perspectiva exacta.pdf

COLLECÇÃO F. T. D.

NOÇOES DE

~.

·PERSPECTIVA EXACTA I

Para uso doo aluInnos das escolas secundárias e adInissão ás escolas superiores civis e Inilitares.

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LIVRARIA PAUL~>E AZEVEQP & elA.

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166,' rua do Ouvz'dor, 166149A,rua.f!beroBadaró,49A/1052, 1'ua da Bahia, 105~ Rio de Janeiro São Paulo Bello Horizonte

TODOS OS D~TOS RESER ... ·ADOS

Capitulo I.

" II.

" III..

" IV. :-, V.

" VI.

" VII.

" VIII.

" IX.

" X.

I N D 1/ C E

PÁGINAS

Definições. Princípio fundamental . 3

Princípios fundamentais da perspectiva linear . 5

Determinação da perspectiva de um objecto. - Mé-thodo dos pontos de fuga. - Escalas g.

Problemas diversos . 18

Perspe~tiva das figuras planas. 22

Applicações. - Traçado perspectivo de figuras

geométricas Perspectiva dos sólidos geométricos

Applicações da perspectiva exacta

Perspectiva das sombras

Perspectiva cavalleira .

Exercicios ..

33

41 54

74 82

86

NIHIL OBSTAT Pe. João Kulay S . Paulo, 9 de Março ae 1936.

NAj MESMA

IMPRIMATUR Mons. Ernesto de Paula

Viu. Geral

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COLLECÇÃO, PEDIR O CATAI,AGO

10

altura do observador 'acima do jplano geometral. .

Determina-se depois V, tomando no geometral XV=xv (fig. 14 e 13). ,A posição dos pontos de distância de cada lado do ponto principal, se obtém tomando no geometral, VD = VD' = pv (vêr Ng: 12 e 14).

25. - Perspectiva de UUla recta indefinida situada sôhre o plano geoUletral.-Seja, fig. 15, a recta indefinida a b, - A perspectiva ~ desta recta será uma li-

o .nha recta; basta, portanto, que de-terminemos a pers-pectiva de dois dos seus pontos.

O primeiro ponto escolhido é o ponto a, em que a recta encontra o quadro. Este ponto pertence pois á perspectiva da recta.

Pelo ponto de vista, P, tracemos uma parallela a ab. Esta parallela é o raio de fuga da direcção ab, e encontra

\ I

/

'. I X \r~\"""r-+--"-J}I

•

\ \

\. \ \ \ . \

\. \ '. \

'.\ \\ .' \, I I \\! í ·'lu 1''W

FIG. 1.6

I I

I i

i

o quadro sôbre a linha do horizonte HH',' em F. , : ~

Já vimos (n.o 19) que F é a perspectiva do ponto no infinito da recta ab.

A perspectiva de ab é pois aF.

p ----- ---- :; =....,

- - - t i -- - " ~ I

-0_. -'-

- ' X

FiG. 15 • F' A figura 15 não é necessária para a construcção da perspectiva. E' apenas uma repre. sentação cavalleira (n.o 111) da questão, para facilitar a comprehensão do que' segue.

a) CONSTRUCÇÃO DO GEOMETRAL. -

O único dado necessário para o traçado da perspectiva da recta, é um geometral que fixe a posição do observador em relação ao quadro e ao objecto.

Seja pois, figura 16, o geometral approximado da figura 15.

E' fácil reconhecer xy (linha~ de

Q H .. F'_ . _._.Y_ ._._H'

X~-!--__ ----,y

FIG. 17

terra), p (projecção do ponto de vib .a), ab (a recta dada), pj (projecção da linha de fuga parallela a ab).

b) QUADRO. - No geometral acima temos todos os elementos sufficientes

ME'l'HODO DOS PONTOS DE :ruGA 11

para a execução do quadro, representado na figura 17.

Prepararse este quadro partindo do geometral como ficou amplamente ex~ plicado no número precedfhtt e. A altura de HH' acima de xy é quilquer ; aqui podia-se tomar o valor dado a repr~ sentação do problema, figura 15, levando HX = Pp. Não . precisamos dos pqntos de distância.

Para determinar a perspectiva da recta, procuramos primeiro o ponto de fuga, F, tomando no geometral HF=xj.

Também levamos XA = xa e traçamos AF no quadro. Esta recta é a perspectiva de ab prolongada até o infinito.

26. - Perspectiva de um ponto do plano geometral. - Méthodo. -Pelo ponto passamos duas rectas não confundidas. A perspectiva da sua intersecção será a perspectiva do ponto dado

\

\ X \

\ /'

, i / I , i

I -

\ I l \ I / \ I \ , /

\ \ , / ,\ , ,

'. \ ' / \ \ " i \ \ { "

'\ .,/ \\ I;

\,1 pt

FW.18

Seja, fig 18, a epura do planQ geometral e m um ponto dado neste plano.

La SOLUÇÃO. - Por meio de duas rectas quaisquer. Pelo ponto m,

passamos duas rectas indefinidas ab e cd.

Construimos as linhas de fuga pj de ab e pj' de cd

No quadro, fig. 19, determinamos F e F' sôbre HH' , assim como A e C sobre XY. As rectas ab e cd têm como perspectiva AF e CF' respectivamente. A intersecção M, é a persp'ectiva do ponto dado.

H F F'

FIG. 19

2.8 SOLUÇÃO. - Uma das rectas é perpendicular a xy e a outra está incllnada de 1,.50 sôbre o quad1·o. - Seja o ponto m do geometral, pelo qual fazemos passar

FIG, 20

as rectas ab (inclil..ta.J.a de 450) e ih (perpendicular - a xy). A perspectiva da intersecção das duas rectas será a perspectiva de m.

12 PERSPECTTVA EXACTA

o ponto de fuga de ih é v, ponto principal.

A recta ab tem o ponto de fuga em d,r' ponto de distância, n.O 22.

No quadro, fig. 21, determinamos V e D sôbre HH' e A e I sÔbre XY.

AD e IV são as perspectivas das rectas ab e ih e sua intersecção M é a perspectiva do ponto m do geometral.

Este méthodo é preferlvel ao pri-

nG.21

meiro desde que se conhecem os pontos de fuga Ve D.

27. - Coordenadas do plano geom.etral. - Escalas. - Para se determinar a posição de um ponto no plano geometral, empregam-se duas coordenadas referidas a dois eixos perpendiculares.

Sejam, fig. 22, os dois eiXos rectangulares Ox e Oy, situados no mesmo

y Q _______ .M

o FIG. 22

I I

P x

plano e seja M um ponto dêste plano. Pelo ponto M tracemos as rectas MP

e MQ para.llelas aos eixos de co~rdenadas. Os segmentos OP e OQ, tomados sôbre os eixos, são as coordenadas do ponto M e definem exactamente a posição dêste ponto em relação á ori-gem O. -

No plano geometral, fig 23, os eixos de coordenadas são :

oz, linha de terra e oy 1 perpendicular a ox, traçada gera.lmente á esquerda do quadro.

ox é o eixo das larguras; oy é o eixo dos afastamentos ou distAncia dos objectos ao quadro.

Largura e: afastamento definem perfeitamente a l posição _de um .. ponto _do geometral. '

I

I yj

\ .1f----m , - I

\2í I \ '

'(~,I ,.' 'J ' ,n Ir 'li f

o\--'. "':'1~..f2-~1 ----,/x \. I

\

\

\

\ , \ / " 1/ .\,'

P FIG. 23

I

J i

I

i i

/

Seja, por exemplo, representar um ponto m, situado a 2 metros de largura e a 3 metros de afastamento.

Escolhe-se arbitrariamente um segmento on como unidade. Aqui, on = 1 metro; é a escala do: desenho.

Leva-se or = 2 metros, sôbre 0:1:

e os=3 metros, sôbre oy. As para.llelas Bm e mr aos eixos de coordenadas determinam a posição do ponto m.

28. - Perspectiva dos eixos de largura e afastam.ento. - Vamos

METHODOS DOS PONTOS DE FUGA - ESCALAS 13

construir a perspectiva do geometral representado na figura 23.

O eixo das largu as ox, não é sinão a linha de terra que designaremos sempre pelas lettras XY; X ( pois o equivalente do ponto 0, orígelll: de coordenadas.

O eixo oy (fig. 23) é horiZontal e perpendicular ao quadro; tem pois- como perspectiva a linha de fuga XV para o ponto principal.

Os eixos, no quadro, são agora XYe XV. Vamos dividil-os em partes iguais conforme a escala adoptada.

No eixo das larguras levamos, em verdadeira grandeza e a partir de X,~.o segmento unitário on, indefinidamente.

A divisão da linha de fuga XV não é7ltão simples desde que se trata de uma linha de fuga.

Notemos, na figura 23, que n1' é

D 1;-'------

H V H - - ' - --í-'- --'- '-- .-, , , , , , , , , ,

'.

I

.I f

i .f

{.

-1 ~;<

't/ ~/, ,

I

X I', \. ',', ' , ..... .... y 1 2 .'j

FIG. 24.

diagonal de um pequeno quadrado, i§to é, uma recta inclinada de 45° sôbre a direcção do quadro. - A sua perspectiva é uma linha de fuga para D.

Traçando pois 1D, determinamos I' por intersecção com XV. Procedemos do mesmo modo para as divisões 2',3', etc.

Vê-se facilmente que as divisões se encurtam com o afastamento.

Para obter divisões cada vez mais próximas de V, basta tomar, sôbre XY, pontos cada vez mais afastados de X. Para obter. V, deveríamos tomar um ponto ao infinito na di~ção XY,

isto é, um ponto cujo afastamento-',fosse infinito.

Si pelo' ponto l' traçarmos uma paralleIa a XY, todos os pontos desta paralleia estão a 1 metro do quadro.

29. - Applicação. - Traçar a perspectiva de um ponto dadas as suas coordenadas: largura, 3; afastamento, 5.

O ponto M está situado sôbre a linha de fuga 3V e sôbre a parallelaaXY no afa stamento 5.

Figs. 25 e 26.

I

sL------\'m I ' . I i I

I ,--t ; I ,_ I

'. I : ! \ . I . 1 I \~ ., : V x~. ~--~~~~;--~ly -

\ I I

\ \

\ \

FIG. 25.

\

I I I I

I I I .

W'" I ~!

~, _ . _____ . _ . _~_ . _._._. _y_._.It._ /, .

/1 I ,

I ,

" 1 / ' I ' 5,1._ --JM

I , I ,

/ I XL----,!:---o--JY

5 FIG. 26.

30. - Outra solução do problema precedente. - Pode-se proceder de outro modo, sem construir a escala XV dos afastamentos.

Rebatamos o afastamento m3 sôbre xy, em 3n, fig. 27.

Tracemos mn. O ponto fica então determinado pelas rectas m3 (perpen-

14 PERSPECTIVA EXACTA

I m 5+--- - ---"'1' -- - __

i I " .............. , I I '- .... I I", , " '

\. I \ . ·1 \.

,I x\

\ \

\

\

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\

I "' '\ l , .\ I ', \

I ' " , . , \ I I ). I

I V- ;4.r', n j /!/-~-}

Ip .' tT.' I I

FIG_ 27.

I I

J

dicular ao quadro) e mn (inclinada de 45t».

No quadro, fig. -28, depois de marcar a largura 3, leva-se 3N = 5 metros.

D H V JI' .><;-. _ -_ . ----- . - - - - -- - --' r " -- - -

.......... , ", ,

..... , ..... I

-""-... I

'-... I ...... ,

" I .. ~ -... "i JJl , ........ I ........

" .... , ....

X / y->~ ~" ..... " -" "j --".~."_,,.! r

FiG. 28 . .

Do ponto 3, traça-se a linha de fuga 3V e de N a linha de fuga ND. A intersecção destas linhas é a' perspectiva de M.

31. - ProbICJ:na.- Construir a perspectiva de um triângulo situado· no plano geometral.- Seja, fig. 29, abc, o triângulo dado no plano geometral.

O problema se reduz a determinar a perspectiva dos vértices a, b e c.

Pelos pontos a, b, c, traçamos paraIleIas aos eixos de largura e afastamento. Determinamos assim a', b', c' , (larguras) e a", b", c", (afastamentos).

\

• I I I

\ ã" I ' \ !-- --;----. I I \ . I

I

I

I

x'.. a;&' I. •

1/ ff Z; ! ê," k /y

... \ . \,

\ \

I I

. 1 I I pi

,,7 ,,; ;

FIG. 29.

I

I

Para traçar a perspectiva, levamos sôbre XY, em A', B', C', fig. 30, as posições de a', b', c', dadas no geometral. Os vértices A, B, C, do triângulo perspectivo, estão sôbre as linhas de fuga dêsses pontos para V.

Traçamos depois XV. Levamos, sôbre XY, XA" 1, XB/', XC" 1, respectivamente iguais a xa", xb", xc", do geometral n.O 30.

As linhas de fuga para D, determinam as A", B", C", dos vértices.

dêsses pont~s profundidades Basta traçar,

..1).-._._. H_. _._. ___ _ Y_._H , , /-:'

\ '/, , \ /, I \

'\ .// / \ , " 11 /,' , \

\ ',', C / C' I \ 'n""~' I I \ \ D~~1V--r--- ,B \ ./ 'I, I \

It"./ I.... 1 \

.n..t--.,!---' A \ /' I , " , \

X' " y Ãi C' - li B; t;' B'

FIG. 30.

por estes pontos, paraIlelas a XY até encontrar as linhas de fuga correspondentes dos três vértices.

32. - Ponto de distância reduzida. - Seja, figura 31, um ponto M,

METHODOS DOS PONTOS DE FUGA - ESCALAS 15

cujo afastamento ON mede 12 metros. Acontece frequentemente que o afastamento do objecto não cabe nos limites do quadro, na direcção XY. Toma-se então uma fracção desta distância, por exemplo a metade.

Seja agora 6, a profundidade reduzida. Tracemos 6M e prolonguemos. Esta linha de fuga encontra HH' no meio de VD, no ponto Df2

Isto se deduz facilmente da semelhança dos triângulos OMN e DMV.

Do mesmo modo, se tomassemos

~ do afastamento, seja 3 metros, o novo

ponto de fuga seria Df4. Ora como VD representa a distân

. cia do observado!' ao quadro e ON o

D D,/2 D/4 V .... .:-. _._. - . --«'_. _ .-t. _. - 'r' _._, - ... '\ I

", \ / -...... ,,\ I

......... "\ I

"-",M I \ ,~_

I \ " , _

" \ ", ..................

/ \ " I \ ,

X L-_~/:...I ____ ....:\'-__ '....:'~y:;....... _ _ _<' .... '_<,...:-...:-N;,;:.. 036 U

FIG. 31.

afastamento do objecto, podemos enunciar o seguinte princípio:

A perspectiva de um ponto não muda quando, a sua distância ao quadro tornando-se 2, 3, etc., vezes maior ou menor, tambem a distância do observador ao quadro Jica augmentada ou reduzida na mesma proporção.

Este princípio é de grande utilidade na. perspectiva.

No numero 36, veremos como se a.pplica. no problemll. da. ampliação do quadro.

33. - Escala das alturas. - Tudo quanto já dissemos se applica a pontos e linhas situadas no plano geometral. Para determinar a posição dêstes objectos, duas coordenadas eram sufficientes: largura e aJastamento.

Para definir um ponto do espaço precisamos de uma terceira coordenada: a altura ou cota do ponto acima do plano geometral.

Chamemos XZ a aresta lateral do quadro (fig. 32). Esta aresta constitue o eixo das alturas. Desde que se trata de uma recta no plano do quadro (afastamento nullo) , como XY, podemos levar directamente sôbre ella a 'unidade de comprimento segundo a escala adop- . tada.

Assim, façamos Xm = 1 metro. Tomemos por exemplo XB = 6 me

tros e tracemos a linha de fuga do espaço BF, para um ponto qualquer, F, da linha do horizonte.

A recta BF é horizontal por ter o I

I Z IZ'

H F H' i ,_._,_._._,_._,~._. _ .. _._ I

----~~--:>? \::," ""':6". ;: I \ I

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I I

I I

I

\ \ ,

\ , \ ,

\) L-~~ ________ -Jy ___ L __

FIG. 32.

ponto de fuga na linha do horizonte; logo, todos os pontos de BF estão a 6 metros acima do geometral.

Tracemos tambem XF, linha de fuga no plano geometral. As linhas de fuga BF:lte XF estão num mesmo plano vertical pois este plano contém a vertical XB.

CONCLUSÃO: Todas as ' verticais levantadas entre as linhas de fuga XF e BF, medem 6 metros de altura.

Muitas vezes, toma-se como ponto de fuga, F, o ponto principal V.

Também se pode tomar um eixo vertical qualquer, Z', f6ra do quadro. Este processo é útil ás vezes para evitar


a confusão de linhas nos limites do quadro. O resultado é sempre o mesmo.

34. - Elllprêgo silllultÀneo das três escalas. - Seja representar uma vertical de 6 metros de altura, cujo pé tem por coordenadas: largura, 7 metros; afastamento, 5 metros.

1). Determinamos logo a perspectiva A do pé da vertical (n.o 30).

2) SÔbre o eixo XZ das alturas, levamós 6 metros.

3). Traçamos as linhas de fuga 7V e XV.

4). Pelo ponto A, traçamos a parallela Aa a XY até encontrar XV.

5). Em a e A levantamos verticais. A recta ab mede 6 metros (Íl.o 33).

Uma parallela a XY, traçada por b,

z

FIG. 33.

determina B. AB é a perspectiva pedida. 35. - Applicação. - Traçar a pers

pectiva de um prisma recto, triângular. A base dó prisma descansa no plano geometral e é dada pela sua projecção. Altura do prisma 2 metros. Altura da vista do observador 1m, 50. Distância do observador ao quadro 2 metros. Escala de '0,02 (2 centimetros por metro).

a) GEOMETRAL. Seja abc a base dada. Convém evitar que as projectantes sÔbre os eixos de largura e profundidade se confundam.

Escolhe-se a posição do ponto de vista que varia conforme fa posição de " sÔbre x y.

I ./

a" I â f-----I I

b" , I 1.. ____ :_ ! I

I

\ I

" I I

C-" i----~---- I

\J\-' __ *:: ;-----:;-;-.----<:.1'1 .. Iy X\ â' o \ /

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\

FIG. 34.

I I I I .' I I

tP/2 j I I

Sôbre uma perpendicular a xy, traçada por v, leva-se, na escala adoptada, a distância do observador ao quadro.

Aqui, vp=4 cm. na escala de 2 cm. por metro.

z

2m G )-.:- - ----'--: 'r-F,-=J! ,-':: ... ~.7 ••• ~ F

D H;:: ",V H' - 'lç- _._._.- -(- ',-r' '1\ - - - ' - - -._ -

\ I I /" \ \ I I 1/ \

\ I I I f \

\ I I /' .I I \ \ I I I I \

\ ' .. I I \

" : ~ ,," / I \

\ "L*~-~1- ~.:: '!:' ~''"'"~\ B "\ /', I

\ I" I \

,: II ," \

X /~----t---, ,c \ '1 C·.K C'B" Á B' FIG. 35.

Esta distância não está de conformidade com as ,explicações dadas nos números 11 e 23. Deveri'lmos tomar pelo menos vp = 2xy. Porém, nos desenhos puramente geométricos, em que não se procura o efJeito artístico, é frequente não se observar integralmente esta regra. ,

,Na figura 34 indicou-se a direc. ção de p e a metade da distância do observador ao quadro.

METHODOS DOS PONTOS DE FUGA - ESCALAS

b) QUADRO. - Traçamos HH' a 1 m 50 de altura, isto é, a 3 cm. de · XY (figo 35).

-Determinamos D, tomando sôbre HH', VD .

z vp = 4 cm. I j , z: G Sôbre XY levamos :'-,~-- - ---r--- - --

as larguras O', A', B', e I ' 1

as profundidades Ali, B", :0 rftl~~~

17

01/. .: I j I

Eupregamos depois lUpl?_o_LLo_Lo_o ~::':::'~o _ o _o_o o_o~_ o _ o J( o méthodo do n.O 31 para j , I I / '

I I I I I \

construir a pespectiva da I I I ' "

base. ! l ! 1 " \ Nos vértices A, B, 0, I I I I " \

db I . I II,' ,

a ase evantamos vertl- : :' / \ cais de 6 metros de altura, I I I ,

servindo-nos da escala de : ::' , alturas (fig. 35), utilizando I :: ,/ :; " '-

: :.1;L- -J2;- -~CT------t/"\- -\ 11 o méthodo do n.O 34. : \'/ A I I \-:

Obtemos a base su- I ~ - - - - - o o o o o o 00:0 ",

perior EFG, unindo as X~~ --,': o 00 o o o o 0

0 o o 000' B \

extremidades das arestas ,.' .. .".! \ '-verticais o ,',/ \ "

As arestas AB· e EF, " I . I " '-, / \ I , ,

escondidas pelas faces do , f --- -----'1;'--; -- - ---, C \ \ prisma, devem desappare- X ~/~' ::--__ -f:-A~---l\~-+.---=------~\ ~_--li' y cer do desenho ou ficar C" A'B" K C' R' ape~as pontilhadas. FIGo 36.

36. - Axnpliação do quadro. - A perspectiva obtida no desenho anterior, pode ser ampliada sem haver para isso necessidade de construir um geometral maior.

Vamo-nos propôr a construcção de um quadro duas vezes maioro Eis como se procede na prática.

Seja o geometral da figura 34, na escala 0,02.

Faz-se a construcção do pequeno · _quadro, tomando xy do .geometral como largura (jigura 36).

Levanta-se xz, escala das alturas sôbre a qual levamos xi = 2 m., na escala do pequeno quadro o

Traçamos depois HH' a 1 m 50 de . xy e determinamos V.

Para se obter um quadro duas vezes maior, traçamos Vxe Vy que

prolongamos de um comprimento igual ao respectivo valor, até X e Yo Unindo XY, temos a nova linha de terra, paralleIa a xy e igual a 2xy. (Geometria curso supo noO 98)0 .

Em X, levantámos a escala das alturas .XZ sobre a qúal transportámos XI = 2 metros = 2xio

Para obter o ponto I, bastaria tambem prolongar V1° até encontrar XZ.

As linhas de fuga traçada'3 pelos pontos c', b', a', (larguras) determinam aJ novas larguras O', B', A', na escala dupla.

O mesmo farÍ<1mos para os afastamentoso Somente, como tomamos o ponto de distância reduzida Dj2, ~noo 32), tlimbém devemos tomar as metades dos afastamentos, isto é, basta transportar

18 PERSPEOTiV~ EXACTA

sóbre XY OS afastamentos do geometral.

Levamos pois Ali, B", C", com as dimensões dadas no geometral, fig. 34.

Em geral, quando se'Jaz um quadro augmentando n vezes o geometral, basta tomar o

ponto de distância reduzida D/n. Dêste modo os afastamentos do geometral podem ser transportados directamente sôbre XY no grande quadro. .

Termina-se O desenho como no número anterior.

C A~P I T U_L.O I V

PROBLEMAS DIVERSOS

37. - Determinar a perspectiva da projecção horizontal de uma recta AB do espaço, dadas as cotas de suas extremidades

• na escala do quadro. Seja AB a recta dada em perspec-

' z

n " , B' B

H_. _~~ -:'I:~::'::~ . -.----.-t I . I

: /-' : I I I I t' I

, .~T - - - - - - o'. " .' '. A/ __ /.__ '. /, I ,

, , / ". I , • , I

I

l / • I

.~i ----- ---- - -- - - - - - - -~ x~ ______________________ ~

FIG. 37.

tiva; m e n sendo as cotas respectivas das extremidades A e B (fig. 37).

1) Sôbre XZ, tomamos os segmentos Xm e Xn e tra.çamos as linhas de fuga m V e 11 V. (fig. 37).

2) Pelo':! pontos A e B da recta, traçamos horizontais que determinam A' e B'.

3) As verticais traçadas por A' e B' determinam sôbre XV, no plano geometral, os afastamentos a' e b' de A e B.

4) As parallelas a XY tra.çadtl.s por a' eJb', determinam sôbre as verticais de A e B da recta os pontos a e b, situat.os no geometra.l.

Estes dois _pontos constituem as projecções horizontais das extremidades da recta .

ab, é pois a projecção horizontal da recta AB.

38. - Dividir ~ uma recta AB; dada em perspectiva, em n partes iguais.

1.0 CASO. A recta AB está no geometral.

Seja AB a perspectiva da recta (fig. 38).

H_._._._. _._ . _ . _.~ . _._. _. _. _.~. _._. ,

,

\ , , ,

I I \ \ , __ _ ..L _ __ L _ __ \... ___ \-. ___ \.,.

A l' 2' J' 4! n' X L--________ ---ly

FIG. 38.

1) Pelo ponto A, traçamos uma parallela a xy, sôbre ii. qual levamos, a partir de A, n partes iguais:

1',2',3', ... n'. 2) Traçamos depois a linha de fuga

n'B cujo prolongamento determina um ponto F sôbre HH'.

3) As linhas de fuga [l'F,' 2'F, .' . . n'F,

determinam por intersecção sôbre A B os pontos

PROBLEMAS DIVERSOS 19

1,2,3; ... n, que! dividem a recta dadd. em n partes perspectivamente iguttis.

Com effeito, as linhas de fuga para F, são horizontais, parallelas e equidistantes; determinam, pois, segmentos iguais na secante AB. (Geom. c. 8Up. n.O 258).

2.°. CASO. - AB é uma recta do espaço. ~~ Sejam 3 m e 7 m as alturas respectivas dos pontos A e B, extremidades da recta (fig. 39).

1) Por meio da escala de alturas determinamos a projecção horizontal da recta (n.o 37).

2) Dividimos a projecção em n partes iguais (1.0 Caso).

3) As verticais levantadas sôbre estas divisões determinam os pontos

1",2", 3", ... etc. que dividem lABiem n partes iguais.

FIG. 39.

39. Dividir uma recta, dada em perspectiva, em partes proporcionais a08 número8 2, 4 e 6.

1.0 CASO. - Recta do ~ Seja AB a recta dad!!. (fig. 40).

1) Pelo ponto A traçamos AC parallela a XY.

2) Sôbre esta recta levamos 12 divisões iguais de A até P.

3) Traçamos a linha de fuga PB cujo prolongq,mento determina F sôbre HH'.

4) As linhas de fuga 2F e 6F, dividem a recta nas proporções pedidas.

No: triângulo APB, temos com evidência:

kn mn mB 2=4"=6·

2.° CASO. - AB é t,ma recta do espaço. - Determina-se a projecção horizontal (37) da recta.

H F . --_.o_. _ ... ___ .~. _. ____ ~~. ___ ._ ... - ._.

Fro. 40.

Divide-se esta projecção pelo méthodo indicado no 1.0 Caso.

Pelos pontos obtidos levantam-se verticais até encontrar ' a recta AB, ficando esta dividida na mesma proporção que a respectiva projecção. ~,,~ 40. - Dada a perspectiva de uma ruta, determinar-lhe a verdadeira grandeza. - 1.0 CASO. - A recta está no plano geometral.

V D ._------._----.-. -~_._. _. _. - - -:,.-:::;.-1---

..... -11,.;.. ,/ ..... .,.-"'..... I ......... 1 ....

/' \ I I:~:~--: .... ~ / ..... }.--~'

" ..... .... .......... :,' I .... ....... k::: ~ ____ ~:.. __ !_~~_~ _________ ~';: F ' E t-m \11. B

I \

14m. \

!( N FIG. 41.

Seja AB a recta dada. 1) Traçamos BF, parallela a XY;

AE:, linha de fuga para V; AF, linha de fuga para D. .... O triângulo AE:F é rectângulo em ~ isósceles; logo EF = E:A.


2) Em E, levantamos a vertical Illi = EF = 8A.

3) Traçamos HB. O triângulo EBH situado num planó de frente é igual ao triângulo perspectivo EBA.

Logo, HB = AB. 4) Seja. agora MN == 4 m, na escala

do quadro. Deduzimos logo o valor de 4 m,

no plano do triângulo EBH, "p.ja mn, e levamos este segmento sôbre HB . Achamos approximadamente,

HB=4,5mn; logo""HB=AB=4,5 X 4=18 metros. -- . 2.0 CASO. - AB é uma 'recta do

• espaço. - Determina-se a projecção horizontal da recta (37) e a verdadeira grlilldeza desta ptojecção.

Constrói-se A depois um triân- L ; : gulo no qual um : ~ : d?s cathe0s MB, B ~ 7 ~ (fIg. 41 bIS) é a ~ - - - - - - - -1 w ;

verdadeira gran- : I :M : deza da projecção : I I ~ de AB e o outro, AM, a differença ~: das cota~ das ; I

: I extremidades da ~ I recta. b"------....Ja i

A hypotenusa dêste triângulo é FIG. 41 (bis).

a verdadeira grandeza de AB 'que se avalia como no 1.0 caso.

41. - Representar a perspectiva rde uma recta, num plano perpendicular ao quadro, com 10% de declive em relação _ao plano geometral.

Seja AV a projecção horizontal da recta (fig. 42).

Devemos levantar esta linha de fuga horizontal de modo que a 100 metros do quadro elIa passe por um ponto situado a 10 metros de altura.

Reduzindo os termos da proporção, temos 1 metro de altura por 10 m. de profundidade. .

Determinemos 11m ponto c a 10 metro~ de afastamento.

Em c levantemos uma vertical de 1 m. de altura (34).

Tracemos AC e prolonguemos até encontrar o novo ponto de fuga VI, na vertical de V.

AVI é a recta pedida e VI {o ponto de tuga da.e tinhas paralIelas a AVI que sob: m de 10%; por exemplo, BVl.

42 - Representar a perspediva de um t rp.cta dR f'l.lga principal, com 5% .d8 deel \Ve "1fI. rela~ ão ao plano geometral.

Sej!! AV a projecção horizontal da rectl (fig. 43).

Determinemos um ponto b, desta linh 1 de fl1ga com 20 metros dei afasta-

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1m

I

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I I ",.,"

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/ ;, ",,,, ,"" /1 I~ ___ --- _ _ _ ------ ----- -::;~ ,

I ",, "'" " , I ,

/ I ,

I I

I

I

I

I '

5m. IG. (2.

PROBLEMAS DIVERSOS - lIETHODOS DOS PONTOS DE FUGA

F v D/4------- -- -- -1----------------!'-,--- --- - --- - -- -- -- --;:~ - - ----'l I , "

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( I " /,( ~ " b

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l/,I " I I // "

I I ./" / I /' "

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I

I I

I I "

, , " , ,

, ,

c ~ A FIG. 43.

21

mento. O ~ ponto correspondente B da linhd. qe declive passa a 1 metro -

Para resolver êste problema de modo elementar e simples, construimos o geo.. metral (fig. 44) da recta AB.

-( 1~ ou 2~) abaixo de b.

E' fácil determinar êste ponto. Como no número precedente, determina-se o novo ponto de fuga Vl, abaixo de V. t<' 43. - Dada a perspectiva AB de uma recta horizontal, determinar a perspectt'va de outra horizontal perpendicular a AB no ponto A.

c

â

;; ------- -7

... " , /

" /

... " , /

... I ' , ,

'"' ! FIG. 44.

, "

" / "

, /

,

Em a, levantamo'! uma perpendicular, ac.

Sejam pft e pj2 asj linhas de fuga dllB direcções ac e ab.

No quadro, fig. 45, A, representa a perspectivá do ponto a do geometral.

Determinamos F 1 e F 2.

" "

p ---"" ... , I" , ,

" I , /' I

I

FIG. 45.

... ...


As linhas de fuga AFIe AF 2 são perpendiculares; o ângulo BAC é recto.

AC é pois a recta pedida. Na prática, não se faz a construcção do

geometral. Em V, levantamos uma vertical sôhre a qual transportamos a distância VD.

Prolongamos a recta AB e determinamos F2. Traçamos então PF2 e depois PFl per

pendicular a PF2. FI é o ponto de fuga da recta AC, perpendicular a AB (fig. 45).

Logo se vê que esta construcção se reduz a rebater as linhas ph e ph do geometral, para cima de HH' no plano do quadro.

Notemos qlle todas as perpendiculares a AB, concorrem para FI.

A construcção seria a mesma se pelo ponto A tivessemos que t raçar uma horizontal que. formasse com AB um ângulo ex (n.o 44).

Notemos ainda que êste méthodo permitte determinar a verdadeira grandeza de um ângulo do geometral. Basta medir directamente o ângulo F2PFl.

44. - Determinar o ângulo formado por duas rectas concorrentes AB e AC das (/UfLis se conhecem as perspectivas.

FIG. 46.

, , , , , , ,

Como no número rprecedente, rebatemos o ponto de vista sobre o plano do quadro, para cuna de HH' (fig 46).

Prolongando AB e AC, determinamos os pontos de fuga F e FI.

O ângulo FPF I representa a verdadeira grandeza do ângulo CAB. Podemos medil-o directamente com o transferidor.

D Diz V . _ . ~_. _ . _ . _ . .... ~_ ._ . _._ . -;or o _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ .

......... \ " \ ............. \ ,,'

"', ,, ' '~/'-------,,:

, , , \ .... \ 1/ 2 ........

AL' ---~---""-"··B---

FIG. 47.

Quando os pontos de fuga F e FI estão muito f6ra do quadro, o mais simples é reconstituir o geometral.

45, - 86bre uma 1 linha de fuga principal AE,~ construir um] º,mdraào perspectivo.

Seja AE a perspectiva do [lado do quadrado. na direcção principal AV (fig 47).

Pelos pontos A e: E, traçamo( paral. k 1as a XY, indefinidas

Traçamos depois a linha. de fuga ED que prolongamos atélB.

Unimos ~BV e 'obtemos assim BC, quarto lado do quadrado.

CAPITULO V

PERSPECTIVA DAS FIGURAS (PLANAS

46. - Perspectiva de UIn triângulo do gooInetral. - Seja ABC, o triâng1llo dado pela projecção, fig. 48.

a) GEOME'I'RAL. - 1) Determinamos as coordenadas dos vértices, traçando pelos mesmos, parallelas aos eixos de afastamento e largura.

2) Será útil, em muitos casos, dete .. ~ minar o ponto de fuga accidental, F, di lado AB. Obtemos assim uma verificaçãv simples da exactidão do traçado perspectivo. A linha de fuga pj se obtém traçando, pelo ponto de vista p, uma parallela a ab.

23

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, I I ,~ , ·1, I

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, I I ' , I I I

\ i I I , I /

, I / , , I

\ , , ", I //

\. , I,

~~/ p

FIG. 48.

\/'A/ A-X . \ I

FIG. 49.

y

namo.s as no.vas larguras sôbre XY. , 3) To.mamo.s a distância reduzida

~ D, de mo.do. que não haja necessidade 3 '. c

de modificar o.S afastamentos dado.s no. geo.metral. (fig. 36).

b) QUADRO. - Construimos O qúadro baseando-nos no geo.metral, de accÔrdo co.m o. que ficou explicado no número 31.

4) Co.nstruimo.s a perspectiva abe da pro.jecção. ho.rizontal do. triângulo..

5) Seja Y n a altura de A. Traçamos · n V e determinamos A, na vertical levantada pela projecção. a (34).

47. - Perspectiva de UIll

triângulo do espaço, ABC. - Sejam n, r, e m, as alturas respectivas do.s vértices A, B e C, do. triângulo. dado. no. geo.metral da figura 48.

Quadro ampliado : i- do. geo

metral. 1) Traçamos xy, base ~do.

pequeno. quadro.. Determinamo.s V e traça-

mos as linhas de fuga V x e Vy, que prolongamos até X e Y, de mo.do. que:

Vx Vy 2 VX = VY = 3'

!n .'""t- -, ,

• " r

, H

~ \ - ~- -;, ... /:, \ I I', "

I \ / " 1 :', I I ~, I *-------;/.0· ,----( m I I i \ I ./O! ..... , . \ I "I

: \' .,/ " .//,' ' ...... \: \ :1/ , ,Q2- - .. -- 7'- - - T - - - - -- .... ~- - - - - -";7 . I .t--/ /' , ._::;..,C ___ ..li,

I . / ,\ I /' I ._._'- \

2) Levamos sôbre xy as 'I' I . . A- \ , I i 1/ ' / _ . ..-.- I \ '" larguras do. geometral e traça- ~. ,'/_.-. J \ _______ t

m os as linhas de fuga dêstes /, - -ã,r. . . I I \ I ,

po.nto.s para V. Prolo.ngando. X L!..-L--..i. ___ .L-~ ___ ---''-------''

essas linhas de fuga, determi- FIG. 50.


· 6) Fazemos a mesma construcção para os vértices B e C levando as alturas respectivas r e m. ABC é a pers-pectiva do triângulo no espaço. .

48. - Perspectiva DffiECTA (1) do quadrado. - Problema. - Representar a perspectiva de um quadrado de lado ab, situado no geometral.

O lado AR é parallelo a xy. : Representar o mesmo quadrado, na

posição horizontal, acima da linha do lho. rizonte.

1) Levamos ab sôbre XY (fig. 51). 1 2) Traçamos as linhas de fuga a V 18

b V e determinamos uma profundidade arbitrária n, pela qual traçamos AB, ·parallela á linha de terra.

S) As diagonais do quadrado I::oncorrem para D e D'.

4) Estas linhas de fuga, AD' e BD, determinam E e C, vértices do quadrado. O lado EC, que une estes pontos, é parallelo á linha de terra (16).

FIG. 51.

5) Seja, nas mesmas condições de afastamento, o lado de frente FG, do quadrado horizontal, situado acima da linha do horizonte (fig. 51).

6) Traçamos FV, G V e FD'. Obtemos logo a perspectiva GFJI do' quadrado.

49. - Problema. - S6bre a linha de juga AF, construir um quadrado perspectivo.

(l} Perspeotiva obtida sem a uxilio do geome traI.

Poderiamos resolver êste problema, reconstituindo o geometral e traçando depois a perspectiva de cada vértice pelo emprêgo das escalas.

Damos aqui outra solução, como applicação do n.O 43.

1) Seja AB o lado do quadrado, tomado sôbre a linha de fuga AF (fig. 52).

P ,-t, 1

'\

I '\

FIG. 52.

2) Determinamos F e F 1, pontos de fuga dos lados~B e AD (n.o 43).

3) Os lados DO e AB, parallelos, têm mesmo ponto de fuga F.

O mesmo acontece com os lados . AD e BC que concorrem para FI.

~) ABCD é a solução pedida. PF2, bissectriz do â,ngul() FPF1, é linha

de fuga da diagonal AC do quadrado. A deform8ção desagradavel do quadrago,

é um exemplo patente do que succede quando a distancia do observador ao quadro, (PV), é muito curta. .

50. - Quadrados concêntricos equidistan teso

1) Seja ABCE um primeiro qua.drado (fig. 53).

2) Traçamos a linha de fuga A V que prolongamos até O, na linha de terra.

3) Transportamos, a partir de O e na escala adoptada, segmentos iguais ã. distância que separa os lados dos quadrados concêntricos.

4) Pelos pontos obtidos (1, 2, ... ) traçamos linhas de fuga.

1 V, 2V, etc., ...

PERSPECTIVA DAS J'IGURAS PLANAS

que determinam na diagonal AO os pontos 1', 2', 3', etc... que são os vértices dos outros quadrados.

5) A figura 53 explica o resto da. construcção.

A~~~~ ____________ ~~ /-

o 2 FIG. 53.

51. - Sóbre uma linha de fuga principal RV, traçar um quadrado vertical de lado dado.

1) Seja RV a linha de fuga do lado AB (fig. 54).

• 2) Transportamos, sôbre a linha de terra, o segmento mn igual ao lado do quadrado.

S) Traçamos mD e nD. Estas linhas determinam os vértices A e B, nos quais levantamos verticais indefinidas.

C ------ ._ ._y-~..:.-.:. :.~..::.

, ,

m

, , ,

, , , , , , ,

13;' , ,

, ,

E ih ---.-íD ._._-_ .- -,,',,':1-

- " I .'i ,. ,I

: ~ , I

" i • I

A I ! ", I . ,. n R

FIG. 54.

4) Oonstruimos em R a escala das alturas sôbre a qual transportamos Rh = mn, lado do quadrado.

5) A linha de fuga h V determina os vértices E e O do quadrado.

"' I e d ,- - - - - - r-----__>.

c I , I

'\ I : I ~ ,. 'Ç'L __ ! ___ ' b:'

{, , i I â . : ( :t,~J.._.l._._ .:_ .~ . _._. _L._,'JÍy

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\ \ / I

'\ \ /,' " \ I , , \ 1 I

\ ' , I , \ ,I , \ ,','

\ \ ,I \, " \\ " \, , '1

~~ 1 ."

\f' p

FIG. 55 .

52. - Perspectiva do hexágono regular - ProblelDa - Traçar a perspectiva de um hexdgono regular situado no plano geometral com um lado

. paralldo a XY. Utilizar os pontos de fuga auxiliares. Construir o quadro duplicando o

geometral. • a) GEOMETRAL. -1) Seja ' abcdefa o

hexágono dado (fig 55). 2) As parallelas ph e pf2 aos lados

af e bc do hexágono, determinam os pontos de fuga auxiliares h e fI dêstes mesmos lados, bem como dos lados fe e de.

b) QUADRO. - 1) Duplicamos o geometral (fig. 56) prolongando V x' e Vy' de modo que

Vx' Vy' 1 VX = VY =2"'

2) Sôbre a linha do horizonte ,tomamos

VF1 =2vft; VF2=2vf2; VD/,=vp.


Quadro do/!icddo 7) BC e CD se obtêm pelo emprêgo successivo dos pontos de fuga F 2 e FI.

~ Diz ~---- - ---\ ,

, , \

\ \

, , , \ , ,

I

I

,

, I

, I

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, I

V -\ ___ ó _ _ _

'\ , \

I \

\ \

\

\ \~\ \ \\

\ \\ \ \ \

\ \ \ \ \ \

~ ; \ \ \ I ,

53. - Perspectiva do E pentágono regular numa

2 • - ai ----:- poslçao qu quer. -

, , a) GEOMETRAL.- 1) Seja

abcdea, o pentágono -:lado no geometral (fig. 57).

2) Seja pv o raio principal rebatido para cima de xy, por meio de uma rotação de 1800 ao redor dêste eixo. Esta. construcção se emprega para reduzir o espaço occupado pelo geometral.

3) Determinamos as lar-1 I I '

2} .... ;,. - -. -A,",---;......-..,--.l',\B , \ I

guras 1, 2, 3, 4, 5,

X ,' ..

FIG. 56.

3) Traçamos as linhas de fuga 1, 2, 3, 4, para V.

4) Construirnos o lado AB. 5) Traçamos AF, na direcção de

FI e depois FE, na direcção de F 2•

6) O lado ED é parallelo a XY.

J\ l i\

I i \ , I i \ cI

J --------1-.- -I I-

1\ - I :-,

, I I \ S' -é----i--4--"---~ C

-, .'1 '

, I: \ I \

I I • I

"'

2 - -f - ã , __ ,I --1--_--.1 ~ ~...J--'----I--- .. -- 1

I ' I 10

I \ , '\ : ,

X L'.---'--.-.l:--_..L.._~_-l-' __ ~- !I l _ l V J " 5 __

FIG. 57.

\

\

J dos vértices e os afasta=mentos correspondentes

I', 2', 3', 4', 5'.

D/2 H V H' --+'---- -------- - -..,.--------._._-- -

. ; \

/

I

,.

FIG. 58.

b) QUADRO. -1) Obtemos o quadro determinando a perspectiva de cada :vértice do pentágono, pelo emprego das duas escalas,

2) Na figura 58 indicamos apenas a direcção das linhas de fuga para D. Pode-se utilizar tambem ã distância reduzida D/2 tendo o cuidado de reduzir na mesma proporção os afastamentos

- do geometral.

PERSPECTIVA DAS FIGURAS PLANAS

d

/"I'\:, ,. I .........

,,' - - ~ -- - : --':..-..,;;.: ] C

... I I I

" I / I , /-f. I

..... 1' I

". / I ...... I __ ' I ... I

c. ________ ...\iI

h

FIG. 59.

QUADRO. Podemos obter facil-mente uma ampliação qualquer do geometral sem fazer as construcções indicadas nos números anteriores.

V ~os tambem constituir a perspectiva do quadrado e dos diversos pontos do oct6gono, sem auxílio das es calas de largura e afastamento. E' o méthodo da perspectiva directa(fig. 60).

1) Traçamos a perspectiva de frente do quadrado circumscripto. Utilizamos a distância reduzida D/2 (Vêr fig. 47).

2) Traçamos as diagonais que determinam 0, centro do quadrado e do polygono.

3) Traçamos, pelo centro 0, a linha de frente AB e a linha de fuga OV

FIG. 60.

54. - Perspectiva directa do oct6gono regular. - Seja, fig. 59, o geometral do octógono ' regular inscripto no quadrado de lado a b.

Os meios dos lados do qU8 . .drado são 4 vértices do octógono . .

° círculo inscripto no quadrado corta as diagonais do mesmo nos pontos 1, 2, 3, 4, que .;ão os outros quatro vértices do octógono. Este circulo é circumscripto ao octógono regular.

que determina, por intersecção e prolongamento, os pontos D e C.

Os pontos A, B, ,C e D, são meios perspectivos dos lados do quadradoV'e vértices do octógono. .L.

4) Centro em 0, tomando AB como diâmetro, descrevemos um semi-circulo e traçamos os raios OMl e ON l,!inclinados de 45° sobre AR

ó) Projectamos orth.ogonalmente MI e N1 sÔbre AB em M e N respectivamente.


6) Traçamos MV e NV que representam a perspectiva das rectas ij e lh do geometral.

7) À.B intersecções 1, 2, 3, 4, destas linhas com as diagonais do quadrado

55. - Applicação. - Perspectiva do octógono eslrellado (fig. 61).

1) Determinam-se os vértices do octógono (54).

2) Unem-se estes pontos dois a dois

FIG. 61

I'

I ',I ':-:::"--""---==-- ... _L +-1

c z~ h ,s '... ,,/

FIG. 62

constituem os outros quatro vértices do octógono.

O triângulo rectângulo isósceles MOM1 não é senão o triângulo perspectivo M02, levantado por rotação ao redor de AO até a posição vertical.

como indica o geometral construido á direita do quadro.

3) Termina-se o desenho; eliminamse as linhas de construcção que carregam inutilmente o desenho.

56. - Perspectiva do círculo. -M éthodo dos oito pontos. O méthodo consiste em determinar oito pontos principais que se unem depois por meio de uma curva. Esta curva será geralmente uma ellipse. Veremos mais adiante que pode ser também um arco de eUipse, de parábola ou de hypérbole.

Os oito pontos escolhidos são os vértices do octógono regular inscripto. Determinam-se estes pontos pelo méthodo indicado no n.O 54.

Será útil também traçar as tangentes ao circulo nos pontos 1 e 4. Para isso, toma-se jw=jr e traça-se w1, tangente ao circulo em 1 (fig. 62 e 63).

QUADRO. - 1) Determina-se o quadrado circumscripto, RSTU (fig. 63).

PERSPECTIVA DAS FIGURAS PLANAS 29

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I ' " ' .... T ... - .... ~ f-_ " 2 ' , - f", '-I \ - I,......... ' ... , M I \ ~- -- _ ~-_-/4<. 1

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Diz W( :: / '-"'", V _·'t~-·_·I· . _. - - -:. _. - r-" 7' _. - .- . -. _ .-"t-

, I " "

FIG. 64

2) Traçam-se as diagonais RT e US ; que determinam o centro O do círculo.

S) Pelo .' centro traçamos AB, parallela a XY e OV que determina C e D.

4) Determinamos M e N sôbre AB e traçamos as linhas de fuga dêstes pontos para V.

Obtemos assim por intersecção com as diagonais os pontos 1, 2, 3, 4, q~le pertencem ao circulo.

5) A tangente em 1 se obtém tomando JW;:: RJ e traçando depois, pelo ponto 1, a recta WW', .

Uma construcção idêntica dá a tangente em 4.

57. - Sóbre uma linha de fuga principal RS, construir 'a perspectiva de um quadrado vertical; inscrever depois um círculo no quadrado obtido.

1) Traçamos, por R, uma linha de frente indefinida, RP.

2) A linha de fuga SD/2 prolongada, determina o ponto P, na linha de frente RP,

PERSPECTIV A EXACTA

CAPITULO I

DEFINIÇÕES. - PRINCIPIO FUNDAMENTAL

I. - Perspectiva c6nica. ~ A perapectiva c6nica tem por objecto a representação sôbre uma superfície plana ou curva, da forma apparente dos corpos visto8 de um ponto determinado. Esta forma apparente varia com a posição do observador e a grandeza realj dos corpos.

2. - Quadro. - Chama-se quadro, a superfície plana ou curva sôbre a qual se representa a perspectiva dos objectos.

No caso mais commum, e é dêste que nos occupamos, o quadro é um plano vertical Q, fig. 1, situado entre o observador e o corpo do qual se quer determinar a perspectiva. O corpo que se quer representar sôbre o quadro deno

G.J3. - Ponto de vista, P, fig. 1, é paço occupado pela vador. '

vista. Ponto de O ) ponto [do eS-: vista do ~obser-

4. _. Plano geometral. - Er um plano horizontal, sôbre o qual se faz a projecç~ orthogonal dos~objectoS:· cuja perspeotiva se procura. ti

5. - Linha de terra. -tA intersecção do plano geometral com o quadro é uma recta horizontal, xy, (fig. 1); é designada pelo nome de linha de terra.

.... ........ ~ ' .. 1' - ---j-------_ .. .:;:.=:

I

mina-se objecto perapectivo. A perspecti~a d~ um objecto é ~.:~' -----:

real ou imaginária. ~~El real quando a vista do observa-dor pode ser dirigi- , . , da ao mesmo tempo Plano yeometra! w-----_---~~~~~:=--}:-~.,:..p

,r------J ......... ; ... ~:.::,~ ..... :-.~~-~-<-----..,

para o quadro e _._. para o objecto. E' --------~""x~.-;;;;.;~-------.J imaginária ou vir-tual, quando o espectador se acha entre o objecto e o quadro, por exemplo: o Sol, situado atraz do observ:ador, terá perspectiva virtual (n.o 102).

FIG. 1.

6. - Linha do horizonte. - Si pela vista do observador passamos um plano horizontal, este plano será o plano do horizonte e a sua intersecção com o


RP, é, em verdadeira grandeza, a metade do lado do quadrado na escala do plano de frente que passa por essa recta.

S) Em R e S levantamos verticais. 4) Levamos 2RP na vertical de R

e obtemos o lado de frente RU. 5) Traçamos a linha de fuga UV

que determina o vértice T na vertical de S 6) No quadrado perspectivo RSTU

traçamos as diagonais RT e SU; determinamos o centro O, pelo qual traçamos CD, vertical, e AB, linha -de fuga para V. Obt~mos assim os meios dos lados do quadrado.

7) Determinamos depois os pontos 1, 2, 3, 4, nas diagonais repetindo a construcção do n.O 56.

8) A tangente em 1 se obtem tomando LZ = RL e traçando 2Z' por êste ponto. Uma construcção idêntica dá a tangente ao círculo em 2.

58. - Escala circular. - O seu eIllprêgo no traçado da ' perspectiva do circulo. - O processo que vamos indicar pode ser applicado principalmente quando se quer determinar pontos equidistantes, sôbre o circulo perspectivo.

Sôbre a linha de frente MN como lado, construimos a perspectiva do quadrado circumscripto ao circulo (fig. 66). Determinamos o centro O, e traçamos as rectas AB -e CD que unem os meios dos lados

a) CONSTRUCÇÃO DA ESCALA. E 1) Seja um semi-circulo qualquer que dividimos em partes iguais, por exemplo seis partes. (Fig. 65) ..

2) Tomamos abaixo do diâmetro mn, um ponto qualquer S, que constitue o vértice da escala.

S) Projectamos sôbre o diâmetro os pontos de divisão do circulo, e unimos esses pontos ao vértice da escala. '

Este feixe de rectas convergentes constitue uma escala circular que se podé conservar para ser utilizada em muitas occasiões. .

b) PERSPECTIVA. :-1) Applicamos uma tira de papel sôbre o lado de frente MN do quadrado e indicamos sôbre a mesma a posição dos pontos M, C e N (Fig-. 66).

c .3

2 6

FIG. 65.

2) Transportamos esta tira sôbre a escala de modo que o ponto C esteja sôbrea linha central da escala e os pontos M e N sôbre as linhas extremas. Na figura 65, a tira coincide com o diâmetro

_ do circulo da escala, mas esta circumsMncia não é necessária.

S) Transportamos as divisões obtidas pela rêde da escala sôbre o lado MN do quadrado e traçamos as linhas de fuga dêstes pontos para V.

FIG. 66.

4) Fazemos a mesma cousa com o lado de fuga MP do quadrado, indicando na tira os pontos M, A e P .

PERSPECTIVA DAS FIGURAS PLANAS 31

5) Transportamos a tira de papel sôbre a escala em pmt, de modo que o ponto a esteja na linha central (fig. 65).

6) Levamos estas divisões sôbre M P, no quadrado perspectivo, e pelos pontos de divisão traçamos parallelas á linha de terra (fig. 66).

As intersecções obtidas com as linhas de fuga para V, constituem 12 pontos eq~idi~tantes do circulo perspectivo.

59 . . - Dado UIll círculo perspectivo, dividi-lo eIll partes iguais. -Seja 0, o círculo dado (Fig. 67). Começamos por determinar o quadrado circumscripto. Para isso traçamos as linhas de frente MN e PQ, tangentes á ellipse

4

FIG. 67.

e as linhas de fuga MV e NV, também tangentes em A e B ao círculo dado.

A determinação do centro e, em seguida, do diâmetro . de frente AB, se faz com maior precisão traçando as diagonais do quadrado circumscripto.

1) Sôbre MN comO diâmetro, tra-çamos um círculo que dividimos em partes iguais, 6 por exemplo, se quisermos dividir o círculo todo em 12 partes iguais. '

2) Pelos pontos obtidos,' 2, 3, 4, 5, 6, traçamos verticais que determinam sôbre MN as projecções 2', 3',4', 5', 6'.

3) As linhas de fuga para V dêstes pontos determinam, por intersecção, 12 pontos equidistantes no circulo perspectivo. A e B são dois dêstes pontos.

60. - Traçado de círculos concêntricos.

MÉTHODO: Consistiria em traçar uma série de quadrados concêntricos, (n.o 50), de lados iguais aos diâmetros dos círculos.

Procurar-se-iam depois os pontos principais pelos méthodos expostos nos números que precedem.

Preferimos d3r aqui outra solução baseada na applicação das escalas circulares.

ProbleIlla. - Dado um clréulo perspectivo 0, determinar-lhe o centro perspectivo e traçar um círculo concêntrico, cujo raio esteja para o do primeiro numa razão dada.

a) RESTITUIÇÃO PERSPECTIVA DO CENTRO. (Fig. 68).

r 1) Traçamos linhas de frente tangentes á ellipse em C e D. Unindo CD e prolongando obtemos o ponto de vista V, na linha do horizonte.

2) Traçamos as linhas de fuga VA e VA', tangentes á ellipse em A e A'. Determinamos assim o quadra

do circumscripto. Uma diagonal deter~. . mina o cent~o O; na intersecçã,o com CD.

DIZ v . - . - . - . ~ ....... - . - . _ . - . - . _. ~.' -. -

c

"."., \ , I ,

"." " \ ... ". " \

\ \

FIG. 68.

D


Prolongando a diagonal teriamos o ponto de distância D, sôbre HH'.

b) CONSTRUCÇÃO DE UMA ESCALA

crnCULAR ESPECIAL.

1) Sejam dois semi-círculos concêntricos de diâmetros respectivos AA' e BB' que estão entre si na razão dada pelo enunciado (fig. 69).

2) Escolhemos arbitrariamente um ponto S, abaixo do diâmetro, e construimos com os pontos A, A', B, B' e 0, um feixe convergente que constitue a escala circular. OS é a linha central.

;, .... ----- ....... _-/' '~"

/ / " ... / ,

/ ' " \\

I \

S FIG. 69.

\ \ \

~B'

c) TRAÇADO DO CIRCULO PERSPECTI

VO CONCtNTRICO. 1) Seja nn', um diâmetro qualquer

do circulo dado. 2) Numa tira de papel Z, marcamos

os pontos n, n', e o centro o. 3) Transportamos estas divisões sô

bre a escala circular de modo que o, esteja na linha central e n e n', nas linhas AS e A'S.

Indicamos então sôbre a tira os· pontos m e m' de intersecção com as linhas BS e B'S da escala.

4) Transponando êstes pontos novamente sôbre o circulo perspectivo (fig. 68), obtemos dois pontos diametralmente oppostos, m e m', do círculo concêntrico.

5) Repetimos a · mesma operação para determinar um certo número de pontos principais que unimos por meio de uma curva continua.

61. - Perspectiva ellíptica, parabólica e hyperbólica do circulo. -° conjuncto dos raios visuais que vão ter a um círculo constitue um cone de revolução cuja intersecção com o quadro pode ser uma ellipse, uma parábola ou uma hypérbole. (Geom. c. sup. n.oa -

8Q9, 811 e 8'13). a) PROPRIEDADES DO PLANO NEUTRO.

- Chama-se plano neutro o plano vertical S, parallelo ao quadro, que passa pelo ponto de vista do observador (Fig. 70).

A intersecção do plano neutro com o plano geometral constitue a linha neutra.

1) E' evidente que todo ponto do plano neutro tem como perspectiva um ponto no infinito, sôbre o quadro, porque o raio visual que passa por êsse ponto é parallelo ao quadro.

2) Todo ponto situado na frente do plano neutro, do lado do quadro, terá uma perspectiva real, no quadro ou no seu prolongamento.

b) PERSPECTIVA ELllPTICA. - A ellipse é uma curva fechada que não tem ramos infinitos. Para que a perspectiva de um círculo seja uma ellipse, é necessário pois que êste circulo não tenha ponto commum com o plano neutro.

FIG. 70.

PERSPECTIVA DAS FIGURAS PLAKAS 33

Seja por exemplo o geometral dafig. 70; XY o quadro; O a vista do observador.

Os círculos EI e E2, satisfazem á condição acima enunciada.

Não encontram o plano neutro S. Logo as suas perspectivas (fig. 71) serão:

v ._. _ . ~ . _._ . - . - 'A-' - r_. _.-.-.

, ,

/, ., 1

1

,, _____________ .L._....e:""":

x~ ____________________ ~ FIG. 71.

1.0 A ellipse EI que está além do qu~dro e completamente situada no ângulo visual.

2.° O arco de ellipse E2' em parte no ângulo visual. Notemos entretanto, que, neste caso, uma parte do círculo está entre o observador e o quadro.

c) PERSPECTIVA PARABÓLICA.-O círc,!-lo P, (fig. 70), tem um ponto, O, no plano neutro. A perspectiva dêste ponto fica portanto rejeitada para o infinito, no quadro. A perspectiva do círculo P será o arco de parábola P (fig. 71).

ti) PE.RSPECTIVA HYPERB6LICA. - O círculo HI' que corta o plano neutro em dois pontos, será constituido por um ramo que tende para o infinito. Os raios visuais; situados no plano neutro, que vão aos pontos de intersecção, dão as direcções dos pontos no infinito. Estas direcções são parallelas ás asymptótas da curva obtida na perspectiva: esta curva é, pois, a hypérbole HI (fig. 71). O mesmo diremos do círculo H 2

A perspectiva dos amphiteatros constitue ume applicação do que precede.

CAPITULO VI

TRAÇADO PERSPECTIVO DE FIGURAS GEOMETRICAS

São innúmeras as applicações que poderíamos apresentar. Limitaremos, neste estudo, o número de problemas resol .... vidos, pr-ücurando principalmente a variedade das soluções. ' Será depois fácil ao estudante extender as regras que seguem a casos mais variados em que as mesmas difficuldades se repetem.

62. -Conselhos para a escolha dos dados ópticos.- Nos exercícios que precedem, contentamo-nos em expôr os princípios da perspectiva exacta das figuras geométricas. Pouco nos occupamos, entretanto, do effeito artistico da perspectiva.

Vamos examinar rapidamente as regras a que deve obedecer o traçado da perspectiva, quando se visa, além do traçado geométrico exacto, um effeito agradável nos objectos representados.

a) Angulo óptico. - A experiência mostra que não podemos observar de modo distincto senão os objectos collocados num cone óptico em que as

geratrizes extremas fazem entre SI um ângulo de 19° a 23°.

Isto corresponde a uma distância do observador comprehendida entre 2 e 3 vezes a maior dimensão do objecto (fig. 72).

Trata-se aquí naturalmente do ângulo óptico objecto, ângulo apb e não ângulo optico quadro, seja xpy (n.o P).

I Recommenda-se ' , I • \a\ i b.l portanto que o ob-

X' . i .'y sewador se colloque \ \ : V' j / a uma distância do i \ ! I objecto comprehen-

'1 '. 1 i.' di da entre 2 1/2 e 3 I \ : .'! vezes a maior di-'. d" b' ~ \ i i mensão do o Jecto. \ " , '. ' A difficuldade na li I !I \'\ : !! observância desta regra I~J_J, está por vezes em não ., 1 ' . caber esta distância nos \\ r,;,' limites da epura. Vi-N mos (n. o 53) como se f2,5 pode eliminar esta diffi-D culdade. No quadro, já

J apprendemoB também a FIG. 72. solucionar o caso pelo


emprêgo do ponto de distancia] reduzida (n.o 32).

Olhando de mais perto, não se abrange num s6 golpe de vista o conjuncto do modêlo e, no quadro perspectivo, resultam anamorphoses de miu gôsto.

Observando-se o objecto de muito longe, pelo contrário, fica destruido ou diminuido o effeito perspectivo. O desenho se parece então com Um!l. projecção geometral; as linh'1s de fug'l. p'1ralleIas ficam sensivelmente parallelas na perspectiva. . .

Deve-se tomar para . d.n[Julo 6ptico do quadro um valor um pouco superior ao do objecto de modo a deixar uma

• pequena margem ao redor do desenho. b) Posição do desenho no quadro. Um desenho está bem collocado na

fôlha de papel que geralmente serve de quadro: .

1. ° Quando a margem não é nem muito larga, nem muito estreita. (Vêr os modelos que seguem).

2.° Quando esta margem é mais ou menos igual de cada lado da perspectiva.

d

, , , '. I

, I

'\. \ \ I " \ . l

" \ ~ I

\. '. ~: .,,11

'~./

P

/

/

/ /

/ /

O quadrado é de frente em relação á recta MN, par.l.llela a ab.

A prova consiste em traçar a perspectiva de frente (!) dêste quadrado.

Seja p o ponto de vista de um alumno que olha obrigatoriamente na direcção pv, normal ao plano de frente MN.

O ângulo 6ptico admissível (300 ) será XpY e o quadro XV.

O ponto principal estará, pois, ' f6ra do quadro, em v.

A perspectiva terá o aspecto do quadro (I) que representa uma perspectiva de ' frente, porém erradn.

A posição normal do quadro teria sido X'Y' e o ponto principal estaria nestas condições em v'. E' aliás a posição que toma naturalmente o aluIllno quando quer observar o objecto e é absurdo obriga-lo a desenhar o quadrado olhando para v .

Mas, na posição X'Y', o quadrado não é mais de frente e a perspectiv9 será o quadrado oblíquo (porém certo) da figura 73 (II).

Vê-se pois que V deve estar naturalmente no centro do quadro ou approximadamente.

Na figura 73 (geometral), se II estivesse no meio do quadro, Y estaria em Y1 e ent!iQ o angulo visual Xp Y1 ~ não satisfaria "mais ás regras indicadas.

63. - Perspectiva de frente- de um ladrilhado construido sôbre umá rêde oblíqua.

~-- ----------------.-._.-.-.-._.-. --Y------ ---- ---~ ./;' I

,.' -' (): .,' , I I , , , , I

I I

X y- - - - - - - - - - - - - - JY1

c:J_._.y-._._. .

(II)

X 4f!7 ~, FIG. 73.

3.° Quando o raio visual principal passa pelo centro do quadro. Nêste caso o ponto principal estará no meio ..,da linha do horizonte.

NOTA. - Um êrrofl'e=luente e ben notável, consiste em não observil.r e3ta regra. Seja, por exemplo, um quadrado abcd que deve ser desenhado em perspectiva por uma turma de alumnos que se acham distribuíios na frente de MN.

a) GEOMETRAL. - Construimos um rectângulo sôbre os lados do qual levamos divisões iguais: 3 na largura. e 5 no comprimento. A observação attenta da figura 74 nos mostra logo . como se determina o ladrilhado.

Pois que se trata . de uma vista de frente, traçamos xy paralleIo. ao lado ad do rectâ.ngulo.

PERSPECTIVA DE FIGURAS GEOMETRICAS 35

Determinamos v e p de modo que o ângulo visual seja conveniente.

Na figura 74, indicamos apenas a direcção do ponto de vista e 1/4 da dis':' tância do observador ao quadro. O ladrilhado está construído de tal modo que basta determinar as larguras a, b, c, d, e as profundidades 1, 2, 3, 4, 5, 6, pàra se obter facilmente toda a perspectiva do traçado.

b) QUADRO. AmpliaçãO: 7/2 do geometral. . ~ .

1) Levamos xy em x' y' e traçamos a linha do horizonte por uma altura arbitrária ·(fig. 75).

2) Determinamos o ponto principal V pela posição v que occupa no geometral.

,. 3) Traçamos as linhas de fuga V x' e Vy' que prolongamos~de modo que

Vx' ,Vy' J,2 ,VX = j.VY = '7

Obtemos X, por exemplo,'" levando, a partir de x', 5 vezes a metade de V x'. Obtemos assim em XY um quadro ampliado na proporção 7 /2. ;~

4) Sôbre a linha do horizonte levamos 2D/7, igual a pv do geometral. E' evidente que êste ponto de distância

W/7 -,,"'-' I' I " I

I

I

I I

\

, , ,

reduzida facilita a determinação ~' das profundidades; bastará levar sôbre . XY os afastamentos dados pelo geometral, que se acharão assim reduzidos também aos 2/7 em relação ao grande qua~ro.

6

v

\ , \

FIG. 74.

I I

I

I

: 7/2.

I . (

FIG. 75.


5) Sôbre XY levamos as profundidades 1', 2', 3', 4', 5', 6', tomadas directamente no geometral, por meio de uma tira de papel.

6) Traçanos as linhas de fuga dêstes pontos para 2D/7 e obtemos assim os pontos

1, 2, 3, 4, 5, 6, na escala dos afastamentos.

7) Sôbre x' y' transportamos as lar-guras

a', b', c', d', do geometral. Traçamos as linhas de fuga ,dêstes pontos para V que prolongamos .até XY.

D/3 V

Nesta pOSlÇao, observa-se o desenho de um s6 golpe de vista e o effeito é o melhor poso sive!.

Como na perspectiva exacta o ponto de vista fica "reduzido a um ponto, o melhor é ainda olhar para o desenho com um só olho.

64. - Perspectiva de frente de um ladrilhado construido s6hre uma rêde fQrmªda de quadrados.

A construcção é bastante simples e dispensa o geometral.

1) Seja AB, o lado de frente do ladrilhado, que dividimos em 12 partes iguais(fig. 76).

. 2) Traçamos as linhas de fuga dêstes pontos para V.

' _~':, _' _ . _ . _ . - . _ ~ __ ,_o _. _ 0-' _._ . ~,'_' _ . _._. _. _. _ . _. _ . _ . _ . _,_ 0_._.

" ~" ... , '

, , ,

, \

" \ "

/ / ,

,

I XL---__________________________________________ ~ FIG. 76.

8) Rectas de frente traçadas pelas profundidades

1, 2, 3, 4, .5, 6, determinam com as linhas de fuga

A/V, B/V, C'V, D'V, um rectângulo dividido convenienteJ7lente para o traçado da perspectiva. O desenho indica o resto ' da construcção.

NOTA. - Quando se olha para um desenho perspectivo, é preciso collocar a vista na perpendicular ao quadro traçada por V, a uma distâ.ncia do quadro igual á distâ.ncia VD.

Aquí temos: VD =3,5 vp.

3) Tomamos depois o ponto de distância reduzida D/3, escolhido arbitrariamente, porém satisfazendo approximadamente ás ' condições enunciadas.

Pelo que dissemos no n.O 62, é fácil notar que o ponto de distâ.ll'lia. D, nunca pode estar nos !imites do quadro. Dentro dêstes limites poderemos utilizar, no mínimo, a reducção

.~ , ficando então ~ste ponto . na. extremidade

da linha. do horizonte.

4) Tomamos AI = 1/3AB, e traçamos a linha de fuga de I para o ponto

PERSPECTIVO DE FIGURAS GOOMETRICAS 37

de distância reduzida. Obtemos assim o ponto D, sôbre AV.

5) Completamos o quadrado perspectivo ABCD por meio da recta de frente DC e traçamos a diagonal AC.

6) Pelos pontos de intersecção desta diagonal comas linhas de fuga principais, traçamos linhas de frente que determinam a rêde sôbre a qual construimos o ladrilhado.

7) O ladrilhado pode ser prolongado indefinidamente em profundidade. Traçamos para isso a linha de fuga de I' para D/3. Esta determina o quadrado DCFE e depois a diagonal DF que permitte o prolongamento da rêde.

65. - Vista oblíqua de um entrelaçado .

a) rGEoMETRAL. - Seja abcd, figura 77, o quadrado no qual vamos construir um entrelaçado.

é

, J. IJ' I di ,

c' ib' I

'. i , i i

I

i I

i , , ! , '. , I , I \ ,

i I \ ,

\ , i I. I

I I

~ I i ~: i l· P

FIG. 77.

Escolhe-sej a posição do raio principal de modo a produzir bom effeito perspectivo. Uma vista de ângulo segundo a diagonal produz geralmente muito máu effeito. E' melhor escolher uma posição intermediária. Aquí orientamos o quadrado de modo que px seja a linha de fuga dos lados_ ad e bc; o ponto de fuga dêstes lados estará portanto em f (fig. 78) no limite do quadro, ou em F depois da ampliação.

Para a construcção da perspectiva basta determina!: as profundidades a", b", dos vértices a e b e as larguras d', b', c', d', dos quatro vértices. O resto do desenho se obtém directamente no quadro.

b) QUADRO. -1) Seja xy, o pequeno quadro que vamos ampliar numa proporção qualquer n/m (fig. 78).

2) Tomamos como ponto de distância reduzida mD/n=pv.

3) O ponto de fuga f está agora em F. 4) Sôbre a linha de terra levamos as

profundidades A" e B", tomadas directamente no geometral e portanto já reduzidas de modo a terem como ponto de fuga D m/no

5) Sôbre xy, levamos as larguras a, b, c, d, e traçamos as linhas de fuga principais que contêm os vértices A, B, C, D, do quadrado.

6) A e B se determinam pelas suas profundidades respectivas AI" e BI".

7) As linhas de fuga AF e BF, determinam D e C nas interseCções com as linhas de fuga principais correspondentes.

8) Dividimos os lados do quadrado obtido em 12 partes iguais. Para êste fim, pelo ponto A traçamos uma linha de frente indefinida A12', sôbre a qual levamos 12 divisões iguais (1', 2', 3' ... 12') Traçamos 12'B que prolongada determina FI. As linhas de fuga dos pontos

I', 2', 3',... . . 12' para FI, determinam sôbre AB 12 divisões iguais (n.o 38).

As divisões correspondentes sôbre o lado oposto CD se obtêm traçando as linhas de fuga

1F, 2F, 3F, ... , 12 F.


F D'm/'I\ ~-'-'I-' _._.

\ ........ J

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//

/

//

I

.'

./

/ ,

I

/ ,

, ,

9) Por um proceSSG análogo, dividimos CD em 12 partes iguais; F 2 serve então de ponto de fuga accidental.

. 10) Traçamos a diagonal AC. 11) Pelos pontos de divisão do lado

BC e pelas intersecções da diagonal AC com as linhas de fuga ' para F, traçamos as linhas parallelas á direcção AB que determinamsôbre AD 12 partes iguais.

12) Obtida a rêde, termina-se ' o desenho como indica a figura 78.

~. 66. - Perspectiva oblíqua de um . ladrilhado rectangular, composto de quadrados, dispostos como na figura 79.

a) DETALHES DO GEOMETRAL. - Seja, fig. 79, um quarto do ladrilhado. Suas dimensões são tais que o rectângulo todo tem 20 ladrilhos em comprimento e 15 em largura (vêr os pcrrmenores desta quarta parte, fig. 79, em Al00H).

b) GEOMETRAL. - 1) Seja o rectângulo abcd, em que os lados ab e ad,

FIG. 78.

, , I

são respectivamente proporcionais a 20 e a 15 (fig. 80).

2) Escolhemos a posição obliqua em que o vértice b e o meio h do lado ad estão

. numa mesma ... )inha de . fuga~ principal. 3) Determinamos osl afastamentos

ali, bll '. e" ,

e as larguras ai, b'• e' , di,

A' 2 J4S61H

dll ,

dos quatr9értices.

c) QUADRO.

:- Ampliação: 4 vezes o geometral.

1) Tomamos o . ponto de distância reduzida D/4 = pv (fig. 81).

2) Por meio das escalas de

FIG. 79. profundidade de-terminamos os 4 vértices do rectângulo ABCD, nas intersecções das linhas

/

C"I- - - - • I

\

\ \

\

FIG. 80.

f i

\ I . . I I '.,; \1

jJ

r. r.

PERSPECTlV A DE FIGURAS GEOMETRICAS 39

./

i i

I

I

c

de fuga principais dêstes mesmos pon· tos.

3) Por um méthodo análogo ao do

número anterior (applicação do n.O 38) dividimos AD e BC em 15 parte§ iguais, e AB e DC em 20 partes. A construcção deve ser feita nêste caso para cada lado, porque os pontos de fuga accidentais destas direcções estão f6ra dos limites do quadro. Teremos: fi, ' ponto de fuga para as

divisões de AD ; f2, ponto de fuga para as

divisões de AB ; fa, ponto de fuga para as

divisões de BC ; f 4, ponto de fuga para ~s

divisões de CD . O emprêgo de uma escala divergente sim

plificaria o problema na determinação destas divisões. Veremos mais adiante a applicac;.ão do méothodo (n.o 84. fig. 107)

4) Termina-se O desenho do modo indicado na figura acima.

67. - Perspectiva obliqua de um.a rosácea circular pentagonal.

a) GEOMETRAL. - 1) Dividimos o circulo 0, em 10 partes iguais e :traçamos o geometral de accôrdo com a construcção da figura 82 .

2) Escolhemos uma posição oblíqua em relação ao quadro Q e projectamos os pontos principais sôbre uma linha de frente em

, -- --,'- -- -- --'- -- '- -- -- - _._. \

\ , " " !\ , \ , , ,

, I

, ,

FIG. 81.

\ \

\

4 PERSPECTIVA EXAQTA

quadro será a linha do horizonte, HH'. parallela. á linha de terra (Fig. 2).

7. - Raio visual. - Raio visual é a recta que vai da vista. do observador até um ponto luminoso de um objecto. Coincide com o raio luminoso emittido pelo objecto em direcção á vista do observador.

8. - Ponto principal. - O raio visual, PV, perpendicular ao quadro é o raio principal; é a projectl1.nte sôbre o quadro do ponto de vista do observador. A projecção do ponto de vista sôbre o quadro é · o ponto principal, V, fig. 1, .sempre situado sôbre a linha do horizonte.

O ponto de vista do observador, não é um ponto geométrico. E' constituido pelos orgãos da vista, os dois olhos, de modo que a imagem dada por um delles, dUfere um pouco da que é dada pelo outro. Cada olho forma uma imagem retiniana independente ; porém, estas imagens, localizadas em pontos symétricos de cada retina sobrepõem-se no centro visual do cérebro e dão a impressão da visão única.

feixe de raios limitado por uma superfície CÓnica de vértice P : é o cone visual (Fig. 2)

F6ra dê8te. cone o objecto não seria visto claramente. .

11. Angulo 6ptico. - E' o angulo formado por dois planos verticais que passam pela vista do observador e pelas extremidades x e y da linha de terra..

E' o ângulo xpy, fig. l. Para. que o effeito produzido pelo

desenho perspectivo. seja bom, é preciso que a disto.ncia do observador ao quadro seja pelo menos igual a 2 vezes a largura do quadro.

Distinguiremos, nas applicações, o o.ngulo óptico-quadro de que acabsmos de falar e o o.ngulo óptico-objecto. .

Este último não é sinão o ângulo debaixo do qua.1 vêmos distinctamente e de um só golpe de vista todas as partes de um objecto.

(Vêf n.O 62).

A A perspectiva exacta se refere a ............. Ii

um único ponto de vista e ao corres- ./ ... \''_' ..

12. - Perspectiva de um ponto e de um

pondente ponto principal, definidos :' \ H .Y:", geometricamente. Este artifício sim- .! ->_: _ _ ... --.' __ _ plifica o problema da perspectiva , T -

sem grande prejuízo do traçado real : V",. ~ - - - - - - - - -'-__ ' - - p~ (;~r-, n,~~~:':ta)~e disUn- - -r:~~~:=r ~::::: ::_-_-_---~::-7~P

. -' eia. -São dois pontos, De D', D / ./"

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situados sôbre a linha do hori- ", ~ .. ~", y zonte e a uma distância do .~: ........ ~ . .I"-____ ;....._~ ___ --,.

ponto principal igual á distân- ...-cia do observador ao quadro. Temos, fig. 1, VD=VD'=PV.

Estes dois pontos são importantes na determinação da perspectiva pelo méthodo dos pontos de fuga. ~

Desta definição ~ deduzimos immediatamente que os raios visuais PD e PD' incidem sôbre o quadro fazendo com elie um ângulo de 45°, Com effeito, os triângulos rectângulos PVD e PVD' são isósceles porque VD = VD' = PV,

10. - Cone visual. - ,O conjuncto dos raios visuais que o observador pode emittir sem virar a cabeça constitue um

FIG: 2.

objecto. - Por definição, estando o observador em' P, (fig. 3), diante de um quadro transparente, a. perspectiva: de um ponto luminoso qualquer, A, por exemplo, do plano geometral, é o traço (1) a, sôbre o quadro, do raio visual que vai de P até este ponto.

(1) Traço de uma recta sôbre um plano é o ponto em que a recta atravessa. o plano.


1, 2, 3, ..... 10. b) QUADRO. - A figura 83 representa

uma ampliação qualquer do geometral. 1) Numa linha de frente, levamos

as larguras .

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O , I I , , I

I I I I I I I 1 23 .ç 56 7 8910

FIG. 82.

I, 2, 3, 4, .... lO, pelas quais traçamos linhas de fuga para V, e prolongamos.

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2) Seja ab, o lado de frente do quadrado abcd, circumscripto ao círculo maior. Traçamos as diagonais dêste quadrado e pelo ponto de intersecção O, construimos a recta de frente mn. O quadrado facilita o traçado do círculo.

S) Traçamos o quadrado ejij circumscripto ao círculo interno. Obtemos o dito círculo pelo méthodo dos 8 pontos (n. o 56).

Este círculo fica dividido em 5 partes iguais por intersecção com as linhas de fuga principais.

4) Unindo os pontos (I, I, 1, ... 1) ao centro e prolongando, obtemos os pontos (2;"2, ... 2) diametralmente oppostos.

5) Procede-se á construcção da. rosácea unindo, como no geometral, os diversos pontos obtidos.

6) Será útil traçar o círculo pontilhado tangente ao pentágono ins- . cripto.

FIG. 83.

PERSPECTIVA DOS SOLIDOS GEOMETRICAS 41

CAPITULO VII

PERSPECTIVA DOS SOLIDOS GEOMETRICOS

68. - A perspectiva, dos sólidos geométricos é apenas uma applicação da escala das alturas combinada com a perspectiva do geometral.

MÉTHODo.-Determina-se a perspectiva da projecção horizontal do sólido. Nos pontos principais levantam-se verticais cuja altura perspectiva fica determinada pela escala de alturas. As extremidades destas verticais constituem os ponum notáveis do espaço, ~ pertencentes ao sólido. '

69. - Perspectiva do cubo. -Traçar a perspectiva de um cubo dadas as suas projecções.

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FIG, 84.

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a) PROJECÇÕES HORIZONTAL E VER~ TICAL.

Seja abcd a projecção horizontal de um cubo; é um quadrado de lado ab. Para generalizar escolhemos uma posição oblíqua em relação ao quadro xy. A projecção vertical se obtém immediatamente.

1) Seja pois xy, o quadro e v, o ponto de vista; pv, é a distância do observador ao quadro escolhida de modo que o ângulo visual xpy, satisfaça ás condições de visibilidade distincta.

Notemos, no caso dos sólidos, que se deve tomar em conta a altura do objecto. Aqui, sendo a altura menor do que a largura total da projecção horizontal, basta considerar esta última,

Ha certos casos, porém, em que a altura é considerável em relação á largura e a distância do observador ao objecto deve ' ser escolhida de modo que se possa vêr o objecto em altura, sob um ângulo comprehendido nos limites da visão distincta (n.o 62).

2) Projectamos as larguras em a', b', 'd" Ab . c, , so re xy.

3) As profundidades dos vértices do cubo estão em a", b", C", d".

4) Na projecção vertical indicamos a altura do cubo numa escala especial, escala das alturas, bem como a linha . do horizonte HH', definindo dêste modo ' a posição da vis~a do observador em" relação ao cubo. Logo se nota. que, do ponto V, poderemos vêr a face superior do cubo. Do mesmo modo; uma observação attenta da projecção horizontal nos mostrará quais são as faces laterais que se avistam do ponto de vista p.

b) ' QUADRO. 2- Ampliação: 4 vezes o geometral.

l) ,Traçamos, em xy, o quadro menor. Em x, levantamos uma perpendicular que constitue a escala das alturas no pequeno quadro. uvamos xh, igual á altura do cubo e traçamos a linha do horizonte conforme a altura de V dada na figura 84.


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FIG. 85.

3) Amplia-se o quadro traçando as linhas de fuga principais Vx e Vy, que se prolongam respectivamente até X e Y de modo que

Vx Vy 1 VX = VY = 4'

4) Traçamos linhas de fuga para V, pelas larguras abcd, e pela altura h. A recta de fuga hlV, constitue a escala de alturas para as arestas verticais do cubo.

5) Levamos as profundidades, tomadas no geometral, sôbre XY em Ali, B", C", D". O ponto de fuga será pois D/4=pv.

6) As larguras a, b, c, d, e as profundidades ali, b", c" , d", determinam: a base ABCD do cubo.

7) Em A, B, C, D, levantamos verticais indefinidas.

8) Seja determinar o vértice/l' na face superior.

Em ali, traçamos a vertical ali a lo Uma horizontal pas8ando por al determina Al na vertical de A.

9) Procede-se do mesmo modo para determinar os outros vértices da face superior: Bl, Cl, Dl.

10) As arestas AD, DC, DDl, não são visíveis para o observador situado em P; logo devem ser pontilhadas.

70. Perspectiva directa de parallelipípedos vistos de frente.

(I) - CUBO ABAIXO DA LINHA DO

HORIZONTE. 1) Seja ABB' A' a face parallela

ao quadro; é um quadrado (fig. 86, ~1) .

PERSPECTIVA DOS SOLIDOS GEOMETRIcnS 43

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FIG. 86.

2) Pelos vértices dêste quadrado traçamos linhas de fuga para V.

3) Tomamos 1/3 de AB e o ponto de fuga D/3. Determinamos D e C na base e emfim D' e C' na face superior.

(II) - CUBO CORTADO PELA LINHA DO HORIZONTE.

A construcção é idêntica, mas a face superior é invisível (fig. 86, II) .

(III) - PRISMA RECTANGULAR DE BASE QUADRADA E ALTURA DADA.

Construimos a escala de alturas levando Yj igual á altura dada (fig. 86, III). Determinamos assim a face de frente IJJ'I'.

A base sendo quadrada, tomamos 1/3 de IJ e o ponto de fuga D/3.

71. - Prisma recto pentagonal regular, dado o geometral.

a) GEOMETRAL. - Seja abcde, a base do prisma em projecção horizontal e h a altura do prisma (fig. 87).

b) QUADRO. Ampliação: 5/2 do geometral.

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1) Seja x'y' o pequeno quadro. Para obter a ampliação pedida basta tomar x'X igual a 3 vezes a metade de V x' (fig.88).


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b) QUADRO. - Ampliação: 3 vezes o geometral. (fig. 90) .

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FIG. 88.

2) Sôbre XY levamos as profundidades A", B", C", D", E", tomadas no geometral. Estão pois reduzidas aos 2/5 em relação ao quadro. Toma-se o ponto de distância reduzida 2/5 D, igual a pv (geometral).

72. - PrisIna recto hexagonal. DADOS. - O sólido descansa no

geometral sóbre uma face lateral. Pósição obliqua dos arestas laterais em relação ao quadro (fig. 89).

a) GEOMETRAL. - Traça-se a projecção horizontal pelo rebatimento de uma das bases (pentágono regular) sôbre o geometral (fig. 89).

Escolhe-se depois a pOSlçao oblíqua do quadro xy, de modo a obter o effeito desejado.

A escala das alturas será constituída pelos valores m e n relativos á face

73. - Grupo geoInétrico : prisIna e cubo.Seja traçar a perspectiva da grupo geométrico constituído por um prisma . l . . l l .-:;;:'_ ,_·,.1,

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FIG. 89.

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recto de base quadrada encimado de um cubo.

a) GEOMETRAL. E' necessário escolher uma posição ideal, de modo que não haja confusão de linhas (fig. 91).

b) QUADRO. - A cons.trucção do quadro não offerece difficuldade (fig. 92).

NOTA. - Convidamos o leitor a collocarse na posição exigida para a observação do quadro da figura 92. .

A vista deverá estar na perpendIcular em V ao plano do quadro e a uma distância igual a 4 vezes o valor reduzido D/4.

PERSPECTIVA DOS, SOLIDOS GEOMETRICOS 45

D/~ . V ,'-'-'-'-' . _ . _. _. - ' -'-r- '- ' - ' 7".'-'-

Logo há de notar que não é possível vêr distinctamente, sem mover o globo ocular, a perspectiva do grupo de sólidos geométricos.

Entretanto, a distância pv, do geometral, é muito sufficiente para a visão distincta da projecção horizontal, e também da projecção vertical no sentido da altura.

A mesma observação poderá ser feita para o número seguinte.

O êrro está na escôlha da altura do ponto de vista. Esta altura é demasiada para a distância pv.

Para eliminar por completo este

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defeito, seria necessário que o ponto de vista estivesse sempre collocado no centro do quadro.

Aliás, pode-se notar a tendência natural para a escôlha de.~ta posição quando se olha para um desenho, uma pintura.

A dero.,gação a esta lei óptica da perspectiva é, porém, frequente. Tem por fim, por exemplo no caso acima, tornar visível a face superior sem inclinar o cubo.

A perspectiva assim obtida, embora exacta, deixa de ber a expressão do que vemos na jeaIidade.

74. - Perspectiva da pyrânrlde e do cone.

a) - Perspectiva de frente de um.a pyrâm.ide recta de base quadrada.

1) Traçamos em ABCD, a perspectiva de frente do quadrado da base (fig. 93).

2) As diagonais AC e BD determinam o centro da base em 0, pelo qual traçamos uma vertical indefinida.

S) Seja XM, a altura da pyrâmide.


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PERSPECTIVA DOS BOLIDOB GEOMETRICOS 47

4) Traçamos XV, e MV. Em mm', temos a altura da pyrâmide. S, é pois o vértice, na vertical de O.

- 5) Traçamos emfim as arestas laterais j ,AS, BS, ...

b) - Perspectiva de UIll conerecto 1) Seja GIJK, o quadrado cir

cumscripto ao circulo da base do :'cone (fig. 93).

2) Traçamos o círculo da base 1e pelo centro ~ P, levantamos a vertical PR, de altura_ XM, que fl. a :a,Itura dada.

3) Pelo ponto R, traçamos as tangentes á ellipse que con'ª-titue a perspectiva da base. Obtemos assim o contôrno apparente do cone.

E:' muito útil notar que os pontos de tangência differem dos pontos E e F, di~metralmente oppostos na linha de frente--- traçada pelo centro. .

4) O contômo invisível do~círculo da ~base deve ser pontilhado.

75. - Grupo geolllétrico ::, pyrâmide e cuho. Vista ohlíqua.

a) GEOMETRAL. - '; Tracemos as projecções, horizontal e vertical, do cubo e da pyrâmide. A posição mais simples para êste traçado é a de frente. Escolhemos depois a posição do ponto de vista.

1) Pede-se uma vista obliqua. Colocamos pois o quadro em xy, e , sôbre esta linha projectamos as diversas larguras do geometral (fig. 94).

2) Procuramos uma posição conveniente para o ponto de:vista p.

3) A escala das profundidades foi construida á direita.

4) A escala das alturas;está na projecção vertical. Indicamos as -diversas alturas: o, n, m, e H

EEltas alturas são tomadas acima do plano horizontal no qual o cubo descansa sôbre uma face e: a pyrâmide sôbre a aresta EF.

A pyrâmide descansar tambem uma face lateral sôbre a aresta A' B' do cubo.

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b) QUADRO. - Ampliação: 3 vezes o geometral (fig. 9~) . -

1) Levamos as larguras, 1, 2, . . . 9, Eôbre xy, pequeno quadro, e as aItura~ em o, n, m,.

Traçamos a linha do horizonte e indicamos V.

2)~ Ampliamos o quadro triplicando Vx.

3) Sôbre XY levamos as profundidades do geometral.

4) A escala das larguras e das 'alturas se obtém como de ordinário pelas linhas de fuga para V.

76. - Vista de frente do grupo pyrâmide e cubo. - Utiliza-se o geo-" metral do número precedente (fig. 94).

48

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PERSPECTIVA EXACTA

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PERSPECTIVA DOS SOLIDOS GEOMETRICOS 49

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FIG. 97.

a) GEOMETRAL. - Seja, figura 94, o geopl.etral e a projecção vertical do grupo.

J !) A perspectiva é de frente, isto é, o raio visual principal do observador é perpendicular á face BCB'C' do cubo.

2) Seja XlYl, o traço do quadro no geometral e PI o novo ponto de vista (fig. 94).

3) As profundidades e as larguras estão indicadas por um traço, nas respectivas escalas.

4) A escala das alturas não muda. b) QUADRO. - A construcção não

differe, quanto ao méthodo, daquella que indicamos para o quadro anterior.

77. - Cy1indro. - a) CYLINDRO RECTO COM A BASE N.O PLANO HORIZONTAL.

1) Seja ABCD, o quadrado circumscripto á base (fig. 97).

Traçamos o círculo e pelos vértices ABCD levantamos verticais de altura XN, igual á áltura do cylindro.

2) Obtemos o quadrado circumscripto ao círculo da base superior.

3) Traçamos as tangentes ás ellipses obtidas, determinando assim o contôrno apparente do cylindro.

b) - CYLINDRO QUE REPOUSA NO GEOMETRAL SÔBRE UMA GERATRIZ.

OS circulos das bases são parallelos ao quadro (fig. 96).

1) Traçamos o prisma recto EFGH, .E'F'G'H', circumscripto ao cylindro.

2) As bases têm como perspectivas dois circulos.

3) As tangentes a estes circulos são linhas de fuga para V e determinam o contôrno apparente do cylindro.

78. - Octaedro regular. - Seja traçar a perspectiva de um octaedro regular do qua' se conhece a aresta.

a) GEOMETRAL. - 1) A projecção horizontal é um quadrado, abcd, quando o eixo SSI é vertical (fig. 98).

2) As arestas laterais que vão ter aos vértices S e SI, têm as suas projecções sôbre as diagonais do quadrado abcd.

3) A projecção vertical se obtém facilmente, notando-se que a altura S'S'I é igu!11 á diagonal do quadrado abcd.

4) Na. altura média, m, estão os vértices a', b', c', d'.

b) QUADRO. - AmpHação : 9 vezes o geometral (fig. 99).

PRINCIPIOS FUNDAMENTAIS 5

E namente pelos méthodos da geometria descriptiva, relativos ás intersecções de

_ rectas e planos. E' este o objecto da

\j---~ _ _ perspectiva linear exacta, isto é, o

C ---- -__ estudo da forma, posição ----- __ _ c ___ __ ____ __ ::::_-! e dimensões do'3 objectos.

, < .::;:::.... De modo elementar resol- . , --::-- vemos este problema appli-

_ -,,'(1'_-/ 5/ CaD:do :egras simples que r-----,Dn ·· ·..,;;.· ·,·· ... maIS adiante deduzimos. ·-a ,-- -- Ligando estes pontos por

A ,,' ~'

FIG. 3.

Para se ter a perspectiva de um objecto, CDE, basta deterrni:i:tar-Ihe a perspectiva, cde, dos pontos principais.

A perspectiva de um corpo se obtém pois resolvendo os problemas seguintes:

1.0 Determinar a secção feita pelo quadro no feixe de raios visuais que ligam a vista do observador aos diversos pontos do objecto.

2.0 Dar a cada ponto o colorido conveniente de modo a reproduzir exactamente o objecto.

A primeira questão se resolve ple-

meio de rectas ou carvas, conforme a observação, obtemos a perspectiva linear ou contôrno apparente do objecto. Assim, a , perspectiva da figura CD E do espaço

será cde. (Fig. 3). 13. - Perspectiva linear de obser

va~ão. - Resulta do que já explicamos que a perspectiva de um objecto é a secção feita num feixe de raios visuais por um plano vertical.

A perspectiva de observação conduz ao mesmo resultado sem passar pelo rigor das construcções geométricas.

A gradação das côres constitue um estudo (physico), dos effeitos da luz: é a perspect1'va aérea. S6 pode ser apprendida pela observação attenta da natureza.

C 'APITULO II

PRINCIPIOS FUNDAMENTAIS DA PERSPECTIVA LINEAR

14. - A questão da perspectiva linear se resume no seguinte: Determinar a projecção de um objecto sô1}re um plano verticl1,l, collocado diante do observador, quando as projectantes concorrem para a vista do espectador.

Resolvemos este problema, não pelos méthodo'3 ordinários da geometria descriptiva, mas por meio de regras práticas que passamos a estabelecer.

15. Toda a recta teUl eUl geral por perspectiva UUla recta. - ; Com eífeito, todos os raios visuais que vão ter aos diversos pontos da recta AB, por

exemplo PA, PB, PC, estão num mesmo plano (fig. 4).

FIG. 4.

50 PERSPECT1VA EXACTA

1) No peque- círculo j no emtanto é uma ellipse; no quadro, fig. 99, n basta medir AA' e o diâmetro perpen-levamos as lar- dicular, para verificar que não são guras SÓbre xy: iguais) . .

?l7 1, 2, 3, 4, e 5) Para que esta perspectiva não

as alturas m, n, seja desagradável, é necessário que o na vertical de x. --t--'----'L~c----'----.< observador coloque a vista a duas vezes

2) Amplia- 3' a distância D/2 e sôbre a perpendicular mos o quadro ao quadro em V. até XY numa l' NOTAS. - a) O resultado do desenho proporção qual- ,ç anterior era fácil de se prevêr. Com effeito, quer e tomamos o conjuncto de raios visuais que vão ao contÓmo

DI da esphera constitue um cone, cujo eixo q = pv como 2; principal incide obliquamente sóbre o plano

ponto de. distân- X~'.~I--=..c:..:o,!;--iT---H do quadro. A secção dêste feixe cónico não cia reduzida. pode ser um círculo.

3) As pro- I b) Quando o centro da esphera está situado fundidades redu- no raio vibual principal, êste centro peThpectiva-

'- I se em V e o contÔmo perspectivo da esphera é zidas, 1',2',3',4', '. um circulo. iguais ás do geo- '. ~ c) Considerações semelhantes áquella que metral, são trans- fizemos para o círculo, mostrariam que a pera-

d A b \ pectiva de uma esphera pode ser um arco de p-orta as so re \. i ellipse, oe parábola ou de hypérbole (n.o 61). XY. '. ~ . d) Por uma deroga ção ás leis da perspectiva,

4) Basta de- \ I C08~uma-se representar a esphera por um círculo, pois combinar as '. sempre que elia se ~fasta pouco do ponto de três escalas para \ : l vista, principalmente quando está representada

.'. ,l no meio de outros objectos. se obter os vérti- .. 'I e) Quando uma pessoa olha para um quadro ces do octaedro. .~ p muito largo, por elremplo cectas pinturas,

79 p desloca-se na frente do quadro para vêr melhor . - er- FIG. 98. os diversos detalhes, sem tomar a precaução

spectiva da es- de se colocar na posição ideal do ponto de vista. phera . Nesta circumstância, se uma esphera estivesse

1) Sejam MN e PQ, dois diâmetros muito longe do ponto de vista e representada

perpendiculares da esphera, respectiva- segundo as regras da perspectiva exacta, ofereceria muito máu aspecto para o observador

mente horizontal e vertical (fig. 100). colocado de frente. E' por este motivo que 2) Tracemos o circulo máximo de Raphael, no quadro çia EscolJ. de Athenas,

frente que tem a recta MN como diâ- figurou por um círculo, a esphera sustentada por um personagem colocado no limite extremo

metro. Este circulo não representa, orçli- do quadro.

I)ariamente, O contÔrno apparente da 80. - Secção plana, parallela á esphera. base, do cone recto e da pyrânrlde

3) Com effeito, tracemos os círculos recta. máximos da esphera, um horizontal a) SECÇÃO DO CONE POR UM PLANO com o diâmetro MN, e o outro vertical PARALLELO Á BASE, traçado na altura XN. principal (ponto de fuga em V) com 1) A secção é um circulo (jig. 101). o diâmetro PQ. OS quadrados circumscri- 2) Na altura dada, determina-se O

ptos a êstes círculos se obtém facilmente. centro O' dêste círculo. 4) O contÔrno perspectivo da esphe- 3) Pelo ponto O, traçamos um diâme-

ra deve abranger estes dois círculos. tro de frente e pelos pontos em que Passará pois em T e W e será uma êste diâmetro intercepta as geratrizes ellipse de eixo AA' dirigido para o ponto do cone, traçamos linhas de fuga para V. prinéipal V (Na fig. 100, a ellipse é 4) Seja ABCD o quadrado cirpouco achatada e _parece bastante um cumscripto ao círculo da. base.

PERSPECTIVA DOS SOLIDOB GEOMETRICOB

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FIG,

5) Traçamos AS e determinamos assim A'. Do mesmo modo se determinam os outros pontos do quadrado circumscripto ao círculo da secção.

b) SECÇÃO PLANAt PARALLELA Á

BASE, DE UMA PYRAMIDE OCTOGONAL REGULAR RECTA. - A construcção não differe daquella que acabamos de empregar para determinar a secção cónica parallela á base (fig. 101).

81. - Secção de um cone recto por um plano obliquo ao eixo vertical.

- A secção será uma ellipse, uma parábóla ou uma hypérbole. Tomemos o caso mais simples, da secção ellíptica de um cone recto, vista na direcção do eixo maior.

O méthodo consiste em determinar a posição de vários pontos de intersecção das geratrizes principais com o plano secante. As projecções vertical e horizontal facilitam o problema que se

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FW, 102,

reduz, nos casos elementares, ao emprêgo das três escalas.

a) GEOMETRAL. - 1) Representamos a projecção horizontal do cone (fig. 102).

SECÇÕES PLANAS 53

2) Dividimos a base em 8 partes iguais pelos diâmetros

ab, cd, ef, gh. 3) Traçamos as geratrizes corres

pondentes a êstes pontos da base. 4) Figuramos na projecção vertical o

plano secante que corta as geratrizes nos pontos a'l, b'I (vêr Geom. Descriptiva).

6) Collocamos o quadro em xy normalmente á direcção das linhas de maior declive do plano secante.

7) Projectamos as larguras em 1, 2, 3, ... e as profundidades em 1', 2',3', • .. As alturas se obtém na projecção vertical em m, q, r, ...

b) QUADRO. - Amp. 3 vezes o geometral (fig. 103).

Para determinar a altura das intersecções das geratrizes com o plano secante,

N '. ' .

, Z' , 3'

FIG. 103.

fazemos uso de uma escala especial convergente. Para isso, em vez de traçar verticais pelas larguras obtidas sôbre XV, traçamos rectas convergentes para s, altura do vértice do cone.

O resto da construcção se obtém sem difficuldade pelo traçado da figura 103.

82. - Penetração de sólidos geométricos. - O problema é mais complexo do que no Cil,SO de secções dos mesmos por planos.

A resolução completa dêste problema exige o conhecimento da geometria descriptiva. Eis um caso simples que poderá servir de modêlo para a solução elementar de muitos outros.

Determinar a perspectiva de dois cylindros de revolução, de iguais diâmetros,

cujos eixos se cortam perpendicularmente. Os dois sólidos descansam

, \

no geometral sôbre suas geratrizes.

a) GEOMETRAL. -

1) O geometral é constituído por dois rectângulos que se cortam perpendicularmente (fig. 104).

2) As duas superfícies cylíndricas têm por secções respectivas d\las ellipses, situadJl,s sôbre planos verticais perpendiculares.

Os rectângulos circums'critos a essas el': lipses têm como projecções as rectas perpendiculares jl e ik.

3) O ponto o é commum ás duas ellipses.

b) QUADRO. - (2 vezes o geometral)

1) Para obter o contôrno perspectivo, traçamos a perspectiva dos dois prismas rectos

54

~' - - - - - -- - - .1.-------,.9

PERSPECTIVA EXACTA

representados pelo geometral. Obtemos assim um conjuncto de planos e rectas que envolvem a perspectiva e facilitam muito a determinação dos contÔrnos

J' 6 j A c (jig. 105). - c - - - . ''-''--~l-- - - - - - - - - . :-J 2) O cylindro perpendicular ao qua-

: : dro tem como bases perspectivas dois : : circulos. : : 3) O outro cylindro tem como bases

2: - - - - ti '~: --i:-f'!.- - - - - - - - -l'-Z :d perspectivas duas ellipses que se deter-minam facilmente pelos quadrados cÍrcumscriptos.

t' • .-1-- ------iIJz :iL_-_-_-_-_-_- TL-_-_--_-.:.e.l..' __ ?J'<;:-_.l..' __ -.L._~' 4) Traçamos os rectângulos ii1k1k

\ f Z 3": . Y e llôd, circumscriptos ás ellipses de \. ' : I intersecção . .. ~

\ I

: 5) A construcção indica depois suf-I ficientemente córiÍo deve ser traçado o

FIG. 104. t P/;.,. contômo apparente.

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FIG. 105.

CAPITULO VIII APPLICAÇÔES DA PERSPECTIVA EXACTA

83. -- Apresentamos, neste capítulo, o traçado perspectivo de alguns motivos emprestados á architectura e aos objectos usuais.

Seria muito para desejar que o alumno tivesse sempre diante de si o modêlo natural do objecto considerado.

O méthodo consiste em_estabelecer

APPLICAÇÕES DA PERSPECTIVA EXACTA 55

o geometral ou projecção horizontal do objecto, indicando pelo menos os pontos importantes que serão obtidos no quadro pelas escalas de largura e produndidade.

A elevação ou projecção vertical do objecto deve ser também traçada para nella determinar as diversas alturas, bem como para fixar a posição da linha do horizonte.

Escolhe-se depois a posição do ponto de vista de modo que a perspectíva produza bÔa impressão. Desta esrolha depende todo o valor artístico do desenho.

LembramQs de passagem algumas condições para que êste ponto esteja bem situado.

a) A dist~ncia do 'ponto de vista ao objecto, deve estar comprehendida entre duas e três vezes a maior dimensão do objecto. Como dimensão deve-se entender aqui não somente a largura, mas também a altura, caso esta seja maior que a largura.

Deve-se também tomar em conta a posição da linha do horizonte. A regra dada acima para a posição do ponto de vista, só se applica ao caso da linha do horizonte traçada pela metade da altura do quadro. '.

b) A direcção do raio principal pv, em relação ao objecto, é também de importância capital para o effeito perspectivo.

U ma vista de frente offerece pouca difficuldade e é por isso muito empregada. Devé ser evitada, no ~mtanto, porque nesta posição as faces laterais não apparecem e a perspectiva tem o aspecto de projecção orthogonal sÔbre o plano vertical.

Nos objectos que têm faces laterais perpendiculares, é preciso evitar a vista em diagonal. O melho r será pois a posição oblíqua entre êstes limites, escolhida de modo a não haver linhas importantes confundidas.

c) A direcção pv, . deve sempre encontrar Q objecto e, ao tratar-se de

um só objecto deve ordinariamente passar pelo centro geométrico da projecção horizontal.

d) Posição de quem olha para um desenho perspectivo. -

O quadro deve estar colocado verticalmente, de modo que a vista do observador esteja na perpendicular ao quadro traçada por V. A distância da vista ao quadro deve ser igual a VD. Ora, como o ponto D nunca está sÔbre o quadro, basta notar a distância reduzida.

Seja a reducção D/4. A posição do observador está pois a 4 vezes esta distância.

84. - Perspectiva de frente de uma escadaria angular (fig. 106).

1) Seja o perfil de frente. da metade da escada

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 n, m, e o contôrno da metade da base.

1, a, o, m. 2) Em V, , temos o ponto çle vista

dado e em D/3 a distância reduzida. Estes dados foram estabelecidos de

accÔrdo com o geometral, cuja construcção é facílima.

3) Traçamos ajo E' sÔbre esta recta que se projectam as arestas verticais dos degraus da escada.

4) Pelos pontos do perfil traçamos linhas de fuga para V. Determinamos assim em c, d, e, f, os pés das verticais correspondentes a cada degrau.

5) Termina-se facilmente o desenhô do modo indicado.

85. - Perspectiva de uma cruz. Uso do ponto de fuga accidental.

a) GEOMETRAL. - 1) Construimos as projecções da cruz (fig. 107). .

2) Traçamos aqui px parallelo ás linhas ad e bc do geometral. Em x ou j, teremos pois o ponto de fuga accidental para as dom1'nantes(1) do desenho.

(1) Chama-se dominante a direcção das principais linhas parallelas de um objecto perspectivo. Estas linhas, que devem possuir um ponto de fuga accidental accessível, são chamadas dominantes do desenho.


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FIG_ 106.

3) As larguras 1, 3, 4, 5, 6, foram obtidas pelo prolongamento das dominantes. A perspectiva dos diversos pontos do geometral estará sôbre as linhas de fuga dêstes pontol' para f.

4) As profundidades são tomadas em I', 2',... 6', sôbre uma perpendicular ao quadro.

b) QUADRO. - Ampliação qualquer. 1) Seja xy o pequeno quadro (fig.

108) sôbre o qual levamos as larguras 1,2,3, 1,5,6.

2) Ampliamos o quadro até XY onde determinamos as novas posições das larguras.

- 3) Pelos pontos obtidos traçamos rnhas de fuga para F, ponto de fuga das dominantes.

4) Determinamos, depois, sôbre estas linhas de fuga, as diversas profundidades do geometral pelo emprêgo da escala VY de profundidades e o ponto de distância reduzida o. (Vo=pv),

!5) Construímos como de costume a escala de alturas em M, N, O, Q.

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APPLICAÇÓES DA PERSPECTIVA EXACTA

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F1G. 108.

57

PERSPECTIVA EXACTA

6) Basta T determinar, pelo processo das três escalas, as posições dos pontos indicados por um pequeno círculo. Os outros vértices se obtém na intersecção das verticais t correspondentes do geometral com as)inhas qe fuga das ..;dominantes para ... F.

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FIG. 110.

86. -.--..: Perspectiva de Ull1a pyrAll1ide funerária.

a) . GEOMETRAL.1) Construimos as projecções horizontal e vertical (Jig. 109). r· 2) Escolhemos pv, numa posição -oblíqua e na direcção do centro s, da base.

S) Determinamos as larguras e profundidades apenas dos vértices 1, 2, 3, 4, do quadrado da base. Determinaremos os pontos nas diagonais pelo méthodo da divisão perspectiva em partes proporcionais.

4) Na projecção vertical indicamos as alturas das secções horizontais e dos pontos de concurso k e s.

5) A linha do horizonte está representada em h.

b) QUADRO. - Ampliação: 4 vezes o geometral (fig. 111).

1) D/4=pv, ponto de fuga das larguras 1", .. A", tomadas no geometral.

2) Para obter as divisões 5, 6, ... 12; sôbre as diagonais da base utilizamos uma escala divergente (J1·g. 110).

Seja a escala divergente T. eonstrucção. - Sôbre l,lma recta

1evamos as divisões 1, 5, 9, s, 11, 7, 3, de uma diagonal da projecção horizontal

Escolhido o ponto T, :abaixo desta recta, traçamos por êste ponto e pelas divisões dadas, um feixe de rectas que constituem a escala ' divergente. Esta escala serve para dividir qualquer recta

perspectiva em partes proporcionais ás divisões dadas. Basta, para poder utilizá-Ia, conhecer a perspectiva de 3 dêsses pontos.

No caso presente conhecemos I, s, 3, numa diagonal,- e 2, s, 4, na outra. Com uma tira de papel tomamos os 3 pontos 2, s, 4, da diagonal e levamo-Ios sôbre a escala do modo indicado. As outras di-

APPLICAÇÔES DA PERSPECTIVA EXACTA 59

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FIG. 111.

visões se acham na intersecção da tira com as rectas da escala.

Procedemos ... do mesmo modo: para a outra diagonal

4) Será bom verificar quando: possi-

vel os resultados com o emprêgo do ponto de fuga accidental das arestàs 1, 4 e 2, 3. Aqui, êste ponto está f6ra do quadro, não é porém difficil achar um expediente para determiná-lo.


A intersecção dêste plano com o plano do quadro será por definição a perspectiva da recta.

Mas, a intersecção de dois planos é uma recta. (Geom. c. sup. n.o . 448) ..

Logo, abc, perspectiva de ABC, é também uma recta.

EXCEPÇÃO. - ,Quando a recta dada (ou o seu prolongamento) passa pela Vista do observador, a sua perspectiva se reduz a um ponto, porque o seu plano visual se reduz á propria recta.

Assim a recta Aa, que passa por P, tem como perspectiva. o ponto a (fig. 4). 1;.",, 16. - A perspectiva de toda parallela ao quadro, é uma parallela á recta orig!nal Com effeito,

p - ------

FIG. 5.

tracemos pela recta AB um plano -Q' parallelo a Q (fig. 5). As intersecções dos planos parallelos Q e Q' por um terceiro, o plano visual APB, são rectas.parallelas. (Gecrm. c. sup. n.o 466).

Logo, AB e sua perspectiva ba, são parallelas. ~ Corollario: Toda horizontal paralZela a xy terá como perspectiva uma recta paralZela a xy.

FIG. 6.

p --_ .... _,..-, .

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17. - Rectas verticais têm perspectivas verticais. - Com effeito;

o plano visual APB é vertical pois contem a vertical AB (fig. 6). A intersecção, ab, dos dois planos verticais Q e APB é uma vertical. (Geometria) c. sup. n.O 381).

18. - A perspectiva de uma figura situada num plano de frente (plano parallelo ao quadro) é semelhante á figura original. - Seja o plano Q' parallelo a Q, no qualJ traçamos a figura ABC (fig. 7).

FIG. 7.

A §ecção abc da pyrâmide óptica P A B C pelo quadro Q, parallelo á base, é uma figura semelhante á base ABC. (Geom. c. sup. n.O 554). r ' "~Corollarios: 1.° Duas rectas iguais, . situadas num mesmo plano parallelo ao quadro, têm perspectivas iguais.

2.° - Quando uma retta "'parallela ao quadro está d1'vidida numa proporção, também a sua perspectiva está dividida na mesma proporção.

19. - Demonstração do principio fundamental do méthodo dos

-- ---~ - ----- - - - - - F Q

(\-- - --

::' ''Aa

... ....... .. .. c

p

C

FIG. 8 .


87. - Perspectiva de Ulll pedestal. a) GEOMETRAL. - Para simplificar

a construcção do quadro (jig. 112), diminuindo o número de linhas de fuga, determinaremos apenas, pelo méthodo

Iz~ · --- -_._. __ I

t~.--.-___ _ _ ,

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I

m, n, o, q, r, 8, t, dadas pelo geometral.

Esta divisão se faz pelo méthodo ordinário indicado para dividir uma recta em partes proporcionais a números dados. (Geom. c. 8Up. n.O 354).

NOTA. - No quadro indicamos '0/4. Designaremos por 'O o ponto de distância reduzida de modo; que Vc seja igual a pv do geometral.

Para ponto de fuga das larguras tomadas directamente). no geometral, deve-se tomar c que se acha aqui um pouco f6ra do quadro,

Tambem se poderia tomar 15/4 como ponto de fuga, e reduzir as larguras na mesma proporção ..

"5/4 I V '-.-._. -<+'-:-1-,- .-.-:--._. _. ;,_. _._._. _,_._ . I I I

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FrO. 112. \

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\P/4. \

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das três escalas, a perspectiva do prisma rectângular que envolve o pedestal. Sejam, pois, 1',... 4'; .as larguras e 1", . .. 4", os afas-tamento3. -

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i I

b) QUADRo.-Ampliação qual-.quer (jig. 113). ~. _ ... ___ ..

1) Pelo méthodo ordinário, ' >:.1.,. ... - -

I I

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I I , , I , I I I

.determinamos a perspectiva do \, , .'1\ :prisma rectangular circumscripto. li. : l \

Em 1, 2, 3, 4, telllOS a base~ t- --\---e::::f:t;!======:e:!:f -Pelos vértices levantamos verti- 1\ cais que dividimos proporcional- '-:;;t,;';---~1';-, ---i4f-:;"~-::':r;;-' ----~=~-_-..J :mente ás alturas. FIO. 113.

APPLICAÇÓES DA PERSPECTIVA EXACTA 61

2) Dividimos depois as diagonais da base em partes proporcionais ás do geometral.

Para êsse fim, além do méthodo da escala divergente, indicado no número anterior e que aconselhamos no presente caso (n.o 85 fig. 110), podemos proceder como segue.

Seja dividir a diagonal (4, 2). Pela extremidade 4, traçamos uma linha de frente sôbre a qual levamos as divisões da diagonal do geometral.

Unimos depois a última divisão com a extremidade 2 da diagonal e prolongamos até HH' I determinando dêste modo o ponto de fuga 01. Unindo cada divisão a 01, teremos por intersecção as outras divisões.

Um processo idêntico permitte dividir a outra diagonal.

3) Levantamos verticais pelos pontos assim obtidos.

4) Unindo dois a dois os pontos indicados nas arestas do prisma circumscripto, obteremos as diagonais dos diversos planos das molduras. Estas diagonais determinam, por intersecção com as verticais correspondentes, os diversos vértices dos prismas sobreposto s que constituem o pedestal.

5) As molduras curvilineas limitadas entre as alturas no e qr, obtém-se á vista, para simplificar o desenho.

88. - Perspectiva de um.a porta. Em.prêgo do ponto de fuga accidental.

a) Sejam, fig. 114, as projecções horizontal e vertical da porta.

1) Em f, temos o ponto de fuga accidental das dominantes.

2) Determinamos, na elevação, a linha do horizonte e as diversas alturas q, r, s.

b QUADRO. - Ampliação: 4 vezes o geometral (fig. 115).

1) Pelos afastamentos e larguras determinamos os pontos

1, 2, 01, 5 e 6. 2) Traçamos as linhas de fuga dêstes

pontos para F, que é o ponto de fuga accidental.

3) Basta conhecer as larguras 4' e 7', dos pontos 4 e 7. Os vértices 3 e 8 se obtém immediatamente por intersecção.

4) As alturas são dadas pela escala QRS.

5) A abóbada é cylíndrica. Para se obter Q contômo ellíptico MJN, traça-

1'5

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1

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f-- - --- T----!--, '#--'1---1, _---+_. _~17

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se a metade do quadrado circumscripto MHIN.

f!) A perspectiva do circulo de centro O2, se obtém de modo análogo.

89. - Tam.bo-rete. - a) EpURA

DO GEOMETRAL. - A

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FIG. 114.

figura 116 representa a epura do objecto na escala de O, 07 por metro.

A projecção vertical representa o corte vertical e na projecção horizontal o objecto é visto por baixo.


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"'" 1"1' 4" FIG. 115.

1) Escolhido o ponto de vista e o quadro, determinamos as larguras e os afastamentos dos pontos a, b, c, d, (vértices exteriores dos 4 pés.)

2) Em 1, 2, 3, 4, 5, temos a escala de alturas.

Indicamos a altura h, da linha do horizonte.

b) QUADRO. - Ampliação: 4 vezes o geometral (fig. 117), ° quadro se obtém construindo o prisma recto envolvente.

1) Sejam A, B, C D, as perspectivas de a, b, c, d.

2) Nestes quatro pontos traçamos verticais sôbre as quais determinamos

as alturas 1, 2, 3, 4, 5, proporcionais fts do geometral.

3) Unimos dois a dois os pontos de mesmo nivel e .diametralmente oppostos.

4) Sôbre estes 5 grupos de diagonais que se cortam na vertical dq centro 0, levamos divisões proporcionais ás do geometral. Construímos para êste fim uma escala divergente tomando como base uma diagonal da projecção horizontal, sôbre a qual levamos as diversas divisões

5) Está indicada a construcção das travessas horizontais e o modo de ligaI-as aos pés do tamborete.


_· OTA. - A divisão em partes proporcio-"; para a construcç~o dos detalhes, pode e

"eve ser feita á vista. Procedemos de modo IDAth€mático para localizar os pontos importan• - A construcção rigorosa para certos detalhes - ria. entretanto incômmoda. Teria o inconvemen e de sobrecarregar o desenho de linhas de construcção sem augmento de precisão.

• T otaremos portanto que, se a geometria é mirável para estabelecer as· grandes linhas,

ella pode e deve ser substituida pela observação 30 se tratar dos pormenores. Por isso, aconseIh:lmos que o alumno trabalhe sempre diante do objecto do qual estabelece a perspectiva, ou pelo menos uma epura pormenorizada.

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FIG. 116.

90. - Sólidos de revolução.Até agora consideramos apenas applicações em que os contôrnos perspectivos eram rectilíneos.

O problema se resumia á construcção perspectiva de prismas ou pyrâmides sobrepostos .

Passemos ao estudo de alguns sólidos de revolução. Consideraremos apenas objectos com o eixo de revolução vertical.

MÉTHODO. - O méthodo consiste geralmente em traçar um prisma rectangular que envolve o objecto.

Determinam-se secções horizontais que são círculos parallelos envolventes. A perspectiva dêstes circulos se obtém pelo méthodo do quadrado circumscripto.

Traça-se emfim, á vista, uma linha curva que envolve todos esses círculos parallelos. Esta linha será o contôrno apparente perspectivo do objecto.

Além disto, é gera' mente útil a determinação de certos pontos importantes do contôrno, de alguns meridianos ou de certos planos tangentes ásuperfície de revolução.

Esse gênero de perspectivas exige que o alumno se acostume a observar ao natural os contôrnos dos objectos e tenha real disposição para o desenho. Sem esta última condição, o traçado á vista das curvas envolventes será sempre difficil e geralmente sem valor artístico. ·

Alguns casos bem escolhidos darão uma idéia do méthodo que poderá ser applicado pelo alumno a innúmeros objectos interessantes.

91. - Perspectiva de Ulll vaso. a) EpURA. - Seja, fig. 118,' a epura

do vaso, visto em projecção vertical. Notamos a altura da linha do hori

zonte e dos diversos planos horizontais que cortam o vaso segundo círculos parallelos.

b) QUADRO. - Ampliação qua!quer (fig. 119).

64

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PERSPECTIVA EXACTA

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FIG; 117.

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Para variar o méthodo, supponhamos que nos dão um quadro de dimen-sões limitadas, no qual devemos dispôr a perspectiva do vaso.

1) Sôbre uma linha de frente MQ' construimos o rectângulo envolvente, MQPN, semelhante ao rectângulo mqpn (epura). Aqui duplicamos as dimensões.

2) Em 0, levantamos uma vertical,. eixo do vaso, que dividimos em partes proporcionais ás alturas dos diversos. planos horizontais indicados na epura~

----~1n~I. LL~~~----~-9~--- 3) Traçamos o perfil, a, b, c, d, e, f, fJ! h, i, j, k, l, T . (linha pontilhada) . F IG. 118.


4) Traçamos a linha do horizonte, na altura dada na epura e devidamente ampliada. Escolhemos V e Dj2.

NOTA. - Teria sido melhor tomar uma distância um pouco maior (Marcar, por exemplo, D/3 em lugar de D/2). Na figura 119, o observador está um pouco perto do quadro para que o cone visual possa abranger facilmente a altura toda do objecto, que constitue no presente caso a maior dimensão.

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çamos verticais, por exemplo RS, que dividimos em partes proporcionais ás alturas 1, 2, 3,... 10

6) Unindo os pontos de mesmo nivel, diametralmente oppostos, obtemos 10 grupos de diagonais que se cortam duas a duas no eixo OT.

7) Com auxilio do perfil determi-namos os diversos quadrados circums

criptos. Obtemos logo os circulos parallelos do vaso, nas alturas 1, 2, ... 10.

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8) A linha que envolve todos esses circulos parallelos constitue o contôrno apparente do vaso.

9) Uma observação attenta do quadro, mostrará como deve ser traçado este contôrno na proximidade dos planos c e k.

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_ '_'_ ' _ ' _ ' ! ' _'_'-\-'- _ . A curva envol

vente desapparece repentinamente; tornase virtual. Tais pontos de desapparecimento ' são chamados, em geometria descriptiva, pontos de reversão; em perspectiva poderiamos chama-Ios pontos de passagem (1). Isto acontece sempre que uma superficie "apresenta dupla curvatura, côncava numa direcção e convexa na direcção perpendicular á primeira. Nestes pontos, o raio visual tornase tangente ás duas linhas de curvaturas.

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FIG. 119. A geometria supe

rior ensina a determi-

5) Sôbre a recta de frente MQ, traçamos a base quadrada do prisma circumscripto ao vaso. Nos vértices tra-

nar esses pontos com precisão.

(1) Do francez: point de passage. Vêr Pillet, pg. 190.


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S FIG. 122.

conjuncto de diagonais que se cortam na vertical do eixo O.

Sôbre estas diagonais determinamos os vértices dos quadrados circumscriptos, traçando verticais pelas divisões das dia-gonais da base. _

5) Nas diagonais dos quadrados assim obtidos é fácil determinar os pontos em que passam os circulos parallelos. Utilizamos para isso a escala (II, fig. 122) construida especialmente para êste fim. Está indicado o modo de proceder para as diagonais (6,6) e (6',6').

6) Traçados os círculos parallelos, envolvemos á vista todos êstes circulos com o contôrno perspectivo do balaustre.

7) Notemos, na altura 2, um ponto de passagem.

93. - Perspectiva da base de UIlla coluIllna toscana - A ordem toscana é uma simplificação da ordem dórica.

A difficuldade, no traçado da perspectiva desta base, está no contôrno apparente do . táro, ou moldura circular.

T6ro, é um s6lido de revolução gerado pela rotação de um círculo ao redor de um eixo que o não atravessa; o eixo e o circulo estão num mesmo plano.

Na epura da figura 123, o t6ro é a ' moldura limitada entre os dois planos I e III. Em II, temos o parallelo máximo ou equador do t6ro.

O méthodo mais simples para se obter o contôrno apparente desta moldura, consiste em obter a perspectiva dos cíÍ'culos I e III das bases do tóro, e do equador II.

Determinam-se alguns meridianos, por exemplo w (quadro, fig. 124). Envolvem-se em seguida estes meridianos e parallelos por uma curva continua que constitue o contôrno -perspectivo.

QUADRO. - Ampliação qualquer. Tomamos VÕ = vp (fig. 124).

Para o resto da construcção, procede-se como no problema anterior.

94. - Notas. - a) No desenho anterior, observemos com attenção o resultado obtido, figura 124. Coloquemos o quadro a uma distância da vista igual a 3,5 vezes VÕ (3,5 é approximadamente a ampliação).

O desenho representa exactamente o contôrno perspectivo da base da columna, tanto que, se o quadro fosse transparente, poderiamos fazer coincidir toda a extensão do traçado com o contôrno do objecto situado por traz, na distância indicada no geometral, devidamente ampliada.

O cone visual abrange todo o desenho e vemo-lo nitidamente em toda a extensão.

b) A posição obliqua escolhida, permitte que se veja o objecto no seu melhor aspecto. Vemos a face lateral BCC1B1 do prisma (plintho) que suporta o t6ro.

APPLICAÇÕES DA PERSPECTIVA EXACT'A 69

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Poderiamos diminuir esta deformação augmentando muito VD, mas então a distância ao objecto sendo muito grande, o contôrno seria sem effeito perspectivo, semelhante á projecção orthogonal.

95. - Capitel de colUInna. - a) Geometral. Este capitel foi copiado num templo romano de ordem dórica simplificada. O reduzido número de molduras permitte uma execução perspectiva bastante simples.

A projecção no geometral é , \ , 'y

feita de baixo para cima (fig. 126).

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FIG. 123.

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c) Assignalemos aqui um êrro frequente entre os principiantes. Para obter a face lateral BC, e com o fim de evitar a construcção sempre mais complicada da posição obliqua, collocam o ponto de vista de lado, no quadro, e desenham a columna de frente, no lado opposto.

Na figura 125, observemos o resultado ordinariamente obtido. Olhemos para o quadro, na vertical de V, a uma distância igual a duas vezes D/2. Não vemos o desenho com nitidez.

Sem virar a cabeça, desviemos o eixo óptico da vista na direcção do desenho. Vemol-o então, e não parece .deformado.

Observemo-lo agora na pOSlçao natural, isto é, collocando-nosbem de frente; o effeito é horrivel! Todo o contôrno está anamorphoseado e o desenho não corresponde á visão real.

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Por meio das escalas de largura e profundidade determinaremos os vértices a, b, c, d.

As diagonais bd e ca serão depois divididas em partes proporcionais' ás do geometral por meio de uma escala divergente.

b) Quadro. - Em XIYl, constr,uimos o pequeno quadro que duplicamos (fig. 126 bis). Convém fazer uma bôa ampliação por causa do grande número de

linhas do traçado. Para baixo de HH' estabelecemos

a perspectiva da projecção determinando o quadrado a1b1c1d1, e dividindo as diagonais em partes perspectivamente proporcionais ás do geometral (escalâ divergente).

Para cima de HH' traçamos a escala de alturas. .

Desenhamos primeiro os dois prismas sobrepostos do capitel.

Para traçar as molduras de revolução, construimos nas alturas respectivas os circulos das bases. A linha envolvente será o contôrno apparente do capitel.

6 quadro da figura 126 bis indica sufficientemente o effeito obtido. A construcção foi em parte eliminada mas constitue excellente exerci cio para quem tivér executado o traçado dos números anteriores.

..

PRINCIPIOS FUNDAMENTAIS 7

pontos de concurso. Perspectiva de rectas parallelas a UIna direcc;ão dada. - Sejam as rectas parallelas e indefinidas AB e CD, que encontmm o quadro em A e em C respectivamente (fig. 8). Vamos determinar as suas perspectivas.

Pelo ponto de vista P, tracemos um raio visual (parallelo á direcção ô das rectas e sejã F o traço dêste raio visual sôbre o quadro.

As três rectas paralleIas á direcção 11 têm um' ponto commum no infinito. Ora; por definição, F é a perspectiva dêste ponto, pois é a intersecção com o quadro do raio visual que vai ter a êsse ponto. '~W;~

21. - 2.0 As horizontais perpendiculares ao quadro concorreIn para o ponto principal, V. - Com effeito, PF é então perpendicular ao quadro e F coincide com V. I

V é chamado ponto de fuga principal; os outros pontos de fuga são chamados pontos de fuga acidentais.

A perspectiva da recta AB 1 fica pois determinada;1 com effeito: 1.0 a é a perspectiva de A, ponto situado sôbre o

FIG. 9.-Avenida do Mangue. Rio de Janeiro. - M horizontais perpendicular ... ao quadro fogem para o ponto principal, no horizonte.

quadro; 2.0 - F é a perspectiva do ponto situado sôbre a recta, no infinito.

Logo, a recta AB, prolongada indefinidamente, tem como perspectiva aF. ..... O mesmo diremos da recta CD que tem cF como perspectiva.

Conclusão: Todas as rectas parallelas á direcção 11 têm como perspectiva linhas que concorrem para um mesmo ponto F.

F, é chamado ponto de fuga da direcção 11. " .

aF e cF são linhas de fuga. A direcção 11 sendo arbitrária, po

demos deduzir dêste theorema os se-guintes corolIarios :

20. -1.0 As horizontais parallelas concorreIn para UIn IneSInO ponto da linha do horizonte HH'. - Com effeito, o raio visual PF, traçado parallelamente ás rectas, é horizontal; neste caso encontra o quadro sôbre HH'. (fig. 2 e 8).

A observação attenta da natureza faz-nos logo descobrir este principio fundamental. Lancemos um olhar para uma extensa alameda. Embora a largura da alameda seja sempre a mesma, embora as árvores sejam todas iguais em altura, todas as linhas perpendiculares ao quadro do observador, situado bem de frente, panicem concorrer para um mesmo ponto, no horizonte. O mesmo acontece com os trilhos de • uma estrada de ferro bem recta.

22. - 3.° As horizontais, inclinadas de 45° eIn relac;ão ao quadro, têIn COInO perspectivas rectas que concorreIn para os pontos de distância D ou D'. - Assim, os pontos D e D', fig. ' 10, definidos no número 9, são os pontos de fuga das horizontais inclinadas de 45° sôbre o quadro.

AB, parallela a PD, tem como ponto de fuga o ponto de distância D.

IJ, parallela a PD', tem como ponto de fuga o ponto de distância D'.

Não sI{ deve confundir o ângulo DPD', (90°), com o ângulo óptico.

O ângulo óptico (n.o 11) é sempre muito inferior. D e D' são apenas pontos de fuga aci-

70

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PERSPECTIVA EXACTA

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96. Observação. -Não é geralmente fácil colocar-se na posição indicada, diante do objecto que constitue o assumpto dêste desenho.

A columna é alta e o capitel encontra-se

muito acima da linha do horizonte. Mastando-nos sufficientemente, a perspectiva tende para um perfil em projecção orthogonal ..

Ficando perto demais, a perspectiva está certa mas o contÔrno muito deformado. Seria necessário que o observador se conformasse com as exigências do desenho em relação ao ponto de vista obrigat6rio para que o traçado produzisse bÔa impressão.

Por esta razão, a perspectiva rigorosamente exacta e geométrica não satisfaz ás exigências do desenho em geral, em que o. fim não é sempre a forma exacta dos objectos vistos de um ponto determinado do espaço.

Conforme os fins, o artista deve antepÔr-se ao

72

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PERSPECTIVA EXACTA

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desenhista Le 'modificar judiciosamente as leis da perspectiva exacta obtendo por um ~rro voluntário o effeito desejãdo.

Esta reflexão faz entrever ao leitor a extensão do estudo das modalidadeS do desenho representativo desde que, sahindo da geometria, entramos no domínio das artes applicadas.

97. - Applicação a um objecto usual. - Traçado perspectivo de uma chícara com pires (fig. 127 e 128).

a) Epura. Será fácil neste caso ter o objecto ao alcance. Tomamos as dimensões do mesmo e desenhamos, numa escala quarquel a projecção horizontal e o corte em projecção vertical (fig. 127).

Fixamos a linha do horizonte e escolhemos o ponto de vista de modo que o raio principal passe pelo eixo vertical da chícara.

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73

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o plano vertical da asa faz 45° com o plano do quadro x y.

b) QUADRO. - Ampliação : 4 vezes o geometral (fig. 128).

A construcção dos círculos parallelos está facilitada, pois todos os quadrados circumscriptos são de frente.

1) Começamos por traçar o prisma ABCD, AIB1C1Dl, circumscripto ao objecto.

2) Dividimos as arestas verticais dêste prisma em partes proporcionais ás alturas dos circulos parallelos.

3) Dividimos as diagonais da base AC e BD em partes proporcionais ás do geometral que determinam os vértices dos quadra.dos circumscriptos aos círculos parallelos.

Para esta construcção prepare,-se de preferência uma escala divergente.

4) Para a asa, determinamos alguns pontos notáveis. O resto do contôrno se faz á vista, colocando-se o desenhista em relação á chícara, exactamente na posição indicada no geometral e notando os diversos pontos em que a perspectiva da asa corta os contornos já traçados.

5) A única difficuldade está no contôrno lateral do pires.

Podemos obtê-lo como segue.

Traçamos' o circulo q~e o limita na parte superior.

Determinamos o ponto I, em que se projecta em perspectiva no geometral.

Para isso, na projecção vertical, traçamos o raio visual, i'r, tangente á chícara. Este raio vai a um ponto da linha- do horizonte, situado a uma distâ.ncia do eixo da chi cara igual a op (disMncia da vista do observador, rebatida sôbre o plano vertical).

Por um processo análogo, poderiamos facilmente determinar o ponto em que êsse contôrno perspectivo corta a diagonal BD da base.

6) A espessura da porcelana, obriga a traçar um düplo circulo nas beiradas superiores da chícara e do pires. Devido a um reflexo luminoso que p6de variar com a fabricação do objecto e a posição da luz, o circulo interno se desvanece, no caso da chícara, ao passo que no pires desapparece por occultação.

Observação. - Notemos como se procede, no caso dos objectos usuais ou de conjunctos complicados, combinando sempre a observação com a construcção geométrica. Neste gênero de desenhos, nunca se deve prescindir do objecto seja para o traçado do geometral como também para o traçado á vista dos contôrnos apparentes.

CAPITULO IV

PERSPECTIVA DAS ISOMBRAS

98. - Os objectos da natureza apresentam, á vista do espectador, partes illuminadas e outras partes mais ou menos obscuras.

Para que uma perspectiva offereça a representação fiel do objecto dado, é preciso determinar não só o contôrno linear apparente e as linhas notáveis do corpo, mas também as linhas de separação de sombra e de luz e as diversas sombras projectadas.

As fontes de luz podem ser diversas. A luz natural é a luz do sol; pode ser directa ou dijjusa.

A luz artificial é produzida por um fóco luminoso, situado a distância finita: vela, bico de gaz, lâmpada eléctrica, etc.

Dois casos se apresentam no caso das sombras. O fóco luminoso póde ser de fraca extensão superficial e considera-se então como reduzido a um ponto.

PERSPECTIVA DAS SOMBRAS 75

o foco de luz pode também ser uma superfície lu inosa que diffunde a luz natural do so ou a luz artificial de um fóco qualquer. E' a illuminação indirecta.

Neste último caso, as linhas que separam as superfícies sombreadas das superfícies claras, não estão bem definidas. Existe uma gradação de luz ás vezes complicada. .

O objectó dêste estudo interessljl. a perspectiva aérea, que mais se relaciona com a perspectiva de observação.

Por êsse motivo, nestes elementos de perspectiva linear, occupar-nos-emos unicamente do traçado geométrico das sombras definidas, nos objectos illuminados pelos raios directos de um fóco luminoso, que vamos suppor reduzido a um ponto geométrico.

99. - Sombra própria e sombra projectada.

Seja, figura 129, uma esphera O, illuminada pelos , raios parallelos do Sol. Tracemos os raios tangentes á esphera. O grande circulo de diâmetro A B, cujo plano é perpendicular á direcção b., separa o hemisphério illuminado do hemisphério sombreado,

FIG. 129.

Prolonguemos indefinidamente, além da esphera, os raios tangentes ao círculo AB. Formam um invólucro cylindrico. Todo ponto si.tuado dentro dêste cylindro não recebe os raios do Sol se' a esphera fôr opaca.

Cortemos êste cylindro de sombra por um plano P. A secção dêste cylindro será sombreada e representa. a sombra projectada pela esphera sôbre o plano P.

100. - Méthodos. - Existem dois rriéthodos para resolver o problema da determinação perspectiva das sombras: méthodo directo e méthodo indirecto.

a) O méthodo directo reduz-se a determinar directamente sôbre o quadro as perspectivas das sombras do corpo proposto. Para êste fim, pelo ponto luminoso traçam-se raios tangentes ao objecto.

Obtemos assim o limite da superfície illuminada. A sombra projectada se obtém determinando a intersecção dêstes raios prolongados com o plano geometral ou com um plano qualquer.

Resolveremos dêste modo alguns casos dos mais simples.

b) O méthodo indirecto consistiria em determinar' previamente no geometral; pelos méthodos da geometria descriptiva, as projecções dos contornos das sombras própria e projectada do objecto. Resta 'só, depois, construir o quadro dêste geometral obtido. Seria êste o méthodo que até agora utilizamos.

Surge porém a difficuldade da cons-

p

trucção da epura, para os alumnos que ainda não resolveram este problema de geometria descriptiva. Por isso adoptaremos o m'éthodo directo.

1.0 LUZ NATURAL DO SOL. 101, - Os raios solares

são suppostos parallelos. Com effeito, , consideram-se como convergindo para um ponto situado no infinito, em relação aos objectos terrestres.

Na verdade o sol possue um diâmetro apparente (causa da penumbra); porém,

será considerado como que reduzido a um ponto luminoso.

102. - Posição do sol em relação ao observador. - Três são as posições que o sol pode occupar em relação ao observador.


a) O sol estd além do quadro, na direita ou na esquerda do observador. (Fig. - 130 e epura I fig. 131).

Nêste caso, os raios luminosos, parallelos, convergem em perspectiva para um ponto acima da linha do horizonte. Este ponto é a intersecção com o quadro do raio visual que vai da vista do observador ao sol, parallelamente á ' direcção 6, dos raios solares.

N a fig. 130, o sol está na direcção 6" d direita do observador P. Tem como perspectiva o ponto S, acima da linha do horizonte.

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0,s' FIG. 131

bis.

S' é esta perspectiva, situada abaixo do horizonte, á esquerda do observador se o sol estiver á direita (fig. 131 bis).

c) O sol estd no plano do quadro. A ~ Então os raios solares são todos

, ~ ~ _ - - ~ parallelos ao quadro e as som, ~ bras são parallelas á linha de

FIG. 130

Por causa da distância do sol, a projecção horizontal dêste astro, será sempre um ponto na linha do horizonte; s, é pois a projecção horizontal do sol.

FIG. 131. ,

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J J J _

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b) O sol estd aquém do quadro, por traz do observador (fig. 131 bi8).~

A perspectiva (virtual) do Sol é a intersecção com o quadro do raio visual, traçado por P, na direcção 6,' (fig. 130) dos raios solares.

terra. 103 - Problell1a - Deter

minar a sombra projectada por uma haste vertical AB, ~ôbre o plano horizontal.

1.° CASO. - O sol está em S, em frente ao observador; seja s, a sua projecção horizontal. (Fig. 132).

SG " ,\ I \ J ,

J

II I V, ,

FIG. 132. a

1) Traçamos sB, e prolongamos. 2) O raio SA, tangente ao vértice

determina a por intersecção.

A

3) A sombra projectada é a recta Ba.

, 2.° CASO.-

\V c:. O sol está atrás I----+-',,~, -/-/~I---I do observador.

I )~ / J Projecta-se em

H

V ~~<: SI abaixo do ho-:B \ J rizonte. (Fig.

L..-_--""~--\~\ .... 1 _-' 133). FIG. 133. - ~~


Traçamos 81B e SlA. A recta aB é a sombra projec

Lda. 3. o CASO. - O sol está no plano

o quadro. (Fig. 134). Pela base B, traçamos uma recta

arallela a xy.

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I , , B a

FIG. 134.

Pelo vértice A, traçamos um raio

/ /

solar que faz com a horizontal um ângulo a, igual á altura do sol acima do horizonte.

A recta Ba é a sombra projectada. APPLICAÇÕES AOS SOLIDOS GEO

METRICOS. 104. - Sombras projectadas sobre

planos horizontais ou obliquos(Fig. 135).

. a) Seja S o sol, em frente do observador e á direita.

b) O desenho consiste em determinar as sombras projectadas pelas paredes verticais de um tanque vasio, visto de frente.

c) A parede EC, de frente, e a parede lateral da direita são sombreadas.

d) A sombra projectada no plano do fundo do tanque pela aresta. superior

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FIG. 135.

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_-:: :.:> I

78 PERSPECTrvA EXACTA

EC, é limitada pela recta de frente e1e1 que une as extremidades das sombras projectadas pelas arestas verticais Ee e Cc. Esta recta de frente determina em e2 o limite da sombra na parede lateral da esquerda.

Encontra depois um plano inclinado FD ; dirige-se então para o vértice C. Obtemos pois a sombm da parede . de frente sÔbre o plano inclinado.

e) A aresta FD do plano inclinado projecta sombra no fundo do tanque sendo Fd, o limite da mesma. Traçamos depois cId e prolongamos, para limitar a sombra projectada pela parede vertical da direita.

j) Uma estaca AB, na margem do tanque dá a sombra lB na direcção de s, e depois de encontrar a aresta EC do tanque, projecta-se no fundo em ano

105. - Sombras numa pyrAmide

/

/

, /

recta. - O sol está at1·ás do observadar. Seja a pyrâmide hexagonal regular

ABCDEFR (fig. 136). A perspectiva da base numa. posição

qualquer foi obtida de accôrdo com o geometral previamente construido.

1) O sol está atrás do observador e á direita do quadro.

Em S, temos a sua perspectiva virtual, sendo SI a projecção no horizonte.

2) Traçamos OSl e RS. Determinamos rI por intersecção e

traçamos rIA e r1D que envolvem a base e constituem os limites da sombra projectada.

3) As faces correspondentes aqs lados AF, FE, ED, da base, estão na sombra.

F AR, por ser visível, será hachuriada.

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R

5:1. / V ~._ .. _0_- ___ . __ ._. __ - . ___ ._._._ ._1_. - --oro . , , " , \

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... / ... /

FIG. 136.

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''''; I --.,,1 I I ---- .,-" I ,

I ! _'to, I I I '.:1


4) A sombra projectada encontra um obstáculo. E' o prisma rectangular definido pelas ' arestas RI, de frente, e IJ, linha de fuga V.

Ao encontrar a face vertica,l do prisma, o eixo Orl da sombra, dirige-se verticalmente para r2, na linha R rI.

Terminado o plano vertical, o eixo da sombra soffre novo .desvio e projectase na face horizontal superior do prisma, na direcção de SI, até encontrar novamente o raio SR.

Os limites da sombra dirigem-se successivamente para rI, r2, era.

5) O limite mn, da sombra (em parte visível) do prisma, obtém-se sem difficuldade.

106. - SOlDbras de UlD cone recto. - O sol estd atrás do observador e á esquerda do quadro (fig. 137).

1) Sejam S e SI, as projecções que determinam a posição do sol e OR o eixo do cone.

T

, , " " , , ,

"

2) Traçamos OSI e SR. Temos em r a extremidade da sombra projectada.

3) Pelo ponto r, traçamos rm e rn, tangentes ao circulo da base do cone. O pontos m e n, são diametralmente oppostos e as geratrizes Rm e Rn limitam a sombra própria, em parte visível.

4) Seja agora determinar a perspectiva da sombra projectada pela estaca vertical AT.

5) Traçamos ASI e TS. Obtemos em t, a extremidade da sombra e traçamos na direcção de SI as duas tangentes á base rectangular da estaca.

6) Estas duas linhas interceptam a base do cone em i. A sombra se projecta pois sôbre o cone.

7) Pelos pontos 1, 2, e m, do circulo da base tracemos as geratrizes .correspondentes. O problema consiste em determinar a passagem da sombra sôbre estas geratrizes

_ . _ . _._~.~ . _ . - . - ' - ' _ . _. _ .-,.... " D/3 . _,_ o _. _, __ r _ o Si _.-.-. __ . - - ' ,,€)

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FIG. 137.

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, , , , "

" " , , , , ,

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FIG. 10.

dentais, cuja determinação é de grande utilidâde. Já sabemos, em particular, que VD e VD' representam a distância do observador ao quadro.

23. - Grandeza da perspectiva de um objecto. - 1.° CASO: Quadro fixo. - Seja Q o perfil do quadro (fig. 11), AB o objecto fixo em relação ao quadro

Q h

A ~ _ _ _ _ _ ª _____ +00

.... ~.:- ...... _ lJ.'

'-', p , p' - - - - -::>- - - - - -... .:. ~>- - - - -

"

FIG. 11.

e P a vista dó observador, móvel na direcção do raio principal.

O observador estando · em P, a perspectiva do objecto será ab. ~. Si o observador se afastar até PI, a perspectiva crescerá e será então a'b'.

Si P estivesse sôbre o quadro, a perspectiva seria um ponto.

Si P estivesse no infinito, as projectantes seriam parallelas e a perspectiva seria a projecção orthogonal do objecto; teriamos a"b" = AB.

E' importante desde -já attender aos pontos seguintes :

1. o O observador estando muito longe do quadro, o effeito perspectivo desapparece e o desenho · se approxima da projecção orthogonal.

2.0 O observador estando muito perto do quadro, a perspectiva se reduz de tal modo que não offerece mais interêsse verdadeiro.

A posição conveniente já foi indicada no n.O 11, isto é, o observador deve estar a uma distância igual approximadamente a duas vezes a largura do quadro.

2. o CASO: Quadro móvel, observador fixo. - Notemos logo que as variações da distância do quadro aó objecto, não alteram a forma da perspectiva.

Em regra geral, a perspectiva augmenta quando o quadro se afasta do observador em direcção ao objecto. Uma perspectiva maior do que o objecto suppõe o quadro além do objecto.

CAPITUL"O III

DETERMINAÇÃO DA PERSPECTIVA DE UM OBJECTO. - MEmODO

"DOS PONTOS DE FUGA. _ . ESCALAS.

24. - Plano Geometral e quadro. - Nas applicações da perspectiva separaremos sempre o plano geometral, isto é a projecção horizontal do objecto, do quadro perspectivo.

A figura 12, repetição da figura 1, foi devidamente explicada no capítulo primeiro. -Representa em perspectiva ca,-

valleira (1) o plano geometral, o quadro e a posição do observador.

a) GEOMETRAL. - A figura 13 representa o plano geometral PG, levantado e visto de frente. O quadro foi eliminado, ou melhor, está reduzido á

tI) Vêr, n.O 111.


8) Traçamos os raios 10, 20, mO, que interceptam as linhas de fuga ASI. Nestes pontos levantamos verticais e obtemos por intersecção os pontos l' 2', w, sôbre as geratrizes.

Os pontos w e z, na geratriz mR, podem também ser obtidos com os raios zIS e w$, traçados pelos pontos ZI e WI, (pontos de emergência), porque êstes pontos pertencem ao mesmo tempo ás sombras da estaca e da geratriz mR do cone.

A sombra da estaca se alarga aos poucos e, em w-e z, perde-se insensivelmente ao passo que a sombra do cone se torna mais densa.

NOTA. - No caso dos sólidos de revolução determinaremos apenas a raiz da sombra, sem indicar as gradações que fazem passar da super-fície illuminada para a face sombreada. Consideramos aqui a sombra, apenas no ponto de vista geométrico; a sombra começa em mR porque esta geratriz é o lugar gernnétrico dos

pontog de tang~ncia dos raios Bolares com a superJkie lateral do cone,

A densidade da luz e da sombra, como já. o fizemos notar, constitue o objecto da perspectiva aérea propriamente dita. (Vêr Perspectiva de Observação). iIJII

107. - Perspectiva das sombras, no grupo geométrico cubo e pyrâmide. - O sol está no plano do quadro, a 45° acima do horizonte.

1) ° grupo da figura 138 foi estudado no n.O 75, no ponto de vista da conslrucção perspectiva.

2) ° sol está á esquerda, no plano do quadro. As sombras das arestas verticais são linhas de frente.

·3) Pelos pontos B, C, D, y, h, traçamos horizontais indefinidas.

4) Pelos vértices B', C', D', G, li, traç:1mos raios solares inclinados de 45° sôbre o horizonte. Obtemos assim os pontos bI, CI, dI, gI Traçamos FgI, . B.bl' bIcI, cIdI, : DdI.

D/3 \T . + - _ . _. _ & _____ • _ __ • • _ 0 _ . _ .- _t _ . _._. - . - . _ . _ . _ . - . _._ ._ . _ . _ .

FIG. 138.


5) A vertical do vértice T da pyrâmide, encontra a face A'B'C'D' do cubo em t' e o plano geometral em t.

6) tI é o ponto de convergência da sombra projectada pela pyrâmide. Traçamos E tI e gltl.

7) A recta E tI corta a aresta I

I "-AB do cubo em e1; dirige-se depois para e2 na tangência da aresta ET da pyrâmide com a aresta A'B'

_ . _ ._+_.- . _ . ._ . _. -~. -'-' "

do cubo. Prolongando obtemos ta no raio projectante de T. E' o ponto de concurso dos limites da sombra ' no plano da face ABB'A'.

8) A recta (JIlt encontra a sombrct projectada pela aresta BB' do cubo em ZI.

9) Pelo ponto t', traçamos a linha de frente t't2 até o encontro com o raio projectante de T.

t2 é o último ponto de concurso dOR limítes da sombra da pyrâmide.

10) As faces laterais EFT e GFT, na pyrâmide, e BCC'B', CDD'C', no cubo, estão na sombra.

108. - A determinação das sombras produzidas pelos objectos no caso da luz artificial, obedece ás regras estudadas no parágrapho anterior no caso da luz directa do sol. Por esse motivo, contentar-nos-emos de um exemplo para indicar a marcha geral das construcções geométricas.

109. --.,. SOInbra projectada por UIna haste vertical (fig. 139).

1) Seja AB, a haste vertical; L, o f6co luminoso e l a sua projecção horizontal.

No caso da luz solar, l está na linha. do horizonte. E' esta a única differença com a luz artificial.

2) Tra.çamos lB, indefinida e LA até encontrar em a, o prolongamento de lB.

, , "

FIG. 139.

" , , a

3) Ba, é a sombra projectada.

110. - Applicação. - 1) Seja o f6co luminoso L, e sua projecção geometral l (fig. 140).

2) A haste vertical AB, projecta. a sombra Bjka; Bj, no plano horizontal, determinada como no número anteriol ; jk, na. face obliqua de um prisma triangula.r; ka, numa parede vertical, perpendicular ao quadro.

3) A face de frente do prism9. tIi-angular projecta a sombra nos. •

Determinamos, em primeiro lugar, o ponto y, no limite da sombra projectada pela aresta ns. .

Traçamos depois sy e prolongamos até o, raiz da parede vertical.

Terminamos o contôrno pela recta &n.

4) O cubo de frente, projecta a sombra, Jhe2eId ld2d.

Esta sombra encontra também um obstáculo constituido por uma parede vertical perpendicular ao quadro.


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_ . ., l __ r.-= - -- -..I..!,

FIG. 140.

CAPITULO IX PERSPECTIVA CAVALLEIRA

UI. - O leitor já deve ter notado que o traça.do das figuras (1 a 12, menos 9) nos dois primeiros capítulos, não obedece ás leis da perspectiva cônica. Os lados de fuga dos planos de projecção permanecem parallelos.

A mesma. observação deve ser feita em relação ás figuras nos compêndios de geometria, etc.

A explicação dos princípios que permittiram obter tais construcções constitue o objecto do presente . capítulo.

U2. - Perspectiva parallela. -Na perspectiva. linear, até agora estudada, temos considerado o ponto de vista de um observador situado a uma distância finita do objecto. Já verificamos entretanto que quanto mais o observador se afasta do objecto, tanto mais

fica destruido o effeito perspectivo: as linhas parallelas do objecto permanecem, em perspectiva, sensivelmente parallebs.

Se o observador se afastar indefinidamente, os raios visuais dirigidos para os diversos pontos do objecto serão considerados parallelos e teremos, no quadro, uma projecção parallela ou perspectiva parallela, a que também se dá o nome de rápida.

As linhas projectantes (raios visuais parallelos) podem ser:

1. o inclinadas em relação ao quadro ; 2. o perpendiculares ao quadro. Ao primeiro caso corresponde a

perspectiva cavalleira e ao segundo a perspectiva axonométrica.

Eis a seguir as bases e regras da perspectiva cavalleira.

PERSPECTIVA CAVALLEIRA 83

113. - Perspectiva cavalleira. -A perspectiva cavalleira (1) de um objecto, é uma projecção oblíqua dêste objecto s6bre o plano do quadro.

A figura 141 representa um quadrado em perspectiva cavalleira.

Os lados AD e BC, perpendiculares ao quadro, fogem parallelamente á direcção ,6.. São linhas fugitivas ou de fuga.

lI5. - Perspectiva cavalleira DlO

dificada ou diDlétrica. A perspectiva cavalleira propriamen

te dita, cujos princpio s acabamos de estudar, é a que dá mais rapidamente as imagens ou as formas dos corpos a representar.

Por outro lado, é também neste gênero de representações que a restitui

ção do geometral se opera com grande facilidade.

Entretanto, tem o defeito de anamorphosear os objectos de tal modo que a representação perspectiva se afasta muito

D r-------:---~ C da imagem produzida pela visão ocular. Este defeito provém principalmente do facto que as linhas de fuga principais não são encurtadas. Tomemos o exemplo da fig. 141.

L "'-"--_____________ ~ _ __.J T O comprimento das linhas

FIG. 141.

A fugitiva será pois a projecção obliqua de toda perpendicular ao quadro.

O ângulo a, que a direcção ,6. das fugitivas' faz com a linha de terra LT, é o ângulo de direcção. Na perspectiva cavalleira propria-,mente dita, o ângulo de direc-ção é de 45°.

114. - Princípios da perspectiva cavalleira.

a) As linhas parallelas ao quadro, proJ!qctam-se em verdadeira grandeza.

b) As linhas fugitivas perpendiculares ao quadro, pro

. de fuga é exagerado e o lado AD do quadrado parece muito

maior do que AB, embora sejam rigorosamente iguais.

Com o fim de diminuir esta impressão desagradável, modificou-se um pouco a

A~ jectam-se em verdadeira grandeza, parallelamente ao eixo de direcção.

L~ __________________________ ~T

c) As verticais permanecem cais em perspectiva.

verti-

(1) Cavalleira, porque suppõe o observador como que a cavalleiro sÔbre o objecto, sendo que nesta posição elle só pode ver a parte superior do mesmo. Também chamada: perspectiva militar, clinogonal, clinográphica.

FIG. 142.

perspectiva cavalleira. Eis por exemplo (fig. 142) um quadrado representado em perspectiva cavalleira modificada, reduzindo na proporção de 1/2 as linhas de fuga perpendiculares ao quadro.

As reducções mais empregadas são 1/2 e 1/3.


A escala de reducção se indica num canto do desenho e do seguinte modo: F = 1/2.

No caso da perspectiva cavalleira propriamente dita temos, F = 1/1.

. APPLICAÇÔES

Íl6. - Perspectiva cavalleira de um rectângulo dado pelo geometral (jig. 143).

1) Não precisamps da linha do horizonte.

2) Seja ABCD o rectângulo. 3) Pelos pontos A e B traçamos

fugitivas inclinadas de 45. 0 em relação á linha de terra LT, e levamos ADI = AD.

4) ADICIB, é a perspectiva pedidã.

1 C" F=T ]);.;--------7 1

. T

D'---_____ ~

FIG. 143.

ll7. - Perspectiva cavalleira de um polygono qualquer (fig. 144).

Seja o polygono abcd.

3) O polygono perspectivo fica determinado pelos vértices ABCD, tomando aIA=aIa, etc ... (n. o 114).

ll8. - Perspectiva cavalleira do hexágono regular e do círculo (fig. 145) .

E

C~~~:--- ". b

~ ~ -,I ,C_---+-_-.-~ B

\ ' I )./

I / \

I I,' I ~ \ '/ I /

- - - -,(-- - - - - - - - ?'~ - - - I A / . / / : I

FIG. 145 .

I I

,I

I

I

O processo do número anterior pode ser applicado.

Eis outro modo de proceder. (Vê)" figuras 145 e 146).

1) Pelos vértices abaixamos per- L_"7f--~_~--;t;"-""e---T,;n-7f" __ pendiculares sôbre LT.

2) Traçamos linhas fugitivas correspondentes a cada vértice.

, :B

- A c FIG. 146.

1) Notemos que os lados parallelos do hexágono regular permanecem parallelos em perspectiva.

2) A perspectiva do círculo é uma ellipse. .

119. - Perspectiva de um cubo: a) F= 1/1; b) F= 1/2.

PERSPECTIVA CAVALLEIRA 85

H~-------"G

F=-t

E~---"';--~

D.' .. . .. . . ....... ...... . C .'

A"-' __ . ____ -'1:1

FIG. 147. a) No primeiro caso todas as arestas

são iguais (f1·g. 147). b) No segundo caso, as arestas fugi-

tivas são reduzidas de metade (fig. 148).

1'=1 n-_________ ~G

,] ?-- ..;-----<

D) ......... .. ·· · ....... C

A "-.. _____ -3

FIG. 148.

120. - Perspectiva cavalleira da pyrAmide (fig. 149).

Seja uma pyrâmide recta de base hexagonal.

1) Traçamos a perspectiva da base (n.o 118).

2) No centro levantamos a altura e traçamos as arestas laterais.

V

I I

I

f - - -:- - - - - - - + - - - C I

F IG. 149.

c

NOTA, - Do mesmo modo podem ser construídas as perspectivas cavalleiras de todos os sólidos geométricos: cylindro, cone, esphera (a perspectiva da esphera é uma ellipse), octaedro regular, etc .. .

Deixamos êste trabalho á iniciativa do alumno.

EXERCI CIOS Além dos exercicios indicados e resolvidos neste livro, o alumno poderá resolver com grande

proveito todos os 'casos que seguem.

I. "LINHAS E PLANOS. 1. - Determinar o pontb de fuga de uma horizontal situada no plano geometral, sabendo

que faz um angulo de 300 com a linha de têrra, xy. (Vê'r n.O 25). 2. - Dado um ponto In do geometral, determinar-lhe a perspectiva : a ) por meio de duas rectas que fazem com xy um angulo de 700 (26) ; h) pór meio de duas réctas, uma perpendicular ao quadro e a outra inclinada de 450 sôbre

xy. (26). 3. - Construir a perspectiva de um ponto dado pelas coordenadas: largura, 5 m., afastamento,

7 m. Escala 1/100 (1 cm. por metro) (29). 4. - Sobre uma recta de fuga principal AV, indicar pontos equidistantes. Distancia do

pontos, 10 m; escala 1/5(10. (28). • 5. - Levàntar verticais de 10 m. de altura nos 4 verti ces de um quadrado. Coordenadas dos vértices do quadrado: largUras, 2 e 7; afastamentos, 3 e 8. Escala 1/100.

6. - Traçar a perspectiva de um prisma triangular regular. 'Lado da base, 2 m., altura, 3 m. Escolher convenientemênte as posições do quadro e do observador. Escala, l /50. (35).

7. - Triplicar o quadro obtido no problema anterior (36) . 8. - No problema 6, ampliar o quadro numa proporção qualquer, In/n. (65). 9. - Dividir as diagonais de um quadrado perspectivo em 10 partes iguais: a ) pelo processo

geometrico (38) ; h ) pelo emprego de uma escala convergente (84). 10. - Sejam dois pontos do espaço, A e B, de coordenadas respectivas (largura, afastamento,

altUra) : 2, 3, 7, para A ; 9, 5, 2, para B. Traçar a perspectiva da recta AB. Determinar a verdadeira grandeza de AB (40, 2.° caso).

11. - Traçar uma linha de fuga principal com 1/10 de aclive (ou de declive) em relação ao plano geometral '

12. - Traçar a perspectiva de uma estrada, vista de frente, que desce de 1/5 nos 10 primeiros, metros e sobe depois na proporção de 1/10.

13. - Traçar a perspectiva de um triangulo do espaço. Coordenadas dos vertices: A (2, 2, 10); B (6, 7, 10) ; C (10, 4, 5).

14. - Traçar 4 quadrados concêntricos de lados respectivos 10, 7,5 e 2 metros. IS. - Traçar a perspectiva do octogono regular. ' 16. - Traçar a perspectiva do polygÓIlo estrelado de 8 pontas. 17. - Traçar a perspectiva de um cubo. Nos lados visiveis inscrever circulos . . 18. - Dividir um circulo horizontal em 20 partes iguais. pelo emprego de uma escala circular. 19. - Traçar a perspectiva de uma rosacea. 20. - Traçar a perspectiva de um ladrilhado, visto de frente. 21. - Traçar a perspectiva de um ladrilhado em posição obliqua ao quadro. 22. - Construir um entrelaçado e traçar-lhe a perspectiva.

II. SOLIDOS GEOMETRICOS. 23. - Traçar a perspectiva de um cubo de 4 m. de lado, situado abaixo do horizonte. Um

dos lados faz um angulo de 300 com xy. 24. - Traçar a perspectiva d'e um prisma de base quadrada, encimado por uma pyramide de

mesma base e situada numa posição qualquer. 25. - Traçar a perspectiva directa de um cylindro de 1 m. de altura, sobre o qual descansa

pela base um cone de 4 m. de altura. A base do cone é igual á base do cylindro. 26. - Construir a perspectiva do grupo cubo-pyramide-prisma triangular, em posições quaesquer. 27. - Traçar a perspectiva do grupo: cylindro-cone-esphera. 28. - Traçar a perspectiva de uma anel cylindrico : a ) com a base no geometral; b) des-

cansando no geometral sôbre a geratriz. 29. - Perspectiva do tetraedro regular. 30. - Perspectiva do octaedro regular. 31. - Perspectiva exacta d9 esphera situada na esquerda do ponto principal. 32. - Traçar a perspectiva do tronco de pyramide. 33. - Traçar a perspectiva do tronco de cone.

EXERCICIOS 87

34. - Traçar a perspectiva de um banco de pedra em que predomine a forma prismatica. 35. - Traçar a perspectiva de um pêso de cobre (forma cylindrica) 36. - Traçar a perspectiva de um pêso de ferro fundido (tronco de pyrâmide) . . 37. -- Traçar a perspectiva de uma caixa collectora de papeis (tronco de pyrâmide). (Geometral). 38. - Traçar a perspectiva de uma cruz, dada pelas projecções. 39. - Traçar a perspectiva de um vaso de revolução gerado por um perfil composto de varias

curvas concordadas. 40. - Traçar a perspectiva de um vaso de flores em forma de tronco de cone invertido. 41. - Traçar a perspectiva do conjuncto: garrafa e copo. 42. - Traçar a perspectiva da base de uma columna. 43. - Traçar a perspectiva do capitel de uma columna. 44. - Traçar a perspectiva de uma porta com abobada cylindrica.

III. SOM B R AS. a) Luz solar.

45. - Sombra projectada por uma haste vertical na luz do Sol: a ) o Sol está diante do observador; b) o Sol está atraz do observador; c) o Sol está no plano do observador.

46. - Sombra projectada por um cone sobre uma escadaria. 47. - Sombra projectada por um prisma sobre um cone.

b) Luz artificial. 48. - Sombra projectada por um cubo no chão e sobre uma parede vertical. 49. - Sombra projectada por um cubo sobre um cylindro. 50. - Sombra projectada por um cone sobre um cylindro.

PÁGINAS

Capitulo I. Definições. Princípio fundamental 3

" II. Princípios fundamentais da perspectiva linear 5

" III. Determinação da perspectiva de um objecto. - ~é-

thodo dos pontos de fuga. - Escalas S.

" IV. Problemas diversos . 18

" V. Perspe~tiva das figuras planas. 22

" VI. Applicações. - Traçado perspectivo de figuras geométricas 33

" VII. Perspectiva dos sólidos geométricos 41

" VIII. Applicações da perspectiva exacta 54

" IX. Perspectiva das sombras 74

" X. Perspectiva cavalleira . 82

Exercícios. . 86 .

NA MESMA COLLECÇÃO,";i EXISTEM

REGISTROS ESCOLARES

REGISTRO N. I. - Notas diárias de uma disciplina, para o curso secundário.

Este registro serve para as notas de cada dia numa disc-iplina única do curso secundário.

Tem lugares para inscrever também a matéria dada, as aulas dadas, as presenças, as faltas, as médias do mez e as provas parciais.

Serve para 55 alumnos por classe. Durante. um anno lectivo é preciso empregar um

dêstes registros n. 1 para cada matéria em cada turma.

REGISTRO N. 2. - Boletins mensais por aula, para o cur§o secundário.

Este registro serve para transcrever as notas de procedimento e applicação no fim da semans. as notas médias de arguição para cada matéria no fim do mez assim como 8S de provas parciais para uma turma completa.

Tem lugares para 50 nomes. Durante um anno lectivo, basta usar um dêstes

registros n. 2 para cada turma de uma série. REGISTRO N. 3. - Mappas individuais

das notas mensais e annuais, para o curso secundário.

Este registro n. 3 encerra, numa página especial para cada alumno, o resumo de todas as notas inte· ressantes durante o anno lectivo: notas de arguições mensais, suas médias, provas parciais, suas médias, as médias condicionais, as médias finais e os resultados.

Ha espaços para 60 alumnos. Durante um anno lectivo, um dêstes registros n. 3

é sufficiente para cada turma do curso secundário. REGISTRO N. 4. - Notas diárias e men·

sais, para o curso primário. . Este registro n. 4 serve para receber: 1.0 as notas

diárias de aula de todas as matérias de qualquer classe do curso preliminar, durante um anno completo;

2.° As notas semanais de procedimento, applicação e regência;

3.° As notas dos boletins mensais; 4.° As notas do exame de promoção no fim do

a-nno; 5.0 A matéria dada em cada aula, as presenças,

as faltas. Tem lugar para 55 alumnos em cada classe. No comêço do caderno, há uma tira de papel para

receber, uma só vez durante o anno todo, os nomes dos alumnos; esta tira dobra·se e desdobra·se para o caderno inteiro, de modo que é inútil copiar esta lista no início de um mez novo ou para nova matéria.

O registro n. 4 consta de 75 páginas de notas. diárias, 9 de boletins mensais e 1 de boletim mensal e exame de promoção.

Basta um registro n . 4 p ara cada turma do curso primário durante um anno lectivo.

REGISTRO N. 5. - Mappas individuais de notas mensais e annuais para o curso primário.

Este registro n. 5 encerra, numa página especial para cada alumno do curso primário, as notas merecidas nas várias disciplinas no fim dos mezes escolares, assim como as das médias annuais, dos exames e das médias gerais.

Tem espaço para 64 alumnos. Durante u"l anno lectivo, um dêstes registros n.

5 é &ufficiente para cada turma do curso primário.

LEITURA PORTUGUESA

" Quadros murais, de dupla face, para ensinar o alphabeto pelo méthodo simultâneo.

Novos prineípios de Leitura, ou Oartilha para os que ainda não sabem ler; 80 páginas, fartamente illustradas.

Guia da Infância, ou 2.° Livro de Leitura, l.a parte; umas 150 páginas, com ·numerosas figuras; contém assumptos morais e lições de cousas.

Guia da Infânda, . ou 2.0 Livro de Leitura, 2.a parte; umas 150 páginas, com numerosas figuras; é a continuação da La parte.

Guia da Infâneia, ou 2 .° Livro de L eitura, l.a e 2.a

parte reunidas; umas 300 páginas; é um livro completo para õ ensino da leitura corrente.

O primeiro livro de André, l.a parte, Leitura e recitação; umas 150 páginas, illustradíssimas; encerra: lições de leitura, vocábulos explicados, exercíciO!! a escrever, questionários e numerosas· poesias.

O primeiro Livro de André, 2.a parte, Leitura 6 recitação; umas 150 páginas; é a continuação do livrinho precedente e obedece ao mesmo plano.

Noções de Seiências pbysicas e naturais; 4 .° Livro à. Leitura; umas 400 páginas com numerosas figuras explicativas. Contém um pouco de historia natural, de physica de chímica e de hygiene e em particular o programma para a admissão ao Collégio Pedro II.

Instrucção moral e eívica; óptimo livro para dar a conhecer e fazer amar o Brasil.

l\ofanual de civilidade; ensina agradavelmente os bons modos na sociedade.

HISTORiA SAGRADA

Historia Sagrada, curso elementar, 112 páginas, 2.° Livro de leitura i estylo simples, numerosas figuras.

Historia Sagrada, curso médio, ou 8.° Livro de Leitura; mais de 300 pag.; numerosas illustrações. Contém a história do povo de Deus, a vida de Jesus Christo e um resumo da história da Igreja até hoje.

Historia ' da Religião e da Igreja por M on8r. Oatily; mais de 700 páginas; é um verdadeiro curso supe· rior desta matéria.

CALLlGRAPHIA - CALCULO

Cadernos de calligraphia, formato oblongo, ns. 1, 2, 3", para estudar o alphabeto minúsculo e maiúsculo; ns. 4 e 5, applicações variadas, escripta vertical; n. 6, redonda; n . 7, bastarda e góthica; n . 8, aplicação de todos os gêneros de calligraphia.

Caderno de algarismos, para ensinar os algarismos e as operações mais elementares aos principiantes.

Primeiro livrinho de cálculo, ensino intuitivo da nume· ração e das 4 contas; numerosíssimas gravuras.

Exercidos de Cálculo, sem problemas, sôbre as -4 operações.

800 Problemas sôbre as 4 operações; de grande simplicidade e graduados.

Exercicios de Cálculo, com problemas sôbre as 4 operações.

Parte do mestre, a mesma para os 3 livros precedentes.

INGUS

Língua Inglesa, Primeiro Méthodo, ou primeiro a.nno de Inglês; ensina umas 1500 palavras, a gramo mática essencial, numerosas expressões idiomáticas e dá a pronúncia de cada vocábulo novo.

O mesmo livro, parte do mestre. Língua Inglesa, novo méthodo, ou 2.° anno de Inglê8. O mesmo livro, parte do mestre. Primeira Selecta Inglesa: cada trecho v~m precedido

de todos os vocábulos ainda nã-o encontrados, com o sentido em português e a pronúncia em inglêe; esta Selecta pode usar-se logo depois do Primeiro Méthodo.

Segunda Selecta Inglesa: encerra numerosíssimos trechos que serviram nos exames officiais do Brasil.

Grammática Inglesa, para uso dos Estudantes dos Gymnásios, Escolas Normais, Academias <de Com· mercio, etc. Dá a matéria de qualquer exame de Inglês no Brasil.

Exereícios Ingleses, ou desenvolvimento e applicação da Grammática Inglesa.

O mesmo livro, parte do mestre.

Na lIlama

........ Iere AlI .. .;.. d. Françalo: ... or.abullirios. ...erbos regulares e irregulares, grammãtica rudimentar e méthodo directo.

Lo Galeie de l'EIlfaaee. ou 1.° Livro d8 LeU.- fra, •• ceza,; • ... ocábulos. trechos de leitura e qlleatlonArios para & conversa.

F.hles de I. FODia'De et d'.utre8 F.I .. lllstel fr.a~ai., as 1II&is interessantes e mais úteis psra a ju ... entude e os estudos. .

Lo 2 ... Livre d'Alldré, ou 9.0 Livro de Leitura, frM<' ""''''; vocAbnl08. treebos instructivos e perguntas pIna facilitar a conversa em frllnch.

Antllolosla fraacua, encerra numerusos trechos matructivos para a aprendizagem da literatura franceRa.

LATIM

Çra\Dmoiúea "'tiaa, c-ur60 elementlJr por Ragon, 200 páginas. para uso dos principiantes. TP.III a matéria

.j!ufficieflte para o latim da 4..' série .10 CoJlégio P edro II e prepara á G .. """mática Lat ítt a. c,"",pl.ta do mesmo autor.

Moaelra Seleeta Latia.. 224. páginas, encerrand" a maior parte do Epítome e do De Vi ris de Lhomond e FábulM .. colhidas d8 Phedro. Esta Selecta ~erve utilmente C01ll0 primeiro li\"ro de traducção latina. -

Crammátlca LatiDa, llor Raoon, programma eompleto dOi! exames. M"gnifico e pro\"eitosissimo compêndio escolar.

PrimeIro. Exereíeloa de L.tlm. - Tem a parte do l'Ilp.lJtr4! .

OcIes de H,!ráclo a8 que servem nos exames f)fficiais.

HISTORIA DO BRASIL

1.- - Rbtó .... do &ruO, euno elementar, por per~unta. e ...... postas ; 96 páginas. profusamente illu.trado. com explleaç/óo dos vocabulos em bai"o das páginas ;

• prOl(l"llmma das escolas primarias e d08 alumnos qll.e principiam a história·pitria .

•• 0 _ Rln'"a de Br •• II. euno médio, ens ino pl'imãrio .. .ecundirio. 14.8 páginas, con variadíssimas eatilmllas. Destina' J!e a alumnos d~ 12 parn 14 anllOR. TermIna por uma pequena Ohrollologia da Hi.t~ ~ia do Brasil, excellente re.uli1o de todo o livrQ. I

8.° - Ri tórl. do Br .. lI. eano aperier, parll uso dos Gymll ... ios, progr_ma de admis9ão a todas li. Escol,,"

RU:,,"r-iorf's ; numerosos msppas e esplêndidas gJ"a"U'·:!.' ; 596 piginaa ; texto mantido em dia .... gundo o~ lJuU8 recentes acontec~mento8 .

HISTORIA l JNIVERSAL

1.° - RI",érl. UIlJ:yenal, eu"o médio, pal'a u~o _loR Gynlllá8ios. programma de adnlÍs_ á. Escolas SU!J,>riores; 4.33 páginas, illu8trado com mllPpas e graVtlraR. Claro. methódico, em (>stylo simples e Il t C"eH:-: í\'f"l, deecreve 08 factos sob um aspp('to digno, moral e rigor<1 amente históri("O.

2.- - Hbtórla UnIY."", eur.o .. perior, para uso dOf' G:vmnásios. progrRmma de admi88 Í4o a fodJlR àS E"colas Superiores, illustrsda com mappas e gravu· ra"; em doi8 volume. de 400 e 500 páginas.

O 1.0 tomo vai deode a origem até o fim do império de ('arlos Magno. O 2.. tomo conta a história da humanidade d""de Carl"" Magno aLé O~ tempos actuais.

S. o - Ati.. de GeoFaplú. hbtórie., próprio para as - 'l'fmJn.'t-. ~ ~.llit(b 'Ít81 'U'(1k -h'i(fUffil18 heKejo~o~ fte lazer holl~ t!~tucin8 hiRtórir08.

GEOGRAPHIA - COS"OCRAPHI,\ Geop:rar,hla, rurso elrmenttlf, téltn ~ft . tlU\.]lpaS a

preto, panl prineipiantt"R. Geographia, U,'ro I, texto só , sprn m~I'J.'d ~~ . l)rogramma

do 1 .° Rnno do Collégio Ped r o II . Choro~ ... pbla do Brll8il. segundo os progrsmmafil offi ·

ciais. Cuno de CO!'ll11ographia eletnt"ntar, progra mma orfirial

CUInHINo.

~~!III!fLA.s - 1 .• Grupo

~.p"la Ali ... ou __ .ma,., para principiantes . ·Ge ...... phl • .u... "","BO ",idi<>, admissio a várias

escolas superfloreB. ~r.phl. Ad... _rBo ItUpfTÍor, 1)1'Ogr&mma eum·

pleto do CoUéglo Pedro II .

GEOGRAPlfIA·A.TLAS - S •• Grupo

Geo .... phl .. Ati ... C'U'80 elfmentar. para principiantes. Geo .... phl. A'lu. livro I, pr~ . -do 1.0 anno do CoI·

légio Pedro II. Geosraphl. Ati ... livro 11, prog. do 2 .° anno do

Collégio Pedro II. Pequeao Ati ... Hbtórieo. para o estudo ds Hiat. Univ.

e do Brasil. C ..... o de Co ........... I. elempntar, l)rogrsmma oUielal

completo.

PllYSICA

Ne~ de Sdênelu. ph,lleu, ehi ... e •• fi natura'_, 1'0'1'

F . T .D. ensino primário; admissão ali curso gym· nasial.

Pb.,..lea, C'flrso rll.{~dio, f,or uma reun ião dt.. lIrOf68sores: progr. de admissAo a ,..-árias escolas 8uperiot~: em especial. o programmll da$ 3 prime ii'''" série. do cur80 gymnasial.

Phyalca e Chimiea, ("UrNO mAdiu; num l i .... ro s6 encerra o progrBmma comp:et<l da 1.'. da 2.' e da 3.' série gymna.ial.

Phy.lea, cur80 secunddrio. programma gymnasial com· pleto. das 5 .ér;"s. O ml'SlDO livro. 7Ja,rt~ do mutre. •

PLYI!I~3, curso Nupe,.,ioT. programma completo .ara qualquer exame do ensino seeolHUrio e húa. ~ .. rte dOR programm8s do eftAino superior, em • 10010._

Problema. de Ph,.,I"a, /,or Eduardo Bmnlll. enuncia· dos e soluções completas; procramma olficial de qu"lquer .érie gymnaeial.

CHIMICA

CII'mlea. ""rso mMio, por uma rellnili.o de pr<tf ... sore8; progr. de admJ~8ão .. \"Arias escolas ,uperlor~.; maio parti"ularm,,"te o JU"OI"ramma das 3 primeiras séries do ~ur..a gym888iaI.

Chímlca, curso Ifec undd rio, programma gymn81dal eom· pleto. da. 5 primeiras ~ries. O »tesmo lino, " .. rte do _ .. trB.

U,õea 41., Glmlq, })o,. J .. , jln.tm, r_o ,"",erior, teDlo I, MBtulloid8B. Programma especial da 4..' série gymnasial.

lJ~õee de Chiml..... C'UT~Q aup,ríor, tomo II, M ,tlJi •• por J . BtI.',.; programma da 5.' sme gymnaaial.

Llçõe. de Chhnlca. "",rao ""1H'rior. por J. Btuin. tomo III. contendo CMmiM. G.ral, a ChímioeG O,g&..ica e .. Andly •• Chímiea,. Programma da 5.' !lérie gymna.ial.

Liçõe. de Chilnlu, curao """.rior , temo IV procram· ma dI" ph)'Rico·ebimioa e theoria ",odern.. sobre a m"téria.

E te curso aup~rio,. 'Ie Chi .. lea serve para a admi&sio a qualquer ElIOOla Snperior e contêm ainda a ma.,;.ia de Dum8J"0808 pontos dos I,rovam· maR do en~illO superior.

......... _.. 01 .. Chimf<'.1 18~ enllndadOll a soluçiles com"leto. de questões _lliométri~~Ddo 08 prOJrrammas gymnaaiais elll vicor. E' • Vari. do mutr. ·do to .. o I, de Chfmiea .. <!. 8 UQ. ~ .r . ~ __

HISTORIA NATURAL

Elemf"ntos de H'atorta Natural, 'P"r F . T . D ., CUT"O

wlldio, progrnnnna. rias 1 .·, 2.a e 3 .3 série gymnasiul e de adlll isF08.0 R. viriaM escolas superiores.

Hittorla Natura). por I'. T. D., ('ur80 1Nl/l"rior, admisI\iio 8. toda8 as (>srn13s superiores; ellC:'Pr tl a matéria rompl"ta da 4..' e da 5." série do oun.> gymnasi. l.

TOlllo I. A 11th ropologia. Zoologin; Tomo II, BotAni~8;

Tomo III, Mineralogia, G(>ologia.

PARA MAIR J ... rvno~, PEDIR 'ATÁT~OOO .

TYP. 81'1\1111&4 - Rna Libero Badar6. 14·0 - Eaq. da A .... 8. Joio -8. Paulo

METHODO DOS PONTOS DE FUGA , 9

sua projecção sôbre o geometral em xv, linha de terra,

O ponto p é a projecção, no plano geometral, do ponto de vista P. A perpendicular a xv, pv, é a projecção do' raio principal PV, de modo que v é a projecção horizontal do ponto principal.

A distância pv representa a distância do observador ao quadro.

Costuma - se,

Ii. ,"~.

,,' ' ..

para simplificar o , ..... : ..... ::,:M:-----~---"7 ..... -desenho) supprimir Plano neome!ral.J ' - '-' ~ ' _ :., os limites do plano .7 -- -- ~_-~~~~:,::..-:L=."';'" geometral, aliásinde- '-_______ --:~~;.:;-;;;.---. _______ _ finido, conservando - ' x apenas a epura como se vê na figura 13 (bis).

p:G. '.

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\ I ;)::" ~V' 'Y

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i \ i \. I

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FIG. 13

Plano !Jeomefml. / /

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x\ f /Y

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\ I I • I .

\ I .' \' I ., jJ

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I

FIG. 13 (bis).

FIG. 12.

xv, representa a largura do quadro. O angulo xpy é o angulo óptico

quadro. b) QUADRO. - Uma vez conhecido

o plano geometral, passamos á construcção do quadro. (Fig. 14).

Q D H V K ~ -. ' _.- . _._ -0_ ' __ --'_' - '- _ ._. ___ .,.-

x y FIG. 14.

Toma-se a largura xy (fig. 12 e 14 directamente no geometral da figura. 13. (1)

Levantam-se nas extremidades perpendiculares a xv (fig. 12 e J 4) que limitam o quadro lateralmente.

Traça-se HH', parallela a xy (fig. (12 e 14) e a uma distância desta i~al á

(1) Deve-se tomar esta largura na figura 13 e não na figura 12, pois é sómente naquella que a largura do quadro é dada em verdadeira grandeza. Transporta-se esta medida com a régua, ou melhor, com uma. tira de papel.

perspectiva exacta.pdf

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