1CIV 457 - CONCRETO PROTENDIDO

Perdas de Protenso

Gustavo de Souza Verssimo & Klos M Lenz Csar JrConcreto Protendido - Fundamentos BsicosUniversidade Federal de Viosa, novembro de 1998.

20,0 m

16

40 cm

20

20

60

A) Propriedades da seo

Ac cm= + =20 40 2 16 60 2 560 2.y cm= 50

J cm4= =40 10012

212 60

122 901333

3 3

. .

cm3WJy

= = =2 90133350

58 027. .

.

B) Materiais

Concreto: fck = 30 MPa

E fc ck= + = + = kgf / cm20 9 21000 35 0 9 21000 300 35 345927, . , . .Ao: CP 190 RB

E = 1.950.000 kgf/cm2

fptk = 19.000 kgf/cm2

fpyk = 17.100 kgf/cm2

2C) Cargas

Peso prprio:

g Ac c= = = 2 56010 000 2 500 640..

. kgf / m

Sobrecarga:

q = 1.600 kgf/m

D) Tipo de protenso

Protenso limitada - ps-tenso com bainha metlica

E) Traado dos cabos

20 cm20 cm30 cm

20

20101010

P1P2P3

20

20

30

posio dos cabosna ancoragem

10

20

10

posio dos cabosno centro do vo

Admitindo que cada cabo ter a mesma fora de protenso (P):

Mp = P ( 20 + 30 + 40 ) = 90 P

3F) Clculo das tenses

Mg L

g = = = = kgf.m kgf.cm2 2

8640 20

832 000 3200 000. . .

Mq L

q = = = = 1. kgf.m kgf.cm2 2

8600 20

880 000 8 000 000. . .

g gMW

= = = 55,15 kgf / cm23200 00058 027. .

.

q qMW

= = = 137,87 kgf / cm28 000 00058 027. .

.

G) Estimativa da fora de protenso

Para protenso limitada: Combinao frequente de aes (estado limite de formao de fissuras):

Para seo T no estado limite de formao de fissuras:

ctM ctkf 1 2,ctM ckf (0,06 (0,06 MPa + = + =1 2 0 7 1 2 30 0 7 3 0, , ) , , ) ,adotado 1 = 0,6 g p q+ + 0 6 30, kgf / cm25515 0 6 137,87 30 107 87, , ,+ + p p kgf / cm kgf / cm2 2

WP

AP

WM

AP

c

p

cp

90 3 3 +=+=

2kgf/cm 87,107 027.58

90560.23 =

+P

kgf 616.39 =P fora por cabo

Combinao quase-permanente de aes (est. limite de descompresso):adotado 2 = 0,4 g p q+ + 0 4 0,

p kgf / cm2110 30,2kgf/cm 30,110

027.5890

560.23 =

+P

kgf 509.40 =P fora por cabo

4Para ps-tenso e ao RB, admitindo-se 20 % de perdas, tem-se:

kgf / cm

kgf / cm

2

2 pi ptkpyk

f

f = == =

0 77 0 77 19 000 14 630

0 86 0 86 17 100 14 706

, , . .

, , . .

kgf 50.636 8,0509.40

8,0= ==PPi

H) Dimensionamento da armadura ativa

2cm 46,3 630.14636.50

===pi

ip

PA designao bitola (mm) rea (cm2) n n A folga

CP 190 RB 9,5 9,5 0,548 7 3,84 11 %CP 190 RB 11 11,0 0,742 5 3,71 7 %

CP 190 RB 12,7 12,7 0,987 4 3,95 14 %CP 190 RB 15,2 15,2 1,400 3 4,20 21 %

SOLUO: adotar 5 11,0P Ai pi p= = = 54 kgf . . , .14 630 3 71 277

25,0277.54509.4011folga ===

iPP 25% de folga

Nesse ponto, P1 = P2 = P3. Como as curvaturas dos cabos so diferentes, cada cabosofrer uma perda por atrito diferente e ao final das perdas, P1 P2 P3.

I) Clculo das perdas de protensoI.1 - Clculo das perdas por acomodao da ancoragem:

Admitindo que:

o cabo penetra = 6,0 mm na ancoragem individual por cordoalha; os cabos sero protendidos pelas duas pontas, ou seja, ambas as ancoragens so

ativas.

L = 20 m = 20.000 mm

L = 6 + 6 = 12 mm p LL= = =

12

20 000600 10 6

.

P p pE = = = 600 kgf / cm2 10 1950 000 11706 . . .

% 0,8 08,0 630.14170.1 ===

pi

p

5I.2 - Clculo das perdas por atrito:

- Curvatura dos cabos:

/2

x

y

2

2

/2

tg = yx

= arctg

xy

22

2

2 ==

cabo x y tg [rad] /2 = 2 [rad]1 1.000 40 0,04 0,04 0,082 1.000 30 0,03 0,03 0,063 1.000 20 0,02 0,02 0,04

coeficiente de atrito (cordoalha-bainha): = 0,20atrito devido ondulao parasita: = 0,017 rad/m

( ) P x P ei x( ) ( )= + 1 No centro do vo, x = 10 m:

cabo Pi (kgf) = /2 .x P(x) P/P perda1 54.277 0,08 0,1700 2647 0,0488 4,88 %2 54.277 0,06 0,1700 2440 0,0450 4,50 %3 54.277 0,04 0,1700 2232 0,0411 4,11 %

I.3 - Perdas por deformao imediata o concreto:Ser admitido que as cinco cordoalhas de cada cabo sero protendidas simultaneamente.Assim, o nmero de cabos a considerar n = 3.

Valores da fora de protenso descontadas as perdas por atrito e encunhamento:

P1 = 54.277 ( 1 - 0,08 - 0,0488 ) = 47.286 kgf

P2 = 54.277 ( 1 - 0,08 - 0,0450 ) = 47.492 kgf

P3 = 54.277 ( 1 - 0,08 - 0,0411 ) = 47.704 kgf

Como o cabo 2 ocupa uma posio intermediria, vamos us-lo como referncia.

6As tenses na seo no centro do vo sero:

- coordenada y do cabo 2 no centro do vo: y = 30 cm

+ 33,09 kgf / cm2g gMJ

y= = =3200 0002 901333

30. .. .

kgf.cm 280.274.4 30492.473 ==pM2kgf/cm ,8599 30

333.901.24.274.280

560.23.49247 ==P

= = =EE

p

c

1950 000345927

5 64. .

.,

( ) p cp cg n n= + 122kgf/cm 125,51 =

3213)09,3385,99(64,5

+= P

% 86,0 630.14

51,125 ===Pi

Pperda

kgf084.47 100

86,01 492.47 2 =

=oP

Totalizao das perdas imediatas:na ancoragem: 8,00 %por atrito dos cabos: 4,50 %por deformao imediata do concreto: 0,86 %

total: 13,36 %

I.4 - Perdas devido retrao do concreto:dados admitidos:

umidade relativa: U = 60 %

temperatura mdia: T = 22 Cslump: 8,0 cm

tempo inicial: to = 28 dias

tempo final: t = 3.000 dias (aprox. 8 anos)

12

66 16484 1590

10 000 401 982 10sU U= +

=

,.

. ,

( ) = + = +1 11657 8 0 1 e U, , ,

7hA

uficc

ar

.560 cm= = = 2 1165 2 2

28820 711, , = 0,207 m

20 33 20 21 3

0 895sfic

fic

hh

= ++ =

,,

,

cs s s = = = 401,982 ,895 1 2 6 610 0 359 774 10,

A = 40

B = 116 h3 - 282 h2 + 220 h - 4,8 = 29,685

C = 2,5 h3 - 8,8 h + 40,7 = 38,901

D = -75 h3 + 585 h2 + 496 h - 6,8 = 120,273

E = -169 h4 + 88 h3 + 584 h2 - 39 h + 0,8 = 18,221

( hfic = 0,207 m )

s tt

At

Bt

tC

tD

tE

( ) =

+

+

+

+

+

100 100 100

100 100 100

3 2

3 2

idade fictcia o concreto:

retrao: = 1to fic_ ,= + =22 1030 28 29 867 dias

t fic = + =22 1030 3 000 3200. . dias

s t( ) ,= 0 977s ot( ) ,= 0 216

( ) ( )[ ] cs o cs s s ot t t t( , ) = = [ ]= = 359 774 10 0 977 0 216 273 788 106 6, , , ,

Ps p cs oE t t -1.950.000 (-273,788 10 ) 533,89 kgf / cm-6 2= = =( , )

perda PsPi

3,65 %= = =533 8914 630

,.

encurtamento da pea:

L t t Lcs o - 273,788 10 .000 -5,48 mm-6= = = ( , ) 20

I.5 - Perdas devido fluncia do concreto:

8( ) ( )[ ] ( , )t t t to a f f f o d d = + + idade fictcia o concreto:

- para cimento CP, = 2 no clculo do coeficiente de fluncia. Assim,

to fic_ ,= + =2 22 1030 28 59 733 dias

t fic = + =2 22 1030 3000 6 400. . dias

f tf t

t tt t

c o

c

o o

o o

( )( )

( )( )( )

,

= ++ + =9 42

9 40 610 784

a c oc

f tf t

= =0 8 1 0 173,

( )( )

,

1c = 4,45 - 0,035 U = 2,3502

0 420 20

1 540cfic

fic

hh

= ++ =,,

,

f = 1c 2c = 2,350 - 1,540 = 3,620d = 0,4

d oo

t tt t

= + + =2070

0 992,

A = 42 h3 - 350 h2 + 588 h + 113 = 220,14

B = 768 h3 - 3060 h2 + 3234 h - 23 = 522,36

C = -200 h3 + 13 h2 + 1090 h + 183 = 407,53

D = 7579 h3 -31916 h2 + 35343 h + 1931 = 7949,20

f t t A t Bt C t D( ) ,

= + ++ + =2

2 0 972

f o o oo o

tt A t Bt C t D

( ) ,

= + ++ + =2

2 0 481

[ ]( , ) , ,t to ,173 3,620 ,4 ,992 2,347= + + =0 0 972 0 481 0 0( ) ( ) kN026.471336,01277.54%36,131 === io PP

na altura da fibra correspondente ao cabo 2:

92kgf/cm87,9830333.901.2

30026.473560.2

026.473303033 ===

JP

AP o

c

ocPo

2kgf/cm 675.1271,3026.47 ===

p

oPo A

P

Pcg cPo

cPo

Po

= +

=

( )

1 12

2kgf/cm 80,962

2347,21

675.1287,98,6451

),879809,33(,3472,645 =

+= P

% 6,58 630.14

80,962 ===Pi

Pperda

I.6 - Perdas devido relaxao do ao de protenso:tempo inicial: to = 28 diastempo final: t = 3.000 dias (aprox. 8 anos)

ao RB

Piptkf

= =14 63019 000

0 77..

, 1000 = 0,032 (3,2 %)

% 061,01000

24)28000.3( 320,0 1000

),(15,015,0

1000 =

=

= horastttt oo

a perda por relaxao pura ser:

kgf/cm 887,94 = 061,04.6301 = ),( . ),( 2Pr = oPoi tttt i As perdas de protenso devido retrao e fluncia do concreto so:

kgf/cm 1497 = 962,80 533,89 2, += + sP

2,PrPr kgf/cm 797,08 = 630.14

14971 887,94 = 1 ),(

= +

i

iP

sPott

% 5,45 630.14

08,797 Pr ===Pi

perda

I.7 - Totalizao das perdas:na ancoragem: 8,00 %

10

por atrito dos cabos: 4,50 %por deformao imediata do concreto: 0,86 %devido retrao do concreto: 3,65 %devido fluncia do concreto: 6,58 %devido relaxao do ao de protenso: 5,45 %

total: 29,04 %

I.8 - Ajuste da armadura:

As perdas estimadas inicialmente foram de 20 % e o ajuste da armadura ativa conduziua uma folga total de 25 % em relao fora de protenso teoricamente necessria.Pode-se corrigir a fora de protenso e a armadura ativa ou adotar a primeira soluocom um erro de 4 %.Adotar uma cordoalha a mais de 11,5 resultaria em:6 11,5 mm Ap = 4,45 cm2 Pi = 65.133 kgf folga de 37,8%Adotar 4 cordoalhas de 1/2" resultaria em:4 12,7 mm Ap = 3,95 cm2 Pi = 57.759 kgf folga de 29,9%Percebe-se. Sem necessidade de novos clculos, que a adoo de 4 12,7 mm dar umaaproximao melhor do que 6 11,5 mm. Recomenda-se, portanto, adotar 4 12,7 mm.Assim, considerando aproximadamente 30% de perdas, Po 40.431 kgf.