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1

Pesquisa Operacional I

Programação Linear

Prof. Eduardo Uchoa

http://www.logis.uff.br/~uchoa/POI/

2

Programação Linear

� Técnica que se propõe a otimizar (maximizar ou minimizar) o valor de uma função linear, respeitando um conjunto de restrições (equações ou inequações) lineares

� Criada por George B. Dantzig em 1947

� A criação da PL foi motivada por problemas de planejamento da Força Aérea dos EUA

Um modelo de Programação Linear (PL) reduz um sistema real a um conjunto de equações ou inequações lineares.

3

Problema de Programação LinearConsidere o seguinte problema

( )

( )

1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

( / ) ...

Sujeito a ... ,

... ,

n n

n n

n n

Maximizar Minimizar Z c x c x c x

a x a x a x b

a x a x a x b

= + + +

+ + + ≥ = ≤

+ + + ≥ = ≤

( )1 1 2 2

... ,

m m mn n ma x a x a x b+ + + ≥ = ≤

M M M M

1 2 , , .... , 0n

x x x ≥

4


( )

( )

1

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2

1 2

2

2

Sujeito a ... ,

... ,

( / ) ...

n n

n n

n n

a x a x a

Maximizar Minimizar Z c x c x c

x b

a x x a

x

a x b

= + + +

+ + + ≥ = ≤

+ + + ≥ = ≤

( )1 1 2 2

... ,

m m mn n ma x a x a x b+ + + ≥ = ≤

M M M M

1 2 , , .... , 0n

x x x ≥Z: função objetivo

cj: coeficientes da função objetivo (custo / lucro), j = 1, …, n

xj: variáveis de decisão, j = 1, …, n

aij: coeficientes das variáveis nas restrições, i = 1,…,m e j = 1,…,n

bi: constantes do lado direito (right-hand-side), i = 1,…,m

5


( )

( )

1 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2

1 2

2

( / )

Sujeito a ... ,

...

...

,

n n

n n

n n

Maximizar Minimizar Z x x x

a x a x a x b

a x a x a x b

c c c= + + +

+ + + ≥ = ≤

+ + + ≥ = ≤

( )1 1 2 2

... ,

m m mn n ma x a x a x b+ + + ≥ = ≤

M M M M

1 2 , , .... , 0n






6


( )

( )

11 2

11 12 1 1

21 2

2

2 2

1

2

2

1 2

( / )

Sujeito a

...

...

..

,

,

.

n

n

n

n

n

n

Maximizar Minimizar Z c c c

a a a

x x x

x x x

x xa a ax

b

b

= + + +

+ + + ≥ = ≤

+ + + ≥ = ≤

( )11 22

,

...

m m mn mnx x xa a a b+ + + ≥ = ≤

M M M M

1 2 , , , ... 0.n






7


( )

( )

1 1 2 2

1 2 1

1

11 12 1

21 2 22 22

( / ) ...

Sujeito

...a ,

,

...

n

n n

n

n n

a a a

Maximizar Minimizar Z c x c x

a

c x

x x x b

x x xa ba

= + + +

+ + + ≥ = ≤

+ + + ≥ = ≤

( )11 22

,

...

n mm m mnx x xa a a b+ + + ≥ = ≤

M MM M

1 2 , , .... , 0n






8


( )

( )

1 1 2 2

11 1 12 2 1

21 1 22 22

1

2

( / ) ...

Sujeito a ... ,

... ,

n n

n n

n n


a x a x a x

a

b

bx a x a x

= + + +

+ + + ≥ = ≤

+ + + ≥ = ≤

( )1 1 2 2

... ,

mm m mn na x a x a x b+ + + ≥ = ≤

M MM M

1 2 , , .... , 0n






9

Programação LinearConsidere o seguinte problema

( )

( )

1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

( / ) ...

Sujeito a ... ,

... ,

n n

n n

n n


a x a x a x b

a x a x a x b

= + + +

+ + + ≥ = ≤

+ + + ≥ = ≤

( )1 1 2 2

... ,

m m mn n ma x a x a x b+ + + ≥ = ≤

M M M M

1 2 , , .... , 0n






10

Formas de representação de PLs� Forma padrão: todas as restrições são igualdades e todas as

variáveis são não-negativas

� Forma canônica: todas as restrições são do tipo ≥ (se for minimização) ou do tipo ≤ (se for maximização); todas as variáveis são não-negativas

11

Manipulação de PLs

� Transformar equações em inequações:

Uma equação equivale a duas inequações

1

⇒=∑=

i

n

j

jij bxa i

n

j

jij bxa ≥∑=1

i

n

j

jij bxa ≤∑=1

12


� Transformar equações em inequações:

Uma equação equivale a duas inequações

0,,

123

10

S.a

24Max

321

321

321

321

≥

−=−+

=++

−+

xxx

xxx

xxx

xxx

⇒

0,,

123

123

10

10

S.a

24Max

321

321

321

321

321

321

≥

−≤−+

−≥−+

≤++

≥++

−+

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

13


� Transformar inequações em equações:

Adicionar uma nova variável não-negativa, conhecida como variável de folga.

1

⇒≤∑=

i

n

j

jij bxa

01

1

1

≥

=+

+

+

=

∑

n

in

n

j

jij

x

bxxa

14



Adicionar uma nova variável não-negativa, conhecida como variável de excesso.

1

⇒≥∑=

i

n

j

jij bxa

01

1

1

≥

=−

+

+

=

∑

n

in

n

j

jij

x

bxxa

15



Cada inequação transformada exige uma variável de folga ou de excesso diferente.

0,,

53

102

S.a

3Min Z

321

21

321

31

≥

≥−

≤++

+=

xxx

xx

xxx

xx

⇒

0,,,,

53

102

S.a

3Min Z

54321

521

4321

31

≥

=−−

=+++

+=

xxxxx

xxx

xxxx

xx

16

Manipulação de PLs� Transformar inequações em equações:

0,,

53

102

S.a

3Min Z

321

21

321

31

≥

≥−

≤++

+=

xxx

xx

xxx

xx

⇒

0,,,,

53

102

S.a

3Min Z

54321

521

4321

31

≥

=−−

=+++

+=

xxxxx

xxx

xxxx

xx

5

0

0

67,1

:ótima Solução

3

2

1

=

=

=

=

Z

x

x

x

5

0

33,8

0

0

67,1

:ótima Solução

5

4

3

2

1

=

=

=

=

=

=

Z

x

x

x

x

x

17


� Transformar Minimização em Maximização :

Não esquecer que o valor da função objetivo do novo problema de maximização deve ser multiplicada por -1 para obter o valor da função objetivo do problema de minimização original.

∑∑==

−=−⇒=n

j

jj

n

j

jj xcZxcZ11

)(Maximizar Minimizar

18


� Transformar Maximização em Minimização:

Não esquecer que o valor da função objetivo do novo problema de minimização deve ser multiplicada por -1 para obter o valor da função objetivo do problema de maximização original.

∑∑==

−=−⇒=n

j

jj

n

j

jj xcZxcZ11

)(Minimizar Maximizar

19


0,,

53

102

S.a

3Min Z

321

21

321

31

≥

≥−

≤++

+=

xxx

xx

xxx

xx

⇒

0,,

53

102

S.a

-3ZMax

321

21

321

31

≥

≥−

≤++

−=′

xxx

xx

xxx

xx

5

0

0

67,1

:ótima Solução

3

2

1

=

=

=

=

Z

x

x

x

5

0

0

67,1

:ótima Solução

3

2

1

−=′

=

=

=

Z

x

x

x

20


� Transformar “variáveis livres” em variáveis não-negativas

Em alguns casos é possível existir variáveis que podem assumir valores positivos ou negativos.

livre

0,

4

52

S.a

Min Z

3

21

31

321

321

x

xx

xx

xxx

xxx

≥

≤−

=++−

++=

21


⇒

5,0

4

5,4

0

:ótima Solução

3

2

1

=

−=

=

=

Z

x

x

x

livre

0,

4

52

S.a

Min Z

3

21

31

321

321

x

xx

xx

xxx

xxx

≥

≤−

=++−

++=

0,,,

4

52

S.a

Min Z

4321

431

4321

4321

≥

≤+−

=−++−

−++=

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

5,0

4

0

5,4

0

:ótima Solução

4

3

2

1

=

=

=

=

=

Z

x

x

x

x

22

Pesquisa Operacional I

Método gráfico de solução

Prof.: Eduardo Uchoa

[email protected]

23

Objetivo

� Descrever o procedimento gráfico / geométrico para resolver problemas de programação linear com 2 variáveis

� Obter a solução ótima enumerando os pontos extremos

� Obter a solução ótima pelo gradiente da função objetivo

� Ilustrar os casos da PL: � Solução ótima única

� Múltiplas soluções ótimas

� Soluções ilimitadas

� Problema inviável (não tem solução)

24

Exemplo de PL – Mix de produçãoUma empresa fabrica 2 tipos de porta: de madeira e de alumínio. Cada porta passa por 3 operações: corte, montagem e acabamento. O tempo gasto emcada uma dessas operações, por cada tipo de portaé conhecido. Determine a produção diária de cada tipo de portapara maximizar o lucro da empresa, respeitando as disponibilidades diárias de tempo da máquina queexecuta cada operação.

R$ 6,00

R$ 4,00

Lucro Unitário

8 h21 h24 hDisponibilidade

1,0 h/porta1,5 h/porta4,0 h/portaAlumínio

1,0 h/porta3,0 h/porta1,5 h/portaMadeira

AcabamentoMontagemCorte

25

Variáveis:

xi: qtde a ser produzida, i = porta de madeira, porta de alumínio

Função objetivo:

Maximizar Lucro →Maximizar Z = 4,0 xmad + 6,0 xal

Restrições de capacidade produtiva:

1,5 xmad + 4,0 xal ≤ 24 (corte)

3,0 xmad + 1,5 xal ≤ 21 (montagem)

1,0 xmad + 1,0 xal ≤ 8 (acabamento)

Restrições de não-negatividade:

xmad, xal ≥ 0

Exemplo de PL – Mix de produção

26


xmad

5 10 15

xal

510

27


xmad

5 10 15

xal

510

corte →→→→ 1,5 xmad + 4,0 xal ≤ 24

28


xmad

5 10 15

xal

510

montagem →→→→ 3,0 xmad + 1,5 xal ≤ 21

29


xmad

5 10 15

xal

510

acabamento →→→→ 1,0 xmad + 1,0 xal ≤ 8

30


xmad

5 10 15

xal

510

Não-negatividade →→→→ xmad, xal ≥ 0

31


xmad

5 10 15

xal

510

5 10 15

510

REGIÃO (CONJUNTO) DE SOLUÇÕES VIÁVEIS

→→→→ POLÍGONO CONVEXO

32

Solução por enumeração dos pontos

extremos

xmad5

x al

5

PONTOS EXTREMOS

xmad xal Lucro (Z)

0 0 0

0 6 36

7 0 28

3,2 4,8 41,6

6 2 36

33

Os pontos extremos correspondem a pares

de restriçõesx a

l

xmad53,2

4,8

RESTRIÇÕES ATIVAS: CORTE e ACABAMENTO

xmad

xal

Restrições ativas

0 0 xmad, xal ≥ 0

0 6 xmad ≥ 0, corte: 1,5 xmad + 4,0 xal ≤ 24

7 0 xal ≥ 0, montagem: 3,0 xmad + 1,5 xal ≤ 21

3,2 4,8 corte: 1,5 xmad + 4,0 xal ≤ 24,

acabamento: 1,0 xmad + 1,0 xal ≤ 8

6 2 acabamento: 1,0 xmad + 1,0 xal ≤ 8,

montagem: 3,0 xmad + 1,5 xal ≤ 21

Obs:Montagem - tempo ocioso: 4,2 h/dia

34

Solução gráfica pelo gradiente da função

objetivo

xmad5 10 15

xal

510

Lucro = Z = 4,0 xmad

+ 6,0 xal

35xmad

5 10 15

xal

510

Solução gráfica pelo gradiente da função

objetivo

36

Nesse caso existe uma única solução ótima

xmad

5

x al

3,2

4,8

Z = 41,6

37

Isso nem sempre acontece

� Múltiplas soluções ótimas

Maximizar Lucro = Z = 6,0 xmad + 6,0 xal

x al

6

6

xmad

38

Soluções ilimitadas

Max x1 + x2

S.a x1 + x2 ≥ 4

- x1 + 2 x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

x2

510

5 10 x1

39

Soluções ilimitadas

Geralmente indica erro na modelagem, não existe sistema real “ilimitado”

Max x1 + x2

S.a x1 + x2 ≥ 4

- x1 + 2 x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

x2

510

5 10 x1

40

Problema inviável (não existe solução)

Max x1 + x2

S.a x1 + x2 ≥ 8

x1 + x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

x25

10

5 10 x1

41

Problema inviável (não existe solução)

Nem sempre é erro de modelagem. Pode ser uma indicação real que se estátentando fazer algo impossível!

x25

10

5 10 x1

42

OBSERVAÇÃO

Este material refere-se às notas de aula do curso

TEP117 (Pesquisa Operacional I) da Universidade

Federal Fluminense (UFF) e foi criado a partir das

notas do Prof. Rodrigo A. Scarpel do ITA

(www.mec.ita.br/~rodrigo) e não pode ser

reproduzido sem autorização prévia de ambos os

autores. Quando autorizado, seu uso é exclusivo

para atividades de ensino e pesquisa em

instituições sem fins lucrativos.

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