25/03/2015 ParadoxodeBanachTarskiWikipdia,aenciclopdialivre

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O"paradoxo"deBanachTarski:Umaesferapodeserdecompostaerecompostaemduasesferascadaumadomesmotamanhodaoriginal.

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OteoremadeBanachTarskiestabelecequepossveldividirumaesferaslidaemumnmerofinitodepedaos(emumcasoparticularRaphaelM.Robinsondividiuemexatamentecincopedaos),ecomestespedaosconstruirduasesferas,domesmotamanhodaoriginal.consideradoumparadoxoporserumresultadocontraintuitivo,masnoporsercontraditrioouporintroduzircontradies.

Oteoremapodesergeneralizadoparaquaisquerregiesdoespaoquesejamlimitadasequetenhamuminterior,ou,maisespecificamente:

SejamXeYdoissubconjuntosde quesolimitadosecujointeriornovazio.EntopossveldecomporXeYempartiesfinitas{X ,X ,...X }e{Y ,Y ...Y },talquecadaX congruenteacadaY

Naturalmentenopossvelcortardestaformaumaesferareal,comoumalaranja,comumafacareal.Tratasedeumaabstraomatemtica.Ademonstraoprovaaexistnciatericadeumaformaderepartiraesferacomestascaractersticas.Nohumaprovaconstrutivista,isto,quedescrevaamaneirapelaqualaesferadeveserrepartida.Ademonstraofazusodoaxiomadaescolha.

BanacheTarskipropuseramesteparadoxocomoumaevidnciaparaserejeitaroaxiomadaescolha,masosmatemticosapenasconsideramqueoaxiomadaescolhatemconseqnciasbizarrasecontraintuitivas.

Esboodademonstrao

Ademonstraosebaseianaconstruodeduasmatrizes3x3.Umadestasmatrizes,umarotaode120 emtornodoeixoz,eaoutramatriz,,correspondereflexosobreoplanoxzseguidadeumarotaodeumnguloemtornodoeixoy.Aprimeiramatriztalqueseucuboamatrizidentidade,easegundatalqueseuquadradoaidentidade.Assim,cadaelementodogrupogeradoporestasduasmatrizespodeserescritocomoumasequnciafinitadeprodutosdasegundamatrizpelaprimeiramatriz()oupeloquadradodaprimeiramatriz( ). Casoongulosejatalqueseucossenosejaumnmerotranscendente,entoarepresentaodecadaelementodestegruponica.

EstegrupodematrizesGpodeserdecompostoemtrsconjuntos,G ,G eG ,comapropriedadequegumelementodeG se,esomentese,gumelementodeG e gumelementodeG .Estesconjuntos,quesocompostosderotaesereflexes,portantotransformamumconjuntodepontosemoutroconjuntocongruente,sousadosparadecomporumaesferaemumapartio{P,S ,S ,S },emquePumconjuntoenumerveleasoutrasparcelasserelacionamatravsdarotaoedamatriz:

1 2 n 1 2 n ii1

o

2 12

1 2 31 2

23

1 2 32

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Estadecomposiofazsedefinindoseclassesdeequivalnciaentreoselementosdaesfera(excluindooconjuntoenumervelP)comox~yquandoexistealgumelementogdogrupodematrizestalqueg(x)=y,eescolhendoseoconjuntoCcomumelementodecadaclassedeequivalncia.Estepassorequerusodoaxiomadaescolha.CadaconjuntoS obtidoapartirdeCatravsdeelementosdosconjuntosdematrizesG ,ouseja,

Referncias1. GaryL.WiseeEricB.Hall,CounterexamplesinProbabilityandRealAnalysis,6.ProductSpaces,Example

6.1,p.121[emlinha](http://books.google.com.br/books?id=CPRCD_XLVIwC&pg=PA121&f=false)2. GaryL.WiseeEricB.Hall,CounterexamplesinProbabilityandRealAnalysis,6.ProductSpaces,Example

6.1,p.1223. GaryL.WiseeEricB.Hall,CounterexamplesinProbabilityandRealAnalysis,6.ProductSpaces,Example

6.1,p.123

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Categorias: Teoremasdematemtica Paradoxos

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