Pelas lentes da Matemática

Série Matemática na Escola

Objetivos

1. Apresentar ideias intuitivas de homotetia e

semelhança; 2. Interpretar uma situação contextualizada

utilizando conceitos matemáticos.

Pelas lentes da Matemática

Série

Matemática na Escola

Conteúdos

Geometria plana e espacial: homotetia e semelhança.

Duração

Aprox. 10 minutos.

Objetivos

1. Apresentar ideias intuitivas de homotetia e semelhança;

2. Interpretar uma situação contextualizada utilizando conceitos matemáticos.

Sinopse

O jovem Pedro recebe de presente em seu aniversário uma máquina fotográfica e, sendo muito curioso, deseja saber como funciona. Gabriel, fotógrafo profissional de moda, aparece para ajudá-lo a entender o princípio de funcionamento da máquina e mostrar sua origem.

Material relacionado

Experimentos: Câmara Escura.

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Introdução

Sobre a série

A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do Ensino Médio através de situações, ficções e contextualizações. Os programas desta série usualmente são informativos e podem ser introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula ou fechamentos de um tema ou problema desenvolvidos pelo professor. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao conteúdo mais matemático; além disso, pequenos documentários trazem informações interdisciplinares.

Sobre o programa

O jovem Pedro ganha uma máquina fotográfica em seu aniversário e, muito curioso, quer saber sobre seu funcionamento. Gabriel, fotógrafo profissional de moda, aparece para mostrar como funciona a máquina, como as imagens são formadas e também contar um pouco da história do aparecimento das câmaras escuras.

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Gabriel começa mostrando a relação entre uma câmara fotográfica e a câmara escura. A câmara escura de orifício se refere a um compartimento fechado, no formato de uma caixa, com paredes opacas com um pequeno furo em uma das faces por onde é possível entrar luz.

A câmara utiliza o princípio de propagação retilínea da luz para formar imagens em anteparos. A imagem é formada pela luz refletida pelo objeto real que passa pelo orifício e atinge a face oposta à face do orifício. O orifício seleciona a luz que chega à face oposta, de tal forma que, de todos os raios de luz que saem de um ponto do objeto, o orifício deixa passar somente um, produzindo-se então um ponto na face oposta iluminado por aquele raio. Assim, como a luz se propaga em linha reta, a imagem de um objeto localizado do lado de fora da caixa e em frente ao furo aparecerá na face oposta ao furo e invertida.

Além deste aspecto físico, o fenômeno envolve os conceitos matemáticos de homotetia e semelhança.

Homotetia

A homotetia de centro no ponto V do espaço (ou do plano) e razão de número real k não nulo é a transformação H que associa a cada ponto P o ponto H(P)=P’ do espaço (ou do plano), tal que:

Se k>0, H(V)=V e, para todo ponto P distinto de V, H(P)=P’ é o ponto na semirreta VP com VP’=k.VP. Neste caso, a homotetia é chamada homotetia direta.

Se k<0, H(V)=V e, para todo ponto P distinto de V, H(P)=P’ é o ponto na reta VP com V entre P e P’ e VP’=|k|VP. Neste caso, a homotetia é chamada homotetia inversa.

Dizemos que duas figuras F e F’ são homotéticas quando existe uma homotetia H com H(F)=F’.

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O triângulo A’B’C’ é a imagem do triângulo ABC pela homotetia de centro V e razão -1/2. Por exemplo, A’V=|-1/2|AV.

O triângulo A’B’C’ é a imagem do triângulo ABC pela homotetia de centro V e razão 2. Por exemplo, A’V=2AV.

Na câmara escura, a homotetia envolvida tem razão negativa. Para encontrar a razão da homotetia, basta dividir a distância de um ponto da imagem até o orifício pela distância do orifício até o correspondente ponto do objeto e considerar o negativo deste resultado.

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Semelhança

Duas figuras F e F’ do plano ou do espaço são semelhantes quando existe um número real positivo r e uma correspondência biunívoca S entre os pontos de F e os pontos de F’ com a seguinte propriedade: se X e Y são pontos quaisquer de F e X’=S(X) e Y’=S(Y) os pontos correspondentes em F’, então a medida do segmento X’Y’ é igual a r vezes a medida do segmento XY, ou seja, X’Y’=r.XY. A correspondência biunívoca chama-se uma semelhança de razão r entre F e F’.

Para quaisquer X e Y na figura F, os correspondentes X’ e Y’ em F’ valem X’Y’=r.XY.

No programa é ilustrada a imagem homotética A’B’C’D’E’ de um polígono ABCDE na câmara escura. A razão de homotetia é igual a k=-

r, onde .

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Para quaisquer pontos X e Y no polígono ABCDE e seus

correspondentes X’ e Y’ no polígono A’B’C’D’E’, também vale .

Assim, os dois polígonos são semelhantes com razão de semelhança igual a r.

De modo mais geral, se duas figuras quaisquer no espaço (ou no plano) são homotéticas, então elas também são semelhantes. Além disso, se a razão de homotetia é igual a k, a razão de semelhança é r=|k|.

Aplicação: cálculo de alturas de objetos

A câmara escura pode ser utilizada para determinar alturas de objetos. No programa, é mostrado como se determinar a altura de uma árvore sabendo-se a distância da árvore até o orifício da câmara, a distância do orifício ao anteparo e a altura da imagem da árvore. A figura a seguir mostra como calcular a altura x da árvore.

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Analogia entre a câmara escura e o olho humano

No programa, é apresentada a analogia entre a câmara escura de orifício e o olho humano. No olho humano, a pupila, que é a abertura central da íris, corresponde ao orifício da câmara escura. A retina é a membrana sensível à luz e corresponde à face oposta da câmara escura, que é onde se forma a imagem invertida do objeto, assim como corresponde ao filme fotográfico em um aparelho fotográfico. Em cada olho são formadas imagens que, enviadas ao cérebro pelos nervos óticos, são mescladas e, assim, vemos apenas uma. Esse processo permite termos a ideia de distâncias, cores, profundidade, relevos, dimensão e movimentos dos objetos vistos.

Câmara escura e a pintura

A estrutura da câmara escura foi adaptada e aperfeiçoada para a utilização por pintores por volta dos séculos XVI e XVII, fornecendo e desenvolvendo novas técnicas de pintura. Esse aspecto também é abordado no programa, mostrando alguns processos primários da relação entre a câmara escura e a pintura.

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Câmara escura e a fotografia

Foi um longo processo desde o aparecimento da câmara escura de orifício até a possibilidade de se fixar imagens dando origem à fotografia. Primeiramente foram feitos estudos e pesquisas envolvendo processos químicos, até chegar a técnicas de se fixar imagens em filmes fotográficos. Posteriormente apareceram as câmaras digitais em que no lugar de filmes fotográficos são utilizados os CCD (Charge-Coupled Device – Dispositivo de carga acoplada), que são sensores para captar e transformar imagens num arquivo para poder ser visto, por exemplo, com o auxílio de um computador ou mesmo no visor da própria câmara digital.

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Sugestões de atividades

Antes da execução

Proponha aos alunos a seguinte atividade que permite observar e entender como é formada a imagem de um objeto pelo orifício de uma câmara:

Material necessário:

1 pedaço de papel cartão de aproximadamente 20 cm × 20 cm.

1 vela

quarto escuro

Procedimento:

Faça um orifício no centro do papel cartão com a ponta de um compasso. Em um quarto escuro, segure a vela acesa a uma distância de aproximadamente 15 cm da parede. Segure o cartão entre a vela e a parede de modo que o orifício e a chama pertençam a uma reta perpendicular à parede. Observe a imagem invertida da chama na parede.

1. Coloque o cartão próximo à parede e mova-o em direção à vela. O que acontece com o tamanho da imagem da chama? Na figura, AB representa a chama da vela, P representa o furo e CD representa a imagem da chama na parede.

2. Como o triângulo ABP é semelhante ao triângulo CDP, expresse a medida do segmento CD em termos das medidas dos segmentos AB, PE, e PF.

3. Quando o cartão é movido da parede em direção à vela, o que acontece com PF?

4. O que acontece com PE?

5. O que acontece com o quociente PE

PF?

6. O que acontece com CD?

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Depois da execução

Atividade 1

Proponha aos alunos que construam uma câmara escura de orifício e explorem seu funcionamento. Para isso, sugerimos realizar o experimento Câmara Escura do projeto M3.

Atividade 2

Explorar e investigar propriedades da homotetia utilizando um programa de geometria dinâmica.

Sugerimos que o professor elabore atividades para serem realizadas no programa GeoGebra, que pode ser obtido gratuitamente no endereço www.geogebra.org/cms/, para que os alunos explorem e investiguem algumas propriedades de homotetias no plano. No programa GeoGebra é muito fácil utilizar o recurso homotetia e, no endereço citado, também é possível obter tutoriais do programa.

Algumas das propriedades que podem ser investigadas são:

As homotetias transformam pontos colineares em pontos colineares (preservando a ordem dos pontos), retas em retas, segmentos em segmentos, semirretas em semirretas e ângulos em ângulos.

Sendo k a razão da homotetia, um segmento AB é transformado em um segmento A’B’ paralelo ao segmento AB e com A’B’=|k|AB. Também, transforma um triângulo ABC em um triângulo A’B’C’ semelhante ao primeiro cuja razão de semelhança é |k| e transforma uma circunferência de raio r em uma circunferência de raio r’ tal que r’=|k|r.

Sugestões de leitura

LIMA, Elon L.; CARVALHO, Paulo C. P.; WAGNER, Eduardo, MORGADO, Augusto C.. A Matemática do Ensino Médio. Vol.2, Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2006. LIMA, Elon L.. Medida e Forma em Geometria. 4. ed. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2005.

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REZENDE, Eliane Quelho Frota, QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim. Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas. 2. ed. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2008.

Ficha técnica

Autoras: Claudina Izepe Rodrigues e Eliane Quelho Frota Rezende Revisor: Samuel Rocha de Oliveira

Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva Coordenador acadêmico: Samuel Rocha de Oliveira

Universidade Estadual de Campinas

Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Diretor Jayme Vaz Jr.

Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira