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PEU - POLI - UFRJPEU - POLI - UFRJ

Modelagem Numérica de TerrenosModelagem Numérica de TerrenosEED759EED759

Prof. Carl Horst Albrecht

Programa de Engenharia Urbana - Escola Politécnica - Universidade Federal do Rio de Janeiro

Julho 2009

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Modelo Digital de TerrenosModelo Digital de Terrenos

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1.1. IntroduçãoIntrodução

• MotivaçãoMotivação• EscopoEscopo• HistóricoHistórico

2.2. Conceitos BásicosConceitos Básicos

• GeografiaGeografia• 3D3D• Dado e InformaçãoDado e Informação• ModeloModelo• EspacialidadeEspacialidade• EstatísticaEstatística• Geomorfologia e RelevoGeomorfologia e Relevo

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3.3. Elementos de um MNTElementos de um MNT• PontosPontos

• IsolinhasIsolinhas

• Grade Triangular IrregularGrade Triangular Irregular

• Grade Retangular RegularGrade Retangular Regular

4.4. Aquisição de DadosAquisição de Dados• AmostragemAmostragem

• RepresentatividadeRepresentatividade

• Distribuição EspacialDistribuição Espacial

• REdução de amostrasREdução de amostras

• Formas de AmostragemFormas de Amostragem• DigitalizaçãoDigitalização• GPSGPS• SARSAR• Laser ScanLaser Scan

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5.5. ModelagemModelagem

MalhasMalhasTriangulaçãoTriangulaçãoInterpolaçãoInterpolação

6.6. VisualizaçãoVisualização

• Linhas de NívelLinhas de Nível• SombreamentoSombreamento• ColorizaçãoColorização• Renderização e TexturasRenderização e Texturas

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7.7. AplicaçõesAplicações

• Cálculo de Áreas e VolumesCálculo de Áreas e Volumes• PerfilamentoPerfilamento• Visibilidade e SombrasVisibilidade e Sombras• InsolaçãoInsolação• HIdrologia e Área inundávelHIdrologia e Área inundável• VentosVentos• NavegaçãoNavegação• Obras CivisObras Civis• Intervenção na PaisagemIntervenção na Paisagem

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►1 - Introdução 1 - Introdução

1.3 - Escopo1.3 - Escopo

►Conceitos Básicos

►Formulação BásicaFormulação Básica

►AplicaçãoAplicação

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Modelagem Digital de TerrenoModelagem Digital de Terreno::

Amostragem Modelagem Aplicações

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Modelagem Digital de TerrenoModelagem Digital de Terreno

A amostragem compreende a aquisição de um conjunto de amostras representativas do fenômeno de interesse.

A modelagem envolve a criação de estruturas de dados e a definição de superfícies de ajuste com o objetivo de se obter uma representação contínua do fenômeno a partir das amostras.

As aplicações são procedimentos de análise executados sobre os modelos digitais. As aplicações podem ser qualitativas, tais como a visualização do modelo usando-se projeções geométricas planares ou quantitativas tais como cálculos de volumes e geração de mapas de declividades.

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ModelagemModelagem

Estrutura de DadosEstrutura de DadosMalha Malha

RetangularRetangularMalha Malha

TriangularTriangular

InterpolaçãoInterpolação

Dependencia EspacialDependencia Espacial

GeoestatísticaGeoestatística


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Estrutura de DadosEstrutura de Dados

Organização de dados Organização de dados computacionais de forma a permitir a utilização computacionais de forma a permitir a utilização eficiente da informação.eficiente da informação.

Maneira de codificar, em programa Maneira de codificar, em programa de computador, os pontos e polígonos necessários à de computador, os pontos e polígonos necessários à manipulação da informação tridimensional.manipulação da informação tridimensional.

Dados básicos:Dados básicos:

Pontos (x,y,z)Pontos (x,y,z)Conectividade (retângulos Conectividade (retângulos

ou triângulos)ou triângulos)

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A Malha RetangularMalha Retangular apresenta facilidade de implementação de aplicativos, pois trabalha com uma estrutura regular, do tipo matricial.

Além disso, muitas vezes, os dados são, originalmente, fornecidos na forma de grade regular, e não como amostras, simplificando ainda mais o processo de geração da estrutura de dados.

Malha Retangular Regular - Malha Retangular Regular - VantagensVantagens

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Malha Retangular Regular - Malha Retangular Regular - DesvantagensDesvantagens

A Malha Retangular RegularMalha Retangular Regular exige uma densidade homogênea em todo o domínio, não levando em consideração as variações naturais do terreno.

Tendência a excesso de informação para poder representar bem detalhes do terreno.

Não permite a incorporação de linhas naturais do terreno como rios, linhas de quebra, etc…

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Malha Triangular Irregular - Malha Triangular Irregular - VantagensVantagens

A Malha Triangular Irregular permite que sejam Malha Triangular Irregular permite que sejam amostrados mais pontos onde for necessário, ou seja, amostrados mais pontos onde for necessário, ou seja, leva em consideração as variações naturais do terreno, nào exigindo uma quantidade de dados excessiva.

Não haverá excesso de informação para poder representar bem detalhes do terreno.

Incorpora facilmente as linhas naturais do terreno como os rios.

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Malha Triangular IrregularMalha Triangular Irregular

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Malha Triangular Irregular - Malha Triangular Irregular - DesvantagensDesvantagens

A topologia irregular deste tipo de representação exige um tratamento bastante complexo dos dados.

Várias soluções, chamadas de triangulações, podem ser possiveis para um mesmo conjunto de pontos.

Possibilidade de geração de triangulos ”degenerados”, ou grande variação de dimensões de triangulos.

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TriangulaçãoTriangulação

Uma triangulação fornece uma estrutura combinatória a um conjunto de pontos.

Na realidade, um algoritmo de triangulação fornece regras para conectar pontos “próximos”.

Embora todas as triangulações tenham o mesmo número de triângulos, a forma dos triângulos é muito importante em aplicações numéricas.

O triangulo equilátero é considerado o triangulo ideal.

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Triangulação de Delaunay

A triangulação de Delaunay conecta os pontos baseado em um único critério: círculos vazios.

Numa triangulação de Delaunay o circuncirculo de cada triangulo não contem nenhum outro ponto.

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Triangulação de DelaunayTriangulação de Delaunay

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Triangulação de DelaunayTriangulação de DelaunayFlip de ArestaFlip de Aresta

e e

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Triangulação de Delaunay tem a importante propriedade de, entre todas as triangulações de um conjunto de pontos (P ), maximizar o menor de todos os ângulos internos dos triângulos.

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Triangulação de Delaunay Flip de aresta

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Construir a triangulação de Delaunay não é simples.Existem vários algoritmos.O mais simples é o incremental.

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Triangulação de Delaunay com Restrição

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Dependencia Dependencia EspacialEspacial

GeoestatísticaGeoestatísticaInterpolaçãoInterpolação

Estimar outros valores, em Estimar outros valores, em pontos diversos, além dos pontos diversos, além dos valores amostrados.valores amostrados.

Transfomar Grade Triangular em Transfomar Grade Triangular em RetangularRetangular

Aumentar o numero de pontos Aumentar o numero de pontos conhecidos da superfícieconhecidos da superfície

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15º15º

17º17º

22º22º

??


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15º15º

17º17º

22º22º

??

Métodos de InterpolaçãoMétodos de Interpolação

Globais ou LocaisGlobais ou Locais

Exatos ou AproximadosExatos ou Aproximados

Graduais ou AbruptosGraduais ou Abruptos

Determinísticos ou EstatísticosDeterminísticos ou Estatísticos

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Locais x GlobaisLocais x Globais

Os métodos Os métodos locaislocais

usam as informaçõs dos pontos usam as informaçõs dos pontos existentes em uma determinada existentes em uma determinada vizinhança. vizinhança.

Os métodos Os métodos globaisglobais utilizam a informação de de todos os utilizam a informação de de todos os dados conhecidos.dados conhecidos.

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Gradual x AbruptoGradual x Abrupto

Os métodos graduais geram uma superfície contínua

Os Métodos abruptos geram uma superfície discreta

Temperatura (ºC)

8

10

12

14

16

18

Interpolador gradual

Interpolador abrupto

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Exatos x AproximadosExatos x Aproximados

Nos métodos Nos métodos exatosexatos a a

superfície interpolada passa EXATAMENTE sobre superfície interpolada passa EXATAMENTE sobre os pontos conhecidos.os pontos conhecidos.

Nos métodos Nos métodos aproximados aproximados a a superfície pode ou não passar sobre os pontos. superfície pode ou não passar sobre os pontos. Na verdade são métodos de aproximação e não Na verdade são métodos de aproximação e não de interpolação. de interpolação.

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Exatos x AproximadosExatos x Aproximados

Distância

Atributo

Distância

Atributo

Interpolador exato Interpolador aproximado

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Determinísticos x EstatíticosDeterminísticos x Estatíticos

Os métodos Os métodos

determinísticosdeterminísticos usam diretamente as usam diretamente as informaçõs dos pontos existentes. informaçõs dos pontos existentes. Levando em consideração a posição e o Levando em consideração a posição e o valor.valor.

Os métodos Os métodos estatísticosestatísticos utilizam a informação de correlação entre utilizam a informação de correlação entre os dados, considerando melhor a os dados, considerando melhor a espacialidade e a incerteza das espacialidade e a incerteza das medições. Introduzem o conceito de medições. Introduzem o conceito de aleatoriedade.aleatoriedade.

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Interpolação

Vizinho mais Próximo (determinístico)

Para cada ponto xy da grade é atribuído a cota da amostra mais próxima ao ponto. Este interpolador deve ser usado quando se deseja manter os valores de cotas das amostras na grade sem gerar valores intermediários.

É um interpolador abrupto.

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Interpolação

Média Móvel (Determinística)

Onde:Z* = Valor calculadoZi = Valores amostradosWi = função de ponderaçãon = numero de pontos da amostra utilizados

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Interpolação

Média Simples (determinístico)

o valor de cota de cada ponto da grade é estimado a partir da média simples das cotas dos N vizinhos mais próximos desse ponto. Utilizado geralmente quando se requer maior rapidez na geração da grade, para avaliar erros grosseiros na digitalização.

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Z – valor interpolado

Z – valor medido no ponto id – distância ao ponto ip – expoente de ponderaçãon – número de pontos usados no cálculo

^

n

ipi

n

iip

i

d

Zd

Z

1

1

1

1

ˆ

Interpolação

Média Inversamente proporcional à distância (determinístico)

Método de Shepard

O valor de cada ponto é estimado a partir da média simples das cotas dos N vizinhos mais próximos desse ponto ponderada pelo inverso da distância entre os pontos.

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Z – valor interpolado

Z – valor medido no ponto id – distância ao ponto ip – expoente de ponderaçãon – número de pontos usados no cálculo

^

n

ipi

n

iip

i

d

Zd

Z

1

1

1

1

ˆ

15º15º

17º17º

19.6º19.6º

20 Km

30 Km

40 Km

22º22º

Média Inversamente proporcional à distânciaMétodo de Shepard

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Médias móveisMédias móveisInverso do Peso da DistânciaInverso do Peso da Distância

Método de ShepardMétodo de Shepard

► O peso da distância é O peso da distância é ajustado por um expoenteajustado por um expoente Maior expoente => maior Maior expoente => maior

influência da distânciainfluência da distância

ExpoenteExpoente Peso da Peso da distânciadistância

pp = 1 = 1 1 / 1 / dd

pp = 2 = 2 1 / 1 / dd22

pp = 5 = 5 1 / 1 / dd5550

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10

Distância

Va

lor

no

po

nto p = 1

p = 2p = 5

Interpolação IDW entre dois pontos conhecidos

Ponto A = 100 Ponto B = 50

n

ipi

n

iip

i

d

Zd

Z

1

1

1

1

ˆ

n

ipi

n

iip

i

d

Zd

Z

1

1

1

1

ˆ

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Análise de tendênciasAnálise de tendências

► Ajusta um polinomio aos dados pontuaisAjusta um polinomio aos dados pontuais► Interpolador global e estatísticoInterpolador global e estatístico

0

10

20

50

40

30

60

70 15º15º

17º17º

22º22º20.8º20.8º

Coo

rden

ada

Y

T = – (0.0014 * y2) – (0.0758 * y) + 22.24

y = -0.0014x2 - 0.0758x + 22.24

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60

Coordenada Y

Te

mp

era

tura

(ºC

)

Valores observados

Valor estimado

Poly. (Valores observados)

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Séries de FourierSéries de Fourier

► Aproxima uma superfície por uma soma de senos e cosenosAproxima uma superfície por uma soma de senos e cosenos Usado para dados periódicosUsado para dados periódicos

► Interpolador globalInterpolador global

Dados aproximados por uma curva

Curva decomposta em duas curvas de seno

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Krigagem (geoestatístico)Krigagem (geoestatístico)

► Estima o valor do ponto minimizando a erro estatístico, ou seja levando em conta a variância dos Estima o valor do ponto minimizando a erro estatístico, ou seja levando em conta a variância dos dados em torno do ponto.dados em torno do ponto.

► Utiliza o variograma para definir os vizinhosUtiliza o variograma para definir os vizinhos

► É válido num região restrita em torno do pontoÉ válido num região restrita em torno do ponto

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Geoestatística

A presença de dependência espacial ou temporal requer o uso da geoestatística, a qual surgiu na África do Sul, quando KRIGE (1951), trabalhando com dados de concentração de ouro, concluiu que não conseguia fazer bom uso das variâncias, se não levasse em conta a distância entre as amostras.

Do trabalho de KRIGE surgiu o termo krigagemkrigagem para a técnica de calcular valores não amostrados à partir das amostras de valores pontuais.

As aplicações da geoestatística, atualmente vem crescendo e em sido aplicada em vários campos do conhecimento como ecologia, climatologia, engenharia, dentre outros.

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KrigagemKrigagem

► Estima o valor do ponto minimizando a erro estatístico, ou seja Estima o valor do ponto minimizando a erro estatístico, ou seja levando em conta a variância dos dados em torno do ponto.levando em conta a variância dos dados em torno do ponto.

► Utiliza o variograma para definir os vizinhosUtiliza o variograma para definir os vizinhos► É válido num região restrita em torno do pontoÉ válido num região restrita em torno do ponto

Krigagem SimplesKrigagem Simples

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Krigagem OrdináriaKrigagem Ordinária

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Espacialidade – Variograma Empírico

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Semivariograma Empirico

Patamar: Região de não dependência espacial

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Semivariograma Teorico

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Outros Métodos de InterpolaçãoOutros Métodos de Interpolação

► Teoria da Placa Fina (Thin Plate Spline)Teoria da Placa Fina (Thin Plate Spline) Método global, de aproximação e contínuoMétodo global, de aproximação e contínuo

►B-SplineB-Spline

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► B-SplineB-Spline

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ConclusãoConclusão

► A Interpolação fornece apenas uma A Interpolação fornece apenas uma estimativaestimativa de um de um valor baseado noutros valores conhecidosvalor baseado noutros valores conhecidos

Spline Media Pond.p = 2

Thiessen Kriging

Temperatura (ºC)

8

10

12

14

16

18

Temperatura média anual em Portugal

Análise de Tendências

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FIM

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