paulo feofiloff - uma introdução sucinta à teoria dos grafos

5/20/2018 Paulo Feofiloff - Uma Introduo Sucinta Teoria Dos Grafos

1/61

Uma Introduo Sucinta Teoria dos Grafos

http://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/

P. FeofiloffY. Kohayakawa

Y. Wakabayashi

12/7/2011
http://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/http://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/


2/61

2


3/61

Sumrio

1 Conceitos bsicos 8

1.1 Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Alguns exemplos de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Vizinhanas, cortes e graus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Caminhos e circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Subgrafos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7 Grafos conexos e componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8 Grafos aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Conjuntos estveis, cliques e coberturas 20

2.1 Conjuntos estveis mximos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Delimitaes inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Delimitaes superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 O ndice de estabilidade da maioria dos grafos . . . . . . . . . . . 24

2.5 Cliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Coberturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7 Consideraes computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Colorao de vrtices 293.1 Coloraes mnimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Algumas delimitaes superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Algumas delimitaes inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Bicolorao e grafos bipartidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5 O nmero cromtico da maioria dos grafos . . . . . . . . . . . . . 35


3


4/61

4

4 Emparelhamentos 37

4.1 Emparelhamentos mximos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Delimitao superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 Emparelhamentos em grafos bipartidos . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4 Emparelhamentos em grafos arbitrrios . . . . . . . . . . . . . . . 43


5 Colorao de arestas 48

5.1 Coloraes mnimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2 Delimitao inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3 Grafos bipartidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4 Delimitao superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.5 Consideraes computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A Dicionrio de termos tcnicos 54

B Alfabeto grego 56

Bibliografia 58

ndice Remissivo 59


5/61

Prefcio

Este texto uma breve introduo Teoria dos Grafos. Para embarcar nessa introdu-o, o leitor1 s precisa ter alguma familiaridade com demonstraes matemticasformais e com a notao bsica da teoria dos conjuntos elementar.

A teoria dos grafos estuda objetos combinatrios osgrafos quesoumbom

modelo para muitos problemas em vrios ramos da matemtica, da informtica, daengenharia e da indstria. Muitos dos problemas sobre grafos tornaram-se clebresporque so um interessante desafio intelectual e porque tm importantes aplicaesprticas.

Nesta breve introduo, vamos nos restringir a quatro temas intimamente re-lacionados: conjuntos estveis, colorao de vrtices, emparelhamentos e colora-o de arestas. Muitos outros temas e problemas, podem ser encontrados nos li-vros de BondyMurty [BM76], Wilson [Wil79], Diestel [Die00], Bollobs [Bol98],Lovsz [Lov93], LovszPlummer [LP86], Lucchesi [Luc79] e BiggsLloydWilson[BLW76].

Mesmo numa breve introduo como esta, inevitvel esbarrar em questesde complexidade computacional, pois muitos dos problemas da teoria dos grafostm motivao algortmica. O leitor interessado em aprofundar seus conhecimen-tos nessa rea pode consultar os livros de GareyJohnson [GJ79], Harel [Har92] eSipser [Sip97].

Estas notas foram preparadas para um mini-curso naII Bienal da SBM(Socie-dade Brasileira de Matemtica), realizada em Salvador em outubro de 2004. Umaverso corrigida do texto, bem como bibliografia adicional e apontadores para ma-terial na internet, podem ser encontrados em

http://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/

Exerccios

O texto contm vrios exerccios. Alguns so bastante simples e servem apenaspara que o leitor confira seu entendimento do assunto. Outros levantam assuntosque no sero abordados no texto propriamente dito.

1 No que segue, todas as ocorrncias de leitor devem ser entendidas como leitora e leitor.Para ns, as leitoras so pelo menos to importantes quanto os leitores.

5
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_grafoshttp://www.bienasbm.ufba.br/http://www.sbm.org.br/http://www.sbm.org.br/http://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/http://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/http://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/http://www.sbm.org.br/http://www.sbm.org.br/http://www.bienasbm.ufba.br/http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_grafos


6/61

6

Os exerccios que julgamos difceis tm prefixoD, os muito difceis tm prefixoDDD, e os problemas em aberto tm prefixo A. O prefixo dos exerccios particular-DD

A mente fceis F. Todos os demais tm prefixoE.F

O leitor no deve sentir-se obrigado a resolver todos os exerccios de uma seoantes de comear a estudar a prxima.

Recursos na teia WWW

H muito material de teoria dos grafos na teia WWW. A lista abaixo um tantoarbitrria: os stios mencionados no so necessariamente os melhores nem os maisrepresentativos.

Graph Theory, de Stephen Locke: http://www.math.fau.edu/locke/graphthe.htm

Open Problems Graph Theory and Combinatorics, de Douglas West: http://www.math.uiuc.edu/~west/openp/

Graph Theory, no MathWorld da Wolfram Research: http://mathworld.wolfram.com/topics/GraphTheory.html

Teoria dos Grafos, na Wikipdia: http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_grafos

Graph Theory, na Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Graph_theory

The MacTutor History of Mathematics Archive, stio de histria da matem-tica na St. Andrews University (Esccia): http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/HistoryTopics.html . Veja, em particular, a coleo de

biografias de matemticos em http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.html

Os autores

Os autores do texto Paulo Feofiloff, Yoshiharu Kohayakawa e Yoshiko Waka-bayashi so professores do Departamento de Cincia da Computao (http://www.ime.usp.br/dcc/) do Instituto de Matemtica e Estatstica da Universidadede So Paulo.

Agradecimentos

Agradecemos o apoio do MCT/CNPq (Projeto PRONEX Proc. CNPq 664107/1997-4), da FAPESP/CNPq (Projeto Temtico/PRONEX Proc. FAPESP Proc. 2003/09925-
http://www.math.fau.edu/locke/graphthe.htmhttp://www.math.fau.edu/locke/graphthe.htmhttp://www.math.uiuc.edu/~west/openp/http://www.math.uiuc.edu/~west/openp/http://mathworld.wolfram.com/topics/GraphTheory.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/topics/GraphTheory.htmlhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_grafoshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_grafoshttp://en.wikipedia.org/wiki/Graph_theoryhttp://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/HistoryTopics.htmlhttp://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/HistoryTopics.htmlhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.htmlhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.htmlhttp://www.ime.usp.br/dcc/http://www.ime.usp.br/dcc/http://www.ime.usp.br/dcc/http://www.ime.usp.br/dcc/http://www.ime.usp.br/dcc/http://www.ime.usp.br/dcc/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.htmlhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.htmlhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.htmlhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.htmlhttp://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/HistoryTopics.htmlhttp://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/HistoryTopics.htmlhttp://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/HistoryTopics.htmlhttp://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/HistoryTopics.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Graph_theoryhttp://en.wikipedia.org/wiki/Graph_theoryhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_grafoshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_grafoshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_grafoshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_grafoshttp://mathworld.wolfram.com/topics/GraphTheory.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/topics/GraphTheory.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/topics/GraphTheory.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/topics/GraphTheory.htmlhttp://www.math.uiuc.edu/~west/openp/http://www.math.uiuc.edu/~west/openp/http://www.math.uiuc.edu/~west/openp/http://www.math.uiuc.edu/~west/openp/http://www.math.fau.edu/locke/graphthe.htmhttp://www.math.fau.edu/locke/graphthe.htmhttp://www.math.fau.edu/locke/graphthe.htmhttp://www.math.fau.edu/locke/graphthe.htm


7/61

7

5) e do CNPq (Proc. 300334/93-1 e 304527/89-0). Tambm agradecemos aos orga-nizadores da II Bienal da SBM pela boa vontade com que atenderam os sucessivospedidos de prorrogao do prazo de entrega do texto.

So Paulo, novembro de 2004P. F., Y. K., Y. W.


8/61

Captulo 1

Conceitos bsicos

Este captulo formaliza a definio de grafo1 e introduz os conceitos de isomorfismo,

caminho, circuito, subgrafo, conexo, componente e grafo aleatrio. Esses conceitosso necessrios para estudar os demais captulos.

Sugerimos que o leitor faa uma primeira leitura superficial deste captulo eavance imediatamente para o captulo 2.Mais tarde, ele poder voltar a este captulopara rever pontos especficos quando houver necessidade.

1.1 Grafos

Para qualquer conjunto V, denotaremos por V(2) o conjunto de todos os pares no-V(2)

ordenados de elementos de V. Se V tem nelementos ento V(2)

temn

2

:= n(n1)

2elementos. Os elementos de V(2) sero identificados com os subconjuntos de V quetm cardinalidade 2 . Assim, cada elemento de V(2) ter a forma{v, w} , sendo v ewdois elementos distintos de V.

Umgrafo um par (V, A)em que V um conjunto arbitrrio eA um subcon-(V, A)junto de V(2) . Os elementos de V so chamadosvrticese os de Aso chamadosarestas. Neste texto, vamos nos restringir a grafos em que o conjunto de vrtices finito.2

Uma aresta como{v, w}ser denotada simplesmente por vw ou por wv . Dire-vwmos que a aresta vw incideemve em w e que v e w so aspontasda aresta. Se vw

uma aresta, diremos que os vrtices ve wsovizinhosouadjacentes.De acordo com nossa definio, um grafo no pode ter duas arestas diferentescom o mesmo par de pontas (ou seja, no pode ter arestas paralelas). Tambmno pode ter uma aresta com pontas coincidentes (ou seja, no pode ter laos). Hquem goste de enfatizar esse aspecto da definio dizendo que o grafo simples.

Muitas vezes conveniente dar um nome ao grafo como um todo. Se o nome do

1 A palavra grafo um neologismo derivado da palavragraphem ingls. Ela foi usada pelaprimeira vez no sentido que nos interessa aqui pelo matemtico ingls James Joseph Sylvester( ).

2 Alm disso, suporemos quase sempre, tacitamente, que V

=

.

8
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Sylvester.htmlhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Sylvester.html


9/61

1.2 Alguns exemplos de grafos 9

v

u

w y

xz

t

Figura 1.1: Esta figura um desenho do grafo cujos vrtices sot , u , v , w , x , y , ze cujas arestas so vw , uv , xw , xu , y ze xy .

grafo for G , o conjunto dos seus vrtices ser denotado por V(G)e o conjunto das V(G)suas arestas por A(G) . O nmero de vrtices de G denotado por n(G)e o nmero A(G)

n(G)de arestas por m(G) ; portanto,

m(G)n(G) =|V(G)| e m(G) =|A(G)| .Ocomplementode um grafo (V, A) o grafo (V, V(2) A) . O complemento de

um grafo Gser denotado porG . GUm grafo Gcompletose A(G) = V(G)(2) evaziose A(G) = . A expressoG um Kn uma abreviatura de G um grafo completo com n vrtices. A Knexpresso G umKn uma abreviatura de G um grafo vazio comn vrtices. Kn

1.2 Alguns exemplos de grafos

Exemplo 1.1 Os vrtices do grafo so as casas de um tabuleiro de xadrez (genera-lizado) com t linhas e t colunas.3 Dois vrtices so adjacentes se uma dama do

jogo de xadrez pode saltar de um deles para o outro em um s movimento. Esse ografo dos movimentos da dama, ou simplesmente o grafo da dama. Para deixar cla-ras as dimenses do tabuleiro, podemos dizer que esse o grafo da dama tport .Quantos vrtices e quantas arestas tem o grafo da dama 3por3?

Figura 1.2: Tabuleiros de xadrez 8por8 . A figura esquerda indica todosos vizinhos do vrtice no grafo da dama (veja exemplo1.1). A da direitaindica todos os vizinhos do vrticeno grafo do cavalo (veja exemplo1.2).

Exemplo 1.2 Por analogia com o exemplo anterior, definem-se o grafo do rei, ografodo bispo, o grafodo cavaloe o grafoda torre tport . Quantos vrtices equantas arestas tem o grafo do cavalo 4por4?

3

No tabuleiro usual, tvale 8 .


10/61

10 CAP. 1 CONCEITOS BSICOS

Exemplo 1.3 O grafodas palavras definido assim: cada vrtice uma palavra dalngua portuguesa e duas palavras so adjacentes se diferem em exatamente umaposio. Por exemplo, ratoe raloso adjacentes, enquanto raloe rotano so.Faa uma figura da parte do grafo definida pelas palavras abaixo:

caiado cavado cavalo girafa girava ralo ramo rata rato remo

reta reto rota vaiado varado virada virado virava

Exemplo 1.4 Umcubode dimenso k , ou k -cubo, o grafo definido da seguintemaneira: os vrtices do grafo so todas as seqncias b1b2 bk em que cada biper-tence a{0, 1} ; dois vrtices so adjacentes se diferem em exatamente uma posio.Faa figuras dos cubos de dimenses 1 , 2e 3 .

Exemplo 1.5 O grafodos estados do Brasil definido assim: cada vrtice um dos

estados da Repblica Federativa do Brasil; dois estados so adjacentes se tm umafronteira comum. Quantos vrtices tem o grafo? Quantas arestas?

AM

RR

RO

TO

MT

MS

PE

MS

PA

GO

PR

SP

BA SE

AL

CEPI

MA

ES

RJ

PB

RN

SC

RS

AP

MG

AC

Figura 1.3: Adjacncia entre estados do Brasil (veja exemplo1.5).

Exemplo 1.6 Seja Muma matriz simtrica com linhas e colunas indexadas por umconjunto V. Suponha que Mvv = 0 para todo v em V. O grafoda matriz M definido da seguinte maneira: o conjunto de vrtices do grafo V e dois vrticesu

e vso adjacentes se Muv= 0 .Exemplo 1.7 Agrade pporq o grafo definido assim: o conjunto de vrtices oproduto cartesiano{1, 2, . . . , p} {1, 2, . . . , q }e dois vrtices (i, j)e (i, j)de V soadjacentes se i = i e|jj | = 1 ou se j = j e|ii| = 1 . (Veja a figura1.4.)Quantas arestas tem a grade pporq?

Exemplo 1.8 Seja V o conjunto de todos os subconjuntos de{1, 2, 3, 4, 5} que tmexatamente 2 elementos. Digamos que dois elementos v e w de Vso adjacentes


11/61

1.2 Alguns exemplos de grafos 11

se v w = . Essa relao de adjacncia sobreVdefine o grafode Petersen4 (vejafigura1.4).

Figura 1.4: Uma grade 3por4(veja exemplo1.7)e um grafo de Petersen (veja exemplo1.8).

Exemplo 1.9 Os hidrocarbonetos conhecidos como alcanos tm frmula qumicaCpH2p+2 , onde C e Hrepresentam molculas de carbono e hidrognio respectiva-mente. As molculas de alcanos podem ser representadas por grafos como os dafigura1.5.

Figura 1.5: Etano (C2H6 ), butano (C4H10 ) e isobutano (C4H10 ). Osvrtices em que incide uma s aresta representam tomos de hidrognio

(H); os demais representam tomos de carbono ( C). Veja o exemplo1.9.

Exemplo 1.10 Sejam U e W dois conjuntos mutuamente disjuntos e seja Ao con-junto de todos os pares no-ordenados da forma uwcom uUe wW. Dizemosque (U W, A) umgrafo bipartido completo. Dizemos que esse grafo um Kp,q , Kp,qsendo p:=|U|e q:=|W| . (Veja uma generalizao desse conceito na seo3.4.)

Exemplo 1.11 Seja Vum conjunto de pontos no plano. Digamos que dois dessespontos so adjacentes se a distncia entre eles menor que 2 . Essa relao de adja-

cncia define o grafodos pontos no plano(sobre o conjunto V). Faa uma figurado grafo definido pelos pontos abaixo.

(0, 2) (1, 2) (2, 2)(0, 1) (1, 1) (2, 1)(0, 0) (1, 0) (2, 0)

Exemplo 1.12 Suponha dados k intervalos de comprimento finito, digamosI1, . . . , I k , na reta real. Digamos que dois intervalos Ii e Ij so adjacentes se

4

Julius Petersen( ), matemtico dinamarqus.
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Petersen.htmlhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Petersen.html


12/61


IiIj= . Essa relao de adjacncia define um grafo com conjunto de vrtices{I1, . . . , I k} . Esse um grafode intervalos. Faa uma figura do grafo definido pelosintervalos [0, 2] , [1, 4] , [3, 6] , [5, 6]e [1, 6] .

Exemplo 1.13 Seja uma relao de ordem parcial sobre um conjunto finito V.Portanto, a relao transitiva (se x y e y zento x z), anti-simtrica (sex y e y x ento x = y ) e reflexiva (x x para todo x). Digamos que doiselementos distintos x e y de Vso adjacentes se forem comparveis, ou seja, sex y ou y x . Essa relao de adjacncia define o grafode comparabilidadedarelao .

Exemplo 1.14 Umgrafo planar se pode ser desenhado no plano sem que as curvasque representam arestas se cruzem. Mostre que o grafo dos estados do Brasil (veja

exemplo1.5) planar. Mostre que o grafo do 3-cubo (veja exemplo1.4) planar.Verifique que K5no planar.

Exemplo 1.15 Duas arestas de um grafo G so adjacentesse tm uma ponta co-mum. Essa relao de adjacncia define ografo das arestasde G .5 Se G denota ografo das arestas de G ento V(G ) =A(G)e cada aresta de G um par ab em queae bso arestas adjacentes de G . (Veja a figura1.6).

Faa uma figura do grafo das arestas de umK3e de umK1,3(veja exemplo 1.10).Faa uma figura do grafo das arestas de um K4 . Quantos vrtices e quantas arestastem o grafo das arestas de um Kn?

Seja Go grafo das arestas de um K5 . Desenhe G . Voc j viu esse grafo nestetexto?

v

u

w y

xz

t

vu

yzvw wx

uxxy

Figura 1.6: Um grafo (esquerda) e seu grafo das arestas (direita).

1.3 Isomorfismo

Um isomorfismo entre dois grafosG e H uma bijeofdeV(G)em V(H)tal quedois vrtices ve wso adjacentes em Gse e somente se f(v)e f(w)so adjacentesem H.

5 Na literatura em ingls, esse grafo conhecido como line graphe denotado por L(G) . A expres-so grafo das arestas no padro em portugus.


13/61

1.3 Isomorfismo 13

Dois grafosGeHso isomorfos se existe um isomorfismo entre eles. Em outraspalavras, dois grafos so isomorfos se possvel alterar os nomes dos vrtices de umdeles de tal modo que os dois grafos fiquem iguais.

Para decidir se dois grafos G

e H

so isomorfos, basta examinar todas as bi-jees de V(G) em V(H) . Se cada um dos grafos tem n vrtices, esse algoritmoconsome tempo proporcional a n! . Como n!cresce explosivamente com n , esse al-goritmo decididamente insatisfatrio na prtica. Infelizmente, no se conhece umalgoritmo substancialmente melhor.6

Exerccios

E 1.16 Os dois grafos da figura1.7so isomorfos? Quais dos grafos da figura1.8so isomorfos entre si?

.

.

Figura 1.7: Os grafos so isomorfos? Veja exerccio1.16.

Figura 1.8: Os grafos so isomorfos? Veja exerccio1.16.

E 1.17 Mostre que o grafo das arestas (veja exemplo1.15) de um K5 isomorfo aocomplemento do grafo de Petersen (veja exemplo1.8).

E 1.18 Umautomorfismode um grafo G um isomorfismo de Gem G . Seja (G)o conjunto dos automorfismos de G . Mostre que (G) um grupo sob a operaode composio. Mostre que (G) = (G) . Mostre que (Kn) o grupo simtricosobre nelementos. Descreva (Kp,q)(veja exemplo1.10).

6 Veja os livros de GareyJohnson [GJ79], Harel[Har92]e Sipser[Sip97].


14/61


1.4 Vizinhanas, cortes e graus

Avizinhanade um conjunto Xde vrtices de um grafoG o conjunto de todosos vrtices que tm algum vizinho em X.7 Esse conjunto ser denotado por

G(X)

ou simplesmente por (X) . A vizinhana de um vrtice v o conjunto ({v}) , que(X)pode ser denotado simplesmente por (v) .(v)

Ocorteassociado a (oucofronteira de) um conjunto Xde vrtices o conjuntode todas as arestas que tm uma ponta em Xe outra em V(G) X. O corte associ-ado a Xser denotado por8

G(X)ou simplesmente por(X) .9 evidente que() =(V(G)) = . Se v um(X)vrtice, podemos escrever(v)no lugar de({v}) .Umcorte(oucociclo) em um grafo qualquer conjunto da forma(X) , ondeX um conjunto de vrtices.

Ograude um vrtice v o nmero de arestas que incidem em v , ou seja, acardinalidade do corte(v) (igual cardinalidade de (v)). O grau de v em umgrafo Gser denotado por

gG(v),

ou simplesmente por g(v) . O grau mnimode um grafo G o nmero (G) :=g(v)min{g(v) :vV(G)} . Ograu mximodo grafo o nmero (G) := max{g(v) :v(G)V(G)

}.

(G)

Um grafo Gregularse todos os seus vrtices tm o mesmo grau, ou seja, se(G) = (G) . Um grafo k -regularse g(v) =k para todo vrtice v .

Proposio 1.1 Em todo grafo, a soma dos graus dos vrtices igual ao do-bro do nmero de arestas. Ou seja, todo grafo (V, A) satisfaz a identidade

vVg(v) = 2|A| .

PROVA: Uma aresta com pontasxe y contribui uma unidade para g(x)e umaunidade para g(y) . Portanto, cada aresta contribui exatamente duas unidades paraa soma

vg(v) .

Exerccios

F 1.19 verdade que|(X)|=|(X)|para todo conjunto Xde vrtices?

7 Nessa definio, a vizinhana de Xpode no ser disjunta de X. H quem prefira adotar umadefinio ligeiramente diferente e dizer que a vizinhana deX o conjunto dos vrtices emV(G)Xque tm algum vizinho em X.

8 O nome do smbolo nabla. Dizem que a palavra designa uma harpa egpcia. O smbolo usado em matemtica para denotar um operador diferencial. No confunda com .

9

H quem prefira escrever (X) no lugar do nosso (X).


15/61

1.4 Vizinhanas, cortes e graus 15

E 1.20 Mostre que todo grafo tem um nmero par de vrtices de grau mpar.

E 1.21 Mostre que todo grafo com dois ou mais vrtices tem pelo menos dois vrti-

ces de mesmo grau.

E 1.22 Quantas arestas tem o grafo da dama 8por8(veja exemplo1.1)? Quantasarestas tem o grafo do cavalo 8por8?

E 1.23 Quantas arestas tem o grafo das arestas de um grafo G?

E 1.24 Quais so os graus dos vrtices de uma molcula de alcano (veja exem-plo1.9)?

E 1.25 Mostre que (G) = n(G) (G) 1 e (G) = n(G) (G) 1 para todografo G .

E 1.26 Mostre que se G um grafo com (G)> 0 e m(G)< n(G)ento Gtem pelomenos dois vrtices de grau 1 .

E 1.27 Amatriz de adjacnciasde um grafo G a matriz M com linhas e colunasindexadas por V(G) tal que M[u, v] = 1 se uv A(G) e M[u, v] = 0 em casocontrrio. (Compare com o exemplo1.6.) Qual a matriz de adjacncias do grafodefinido na figura1.1? Qual a matriz de adjacncias de um K4? Qual a matriz de

adjacncias de uma grade 3por4? Qual a matriz de adjacncias de um 3-cubo?Quanto vale a soma dos elementos da linhauda matriz? Quanto vale a soma doselementos da coluna v ?

F 1.28 Seja A um conjunto finito. Defina as seguintes operaes de soma e multi-plicao por escalar para as partes de A : para quaisquer subconjuntos Ee Fde A ,pomos

E+F := (E F) (E F), 1 E=E e 0 E= .Mostre que a tripla (2A, +, ) um espao vetorial sobre o corpo dos inteiros m-

dulo 2 .

E 1.29 Dado um grafo G , sejaD(G) a coleo de todos os cortes de G , isto ,D(G) :={(X) : X V(G)} . Mostre queD(G) um subespao vetorial doespao (2A(G), +, ) definido no exerccio1.28. Dizemos queD(G) oespao doscortes(oudos cociclos) de G .


16/61


1.5 Caminhos e circuitos

Umcaminho qualquer grafo da forma ({v1, v2, . . . , vn} , {vivi+1 : 1i < n}) . Emoutras palavras, um caminho um grafo C cujo conjunto de vrtices admite umapermutao (v1, v2, . . . , vn)tal que

{v1v2, v2v3, . . . , vn1vn} =A(C).

Os vrtices v1 e vn so os extremos do caminho. O caminho que acabamos dedescrever pode ser denotado simplesmente por v1v2 vn . Por exemplo, o grafov1 vn({u,v,w,z}, {wz,vz,uw}) um caminho, que pode ser denotado por uwzv .

Figura 1.9: Um caminho e um circuito.

Um circuito10 um grafo da forma ({v1, v2, . . . , vn} , {vivi+1 : 1 i < n} {vnv1}) , com n 3 . Em outras palavras, um circuito um grafo O com n(O) 3cujo conjunto de vrtices admite uma permutao (v1, v2, . . . , vn)tal que

{v1v2, v2v3, . . . , vn1vn} {vnv1} =A(O).

Esse circuito pode ser denotado simplesmente porv1v2 vnv1 .v1

vnv1

O comprimentode um caminho ou circuito o nmero de arestas do grafo. claro que um caminho de comprimento k tem k + 1 vrtices e um circuito decomprimento ktem k vrtices. Umtringulo,quadrado,pentgonoehexgonoo mesmo que um circuito de comprimento 3, 4, 5 e 6 respectivamente.

Um caminho ou circuito parse tem comprimento par, emparse tem compri-mento mpar.

Exerccios

E 1.30 Mostre que o complemento de um caminho de comprimento3 um caminho

de comprimento3

. Mostre que o complemento de um circuito de comprimento5

um circuito de comprimento 5 .

E 1.31 Mostre que todo corte de um circuito tem cardinalidade par. Isto , mostreque, para qualquer conjunto Xde vrtices de um circuito O , o corteO(X) temcardinalidade par.

10 Alguns livros dizem ciclo no lugar do nosso circuito.


17/61

1.6 Subgrafos 17

1.6 Subgrafos

Umsubgrafode um grafo G qualquer grafo Htal que V(H) V(G) e A(H)A(G) . Um subgrafo Hde Gprpriose V(H)

=V(G)ou A(H)

=A(G) .

O subgrafo deG induzidopor um subconjuntoXde V(G) o grafo(X, B)emque B o conjunto de todas as arestas deGque tm ambas as pontas em X. Essesubgrafo denotado por G[X]

G[X].

Para qualquer subconjunto X de V(G) , denotaremos por G X o subgrafo G XG[V(G) X] . Se v um vrtice de Gento G v uma abreviatura de G {v} . G v

Sea uma aresta deG entoGa o grafo(V(G), A(G){a}) . A propsito, se G a{x, y} um elemento de V(G)(2) , denota-se por G + xyo grafo(V(G), A(G){xy}) . G + xy

Se um caminho v1 vn subgrafo de G , dizemos simplesmente que v1 vn um caminho emGou queG contm o caminhov1 vn . Por exemplo, se dissermosque uvwz um caminho em G , devemos entender que ({u,v,w,z}, {uv,vw,wz})um subgrafo de G . Conveno anloga vale para circuitos que so subgrafos de G .

Exerccios

E 1.32 Seja G o grafo das arestas de um grafo G . Mostre que G no contm K1,3(veja exemplo1.10) como subgrafo induzido. (Em outras palavras, mostre que noexiste subconjunto Xde V(G )tal que G [X] um K1,3 .)

E 1.33 Uma floresta um grafo sem circuitos. Mostre que um grafoG uma florestase e somente se cada uma de suas arestas um corte, ou seja, para cada aresta aexiste um subconjunto Xde V(G)tal que(X) ={a} .

E 1.34 Digamos que um grafo par se todos os seus vrtices tm grau par. Dado umgrafo G , sejaO(G)a coleo dos conjuntos das arestas de todos os subgrafos paresde G . Mostre queO(G) um subespao vetorial do espao (2A(G), +, )definido noexerccio1.28. Dizemos queO(G) oespao dos ciclosde G .

E 1.35 Seja Gum grafo e considere os espaosO(G) eD(G) definidos nos exerc-cios1.34e1.29respectivamente. Mostre que|O D| 0 mod 2 para todo mem-bro OdeO(G)e todo membro DdeD(G) . (Sugesto: Mostre que Opode ser es-crito como uma unio disjunta de circuitos, ou seja, que existem circuitosO1, . . . , Okdois a dois disjuntos nas arestas tais que O= A(O1) A(Ok) .)

1.7 Grafos conexos e componentes

Um grafo conexose, para qualquer par{v, w}de seus vrtices, existe um caminhocom extremosv e w . Por exemplo, o grafo do bispo (veja1.2) no conexo (a menosque o tabuleiro tenha uma s linha e uma s coluna).


18/61


Proposio 1.2 Um grafoG conexo se e somente se(X)= para todosubconjunto prprio e no-vazioXdeV(G) .

PROVA: Suponha que X um subconjunto prprio e no-vazio deV(G) . Sejaxum elemento de Xe y um elemento de V(G) X. Se G conexo ento existe umcaminho C em G com extremos x e y . Pelo menos uma das arestas de C estar,necessariamente, em(X) .

Suponha agora que(X)= para todo subconjunto prprio e no-vazio Xde V(G) . Sejav um vrtice qualquer de G e sejaCo conjunto de todos os caminhosem G que tm um extremo em v . Seja Xo conjunto dos extremos de todos oselementos deC . evidente que X=mas(X) = . Assim, em virtude de nossashipteses, devemos concluir X= V(G) . Isso mostra que, para qualquer vrtice w ,existe um caminho de va w . Portanto,G conexo.

Um subgrafo conexo Hde um grafo Gmaximalse Hno subgrafo prpriode algum subgrafo conexo de G . Umcomponente(oucomponente conexo) de umgrafo G qualquer subgrafo conexo maximal de G . claro que cada vrtice de umgrafo pertence a um e um s componente. claro tambm que um grafo conexose e somente se tem um nico componente.

Exerccios

F 1.36 Verifique que o grafo do cavalo 3por3(veja exemplo1.2) tem dois compo-nentes: um caminho de comprimento 0e um circuito de comprimento 8 .

F 1.37 Quantos componentes tem o grafo do bispo t-port(veja exemplo1.2)?

E 1.38 Seja Gum grafo tal que (G)2 . Mostre que cada componente de G umcaminho ou um circuito.

E 1.39 Seja Gum grafo com (G) n(G)/2 .11 Mostre que G conexo.

E 1.40 Seja Gum grafo com (G)3 . Mostre que Gtem um circuito par.

E 1.41 Mostre que todo grafo Gsatisfaz a desigualdade m(G)n(G) c(G) , ondec(G) o nmero de componentes de G .

E 1.42 Umarvore uma floresta (veja exerccio1.33)conexa. (Os grafos discutidosno exemplo1.9 so rvores.) Mostre que um grafo conexo G uma floresta se esomente se, para cada aresta a , o grafo G ano conexo.

11 Para qualquer nmero real x , denotamos porxo nico inteiro ital que ix < i + 1 .


19/61

1.8 Grafos aleatrios 19

1.8 Grafos aleatrios

SejaG(n) a coleo de todos os grafos com conjunto de vrtices V :={1, . . . , n}.12 G(n)V claro que

|G(n)|= 2N, com N= n2

.

Qualquer propriedade invariante sob isomorfismo (como, por exemplo, a proprie-dade de ser conexo) define uma subcoleo deG(n) . Assim, convm confundir osconceitos de propriedade e subcoleo deG(n) . Diremos quequase todo grafotem determinada propriedadeP(n)se

limn

|P(n)||G(n)| = 1.

Uma forma de se estudar o conjuntoG(n) baseada na introduo de uma me-dida de probabilidade nesse conjunto. Seja p um nmero no intervalo (0, 1) e es-colha cada elemento de V(2) , independentemente, com probabilidade p . Se A oconjunto dos pares escolhidos, ento(V, A) umgrafo aleatrioemG(n) . A pro-

babilidade de que o grafo (V, A) assim construdo seja idntico a um determinadoelemento deG(n)que tenha marestas

pm (1 p)Nm .

Se p = 12ento todos os 2N grafos emG(n) so equiprovveis: a probabilidade de

obter qualquer um deles 1/2N.

12

Qualquer outro conjunto de cardinalidade npoderia ser usado no lugar de{1, . . . , n} .


20/61

Captulo 2

Conjuntos estveis, cliques ecoberturas

Um conjunto de vrtices de um grafo estvel1 se seus elementos so dois a doisno-adjacentes, ou seja, se nenhuma aresta tem ambas as pontas no conjunto. Emoutras palavras, um conjunto Xde vrtices de um grafo G estvel se o grafoinduzido G[X] vazio.

Eis um exemplo. Digamos que meu grafo Grepresenta a planta de uma cidade:os vrtices so as esquinas e as arestas so os trechos de ruas que ligam as esqui-nas. Quero instalar uma rede de postos de gasolina na cidade. A legislao exigeque cada posto fique numa esquina e impede que dois postos fiquem em esquinasadjacentes. Quantos postos no mximo posso instalar na cidade?

Um conjunto estvel X maximal se no faz parte de um conjunto estvelmaior, ou seja, se Xno subconjunto prprio de outro conjunto estvel. muitofcil encontrar um conjunto estvel maximal: comece com um conjunto estvel Xe examine os demais vrtices um a um; se o vrtice examinado for adjacente a al-gum dos que esto em X, descarte-o; caso contrrio, acrescente-o a X. bem maisdifcil e mais interessante encontrar um conjunto estvel mximo.

2.1 Conjuntos estveis mximos

Um conjunto estvel X

mximo

se|X

| |Y

| para todo conjunto estvel Y

. Acardinalidade de um conjunto estvel mximo de um grafo G denotada por

(G).

Vamos nos referir a esse nmero comondice de estabilidadedo grafo. claro que todo conjunto estvel mximo maximal, mas a recproca no

verdadeira. Por exemplo, todo K1,9 (veja exemplo1.10) tem um conjunto estvelmaximal de cardinalidade 1mas o seu ndice de estabilidade 9 .

1 H quem diga conjunto independente no lugar do nosso conjunto estvel.

20


21/61

2.2 Delimitaes inferiores 21

Eis alguns exemplos. O ndice de estabilidade de um Kn 1 , enquanto o ndicede estabilidade de um Kn n . Se G o grafo da dama8por8(veja exemplo1.1)ento (G)7 , pois possvel colocar 7damas no tabuleiro de modo que elas nose ataquem mutuamente.2

Este captulo estuda a relao entre o ndice de estabilidade e outros parmetrosdo grafo. A intuio sugere, por exemplo, que tanto maior quanto menoresforem os graus dos vrtices. possvel comprovar essa intuio?

Exerccios

F 2.1 Mostre que, em geral, um conjunto estvel mximo num grafo no nico.

E 2.2 Encontre um conjunto estvel mximo num circuito de comprimento n . En-

contre um conjunto estvel mximo num caminho com nvrtices.

E 2.3 Encontre um conjunto estvel mximo na grade pporq(veja exemplo1.7).

E 2.4 Seja Gt o grafo da dama tport (veja exemplo1.1). Mostre que (G8) = 8 .Calcule (G5) , (G6)e (G7) .

D 2.5 Seja Gt o grafo da dama tport (veja exemplo1.1). Calcule (Gt) paratodo t9 .

E 2.6 Encontre um conjunto estvel mximo nos grafos do cavalo, do bispo, da torree do rei (veja exemplo1.2).

2.2 Delimitaes inferiores

Para obter uma delimitao inferior de , basta encontrar um conjunto estvel ra-zoavelmente grande. A delimitao abaixo, por exemplo, usa um conjunto estvelmaximalarbitrrio. Ela comprova a intuio de que conjuntos estveis maximaisso tanto maiores quanto menores forem os graus dos vrtices.

Delimitao 2.1 Para todo grafoGtem-se(G) n(G)(G) + 1

.

PROVA: suficiente mostrar que todo conjunto estvel maximal tem pelo menosn

+1vrtices. Para qualquer conjunto estvel X tem-se

|(X)|= xXg(x).

2 possvel colocar mais que 7damas no tabuleiro?


22/61

22 CAP. 2 CONJUNTOS ESTVEIS, CLIQUES E COBERTURAS

Suponha agora que X maximal. Ento cada vrtice em V(G) X vizinho dealgum vrtice em X, donde|V(G) X| |(X)| . Logo,

|V(G) X

| xXg(x)

|X

| (G).

Segue da que n(G) =|X| + |V(G) X| |X| (1 + (G)) . Resta apenas observarque (G) |X| .

A delimitao2.1admite uma generalizao muito interessante:

Delimitao 2.2 Para todo grafoGtem-se(G)

vV(G)

1

g(v) + 1.

PROVA: Adote a abreviatura hG( ) : = ( gG( ) + 1)1 . Queremos mostrar queh( )

(G) vhG(v) .A prova uma induo em n(G) . fcil verificar que a desigualdade valequando n(G) 2 . Suponha agora que n(G) > 2 e que o resultado vlido paragrafos com menos que n(G)vrtices. Seja xum vrtice de grau mnimo e seja Y oconjunto dos vizinhos de x , isto ,Y := (x) . Essa escolha de xgarante que

hG(x) +

yY hG(y) hG(x) + |Y| hG(x)= hG(x) + gG(x) hG(x)

= (1 + gG(x)) hG(x)

= 1.

Seja Ho subgrafo induzido pelo complemento de{x} Y, isto , H := G[Z] comZ := V(G) (Y {x}) . Por hiptese de induo, (H)zZ hH(z) . ComoZgH(z)gG(z)e portanto hH(z)hG(z)para todo zem Z, temos

(H)zZ hG(z).Para todo conjunto estvel Sem H, o conjunto S {x} estvel em G . Portanto,

(G) 1 +(H) 1 + zZ hG(z) hG(x) + yY hG(y) + zZ hG(z)=

vV(G) hG(v),

como queramos provar.

As delimitaes discutidas acima so justas: nos grafos completos, por exemplo,tem-se =

n+1

.3 (Veja tambm o exerccio2.8). Maspode ficar arbitrariamente

longe de n/(+1)e mesmo de

1/(g(v) + 1 ) : numKp,p , por exemplo (veja exem-plo1.10), temos = p enquanto

1/(g(v) + 1)< 2 .

3

Para qualquer nmero real x , denotamos porxo nico inteiro j tal que j 1< xj .


23/61

2.3 Delimitaes superiores 23

Exerccios

F 2.7 Deduza a delimitao2.1da delimitao2.2.

E 2.8 Seja Guma unio de grafos completos cujos conjuntos de vrtices so disjun-tos dois a dois. Mostre que (G) =

v(g(v) + 1)

1 .

E 2.9 Seja Go grafo dos estados do Brasil (veja exemplo1.5). Deduza da delimita-o2.1que (G) 3 . Deduza da delimitao2.2que (G) 7. Encontre o valorexato de (G) .

E 2.10 Aplique as proposies2.1e2.2ao grafo da dama (veja exemplo1.1).

E 2.11 Dados inteiros n 1 e m 0 , seja fn(m) o valor mnimo da expresso(x1+ 1)1 + + (xn+ 1)1 , onde x1, . . . , xnso inteiros no-negativos tais quex1+ + xn = 2m . (Compare com a delimitao2.2.) Mostre que fn(m) atingidoquando|xi xj| 1 para todo i e j . (Sugesto: Verifique antes que (a + 1)1 + (b +1)1 (a + 2)1 + b1 quando 0a < b .) Mostre quefn(m)> fn(m)para inteirosn1 e 0m < m . (Este exerccio uma preparao para o exerccio2.12.)

E 2.12 Seja n um inteiro positivo e sejam a , k e r inteiros no-negativos tais quen = ak+ r e 0 r < a . Seja So grafo que resulta da unio de r cpias do Kk+1e a rcpias do Kk(as cpias so duas a duas disjuntas nos vrtices). Observe que

n(S) =n, m(S) =rk+12

+ (a r)k2

e (S) =a .

Mostre que (G)> (S)para qualquer grafo Gtal que n(G) =n e m(G)< m(S) .4

(Sugesto: veja o exerccio2.11.)

2.3 Delimitaes superiores

Para estabelecer uma delimitao superior de , preciso provar quetodosos con-juntos estveis do grafo so pequenos. Eis uma delimitao superior simples (e

muito pobre):

Delimitao 2.3 Para todo grafoGtem-se(G) m(G)(G)

.

PROVA: Para qualquer conjunto estvel X, temos m(G) |(X)| =xX g(x) |X| (G) . Logo,|X| m(G)/(G) .

4 Pode-se provar que S o nico grafo (a menos de isomorfismo) com n vrtices, m(S)arestase ndice de estabilidade a . Este fato um conhecido teorema dePaul Turn( ). O com-plemento de S conhecido comografo de Turn.
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Turan.htmlhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Turan.html


24/61


Uma delimitao superior pode ser usada, s vezes, para comprovar a maxi-malidade de um conjunto estvel. Se X um conjunto estvel de cardinalidadem/ ento a delimitao acima garante que X mximo. Por exemplo, se X um conjunto estvel com pvrtices em um circuito de comprimento 2p+ 1 , entoX mximo porque|X|=(2p+ 1)/2=m/ .

Infelizmente, fica muito longe de m/em geral. Em um Kn , por exemplo,tem-se = 1enquanto m/=n/2 .

Exerccios

D 2.13 Prove que (G)n(G) 12p(G) , sendo p(G)o posto da matriz de adjacn-

cias de G(veja exerccio1.27). Por definio, o posto de uma matrizM o nmerode mximo de colunas linearmente independentes em M.

DD 2.14 Mostre que (G) (G) para todo grafo G . Aqui, (G) o nmero5maxX e

Xe , sendo o mximo tomado sobre todas as matrizes X indexadas porV(G)V(G)que so simtricas positivas semidefinidas (X0 ),6 tm trao unitrio(

i Xii = 1) e tm componentes nulas nas arestas ( Xij = 0para todo ij em A(G)).O smboloedenota o vetor de componentes unitrios (ei= 1para todo iem V(G))e e o transposto de e .7

2.4 O ndice de estabilidade da maioria dos grafos

O ndice de estabilidade de quase todo grafo (veja seo1.8) surpreendentementebaixo se comparado com o nmero de vrtices do grafo:

Teorema 2.4 Por menor que seja o nmero positivo, temos

(G)< (2 +) log2 n

para quase todo grafoGemG(n) .

PROVA: Seja k o nmero(2 +)log2 n e denote porQ(n, k) o conjunto doskgrafos emG(n)para os quais k . Resta mostrar que

limn

|Q(n, k)||G(n)| = 0. (2.1)

SejaXum subconjunto deV comk elementos. H uma correspondncia biunvocaentre os grafos emG(n) nos quais X estvel e os subconjuntos de V(2) X(2) .Logo, X estvel em 2NK dos grafos, sendo K :=

k2

. Como V tem

nk

nkK

5 Esse nmero conhecido como funo teta de Lovsz.6 Uma matriz X positiva semidefinidase existe uma matriz quadrada Y tal que X = Y Y ,

onde Y denota a transposta de Y.7 Esta uma das melhores delimitaes superiores que se conhece para . Veja os livros de

AignerZiegler [AZ98,p.173] e Schrijver [Sch03,p.1152].


25/61

2.4 O ndice de estabilidade da maioria dos grafos 25

subconjuntos de cardinalidade k , temos

|Q(n, k)| nk 2NK , e portanto |Q(n, k)|

|G(n)

| nk 2k(k1)/2 .

Segue da que

2log2(|Q(n, k)|/|G(n)|) 2k log2 n k(k 1)= k(1 + 2 log2 n k) (2 +)log2 n (1 + 2 log2 n (2 +)log2 n)= (2 +)log2 n (1 log2 n). (2.2)

Como limn(1 log2 n) = , temos

limn

log2 |Q(n, k)||G(n)| = ,

e isso prova (2.1).

Por exemplo, se = 0,2 ento, em virtude de (2.2), temos|Q(1024, 22)| 2220231|G(1024)| e portanto uma frao de pelo menos 1211 (mais que 99,9%)dos grafos emG(1024) tm


26/61


2.5 Cliques

Umaclique8 ouconjunto completonum grafo qualquer conjunto de vrtices doisa dois adjacentes. Em outras palavras, X uma clique se o grafo induzidoG[X]completo. H uma relao bvia entre cliques e conjuntos estveis:

Observao 2.5 Um conjuntoXde vrtices uma clique em um grafoGsee somente seX estvel no grafo complementarG .

A cardinalidade de uma clique mxima de um grafo G denotada por

(G).

De acordo com a observao acima, (G) =(G)para todo grafo G .

Exerccios

E 2.19 Encontre uma clique mxima no grafo da dama (veja exemplo1.1), ou seja,disponha o maior nmero possvel de damas no tabuleiro de modo que elas se ata-quem mutuamente. Encontre cliques mximas nos grafos do cavalo, do bispo, datorre e do rei (veja exemplo1.2).

E 2.20 Encontre uma clique mxima no grafo dos estados do Brasil (veja exem-plo1.5).

F 2.21 Mostre que (G)(G) + 1 para todo grafo G .

E 2.22 Deduza delimitaes inferiores e superiores para (G)a partir das delimita-es2.1e2.2.

E 2.23 Seja G o grafo das arestas de um grafo G (veja o exemplo1.15). Mostreque, para cada vrtice vde G , o conjuntoG(v) uma clique em G . Mostre que oconjunto das arestas de qualquer tringulo em G uma clique emG . Mostre que(G) =(G )se (G)

= 2 . Mostre que 2

(G )

3 se (G) = 2 .

D 2.24 Mostre que(G)3para todo grafoGcom mais quen(G)2/4arestas. (Vejao exerccio2.12.)

8 A palavraclique um neologismo emprestado do ingls. Uma clique uma panelinha, umgrupo exclusivo, um conjunto de pessoas que se conhecem entre si e tm algum interesse comum.Nesse contexto, a palavra no tem nenhuma relao com estalido.


27/61

2.6 Coberturas 27

D 2.25 A intuio sugere que, em todo grafo, grande se for pequeno e vice-versa. Ramsey9 mostrou que isso de fato assim para grafos suficientemente gran-des. Seja r(s, t) o menor nmero natural tal que todo grafo G com n(G) r(s, t)tem (G)

s ou (G)

t . Mostre que

r(s, t) s+t2s1

.

(Sugesto: mostre quer(s, t)r(s1, t)+r(s, t1)para quaisquers 2 e t2 .)10

E 2.26 Seja um nmero real positivo fixo e, para todo inteiro n 2 , ponha k =(2 + )log2 n. Prove a seguinte delimitao para os nmeros de Ramsey (vejaexerccio2.25): existe n0 tal que r(k, k) > n para todo n n0 . (Sugesto: Siga ospassos da prova do teorema2.4.)

E 2.27 Prove a seguinte delimitao para os nmeros de Ramsey (veja exerc-cio2.25): r(k, k) > 2k/2 para todo inteiro k 2 . (Essa delimitao um poucomais limpa que a do exerccio2.26;a idia central da prova a mesma.)

2.6 Coberturas

Umacoberturade um grafo qualquer conjunto de vrtices que contenha pelo me-nos uma das pontas de cada aresta. Em outras palavras, um conjunto Xde vrtices uma cobertura se toda aresta do grafo tem pelo menos uma de suas pontas em X.

H uma relao simples entre coberturas e conjuntos estveis:

Observao 2.6 Em qualquer grafo G, um conjunto Xde vrtices umacobertura se e somente seV(G) X um conjunto estvel.

A cardinalidade de uma cobertura mnima de um grafo G denotada por11

(G).

Se um guarda postado em um vrtice do grafo capaz de vigiar todas as arestas queincidem no vrtice, ento o nmero mnimo de guardas necessrio para vigiartodas as arestas do grafo.

Segue imediatamente da observao acima que (G) =n(G) (G)para todografo G .

9 Frank P. Ramsey( ), lgico, matemtico, e economista ingls.10 A determinao do valor exato do nmero de Ramsey r(s, t) um problema difcil ainda longe

de estar resolvido.11 O smbolo tradicional para esse nmero 0 . Mas nesse texto parece mais apropriado e

consistente escrever .
http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Ramsey.htmlhttp://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Ramsey.html


28/61


Exerccios

F 2.28 Prove a observao2.6.

E 2.29 Encontre uma cobertura mnima no grafo do cavalo e no grafo do bispo (vejaexemplo1.2).

2.7 Consideraes computacionais

Para encontrar um conjunto estvel mximo num grafo G , basta examinar todosos subconjuntos de V(G) . Esse algoritmo consome tempo proporcional a 2n(G) .Como 2n cresce explosivamente com n , esse algoritmo decididamente insatisfa-trio na prtica.12 Infelizmente, no se conhece um algoritmo que seja substancial-

mente mais rpido. Suspeita-se mesmo que no existe um algoritmo rpido paraessa tarefa.13

To importante quanto a tarefa de encontrar um conjunto estvel mximo atarefa decertificara maximalidade de um conjunto estvel dado. Para mostrar queum dado conjunto estvel Xem um grafo G mximo, podemos simplesmentecompar-lo com todos os conjuntos estveis deG . Mas isso consome tempo propor-cional a2n(G) , o que inaceitvel na prtica. s vezes, uma delimitao superior de(G)pode ser usada para certificar a maximalidade de X (veja observao depoisda prova de delimitao2.3), mas no se conhece uma delimitao suficientementepoderosa para certificar um conjunto estvel mximo emqualquergrafo.

12 Basta dizer que 2500 maior que o nmero de tomos do universo, de acordo com os cosmlo-gos.

13

Veja os livros de GareyJohnson [GJ79], Harel [Har92] e Sipser [Sip97].


29/61

Captulo 3

Colorao de vrtices

Uma colorao do conjunto de vrtices de um grafo uma atribuio de cores aos

vrtices tal que vrtices adjacentes recebem cores diferentes. Essa definio podeser formalizada da seguinte maneira: uma colorao dos vrtices de um grafo G uma partio1 de V(G) em conjuntos estveis. Se{X1, . . . , X k} uma coloraodos vrtices de G , diremos que cada Xi umacorda colorao e k onmero decores.

Imagine que cada vrtice do grafo uma das substncias qumicas que umacerta indstria precisa manter armazenadas. Duas substncias so adjacentes se po-dem reagir entre si. Uma colorao dos vrtices desse grafo aloca cada substncia aum armazm de tal modo que substncias adjacentes fiquem em armazns diferen-tes.

3.1 Coloraes mnimas

muito fcil produzir uma colorao dos vrtices de um grafo: basta atribuir umacor diferente a cada vrtice! bem mais difcil encontrar uma colorao com poucascores.

Uma colorao de vrtices mnimase o nmero de cores o menor possvel,ou seja, se no existe outra colorao com menos cores. Onmero cromticode umgrafo G o nmero de cores em uma colorao mnima dos vrtices de G . Esse

nmero denotado por (G).

Se (G) k , diz-se que G colorvel com k cores; diz-se tambm que G k -colorvel.

Este captulo estuda a relao entre o nmero cromtico e outros parmetrosdo grafo. Ele comprova, por exemplo, a intuio de que tanto menor quantomenores os graus dos vrtices e tanto maior quanto maiores as cliques.

1 Umapartiode um conjunto V uma coleo{X1, . . . , X k} de subconjuntos no-vazios deVtal que X1 Xk =V e Xi Xj =sempre que i=j .

29


30/61

30 CAP. 3 COLORAO DE VRTICES

Exerccios

E 3.1 Exiba um grafo com duas coloraes mnimas diferentes.

E 3.2 Mostre que os conjuntos estveis que compem uma colorao mnima noso necessariamente mximos. Mais precisamente, exiba uma colorao mnima{X1, . . . , X k}em que nenhum dos conjuntos estveis Xi mximo.

E 3.3 Qual o nmero cromtico do grafo dos estados do Brasil (veja exemplo1.5)?

E 3.4 Qual o nmero cromtico do grafo de Petersen (veja exemplo1.8)?

E 3.5 Encontre uma colorao mnima dos vrtices do grafo da dama tport(veja

o exerccio1.1). Trate inicialmente dos casos t= 2, . . . , 6 .

E 3.6 Encontre coloraes mnimas dos vrtices dos grafos do cavalo, do bispo, datorre e do rei (veja exerccio1.2).

D 3.7 Prove que (G)max(G) + 1 , onde max(G) o maior autovalor da matrizde adjacncias de G(veja exerccio1.27).2

D 3.8 Um museu de arte tem uma grande sala cujo contorno um polgono fechado,no necessariamente convexo, com n lados. Queremos postar guardas em alguns

dos vrtices do polgono de modo que cada ponto da sala possa ser visto por pelomenos um dos guardas (o ngulo de viso de cada guarda s limitado pelas pare-des da sala). Mostre quen/3guardas so suficientes. Mostre quen/3guardasso necessrios para certos polgonos.3

DD 3.9 Mostre que (G)4 para todo grafo planar G(veja o exemplo1.14).4

3.2 Algumas delimitaes superiores

Para obter uma delimitao superior do nmero cromtico de um grafo basta mos-trar a existncia de uma colorao com poucas cores. Eis uma delimitao superiormuito simples, que confirma a intuio de que um grafo com poucas arestas temnmero cromtico pequeno:

Delimitao 3.1 Para todo grafoGtem-se(G) 12

+

2m(G) + 14

.

2 Veja o livro de Biggs [Big74].3 Veja o livro de AignerZiegler[AZ98,p.165].4 Este o clebre Teorema das Quatro Cores.


31/61

3.3 Algumas delimitaes inferiores 31

PROVA: Seja{X1, . . . , X k} uma colorao mnima. Ento, para todo i e todoj distinto de i , existe uma aresta com uma ponta em Xi e outra em Xj . Assim,m(G) k

2

= (k2 k)/2 . Logo,k(1 + 8m+ 1)/2 .

Considere agora uma delimitao mais sofisticada. Ela confirma a intuio deque tanto menor quanto menor o grau mximo do grafo.

Delimitao 3.2 Para todo grafoGtem-se(G)(G) + 1 .

PROVA: Nossa prova uma induo no nmero de vrtices. Se n(G) = 1 , aproposio obviamente verdadeira. Suponha agora que n(G) > 1 . Seja x umvrtice qualquer e Ho grafo G x . Por hiptese de induo, (H) (H) + 1 .Seja{X1, . . . , X k}uma colorao mnima de H. Como (H)(G) , temos

k

(G) + 1 .

Se essa desigualdade estrita, ento{{x}, X1, . . . , X k} uma colorao de G comno mais que (G) + 1 cores. Suponha agora que k = (G) + 1 . Como gG(x)(G) =k 1, o vrticex adjacente a no mais quek 1cores diferentes. Portanto,existe ital que Xi {x} um conjunto estvel. Se substituirmosXi por Xi {x}em{X1, . . . , X k}teremos uma colorao de Gcom (G) + 1 cores.

Embora existam grafos (os completos e os circuitos mpares, por exemplo) emque = + 1 , a diferena entre e pode ser arbitrariamente grande (este ocaso, por exemplo, dos grafos K1,ndefinidos no exemplo1.10).

Exerccios

D 3.10 Mostre que (G)(G)para todo grafo no-regular G . Mostre algo maisgeral: se G conexo mas no um grafo completo nem um circuito mpar ento(G)(G) . (Esse fato conhecido como Teorema de Brooks5.)

3.3 Algumas delimitaes inferiores

Para obter uma delimitao inferior do nmero cromtico de um grafo preciso

mostrar quetodasas colorao exigem muitas cores. Eis uma delimitao inferiorsimples:

Delimitao 3.3 Para todo grafoGtem-se(G) n(G)(G)

.

PROVA: Seja{X1, . . . , X k} uma colorao dos vrtices de G . claro que k(G)e|Xi| (G)para cada i . Portanto,n(G) =|X1|+ + |Xk| k (G) . Segueda que kn(G)/(G) .

5

Publicado em por R. L. Brooks.


32/61


Eis outra delimitao inferior, simples mas til:

Delimitao 3.4 Para todo grafoGtem-se(G)(G) .

PROVA: A desigualdade decorre do seguinte fato bvio: para qualquer colora-o{X1, . . . , X k}dos vrtices e qualquer clique C tem-se

k |C| .

Essa desigualdade vale, em particular, se a colorao mnima e a clique mxima.Logo, .

A delimitao inferior 3.4 tem a seguinte conseqncia interessante: se um grafoGtem uma colorao de vrtices e uma clique de mesma cardinalidade ento a colo-

rao mnima (e a clique mxima). Assim, para tornar evidente a minimalidadede uma determinada colorao{X1, . . . , X k} , suficiente exibir uma clique com kvrtices.

Considere, por exemplo, o grafo da dama 4por4 (veja exemplo1.1). fcilencontrar uma colorao do grafo com 5 cores e uma clique com 5 vrtices. Por-tanto, a colorao mnima e a clique mxima. Algo semelhante ocorre no grafoda torre tport .

Infelizmente, a desigualdade da delimitao3.4 estrita para muitos grafos. Adiferena entre e (e at o quociente / ) podem ser arbitrariamente grandes,embora exemplos desse fenmeno no sejam simples (veja exerccio3.16).

Exerccios

E 3.11 O grafode Catlin6 definido da seguinte maneira: comece com um pent-gono P; troque cada vrtice v de Ppor um tringulo Tv (os tringulos correspon-dentes a vrtices diferentes so disjuntos); finalmente, troque cada aresta vw de Ppor 9 arestas ligando cada vrtice de Tv com cada vrtice de Tw . Encontre umacolorao mnima do grafo de Catlin. Use a delimitao 3.3para mostrar que suacolorao , de fato, mnima.

E 3.12 Mostre que (G) =(G)se G um grafo de intervalos (veja exemplo1.12).(Sugesto: Faa induo no nmero de intervalos. Comece por retirar o intervalocujo extremo direito est mais esquerda.)

E 3.13 Mostre que (G) = (G) se G um grafo de comparabilidade (veja exem-plo1.13). (Sugesto: Retire do grafo o conjunto dos vrtices que so maximais naordem parcial. Aplique induo.)

6 Construdo em por P. A. Catlin.


33/61

3.4 Bicolorao e grafos bipartidos 33

E 3.14 Mostre que (G) = (G) se G um grafo de comparabilidade (veja exem-plo1.13). (Este resultado conhecido como teorema de Dilworth7.)

E 3.15 SejaGo grafo do bispot port(veja exemplo 1.2). Mostre que(G) =(G) .

D 3.16 SejaG2um grafo completo com 2vrtices. A partir desse grafo, a seqnciaG3, G4, . . . , Gk, . . . degrafos de Mycielski8 definida recursivamente como segue.Para cada k maior que 2 , seja Vk ={v1, . . . , vn} o conjunto de vrtices de Gk . SejaWk+1 ={w0, w1, . . . , wn}um conjunto disjunto deVk . O grafo Gk+1tem conjunto devrtices Vk Wk+1 e tal que Gk+1[Vk] = Gk e, para cada i 1 , wi adjacente emGk+1 a w0 e a cada um dos vizinhos devi em Gk . A figura3.1ilustra G2 , G3 e G4 .Mostre que(Gk) = 2para cadak . Mostre que (Gk)k para cadak . (Veja o livrode BondyMurty [BM76].)

Figura 3.1: Os trs primeiros grafos de Mycielski (G2 , G3e G4 ). O terceiro,G4 , tambm conhecido como grafo de Grtzsch. Veja exerccio3.16.

3.4 Bicolorao e grafos bipartidos

Um grafo Gbicolorvelse (G) 2 , ou seja, se existem conjuntos estveis U eW tais que U W = V(G) e U W = . Um tal par de conjuntos estveis umabicoloraodo grafo.

Grafos bicolorveis so abundantes na natureza. Considere, por exemplo, ografo cujos vrtices so os operrios e as mquinas de uma oficina, sendo cada ope-

rrio adjacente s mquinas que sabe operar.Grafos bicolorveis admitem uma caracterizao simples e elegante em termosde circuitos mpares:

Teorema 3.5 Um grafoG bicolorvel se e somente se no tem circuitos m-pares.

7 Robert Palmer Dilworth( ), matemtico americano.8 Construda em por J. Mycielski.
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Dilworth.htmlhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Dilworth.html


34/61


PROVA: Suponha que Gadmite uma bicolorao{U, W} . Os vrtices de qual-quer circuito esto alternadamente em Ue W e portanto o circuito par.

A prova da afirmao recproca uma induo no nmero de arestas do grafo.

Sem(G) = 0

ento evidente queG

bicolorvel. Suponha agora quem(G) > 0

e G no tem circuitos mpares. Seja xy uma aresta de G . Como G xy no temxycircuitos mpares, a hiptese de induo garante queGxyadmite uma bicolorao,digamos{U, W} . Se xe yno esto ambos em Unem ambos em W, ento{U, W} uma bicolorao de G . Suponha no que segue que x e y esto ambos em U ouambos em W, digamos ambos em U.

Imagine, por um momento, que x e y pertencem ao mesmo componente dografo G xy . Seja Cum caminho em G xy com extremos xe y . Como{U, W} uma bicolorao de G xy , os vrtices de Cesto alternadamente em U e W eportantoC par. Mas ento o circuitoC+xy mpar, o que contradiz nossa hiptesesobre a inexistncia de circuitos mpares. Conclumos assim que xe y pertencem acomponentes distintos de G xy .

SejaHo componente deGxyque contmx . Se trocarmos as cores dos vrticesde H, os vrtices xe y tero cores distintas e portanto o grafo Gestar bicolorido.Essa bicolorao de Gter a forma

{U W, U W} ,onde U :=U V(H) , U :=U V(H) , W :=W V(H)e W :=W V(H) .

O teorema explica por que certos grafos no so bicolorveis: o nico motivopara a inexistncia de uma bicolorao a presena de um circuito mpar. Por outro

lado, um circuito mpar um certificado simples e convincente (veja o primeiropargrafo da prova do teorema) do carter no-bicolorvel do grafo. O teorema ,portanto, uma boa caracterizao de grafos bicolorveis.

Antes de encerrar a seo, preciso fazer um esclarecimento sobre terminologia.Os termos bipartido e bipartio so freqentemente usados como sinnimosde bicolorvel e bicolorao respectivamente.9 Se{U, W} uma bipartio dografo, diz-se que o grafo (U, W)-bipartido.

Exerccios

E 3.17 Mostre que o grafo do cavalo (veja exemplo1.2) bipartido.

E 3.18 Mostre que o k -cubo (veja exemplo1.4) bicolorvel.

E 3.19 Mostre que toda grade (veja exemplo1.7) um grafo bicolorvel.

E 3.20 Verifique se os grafos da figura3.2so bicolorveis.

9 A rigor, um grafo bipartidosomente se estiver munido de uma bicolorao fixa (note que

bicoloraes no so nicas em geral). Essa bicolorao abipartiodo grafo.


35/61

3.5 O nmero cromtico da maioria dos grafos 35

F 3.21 Mostre que (G) =(G)para todo grafo bicolorvel G .

F 3.22 Seja Gum grafo bicolorvel conexo (veja seo1.7). Mostre que Gtem uma

nica bicolorao. Em outras palavras, se{U, W}e{U

, W

}so bicoloraes de Gento U=U (e portanto W =W ) ou U=W (e portanto W =U ).

D 3.23 Mostre que m(G)n(G)2/4para todo grafo bicolorvel G . (Isso um casoespecial do exerccio2.24.)

A 3.24 Encontre uma boa caracterizao da classe{G : (G)3}dos grafos trico-lorveis.

Figura 3.2: Exerccio3.20.Esses grafos so bicolorveis?

3.5 O nmero cromtico da maioria dos grafos

O nmero cromtico de quase todos os grafos (veja seo 1.8) surpreendentementealto se comparado com o nmero de vrtices do grafo:

Teorema 3.6 Por menor que seja o nmero positivo, temos

(G)> 1

2 +

n

log2 n

para quase todo grafoGemG(n) .

PROVA: De acordo com a delimitao3.3, o nmero cromtico de todo grafo Gsatisfaz a desigualdade

(G) n(G)

.

De acordo com o teorema2.4, para qualquer > 0 e para quase todo GemG(n) ,temos (G)< (2 +)log2 n . Isso prova o resultado.

Por exemplo, se = 0,2 ento|Q(1024, 22)| 211|G(1024)| e portanto umafrao de pelo menos 1211 (mais que 99,9%) dos grafos emG(1024) tm 47 =

102422

.


36/61


Pode-se mostrar (embora isso no seja fcil)10 que a delimitao inferior dadapelo teorema 3.6 bastante justa: por menor que seja o nmerono intervalo aberto(0, 2) , tem-se

(G)|S|constitui um certificado da inexistncia de emparelhamento perfeito. Surpreenden-temente, todo grafo desprovido de emparelhamento perfeito possui um tal certifi-cado. Esse fato foi demonstrado em por Tutte8:

Teorema 4.6 (Tutte) Se i(G S) |S| para todo conjuntoSde vrtices deum grafoGentoGtem um emparelhamento perfeito.

ESBOO DA PROVA: A prova uma induo no nmero de vrtices do grafo.Se n(G) = 1 ento o resultado vacuamente verdadeiro (pois G no satisfaz as

8

William T. Tutte( ), matemtico ingls que viveu muito tempo no Canad.
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Tutte.htmlhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Tutte.html


45/61

4.4 Emparelhamentos em grafos arbitrrios 45

hipteses). Suponha agora que n(G)> 1 e que o resultado verdadeiro para grafoscom menos que n(G) vrtices. Suponha que G satisfaz as hipteses e seja S umsubconjunto maximal de V(G)tal que

i(G S) =|S| .(O conjunto S est bem definido pois i(Gs) = 1 para todo vrtice s .) SejamG1, . . . , Gkos componentes mpares de G S , comk = i(G S) . SejamH1, . . . , H los componentes pares deG S . A maneira como escolhemos Sgarante o sucessodos trs passos que passamos a descrever.

1. SejaFo grafo com conjunto de vrtices{G1, . . . , Gk}Scujas arestas so to-dos os paresGispara os quais existe emGuma aresta da formavs ,comv em V(Gi)e s em S . O grafo F ({G1, . . . , Gk}, S)-bipartido e prova-se que satisfaz as hi-pteses do teorema de Hall4.3. Portanto, F tem um emparelhamento que satura

{G1, . . . , Gk} .2. Para cada ie cada vrtice vem Gi , prova-se que Gi vsatisfaz as hiptesesdo teorema que estamos procurando provar. Logo, Gi vtem um emparelhamentoperfeito por hiptese de induo.

3. Prova-se que cada Hi satisfaz as hipteses do teorema que estamos procu-rando provar. Assim, cada Hi tem um emparelhamento perfeito por hiptese deinduo.

Se tomarmos a unio dos emparelhamentos descritos em 1, 2 e 3 acima, teremosum emparelhamento perfeito em G .

A expresso teorema de Tutte freqentemente usada para designar a unio teoremade Tutteda proposio4.5com o teorema4.6. O teorema constitui uma boa caracterizaodos grafos dotados de emparelhamentos perfeitos.

Emparelhamentos mximos

A caracterizao dos emparelhamentos mximos em grafos arbitrrios est intima-mente relacionada com o teorema de Tutte. conveniente introduzir o seguinteparmetro :9 para todo grafo G , seja (G)o valor mnimo da expresso

12n(G)

12 i(G

S)

|S

|para todos os subconjuntos Sde V(G) . No difcil estabelecer a seguinte delimi-tao superior:

Delimitao 4.7 Para todo grafoG, tem-se (G)(G) .

Para provar essa delimitao, basta mostrar que, para todoS, qualquer empare-lhamento deixa de saturar pelo menos i(G S) |S|vrtices. Os detalhes da provaso um bom exerccio.

9

A letra parece adequada nesse texto, mas no notao padro.


46/61

46 CAP. 4 EMPARELHAMENTOS

Berge10 mostrou em a delimitao inferior que complementa4.7:

Teorema 4.8 (Berge) Para todo grafoG, tem-se (G)(G) .

Para provar o teorema, basta mostrar que existe um emparelhamento E e umconjuntoStais queE deixa de saturari(GS)|S|vrtices no mximo. Infeliz-mente, no temos espao nesse texto para exibir os detalhes da prova. Ela pode serencontrada nos livros de Diestel [Die00] e LovszPlummer [LP86], por exemplo.

A combinao da delimitao4.7com o teorema4.8 conhecida como teoremade TutteBerge e pode ser formulada assim:em qualquer grafoG,teorema

de TutteBerge (G) =(G).

ExercciosF 4.20 Suponha que um grafo Gsatisfaz a condio i(G S) |S|para todo con-

junto Sde vrtices. Prove, sem usar o teorema4.6,que n(G) par.

E 4.21 Seja G um grafo e Sum subconjunto de V(G) . Mostre que i(GS)i(H S)para qualquer subgrafo Hde Gtal que V(H) =V(G) .

E 4.22 Na prova do teorema de Tutte4.6, mostre que cada grafo Hi satisfaz a con-dioi(Hi S) |S|para cada conjunto Sde vrtices.

E 4.23 Na prova do teorema de Tutte4.6, mostre que, para cada i e cada vrtice vem Gi , o grafo Gi v satisfaz a condio i((Gi v) S) |S|para cada conjuntoSde vrtices.

E 4.24 Na prova do teorema de Tutte4.6, mostre que o grafo Fsatisfaz as hiptesesdo teorema de Hall4.3:|F(X)| |X|para cada subconjunto Xde{G1, . . . , Gk} .

E 4.25 Deduza o teorema de Hall4.3do teorema de Tutte4.6.

E 4.26 Seja Gum grafo 3-regular sem cortes de tamanho 1(ou seja, sem conjuntosXde vrtices tais que|(X)|= 1). Mostre queGtem um emparelhamento perfeito.Mostre que nem todo grafo 3-regular tem um emparelhamento perfeito.

E 4.27 Prove a delimitao4.7.

E 4.28 Deduza o teorema de Knig4.4do teorema de Berge4.8.

10 Claude Berge ( ), matemtico francs.


47/61

4.5 Consideraes computacionais 47


Existem algoritmos rpidos11 (e muito interessantes) para encontrar um emparelha-mento mximo num grafo. O algoritmo especfico para grafos bipartidos produzum emparelhamento e uma cobertura de mesma cardinalidade.12 O algoritmo maisgeral aceita qualquer grafo e produz um emparelhamento e um conjunto de vrticesque satisfazem a relao estabelecida no teorema4.8.13

11 Os algoritmos consomem tempo limitado por um polinmio no nmero de vrtices do grafo.12 Veja os livros de LovszPlummer [LP86,p.12], BondyMurty [BM76,p.80] e Diestel [Die00,

p.30].13 O algoritmo foi descoberto em por Jack Edmonds. Veja o livro de LovszPlummer [LP86,

p.358].


48/61

Captulo 5

Colorao de arestas

Uma colorao do conjunto das arestas de um grafo uma atribuio de cores s

arestas tal que arestas adjacentes recebem cores diferentes. conveniente formalizara definio da seguinte maneira: umacolorao das arestasde um grafo G umapartio deA(G)em emparelhamentos. Se{E1, . . . , E k} uma tal partio, diremosque cada emparelhamento Ei umacore k onmero de cores.

Uma colorao de arestas um tipo particular de colorao de vrtices. Defato, qualquer colorao das arestas de um grafo G uma colorao dos vrtices dografo das arestas de G(veja o exemplo1.15). Como mostraremos no restante destecaptulo, sabe-se muito mais sobre a colorao de arestas que sobre a colorao devrtices de um grafo arbitrrio.

5.1 Coloraes mnimas

fcil encontrar uma colorao das arestas de um grafo: basta pintar cada arestacom uma cor diferente! mais difcil obter uma colorao com poucas cores.

Uma colorao de arestas mnimase o nmero de cores o menor possvel, ouseja, se no existe outra colorao que use menos cores. Ondice cromticode umgrafo o nmero de cores de uma colorao de arestas mnima. O ndice cromticode um grafo G denotado por

(G).

Segue imediatamente da observao que fizemos ao final da introduo deste cap-tulo que (G) =(G ) , onde G grafo das arestas de G .

Exerccios

E 5.1 Mostre que (G)2(G) 1para todo grafo G .

E 5.2 Exiba um grafo com duas coloraes mnimas diferentes.

E 5.3 Mostre que os emparelhamentos que compem uma colorao mnima no

48


49/61

5.2 Delimitao inferior 49

so necessariamente mximos. Mais precisamente, exiba uma colorao mnima{E1, . . . , E k}em que nenhum dos emparelhamentos Ei mximo.

5.2 Delimitao inferiorEis uma delimitao inferior simples mas importante do ndice cromtico:1

Delimitao 5.1 Em todo grafoGtem-se (G)(G) .

PROVA: A desigualdade decorre da seguinte observao: para qualquer colora-o de arestas com kcores e qualquer vrtice vtem-se kg(v) .

Essa delimitao inferior tem a seguinte conseqncia imediata: se uma colora-

o de arestas usa apenas cores ento ela mnima. Portanto, para comprovara minimalidade de uma colorao basta exibir um vrtice cujo grau seja igual aonmero de cores.

Como veremos abaixo, todo grafo bipartido admite uma colorao com apenascores. Mas a colorao de muitos grafos no-bipartidos exige mais que cores.Que objeto suficiente exibir, nesses casos, para certificar a minimalidade de umacolorao? Infelizmente, no temos uma boa resposta para essa pergunta.

Exerccios

E 5.4 Exiba uma colorao mnima das arestas de uma grade pporq(veja exem-plo1.7).

E 5.5 Mostre que (G) = 4se G o grafo de Petersen.

E 5.6 Mostre que todo grafo bipartido k -regular admite uma colorao das arestascom apenas kcores. (Sugesto: veja o teorema de Hall4.3.)

E 5.7 Mostre que (G) > (G) se G um grafo regular no-vazio com nmerompar de vrtices.

E 5.8 Mostre que (G)> (G)se n(G) mpar e m(G)> 12(G)

n(G) 1 .

5.3 Grafos bipartidos

O ndice cromtico de grafos bipartidos tem uma delimitao superior que comple-menta a delimitao inferior5.1.Ela foi estabelecida em por Knig2:

1 Essa delimitao pode ser vista como conseqncia da proposio3.4aliada ao exerccio2.23.2

Dnes Knig( ), matemtico hngaro.
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Konig_Denes.htmlhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Konig_Denes.html


50/61

50 CAP. 5 COLORAO DE ARESTAS

Teorema 5.2 (Knig) Para todo grafo bipartidoGtem-se (G)(G) .

PROVA: Nossa prova uma induo no nmero de arestas de G . Se m(G) = 0 ,a proposio obviamente verdadeira. Suponha agora que m(G) > 0 . Seja xyuma aresta de G . Por hiptese de induo, o grafo G xy admite uma colorao{E1, . . . , E k} com k (Gxy) cores. claro que k (G) . Se k < (G)ento{E1, . . . , E k, {xy}} a colorao de G desejada. Suponha no que segue quek= (G) .

Como gG(x) k , alguma cor Ej est ausente em x , ou seja, Ej G(x) = .Analogamente, alguma cor Ei est ausente em y . Se i = j ento Ei {xy} umemparelhamento e portanto se acrescentarmos xy a Eiteremos uma colorao de Gcom (G)cores.

Suponha agora que i= j . Seja Co componente do grafo (V(G), Ei Ej) queCcontm x . Como Ei e Ej so emparelhamentos e Ej est ausente em x , C umcaminho e suas arestas esto alternadamente em Eie Ej . Suponha por um instanteque y est em C. Ento y um extremo de C, pois Ei est ausente em y . Logo,o comprimento de C par e assim C+xy um circuito mpar. Mas G no temcircuitos mpares, em virtude do teorema3.5. Assim, podemos garantir que

yno est em C.

Considere agora os conjuntos Fi :=Ei A(C)e Fj :=Ej A(C) .3 fcil verificarque Fi {xy} e Fj so emparelhamentos mutuamente disjuntos. Portanto, se tro-carmos Eipor Fi {xy}e Ej por Fj , teremos uma colorao das arestas de Gcom(G)cores.

A combinao da delimitao inferior 5.1 com a delimitao superior 5.2 d umaboa caracterizao das coloraes mnimas de arestas em grafos bipartidos. Ela podeser reformulada assim:

(G) = (G)

para todo grafo bipartidoG .

Exerccios

E 5.9 Exiba coloraes mnimas das arestas dos grafos representados nas figuras4.1e4.2.

E 5.10 Uma escola pode ser representada por um grafo (U, W)-bipartido: cada vr-tice emU um professor, cada vrtice em W uma turma de alunos e um professor adjacente s turmas para as quais deve dar aulas. Uma semana letiva divididaem perodos (segunda-feira das 8h s 10h, segunda-feira das 10h s 12h, etc.) e cada

3 XY := (X Y)(Y X) (XY) (X Y) . Esta adiferena simtricaentre osconjuntos Xe Y.


51/61

5.4 Delimitao superior 51

perodo representado por uma cor. Uma colorao das arestas do grafo uma pro-gramao das aulas da semana. Quantos perodos so necessrios e suficientes paracumprir o programa de aulas?4

5.4 Delimitao superior

um tanto surpreendente que + 1 cores so suficientes para colorir as arestas dequalquergrafo. Esse fato foi descoberto em por Vizing5 (e redescoberto empor Gupta6):

Teorema 5.3 (Vizing) Em todo grafoGtem-se (G)(G) + 1 .7

PROVA: Nossa prova uma induo no nmero de arestas de G . Se m(G) = 0 ,

a proposio trivialmente verdadeira. Suponha agora que m(G)> 0 . Sejaxyumaaresta de G . Por hiptese de induo, o grafo G xy admite uma colorao comno mais que (G xy) + 1cores. Digamos que{E0, . . . , E k} uma tal colorao. claro que k (Gxy) (G) . Se k < (G) ento{E0, . . . , E k, {xy}} acolorao de Gdesejada. No que segue, vamos supor que k = (G)e mostrar queGadmite uma colorao com k+ 1 cores.

Diremos que uma cor Ei estpresenteem v se Ei (v)= eausenteem vem caso contrrio. Como temos (G) + 1 , alguma cor est ausente em cada vrticedo grafo.

Umleque uma seqncia (xy0, . . . , x yj)de elementos de

(x) , distintos dois

a dois, dotada da seguinte propriedade: para h= 1, . . . , j , a cor de xyhest ausenteem yh1 .

Seja (xy0, . . . , x yj)um leque maximal. Comoj


52/61

52 CAP. 5 COLORAO DE ARESTAS

24

51

3

6

x

y3

y1

y2

y5

y6 y0

y4(3)

(4)

(1)

(5)

(0)

(6) (2)

(4)

34

5

1

2

0

6

x

y3

y1

y2

y5

y6 y0

y4

Figura 5.1: Ilustrao da prova do teorema de Vizing5.3. As cores soE0, . . . , E k . Um rtulo pjunto a uma aresta indica que a aresta est em Ep(a aresta xy0no tem cor). Um rtulo(p)junto a um vrtice indica que Epest ausente no vrtice. A figura ilustra o subcaso 2A da prova, com j = 6e i = 4 . O leque esquerda mostra a colorao no incio do subcaso 2A; oleque direita mostra a colorao no fim do subcaso.

em yj . Em virtude da maximalidade do leque, i {1, . . . , j1} . Podemos su-por, sem perder generalidade, que E0 est ausente em x . Seja Ho grafo induzidoE0por E0 Ei :

H := (V(G), E0 Ei).Os componentes desse grafo so caminhos e circuitos. Ademais, gH(x) 1 ,gH(yi1) 1 e gH(yj) 1 , uma vez que E0 est ausente em x e Ei est ausenteem yi1 e em yj . Assim, os componentes de Hque contm x , yi1 e yj so cami-nhos. Um dos dois subcasos a seguir se verifica:

SUBCASO

2A: x e yi1 esto em dois componentes distintos de H. SejaCo componente de Hque contm yi1 . Troque as cores E0 e Ei nessecomponente. Mais formalmente, seja

F0:=E0 A(C) e Fi:=Ei A(C)

e seja Fh := Eh para todo hdistinto de 0 e de i. Observe que{F0, . . . , F k} uma colorao de G xy0 e F0 esta ausente em x e em yi1 . Ade-mais, (xy0, . . . , x yi1) um leque com relao nova colorao. Portanto,uma troca de cores anloga descrita no caso 1 produz uma coloraode G . Mais especificamente, basta trocar Fh por (Fh {xyh}) {xyh1}para h= 1, . . . , i1e trocar F0por F0 {xyi1}para obter a colorao de Gdesejada.SUBCASO2B: xeyi1 esto num mesmo componente deH. Nesse caso, xeyjesto em componentes diferentes deH. SejaCo componente de Hquecontm yj . Seja F0 := E0 A(C) , Fi := Ei A(C)e Fh := Eh para todo hdistinto de 0e de i . Observe que{F0, . . . , F k} uma colorao de G xy0e que F0 esta ausente em x e em yj . Como yi1 no est em C, a cor Fiest ausente em yi1 , e portanto a seqncia (xy0, . . . , x yj) um leque comrelao nova colorao. Assim, uma troca de cores anloga descrita nocaso 1 produz uma colorao de G . Mais especificamente, basta trocar Fh


53/61

5.5 Consideraes computacionais 53

por (Fh {xyh}) {xyh1}para h= 1, . . . , je trocar F0por F0 {xyj}paraobter a colorao de Gdesejada.

Isso encerra a prova.

Se combinarmos o teorema5.3com a delimitao5.1, poderemos dizer que ondice cromtico todo grafo conhecido a menos de uma unidade:

(G) (G)(G) + 1

para qualquer grafo G .

Exerccios

E 5.11Para todo

n >1, mostre que

(Kn

) =nse

n mpar e

(Kn

) =n

1se

n par.

DD 5.12 Mostre que (G) = 3 para todo grafo 3-regular G planar (veja exem-plo1.14). 8

A 5.13 Encontre uma boa caracterizao da classe de grafos{G: (G) = (G)} .


A prova do teorema5.2induz um algoritmo rpido9 de colorao das arestas dequalquer grafo bipartido com cores. Para grafos arbitrrios, a prova do teo-rema5.3induz um algoritmo rpido de colorao com + 1 cores. Infelizmente,no se conhece um algoritmo rpido capaz de determinar se o ndice cromtico

de um dado grafo vale ou +1 . Suspeita-se mesmo que no existe um algoritmorpido para essa tarefa.10

8 Este fato equivalente ao clebre Teorema das Quatro Cores.9 O consumo de tempo do algoritmo limitado por um polinmio no nmero de vrtices do

grafo.10

Veja os livros de GareyJohnson [GJ79], Harel[Har92]e Sipser[Sip97].


54/61

Apndice A

Dicionrio de termos tcnicos

Boa parte da literatura da teoria dos grafos est escrita em ingls. A traduo dos

termos tcnicos para o portugus no est muito bem estabelecida. O presente textoadota a seguinte correspondncia:

ingls portugus

almost every quase todobipartite bipartidobipartition bipartiobishop (in chess) bispo (do xadrez)chess xadrezchromatic number nmero cromtico

chromatic index ndice cromticocircuit circuitoclique cliqueclique number cardinalidade de clique mximacoboundary cofronteira, cortecolorable colorvelconnected conexocut corte, cofronteiracycle ciclo, circuitodegree grauedge aresta

eigenvalue autovalorempty vazioeven par

forest florestagraph grafogrid gradeindependence number ndice de estabilidadeindependent set conjunto estvelinduced induzidoisomorphic isomorfoisomorphism isomorfismo

king (in chess) rei (do xadrez)

54


55/61

DICIONRIO 55

ingls portugus

knight (in chess) cavalo (do xadrez)length comprimento

line graph grafo das arestaslower bound delimitao inferiormatching emparelhamentomaximal maximalmaximum mximominimal minimalminimum mnimoneighbor vizinhoneighborhood vizinhananull vazio, nuloodd mpar

path caminhopawn (in chess) peo (do xadrez)polygon circuitoqueen (in chess) dama (do xadrez)random graph grafo aleatriorank postorook (in chess) torre (do xadrez)set conjuntospanning subgraph subgrafo geradorstability number ndice de estabilidadestable estvel

tree rvoretwo-colorable bicolorvelupper bound delimitao superiorvertex vrticevertex cover cobertura


56/61

Apndice B

Alfabeto grego

A teoria dos grafos, como outras reas da matemtica, recorre freqentemente ao

alfabeto grego:

A alfa N n B beta ksi gama o O micron delta pi E epsilon P r Z zeta sigma H eta T tau teta upsilon

I iota fi K kapa X qui lambda psi M m mega

O smbolo no pertence ao alfabeto grego. Dizem que o nome do smbolo nabla designa uma harpa egpcia. No confundacom .

56


57/61

Bibliografia

[AZ98] M. Aigner and G.M. Ziegler. Proofs from THE BOOK. Springer, 1998. 24,30

[Big74] N. Biggs. Algebraic Graph Theory, volume 67 ofCambridge Tracts in Mathe-matics. Cambridge University Press, 1974.30

[BLW76] N.L. Biggs, E.K. Lloyd, and R.J. Wilson.Graph Theory 17361936. ClaredonPress, Oxford, 1976. [Histria da Teoria dos Grafos, com reproduo de artigosclssicos].5

[BM76] J.A. Bondy and U.S.R. Murty. Graph Theory with Applications. Macmil-lan/Elsevier, 1976. Internet: http://www.ecp6.jussieu.fr/pageperso/bondy/books/gtwa/gtwa.html .5,33,47

[Bol98] B. Bollobs. Modern Graph Theory, volume 184 ofGraduate Texts in Mathe-matics. Springer, 1998.5

[Chv83] V. Chvtal. Linear Programming. W.H. Freeman, 1983.42

[Die00] R. Diestel. Graph Theory, volume 173 ofGraduate Texts in Mathematics.Springer, second edition, 2000. Internet: http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/index.html .5,46,47

[GJ79] M.R. Garey and D.S. Johnson. Computers and Intractability: a Guide to theTheory of NP-Completeness. W.H. Freeman, 1979.5,13,28,36,53

[Har92] D. Harel. Algorithmics: The Spirit of Computing. Addison-Wesley, second

edition, 1992.5,13,28,36,53[Lov93] L. Lovsz. Combinatorial Problems and Exercises. North-Holland, second

edition, 1993.5

[LP86] L. Lovsz and M.D. Plummer. Matching Theory, volume 29 ofAnnals ofDiscrete Mathematics. North-Holland, 1986.5,42,46,47

[Luc79] C.L. Lucchesi. Introduo Teoria dos Grafos. 12o. Colquio Brasileiro deMatemtica. IMPA (Instituto de Matemtica Pura e Aplicada), 1979.5

57
http://www.ecp6.jussieu.fr/pageperso/bondy/books/gtwa/gtwa.htmlhttp://www.ecp6.jussieu.fr/pageperso/bondy/books/gtwa/gtwa.htmlhttp://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/index.htmlhttp://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/index.htmlhttp://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/index.htmlhttp://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/index.htmlhttp://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/index.htmlhttp://www.ecp6.jussieu.fr/pageperso/bondy/books/gtwa/gtwa.htmlhttp://www.ecp6.jussieu.fr/pageperso/bondy/books/gtwa/gtwa.html


58/61

58 BIBLIOGRAFIA

[Sch03] A. Schrijver. Combinatorial Optimization: Polyhedra and Efficiency. Num-ber 24 in Algorithms and Combinatorics. Springer, 2003. [Three volumes].24

[Sip97] M. Sipser. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing, 1997.Internet: http://www-math.mit.edu/~sipser/book.html.5,13,28,36,53

[Wil79] R.J. Wilson. Introduction to Graph Theory. Academic Press, second edition,1979.5
http://www-math.mit.edu/~sipser/book.htmlhttp://www-math.mit.edu/~sipser/book.html


59/61

ndice Remissivo

V(2) ,8V(G) ,9A(G) ,9n(G) ,9m(G) ,9Kn ,9

Kp,q ,11(X) ,14(v) ,14G(n) ,19(X) ,14(X) ,14g(v) ,14(G) ,14(G) ,14G ,9G[X] ,17

G v ,17G X,17G a ,17G + uv ,17 ,20 ,37,27,45 ,26 ,29 ,48

i(G) ,44x ,18x ,22X Y,50A,6 ,20 ,37adjacentes

arestas,12,37vrtices,8

alcanos,11

aleatrio,19aresta,8arestas

adjacentes,12,37independentes,37paralelas,8

rvore,18automorfismo,13autovalor,30

,27Bell,36Berge,46

bicolorao,33bicolorvel,33bipartio

de grafo,34bipartido,34

completo,11bispo do xadrez,9boa caracterizao,34,41,45,50Bollobs,36Brooks,31

caminho,16mpar,16par,16

Catlin,32cavalo do xadrez,9

certificado,28,34,36,44ciclo,16circuito,16

mpar,16,33par,16

clique,26mxima,26,32

cobertura,27mnima,27,39

cociclo,14cofronteira,14

59


60/61

60 NDICE REMISSIVO

coloraode arestas,48de vrtices,29mnima,29,48

colorvel,29comparabilidade,12complemento,9completo,9componente,18

conexo,18mpar,44

comprimentode caminho,16de circuito,16

conexo,17conjunto

completo,26estvel,20

maximal,20mximo,20

independente,20cor,29,48

ausente,51presente,51

corte,14cubo,10

D,6DD,6(G) ,14(G) ,14dama do xadrez,9diferena simtrica,50Dilworth,33

Egervry,42emparelhamento,37

que satura,38maximal,37mximo,37perfeito,38

espaodos ciclos,17dos cociclos,15dos cortes,15

estvel,20maximal,20mximo,20

extremosde caminho,16

F,6

floresta,17

g(v) ,14(X) ,14(v) ,14G(n) ,19grade,10grafo,8

aleatrio,19bicolorvel,33bipartido,34

bipartido completo,11complementar,9completo,9da dama,9da torre,9das arestas,12das palavras,10de Catlin,32de comparabilidade,12de Grtzsch,33de intervalos,12

de matriz simtrica,10de Mycielski,33de Petersen,11de Turn,23do bispo,9do cavalo,9do rei,9dos estados,10grade,10planar,12regular,14

simples,8vazio,9grau,14

mximo,14mnimo,14

Grtzsch,33grupo,13

Hall,40hexgono,16hidrocarbonetos,11


61/61

NDICE REMISSIVO 61

i(G) ,44incide,8independente,37ndice

cromtico ( ),48de estabilidade (),20

intervalos,12isomorfismo

paulo feofiloff - uma introdução sucinta à teoria dos grafos

Documents