pensamento geomÉtrico dos alunos do ensino mÉdio de uma ... · resumo a pesquisa objetiva...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO

INSTITUTO DE EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO

KÁSSIA ANITA DE FREITAS RODRIGUES FERREIRA

PENSAMENTO GEOMÉTRICO DOS ALUNOS DO

ENSINO MÉDIO DE UMA ESCOLA PÚBLICA DE

CAMPO NOVO DO PARECIS - MT

CUIABÁ-MT

2018

KÁSSIA ANITA DE FREITAS RODRIGUES FERREIRA

PENSAMENTO GEOMÉTRICO DOS ALUNOS DO

ENSINO MÉDIO DE UMA ESCOLA PÚBLICA DE

CAMPO NOVO DO PARECIS - MT

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Educação da Universidade

Federal de Mato Grosso como requisito para a

obtenção do título de Mestre em Educação. Área

de Concentração: Educação. Linha de Pesquisa:

Educação em ciências e Matemática

Orientador/a: Prof. Dr. Adelmo Carvalho da

Silva

Cuiabá-MT

2018

AGRADECIMENTOS

Agradeço a DEUS que é dono de todo conhecimento e que me permitiu concluir

mais uma etapa no projeto da minha vida. Obrigada pelo dom da vida e pelas alegrias

vividas nesses dois anos.

Aos meus pais Silene Queiroz de Freitas Rodrigues e Emanuel do Nascimento

Rodrigue pelo apoio e por se alegrarem com minhas conquistas e aos meus irmãos pela

presença constante.

Ao meu querido esposo Leandro Henrique Ferreira, pelo apoio, pela paciência,

pelo amor e todo carinho do mundo dedicados a mim durante esses nove anos juntos. “No

fim será só eu, você e Deus”.

Ao meu querido orientador Professor Doutor Adelmo Carvalho da Silva por

acreditar na minha pesquisa e pela orientação, a qual sem ela não teria conseguido.

À minha banca, Professor Doutor Almir César Cavalcante e Professora Doutora

Eliana Alves Pereira Leite, pela atenção e pelas ricas contribuições dadas a este trabalho.

Às irmãs que o mestrado me concedeu Marcela Bonnet Becher Shavaren e Lenir

Tomazell, pela amizade, companheirismo e parceria durante esses dois anos de convívio.

Amo vocês!

Às minhas parceiras de 65, Daniela Maria de Almeida LIMA, Valquíria

Perassolo, Vanessa Lacerda Tarouco, obrigada pela alegria de conviver com vocês!

À melhor turma de mestrado em Educação do PPGE; Clemilson, Cleber,

Lucenildo, Elisete, Sandro, Benedito Eduardo, Rosilda, Ricardo e Dóris, sem vocês não

seria tão divertido esses dois anos!

Ao (s) amigo (s) que a vida me concedeu que, mesmo longe, foram presenças

constantes, obrigada por serem “janelas” por onde vejo a vida de outras formas. Obrigada

pelas risadas, pelas músicas, pela presença!

À UFMT, ao Programa de Pós-Graduação em Educação (PPGE) pelo acolhimento

e atenção.

À CAPES por financiar a pesquisa.

RESUMO

A pesquisa objetiva analisar os conhecimentos de Geometria dos alunos do Ensino Médio

de uma escola pública de Campo Novo do Parecis -MT. A intenção da investigação é a

produção de dados, de cunho qualitativo, do tipo exploratória e tem por método

interpretativo que permitam responder à questão problema: Que conhecimentos

geométricos relacionados a polígonos e poliedros são apresentados por alunos do Ensino

Médio? Para isso, como objetivo principal propomos analisar o conhecimento geométrico

dos alunos do Ensino Médio. O problema direciona a organização dos dados e a escolha

do referencial teórico exposto no trabalho. Para a abordagem da história da Geometria

utilizamos Eves (1997), Rooney (2012), Piaget e Garcia (2011), Galvéz (1996), Silva;

Valente (2014), Lorenzato (1995), Pavanello (1993). No que se refere às políticas e

documentos oficiais que regem a Educação Básica nos baseamos na Lei de Diretrizes e

Bases para a Educação Básica (LDB), na atual Lei 13.415/2017, nas Diretrizes

Curriculares Nacionais para a Educação Básica (DCN) e nas Orientações Curriculares

para o estado de Mato Grosso, tomando como recorte as orientações para o ensino de

Geometria. Para a organização dos questionários investigativos dos alunos nos baseamos

na teoria de Van Hiele (1957) e nas concepções da didática da Matemática referenciados

em Pais (1996, 2010, 2011). Com intuito de responder à problemática da pesquisa foi

definido, como contexto da investigação, uma escola estadual urbana da cidade de Campo

Novo do Parecis-MT. Tomamos como sujeitos da pesquisa 27 alunos do terceiro ano do

Ensino Médio e o professor de Matemática da referida turma. Como instrumentos de

coleta de dados utilizamos questionários investigativos e de caracterização, entrevista

semiestruturada, diário de campo. Tendo em vista a importância da escolha dos eixos da

análise, organizados para melhor leitura e compreensão dos dados, optamos por defini-

los em Compreensões do professor e dos alunos sobre o pensamento geométrico e

Conhecimentos geométricos. A partir da fundamentação teórica e da análise dos dados

foi possível observar que os alunos apresentam dificuldades no domínio dos conceitos

geométricos de polígonos e, principalmente, dos poliedros, mesmo na última etapa da

Educação Básica. Notamos ainda que os conhecimentos de polígonos, conteúdo

específico do Ensino Fundamental, não foram totalmente assimilados pelos alunos,

influenciando assim, a construção de novos conhecimentos como os poliedros, haja vista

que no Ensino Médio, como apontam os documentos oficiais, os alunos fortalecem os

conhecimentos adquiridos no nível anterior. Portanto, de acordo com o apontamento dos

dados, verificou-se que ao finalizar os estudos básicos os alunos, não apresentaram

conhecimentos geométricos adequados e relacionados ao nível três de Van Hiele, ou seja,

nossos alunos concluem a educação básica com grandes lacunas no processo de

desenvolvimento do pensamento geométrico.

Palavras-chave: Pensamento Geométrico, Educação Matemática, Ensino e

aprendizagem da Geometria.

ABSTRACT

The research aims to analyze the knowledge of Geometry of high school students of a

public school of Campo Novo do Parecis -MT. The intention of the investigation is the

production data, of stamp qualitative, that allow to answer the problem question: What

geometric knowledge related to polygons and polyhedra do the students of the High

School have? For this, as main objective we propose analyze the geometric knowledge of

high school students. The problem directs the organization of the data and the choice of

the referential theoretical in the work. In order to approach the history of Geometry we

use Eves (1997), Rooney (2012), Piaget and Garcia (2011), Galvéz (1996), Silva; Valente

(2014), Lorenzato (1995), Pavanello (1993). Regarding to the official policies and

documents governing Basic Education, we based on the Basic Education Guidelines and

Guidelines Law (LDB), on the current Law 13,415 / 2017, on the National Curriculum

Guidelines for Basic Education (DCN) and on the Curricular Guidelines for the state of

Mato Grosso, taking as clipping the guidelines for the teaching of Geometry. For the

organization of the investigative questionnaires of the students, we are based on Van

Hiele's theory (1957) and on the conceptions of Mathematics didactics referenced in Pais

(1996, 2010, 2011). With the intent to respond to the research problem, was defined as

research context an urban state school in the city of Campo Novo, Parecis-MT. We took

as subjects of the research 27 students of the third year of High School and the teacher of

Mathematics of the said class. As data collection instruments, we used questionnaires

investigative and characterization, semi-structured interviews, field diaries. Considering

the importance of choosing the axes of the analysis, organized to better read and

understand the data, we opted for define them in understanding of Teacher and student

about geometric thinking and geometric knowledge. From the theoretical basis and the

analysis of the data it was possible to observe that the students present difficulties in the

domain of the geometric concepts of polygons, and especially of the polyhedra, even in

the last stage of Basic Education. We also note that the knowledge of polygons, specific

content of Fundamental teaching, were not fully assimilated by the students, thus

influencing the construction of new knowledge such as polyhedra, since in High School,

as the official documents show, students strengthen the knowledge acquired at the

previous level. Therefore, we consider that the students, when finishing the basic studies,

do not present the adequate geometric knowledge and related to level three of Van Hiele.

Keywords: Geometric Thinking, Mathematics Education, Teaching-learning from

Geometry

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - “Os elementos” de Euclides .................................................................. 19

Quadro 2 - Os tipos de Geometrias ......................................................................... 22

Quadro 3 - O ensino de Matemática: finalidades nos PCN 1998 ........................... 38

Quadro 4 - Habilidades e competências na Matemática .......................................... 41

Quadro 5 - Eixos de formação BNCC .................................................................... 46

Quadro 6 - Geometria na BNCC ............................................................................. 47

Quadro 7 - Características dos níveis de Van Hiele explorados na pesquisa

(polígonos) ...........................................................................................

79

Quadro 8 - Características do nível de Van Hiele explorados no conteúdo de

poliedros ...............................................................................................

89

LISTA DE FIGURAS

Figura 01 - Índice de Desenvolvimento da Educação Básica................................... 33

Figura 02 - Resultados do Ideb no Ensino Médio de Mato Grosso........................... 34

Figura 03 - Níveis do Pensamento Geométrico segundo Van Hiele......................... 52

Figura 04 - Questão 1 – nível 0................................................................................ 79

Figura 05 - Questão 2 – nível 0................................................................................. 80




Figura 09 - Questão 1 – nível 1 (Q1/1)...................................................................... 83









Figura 18 - Volume do Paralelepípedo..................................................................... 94

Figura 19 - Resolução pela aluna da questão onze.................................................... 99

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .......................................................................................... 11

1 O ENSINO DA GEOMETRIA NA EDUCAÇÃO BÁSICA ................... 16

1.1 Breve histórico da Geometria enquanto campo da Matemática ........... 16

1.2 Geometria como conteúdo escolar: um olhar histórico sobre o ensino

de Geometria no Brasil ..............................................................................

23

1.3 Cenário da Educação Básica na atualidade.............................................. 29

1.3.1 Considerações sobre a reforma do Ensino Médio......................................... 34

1.4 O ensino da Geometria na Educação Básica: um enfoque nos

documentos oficiais.....................................................................................

38

1.4.1 A Geometria nas Orientações Curriculares de Mato Grosso para o Ensino

Médio............................................................................................................

42

1.4.2 A Geometria na Base Nacional Comum Curricular..................................... 44

2 O DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO...... 50

2.1 Teoria de Van Hiele: concepções sobre habilidades geométricas.......... 50

2.1.1 Propriedades e os níveis de pensamento geométrico................................... 52

3 A METODOLOGIA................................................................................... 57

3.1 Opção metodológica................................................................................... 57

3.2 Contexto da pesquisa.................................................................................. 59

3.2.1 A escola Pitágoras......................................................................................... 59

3.3 Sujeitos da pesquisa.................................................................................... 60

3.4 Instrumentos de coleta de dados................................................................ 61

3.5 Eixos temáticos de interpretação e análise dos dados............................. 62

4 APRESENTAÇÃO, INTERPRETAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS.. 64

4.1 Eixo 1: Compreensões do professor e dos alunos sobre o pensamento

geométrico...................................................................................................

64

4.1.1 O pensamento geométrico na perspectiva do professor............................... 65

4.1.2 A compreensão dos alunos sobre a Matemática e a Geometria ensinada na

Educação Básica ..........................................................................................

70

4.2 Eixo 2: Os conhecimentos geométricos de alunos do Ensino Médio........ 77

4.2.1 Conhecimentos de polígonos........................................................................ 78

4.2.2 Conhecimento de poliedros.......................................................................... 89

CONSIDERAÇÕES FINAIS..................................................................... 102

REFERÊNCIAS.......................................................................................... 108

ANEXOS...................................................................................................... 112

APÊNDICES .............................................................................................. 115

11

INTRODUÇÃO

Uma de minhas primeiras recordações é da vida simples de quem viveu e cresceu

rodeada de matas, cercada pela imponência da diversidade da natureza, com mesa sempre

farta dos mais variados peixes e iguarias provenientes da pesca e da caça. Tal realidade

só é possível para aqueles que tiveram o privilégio de crescer na região Norte do país.

Para aqueles que não conhecem o Norte brasileiro pode até parecer estranho a maneira

como sua população se organiza, que, hoje relembrando, me pego agradecendo por ter

nascido no mais belo lugar, de pessoas amáveis, acolhedoras e unidas. Também pude

experienciar um conhecimento matemático caracterizado por uma tradição e necessidade,

daqueles que nunca pisaram em uma escola, a Matemática presente na construção de

barcos e canoas (pequenas embarcações que servem como meio de transportes para as

águas). Como explicar que meu avô e meus tios, construíam embarcações fluviais

perfeitas, sem nunca estudarem nada de Matemática e de Geometria? Isso não é

conhecimento matemático? Claro! Isso é Matemática, isso é Geometria! Talvez seja por

isso meu fascínio pela Matemática porque vivenciei e presenciei que a Matemática

escolar, organizada em currículos, é somente uma das vertentes de tal ciência que, de tão

grandiosa, ultrapassa os muros escolares e está presente nas várias manifestações da

atividade humana.

A curiosidade sempre esteve presente em minha vida enquanto estudante, a beleza

de criar histórias me fascinava, mas foram os números e a Matemática o caminho que

escolhi seguir enquanto profissão e estilo de vida, sim! Estilo de vida, porque a

Matemática propicia ao indivíduo um olhar mais amplo que vai além de estudos de

demonstrações e técnicas de resolução de algoritmo, pois desperta o raciocínio lógico

prático que acaba por transbordar os limites de conteúdo escolar e fazer parte da vida.

Estudei meu ensino básico na cidade de Humaitá – AM, na escola salesiana Patronato

Maria Auxiliadora, dirigida pela congregação das irmãs Salesianas, mas mantida pelo

estado.

Começo então a cursar a Licenciatura Plena em Matemática, na Universidade do

Estado do Amazonas (UEA), no polo de Humaitá – AM, onde concluí no ano de 2010.

Meu primeiro contato com a prática docente se deu em uma atividade realizada em

parceria com a prefeitura municipal, que consistia em auxiliar alunos de baixa renda com

as atividades escolares, principalmente as de Matemática e Língua Portuguesa. Tal

12

experiência favoreceu meu crescimento e desejo de estudar mais sobre como ensinar

Matemática. Os estágios supervisionados serviram de experiência para entender o

processo ensino-aprendizagem, não obstante no processo de estágio definiu-se meu

objeto de investigação para o Trabalho de Conclusão de Curso: “As dificuldades no

processo de ensino aprendizagem de Geometria”. Tal tema nasce da observação feita no

momento do estágio, em que pude verificar as dificuldades dos alunos e dos próprios

professores ao ensinar Geometria.

O efetivo ingresso na profissão deu-se no início de 2012, em uma escola estadual

da cidade de Campo Novo do Parecis, no estado do Mato Grosso. Fiz especialização em

Ensino de Matemática para a Educação Básica na Universidade Federal de Mato Grosso

(UFMT). Acredito que esse curso me abriu os horizontes para a pesquisa pois, ouvir e

discutir os mais variados temas que permeiam a Educação Matemática, me fez desejar

buscar, conhecer e compreender o que é fazer pesquisa, tanto que meu objeto para a

produção do artigo1 final da Especialização, encaminhou-se para uma área ainda não

explorada por mim, a História da Matemática! Foi um deleite escrever sobre duas paixões.

Diante da realidade efetiva em sala de aula com a qual me deparei, começaram

então os conflitos internos diante da excessiva dificuldade que os alunos expressavam na

aprendizagem de determinados conteúdos matemáticos e sobre a minha própria prática

educativa. As vivências em sala de aula, juntamente com os debates e estudos

experienciados na Especialização gerou em mim grande desejo de pesquisar.

Ao lecionar a disciplina de Matemática busquei trabalhar com metodologias como

a resolução de problemas, dentre outras, mas percebi que o ensino de Geometria,

principalmente no Ensino Médio, necessitava revisar os conceitos vistos no Ensino

Fundamental, uma vez que os alunos tinham muita dificuldade em compreender

determinados conceitos geométricos, não estavam familiarizados com os desenhos e com

a linguagem geométrica.

A partir destas reflexões surgem questionamentos ao redor da Geometria: Por que

ainda há dificuldade na compreensão da Geometria? Os alunos ao concluírem o Ensino

Básico compreendem a Geometria? Por que a Geometria parece tão difícil de ser

ensinada? Estas questões acabaram por nortear o problema apresentado na presente

pesquisa: Quais conhecimentos geométricos de polígonos e poliedros os alunos no

1 Artigo: A Biblioteca de Alexandria e a Casa da Sabedoria: Um breve panorama histórico. Disponível:

http://www.sbembrasil.org.br/enem2016/anais/pdf/5544_2732_ID.pdf

13

terceiro ano do Ensino Médio possuem? É importante lembrar que o domínio da questão

das figuras geométricas é cobrado com frequência em provas como ENEM, Prova Brasil,

entre outras.

Vários estudos realizados como os de Pavanello (1993), Lorenzato (1995),

Valente (2014), Pais (2010), Gouvêa (1998) mostram que o ensino de Geometria na

educação escolar fica reduzido a um plano secundário, e que a ênfase se concentra no

ensino da Aritmética e da Álgebra. Esses estudos revelam, ainda, o desempenho

desfavorável de alunos da Escola Básica em tarefas que envolvem conceitos e resolução

de problemas no campo da Geometria.

Mas essa realidade, começa a mudar lentamente. Andrade e Nacarato (2009)

apontam uma quantidade favorável de pesquisas relacionadas com o ensino e

aprendizagem de Geometria. Os autores identificam duas perspectivas emergentes nas

pesquisas: a Geometria experimental e os ambientes computacionais. A Geometria

começa a reaparecer nas salas de aulas, principalmente, trabalhada com recursos

experimentais e computacionais. O aporte teórico que fundamenta as novas pesquisas é

embasado na didática da Matemática e no modelo de Van Hiele do pensamento

geométrico.

Diante disto temos os dados do “Programa Internacional de Avaliação de

Estudantes” (PISA) divulgados em 2016 – cujo foco foi a área de Ciências – que avaliou

o que alunos de 15 anos, ao final da educação obrigatória, adquiriram em relação aos

conhecimentos e habilidades essenciais para a completa participação na sociedade

moderna (BRASIL, 2016).

O PISA trabalha com estudos de letramento matemático que é a capacidade de

formular, empregar e interpretar a Matemática em uma série de contextos, o que inclui

raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimentos, fatos, ferramentas

matemáticas para descrever, explicar e prever fenômenos. Isso ajuda os indivíduos a

reconhecer o papel que a Matemática desempenha no mundo e faz com que cidadãos

construtivos, engajados e reflexivos possam fazer julgamentos bem fundamentados e

tomar as decisões necessárias (BRASIL, 2016).

O PISA organiza os conteúdos matemáticos em quatro categorias, que abrangem

em variedade e profundidade o domínio de Matemática e os fenômenos subjacentes que

motivam sua evolução, bem como o reflexo das principais vertentes do currículo escolar,

a saber: mudanças e relações; espaço e forma; incertezas e dados; quantidade.

14

Embora o Brasil tenha apresentado um resultado inferior em relação às médias de

proficiência estabelecidas pelo PISA, vale notar que a categoria de conteúdo com os

maiores valores no índice de desempenho foi a de espaço e forma. Essa subárea da

avaliação da Matemática envolve uma diversidade de propriedades encontradas em vários

lugares no mundo físico e visual. Trabalha-se, por exemplo, com as propriedades das

figuras geométricas como o perímetro ou a área e as características das figuras espaciais,

entre outras. A interação dinâmica com formas reais, bem como com suas representações

se mostram um conteúdo mais difícil e trabalhoso para os estudantes de 15 anos

(BRASIL,2016).

No entanto, consideramos relevante a contribuição da nossa pesquisa para o

campo da Educação Matemática por trazer dados efetivos que mostram o desempenho

dos alunos que estão concluindo o Ensino Médio em relação aos conhecimentos das

figuras geométricas (polígonos) e das características das figuras espaciais (poliedros).

Propomos como objetivo geral da pesquisa, analisar os conhecimentos

geométricos sobre polígonos e poliedros apresentados por alunos do Ensino Médio. Para

darmos conta do nosso objetivo, definimos alguns objetivos específicos: a) investigar as

dificuldades apresentadas pelos alunos do Ensino Médio sobre a Geometria, na visão do

professor; b) identificar o que os alunos compreendem sobre a Matemática e a Geometria

ensinada na Educação Básica; c) analisar a compreensão dos alunos sobre os conteúdos

geométricos polígonos e poliedros.

Trata-se de uma pesquisa qualitativa do tipo exploratória, tendo como método

interpretativo para a análise e triangulação dos dados as ponderações de Fiorentini e

Lorenzato (2012).

A pesquisa tem como lócus de investigação uma escola pública estadual da cidade

de Campo Novo do Parecis, no estado de Mato Grosso. Tivemos como participantes da

pesquisa 27 alunos do terceiro ano do Ensino Médio e o respectivo professor da turma

investigada.

Para apresentar o estudo realizado, organizamos a dissertação em quatro capítulos.

O primeiro, intitulado “O ensino da Geometria na Educação Básica”, organiza

os aspectos históricos da Geometria e a Geometria como conteúdo escolar; trata, ainda,

do atual cenário da Educação Básica e tece algumas considerações sobre a reforma do

ensino; por fim, aborda a Geometria na Educação Básica e na “Base Nacional Comum

Curricular” (BNCC). Procuramos articular no texto elaborado as principais indicações

15

expostas nos documentos oficiais no que se refere ao ensino da Matemática e,

particularmente, da Geometria. Consideramos que a Geometria escolar se constituiu a

partir das várias modificações curriculares pelas quais transita, portanto, seu ensino

precisa ser planejado no sentido de possibilitar a aprendizagem.

No segundo, “O desenvolvimento do pensamento geométrico”, fazemos breve

apresentação da teoria do desenvolvimento do pensamento geométrico realizado pelo

casal Van Hiele, com os cinco níveis propostos, as fases de aprendizagem e as

propriedades do modelo. Ao considerar o pensamento geométrico como evolução do

conhecimento do aluno, que se inicia a partir do nível considerado de visualização e

evolui até o nível mais elevado, chamado de rigor, faz-se necessário que se conheça quais

conhecimentos geométricos os alunos possuem para, então, possibilitar a aprendizagem.

O terceiro capítulo, intitulado “A metodologia”, trata do caminho da construção

da pesquisa: o tipo de pesquisa, o contexto e os sujeitos participantes, os instrumento e

procedimentos de produção de dados, leitura e organização dos dados da pesquisa.

No quarto capítulo, “Apresentação, interpretação e análise dos dados”,

analisamos os dados organizados em dois eixos temáticos. No primeiro deles,

Compreensões do professor e dos alunos sobre o pensamento geométrico, buscamos

compreender como o professor e os alunos articulam suas compreensões sobre o

pensamento geométrico e qual sentido adotado por eles, considerando a importância do

pensamento geométrico para o desenvolvimento do raciocínio matemático. No segundo

eixo; Os conhecimentos geométricos de alunos do Ensino Médio, entendemos o que os

alunos expressam sobre os conhecimentos geométricos a respeito dos conteúdos de

polígonos e poliedros a partir das respostas apresentadas no questionário investigativo,

que nos permitiu a análise com base nos níveis de Van Hiele.

Para concluir, mas não pôr fim às reflexões sobre o tema, tecemos algumas

considerações sobre as questões desencadeadoras da pesquisa, procurando evidenciar as

respostas encontradas, considerando as possíveis contribuições do estudo realizado,

especialmente no que diz respeito ao pensamento geométrico dos alunos ao finalizarem a

Educação Básica.

16

1 O ENSINO DA GEOMETRIA NA EDUCAÇÃO BÁSICA

Nos debates sobre o ensino de Matemática ouvimos muitos questionamentos

sobre como deve ser ensinada de forma significativa para quem aprende, a fim de que

tenha sentido sua aprendizagem em determinado contexto, tendo em vista a grande

dificuldade que os alunos encontram para sua compreensão. Sob essa perspectiva surge a

pergunta: Como torná-la mais acessível e ligada ao cotidiano se, por excelência, ela é

considerada uma ciência abstrata e consequentemente auxilia o desenvolvimento do

raciocínio lógico?

A Matemática trata de determinados conceitos que, em suma, não podem ser

relacionados com a dimensão puramente sensitiva ou empírica, como é o caso dos

axiomas geométricos básicos: o ponto, a reta e o plano, os números negativos, dentre

outros.

Questões desse tipo surgem com frequência na área de investigação em Educação

Matemática, na busca de compreender seu ensino contextualizado, não somente no

âmbito da sensibilidade, mas provido de significados

No movimento teórico de conferir significado à Matemática no ensino escolar é

que o percurso histórico percorrido por ela provoca nosso interesse. Por conseguinte, pelo

fato de considerarmos importante trazer significado àquilo que é investigado, nossa

pesquisa inicia as primeiras páginas abordando o contexto histórico em que se encaixa o

seu objeto de investigação: o pensamento geométrico.

Estruturamos o primeiro capítulo de modo a facilitar para o leitor a compreensão

do objeto de estudo da pesquisa. Iniciamos com uma breve contextualização histórica da

Geometria, passando pela sua estruturação como disciplina escolar, sobrevoando por

algumas reformas e mudanças no currículo da Matemática, partindo de movimentos

importantes para a organização dessa área de conhecimento no âmbito escolar de hoje.

1.1 Breve histórico da Geometria enquanto campo da Matemática

A etimologia da palavra “geometria” provém do grego geo=terra e

metria=medida. Dessa forma, a Geometria pode ser considerada como a medida da terra.

Acredita-se que os primeiros cálculos envolvendo a Geometria surgiram com a

construção de monumentos, demarcações de terra e outros. Há quem afirme que os povos

17

mais evoluídos da Antiguidade tinham conhecimentos geométricos, mesmo que

primitivos, muito bem evoluídos.

Desde o início acredita-se que os primeiros contatos com a Geometria foram

anteriores aos sistemas numéricos. Sobre o assunto, Rooney (2012, p 73 -74) afirma que

“muitos povos antigos deixaram evidências de seus interesses por padrões repetidos,

simetrias e formas na forma de padrões geométricos decorando seus objetos, estruturas e

residências”. Ainda, segundo Rooney (2012), a Geometria tem essa característica

imediata, ou seja, você consegue percebê-la pelas suas formas e padrões e, ainda, “[...]

trabalha com distâncias, áreas e volumes do mundo real – foi uma das primeiras

aplicações matemáticas” (2012, p. 65).

A Geometria sempre criou fascínio por sua aplicabilidade prática nas grandes

construções históricas, como na utilização de cálculos simples para medir área, sendo que

sua função, desde a origem (se assim podemos dizer), exerce atração para as formas e

padrões que sempre buscam equilíbrio e beleza. Como aponta Eves (1997), a

aplicabilidade perceptível dos conhecimentos mais simples para a construção do

pensamento geométrico surge modestamente e, depois, continua a evoluir transformando-

se em um conhecimento mais elaborado, tomando dimensões mais gerais e abstratas.

Inúmeras circunstâncias da vida, até mesmo do homem mais primitivo,

levavam a um certo montante de descobertas geométricas subconscientes. A

noção de distância foi, sem dúvida, um dos primeiros conceitos geométricos a

serem desenvolvidos. A necessidade de delimitar a terra levou à noção de

figuras geométricas simples, tais como retângulo, quadrado e triângulo [...]

essa geometria deveria, por falta de melhor denominação, ser chamada

“geometria subconsciente. “[...]mais tarde (ainda antes de qualquer registro

histórico), a inteligência humana tornou-se capaz de, a partir de um certo

número de observações relativas as formas, tamanhos, relações espaciais de

objetos físicos específicos, extrair certas propriedades gerais e relações [...]

isso acarretou a vantagem de ordenar problemas geométricos práticos, em

conjuntos tais que os problemas de um conjunto podiam ser resolvidos pelo

mesmo procedimento geral. Chegou-se assim a noção de lei ou regra

geométrica (EVEZ, 1997, p. 2, 3).

Começa a surgir pela experiência e pela visualização a Geometria com suas

regularidades e padrões, e passa a ter papel fundamental na evolução do pensamento

matemático. Existe quem defenda que sem a Geometria não haveria números, álgebra,

trigonometria, funções, haja vista a importância do pensamento geométrico para a

evolução da própria Matemática.

A história ocidental disseminada na educação e na história da matemática

considera Tales, Pitágoras e Euclides como os primeiros filósofos e precursores da

18

Geometria. Embora não se tenha registros autênticos da existência de Tales e Pitágoras,

há escritos que fazem referências a esses dois personagens da história da Matemática que

contribuíram para o desenvolvimento da Geometria.

Com a mudança na organização da sociedade surge modificações, e com elas outra

mentalidade que conduz à substituição do pensamento mítico sobre a realidade. Assim,

no decorrer do século VII a.C., são criadas as escolas de pensamento como a Jônica de

Tales e a pitagórica de Pitágoras.

Proclus (410-485 a.C.) escreveu um dos primeiros registros, o chamado “Sumário

Eudemiano”, em que há a indicação que a Geometria grega iniciou com os trabalhos de

Tales de Mileto. “Foi Tales quem trouxe a matemática do Egito para a Grécia [...]. Tale

é considerado como um dos criadores da física, da Astronomia e da Geometria”

(GAZIRE, 2000. p. 60).

As contribuições de Tales para a Geometria são inúmeras, sendo atribuída ao

pensador grego a descoberta de várias propriedades do triângulo esférico, o círculo e seu

diâmetro, os ângulos opostos pelo vértice, os ângulos de um semicírculo, a propriedade

ALA (ângulo, lado, ângulo) de triângulos isométricos, os ângulos da base de triângulos

isósceles.

Após o trajeto de descobertas de Tales, surge Pitágoras, também citado por

Proclus no “Sumário Eudemiano” como continuador das ideias de Tales. Pitágoras é

envolto em grande mistério e lendas, visto que não existem relatos originais de sua vida

e obra.

O que parece certo é que ele nasceu na ilha de Egéia de Samos por volta de

520 a.C., viajou muito pelo mundo antigo – Egito, Babilônia e Índia – e,

voltando à Grécia, encontrou em sua cidade uma sociedade intolerante e

conservadora. Isso o levou a Crotona, na Itália [...]. Consta que, em Crotona,

organizou uma escola na qual mantinha ensinamentos secretos: A

IRMANDADE PITAGÓRICA. O que se sabe dela com certeza é apenas a

sua existência. As notícias sobre sua organização são muito posteriores, sendo

impossível o verdadeiro do lendário (GAZIRE, 2000. p. 62-63.)

Embora muito pouco se saiba sobre Pitágoras, é atribuída a ele descobertas

importantes para a Matemática e para a Geometria. Tal importância advém do fato que,

segundo alguns historiadores, antes dos pitagóricos os povos civilizados consideravam a

Matemática somente um tipo de ferramenta para resolver algum problema prático.

Pitágoras traz a noção de que o número não serve apenas para calcular ou contar “eles

foram sendo apreciados pelas próprias características, pelos relacionamentos

19

apresentados entre si e pelos padrões que permitiam formar” (GAZIRE, 2000. p. 63). É

conferido a Pitágoras descobertas matemáticas como a prova do teorema de Pitágoras, as

médias (aritmética, geométrica, harmônica e suas relações), os números perfeitos e

números amigos, os sólidos regulares (cubo, tetraedro, octaedro, icosaedro), a

irracionalidade de √2, os números figurados, dentre outros (GRAZIRE, 2000).

Outro personagem importante na história da Geometria é Euclides, que acredita-

se nascido por volta de 300 anos a.C., embora não se saiba o local preciso de nascimento.

Euclides foi considerado um dos grandes pioneiros de Alexandria e que possivelmente

frequentou a Biblioteca de Alexandria durante o reinado de Ptolomeu I. Segundo a

história, foi convidado por Demétrio de Faleros para criar uma escola Matemática e

formar discípulos. Euclides escreveu várias obras: “Os Dados”, “Os Fenómenos”,

“Porismos”, “Óptica”, “Os Elementos”, essa última organizada em treze volumes e

considerada sua principal obra, que o tornará o matemático mais conhecido da

Antiguidade.

Que representam os Elementos euclidianos na História da Matemática? Uma

das mais notáveis obras, que concilia a compilação dos conhecimentos

matemáticos mais relevantes de uma tradição herdada da Grécia Clássica e

registrada, na sequência da prática de compilação de Elementos, iniciada pelo

menos dois séculos antes, associada a novos estudos e às aquisições

decorrentes das investigações matemáticas de Euclides. Na verdade, desde a

Antiguidade só a Bíblia e, talvez, Homero, conheceu maior difusão que os

Elementos de Euclides, suporte de ensino de Matemática por mais de dois

milénios (GAMAS, 2013 p.48).

Após a destruição da Biblioteca de Alexandria, essa obra de Euclides, como

muitos dos escritos lá depositados, só chegaram ao nosso conhecimento graças a

transcrição dos copistas árabes que integravam a Casa da Sabedoria, em Bagdá.

Os treze livros dos Elementos de Euclides foram organizados conforme quadro

explicativo a seguir.

Quadro 1 – “Os Elementos” de Euclides ‘OS ELEMENTOS” de EUCLIDES

Livro Características

GE

OM

ET

RIA

PL

AN

A

Livro I O livro I contém uma lista de:

23 definições

5 postulados

5 noções comuns ou verdades lógicas

São demonstradas 48 proposições

Livro II O livro II contém 14 proposições, sendo que:

a) As 10 primeiras são álgebra geométrica grega da Escola Pitagórica

e que traduzem geometricamente as propriedades algébricas

elementares das somas e produtos;

20

b) As quatro operações proposições compreendem:

os problemas importantes de dividir uma reta em média e

extrema razão;

quadrar qualquer figura poligonal;

a generalização do teorema de Pitágoras para triângulos

acutângulos e obtusângulos.

Livro III O livro III contém 97 proposições nas quais figura a teoria

do círculo,

das linhas,

dos ângulos no círculo

terminando por um grupo de proposições que foram a base da teoria

da potência de um ponto em relação a um círculo.

Livro IV No livro IV figuram 16 proposições, nas quais estão as construções

pitagóricas, com régua e compasso, de polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, e 10

lados.

Livro V No livro V figuram 26 proposições que tratam da teoria das proporções

(numa exposição magistral, de acordo com Eudóxio¸ cujos resultados se

aplicam a todas as grandezas, sendo, portanto, verdadeiros tantos para os

números como para as grandezas geométricas).

Livro VI

No livro VI figuram 35 proposições:

as propriedades gerais das proporções (demonstradas no livro V) aqui

são aplicados a figuras geométricas (fazendo surgir, assim, a teoria

dos triângulos e polígonos semelhantes);

as construções que dão a terceira, a quarta e a média proporcionais;

solução geométrica das equações do 2º grau.

AR

ITM

ÉT

ICA

Livro VII O livro VII inicia-se com algumas definições baseadas na notação pitagórica.

Livro VIII O livro VIII também trata da aritmética (ou mais exatamente da teoria dos

números).

Livro IX O livro IX também trata de aritmética.

Livro X O livro X, o mais extenso e o mais difícil de todos, contém: 115 proposições

em que:

expressões irracionais são estudadas em forma geométrica, como as

quadráticas da forma: √(7 + 2√6);

há teoremas equivalentes aos processos para racionalizar

denominadores de frações da forma: 𝑎

𝑏±√𝑐 e

𝑎

√𝑏±√𝑐

Livro Características

GE

OM

ET

RIA

SÓ

LID

A

Livro XI O livro XI trata da geometria sólida

Livro XII O livro XII são colocadas

as definições;

os teoremas relativos às retas no espaço

aos planos no espaço

ao paralelepípedo

ao método da exaustão para calcular o volume das pirâmides

Livro XIII O livro XIII é todo dedicado aos poliedros regulares. (Na última proposição,

de número 18, vem a demonstração de que há apenas cinco poliedros regulares

convexos).

Fonte: GAZIRE, E.S. O não resgate das Geometrias. Campinas, SP. 2000.

A Geometria euclidiana foi considerada pela Matemática como um verdadeiro

modelo, visto que Euclides organizou todo o conhecimento matemático da época de

forma sintetizada.

Entre o período da Antiguidade e a época Moderna, temos a Geometria chamada

de estudo das formas, que dá origem a uma importante evolução mais especificamente a

21

partir do século XVII. Para Piaget e Garcia (2011), após os gregos a primeira mudança

espetacular foi realizada pela Geometria analítica que teve influência de Fermat (1601-

1665) e René Descartes (1596-1650). Esse último, em seu “Discurso sobre o Método”,

no terceiro apêndice intitulado “A Geometria”, desenvolve aspectos interessantes que se

tornaram um marco para a Idade Moderna da Matemática. Tanto Descartes como Fermat

introduzem os pontos de um plano por pares ordenados de números e as curvas por

equações. Tais contribuições conduziram os estudos das propriedades algébricas com

menos ênfase nas figuras, como afirmam Piaget e Garcia (2011): a Geometria ficará

“reduzida” à álgebra. Temos aqui um novo olhar sobre a Geometria, não somente para as

formas geométricas utilizadas pelos gregos, mas um rumo ainda não explorado: a

linguagem algébrica.

Meio século depois do Discurso, Newton publica os seus Principia (1687). O

cálculo diferencial criado por Newton e, independentemente por Leibniz, dará

à geometria analítica um alcance que Descartes não tinha previsto. Mais tarde,

os Bernoulli, Euler e Lagrange, irão completar a ‘redução” da geometria à

análise” (PIAGET; GARCIA, 2011, p.131).

Após ter se constituído a Geometria analítica, o pensamento matemático passou

por um processo de profunda revolução. A álgebra, ao utilizar sinais abstratos para

sinalizar grandezas absolutas que não têm qualquer valor e sentido em si próprias, permite

trabalhar com a generalidade. Os sinais abstratos permitem o raciocínio de qualquer

grandeza, fazendo abstrações de seus valores numéricos e absolutos, utilizando o

raciocínio implícito.

Após a Geometria analítica do século XVII, uma nova leitura surge com os nomes

de Chasles (1793-1880) e Poncelet (1788-1867), que procuraram incorporar os sistemas

de transformações geométricas como método fundamental da Geometria, ou seja, eles

buscam dar a ela, independentemente da álgebra, a mesma generalidade, a mesma classe

dada à Geometria analítica. Portanto os dois geômetras irão introduzir algumas

concepções da Geometria a partir de métodos algébricos. Para Piaget e Garcia (2011),

eles darão sentido “puramente geométrico” a elementos “imaginários”.

Poncelet (1788-1867), no início do século XIX, após a análise dos escritos de

Girard Desargues (1595-1662), desenvolveu ideias que revolucionaram os trabalhos dos

matemáticos da época e é considerado o pai da Geometria projetista. Mas o que seria essa

Geometria? Pode-se fazer a seguinte análise: enquanto a Geometria de Euclides se

preocupa em observar e compreender o mundo em que se vive, a Geometria projetista

22

busca compreender o mundo que se vê, sendo foi muito empregada nas artes e nas

pinturas da época.

Em meados do século XX, dois matemáticos Sophus Lie (1842-1899) e Félix

Klein (1849-1925) propõem novas contribuições, ou seja, com base na noção de grupo de

transformações e invariantes correspondentes, a topologia, que ajudará a introduzir as

distinções entre as Geometrias. Félix Klein “irá formular de modo magistral o novo ponto

de vista. Uma nova etapa será assim inaugurada. A passagem da etapa das transformações

projetivas à etapa das estruturas de grupos” (PIAGET, GARCIA, 2011, p. 149).

Félix Klein é quem, segundo (NASSER, 2004) fornece as ferramentas necessárias

que diferenciou os diferentes tipos de Geometria. No século XX, a Geometria se apresenta

não somente como estudo do espaço físico, mas como o estudo de todo e qualquer espaço

abstrato.

Cabe ressaltar que a Geometria que será abordada na nossa pesquisa é a Geometria

euclidiana, ainda muito presente nos currículos escolares. No decorrer do processo de

reformulação dos currículos de Matemática em âmbito mundial houve vários movimentos

que buscaram reformular seu ensino e selecionar os conteúdos importantes para integrar

a Educação Básica. Em meio a esses movimentos, a Geometria também sofreu mudanças

nos currículos. “Nas últimas décadas, uma necessidade de modificações no ensino da

geometria cresceu ao redor do mundo, devido às dificuldades encontradas e ao fraco

desempenho mostrado por alunos secundários em geometria” (NASSER, 2000, p. 32).

A seguir, vamos abordar como se constituiu a Geometria ensinada na escola, mas

antes apresentamos, como resumo do texto até aqui desenvolvido, um quadro com os

diferentes tipos de Geometria, elaboradas no decorrer do processo de construção do

conhecimento da humanidade.

Quadro 2 – Os tipos de Geometrias GEOMETRIAS MATEMÁTICOS CARACTERÍSTICAS

Euclidiana Os gregos (Tales, Pitágoras)

Euclides - “Os Elementos”

Tem por base axiomas e

postulados euclidianos; é

considerada a geometria das

formas.

Analítica Fermat (1601 1665)

René Descartes (1596-1650)

Propriedades algébricas com

ênfase nas figuras; uma

linguagem algébrica;

algebriza conceitos

geométricos.

23

Projetiva Chasles (1793-1880)

Poncelet (1788-1867)

Estuda as propriedades

geométricas das figuras;

transformações geométricas;

formas e estruturas algébricas

Fonte: Organização da pesquisadora

1.2 Geometria como conteúdo escolar: um olhar histórico sobre o ensino de

Geometria no Brasil

O ensino de Geometria no Brasil, desde o início do movimento para organização

da escola brasileira, foi marcado por peculiaridades nas abordagens e principalmente no

enfoque pragmático com que foi inserido na cultura escolar. Nos primeiros anos de

estruturação de um sistema de ensino no Brasil, a Geometria se apresenta como

Geometria prática. Vejamos sua construção enquanto disciplina escolar.

De acordo com Silva e Valente (2014), o ensino de Geometria no curso primário

se remete às primeiras décadas do século XIX. Segundo as autoras citadas, a historiadora

Circe Bittencourt evidencia que os primeiros debates sobre a Educação Nacional são

basicamente tradução da obra de Condecert e, nos estudos do segundo ano do curso

primário é que devem ser ensinadas as primeiras noções de Geometria, que encaminhará

o aluno para os estudos de agrimensura. Em decorrência, o ensino de Geometria no curso

primário brasileiro é voltado para um ensino prático, ou seja, uma Geometria prática.

Desde Condorcet, em sua versão adaptada por Martim Francisco, a primeira

referência a constituir parâmetro para a organização da escola de primeiras

letras no Brasil indica que o ensino de geometria deveria ter caráter prático;

um ensino que pudesse dar condições para certo exercício profissional, para a

medida de terrenos, para a agrimensura. Assim, a geometria para os que

iniciam a escola constitui saber específico, técnico, instrumental [...] (SILVA;

VALENTE, 2014, p.23)

Percebemos nas reflexões das autoras que, desde o início do seu ensino no Brasil,

a noção utilitarista da Geometria se fez presente.

Após seguir as orientações dos escritos de Condorcet, é publicado o trabalho de

Francouer2 “Princípios do desenho linear compreendendo os de geometria prática pelo

método do ensino mútuo”, que revela certas singularidades a começar pelo título que

2 Louis-Benjamin Francoeur (1773-1849) francês, matemático, seguiu carreira militar e acadêmica. Foi

pioneiro a sintetizar os conteúdos de desenho para as escolas de ensino mútuo.

24

inclui o termo “prática”. O livro do autor explicita algumas atividades propostas em

quatro níveis:

[...] dividir um segmento em seis partes iguais; por um ponto fora de uma reta,

construir uma perpendicular à reta; construir um triângulo equilátero; dividir

um ângulo em dez partes iguais [...] construir trapézio, sendo dadas as bases e

altura; construir um paralelepípedo. [...] construir uma circunferência, sendo

dados o centro e o raio; circunscrever um quadrado num círculo dado;

inscrever um octógono regular num círculo[...] construir um transferidor,

construir uma elipse etc.” (SILVA, VALENTE 2014, p. 27-28).

Percebe-se, na proposta do autor, uma mudança na compreensão do ensino de

Geometria: em lugar daquela geometria prática voltada aos sistemas de agrimensura se

preconiza agora a construção geométrica. Silva e Valente (2014) corroboram que, em

lugar das atividades propostas com intuito de utilizar as ferramentas de desenho como

régua, compasso, esquadro, entre outros instrumentos, são recomendadas atividades que

devem ser realizadas pelo desenho em si, ou seja, os alunos são levados a desenharem à

mão livre e com precisão. Segundo o livro de Holanda Cavalcanti, a Geometria somente

se tornaria prática se os alunos desenvolvessem habilidades do desenho à mão livre, sendo

que as atividades de medidas e agrimensura começam a ser deixadas de lado, levando à

transformação do próprio significado de Geometria prática. Segundo Silva e Valente

(2014), se preconiza a proposta de uma geometria escolar, a partir da qual começam a

surgir os livros didáticos que a direcionam, ou seja, focam desenhos e formas

geométricas.

No período intitulado de Primeira República (1890 a 1930) a consolidação e a

organização do ensino primário são eminentes. São criados os grupos escolares em São

Paulo na fase em que o estado experimenta maior expansão econômica cultural. A escola,

por decorrência, também vivencia modificações e alcança novos progressos. Assim, na

Geometria, os livros produzidos progridem, mas ainda trazem desenhos e formas

geométricas, conceitos e definições dos objetos geométricos, como é o caso do livro

“Desenho linear ou Elementos de geometria prática popular”, de autoria de Abílio Cesar

Borges.

O livro de Abílio Borges insere-se na continuidade de etapa anterior de

inclusão dos conhecimentos geométricos nos anos iniciais escolares. [...]

Assim é considerado o desenho como antecedente da geometria, leva em conta

o que estava assento como desenho linear, desenho à mão livre, rumo à

organização do saber geométrico. Esse tipo de organização, ao que tudo indica,

iluminou novas propostas republicanas para o tratamento da geometria. Esse

25

saber deveria ser ensinado, precedido do desenho. (SILVA, VALENTE, 2014.

p. 51-52)

No ano de 1894, a Livraria Francisco Alves publica a primeira obra didática para

o ensino primário de Geometria em tempos republicanos intitulado “Primeiras noções de

geometria prática”, de autoria de Olavo Freire, que se tornou obra de referência para o

ensino de Geometria até aproximadamente a primeira metade do século XX.

Em síntese, a geometria proposta no livro de Freire pode ser interpretada como

uma geometria prática, na medida em que os conceitos estudados são

relacionados com objetos da cotidiana, porém a presença de construções

geométricas de maneira contínua e crescente representa um novo enfoque para

o caráter prático da geometria, ou seja, a praticidade na ação de construir

objetos geométricos com régua e compasso [...] (SILVA, VALENTE, 2014 p.

56)

De acordo com os estudos dos historiadores, acredita-se que a geometria prática,

no ensino dos anos iniciais, limitou-se à construção de desenhos geométricos utilizando

régua e compasso, corroborando assim com a consolidação da Geometria escolar, que se

caracteriza principalmente por essa tendência.

Nas primeiras décadas do século XX, a Geometria sofre alterações nas reformas

educativas que se sucedem; uma delas consistiu em destacar a forma de iniciar o conteúdo

desse conhecimento. Assim, a Geometria, que anteriormente se configurava do plano para

o espaço, na primeira reforma de 1905 passou por uma inversão iniciando, então, do

espaço para o plano. A mudança no ponto de partida do estudo do conteúdo faz surgir as

primeiras dificuldades encontradas pelos professores, que até iniciavam os estudos a

partir do espaço, mas não davam continuidade, visto que sentiam impedimentos e

acabavam voltando para as construções geométricas no plano.

Com abordagem do método analítico, as cartilhas começam a circular nos grupos

escolares partindo do todo para as partes, daí a problemática instaurada no ensino de

Geometria: como ir do “espaço” para o “plano” se as construções geométricas são feitas

no plano? Permanece, posteriormente, a proposta do livro de Freire, a construção

geométrica como geometria prática, a fim atender a necessidade de mostrar que seu

ensino deve ser prático ligado à utilização de instrumentos para a construção de figuras.

A percepção, acima descrita, começa a mudar a partir do Movimento da

Matemática Moderna (MMM), em que o início do ensino de Geometria não passará mais

pelas construções geométricas, mas tomará novos rumos.

26

No ensino da Matemática, o movimento derivado da corrente estruturalista, que

considera a análise das relações entre parte e todo, ficou conhecido como Movimento da

Matemática Moderna (MMM), que elegeu três estruturas matemáticas centrais: as

estruturas topológicas, algébricas e de ordem.

O MMM vigorou em meados da década de 60, sob influência da psicologia

segundo as ideias de Jean Piaget e, especificamente, na área da Matemática experienciou

a atuação de um grupo de matemáticos franceses sob o pseudônimo de Nicolas Bourbaki,

preocupados em estruturar o ensino da disciplina, alcançando o objetivo de revolucionar

seu currículo escolar

Sobre a corrente estruturalista Skovsmose (2001) explica que a influência da

teoria impactou três campos do conhecimento: “o ponto de vista estrutural é caracterizado

por uma ideia sobre matemática (associada ao nome de Nicolas Bourbaki), uma ideia

sobre comunicação e transformação educacional (Jerome S. Bruner) e uma ideia sobre

epistemologia (Jean Piaget)” (SKOVSMOSE, 2001. p. 20, grifo nosso)

O Movimento da Matemática Moderna é, portanto, uma vertente da corrente

estruturalista, que se caracteriza pela afirmação do fundamento de que a essência da

Matemática pode ser determinada fixando conceitos por meio da análise lógica das teorias

matemáticas existentes, ou seja, está relacionada com a ideia de estruturas matemáticas

do grupo Bourbaki

Pavanello (1993) ressalta que, com o MMM, as dificuldades do ensino de

Geometria se agravaram ainda mais, pois, se enraizado em uma abordagem tradicional os

professores já tinham dificuldades em ensiná-la, com a exigência da Geometria

aproximada da álgebra e no enfoque das transformações algébricas seu ensino acabaria

por se fragilizar.

Gouvêa (1998) aponta que o MMM propôs introduzir a linguagem da Teoria dos

Conjuntos numa tentativa de estabelecer relações com as várias áreas da Matemática, e

com intenção de apresentar uma Geometria axiomática e dedutiva com demonstrações

organizadas e estruturadas. Mas, afirma Pavanello (1993), com despreparo dos

professores, tal objetivo não se concretizou.

Lorenzato (1995) aponta que, na área da Matemática, o ensino da Geometria foi o

mais prejudicado pelo MMM, pois o grupo Bourbaki propunha um estudo puramente

topológico. Também considerava a Geometria euclidiana (muito presente nos currículos

escolares do período) um dos conteúdos da “matemática clássica”, definida por Jean

27

Dieudonné (membro do grupo Bourbaki) como portadora dos conceitos anteriores ao ano

de 1800. O grupo referido se preocupava em procurar uma forma de modernizar a

Matemática, inserindo conteúdos que até então não se faziam presente nos currículos

tanto de nível básico como superior.

Pouco a pouco, desenha-se uma ideia geral que será precisada no século XX,

a de estrutura na base de uma teoria matemática; é a consequência da

constatação de que aquilo que desempenha o papel primordial numa teoria são

as relações entre os objetos matemáticos que aí figuram, antes da natureza

desses objetos, e que, em duas teorias diferentes, pode acontecer que haja

relações que se exprimem da mesma maneira nas duas teorias; o sistema destas

relações e as suas é uma estrutura às duas teorias (Dieudonné,1990, p. 118.

Apud Pires,2006, p.114).

O grupo Bourbaki, numa redefinição de objetos e métodos, reduz a Geometria

euclidiana (ou a Geometria elementar) somente a um capítulo da álgebra linear. A posição

contrária à Geometria euclidiana, assumida pelo grupo se fundamenta na falta de

atualização da visão sobre a Geometria, como também é caracterizada pela oposição

bastante corrente de outros matemáticos.

O MMM iniciou com bastante força primeiramente na Europa, entre os anos de

1966 a 1967 é lançada a coleção intitulada “Curso moderno de matemática para escola

elementar”, das autoras Manhúcia Perelber Liberman, Anna Franchi e Lucília Bechara,

todas com formação em licenciatura de Matemática. Essa coleção didática demarca o

ensino de Geometria, logo nas primeiras séries, com abordagem sob a nova vertente, ou

seja, a coleção traz a estrutura de organização matemática proposta pelo MMM.

No primeiro volume as autoras não abordam a Geometria, iniciam os estudos com

classificação de objetos de acordo com suas propriedades, como forma, tamanho, cor e

outros. Segundo Silva e Valente (2014), as primeiras atividades decorrem do

estabelecimento, pelos alunos, de correspondência entre as propriedades dos objetos. As

relações entre as formas e as propriedades do objeto é prenúncio do método intuitivo, que

tem por premissa o ensino e a educação pela via dos sentidos. Vemos, então, neste manual

uma nova abordagem do ensino de Matemática que traz para as crianças o primeiro

contato com a Matemática Moderna.

Uma análise mais acurada mostra, no entanto, que o emprego da cor e da forma

não é feito simplesmente por serem propriedades de fácil observação para as

crianças. Note-se: a atividade pede que os alunos estabeleçam relações entre

as propriedades no sentido de construir a noção de correspondência um a um

entre os conjuntos e comparar o número de elementos entre dois conjuntos.

Esta é a proposta central: preparar o aluno para o conceito de número como um

28

invariante de dois conjuntos. Assim, as figuras geométricas não são

empregadas com o fim de iniciar o estudo de geometria[...] (SILVA;

VALENTE, 2014, p.75)

Notamos que a intenção das autoras se direciona para uma abordagem das figuras

geométricas que não visa o estudo propriamente das mesmas ou sua construção, mas as

utilizam como objeto, levando o aluno a fazer relações com propriedades que lhes são

visíveis e sensíveis.

A grande mudança no ensino de Geometria aparece com mais força no terceiro

volume que apresenta os conteúdos de noções geométricas. No volume citado verifica-se

a introdução de conceitos topológicos (dentro, fora, aberto e fechado); tratam, também,

de curvas abertas e fechadas, interior das curvas fechadas simples e, por fim, expõem os

lados retos, polígonos, triângulos e quadriláteros.

Para Silva e Valente (2014), uma das características marcantes do MMM é a

linguagem de conjuntos, que permeia todos os níveis de ensino, e trouxe uma forma

diferenciada de abordar as relações geométricas. As autoras contemplam, em seus livros,

comentários sobre essa linguagem mais apurada. Para exemplificar trouxemos aqui um

excerto do texto que explicita o uso da linguagem de conjunto de forma bastante evidente:

“Tradicionalmente dizíamos que AB é igual a RS , mas desde que segmento de reta é

um conjunto de pontos, não é mais possível usar-se a palavra igual, pois o conjunto AB

não tem os mesmos elementos que RS .” (Silva; Valente 2014, apud Liberman, Bechara

Sanchez e Franchi 1975, v.2, p.27).

Vale reafirmar que uma das contribuições do MMM para o ensino de Matemática

foi a linguagem de conjuntos.

[...] opta-se, num primeiro momento, por acentuar nesses livros as noções de

figura geométrica e de intersecção de figuras como conjuntos de pontos do

plano, adotando-se, para sua representação, a linguagem da teoria dos

conjuntos. Procura-se trabalhá-la segundo uma abordagem “intuitiva” que se

concretiza, nos livros didáticos, pela utilização dos teoremas como postulados,

mediante as quais pode-se resolver problemas. Não existe qualquer

preocupação com a construção de uma sistematização a partir das noções

primitivas e empiricamente elaboradas (PAVANELLO, 1993.p. 13).

O que se pôde perceber é que a mudança de abordagem por meio do estudo dos

novos conceitos de topologia, introduzidos pelo MMM, aparecem de forma introdutória,

mas não são retomados ou explorados em estudos posteriores. “A visão mais evidenciada

29

da geometria estudada se verifica na linguagem e não propriamente nos conceitos

topológicos em si” (SILVA; VALENTE, 2014, p. 78).

Mesmo em meio a esse contexto revolucionário, característico do MMM, que

trouxe ao cotidiano escolar novos conceitos, nota-se que a escola não se desprendeu da

Geometria escolarizada, pois, ainda que as páginas dos livros trouxessem algo de

topologia, logo surgia também a Geometria “antiga”, a Geometria euclidiana. De acordo

com Silva e Valente (2014), não há na obra didática uma linha contínua entre os

elementos topológicos, projetivos e euclidianos, ao contrário, apresentam-se alguns

elementos topológicos e seguem na direção da Geometria euclidiana.

Gouvêa (1998) traz uma análise importante sobre o período do MMM ao frisar

que a maioria dos exercícios não destacam a capacidade do aluno de desenvolver seu

próprio raciocínio, tendo em vista que grande parte das atividades consistem em esquemas

simples. Corroborando as análises apresentadas, Lorenzato (1995), ao se referir aos

porquês de aprender Geometria, ressalta que sem ela as pessoas não desenvolvem o

pensamento geométrico nem o raciocínio visual e, “sem essas habilidades, elas

dificilmente conseguirão resolver as situações da vida que forem geometrizadas”

(LORENZATO, 1995.p 5).

Como expõe Lorenzato (1995, p.4), “A proposta da Matemática Moderna de

algebrizar a Geometria não vingou no Brasil, mas conseguiu eliminar o modelo anterior,

criando assim uma lacuna nas nossas práticas pedagógicas, que perdura até hoje.

Por essa razão, podemos afirmar que a prejudicada foi a cultura escolar que, após

as investidas das propostas modernas, retoma a Geometria euclidiana, ou seja, a

“Geometria escolar” adotada generalizadamente.

1.3 Cenário da Educação Básica na atualidade

A Educação atual no Brasil, com a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional

de 1996 (LDB 9.394/96) disciplina e estrutura o funcionamento da educação escolar e as

obrigações da federação, dos estados e municípios, das escolas, dos pais e educadores.

Também, classifica a Educação Básica em três níveis de ensino: Educação Infantil,

Ensino Fundamental e Ensino Médio.

A Educação Básica tem por objetivo, de acordo com artigo 22 da LDB 9.394/96

“desenvolver o educando, assegurar-lhe a formação indispensável para o exercício da

30

cidadania e fornecer-lhes meios para progredir no trabalho e em estudos posteriores”.

Essa última finalidade cabe justamente ao Ensino Médio, dada aquelas específicas

expostas no artigo 35:

I – a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no

ensino fundamental, possibilitando o prosseguimento de estudos; II – a

preparação básica para o trabalho e a cidadania do educando, para continuar

aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas

condições de ocupação ou aperfeiçoamento posteriores; III – o aprimoramento

do educando como pessoa humana, incluindo a formação ética e o

desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico; IV – a

compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos dos processos

produtivos, relacionando a teoria com a prática, no ensino de cada disciplina.

(BRASIL 1996, p. 24)

Sobre a Educação Básica, as “Diretrizes Curriculares Nacionais” (DCN)

complementam as determinações dizendo que o acesso a ela é para todos os brasileiros,

bem como a garantia das condições necessárias para a formação integral do sujeito.

Em resumo, o conjunto da Educação Básica deve ser constituir em um

processo orgânico, sequencial e ao articulado, que assegure à criança, ao

adolescente, ao jovem e ao adulto de qualquer condição e região do País a

formação comum para o pleno exercício da cidadania, oferecendo as condições

necessárias para o seu desenvolvimento integral. Estas são as finalidades de

todas as etapas constitutivas da Educação Básica, acrescentando-se os meios

para que possa progredir no mundo do trabalho e acessar a Educação Superior

[...] (BRASIL, 2010, p.20)

As “Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio” (DCNEM),

promulgada em 1998, destacam ações administrativas e pedagógicas do sistema de ensino

e das escolas, que devem ser coerentes com princípios estéticos, políticos e éticos. As

DCNEM ainda apontam que os princípios pedagógicos devem ser norteados pela

identidade, diversidade e autonomia; pela interdisciplinaridade e contextualização, que

devem ser adotados como estruturadores dos currículos. Logo, as peculiaridades dos

sujeitos do Ensino Médio, que são os jovens com idade média de quinze anos, seus

anseios, projetos de vida, estão presentes nas DCNEM como um importante norteador

para a formação humana integral do jovem brasileiro.

As DCNEM, promulgadas em 30 de janeiro de 2012, buscam orientar no sentido

de uma formação humana integral do jovem, para se evitar organizar uma formação

limitada à preparação somente para o vestibular.

31

Pesquisas realizadas com estudantes mostram a necessidade de essa etapa

educacional adotar procedimentos que guardem maior relação com o projeto

de vida dos estudantes como forma de ampliação da permanência e do sucesso

dos mesmos na escola. [...] Esta orientação visa à construção de um Ensino

Médio que apresente uma unidade e que possa atender a diversidade mediante

oferecimento de diferentes formas de organização curricular (BRASIL, 2012,

p135).

Os estudantes do Ensino Médio são, em sua maioria, adolescentes e jovens

caracterizados pela DCNEM com condição-sócio-histórico-cultural de uma categoria que

necessita ser considerada em suas múltiplas dimensões. Para isso é necessário um sistema

de ensino capaz de atrair o jovem na busca de sua formação integral e atual. A concepção

presente na DCNEM busca romper com a visão que aponta Dayrell (apud. BRASIL,

2002) de que a juventude é entendida como uma fase de transição para a vida adulta. Com

isso se nega a importância do jovem no presente produzindo sua educação para o “futuro”,

reduzindo a possibilidade de fazer da escola um espaço de formação, um ambiente para

as experiências vividas atualmente.

Além de uma etapa marcada pela transitoriedade, outra forma recorrente de

representar a juventude é vê-la como um tempo de liberdade, de

experimentação e irresponsabilidade (Dayrell, 2003). Essas duas maneiras de

representar a juventude - com um ‘via a ser” e como um tempo de liberdade -

mostram-se distantes da realidade da maioria dos jovens brasileiros. Para esses,

o trabalho não se situa no futuro, já fazendo parte de suas preocupações

presentes. (BRASIL, 2012, p. 156)

Como aponta as DCNEM, pensar os alunos do Ensino Médio na duplicidade de

um “vir a ser” e de um sujeito vivenciando um tempo atual de liberdade nos priva de olhá-

los como seres integrados na sua própria formação, capazes de realizarem a construção

pessoal do conhecimento com um sentido relevante na sua “relação com o saber”. De

acordo com Charlot (2001), os jovens constroem a relação com o saber, com o aprender

na sua trajetória de vida.

A relação juventude, trabalho e escola vem, ao longo do tempo, sendo

reconfigurada conforme sinalizam os estudos sobre o emprego juvenil. É importante

reconhecermos a dimensão do mundo do trabalho e a relação estabelecida pelos jovens

estudantes com ele. Não se pode desconsiderar que a maioria dos jovens que frequentam

o Ensino Médio cursaram o Ensino Fundamental em escolas públicas e, muitas vezes, em

condições de pobreza, tendo como preocupação eminente a garantia da própria

sobrevivência. Por outro lado, podemos dizer que na realidade dos jovens estudantes

brasileiros, a escola e o trabalho andam juntos, mas nem sempre essa busca pelo trabalho

32

é decorrente das necessidades materiais, conforme explicita o Caderno II da primeira

etapa do “Pacto Nacional de Fortalecimento do Ensino Médio” (PNFEM).

Não se deve enxergar, contudo, o trabalho de jovens nesta concomitância com

o tempo de escola como uma pura decorrência de necessidades materiais. Eles

também buscam o trabalho como um processo de conquista da autonomia

frente às suas famílias e como elemento de auto afirmação positiva frente à

sociedade. Um grande problema é que, no contexto das sociedades

contemporâneas, o jovem convive com a incerteza e riscos com relação ao

mercado de trabalho. Em um quadro de grandes desigualdades sociais, o

desemprego e o trabalho precário ou sem proteção legal têm sido a marca da

inserção juvenil no mundo do trabalho. (BRASIL, 2014, p.35,36)

O desafio que a escola tem é indagar: que relação os jovens alunos estabelecem

com o ambiente escolar? Que significado eles geram sobre a escola?

Podemos pensar que a relação que o jovem estabelece com a escola toma

múltiplos significados pois, historicamente, a escola é organizada na verticalização de

hierarquias e certa linearidade no modo de socializar e informar o conhecimento. Logo,

a dificuldade de adaptação dos jovens estudantes torna-se mais complexa e as várias

relações com a escola, seja com os professores e entre os próprios alunos, podem tornar

o ambiente escolar propenso a conflitos pertinentes às transformações que tanto o

ambiente escolar como os sujeitos sofrem, dificultando a criação de significados pelos

alunos.

Para compreender os sentidos e significados que os jovens atribuem à escola,

é fundamental considerar que os jovens produzem uma maneira própria de ver

e valorizar a escola a partir de seus pertencimentos aos diferentes contextos

sociais. A adesão à escola ou mesmo a “motivação” para os estudos dependem

muito das experiências individuais, dos interesses e das identidades que se

constroem a partir da realidade vivida e das interações com outras pessoas e

instituições, entre elas a própria escola. (BRASIL, 2013, p.50)

Percebemos que os debates sobre o Ensino Médio e sobre os sujeitos que fazem

parte dele foram efetuados na formação continuada dos professores desse nível de ensino,

visando a melhoria na qualidade de ensino. O Ministério da Educação (MEC), por meio

da Portaria nº 1.140 de 22 de novembro de 2013, criou o “Pacto Nacional para o

Fortalecimento do Ensino Médio”, que buscou uma articulação e coordenação das ações

e estratégias entre a União e os governos estaduais. O pacto tem como finalidade elevar

o padrão de qualidade do Ensino Médio Brasileiro, em suas diferentes modalidades. Uma

das principais ações estratégicas para tal fortalecimento seria o redesenho curricular por

33

meio do “Programa de Ensino Médio Inovador – ProEMI” e a formação continuada de

professores, que visa justamente cumprir aquilo que é proposto pelas DCNEM no que

tange a formação humana integral.

A preocupação com o Ensino Médio no Brasil tem base nos indicadores

estatísticos que mostram um desempenho abaixo do esperado. Em setembro de 2016, o

Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP) publicou

o quadro com a média nacional do “Índice de Desenvolvimento da Educação Básica”

(IDEB), sendo que no Ensino Médio as notas são inferiores às metas impostas pelo

Governo nos anos de dois mil e treze e dois mil e quinze.

Figura 1 – Índices de Desenvolvimento da Educação Básica3

Os resultados marcados em verde referem-se ao Ideb que atingiu a meta.

Fonte: Saeb e Censo Escolar.

No estado de Mato Grosso, podemos observar que as metas propostas pelo MEC

estão sendo atingidas, pelo menos no que diz respeito aos dados numéricos, conforme a

tabela a seguir.

3INSTITUTO EDUCACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA.

Disponível em: http://ideb.inep.gov.br/resultado/resultado/resultadoBrasil.seam?cid=850945 Acesso em:

20 set. 2016.

34

Figura 2 – Resultados do Ideb no Ensino Médio de Mato Grosso4

Fonte: Saeb e Censo Escolar.

O “Índice de Desenvolvimento da Educação Básica” (Ideb), criado em 2007 pelo

(INEP), é um indicador geral da educação nas redes públicas e privadas de ensino. Para

se chegar ao índice calcula-se o rendimento escolar (taxas de aprovação, reprovação e

abandono) e o desempenho no “Saeb/Prova Brasil”, aplicada no 5º e 9º ano do Ensino

Fundamental e no 3º ano do Ensino Médio. Esse índice é divulgado a cada dois anos e

tem metas projetadas até 2021.

Com médias muito abaixo do esperado, as mudanças no Ensino Médio buscam

melhorar os índices de modo a contemplar a formação integral dos jovens estudantes,

conforme proposto nos documentos oficiais, anteriormente apresentados.

1.3.1 Considerações sobre a reforma do Ensino Médio

O Ensino Médio hoje no Brasil, por motivo da implantação de um novo modelo

de ensino, permeia um cenário crítico de mudanças. Tais mudanças foram previstas e

discutidas no “Plano Nacional de Educação” (PNE) e nas “Diretrizes Curriculares

Nacionais para o Ensino Médio de 2012” (DCNEM), problematizando questões relativas

à estrutura, aos conteúdos, bem como ressaltando que as condições atuais deveriam ser

revistas e avaliadas.

Sabemos que estamos longe de atender às necessidades dos estudantes tanto nos

aspectos da cidadania como no que diz respeito a sua inserção no mundo do trabalho.

Com o cenário político atual conturbado, o caminho ideal para a implementação das

reformas não seria por intermédio da Medida Provisória 746/2016, transformada na Lei

4INSTITUTO EDUCACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA.

Disponível em: http://ideb.inep.gov.br/resultado/resultado/resultado.seam?cid=852621. Acesso em: 20 set.

2016.

35

13.415/2017, homologada e publicada no Diário Oficial da União (DOU) em 17/02/2017,

pois sabemos que somente recorrer à legislação não resolve os problemas existentes no

Ensino Médio, tendo em vista que se carece de vontade política em várias instâncias para

efetivá-la.

De acordo com o exposto na lei, as mudanças nas políticas educacionais é

resultado de um conjunto de alterações de outras leis.

Altera as Leis nº 9.394, de 20 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes

e bases da educação nacional, e 11.494, de 20 de junho 2007, que regulamenta

o Fundo de Manutenção e Desenvolvimento da Educação Básica e de

Valorização dos Profissionais da Educação, a Consolidação das Leis do

Trabalho - CLT, aprovada pelo Decreto-Lei no 5.452, de 1o de maio de 1943,

e o Decreto-Lei no 236, de 28 de fevereiro de 1967; revoga a Lei no 11.161,

de 5 de agosto de 2005; e institui a Política de Fomento à Implementação

de Escolas de Ensino Médio em Tempo Integral (BRASIL, 2017, p. 3, grifo

nosso).

As justificativas para as mudanças mencionadas foram elencadas pelo então

Ministro da Educação José Mendonça Bezerra Filho, em um documento (EM

nº00084/2016/MEC) enviado ao Presidente da República no dia 15 de setembro de 2016.

O documento discrimina diversas justificativas para a aprovação das alterações contidas

na Lei 13.415/2017. A primeira delas, exposta pelo ministro Bezerra Filho, refere-se ao

art. 35 da LDB/1996 que, mesmo passando por uma série de medidas e mudanças durante

vinte anos, não conseguiu atingir sua função social, ou seja não atingiu os resultados

previstos na consecução dos objetivos do Ensino Médio:

I - a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no ensino

fundamental, possibilitando o prosseguimento de estudos; II - a preparação

básica para o trabalho e a cidadania do educando, para continuar aprendendo,

de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas condições de

ocupação ou aperfeiçoamento posteriores; III - o aprimoramento do educando

como pessoa humana, incluindo a formação ética e o desenvolvimento da

autonomia intelectual e do pensamento crítico; IV - a compreensão dos

fundamentos científico-tecnológicos dos processos produtivos, relacionando a

teoria com a prática, no ensino de cada disciplina (BRASIL, 1996. p. 02).

As “Diretrizes Curriculares para o Ensino Médio” (DCNEM), criadas em 1998 e

reformuladas em 2012, embora permitissem 20% de diversidade dos currículos, os

sistemas estaduais educacionais não conseguiram propor alternativas viáveis diante do

caráter curricular facultativo, haja vista que os alunos na atual organização do Ensino

Médio são obrigados a cursar treze disciplinas. Por essa razão, as justificativas, que

precedem o texto das mudanças proposta pela Lei 13.415/2017, apontam que o Ensino

36

Médio apresenta um currículo extenso, superficial e fragmentado, que não dialoga com

os interesses da juventude, com o setor produtivo e, tampouco, com as demandas do

presente século (BRASIL, 2016).

O elevado número de jovens que se encontram fora da escola também faz parte

do rol de justificativas apontas pelo governo na promulgação da referida legislação., Além

do que, aponta o documento legal, aqueles que estão inseridos nos sistemas de ensino

apresentam um mau desempenho educacional. Os dados educacionais, publicados pelo

INEP, apresentam resultados abaixo do esperado para os alunos do Ensino Médio, tendo

em conta que cerca de 41% dos jovens de 15 a 19 anos regularmente matriculados

mostram péssimos resultados educacionais (BRAZIL, 2016)

Os resultados das avaliações em larga escala foram motivos para justificar as

mudanças propostas pela Lei 13.415/2017, principalmente os baixos índices alcançados

pelo Ensino Médio no SAEB. O “Índice de Desenvolvimento da Educação Básica”

(IDEB) para o Ensino Médio permanece praticamente estagnado no valor de (3,7) desde

2011.

Dentre as outras justificativas que o documento elenca para as mudanças previstas

na referida Lei, notamos que, para o governo, a nova organização do Ensino Médio é

capaz de promover opções de aprofundamento nas áreas de conhecimento, cursos de

qualificação e ensino técnico profissional, além de buscar

[...] ofertar um ensino médio atrativo para o jovem, além da liberdade de

escolher seus itinerários, de acordo com seus projetos de vida, a medida torna

obrigatória a oferta da língua inglesa, o ensino da língua portuguesa e da

matemática nos três anos desta etapa, e prevê a certificação dos conteúdos

cursados de maneira a possibilitar o aproveitamento contínuo de estudos e o

prosseguimentos dos estudos em nível superior e demais cursos ou formações

para os quais a conclusão do ensino médio seja obrigatória. (BRASIL, 2016.

p. 3)

Ainda, de acordo com o Art. 35 da Lei 13.415/2017, o currículo do Ensino Médio

passará por adequações e será norteado pela “Base Nacional Comum Curricular”

(BNCC). A referida Lei define, também, as áreas de conhecimento a serem implantadas

no Ensino Médio: I. linguagem e suas tecnologias; II. matemática e suas tecnologias; III.

ciências da natureza e suas tecnologias; IV. ciências humanas e sociais e suas tecnologias

(BRASIL, 2017).

37

Ainda, segundo a nova Lei, a parte diversificada do currículo será de competência

de cada sistema de ensino, que deverá estar harmonizada com a BNCC e articulada a

partir do contexto histórico, econômico, social, ambiental e cultural (BRASIL, 2017).

A carga horária mínima também é um ponto alterado pela nova Lei. Se antes eram

800 horas anuais que se distribuíam em 200 dias letivos, conforme art. 26 da LDB/1996,

agora foi disposta a ampliação de forma progressiva para 1.400 horas, devendo os

sistemas de ensino oferecer, no prazo de cinco anos a partir de março de 2017, pelo menos

1.000 horas anuais, não podendo exceder o máximo de 1.800 horas.

Ainda, o Art. 35, incisos 7 e 8, da Lei 13.415/2017, ressalta a importância da

formação integral do aluno, com trabalhos voltados para a construção de seu projeto de

vida e para sua formação nos aspectos físicos cognitivos e socioemocionais. Os

conteúdos, as metodologias e as formas de avaliação processual e formativa deverão ser

organizados pelas redes de ensino por meio de atividades teóricas e práticas, provas orais

e escritas, seminários, projetos e atividades on-line, para que, segundo a Lei, o aluno ao

concluir o Ensino Médio demonstre: I. domínio dos princípios científicos e tecnológicos

que presidem a produção moderna; II. conhecimento das formas contemporâneas de

linguagem (BRASIL, 2017).

As disciplinas de Língua Portuguesa e Matemática são obrigatórias nos três anos

do Ensino Médio, as demais disciplinas permeiam os três anos de acordo com a

organização da rede educacional.

O artigo 36 da LDB, alterado pelo artigo 4 da Lei 13.415/2017, propõe que o

currículo seja composto pela BNCC e por itinerários formativos que devem ser

organizados pelos sistemas de ensino, conforme interesse do contexto local e suas

possibilidades (BRASIL, 2017).

Ainda, o citado artigo 4, inciso 6, da nova Lei apresenta a oferta de formação com

ênfase técnica e profissional. O inciso 8 ressalta que a oferta de formação técnica e

profissional pode ser realizada na própria instituição de ensino ou em parceria com outras

instituições. A Lei enfatiza que esse tipo de ensino profissional permite que o jovem opte

por uma formação técnica profissional vinculada ao Ensino Médio, desde que ele continue

a estudar a Língua Portuguesa e a Matemática. (BRASIL, 2016)

Diante de tantas mudanças, no atual cenário da educação brasileira, resta-nos,

enquanto profissionais da educação e pesquisadores, estarmos atentos e buscarmos a

efetivação com qualidade do que foi imposto pela referida Lei. Embora haja diversos

38

debates contra e a favor, a nova legislação apresenta mudanças que podem ser

interessantes se forem aplicadas e realizadas com qualidade e eficiência, e com o objetivo

de melhorar o Ensino Médio no nosso país.

1.4 O ensino da Geometria na Educação Básica: um enfoque nos documentos

oficiais

Buscamos explanar as habilidades e finalidades que o Ensino Fundamental e

Médio expõe como objetivos ao final de cada nível. Como o objeto da nossa pesquisa é o

pensamento geométrico, buscamos enfatizar tais habilidades no que se refere aos

conceitos geométricos tanto no Ensino Fundamental como no Ensino Médio.

No Ensino Fundamental, de acordo com os “Parâmetros Curriculares Nacionais”

(PCN) de 1998, existe um consenso sobre a seleção de conteúdos para esse nível de

ensino, que devem contemplar o estudo dos números e das operações, o estudo do espaço

e formas, o estudo das grandezas e das medidas. O PCN aponta que esses conteúdos

devem se associar às necessidades cotidianas do aluno, capacitando-os para tratar as

informações que circulam diariamente como os dados estatísticos, tabelas e gráficos e

ideias envolvendo probabilidade e combinatória. As finalidades para o ensino de

Matemática no Ensino Fundamental são descritas no documento com uma abordagem

voltada para a construção da cidadania. No quadro abaixo organizamos algumas dessas

finalidades.

Quadro 3: O ensino de Matemática: finalidades nos PCN 1998

Finalidades para o Ensino da Matemática no Ensino Fundamental

Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o

mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como

aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento

da capacidade para resolver problemas;

Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade,

estabelecendo inter-relações entre eles, utilizando o conhecimento matemático (aritmético,

geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico);

Resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas

de raciocínio e processos, como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa, e utilizando

conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis;

Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com

precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo

relações entre ela e diferentes representações matemáticas;

39

Sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos,

desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções;

Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções

para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um

assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Fonte: BRASIL, 1998. (Organização da pesquisadora).

Como exposto acima, as finalidades do ensino da Matemática culminam com a

construção da autonomia de raciocínios matemáticos, de modo a conduzir o aluno a

incorporar base suficiente para a consolidação e o aprofundamento desses conceitos no

Ensino Médio. Ainda cabe ressaltar que, ao final do Ensino Fundamental, segundo a

teoria do pensamento geométrico de Van Hiele (1957), o aluno deve estar no nível 2,

caracterizado pela capacidade de dedução formal, quando já consegue fazer inter-relações

de propriedades e é capaz de deduzir as propriedades de uma figura e reconhecer suas

classes.

Os conteúdos matemáticos se organizam em blocos que são: números e operações;

espaço e forma; tratamento de informação. O bloco espaço e formas, que particularmente

nos interessa por englobar os conteúdos geométricos, de acordo com o documento oficial

constituem uma parte importante da Matemática no Ensino Fundamental, “pois por meio

desses conhecimentos, os alunos desenvolvem um tipo especial de pensamento que

permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que

vive” (BRASIL, 1998, p. 51).

Os estudos de Geometria também contribuem para a aprendizagem de números e

medidas, pois estimulam a observação, a percepção de semelhanças e diferenças,

identificação de regularidades, etc.

Sobre os estudos de espaço e forma, os PCN ressaltam que o professor de

Matemática deve explorar situações que envolvam construções geométricas de compasso

e régua, de forma a visualizar e aplicar as propriedades das figuras, além de possibilitar a

construção de outras relações. Além disso, torna-se fundamental que esses estudos sejam

apresentados e explorados a partir de objetos do mundo físico, “de obras de arte, pinturas,

desenhos, esculturas e artesanato, de modo que permita ao aluno estabelecer conexões

entre a Matemática e outras áreas do conhecimento” (BRASIL, 1998. p.32).

A Matemática, enquanto disciplina escolar, se organiza no Ensino Médio à luz do

objetivo traçado pelos PCN para esse nível de ensino que é desenvolver conhecimentos

práticos e combinados, de modo a atender as necessidades da vida e o desenvolvimento

40

de conhecimentos mais amplos que permitam aos alunos uma visão geral e sejam capazes

de inovar e aprender continuamente.

Os PCN destacam que o conteúdo de aprendizagem deve conter elementos do

domínio vivencial dos alunos, a fim de propiciar um espaço de significação dos conceitos

estudados no ambiente escolar, ou seja, desenvolver o pensamento matemático partindo

do meio no qual o aluno está inserido.

No tocante à Matemática, os PCN afirmam que a disciplina tem valor formativo e

também instrumental. Quanto ao valor formativo, o documento aponta que a Matemática

contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisição de atitudes,

cuja a utilidade transcende a própria Matemática enquanto disciplina escolar, ou seja,

formar o aluno apto a resolver problemas, criando situações novas e outras capacidades.

Sobre o caráter instrumental, o PCN aponta a visão que o aluno do Ensino Médio deve

ter em relação à Matemática, como um conjunto de técnicas e estratégias a serem

aplicadas, não somente na própria disciplina, mas em todas as áreas de conhecimento,

bem como nas atividades profissionais. “Não se trata de os alunos possuírem muitas e

sofisticadas estratégias, mas sim de desenvolverem a iniciativa e a segurança para adaptá-

las a diferentes contextos, usando-as adequadamente no momento oportuno” (BRASIL,

1998, p. 40).

No decorrer do texto, os PCN apresentam ainda que, para além dessas duas

características, a Matemática também deve ser vista como ciência, com estruturas

específicas.

É importante que o aluno perceba que as definições, demonstrações e

encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos

e estruturas a partir de outros e que servem para validar intuições e dar sentido

às técnicas aplicadas. A essas concepções da Matemática no Ensino Médio se

junta a ideia de que, no Ensino Fundamental, os alunos devem ter se

aproximado de vários campos do conhecimento matemático e agora estão em

condições de utilizá-los e ampliá-los e desenvolver de modo mais amplo

capacidades tão importantes quanto as de abstração, raciocínio em todas as

suas vertentes, resolução de problemas de qualquer tipo, investigação, análise

e compreensão de fatos matemáticos e de interpretação da própria realidade.

(BRASIL, 1998, p.40-41)

Diante disto, cabe relacionarmos também a aprendizagem defendida pela didática

da Matemática que, como Pais (2011) afirma, o aluno deve ser estimulado a realizar um

trabalho voltado para a investigação científica. Assim, ele aprende a reconhecer o

raciocínio lógico argumentativo, despertando “o hábito de fazer uso de seu raciocínio e

de cultivar o gosto pela resolução de problemas” (PAIS, 2011.p. 35). Logo, pode-se

41

verificar a necessidade de conduzir o aluno a uma aprendizagem que valorize a construção

de conceitos e a utilização do pensamento lógico e argumentativo, capaz de levá-lo a uma

postura crítica, não somente frente a problemas matemáticos como em situações da vida

cotidiana.

Dando continuidade às reflexões dos PCN sobre a Matemática, podemos perceber

também que há informações sobre a Base Curricular Comum e seus conteúdos mínimos,

exemplificando como determinados conteúdos matemáticos podem ser trabalhados,

relacionando-os a outras áreas do conhecimento. No que tange a Geometria o documento

expõe algumas considerações.

Numa outra direção, as habilidades de visualização, desenho, argumentação

lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas podem ser

desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno

possa usar as formas e propriedades geométricas na representação e

visualização de partes do mundo que o cerca. (BRASIL, 1998, p.44)

De acordo com os PCN, as habilidades e competências a serem desenvolvidas na

Matemática estão classificadas em três eixos que, para melhor compreensão, organizamos

no quadro a seguir.

Quadro 4 - Habilidades e competências na Matemática

Representação e

comunicação

Investigação e compreensão Contextualização sócio-

cultural

• Ler e interpretar textos de

Matemática.

• Ler, interpretar e utilizar

representações matemáticas

(tabelas, gráficos,

expressões etc).

• Transcrever mensagens

matemáticas da linguagem

corrente para linguagem

simbólica (equações,

gráficos, diagramas,

fórmulas, tabelas etc.) e

vice-versa.

•Exprimir-se com correção e

clareza, tanto na língua

materna, como na linguagem

matemática, usando a

terminologia correta.

•Produzir textos matemáticos

adequados.

•Identificar o problema

(compreender enunciados,

formular questões etc).

• Procurar, selecionar e

interpretar informações

relativas ao problema.

• Formular hipóteses e prever

resultados.

• Selecionar estratégias de

resolução de problemas.

• Interpretar e criticar resultados

numa situação concreta.

• Distinguir e utilizar raciocínios

dedutivos e indutivos.

• Fazer e validar conjecturas,

experimentando, recorrendo a

modelos, esboços, fatos

conhecidos, relações e

propriedades.

• Desenvolver a capacidade

de utilizar a Matemática na

interpretação e intervenção

no real.

• Aplicar conhecimentos e

métodos matemáticos em

situações reais, em

especial em outras áreas do

conhecimento.

• Relacionar etapas da

história da Matemática

com a evolução da

humanidade.

• Utilizar adequadamente

calculadoras e

computador,

reconhecendo suas

limitações e

potencialidades.

42

• Utilizar adequadamente os

recursos tecnológicos como

instrumentos de produção e

de comunicação.

• Utilizar corretamente

instrumentos de medição e

de desenho.

• Discutir ideias e produzir

argumentos convincentes.

Fonte: Brasil, 1998. (Organização da pesquisadora)

1.4.1 A Geometria nas Orientações Curriculares de Mato Grosso para o Ensino Médio.

Após o enfoque sobre as determinações dos PCN, cabe examinar as “Orientações

Curriculares de Mato Grosso” de 2010, que tratam da área de Ciências da Natureza e

Matemática na Educação Básica

No tocante à Matemática, o documento ressalta que, no Ensino Fundamental, os

alunos estabelecem relações que os aproximam dos conceitos científicos, que

desenvolvem procedimentos simples e atitudes críticas na realização de atividades

didáticas. O documento aborda uma característica peculiar da Matemática, enquanto

disciplina, qual seja, sua dualidade muitas vezes antagônica, tendo em vista que é “uma

disciplina utilitarista ou desenvolvedora de ideias: empírica ou estruturada; às vezes

utilizada como linguagem ora como ciência formal; intuitiva ou lógica; pura ou aplicada;

responsabilidade dos cientistas ou dos educadores ” (MATO GROSSO, 2010. p.119).

O documento aborda fatos históricos do desenvolvimento da Matemática, traz

reflexões sobre como ensiná-la, expõe algumas tendências que permearam o cenário

brasileiro no decorrer de vários movimentos, que surgiram ao longo do tempo.

O documento ainda traz à luz reflexões feitas nos PCN e propõe organizar três

eixos envolvendo conteúdos matemáticos a serem trabalhados nos dois níveis

da Educação Básica. Um conjunto de temas que possibilite o desenvolvimento

do pensamento matemático e, ao mesmo tempo, garanta uma relevância

científica e cultural com uma articulação lógica das ideias e conteúdos

matemáticos pode ser sistematizado nos três seguintes eixos ou temas

estruturadores e estes, consequentemente, desenvolvidos tanto paralelamente

nos três anos do Ensino Médio como integrantes aos eixos interdisciplinares.

1. Geometria e medidas 2. Álgebra: números e funções 3. Análise de dados e

tratamento da informação. (MATO GROSSO, 2010, p. 140)

O primeiro eixo aborda o tema referente à Geometria e medidas, sendo

subdividido em quatro unidades temáticas: geometria plana; geometria espacial; métrica

e geometria analítica.

43

A unidade sobre Geometria plana relaciona conceitos entre semelhança e

congruência e as diversas formas de representações de figuras, para que o estudante tenha

a capacidade de identificar dados e relações geométricas relevantes na resolução de

situações-problemas. Expõe, ainda, que as propriedades da Geometria são de dois tipos e

que podem ser pensadas de maneiras diferentes: uma delas seria a posição relativa das

formas que consiste na identificação de propriedades referentes a “paralelismo,

perpendicularismo, intersecção e composição de diferentes formas que podem ser

comprovadas e desenvolvidas apenas com régua e compasso” (MATO GROSSO, 2010,

p. 141). A outra forma segue a finalidade de quantificar comprimentos, áreas e volumes,

que estão associados a medidas usuais.

Na unidade temática de Geometria espacial o documento estabelece relações em

elementos dos poliedros, sua classificação e representação, bem como os sólidos

redondos, a inscrição e circunscrição de sólidos, propriedades relacionadas à posição,

conceitos de intersecção, paralelismo e perpendicularismo. Isso permite ao aluno “usar

formas geométricas espaciais para representar ou visualizar partes do mundo real, usando,

para isso, peças mecânicas, embalagens e construções” (MATO GROSSO, 2010, p. 141).

Pode-se perceber a importância dada pelo documento na relação da geometria com

o “mundo real”, além de reflexões sobre ações concretas propiciadas pela geometria que

possibilita a compreensão do significado de alguns postulados e axiomas, levando o aluno

a enxergar e reconhecer o valor de uma demonstração e perceber a Matemática como

ciência, com sua forma específica de validar seus resultados.

A terceira unidade envolve relações métrica, cujo objetivo é estruturar um

aprendizado que garanta ao aluno efetuar cálculos envolvendo medidas, aplicadas a

situações reais e estimando a margem de erro. Conhecimentos sobre perímetro, áreas e

volumes devem ser vistos em forma de soluções problemas, como indica o documento.

Na quarta unidade temática, que envolve a Geometria analítica, o documento

ressalta que o aluno é capaz de interpretar e resolver situações problemas geométricos por

meio do estudo de representações no plano cartesiano e equações, analisando intersecção

e posições relativas de figuras. O aluno ao estudar essa unidade deve ser capaz de associar

essas situações problemas com suas respectivas formas algébricas e representação

gráfica, para construir assim, uma visão mais sistemática das diferentes linguagens no

campo de estudo da matemática.

44

1.4.2 A Geometria na Base Nacional Comum Curricular

E como a Geometria se organizará daqui para frente com todas essas mudanças

no cenário do Ensino Médio?

A “Base Nacional Comum Curricular” (BNCC) expõe quadros com os conteúdos

didáticos dos três níveis de ensino e, obedecendo a LDB/96 na sua alteração pela Lei nº

12.796 de 04 de abril de 2013, determina que, além da Base Nacional Curricular Comum

para todos os níveis de ensino, obrigatoriamente deve oferecer uma Parte Diversificada

de acordo com as características regionais e locais da sociedade, da cultura, da economia

e dos educandos.

A BNCC ainda está em processo de aprovação, sendo que a segunda versão

atualizada e revisada foi publicada pelo MEC, em abril de 2016. As propostas e

indicações para o processo de ensino e aprendizagem da Matemática, presentes no

documento, não se afastam dos recentes documentos curriculares publicados pelas

secretarias estaduais e municipais de educação, mas, se tratando de complementação para

auxiliar o trabalho pedagógico, não deve ser tomada como receita a ser seguida fielmente.

Entretanto, embora não esteja aprovada e nem em sua versão final, achamos válidos

compreendermos como os conteúdos estão organizados e as competências que são

exigidas dos alunos e, consequentemente, estarão presentes nos planos de aulas, nos

planos de cursos e nos currículos escolares de todo país.

A estrutura do componente Matemática na BNCC procura dialogar com os

documentos curriculares recentes no cenário brasileiro, e encontra articulação na adoção

de cinco eixos que orientam a formulação de seus objetivos de aprendizagem e

desenvolvimento: Números e operações, Geometria, Grandezas e medidas, Álgebra e

Funções, Estatística. Vale ressaltar que cada um desses eixos recebe tratamento

diferenciado dependendo do ano de escolarização, procurando garantir um grau de

proficiência dos alunos, que se torne cada vez mais elaborado ao longo dos anos de

escolarização. Sobre a etapa do Ensino Médio, a BNCC aponta algumas considerações.

Essa nova etapa da escolarização deve oferecer ao/à estudante condições para

ampliar, consolidar e complementar sua formação, contribuindo,

especialmente, para o desenvolvimento de suas capacidades de abstração,

reflexão, interpretação, proposição e ação, essenciais à autonomia pessoal,

profissional, intelectual e política. (BRASIL, 2016, p.490)

45

A BNCC frisa que o jovem ao concluir o Ensino Médio deve ser capaz de

questionar, analisar e se posicionar criticamente, solucionar problemas de forma criativa

e inovadora, de agir responsavelmente diante das complexidades do mundo moderno e,

para que isso aconteça precisa compreender e interpretara leitura da realidade. Nesse

contexto, a Matemática, por consequência, é uma ferramenta valiosa para a compreensão

do mundo em constante mudança.

Na BNCC, o tópico intitulado “As Unidades Curriculares de Matemática”

apresentam os objetivos de aprendizagem da disciplina organizados em unidades

curriculares de I a V e, ainda, por unidade de conhecimento. Dentre as unidades, a

segunda refere-se à Geometria.

No Ensino Médio o estudo da geometria deve retomar, ampliar e sistematizar

os conhecimentos estudados anteriormente de modo a possibilitar aos

estudantes a compreensão da estrutura lógica da geometria euclidiana [...]

compreender e generalizar algumas propriedades e demonstrar alguns

teoremas. (BRASIL, 2016, p.562)

A BNCC aponta, também, ainda as finalidades, as dimensões e indica quatro eixos

norteadores da formação para o Ensino Médio. O primeiro eixo, intitulado “Pensamento

crítico e projeto de vida”, visa desenvolver no aluno uma atitude questionadora, de modo

a assumir protagonismo em relação aos desafios da vida acadêmica, profissional e

pessoal, a partir de uma análise crítica (BRASIL, 2016).

O eixo dois, “Intervenção no mundo natural e social visa desenvolver o

protagonismo dos estudantes frente a questões sociais e ambientais. Refere-se à

capacidade de dar respostas aos problemas de seu tempo com diferentes recursos e

tecnologias (BRASIL, 2016).

O terceiro eixo, “Letramento de capacidade de entender”, diz respeito à ampliação

da participação dos estudantes do Ensino Médio no mundo letrado por meio de sua

inserção nas esferas mais abrangentes. Tal ampliação deve se traduzir no

desenvolvimento da capacidade de continuar aprendendo ao longo da vida (BRASIL,

2016).

O quarto eixo, “Solidariedade e sociabilidade” refere-se aos compromissos que os

sujeitos assumem com relação à coletividade e aos processos de construção da identidade

que se dá no reconhecimento e acolhimento das diferenças (BRASIL, 2016).

46

Partindo dos quatro eixos fixados pela BNCC, foram elaborados cinco objetivos

gerais da formação na área da Matemática no Ensino Médio, conforme apresentados no

quadro a seguir.

Quadro 5 – Eixos de formação BNCC

OBJETIVOS

EIXOS DE FORMAÇÃO

Pensamento

crítico e

projeto de

vida

Intervenção

no mundo

natural e

social

Letramento

e

capacidades

de aprender

Solidarieda

de e

sociabilidad

e

(EMMT01)

Aplicar conhecimentos

matemáticos em situações

diversas, na compreensão das

demais ciências, de modo a

consolidar uma formação

científica geral.

X

X

(EMMT02)

Expressar argumentações

matemáticas de forma oral,

escrita e gráfica, valorizando

a precisão da linguagem.

X

X

(EMMT03)

Compreender a Matemática

como ciência, com

linguagem própria e estrutura

lógica.

X

X

(EMMT04)

Estabelecer relações entre

conceitos matemáticos de

Geometria, Grandezas e

Medidas, estatística e

probabilidade, Números e

operações, Álgebra e

funções, bem como entre a

Matemática e outras áreas do

conhecimento.

X

X

(EMMT05)

Analisar criticamente o uso

da Matemática em diferentes

práticas sociais e fenômenos

naturais, para atuar e intervir

na sociedade

X X X

Fonte: BRASIL, 2016.

Tais objetivos permeiam todas as três etapas do Ensino Médio nas cinco unidades

de conhecimento. O quadro a seguir mostra os objetivos do estudo da Geometria

47

apresentados pela BNCC organizados em Unidades Curriculares de I a V, em que

podemos verificar quais conhecimentos geométricos são exigidos nesta etapa de ensino.

Vale ressaltar que os códigos relacionados aos objetivos geométricos expostos no

quadro, estão vinculados com os cinco objetivos gerais expostos no quadro anterior.

Quadro 6 – Geometria na BNCC

GEOMETRIA UNIDADE

CURRICULAR I

UNIDADE

CURRICULAR II

(EM11MT01)

Compreender o conceito de

vetor, tanto do ponto de vista

geométrico (coleção de

segmentos orientados de

mesmo comprimento,

direção e sentido) quanto do

ponto de vista algébrico,

caracterizado por suas

coordenadas, aplicando-o em

situações da Física.

(EM12MT01)

Compreender o teorema de

Tales e aplicá-lo em

demonstrações e na

resolução de problemas,

incluindo a divisão de

segmentos em partes

proporcionais.

(EM12MT02)

Resolver e elaborar

problemas utilizando a

semelhança de triângulos e o

teorema de Pitágoras,

incluindo aqueles que

envolvem o cálculo das

medidas de diagonais de

prismas, de altura de

pirâmides, e aplicar esse

conhecimento em situações

relacionadas ao mundo do

trabalho.

(EM12MT03)

Utilizar a noção de

semelhança para

compreender as razões

trigonométricas no triângulo

retângulo, suas relações em

triângulos quaisquer e aplicá-

las em situações como o

cálculo de medidas

inacessíveis, entre outras.

48

UNIDADE

CURRICULAR III

UNIDADE

CURRICULAR IV

UNIDADE

CURRICULAR V

(EM13MT01)

Estabelecer relações entre

vistas ortogonais e

representações em

perspectiva de figuras

geométricas espaciais e de

objetos do mundo físico e

aplicar esse conhecimento

em situações relacionadas ao

mundo do trabalho.

(EM14MT01)

Resolver e elaborar

problemas que envolvam o

ponto médio de um

segmento de reta e a

distância entre dois pontos

quaisquer no plano

cartesiano, incluindo o

estudo de pontos e

segmentos notáveis do

triângulo, entre outros.

(EM15MT01)

Compreender a estrutura

lógica da geometria

euclidiana e demonstrar

alguns teoremas como

soma dos ângulos internos

de polígonos, teorema de

Pitágoras, casos de

semelhança e de congruência

de triângulos.

(EM13MT02)

Estabelecer relações entre as

transformações isométricas

(reflexão, translação e

rotação) e vetores no

contexto do plano cartesiano,

incluindo o uso de softwares

de geometria dinâmica.

(EM15MT02)

Estabelecer relação entre a

representação geométrica de

uma reta no plano cartesiano

e os coeficientes de sua

representação algébrica,

inclusive no contexto da

função afim.

(EM13MT03)

Compreender mediatriz,

bissetriz e circunferência

como lugares geométricos,

utilizando essa ideia para a

construção de outras figuras

geométricas planas, com o

uso de régua e compasso e

de softwares de geometria

dinâmica.

(EM15MT03)

Estabelecer relação entre a

representação geométrica de

circunferências e os

coeficientes de sua

representação algébrica

(EM15MT04)

Resolver problemas que

envolvem as equações da

reta e da circunferência por

meio de sua representação no

plano cartesiano.

Fonte: BRASIL, 2016 (grifo nosso).

Os conhecimentos que utilizamos na presente pesquisa, correspondem aos

objetivos (EM13MT01) e (EM15MT01) propõem o estabelecimento de relações entre

vistas ortogonais e representação em perspectiva de figuras geométricas espaciais e de

objetos do mundo físico. Outro objetivo importante é compreender a estrutura lógica da

Geometria euclidiana e demonstrar alguns teoremas.

49

Os dois objetivos acima citados estão relacionados com o primeiro objetivo geral

para a formação do Ensino Médio, que consiste em aplicar conhecimentos matemáticos

em situações diversas, na compreensão das demais ciências, de modo a consolidar uma

formação cientifica geral e correspondem aos eixos dois e três que trata da intervenção

no mundo natural e social e do letramento e capacidade de aprender.

Diante dos objetivos apresentados, segundo proposição da BNCC, cabe assinalar

que o documento ressalta a importância do conhecimento matemático para a formação

integral do jovem enquanto protagonista e capaz de realizar transformações por meio

domínio de saberes. No entanto, resta-nos questionar: o nosso sistema de ensino é capaz

de disponibilizar aos jovens um ensino de qualidade, capaz de contemplar todos esses

objetivos? A mudança no currículo é suficiente para suprir as necessidades do Ensino

Médio? E a formação dos professores? Aqueles que efetivamente, estão em nossas salas

de aula praticando e fazendo matemática, será que estes estão preparados para todas essas

mudanças? Questões desse tipo, com certeza impulsionará várias outras pesquisas na

área, principalmente diante desse novo desenrolar da educação básica brasileira.

50

2 O DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO

No texto, a seguir, buscamos apresentar de forma panorâmica a teoria do casal

Van Hiele sobre o desenvolvimento do pensamento geométrico dos alunos. Cabe ressaltar

que a presente teoria tem um aporte mais didático, voltado para o professor. Utilizamos

os cinco níveis (0 a 4) de desenvolvimento geométrico desenvolvidos pelos pesquisadores

que classificam, de forma hierárquica, os níveis do pensamento geométrico a serem

assimilados pelos alunos.

2.1 Teoria de Van Hiele: concepções sobre habilidades geométricas

Os conceitos geométricos têm por característica principal sua relação com o meio

externo. Isso se deve ao fato de comparar, representar tais conceitos e estabelecer relações

envolvendo formas geométricas com facilidade, pois as atividades não necessitam de uma

compreensão rigorosa e de um nível de abstração elevado. Porém, na medida que nos

afastamos do campo visual e prático encontramos um grande obstáculo para o

desenvolvimento do pensamento geométrico.

Várias são as investigações sobre o ensino de Geometria, sua importância,

métodos e técnicas de ensino. Uma das teorias da interpretação e sistematização do

conhecimento geométrico foi desenvolvido por Pierre M. Van Hiele e sua esposa, Dina

Van Hiele Geldof, ambos professores holandeses, que, por meio da própria experiência

em sala de aula, se interessaram por estudar e compreender determinados mecanismos no

processo de ensino-aprendizagem da Geometria. O casal desenvolveu a teoria do

desenvolvimento do pensamento geométrico na tese de doutorado em Matemática e

Ciências Naturais pela Universidade Real de Utrencht, na Holanda.

A teoria piagetiana influenciou Van Hiele, principalmente na composição do

conceito de estrutura, que é muito importante para o modelo proposto pelo autor. Para

compor os níveis do pensamento geométrico, Van Hiele baseou-se na teoria de Piaget,

mas com algumas diferenças, por exemplo: o modelo de Van Hiele é teórico

metodológico, enquanto Piaget procurou compreender o desenvolvimento da

inteligência.

Para Vargas e Araya (2013), o modelo de Van Hiele surge como uma resposta aos

problemas encontrados pelos professores que ensinam Geometria, de modo que o

51

principal objetivo da teoria é ajudar o aluno a evoluir de um nível para outro do

pensamento geométrico. Logo podemos reafirmar que essa teoria diz respeito ao ensino

e aprendizagem da Geometria.

A partir dos estudos sobre a evolução do pensamento de Piaget, em que seu objeto

de estudo refere-se a como o homem constrói o conhecimento, Van Hiele (1957) baseou-

se para explicar e estruturar a existência de diferentes níveis de pensamentos sobre os

conceitos geométricos, nos quais os alunos avançam por níveis de desenvolvimento do

pensamento geométrico, que permeiam desde as aparências físicas de figuras geométricas

até a abstração de conceitos geométricos (COSTA, 2016).

Todavia, reiteramos que as teorias de Piaget (1978) e de Van Hiele (1957)

divergem em muitos pontos. Há que se considerar que Piaget refere-se ao

desenvolvimento da inteligência da criança, desenvolvendo níveis relacionando à idade,

o que denominou de estágios cognitivos. Van Hiele considera que as crianças devem ser

motivadas a subir de um nível para outro e, para isso, o progresso nos níveis do

pensamento geométrico são impulsionados pela metodologia de ensino aprendizagem e

pelos incentivos norteados pela escola e não pela idade do indivíduo como defende Piaget.

Outra diferença entre as teorias se refere à linguagem pois, enquanto para Piaget a

linguagem não influencia diretamente a evolução da inteligência, para Van Hiele o aluno

desenvolve uma linguagem específica para cada nível de pensamento (VARGAS;

ARAYA, 2013). Logo, podemos concluir que Piaget estava mais preocupado em

compreender os mecanismos mentais empregados pelo sujeito no desenvolvimento da

inteligência, e Van Hiele enfatiza as estruturas do pensamento geométrico do sujeito.

Nesse sentido, as experiências de ensino, as metodologias, as intervenções

pedagógicas, os recursos didáticos empregados, os instrumentos avaliativos

adotados e as temáticas trabalhadas em sala de aula, constituem aspectos

fundamentais dos processos de ensino e de aprendizagem da Geometria.

(COSTA, p. 61, 2016)

Por meio da teoria de Van Hiele pode-se conhecer em que nível de

desenvolvimento se encontra o pensamento geométrico do aluno. Sua proposta prevê uma

aprendizagem dos conceitos geométricos que favoreçam a progressão dos alunos,

obedecendo a uma sequência de níveis de compreensão dos conceitos. Assim, a teoria de

Van Hiele consiste em organizar o ensino capaz de levar os estudantes a evoluírem na

aprendizagem geométrica, seguindo os níveis hierárquicos de pensamento. Portanto,

consiste em dizer que o estudante só poderá passar para um nível superior se alcançou as

52

estruturas do nível abaixo, não podendo assim saltar níveis. Para que isso aconteça a

prática do professor e suas escolhas metodológicas são fortes influenciadoras do processo

de evolução do pensamento geométrico.

2.1.1 Propriedades e os níveis de pensamento geométrico

De acordo com Jaime (1993), o modelo de Van Hiele aborda alguns aspectos

básicos: o descritivo que identifica as diferentes formas de raciocínio geométrico dos

indivíduos e por meio do qual se pode avaliar seu progresso; o instrutivo que direciona

métodos a serem seguidos pelos professores para favorecer o progresso de nível dos

alunos.

Como pode ser observada na figura 3, a seguir, a teoria do pensamento geométrico

de Van Hiele é composta de cinco níveis de compreensão que, segundo o autor, a

progressão nos níveis dependerá mais da aprendizagem adequada do que da maturação

ou idade, mas não excluindo a importância de obedecer a maturação.

Figura 3 – Níveis do Pensamento Geométrico segundo Van Hiele

Fonte: WALLE, 2009

É importante destacar que para maior clareza de nossa exposição optamos por

chamar de nível 0, nível 1, nível 2, nível 3 e nível 4, pois fica mais fácil relacionar com o

uso de diferentes termos nas bibliografias nacionais e internacionais.

Nível 0: Nesse nível os alunos reconhecem as figuras geométricas pela forma e

aparência e pelo aspecto global, mas não conseguem identificar, reconhecer ou explicar

as propriedades da figura; nesse nível também não há a linguagem geométrica para se

referir às figuras pelo nome (KALEFF, 1994; VARGAS; ARAYA, 2013; COSTA, 2016)

53

Nível 1: Corresponde à análise. Nesse nível o aluno raciocina sobre conceitos

geométricos por meio de uma análise informal, pela observação e experimentação. Porém

não é possível estabelecer relações entre as propriedades da figura, conhecendo as

propriedades somente de forma empírica pela manipulação e experimentação. Ou seja,

esse nível é caracterizado pelo reconhecimento dos alunos não apenas pela visualização,

mas por suas propriedades gerais (VARGAS; ARAYA, 2013; COSTA 2016, KALEFF,

1994).

Nível 2: Os alunos formam definições abstratas, podendo estabelecer inter-

relações das propriedades nas figuras; compreendem como uma propriedade é

consequência da outra. Por conseguinte, nesse nível o aluno consegue obter a relação

entre figuras e propriedades e estabelecer condições necessárias e suficientes, existentes

por trás das figuras geométricas, pois as definições adquirem significados. No entanto,

seu raciocínio lógico segue baseado na manipulação, ou seja, realiza demonstrações, mas

não é capaz de generalizá-las por não ser possível, ainda, a organização formal dos

raciocínios lógicos que justificam suas observações. (VARGAS; ARAYA, 2013; COSTA

2016, KALEFF, 1994)

Nível 3: Representa a dedução formal, pois os alunos desenvolvem sequências de

afirmação advinda de outra anterior. Os alunos raciocinam formalmente no contexto de

um sistema matemático formal. Nesse nível, o aluno tem a capacidade de fazer provas e

demonstrações de certos conceitos. “O aluno é capaz de compreender a dedução como

um meio de situar a teoria da Geometria no contexto de um sistema axiomático, além de

entender o significado intrínseco da demonstração” (COSTA, 2016. p. 69). Realizam

demonstrações e deduções lógicas e formais. Desse modo, o aluno consegue realizar

demonstrações por diversos meios e estabelecer a distinção entre uma proposição e sua

recíproca (VARGAS; ARAYA, 2013; COSTA 2016, KALEFF, 1994).

Nível 4: Se refere ao rigor, visto que os alunos avaliam sistemas dedutivos com

algum grau de rigor, ou seja, assimilam a teorização, são capazes de aprofundar a análise

das propriedades de um sistema dedutivo, capazes de produzir teoria. Esse nível é

definido por processos matemáticos e os indivíduos estão capacitados para analisar, em

grau de rigor elevado, os vários tipos de sistemas dedutivos e compará-los entre si.

Compreendem a Geometria em sua forma abstrata.

Para Van Hiele (1957), devemos reafirma, o avanço em cada um desses níveis,

muito mais do que na maturação dos alunos, está centrado nas atividades e práticas

54

educativas realizadas por professores que, após conhecer o nível de pensamento

geométrico dos alunos, elaboram meios e metodologias para seu desenvolvimento que se

refere à formação do pensamento geométrico.

A seguir vamos expor as propriedades da teoria de Van Hiele.

Para compreender melhor a teoria de Van Hiele, faz-se necessário compreender

algumas propriedades e suas caraterísticas. Crowley (1994); Vargas e Araya (2013)

expõem essas propriedades:

Sequencial – O êxito de um nível depende do grau de assimilação que o estudante

obteve nos níveis anteriores. O estudante só poderá passar para um nível acima se

compreendeu o exigido no nível anterior.

Avanço – O que determina o avanço para os níveis superiores depende de como

os conteúdos geométricos são abordados na prática do professor, e se as

abordagens são elaboradas de forma adequada para o avanço do aluno na

compreensão do pensamento geométrico, não necessariamente em relação à idade

do aluno.

Intrínseco e extrínseco – Aqui os objetos matemáticos podem tomar ou assumir

características diferentes em cada nível. Um exemplo: “no primeiro nível as

figuras geométricas são percebidas apenas pela sua aparência global ou forma,

enquanto no segundo, elas são analisadas e percebidas e detentoras de

propriedades” (COSTA, 2016. p. 72).

Linguística – As habilidades de raciocínio associadas aos níveis de Van Hiele não

são somente refletidas na resolução de problemas, mas também no uso de

símbolos linguísticos. “Como exemplo, podemos mencionar o caso do quadrado.

Uma figura geométrica pode apresentar diversos nomes, no caso do quadrado, ele

também é um paralelogramo, um retângulo e um losango.” (COSTA, 2016. p. 72)

Combinação inadequada – Ocorre quando o aluno está em um nível diferente

daquele que lhe é apresentado. Nesse sentido, a aprendizagem pode não ocorrer

devidamente e a evolução da aprendizagem pode não se realizar. Ou seja, se aquilo

que permeia a ponte entre o conhecimento geométrico em cada nível, como o

material didático, as metodologias e a linguagem, estiverem em um nível mais

elevado que o do aluno, ele não terá condições de estruturar o raciocínio exigido

em cada nível.

55

As fases de aprendizagem da teoria do pensamento geométrico, segundo Kaleff

(1994), Van Hiele, na sua teoria, verificou a existência das fases de desenvolvimento do

pensamento geométrico que especificam algumas generalizações e caracterizam o

modelo e, ainda, fornecem um roteiro e uma metodologia.

O modelo é parte de uma teoria de desenvolvimento e, portanto, presume que

um aluno para atuar com sucesso em determinado nível necessita ter adquirido

(através de experiências e aprendizagens apropriadas), as estratégias dos níveis

anteriores, não permitindo ao aluno saltar níveis. O processo, ou falta dele, de

um nível para o outro, depende mais dos conteúdos e métodos de ensinos

recebidos do que a idade. [...] No mecanismo entre os níveis, os objetos

inerentes a um nível se transformam em objetos de estudo para o nível superior.

Cada nível tem seus próprios símbolos linguísticos e seu próprio sistema de

relações conectando esses símbolos. Assim, uma relação que é aceita como

correta em um nível pode ser modificada em outro. (KALEFF,1994, p.27)

Van Hiele (1957) apresenta cinco fases para o desenvolvimento do pensamento

geométrico. Para o casal de pesquisadores, as fases favorecem a aquisição de um nível de

pensamento em um determinado tópico de Geometria de modo a facilitar sua aquisição.

Explicamos, na sequência, segundo autores citados, quais são essas propriedades com

suas respectivas características (Crowley, 1994; Vargas; Araya, 2013):

A primeira fase do desenvolvimento é a fase do questionamento ou informação,

na qual o professor mantém um diálogo sobre o conteúdo em questão. A observação nesse

nível é importante, pois permite ao professor reconhecer os conhecimentos que o aluno

já adquiriu, para assim direcionar os estudos posteriores. “São típicos dessa fase os

questionamentos: O que é um quadrado? O que é um losango? Quais suas diferenças? O

que tem em comum? É possível um quadrado ser um losango? O inverso poderá ocorrer?

Por qual Motivo?” (COSTA, 2016. p. 73) Tais perguntas levam o professor a verificar o

que o aluno compreende e como pode auxiliá-lo a desenvolver o raciocínio geométrico.

Na segunda fase, chamada de orientação direta, os alunos devem explorar o

assunto estudado por meio uso de materiais selecionados pelo professor, que os levam a

se familiarizar com as estruturas. Para Van Hiele, as atividades propostas aos alunos

devem conter tarefas em uma só etapa, possibilitando que o mesmo a responda de forma

específica e objetiva. Nessa fase, ainda, o professor guia os alunos mediante atividades e

problemas com a finalidade de levá-los a descobrirem as diversas relações existentes entre

os conceitos geométricos.

Na terceira fase, chamada fase da explicação, com base nas experiências

anteriores os alunos devem observar, compreender e questionar o conteúdo exposto,

56

procurando extrair os conceitos por si mesmo. Nessa fase, o professor deve interferir o

mínimo possível, levando o aluno a conjecturar suas próprias ideias sobre o que lhe é

apresentado. No decorrer dessa fase verificamos a relação entre os níveis, observando-se

a utilização de uma linguagem mais formal e definida. Deve-se estimular as discussões e

comentários sobre as várias formas de resolver problemas anteriores, relacionando

propriedades estudadas em níveis anteriores.

A fase quatro, chamada de orientação livre, é aquela em que o aluno é motivado

por meios de atividades organizadas em várias etapas, possibilitando lhe enxergar várias

formas de resolvê-las de modo a não ficar preso em modelos prontos. Esse procedimento

possibilita uma caminhada para a própria compreensão do conceito, sua estrutura e

organização, tornando o aluno capaz de articular ideias e generalizá-las.

Na quinta e última etapa do processo, chamada de integração, é a fase da revisão

e da síntese do que foi estudado. O aluno deve fazer relações com o que já foi

internalizado e uma unificação no domínio do conhecimento. Aqui se produz a

consolidação da aprendizagem realizada nas fases anteriores. Nessa fase, o professor

apenas ajuda o aluno a elaborar uma síntese, fornecendo experiências e observações

gerais. Ao final da quinta fase o aluno deve ter um novo nível de pensamento.

No Brasil um grupo de estudos, chamado “Projeto Fundão”, faz uma abordagem

e desenvolve algumas pesquisas sobre a teoria de Van Hiele. Nasser (2000) afirma que a

teoria dos autores holandeses se baseia muito mais na prática do professor do que na fase

do aluno.

Diante do exposto neste capítulo, podemos notar que a teoria de desenvolvimento

do pensamento geométrico por Van Hiele, conclui que para que o aluno possa adquirir

conhecimentos de cada nível específico, este deve compreender as propriedades e

objetivos de cada nível. Sendo assim, o aluno não pode saltar de um nível a outro sem

que tenha total domínio dos conhecimentos específicos do nível inferior. O professor e

sua prática são colaboradores primordiais no progresso e evolução do pensamento

geométrico dos alunos, por isso é de extrema importância que professores de matemática

conheçam e compreendam a teoria do desenvolvimento geométrico de Van Hiele.

57

3 A METODOLOGIA

O objetivo do que elaboramos a seguir consiste em situar o contexto em que se

realizou a pesquisa. Para isso, são indicados a opção metodológica da investigação, o

contexto no qual ela está inserida, a seleção dos sujeitos, a definição dos instrumentos de

coleta de dados, bem como a organização dos eixos temáticos para sua análise dos dados.

3.1 Opção metodológica

A questão suscitada para a realização da investigação foi formulada da seguinte

maneira: Que conhecimentos geométricos sobre polígonos e poliedros são apresentados

por alunos do Ensino Médio? É imprescindível que o leitor tenha clareza da nossa escolha

metodológica para compreender o percurso adotado a fim de responder à questão

norteadora da pesquisa.

A pesquisa apresenta uma abordagem qualitativa de caráter exploratório. A qual,

de acordo com Gil (2007), proporciona maior familiaridade com o problema, com vistas

a torná-lo mais explícito. Apesar de ser utilizado ao longo da análise dos resultados dados

quantitativos, o maior interesse se mostra em avaliar o nível de conhecimento geométrico

dos alunos e, nesse caso específico, os dados numéricos somente irão subsidiar essa

avaliação.

Para responder à pergunta central da investigação optamos pela pesquisa

qualitativa no campo das pesquisas da Educação Matemática. Pais (2011) apresenta

alguns aspectos e objetivos desse campo de pesquisa considerado novo, classificando-a

como uma grande área da pesquisa educacional;

[...] o objeto de estudo é a compreensão, interpretação e descrição de

fenômenos referentes ao ensino e à aprendizagem de matemática, nos diversos

níveis de escolaridade, quer seja na sua dimensão teórica ou prática. Além

dessa definição ampla, a expressão educação matemática pode ser ainda

entendida no plano da prática pedagógica, conduzida pelos desafios do

cotidiano escolar. (PAIS, 2011, p.10)

Desta maneira, a presente investigação tem por objeto de estudo os fenômenos

referentes ao ensino e aprendizagem da Matemática, em que se busca interpretar e

descrever os fenômenos na construção do conhecimento geométrico dos alunos do Ensino

58

Médio. Diante da natureza da pesquisa e das especificidades do ambiente educacional

optou-se pela pesquisa qualitativa norteada na abordagem descritiva interpretativa.

A pesquisa qualitativa tem ganhado espaço nos mais variados centros de estudos

da Linha da Educação Matemática pelo Brasil. Borba e Araújo (2013) apresentam breve

explicação da abordagem na Educação Matemática e, citando Bicudo (1993), mostram

que o ato de pesquisar, “configura-se como buscar explicações cada vez mais

convincentes e claras sobre a pergunta feita.” (BICUDO, 1993, p. 31. Apud BORBA;

ARAÚJO, 2013, p. 24). Ou seja, ao focalizar ou procurar compreensões o pesquisador na

área da Educação Matemática poderá ser remetido a questões que não envolvam

diretamente o estudo ou a análise de dados quantitativos. É o caso, principalmente, nas

questões voltadas à análise e interpretação das relações da prática docente com o ensino,

por exemplo, questões que envolvam a qualidade, “que primam pelo significado das

ações” (BORBA E ARAÚJO 2013. p.25) que são impossíveis de quantificar.

A pesquisa qualitativa assumida nessa pesquisa como abordagem metodológica

apresenta, de acordo com Bogdan e Biklen (1994, p. 50), cinco características

expressivas.

1) Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente natural,

constituindo o investigador o instrumento principal. 2) A investigação

qualitativa é descritiva. 3) Os investigadores qualitativos interessam-se

mais pelo processo do que simplesmente pelos resultados ou produtos. 4)

Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma

indutiva. 5) O significado é de importância vital na abordagem qualitativa.

Para Cervo (1996, p.50) “a pesquisa descritiva observa, registra, analisa e

correlaciona fatos ou fenômenos (variáveis) sem manipulá-los”. Procuramos trazer na

nossa investigação todas as etapas da elaboração dos dados, de modo a levar o leitor a

uma compreensão total dos caminhos percorridos para chegarmos à resposta de nosso

problema de pesquisa e a compreensão de nosso objeto de estudo.

A investigação qualitativa realizada caracteriza um estudo de caso, “que consiste

na observação detalhada de um contexto, ou indivíduo, de uma única fonte de documentos

ou de um acontecimento específico” (MERRIAM, 1988. Apud BOGDAN; BIKLEN,

1994, p. 89).

Portanto, a presente pesquisa insere-se nesse contexto de investigação, que visa

identificar os conceitos geométricos dos alunos do Ensino Médio em uma escola

específica, do município Campo Novo do Parecis.

59

3.2 Contexto da pesquisa

O local de análise para a investigação consiste em uma escola pública do

município de Campo Novo do Parecis - MT, situada na área urbana, que oferta o Ensino

Médio, denominada aqui de Escola Pitágoras. A escolha dessa unidade escolar seguiu

alguns critérios de seleção para direcionar e delimitar o universo da pesquisa,

apresentados a seguir:

➢ Escola pública que ofertasse o Ensino Médio no período matutino ou vespertino;

➢ Escola localizada na área urbana do município

➢ Disponibilidade dos diretores em aceitarem a pesquisa na escola, bem como a

disposição do professor em aceitar a pesquisa em sua sala de aula;

3.2.1 A escola Pitágoras5

Situada a noroeste da cidade, no maior bairro de periferia, composto em sua

grande maioria por moradores de classe social baixa. A Escola está inserida em um

contexto de desigualdades sociais. Discentes oriundos de diversos estados do Brasil, de

diversas cidades mato-grossenses são atendidos e formam uma vasta teia cultural.

A unidade escolar contém 15 salas de aula, quadra de esportes coberta, uma

pequena biblioteca e sala de vídeo. Oferece o ciclo de formação humana, Ensino

Fundamental II (6º a 9ºano), Ensino Médio Regular, a modalidade de Educação de Jovens

e Adultos (EJA) no 2º segmento e Ensino Médio. A cada início de ano letivo matricula-

se um número considerável de alunos, aproximadamente 720, a maioria do próprio bairro.

Em relação à equipe pedagógica, a escola possui duas coordenadoras pedagógicas

e a diretora. Tal equipe realiza o acompanhamento das atividades pedagógicas junto aos

professores e são responsáveis pela formação continuada que acontece semanalmente na

escola.

Sobre a avaliação, segundo o “Projeto Político Pedagógico” (PPP) da escola, é

parte integrante do processo educativo, não excludente e nem superficial, da qual a

comunidade escolar pode participar. O PPP prevê mudanças na forma de avaliar,

5 Dados extraídos do Projeto Político Pedagógico (PPP) disponibilizado pela escola investigada.

60

considerando as diferentes formas de aferição da aprendizagem que o professor utiliza

com supervisão da coordenação pedagógica e do gestor.

Em relação à Matemática. estruturada no Ensino Médio, a mesma se encontra

organizada no PPP, subsidiada pelos documentos oficiais que orientam a organização

curricular. Sobre este componente curricular a escola aponta alguns objetivos específicos,

dentre eles, resolver situações matemáticas, empregando conceitos e procedimentos para

validar estratégias e resultados matemáticos.

3.3 Sujeitos da pesquisa

Os sujeitos da pesquisa consistem em um professor de Matemática que leciona no

Ensino Médio e vinte e sete alunos que estão cursando essa etapa de ensino totalizando

vinte e oito investigados.

A pesquisa foi desenvolvida no período de novembro de 2016 a fevereiro de 2017.

A coleta de dados na escola Pitágoras, desenvolveu-se no período matutino.

O critério para a escolha do professor participante da pesquisa foi a abertura ao

tema investigado e a permissão para a presença da pesquisadora nas aulas de Geometria,

resultando também na escolha dos alunos selecionados para a pesquisa.

A coleta de dados foi desenvolvida em dois momentos: no primeiro momento o

pesquisador buscou se integrar ao meio escolar, a realizar observação em sala de aula e

entrevista com o professor e com os alunos. No segundo momento transcorreu a coleta

dos registros com os alunos e a aplicação de questionário diagnóstico para verificação do

nível de aprendizagem em Geometria.

O professor selecionado para nossa pesquisa tem trinta e seis anos de idade,

formado em Licenciatura plena em Matemática, pertence ao quadro efetivo de servidores

do estado de Mato Grosso, leciona a aproximadamente sete anos na Educação Básica.

Definido o professor participante da pesquisa e após a assinatura do terno de

consentimento para sua participação, selecionamos, dentre as turmas, aquela que estava

trabalhando o conteúdo de Geometria, portanto, uma turma de segunda série do Ensino

Médio.

Vale ressaltar que iniciamos a pesquisa no mês de novembro de 2016, visto que,

os professores do estado de Mato Grosso entraram em greve e o período letivo do referido

ano de 2016 concluiu somente em janeiro de 2017. Durante o período acima mencionado

61

participamos de todas as aulas de Geometria ministradas e, como a maioria dos alunos

não frequentaram as aulas no período de janeiro, não pudemos aplicar o questionário

relacionado ao conhecimento de geometria espacial. Para aplicá-lo, aguardei o retorno da

turma, agora na terceira série do Ensino Médio. Ao total, trabalhamos com vinte e sete

alunos que responderam os questionários, com faixa etária entre 16 a 18 anos.

Para esta pesquisa não foi relevante a diferenciação de gênero, tendo em vista que

nosso objeto é o pensamento geométrico dos alunos do Ensino Médio e para tanto tal

diferenciação não foi necessária.

3.4 Instrumentos de coleta de dados

Após a seleção do local e dos sujeitos da pesquisa, buscamos selecionar os

instrumentos que viabilizassem a produção dos dados. Os instrumentos metodológicos

adotados para nortear, organizar e captar as informações necessárias para a análise e

compreensão da investigação baseou-se nas técnicas mais presentes na pesquisa

qualitativa em Educação Matemática, segundo Fiorentini e Lorenzato (2012).

Definimos a utilização de instrumentos como a entrevista semiestruturada com o

professor, que segundo Fiorentini e Lorenzato (2012), é muito utilizada nas pesquisas

educacionais. Esse tipo de entrevista conduz o pesquisador a organizar roteiros de pontos

a serem contemplados durante a entrevista, podendo alterar a ordem deles e, até mesmo,

formular questões não previstas inicialmente. Tal instrumento foi utilizado na abordagem

do professor investigado, com a finalidade de compreender como o ele enxerga a

Geometria.

Questionários com perguntas abertas se estrutura de maneira que não há

alternativas para a resposta, podendo o pesquisador captar algumas informações não

previstas. O questionário com perguntas fechadas direciona para a seleção de apenas uma

alternativa, delimitando a resposta dos pesquisados. Esse instrumento foi utilizado com

os alunos para identificarmos os conhecimentos geométricos assimilados por eles, bem

como para a caracterização dos participantes da pesquisa.

O diário de campo utilizado também como instrumento de coleta de dados nos

permitiu fazer anotações referentes ao ambiente da sala de aula. É nele que o pesquisador

registra as observações dos fenômenos, faz descrição de pessoas e cenários, descreve

episódios ou retrata diálogos. (FIORENTINE; LORENZATO, 2012) Utilizamos esse

62

instrumento em todo o processo de observação nas aulas de Geometria como também a

aplicação dos questionários investigativos.

3.5 Eixos temáticos de interpretação e análise dos dados

Antes de aplicarmos os instrumentos para levantamento de dados, buscamos

aprofundar a compreensão dos objetivos específicos da pesquisa que conduzem para a

compreensão do objetivo geral, que consiste em compreender quais conhecimentos

geométricos os alunos do Ensino Médio possuem.

Logo, pretendemos, na sequência, organizar as etapas da pesquisa, buscando

estabelecer relação com os objetivos, para deixar evidente e de forma clara como tais

instrumentos selecionados contribuíram para a elaboração dos dados. Para dar conta de

responder o objetivo geral a pesquisa foi dividida em dois eixos de análise, de modo a

permitir elucidarmos nosso objeto de estudo.

O primeiro eixo de análise Compreensões do professor e dos alunos sobre o

pensamento geométrico, foi subdividido em subeixos para a análise da importância do

pensamento geométrico na perspectiva do professor Nele abordamos temas como a

compreensão do pensamento geométrico pelo professor, a importância da Geometria para

a formação dos alunos e as principais dificuldades apresentadas pelos alunos no decorrer

das aulas de Geometria, comtemplando assim o primeiro objetivo específico que

propunha “investigar as dificuldades apresentadas pelos alunos do Ensino Médio sobre a

Geometria, na visão do professor.”

No segundo subeixo, intitulado a compreensão dos alunos sobre a matemática

e a geometria ensinada na educação básica, trouxemos as compreensões dos alunos

sobre a Matemática e a Geometria, contemplando o segundo objetivo específico que

propunha a “investigar o que os alunos do Ensino Médio compreendem sobre a

Matemática e Geometria ensinada na Educação Básica”.

O segundo eixo de análise intitulado Os conhecimentos geométricos também foi

dividido em dois subeixos. No primeiro, chamado de conhecimento de polígonos,

abordamos os questionários investigativos com questões do nível zero a dois da teoria de

Van Hiele que engloba os conhecimentos de polígonos por considerarmos que esses

conhecimentos são pré-requisitos para o estudo de poliedros. Após a realização dos testes,

os mesmos passaram por um processo de correção, segundo a nossa fundamentação

63

teórica, quanto aos conceitos geométricos e a teoria de Van Hiele. O segundo tópico,

denominado de conhecimento de poliedros, envolve, especificamente, os estudos de

poliedros com questões relacionadas do nível zero ao nível três do modelo de Van Hiele,

que também passaram pelo processo de correção segundo nossa fundamentação teórica.

O segundo eixo contemplou o terceiro objetivo específico da pesquisa que visa “analisar

a compreensão dos alunos sobre polígonos e poliedros”. Optamos por não categorizarmos

os resultados em nível atingidos ou não atingidos, pois nosso objetivo é apenas identificar

os conhecimentos dos alunos sobre os polígonos e poliedros que concluem o Ensino

Médio.

Logo, esperamos que tal organização seja favorável para a compreensão e leitura

dos dados da pesquisa, que apresentamos, a seguir, respondendo a questão central de

nossa investigação: “Que conhecimentos geométricos sobre polígonos e poliedros são

apresentados por alunos do Ensino Médio?

64

4 APRESENTAÇÃO, INTERPRETAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS

Foi pertinente utilizar, para a análise dos dados da pesquisa, a organização em dois

eixos para melhor compreensão do leitor sobre os resultados encontrados. Reafirmando

o que explicitamos anteriormente, no primeiro eixo, intitulado Compreensões do

professor e dos alunos sobre o pensamento geométrico, abordamos temas como a

compreensão do pensamento geométrico pelo professor, a importância da Geometria para

a formação dos alunos e as principais dificuldades apresentadas pelos alunos no decorrer

das aulas de Geometria. Ainda no primeiro eixo abordamos as compreensões dos alunos

sobre Matemática e a Geometria. No segundo eixo denominado Os conhecimentos

geométricos, apresentamos e discutimos os dados do questionário investigativo, que

versava sobre os conteúdos de polígonos e poliedros de acordo com os acertos dos alunos.

4.1 Eixo 1: Compreensões do professor e dos alunos sobre o pensamento geométrico

Com a finalidade de contemplarmos nosso objetivo geral que consiste em

“analisar os conhecimentos geométricos de alunos do Ensino Médio”, achamos pertinente

ouvir o professor, que ensina Matemática, destacar as principais dificuldades encontradas

pelos alunos ao estudarem Geometria e verificar a construção do pensamento geométrico

dos alunos na sua visão. Portanto, o referido eixo contempla dois objetivos específicos da

pesquisa: investigar as dificuldades apresentadas pelos alunos do Ensino Médio sobre

Geometria na visão do professor e identificar o que os alunos compreendem sobre a

Matemática e a Geometria ensinada na Educação Básica.

Por entendermos que as concepções e a prática do professor são influenciadoras

no processo de construção do conhecimento e também auxiliam no processo de

desenvolvimento do pensamento geométrico, justificamos a necessidade do presente

eixo. Retomamos à teoria de Van Hiele (1957), definida como teórico metodológica, que

tem como objetivo ajudar o aluno a evoluir nos níveis do pensamento geométrico,

obedecendo os aspectos descritivos que identificam as diferentes formas de raciocínio

geométrico dos alunos e o instrutivo que direciona métodos a serem seguidos pelos

professores de modo a favorecer o avanço dos níveis pelos alunos.

Nessa pesquisa o foco principal encontra-se ligado aos aspectos descritivos, ou

seja, o que o aluno compreende por Geometria e qual nível de pensamento geométrico se

65

encontra. No Entanto, não descartamos a importância de fazermos uma reflexão com o

olhar para o professor que, a partir de suas compreensões sobre Geometria, favorece o

avanço dos níveis pelos alunos.

As fases de aprendizagem da teoria do pensamento geométrico de Van Hiele têm

caráter instrutivo, que direcionam o professor a desenvolver métodos e estratégias

metodológicas que permitam o aluno evoluir no raciocínio geométrico. Portanto, mesmo

com a construção de níveis de pensamento geométrico, a teoria se baseia mais na prática

do professor do que na fase em que o aluno se encontra. Logo, consideramos importante

ouvir o professor de Matemática, suas compreensões sobre o pensamento geométrico a

fim de podermos triangular tais dados de modo a buscar respostas concisas para o

problema proposto na pesquisa.

O eixo está organizado em dois subeixos: o primeiro aborda a importância do

pensamento geométrico na perspectiva do professor, em que podemos identificar esse

professor, suas compreensões sobre o ensino e a aprendizagem de geometria, a

importância do pensamento geométrico para os alunos e as principais dificuldades que os

alunos apresentam ao estudarem Geometria. O segundo subeixo direciona-se aos alunos

e suas compreensões sobre a geometria ensinada na educação básica.

4.1.1 O pensamento geométrico na perspectiva do professor

Inicialmente, coube-nos conhecer quem é esse professor, sua formação inicial e

sua prática docente, para compreendermos em que sua fala se sustenta no que se refere

ao pensamento geométrico.

O professor participante da pesquisa tem formação em Licenciatura Plena em

Matemática, pela Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões (URI),

campus Santo Ângelo, no Rio Grande do Sul. Atualmente faz mestrado profissional em

Matemática em Rede Nacional (PROFMAT) pela Universidade Federal de Mato Grosso

(UFMT). Leciona na rede pública de ensino há sete anos, na cidade de Campo Novo do

Parecis, é professor do quadro efetivo da Secretaria de Estado de Educação e Cultura de

Mato Grosso (SEDUC – MT) e leciona em uma escola particular.

Iniciamos perguntando ao professor três itens importantes; (i) sua compreensão

do pensamento geométrico; (ii) a importância desse para a formação dos alunos, (iii) as

principais dificuldades, elencadas por ele, apresentadas pelos alunos.

66

Tais informações auxiliam no diálogo com a teoria de Van Hiele (1957), cuja

centralidade consiste nas práticas do professor para o sucesso na construção do

pensamento geométrico dos alunos. Portanto, coube-nos uma reflexão mais aprofundada

da fala do professor sobre esses três pontos, visto que, mesmo não havendo condições de

considerarmos que o aprendizado, ou não, de certos conceitos geométricos pelos alunos

participantes desta pesquisa estejam diretamente ligados a postura do referido professor,

podemos, pelo menos, identificar suas compreensões sobre o ensino de Geometria, bem

como sua fala sobre a importância para o aluno em compreender a Geometria.

Vimos que o pensamento geométrico envolve uma complexidade de pensamentos,

portanto é necessária uma compreensão sólida da Matemática, tendo em vista que, esta

pode ser desenvolvida por todos. Pensar geometricamente tanto desenvolve o raciocínio

visual, como a leitura interpretativa do mundo e na própria comunicação das ideias, visto

que, conhecimentos somente de aritmética e álgebra não são capazes de resolver

problemas geometrizados pois, a Matemática está interligada as suas grandes áreas

(LORENZATO 1995).

Perguntado sobre sua compreensão de pensamento geométrico, o professor nos

apresenta algumas características já vistas e comentadas anteriormente. A primeira delas

está relacionada a Geometria como aplicabilidade prática e, segundo sua fala, “a

geometria é fundamental, ela está ao nosso redor, a usamos desde coisas mínimas como

construir um portão, ou fazer um desenho com traçados perfeitos desde a sua

aplicabilidade nas grandes construções civis (Entrevista com o professor)”. Nesse

excerto, o professor expõe sua compreensão relacionando à aplicação prática da

Geometria, voltada para o raciocínio visual e a leitura interpretativa do mundo. Como

aponta Lorenzato (1995), a ideia da Geometria como leitura do mundo visível permeia o

pensamento de professores e alunos quando nos referimos a importância de aprendê-la e

compreendê-la.

A outra característica apontada pelo professor diz respeito à Geometria enquanto

meio para abstração de determinados conceitos,

entender geometria permite você deduzir fórmulas, construir determinados

conceitos, sem necessariamente decorá-los, como é o caso da trigonometria

no triângulo retângulo trabalhados no nono ano, a geometria dar suporte para

a construção de conceitos mais abstratos. (Entrevista com o professor)

67

Diante do exposto, assevera-se que a Geometria e, particularmente, a Geometria

ensinada na escola é uma fonte inesgotável de ideias, processos e atitudes que são

completamente adequados e importantes para o desenvolvimento de outros tipos de

raciocínio.

Na fala do professor percebemos que sua compreensão sobre o pensamento

geométrico também abrange essa dimensão do abstrato. Historicamente sabemos que a

Geometria foi importantíssima no processo de algebrizar a Matemática.

Sobre a importância do pensamento geométrico para os alunos, sabemos que tal

conhecimento é essencial por ser considerado uma ponte para diferentes conteúdos da

própria Matemática, bem como auxilia a aprendizagem da álgebra e da aritmética, ajuda

no processo de construção do conhecimento, de conceitos e, “valoriza o descobrir o

conjecturar e o experimentar” (LORENZATO, p. 6, 1995).

Perguntado sobre a importância do conhecimento geométricos para os alunos, o

professor enfatiza a importância de todo e qualquer conhecimento, pois “o conhecimento

lhe traz liberdade, é para a vida, de modo geral”. A importância do pensamento

geométrico, segundo o professor, consiste na capacidade que tem de deixar o aluno livre

nas suas escolhas,

independente se ele usará apenas a geometria, a matemática para colocar um

quadro em uma parede e este não ficar torto, ou se ele vai ser um engenheiro

que precisará de conceitos mais elaborados, enfim a geometria, a matemática

torna-se importante para ampliar a visão de mundo do aluno”. (Entrevista

com o professor)

Percebemos na fala do professor uma importância relacionada a uma Matemática

com escolhas e visão de mundo. Pais (2010) aponta que o desenvolvimento de habilidades

matemáticas possibilita ao aluno um desempenho que o capacita a melhor enfrentar os

desafios do mundo contemporâneo. Tal fala do professor vai ao encontro de algumas

relações que os próprios alunos apontaram sobre a importância de se compreender a

Matemática, como veremos mais a frente.

Outro aspecto apontado pelo professor sobre a importância do pensamento

geométrico é decorrente das avaliações externas as quais os alunos do Ensino Médio

realizam, dentre elas, mais importante é o “Exame Nacional o Ensino Médio” (ENEM)

que avalia o conhecimento dos alunos segundo algumas habilidades e competências para

esse nível de ensino, e a “Prova Brasil” que avalia a escola, os professores e os alunos.

68

Um outro fator importante sobre os alunos compreenderem a geometria, está

na cobrança desse conteúdo nas provas como o ENEM, e a Prova Brasil.

Então, não basta você querer ensinar seu aluno para a vida, ele necessita

desses conhecimentos para entrar em uma boa faculdade, e a própria escola

necessita desses resultados para ser boa avaliada. (Entrevista com o

professor)

Sobre as avaliações em larga escala, faz-se interessante observarmos que tais

provas influenciam diretamente a Geometria, a Matemática trabalhada em sala de aula.

Essa fala é recorrente pois, quando perguntamos aos alunos sobre a importância de se

compreender Geometria, alguns argumentam que estudar Geometria é importante porque

é exigido no ENEM.

O terceiro ponto que abordamos na investigação junto ao professor consiste na

identificação das principais dificuldades (ou causas) apresentadas pelos alunos no

decorrer das aulas. O professor é enfático ao dizer que a maior dificuldade que os alunos

encontram ao se depararem com conceitos de geometria espacial, em especial os

poliedros, consiste na falta do domínio de conceitos básicos de Geometria.

É conceito, eles não têm conceito formado! Você como professor percebe

quando o aluno somente decorou. Não construiu o conceito, por exemplo, eu

tenho um triângulo, mas que significa a palavra triângulo? O aluno não

consegue ver suas propriedades, ele não enxerga que aquilo ali tem muito mais

que simplesmente três lados. Porque aí depois você terá que classificar, é

equilátero, porque os lados são iguais, se esses lados são iguais o que acontece

com esses ângulos? Não é? É enxergar muito mais daquilo que você tem ali.

(Entrevista com o professor)

Na fala do professor percebemos alguns dados que vem ao encontro da teoria de

desenvolvimento do pensamento geométrico de Van Hiele (1957) pois, segundo ela, os

alunos só poderão dar sequência no processo de construção do conhecimento geométrico

se esse for conduzido de forma adequada pelo professor, cabendo lhe também identificar

o nível ao qual o aluno se encontra.

Quando o professor investigado aponta que os alunos ingressam no Ensino Médio

sem a compreensão dos conceitos geométricos básicos, podemos dizer que os alunos não

alcançaram o nível de dedução informal que consiste em estabelecer inter-relações das

propriedades de uma determinada figura geométrica.

Conhecer o nível de pensamento geométrico dos alunos auxilia o professor no

processo de elaboração de situações didáticas que favoreçam o avanço dos níveis. Então,

a falta de compreensão da Geometria é considerada, pelo professor investigado, como

uma das dificuldades identificadas nos alunos. Tal indício aponta para o que Lorenzato

69

(1995) declarou: alunos que não viram geometria não a compreendem. Aquilo que não é

ensinado, não é aprendido. Ou seja, os alunos ao chegarem no Ensino Médio sem

conhecimentos básicos de Geometria, pode-se considerar que possivelmente não viram

esse conteúdo ou, não lhes foi ensinado de forma que favorecesse a evolução do

pensamento geométrico por parte dos alunos.

Se nossos alunos concluem a Educação Fundamental sem o ensino de Geometria,

ou em qualquer outra área da Matemática e das demais disciplinas, certamente não

apresentarão um nível mínimo satisfatório previstos nas diretrizes curriculares. Outro

ponto exposto pelo professor pesquisado diz respeito ao interesse dos alunos pelos

estudos. A falta de interesse em aprender gera dificuldades que o próprio aluno sentirá

em seu processo de ensino, “não é fácil convencê-los a estudar, que é preciso estudar”

(Entrevista com o professor)

O sistema escolar adotado no estado, também foi mencionado como influenciador

do desinteresse dos alunos, da falta de motivação para estudar. Segundo o professor, o

Sistema Escolar Ciclado implantado no estado de Mato Grosso, que veio substituir o

ensino seriado, ajudou no aumento do desinteresse. Como não é objetivo da presente

pesquisa fazer uma discussão sobre o sistema ciclado no estado, não aprofundaremos esse

aspecto. No entanto, é válido expor o pensamento do professor, visto que essa é uma ideia

radicada dentro das escolas do estado de Mato Grosso que culpabilizam o sistema ciclado

por todos os problemas da escola. Almeida (2016) defende que o Ciclo Básico de

Aprendizagem tem como objetivo assegurar o direito à uma educação de qualidade,

buscando a redução das taxas de abandono escolar ocasionada pelos altos índices de

reprovação; desse modo, o ciclo possibilitaria a permanência do educando na instituição

de ensino de modo a romper com o fracasso escolar.

De acordo com o professor investigado, as dificuldades que os alunos apresentam

ao chegarem no Ensino Médio está relacionado com a falta de contato com a Geometria,

ou seja, não houve construção dos conceitos geométricos pelos alunos.

Diante do exposto, podemos verificar que o professor investigado tem

conhecimento da importância do desenvolvimento do pensamento geométrico pelos

alunos. Sua compreensão sobre a Geometria corrobora na perspectiva da nossa pesquisa,

principalmente, quando aponta que a maior dificuldade que os alunos possuem diz

respeito a falta de conceitos básicos de Geometria, dificultando assim o avanço dos níveis

de Van Hiele (1957).

70

4.1.2 A compreensão dos alunos sobre a Matemática e a Geometria ensinada na

Educação Básica

Antes de nos determos especificamente na questão dos conteúdos geométricos,

achamos necessário compreendermos a visão dos alunos sobre a Matemática. Para isto

perguntas relacionadas à compreensão sobre essa disciplina e sobre a Geometria foram

realizadas, a fim de contemplarmos um de nossos objetivos específicos que consiste em

identificar o que os alunos compreendem sobre a Geometria ensinada na Educação

Básica.

A primeira pergunta provocou os alunos falarem sobre sua relação com a

Matemática, e as respostas revelaram como eles as enxergam. Vale lembrar que a

pergunta “você gosta de estudar matemática? Por quê?” direciona para respostas

subjetivas que valorizam a relação do aluno com a Matemática, não necessariamente no

ambiente escolar.

Dentre os vinte e sete alunos que responderam o questionário, treze responderam

que gostam de Matemática, quatorze responderam que não gostam. A discussão das

respostas foi sistematizada a partir dos dados apresentados pelos alunos em três

perspectivas: relação da Matemática com o trabalho e profissão, a Matemática como

ciência e a Matemática como conteúdo escolar. A seguir, discorremos sobre cada uma

delas.

A primeira categoria de respostas identificadas entre os alunos que responderam

afirmativamente à pergunta, justificou seu posicionamento relacionando a Matemática

com o trabalho e profissão. Oito alunos relacionaram seus interesses associando o gostar

de Matemática e a importância em aprendê-la com o sucesso na profissão futura.

Respostas obtidas: porque será usada na profissão que vou exercer;

algumas profissões exigem conceitos geométricos;

depende da carreira que você for exercer;

quem deseja seguir profissões que envolvem cálculos, como as

engenharias;

qualquer trabalho exige o mínimo de matemática. (Questionário dos

alunos).

A relação explicitada pelos alunos entre a Matemática, o trabalho e a ideia de um

“futuro melhor”, pode expressar um sentido para seu aprendizado. No entanto,

71

verificamos a ausência do sentido específico da Matemática como ciência, ou seja, que

tem certo rigor em sua natureza; que necessita de validação científica; que é desenvolvida

por matemáticos, como a criação de conceitos, as descobertas de teoremas e

demonstrações que são sistematizados pelo trabalho da comunidade científica (PAIS,

2011). Mas a Matemática não deixa de ter sentido para esses alunos, ou ainda, o aluno

relaciona seu ensino com a vida fora da escola, enxergando-a além do universo escolar.

As respostas dos alunos também vêm ao encontro com alguns posicionamentos

do professor entrevistado, quando esse relaciona a importância de estudar Geometria e

Matemática como sendo “algo para a vida!”. Também cabe também o vínculo que o

aluno faz com a escola, com o conhecimento e com o trabalho, visto que, a realidade de

nossos estudantes do Ensino Médio é de inserção no mercado de trabalho desde a

adolescência.

O trabalho pode ser um espaço de construção de valores de identidade e de

socialização. Portanto, a ponte que os alunos fazem entre a Matemática com o trabalho e

a profissão nos leva a compreender a realidade na qual estão inseridos e, como o

pensamento matemático se relaciona com s atividades práticas e com a força utilitarista

que ela tem, ou seja, é importante “porque vou usar para um determinado trabalho”

(Questionário dos alunos).

A segunda categoria encontrada nas respostas dos alunos refere-se a relação que

eles fizeram com a Matemática como ciência, ou seja, suas justificativas apontaram a

importância de estudar Matemática porque leva a pensar e traz conhecimento.

As justificativas que fortalecem essa compreensão de Matemática como ciência e

potencializadora no processo da construção do pensamento matemático encontram-se

expostas a seguir:

a matemática revoluciona, traz conhecimento e se desenvolve em todas as

coisas; a matemática está em tudo;

me faz pensar, me desafia! é importante para nosso conhecimento.

(Questionário dos alunos).

Nas falas podemos entender que para esses alunos a Matemática tem sentido ao

ser estudada não somente como disciplina escolar, mas como ciência que viabiliza meios

para pensar de forma clara e objetiva, que desperta e desafia.

Nossa análise vem ao encontro das noções da didática da Matemática que Pais

(2010) apresenta como um dos objetivos maiores da educação matemática que é despertar

72

no aluno o hábito de fazer uso do raciocínio e de cultivar o gosto por essa ciência.

Trabalhar com problemas que valorizem a criatividade e estratégias pessoais pressupõe:

“O desenvolvimento dessas habilidades possibilita ao aluno um desempenho que,

certamente, o capacita a melhor enfrentar os desafios do mundo contemporâneo” (PAIS,

2010, p.32).

O PCN de 2002 expõe que, na etapa do Ensino Médio, a Matemática deve ser

entendida como uma parcela do conhecimento humano que é essencial para a formação

dos jovens, “que contribui para a construção de uma visão de mundo, para ler e interpretar

a realidade e desenvolver capacidades que deles serão exigidas ao longo da vida social e

profissional” (BRASIL, 2002. p. 108).

A terceira categoria de respostas dos alunos indicam a relação da Matemática

como conteúdo escolar, são daqueles que indicaram não gostar de Matemática porque

apresentam dificuldades para compreender determinados conceitos e conteúdos

específicos. Para esses alunos gostar de Matemática tem relação direta com a

compreensão dos conteúdos da disciplina, tal justificativa nos aponta que eles a percebem

somente como uma prática escolar, direcionada a utilização de fórmulas, números e

alguns conceitos. Portanto, se não há compreensão não há sentido gostar de Matemática,

ou valorizá-la enquanto ciência, conforme revelam em depoimentos como:

é muito complicado, não entendo;

tenho dificuldade; não sou boa, não me identifico, é complicado; é muito

difícil;

não tenho vocação para a matemática;

se eu consigo gravar eu gosto, tem outras coisas que nem aprendo.

(Questionário alunos)

A relação que os alunos fazem com a Matemática como disciplina escolar limita-

os a pensá-la enquanto ciência e provida de significados, o que pode acarretar a

aprendizagem mecânica, sem a construção de conceitos e a compreensão das definições.

Diante disso podemos refletir como a escola, como os professores de Matemática

têm dificuldades para construir com os alunos o conceito de que ela é mais que uma

disciplina escolar, é uma construção humana uma ferramenta de raciocínio capaz de

capacitá-los a pensar de forma crítica, a e possibilitar exercer o raciocínio lógico-

matemático. O próprio PCN (1998) traz algumas falas sobre a Matemática compreendida

em suas estruturas específicas.

73

É importante que o aluno perceba que as definições, demonstrações e

encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos

e estruturas a partir de outros e que servem para validar intuições e dar sentido

às técnicas aplicadas. A essas concepções da Matemática no Ensino Médio se

junta a ideia de que, no Ensino Fundamental, os alunos devem ter se

aproximado de vários campos do conhecimento matemático e agora estão em

condições de utilizá-los e ampliá-los e desenvolver de modo mais amplo

capacidades tão importantes quanto as de abstração, raciocínio em todas as

suas vertentes, resolução de problemas de qualquer tipo, investigação, análise

e compreensão de fatos matemáticos e de interpretação da própria realidade.

(BRASIL, 1998, p.40-41)

Diante disto, cabe relacionarmos também a aprendizagem Matemática defendida

pela didática da matemática específica para seu ensino que, segundo Pais, (2011) o aluno

deve ser estimulado a realizar um trabalho voltado para a investigação científica. Assim,

o aluno aprende a reconhecer o raciocínio lógico argumentativo, despertando “o hábito

de fazer uso de seu raciocínio e de cultivar o gosto pela resolução de problemas” (PAIS,

2011.p. 35). Logo, pode-se verificar a necessidade de conduzir o aluno a uma

aprendizagem que valorize a construção de conceitos e a utilização do pensamento lógico

e argumentativo, que o leve a uma postura crítica capaz de resolver os problemas

matemáticos em situações da vida cotidiana.

A teoria de evolução do pensamento geométrico vem corroborar essa concepção

quando compreendemos que as fases de aprendizagem desenvolvidas pelo casal Van

Hiele propõem meios que identifica o nível de maturidade geométrica dos alunos e

propicia indícios para avançar de um nível para outro. Ressaltando que o ensino mais do

que somente a maturação é o fator que contribui mais significativamente para esse

desenvolvimento. Ora, se o aluno progride em níveis de compreensão do pensamento

geométrico que lhe permite descobrir, conjecturar e experimentar, é certo que o

pensamento lógico e argumentativo presente em todo conhecimento matemático também

são aflorados e potencializados. Visto que, a Geometria é uma fonte inesgotável de ideias,

processos e atitudes inerentemente adequados a escolar elementar. (DANA, 1994)

Após identificarmos as compreensões dos alunos sobre a Matemática, buscamos

aferir que conceitos de Geometria recordavam no decorrer de sua trajetória escolar. Pois

achamos pertinente entendermos as compreensões dos alunos sobre o pensamento

geométrico, para podermos fazer ligação entre os dados que nos possibilite uma melhor

compreensão do objetivo geral proposto na presente pesquisa que visa analisar os

conhecimentos geométricos de alunos do Ensino Médio.

74

Vimos anteriormente que os conhecimentos geométricos são trabalhados em toda

Educação Básica. No Ensino Fundamental os conteúdos matemáticos se organizam em

blocos.

O bloco espaço e formas engloba os conteúdos geométricos e de acordo com os

PCN, os conceitos geométricos constituem uma parte importante da Matemática no

ensino fundamental, “pois por meio desses conhecimentos, os alunos desenvolvem um

tipo especial de pensamento que permite compreender, descrever e representar, de forma

organizada, o mundo em que vive” (BRASIL, 1998. p. 51). Os estudos de Geometria

também contribuem para a aprendizagem de números e medidas, pois estimulam a

observação, a percepção de semelhanças e diferenças, identificam regularidades, entre

outros.

Portanto, ao finalizar a Ensino Fundamental o aluno deveria estar no nível 2,

chamado de dedução informal, segundo a teoria de Van Hiele (1957), que tem por

características a percepção do espaço como algo existente ao seu entorno, as

características das figuras ordenadas de forma a desenvolver relações entre propriedades.

As observações feitas pelos estudantes, nessa fase de aprendizagem, vão além da

explicitação das propriedades das figuras, há, também, a apresentação de argumentos

lógicos sobre suas características, de forma intuitiva, sem haver preocupação com o rigor

(WALLE, 2009).

No Ensino Médio os conteúdos básicos estão organizados em quatro blocos.

Números e operações, funções, geometria, análise de dados e probabilidade. O bloco

Geometria deve capacitar o aluno a orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar

distâncias, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, representar as

diferentes figuras planas e espaciais (BRASIL, 2002).

As orientações curriculares para o Ensino Médio ainda enfatizam que nessa fase,

o aluno já apresenta “as condições necessárias para a compreensão de certas

demonstrações que resultam em algumas fórmulas, como por exemplo, a área do círculo”

(BRASIL, p. 76, 2002, grifo nosso). O documento ainda relata trabalhos com área e

superfícies de sólidos, sendo necessária a revisão de cálculos de área de polígonos.

Percebemos que os documentos que regem a organização do Ensino Médio elucidam que,

nessa fase, o aluno tem a capacidade de desenvolver raciocínios que condizem com o

nível três da teoria de desenvolvimento do pensamento geométrico, ao considerar que a

pessoa “é capaz de construir demonstrações, e não apenas de memorizá-las; enxerga a

75

possibilidade de desenvolver uma demonstração de mais de uma maneira” (CROWLEY,

p. 4, 1994).

Após essa breve revisão dos conteúdos geométricos, analisamos as respostas dos

alunos para a seguinte pergunta: Nas aulas de Matemática, durante sua formação no

ensino fundamental e no ensino médio, o que você recorda sobre o estudo de geometria?

Você considera importante estudar os conceitos geométricos?

Dos vinte e sete alunos presentes no dia da aplicação do questionário, apenas vinte

e dois responderam a pergunta. Sobre a pergunta relacionada aos conceitos geométricos

já estudados por eles, obtivemos respostas de seis alunos que indicaram a área, volume,

prismas; altura de figuras; quadrado, retângulo e triângulos; formas geométricas;

cálculo de área, como as recordações mais marcantes no processo de estudo da geometria

na educação básica.

Dos apontamentos expostos pelos alunos, dividimos em geometria plana e

espacial. Conceitos como área, figuras geométricas (quadrado, retângulo, triângulo),

estão ligadas a geometria plana estudadas no Ensino Fundamental, ou seja, calcular área

de figuras planas, principalmente de polígonos são explorados com mais ênfase na fase

anterior ao Ensino Médio.

Conceitos como volume, sólidos geométricos como o prisma, contemplam a

geometria espacial que, embora seja estuda com mais ênfase no Ensino Médio, alguns

conceitos como volume também se estudam no Ensino Fundamental, principalmente

volume do cubo e paralelepípedo.

Portanto, percebemos a presença tanto de conceitos implícitos dos polígonos

como de poliedros, cujos conteúdos são analisados nessa pesquisa por relacionar-se

diretamente com o aporte teórico escolhido como norteador da investigação.

Mas somente esses dados não nos permite fazer uma análise mais contundente

daquilo que realmente os alunos assimilaram, pois, recordar conceitos geométricos não

indica o que realmente compreendem.

Dentre os alunos que responderam tal questão, treze deles alegam não recordarem

de nada sobre o ensino de Geometria no decorrer da Educação Básica. Número

significativo em uma turma de vinte e sete alunos. Cabe tecer algumas reflexões sobre o

que tais dados nos mostram, uma delas refere-se ao ensino da Geometria que ainda é

omitida nas escolas de Educação Básica. Embora os livros didáticos e influências de

pesquisas, que abordam a importância de se ensinar Geometria venha auxiliando e

76

melhorando as práticas geométricas em sala de aula, estamos distantes, ainda, de um

ensino mais eficiente no desenvolvimento do pensamento geométrico.

De acordo com a teoria de Van Hiele, o ensino mais do que a maturidade dos

alunos contribui para uma construção do pensamento geométrico mais sólido. No entanto,

se os alunos não são expostos ao ensino de forma que os possibilite avanços na

aprendizagem de Geometria corre-se o risco de formar alunos com déficit na construção

do pensamento geométrico. Como bem apontou Lorenzato (1995), existe problemas que

só podemos resolver com Geometria, àquele que não aprendeu noções geométricas não

conseguirá desenvolver habilidades coerentes, como a própria percepção de mundo.

Quando perguntamos sobre a importância de estudar Geometria, as respostas

foram parecidas com as respostas anteriores. A maioria dos interrogados relacionou a

importância da Geometria com a utilização no dia-a-dia, com a profissão. Somente um

aluno afirmou a importância de aprender Geometria porque “cai” no ENEM. Ou seja, na

visão dos alunos a Geometria é importante porque de uma forma ou de outra poderá ser

utilizada algum dia. Essa concepção dos alunos está relacionada com a geometria como

disciplina escolar e não sua importância como ciência.

Percebemos então que os conteúdos e as compreensões expostas pelos alunos nas

respostas apontam para uma Geometria que é trabalhada no Ensino Fundamental, e

percebemos, ainda, a relação que os alunos fazer da Geometria com as figuras

geométricas em si.

Notamos a ausência de uma compreensão mais solidificada de um pensamento

geométrico mais elaborado, com deduções de fórmulas, relação entre propriedades, entre

outras noções. Pode-se inferir que os alunos pesquisados não tiveram um contato

expressivo com o pensamento geométrico em sala de aula durante o Ensino Fundamental

e exigido para o nível de estudo que estão inseridos, o Ensino Médio.

Ao fim desse eixo de análise consideramos importante discutir alguns aspectos

relacionados a compreensão do professor e dos alunos sobre o pensamento geométrico.

Primeiramente, percebemos que o professor investigado tem conhecimento da

importância do pensamento geométrico para o desenvolvimento dos alunos, mas ainda

não há um trabalho de investigação dos conhecimentos geométricos adquiridos por eles,

ou seja, não há como identificar o nível de desenvolvimento geométrico que possuem.

Notamos que as fases do aprendizado, apresentado por Van Hiele, que trabalha a

interrogação, a orientação dirigida, a explicação, a orientação e a integração, nas quais o

77

professor é instigado a levar o aluno a avançar nos níveis de pensamento, auxiliariam o

processo de construção do pensamento geométrico dos alunos investigados.

Sobre as falas e as compreensões dos alunos referente ao pensamento geométrico,

notamos pouco conhecimento, alguns alunos apenas se limitaram expor conhecimentos

de algumas figuras geométricas para definir a Geometria. Percebemos a Matemática

exposta por eles com várias compreensões e relações, a matemática e a relação com o

mundo do trabalho, a matemática como ciência e a matemática como conteúdo escolar.

Tal percepção nos permitiu compreender as dimensões que a Matemática pode ter para o

aluno.

4.2 Eixo 2: Os conhecimentos geométricos de alunos do Ensino Médio

O presente eixo de análise contempla o terceiro objetivo específico que proposto

na pesquisa: “analisar os conhecimentos dos alunos sobre polígonos e poliedros”.

Nesse tópico de análise, que compreende os conhecimentos geométricos

(polígonos e poliedros) assimilados pelos alunos participantes da investigação, utilizamos

o questionário om questões que contemplam alguns conceitos geométricos. Nos

baseamos na teoria de Van Hiele para analisarmos os níveis de compreensão do

pensamento geométrico dos alunos investigados e nos pautamos na didática da

Matemática para análise e algumas compreensões do desenvolvimento do pensamento

geométrico.

Aplicamos dois questionários investigativos para os alunos, O primeiro

questionário está relacionado com os conceitos de polígonos, que foi dividido em três

níveis: o nível 0 que está relacionado ao visual, ou seja, o aluno identifica figuras

geométricas que são reconhecidas por suas formas, aparência física, mas não por suas

partes e propriedades. O nível 1 corresponde à análise, no qual o aluno raciocina sobre

conceitos geométricos por meio da análise informal. No nível 2 os alunos formulam

definições abstratas e são capazes de fazer algumas deduções e relações entre figura e

propriedade.

Optamos no primeiro questionário por esses três primeiros níveis que, segundo a

teoria de Van Hiele, pode ser atingido por alunos de com idade entre 14 e 15 anos, ou

seja, os alunos investigados já deveriam obter êxito nesses níveis. Portanto, tal análise

nos permite identificar alguns conceitos que os alunos já possuem sobre polígonos, visto

78

que tal conteúdo se relaciona diretamente com o estudado posteriormente na geometria

espacial, os poliedros.

O segundo questionário está relacionado com conceitos de poliedros que, além

desses três primeiros níveis explicados anteriormente, elaboramos questões investigativas

que compreendem o nível 3, que está relacionado com a dedução formal, que, de acordo

com a teoria de Van Hiele, os alunos do Ensino Médio deveriam atingir. Tal nível envolve

e trabalha sequências de afirmações advindas de outras. Para o alcance desse nível, como

visto anteriormente, existem vários fatores que influenciam o processo de construção do

conhecimento, como a postura e metodologia do professor, entre outros.

Achamos pertinente explicarmos o porquê da escolha dos conteúdos polígonos e

poliedros para a pesquisa. Em primeiro lugar, consideramos que a teoria de Van Hiele

(1957) desenvolveu seus níveis de pensamento geométricos baseados em sua

representação por meio de formas geométricas. Partindo desse princípio, os níveis

propostos pela teoria se baseiam principalmente nos estudos de figuras geométricas,

podendo ser trabalhadas outros conteúdos de Geometria, mas inicialmente o foco são as

representações geométricas, suas propriedades e capacidade de elaboração de sequências

e afirmações compostas por outras.

Consideramos também a importância dos conteúdos aqui abordados, para a

construção de uma Matemática mais formal e um dos caminhos para a generalização de

conceitos matemáticos. Percebemos a presença dos conteúdos polígonos e poliedros nas

provas como as “Olimpíadas Brasileira de Matemática das Escolas Públicas e Privadas”

(OBEMEP) e o “Exame Nacional do Ensino Médio” (ENEM) do, nas quais tais conteúdos

são bastante cobrados.

Portanto achamos válido a escolhas dos conteúdos de polígonos (abordado no

Ensino Fundamental) e poliedros (abordado com mais ênfase no Ensino Médio) por

considerarmos que tais conteúdos possibilitam uma visão a luz da teoria de Van Hiele

que mais se aproxima do que nos propomos analisar nessa pesquisa.

4.2.1 Conhecimentos de polígonos

Para facilitar para o leitor a compreensão da organização dos dados,

desenvolvemos um quadro explicativo que relaciona os níveis do pensamento

79

geométrico, suas características e os principais aspectos abordados no primeiro

questionário, que está relacionado aos conhecimentos de polígonos.

Quadro VII: Características dos níveis de Van Hiele explorados na pesquisa (polígonos)

Nível Características Aspectos explorados na pesquisa

(conteúdo polígonos)

0. Visualização Reconhecem figuras por sua

forma, aparência; comparação

e nomenclatura de figuras

geométricas com base na sua

aparência global.

Reconhecimento de figuras

caracterizadas como polígonos;

reconhecimento de triângulos;

nomenclatura de alguns polígonos

relacionados a algumas características

como os lados.

1. Análise Reconhecem que as figuras

têm partes, e as figuras são

reconhecida por suas partes.

Reconhecimento de suas

propriedades e uso destas para

resolver problemas.

Reconhecimento da nomenclatura

correta relacionadas aos lados de um

triângulo; reconhecimentos de algumas

partes de um polígono (vértice, lados,

diagonais); identificar as propriedades de

um paralelogramo e retângulo;

Reconhecimento de perímetro e área de

polígonos.

2.Dedução

informal

Estabelecem inter-relações

entre propriedades das figuras;

deduzem propriedades de

figuras e reconhecer classes de

figuras; As definições tem

significado.

Identificação das características do

polígono e soma de ângulos; relacionar

as propriedades dos quadriláteros;

representação de polígonos apresentando

algumas condições; identificar

propriedades dos polígonos regulares e

irregulares; identificar as propriedades de

polígonos convexos e não convexos.


Após a apresentação das principais características exploradas no primeiro

momento, faremos a seguir uma análise mais detalhada do que foi exigido em cada item

dos níveis.

Na figura, a seguir, temos a primeira questão proposta aos alunos referente ao

nível zero. A questão solicitava a identificação dentre as figuras apresentadas, as que se

poderiam caracterizar como polígonos, vejamos:

Figura 4: Questão 1 – nível 0

Fonte: Questionário investigativo; organização da pesquisadora

80

Na questão 1, o principal objetivo caracteriza-se em identificar quais definições

de polígonos os alunos possuem dentre as várias figuras geométricas. Como resultados

obtivemos seis alunos que acertam a questão completa, ou seja, circularam as duas figuras

que correspondem à configuração de polígonos; treze alunos circularam apenas uma das

figuras, configurando-se um acerto parcial da questão e oito alunos que erraram a questão.

Um dado interessante ao analisarmos os resultados está ligado diretamente a uma

das propriedades do polígono que consiste em ser uma figura fechada. Podemos perceber

que os alunos compreendem que um polígono é uma figura fechada, no entanto, ao

olharmos para a apreensão de que os lados de um polígono consistem em segmentos de

retas o entendimento dos alunos se reduz, levando-nos à conclusão de que possuem

alguma dificuldade em visualizar a representação de um polígono, e isso pode refletir

posteriormente na aprendizagem de outros conceitos interligados.

A questão 2 buscou identificar o reconhecimento da figura do triângulo, dentre as

demais, e com isso se pode verificar o nível da visualização no reconhecimento das

figuras sem, portanto, analisar ou perceber suas propriedades.



Nessa questão percebemos pelo resultado que a maioria dos alunos identificam as

figuras que não representam o triângulo, ou seja, visualmente identificam o polígono em

questão. Obtivemos um total de dezenove acertos da questão, cinco alunos circularam

apenas um dos triângulos e obtivemos três erros, ou seja, esses alunos não conseguiram

identificar a representação de um triângulo. Os alunos que circularam somente um, dentre

os dois triângulos apresentados, assinalaram o triângulo equilátero.

Sobre isso, podemos identificar as chamadas configurações didáticas sempre

recorrentes nas apresentações de conceitos geométricos. Pais (2013) expressa que tais

configurações são consideradas figuras ou desenhos utilizados com frequência como

recurso para ilustrar um conceito ou uma propriedade geométrica. No caso dos triângulos

é comum vermos nos livros didáticos e na prática do professor utilizarem-se da

81

representação desse polígono no formato equilátero. Logo, os alunos, ao circularem

apenas o triângulo equilátero, não identificam o triângulo escaleno como uma

representação de triângulo, por falta de contato com outras representações de triângulo e,

ainda, não conseguem identificá-lo por meio de suas propriedades

A questão 3, tem o intuito de verificar se os alunos identificam os nomes dos

polígonos. Essa é uma das características presente no nível 0 – visualização –, e nesse

nível os alunos conseguem estabelecer um vocabulário geométrico. ´



Todos os vinte e sete alunos responderam corretamente a questão, portanto o

vocabulário geométrico está presente no conhecimento deles. Vale ressaltar que as figuras

estão na posição usual tanto dos livros didáticos como da apresentação pelos professores,

ou seja, podem ser caracterizadas como configurações geométricas.

A questão 4 visa a verificação do vocabulário geométrico, mas diferentemente da

questão anterior, são expostas para os alunos algumas figuras não tão usuais.



A informação dada pela questão somente indica que a nomenclatura hepta

corresponde a sete, a partir da qual os alunos devem identificar quais, dentre as figuras

82

representadas, podem ser considerados “heptágonos”. Obtivemos somente a resposta

correta de treze alunos.

Na questão proposta, ainda podemos analisar que os alunos foram levados a

responder a questão pela relação que fizeram entre hepta (sete) com a quantidade de lados.

Tal pensamento condiz com a familiaridade com o vocabulário geométrico, ou seja,

aqueles que responderam corretamente a alternativa realizaram a dedução de que um

heptágono tem sete lados.

A questão 5 aproxima-se da anterior, agora buscando levar os alunos a fazerem

relações entre números de lados dos polígonos e suas respectivas nomenclaturas.



Para essa questão obtivemos um total de vinte e cinco acertos, portanto, com

relação às questões anteriores, os alunos apresentaram um melhor desempenho. No

entanto percebemos que o conhecimento ainda está incompleto sobre os conceitos de

polígonos.

Podemos perceber que, no nível 0 – visualização –, os alunos embora

demonstrem, em geral, algumas dificuldades em reconhecer determinados polígonos, o

que é exigido para o nível foi contemplado, que consiste no reconhecimento por meio da

visualização e das partes físicas das figuras, bem como sua nomenclatura

Para o nível 1 – análise –, as questões foram organizadas com foco nas

propriedades e na análise dos conceitos geométricos. Buscamos identificar a

compreensão dos alunos sobre algumas propriedades e teoremas que envolvem

identificação de triângulos, análise e compreensão de polígonos, identificação de algumas

características do paralelogramo, compreensão de cálculos de área e perímetro, muito

presente nos cálculos de volume nos sólidos geométrico. Vejamos a questão:

83

Figura 9: Questão 1 - nível 1 (Q1/1)


Na Q1/1 solicitamos a nomenclatura, os conceitos do nível anterior e para além

disso, procuramos identificar se os alunos conseguem distinguir os tipos de triângulos por

suas características particulares e fazem a diferenciação.

Treze alunos responderam corretamente à questão identificando e nominando os

triângulos. Percebemos, também, que a maioria dos alunos reconheceram o triângulo

equilátero, os outros dois tiveram praticamente o mesmo percentual de identificação.

Podemos verificar que, embora os alunos identifiquem com maior facilidade o

triângulo equilátero, percebemos que na discriminação do triângulo isósceles e do

escaleno faltou o conhecimento das características específicas de cada um. Portanto o

conhecimento ligado às propriedades de cada triângulo não foram assimilados pelos

alunos.

Na questão 2 do nível 1 (Q2/1), que está relacionado à análise do polígono regular

pentágono, os alunos foram instigados a identificar os vértices, os segmentos, as

diagonais e outras propriedades do polígono. No nível 1, os alunos enxergam a figura não

mais como entidades totais, mas reconhecem que a figura tem partes e reconhecem essas

partes.



Obtivemos dezoito respostas corretas, ou seja, a maioria dos alunos conseguem

identificar os elementos do polígono. Um aspecto interessante nessa questão consiste em

84

perceber que, quando é apresentado polígonos regulares, os alunos tendem a reconhecer

mais facilmente o que lhes é pedido. Porém, fazendo um paralelo com os dados do nível

anterior, percebemos que alguns conceitos não foram devidamente compreendidos,

principalmente com relação aos lados de um polígono.

A questão 3 do nível 1 (Q3/1) evidencia uma subdivisão de quadriláteros, o

paralelogramo e suas propriedades, que estão presentes no quadrado, no losango e no

retângulo, que também são paralelogramos.


Fonte: Questionário investigativo; organização da pesquisadora.

Obtivemos quatro acertos da questão, ou seja, quatro alunos circularam a primeira,

a terceira e a quinta figura. Dentre os vinte e três restantes, dezoito circularam apenas a

primeira figura, que é a mais usual para representar esse quadrilátero. Portanto, os alunos

relacionam o paralelogramo com a sua representação usual e não com as suas

propriedades,

A questão 4 do nível 1 (Q4/1) contemplou conhecimentos relacionados a algumas

propriedades do polígono retângulo, a fim de identificar se os alunos conseguem

reconhecer as partes da figura como as diagonais, os lados, os ângulos.



85

Cinco alunos acertam a questão completa; onze alunos acertaram o mínimo de três

alternativas e onze alunos erraram totalmente a questão. Percebemos que os alunos têm

assimilado tais conceitos e propriedades sobre os retângulos.

A questão 5 do nível 1 (Q5/1) buscou identificar a compreensão sobre o conceito

de área e perímetro de polígonos, com suporte da malha quadriculada para facilitar a

observação sem a necessidade de um conhecimento mais estruturado, somente pela

observação e reconhecimento de algumas propriedades podem chegar ao resultado

assertivo.



Nessa questão tivemos apenas um aluno que acertou corretamente; dos vinte e seis

alunos que erraram, dezesseis acertaram o resultado referente ao perímetro, mas erraram

a área. Tal resultado mostra um dado preocupante com relação à compreensão de

conceitos básicos de Geometria, que são estudados desde o Ensino Fundamental.

Finalizamos nosso bloco de questões do nível 1 – análise –, o qual nos permitiu

verificar a compreensão dos alunos diante de algumas propriedades e conceitos de

polígonos. Diante do exposto, verificamos que os alunos, embora consigam identificar

algumas propriedades, ainda não apresentam de forma concludente as relações de entre

os polígonos e suas propriedades. Segundo a teoria de Van Hiele são noções exigidas no

Ensino Fundamental, pois os alunos, nessa fase, já são capazes de analisar alguns

conceitos geométricos tanto pela observação quanto pela experimentação. Portanto, do

domínio dessa noção, começam a surgir as propriedades que são utilizadas para

conceituar classes como, por exemplo, as classes dos quadriláteros que têm características

específicas e fazem parte da classe dos polígonos. Notamos, a partir dos dados, que muitos

alunos não concluíram o nível de análise, ou seja, falta-lhes alguns conhecimentos

86

referentes a geometria que os impossibilita avançar no processo de construção do

pensamento geométrico, segundo a teoria de Van Hiele.

Para o nível 2 – dedução informal – as questões foram elaboradas de forma a

identificar se os alunos conseguem deduzir e fazer ligações entre propriedades, visto que,

nesse nível, já deveriam ser capazes de fazer relações de diferentes formas geométricas,

reconhecem caraterísticas gerais e particulares do objeto, conseguem fazer inter-relações

de propriedades dentro de uma figura.

Na questão 1 do nível dois (Q1/2), que se refere à questão de soma de ângulos

internos de um polígono, foi solicitado aos alunos que indicassem dentre as alternativas

qual seria a soma do polígono dado.

Figura 14: Questão 1- nível 2 (Q1/2)


Para a questão obtivemos dezessete alunos que responderam corretamente. Tal

resultado é interessante para identificarmos que a maioria dos alunos compreendem,

primeiramente, que a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser igual a cento e

oitenta graus e, a partir desse conhecimento, responderam a questão corretamente.

Um dado interessante para a análise consiste nos rabiscos que os alunos fizeram

ao resolverem a questão: dos dezessete alunos que acertaram todos dividiram o polígono

em três triângulos. Ou seja, conseguiram perceber a relação que todo polígono é a

“junção” de triângulos.

Os dez erros que obtivemos como resposta à questão, a grande maioria marcou o

item que apresentava 180º. Uma possível análise das respostas consiste em concluir que

esses alunos compreendem que a soma dos ângulos internos de um triângulo é cento e

oitenta graus. No entanto, não conseguem interpretar a questão, mesmo com os dados

apresentados no enunciado.

A questão 2 no nível 2 (Q2/2) procurou identificar se os alunos têm familiaridade

com as propriedades dos quadriláteros.

87



Obtivemos apenas dois acertos totais como resultado, ou seja, somente dois alunos

responderam a questão de forma correta. Tivemos treze alunos que responderam à questão

parcialmente assertiva, ou seja, marcaram apenas algumas corretas; e tivemos doze erros.

O que podemos extrair de tais resultados consiste na identificação de que os alunos

apresentam muita dificuldade relacionadas às propriedades dos polígonos quadriláteros.

Ou seja, ainda não conseguem fazerem relações, pois os conceitos relacionados não estão

totalmente fixados.

Na questão 3 solicitamos ao aluno para desenhar uma figura dando-lhe apenas

uma descrição abstrata. Nessa questão, optamos por desconsiderá-la visto que, o

enunciado da questão não ficou claro e específico, a questão consta em Anexo.

Na questão 4 objetivou-se investigar algumas propriedades dos polígonos

regulares, e a noção de “todo” e “nenhum” relacionado às propriedades, abarcando

principalmente a noção de inclusão de classes que é uma característica do nível dois de

Van Hiele.



Na questão obtivemos um total de cinco acertos e vinte e dois erros. Diante do

resultado podemos perceber que os alunos, embora possam reconhecer em grande maioria

88

um polígono, não conseguem classificá-lo nem definir o que é polígono regular ou

irregular.

A questão 5 do nível dois (Q5/2) aborda os conceitos de polígonos convexos e não

convexos, a fim de identificarmos a compreensão dos alunos sobre essas definições.



Nas respostas, obtivemos o acerto foi de um aluno, ou seja, os demais não fazem

relação entre as características de um polígono convexo e o não convexo. Pode-se

concluir que os alunos apresentam conhecimentos pouco sólidos sobre o conceito de

polígonos.

O tópico sobre os conhecimentos de polígonos nos deu uma visão de quais

conhecimentos os alunos possuem sobre o assunto a fim de analisarmos de forma mais

eficiente os conhecimentos de poliedros, estudados no Ensino Médio.

Percebemos que, no nível 0, chamado de visualização, os alunos foram muitos

bons, praticamente todos responderam de forma eficiente as questões desse nível, que

correspondem à visualização, ao vocabulário geométrico e identificação de formas

específicas.

No nível 1, chamado de análise, os alunos apresentaram uma queda no

rendimento em relação ao nível anterior. Mas ainda assim, a maioria conseguiu responder

ao solicitado para o nível, que corresponde às características das figuras geométricas, às

propriedades referentes a determinadas classes, o reconhecimento das partes de uma

figura, estabelecendo relações entre algumas propriedades.

No nível 2, chamado de dedução informal, os alunos apresentaram um

rendimento inferior aos outros pouco esperado, visto que, segundo a teoria do

desenvolvimento geométrico no nível de dedução informal, os alunos do Ensino

Fundamental são totalmente aptos para desenvolver as características específicas desse

nível, que consiste em estabelecer inter-relações entre propriedades, de deduzir

propriedades de determinadas figuras e reconhecer as classes. Portanto, o esperado seria

89

que os alunos respondessem de forma mais assertiva as questões do nível dois, o que não

ocorreu, principalmente com relação ao reconhecimento de classes e o estabelecimento

de relações entre propriedades e figuras. Tal déficit pode gerar um problema na

construção de conceitos de polígonos, que exige um conhecimento dos poliedros com

suas propriedades, para assim construir o pensamento geométrico espacial com os sólidos

geométricos.

Finalizamos a discussão com uma fala do professor que retrata a necessidade dos

conhecimentos de geometria plana, para assim dar continuidade ao processo de

construção do pensamento geométrico. “(...) se o aluno não tem conhecimento de

geometria plana, fica complicado. Para ele calcular a área total de uma pirâmide, por

exemplo, deve saber como se calcula a área de um triângulo, o conhecimento é uma

construção de conceitos” (Entrevista com o professor).

4.2.2 Conhecimento de poliedros

Para facilitar a compreensão do leitor sobre a organização dos dados,

desenvolvemos um quadro explicativo que relaciona os níveis do pensamento

geométrico, suas características e os principais aspectos abordados no primeiro

questionário, que está relacionado aos conhecimentos de poliedros.

Quadro VIII: Características do nível de Van Hiele, explorados no conteúdo de poliedros

Nível Características Aspectos explorados na pesquisa

(conteúdo poliedros)

0. Visualização Reconhecem figuras por sua

forma, aparência; comparação e

nomenclatura de figuras

geométricas com base na sua

aparência global.

Reconhecimento de figuras

caracterizadas como poliedros;

reconhecimento de sólidos geométricos;

nomenclatura de alguns poliedros

relacionados a algumas características

como o número de lados.

1. Análise Reconhecem que as figuras têm

partes, e as figuras são

reconhecida por suas partes.

Reconhecimento de suas

propriedades e uso destas para

resolver problemas.

Reconhecimento das partes de um

poliedro como o vértice, as arestas, e a

nomenclatura correta. Reconhecimento

de algumas propriedades dos poliedros.

2. Dedução

informal

Estabelecem inter-relações

entre propriedades das figuras;

deduzem propriedades de

figuras e reconhecem classes de

figuras; as definições tem

significado.

Identificação de características dos

prismas e as suas propriedades

específicas; reconhecimento de noções

intuitivas da geometria.

90

3. Dedução Compreendem o sistema

axiomático; compreendem

termos não definidos como

axiomas, postulados,

definições, teoremas e

demonstrações; constrói

demonstrações de diferentes

maneiras; compreende a

interação de condições

necessárias e suficientes.

Compreensão das inter-relações entre

algumas propriedades fórmulas de

volume de poliedros; identificar os

postulados relacionados a conceitos

primitivos de geometria.


Nas questões do nível zero, buscamos contemplar, nessas questões, os

reconhecimentos dos sólidos geométricos, os poliedros e a nomenclatura em relação a

algumas características desse conceito. Isso nos permite analisar se os alunos conseguem,

por meio das figuras, identificar as que se caracterizam como sólidos geométricos.

Vejamos a primeira questão do nível zero.

1) Dentre as figuras abaixo circule os que podem ser considerados sólidos

geométricos.

Tal questão apresenta figuras planas e tridimensionais para que os alunos possam,

dentre estas, reconhecerem os sólidos geométricos por meio da visualização.

Obtivemos um total de seis acertos, ou seja, apenas seis alunos circularam a

primeira e a última figura. Vale ressaltar que nesse quesito apenas vinte e dois alunos

responderam o questionário, onze alunos circularam somente um sólido geométrico,

cinco alunos erraram a questão inteira.

Diante dos dados obtidos, podemos perceber que a maioria os alunos do terceiro

ano do Ensino Médio não conseguem identificar um sólido geométrico, dentre as figuras

planas. Segundo a teoria de Van Hiele (1957), os alunos já deveriam identificar com

maior facilidade, visto que estão na etapa final da Educação Básica e, nesse nível, segundo

Brasil (2012), o aluno deve estar capacitado a reconhecer e representar figuras planas e

espaciais.

A questão dois indica o reconhecimento dos poliedros. Para isso, os alunos devem

compreender que os poliedros são “sólidos geométricos cujas superfícies são formadas

91

apenas por polígonos (triângulos, quadriláteros, pentágonos etc.)” (IEZZI.G. et al., 2013,

p. 23).

2) Dentre as figuras abaixo, circule as que são poliedros.

Obtivemos cinco respostas assertivas, ou seja, apenas os cinco alunos circularam

a primeira e a segunda figura (o tetraedro e o cubo); oito circularam apenas o poliedro

que representa o cubo, não identificando que a pirâmide também é um poliedro.

Percebemos que a turma investigada apresentou pouco conhecimento no reconhecimento

de poliedros.

Vimos no tópico a respeito dos polígonos que os alunos não apresentam de forma

satisfatória conhecimento dos polígonos, ou seja, esse déficit no conhecimento de

polígonos acarreta dificuldade no processo de construção de conhecimento de poliedros.

Embora a questão dois esteja relacionada ao nível zero, que valoriza o reconhecimento

pela visualização das figuras em sua totalidade, percebemos que para o aluno responder

de forma correta a questão ele deveria ter um conhecimento da definição de poliedros.

Na questão três, solicitamos aos alunos que relacionassem os poliedros a seus

respectivos nomes de acordo com o número de faces, visto que, o nível zero de

visualização relaciona a nomenclatura a respectiva representação.

3) Relacione os nomes com as figuras da direita colocando a letra correspondente

ao poliedro:

(A) Octaedro ( ) ( ) ( ) ( )

(B) Dodecaedro

(C) Hexaedro

(D) Paralelepípedo

Obtivemos nove acertos, ou seja, nove alunos relacionaram os nomes aos

respectivos poliedros. Dentre os treze, que responderam à questão de forma incorreta,

tivemos acertos parciais, entre dois a três acertos.

Diante das questões de nível zero, podemos observar que os alunos apresentam

dificuldades no reconhecimento dos poliedros. Os documentos oficiais apontam que, para

92

esse nível de ensino, a visualização e o reconhecimento das figuras em sua totalidade é

uma ponte para a construção da dedução formal, que engloba a compreensão de

significados de postulados e axiomas, presentes no Ensino Médio, de modo a levar o

aluno a enxergar e reconhecer o valor de uma demonstração matemática. Devemos

relembrar o que diz a BNCC com relação aos objetivos da Geometria no Ensino Médio.



estudantes a compreensão da estrutura lógica da geometria euclidiana [...]

compreender e generalizar algumas propriedades e demonstrar alguns

teoremas (BRASIL, 2016. p. 562).

Percebemos que a finalidade da Geometria no Ensino Médio vai ao encontro do

nível três de Van Hiele, chamado de dedução. Portanto, consideramos que o rendimento

dos alunos no nível zero – visualização – está abaixo do esperado, visto que tal nível

exige apenas o reconhecimento das figuras em sua totalidade.

Retomando a fala do professor investigado, quando questionado sobre as

principais dificuldades expostas pelos alunos, apontou, justamente, a construção de

conceitos, ao enfatizar que os alunos não têm conceito formado, que não conseguem ver

as propriedades de determinadas figuras geométricas, e ainda segundo o professor, sem

conceitos matemáticos não há aprendizagem da matemática.

Partindo para as questões classificadas no nível um – análise –, a questão quatro

solicita aos alunos a compreensão de algumas propriedades em relação as figuras dos

poliedros expostos.

4) Sabendo que a nomenclatura dos poliedros se relaciona com o número de faces,

relacione:

(A) Tetraedro ( ) ( )

(B) icosaedro

Na questão quatro obtivemos um total de vinte acertos, ou seja, praticamente a

turma inteira acertou a nomenclatura com relação ao número de lados. Acreditamos que

os acertos se relacionam à percepção dos alunos com relação ao número de faces indicado

no enunciado.

93

Cabe ressaltar que estivemos em sala de aula, nos dias que o professor introduzia

os estudos de geometria espacial: os sólidos geométricos e poliedros. Durante a nossa

presença nas aulas, não foi apresentado aos alunos uma introdução do que seria poliedro,

ou seja, não houve um trabalho de apresentação das figuras. O professor trabalhou cálculo

de área de polígonos antes de entrar na geometria espacial; usou trigonometria para

encontrar a área e o apótema dos polígonos. Enfim, houve uma revisão geral da geometria

plana para assim dar início à geometria espacial.

Na questão cinco, ainda classificada no nível um, que consiste em analisar as

figuras e suas partes, solicitamos aos alunos que identificassem os vértices, as arestas e o

nome do poliedro em questão, a fim de percebermos se identificam essas partes da figura.

5) Observe a figura e complete as lacunas adequadamente:

a) Quantos vértices tem a figura? ____

b) Quantas arestas o sólido possui: ____

c) De cada vértice saem quantas arestas: ____

d) Essa figura é um poliedro denominado ___________.

Para a questão obtivemos um total de três acertos, ou seja, somente três alunos

responderam o item de a a d de forma correta. O restante dos alunos, ou sabiam identificar

os vértices, mas não identificaram as arestas; ou identificavam arestas e não identificavam

os vértices. Notamos pela quantidade de erros que os alunos não têm conhecimento das

partes de um poliedro, ou não estão familiarizados com seus nomes específicos. Cabe

ressaltar que, no dia da aplicação do questionário os alunos perguntavam se vértices eram

as pontinhas do cubo, ou seja, percebemos que os alunos ainda não estavam

familiarizados com a nomenclatura apropriada.

Partindo da análise realizada, cabe expormos uma das aulas observadas no

decorrer da coleta de dados, na qual o professor trabalhou a construção da fórmula de

volume. Coube-nos perceber como a prática do professor pode influenciar a construção

do pensamento geométrico dos alunos e como uma prática bem elaborada ajuda o

processo de assimilação do conhecimento, como a teoria de Van Hiele prevê, de acordo

com as fases de desenvolvimento propostas.

Na prática do professor identificamos algumas ferramentas utilizadas nesse

processo de construção do conhecimento geométrico com os alunos, sendo que uma delas

se refere a utilização do desenho como ferramenta pedagógica para a aprendizagem. Pais

94

(1996, p.68) afirma que “a representação dos conceitos geométricos pela utilização de

desenhos é um dos recursos didáticos mais fortemente consolidados no ensino e na

aprendizagem de geometria”.

O professor enfatizou, na aula, a importância que o desenho tem para a

compreensão de determinados conceitos geométrico, “gente, desenhar em geometria é

tão importante quanto se calcular. Sem o desenho as vezes fica difícil resolvermos ou

conseguirmos enxergar aquilo que o problema pede. A ideia de dedução de fórmulas em

geometria, passa pelo desenho” (Diário de campo, 12/12/2017). Portanto se o ensino da

Geometria trabalhar de forma correta os desenhos, as nomenclaturas, a construção dos

conceitos torna-a acessível para a construção do pensamento dos alunos.

No processo de iniciar o conteúdo, sem necessariamente mostrar de imediato a

fórmula para o aluno, mas construir e definir com eles alguns conceitos, facilita a

formulação de definições e a compreensão dos conceitos relacionados. Pais (2000) aponta

que o desenho, diferente dos modelos, constituem a representação acessível pela

sensibilidade, mas com um grau de complexidade maior, pois a exigência é maior e mais

complexa na interpretação de significados, principalmente quando se trata de figuras

espaciais.

O que podemos notar, tanto na observação em sala de aula como na fala do

professor nas entrevistas, é que sua postura vem ao encontro da concepção de ensinar

definida por Lorenzato (2010) que considera necessário dar condições para que o aluno

construa seu próprio conhecimento e com a teoria de Van Hiele na qual os alunos são

motivados a subir de um nível para o outro. Para que este progresso aconteça devem ser

impulsionados pelas metodologias e incentivos norteados pela escola e pelo professor,

principalmente.

Figura 18 – Volume do Paralelepípedo

Fonte: Arquivo da pesquisadora

95

Na questão seis, que corresponde ao nível um, foi solicitado aos alunos que

respondessem verdadeiro ou falso para algumas afirmações referentes aos poliedros

regulares.

6) Marque V (verdadeiro) e F (falso) para as afirmações referentes aos poliedros

regulares:

a) ( ) é um sólido com três dimensões.

b) ( ) um poliedro convexo é regular quando todas as suas faces são polígonos

regulares congruentes e de todos os vértices saem o mesmo número de

arestas.

c) ( ) arestas são todas as faces do poliedro.

d) ( ) as faces de um poliedro sempre são polígonos.

Obtivemos nas respostas dois acertos totais; quatorze acertos parciais, ou seja, os

alunos acertaram algumas afirmativas; seis erros.

Vale ressaltar uma das características exploradas do nível um, da teoria do

desenvolvimento do pensamento geométrico de Van Hiele, consiste em que as

propriedades são apresentadas para conceituar classes de configurações, ou seja, o aluno

identifica a propriedade de uma referida classe, mas ainda não tem clareza de demonstrá-

la. Como exemplo temos as propriedades do poliedro regular que tem características

próprias, que foram exploradas na questão seis.

Notamos com os dados numéricos, da questão, uma ausência de um conhecimento

mais expressivo no que se refere às propriedades dos poliedros. Tendo em vista que tanto

a teoria de Van Hiele como os documentos oficiais preconizam que essas habilidades

deveriam ser expressas por alunos do Ensino Médio, como exposto anteriormente, causa-

nos estranheza a falta de domínio dos alunos investigados

Diante das questões do nível um e com os resultados apontados na pesquisa,

podemos notar que os alunos apresentam dificuldades ao reconhecer as partes dos

poliedros e algumas propriedades, como foram propostas as atividades do nível um.

Portanto consideramos que para o nível um, os resultados dos alunos não foram

satisfatórios

A questão sete se caracteriza no nível dois - dedução informal. Os alunos no nível

um conhecem as propriedades dos poliedros, deduzem as propriedades e reconhecem as

classes e a inclusão é compreendida. Na referida questão é solicitado que, dentre as

figuras expostas, os alunos circulassem as que poderiam representar um prisma, sólido da

classe dos poliedros.

96

7) Dentre as figuras abaixo circule as que podem serem consideradas um prisma.

Como respostas obtivemos nove acertos, entre os vinte e dois que realizaram a

questão. Nossa análise revela que os alunos sentem dificuldades em compreender o que

seja um prisma, pois a maioria não conhece o conceito de poliedros.

Na questão oito, solicitamos aos alunos o reconhecimento de algumas

propriedades do prisma, visto que tais propriedades foram apresentadas no decorrer das

aulas do professor e estão presentes do livro didático. Foram explorados elementos como

superfície lateral, faces paralelas, o conceito de prismas regulares e oblíquos, vejamos a

questão:

8) Em relação aos prismas é correto afirmar que:

a) O prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares em relação a

base.

b) Prisma regular são prismas de arestas oblíquas as suas bases

c) A superfície lateral de um prisma é a soma da área de suas faces laterais e

suas bases.

d) A superfície total de um prisma refere-se a soma da área de todas as faces

laterais.

Como resultado obtivemos nove acertos, ou seja, menos da metade da turma

conseguiu identificar as propriedades e os elementos dos prismas. Percebemos que o

rendimento dos alunos é rebaixado quando solicitamos que reconheçam algumas

propriedades específicas do conteúdo explorado na pesquisa. Tal dado relaciona-se com

a fala dos alunos ao serem questionados sobre a importância de estudar Geometria e a

recordação dos estudos anteriores. A maioria dos alunos responderam não memorizaram

nada sobre os estudos de Geometria e àqueles que responderam, limitaram-se às figuras

como triângulos e círculos, ou área e volume.

Diante das repostas dos questionários percebemos que a construção de conceitos

pelos alunos foi de alguma forma prejudicada. Ainda que os documentos expressem que

o Ensino Médio é a etapa que deve oferecer ao aluno condições para ampliar, consolidar

e complementar sua formação escolar, percebemos que, no âmbito dos conhecimentos

97

geométricos, os alunos têm dificuldade muito grande de progredir no domínio de

conceitos e assim, elevar o nível de aprendizagem.

A questão nove, busca explorar os conhecimentos intuitivos de Geometria sobre

ponto, reta e plano.

9) Com relação aos conhecimentos intuitivos de geometria marque V (verdadeiro)

e F (falso) nas afirmativas abaixo:

a) ( ) espaço é o conjunto formado por todos os pontos.

b) ( ) retas concorrentes são duas retas que tem todos os pontos em comum.

c) ( ) por dois pontos distintos passa uma única reta.

d) ( ) três pontos colineares definem um plano.

e) ( ) três pontos não colineares definem um plano.

Obtivemos dois acertos totais para a questão, ou seja, apenas dois alunos

responderam corretamente os itens; sete acertos parciais, ou seja, sete alunos acertaram

entre dois e três itens; treze alunos erraram a questão. Percebemos que os alunos não têm

conhecimentos dos conceitos primários de Geometria que implica em um conhecimento

geométrico de percepção espacial e visão intuitiva poucos explorados no decorrer do

Ensino Básico. As posições relativas entre ponto, reta e plano trabalhada no Ensino

Fundamental quando se faz o estudo das posições relativas de pontos e retas de um mesmo

plano a fim de que nos estudos de Geometria no Ensino Médio surjam novas relações

estudadas no plano, entre reta e plano e dois planos.

A questão, dez classificada no nível três, chamada de dedução, foi trazida para

investigação dos conceitos de volume de um cubo e a inter-relação com entre o tamanho

da aresta e seu volume.

10) Sabendo que o volume de um cubo, cuja aresta mede 3 cm é 27cm2. O que

acontece com o volume se a aresta dobrar de tamanho?

a) O volume dobra.

b) O volume permanece o mesmo.

c) O volume é triplicado.

d) O volume fica oito vezes maior.

O total de acertos na questão foi somente por dois alunos, tendo em vista que a

grande maioria deles responderam que o volume dobra. Esses resultados nos permitem

fazer a análise de que os alunos não têm a compreensão da relação entre a medida da

aresta e o volume, ou seja, dada uma aresta a, o volume de um cubo consiste em a3 se a

aresta dobra de tamanho o volume necessariamente fica oito vezes maior pois, (2a)3 é

98

igual a 8a3. Para que o aluno acertasse a questão ele deveria ter a noção de como se calcula

o volume do cubo e fazer a relação com a aresta que dobra de tamanho.

No entanto, percebemos que os aluno não conseguiram fazer essa relação, pois

somente os dois que acertaram a questão lograram relacionar os conhecimentos exigidos

para a efetiva resolução correta da pergunta. Diante disso, pode-se concluir que os alunos

apresentam dificuldades em trabalhar com conceitos de volume e fórmulas, relacionando

propriedades e habilidades das relações entre conceitos e fórmulas.

Tais habilidades encontram-se contempladas no nível três da teoria de Van Hiele,

em que o aluno se encontra capaz de raciocinar no contexto de um sistema matemático

formal, ou seja, estabelecendo relações e desenvolvendo sequências e afirmações

advindas de outras, bem como utilizando as propriedades e fórmulas para realização de

demonstrações e deduções lógicas e formais (COSTA, 2016). Notamos que essas

habilidades não foram demonstradas pelos alunos ao responderem a questão, visto que a

grande maioria não conseguiu trabalhar e deduzir a fórmula do volume.

A questão onze também versa sobre o cálculo de volume do cubo, buscando trazer

esse conteúdo, pois o professor estava trabalhando justamente o volume dos sólidos

geométricos com os alunos.

11) Calcule a medida da aresta de um cubo cujo volume é 343cm2:

a) 4 cm

b) 5 cm

c) 6 cm

d) 7 cm

Na questão o total de acertos foi de apenas quatro, diferente da questão anterior

não apresentamos o comprimento da aresta, somente o volume. Para responder à questão

o aluno deveria conhecer a fórmula do volume do cubo para, a partir de então, identificar

a aresta. Na figura, a seguir, notamos como uma das alunas respondeu corretamente a

questão.

99

Figura 19: Resolução pela aluna da questão onze

Fonte: Arquivo da pesquisadora.

Podemos observar que a aluna conhece o caminho para chegar ao cálculo do

volume do cubo, reconhece a fórmula, aplica-a e, a partir disso, consegue fazer relações

para chegar ao resultado assertivo. Os demais alunos não conseguiram identificar a

fórmula para o cálculo do volume e não desenvolveram e nem fizeram as relações

devidas. No Ensino Médio, uma das noções fundamentais da Geometria é a compreensão

das propriedades e da inter-relação estabelecidas entre as classes.

Aprofundando as análises que trouxemos, o professor de Matemática, em

entrevista apontou que a principal dificuldade encontrada pelos alunos reside na formação

de conceitos. O aluno não compreende que “a geometria assim como as outras áreas

também deixa rastros e, há pouco tempo ensinávamos a matemática como algo isolado,

se você trabalha geometria espacial, mas o aluno não conhece nada de geometria plana,

acabou para ele! Como vai calcular o volume do cubo, por exemplo.” (Entrevista com o

professor).

Na questão doze do nível três, abordamos as posições de retas no espaço a fim de

verificamos o conhecimento abstrato dos alunos sobre os conceitos primitivos da

Geometria, que requerem abstração mais apurada, condizente com o nível em questão.

12) Sejam as retas a, b e c no espaço. Seja a perpendicular a b e c perpendicular a a.

Que se pode concluir em relação às posições relativas das retas b e c.

a) As restas b e c são paralelas.

b) As retas b e c são concorrentes.

c) A reta b é perpendicular à reta c.

d) A reta c é perpendicular à reta b.

Para a questão tivemos um total de cinco acertos, dos vinte e dois alunos que a

responderam. Verificou-se que a compreensão dos alunos, quando são tratados os

100

conceitos intuitivos de Geometria, é inferior ao que se espera tanto para o nível três de

Van Hiele, como para o Ensino Médio.



estudantes a compreensão da estrutura lógica e da geometria euclidiana [...]

compreender e generalizar algumas propriedades e demonstrar teoremas

(BRASIL, 2016, p. 562).

O que o documento da BNCC frisa é que o domínio de conteúdos de Geometria

no Ensino Médio deveria ir ao encontro do nível correspondente da teoria de Van Hiele,

que visa a relação que o aluno deve fazer entre as propriedades na realização de

demonstrações específicas.

Essa proficiência insuficiente implica que os alunos não desenvolveram as

habilidades geométricas de forma satisfatória. O Ensino Médio, como apontado,

anteriormente tem sido o gargalo da Educação Básica.

Segundo a pesquisa de Leseux (2017), que investigou os desafios da

aprendizagem Matemática no Ensino Médio, ela é reflexo da aprendizagem insuficiente

da Matemática do Ensino Fundamental. O autor explica, ainda, que a não aprendizagem

da Matemática no Ensino Fundamental demonstrar que os objetivos estabelecidos pelo

sistema de ensino para seu ensino não estão sendo atingidos de maneira significativa. Os

alunos apresentam, portanto, fragilidades e lacunas que precisam ser superadas para que

de fato as capacidades básicas sejam desenvolvidas em todas as etapas de ensino. Ou seja,

para garantir a continuidade da aprendizagem Matemática no Ensino Médio é necessário

repensar a organização do Ensino Fundamental pois, para efetivar os conhecimentos

nessa etapa de ensino só será possível quando, de fato, os conhecimentos forem

desenvolvidos na etapa anterior.

Diante dos dados expostos e analisados no presente eixo, podemos notar que os

alunos do Ensino Médio da escola investigada apresentam pouco conhecimento sobre

poliedros e polígonos.

Cabe reafirmar que a finalidade do Ensino Médio é consolidar uma formação

científica para que o aluno possa aplicar os conhecimentos matemáticos em situações

diversas, expressar argumentações matemáticas de formar oral, escrita e gráfica,

estabelecer relações entre os conceitos matemáticos com outras áreas do conhecimento.

Percebemos, no entanto, que a grande maioria dos alunos não estão familiarizados

com as figuras geométricas e suas propriedades, ou seja, chegam no final do Ensino

101

Médio sem os conhecimentos básicos de determinadas propriedades de figuras

geométricas, sejam elas, planas ou espaciais.

Desse modo, com os dados produzidos na presente pesquisa podemos concluir

que a evolução do pensamento geométrico dos alunos não se consolidou de forma

eficiente no Ensino Médio, tendo em vista que os alunos não conseguem definir,

estruturar e organizar informações geométricas de modo a dar sequência no

desenvolvimento do pensamento geométrico, de acordo com os níveis desenvolvidos por

Van Hiele, quais sejam: a visualização, a análise, a dedução informal e dedução.

102

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao final da exposição de nossa pesquisa retomamos, brevemente, o percurso que

nos possibilitou chegar às considerações finais e reafirmar as motivações que nos

mobilizaram para a investigação, que se construiu e consolidou ao longo da experiência

pessoal, acadêmica e profissional.

No que se refere a experiência acadêmica, a proximidade com o objeto de estudo

– o pensamento geométrico –, alicerça nossa busca pela compreensão das causas da não

aprendizagem de Geometria no Ensino Fundamental, que nos possibilitou o

aprofundamento sobre o objeto de estudo e abriu portas para continuar a pesquisa voltada

para a Geometria, agora no Ensino Médio, tomando por base os níveis de Van Hiele.

Durante a experiência profissional percebi a necessidade de se trabalhar de forma

significativa os conteúdos geométricos na Educação Básica, visto que, os alunos

continuavam apresentando dificuldades em compreender a Geometria. Diante desta

percepção temos como contexto da pesquisa o Ensino Médio, que nos possibilitou

pesquisar a temática e do qual emergiu a questão norteadora da investigação; Que

conhecimentos geométricos sobro polígonos e poliedros são apresentados por alunos do

Ensino Médio?

Definido o problema a ser pesquisado, iniciamos o levantamento dos dados que

teve como foco o conhecimento geométrico dos conteúdos de polígonos e poliedros pelos

alunos do terceiro ano do Ensino Médio. Nos deparamos com a necessidade de pesquisa

nessa temática que visa a consolidação de um processo de ensino de Geometria eficiente

para o desenvolvimento do pensamento geométrico dos alunos.

Para responder nosso problema de investigação consideramos importante

investigar as dificuldades apresentadas pelos alunos do Ensino Médio sobre Geometria

na visão do professor de Matemática; também consideramos importante identificar o que

os alunos compreendem sobre a Matemática e a Geometria ensinada Educação Básica;

por fim buscamos analisar a compreensão dos alunos sobre os conteúdos de polígonos e

poliedros, conteúdos ensinados no Ensino Médio.

Para produção de dados utilizamos os seguintes instrumentos: questionário de

caracterização do professor e dos alunos, entrevista semiestruturada, questionário, diário

de campo.

103

Nesse sentido, nossa investigação engloba a o pensamento geométrico dos

alunos., entendemos como a forma de raciocinar e elaborar estratégias para solucionar

qualquer tipo de problemas que engloba raciocínio geométrico.

A partir dos dados elegemos dois eixos temáticos para análise: Compreensões do

professor e dos alunos sobre o pensamento geométrico; Os conhecimentos geométricos.

O primeiro eixo de análise subdividimos em dois subeixos, o primeiro aborda a

importância do pensamento geométrico na perspectiva do professor. Sobre essa questão

achamos pertinente ouvir a voz do professor que ensina Geometria, suas compreensões

sobre a importância do pensamento geométrico bem como a necessidade de compreensão

por parte dos alunos.

As informações coletadas na pesquisa nos conduziram a compreender que ensino

de conceitos geométricos na escola de Educação Básica vai além de definições ou estudo

de determinadas propriedades geométricas. O pensamento geométrico torna-se

compreensível quando a prática em sala de aula ultrapassa as atividades pedagógicas que

visam somente a memorização de definições de fórmulas.

Em relação a compreensão do professor investigado sobre o pensamento

geométrico, os resultados demonstram uma relação com a Geometria e sua praticidade

concreta para atividades do dia-a-dia, e também a importância na dedução de fórmulas,

construção de conceitos. Ou seja, para o professor a Geometria tem importância porque

produz a possiblidade de utilizá-la nas atividades concretas e como potencializadora do

processo de construção da Matemática.

Sobre a finalidade da Geometria para a formação do aluno, o professor aponta a

necessidade de um conhecimento que lhe traga liberdade, um conhecimento para a vida,

pois o pensamento geométrico deve ampliar a visão de mundo do aluno.

Assumindo essa compreensão, tomamos por base o que dizem os documentos

oficiais ao relatarem a importância de um conhecimento matemático que dê liberdade ao

aluno, de pensar e agir na sociedade na qual está inserido, podendo mudar sua realidade,

pela via do conhecimento e pensamento matemático.

Sobre as dificuldades que os alunos apresentam o professor foi enfático ao

relacionar a não formação de conceitos, ou seja, os alunos chegam no Ensino Médio sem

o domínio de conceitos simples e básicos de Geometria, por isso há grande dificuldades

em desenvolver a continuidade dos conhecimentos geométricos e consolida-los nessa

etapa de ensino.

104

Sobre a compreensão dos alunos no que se refere a Matemática e a Geometria, os

dados apontaram para três relações sobre a Matemática: a matemática, o trabalho e

profissão; matemática com ciência e matemática como conteúdo escolar. Diante dessas

relações que os alunos indicaram, vale destacar que demonstram os significados que

associam ao aprender Matemática.

No que se refere aos conceitos próprios de Geometria, notamos pouco

conhecimento de determinados conceitos envolvendo os poliedros e polígonos. Verifica-

se ausência de uma compreensão mais solidificada, de um pensamento geométrico mais

elaborado com deduções de fórmulas, relação entre propriedades, entre outros. Diante dos

dados apontados podemos inferir que os alunos pesquisados não tiveram um contato

expressivo e significativo com a Geometria na Educação Básica.

No segundo eixo de análise, que se refere aos conhecimentos geométricos de

polígonos e poliedros, em relação aos polígonos, a pesquisa trabalhou com os níveis de

zero ao nível dois da teoria de Van Hiele, explorando aspectos como: o reconhecimento

de polígonos, a nomenclatura dos polígonos, reconhecimento das partes de um polígono,

reconhecimento de perímetro e área de um polígono, soma de ângulos internos, divisão

de polígonos em outros.

Os dados apontaram para um desempenho abaixo do esperado, na maioria dos

níveis analisados. No nível 0 - visualização –, que consiste na visualização e

reconhecimento de figuras, notamos que alunos, embora demonstrem algumas

dificuldades em reconhecer determinados polígonos, no geral, o que foi exigido para esse

nível foi contemplado.

Para o nível 1 – análise –, como apontaram os dados, verificamos que os alunos

embora consigam identificar algumas propriedades ainda não apresentam de forma

concludente as relações de entre os polígonos e suas propriedades. Segundo a teoria de

Van Hiele e o exigido para o Ensino Fundamental, os alunos nessa fase já são capazes de

analisar alguns conceitos geométricos tanto pela observação quanto pela experimentação,

portanto começam a surgir as propriedades que são utilizadas para conceituar classes

como, por exemplo, as classes dos quadriláteros que têm características específicas e

fazem parte da classe dos polígonos. A maioria dos alunos conseguiram passar pela fase

de análise, embora com algumas dificuldades.

Sobre o nível 2 – dedução informal –, os dados apontaram para um rendimento

ainda mais inferior aos outros níveis, visto que, segundo a teoria do desenvolvimento

105

geométrico no nível de dedução informal, os alunos do Ensino Fundamental são

totalmente aptos para desenvolver as características específicas desse nível, que

consistem em estabelecer inter-relações entre propriedades, são capazes de deduzir

propriedades de determinadas figuras e reconhecer as classes.

Portanto, o esperado seria que os alunos respondessem de forma mais assertiva as

questões do nível dois, o que não ocorreu, principalmente com relação ao reconhecimento

de classes e o estabelecimento de relações entre propriedades e figuras. Tal déficit pode

gerar um problema na construção de conceitos de polígonos, que exige um conhecimento

dos poliedros com suas propriedades, para assim construir o pensamento geométrico

espacial com os sólidos geométricos.

Sobre os conhecimentos de poliedros, exploramos os quatro níveis de Van Hiele,

a visualização, a análise, a dedução informal e a dedução (nível que os alunos deveriam

atingir ao concluírem o Ensino Médio). Os aspectos explorados na pesquisa, que

correspondem aos níveis acima expostos, são: reconhecimento de poliedros,

nomenclatura dos sólidos geométricos, identificação das partes de um poliedro como o

vértice, as arestas, os lados, identificação de prismas regulares e as noções intuitivas da

geometria.

Diante das questões de nível zero, os dados apontaram que os alunos apresentaram

dificuldades no reconhecimento dos poliedros. Os documentos oficiais apontam que,

nesse nível de ensino, a visualização e o reconhecimento das figuras em sua totalidade é

uma ponte para a construção da dedução formal, que engloba a compreensão de

significados de postulados e axiomas, presentes no Ensino Médio, de modo a levar o

aluno a enxergar e reconhecer o valor de uma demonstração matemática.

Podemos inferir, de acordo com os dados analisados que, nas questões do nível

um, se verifica a ausência de um conhecimento mais expressivo no que se refere às

propriedades dos poliedros, tendo em vista que a teoria de Van Hiele como também os

documentos oficiais preconizam que tais habilidades deveriam ser expressas pelos alunos

do Ensino Médio.

Sobre o nível dois, da teoria de Van Hiele, os dados apontaram que a construção

de conceitos dos alunos sobre poliedros não se confirmou. Os alunos mostram muita

dificuldade em identificar um prisma e fazer determinadas relações com as propriedades,

bem como com relação aos conhecimentos intuitivos de Geometria, apresentaram pouco

conhecimento.

106

No que se refere ao nível três, os dados apontam para que os alunos não

desenvolveram as habilidades geométricas de forma satisfatória. O Ensino Médio, como

apontado nos capítulos anteriores, foi apontado como o gargalo da Educação Básica,

dentre outras áreas de conhecimento, também na Geometria.

Diante dos dados expostos no eixo II, podemos notar que os alunos do Ensino

Médio da escola investigada apresentam pouco conhecimento em poliedros e polígonos.

Tendo em vista que a finalidade do Ensino Médio é consolidar uma formação científica

para que o aluno possa aplicar os conhecimentos matemáticos em situações diversas,

expressar argumentações matemáticas de formar oral, escrita e gráfica, que possa

estabelecer relações entre os conceitos matemáticos com outras áreas do conhecimento,

seu domínio da Geometria e da Matemática mostrou-se insuficiente.

Percebemos que a grande maioria dos alunos não estão familiarizados com as

figuras geométricas e suas propriedades, ou seja, chegam no final do Ensino Médio sem

os conhecimentos básicos de determinadas propriedades de figuras geométricas, sejam

elas, planas ou espaciais.

Desse modo, com os dados produzidos na presente pesquisa podemos notar que a

evolução do pensamento geométrico dos alunos não se consolida de forma eficiente no

Ensino Médio, tendo em vista que não conseguem definir, estruturar e organizar

informações geométricas de modo a dar sequência no desenvolvimento do pensamento

geométrico, de acordo com os níveis desenvolvidos por Van Hiele, ou seja, a visualização,

a análise, a dedução informal e dedução.

A formação inicial e continuada de professores de Matemática sobre a teoria de

Van Hiele, pode favorecer para a melhoria no ensino de Geometria em nossas escolas

pois, permitiria a compreensão dos níveis de desenvolvimento do pensamento

geométrico, por parte dos professores, permitindo o conhecimento e déficits que os alunos

apresentam sobre os conhecimentos geométricos, a fim de direcionar para um

planejamento e uma prática pedagógica significativa para o processo de construção e

consolidação do pensamento geométrico dos alunos. Cabe refletir também sobre as

mudanças nos currículos do Ensino Fundamental e Médio; seria somente o currículo o

único elemento a ser enfrentado quando se discuti sobre o ensino aprendizagem de

matemática? Seria a BNCC a salvadora do ensino de Matemática na Educação Básica?

Esses questionamentos nos levam a impulsionar e gerar novas pesquisas relacionadas ao

ensino de Geometria e as mudanças na Educação Básica.

107

Refletir sobre a história da Matemática, da Geometria e da própria Educação

Matemática também é de extrema importância nos processos de formação de conceitos

geométricos, pois conhecendo o processo de construção de determinados conhecimentos

permite ressignificar conceitos e procurar meios para um ensino que oferecido aos nossos

alunos de forma significativa.

Por fim, a contribuição da pesquisa dentro do cenário da educação escolar mato-

grossense indica a necessidade de melhorar o ensino de Geometria em toda Educação

Básica, para assim melhorar o pensamento geométrico/aprendizagem da geometria dos

alunos do Ensino Médio.

108

REFERÊNCIAS

ALMEIDA, D.M. O atendimento a Alunos dos Anos Iniciais do Ensino

Fundamental em Situação de Dificuldade de Aprendizagem em Matemática:

Concepções e Práticas de Professores Articuladores de Escolas Estaduais de

Cuiabá – MT. 2017. 208f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade

Federal de Mato Grosso. Cuiabá. 2017.

ANDRADE, J. A.A.; NACARATO, A. M. Tendências Didático-Pedagógicas para o

Ensino de Geometria. Disponível em:

http://www.ufrj.br/emanped/paginas/conteudo_producoes/docs_27/tendencias.pdf.

Acesso em: 22 set. 2017.

BATISTA, A.A. G. Recomendações para uma política pública de livros didáticos.

Secretária da Educação Fundamental/MEC: Brasília, 2001.

BRASIL. Ministério de Educação e Cultura. LDB - Lei nº 9394/96. Estabelece as

diretrizes e bases da Educação Nacional. Brasília: Brasília, 1996.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:

Matemática. Ministério da Educação. Brasília, 1998.

BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Parâmetros Curriculares Nacionais:

Matemática ensino médio. Ministério da Educação. Brasília, 1998.

BRASIL. Secretaria de Educação Básica. PCN + Ensino Médio: Orientações

Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Ministério da

Educação. Brasília, 2002.

BRASIL. Ministério da Educação. Orientações Curriculares para o ensino médio.

Secretaria de Educação Básica: Brasília, 2006.

BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da

Educação Básica. Secretaria de Educação Básica: Brasília, 2013.

BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Formação de professores do ensino médio,

Etapa II – Caderno V: Matemática. Ministério da educação. Curitiba UFPR/ Setor de

Educação, 2014.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Curricular Comum. Secretaria de

Educação Básica: Brasília, 2016.

BOGDAN, R; BIKLEN, S. Investigação qualitativa em Educação: Fundamentos,

métodos e técnicas. Portugal: Porto Editora, 1994.

BORBA, M.C. A pesquisa qualitativa em Educação Matemática. In: Anped, 27º,

2004, Caxumbo – MG. Anais, publicado em CD, 2004, 1 – 18.

109

CERVO, A.L; BERVIAN, P.A. Metodologia científica. 3.ed. São Paulo: MacGraw-

Hill do Brasil, 1996.

CHARLOT, Bernard. Da relação com o saber. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 2001.

COSTA, A.P. A construção do conceito de quadriláteros notáveis no 6º ano do

ensino fundamental: um estudo sob a luz da teoria vanhieliana. 2016. 242 f.

Dissertação (Mestrado em Educação Matemática e tecnológica). Centro de Educação.

Universidade Federal de Pernambuco. Recife, 2016.

CROWLEY, M. L. O modelo de Van Hiele de desenvolvimento do pensamento

geométrico. In: LINDQUIST, M.M.; SHULTE, A.P. Aprendendo e ensinando

Geometria. Trad. H. H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.

EVES, H. Geometria: Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula.

Geometria Tradução Higino H Domingues. São Paulo. Atual, 1997.

FIORENTINI, D; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática:

percursos teóricos e metodológicos. 3 ed. Campinas – SP. Autores Associados, 2012.

GÁLVEZ, G. A Didática da Matemática. In: PARRA, Cecília; SAIZ, Irma (org.).

Didática da Matemática: Reflexões Psicológicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.

GARNICA, A. V. M. História Oral e educação Matemática. In: BORBA, M. C.;

ARAÚJO, J. L. (Org.) Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. Belo

Horizonte: Autêntica, 2004.

GAZIRE, E. S. O não resgate das Geometrias. 200. 238 f. Tese (Doutorado em

Educação). Universidade Estadual de Campinas. Campinas, 2000.

GIL, A. C. Como elaborar projetos de pesquisa. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2007.

JAIME, A. Aportaciones a la interpretación y aplicación del Modelo de Van Hiele:

La enseñanza de las isometrías en el plano. La Evolución del nivel de razonamiento.

1993.Tese (Doutorado). Universidade de Valencia, España. 1993.

KALEFF. A.M. et al. Desenvolvimento do Pensamento Geométrico: o modelo de

van Hiele. Bolema, Rio claro, n.10, p. 21-30, 1994.

LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? Educação em Revista –Sociedade

Brasileira de Educação Matemática – SBM, ano 3, n. 4, p. 4 –13, 1o sem. 1995.

MATO GROSSO. Orientações Curriculares: Área de Ciências da Natureza e

Matemática: Educação Básica. /Secretaria de Estado de Educação de Mato Grosso.

Cuiabá: SEDUC – MT, 2010.

NAGATA, R. S. Os níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico: O

aprendizado do conteúdo de polígonos numa perspectiva do Modelo Van Hiele.

2016. 121 f. Dissertação (Mestrado professional em Matemática – PROFMAT)

Universidade Tecnológica Federal do Paraná. 2016.

110

NASSER, L (Coord.). SANT’ANNA, N. P. (Coord.). Geometria segundo a teoria de

Van Hiele. Rio de Janeiro, Projeto Fundão IM/UFRJ, 2000.

PIAGET, J. GARCIA, R. Psicogênese e História das Ciências. Petrópolis –RJ: Vozes,

2011

PIAGET, J. Psicologia e epistemologia: por uma teoria do conhecimento. 2ed. Rio de

Janeiro: Forense Universitária LTDA, 1978.

PAIS, L. C. Didática da Matemática; uma análise da influência francesa. 3ed. Belo

Horizonte: Autêntica Editora, 2011.

______. Transposição Didática. In: MACHADO, S.D.A (org.). Educação Matemática:

uma (nova) introdução. São Paulo: EDUC, 2010.

______. Intuição, experiência e teoria geométrica. Zetetiké, v. 4, n. 6, p. 45- 46,

jul./dez. 1996.

______. Uma análise do significado da utilização de recursos didáticos no ensino da

Geometria. 23a Reunião da Anped, 2000. Disponível em:

http://www.ufrrj.br/emanped/paginas/conteudo_producoes/docs_23/analise_significado.

pdf Acesso em: 20 de maio de 2016.

_____, . Ensinar e aprender Matemática. 2ed. Belo Horizonte: Autêntica Editora,

2013.

PAVANELLO, R.M. O Abandono do Ensino da Geometria no Brasil: Causas e

Consequências. Revista Zetekité, nº 1. Campinas, 1993.

PIRES, R. C. A presença de Nicolas Bourbaki na Universidade de São Paulo. 2006.

Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica, São

Paulo, 2006.

PINTO, N.B; VALENTE, W.R. Quando a geometria tornou-se moderna: Tempos do

MMM. In: SILVA, M.C.L. VALENTE, W.R. A geometria nos primeiros anos

escolares: História e perspectivas atuais. Campinas: Papirus editora, 2014.

ROONEY, A. A História da Matemática: desde a criação das pirâmides até a

exploração do infinito. São Paulo: M. Books do Brasil, 2012.

SILVA, V. A. Por que e para que aprender a matemática? São Paulo: Cortez, 2009.

SILVA, A. C. Reflexão sobre a matemática e seu processo de ensino-aprendizagem:

implicações na (re) laboração de concepções e práticas de professores. 2009. 246 f.

Tese (Doutorado em Educação) – Universidade Federal da Paraíba. 2009.

111

SILVA, M.C.L; VALENTE, W.R. A geometria nos grupos escolares. In: SILVA,

M.C.L. VALENTE, W.R. A geometria nos primeiros anos escolares: História e

perspectivas atuais. Campinas: Papirus editora, 2014.

SKOVSMOSE. O. Educação matemática crítica: A questão da democracia.

Campinas, SP: Papirus, 2001.

VAN DE WALLE, J. A. Matemática no Ensino Fundamental: formação de

professores aplicação em sala de aula. 6 ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.

VAN HIELE, P. M. El problema de la comprensión: en conexión con la comprensión

de los escolares en el aprendizaje de la geometría.1957. 151f. Tese (Doutorado) —

Universidad Real de Utrecht: Utrecht, 1957.

VARGAS, G. V; ARAYA, R.G. El modelo de Van Hiele y la enseñanza de la

geometría. UNICIENCIA, vol. 27, n.1, p.74-94, 1ºsem. 2013.

WALLE, John A. van. O pensamento e os conceitos geométricos. In: WALLE, John A.

van. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala

de aula. São Paulo: Papirus, 2009. p. 438-484.

112

ANEXO A – Questões do nível 0 (polígonos)

113

ANEXO B – Questões do nível 1 (polígonos)

114

ANEXO C – Questões do nível 2 (polígonos)

115

APÊNDICE A – Autorização do diretor

AUTORIZAÇÃO DO DIRETOR

Eu, ____________________________________________________diretor (a)

da Escola _______________________________________________________.

Autorizo a realização das atividades de pesquisa pela aluna do Programa de Pós-

Graduação em Educação (Mestrado) da Universidade Federal de Mato Grosso: KÁSSIA

ANITA DE FREITAS RODRIGUES FERREIRA. Para tanto, autorizo o acesso da

referida aluna na sala de aula do Ensino Médio para realização da observação participante,

análise de documentos da escola, do professor e dos alunos produzidos no ano letivo de

2016 e 2017, nesta instituição escolar, bem como a utilização das informações concedidas

em questionários e entrevista, como fonte de pesquisa para sua dissertação.

Campo Novo do Parecis – MT, ___de______________ de 2016.

__________________________________

Carimbo e assinatura do (a) Diretor (a)

116

APÊNDICE B – Autorização para a pesquisa (professor)

Senhor (a) Professor (a),

Solicitamos a autorização para que a aluna, Kássia Anita de Freitas Rodrigues

Ferreira, mestranda do Programa de Pós-Graduação em Educação, da Universidade

Federal de Mato Grosso, cuja orientação encontra-se sob a responsabilidade da Prof. Dr.

Adelmo Carvalho da Silva, realize a pesquisa, que tem como objeto “Conhecimento de

Geometria espacial dos alunos do Ensino Médio regular de escolas públicas de Campo

Novo do Parecis”.

Para o desenvolvimento da pesquisa solicitamos a autorização para realizar a

observação participante em sua sala de aula no período de ________________ a

________________. Além disso, solicitamos a colaboração da professora para conceder-

nos entrevista gravada, responder aos questionários, permitir o acesso planejamento anual

e possíveis atividades dos alunos produzidas durante o ano letivo de 2016, que se

constituem em fonte de dados para a nossa dissertação.

Os dados disponibilizados não serão repassados a terceiros. Caso estes dados

sejam utilizados na dissertação, os nomes da escola, da professora e alunos serão mantidos

em absoluto anonimato.

Certas de sua especial atenção, agradecemos antecipadamente.

______________________________________________

Orientador: Prof. Dr. Adelmo Carvalho da Silva

________________________________________________

Mestranda: Kássia Anita de Freitas Rodrigues Ferreira

117

APÊNDICE C – Questionário de caracterização do professor

CARACTERIZAÇÃO DO PROFESSOR

1. Dados Pessoais

a) Nome completo:________________________________________________

b) Data de nascimento: _________ c) Naturalidade:________ d) efetivo ( )

interino ( )

Telefone:_______________________celular:_____________________

E-mail:____________________________________________________

2. Formação Acadêmica

a) Curso de

Graduação:__________________Instituição:______________________

Ano de Ingresso:_____ Ano de conclusão:_______

Cidade/Estado:_____________

b) Pós-Graduação: ( ) Especialização ( ) Mestrado ( ) Doutorado

Curso:______________________Instituição_____________________

Ano de Ingresso:_______________Ano de conclusão:_____

Cidade/Estado:______

3. Experiência profissional

a) Qual o nome da(s) escolas em que você trabalha atualmente como professor?

Há quanto tempo trabalha como professor(a) de matemática? Já lecionou em

outras disciplinas?

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

b) Níveis de Ensino em que atua: ( ) Ensino Fundamental ( ) Ensino

Médio ( ) Educação de Jovens e Adultos.

118

c) Dos níveis acima citado qual deles você prefere e/ou tem afinidade em

lecionar? Por quê?

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

d) Qual a sua jornada de trabalho semanal?_____________________________

e) Você exerce outra função além de professor(a)?

Qual?____________________

Campo Novo Do Parecis – MT, ____de_________________de 20___

Assinatura do Professor: ______________________________________

119

APÊNDICE D – Caracterização dos alunos

CARACTERIZAÇÃO DO ALUNO

1 Dados Pessoais

a) Nome completo:_______________________________________________

b) Data de nascimento:_________ c) Naturalidade:________

c) Telefone:_______________________celular:________________________

d) Email:________________________________________________________

2 Dados familiares

a) Mora com pai e mãe? Sim ( ) Não ( ),

outro:____________________________

b) Quantas pessoas trabalham na sua

família?_____________________________

c) Você nasceu nesta cidade? Sim ( ) Não ( ). Se respondeu não, de qual

estado você

é?_________________________________________________________

d) Qual o motivo da mudança de sua família para esta

cidade?____________________________________________________

3 Vida escolar e perspectivas futuras

a) Gosta de estudar matemática? Por

quê?__________________________________________________________

_____________________________________________________________

b) Nas aulas de matemática durante sua formação no ensino fundamental e

médio, o que você recorda sobre o estudo de

120

GEOMETRIA?_________________________________________________

_____________________________________________________________

c) Diga-me se você considera importante estudar os conceitos geométricos e por

quê?__________________________________________________________

_____________________________________________________________

d) Qual profissão gostaria você de ter no

futuro?_____________________________

e) Você tem computador em casa?______________________,tem

celular?________

f) Você acredita que a matemática é importante para a sua formação e

construção profissional? Por quê?____________________________

Campo Novo Do Parecis – MT, ____de_________________de 20___

Assinatura do aluno:______________________________________

121

APÊNDICE E – Roteiro de entrevista com o professor

ROTEIRO PARA ENTREVISTA – PROFESSOR

O presente roteiro tem como objetivo subsidiar-nos em relação à

entrevista que se estrutura a partir de três blocos:

1-

2- Identificação do sujeito, formação escolar, formação continuada e

experiência profissional;

2- Ensino de Geometria nas propostas curriculares;

3- O pensamento geométrico dos alunos;

1- BLOCO 1 – Identificação do sujeito, formação escolar, formação

continuada e experiência profissional;

a) Identificação do participante;

b) Como foi sua vida escolar, onde estudou? Você gostava de

Matemática? Por quê?

c) Por que escolheu ser professor(a)?

d) Fale-me sobre o ensino de geometria vivenciado por você na educação

básica: Sentiu alguma dificuldade? Utilizou alguns instrumentos de desenho?

122

O que mais te marcou nessas aulas? Você acredita que a experiência vivida na

Educação Básica reflete na sua prática ao ensinar geometria?

d) Fale-me sobre o seu contato com a geometria, na sua formação

superior. O que aprendeu? Teve dificuldades? Como os professores ensinavam

geometria?

e) Você prefere ensinar geometria no Ensino Fundamental ou no Ensino

Médio? Por quê?

BLOCO 2 – Ensino de Geometria;

a) Qual a importância da compreensão do pensamento geométrico pelo

aluno?

b) A aprendizagem da geometria implica na compreensão de relações e

linguagem da geometria?

c) O que dificulta ou facilita a prática de ensinar geometria na sala de aula?

d) O livro didático utilizado pela escola contempla o que você acredita ser

necessário para ensinar geometria?

e) Quais as dificuldades apresentadas pelos seus alunos ao estudarem

geometria na escola?

f) Como você avalia o processo de ensino e aprendizagem da geometria na

sala de aula?

BLOCO 3 – Pensamento geométrico dos alunos

a) Quais dificuldades os alunos apresentam no processo de compreensão de

questões que envolvam conceitos geométricos?

b) Quais dificuldades os alunos apresentam ao estudar geometria espacial?

c) Você acredita que a utilização de instrumentos e ferramentas

pedagógicas como compasso, régua, transferidor e multimídia

123

(GeoGebra, e outros) podem ser um facilitador da aprendizagem

significativa da geometria?

d) A prática pedagógica do professor pode influenciar na aprendizagem de

geometria dos alunos? Por quê?

124

APÊNDICE F – Questionário dos níveis (poliedro)

Questões investigativas – Geometria espacial

Aluno(a):__________________________________________Idade:__________

1) Dentre as figuras abaixo circule os que podem ser considerados sólidos

geométricos.

2) Dentre as figuras abaixo, circule as que são poliedros.

3) Relacione os nomes com as figuras da direita colocando a letra correspondente

ao poliedro:

(E) Octaedro ( ) ( ) ( ) ( )

(F) Dodecaedro

(G) Hexaedro

(H) Paralelepípedo

4) Sabendo que a nomenclatura dos poliedros se relaciona com o número de faces,

relacione:

(A) Tetraedro ( ) ( )

(B) icosaedro

5) Observe a figura e complete as lacunas adequadamente:

e) Quantos vértices tem a figura?_____

f) Quantas arestas o sólido possui:____

g) De cada vértice saem quantas arestas:____

h) Essa figura é um poliedro denominado___________.

125

6) Marque V (verdadeiro) e F (falso) para as afirmações referentes aos poliedros

regulares:

e) ( ) ...é um sólido com três dimensões.

f) ( ) um poliedro convexo é regular quando todas as suas faces são polígonos

regulares congruentes e de todos os vértices saem o mesmo número de

arestas.

g) ( ) arestas são todas as faces do poliedro.

h) ( ) as faces de um poliedro sempre são polígonos.

7) Dentre as figuras abaixo circule as que podem serem consideradas um prisma.

8) Em relação aos prismas é correto afirmar que:

e) O prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares em relação a

base.

f) Prisma regular são prismas de arestas oblíquas as suas bases

g) A superfície lateral de um prisma é a soma da área de suas faces laterais e

suas bases.

h) A superfície total de um prisma refere-se a soma da área de todas as faces

laterais.

9) Com relação aos conhecimentos intuitivos de geometria marque V (verdadeiro)

e F (falso) nas afirmativas abaixo:

f) ( ) espaço é o conjunto formado por todos os pontos.

g) ( ) retas concorrentes são duas retas que tem todos os pontos em comum.

h) ( ) por dois pontos distintos passa uma única reta.

i) ( ) três pontos colineares definem um plano.

j) ( ) três pontos não colineares definem um plano.

10) Sabendo que o volume de um cubo, cuja aresta mede 3 cm é 27cm2. O que

acontece com o volume se a aresta dobrar de tamanho?

e) O volume dobra.

f) O volume permanece o mesmo.

g) O volume é triplicado.

h) O volume fica oito vezes maior.

11) Calcule a medida da aresta de um cubo cujo volume é 343cm2:

e) 4 cm

126

f) 5 cm

g) 6 cm

h) 7 cm

12) Sejam as retas a,b e c no espaço. Seja a perpendicular a b e c perpendicular a a.

Que se pode concluir das posições relativas das retas b e c.

e) As restas b e c são paralelas.

f) As retas b e c são concorrentes.

g) A reta b é perpendicular à reta c.

h) A reta c é perpendicular à reta b.

pensamento geomÉtrico dos alunos do ensino mÉdio de uma ... · resumo a pesquisa objetiva...

Documents