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Pequenas Oscilações Estágio Supervisionado de Docência Eduardo B. Guedes 01/10/2012

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oscilaciones

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  • Pequenas Oscilaes

    Estgio Supervisionado de Docncia Eduardo B. Guedes

    01/10/2012

  • Introduo

    A Lagrangeana para uma partcula de massa m sob a ao de um potencial U(x) se escreve:

    )(2

    1 2 xUxmL

    UTL

    Se U(x) tem um mnimo em x = x0 e queremos estudar o movimento nas proximidades do mnimo, podemos expandir o potencial numa srie de Taylor:

    ...))(("2

    1))((')()( 200000 xxxUxxxUxUxU

  • Introduo

    Fazendo as seguintes mudanas de varivel, obtemos a Lagrangeana de um oscilador harmnico:

    2

    0

    2

    0000

    2

    1

    2

    1

    )(";)(;)()(

    kqUqmL

    xUkxUUxtxtq

    A mesma coisa acontece quando temos N corpos. Em especial, estamos interessdos no problema de N osciladores interagentes, que realizam seus movimentos ao redor de um mnimo. Vejamos um exemplo simples.

  • Introduo

    Sistema com 2 massas e 3 molas:

    k k k

    x

    A segunda lei de Newton para as duas massas (m1 = m2 = m) se escreve:

    )(

    )(

    1222

    1211

    xxkkxxm

    xxkkxxm

    Equaes acopladas!!

  • Introduo

    Porm, podemos fazer uma mudana de coordenadas esperta

    )cos()(

    )cos()(

    2222

    1111

    tat

    tat

    22

    11

    122121

    3

    ;

    km

    km

    xxxx

    para obtermos:

    Equaes desacopladas!!

    Essas novas coordenadas so chamadas de modos normais e obedecem equaes deoscilador harmnico desacopladas, cujas solues so:

  • Introduo

    Nas coordenadas originais do problema:

    )]cos()cos([2

    1)(

    2

    1)(

    )]cos()cos([2

    1)(

    2

    1)(

    222111212

    222111211

    tatatx

    tatatx

    As constantes so obtidas das 4 condies iniciais.

    O movimento de x1 e x2 uma superposio de oscilaes com essas frequncias.

  • Introduo

    Uma escolha conveniente de condies iniciais pode fazer com que apenas uma das frequncias seja excitada:

    1

    1;

    1

    1

    )cos()(

    )()(

    21

    2,12,12,12,1

    2

    1

    2,1

    aa

    actx

    txt

    C.I.s tais que a2 = 0 C.I.s tais que a1 = 0

    )()(

    )cos(2

    )(

    )cos(2

    )(

    21

    111

    2

    111

    1

    txtx

    ta

    tx

    ta

    tx

    )()(

    )cos(2

    )(

    )cos(2

    )(

    21

    222

    2

    222

    1

    txtx

    ta

    tx

    ta

    tx

    Movimentos onde as coordenadas x1 e x2 vibram com apenas uma das frquncias naturais se chamam modos normais de vibrao. A soluo geral do problema uma mistura deles!

  • Introduo

    O regime de pequenas oscilaes nos leva a equaes lineares. Desse modo, sempre possvel encontrar N modos normais de vibrao, que oscilam com frequncias normais (ou naturais) bem definidas. Esses modos so linearmente independentes e o movimento geral do sistema pode ser escrito como uma superposio (combinao linear) de modos.

  • Teoria

    De um modo geral, podemos escrever a energia cintica de um sistema de

    N corpos em termos das coordenadas generalizadas:

    k

    N

    kj

    jjk qqMT

    1,2

    1

    E o potencial (que agora depende de vrias variveis):

    ),...,( 21 NqqqUU

  • Teoria

    Estamos interessados no movimento em torno do mnimo x0, podemos fazer:

    ...))((2

    1

    )(),...,(),...,(

    1,

    00

    0

    2

    1

    0

    0

    000

    121 2

    N

    kj

    kkjj

    kj

    N

    k

    kk

    k

    N

    qqqqqq

    U

    qqq

    UqqqUqqqU

    N

    A condio de mnimo nos garante que:

    0

    0

    kq

    U

  • Teoria

    Definimos a matriz Hessiana:

    0

    2

    kj

    jkqq

    UA

    E utilizamos como coordenadas o desvio mnimo

    0qqx kk

    Para obter

    N

    kj

    kjjkk

    N

    kj

    jjk xxAxxML1,1, 2

    1

    2

    1

  • Teoria

    As equaes de movimento so acopladas:

    ),...,1(

    11

    NkxAxM

    x

    L

    x

    L

    dt

    d

    N

    j

    jkj

    N

    j

    jkj

    kk

    Como encontrar as frequncias naturais e os modos normais de vibrao desse sistema?

  • Teoria

    Vamos supor que todas as coordenadas oscilam com mesma frequncia e fase:

    )cos()( tatx jjj

    Obs.: esse no o movimento mais geral, mas estamos interessados em descobrir os modos normais de vibrao e suas respectivas frequncias naturais (ou caractersticas).

  • Teoria

    Substituindo nas equaes de movimento, encontramos:

    0~~ 2

    11

    2

    aMA

    aAaMN

    j

    jkj

    N

    j

    jkj

    ou

    Sistema linear homogneo!

    Para haver uma soluo no-trivial, o determinante da matriz deve ser nulo:

    0~~det 2 MA Equao de ordem N para . ( possvel mostrar que TODAS as razes so reais.)

  • Teoria

    A os autovalores desse sistema nos fornecem as frequncias naturais.

    Os autovetores so chamados de amplitudes, e esto definidos a menos de um fator multiplicativo.

    As amplitudes so ortogonais!

    As amplitudes associadas a cada frequncia determinam como cada coordenadas vibra no modo normal correspondente.

    No exemplo da introduo:

    1

    1;

    1

    1

    )cos()(

    )()(

    21

    2,12,12,12,1

    2

    1

    2,1

    aa

    actx

    txt

    )()( 21 txtx

    )()( 21 txtx

  • Teoria

    Ser que os modos normais encontrados desacoplam a Lagrangeana?

    Em forma matricial, temos:

    N

    r

    rrrrr

    rs

    N

    sr

    rrsr

    N

    sr

    srs

    rs

    N

    sr

    rsr

    N

    sr

    srs

    mmL

    aMaaMaL

    aAaaMaL

    xAxxMxL

    1

    222

    1,

    2

    1,

    1,1,

    2

    1

    2

    1

    ~

    2

    1~

    2

    1

    ~

    2

    1~

    2

    1

    ~

    2

    1~

    2

    1

    N

    r

    r

    r

    n tatx1

    )()(

    rrr aMaA

    ~~ 2

    srrrs maMa ,~

    Osciladores desacoplados!

  • Exemplo

    Como exemplo, resolveremos a molcula linear triatmica:

    l

    k k

  • Exemplo

    0;;

    ])()[(2

    1),,(

    31

    2

    13

    21

    2

    12

    11

    2

    11

    2

    2

    23

    2

    21321

    qq

    UAk

    qq

    UAk

    qq

    UA

    qq

    UA

    lxxlxxkxxxU

    kj

    jk

  • Exemplo

    0

    0

    2

    0

    00

    00

    00

    ;

    0

    2

    0

    2

    2

    2

    mkk

    kMkk

    kmk

    m

    M

    m

    M

    kk

    kkk

    kk

    A

  • Exemplo

    0)]2()1(2[

    0

    110

    121

    011

    ;;

    2

    2

    02

    0

    2

    rrr

    r

    m

    k

    M

    mr

  • Exemplo

    M

    m

    m

    k

    r

    m

    k

    21

    21

    1

    00

    33

    22

    11

    1

    2

    1

    ;

    1

    0

    1

    ;

    1

    1

    1

    321 raaa

    Frequncias naturais:

    Amplitudes

  • Exemplo Analisando os modos normais:

    )cos()(

    )cos()(

    )cos()(

    111)3(

    111)2(

    111)1(

    1

    tNtx

    tNtx

    tNtx

  • Exemplo Analisando os modos normais:

    )cos()(

    0)(

    )cos()(

    222)3(

    )2(

    222)1(

    2

    tNtx

    tx

    tNtx

  • Exemplo Analisando os modos normais:

    )cos()(

    )cos(2

    )(

    )cos()(

    333)3(

    333)2(

    333)1(

    3

    tNtx

    tNr

    tx

    tNtx

  • Espectro de Fnons

    Modos normais!

    Equao para um oscilador harmnico!

    un-1

    n+1 n-1