pequenasoscilacoes

Pequenas Oscilaes

Estgio Supervisionado de Docncia Eduardo B. Guedes

01/10/2012

Introduo

A Lagrangeana para uma partcula de massa m sob a ao de um potencial U(x) se escreve:

)(2

1 2 xUxmL

UTL

Se U(x) tem um mnimo em x = x0 e queremos estudar o movimento nas proximidades do mnimo, podemos expandir o potencial numa srie de Taylor:

...))(("2

1))((')()( 200000 xxxUxxxUxUxU

Introduo

Fazendo as seguintes mudanas de varivel, obtemos a Lagrangeana de um oscilador harmnico:

2

0

2

0000

2

1

2

1

)(";)(;)()(

kqUqmL

xUkxUUxtxtq

A mesma coisa acontece quando temos N corpos. Em especial, estamos interessdos no problema de N osciladores interagentes, que realizam seus movimentos ao redor de um mnimo. Vejamos um exemplo simples.

Introduo

Sistema com 2 massas e 3 molas:

k k k

x

A segunda lei de Newton para as duas massas (m1 = m2 = m) se escreve:

)(

)(

1222

1211

xxkkxxm

xxkkxxm

Equaes acopladas!!

Introduo

Porm, podemos fazer uma mudana de coordenadas esperta

)cos()(

)cos()(

2222

1111

tat

tat

22

11

122121

3

;

km

km

xxxx

para obtermos:

Equaes desacopladas!!

Essas novas coordenadas so chamadas de modos normais e obedecem equaes deoscilador harmnico desacopladas, cujas solues so:

Introduo

Nas coordenadas originais do problema:

)]cos()cos([2

1)(

2

1)(

)]cos()cos([2

1)(

2

1)(

222111212

222111211

tatatx

tatatx

As constantes so obtidas das 4 condies iniciais.

O movimento de x1 e x2 uma superposio de oscilaes com essas frequncias.

Introduo

Uma escolha conveniente de condies iniciais pode fazer com que apenas uma das frequncias seja excitada:

1

1;

1

1

)cos()(

)()(

21

2,12,12,12,1

2

1

2,1

aa

actx

txt

C.I.s tais que a2 = 0 C.I.s tais que a1 = 0

)()(

)cos(2

)(

)cos(2

)(

21

111

2

111

1

txtx

ta

tx

ta

tx

)()(

)cos(2

)(

)cos(2

)(

21

222

2

222

1

txtx

ta

tx

ta

tx

Movimentos onde as coordenadas x1 e x2 vibram com apenas uma das frquncias naturais se chamam modos normais de vibrao. A soluo geral do problema uma mistura deles!

Introduo

O regime de pequenas oscilaes nos leva a equaes lineares. Desse modo, sempre possvel encontrar N modos normais de vibrao, que oscilam com frequncias normais (ou naturais) bem definidas. Esses modos so linearmente independentes e o movimento geral do sistema pode ser escrito como uma superposio (combinao linear) de modos.

Teoria

De um modo geral, podemos escrever a energia cintica de um sistema de

N corpos em termos das coordenadas generalizadas:

k

N

kj

jjk qqMT

1,2

1

E o potencial (que agora depende de vrias variveis):

),...,( 21 NqqqUU

Teoria

Estamos interessados no movimento em torno do mnimo x0, podemos fazer:

...))((2

1

)(),...,(),...,(

1,

00

0

2

1

0

0

000

121 2

N

kj

kkjj

kj

N

k

kk

k

N

qqqqqq

U

qqq

UqqqUqqqU

N

A condio de mnimo nos garante que:

0

0

kq

U

Teoria

Definimos a matriz Hessiana:

0

2

kj

jkqq

UA

E utilizamos como coordenadas o desvio mnimo

0qqx kk

Para obter

N

kj

kjjkk

N

kj

jjk xxAxxML1,1, 2

1

2

1

Teoria

As equaes de movimento so acopladas:

),...,1(

11

NkxAxM

x

L

x

L

dt

d

N

j

jkj

N

j

jkj

kk

Como encontrar as frequncias naturais e os modos normais de vibrao desse sistema?

Teoria

Vamos supor que todas as coordenadas oscilam com mesma frequncia e fase:

)cos()( tatx jjj

Obs.: esse no o movimento mais geral, mas estamos interessados em descobrir os modos normais de vibrao e suas respectivas frequncias naturais (ou caractersticas).

Teoria

Substituindo nas equaes de movimento, encontramos:

0~~ 2

11

2

aMA

aAaMN

j

jkj

N

j

jkj

ou

Sistema linear homogneo!

Para haver uma soluo no-trivial, o determinante da matriz deve ser nulo:

0~~det 2 MA Equao de ordem N para . ( possvel mostrar que TODAS as razes so reais.)

Teoria

A os autovalores desse sistema nos fornecem as frequncias naturais.

Os autovetores so chamados de amplitudes, e esto definidos a menos de um fator multiplicativo.

As amplitudes so ortogonais!

As amplitudes associadas a cada frequncia determinam como cada coordenadas vibra no modo normal correspondente.

No exemplo da introduo:

1

1;

1

1

)cos()(

)()(

21

2,12,12,12,1

2

1

2,1

aa

actx

txt

)()( 21 txtx

)()( 21 txtx

Teoria

Ser que os modos normais encontrados desacoplam a Lagrangeana?

Em forma matricial, temos:

N

r

rrrrr

rs

N

sr

rrsr

N

sr

srs

rs

N

sr

rsr

N

sr

srs

mmL

aMaaMaL

aAaaMaL

xAxxMxL

1

222

1,

2

1,

1,1,

2

1

2

1

~

2

1~

2

1

~

2

1~

2

1

~

2

1~

2

1

N

r

r

r

n tatx1

)()(

rrr aMaA

~~ 2

srrrs maMa ,~

Osciladores desacoplados!

Exemplo

Como exemplo, resolveremos a molcula linear triatmica:

l

k k

Exemplo

0;;

])()[(2

1),,(

31

2

13

21

2

12

11

2

11

2

2

23

2

21321

qq

UAk

qq

UAk

qq

UA

qq

UA

lxxlxxkxxxU

kj

jk

Exemplo

0

0

2

0

00

00

00

;

0

2

0

2

2

2

mkk

kMkk

kmk

m

M

m

M

kk

kkk

kk

A

Exemplo

0)]2()1(2[

0

110

121

011

;;

2

2

02

0

2

rrr

r

m

k

M

mr

Exemplo

M

m

m

k

r

m

k

21

21

1

00

33

22

11

1

2

1

;

1

0

1

;

1

1

1

321 raaa

Frequncias naturais:

Amplitudes

Exemplo Analisando os modos normais:

)cos()(

)cos()(

)cos()(

111)3(

111)2(

111)1(

1

tNtx

tNtx

tNtx


)cos()(

0)(

)cos()(

222)3(

)2(

222)1(

2

tNtx

tx

tNtx


)cos()(

)cos(2

)(

)cos()(

333)3(

333)2(

333)1(

3

tNtx

tNr

tx

tNtx

Espectro de Fnons

Modos normais!

Equao para um oscilador harmnico!

un-1

n+1 n-1

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