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  • 25/03/2015 ParadoxodeBanachTarskiWikipdia,aenciclopdialivre

    http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_de_Banach%E2%80%93Tarski 1/2

    O"paradoxo"deBanachTarski:Umaesferapodeserdecompostaerecompostaemduasesferascadaumadomesmotamanhodaoriginal.

    ParadoxodeBanachTarskiOrigem:Wikipdia,aenciclopdialivre.

    OteoremadeBanachTarskiestabelecequepossveldividirumaesferaslidaemumnmerofinitodepedaos(emumcasoparticularRaphaelM.Robinsondividiuemexatamentecincopedaos),ecomestespedaosconstruirduasesferas,domesmotamanhodaoriginal.consideradoumparadoxoporserumresultadocontraintuitivo,masnoporsercontraditrioouporintroduzircontradies.

    Oteoremapodesergeneralizadoparaquaisquerregiesdoespaoquesejamlimitadasequetenhamuminterior,ou,maisespecificamente:

    SejamXeYdoissubconjuntosde quesolimitadosecujointeriornovazio.EntopossveldecomporXeYempartiesfinitas{X ,X ,...X }e{Y ,Y ...Y },talquecadaX congruenteacadaY

    Naturalmentenopossvelcortardestaformaumaesferareal,comoumalaranja,comumafacareal.Tratasedeumaabstraomatemtica.Ademonstraoprovaaexistnciatericadeumaformaderepartiraesferacomestascaractersticas.Nohumaprovaconstrutivista,isto,quedescrevaamaneirapelaqualaesferadeveserrepartida.Ademonstraofazusodoaxiomadaescolha.

    BanacheTarskipropuseramesteparadoxocomoumaevidnciaparaserejeitaroaxiomadaescolha,masosmatemticosapenasconsideramqueoaxiomadaescolhatemconseqnciasbizarrasecontraintuitivas.

    Esboodademonstrao

    Ademonstraosebaseianaconstruodeduasmatrizes3x3.Umadestasmatrizes,umarotaode120 emtornodoeixoz,eaoutramatriz,,correspondereflexosobreoplanoxzseguidadeumarotaodeumnguloemtornodoeixoy.Aprimeiramatriztalqueseucuboamatrizidentidade,easegundatalqueseuquadradoaidentidade.Assim,cadaelementodogrupogeradoporestasduasmatrizespodeserescritocomoumasequnciafinitadeprodutosdasegundamatrizpelaprimeiramatriz()oupeloquadradodaprimeiramatriz( ). Casoongulosejatalqueseucossenosejaumnmerotranscendente,entoarepresentaodecadaelementodestegruponica.

    EstegrupodematrizesGpodeserdecompostoemtrsconjuntos,G ,G eG ,comapropriedadequegumelementodeG se,esomentese,gumelementodeG e gumelementodeG .Estesconjuntos,quesocompostosderotaesereflexes,portantotransformamumconjuntodepontosemoutroconjuntocongruente,sousadosparadecomporumaesferaemumapartio{P,S ,S ,S },emquePumconjuntoenumerveleasoutrasparcelasserelacionamatravsdarotaoedamatriz:

    1 2 n 1 2 n ii1

    o

    2 12

    1 2 31 2

    23

    1 2 32

  • 25/03/2015 ParadoxodeBanachTarskiWikipdia,aenciclopdialivre

    http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_de_Banach%E2%80%93Tarski 2/2

    Estadecomposiofazsedefinindoseclassesdeequivalnciaentreoselementosdaesfera(excluindooconjuntoenumervelP)comox~yquandoexistealgumelementogdogrupodematrizestalqueg(x)=y,eescolhendoseoconjuntoCcomumelementodecadaclassedeequivalncia.Estepassorequerusodoaxiomadaescolha.CadaconjuntoS obtidoapartirdeCatravsdeelementosdosconjuntosdematrizesG ,ouseja,

    Referncias1. GaryL.WiseeEricB.Hall,CounterexamplesinProbabilityandRealAnalysis,6.ProductSpaces,Example

    6.1,p.121[emlinha](http://books.google.com.br/books?id=CPRCD_XLVIwC&pg=PA121&f=false)2. GaryL.WiseeEricB.Hall,CounterexamplesinProbabilityandRealAnalysis,6.ProductSpaces,Example

    6.1,p.1223. GaryL.WiseeEricB.Hall,CounterexamplesinProbabilityandRealAnalysis,6.ProductSpaces,Example

    6.1,p.123

    Obtidade"http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Paradoxo_de_BanachTarski&oldid=38479680"

    Categorias: Teoremasdematemtica Paradoxos

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