paralelas

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O cetem bruxove fia? Paralelismo de duas retas no plano Sejam duas retas r e s pertencentes a um plano A. Diz-se que r é paralela a s (r//s) se, e somente se, r e s são coincidentes (r=s) ou se a intersecção de r e s é um conjunto vazio, ou seja, elas não possuem pontos comuns. Teorema das retas paralelas " Se duas retas coplanares e distintas r e s, e uma transversal t, determinam um par de ângulos alternos congruentes, então r é paralela a s." Demonstração: Hipótese: r, s, t pertencem ao plano A, com r distinta de s, e os ângulos â = ê, então: Tese: r // s Se r e s não fossem paralelas, então existiria um ponto P comum, r intersecção s. Considerando agora os pontos A e B, respectivamente intersecções das retas r e s com a transversal t, teríamos o triângulo ABP. De acordo com o teorema do ângulo externo, teríamos â > ê, ou ê > â, se o ponto P estivesse no semi-plano oposto ao determinado pela transversal t. O que é um absurdo de acordo com a hipótese, â = ê. Logo, r é paralela a s, ou r // s. O recíproco desse teorema, ou seja, se r // s, então â = ê, pode ser provado de maneira análoga ao anterior, buscando uma contradição com o postulado das paralelas (ou postulado de Euclides), que afirma que “por um ponto P qualquer passa uma única reta paralela a uma reta dada.” Paralelismo de retas no espaço

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Linhas Paralelas e tipos de paralelismo

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Page 1: Paralelas

O cetem bruxove fia?

Paralelismo de duas retas no plano

Sejam duas retas r e s pertencentes a um plano A. Diz-se que r é paralela a s (r//s)

se, e somente se, r e s são coincidentes (r=s) ou se a intersecção de r e s é um

conjunto vazio, ou seja, elas não possuem pontos comuns.

Teorema das retas paralelas

" Se duas retas coplanares e distintas r e s, e uma transversal t, determinam

um par de ângulos alternos congruentes, então r é paralela a s."

Demonstração:

Hipótese: r, s, t pertencem ao plano A, com r distinta de s, e os ângulos â = ê,

então:

Tese: r // s

Se r e s não fossem paralelas, então existiria um ponto P comum, r intersecção s.

Considerando agora os pontos A e B, respectivamente intersecções das retas r e s

com a transversal t, teríamos o triângulo ABP.

De acordo com o teorema do ângulo externo, teríamos â > ê, ou ê > â, se o

ponto P estivesse no semi-plano oposto ao determinado pela transversal t. O que é

um absurdo de acordo com a hipótese, â = ê.

Logo, r é paralela a s, ou r // s.

O recíproco desse teorema, ou seja, se r // s, então â = ê, pode ser provado de

maneira análoga ao anterior, buscando uma contradição com o postulado das

paralelas (ou postulado de Euclides), que afirma que “por um ponto P qualquer

passa uma única reta paralela a uma reta dada.”

Paralelismo de retas no espaço

No espaço, duas retas são paralelas que existe um plano que as contém, e se

essas retas não se tocam. Assim sendo elas estão na mesma direção mesmo que

estejam em sentidos opostos.

Ex: Os fios de um torre de transmissão de energia, eles estão na mesma direção e

sentido mas jamais se tocam (nem se aproximam nem se afastam).

Page 2: Paralelas

Paralelismo de uma reta e de um plano no espaço

No espaço, uma reta e um plano são paralelos se não se intersectam, ou se o

plano contém a reta.

Paralelismo de planos no espaço

No espaço, dois planos são paralelos se não se intersectam, ou seja que não

possuem ponto em comum ou são coincidentes(iguais).

Unicidade da paralela

Por um ponto passa uma única reta paralela a uma outra reta dada.