(parte i) capítulo 7 sinais e ruídos em sistemas de medição · efeitos de ruído e...

08/04/2016

1

(parte I)Instrumentação eletrônica para sistemas de medição

Capítulo 7Sinais e ruídos em sistemas de

medição

Prof. Lélio R. Soares Júnior – ENE – FT – UnB

Sinais e ruídos em sistemas de medição

Introdução

• Sinal determinístico – o valor do sinal em qualquer instante futuro de tempo pode ser previsto exatamente

• Sinal aleatório – não é possível prever exatamente o valor em qualquer instante futuro de tempo

08/04/2016

2


Introdução

Sinal aleatório pode ter seu comportamento estimado a partir das quantidades estatísticas:

• Valor médio (média)• Desvio padrão• Função densidade de probabilidade• Densidade espectral de potência• Função de autocorrelação


Introdução

Flutuaçãoes aleatórias na variável sendo medida causam flutuações aleatórias no valor medido na saída do sistema de medição

Sinais elétricos indesejados também podem estar presentes nos circuitos do sistema de medição (devido a fontes internas e/ou externas) – podem ser deterministicos ou aleatórios:

• Determinísticos → Sinais de interferência• Aleatórios → Sinais de ruído

08/04/2016

3


Representação estatística de sinais aleatórios

Amostragem de um sinal aleatório y(t) ao longo de um intervalo de tempo T0.

• ∆T=T0/N deve satisfazer o Teorema de amostragem de Nyquist

• A partir das amostras, quantidades estatísticas são obtidas e poderão caracterizar o comportamento de y(t) para além do intervalo T0, contanto que:

1. T0 é muito longo, ou seja, N é suficientemente grande2. O sinal é estacionário (o comportamento estatístico não muda

ao longo do tempo)


Valor médio (Média): ӯ

Para sinal discreto (amostrado) no tempo:

Para sinal contínuo no tempo :


08/04/2016

4


Desvio padrão: σ (mede o espalhamento das amostras em relação ao valor

médio ӯ) → σ2 é a variância

Para sinal discreto (amostrado) no tempo:

Para sinal contínuo no tempo :

No caso de ӯ=0, o desvio padrão de y é o valor quadrático médio (RMS):

ou



Função densidade de probabilidade: p(y) – É uma função da variável y(t)

m seções e N

amostras

nj ocorrências de amostras na seção j (com j=1,2, ...,m)

Probabilidade de se ter amostras na j-ésima seção: N

nP

j

j =


08/04/2016

5


Probabilidade acumulativa, Cj – é a probabilidade total de que as amostras estejam nas primeiras j seções.



Cj com j = m:

No limite, com ∆y → 0, Cj tende a uma função contínua: Função de distribuição de probabilidade acumulativa, P(y)


Função densidade de probabilidade

08/04/2016

6


Probabilidade do sinal de estar entre y e y+∆y:

Probabilidade do sinal de estar entre y1 e y2:

Área total abaixo de p(y) é unitária.

A função densidade de probabilidade normal (gaussiana)normalmente descreve bem a distribuição de amplitude de sinais de ruído aleatório:



Ex: Função densidade de probabilidade normal com média nula

Para uma variável

aleatória x(t)com distribuição

normal:


08/04/2016

7


Densidade espectral de potência: ϕ(ω) – É uma quantidadade estacionária que indica como a potência é distribuida ao longo das componentes de frequência do sinal aleatório.

Diferentes, mas as potências médias dos trechos de sinal praticamente são iguais

Repete-se o primeiro trecho para uma aproximação periódica



Condições para a aproximação:

a) No limite, T0 é altob) Este trecho é usado para calcular a potência média do sinal


T=T0

y(t)

y(t)

Pode-se calcular a série de Fourier do sinal:

08/04/2016

8


Usando as amostras yi de y(t):

Se a compontente ancos(nω1t) for aplicada em um resistor de 1Ω a potência instantânea no tempo t vale

an2cos2(nω1t)

E a potência média ao longo do período T0 vale an2/2



Se a compontente bnsen(nω1t) for aplicada em um resistor de 1Ω a potência instantânea no tempo t vale

bn2sen2(nω1t)

E a potência média ao longo do período T0 vale bn2/2

A potência da n-ésima harmônica na frequência nω1 será

• Espectro de potência do sinal• A partir de ωMAX desprezam-se as

demais componentes de potência


08/04/2016

9


A potência acumulada, Wn , é a potência total em um resistor de 1Ωdevido às n primeiras componentes harmônicas do sinal e à componente DC a0



No limite, quando T0 → ∞, ω1 → 0 e Wn se torna contínuo e é chamado de Função de potência acumulada W(ω)

A função densidade espectral de potência, ϕ(ω), é dada como a derivada de W(ω)

A unidade de ϕ(ω) é dada em Watt.s.rad-1, ou Watt/Hz


08/04/2016

10


A potência produzida em um resistor de 1Ω devido às componentes de frequência entre ω e ω+∆ω é dada por

A potência devida às componentes de frequência entre ω1 e ω2 é dada por

Logo



Ruídos produzidos internamente em circuitos elétricos frequentemente são considerados brancos (função densidade espectral de potência constante para todo ω)

Uma outra representação de ruídos ou sinais medidos pode ser dada pelo ruído branco de banda limitada (“ruído colorido”)


08/04/2016

11

Função de autocorrelação: Ryy(β)


Correlacionador

Atraso variável no

tempo

Multiplicador

média

Filtro de média medidor

Para um dado β, Ryy é o coeficiente de autocorrelação e Ryy (β) a função de autocorrelação.

Ryy (β) é máximo quando β=0




Para um sinal contínuo y(t), definido em um intervalo T0 tem-se

Ex: Se

Obs. Se perdeu a informação de fase.

08/04/2016

12



Um sinal aleatório pode ser dado por um conjunto de N amostras yi, dado um certo intervalo de amostragem ∆T

Coeficiente de correlação para sinais amostrados

Onde:yi é a amostra correspondente ao instante i∆T

yi-m é a amostra correspondente ao instante (i-m)∆T


Avaliação do coeficiente de autocorrelação Ryy (3∆T)


08/04/2016

13



Relação entre densidade espectral de potência e função de autocorrelação

Seja o sinal periódico

Logo

com período 2π/ω1 em β

Síntese de Fourier

Análise de Fourier



Relação entre Ryy (β) e ϕ(ω) ( Relações Wiener-Khinchin)

08/04/2016

14



Para um ruído branco com banda limitada

Lóbulo central com largura

2π/ωC

Sinal aleatório com variações rápidas → ϕ(ω) largo e Ryy (β) estreito Sinal aleatório com variações lentas → ϕ(ω) estreito e Ryy (β) largo



Especificações de um sinal aleatório em termos do comportamento da amplitude:

• função densidade de probabilidade; ou• valor médio (média) e desvio padrão.

Especificações de um sinal aleatório em termos do comportamento frequência/tempo:

• densidade espectral de potência; ou• função de autocorrelação.

Apenas em termos

numéricosDado o valor Ryy (0) tem-se

08/04/2016

15


Efeitos de ruído e interferência em circuitos de medição

Transferência de um sinal de tensão entre elementos elétricos distantes:• Interferência no modo série

Com ZL >> ZTh+RC

causará erro de mediçãoThévenin



Relação sinal-ruído ou sinal-interferência, S/N, em dB:

valores eficazes potências

08/04/2016

16



Transferência de um sinal de corrente entre elementos elétricos distantes:• Interferência no modo série

causará erro de mediçãoNorton

Interferência de corrente



Com ZN >> ZL+RC

Como normalmente ZL/ZN<<1, a transmissão de sinal na forma de corrente é bem mais adequada que a transmissão de sinal na forma de tensão, dada uma interferência série.

08/04/2016

17



Transferência de um sinal de tensão entre elementos elétricos distantes:• Interferência de modo comum

Dessa forma VCM pouco influenciará VL

Com ZL >> ZTh+RC


Fontes de ruído e mecanismos de acoplamento

Fontes internas de ruído:

Ruido térmico (ruído de Johnson): Tensão aleatória que surge devido ao movimento aleatório (por agitação térmica) de portadores de carga em condutores (resistores e semicondutores)

Possui densidade espectral de potência constante (ruído branco) mas dependende da temperatura absoluta θ do condutor

R → resistência ôhmica do condutor (Ω)k → constante de Boltzmann (1.4x10-23JK-1)

Potência total entre as frequências f1 e f2:

Correspondente tensão RMS: (Watts)

08/04/2016

18

Ex: R = 106Ω, f2-f1 = 106Hz e θ = 300K, tem-se VRMS=130µV

Valor não desprezível em diversas situações

Ruido balístico (shot noise): flutuações aleatórias na taxa de difusão de portadores de carga em junções semicondutoras (transistores).

Também possui densidade espectral de potência praticamente constante sobre uma larga faixa de frequências (ruído branco)



Fontes externas de ruído e fontes de interferência:

Fonte mais comum: rede de alimentação elétrica (ruído “senoidal” a 60Hz)

Circuitos de potência DC não são prováveis fontes de interferência devido à falta de acoplamento capacitivo e indutivo.

Chaveamento de circuitos de potência DC ou AC (alterações de carga na rede) causam transientes em sistemas de medição.

Ionização do ar devido a altas tensões (AC ou DC) pode ocorrer e as descargas (efeito corona) podem interferir em sistemas de medição.

Em lâmpadas fluorencentes ocorrerem arcos elétricos duas vezes por ciclo da rede e causam interferências.

Outros: equipamentos de soldagem, transmissores de RF, etc.



08/04/2016

19

Mecanismos de acoplamento de fontes externas de ruído e interferência:

Acoplamento indutivo (eletromagnético)



Circuito de medição

Circuito vizinho

Indutância mútua

(parasita)

Tensão de interferência no

modo série:

M depende da geometria dos dois circuitos e na

prática é distribuida e não concentrada

(aproximação)

Acoplamento capacitivo (eletrostático)



4 capacitâncias parasitas

Na prática as capacitâncias são distribuidas e não

concentradas (aproximação)

08/04/2016

20



Se forem consideradas apenas as linhas de sinal do circuito de medição, temos divisores capacitivos de tensão:

Aparecem tensões no modo série (VSM=VB-VE) e no modo comum (VCM=VE)

Haveria balanço (VSM=0) se C1=C2 e C1E=C2E. O que não ocorre na prática



Terras múltiplos:

• No plano de terra o potencial não permanece nulo para todos os pontos• Altas correntes passando pelo plano do terra (devido a cargas de alta

potência) podem causar potenciais distintos em pontos distintos ao longo do caminho de terra.

Fontes de

tensão de

interferência

podem

aparecer nos

modos série

e comum

referência

08/04/2016

21



• Se o circuito de medição estiver isolado do terra e RL>>RC+RTh, VL≈ETh

• Se existirem os caminhos de ligação ZSE e ZRE e a diferença de potencial VE entre os pontos de terra

Potencial em PPotencial em Q e RPotencial em S

Tensão de interferência de modo comum



Tensão sobre RL:(assumindo RL>>RC+RTh tem-se aproximadamente a seguinte relação

Tensão de interferência de

modo série

Para iE ser o menor possível, ZSE e ZRE devem ter os maiores valores possíveis

Se o circuito de medição necessitar ser aterrado, isso deve ocorrer em apenas um ponto.

08/04/2016

22


Métodos para redução de efeitos de ruídos e interferências

a) Separação física: diminui os acoplamentos capacitivos e indutâncias mútuas.

b) Proteção eletromagnética: par trançado para diminuir efeitos de campos magnéticos. Tensões induzidas nos laços j e j+1 (VXY e VYZ) têm mesmo módulo e sinais opostos (|VXY| = |VYZ|). Eles se cancelam.



c) Escudo (blindagem) eletrostático: diminui influência do acoplamento capacitivo.

Situação ideal

Retirar ponto

08/04/2016

23



• Sistema de medição acomodado no interior de um escudo metálico, aterrado diretamente em apenas um único ponto. Circuito de medição isolado do escudo.

• Em uma situação prática, a fonte e/ou carga podem estar aterrados



Situação prática

ZL altaZTh baixa

08/04/2016

24



Situação prática



Solução:

Interferência de modo série (entre P e S):

Interferência de modo comum (entre S e T):

08/04/2016

25



Para diminuir VSM e VCM, o seguinte produto deve ser aumentado

Na prática ZE, ZS e RC/2 são pequenos, então deve-se aumentar

Na prática não se pode ter ZSU e ZST altos, ou até ambos são baixos (o escudo ou caixa de blindagem deve ser aterrada)



Condições para

que é satisfeito por

É impossível ter a blindagem completamente isolada do circuito de medição, ou seja, ZSS e ZRS altos, assim pode-se tentar fazer:

08/04/2016

26



d) Uso de amplificadores de diferença: rejeitar interferências de modo comum.

Para um amplificador de diferença:



Se V2=0 e V1=ETh,VOUT = -(RF/R1)ETh

Se V2=VCM e V1=Eth+VCM,VOUT = -(RF/R1)ETh

08/04/2016

27

e) Filtragem: usado quando o espectro de potência do sinal medido ocupa uma faixa distinta do sinal de ruído ou interferência.



No caso de filtragem analógica o filtro é incorporado ao elemento condicionador de sinal. Já no caso de filtragem digital, o filtro é incorporado ao elemento de processamento de sinal.



Na banda passante espera-se |G(jω)|=1 e ∟G(jω)=00

08/04/2016

28



No caso de sobreposição dos espectros os filtros são pouco eficazes.

f) Modulação: Deslocar o espectro do sinal medido



50

Filtro passa-faixa

08/04/2016

29



Relembrando:

Transformada de Fourier de g(t): ∫+∞

∞−

−==ℑ dtetgGtgtjωω )()()(

Convolução entre as funções f(x) e g(x):

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−−=−= duuguxfduuxgufxgxf )()()()()(*)(

Propriedade da transformada de Fourier do produto entre f(t) e g(t):

)(*)(2

1)()( ωω

πGFtgtf =ℑ

Propriedade da convolução de uma função com o impulso unitário:

)()()(

)()()(*)(

000

00

xxfduuxxxxf

duuxxufxxxf

−=−−−=

=−−=−

∫

∫∞+

∞−

+∞

∞−

δ

δδ



( ) ( ) tFttf00

cos)(2

1cos)( ωω

πω ℑ∗↔

)()()cos(000

ωωδωωδπω ++−=ℑ t

( ) )()(2

1cos)(

000ωωωωω ++−↔ FFttf

convolução

2 impulsos

Demodulação: nova multiplicação por cos(ω0t) e filtragem por filtro passa-baixas ou deteção de pico.

( ) [ ] [ ])2cos()()(2

1)2cos(1)(

2

1cos)(

000

2 ttftfttfttf ωωω +=+=

a ser atenuado com filtro passa-baixas

08/04/2016

30

g) Filtro de média: para sinais medidos com comportamento repetitivo.





De cada seção se obtêm N amostras do sinal repetitivo. Os inícios das seções estão sincronizadas entre si, em relação ao sinal

repetitivo.

08/04/2016

31



Média das i-ésimas amostras das várias seções:

• Os valores A, B, C, .... são praticamente iguais, assim Zterá a mesma magnitude desses valores.

• Os valores A´, B´, C´, .... são bem distintos (positivos ou negativos), assim Z´ tenderá a ter magnitude menor que esses valores.

• Há uma melhora na relação sinal/ruído



Seja um ruído com distribuição normal. Suponha que temos p sinais, y1(t) a yp(t), com distribuição normal com desvios padrão de σ1 a σp , respectivamente:

O sinal de média

Também é normal com desvio padrão

Se σ1= σ2=...= σp então

08/04/2016

32

h) Autocorrelação: detecção de sinais periódicos escondidos em meio a sinais (ruidos) aleatórios.

Não se recupera o sinal original (devido à perda de informação de fase), mas pode-se determinar a amplitude e a frequência do sinal original.

Ex: sinal senoidal contaminado por ruído.





Assumindo que o sinal e o ruído não são correlacionados

Seja o sinal senoidal de amplitude b, frequência ω1 e fase ϕ, e ruído aleatório de faixa limitada (ruido colorido limitado em ωC).

Para altos valores de β o segundo termo tende a zero, sobrando o primeiro termo e permitindo a determinação b e de ω1.

08/04/2016

33



(parte i) capítulo 7 sinais e ruídos em sistemas de medição · efeitos de ruído e...

Documents