par ordenado 2 -...

MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES e FUNÇÕES

PAR ORDENADO ........................................................................ 2

PRODUTO CARTESIANO ........................................................... 3

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA .................................................... 4

RELAÇÃO .................................................................................... 8

DOMÍNIO E IMAGEM ................................................................. 12

CONTRA-DOMÍNIO ................................................................... 13

RELAÇÃO INVERSA ................................................................. 17

PROPRIEDADES DA RELAÇÃO INVERSA .............................. 18

FUNÇÕES .................................................................................. 22

IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ...................................................... 27

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO..................................................... 34

DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO .................................................. 34

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO .................................................... 37

FUNÇÃO CONSTANTE ............................................................. 43

RESPOSTAS ............................................................................. 44

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 51

No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.

CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

PAR ORDENADO

Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Assim, {1; 2}, {7, -3} ou {a, b} indicam pares. Lembrando o conceito de igualdade de conjuntos, observamos que inverter os elementos não gera um par diferente, assim, temos:

{1, 2} = {2, 1}

{7, −3} = {−3. 7}

{𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎}

Em matemática, existem situações em que há a necessidade de distinguir dois pares pela ordem de seus elementos.

Ex.1: Imaginemos que o time de futebol da escola será formada por 10 atletas (titulares e reservas) escolhidos entre os alunos do 1º e 2º anos. Podemos indicar a quantidade de alunos escolhidos de cada série no seguinte esquema: anotamos entre parênteses primeiro o número de alunos selecionados no 1º ano e depois o do 2º ano.

Então (3, 7) indicará que foram escolhidos 3 alunos do 1ºano e 7 do 2º ano e (7, 3) nos dirá que 7 alunos são do 1º ano e 3 são oriundos do 3º ano. (5, 5) indicaria, por exemplo, que foram escolhidos 5 alunos de cada série, etc. Observamos, neste caso, que (3, 7) e (7, 3) representam dois modos diferentes de selecionar os alunos para o time de futebol. Em (7, 3) e (3, 7) temos as mesmas quantidades, porém em ordens diferentes. Por isso, dizemos

que (7, 3) e (3, 7) são dois PARES ORDENADOS diferentes. Ex.2: No sistema de equações

x y 3

x y 1

𝑥 = 2 e 𝑦 = 1 é a solução ao passo que 𝑥 = 1 e 𝑦 = 2 não é solução.

Se representássemos por um conjunto,

teríamos: { 2, 1} é solução e {1, 2} não seria solução e aí há uma contradição pois {2, 1} = {1, 2}. Por causa disso, dizemos que a solução é o PAR ORDENADO (2, 1) em que fica subentendido que o primeiro valor se refere à incógnita x e o segundo é referente à incógnita y.

Admitiremos a noção de PAR ORDENADO como conceito primitivo. Podemos formar a idéia de par ordenado, imaginando-o como um conjunto de dois elementos considerando-os numa dada ordem. Para lembrar que a ordem está sendo considerada, na representação do par ordenado, utilizamos parênteses e não chaves como nos conjuntos em geral e para cada

elemento 𝑎 e cada elemento 𝑏, admitiremos a existência de um terceiro elemento (𝑎, 𝑏) que denominamos par ordenado, de modo que se tenha:

(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) 𝑎 = 𝑐 𝑒 𝑏 = 𝑑

Ou seja, impomos que dois pares

ordenados são iguais se, e somente se, tiverem os primeiros termos iguais entre si e os segundos termos também iguais entre si. Veja, a seguir, alguns exemplos:


Ex.1: (𝑎, 𝑏) = (3, 7) 𝑎 = 3 𝑒 𝑏 = 7

Ex.2: (𝑎, 𝑏) = (7, 3) 𝑎 = 7 𝑒 𝑏 = 3

Ex.3: (𝑎, 𝑏) = (5, 5) 𝑎 = 5 𝑒 𝑏 = 5

Note que em um par ordenado,

podemos ter termos iguais.

PRODUTO CARTESIANO

Dados os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3} e 𝐵 = {1, 2, 3, 4}, vamos formar os pares

ordenados que têm o primeiro elemento em 𝐴 e o segundo elemento em 𝐵. Observe o esquema em que cada flecha representa um par:

Veja a mesma formação, agora numa tabela:

O conjunto formado pelos pares ordenados obtidos é denominado PRODUTO CARTESIANO DE A POR B e o indicamos por

𝐴 𝑥 𝐵 onde lemos “A cartesiano B”. Desta forma, temos então: A x B = {(1,1); (1, 2); (1 ,3); (1 ,4);(2 ,1); (2 ,2); (2 ,3); (2 ,4); (3 ,1); (3 ,2); (3 ,3); (3 , 4)}

De forma genérica, o produto cartesiano

de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é o conjunto 𝐴 𝑥 𝐵 formado pelos pares ordenados que trazem o

primeiro elemento extraído de 𝐴 e o segundo de 𝐵 ou:

𝑨 𝒙 𝑩 = {(𝒙, 𝒚) | 𝒙 𝑨 𝒆 𝒚 𝑩}

(Lemos: A cartesiano B é igual ao conjunto formado por pares ordenados x, y tal que x pertence a A e y pertence a B)

Observações:

1. Se 𝐴 𝐵 então 𝐴 𝑥 𝐵 𝐵 𝑥 𝐴, ou seja, o produto cartesiano não é comutativo

2. Se 𝐴 e 𝐵 são conjuntos finitos com 𝑚 e 𝑛 elementos respectivamente, então 𝐴 𝑥 𝐵 é um conjunto finito com 𝑚 ∙ 𝑛 elementos

3. Se 𝐴 ou 𝐵 for infinito e nenhum dos dois for vazio, então 𝐴 𝑥 𝐵 é um conjunto infinito.

Ex.1: Dados 𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖} e 𝐵 = {𝑝, 𝑞}, determinar: a) A X B b) B X A c) A2 d) B2 Solução: a) A X B = {(a, p); (a, q); (e, p); (e, q); (i, p); (i, q)}


b) B X A = {(p, a); (p, e); (p, i); (q, a); (q, e); (q, i)} c) A2 = A X A = {(a, a); (a, e); (a, i); (e, a); (e, e); (e, i); (i, a); (i, e); (i, i)} d) B2 = B X B = {(p, p); (p, q); (q, p); (q, q)}. Ex.2: Se A tem 4 elementos e B tem 9 elementos, quantos elementos tem: a) A X B b) B X A c) A2 d) B2 Solução: a) 4 9 36 elementos.

b) 9 4 36 elementos.

c) 4 4 16 elementos.

d) 9 9 81 elementos.

________________________

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

Pares ordenados de números reais

podem ser representados por pontos em um plano chamado de PLANO CARESIANO.

O Plano Cartesiano é determinado por

duas retas orientadas perpendiculares num ponto chamado de origem. Cada ponto deste plano será associado à um par ordenado (𝑎, 𝑏) de números reais da seguinte forma:

1. Sobre a reta horizontal, chamada de eixo

𝑂𝑋, marcamos o ponto referente ao número 𝑎.

2. Traçamos a reta 𝑦’ paralela à reta 𝑦 passando por 𝑎.

3. Sobre a reta vertical, chamada de eixo

𝑂𝑌, marcamos o ponto referente ao número 𝑏.

4. Traçamos a reta 𝑥’ paralela à reta 𝑥 passando por 𝑏.

5. O encontro entre 𝑥’ e 𝑦’ será o afixo do ponto 𝑃 de coordenadas (𝑎, 𝑏).

No plano cartesiano acima, temos:

O número 𝑎 é a abscissa do ponto 𝑃.

O número 𝑏 é a ordenada do ponto 𝑃.

O eixo 𝑂𝑋 é chamado de eixo das abscissas.

O eixo 𝑂𝑌 é chamado de eixo das ordenadas.

O ponto 𝑂 é a origem e tem coordenadas (𝟎, 𝟎).

A cada par de números reais fazemos

corresponder um único ponto do plano e a cada ponto do plano, fazemos corresponder um único par ordenado de números reais. Essa correspondência é denominada de Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais (ou simplesmente Sistema Cartesiano Ortogonal). Ortogonal porque os eixos formam entre si um ângulo de 90º e Cartesiano é homenagem à René Descartes, um matemático considerado o “pai da filosofia moderna”

Ex.: 1 Veja no plano cartesiano a seguir a localização de cada dos pontos abaixo: A (2, 4) B (-2, 3) C (-3, -3) D (1, -2) E (4, 0) F (0, 5) G (-2, 0) H (0, -4)


Ex.2: Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}. Faça A x B e a seguir represente os pares ordenados num sistema cartesiano ortogonal. Solução A x B = {(1,1); (1, 2); (1 ,3); (1 ,4);(2 ,1); (2 ,2); (2 ,3); (2 ,4); (3 ,1); (3 ,2); (3 ,3); (3 , 4)}

1) Represente corretamente no plano cartesiano abaixo, cada um dos pares ordenados a seguir: A (1, 1) D (-3, -2) G (0, -2) B (3, 2) E (1, -4) H (3, 0) C (-4, 5) F (0, 5) J (-4, 0)


2) Determine as coordenadas de cada dos pontos marcados no sistema abaixo.

A B

C D

E F

G H

J

3) Assim como na questão 160, localize os seis pontos abaixo no plano cartesiano.

L 5

3; 3

P 47 12

; -10 5

M 0,5; 4 Q 0; 10

N 3; - R 9 3

; 3 2

4) Sendo A = {1. 2. 3. 4. 5} e B = {3, 4, 5, 7}. Represente num sistema ortogonal o conjunto A x B.

___________________ Também podemos representar

graficamente produtos cartesianos formados a partir de conjuntos determinados por intervalos.

Ex.1: Sendo 𝐴 = {𝑥 ℝ | 1 < 𝑥 6 } e 𝐵 = {𝑦 ℝ | 2 𝑦 5 }, representar

graficamente 𝐴 𝑥 𝐵.


Ex.2: Sendo 𝐴 = {𝑥 ℝ | 1 𝑥 4 } e 𝐵 = {𝑦 ℝ | 𝑦 = 2 }, representar


Ex.3: Sendo 𝐴 = {𝑥 ℝ | 1 𝑥 4 } e

𝐵 = {𝑦 ℝ | 2 𝑦 4 }, representar


5) Sendo A = {x | 1 x 6 } e

B = {x | -2 x < 3 }, representar graficamente:

a) A x B.

b) B x A

c) A x A


RELAÇÃO

Quando começamos a falar de produto

cartesiano, citamos dois conjuntos, 𝐴 e 𝐵 e formamos 𝐴 𝑥 𝐵.

Naquele exemplo, tínhamos 𝐴 = {1, 2, 3} e 𝐵 = {1, 2, 3, 4} e o 𝐴 𝑥 𝐵

apresentava 12 elementos. Destes 12 elementos, vamos formar agora o conjunto R dos pares ordenados que têm o primeiro termo em A e o segundo termo em B tais que o 1º termo é menor que o 2º. Veja no diagrama a seguir como ficaria este conjunto.

𝑅 = {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3, 4)}

Este conjunto R, que é um subconjunto

de 𝐴 𝑥 𝐵, é exemplo de uma relação de 𝐴 em

𝐵.

De modo geral, denominamos relação

de 𝐴 em 𝐵 a todo subconjunto de 𝐴 𝑥 𝐵.

R é relação de A em B R A x B

Veja, agora, outros exemplos que ilustram relações.

Dados os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} e

𝐵 = {1, 3, 5, 7, 9}, determinar as relações de A em B:

a) S = {(x, y) A x B | x + y = 6}

b) M = {(x, y) A x B | xy 6} Solução: Em a), a relação S é formada pelos pares

ordenados (x, y) onde x A e y B, com a soma dos termos x + y = 6. Estes pares são (1, 5), (3, 3) e (5, 1), então,

S = {(1, 5), (3, 3), (5, 1)}

Pares com soma igual a 6

Em b), a relação M é formada pelos pares

ordenados (x, y) onde x A e y B, com o produto dos termo menor ou igual a 6. Nesta condição, os pares são (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 1) e (5, 1) então,

M = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 1), (5, 1)}

Pares com produto menor ou igual a 6


6) Dados 𝐴 = {1, 2, 3} e 𝐵 = {4, 5}, forme todos os pares ordenados de:

a) 𝐴 𝑥 𝐵

b) 𝐵 𝑋 𝐴

c) 𝐴2

d) 𝐵2

7) Determine 𝐴 𝑥 𝐵 e 𝐵 𝑥 𝐴 em cada caso abaixo: a) 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} 𝑒 𝐵 = {9} 𝐴 𝑥 𝐵 =

𝐵 𝑥 𝐴 = b) 𝐴 = {5} 𝑒 𝐵 = {7} 𝐴 𝑥 𝐵 =

𝐵 𝑥 𝐴 =


c) 𝐴 = {4, 8, 12} 𝑒 𝐵 = Ø 𝐴 𝑥 𝐵 =

𝐵 𝑥 𝐴 = 8) Se um conjunto A tem 5 elementos e B tem 10 elementos:

a) quantos elementos tem 𝐴 𝑥 𝐵?

b) quantos elementos tem 𝐵 𝑥 𝐴?

c) Os conjuntos 𝐴 𝑥 𝐵 e 𝐵 𝑥 𝐴 são iguais? Justifique.

9) Dados 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e 𝐵 = {2, 4, 6, 8, 10}, forme as seguintes relações: a) 𝐾 = {(𝑥, 𝑦) 𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥 + 𝑦 = 12}

b) 𝐿 = {(𝑥, 𝑦) 𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥 + 𝑦 15} c) 𝑀 = {(𝑥, 𝑦) 𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥 + 𝑦 < 8}

10) Dados 𝐴 = {3, 6, 9, 12} e 𝐵 = {1, 3, 5, 7, 9}, determine

𝑇 = = {(𝑥, 𝑦) 𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥2 + 𝑦2 < 50}


11) Sabendo que {(1, 2), (4, 2)} 𝐴2 e

𝑛(𝐴2) = 9, represente, pelos elementos, o

conjunto 𝐴2. (Veja a resolução desta questão nas respostas)

12) Se {(1, −2), (3, 0)} 𝐴2 e 𝑛(𝐴2) = 16,

então represente 𝐴2 pelos seus elementos.

13) Considerando 𝐴 𝐵, {(0, 5), (−1, 2), (2, −1)} 𝐴 𝑥 𝐵

e 𝑛(𝐴 𝑥 𝐵) = 12, represente 𝐴 𝑥 𝐵 pelos seus elementos. 14) Sendo A = {x ℤ | − 2 < x 4} e B o conjunto dos múltiplos de 3 compreendidos

entre 7 e 35, quantos elementos tem 𝐴 𝑥 𝐵?


15) Dado o conjunto 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, enumere os pares ordenados e construa o plano cartesiano da relação R de A em A dada

por 𝑅 = { (𝑥, 𝑦) 𝐴2 | 𝑚𝑑𝑐 (𝑥, 𝑦) = 2 }. 16) Dado o conjunto 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, enumere os pares ordenados e construa o plano cartesiano da relação R de A em A dada

por 𝑅 = { (𝑥, 𝑦) 𝐴2 | 𝑠ã𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖 }.

DOMÍNIO E IMAGEM

Seja R uma relação de A em B que, a

partir de agora representaremos R: A B. Chamamos de DOMÍNIO de R o conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes à relação R. O domínio de uma relação será representado por D, assim,

RyxByyDx ,|,(Lemos: x é parte do domínio se, e somente

se existe y pertencente a B tal que o par ordenado x, y pertence à relação R)

Chamamos de IMAGEM de R o conjunto

de todos os segundos elementos dos pares ordenados (x, y) pertencentes a R. A imagem será representada por Im e é sempre um sub-conjunto de B.

RyxAxxy ,|,Im

(Lemos: y é parte da imagem se, e somente se, existe x pertencente a A tal que o par

ordenado (x, y) pertence à relação R) Em outras palavras, podemos dizer que

o domínio é formado por todos os valores que x assume e a imagem são os valores admitidos por y.

Quando representado pelo diagrama de

Venn, o domínio é o conjunto formados pelos elementos de onde saem as flechas e a imagem é o conjunto dos elementos que recebem flecha.

Veja, a seguir, alguns exemplos:


Ex. 1: Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e B = { -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Consideremos

R: A B como uma relação que associa cada elemento de A à sua metade em B. Observe a figura:

Os elementos destacados no conjunto A formam o domínio e os elementos destacados no conjunto B, formam a imagem.

Note que, assim, o domínio é um sub-conjunto de A e a imagem é um sub-conjunto de B.

Ex.2: Seja A = {𝑥 ∈ ℝ| − 3 < 𝑥 ≤ 4} e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 ≤ 𝑥 < 3}, qual o domínio e imagem da relação

R = {(x, y) ∈ A × B|y = x − 1} Resolução:

CONTRA-DOMÍNIO

Numa relação 𝑅: 𝐴 → 𝐵 dada por R = {(x, y)|(x, y) ∈ A × B}, o conjunto B é chamado de contra-domínio. Em outras palavras, o contra-domínio é o conjunto formado por todos os valores que y pode assumir.

17) Determine Domínio e Imagem de cada uma das relações abaixo: a) 𝐴 = {(1; 1), (1; 3), (2; 4)} D = Im =

b) 𝐵 = {(−2; 4), (−1; 1), (3; −7), (2; 1)} D = Im =

c) 𝐶 = {(2; 1), (1; −3), (5; √2)} D = Im =

d) 𝐷 = {(1 + √2; √2; 2 ), (1 − √3; 1)} D = Im =


e) 𝐸 = {(3;1

2), (

5

2; −1), (

3

2; 0)}

D = Im =

18) Em cada uma das relações de A em B abaixo, pede-se: I) Enumerar os pares ordenados que formam

as relações. II) Representar por meio de diagrama de Venn

e flechas. III) Fazer a representação no plano cartesiano. IV) Estabelecer Imagem. V) Estabelecer Domínio. Para tal, considere 𝐴 = {−2, −1, 0, 1, 2} e 𝐵 = {−3, −2, −1, 1, 2, 3, 4}. a) R = {(x, y) A × B | x + y = 2}

D = Im =

b) R = {(x, y) A × B | x2 = y}

D = Im =

c) R = {(x, y) A × B | x = y}

D = Im =


d) R = {(x, y) A × B | x + y > 2}

D = Im =

e) R = {(x, y) A × B | (x – y)2 = 1}

D = Im =

19) Dado o conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, enumere os pares ordenados, construa o gráfico cartesiano e determine a imagem da

relação R: A A onde: a) R = {(x; y) | mdc(x, y) = 2}

Im = b) R = {(x; y) | x e y são primos entre si}

Im =


20) Se R é a relação binária de A em B tal que A = { x ℝ | 1 x 6} e B = { y ℝ | 1 y 4} definida por R = {(x; y) A x B | x = 2y}, pede-se a) A representação cartesiana de A X B.

b) A representação cartesiana de R.

c) Domínio e imagem de R

21) Se R e S são relações binárias de A em B sendo 𝐴 = {𝑥 ℤ | − 2 𝑥 5} e B = { xℤ| − 2 x 3} definidas por

R = {(x; y) | 2 divide x – y} e

S = {(x; y) | (x – 1)2 = (y – 2)2}, pede-se: a) As representações cartesianas de R e S.


b) Domínio e Imagem de R e S.

c) R S.

___________________

RELAÇÃO INVERSA

Dada uma relação binária R de A em B,

consideremos o conjunto

R−1 = {(y, x) B x A | (x, y) R} Como R-1 é um subconjunto de B x A, então R-1 é uma relação binária de B em A à qual daremos o nome de relação inversa de R.

(y, x) R−1 (x, y) R

Decorre desta definição que R-1 é o conjunto dos pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos de cada par.

Ex.1: Se A = {2; 3; 4; 5} e B = {1; 3; 5; 7}, quais são os elementos de R e R-1 sabendo que

R = {(x; y) A x B | x < y} Solução:

Observando os diagramas, podemos descrever os pares ordenados.

𝑅 = {(2; 3), (2; 5), (2; 7), (3; 5), (3; 7), (4; 7), (5; 7)}

𝑅−1 = {(3; 2), (5; 2), (7; 2), (5; 3), (7; 3), (7; 4), (7; 5)}


Ex.2: 𝑆𝑒 𝐴 = { 𝑥 ℝ | 1 𝑥 4} e 𝐵 = { 𝑦 ℝ | 2 𝑥 8}, representar no plano cartesiano as relações R e R-1 sendo R = { (x; y) A x B | y = 2x}.

PROPRIEDADES DA RELAÇÃO INVERSA

As seguintes propriedades da relação inversa são evidentes e podemos percebe-las simplesmente observando os dois exemplos anteriores. P1: A imagem de uma relação é o domínio de sua inversa. P2: O domínio de uma relação é a imagem de sua inversa. P3: (R-1)-1 = R

22) Enumerar os elementos de R-1, relação inversa de R, nos seguintes casos: a) R = {(1; 3), (3; 1), (2; 3)} b) R = {(1; -1), (2; -1), (3; -1), (-2; 1)} c) R = {(-3; -2), (1; 3), (-2; -3), (3; 1)}


23) Enumerar os elementos e esboçar os gráficos de R e R-1, relações binárias de A = { x ℕ | x 10 }. (Dica: faça R e R-1 no mesmo plano usando cores distintas)

a) R = {(x; y) A2 | x + y = 8}

b) R = {(x; y) A2 | x + 2y = 10}

c) R = {(x; y) A2 | y = (x – 3)2 + 1}

d) R = {(x; y) A2 | y = 2x }


24) A = {x ℝ | 1 x 6 } e B = {y ℝ | 2 y 10 }. Dados os conjuntos A e B acima e as relações R a seguir, pede-se o gráfico cartesiano dessas relações e das respectivas relações inversas.

a) R = {(x; y) A x B | x = y }

b) R = {(x; y) A x B | y = 2x }

c) R = {(x; y) A x B | y = x + 2 }

d) R = {(x; y) A x B | x + y =7 }

25) Considere a relação R: ℤ → ℤ 𝑅 = { (𝑥; 𝑦) ℤ2 | | 𝑥 | + | 𝑦 | = 3}

Escreva: a) Im (R)


b) D (R) c) Nesta relação, existe algum elemento do domínio que não possui imagem? E existe algum elemento que possui mais de uma imagem? d) Faça a representação cartesiana desta relação.

26) Vamos responder as mesmas perguntas propostas na questão anterior, agora para a relação

R = { (x; y) 2| y = x2} Escreva: a) Im (R)

b) D (R) c) Nesta relação existe algum elemento do domínio que não possui imagem? E existe algum elemento que possui mais de uma imagem? d) Faça a representação cartesiana desta relação.


FUNÇÕES

Dados dois conjuntos não vazios A e B*,

uma relação f de A em B recebe a denominação de função de A em B se, e

somente para todo x A existe um único (𝑥, 𝑦) 𝑓.

f é uma função de A em B

( x A, y B | (x; y) f)

É importante notar que:

Todo elemento de A deve ser associado a um elemento de B;

Para um dado elemento de A associamos um único elemento de B.

Usando o conceito de domínio e

imagem que já estudamos em relações, podemos dizer também, que:

f : A B é uma função se todo elemento do domínio possui somente

uma imagem.

Veja, a seguir, alguns exemplos que

ilustram relações de A em B. Note que algumas delas expressam função e outras não.

* Em todo nosso estudo de funções, fica estabelecido que A e B são conjuntos formados por números reais, ou seja, A e B estão contidos em ℝ.

Vamos considerar os conjuntos

A = {0, 1, 2, 3} e B = { -1, 0, 1, 2, 3} e as seguintes relações binárias:

R = {(x; y) A x B | y = x + 1}

S = {(x; y) A x B | y2 = x2}

T = {(x; y) A x B | y = x}

V = {(x; y) A x B | y = (x -1)2 -1}

W = {(x; y) A x B | y = s} Começaremos pela relação R:

Desta forma temos:

R = { (0; 1), (1; 2), (2; 3) }

Para cada elemento x A com exceção do 3, existe um só elemento

y B tal que (x; y) R.

Para o elemento 3 A, não existe y B

tal que (3; y) R. Neste caso, como existe elemento de A

que não possui imagem, R NÃO é uma função de A em B.


Vejamos agora a relação S que associa x e y em pares de números que possuem o mesmo quadrado.

S = { (0; 0), (1; -1), (1; 1), (2; 2), (3; 3)}

Para cada elemento x A, com exceção

do 1, existe um só elemento y B tal que

(x; y) S. Para o elemento 1, existem dois

elementos de B, o 1 e o -1, tais que (1, -1) S

e (1, 1) S. Assim, S NÃO é uma função pois existe elemento do domínio que possui mais de uma imagem. Agora, a relação T:

T = { (0; 0), (1; 1), (2; 2), )3; 3) }

Para todo elemento x A sem exceção,

existe um só elemento y B tal que (x; y) T. Então T É UMA FUNÇÃO de A em B.

Veja a relação V agora:

V = { (0; 0), (1; -1), (2; 0), (3; 3) }


existe um só elemento y B tal que (x; y) V. Então S É UMA FUNÇÃO de A em B.

Vamos encerrar esta série com a

relação W.:

W = { (0; 2), (1; 2), (2; 2), (3; 2) }


existe um só elemento y B tal que (x; y) W.

Então W É UMA FUNÇÃO de A em B.

Estas três últimas relações: T, V e W que apresentam a particularidade: “Para todo

elemento x A sem exceção, existe um só

elemento y B tal que (x; y) pertence à relação”, logo são funções de A em B.


Quando analisamos uma relação a partir da representação por diagrama de flechas em dois conjuntos A e B, devemos observar duas condições para que a relação de A em B seja uma função de A em B:

1. Deve sair flecha de TODOS os

elementos de A. 2. Deve sair apenas uma flecha de

cada elemento de A.

Estas duas condições apenas afirmam o que foi dito no início da página 22 desta

apostila. Lá está afirmando que f: A B é uma função se todo elemento de A possui uma (condição 1) e somente uma (condição 2) imagem.

Vamos identificar, nos diagramas a

seguir, onde está e onde não está representada uma função de A em B justificando, quando for o caso.

a)

Função? Justifique:

b)


c)


d)


e)


f)



Podemos verificar também se uma

relação é ou não função a partir de sua representação gráfica.

Para tal, basta verificarmos se todas as retas paralelas ao eixo das ordenadas que podemos traçar dentro do domínio da relação toca o gráfico em um e somente um ponto, veja nos exemplos que seguem.

Vamos identificar, nos gráficos a seguir,

onde está e onde não está representada uma função de A em B ficando atentos para o domínio determinado e justificando, quando for o caso.

a) A = [-1; 2] e B =


b) A = [-2; 2] e B =

Função?

Justifique:

c) A = [0; 4] e B =


______________________

EXEMPLOS COMPLEMENTARES Ver R.6 e R7 das Páginas 123 e 124

______________________

27) Assim como foi feito no exemplo da página 24, identifique cada uma das relações de A em B abaixo, apresentadas sob forma de diagrama, como função ou não e a seguir, justifique. a)


b)

c)

d)

e)

f)

28) Dentre os gráficos abaixo, identifique aqueles que apresentam ou não apresentam função justificando sua resposta ficando sempre atento ao domínio dado. a)D = [1; 4]

b) D = [-4; 3]

c) D = [-7; 7]


d) D = [-4; 4]

e) D =

f) D =

g) D =

h) D =

IMAGEM DE UMA FUNÇÃO

Dada uma função f: A B sendo

f = {(x, y) A x B}, assim como vimos nas relações, os valores que a ordenada y admite, formam o conjunto chamado IMAGEM. Veja, nos dois exemplos a seguir, a determinação da imagem de uma função.

Ex.: Dado A = {1, 2, 3, 4}, consideremos a

função f: A definida por f(x) = 2x, temos:

Para x = 1, 2121f

Para x = 2, 4222f

Para x = 3, 6323f

Para x = 4, 8424f

A imagem desta função é

Im(f) = {2; 4; 6; 8}


Ex.: Determinar a imagem da função f: D ℝ definida por f(x) = x3 – x + 10, sendo D = { -2; -1; 0; 1; 2}. Para x = -2

4102810222f3

Para x = -1

10101110111f3

Para x = 0

10100010000f3

Para x = 1

10101110111f3

Para x = 2

16102810222f3

Logo, Im(f) = {4; 10; 16} Observe que três elementos do domínio (-1, 0 e 1) possuem a mesma imagem (10). Isto é permitido no conceito de função, pois ele exige que cada elemento do domínio tenha somente uma imagem. Nada impede que um mesmo elemento do contra-domínio tenha mais de uma contra-imagem.

Lembre-se que, para que f: A B seja uma função o que não pode ocorrer é um dado elemento de A não ter imagem ou ter mais de uma imagem.

29) Determine o conjunto imagem em cada uma das funções a seguir apresentadas sob forma de diagrama de flechas. a)

b)

c)


30) Sendo f: A , uma função definida por f(x) = 3x2 + 1, determine a imagem de f sabendo que

13 ;3 ;3

2 ;5 ;5A

31) Seja f: a função definida por

1x

2xf

2 . Calcule:

a) 1f

b)

2

1f

c) 2f

d) 21f

32) Se 1x

1

x

1xf

, qual é o valor de

f(1) + f(2) + f(3)?


33) Determine a imagem de cada função:

a) f: A dada por x

1xxf e

3 ;2 ;1 ;2

1 ;

3

1A

b) f: D dada por 11xxf e

2 ;1 ;0 ;1 ;2D

34) Na função f: definida por f(x) = 7x – 3, para que valor de x tem-se f(x) = 18?

35) Na função f: definida por f(x) = x2 – 2x, para que valor de x tem-se f(x) = 3? E f(x) = 0?


36) Uma função definida por 1x2

1xxf

tem

imagem Im(f) = {-3; -1; 1; 3; 5}. Qual o domínio de x?

37) Dada 1xxf , calcule o valor de x

para o qual se tem f(x) = 2.

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 123 – Exercícios 17 a 22

______________________

Imagem a partir de um Gráfico Para determinar a imagem de uma função a partir do seu gráfico, devemos observar quais são os valores do eixo vertical que possuem uma contra-imagem no eixo OX. De forma prática, entretanto, basta traçar-mos retas horizontais. Todas aquelas que tocarem o gráfico em pelo menos um ponto determinam, no eixo OY a imagem.

Veja nos exemplos a seguir.

Vamos determinar a imagem de cada uma das funções abaixo apresentadas pelos seus gráficos. a)

Im = [a; b]


b)

Im = [a; b]

c)

Im = [a; b[ - {0}

d)

Im = [-2; 0[ ]1; 3[

e)

Im = {1; 3}

38) Seguem 12 gráficos montados em uma malha quadriculada. Sabendo que cada quadrinho representa uma unidade, determine a imagem da função em cada caso. a)

b)

c)


d)

e)

f)

g)

h)

i)


j)

k)

l)

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO

Considerando que toda função de A em B é uma relação binária então f tem uma imagem, como já vimos, e também um domínio.

Chamamos de domínio o conjunto D dos

elementos x A para os quais existe y B tal

que (x; y) f. Como pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedades, temos, nas funções:

Domínio = conjunto de partida

É importante ressaltar que os elementos que formam o domínio são aqueles assumidos pela abscissa, desta forma, no plano cartesiano, o domínio são os valores neste eixo (eixo horizontal).

DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO

Tomemos algumas funções e

determinemos o seu domínio:

Ex.1: 𝑓(𝑥) = 2𝑥

Notemos que 2𝑥 ℝ para todo 𝑥 ℝ, temos,

então D = ℝ

Ex.2: 𝑓(𝑥) = 𝑥2

Notemos que x2 ℝ para todo x ℝ, temos,

então D = ℝ

Ex.3: x

1xf

Notemos que x

1 ℝ se, e somente se, x é real

diferente de zero, temos, então, D = ℝ∗.


Ex.4: xxf

Notemos que x ℝ se, e somente se, x é

real e não negativo, então D = ℝ+

Ex.: 5 3 xxf

Notando que 3 x ℝ para todo x ℝ, temos,

então, D = ℝ

39) Determine o domínio de cada uma das funções reais a seguir:

a) 2x3xf

b) 2x

1xf

c) 4x

1xxf

2

d) 1xxf

e) 1x

1xf

f) 2x

2xxf

g) 3 1x2xf


h) 3 3x2

1xf

i) 3x

2xxf

3

Domínio a partir de um Gráfico Para determinar o domínio de uma função a partir do seu gráfico, devemos observar quais são os valores do eixo horizontal que possuem uma imagem no eixo OY. De forma prática, entretanto, basta traçar-mos retas verticais. Todas aquelas que tocarem o gráfico determinam, no eixo OX, o domínio. Lembre-se que nenhuma destas retas verticais podem tocar o gráfico em mais de um ponto. Caso isto ocorra, o gráfico não representa uma função.

Veja nos exemplos a seguir.

Ex.1:

D = [a; b]

Ex.: 2

D = [a; b]

Ex.: 3

D =

Ex.: 4

D = *


40) Todos os gráficos a seguir representam funções. Determine o domínio de cada uma delas. a)

b)

c)

d)

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ATIVIDADES COMPLEMENTARES

Pág. 127 – Exercícios 24, 25 e 26 ______________________

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

Quando o domínio e o contradomínio de

uma função f são subconjuntos de ℝ, dizemos que f é uma função real de variável real. Neste caso, podemos fazer uma representação geométrica da função assinalando num sistema de coordenadas

cartesianas os pontos (x; y) com x D e y = f(x). Estes pontos formam o que chamamos de gráfico de f.

Ex.1: Fazer o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 3

definida no domínio 𝐷(𝑓) = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Resolução:

Para cada x D(f), calculamos y = f(x) e obtemos um ponto (x; y) do gráfico. Temos:

Para x = 0 → 33020fy

Para x = 1 → 13121fy

Para x = 2 → 13222fy

Para x = 3 → 33323fy

Para x = 4 → 53424fy

Para x = 5 → 73525fy


O gráfico de f é formado pelos pontos A(0; -3), B(-1; 1), C(2; 1), D(3; 3), E(4; 5) e F(5; 7).

Ex.2: Fazer o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 3

definida no domínio D(f) = {x ℝ | 0 x 5}. Resolução: Neste caso temos a mesma lei do exemplo anterior, y = f(x) = 2x – 3, porém o intervalo do domínio é [0; 5]. Assim, além dos pontos A,B C, D, E e F, devemos, também, considerar os pontos situados “entre eles”, no

segmento de reta AF . Veja, por exemplo:

Para x = 0,5 → 235,025,0fy

Para x = 2,25 → 5,1325,2225,2fy

Ex.3: Fazer o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 3 definida no domínio D(f) = ℝ Resolução: Temos, mais uma vez, a mesma lei

dos exemplos anteriores, 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 3, mas o domínio é formado por todos os

números reais. Assim, além do segmento AF , devemos considerar pontos À direita, com abscissa x > 5 e pontos à esquerda com x < 0. Veja, por exemplo:

Para x = 6 → 93626fy

Para x = -1 → 53121fy

O gráfico é, neste caso, a reta AF que não tem fim de um lado nem de outro.


41) Faça o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 6 – 𝑥 nos casos: a) sendo o domínio D = {1; 2; 3; 4; 5}

b) sendo D = {x | 1 x 5}

c) sendo D =

42) Faça o gráfico da função 2

xxf nos

casos. a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2}

b) sendo D = {x | -2 x 2}

c) sendo D =


43) Faça o gráfico da função 2xxf nos

casos. a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2} Para x = -2, y = _______ Para x = -1, y = _______ Para x = 0, y = _______ Para x = 1, y = _______ Para x = 2, y = _______

b) sendo D = {x | -2 x 2}

c) sendo D =

44) Faça o gráfico da função xxf nos

casos. a) sendo o domínio D = {0; 1; 2; 3; 4}

b) sendo D = +.


45) Faça o gráfico da função 2

1xxf

com

domínio D = ℝ. (Obtenha pontos do gráfico escolhendo valores para x e calculando y = f(x))

46) Faça o gráfico de f(x) = 2x + 1 com domínio D = [0; 3[


47) Faça o gráfico de f: [-1; 5] , definida

por 2

x5xf

.

48) Faça o gráfico de f: [-2; 2] , definida

por 2

xxf

2

.


FUNÇÃO CONSTANTE

Dado um número real k, podemos considerar uma função que a todo número real x faz corresponder o número k:

f: , com f(x) = k ( x )

Esta função é denominada função constante. O gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas passado por todos os pontos de ordenada y = k.

Observe que o domínio é D(f) = e a

imagem é Im(f) = { k }.

Ex.1: Construir o gráfico da função

f: dado por f(x) = 2. Resolução Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), veja:

Ex.2: Construir o gráfico da função

f: + dado por f(x) = 2. Resolução Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), mas agora há uma restrição no domínio. Veja:

49) Faça o gráfico da função

f: dado por f(x) = - 1.

50) Faça o gráfico da função

f: dado por

0 xse1-

0 xse,1xf .


RESPOSTAS 1)

2) A(-3, 5) B(1, 3) C(0, 2) D(3, 1) E(-2, 0) F(4, -1) G(-3, -2) H(-2, -2) J(-2, 0)

3)

4)

5) a)

b)

c)

6) a) A x B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

b) B X A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}

c) A2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

d) B2 = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}

7) a) A x B = {(1, 9), (2, 9), (3, 9), (4, 9), (5, 9)} B x A = {(9, 1), (9, 2), (9, 3), (9, 4), (9, 5),}

b) A x B = {(5, 7)} B x A = {(7, 5)}

c) A x B = Ø B x A = Ø

8) a) 50 b) 50 c) Não pois o produto cartesiano não

admite a propriedade comutativa. A x B = B x A se, e somente se A = B ou se um dos conjuntos for vazio.

9) a) K = {(2, 10), (4, 8), (6, 6), (8, 4)}

b) L = {(5, 10), (6, 10), (7, 8), (7, 10), (8, 8), (8, 10)}

c) M = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (5, 2)}

10) T = {(3, 1), (3, 3), (3, 5), (6, 1), (6, 3)}


11) (Resolução) O número de elementos de A2 é igual ao quadrado de elementos de A, portanto

n(A2) = [n(A)]2 [n(A)]2 = 9 n(A) = 3 Se A é um conjunto de 3 elementos,

(1, 2) A2 e (4, 2) A2, concluímos que A = {1, 2, 4} Assim sendo, A2 = A x A = {(1; 1), (1; 2), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 4), (4; 1), (4; 2), (4; 4)}

12) A2 = {(-2; -2), (-2; 0), (-2; 1), (-2; 3), (0; -2), (0; 0), (0; 1), (0; 3), (1; -2), (1; 0), (1; 1), (1; 3), (3; -2), (3; 0), (3; 1), (3; 3)}

13) A x B = {(-1; -1), (-1; 0), (-1; 2), (-1; 5), (0; -1), (0; 0), (0; 2), (0; 5), (2; -1), (2; 0), (2; 2), (2; 5)}

14) 54

15) R = {(2; 2), (2; 4), (2; 6), (4; 2), (4; 6), (6; 2), (6; 4)}

16) R = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 5), (3; 1), (3; 2), (3, 4), (3; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (5; 1), (5, 2), (5; 3), (5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 5)}

17) a) D = {1, 2} Im = {1, 3, 4} b) D = {-2, -1, 2, 3} Im = {-7, 1, 4}

c) D = {1, 2, 5} Im = {-3, 1, 2 }

d) D = { 31 , 21 }

Im = {1, 2 }

e) D = {3,

2

5,2

3 }

Im = {

2

1, -1, 0}

18) a) R = {(-2; 4), (-1; 3), (0; 2), (1; 1)

D = {-2; -1; 0; 1} Im = {1; 2; 3; 4}

b) R = {(-2; 4), (2; 4), (-1; 1), (1; 1)}

D = {-2; -1; 1; 2} Im = {1; 4}


c) R = {(-2; -2), (-2; 2), (-1; -1), (-1; 1), (1; -1), (1; 1), (2; -2), (2; 2)}

D = {-2; -1; 1; 2} Im = {-2; -1; 1; 2}

d) R = {(-1; 4), (0; 3), (0; 4), (1; 2),

(1; 3), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4)}

D = {-1; 0; 1; 2} Im = {1; 2; 3. 4}

e) R = {(-2; -3), (-2; -1), (-1; -2),

(0; -1), (0; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 3)}

D = A Im = {-3; -2; -1; 1; 2; 3}

19) a) R = {(2; 2), (2; 4), (2; 6), (4; 2), (4; 6), (6; 2), (6; 4)}

Im = {2; 4; 6}

b) R = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 5), (3; 1), (3; 2), (3; 4), (3; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 5)}

Im = A

20) a)


b)

c) d = [2; 6] e Im = [1; 3]

21) a)

b) D = A e Im = B c) R S = Ø

22) a) R-1 = {(2; 1), (1; 3), (3; 2)} b) R-1 = {(-1; 1), (-1; 2), (-1; 3),

(1; -2)} c) R-1 = {(-2; -3), (3; 1), (-3; -2),

(1; 3)}

23) a) R = {(0; 8), (1; 7), (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2), (1; 7), (8; 0)} R-1 = {(0; 8), (1; 7), (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2), (1; 7), (8; 0)}

23) (Cont.)

b) R= {(0; 5), (2; 4), (4; 3), (6; 2), (8; 1), (10; 0) } R-1 = {(5; 0), (4; 2), (3; 4), (2; 6), (1; 8), (0; 10) }

c) R= {(0; 10), (1; 5), (2; 2), (3; 1),

(4; 2), (5; 5), (6; 10)} R-1 = {(10; 0), (5; 1), (2; 2), (1; 3), (2; 4), (5; 5), (10; 6)}

23) (Cont.)

d) R= {(0; 1), (1; 2), (2; 4), (3; 8)} R-1 = {(1; 0), (2; 1), (4; 2), (8; 3)}

24) a)


b)

c)

d)

25) a) Im (R) = {-3, -2, -1, 0,1, 2, 3} b) D (R) = {-3, -2, -1, 0,1, 2, 3} c) O 4, por exemplo, não possui

imagem e o 2 possui duas imagens que são -1 e 1.

d)

26) a) Im (R) = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... }

b) D (R) = {..., -3, -2, -1, 0,1, 2, 3, ...}

c) Não pois qualquer número pode ser elevado ao quadrado. Não

pois todo número possui apenas um quadrado

d)

27) a) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem.

b) É função pois todos os elementos do domínio possuem uma e somente uma imagem.

c) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem.

d) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem além de elemento que possui mais de uma imagem.

e) É função pois todos os elementos do domínio possuem uma e somente uma imagem.

f) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem além de elemento que possui mais de uma imagem.

28) a) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem.


b) Função c) Função

d) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem.

e) Função f) Função

g) Não é função pois existem elementos do domínio que não possuem imagem.

h) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem.

29) a) Im = {-1; 0; 1} b) Im = {-1} c) Im = {-1, 2}

30)

76 ;3613 ;10 ;3

7fIm

31) a) 1 b) 5

8

c) 3

2 d)

2

22

32) 4

3

33) a)

2 ;2

5 ;

3

10fIm

b) 4 ;3 ;2 ;1fIm

34) Resolução:

3x

21x7

183x7

18xf e 3x7xf

35) f(x) = 3 para x = 3 ou x = -1

f(x) = 0 para x = 0 ou x = 2

36)

3

2 ;

5

4 ;2 ;0 ;

7

2fD

37) x = 3

38) a) Im = {-2, 0, 2} b) Im =

c) Im = [-2; 2] d) Im = {y | -4 x -2 ou -1 < x

4}

e) Im = {y | x -1}

f) Im = {y | x > 2 ou x = 1} g) Im = {-2; -1; 0; 2; 3; 4} h) Im = [1; 4[ i) Im = [-4; 3[ j) Im = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} k) Im = [-2; 3]

39) a) D

b)

2x|xD ou 2D

c) Resolução

2x e 2x|xD

2x

4x

04x

4x

1xxf

2

2

2

d) 1x|xD

e) 1x|xD

f) 2x e 2x|xD

g) D

h)

2

3D

i) 3D

40) a) [-3; 4[ b) [-3; 3] - {-1; 1} c) * d) *

41) a)


b)

c)

42) a)

b)

c)

43) a)

b)

c)

44) a)

b)

45)


46)

47)

48)

49)

50)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

DANTE, Luiz Roberto; Matemática.

São Paulo, Ática, 2004

MACHADO, Antônio dos Santos;

Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual,

1988

IEZZI, Gelson e outros; Matemática,

Volume único. São Paulo, Atual, 2002

VÍDEOS SUGERIDOS NESTA APOSTILA

Pág. 05 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/relacoes-entre-conjuntos-1/ Pág. 09 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/relacoes-entre-conjuntos-2/ Pág. 25 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/conceito-de-funcao Pág. 38 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/conceito-de-funcao-2

par ordenado 2 -...

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