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CÁLCULO III

CURSOS DE GRADUAÇÃO – EADCálculo III – Prof. Dr. Antônio Joaquim da Silva Neto

Meu nome é Antônio Joaquim da Silva Neto. Tenho Bacharelado e Licenciatura em Física (UNESP/Rio Claro). Concluí meu Mestrado no Instituto de Física de São Carlos (USP), na área de Biomoléculas, e meu doutoramento em Biologia Celular e Molecular pelo Instituto de Biociências (UNESP/Rio Claro). Atualmente, sou docente no Claretiano – Centro Universitário de Rio Claro nas disciplinas de Mecânica dos Fluidos, Cálculo Numérico e Física III e Estatística.

Fazemos parte do Claretiano - Rede de Educação

CÁLCULO IIIPlano de Ensino (PE)/Guia de Estudos (GE)

Prof. Dr. Antônio Joaquim da Silva Neto

Batatais

Claretiano

2015

Fazemos parte do Claretiano - Rede de Educação

© Ação Educacional Claretiana, 2015 – Batatais (SP)Trabalho realizado pelo Claretiano – Centro Universitário

Cursos: GraduaçãoDisciplina: Cálculo III

Versão: ago./2015

Reitor: Prof. Dr. Pe. Sérgio Ibanor PivaVice-Reitor: Prof. Ms. Pe. José Paulo Gatti

Pró-Reitor Administrativo: Pe. Luiz Claudemir BotteonPró-Reitor de Extensão e Ação Comunitária: Prof. Ms. Pe. José Paulo Gatti

Pró-Reitor Acadêmico: Prof. Ms. Luís Cláudio de Almeida

Coordenador Geral de EaD: Prof. Ms. Evandro Luís RibeiroCoordenador de Material Didático Mediacional: J. Alves

Corpo Técnico Editorial do Material Didático Mediacional

Preparação Aline de Fátima Guedes

Camila Maria Nardi Matos Carolina de Andrade Baviera

Cátia Aparecida RibeiroDandara Louise Vieira Matavelli

Elaine Aparecida de Lima MoraesJosiane Marchiori Martins

Lidiane Maria MagaliniLuciana A. Mani Adami

Luciana dos Santos Sançana de MeloPatrícia Alves Veronez MonteraRaquel Baptista Meneses Frata

Rosemeire Cristina Astolphi BuzzelliSimone Rodrigues de Oliveira

RevisãoCecília Beatriz Alves TeixeiraEduardo Henrique MarinheiroFelipe AleixoFilipi Andrade de Deus SilveiraJuliana BiggiPaulo Roberto F. M. Sposati OrtizRafael Antonio MorottiRodrigo Ferreira DaverniSônia Galindo MeloTalita Cristina BartolomeuVanessa Vergani Machado

Projeto gráfico, diagramação e capa Eduardo de Oliveira AzevedoJoice Cristina Micai Lúcia Maria de Sousa FerrãoLuis Antônio Guimarães Toloi Raphael Fantacini de OliveiraTamires Botta Murakami

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução, a transmissão total ou parcial por qualquer forma e/ou qualquer meio (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação e distribuição na web), ou o arquivamento em qualquer sistema de banco de dados sem a permissão por escrito do autor e da Ação Educacional Claretiana.

Claretiano – Centro UniversitárioRua Dom Bosco, 466 - Bairro: Castelo – Batatais SP – CEP 14.300-000

[email protected]: (16) 3660-1777 – Fax: (16) 3660-1780 – 0800 941 0006

www.claretianobt.com.br

SUMÁRIO

PLANO DE ENSINO (PE)/GUIA DE ESTUDOS (GE)

1 APRESENTAÇÃO ..............................................................................................................................................................72 DADOS GERAIS DA DISCIPLINA .....................................................................................................................................73 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA DISCIPLINA ..........................................................................................................84 AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM ..................................................................................................................................215 CONSIDERAÇÕES GERAIS ..............................................................................................................................................216 BIBLIOGRAFIA BÁSICA ...................................................................................................................................................227 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR ..................................................................................................................................228 E-REFERÊNCIA ................................................................................................................................................................22

Claretiano - Centro Universitário

PE/GE

Plano de Ensino (PE)/Guia de Estudos (GE)

1. APRESENTAÇÃO

Seja bem-vindo! Você iniciará o estudo de Cálculo III, uma das disciplinas que compõem os Cursos de Graduação na modalidade EaD, cuja finalidade é formar um profissional consciente dos desafios que irá enfrentar e das possibilidades de contribuir para uma aprendizagem signi-ficativa e transformadora.

Para efeitos didáticos, a disciplina Cálculo III está dividida em cinco Ciclos de Aprendiza-gem e terá o seguinte Caderno de Referência de Conteúdos (CRC) como material de estudo:

• SILVA NETO, A. J.; GONÇALVES, J. B. Cálculo III, 2014.

A proposta desta disciplina será desenvolver habilidades e competências para desenvolver e tratar com problemas que necessitem dos conceitos e métodos do cálculo diferencial e inte-gral.

2. DADOS GERAIS DA DISCIPLINA

EmentaFunções de várias variáveis. Integração múltipla. Equações diferenciais de primeira e se-

gunda ordem.

Objetivo geralOs alunos da disciplina Cálculo III, na modalidade EaD do Claretiano, dado o Sistema Ge-

renciador de Aprendizagem e suas ferramentas, serão capazes de compreender a importância

8 © Cálculo III

do estudo de Cálculo Diferencial e Integral como ferramenta que possibilita o entendimento de processos nos quais ocorram variações de quantidades dependentes entre si. Será capaz também de elaborar explicações e sugerir soluções para problemas do dia a dia que, por sua complexidade, necessitem de bases teóricas para a modelagem de equações que lhe permitam delinear soluções.

Com esse intuito, os alunos contarão com recursos técnico-pedagógicos facilitadores de aprendizagem, como Material Didático Mediacional, bibliotecas físicas e virtuais, ambiente vir-tual, bem como acompanhamento do professor responsável, do tutor a distância e do tutor presencial, complementado por debates no Fórum.

Ao final desta disciplina, de acordo com a proposta orientada pelo professor responsável e pelo tutor a distância, terão condições de interagir com argumentos contundentes e, posterior-mente, fundamentar criticamente sua prática educacional/profissional. Para esse fim, levarão em consideração as ideias debatidas na Sala de Aula Virtual, por meio de suas ferramentas, bem como o que produziram durante o estudo.

Objetivos específicos

(Para que ensinar e aprender?)• Compreender a importância do Cálculo Diferencial e Integral como parte fundamental

para seu desenvolvimento profissional;• Conhecer os métodos e teorias que serão desenvolvidas ao longo do curso;• Aplicar esses métodos a problemas específicos.

3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA DISCIPLINA

Os cinco Ciclos de Aprendizagem desta disciplina, cada qual correspondendo a um grupo de conteúdos apresentados na ementa, incluem momentos de aprendizagem a distância e de encontros presenciais.

Como processo de ensino e contribuição para sua aprendizagem, você encontrará, no de-correr deste Plano de Ensino/Guia de Estudo, algumas propostas de atividades, interatividades e/ou questões on-line. Fique atento, pois elas fazem parte de sua avaliação formativa, ou seja, comporão a nota final da disciplina.

Encontros presenciaisO(s) encontro(s) presencial(is) representa(m) um momento importante para o contato

com seus colegas de curso e tutores presenciais, com a finalidade de promover interação, propi-ciar momentos de atividades práticas e de avaliação.

Fique atento à(às) data(s) de encontro(s) presencial(is), confira o seu calendário e anote. Lembre-se de que as datas são sujeitas à alteração. Por isso, é importante que você sempre consul-te o calendário antes de ir ao polo. Basta acessar o link: <www.claretianobt.com.br/calendarios>.

9© Plano de Ensino (PE)/Guia de Estudos (GE)


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Ciclos de Aprendizagem a Distância–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Os Ciclos de Aprendizagem serão organizados semanalmente, para que você possa alcançar uma aprendizagem que lhe permita o aprofundamento dos conteúdos expostos nesta disciplina.

1º CICLO DE APRENDIZAGEM A DISTÂNCIA

ConteúdosFunções de várias variáveis. Domínio e imagem. Gráficos de funções e curvas de nível.

Limites e propriedades.

1ª semana

Problematização

O que são funções de várias variáveis? Como podem ser definidas quanto a seu domínio e imagem? Como definir limite de uma função de duas variáveis? O que são curvas de nível e quais suas aplicações? Essas são algumas questões que iremos abordar ao longo do curso e adquirir afinidade com a matéria lendo os textos teóricos e principalmente exercitando nos problemas propostos.

Orientações gerais

Nesta 1ª semana, propomos que você acesse a Sala de Aula Virtual (SAV), leia as orien-tações de seu tutor a distância, verifique o cronograma e os materiais postados no Material de Apoio e faça a leitura atenta do Guia Acadêmico do Curso, deste Plano de Ensino/Guia de Estu-dos, para, em seguida, realizar a leitura dos materiais indicados.

O que preciso estudar?

SILVA NETO, A. J.; GONÇALVES, J. B. Cálculo III, 2014 Unidade 1 (confira no Material de Apoio).

O que preciso fazer?

Ler e estudar os conteúdos propostos. Caso tenha dúvida, entre em contato com seu tutor a distância pela Lista ou pelo 0800.

2ª semana

Problematização

Quais as diferenças entre funções de uma variável dependente e duas ou mais variáveis dependentes? Como você definiria o domínio de uma função de duas variáveis?


Sugerimos que você estude e faça os exemplos antes de começar a fazer os exercícios pro-postos na atividade. Propomos que você utilize um programa gráfico para plotar as funções e estudar seu comportamento. É uma forma de facilitar e aprimorar seu aprendizado, o que será muito útil para os estudos de funções em várias áreas da Física e Engenharia.

10 © Cálculo III


SILVA NETO, A. J.; GONÇALVES, J. B. Cálculo III, 2014. Unidade 1 (confira no Material de Apoio).



3ª semana

Problematização

O que são curvas de nível? Para que servem?


Nesta 3ª semana, propomos que você retome as leituras realizadas nas semanas anterio-res e desenvolva a atividade indicada no tópico O que preciso fazer?



THOMAS, G. B. Cálculo – Volume 2. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012. Capítulo 14, exercí-cios: 5, 7, 9, e 11.


Atividade no Portfólio Objetivo

• Você pode entender o comportamento de uma função se souber seu domínio de de-finição e suas curvas de nível. Estes procedimentos facilitam muito no momento de pesquisarmos, por exemplo, seus pontos críticos. Por serem de grande aplicação em várias áreas do conhecimento, seu estudo é de grande importância no Cálculo.

Descrição da atividade

Com base nas leituras propostas, responda às questões a seguir:1) O que são curvas de nível? Para que são utilizadas? Pesquise duas aplicações do uso

de curvas de nível na Física e duas outras aplicações em outras áreas das Ciências.2) Escolha duas funções: uma com singularidades em seu domínio e outra contínua

em seu domínio de definição. Esboce suas curvas de nível e utilize um software para plotar seus gráficos.

Pontuação

A atividade vale de 0 a 0.5. Critérios de avaliação

Na avaliação desta atividade, serão utilizados como critérios:• utilização da norma-padrão da Língua Portuguesa e das normas da ABNT;



• coerência, concisão e coesão;• compreensão dos textos estudados;• capacidade de análise do conteúdo e de síntese de ideias;• articulação entre o tema e as considerações apresentadas.• resolução detalhada dos exercícios, com a descrição passo a passo;• utilização e colocação correta das unidades de medidas;• utilização e colocação correta de notação científica.


ConteúdosEstudaremos neste ciclo as definições de limite de uma função de duas ou mais variáveis.

De maneira análoga ao visto em uma função de uma variável, o conceito de limite vai definir uma série de tópicos ao longo do curso, como, por exemplo, a continuidade e a derivada parcial de uma função.

4ª semana

Problematização

Quais são os limites das funções das variáveis?


Nesta 4ª semana, propomos que você reflita sobre a questão proposta na problematiza-ção, pesquise sobre o tema e faça a leitura atenta do material indicado.



THOMAS, G. B. Cálculo – Volume 2. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012. Capítulo 14.2, exer-cícios: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15 e 17 (confira na Biblioteca Virtual Pearson).



5ª semana

Problematização

O estudo de limites nos remete às definições de continuidade de funções no plano e no espaço. O que significa dizer que uma função se aproxima de um limite L quando ( , )x y se apro-xima de um par 0 0( , )x y ? Como definir a continuidade de uma função de duas variáveis?


Nesta 5ª semana, propomos que você reflita sobre as questões da problematização, pes-quise sobre o tema e faça a leitura atenta do material indicado.

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THOMAS, G. B. Cálculo – Volume 2. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012. Capítulo 14.2, exer-cícios 31; 33; 35; 37; 39a e 39b (confira na Biblioteca Virtual Pearson).



6ª semana

Problematização

Nesta semana iniciaremos nossos estudos sobre as derivadas parciais. De maneira análoga às funções de uma variável, as derivadas parciais são assim chamadas porque fixamos uma va-riável independente e derivamos em relação à variável não fixa. Qual o significado geométrico das derivadas parciais? O que ocorre quando as derivadas parciais em relação às variáveis inde-pendentes são contínuas em um determinado conjunto R de seu domínio?


Nesta 3ª semana, propomos que você retome as leituras realizadas nas semanas anterio-res e desenvolva a atividade indicada no tópico O que preciso fazer?.



THOMAS, G. B. Cálculo – Volume 2. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012. Capítulo 14.3, exer-cícios: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 25; 29; 31; 35; 37; 39; 41; 43; 45; 47 e 49 (confira na Biblioteca Virtual Pearson).





• As derivadas parciais são aplicadas em várias áreas da Física e das Engenharias. Três equações importantes são a equação de onda tridimensional, a equação de condução de calor unidimensional e a equação de Laplace tridimensional.

Descrição da atividadeCom base nas leituras propostas, realize os exercícios a seguir:



1) Mostre que a função 2 2( , ) ln ( ( )F x y x y= + satisfaz à equação de Laplace bidimen-

sional 2 2

2 2 0f fx y

∂ ∂+ =

∂ ∂.

2) Mostre que a função ct5cos(3 3ct) xw x e += + + satisfaz à equação de onda tridimen-

sional 2 2

22 2

w wct x

∂ ∂=

∂ ∂.

3) Mostre que a equação ( , ) sin ( ) tf x t x eβα= ⋅ satisfaz à equação de condução de calor

para 2

2

f ft x∂ ∂

+∂ ∂

constantes α e β . Qual é a relação entre essas duas constantes

para que essa função seja solução? Pontuação

A atividade vale de 0 a 0,75. Critérios de avaliação

Na avaliação desta atividade, serão utilizados como critérios:• utilização da norma-padrão da Língua Portuguesa e das normas da ABNT;• coerência, concisão e coesão;• compreensão dos textos estudados;• capacidade de análise do conteúdo e de síntese de ideias;• articulação entre o tema e as considerações apresentadas.• resolução detalhada dos exercícios, com a descrição passo a passo;• utilização e colocação correta das unidades de medidas;• utilização e colocação correta de notação científica.

7ª semana

Problematização

O que são as variáveis dependentes, as variáveis intermediárias e as variáveis indepen-dentes?


Nesta 7ª semana, propomos que você reflita sobre a questão proposta na problematiza-ção, pesquise sobre o tema e faça a leitura atenta do material indicado.



THOMAS, G. B. Cálculo – Volume 2. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012. Capítulo 14.4, exer-cícios: 1; 3; 5; 13; 15; 17; 19; 21 e 23 (confira na Biblioteca Virtual Pearson).

14 © Cálculo III




ConteúdosO que é uma derivada direcional? Quais são suas propriedades? O que é o vetor gradiente

e quais suas propriedades? Qual a relação entre os vetores gradientes e as curvas de nível de uma função?

8ª semana

Problematização

O que é uma derivada direcional? Quais são suas propriedades? O que é o vetor gradiente e quais suas propriedades? Qual a relação entre os vetores gradientes e as curvas de nível de uma função?


Nesta 8ª semana, propomos que você reflita sobre as questões da problematização, pes-quise sobre o tema e faça a leitura atenta dos materiais indicados.



THOMAS, G. B. Cálculo – Volume 2. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012. Capítulo 14.5, exercí-cios: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25 e 27 (confira na Biblioteca Virtual Pearson).



9ª semana

Problematização

As funções de mais de uma variável são superfícies que contêm pontos de máximo e pon-tos de mínimo em uma região de seu domínio de definição. Como calculamos os pontos críticos?


Nesta 9ª semana, propomos que você retome as leituras realizadas nas semanas anterio-res e desenvolva a atividade indicada no tópico O que preciso fazer?.


THOMAS, G. B. Cálculo – Volume 2. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012. Capítulo 14.7, exer-cícios: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 31; 33; 35 e 37 (confira na Biblioteca Virtual Pearson).






• O objetivo desta atividade é desenvolver os conceitos estudados com relação a de-terminação de pontos de máximo e mínimo ou pontos de sela de funções de mais de uma variável.

Descrição da atividade

Com base nas leituras propostas, responda às questões a seguir:

1) Uma placa circular plana tem o formato da região 2 2 1x y+ ≤ . A placa, incluindo a fronteira na qual 2 2 1x y+ = é aquecida, de forma que a temperatura no ponto (x,y) é dada pela equação 2 2( , ) 2T x y x y x= + − . Encontre as temperaturas nos pontos mais quentes e mais frios da placa.

2) Encontre o ponto crítico da função 2( , ) 2 lnF x y xy x x y= + − no primeiro quadrante aberto (x>0, y>0) e mostre que a função assume um valor mínimo ali.

Pontuação


Na avaliação desta atividade, serão utilizados como critérios:• utilização da norma-padrão da Língua Portuguesa e das normas da ABNT;• coerência, concisão e coesão;• compreensão dos textos estudados;• capacidade de análise do conteúdo e de síntese de ideias;• articulação entre o tema e as considerações apresentadas.• resolução detalhada dos exercícios, com a descrição passo a passo;• utilização e colocação correta das unidades de medidas;• utilização e colocação correta de notação científica.

10ª semana

Problematização

O conceito de integral foi estudado para funções de uma variável independente. Nesta 10ª semana, estamos introduzindo a noção de integração múltipla com vários exemplos e apli-cações.


Nesta 10ª semana, sugerimos que você reveja os conceitos de integração simples e estu-de os métodos para integração de integrais duplas e triplas e faça os exercícios propostos para adquirir prática e alicerçar seus conceitos.



16 © Cálculo III

THOMAS, G. B. Cálculo – Volume 2. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012. Capítulo 14.

THOMAS, G. B. Cálculo – Volume 2. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012. Capítulo 15. Exercí-cios: (a) Cálculo de integrais iteradas: 1; 3; 5; 7 e 9; (b) Cálculo de integrais duplas sobre retân-gulos: 13; 15; 17; 19 e 21; (c) Volume sob uma superfície ( , )z F x y= : 23; 25 e 27; (d) Integração Tripla em coordenadas retangulares (15.5): 7; 9; 11; 13; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 31; 33 e 35 (con-fira na Biblioteca Virtual Pearson).



11ª semana

Problematização

Estudamos até esta semana funções de várias variáveis. Os conceitos vistos para funções de uma variável foram estendidos e novas definições e métodos foram introduzidas para fun-ções de várias variáveis: derivadas parciais, gradientes, derivadas direcionais, máximo e mínimo de funções e integração múltipla. Vimos nos exercícios sugeridos algumas aplicações desses conceitos e propriedades na Física dando consistência ao estudo e fornecendo ferramentas para resolução e entendimento de problemas mais complexos.


Nesta 11ª semana, você deverá responder às Questões on-line, um instrumento avaliati-vo, com perguntas objetivas, que compõe a avaliação formativa (continuada). Tem como objeti-vo contribuir para que você expresse suas aprendizagens em relação aos conteúdos trabalhados até o momento.

Ao final do período de uma semana, você terá acesso às respostas e à correção automá-tica.


Retome as leituras do que foi estudado até o momento.


Responder às Questões on-line, disponibilizadas na Sala de Aula Virtual, no prazo de uma semana. Pontuação

As Questões on-line valem de 0 a 0,25.


ConteúdosVamos estudar neste ciclo a resolução de equações diferenciais de primeira ordem e es-

tudaremos dois métodos: o método de separação de variáveis e o método do fator integrante.



12ª semana

Problematização

O que é uma equação diferencial de primeira ordem? Quais os métodos que podemos uti-lizar para encontrar uma solução geral? O que é uma solução particular? Pesquise as aplicações das equações diferenciais na Física na mecânica newtoniana.


Nesta 6ª semana, propomos que você retome as leituras realizadas nas semanas ante-riores, estude especialmente a teoria envolvendo as EDOs (Equações Diferenciais Ordinárias) de primeira ordem e os métodos de separação de variáveis e fator integrante e desenvolva a atividade indicada no tópico O que preciso fazer?.





• Após estudar o conteúdo proposto, você deverá aplicar o método de separação de variáveis em um problema prático que sugerimos a seguir.

Descrição da atividadeCom base nas leituras propostas, responda às questões a seguir:1) Considere que a temperatura de uma xícara de café quente obedeça à lei do resfria-

mento de Newton ( ) ( )d t k T

dtθ θ=− − . Se a temperatura do café for 98,3°C logo após

coado e 3 minutos depois estiver a temperatura de 88,2°C, calcule o instante em que a temperatura do café estiver a 57,4°C. (Dado: a temperatura ambiente é T = 26,3°C.)

2) O plutônio 241 decai de acordo com a equação diferencial: 0,00525dQ Qdt

=− . Em

que Q está miligramas, e o tempo, em anos. Determine:a) Determine a meia vida do plutônio;b) Se 20 mg de plutônio estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto

plutônio existirá daqui a 10 anos?c) Faça o gráfico Q = Q(t).

Pontuação


Na avaliação desta atividade, serão utilizados como critérios:• utilização da norma-padrão da Língua Portuguesa e das normas da ABNT;• coerência, concisão e coesão;

18 © Cálculo III

• compreensão dos textos estudados;• capacidade de análise do conteúdo e de síntese de ideias;• articulação entre o tema e as considerações apresentadas.• resolução detalhada dos exercícios, com a descrição passo a passo;• utilização e colocação correta das unidades de medidas;• utilização e colocação correta de notação científica.

13ª semana

Problematização

Muitas equações diferenciais de primeira ordem podem ser resolvidas de maneira rápi-da e quase direta, utilizando o método do fator integrante. O que significa o fator integrante e porque ele é importante para facilitar a resolução de muitas equações diferenciais de primeira ordem?






Com o método do fator integrante, sugerimos que você faça o seguinte exercício. Escreva a solução geral da seguinte equação diferencial e plote, com auxílio de um programa gráfico, suas curvas integrais.

a) 2

3' senxy yx x

+ =

b) Encontre uma solução particular aplicando a condição inicial ( ) 0y π = para 0x≥ . Plo-te a curva encontrada.


14ª semana

Problematização

O que é uma equação diferencial linear de segunda ordem? Um método de resolução é a transformação desta equação em um polinômio de segundo grau cuja resolução nos leva a três soluções distintas. Com várias aplicações nas áreas de Física e Engenharia, estas equações são de fundamental importância para a compreensão de diversos fenômenos que podem ser mode-lados matematicamente por equações diferenciais.









15ª semana

Problematização

Uma solução particular de uma EDO de segunda ordem requer que conheçamos duas con-dições iniciais. Teremos, dessa forma, uma curva solução do problema entre as infinitas curvas integrais.








ConteúdosO problema do sistema massa-mola é clássico na Física. Uma EDO linear e homogênea de

segunda ordem é empregada para a compreensão deste clássico problema. Nesta semana, você estudará o oscilador sem atrito e a resolução da EDO correspondente.

16ª semana

Problematização

Em um sistema massa-mola podemos ter duas situações: um sistema onde haja apenas a força restauradora da mola e outro sistema onde além da força restauradora há uma força resistiva dependente da velocidade. Quais são as soluções de sistemas oscilatórios puros, isto é, sem atrito? Que soluções podemos obter quando há um fator de amortecimento proporcional à velocidade?


Nesta 16ª semana, você deverá responder às Questões on-line, um instrumento avaliati-vo, com perguntas objetivas, que compõe a avaliação formativa (continuada). Tem como objeti-vo contribuir para que você expresse suas aprendizagens em relação aos conteúdos trabalhados até o momento.

20 © Cálculo III

Ao final do período de uma semana, você terá acesso às respostas e à correção automática.


Retome as leituras do que foi estudado até o momento.


Responder às Questões on-line, disponibilizadas na Sala de Aula Virtual, no prazo de uma semana. Pontuação

As Questões on-line valem de 0 a 0,25.

17ª semana

Problematização

O que ocorre quando introduzimos um fator de amortecimento no sistema massa-mola? Sabemos que o fator de amortecimento fará com que a massa oscile com amplitudes que deca-em com o passar do tempo.




REZENDE, K. A. Cursos Unicamp – Cálculo III – Introdução – Parte 1, 2012a. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=lempeC72Tyg>. Acesso em: 3 jul. 2014.

REZENDE, K. A. Cursos Unicamp – Cálculo III – Introdução – Parte 2, 2012. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=5waZ5E7F-ew>. Acesso em: 3 jul. 2014.

REZENDE, K. A. Cursos Unicamp – Cálculo III – Equações separáveis e métodos de subs-tituição – Parte 1, 2012b. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=el8Pwa6ztAQ>. Acesso em: 3 jul. 2014.



18ª semana

Problematização

Como deveria se comportar um sistema massa-mola com força de atrito proporcional à velocidade e submetida a uma força externa que varia no tempo de maneira oscilatória? Que fenômenos podemos citar quando o oscilador está submetido a este tipo de força externa?






Sugerimos que você acesse o texto proposto para ampliar seu conhecimento sobre o as-sunto:

IFSC. Homepage. Disponível em: <http://www.ifsc.usp.br/~danoso/ambientalo/Oscilaco-es ondas.pdf> Acesso em: 3 jul. 2014.

FREITAS, J. C. C. Oscilações. 2012. Disponível em: <http://www.cce.ufes.br/jair/fisb2/Apres03_Oscilacoes_Amortecidas_Forcadas.pdf>. Acesso em: 3 jul. 2014.



19ª semana

Correção de Provas Substitutivas

20ª semana

Correção de Provas Complementares

4. AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM

Observe, a seguir, as informações referentes à avaliação.

AVALIAÇÕES VALOR TOTAL FORMAS VALOR PARCIAL MODALIDADE LOCAL

Avaliação Formativa 5,0

Atividades e Interatividades 3,0 a distância Ambiente

Virtual

Avaliação Intermediária 2,0 presencial Polo

Avaliação Somativa 5,0

Prova Dissertativa 3,0 presencial Polo

Avaliação Semestral Integrada

2,0 presencial Polo

TOTAL 10,0 mínimo de 4 formas

7,0 pontos presenciais e 3,0 a distância 6.0 pontos – média para aprovação

5. CONSIDERAÇÕES GERAIS

Chegamos ao final de nosso curso, com certeza bastante amplo, com três assuntos de grande importância para sua formação: funções de várias variáveis com suas derivadas, inte-grações múltiplas com exemplos e muitos exercícios e as equações diferenciais de primeira e segunda ordem com exemplos importantes de aplicações.

Lembre-se de que o que você estudou é apenas o início de um processo, é uma ferramen-ta que está à sua disposição para compreensão de problemas mais complexos. O objetivo do curso é dar esse apoio, essa base que você poderá utilizar em várias situações que encontrará pela frente no curso e no mercado de trabalho.

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6. BIBLIOGRAFIA BÁSICA

BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.THOMAS, G. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. v. 2.

7. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009. v. 2.ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 2001.

8. E-REFERÊNCIA

REZENDE, K. A. Cursos Unicamp – Cálculo III – Introdução – Parte 1. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=lempeC72Tyg>. Acesso em: 3 jul. 2014.REZENDE, K. A. Cursos Unicamp – Cálculo III – Introdução – Parte 2. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=5waZ5E7F-ew>. Acesso em: 3 jul. 2014.REZENDE, K. A. Cursos Unicamp – Cálculo III – Equações separáveis e métodos de substituição – Parte 1. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=el8Pwa6ztAQ>. Acesso em: 3 jul. 2014.

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