =U

I= R . (5.55)

5.5. EXERCICIOS 165

No caso de uma capacitancia temos,

I = Q = CU0d

dteiωt = iωCU . (5.56)

Portanto,

Z =U

I=

1

iωC. (5.57)

No caso de uma indutancia temos,

I =

∫ t

0LU0e

iωtdt =U

iωL. (5.58)

Portanto,

Z =U

I= iωL . (5.59)

U 0

L R C

Figura 5.9: Circuito L-R-C alimentado por uma tensao alternada.

Estes resultados podem ser interpretados graficamente (plotando Im U versus Re U) ouanaliticamente substituindo i = eiπ/2. Para os tres casos obtemos,

R =U0e

iωt

I0eiωt+π/2, Lω =

U0eiωt

I0eiωt+iπ/2,

1

Cω=

U0eiωt

I0eiωt−iπ/2. (5.60)

Isso significa que, no caso da indutancia ou da capacitancia, a tensao nao esta em fase com acorrente, mas tem respectivamente um avanco ou um atraso de 90.

Em casos de combinacoes de resistencias e reatancias este deslocamento de fase fica maiscomplicado, mas pode ser calculado da maneira seguinte. Voltando para o circuito em serieL-R-C escrevemos da mesma maneira como antes,

Z =U

I= iLω +R+

1

iCω= |Z|eiφ . (5.61)

Portanto,

|Z| = ZZ∗ =

√R2 +

(Lω − 1

iCω

)2

e tanφ =sinφ

cosφ=Lω − 1

Cω

R. (5.62)

Ressonancia ocorre para ω = 1/√LC. Outras combinacoes possıveis de componentes sao trata-

das da mesma maneira.

5.5 Exercıcios

5.5.1 Propriedades magneticas da materia

5.5.1.1 Ex: Dipolo no campo inomogeneo

Derive a formula para forca sobre um dipolo no campo inomogeneo.


5.5.1.2 Ex: Diamagnetismo de Langevin

Um eletron circula em torno do seu nucleo atomico numa orbita de raio R.a. Calcule o momento dipolar magnetico gerado por este movimento em funcao da velocidade.b. Agora, um campo magnetico fraco B e lentamente ligado perpendicularmente ao plano daorbita. Calcule o aumento de velocidade do eletron devido ao campo eletrico induzido pelaligacao do campo magnetico usando a lei de Faraday.c. Mostre que o aumento da energia cinetica, ∆Ekin, corresponde a energia de interacao entre omomento dipolar do eletron e o campo magnetico.d. A ligacao do campo magnetico muda o raio da orbita eletronica? Justifique!

5.5.1.3 Ex: Susceptibilidade magnetica

Por magnetismo molecular e possıvel levantar quaisquer objetos em um campo magnetico su-ficientemente forte. Estime o campo magnetico |B| e o gradiente do campo ∇|B|2 (aproxi-mativamente vale ∇|B|2 = 2|B|∇|B| ' |B|2/l com l ' 10 cm como comprimento tıpico paratais campos magneticos fortes), necessario para levantar um sapo. Agua e predominantementediamagnetica com χµ ' −0.9 · 10−5 e a susceptibilidade magnetica de agua.

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5.5.1.4 Ex: Precessao de Larmor do atomo de Bohr num campo magnetico

Como modelo da precessao de Larmor considere o modelo do atomo de Bohr: Um eletron voa emtrajetorias circulares em torno de um proton. So certas orbitas discretas com os raios rn = n2aB,onde aB = 4πε0

~2mee2

, sao permitidos. O movimento do eletron nestas orbitas nao e acompa-nhando de emissao radiativa.a. Calcule a velocidade do eletron no seu estado fundamental n = 1 e compare o resultado coma velocidade da luz no vacuo c.b. Qual e o momento orbital L do eletron no atomo de hidrogenio neste estado?c. Relacione o momento magnetico mL devido a corrente circular gerado pelo eletron e o mo-mento orbital L do eletron.d. Colocado dentro de um campo magnetico de B = 1 T o atomo sofre um torque, que criauma precessao do vetor do momento angular L em torno da direcao do campo B. Determine afrequencia desta precessao de Larmor a partir de ωL = L/(L sin θ), onde θ e o angulo entre mL

e B. (~ = 1.034 · 10−34 Js, e = 1.602 · 10−19 C, ε0 = 8.854 · 10−8 )

5.5.1.5 Ex: Campo H de um fio de corrente cilındrico

Um fio cilındrico com raio a e permeabilidade µ seja percorrido por uma densidade de correntej constante.a. Calcule os valores absolutos e as direcoes dos campos H e B dentro e fora do fio usando a leide Stokes.

5.5. EXERCICIOS 167

b. O campo eletrico E dentro do fio e a corrente j sao conectados pela lei de Ohm j = σE, ondeσ e a condutividade eletrica. Quais sao o valor e a direcao do vetor de Poynting S na superfıciedo fio?c. Calcule o fluxo total de energia atravessando a superfıcie de um pedaco de fio de comprimentoL. Mostre que o fluxo de energia corresponde exatamente a potencia convertida, neste pedacode fio, em calor ohmico.Ajuda: A lei de conservacao de energia da eletrodinamica e dada por: −∂u

∂t = ∇·S+ j ·E, ondeu = 1

8π (E ·D + B ·H) e a densidade total de energia, S = c4π (E×H) o fluxo de energia e j ·E

o trabalho exercido pelo campo sobre a densidade de corrente eletrica.

5.5.1.6 Ex: Ferromagnetismo

a. Faz um esquema da dependencia da magnetizacao M de um material ferromagnetico da”excitacao”magnetica H com a condicao inicial M = H = 0 e deixando H percorrer o ciclo0→ Hmax → −Hmax → Hmax. Insere a magnetizacao remanente no esquema.b. Como muda a magnetizacao de um ferromagneto, quando esquentamos acima da temperaturade Curie TC? Como se comporta neste caso a susceptibilidade magnetica susceptibilidade χm?c. Explica a ordem dos momentos magneticos atomicos em ferro-, antiferro- e ferrimagnetos esua influencia sobre a magnetizacao.

5.5.1.7 Ex: Bobina toroidal retangular

Uma bobina circular e feita de um nucleo com area transversal retangular A = h(r2 − r1), noqual sao enroladas densamente duas bobinas uma em cima da outra, uma com o numero deespiras N1 e a outra com N2. Estabelece uma relacao para a indutancia mutua L das duasbobinas.Ajuda: Para o calculo da indutancia mutua supoe a equacao de fluxo para o caso, que a bobinaN1 e percorrida pela corrente I1, isto e,

∮Hds = N1I1 e calcule o fluxo induzido Φ.

h

r

r1

2


Considere uma bobina toroidal com o raio medio R, que consiste de N espiras percorridas pelacorrente I. A bobina e enchida por um nucleo de ferro com permeabilidade µ.a. Calcule as amplitudes dos campos H e B no interior da bobina.b. Agora considere um nucleo com uma fenda de ar com a espessura d, com d R, queinterrompe o toroide. Calcule mais uma vez os campos H e B dentro da fenda.


Um anel de aco com fenda tem as dimensoes: b = 20 mm, r = 80 mm, a = 15 mm e d = 1 mm(vide figura).


a. Calcule, primeiramente sem fenda de ar, para uma densidade de fluxo magnetico B o fluxomagnetico total ΨM e o campo H correspondente. Qual e o valor da corrente I necessario paraisso em uma bobina de N espiras?b. Como H e I devem ser mudados, se o anel fica interrompido por uma fenda de ar de largura1 mm e o mesmo fluxo deve ser alcancado? Use B = 1.2 T, N = 300, µr = 650.

d

a

b R

5.5.2 Inducao de correntes e indutancia

5.5.2.1 Ex: Aplicacao da lei de Faraday-Lenz

A corrente numa bobina caracterizada pela indutancia L = 1 mH esta linearmente reduzida emum segundo de 1 A ate 0. Calcule a tensao induzida.

5.5.2.2 Ex: Distribuicao de carga respirando

Uma distribuicao de carga radialmente simetrica varia no tempo como λ(t) tendo a forma ”res-piratoria”,

%(r, t) = %0λ(t)1

r2e−aλ(t)r ,

onde %0 = const. e a = const.a. Qual e o valor da carga total?b. Calcule a densidade de corrente j(r, t), que corresponde a %(r, t) a partir da equacao decontinuidade.c. Determine E(r, t) a partir do ansatz E(r, t) = E(r, t)rr (simetria radial).d. Calcule a inducao magnetica B correspondente.e. Mostre que as solucoes para E e B satisfazem as equacoes de Maxwell.

5.5.2.3 Ex: Lei da inducao

a. Explique o conceito do fluxo magnetico atraves de uma area F . Como o fluxo magneticodepende da escolha da superfıcie?b. Qual e a forma da lei de inducao de Faraday? Quais sao as observacoes experimentaissubjacentes a esta lei?c. Qual e o conteudo da lei de Lenz?d. O que e a corrente de deslocamento de Maxwell? Da uma justificacao fısica para esta corrente.e. Escreve as equacoes de Maxwell.f. Qual e a motivacao de introduzir os potenciais eletromagneticos φ e A?g. Qual e a transformacao de calibre permitida para os potenciais eletromagneticos?h. O que e o significado do calibre de Lorentz? Quais vantagens ele oferece?

5.5. EXERCICIOS 169

i. Formule a lei de conservacao de energia da eletrodinamica.j. Qual e o significado fısico do vetor Poynting?

5.5.2.4 Ex: Inducao e forca de Lorentz

Duas hastes metalicas paralelas sao inclinadas em um angulo ϕ a respeito do solo (veja esquema).Entre as hastes uma terceira haste movel de massa m e comprimento L colocada em angulo retodesliza sem friccao. Um campo magnetico homogeneo B atravessa perpendicularmente o planodefinido pelas tres hastes. As hastes paralelas sao conectadas na extremidade superior por umcapacitor C, tal que se forma, junto com a haste transversal, um circuito de corrente fechado.a. Estabelece a equacao de movimento da haste transversal.b. Determine a solucao x(t) da equacao de movimento para a condicao inicial x(0) = v(0) = 0.

C B

L

m

x

5.5.2.5 Ex: Fluxo magnetico e inducao

Considere o anel condutor de raio l e resistencia eletrica desprezıvel mostrado na figura. Numangulo reto a respeito do plano do anel tem um campo magnetico homogeneo B. A haste 2 giracom a frequencia angular ω. Calcule a corrente I atraves da resistencia R da haste 1 que estaem repouso.

5.5.2.6 Ex: Inducao

Considere o laco condutor em angulo reto mostrado na figura. Tem um campo magneticohomogeneo dado por,

B(r) = B0ey .

O laco condutor gira em torno do eixo de flexao (eixo z) com frequencia angular constante ω.a. Qual e a tensao induzida no laco como funcao do tempo?b. Calcule a media temporal da tensao induzida.

5.5.2.7 Ex: Inducao

Um anel circular com raio R gira com velocidade angular constante ω em torno de um diametro.Perpendicular ao eixo de rotacao existe um campo magnetico B.


z

xy

h

a a

a. Calcule a tensao induzida no anel como funcao do tempo.b. O anel consiste num fio metalico com a condutividade σ. Qual corrente I(t) corre atraves doanel, supondo que a corrente e homogeneamente distribuıda pela secao transversal do fio?

5.5.2.8 Ex: Inducao

Um laco condutor em forma de triangulo equidistante (comprimento das bordas S) no planoxy seja ”imerso”com velocidade v = vex constante comecando pela ponta dentro de um campomagnetico homogeneo B = Bez (B e constante) (veja esquema), ate ficar completamente dentrodo campo magnetico.a. Calcule a tensao maxima induzida no laco.b. Faz um esquema da evolucao temporal da tensao induzida.

a) Geben Sie zuerst die Ladungsdichte ),,()( zrr ϕρρ =

r in Zylinderkoordinaten an. Lassen Sie nun die gesamte Anordnung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um ihre Symmetrieachse (d. h. die z-Achse) rotieren. Geben Sie die resultierende Stromdichte ebenfalls in Zylinderkoordinaten an. (Hinweis: , wobei )()()( rvrrj rrrrr

⋅= ρ )(rv rr die Geschwindigkeit am Ort rr ist.) b) Bestimmen Sie durch explizite Rechnung das magnetische Dipolmoment

∫ ×= )(21 3 rjrrdm rrrr der rotierenden Anordnung.

Aufgabe 5: Potenziale (5 Punkte) Es seien je ein Skalar- und ein Vektorpotenzial gegeben:

tiz ererbtr ω3

ˆ),(

rr

=Φ und zti

ikr

eer

eikbtrA ˆ),( ω=rr ,

wobei ck=ω und rr r

= gelten soll.

Berechnen Sie das zugehörige elektrische Feld ),( trE rrund die magnetische Induktion ),( trB rr

. Aufgabe 6: Induktion (5 Punkte) Eine Leiterschleife in Form eines gleichseitigen Dreiecks (Seitenlänge S) in der xy – Ebene wird mit konstanter Geschwindigkeit xevv rr

= (v ist konstant) und Spitze voran in ein

homogenes Magnetfeld zeBB rr= (B nt) „getaucht“ (siehe

Abbildung), bis sie sich vollständig im Magnetfeld befindet.

ist konsta

) Berechnen Sie die maximale Spannung, die in der Leiterschleife induziert wird (4 Punkte).

Aufgabe 7: zirkulare Polarisation (6 Punkte)

Das elektrische Feld einer zirkular polarisierten el.magn. Welle im Vakuum ist durch

ab) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der induzierten Spannung (1 Punkt).

[ ])cos(ˆ)sin(ˆ),( 0 tkzetkzeEtrE yx ωω −+−=rr

gegeben.

n Sie den zugehörigen Wellenzahlvektor kr

a) Gebe an (1 Punkt). b) Berechnen Sie die zugehörige magnetische Induktion ),( trB rr

(2 Punkte). c) Berechnen Sie den Poyntingvektor ),( trS rr (2 Punkte). d) Der Energiefluss der el.magn. Welle betrage 10 W/m². Berechnen Sie die Amplituden

des elektrischen Feldes und der magnetischen Induktion (1 Punkt).

2

5.5.2.9 Ex: Inducao

Um laco condutor retangular com altura 2a e largura 2b gira com a velocidade angular ω emtorno do eixo z. No tempo t = 0 o laco condutor fica dentro do plano x-z. Alem disso, o laco eexposto ao campo magnetico inomogeneo temporamente vaiando, B(r, t) = B0tz

2ex.a. Mostre, divB(r, t) = 0.b. Calcule o fluxo magnetico Φ(r, t) =

∫B · dF atraves do laco girando em funcao do tempo.

c. Qual e o valor da tensao induzida no laco Uind(t) como funcao do tempo?

5.5.2.10 Ex: Inducao numa bobina

Calcule o campo magnetico B no meio e no fim de uma bobina de comprimento L = 1 m. Onumero de espiras seja N = 2000, o raio r = 2 cm e a corrente atraves da bobina I = 5 A.Para isso, calcule primeiro usando a lei de Biot-Savart a inducao do campo magnetico B de umcondutor circular com raio r num ponto A sobre o eixo ez de um condutor em uma distancia z.Use a formula obtida para B para descricao de um elemento de bobina dz.

5.5. EXERCICIOS 171

-a

a b-b

z

x0

5.5.2.11 Ex: Inducao numa malha retangular

Um laco condutor retangular tem o comprimento a e a largura b. No mesmo plano definido pelolaco tem em paralelo, numa distancia d, um condutor reto percorrido por uma corrente I, comomostra a figura.a. Calcule o campo magnetico produzido pela corrente.b. Calcule o fluxo atraves do laco.c. Calcule a autoindutancia imposta ao circuito da corrente I pela existencia do laco.d. Linearize a expressao da autoindutancia para b/d 1.

⋆ Hausaufgabe 4 (Induktion auf Rechteckschleife)

Eine rechteckige Leiterschleife hat die Lange a und die Breite b.In einer Ebene mit ihr verlauft im Abstand d parallel ein geraderLeiter. Sein Strom I erzeugt das Magnetfeld

~B =mu0

2π

I

ρeφ .

Die Induktion ist definiert durch

Uind = −LI ,

B( )f

I

d b

a

und die in der Leiterschleife induzierte Spannung Uind hangt mit dem magnetischen FlussΦ durch sie uber das Faradaysche Induktionsgesetz

Φ = −Uind

zusammen.a) Zeigen Sie, dass die Induktion

L =mu0

2πa ln

(1 +

b

d

)(1)

ist.b) Fur Abstande d = 10 m, Lange a = 1 m und Breite b = 1 cm ist b/d ≪ 1 und derLogarithmus kann linearisiert werden. Fuhren Sie die entsprechende Taylor-Entwicklungdurch und geben Sie fur diesen Fall den Zahlenwert fur 2πL/µ0 an.


5.5.2.12 Ex: Haste caindo

Uma haste metalica de comprimento L = 1 m cai no campo gravitacional da Terra. No tempot = 0 a velocidade inicial seja 0. A haste seja orientada paralelamente ao chao. Perpendicular ahaste e paralelo ao chao tem o campo magnetico B com o valor absoluto 2 · 10−5 T.a. Qual tensao esta induzida entre as extremidades da haste em funcao da distancia percorridah?b. Qual valor obtem-se para tensao depois de uma caıda de 5 m?



R1

R2

U1

U2

R3

A B


R

LU


r (Betrag: 2⋅10-5 T).

v

B


1


5.5.2.13 Ex: Haste deslizando

Sejam dados dois carris metalicos paralelos (distancia d = 10 cm), que adotam o angulo φ arespeito do solo. Entre os carris desliza sem friccao uma haste movel (massa M = 100 g). Numangulo reto a respeito do plano definido pelos carris tem um campo magnetico homogeneo B(amplitude: 0.1 T). Mandamos uma corrente de I = 9.8 A pelos carris atravessando a haste.Qual e o valor maximo permitido de φ, para que a haste se move ao longo dos carris para cima?

Universitat Tubingen SoSe 2008Hausaufgaben zum Integrierten Kurs Physik II Blatt 1023.7.2008

⋆ Hausaufgabe 1 (Gleitender Stab)

Gegeben Seien zwei parallele metallische Stangen (Ab-stand d = 10 cm), die einen Winkel φ zum Erdbodeneinnehmen. Zwischen den Stangen gleite reibungsfreiein beweglicher Stab (Masse M = 100 g). Im rechtenWinkel zu den Stangen liege ein homogenes Magnetfeld~B (Betrag: 0.1 T) an. Wir schicken jetzt einen StromI = 9.8 A uber den Stab von einer Stange zur anderen.Wie groß darf φ hochstens sein, damit der Stab entlangder Stangen nach oben gleitet?

I I

I

v

d

x

z

Bv

g

f

Hausaufgabe 2 (Koaxialkabel)Ein Koaxialkabel besteht aus einem geraden zylindrischen Leiter vom Radius a und einemdunnen zylindrischen Hohlleiter vom Radius b > a. Zwischen den Leitern bestehe eineSpannungsdifferenz U , und in ihnen fließen entgegengesetzte Strome I. Berechnen Sie denPoyntingvektor im Hohlraum und die durch den Kabelquerschnitt transportierte Leistung.Hinweis: Berechnen Sie das elektrische Feld zwischen den Leitern mit dem Gaussgesetz(siehe auch Hausaufgabe 1 in Blatt 6) und das Magnetfeld zwischen den Leitern mit demAmperschen Durchflutungsgesetz.

⋆ Hausaufgabe 3 (Mathe: komplexe Zahlen)Losen Sie folgende Gleichungen fur z = a + ib eine komplexe Zahl:

z

1 + i− z

1− i= 1 + (z − z) sin(π + i ln 3) , − 2iz =

1 + z

1 + i.

Berechnen Sie Betrag, Real- und Imaginarteil von

2i− 1

i− 2, (1 + 2i)3 ,

3i

i−√3.

5.5.2.14 Ex: Anel condutor no campo magnetico oscilante

Um laco condutor circular (indutividade L, resistencia R) e atravessado por um fluxo magneticooscilante, Ψ = Ψ0e

ωt.a. Calcule a amplitude da corrente no condutor, assim como a sua fase em relacao a Ψ.b. Qual e a potencia media dissipada no condutor? Discute tambem os casos limites ω → 0 eω →∞.Ajuda: Constroi primeiramente um circuito equivalente incorporando uma fonte de tensao,uma resistencia e um indutividade.

5.5.2.15 Ex: Auto-indutancia de uma espira de corrente

Calcule a auto-indutividade de uma espira de corrente.

5.5.2.16 Ex: Potenciais

Sejam dados um potencial escalar e um potencial vetorial:

Φ(r, t) = brezr3eiωt e A(r, t) = ikb

eikr

r3eiωtez ,

onde ω = ck e r = |r|. Calcule o campo eletrico E(r, t) correspondente e o campo magneticoB(r, t).

5.5.2.17 Ex: Forca eletromotriz induzida por movimento

Na figura um bastao condutor de massa m e resistencia desprezıvel esta livra para deslizar sematrito ao longo de dois trilhos paralelos que tem resistencias desprezıveis, estao separados poruma distancia ` e conectados por uma resistencia R. Os trilhos estao presos a um longo planoinclinado que faz um angulo θ com a horizontal. Ha um campo magnetico apontando para cima,como mostrado.a. Mostre que ha uma forca retardadora dirigida para cima no plano inclinado dada por F =

5.5. EXERCICIOS 173

(B2`2v cos2 θ)/R.b. Mostre que a rapidez terminal do bastao e vt = mgR sin θ/(B2`2 cos2 θ).

5.5.2.18 Ex: Inducao

Um fio isolado com resistencia de 18.0 Ω/m e comprimento de 9.0 m sera usado para construirum resistor. Primeiramente o fio e dobrado na metade e, entao, o fio duplo e enrolado em umformato cilındrico (vide figura) para criar um helice de 25 cm de comprimento e com diametrode 2.0 cm. Determine a resistencia e a indutancia deste reste resistor de fio enrolado.

5.5.2.19 Ex: Circuito R-L

Dado o circuito mostrado na figura, o indutor tem resistencia interna desprezıvel e a chave Sesteve aberta por um longo tempo. A chave e, entao, fechada.a. Determine a corrente na bateria, a corrente no resistor de 100 Ω e a corrente no indutorimediatamente apos a chave ter sido fechada.b. Determine a corrente na bateria, a corrente no resistor de 100 Ω e a corrente no indutor umlongo tempo depois de a chave ter sido fechada.c. Depois de estar fechada por um longo tempo, a chave e agora aberta. Determine a correntena bateria, a corrente no resistor de 100 Ω e a corrente no indutor imediatamente apos a chaveter sido aberta.d. Determine a corrente na bateria, a corrente no resistor de 100 Ω e a corrente no indutor depoisde a chave ter permanecido aberta por um longo tempo.

100 2 H

10 V

10

S


5.5.2.20 Ex: Gerador ac

A figura mostra um desenho esquematico de um gerador ac. O gerador basico consiste em umanel retangular de dimensoes a e b e tem N voltas conectadas a aneis de deslizamento. O anelgiro (movido por um motor de gasolina) a uma rapidez angular ω em campo magnetico uniformeB.a. Mostre que a diferenca de potencial induzida entre os dois aneis de deslizamento e dada porENbabω sinωt.b. Se a = 2.0 cm, b = 4.0 cm, N = 250, e B = 0.2 T, a que frequencia angular ω deve a bobinagirar para gerar uma fem cujo valor maximo e 100 V?

5.5.2.21 Ex: Filtro passa-baixas

O circuito mostrado na figura e um exemplo de filtros passa-baixas. (Considere que a saıda estejaconectada a uma carga que conduza uma corrente insignificante.)a. Se a tensao de entrada e dada por Vent = Vent,pico cosωt, mostra que a tensao de saıda eVsaida = VL cos(ωt− φ), onde VL = Vent,pico/

√1 + (ωRC)−2.

b. Discuta a tendencia da saıda nos casos limites ω → 0 e ω →∞.

C

R

Ventrada Vsaida

5.5.2.22 Ex: Filtro de corte

O circuito mostrado na figura e um filtro de corte. (Considere que a saıda esteja conectada auma carga que conduza uma corrente insignificante.)a. Mostre que o filtro de corte rejeita sinais em uma banda de frequencias centrada em ω =1/√LC.

Como a largura de banda de frequencia rejeitada depende de R?

C

R

Ventrada VsaidaL

5.5.2.23 Ex: Potencia efetiva

Mostre que a expressao Pmed = RE2rms/Z

2 fornece o resultado correto para um circuito contendoapenas um gerador ac ideal ea. um resistor R,b. um capacitor C ec. um indutor L. Na dada expressao, Pmed e a potencia media fornecida pelo gerador, Erms evalor quadratico medio da fem do gerador.

5.5. EXERCICIOS 175

5.5.2.24 Ex: Circuito R-L-C

No circuito mostrado na figura o gerador ideal produz uma tensao rms de 115 V quando operadoa 60 Hz. Qual e a tensao rms entre os pontosa. A e B,b. B e C,c. C e D,d. A e C, ee. B e D?

50W

A B

D C

137mH

25mF

115V

60Hz

5.5.3 A energia magnetostatica

5.5.3.1 Ex: Processos de chaveamento

Considere difıceis o circuito R-L esquematizado, onde o resistor ohmico R = R(t) varia notempo. Seja τ a duracao do processo de ligacao comecando no tempo t = 0. Para a resistenciaseja,

R(t) =

∞ para t < 0

R0τ/t para 0 ≤ t ≤ τR0para τ ≤ t

.

a. Estabelece para os intervalo de tempo t ∈ [0, τ ] e t ∈ [τ,∞] equacoes diferenciais separadaspara a corrente I(t).b. Resolve as equacoes diferenciais (usando um ansatz simples ou o metodo da separacao dasvariaveis) e conecte as solucoes de maneira contınua em t = τ . O que e a condicao para ligamentorapido ou devagar?

C L

RU Ue a

C

L

R

U Ue a

a

a

z

BmL

I

z

I

dA

L

R(t)U

5.5.3.2 Ex: Densidade de corrente de uma carga girante

Na superfıcie de uma esfera oca com raio R tem uma carga Q uniformemente distribuıda. Aesfera gira com a velocidade angular constante ω em torno de um dos seus diametros.a. Determine a densidade de corrente produzida por este movimento j(r).b. Calcule das von j momento magnetico produzido.c. Derive as componentes do potencial vetorial A(r) e do campo magnetico B(r).


5.5.3.3 Ex: Pista de comboios

As duas carris de ferro de um trem de brinquedo tem uma espessura de d = 5 mm e uma distanciarecıproca de a = 50 mm. Elas sao conectadas por uma haste metalica de massa m = 0.5 g movelsem atrito colocada perpendicularmente as carris. Uma corrente aplicada as carris, que tambematravessa a haste metalica, provoca um aceleracao da haste ao longo das carris.a. Calcule o campo magnetico entra as duas carris, se atraves delas corre a mesmo corrente I masem sentidos inversas. Despreza as inomogeneidades no comeco das carris e o campo magneticogerado pela corrente atravessando a haste.b. Qual e o tamanho da forca acelerando a haste em direcao das carris?c. Qual corrente seria necessario para acelerar a haste, com um comprimento das carris del = 5 m, ate uma velocidade de 10 m/s? Despreze todos os efeitos de atrito.


16) Eisenstabbahn

5

Zwei parallele Modelleisenbahnschienen haben eine Dicke von d = 5mm und einen lichten Abstanda = 50mm. Sie sind durch einen senkrecht zu den Schienen liegenden, beweglichen Metallstab derMasse m = 0.5g leitend verbunden. Ein an die Schienen angelegter Strom, der auch durch den Me-tallstab fließt, bewirkt die Beschleunigung des Stabes entlang der Schienen.

(a) Berechnen Sie das Magnetfeld zwischen den beiden Schienen, wenn durch beide der gleiche (aberunterschiedlich gerichtete) Strom I fließt. Vernachlassigen Sie dabei Inhomogenitaten am Beginnder Schienen und das vom Strom durch den Stab erzeugte Magnetfeld.

(b) Wie groß ist die Kraft in Schienenrichtung, die den Stab beschleunigt?

(c) Welcher Strom ware notwendig, um den Stab bei einer Schienenlange von l = 5m auf eine Ge-schwindigkeit von 10m/s zu beschleunigen? Vernachlassigen Sie alle Reibungseffekte.

17) Massenspektrometer

3

Ein Massenspektrometer bestehe wie im Bild skiz-ziert aus einem Kondensator mit PlattenabstabdD = 5mm, der sich in einem homogenen Magnet-feld der Starke B = 0.4T befinde. Ein Isotopenge-misch aus einfach positiv geladenen Kohlenstoffio-nen 12C und 14C tritt durch eine Lochblende in denKondensator ein. Nach Durchlaufen des Konden-sators bewegen sich die Ionen im Magnetfeld aufeiner Halbkreisbahn und werden von einem Detek-tor gezahlt, dessen Abstand y zur Lochblende vari-iert werden kann.

U

D

y

v

B

(a) Welche Spannung muss an die Kondensatorplatten angelegt werden, damit nur Ionen einer Ge-schwindigkeit von v = 105 m/s den Kondensator durch die zweite Blende verlassen konnen?

(b) In welchen Abstanden y werden die beiden Kohlenstoffisotope jeweils detektiert?

18) Kirchhoffsche Regel

4

Der im Bild gezeigte Stromkreis besteht aus denSpannungsquellen U1 = 20V und U2 = 10V so-wie den Widerstanden R1 = 150Ω, R2 = R3 =

R5 = 100Ω und R4 = 50Ω. Welcher Stromwird am Amperemeter A gemessen?

+-

U1

R4

R1

A

R3

R5

+-

U2

R2

5.5.3.4 Ex: Espectrometro de massa

Um espectrometro de massa e feito, como mostrado na figura, de um capacitor de placas comD = 5 mm de distancia, colocado dentro de um campo magnetico homogeneo de amplitudeB = 0.4 T. Uma mistura de isotopos de ıons de carbonio 12C+ e 14C+ ionizados uma vezpenetra o capacitor atraves de uma fenda circular. Apos o transito atraves do capacitor osıons se movem, no campo magnetico, sobre uma trajetoria semi-circular e sao contados por umdetector, cuja distancia y a respeito da fenda pode ser variado.a. Qual tensao deve ser aplicada as placas do capacitor para garantir, que somente ıons com avelocidade v = 105 m/s podem sair do capacitor atraves do segundo fenda?b. Em quais distancias y os dois isotopos podem, respectivamente, ser detectados?

5.5.3.5 Ex: Transformador

Considere duas bobinas similares com numero de espiras N1 e N2 conectadas por um jugo deferro. Na primeira bobina aplicamos uma tensao variando com o tempo U1. Portanto, nestabobina (chamada de primaria) corre uma corrente I1, produzindo um fluxo magnetico Ψ, queseja integralmente transmitido atraves do jugo de ferro para a segunda bobina (segundaria).Aqui, uma tensao U2 e induzida.a. Calcule a razao U2/U1 em funcao do numero de espiras. Qual e o comportamento da faseentre U1 e U2.b. Quais sao as fases das correntes I1 e I2 percorrendo as bobinas em relacao as fases das tensoes?Qual e a consequencia para a potencia media nas bobinas?

5.5. EXERCICIOS 177

5.5.3.6 Ex: Circuito ressonante L-R-C

Considere um circuito L-R-C serial excitado. As componentes do circuito oscilante tem osvalores R = 5 Ω, C = 10 µF, L = 1 H e U = 30 V.a. Em qual frequencia de excitacao ωa a amplitude da corrente tem o seu valor maximo? Da ovalor da corrente?b. Em quais frequencias angulares ωa1 e ωa2 a amplitude da corrente tem justamente a metadedo valor maximo? Qual e entao o valor da largura FWHM relativo da curva de ressonancia paraeste circuito oscilante? Mostre que a largura da curva de ressonancia e dada por,

ωa1 − ωa2

ωa= R

√3C

L.

c. Faz um esquema de alguns curvas de ressonancia para varios valores de R.

5.5.3.7 Ex: Circuito indutivo

Consideramos o circuito mostrado na figura, que consiste em uma bobina L, uma fonte de tensaoU e um resistor ohmico R = 100 Ω. A bobina e um solenoide longo com 50 espiras por cm euma indutancia de 200 mH. Para tempos t < 0 nao flui corrente pelo solenoide. No tempo t = 0,a tensao e, de repente, aumentada de 0 para 10 V. Depois de quanto tempo o campo magneticono solenoide alcance o valor π · 10−4 T?



R1

R2

U1

U2

R3

A B


R

LU


r (Betrag: 2⋅10-5 T).

v

B


1

5.5.3.8 Ex: Circuito indutivo

Consideramos o circuito mostrado na figura, que consiste em uma bobina L, uma fonte de tensaoU0 = 10 V e tres resistores ohmicos R = 100 Ω. A bobina e um solenoide longo com 50 espiraspor cm e uma indutancia de 200 mH. Inicialmente, o interruptor e aberto por um longo tempo.Depois, no tempo t = 0, ele esta fechado.a. Qual e o valor inicial do campo magnetico no solenoide, enquanto o interruptor ainda estaaberto?b. Usando as leis de Kirchhoff, derive a formula descrevendo a evolucao temporal do campodepois do interruptor ter sido fechado.c. Determine o campo para longos tempos apos o interruptor ter sido fechado.


5.5.3.9 Ex: Aneis circulares condutores

Sejam dados dois aneis condutores, infinitamente finos e concentricos com raios a e b (a < b).Os aneis sao no plano xy com um centro comum na origem das coordenadas. No anel interiorfica, homogeneamente distribuıda (isto e, com densidade linear de carga constante) a carga +q,no exterior homogeneamente distribuıda a carga −q.a. Escreve primeiramente a densidade de carga ρ(r) = ρ(r, φ, z) em coordenadas cilındricas.Agora deixe o dispositivo interior girar com a velocidade angular ω constante em torno do eixode simetria (isto e, o eixo z). Escreve a densidade de corrente resultante tambem em coordenadascilındricas. Ajuda: j(r) = ρ(r) ·v(r) onde v(r) e a velocidade no lugar r. b. Determine por umcalculo explicito o momento magnetico dipolar m = 1

2

∫d3r r× j(r) do dispositivo girante.

5.5.4 Corrente alternada

5.5.4.1 Ex: Filtro passa-alta

Os circuito mostrados na figura sao chamados de filtro passa-alto de 1. ordem (a) e de 2. ordem(b). Calcule para os dois casos a razao da voltagem de saıda Uae da voltagem de entradaUe. Supoe que Ue(t) = Ue cosωt e Ua(t) = Ua cos(ωt + φ). Desenhe o resultado como funcaoda frequencia num grafico logarıtmico: eixo y: log(Ua/Ue) e eixo x: logω. (Este grafico echamado de diagrama de Bode.) Qual e o deslocamento de fase φ como funcao da frequencia?

Universitat Tubingen SoSe 2008Hausaufgaben zum Integrierten Kurs Physik II Blatt 1130.6.2008

⋆ Hausaufgabe 1 (Leiterschleife im oszillierenden Magnetfeld)

Durch eine kreisformige Leiterschleife (Induktivitat L, Widerstand R) tritt ein oszillieren-der magnetischer Fluss Φ = Φ0 cosωt.

(a) Berechnen Sie die Amplitude des Stroms, der im Leiter fließt, sowie dessen Phasenlagerelativ zu Φ.

(b) Welche mittlere Leistung wird im Leiter dissipiert? Diskutieren Sie auch die Grenzfalleω → 0 und ω → ∞.

Hinweis: Konstruieren Sie zunachst eine Ersatzschaltung aus einer Spannungsquelle,einem Widerstand und einer Induktivitat.

Hausaufgabe 2 (Differentialgleichung fur einen Schwingkreis)

Der nebenstehende L-R-C Schwingkreis wird von einerWechselspannungsquelle U(t) = U0 cosωt getrieben.

(a) Berechnen Sie die Gesamtimpedanz Z als Funktion vonω und stellen Sie Amplitudengang |Z(ω)| und Phasengang

φ(ω) = arctan ImZ(ω)ReZ(ω)

graphisch dar.

(b) Stellen Sie die Differentialgleichung fur den Strom auf.Losen Sie zunachst die homogene Differentialgleichung unddann die inhomogene.

U 0

L R C

⋆ Hausaufgabe 3 (Hochpassfilter)

Nebenstehende Schaltungen werden als Hochpassfilter 1. Ord-nung (a) und 2. Ordnung (b) bezeichnet. Berechnen Siein beiden Fallen das Verhaltnis der Ausgangsspannung Ua

zur Eingangsspannung Ue . Nehmen Sie hierbei an, dassUe(t) = Ue cos (ωt) und Ua(t) = Ua cos (ωt+ φ). Stellen Siedas Ergebnis als Funktion der Frequenz in logarithmischerDarstellung graphisch dar: y-Achse: log(Ua

Ue) und x-Achse:

(log(ω)). (Diese Darstellung wird als Bode-Diagramm beze-ichnet.) Wie groß ist die Phasenverschiebung φ als Funktionder Frequenz?

U

U

U

U

e

e

a

a

C

C

R

R

L

(a)

(b)

5.5.4.2 Ex: Filtro de succao e de barreira

Os circuitos mostrados na figura sao chamados de filtro (a) de sucao e (b) de bloqueio. Calcule

para os dois casos a tensao de saıda Ua(t) sob a condicao, que a tensao de entrada e uma oscilacaosenoidal Ue(t) = U0 cosωt. Esquematize a frequencia em funcao da amplitude das tensoes desaıda.a. Como se comportam as amplitudes no caso ressonante?b. Discute os casos limites i. L→ 0 resp., ii. C →∞ baseado nas respostas de frequencia.

5.5.4.3 Ex: Cabo coaxial

Um cabo coaxial consiste de um condutor cilındrico de raio a e um guia de ondas fino e cilındricode raio b > a. Entre os condutores tem uma diferencia de tensao U , e dentro deles correm corren-tes em direcoes opostas I. Calcule o vetor de Poynting no espaco vazio e a potencia transportadaatraves do cabo.

5.5. EXERCICIOS 179

Ajuda: Calcule o campo eletrico entre os condutores baseado na lei de Gauß e o campomagnetico entre os condutores com a lei de Ampere.

5.5.4.4 Ex: Resistencia AC

Calcule o trabalho executado por uma corrente alternante I = I0 sinωt num condutor com aresistencia ohmica R durante a um perıodo T . Faz um esquema da evolucao num diagramapotencia versus tempo.

5.5.4.5 Ex: Motor de corrente alternada

Um motor de tensao alternada fornece com uma tensao alternada de U = 220 V em f = 50 Hza potencia P = UI cosφ = 2.2 kW. O fator de potencia do motor seja cosφ = 0.6 e e a eficienciaη = Pout/Pin = 0.89.a. Qual corrente o motor recebe?b. Qual capacitor e preciso conectar em paralelo aos terminais do motor, a fim de aumentar ofator de potencia ate um valor de cosφ = 0.9? Esbocar o ponteiro da corrente no plano U − I.

5.5.4.6 Ex: Corrente de deslocamento

a. Explique o significativo da equacao de continuidade,

∮j · dS +

d

dt

∫ρdV = 0 .

b. Considere uma area fechada S1 + S2. Porque aqui a equacao de continuidade tem a forma,

∮j · dS− d

dt

∫D · dDV = 0 .

Mostre que vale, ∮

CH · dl =

∫

S2

d

dt

∫D · dS .

Ajuda: Atraves da area S1 nao penetram linhas de campo e atraves da area S2 nao atravessacorrente.

5.5.4.7 Ex: Circuito ressonante LC

O capacitor de um circuito eletromagnetico oscilante nao amortecido tem a capacidade C =22 nF. A autofrequencia do circuito seja f0 = 5735 Hz. No tempo t = 0 o capacitor tem a suacarga maxima: Q0 = 0.33 µC.a. Derive para o circuito oscilante nao amortecido a equacao diferencial para Q(t) a partir da leide conservacao de energia e determine a solucao. Escreve a equacao para a autofrequencia f .b. Calcule a indutividade da bobina.c. Estabelece as equacoes para o conteudo de energia da bobina e do capacitor em funcao dotempo t.d. Calcule o instante temporal t2, no qual o conteudo de energia da bobina e, pela segunda vez,a metade do conteudo de energia do capacitor.


5.5.4.8 Ex: Circuito ressonante LRC

O circuite de oscilacao LRC mostrado na figura seja excitado pela fonte de tensao alternanteU(t) = U0 cosωt.a. Calcule a impedancia total Z como funcao de ω e faz um grafico do resposta de amplitude|Z(ω)| e da resposta de fase φ(ω) = arctan ImZ(ω)

ReZ(ω) .b. Estabelece a equacao diferencial para a corrente. Comece para resolver a equacao diferencialhomogenea e depois a homogenea.

U 0

L R C


As componentes de um circuito RLC tem os valores R = 5 Ω, C = 10 muF, L = 1 H e U = 30 V.a. Em qual frequencia angular ωa a amplitude da corrente tem o seu valor maximo? Qual e acorrente correspondente?b. Em quais frequencias angulares ωa1 e ωa2 a amplitude da corrente tem adota a metade do valormaximo? Qual e a meia-largura relativa da curva de ressonancia para este circuito ressonante?c. Mostre com a ajuda das formulas de (b), que a meias-largura relativa de cada curva deressonancia e dada por,

∆a

ω= R

√3C

L,

onde ∆a e a largura do perfil de ressonancia na metade da amplitude maxima.d. Faz esquemas de perfis de ressonancia para varios valores de R. Quando o circuito de correntee predominantemente capacitivo e quando indutivo?e. Mostre que o termo de amortecimento e−Rt/2L (contendo L mas nao C!) pode ser escrito emuma forma mais simetrica em L e C da maneira seguinte,

e−πR t

T

√CL .

Aqui, T e o perıodo da oscilacao quando desprezamos a resistencia. Qual e a unidade SI dotermo,

√C/L?

f. Mostre baseado no resultado (e), que a condicao para uma perda relativa de energia menorpor ciclo de oscilacao e: R

√L/C.

U 0

L R C

5.5. EXERCICIOS 181


Considere um circuito oscilante RLC amortecido. A carga q no capacitor e descrita pela equacaodiferencial,

Ld2q

dt2+R

dq

dt+

1

Cq = 0 .

a. Use o ansatz q = q0eiωt e mostre, que

ω1,2 = iR

2L± ω′ onde ω′ = ω0

√1− R2C

4L

com ω0 = 1/√LC resolve a equacao diferencial.

b. Como se trata de uma equacao diferencial de segunda ordem, precisamos de duas condicoesde contorno para determinar a solucao geral da forma,

q(t) = aq1(t) + bq(t) com q1,2 = q0e− R

2Lte±iω

′t .

Use as condicoes q(0) = 0 e ˙q(0) = I0 e determine os coeficientes a e b. Qual e, para este caso,a solucao para a carga q(t) e a corrente I(t) = ˙q(t)?c. Esquematize a evolucao da carga e da corrente no capacitor para os seguintes conjuntos deparametros e interprete as curvas. Qual e a duracao T respetiva de um perıodo de oscilacao? Dapara cada um dos conjuntos de parametros seguintes a solucao geral respetiva antes de inseriros valores:i. I0 = 1 mA, R = 10 Ω, L = 1 mH, C = 0.1 µFii. I0 = 1 mA, R = 200 Ω, L = 1 mH, C = 0.1 µFiii. I0 = 1 mA, R = 500 Ω, L = 1 mH, C = 0.1 µF

A BCG!H5â

R

L C

ORWZY"^kdemWZOCMgOCLNMPOCMÆ`kOC3i^k\bhWZOCM§GãoäÇzPdemLNMP`kVXY*OCLNcRtåLNOã3^kDnbMP`Õæç ^k\S[]MbPOCMbcâWZ[kY!LUYQ(OCc*d"ePYLUORQ(OCMbnPY"de;bLUOS%Lè(ORY*OCMmW*LN^kTU`]TUOCLNd"emnDMP`é Ü æçP¾ Ü_êìë æçP¾ ê Ìí æç ± ·uZv(w ¤¦ORY*>OCMbPOCMzLUOSPOCMMbc*âWZyæç ± ç ´ ÎCîZïrð nbMbROCLU`kOCMzLUOk|bbâ~

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5.5.4.11 Ex: Esfera magnetizada

Consideramos uma esfera com raio R magnetizada de tal maneira que, no interior da esfera, adensidade de inducao magnetica e dada por B = B0ez. O espaco exterior e vazio, isto e, naotem correntes, tal que, rot B = 0 e div B = 0. Por isso, podemos deixar para o espaco exterior,

B = −gradΨ e Ψ(r, ϑ, ϕ) =∞∑

l=0

αlPl(cosϑ)

rl+1

com Pl os polinomios de Legendre e r, ϑ e ϕ as coordenadas esfericas usuais. Considere ascondicoes de contorno para Br, Bθ bem como para Hr e Hθ na transicao entre o espaco interiore exterior da esfera. Determine a partir disso os coeficientes de expansao αl bem como a mag-netizacao M dentro da esfera. Com isso, obtemos finalmente a densidade de inducao magneticaB e o campo magnetico H no espaco interior e exterior.


5.5.4.12 Ex: Movimento de um dipolo magnetico atraves de uma espira condutora

Qual e o sinal de corrente produzido por um condensado de Bose-Einstein de 87Rb com seu spinpolarizado no estado |F,mF 〉 = |2, 2〉 quando cai atraves de um SQUID? Supoe que o SQUIDtem o diametro 2a = 3 cm, o condensado consiste de N = 100000 atomos e tem um velocidadeconstante de vz = 10 cm/s.

5.5.4.13 Ex: Corrente eletrica e magnetismo

a. Como sao definidas corrente e densidade de corrente? O que e um ”fio de corrente”?b. Quais condicoes as densidades de carga e de corrente devem satisfazer na magnetostatica?c. Como e definida a inducao magnetica B empiricamente?d. Escreve a forma geral da lei de Ampere. Como se exprime a lei de Ampere no caso de doiscondutores paralelos carregando as correntes I1 e I2?e. O que diz a lei de Ampere?f. Qual e o momento magnetico de um circuito de corrente arbitrario, plano e fechado?g. Quais sao a forca e o torque sobre um dipolo magnetico dentro de um campo externo B(r).h. Explique o termo ”densidade de corrente de magnetizacao”.i. Quais sao as equacoes macroscopicas do campo da magnetostatica?j. O que e diamagnetismo e paramagnetismo? O que diferencia este dois fenomenos? O que eferromagnetismo?

5.5.4.14 Ex: Eletromotor

Considere o eletromotor esquematizado. Dois pares de bobinas Helmholtz alinhadas ao longodos eixos x e y sao alimentados por correntes alternantes Ix(t) = I0 cosωt e Iy(t) = I0 sinωt,respectivamente. Dentro do campo tem uma bobina retangular rotativa percorrida por umacorrente constante I. O momento inercial da bobina seja I.a. Mostre que o campo no centro e dado por Bx(0) = −8

5√

5

µ0IxexR .

b. Descreve o comportamento temporal do campo magnetico.c. Relacione o torque com a aceleracao angular da bobina.d. Calcule o torque instantaneo agindo sobre a bobina.e. Supoe que a bobina gira inicialmente com uma velocidade angular Ω tal que, θ(t) = θ0 + Ωt.Como voce deve escolher Ω e o angulo inicial θ0 para garantir um torque sempre positivo?Ajuda: sinα cosβ + cosα sinβ = sin(α+ β)f. Calcule a tensao induzida na bobina. Ajuda: sinα sinβ + cosα cosβ = cos(α− β)g. Supoe que a bobina tem uma resistencia ohmica ...

5.5. EXERCICIOS 183

Parte II

Eletrodinamica classica

185

Capıtulo 6

Equacoes de Maxwell

As leis encontradas ate agora eram todas conhecidas antes de Maxwell. Estas sao,

∇×B = µ0j , (lei de Ampere dando a lei de Biot-Savart) (6.1)

∇×E = −∂tB , (lei de Faraday)

∇ ·E = ε−10 % , (lei de Gauß dando a lei de Poisson e a lei de Coulomb)

∇ ·B = 0 , (ausencia de monopolos magneticos) .

Comparando as leis de Faraday e de Ampere, percebemos uma inconsistencia, pois tomando asdivergencias dos rotacionais esperamos,

0 = ∇ · (∇×E) = ∇ ·(−∂B

∂t

)= − ∂

∂t(∇ ·B) (6.2)

0 = ∇ · (∇×B) = µ0(∇ · j) = −µ0∂%

∂t6= 0 . (6.3)

Para variacoes temporais da corrente a segunda equacao nao pode ser correta.A ideia do Maxwell para resolver o problema era de subtrair da lei de Ampere o termo que

impede a equacao (6.2) de zerar. Com

∇×B = µ0j + ε0µ0∂E

∂t, (6.4)

verificamos

∇ · (∇×B) = µ0∇ · j + ε0µ0∂∇ ·E∂t

= µ0

(∇ · j +

∂%

∂t

)= 0 , (6.5)

o que e nada mais do que a equacao de continuidade. A Eq. (6.4) pode ser chamada de lei deMaxwell e a integral de superfıcie do termo adicional,

ε0∂

∂t

∮E · dS ≡

∮

Sjd · dS = Id . (6.6)

de corrente de deslocamento.

Exemplo 50 (Necessidade da corrente de deslocamento): Consideramos o circuitomostrado na Fig. 6.1. De um lado, a corrente atravessando o laco amperiano deve serindependente da forma da area encerrada,

I =

∫

Sj · dS = 1

µ0

∮

∂SB · dl .

Do outro lado sabemos, que a corrente nao pode atravessar o capacitor e deve se acumularnum dos eletrodos.

187

188 CAPITULO 6. EQUACOES DE MAXWELL

O problema e resolvido identificando o campo eletrico, que esta se desenvolvendo pela cargaacumulada,

∂Q

∂t= ε0

∂

∂t

∫

V∇ ·EdV = ε0

∂

∂t

∫

∂VE · dS ≡ Id ,

com uma corrente Id chamada de deslocamento.

Figura 6.1: Necessidade da corrente de deslocamento.

Estudamos esta situacao no Exc. 6.4.1.1.

6.1 As leis fundamentais da eletrodinamica

Com estes resultados podemos finalmente resumir as equacoes de Maxwell,

i ∇×B− ε0µ0∂tE = µ0j (6.7)

ii ∇×E + ∂tB = 0

iii ∇ ·E = ε−10 %

iv ∇ ·B = 0 .

Estas equacoes formam a base completa da teoria eletrodinamica inicialmente motivada pela ob-servacao empırica de forcas sobre propriedades da materia identificadas como cargas e correntes,isto e, a forca eletrica ou forca de Coulomb e forca magnetica ou forca de Lorentz,

FLor = Q(E + v ×B) , (6.8)

onde E e um vetor polar (E = −Emirrored)1 e B e um vetor axial (B = Bmirrored). O campo

eletrico E e magnetico B e as suas equacoes de campo foram inventadas para explicar a forca deCoulomb-Lorentz. Eles so sao observaveis atraves da sua acao sobre uma partıcula carregada.Seguinte o teorema de Helmholtz discutido na proxima secao, vetores de campo arbitrarios (masbem comportados) sao totalmente definidos por suas propriedades de divergencia e de rotacao.Isso e exatamente, o que as equacoes de Maxwell fazem com os campos eletrico e magnetico.

Uma vez que nos conhecemos as leis fundamentais do electromagnetismo 2, podemos invertero raciocınio colocando elas como postulados e derivando os fenomenos observaveis a partir delas.Sera isso o procedimento desta segunda parte do curso.

Exemplo 51 (Derivacao da eletro- e magnetostatica a partir das equacoes deMaxwell): Em sistemas estaticos podemos colocar E = B = 0. Particularmente, para ocaso eletrostatico ignoramos correntes, j = 0, e para o caso magnetostatico ignoramos cargas,

1Mirroring significa inverter as grandezas dinamicas v→ −v, FLor → −FLor.2Notamos, que as leis de Maxwell podem ser deduzidas a partir de princıpios mais fundamentais incluindo a

leis de conservacao de carga e a transformacao de Lorentz relativıstica.

6.1. AS LEIS FUNDAMENTAIS DA ELETRODINAMICA 189

Figura 6.2: Construcao e aplicacao da teoria eletrodinamica.

% = 0. As equacoes de Maxwell, em seguida, simplificam consideravelmente e podem muitasvezes ser substituıdo pelas equacoes de Poisson,

∇2Φ = −ε−10 % e ∇2A = −j .

Exemplo 52 (Nao existencia de cargas magneticas): Em espaco livre as equacoes de

Maxwell sao perfeitamente simetricas sob a operacao E → B → ε0µ0E. Mas a existencia

de cargas e correntes eletricas quebra esta simetria. A introducao de ’cargas magneticas’ e

’correntes magneticos’ restauraria a simetria, mas estes fenomenos nunca foram observados 3.

6.1.1 O teorema de Helmholtz

O teorema de Helmholtz diz que, conhecendo a divergencia e a rotacao de um campo vetorialF desconhecido, podemos reconstruir este campo sob a condicao que a divergencia e a rotacaodesaparecem suficientemente rapidamente no infinito 4 e se |E| desaparece pelo mesmos taorapido como 1/r2. Isto e, conhecendo o escalar,

D(r) = ∇ · F(r) (6.9)

e o vetorial,C(r) = ∇× F(r) , (6.10)

o campo F e completamente definido. Note, que obviamente, ∇ ·C = 0.Para provar isto, mostramos, que

F = −∇Φ +∇×A , (6.11)

onde

Φ(r) ≡ 1

4π

∫

R3

D(r′)|r− r′|dV

′ e A(r) ≡ 1

4π

∫

R3

C(r′)|r− r′|dV

′ , (6.12)

satisfaz os requerimentos (6.9) e (6.10). O divergente e,

∇r · F = −∇2rΦ = − 1

4π

∫D(r′)∇r

(1

|r− r′|

)dV ′ =

∫D(r′)δ3(r− r′)dV ′ = D(r) , (6.13)

com ∇ · ∇ ×A = 0 e

∇r × F = ∇r × (∇×A) = −∇2rA +∇ · (∇×A) = −∇2

rA , (6.14)

3Dirac mostrou que a existencia de cargas magneticas explicaria a quantizacao da carga.4Mais rapidamente do que 1/r.


com ∇×∇Φ = 0. Agora, o rotacional e,

∇r × F = −∇2rA = − 1

4π

∫C(r′)∇2

r

(1

|r− r′|

)dV ′ =

∫C(r′)δ3(r− r′)dV ′ = C(r) . (6.15)

Tambem verificamos,

4π∇ ·A =

∫C(r′) · ∇r

1

|r− r′|dV′ = −

∫C(r′) · ∇r′

1

|r− r′|dV′ (6.16)

= −∫

1

|r− r′|∇r′ ·C(r′)dV ′ −∮

1

|r− r′|C(r′) · da′ −→ 0 ,

pois o divergente e ∇ · C = 0 e o integral de superfıcie pode ser arbitrariamente reduzidoescolhendo superfıcies muito afastadas r′ →∞.

6.1.2 Potenciais na eletrodinamica

Na eletrodinamica, dois campos sao necessarios para descrever as forcas de Coulomb e de Lorentz,o campo eletrico e o campo magnetico. Com o teorema de Helmholtz podemos, agora, declararque quatro equacoes sao necessarias e suficientes para completamente caracterizar estes camposatraves das seguintes rotacoes e divergencias,

rot B = ... , rot E = ... , div E = ... , div B = ... . (6.17)

Estas equacoes sao justamente aquelas de Maxwell. Alem disso, a derivacao da secao precedentemostrou, que

cada campo vetorial que desaparece suficientemente rapido para grandes distanciaspode ser exprimido como a soma do gradiente de uma funcao escalar e do rotacionalde uma funcao vetorial,

pois,

F = −∇Φ +∇×A = −∇ 1

4π

∫

R3

D(r′)|r− r′|dV

′ +∇× 1

4π

∫

R3

C(r′)|r− r′|dV

′ . (6.18)

As funcoes Φ e A sao chamadas de potencial escalar e vetorial, respectivamente.Campos irrotacionais, isto e, sem vortices sao conservativos e podem ser exprimidas pelo

gradiente de um campo escalar,

∇× F = 0 ⇐⇒ A = 0 ⇐⇒ F = −∇Φ ⇐⇒∮

F · dl = 0 . (6.19)

Exemplo 53 (Potenciais na eletrostatica): A eletrostatica representa um exemplo para

um campo irrotacional, pois as equacoes eletrostaticas de Maxwell sao justamente, ∇×E = 0

e ∇ ·E = D = %/ε0. Portanto, existe um potencial eletrico Φ, tal que −∇Φ = E.

Campos sem divergencias, isto e, sem fontes nem sumidouros podem ser exprimidas pelorotacional de um campo vetorial,

∇ · F = 0 ⇐⇒ Φ = 0 ⇐⇒ F = ∇×A ⇐⇒∮

F · dS = 0 . (6.20)

Exemplo 54 (Potenciais na magnetostatica): A magnetostatica representa um exem-

plo para um campo sem divergencia, pois as equacoes magnetostaticas de Maxwell sao jus-

tamente, ∇×B = C = µ0j e ∇·B = 0. Existe um potencial vetorial A, tal que ∇×A = B.

Treinamos o calculo com potenciais nos Excs. 6.4.1.2 ate 6.4.1.7.


6.1.3 As equacoes de Maxwell macroscopicas

A materia e feita de moleculas e em cada molecula, ha atomos compostos por nucleos positivosorbitados por eletrons negativos. Sobre cada uma dessas minusculas partıculas, se conside-radas puntiformes, o campo eletromagnetico diverge, assumindo valores infinitos. Mas, nessaafirmacao, estamos falando do campo eletromagnetico microscopico, que nao pode ser medidopor uma ponta de prova, que, por sua vez, tambem e composta por atomos. Precisamos, entao,formular uma maneira de tratar o campo eletromagnetico dentro da materia que seria observavelatraves de medicoes feitas por um aparato macroscopico. No vacuo, as equacoes de Maxwellsao as que ja temos considerado (6.7) para Emic e Bmic, onde o subscrito mic indica que essassao equacoes microscopicas. Entre um eletron e um proton, por exemplo, os campos sao osmicroscopicos; nao ha outro meio senao o vacuo entre eles. O problema e que, para medir oscampos, as cargas e as correntes, utilizamos instrumentos macroscopicos. Nao ha como medir-mos diretamente as grandezas microscopicas. Assim, um aparato macroscopico mede sempre umvalor efetivo medio, no espaco e no tempo, das grandezas eletromagneticas. Seguindo o livro deJ.D. Jackson [3] vamos fazer uma media espacial das equacoes acima para deduzir as equacoesde Maxwell macroscopicas.

Seja f(r) uma funcao centrada na origem e esfericamente simetrica, mas que se anule ex-ponencialmente para distancias suficientemente grandes. Por exemplo, como a luz visıvel naomostra a natureza granular da materia, mas os raios X mostram, podemos convencionar comoo limite macroscopico uma distancia tıpica que divida o ambito visıvel do ambito de raios X,digamos, cerca de 10 nm. Isso significa que podemos supor que f(r) se anule para distanciasda ordem de 100 nm. As medias espaciais das grandezas eletromagneticas Emic(r, t), Bmic(r, t),%mic(r, t) e jmic(r, t) entao, ficam,

〈Xmic(r, t)〉 =

∫

R3

d3r′f(r′)Xmic(r− r′, t) . (6.21)

Os campos macroscopicos sao definidos como as medias dos respectivos campos microscopicos:

E(r, t) ≡ 〈Emic(r, t)〉 e B(r, t) ≡ 〈Bmic(r, t)〉 , (6.22)

onde as quantidades macroscopicas nao tem o subscrito mic.Agora, tomando as medias das equacoes de Maxwell microscopicas, obtemos,

〈∇ ×Bmic(r, t)〉 − εµ⟨∂Emic(r, t)

∂t

⟩= µ〈jmic(r, t)〉 (6.23)

〈∇ ×Emic(r, t)〉+

⟨∂Bmic(r, t)

∂t

⟩= 0

〈∇ ·Emic(r, t)〉 = 1ε 〈%mic(r, t)〉

〈∇ ·Bmic(r, t)〉 = 0 .

No entanto,

〈∇ ·Emic(r, t)〉 = ∇ · 〈Emic(r, t)〉 = ∇ ·E(r, t) (6.24)

〈∇ ×Emic(r, t)〉 = ∇× 〈Emic(r, t)〉 = ∇×E(r, t) ,

e analogamente para Bmic, pois ∇ opera apenas sobre r e nao sobre a variavel da integracao r′.Do outro lado, a derivada parcial tambem nao age sobre r nem sobre r′,

⟨∂Emic(r, t)

∂t

⟩=

∂

∂t〈Emic(r, t)〉 =

∂E(r, t)

∂t, (6.25)


e analogamente para Bmic. Assim, as duas equacoes macroscopicas homogeneas de Maxwell (ii)e (iv) ja estao deduzidas:

∇×E(r, t) +∂B(r, t)

∂t= 0 (6.26)

∇ ·B(r, t) = 0 .

xy

z

rn

rm

rnk

meiomolécula

cargas

livres

Figura 6.3: Cargas localizadas em moleculas e cargas livres.

Ainda precisamos calcular 〈%mic(r, t)〉 e 〈jmic(r, t)〉. Vamos supor que haja N cargas em cadamolecula do material e, para simplificar sem perder a generalidade, vamos supor tambem que omaterial seja uma substancia pura, isto e, composto por moleculas identicas. Seja sn a posicaoda n-esima molecula, medida com relacao a uma origem arbitrario do sistema de coordenadas.Assim, k-esima carga qkn da n-esima molecula fica no ponto skn, com relacao ao vetor posicaoda molecula sn. Isso quer dizer que, com relacao a origem do sistema de coordenadas, a posicaoda carga qkn e dada por skn + sn. Tambem vamos imaginar que haja cargas livres, qm, nasposicoes rm. Como ha movimento dessas cargas todas, todas as posicoes mencionadas devemser consideradas como funcoes do tempo. Assim,

%mic(r, t) =∑

m

qmδ(3)(r− rm) +

∑

n

∑

k

qknδ(3)(r− skn − sn) , (6.27)

e usando a definicao da media espacial (6.21),

〈%mic(r, t)〉 =∑

m

qmf(r− rm) +∑

n

∑

k

qknf(r− skn − sn) . (6.28)

Tipicamente, |skn| e da ordem de alguns Angstroms apenas e, portanto, f(r − skn − sn) naodifere apreciavelmente de f(r− sn). Podemos, portanto, aproximar:

f(r− skn − sn) ' f(r− sn)− skn · ∇f(r− sn) + 12(skn · ∇)2f(r− sn) , (6.29)


e, com essa aproximacao, obtemos,

〈%mic(r, t)〉 '∑

m

qmf(r− rm) +∑

n,k

qknf(r− sn)−∑

n,k

qknskn · ∇f(r− sn) (6.30)

+∑

n,k

qkn12(skn · ∇)2f(r− sn)

=∑

m

qmf(r− rm) +∑

n

∑

k

qknf(r− sn)−∇ ·∑

n

(∑

k

qknskn

)f(r− sn)

+ 16

∑

n

∇ ·[(

3∑

k

qknsknskn

)· ∇f(r− sn)

].

O dipolo eletrico da n-esima molecula e,

pn =∑

k

qknskn , (6.31)

e supomos, para simplificar nossos calculos abaixo, que o momento quadrupolar eletrico dan-esima molecula,

↔Qn ≡ 3

∑

k

qknsknskn ≡↔0 , (6.32)

seja zero, isto e, que as moleculas do material tenham momento quadrupolar eletrico nulo. Apolarizacao do meio fica, entao,

Pmic(r, t) =∑

n

pnδ(3)(r− sn) , (6.33)

ja que a n-esima molecula tem um dipolo instantaneo pn. Com essas observacoes, concluımosque,

〈Pmic(r, t)〉 =∑

n

pn

∫d3r′f(r′)δ(3)(r− r′ − sn) (6.34)

=∑

n

pnf(r− sn) =∑

n

(∑

k

qknskn

)f(r− sn) ,

e, reconhecendo essa quantidade na expressao (6.30), vem,

〈%mic(r, t)〉 '∑

m

qmf(r− rm) +∑

n,k

qknf(r− sn)−∇ · 〈Pmic(r, t)〉 . (6.35)

A densidade macroscopica de carga livre e, naturalmente, definida como,

%(r, t) ≡⟨∑

m

qmδ(3)(r− r′ − rm)

⟩=

∫d3r′f(r′)

∑

m

qmδ(3)(r− r′ − rm) =

∑

m

qmf(r− rm) ,

(6.36)

tal que, comparando com (6.35) e supondo que cada molecula seja neutra,∑

k qkn = 0,

〈%mic(r, t)〉 ' %(r, t)− 〈∇ ·Pmic(r, t)〉 ≡ %(r, t)−∇ ·P(r, t) , (6.37)


ondeP(r, t) ≡ 〈Pmic(r, t)〉 , (6.38)

analogamente ao caso eletrostatico. A lei de Gauss macroscopica (6.23)(iii) fica, entao,

∇ ·E(r, t)〉 = 1ε [%(r, t)−∇ ·P(r, t)] , (6.39)

ou seja∇ ·D(r, t)〉 = %(r, t) , (6.40)

onde definimos o vetor deslocamento como,

D(r, t) ≡ εE(r, t) + P(r, t) . (6.41)

Calculemos, agora, 〈jmic(r, t)〉. Da propria definicao da corrente microscopica temos,

jmic(r, t) ≡ %mic(r, t)vmic(r, t) , (6.42)

onde vmic(r, t) e o campo de velocidades das cargas do meio material. Inserindo a expressao(6.27),

jmic(r, t) =∑

m

qmδ(3)(r− rm)vmic(r, t) +

∑

n,k

qknδ(3)(r− skn − sn)vmic(r, t) (6.43)

=∑

m

qmrmicδ(3)(r− rm) +

∑

n,k

qkn(skn + sn)δ(3)(r− skn − sn) , (6.44)

onde o campo de velocidades das cargas calculado exatamente sobre a m-esima carga livre da ovalor de sua velocidade,

δ(3)(r− x)vmic(r, t) = δ(3)(r− x)vmic(x, t) = δ(3)(r− x)x . (6.45)

Com esses resultados, podemos escrever,

〈jmic(r, t)〉 =

∫d3r′f(r′)jmic(r− r′, t) (6.46)

=∑

m

qmrm

∫d3r′f(r′)δ(3)(r− r′ − rm) +

∑

n,k

qkn(skn + sn)

∫d3r′f(r′)δ(3)(r− r′ − skn − sn)

=∑

m

qmrmf(r− rm) +∑

n,k

qkn(skn + sn)f(r− skn − sn) .

Podemos aproximar, novamente,

f(r− skn − sn) ' f(r− sn)− skn · ∇f(r− sn) , (6.47)

e definir, naturalmente, a densidade macroscopica de corrente livre,

j(r, t) ≡⟨∑

m

qmrmδ(3)(r− rm)

⟩=∑

m

qmrm

∫d3r′f(r′)δ(3)(r−r′−rm) =

∑

m

qmrmf(r−rm) .

(6.48)Logo,

〈jmic(r, t)〉 ' j(r, t) +∑

n,k

qkn(skn + sn)f(r− sn)−∑

k,n

qkn(skn + sn)skn · ∇f(r− sn) . (6.49)


Como estamos trabalhando agora para obter a equacao de Ampere-Maxwell macroscopica, pre-cisamos fazer aparecer, nos resultados acima, o rotacional da magnetizacao, alem da derivadatemporal da polarizacao. A magnetizacao e dada por

Mmic(r, t) =∑

n

mnδ(3)(r− sn) , (6.50)

onde mn e o momento dipolar magnetico da n-esima molecula, definido como,

mn ≡1

2

∑

k

qknskn × skn . (6.51)

Assim, queremos reconhecer, na expressao para 〈jmic(r, t)〉, o rotacional de 〈Mmic(r, t)〉:

∇× 〈Mmic(r, t)〉 = ∇×∑

n

mmf(r− sn) = −∑

n

mm ×∇f(r− sn) (6.52)

= −1

2

∑

n,k

qkn(skn × skn)×∇f(r− sn)

= −1

2

∑

n,k

qknsknskn · ∇f(r− sn) +1

2

∑

n,k

qknsknskn · ∇f(r− sn)

= −1

2

∑

n

[∑

k

qknd

dt(sknskn)

]· ∇f(r− sn) +

∑

n,k


= −1

6

∑

n

[d

dt

(3∑

k

qknsknskn

)]· ∇f(r− sn) +

∑

n,k


= −1

6

∑

n

d↔Qndt

· ∇f(r− sn) +

∑

n,k

qknsknskn · ∇f(r− sn) .

Mas como estamos supondo que↔Qn =

↔0 , vem

∇× 〈Mmic(r, t)〉 =∑

n,k

qknsknskn · ∇f(r− sn) , (6.53)

que tambem e equivalente a,

∇× 〈Mmic(r, t)〉 =∑

n,k

qknsknskn · ∇f(r− sn) , (6.54)

e, portanto,

〈jmic(r, t)〉 ' j(r, t) +∑

n,k

qkn(skn + sn)f(r− sn)−∑

n,k

qkn(skn+ sn)skn · ∇f(r− sn)

= j(r, t) +∑

n,k

qknsknf(r− sn) +∑

n,k

qknsnf(r− sn) (6.55)

−∑

n,k

qknsknskn · ∇f(r− sn)−∑

n,k

qknsnskn · ∇f(r− sn)

= j(r, t) +∑

n,k

qknsknf(r− sn) +∑

n,k

qknsnf(r− sn)

+∇× 〈Mmic(r, t)〉 −∑

n,k

qknsnskn · ∇f(r− sn) .


Como tambem estamos supondo que a carga total de cada molecula seja nula,∑

k qkn = 0,desaparece o terceiro termo, tal que,

〈jmic(r, t)〉 ' j(r, t) +∇× 〈Mmic〉+∑

n,k

qknsknf(r− sn)−∑

n,k

qknsnskn · ∇f(r− sn) . (6.56)

A derivada temporal parcial da polarizacao e dada pela expressao (6.34),

∂P(r, t)

∂t=

∂

∂t

∑

n,k

qknsknf(r− sn)

(6.57)

=∑

n,k

qkn∂skn∂t

f(r− sn) +∑

n,k

qknskn∂

∂tf(r− sn)

=∑

n,k

qknsknf(r− sn)−∑

n,k

qknsknskn · ∇f(r− sn) .

Podemos usar essa formula para substituir o terceiro termo da equacao (6.56),

〈jmic(r, t)〉 ' j(r, t) +∇× 〈Mmic(r, t)〉+∂P(r, t)

∂t+∑

n,k

qkn[sknsn · ∇f(r− sn)− snskn · ∇f(r− sn)]

= j(r, t) +∇× 〈Mmic(r, t)〉+∂P(r, t)

∂t+∑

n,k

qkn∇× [(skn × sn)f(r− sn)] (6.58)

= j(r, t) +∇× 〈Mmic(r, t)〉+∂P(r, t)

∂t+∇×

∑

n,k

qknskn × snf(r− sn)

= j(r, t) +∂P(r, t)

∂t+∇×

〈Mmic(r, t)〉+∇×

∑

n,k


.

Comparemos os termos entre colchetes:

〈Mmic(r, t)〉+∑

n,k

qknskn × snf(r− sn) =∑

n

mnf(r− sn) +∑

n,k


= 12

∑

n,k

qknskn × sknf(r− sn) +

∑

n,k

qknskn × sn

f(r− sn) . (6.59)

Vamos supor tambem que o material nao esteja em movimento, de forma que as velocidadesdas moleculas, sn, sejam muito menores, em valor absoluto medio, do que as velocidades dascargas em cada molecula, skn, tambem em valor absoluto medio. Com isso, podemos desprezaro segundo termo da equacao acima e escrever,

µ〈jmic(r, t)〉 ' µj(r, t) + µ∂P(r, t)

∂t+ µ∇× 〈Mmic(r, t)〉 . (6.60)

A equacao de Ampere-Maxwell, entao, em media espacial (6.23)(i) da,

∇×B(r, t) = µ〈jmic(r, t)〉+ εµ

⟨∂Emic(r, t)

∂t

⟩(6.61)

= µ〈j(r, t) + µ∂P(r, t)

∂t+ µ∇× 〈Mmic(r, t)〉+ εµ

∂E(r, t)

∂t,


ou ainda,

∇× [B(r, t)− µ∇× 〈Mmic(r, t)〉] = µ〈j(r, t) + µ∂

∂t[εE(r, t) + P(r, t)] , (6.62)

Definindo,M(r, t) ≡ 〈Mmic(r, t)〉 , (6.63)

eH(r, t) ≡ 1

µB(r, t)−M(r, t) , (6.64)

e reconhecendo o campo deslocamento eletrico, D(r, t) = εE(r, t) + P(r, t), obtemos,

∇×H(r, t) =∂D(r, t)

∂t+ j(r, t) , (6.65)

que e a equacao de Ampere-Maxwell macroscopica.

6.1.4 As leis fundamentais em materiais polarizaveis e magnetizaveis

O meio e nao condutor porque, mesmo havendo campo eletrico aplicado ao meio, nao ha correntelivre. O meio e linear porque a polarizacao e a magnetizacao dependem linearmente dos camposeletrico e intensidade magnetica, respectivamente. O meio e homogeneo porque as susceptibili-dades nao dependem da posicao no meio. Como as direcoes da polarizacao e da magnetizacaoinduzidas sao paralelas, respectivamente, aos campos eletrico e intensidade magnetica, o meioe dito isotropico; sera dito anisotropico quando a polarizacao for ao longo de uma direcao naoparalela ao campo eletrico ou quando a magnetizacao for ao longo de uma direcao nao paralelaao campo intensidade magnetica.

As equacoes de Maxwell sao complementadas pelas equacoes materiais caracterizando o meio.As equacoes de Maxwell para campos eletricos e magneticos E(r, t) e B(r, t), D(r, t) e H(r, t)sao,

(i) ∇×H = ∂tD + j (6.66)

(ii) ∇×E = −∂tB(iii) ∇ ·D = %

(iv) ∇ ·B = 0 .

Os campos sao relacionados pela polarizacao macroscopica P(r, t) e a magnetizacao macroscopicaM(r, t),

P = D− ε0E , M = µ−10 B−H . (6.67)

Para uma dada distribuicao de densidade de carga %(r, t) e uma distribuicao de densidade defluxo de corrente j(r, t), as seis equacoes (6.66) e (6.67) acima definem as seis componentes doscampos sem ambiguidade. No vacuo ε0E = D e µ−1

0 B = H as equacoes de Maxwell simplificam.No entanto, em meios materiais as grandezas secundarias D e H nao sao iguais aos campos.

Outras grandezas importantes sao a densidade da energia dos campos u(r, t), o fluxo deenergia ou vetor de Poynting s(r, t), e a densidade de forca de Lorentz f(r, t)

u = 12(E ·D + B ·H) , (6.68)

s = E×H ,

f = %E + 1c j×B .


Dependente do tipo de material as equacoes podem as vezes ser simplificadas. Por exemplo,temos para um

meio condicao

ferroeletrico D = D(E) ,

dieletrico D = εE, P = χεε0E, ε = 1 + χε

ferromagnetico B = B(H) ,

dia- e paramagnetico B = µH, M = χµH, µ = 1 + χµ

carregado ρ 6= 0

nao ohmico j = j(E)

ohmico j = σE

isolante j = 0

As equacoes materiais definem as constantes materiais, isto e, a permitividade ε, a permeabilidadeµ e a condutividade σ. Estas grandezas sao escalares para meios isotropicos e tensores para meiosanisotropicos.

6.2 As leis de conservacao no electromagnetismo

Em mecanica classica aprendemos a utilizar o conceito de leis de conservacao para obter primeirasintegrais das equacoes de movimento. Para cada lei de conservacao, podemos eliminar umaequacao de movimento. Assim, em mecanica, as leis de conservacao sao muito importantespara diminuir o numero de equacoes que precisamos resolver. Nem sempre podemos encontrarum numero de leis de conservacao igual ao de equacoes de movimento; nesse caso, o sistemadinamico e dito nao integravel. E em electromagnetismo? As equacoes de Maxwell juntamentecom a forca de Lorentz tambem formam um sistema dinamico, embora muito complicado, masque pode tornar-se mais tratavel se tivermos leis de conservacao. Como vimos anteriormente,a equacao da continuidade expressa a conservacao da carga eletrica. Poderıamos ter tambem aenergia conservada? A seguir teremos a elucidacao dessa questao atraves da demonstracao doteorema de .

A partir das equacoes de Maxwell segue numero de relacoes interessantes, como a equacaode continuidade eletrodinamica, o teorema de Poynting e a conservacao do momento linear e domomento angular.

6.2.1 Conservacao de carga e equacao de continuidade

Calculando o divergente da primeira equacao de Maxwell e usando a terceira,

∇ · (∇×H) = ∂t∇ ·D +∇ · j = ∂t%+∇ · j = 0 . (6.69)

Esta lei descreve a conservacao da carga na eletrodinamica.

6.2.2 Conservacao de energia e teorema de Poynting

A derivada temporal da densidade de energia (6.68)(i) e,

∂tu = 12(E · ∂tD + D · ∂tE + B · ∂tH + H · ∂tB) = E · ∂tD + H · ∂tB . (6.70)

6.2. AS LEIS DE CONSERVACAO NO ELECTROMAGNETISMO 199

O divergente do vetor de Poynting e,

∇ · s = ∇ · (E×H) = H · (∇×E)−E · (∇×H) = −H · ∂tB−E · (∂tD + j) . (6.71)

Com isso vemos imediatamente,

∂tu+∇ · s = −j ·E . (6.72)

Para entender este teorema, calculamos o trabalho exercido pela forca de Coulomb-Lorentzpor unidade de tempo sobre a densidade de corrente eletrica,

dW

dt=

d

dt

∫

CF · dl =

d

dt

∫q(E + v ×B) · vdt =

d

dt

∫qE · vdt = qE · v =

∫

VE · jdV . (6.73)

O termo, ∮

∂VE×H dS =

∫

V∇ · s dV =

∫

∂Vs · dS , (6.74)

descreve um fluxo de energia, tal que o teorema de Poynting,

dW

dt= −1

2

dUemdt−∫

∂Vs · dS . (6.75)

postula a conservacao da energia. Ou seja, a energia dentro de um volume V somente podemudar 1. por difusao fora do volume por um fluxo do vetor de Poynting ou 2. quando trabalhomecanico e aplicado ao volume ou energia eletromagnetica do volume e dissipada em outrasformas de energia, por exemplo, calor. Derivamos as leis de conservacao de carga e de energiano Exc. 6.4.2.1 e aplicamos o teorema de Poynting num fio percorrido de corrente no Exc. 6.4.2.2.

6.2.3 Conservacao de momento linear e o tensor de estresse de Maxwell

6.2.3.1 Momento linear do campo eletromagnetico

A forca de Coulomb e obviamente compatıvel com terceira lei de Newton: actio = reactio, masisso nao vale para a forca de Lorentz. Para ver isso, consideramos duas partıculas carregadascom trajetorias,

l1(t) = vtex , l2(t) = vtey . (6.76)

No tempo t = 0, quando eles entram em colisao, as forcas ficam ortogonais:

F12 = qv2 ×B1 ⊥ qv1 ×B2 = F21 . (6.77)

Claro, que isso nao e aceitavel do ponto de vista mecanica, e a resolucao do problema e, quea situacao considerada nao e estacionaria. Devemos tomar em conta, que a aceleracao de umacarga deve ter repercussao no campo mesmo. Isto e, o campo mesmo pode perder ou ganharmomento.

6.2.3.2 O tensor de estresse de Maxwell

Consideramos agora a densidade de forca de Lorentz, que tentamos exprimir totalmente emtermos de campos eliminando as densidades de carga e de corrente [4],

f = %E + j×B = E(∇ ·D) +

(∇×H− ∂D

∂t

)×B . (6.78)


Figura 6.4: As forcas de Lorentz exercidas por cargas que se aproximam sao mutualmenteortogonais.

Reformulamos o ultimo termo,

∂D

∂t×B = −D× ∂B

∂t+∂

∂t(D×B) = D× (∇×E) +

∂

∂t(D×B) . (6.79)

Sabendo H(∇ ·B) = 0, podemos inserir este termo sem custo,

f = E(∇ ·D) + (∇×E)×D + H(∇ ·B) + (∇×H)×B− ∂

∂t(D×B) . (6.80)

Introduzimos agora uma grandeza chamada de densidade de momento de Minkowski docampo eletromagnetico,

℘M ≡ D×B , (6.81)

que ainda precisa ser interpretada e o tensor de estresse de Maxwell (na forma de Minkowski)por,

TMij ≡ EiDj +HiBj − δij2 (E ·D + H ·B) . (6.82)

Definindo o divergente de uma matriz por,

∇ ·T ≡ ∂iTij , (6.83)

podemos reformular a forca de Lorentz,

−∂t℘M +∇ ·TM = f . (6.84)

A forca mecanica agindo sobre um volume V,

F =

∮

∂VT · dS− d

dt

∫

V℘MdV , (6.85)

pode ser exprimida pelo ’estresse’ agindo sobre sua superfıcie em cada direcao. As componentesdiagonais Tii representam ’pressoes’ e as nao-diagonais ’tensoes de cisalhamento’. Resolvemosexercıcios de pressao radiativa nos Excs. 6.4.2.3 ate 6.4.2.6.

6.2.3.3 Conservacao de momento linear

Pela segunda lei de Newton, F = ∂tpmec ou f = ∂t℘mec, a forca de Lorentz produz uma variacaodo momento mecanico. A soma deste momento mecanico e de um momento pM =

∫V ℘

MdV ,que deve ser atribuıdo ao campo eletromagnetico, somente pode mudar atraves do termo ∇ ·T.Isso e a lei de conservacao do momento linear. Evidentemente, −T e a densidade de fluxo demomento, tendo uma funcao similar ao da densidade de corrente j na equacao de continuidade

6.2. AS LEIS DE CONSERVACAO NO ELECTROMAGNETISMO 201

ou da densidade de fluxo s no teorema de Poynting. −Tij e o momento por unidade de area ede tempo em direcao i passando pela superfıcie orientada em direcao j. Note, que o vetor dePoynting aparece em duas funcoes bem diferentes: Na equacao da conservacao de energia s ea energia por unidade de area e tempo transportada pelos campos eletromagneticos, enquantona equacao de conservacao de momento ε0µ0s e o momento por unidade de volume armazenadonestes campos. Similarmente, T tem duas funcoes: T e o estresse eletromagnetico (isto e,uma forca por unidade de area) agindo sobre uma superfıcie, enquanto −T descreve o fluxo demomento (a densidade de corrente de momento) transportado por estes campos.

Figura 6.5: As leis de conservacao de energia e momento conectam a eletrodinamica com amecanica classica e a termodinamica.

Forcas exercidas por campos sobre partıculas podem ser interpretadas como sendo devido aum espalhamento de partıculas ”virtuais”. Por exemplo, a forca eletrostatica entre partıculascarregadas e a forca magnetostatica entre dipolos magneticos sao causadas por uma troca defotons virtuais. Estes fotons carregam momento que e transferido por recuo no instante do espa-lhamento. Como o foton nao tem massa, o potencial coulombiano (respectivamente, magnetico)tem alcance infinito.

O conceito fotonico pode ser estendido a campos eletromagneticos, como demonstrado porMax Planck em sua discussao da radiacao do corpo negro. A emissao espontanea de um fotondurante o decaimento de um atomo excitado postulado por Albert Einstein e proibido pelamecanica quantica ”classica”e requer a quantizacao do campo eletromagnetico para sua ex-plicacao. O fato que feixes de luz podem exercer forcas e, hoje em dia, comumente utilizado portecnicas de resfriamento de gases atomicos 5 Derivamos a lei de conservacao do momento linearno Exc. 6.4.2.7.

Exemplo 55 (O dilema de Abraham-Minkowski): A expressao s = 1c2 E ×H para o

fluxo de energia em meios dieletricos foi proposta por Abraham em 1909, mas nao e obvioque esta expressao e correta. De fato, no mesmo ano 1909 Minkowski propus a expressaos = D×B, e ate hoje este dilema de Abraham-Minkowski nao e resolvido [1, 5].De maneira bastante simplificada, o dilema pode ser ilustrado pelo fato, que ate a expressaocorreta para o momento fotonico dentro de um dieletrico e desconhecida. Pois, sabendo que avelocidade de fase e reduzida num meio dieletrico, c→ c/n, concluımos a partir do momentocinetico no vacuo, p = m c

n , ou com a formula de Einstein, m = ~ωc2 . Isto e, o momento

fotonico dentro de um meio dieletrico deve ser p = ~ωnc . Do outro lado, comecando com a

expressao de de Broglie, p = hλ , usando a relacao de dispersao, λ = c

nν , concluımos que o

5Precisamos notar aqui, que a discussao do momento linear nao termina aqui, pois existe ate hoje um con-troversia sobre a expressao e o valor correto do momento em meios dieletricos conhecida como dilema de Abraham-Minkowski, que discutiremos no capıtulo seguinte.


momento fotonico dentro de um meio dieletrico deve ser, p = n~ωc .

De maneira mais correta, o dilema vem do fato que, a priori, nao e claro se a expressaocorreta para o momento carregado por uma onda eletromagnetica e,

℘A = 1c2 S = 1

c2 E×H ou ℘M = D×B .

No vacuo nao tem diferencia, mas no caso de uma onda plana dentro de um meio dieletrico,E(r, t) = E0ex cosω(t− n

c z) e B(r, t) = nc ez ×E(r, t), calculamos,

℘A ≡ 1c2 E×H = 1

µc2 E×B = − 1µc2E

20 ez

nc cos2 ω(t− n

c z) = − 1µc2E

20 ez

nc

12 = −ez

unc

℘M ≡ D×B = εE×B = εµc2℘A = n2℘A

Derivamos no capıtulo anterior as leis de conservacao de energia e de momento linear, quenao pode ser questionada, a partir das equacoes de Maxwell. ???Forca sobre o meio,

fmed = ∂t℘M−∂t℘A = ∂t(D×B)− 1

c2 ∂t(E×H) = (εµε0µ0− 1c2 )∂t(E×H) = 1

c2 (n2−1)∂t(E×H) .

A forca tambem e,

fMmec = ∇ ·T− ∂t℘M = %E + j×B

fAmec = ∇ ·T− ∂t℘A = %E + j×B + fmed .

A forca pode ser escrita de forma mais compacta introduzindo o tensor de estresse deAbraham,

TAmn = 12 (EmDn + EnDm) + 1

2 (HmBn +HnBm)− uδmn ,d

dt(℘mec + ℘A) = ∇ ·TA .

6.2.4 Conservacao do momento angular do campo eletromagnetico

Definimos o momento angular por,

L ≡ r× s . (6.86)

A conservacao do momento angular tambem e fixada pela equacoes de Maxwell.

6.3 Formulacao potencial da eletrodinamica

6.3.1 Os potenciais vetorial e escalar

Todas grandezas envolvidas nas equacoes de Maxwell no vacuo, os campos E(r, t) e B(r, t) assimcomo as distribuicoes de carga ρ(r, t) e de corrente j(r, t) dependem do espaco e do tempo.Sabendo que quando o divergente de um campo e nulo em todo lugar, ∇ · B = 0, concluımosque este campo deve ser o rotacional de outro campo. Isto e, existe um campo vetorial A(r, t),tal que,

B(r, t) = ∇×A(r, t) . (6.87)

Substituindo o chamado potencial vetorial A(r, t) na lei de Faraday, ∇×E = −∂B∂t , obtemos,

∇×E = − ∂

∂t(∇×A) = −∇× ∂A

∂t. (6.88)

6.3. FORMULACAO POTENCIAL DA ELETRODINAMICA 203

Dai,

∇×(

E +∂A

∂t

)= 0 . (6.89)

Agora, como o rotacional do campo dentro das parenteses e nulo em todo lugar, segue que existeum campo escalar Φ(r, t), chamado de potencial escalar, tal que,

E +∂A

∂t= −∇Φ . (6.90)

O sinal de menos na frente do gradiente de φ(r, t), e introduzido para recuperarmos o casoeletrostatico quando A(r, t) nao depender do tempo. Em suma, se conhecermos os potenciaisvetorial e escalar, poderemos calcular os campos E(r, t) e B(r, t) seguindo a prescricao expressapelas equacoes:

E = −∇Φ− ∂A

∂te B(r, t) = ∇×A(r, t) . (6.91)

6.3.2 Transformacao de calibre

Inserindo a expressao do campo eletrico pelos potenciais vetorial e escalar dentro da lei de Gauss,∇ ·E = %

ε0,

%

ε0= ∇ ·

(−∇Φ− ∂A

∂t

)= −∇2Φ− ∂∇ ·A

∂t. (6.92)

Substituindo os campos E(r, t) e B(r, t) pelos potenciais definidos por (6.91), dentro da lei deAmpere-Maxwell, ∇×B = µ0j + ε0µ0

∂E∂t , obtemos,

∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A−∇2A) = µ0j−1

c2

∂

∂t

(−∇Φ− ∂A

∂t

). (6.93)

ou seja,

∇2A− 1

c2

∂A

∂t−∇

(∇ ·A +

1

c2

∂Φ

∂t

)= −µ0j . (6.94)

Notemos que se a expressao dentro da parentese zerasse,

∇ ·A +1

c2

∂Φ

∂t

?= 0 , (6.95)

teremos para os potenciais equacoes tipo equacao de onda,

∇2Φ− 1

c2

∂2Φ

∂t2= − %

ε0e ∇2A− 1

c2

∂2A

∂t2= −µ0j . (6.96)

Para analisar a viabilidade da expressao (6.95) suponhamos novos potenciais,

Φ1 ≡ Φ− 1

c

∂χ

∂te A1 ≡ A +∇χ . (6.97)

Obviamente, estes potenciais produzem os mesmos campos, pois,

B1 = ∇× (A +∇Φ) = B , (6.98)

usando as expressoes (6.91) e,

E1 = −∇(

Φ− 1

c

∂Φ

∂t

)− 1

c

∂

∂t(A +∇χ) = −∇Φ− 1

c

∂

∂tA = E . (6.99)


Assim, fica claro que os campos sao os mesmos para uma infinidade de potenciais diferentes,desde que satisfacam a chamada transformacao de calibre,

A −→ A +∇χ e Φ −→ Φ− c−1∂tχ . (6.100)

Essa invariancia de calibre deixa os campos observaveis E e B invariante.Enfatizamos que nao e necessario postular a satisfacao da equacao (6.95), mas sempre e

possıvel encontrar uma funcao escalar χ que permita a utilizacao de novos potenciais, dando osmesmos campos e satisfazendo esta equacao. A equacao,

∇ ·A +1

c2

∂Φ

∂t

!= 0 (6.101)

e conhecida como o calibre de Lorentz 6

Estudamos exemplos do calibre de Lorentz nos Excs. 6.4.3.1 e 6.4.3.3.

6.3.2.1 Calibre de Lorentz

Introduzindo a notacao do operador de Alembert,

≡ ∇2 − ε0µ0∂2

∂t2, (6.102)

as equacoes de onda (6.96) ficam,

Φ = −ε−10 % e A = −µ0j . (6.103)

Elas generalizam as equacoes eletro- e magnetostaticas (6.7) para incluir variacoes temporaissimplesmente substituindo o laplaciano por um alembertiano. O tratamento democratico de Φe A por uma equacao ’tipo Poisson’ em quatro dimensoes espaco-temporal e particularmenteinteressante no contexto da relatividade especial.

6.3.2.2 Calibre de Coulomb

A condicao (6.101) que os potenciais devem satisfazer poder ser cumprida colocando,

∇ ·A != 0 e

∂Φ

∂t

!= 0 . (6.104)

Isso se chama calibre de Coulomb. As equacoes definem a magnetostatica. Com elas obtemos, apartir de (6.96), a equacao de Poisson,

∇2Φ = − %ε0, (6.105)

cuja solucao, deixando Φ = 0 no infinito, e,

Φ(r, t) =1

4πε0

∫%(r′, t)|r− r′|dV

′ . (6.106)

E importante ser consciente que, diferentemente da eletrostatica, precisamos conhecer A(r, t)tambem para poder calcular o campo E(r, t) atraves da formula (6.91).

6Esta liberdade pode ser usada para varios calibres, por exemplo, aquele de Coulomb ou de Lorentz.


Pode parecer estranho que o potencial escalar no calibre de Coulomb e determinado peladistribuicao de carga instantanea: Movendo um eletron num ponto r′, o potencial num pontodistante, Φ(r), imediatamente captura esta mudanca nao sendo limitado pelo limite de velocidadede transmissao de informacao postulado pela teoria da relatividade especial. A explicacao e, queΦ nao e uma grandeza fısica observavel. Para inferir uma mudanca de % devemos medir E, quedepende de A tambem. De alguma maneira e imprimida no calibre de Coulomb que, enquantoΦ(r) reflete instantaneamente todas as variacoes de %(r′), o potencial vetor depende de umamaneira bem mais complicada das variacoes, tal que a combinacao −∇Φ − ∂A/∂t somentereage as variacoes depois de um tempo suficiente para informacao chegar.

A vantagem do calibre Coulomb e, que o potencial escalar e simples de calcular. A desvan-tagem e, alem da aparencia nao causal de Φ, que e particularmente difıcil de calcular A: Aequacao diferencial para A no calibre de Coulomb e (6.94).

6.3.3 A funcao de Green

Uma ferramenta util na resolucao da equacao de Laplace e a funcao de Green. A dinamica desistemas fısicos frequentemente e descrita por equacoes diferenciais do tipo,

Lu(x) = ρ(x) , (6.107)

onde L = L(x) e um operador diferencial linear. Enquanto este operador tem uma forma bemgenerica, o comportamento de um sistema particular depende da escolha da funcao ρ. A equacaode Laplace, onde L ≡ ∇2 e ρ e uma distribuicao particular de carga e um exemplo.

Um metodo de resolver esta equacao diferencial consiste em primeiro resolver a equacaoseguinte,

LG(x, s) = δ(x− s) , (6.108)

onde G(x, s) e chamado a funcao de Green do operador. Se o kernel de L nao e trivial a funcaode Green nao e unica. No entanto, em pratica, alguma combinacao de simetria, condicoes decontorno e/ou outros criterios externamente impostos tornam a funcao de Green unica.

Funcoes de Green sao ferramentas uteis para resolver equacoes de onda e de difusao. Emmecanica quantica, a funcao de Green do Hamiltoniano e intrinsecamente conectada ao conceitoda densidade de estados. Se o operador e invariante a respeito de translacoes, isto e, se L temcoeficientes constantes a respeito de x, entao a funcao de Green pode ser tomada o operador deconvolucao, isto e,

G(x, s) = G(x− s) . (6.109)

Neste caso, a funcao de Green e a mesma como a impulse response na teoria de sistemas linearesindependentes do tempo. Se uma tal funcao G pode ser encontrada para o operador L, entaomultiplicando a Eq. (6.108) para a funcao de Green por f(s), e depois integrando pela variavels, obtemos: ∫

LG(x, s)ρ(s)ds =

∫δ(x− s)ρ(s)ds = ρ(x) . (6.110)

O lado direito agora e dado pela Eq. (6.109) sendo igual a Lu(x), portanto,

Lu(x) =

∫LG(x, s)ρ(s)ds = L

(∫G(x, s)ρ(s)ds

). (6.111)

Como o operador L = L(x) e linear e age somente sobre a variavel x (e nao sobre a variavel deintegracao s), podemos botar L fora de integracao no lado direito. Isso da,

u(x) =

∫G(x, s)ρ(s)ds . (6.112)


Portanto, podemos obter a funcao u(x) atraves do conhecimento a funcao de Green na Eq. (6.108)e do termo de fonte no lado direito da Eq. (6.109). Este processo so funciona porque o operadorL e linear.

Em outras palavras, a solucao da Eq. (6.109), u(x), pode ser determinada pela integracaodad na Eq. (6.112). Apesar de ρ(x) ser conhecido, para executar esta integracao devemosconhecer tambem G. O problema agora fica na determinacao da funcao de Green G que satisfaza Eq. (6.108). Por isso, tambem chamamos a funcao de Green a solucao fundamental associadaao operador L.

Nao todo operador L admite uma funcao de Green. A funcao de Green pode ser consideradacomo a inversao de L ≡ G−1. Em pratica, nao o calculo da funcao de Green pode ser complicadapara um operador particular, mas tambem a avaliacao da integral na Eq. (6.112). Pelo menos oresultado obtido e teoricamente exato.

No Exc. 6.4.3.4 conheceremos uma funcao de Green da equacao de onda.

Exemplo 56 (Resolvendo a equacao de Laplace pelo metodo de Green): A equacaode Laplace e,

∇2φ(r) = −ε−10 ρ(r) .

A funcao de Green,

G(r, r′) = G(r− r′) =1

4π|r− r′| ,

resolve a equacao de Poisson,

∇2G(r− r′) = −δ3(r− r′) .

Portanto, a solucao da equacao de Laplace e,

Φ(r) =1

4πε0

∫ρ(r′)d3r′

|r− r′| .

6.3.4 Potenciais retardados de distribuicoes de carga contınuas

No calibre de Lorentz Φ e A satisfazem as equacoes de onda inomogeneas (6.103) incorporandoum termo de ’fonte’. Usaremos no seguinte exclusivamente o calibre de Lorentz dentro do quala electrodinamica inteira se resume a resolver (6.103).

Mas antes disso damos uma olhada a situacao estatica, onda as equacoes (6.103) se reduzempara equacoes de Poisson,

∇2Φ = −ε−10 % e ∇2A = −µ0j , (6.113)

com as solucoes conhecidas,

Φ(r) =1

4πε0

∫%(r′)|r− r′|d

3r′ e A(r) =µ0

4π

∫j(r′)|r− r′|d

3r′ . (6.114)

No caso dinamico, a carga confinada no volume dV ′ (vide Fig. 6.6) pode mover, mas paraa informacao sobre este movimento chegar ate o ponto de observacao r demora um tempo

determinado pela velocidade de propagacao da luz: |r−r′|

c . Introduzindo a distancia R entre aposicao da carga e o ponto de observacao e a retardacao temporal tr por,

R ≡ |r− r′| e tr ≡ t− Rc , (6.115)


x

y

z

R

r'

rdV

Figura 6.6: Geometria da fonte e do ponto de observacao.

esperamos a generalizacao da equacao (6.114),

Φ(r, t) =1

4πε0

∫%(r′, tr)R

d3r′ e A(r) =µ0

4π

∫j(r′, tr)R

d3r′ , (6.116)

chamados de potenciais retardados.

O argumento dado acima parece razoavel, mas nao representa uma derivacao estringente,que sera dada no exemplo a seguir. De fato, o mesmo argumento aplicado nos campos E e Bdaria resultados falsos como veremos mais tarde.

Exemplo 57 (Resolucao da equacao de onda pela funcao de Green): Mostramosna secao anterior que, no calibre de Lorentz, dadas as fontes % e j, tudo o que temos a fazerpara encontrar os potenciais escalar e vetorial e resolver equacoes diferenciais tipo equacaode onda (6.96),

∇2ψ(r, t)− 1

c2∂2ψ(r, t)

∂t2= f(r, t) ,

onde ψ e uma variavel para denotar os campos Φ ou A e f para denotar as fontes % ouj. Queremos encontrar, primeiramente, uma solucao particular dessa equacao. Para isso,utilizamos a funcao de Green G(r, t, r′, t′), que, por definicao, satisfaz,

∇2G(r, t, r′, t′)− 1

c2∂2

∂t2G(r, t, r′, t′) = δ(3)(r− r′)δ(t− t′) .

Podemos fazer a transformada de Fourier sobre a variavel t em ambos os membros dessaequacao para obter,

∇2g(r, ω, r′, t′) +ω2

c2∂2

∂t2g(r, ω, r′, t′) = δ(3)(r− r′)

eiωt′

2π,

onde usamos a representacao integral da funcao delta de Dirac, isto e,

δ(t− t′) =1

2π

∫ ∞

−∞e−iω(t−t′)dω

e definimos,

G(r, t, r′, t′) ≡∫ ∞

−∞e−iωtg(r, ω, r′, t′)dω .

Como explicaremos mais adiante, ao inves de resolvermos a equacao diferencial acima, vamosmodifica-la:

∇2gη(r, ω, r′, t′) + (k0 + iη)2gη(r, ω, r′, t′) = δ(3)(r− r′)eiωt

′

2π,


com k0 ≡ ω/c assumindo valores positivos e negativos, como ω: Podemos agora tomar atransformada de Fourier com relacao a variavel r e obter,

−k2gη(k, ω, r′, t′) + (k0 + iη)2gη(k, ω, r′, t′) =e−ik·r

′+iωt′

(2π)4,

onde utilizamos,

δ(3)(r− r′) =1

(2π)3

∫

R3

eik·(r−r′)d3k ,

e definimos,

gη(r, ω, r′, t′) ≡∫eik·rgη(k, ω, r′, t′)d3k .

Logo,

gη(k, ω, r′, t′) =e−ik·r

′+iωt′

(2π)4[−k2 + (k0 + iη)2],

e portanto,

gη(r, ω, r′, t′) =

∫e−ik·(r−r

′)+iωt′

(2π)4[−k2 + (k0 + iη)2]d3k .

Notemos que se nao tivessemos modificado a equacao original e, portanto, equivalentementetomado η = 0, a integral acima nao convergiria e nao poderıamos encontrar uma funcao deGreen pelo presente metodo. No entanto, a funcao de Green, no caso modificado, fica,

Gη(r− r′, t− t′) =

∫ ∞

−∞e−iωtgη(r, ω, r′, t′)dω =

∫d3k

∫ ∞

−∞dω

eik·(r−r′)−iω(t−t′)

(2π)4[−k2 + (k0 + iη)2],

ou ainda,

Gη(r, t) =

∫d3k

∫ ∞

−∞

dω eik·r−iωt

(2π)4[−k2 + (k0 + iη)2]=

1

(2π)4

∫ ∞

−∞dωe−iωt

∫d3k eik·r

[k2 − (k0 + iη)2].

Em coordenadas polares, escolhendo o eixo z do espaco dos vetores de onda k como sendoparalelo ao vetor r, teremos,

∫d3k

eik·r

[k2 − (k0 + iη)2]=

∫ ∞

0

k2dk1

[k2 − (k0 + iη)2]

∫ 2π

0

dφk

∫ π

0

dθk sin θkeik·r

=

∫ ∞

0

dkk2

[k2 − (k0 + iη)2]

∫ 2π

0

dφk

∫ π

0

dθk sin θkeikr cos θk

=

∫ ∞

0

dk2πk2

[k2 − (k0 + iη)2]

∫ 1

−1

dueikru

=2π

ir

∫ ∞

0

dkk

[k2 − (k0 + iη)2](eikr − e−ikr) ,

onde usamos a substituicao u ≡ cos θk. Como vale,

∫ ∞

0

dkke−ikr

[k2 − (k0 + iη)2]= −

∫ 0

−∞dk

keikr

[k2 − (k0 + iη)2],

podemos escrever,

∫d3k

eik·r

[k2 − (k0 + iη)2]=

2π

ir

∫ ∞

−∞dk

keikr

[k2 − (k0 + iη)2].

Os polos dessa integral sao dados por,

Z± = ±(k0 + iη) .


Consideremos a integral no plano complexo:

∮

C

ZeirZ

(Z − Z+)(Z − Z−)dZ ,

onde o contorno e fechado sobre o semi-plano complexo superior. Quando η → 0+ ([veja aFig. 6.7(a)], temos,

∮

C

ZeirZ

(Z − Z+)(Z − Z−)dZ = 2πi

Z+eirZ+

Z − Z+= iπeik0r .

Quando η → 0− [veja a Fig. 6.7(b)], temos,

Im Z

Re Z

Z-R

C

-ih

ih- 0k k0

h<0

Z+R

C

- hi

ih

-k0 k0

h>0

Im Z

Re Z

Z+ Z-

Figura 6.7: Ilustracao da integral.

∮

C

ZeirZ

(Z − Z+)(Z − Z−)dZ = iπe−ik0r .

Mas, com o contorno fechado sobre o semi-plano complexo superior,

∫ ∞

−∞dk

keikr

[k2 − (k0 + iη)2]=

∮

C

ZeirZ

(Z − Z+)(Z − Z−)dZ = iπe±ik0r .

Com esses resultados, podemos concluir que,

∫d3k

eik·r

[k2 − (k0 + iη)2]=

2π2

re±ik0r ,

e portanto,

G±(r, t) = − 1

(2π)4

∫ ∞

−∞dωe−iωt

2π2

re±ik0r = − 1

8π2r

∫ ∞

−∞dωe−iω(t∓ rc ) = − 1

4πrδ(t∓ r

c ) .

Assim, tambem temos,

G±(r− r′, t− t′) = − 1

4π

1

|r− r′|δ(t− t′ ∓ |r−r

′|c ) .

Ha, portanto, duas solucoes possıveis para o problema:

ψ(r, t) =

∫d3r′

∫ ∞

−∞dt′G±(r− r′, t− t′)f(r′, t′)

= − 1

4π

∫d3r′

|r− r′|

∫ ∞

−∞dt′δ(t′ − t± |r−r

′|c )f(r′, t′) = − 1

4π

∫d3r′

f(r′, t∓ |r−r′|

c )

|r− r′| .

Para os campos eletromagneticos especificamente de distribuicoes de cargas e correntes dadas,sendo esses campos nulos no caso de termos as fontes tambem nulas, entendemos que esses


campos sao causados pelas fontes. Nesse caso, utilizaremos as solucoes retardadas e nao asavancadas, isto e,

Φ(r, t) =1

4πε0

∫%(r′, t− |r−r

′|c )

|r− r′| d3r′ e A(r, t) =µ0

4π

∫j(r′, t− |r−r

′|c )

|r− r′| d3r′ .

Alternativamente a derivacao acima podemos simplesmente mostrar, que o chute (6.114)satisfaz a equacao de onda (6.102) e o calibre de Lorentz (6.101). No entanto, isso nao etrivial, pois as expressoes integradas dependem de r explicitamente (por R no denominador) eimplicitamente (pelo tempo retardado td). Apresentamos aqui o calculo para o potencial escalar,

∇rΦ(r) =1

4πε0

∫∇r

%(r′, t− |r−r′|c )

|r− r′| d3r′ (6.117)

=1

4πε0

∫ [1

R∇r%+ %∇r

1

R

]d3r′ =

1

4πε0

∫ [1

R

−%c

R

R+ %−R

R3

]d3r′ .

A divergencia,

∇2rΦ(r) =

1

4πε0

∫ [−%c

(∇r ·

R

R2

)− R

R2·(∇r%

c

)− (∇r%) · R

R3− %

(∇r ·

R

R3

)]d3r′ (6.118)

=1

4πε0

∫ [−%c

1

R2− R

R2·(−%Rc2R

)−(− %RcR

)· R

R3− %4πδ3(R)

]d3r′

=1

4πε0

∫ [%

R− 4π%δ3(R)

]d3r′ =

1

c2

∂2Φ

∂t2− %(r, t)

ε0,

reproduz a equacao de onda.E interessante notar, que o mesmo calculo pode ser feito com tempos avancados, onde o

potencial seria afetado por movimento de carga no futuro, ta = t+ Rc . Mas isso representa uma

violacao do princıpio da causalidade.

6.3.5 Campos retardados na eletrodinamica e as equacoes de Jefimenko

A partir dos potenciais retardados (6.116) podemos determinar os campos atraves das equacoes(6.91),

E(r, t) = −∇rΦ−∂A

∂t= − 1

4πε0

∫ [1

R

−%c

R

R+ %−R

R3

]d3r′ − µ0

4π

∫j(r′, tr)R

d3r′ ,

usando o resultado (6.117). Com c2 = ε0µ0 obtemos a generalizacao dependente do tempo dalei de Coulomb,

E(r, t) =1

4πε0

∫ [%(r′, tr)R

eR +%(r′, tr)cR

eR −j(r′, tr)c2R

]d3r′ . (6.119)

Em situacoes estaticas o segunde e terceiro termo cancelam.Calculamos agora o campo magnetico pela rotacao,

B(r, t) = ∇r ×A =µ0

4π

∫ [1

R(∇r × j)− j×∇r

(1

R

)]d3r′ . (6.120)


Com,

[∇r × j(r′, t− Rc )]x =

∂jz∂y− ∂jy∂z

= −1

c

(z∂R

∂y− y

∂R

∂z

)=

1

cj×∇rR =

1

cj× R

R. (6.121)

Assim a generalizacao dependente do tempo da lei de Biot-Savart fica,

B(r, t) =µ0

4π

∫ [j(r′, tr)R2

+j(r′, tr)cR

]× R

Rd3r′ . (6.122)

As equacoes (6.119) e (6.122) sao as solucoes (causais) das equacoes de Maxwell publicadaspor Jefimenko em 1966. Na pratica, estas equacoes sao de utilidade limitada, uma vez que nor-malmente e mais facil calcular os potenciais retardados e diferencia-los, em vez de ir diretamentepara os campos. No entanto, eles fornecem uma sensacao satisfatoria de fechamento a teoria.Notamos, que a simples substituicao dos tempos t por tr feita para os potenciais em (6.116) naose aplica para os campos.

6.3.6 Os potenciais de Lienard-Wiechert

O objetivo agora e de calcular os potenciais eletromagneticos retardados produzidos pelo movi-mento de uma carga puntiforme q ao longo de uma trajetoria predefinida w(t). A presenca dacarga a um tempo tr num ponto w(tr), chamado de posicao retardada, desta trajetoria tem umimpacto sobre um ponto arbitrario r do espaco no tempo t dado por,

t = tr + |r−w(tr)|c . (6.123)

Num dado instante de tempo t, os potenciais Φ(r, t) e A(r, t) avaliados no ponto r dependem

x

y

zq

trajetória

posição atual

posição retardadaR w t( )r

Figura 6.8: Retardacao de potenciais.

somente de um unico ponto da trajetoria w(tr), onde a carga foi no passado. A equacao (6.116)agora permite calcular,

Φ(r, t) =1

4πε0

∫%(r′, tr)R

d3r′ . (6.124)

Com %(r′, tr) = qδ3(r′ −w(tr)) obtemos,

Φ(r, t) =q

4πε0

∫δ3(r′ −w(t− |r−w(tr)|

c ))

|r− r′| d3r′ =1

4πε0R

∫%(r′, tr)d3r′ . (6.125)


Devido ao tempo finito necessario a luz para atravessar o volume da distribuicao de cargad3r′ = dV ′, o volume aparece estendido no instante temporal tr,

dV ′ −→ dV ′

1− eR · v/c, (6.126)

Finalmente,

Φ(r, t) =1

4πε0

qc

Rc−R · v e A(r, t) =µ0

4π

qcv

Rc−R · v =v

c2Φ(r, t) . (6.127)

Estes sao os chamados potenciais de Lienard-Wiechert. No Exc. 6.4.3.5 calculamos os camposde uma carga puntiforme em movimento uniforme.

6.3.7 Os campos de uma carga puntiforme em movimento

Os campos produzidos por uma carga puntiforme em movimento sao calculados a partir dasequacoes (6.127) usando (6.91). O calculo e complicado, pois devemos avaliar ambos,

R = r−w(tr) e v = w(tr) (6.128)

no tempo retardado implicitamente definido pela equacao,

|r−w(tr)| = c(t− tr) . (6.129)

Comecamos com o gradiente,

∇Φ =qc

4πε0

−1

(Rc−R · v)2∇(Rc−R · v) . (6.130)

Usando (6.123),

∇(Rc) = −c2∇tr . (6.131)

Tambem,

∇(R · v) = (R · ∇)v + (v · ∇)R + R× (∇× v) + v × (∇×R) . (6.132)

O primeiro termo desta expressao da,

(R · ∇)v(tr) = Rxdv

dtr

∂tr∂x

+Rydv

dtr

∂tr∂y

+Rzdv

dtr

∂tr∂z

= a(R · ∇tr) , (6.133)

onde a ≡ v e a aceleracao no tempo retardado. O segundo termo e,

(v · ∇)R = (v · ∇)r− (v · ∇)w = v − v(v · ∇tr) . (6.134)

Usando,

∇× v =

(dvzdtr

∂tr∂y− dvydtr

∂tr∂z

)ex + ... = −a×∇tr , (6.135)

o terceiro termo fica,

R× (∇× v) = −R× (a×∇tr) . (6.136)

Usando,

∇×R = ∇R−∇w = −∇w = −v ×∇tr , (6.137)


o quarto termo fica,

v × (∇×R) = v × (v ×∇tr) . (6.138)

Com estes resultados a expressao (6.132) fica,

∇(R · v) = a(R · ∇tr) + v − v(v · ∇tr)−R× (a×∇tr) + v × (v ×∇tr) (6.139)

= v + (R · a− v2)∇tr .

Agora, calculamos ∇tr,

∇tr = −1c∇R = −1

c∇√

R ·R = − 1

2c√

R ·R∇(R ·R) (6.140)

= − 1

cR[(R · ∇)R + R× (∇×R)]

= − 1

cR[(R · ∇)r− (R · ∇)w + R× (∇×R)] = − 1

cR[R− v(R · ∇tr) + R× (v ×∇tr)] .

Para calcular (R ·∇)w fizemos um calculo analogo a (6.133) e ∇×R ja foi calculado em (6.137).Assim,

∇tr = − 1

cR[R− (R · v)∇tr)] = − R

cR−R · v . (6.141)

Finalmente o gradiente do potencial escalar fica,

∇Φ =1

4πε0

qc

(cR−R cot v)3

[(cR−R cot v)v − (c2 − v2 + R · a)R

]. (6.142)

Um calculo similar para derivada temporal do potencial vetor da o resultado,

∂A

∂t=

1

4πε0

qc

(cR−R · v)3

[(cR−R · v)(−v +

R

ca) +

R

c(c2 − v2 + R · a)v

]. (6.143)

O rotacional do potencial vetor da,

∇×A =1

c2∇× (Φv) =

1

c2[Φ(∇× v)− v(∇Φ)] (6.144)

= −1

c

q

4πε0

1

(R · u)3R× [(c2 − v2)v + (R · a)v + (R · u)a] ,

usando as expressoes (6.135) e (6.142).Juntando estes resultados pelas equacoes (6.91), achamos os campos,

E(r, t) =q

4πε0

R

(R · u)3[(c2 − v2)u + R× (u× a) , (6.145)

e,

B(r, t) = 1cR×E(r, t) . (6.146)

Obviamente, o campo magnetico de uma carga puntiforme e sempre perpendicular ao campoeletrico, e ao vetor do ponto retardado. O primeiro termo em E (envolvendo (c2 − v2) · u)cai como 1/R2. Se a velocidade v e a aceleracao a forem zero, esse termo sobrevive e reduz aoantigo resultado eletrostatico (2.3). Por esta razao, este termo e chamado de campo de Coulombgeneralizado. O segundo termo (envolvendo R × (u × a)) cai como 1/R e, portanto, se torna


dominante em grandes distancias. Como veremos na Sec. ??, e esse o termo responsavel pelaradiacao eletromagnetica.

Conhecendo os campos podemos, pela lei da forca de Coulomb-Lorentz determinar a forcaagindo sobre uma partıcula teste Q,

F(r, t) =qQ

4πε0

R

(R · u)3

[(c2 − v2)u + R× (u× a)] (6.147)

+V

c×[eR × [(c2 − v2)u + R× (u× a)]

].

onde V e a velocidade de Q, e r, u, v e a sao todos avaliados no tempo retardado. A ele-trodinamica classica inteira e contida nesta equacao, pois como a carga e quantizada, podemosaplicar o princıpio de superposicao e calcular o impacto de uma qualquer distribuicao de cargasobre uma partıcula teste Q. So que, em visto da complexidade de (6.147), o esforco parecegrande.

Exemplo 58 (Campos eletrico e magnetico gerado por uma carga em movimentouniforme): Colocamos a = 0 em (6.145),

E(r, t) =q

4πε0

R

(R · u)3(c2 − v2)u .

Calculamos usando a definicao de u,

Ru = cR−Rv = cR−Rw = c(R− vtr)− c(t− tr)v = c(r− vt) ,

e

Rc−R · v = R · u =√

(c2t− r · v)2 + (c2 − v2)(r2 − c2t2) = dc

√1− v2

c2 sin2 θ ,

onde a abreviacao d ≡ r− vt e o vetor entre a posicao atual da partıcula e r e θ e o anguloentre d e v. Assim,

E(r, t) =q

4πε0

1− v2/c2

(1− v2

c2 sin2 θ)3/2

d

d2.

Observe que E apontar ao longo da linha a partir da posicao atual da partıcula. Isto e umcoincidencia extraordinaria, uma vez que a ’mensagem’ veio da posicao retardada. Por causado sin2 θ no denominador, o campo de uma carga em movimento rapido e achatado comouma panqueca em a direcao perpendicular ao movimento (vide Fig. 6.9). Nas direcoes parafrente e para tras E e reduzido por um fator (1− v2/c2) em relacao ao campo de uma cargaem repouso; na direcao perpendicular e reforcada por um fator 1/

√1− v2/c2.

Para B temos,

R =r− vtrR

=(r− vt+ (t− tr)v

R=

R

R+Bv

c,

e portanto,

B = 1c (R×E) = 1

c2 (v ×E) .

Linhas de B formam cırculos um torno da carga, como mostrado na Fig. 6.9. Para velocidadebaixas, v c,

E(r, t) =q

4πε0

R

R2, B =

µ0q

4π

v × R

R2.

obtemos as leis de Coulomb e de Biot-Savart para cargas puntiformes.

6.4. EXERCICIOS 215

Figura 6.9: Campo eletrico e magnetico de uma carga puntiforme em movimento uniforme.

6.4 Exercıcios

6.4.1 As leis fundamentais da eletrodinamica


Um capacitor de placas redondas com raio R (distancia d, ε = 1) seja carregado por uma cor-rente estacionaria I.a. Calcule, negligenciando efeitos de borda, a variacao temporal da carga na placas q(t) resp.−q(t).Ajuda: Use a equacao de continuidade.b. Calcule, negligenciando efeitos de borda, a variacao temporal do campo eletrico entre as pla-cas e a corrente de deslocamento de Maxwell.c. Calcule o campo magnetico B entre as placas ao longo de uma curva circular Γ dentro (ρ < R)e fora (ρ > R) do capacitor.d. Mostre, que o campo B entre as placas e, para ρ > R, igual ao campo B produzido pelacorrente de carregamento I em torno dos condutores alimentando o capacitor.

q t( ) R

d

I

-q t( )

Γ

6.4.1.2 Ex: Fluxo de um campo

Considere o retangulo com os cantos,

xi

yi

zi

=

b

a√2

0

,

0

a√2

0

,

0

0

a√2

,

b

0

a√2


e calcule a integral do fluxo do campo A(r) atraves da area F do retangulo,

A(r) =

y2

2xy

3z2 − x2

.

6.4.1.3 Ex: Fluxo de um campo vetorial

Calcule o fluxo do campo vetorial A(r) atraves da superfıcie de uma esfera de raio R em tornoda origem das coordenadas paraa.

A(r) = 3r

r2.

b.

A(r) =

3z − 2y

x+ 5z

y + x

.

6.4.1.4 Ex: Funcoes de superfıcies esfericas

O harmonico esferico para l = 2 e m = 1 tem a forma

Y21(ϑ, ϕ) =

√15

8πsinϑ cosϑ(cosϕ+ i sinϕ) .

Exprime o momento quadrupolar q21 como combinacao linear em componentes cartesianas

Qij =

∫ρ(r)(3xixj − δijr2) dr3 .

6.4.1.5 Ex: Identidades de Green

Sejam φ e ψ duas funcoes continuamente diferenciaveis e V um volume com a borda ∂V . Mostrecom a ajuda do teorema de Gaußa. ∫

V

[φ∇2ψ + (∇φ)(∇ψ)

]dV =

∫

∂V

φ(∇ψ) dS ,

b. ∫

V

[φ∇2ψ − ψ∇2φ

]dV =

∫

∂V

[φ∇ψ − ψ∇φ] dS .

6.4. EXERCICIOS 217

6.4.1.6 Ex: Inambiguidade da solucao do problema de contorno

Mostre que com a condicao de contorno de Dirichlet Φ(r) = Φ0(r)|∈∂V ou a condicao de contorno

de von Neumann ∂Φ∂n

∣∣∂V

= − σε0

dentro da regiao do volume V o potencial Φ e inambiguamente

determinado pela equacao de Poisson ∆Φ = − 1ε0ρ(r) e uma constante.

6.4.1.7 Ex: Decomposicao de campos vetoriais

Seja F(r, t) um campo vetorial arbitrario definido em R, que tende (junto com suas derivadas)para zero em ordem suficientemente alto, quando |r| → ∞. Este campo pode ser decompostoem uma soma de uma componente longitudinal e uma transversal, F = Fl + Ft com ∇×Fl = 0e ∇ · Ft = 0.a. Prove,

Fl(r, t) = − 1

4π∇∫ ∇′ · F(r′, t)

|r− r′| d3r′ e , Ft(r, t) = +1

4π∇×∇×

∫F(r′, t)|r− r′|d

3r′ .

Ajuda: Comece mostrando que,

F(r, t) = − 1

4π4∫

F(r′, t)|r− r′|d

3r′

e use a identidade vetorial,

∇×∇×A = ∇(∇ ·A)−4A .

b. Mostre que o campo vetorial F(r) e inequivocamente dado por suas fontes, ∇·F(r), e vortices,∇× F(r).

6.4.2 As leis de conservacao no electromagnetismo

6.4.2.1 Ex: Conservacao da carga e da energia na teoria de Maxwell

Baseado nas definicoes da densidade de energia u ≡ 12(E · D + B · H) e do fluxo de energia

s ≡ E×H deriva a partir das equacoes de Maxwella. a lei de conservacao de carga eb. a lei de conservacao de energia.

6.4.2.2 Ex: Fluxo de energia no fio percorrido por corrente

Um fio cilındrico com raio a e permeabilidade µ seja percorrido por uma densidade de correntej constante. O campo eletrico E dentro do fio e a densidade de corrente j sao conectados pelalei de Ohm j = ςE, onde ς e a condutividade eletrica.a. Qual valor absoluto e qual direcao tem o vetor de Poynting s no fio e na superfıcie do fio?b. Calcule o fluxo de energia total correndo atraves da superfıcie de um pedaco de fio de compri-mento l. Mostre, que este fluxo de energia e justamente a potencia gastada neste pedaco paraproducao de calor ohmico.Ajuda: A lei de conservacao de energia da eletrodinamica e dada por −du

dt = ∇s + j · E, ondeu = 1

2(E ·D + B ·H) e a densidade de energia total, s = E ×H o fluxo de energia e j · E otrabalho exercido pelo campo sobre a densidade de corrente eletrica.


6.4.2.3 Ex: Pressao radiativa

Um onda eletromagnetica plana impinge verticalmente num plano.a. Mostre, que a pressao radiativa exercida numa superfıcie e igual a densidade de energia nofeixe incidente. Esta relacao depende da parte refletida da radiacao?b. Agora considere um feixe de pequenas bolinhas incidente num plano. Como e a relacao entrea pressao media sobre a superfıcie e a energia cinetica neste caso?


Estime a forca na Terra devido a pressao de radiacao exercida pelo Sol na Terra e compare estaforca a forca gravitacional do Sol na Terra. (Na orbita da Terra, a intensidade da luz solar e1.37 kW/m2.b. Repita a parte (a) para Marte, que esta a uma distancia media de 2.28 · 108 km do Sol e temum raio de 3.4 · 103 km.c. Qual dos planetas tem maior razao entre a pressao de radiacao e a atracao gravitacional?

6.4.2.5 Ex: Vetor de Poynting

Os campos eletricos de duas ondas harmonicas eletromagneticas de frequencias angulares ω1

e ω2 sao dados por E1 = E10 cos(k1x − ω1t)ey e por E2 = E20 cos(k2x − ω2t + δ)ey. Para aresultante destas duas ondas, determinea. o vetor de Poynting instantaneo eb. a media temporal do vetor de Poynting.c. Repita as partes (a) e (b) se o sentido de propagacao da segunda onda for invertido, ou sejaE2 = E20 cos(k2x+ ω2t+ δ)ey.


Uma fonte pontual e intensa de luz irradia 1.0 MW isotropicamente (uniformemente em todasas direcoes). A fonte esta localizada a 1.0 m acima de um plano infinito e perfeitamente refletor.Determine a forca que a pressao de radiacao exerce no plano.

6.4.2.7 Ex: Conservacao de momento linear

Derive a conservacao de momento linear a partir das equacoes de Maxwell.

6.4.3 Formulacao potencial de eletrodinamica

6.4.3.1 Ex: Campo derivados de potenciais

Considere um campo escalar e um campo vetorial da forma,

Φ(r, t) = dr · ezr3

eiωt e A(r, t) = −ikdeikr

reiωt ez .

onde k = ω/c.a. Calcule os campo B e E correspondentes.b. Mostre que, para pequenos r os dados potenciais satisfazem o calibre de Lorentz.

6.4. EXERCICIOS 219


Encontre as distribuicoes de carga e corrente produzindo os seguintes potenciais,

Φ(r, t) = 0 e A(r, t) =µ0k

4c(ct− |x|)2ez Θ(|x| − ct) ,

onde k = const.


a. Encontre os campos e as distribuicoes de carga e corrente, que correspondem a,

Φ(r, t) = 0 e A(r, t) = − 1

4πε0

qt

r2er .

b. Suponha Φ = 0 e A = A0 sin(kx − ωt)ey, onde A0, ω, e k sao constantes. Encontre E e B,e verifique, que eles satisfazem as equacoes de Maxwell no vacuo. Quais condicoes devem serimpostas para ω e k?c. Use a funcao de calibre χ = − 1

4πε0qtr para transformar os potenciais em (a), e comente o

resultado.

6.4.3.4 Ex: Funcao de Green

Mostre que

G(r, r′) =eik|r−r

′|

4π|r− r′|e a funcao de Green do operador

L = ∇2 + k2 .

6.4.3.5 Ex: Campos de uma carga puntiforme em movimento uniforme

Calcule os potenciais (6.126) e (6.127) produzidos pelo movimento uniforme, w(t) = vt, de umacarga q.

Referencias Bibliograficas[1] S. M. Barnett, Resolution of the abraham-minkowski dilemma, Phys. Rev. Lett. 104 (2010),

070401, .

[2] D. J. Griffiths, Introduction to electrodynamics, Prentiss-Hall, 1989.

[3] J. D. Jackson, Classical electrodynamics, John Wiley and Sons, 1999.

[4] P. W. Milonni and R. W. Boyd, Momentum of light in a dielectric medium, Adv. Opt. Phot.2 (2010), 519, .

[5] Shangbiao Wang, Can the abraham light momentum and energy medium constitute a lorentzfour-vector?, J. Mod. Phys. 4 (2013), 1123.

221

Indice RemissivoAbraham-Minkowski

dilema de, 201

Alembert

operador de, 204

Ampere

lei de, 128, 187

analıtico

sinal, 23

autoindutancia, 162

Biot-Savart

lei de, 187

Braun

tubo de, 124

calibre

invariancia de, 204

transformacao de, 204

calibre de Coulomb, 130

campo

teoria de, 5

campo eletrico, 46

campo escalar, 7

campo vetorial, 7

capacitancia, 99

capacitor, 100

carga eletrica, 5

carga imagem

metodo da, 58

CGS

unidades, 29

ciclotron, 124

Clausius-Mossotti

formula de, 99

condutividade, 102, 159, 198

condutor, 55

conservacao da carga, 198

conservacao da energia, 199

conservacao do momento angular, 202

conservacao do momento linear, 200

conservativo

campo, 12

potencial, 53

continuidade

equacao de, 102

corrente, 101, 102

densidade de, 102

Coulomb

calibre de, 204

forca de, 45, 188, 214

lei de, 46, 187

Curie

lei de, 158

temperatura de, 159

de Pauli

paramagnetismo, 158

densidade de carga, 46

densidade linear, 46

densidade superficial, 46

deslocamento

corrente de, 187

deslocamento eletrico, 97

diamagnetismo, 154

dieletrico, 93

diferencial

operador, 205

dipolar

momento, 67

dipolar magnetico

momento, 133

dipolo induzido, 93

dipolo permanente, 93

Dirac

funcao de, 22

Dirichlet

condicao de contorno de, 59

divergente, 10

Einstein

Albert, 201

eletrodinamica

equacao de continuidade, 198

eletromotriz

forca, 102

eletrostatica, 45

energia

densidade de, 54, 163

envelope, 25

envelope complexa, 26

222

INDICE REMISSIVO 223

estresse de Maxwelltensor de, 200

excitacao magnetica, 155

Faradaygaiola do, 56lei de, 187Michael, 161

fasor, 23ferromagnetismo, 158fluxo eletrico, 47fluxo magnetico, 127fonte de corrente, 104fonte de tensao, 104

Gaußlei de, 48, 187teorema de, 15

gradiente, 9Green

funcao de, 205

Hallefeito, 125tensao de, 125

Heavyside, 22Helmholtz

teorema de, 188, 189Hilbert

transformacao de, 23, 24histerese

curva de, 158

impulse response, 205indutancia mutua, 161integral de linha, 12integral de superfıcie, 12integral de volume, 12isolador, 55

JefimenkoOleg, 211

kernel, 205Kronecker

sımbolo de, 11

Landaudiamagnetismo de, 153

Langevin

diamagnetismo de, 153Laplace

equacao de, 51Legendre

polinomio de, 64Lenz

regra de, 160Levi-Civita

tensor de, 11Lienard-Wiechert

potenciais de, 212linha de campo, 47Lorentz

calibre de, 204forca de, 123, 188, 214

Lorentz-Lorenzdeslocamento de, 99

magneticocampo, 123

magnetizacao, 154, 197magnetostatica, 123, 204malhas

regra das, 104Maxwell

equacoes de, 188lei de, 187

metal, 93Minkowski

densidade de momento de, 200momento angular orbital, 152monopolar

momento, 67multipolar

expansao, 65

nosregra dos, 104

nabla, 8Newton

lei de, 199

Ohmlei de, 102

paramagnetismo, 152Paschen-Back

efeito de, 152Pauli

224 INDICE REMISSIVO

paramagnetismo de, 153permeabilidade, 156, 198permeabilidade relativa, 157permitividade, 98, 198permitividade relativa, 98Planck

Max, 201Poisson

equacao de, 51, 204lei de, 187

polarizacao, 96, 197polarizacao de orientacao, 93polarizacao de translacao, 93polarizabilidade, 94potencial eletrico, 50potencial escalar, 203potencial vetorial, 202Poynting

John Henry, 198teorema de, 198, 199vetor de, 197

pressao eletrostatica, 57produto escalar

triplo, 7produto vetorial

triplo, 7

quadrupolarmomento, 67

remanencia, 158resistencia, 104resistividade, 103retardada

posicao, 211retardados

potenciais, 207Rodrigues

formula de, 64

SIunidades, 29

skinefeito, 56

spin, 152Stokes

teorema de, 14superposicao

princıpio de, 46

susceptibilidade eletrica, 98susceptibilidade magnetica, 156

tensao, 99

unicidadeteorema de, 61

unidades gaussianas, 29

vetorialpotencial, 129

von Neumanncondicao de contorno de, 59

Wehneltcilindro de, 124

Weissdomınios de, 158

Zeemanefeito, 152

philippe w. courteille, apostila do curso

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