MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES e FUNÇÕES
PAR ORDENADO ........................................................................ 2
PRODUTO CARTESIANO ........................................................... 3
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA .................................................... 4
RELAÇÃO .................................................................................... 8
DOMÍNIO E IMAGEM ................................................................. 12
CONTRA-DOMÍNIO ................................................................... 13
RELAÇÃO INVERSA ................................................................. 17
PROPRIEDADES DA RELAÇÃO INVERSA .............................. 18
FUNÇÕES .................................................................................. 22
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ...................................................... 27
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO..................................................... 34
DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO .................................................. 34
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO .................................................... 37
FUNÇÃO CONSTANTE ............................................................. 43
RESPOSTAS ............................................................................. 44
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 51
No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
PAR ORDENADO
Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Assim, {1; 2}, {7, -3} ou {a, b} indicam pares. Lembrando o conceito de igualdade de conjuntos, observamos que inverter os elementos não gera um par diferente, assim, temos:
{1, 2} = {2, 1}
{7, −3} = {−3. 7}
{𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎}
Em matemática, existem situações em que há a necessidade de distinguir dois pares pela ordem de seus elementos.
Ex.1: Imaginemos que o time de futebol da escola será formada por 10 atletas (titulares e reservas) escolhidos entre os alunos do 1º e 2º anos. Podemos indicar a quantidade de alunos escolhidos de cada série no seguinte esquema: anotamos entre parênteses primeiro o número de alunos selecionados no 1º ano e depois o do 2º ano.
Então (3, 7) indicará que foram escolhidos 3 alunos do 1ºano e 7 do 2º ano e (7, 3) nos dirá que 7 alunos são do 1º ano e 3 são oriundos do 3º ano. (5, 5) indicaria, por exemplo, que foram escolhidos 5 alunos de cada série, etc. Observamos, neste caso, que (3, 7) e (7, 3) representam dois modos diferentes de selecionar os alunos para o time de futebol. Em (7, 3) e (3, 7) temos as mesmas quantidades, porém em ordens diferentes. Por isso, dizemos
que (7, 3) e (3, 7) são dois PARES ORDENADOS diferentes. Ex.2: No sistema de equações
x y 3
x y 1
𝑥 = 2 e 𝑦 = 1 é a solução ao passo que 𝑥 = 1 e 𝑦 = 2 não é solução.
Se representássemos por um conjunto,
teríamos: { 2, 1} é solução e {1, 2} não seria solução e aí há uma contradição pois {2, 1} = {1, 2}. Por causa disso, dizemos que a solução é o PAR ORDENADO (2, 1) em que fica subentendido que o primeiro valor se refere à incógnita x e o segundo é referente à incógnita y.
Admitiremos a noção de PAR ORDENADO como conceito primitivo. Podemos formar a idéia de par ordenado, imaginando-o como um conjunto de dois elementos considerando-os numa dada ordem. Para lembrar que a ordem está sendo considerada, na representação do par ordenado, utilizamos parênteses e não chaves como nos conjuntos em geral e para cada
elemento 𝑎 e cada elemento 𝑏, admitiremos a existência de um terceiro elemento (𝑎, 𝑏) que denominamos par ordenado, de modo que se tenha:
(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) 𝑎 = 𝑐 𝑒 𝑏 = 𝑑
Ou seja, impomos que dois pares
ordenados são iguais se, e somente se, tiverem os primeiros termos iguais entre si e os segundos termos também iguais entre si. Veja, a seguir, alguns exemplos:
MATEMÁTICA I 3 RELAÇÕES e FUNÇÕES
Ex.1: (𝑎, 𝑏) = (3, 7) 𝑎 = 3 𝑒 𝑏 = 7
Ex.2: (𝑎, 𝑏) = (7, 3) 𝑎 = 7 𝑒 𝑏 = 3
Ex.3: (𝑎, 𝑏) = (5, 5) 𝑎 = 5 𝑒 𝑏 = 5
Note que em um par ordenado,
podemos ter termos iguais.
PRODUTO CARTESIANO
Dados os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3} e 𝐵 = {1, 2, 3, 4}, vamos formar os pares
ordenados que têm o primeiro elemento em 𝐴 e o segundo elemento em 𝐵. Observe o esquema em que cada flecha representa um par:
Veja a mesma formação, agora numa tabela:
O conjunto formado pelos pares ordenados obtidos é denominado PRODUTO CARTESIANO DE A POR B e o indicamos por
𝐴 𝑥 𝐵 onde lemos “A cartesiano B”. Desta forma, temos então: A x B = {(1,1); (1, 2); (1 ,3); (1 ,4);(2 ,1); (2 ,2); (2 ,3); (2 ,4); (3 ,1); (3 ,2); (3 ,3); (3 , 4)}
De forma genérica, o produto cartesiano
de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é o conjunto 𝐴 𝑥 𝐵 formado pelos pares ordenados que trazem o
primeiro elemento extraído de 𝐴 e o segundo de 𝐵 ou:
𝑨 𝒙 𝑩 = {(𝒙, 𝒚) | 𝒙 𝑨 𝒆 𝒚 𝑩}
(Lemos: A cartesiano B é igual ao conjunto formado por pares ordenados x, y tal que x pertence a A e y pertence a B)
Observações:
1. Se 𝐴 𝐵 então 𝐴 𝑥 𝐵 𝐵 𝑥 𝐴, ou seja, o produto cartesiano não é comutativo
2. Se 𝐴 e 𝐵 são conjuntos finitos com 𝑚 e 𝑛 elementos respectivamente, então 𝐴 𝑥 𝐵 é um conjunto finito com 𝑚 ∙ 𝑛 elementos
3. Se 𝐴 ou 𝐵 for infinito e nenhum dos dois for vazio, então 𝐴 𝑥 𝐵 é um conjunto infinito.
Ex.1: Dados 𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖} e 𝐵 = {𝑝, 𝑞}, determinar: a) A X B b) B X A c) A2 d) B2 Solução: a) A X B = {(a, p); (a, q); (e, p); (e, q); (i, p); (i, q)}
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
b) B X A = {(p, a); (p, e); (p, i); (q, a); (q, e); (q, i)} c) A2 = A X A = {(a, a); (a, e); (a, i); (e, a); (e, e); (e, i); (i, a); (i, e); (i, i)} d) B2 = B X B = {(p, p); (p, q); (q, p); (q, q)}. Ex.2: Se A tem 4 elementos e B tem 9 elementos, quantos elementos tem: a) A X B b) B X A c) A2 d) B2 Solução: a) 4 9 36 elementos.
b) 9 4 36 elementos.
c) 4 4 16 elementos.
d) 9 9 81 elementos.
________________________
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Pares ordenados de números reais
podem ser representados por pontos em um plano chamado de PLANO CARESIANO.
O Plano Cartesiano é determinado por
duas retas orientadas perpendiculares num ponto chamado de origem. Cada ponto deste plano será associado à um par ordenado (𝑎, 𝑏) de números reais da seguinte forma:
1. Sobre a reta horizontal, chamada de eixo
𝑂𝑋, marcamos o ponto referente ao número 𝑎.
2. Traçamos a reta 𝑦’ paralela à reta 𝑦 passando por 𝑎.
3. Sobre a reta vertical, chamada de eixo
𝑂𝑌, marcamos o ponto referente ao número 𝑏.
4. Traçamos a reta 𝑥’ paralela à reta 𝑥 passando por 𝑏.
5. O encontro entre 𝑥’ e 𝑦’ será o afixo do ponto 𝑃 de coordenadas (𝑎, 𝑏).
No plano cartesiano acima, temos:
O número 𝑎 é a abscissa do ponto 𝑃.
O número 𝑏 é a ordenada do ponto 𝑃.
O eixo 𝑂𝑋 é chamado de eixo das abscissas.
O eixo 𝑂𝑌 é chamado de eixo das ordenadas.
O ponto 𝑂 é a origem e tem coordenadas (𝟎, 𝟎).
A cada par de números reais fazemos
corresponder um único ponto do plano e a cada ponto do plano, fazemos corresponder um único par ordenado de números reais. Essa correspondência é denominada de Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais (ou simplesmente Sistema Cartesiano Ortogonal). Ortogonal porque os eixos formam entre si um ângulo de 90º e Cartesiano é homenagem à René Descartes, um matemático considerado o “pai da filosofia moderna”
Ex.: 1 Veja no plano cartesiano a seguir a localização de cada dos pontos abaixo: A (2, 4) B (-2, 3) C (-3, -3) D (1, -2) E (4, 0) F (0, 5) G (-2, 0) H (0, -4)
MATEMÁTICA I 5 RELAÇÕES e FUNÇÕES
Ex.2: Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}. Faça A x B e a seguir represente os pares ordenados num sistema cartesiano ortogonal. Solução A x B = {(1,1); (1, 2); (1 ,3); (1 ,4);(2 ,1); (2 ,2); (2 ,3); (2 ,4); (3 ,1); (3 ,2); (3 ,3); (3 , 4)}
1) Represente corretamente no plano cartesiano abaixo, cada um dos pares ordenados a seguir: A (1, 1) D (-3, -2) G (0, -2) B (3, 2) E (1, -4) H (3, 0) C (-4, 5) F (0, 5) J (-4, 0)
CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
2) Determine as coordenadas de cada dos pontos marcados no sistema abaixo.
A B
C D
E F
G H
J
3) Assim como na questão 160, localize os seis pontos abaixo no plano cartesiano.
L 5
3; 3
P 47 12
; -10 5
M 0,5; 4 Q 0; 10
N 3; - R 9 3
; 3 2
4) Sendo A = {1. 2. 3. 4. 5} e B = {3, 4, 5, 7}. Represente num sistema ortogonal o conjunto A x B.
___________________ Também podemos representar
graficamente produtos cartesianos formados a partir de conjuntos determinados por intervalos.
Ex.1: Sendo 𝐴 = {𝑥 ℝ | 1 < 𝑥 6 } e 𝐵 = {𝑦 ℝ | 2 𝑦 5 }, representar
graficamente 𝐴 𝑥 𝐵.
MATEMÁTICA I 7 RELAÇÕES e FUNÇÕES
Ex.2: Sendo 𝐴 = {𝑥 ℝ | 1 𝑥 4 } e 𝐵 = {𝑦 ℝ | 𝑦 = 2 }, representar
graficamente 𝐴 𝑥 𝐵.
Ex.3: Sendo 𝐴 = {𝑥 ℝ | 1 𝑥 4 } e
𝐵 = {𝑦 ℝ | 2 𝑦 4 }, representar
graficamente 𝐴 𝑥 𝐵.
5) Sendo A = {x | 1 x 6 } e
B = {x | -2 x < 3 }, representar graficamente:
a) A x B.
b) B x A
c) A x A
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
RELAÇÃO
Quando começamos a falar de produto
cartesiano, citamos dois conjuntos, 𝐴 e 𝐵 e formamos 𝐴 𝑥 𝐵.
Naquele exemplo, tínhamos 𝐴 = {1, 2, 3} e 𝐵 = {1, 2, 3, 4} e o 𝐴 𝑥 𝐵
apresentava 12 elementos. Destes 12 elementos, vamos formar agora o conjunto R dos pares ordenados que têm o primeiro termo em A e o segundo termo em B tais que o 1º termo é menor que o 2º. Veja no diagrama a seguir como ficaria este conjunto.
𝑅 = {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3, 4)}
Este conjunto R, que é um subconjunto
de 𝐴 𝑥 𝐵, é exemplo de uma relação de 𝐴 em
𝐵.
De modo geral, denominamos relação
de 𝐴 em 𝐵 a todo subconjunto de 𝐴 𝑥 𝐵.
R é relação de A em B R A x B
Veja, agora, outros exemplos que ilustram relações.
Dados os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} e
𝐵 = {1, 3, 5, 7, 9}, determinar as relações de A em B:
a) S = {(x, y) A x B | x + y = 6}
b) M = {(x, y) A x B | xy 6} Solução: Em a), a relação S é formada pelos pares
ordenados (x, y) onde x A e y B, com a soma dos termos x + y = 6. Estes pares são (1, 5), (3, 3) e (5, 1), então,
S = {(1, 5), (3, 3), (5, 1)}
Pares com soma igual a 6
Em b), a relação M é formada pelos pares
ordenados (x, y) onde x A e y B, com o produto dos termo menor ou igual a 6. Nesta condição, os pares são (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 1) e (5, 1) então,
M = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 1), (5, 1)}
Pares com produto menor ou igual a 6
MATEMÁTICA I 9 RELAÇÕES e FUNÇÕES
6) Dados 𝐴 = {1, 2, 3} e 𝐵 = {4, 5}, forme todos os pares ordenados de:
a) 𝐴 𝑥 𝐵
b) 𝐵 𝑋 𝐴
c) 𝐴2
d) 𝐵2
7) Determine 𝐴 𝑥 𝐵 e 𝐵 𝑥 𝐴 em cada caso abaixo: a) 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} 𝑒 𝐵 = {9} 𝐴 𝑥 𝐵 =
𝐵 𝑥 𝐴 = b) 𝐴 = {5} 𝑒 𝐵 = {7} 𝐴 𝑥 𝐵 =
𝐵 𝑥 𝐴 =
CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
c) 𝐴 = {4, 8, 12} 𝑒 𝐵 = Ø 𝐴 𝑥 𝐵 =
𝐵 𝑥 𝐴 = 8) Se um conjunto A tem 5 elementos e B tem 10 elementos:
a) quantos elementos tem 𝐴 𝑥 𝐵?
b) quantos elementos tem 𝐵 𝑥 𝐴?
c) Os conjuntos 𝐴 𝑥 𝐵 e 𝐵 𝑥 𝐴 são iguais? Justifique.
9) Dados 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e 𝐵 = {2, 4, 6, 8, 10}, forme as seguintes relações: a) 𝐾 = {(𝑥, 𝑦) 𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥 + 𝑦 = 12}
b) 𝐿 = {(𝑥, 𝑦) 𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥 + 𝑦 15} c) 𝑀 = {(𝑥, 𝑦) 𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥 + 𝑦 < 8}
10) Dados 𝐴 = {3, 6, 9, 12} e 𝐵 = {1, 3, 5, 7, 9}, determine
𝑇 = = {(𝑥, 𝑦) 𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥2 + 𝑦2 < 50}
MATEMÁTICA I 11 RELAÇÕES e FUNÇÕES
11) Sabendo que {(1, 2), (4, 2)} 𝐴2 e
𝑛(𝐴2) = 9, represente, pelos elementos, o
conjunto 𝐴2. (Veja a resolução desta questão nas respostas)
12) Se {(1, −2), (3, 0)} 𝐴2 e 𝑛(𝐴2) = 16,
então represente 𝐴2 pelos seus elementos.
13) Considerando 𝐴 𝐵, {(0, 5), (−1, 2), (2, −1)} 𝐴 𝑥 𝐵
e 𝑛(𝐴 𝑥 𝐵) = 12, represente 𝐴 𝑥 𝐵 pelos seus elementos. 14) Sendo A = {x ℤ | − 2 < x 4} e B o conjunto dos múltiplos de 3 compreendidos
entre 7 e 35, quantos elementos tem 𝐴 𝑥 𝐵?
CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
15) Dado o conjunto 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, enumere os pares ordenados e construa o plano cartesiano da relação R de A em A dada
por 𝑅 = { (𝑥, 𝑦) 𝐴2 | 𝑚𝑑𝑐 (𝑥, 𝑦) = 2 }. 16) Dado o conjunto 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, enumere os pares ordenados e construa o plano cartesiano da relação R de A em A dada
por 𝑅 = { (𝑥, 𝑦) 𝐴2 | 𝑠ã𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖 }.
DOMÍNIO E IMAGEM
Seja R uma relação de A em B que, a
partir de agora representaremos R: A B. Chamamos de DOMÍNIO de R o conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes à relação R. O domínio de uma relação será representado por D, assim,
RyxByyDx ,|,(Lemos: x é parte do domínio se, e somente
se existe y pertencente a B tal que o par ordenado x, y pertence à relação R)
Chamamos de IMAGEM de R o conjunto
de todos os segundos elementos dos pares ordenados (x, y) pertencentes a R. A imagem será representada por Im e é sempre um sub-conjunto de B.
RyxAxxy ,|,Im
(Lemos: y é parte da imagem se, e somente se, existe x pertencente a A tal que o par
ordenado (x, y) pertence à relação R) Em outras palavras, podemos dizer que
o domínio é formado por todos os valores que x assume e a imagem são os valores admitidos por y.
Quando representado pelo diagrama de
Venn, o domínio é o conjunto formados pelos elementos de onde saem as flechas e a imagem é o conjunto dos elementos que recebem flecha.
Veja, a seguir, alguns exemplos:
MATEMÁTICA I 13 RELAÇÕES e FUNÇÕES
Ex. 1: Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e B = { -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Consideremos
R: A B como uma relação que associa cada elemento de A à sua metade em B. Observe a figura:
Os elementos destacados no conjunto A formam o domínio e os elementos destacados no conjunto B, formam a imagem.
Note que, assim, o domínio é um sub-conjunto de A e a imagem é um sub-conjunto de B.
Ex.2: Seja A = {𝑥 ∈ ℝ| − 3 < 𝑥 ≤ 4} e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 ≤ 𝑥 < 3}, qual o domínio e imagem da relação
R = {(x, y) ∈ A × B|y = x − 1} Resolução:
CONTRA-DOMÍNIO
Numa relação 𝑅: 𝐴 → 𝐵 dada por R = {(x, y)|(x, y) ∈ A × B}, o conjunto B é chamado de contra-domínio. Em outras palavras, o contra-domínio é o conjunto formado por todos os valores que y pode assumir.
17) Determine Domínio e Imagem de cada uma das relações abaixo: a) 𝐴 = {(1; 1), (1; 3), (2; 4)} D = Im =
b) 𝐵 = {(−2; 4), (−1; 1), (3; −7), (2; 1)} D = Im =
c) 𝐶 = {(2; 1), (1; −3), (5; √2)} D = Im =
d) 𝐷 = {(1 + √2; √2; 2 ), (1 − √3; 1)} D = Im =
CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
e) 𝐸 = {(3;1
2), (
5
2; −1), (
3
2; 0)}
D = Im =
18) Em cada uma das relações de A em B abaixo, pede-se: I) Enumerar os pares ordenados que formam
as relações. II) Representar por meio de diagrama de Venn
e flechas. III) Fazer a representação no plano cartesiano. IV) Estabelecer Imagem. V) Estabelecer Domínio. Para tal, considere 𝐴 = {−2, −1, 0, 1, 2} e 𝐵 = {−3, −2, −1, 1, 2, 3, 4}. a) R = {(x, y) A × B | x + y = 2}
D = Im =
b) R = {(x, y) A × B | x2 = y}
D = Im =
c) R = {(x, y) A × B | x = y}
D = Im =
MATEMÁTICA I 15 RELAÇÕES e FUNÇÕES
d) R = {(x, y) A × B | x + y > 2}
D = Im =
e) R = {(x, y) A × B | (x – y)2 = 1}
D = Im =
19) Dado o conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, enumere os pares ordenados, construa o gráfico cartesiano e determine a imagem da
relação R: A A onde: a) R = {(x; y) | mdc(x, y) = 2}
Im = b) R = {(x; y) | x e y são primos entre si}
Im =
CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
20) Se R é a relação binária de A em B tal que A = { x ℝ | 1 x 6} e B = { y ℝ | 1 y 4} definida por R = {(x; y) A x B | x = 2y}, pede-se a) A representação cartesiana de A X B.
b) A representação cartesiana de R.
c) Domínio e imagem de R
21) Se R e S são relações binárias de A em B sendo 𝐴 = {𝑥 ℤ | − 2 𝑥 5} e B = { xℤ| − 2 x 3} definidas por
R = {(x; y) | 2 divide x – y} e
S = {(x; y) | (x – 1)2 = (y – 2)2}, pede-se: a) As representações cartesianas de R e S.
MATEMÁTICA I 17 RELAÇÕES e FUNÇÕES
b) Domínio e Imagem de R e S.
c) R S.
___________________
RELAÇÃO INVERSA
Dada uma relação binária R de A em B,
consideremos o conjunto
R−1 = {(y, x) B x A | (x, y) R} Como R-1 é um subconjunto de B x A, então R-1 é uma relação binária de B em A à qual daremos o nome de relação inversa de R.
(y, x) R−1 (x, y) R
Decorre desta definição que R-1 é o conjunto dos pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos de cada par.
Ex.1: Se A = {2; 3; 4; 5} e B = {1; 3; 5; 7}, quais são os elementos de R e R-1 sabendo que
R = {(x; y) A x B | x < y} Solução:
Observando os diagramas, podemos descrever os pares ordenados.
𝑅 = {(2; 3), (2; 5), (2; 7), (3; 5), (3; 7), (4; 7), (5; 7)}
𝑅−1 = {(3; 2), (5; 2), (7; 2), (5; 3), (7; 3), (7; 4), (7; 5)}
CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Ex.2: 𝑆𝑒 𝐴 = { 𝑥 ℝ | 1 𝑥 4} e 𝐵 = { 𝑦 ℝ | 2 𝑥 8}, representar no plano cartesiano as relações R e R-1 sendo R = { (x; y) A x B | y = 2x}.
PROPRIEDADES DA RELAÇÃO INVERSA
As seguintes propriedades da relação inversa são evidentes e podemos percebe-las simplesmente observando os dois exemplos anteriores. P1: A imagem de uma relação é o domínio de sua inversa. P2: O domínio de uma relação é a imagem de sua inversa. P3: (R-1)-1 = R
22) Enumerar os elementos de R-1, relação inversa de R, nos seguintes casos: a) R = {(1; 3), (3; 1), (2; 3)} b) R = {(1; -1), (2; -1), (3; -1), (-2; 1)} c) R = {(-3; -2), (1; 3), (-2; -3), (3; 1)}
MATEMÁTICA I 19 RELAÇÕES e FUNÇÕES
23) Enumerar os elementos e esboçar os gráficos de R e R-1, relações binárias de A = { x ℕ | x 10 }. (Dica: faça R e R-1 no mesmo plano usando cores distintas)
a) R = {(x; y) A2 | x + y = 8}
b) R = {(x; y) A2 | x + 2y = 10}
c) R = {(x; y) A2 | y = (x – 3)2 + 1}
d) R = {(x; y) A2 | y = 2x }
CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
24) A = {x ℝ | 1 x 6 } e B = {y ℝ | 2 y 10 }. Dados os conjuntos A e B acima e as relações R a seguir, pede-se o gráfico cartesiano dessas relações e das respectivas relações inversas.
a) R = {(x; y) A x B | x = y }
b) R = {(x; y) A x B | y = 2x }
c) R = {(x; y) A x B | y = x + 2 }
d) R = {(x; y) A x B | x + y =7 }
25) Considere a relação R: ℤ → ℤ 𝑅 = { (𝑥; 𝑦) ℤ2 | | 𝑥 | + | 𝑦 | = 3}
Escreva: a) Im (R)
MATEMÁTICA I 21 RELAÇÕES e FUNÇÕES
b) D (R) c) Nesta relação, existe algum elemento do domínio que não possui imagem? E existe algum elemento que possui mais de uma imagem? d) Faça a representação cartesiana desta relação.
26) Vamos responder as mesmas perguntas propostas na questão anterior, agora para a relação
R = { (x; y) 2| y = x2} Escreva: a) Im (R)
b) D (R) c) Nesta relação existe algum elemento do domínio que não possui imagem? E existe algum elemento que possui mais de uma imagem? d) Faça a representação cartesiana desta relação.
CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
FUNÇÕES
Dados dois conjuntos não vazios A e B*,
uma relação f de A em B recebe a denominação de função de A em B se, e
somente para todo x A existe um único (𝑥, 𝑦) 𝑓.
f é uma função de A em B
( x A, y B | (x; y) f)
É importante notar que:
Todo elemento de A deve ser associado a um elemento de B;
Para um dado elemento de A associamos um único elemento de B.
Usando o conceito de domínio e
imagem que já estudamos em relações, podemos dizer também, que:
f : A B é uma função se todo elemento do domínio possui somente
uma imagem.
Veja, a seguir, alguns exemplos que
ilustram relações de A em B. Note que algumas delas expressam função e outras não.
* Em todo nosso estudo de funções, fica estabelecido que A e B são conjuntos formados por números reais, ou seja, A e B estão contidos em ℝ.
Vamos considerar os conjuntos
A = {0, 1, 2, 3} e B = { -1, 0, 1, 2, 3} e as seguintes relações binárias:
R = {(x; y) A x B | y = x + 1}
S = {(x; y) A x B | y2 = x2}
T = {(x; y) A x B | y = x}
V = {(x; y) A x B | y = (x -1)2 -1}
W = {(x; y) A x B | y = s} Começaremos pela relação R:
Desta forma temos:
R = { (0; 1), (1; 2), (2; 3) }
Para cada elemento x A com exceção do 3, existe um só elemento
y B tal que (x; y) R.
Para o elemento 3 A, não existe y B
tal que (3; y) R. Neste caso, como existe elemento de A
que não possui imagem, R NÃO é uma função de A em B.
MATEMÁTICA I 23 RELAÇÕES e FUNÇÕES
Vejamos agora a relação S que associa x e y em pares de números que possuem o mesmo quadrado.
S = { (0; 0), (1; -1), (1; 1), (2; 2), (3; 3)}
Para cada elemento x A, com exceção
do 1, existe um só elemento y B tal que
(x; y) S. Para o elemento 1, existem dois
elementos de B, o 1 e o -1, tais que (1, -1) S
e (1, 1) S. Assim, S NÃO é uma função pois existe elemento do domínio que possui mais de uma imagem. Agora, a relação T:
T = { (0; 0), (1; 1), (2; 2), )3; 3) }
Para todo elemento x A sem exceção,
existe um só elemento y B tal que (x; y) T. Então T É UMA FUNÇÃO de A em B.
Veja a relação V agora:
V = { (0; 0), (1; -1), (2; 0), (3; 3) }
Para todo elemento x A sem exceção,
existe um só elemento y B tal que (x; y) V. Então S É UMA FUNÇÃO de A em B.
Vamos encerrar esta série com a
relação W.:
W = { (0; 2), (1; 2), (2; 2), (3; 2) }
Para todo elemento x A sem exceção,
existe um só elemento y B tal que (x; y) W.
Então W É UMA FUNÇÃO de A em B.
Estas três últimas relações: T, V e W que apresentam a particularidade: “Para todo
elemento x A sem exceção, existe um só
elemento y B tal que (x; y) pertence à relação”, logo são funções de A em B.
CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Quando analisamos uma relação a partir da representação por diagrama de flechas em dois conjuntos A e B, devemos observar duas condições para que a relação de A em B seja uma função de A em B:
1. Deve sair flecha de TODOS os
elementos de A. 2. Deve sair apenas uma flecha de
cada elemento de A.
Estas duas condições apenas afirmam o que foi dito no início da página 22 desta
apostila. Lá está afirmando que f: A B é uma função se todo elemento de A possui uma (condição 1) e somente uma (condição 2) imagem.
Vamos identificar, nos diagramas a
seguir, onde está e onde não está representada uma função de A em B justificando, quando for o caso.
a)
Função? Justifique:
b)
Função? Justifique:
c)
Função? Justifique:
d)
Função? Justifique:
e)
Função? Justifique:
f)
Função? Justifique:
MATEMÁTICA I 25 RELAÇÕES e FUNÇÕES
Podemos verificar também se uma
relação é ou não função a partir de sua representação gráfica.
Para tal, basta verificarmos se todas as retas paralelas ao eixo das ordenadas que podemos traçar dentro do domínio da relação toca o gráfico em um e somente um ponto, veja nos exemplos que seguem.
Vamos identificar, nos gráficos a seguir,
onde está e onde não está representada uma função de A em B ficando atentos para o domínio determinado e justificando, quando for o caso.
a) A = [-1; 2] e B =
Função? Justifique:
b) A = [-2; 2] e B =
Função?
Justifique:
c) A = [0; 4] e B =
Função? Justifique:
______________________
EXEMPLOS COMPLEMENTARES Ver R.6 e R7 das Páginas 123 e 124
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27) Assim como foi feito no exemplo da página 24, identifique cada uma das relações de A em B abaixo, apresentadas sob forma de diagrama, como função ou não e a seguir, justifique. a)
CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
b)
c)
d)
e)
f)
28) Dentre os gráficos abaixo, identifique aqueles que apresentam ou não apresentam função justificando sua resposta ficando sempre atento ao domínio dado. a)D = [1; 4]
b) D = [-4; 3]
c) D = [-7; 7]
MATEMÁTICA I 27 RELAÇÕES e FUNÇÕES
d) D = [-4; 4]
e) D =
f) D =
g) D =
h) D =
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Dada uma função f: A B sendo
f = {(x, y) A x B}, assim como vimos nas relações, os valores que a ordenada y admite, formam o conjunto chamado IMAGEM. Veja, nos dois exemplos a seguir, a determinação da imagem de uma função.
Ex.: Dado A = {1, 2, 3, 4}, consideremos a
função f: A definida por f(x) = 2x, temos:
Para x = 1, 2121f
Para x = 2, 4222f
Para x = 3, 6323f
Para x = 4, 8424f
A imagem desta função é
Im(f) = {2; 4; 6; 8}
CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Ex.: Determinar a imagem da função f: D ℝ definida por f(x) = x3 – x + 10, sendo D = { -2; -1; 0; 1; 2}. Para x = -2
4102810222f3
Para x = -1
10101110111f3
Para x = 0
10100010000f3
Para x = 1
10101110111f3
Para x = 2
16102810222f3
Logo, Im(f) = {4; 10; 16} Observe que três elementos do domínio (-1, 0 e 1) possuem a mesma imagem (10). Isto é permitido no conceito de função, pois ele exige que cada elemento do domínio tenha somente uma imagem. Nada impede que um mesmo elemento do contra-domínio tenha mais de uma contra-imagem.
Lembre-se que, para que f: A B seja uma função o que não pode ocorrer é um dado elemento de A não ter imagem ou ter mais de uma imagem.
29) Determine o conjunto imagem em cada uma das funções a seguir apresentadas sob forma de diagrama de flechas. a)
b)
c)
MATEMÁTICA I 29 RELAÇÕES e FUNÇÕES
30) Sendo f: A , uma função definida por f(x) = 3x2 + 1, determine a imagem de f sabendo que
13 ;3 ;3
2 ;5 ;5A
31) Seja f: a função definida por
1x
2xf
2 . Calcule:
a) 1f
b)
2
1f
c) 2f
d) 21f
32) Se 1x
1
x
1xf
, qual é o valor de
f(1) + f(2) + f(3)?
CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
33) Determine a imagem de cada função:
a) f: A dada por x
1xxf e
3 ;2 ;1 ;2
1 ;
3
1A
b) f: D dada por 11xxf e
2 ;1 ;0 ;1 ;2D
34) Na função f: definida por f(x) = 7x – 3, para que valor de x tem-se f(x) = 18?
35) Na função f: definida por f(x) = x2 – 2x, para que valor de x tem-se f(x) = 3? E f(x) = 0?
MATEMÁTICA I 31 RELAÇÕES e FUNÇÕES
36) Uma função definida por 1x2
1xxf
tem
imagem Im(f) = {-3; -1; 1; 3; 5}. Qual o domínio de x?
37) Dada 1xxf , calcule o valor de x
para o qual se tem f(x) = 2.
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ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 123 – Exercícios 17 a 22
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Imagem a partir de um Gráfico Para determinar a imagem de uma função a partir do seu gráfico, devemos observar quais são os valores do eixo vertical que possuem uma contra-imagem no eixo OX. De forma prática, entretanto, basta traçar-mos retas horizontais. Todas aquelas que tocarem o gráfico em pelo menos um ponto determinam, no eixo OY a imagem.
Veja nos exemplos a seguir.
Vamos determinar a imagem de cada uma das funções abaixo apresentadas pelos seus gráficos. a)
Im = [a; b]
CÁSSIO VIDIGAL 32 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
b)
Im = [a; b]
c)
Im = [a; b[ - {0}
d)
Im = [-2; 0[ ]1; 3[
e)
Im = {1; 3}
38) Seguem 12 gráficos montados em uma malha quadriculada. Sabendo que cada quadrinho representa uma unidade, determine a imagem da função em cada caso. a)
b)
c)
CÁSSIO VIDIGAL 34 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
j)
k)
l)
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
Considerando que toda função de A em B é uma relação binária então f tem uma imagem, como já vimos, e também um domínio.
Chamamos de domínio o conjunto D dos
elementos x A para os quais existe y B tal
que (x; y) f. Como pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedades, temos, nas funções:
Domínio = conjunto de partida
É importante ressaltar que os elementos que formam o domínio são aqueles assumidos pela abscissa, desta forma, no plano cartesiano, o domínio são os valores neste eixo (eixo horizontal).
DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO
Tomemos algumas funções e
determinemos o seu domínio:
Ex.1: 𝑓(𝑥) = 2𝑥
Notemos que 2𝑥 ℝ para todo 𝑥 ℝ, temos,
então D = ℝ
Ex.2: 𝑓(𝑥) = 𝑥2
Notemos que x2 ℝ para todo x ℝ, temos,
então D = ℝ
Ex.3: x
1xf
Notemos que x
1 ℝ se, e somente se, x é real
diferente de zero, temos, então, D = ℝ∗.
MATEMÁTICA I 35 RELAÇÕES e FUNÇÕES
Ex.4: xxf
Notemos que x ℝ se, e somente se, x é
real e não negativo, então D = ℝ+
Ex.: 5 3 xxf
Notando que 3 x ℝ para todo x ℝ, temos,
então, D = ℝ
39) Determine o domínio de cada uma das funções reais a seguir:
a) 2x3xf
b) 2x
1xf
c) 4x
1xxf
2
d) 1xxf
e) 1x
1xf
f) 2x
2xxf
g) 3 1x2xf
CÁSSIO VIDIGAL 36 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
h) 3 3x2
1xf
i) 3x
2xxf
3
Domínio a partir de um Gráfico Para determinar o domínio de uma função a partir do seu gráfico, devemos observar quais são os valores do eixo horizontal que possuem uma imagem no eixo OY. De forma prática, entretanto, basta traçar-mos retas verticais. Todas aquelas que tocarem o gráfico determinam, no eixo OX, o domínio. Lembre-se que nenhuma destas retas verticais podem tocar o gráfico em mais de um ponto. Caso isto ocorra, o gráfico não representa uma função.
Veja nos exemplos a seguir.
Ex.1:
D = [a; b]
Ex.: 2
D = [a; b]
Ex.: 3
D =
Ex.: 4
D = *
MATEMÁTICA I 37 RELAÇÕES e FUNÇÕES
40) Todos os gráficos a seguir representam funções. Determine o domínio de cada uma delas. a)
b)
c)
d)
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ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 127 – Exercícios 24, 25 e 26 ______________________
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Quando o domínio e o contradomínio de
uma função f são subconjuntos de ℝ, dizemos que f é uma função real de variável real. Neste caso, podemos fazer uma representação geométrica da função assinalando num sistema de coordenadas
cartesianas os pontos (x; y) com x D e y = f(x). Estes pontos formam o que chamamos de gráfico de f.
Ex.1: Fazer o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 3
definida no domínio 𝐷(𝑓) = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Resolução:
Para cada x D(f), calculamos y = f(x) e obtemos um ponto (x; y) do gráfico. Temos:
Para x = 0 → 33020fy
Para x = 1 → 13121fy
Para x = 2 → 13222fy
Para x = 3 → 33323fy
Para x = 4 → 53424fy
Para x = 5 → 73525fy
CÁSSIO VIDIGAL 38 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
O gráfico de f é formado pelos pontos A(0; -3), B(-1; 1), C(2; 1), D(3; 3), E(4; 5) e F(5; 7).
Ex.2: Fazer o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 3
definida no domínio D(f) = {x ℝ | 0 x 5}. Resolução: Neste caso temos a mesma lei do exemplo anterior, y = f(x) = 2x – 3, porém o intervalo do domínio é [0; 5]. Assim, além dos pontos A,B C, D, E e F, devemos, também, considerar os pontos situados “entre eles”, no
segmento de reta AF . Veja, por exemplo:
Para x = 0,5 → 235,025,0fy
Para x = 2,25 → 5,1325,2225,2fy
Ex.3: Fazer o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 3 definida no domínio D(f) = ℝ Resolução: Temos, mais uma vez, a mesma lei
dos exemplos anteriores, 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 3, mas o domínio é formado por todos os
números reais. Assim, além do segmento AF , devemos considerar pontos À direita, com abscissa x > 5 e pontos à esquerda com x < 0. Veja, por exemplo:
Para x = 6 → 93626fy
Para x = -1 → 53121fy
O gráfico é, neste caso, a reta AF que não tem fim de um lado nem de outro.
MATEMÁTICA I 39 RELAÇÕES e FUNÇÕES
41) Faça o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 6 – 𝑥 nos casos: a) sendo o domínio D = {1; 2; 3; 4; 5}
b) sendo D = {x | 1 x 5}
c) sendo D =
42) Faça o gráfico da função 2
xxf nos
casos. a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2}
b) sendo D = {x | -2 x 2}
c) sendo D =
CÁSSIO VIDIGAL 40 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
43) Faça o gráfico da função 2xxf nos
casos. a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2} Para x = -2, y = _______ Para x = -1, y = _______ Para x = 0, y = _______ Para x = 1, y = _______ Para x = 2, y = _______
b) sendo D = {x | -2 x 2}
c) sendo D =
44) Faça o gráfico da função xxf nos
casos. a) sendo o domínio D = {0; 1; 2; 3; 4}
b) sendo D = +.
MATEMÁTICA I 41 RELAÇÕES e FUNÇÕES
45) Faça o gráfico da função 2
1xxf
com
domínio D = ℝ. (Obtenha pontos do gráfico escolhendo valores para x e calculando y = f(x))
46) Faça o gráfico de f(x) = 2x + 1 com domínio D = [0; 3[
CÁSSIO VIDIGAL 42 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
47) Faça o gráfico de f: [-1; 5] , definida
por 2
x5xf
.
48) Faça o gráfico de f: [-2; 2] , definida
por 2
xxf
2
.
MATEMÁTICA I 43 RELAÇÕES e FUNÇÕES
FUNÇÃO CONSTANTE
Dado um número real k, podemos considerar uma função que a todo número real x faz corresponder o número k:
f: , com f(x) = k ( x )
Esta função é denominada função constante. O gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas passado por todos os pontos de ordenada y = k.
Observe que o domínio é D(f) = e a
imagem é Im(f) = { k }.
Ex.1: Construir o gráfico da função
f: dado por f(x) = 2. Resolução Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), veja:
Ex.2: Construir o gráfico da função
f: + dado por f(x) = 2. Resolução Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), mas agora há uma restrição no domínio. Veja:
49) Faça o gráfico da função
f: dado por f(x) = - 1.
50) Faça o gráfico da função
f: dado por
0 xse1-
0 xse,1xf .
CÁSSIO VIDIGAL 44 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
RESPOSTAS 1)
2) A(-3, 5) B(1, 3) C(0, 2) D(3, 1) E(-2, 0) F(4, -1) G(-3, -2) H(-2, -2) J(-2, 0)
3)
4)
5) a)
b)
c)
6) a) A x B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
b) B X A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}
c) A2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}
d) B2 = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}
7) a) A x B = {(1, 9), (2, 9), (3, 9), (4, 9), (5, 9)} B x A = {(9, 1), (9, 2), (9, 3), (9, 4), (9, 5),}
b) A x B = {(5, 7)} B x A = {(7, 5)}
c) A x B = Ø B x A = Ø
8) a) 50 b) 50 c) Não pois o produto cartesiano não
admite a propriedade comutativa. A x B = B x A se, e somente se A = B ou se um dos conjuntos for vazio.
9) a) K = {(2, 10), (4, 8), (6, 6), (8, 4)}
b) L = {(5, 10), (6, 10), (7, 8), (7, 10), (8, 8), (8, 10)}
c) M = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (5, 2)}
10) T = {(3, 1), (3, 3), (3, 5), (6, 1), (6, 3)}
MATEMÁTICA I 45 RELAÇÕES e FUNÇÕES
11) (Resolução) O número de elementos de A2 é igual ao quadrado de elementos de A, portanto
n(A2) = [n(A)]2 [n(A)]2 = 9 n(A) = 3 Se A é um conjunto de 3 elementos,
(1, 2) A2 e (4, 2) A2, concluímos que A = {1, 2, 4} Assim sendo, A2 = A x A = {(1; 1), (1; 2), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 4), (4; 1), (4; 2), (4; 4)}
12) A2 = {(-2; -2), (-2; 0), (-2; 1), (-2; 3), (0; -2), (0; 0), (0; 1), (0; 3), (1; -2), (1; 0), (1; 1), (1; 3), (3; -2), (3; 0), (3; 1), (3; 3)}
13) A x B = {(-1; -1), (-1; 0), (-1; 2), (-1; 5), (0; -1), (0; 0), (0; 2), (0; 5), (2; -1), (2; 0), (2; 2), (2; 5)}
14) 54
15) R = {(2; 2), (2; 4), (2; 6), (4; 2), (4; 6), (6; 2), (6; 4)}
16) R = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 5), (3; 1), (3; 2), (3, 4), (3; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (5; 1), (5, 2), (5; 3), (5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 5)}
17) a) D = {1, 2} Im = {1, 3, 4} b) D = {-2, -1, 2, 3} Im = {-7, 1, 4}
c) D = {1, 2, 5} Im = {-3, 1, 2 }
d) D = { 31 , 21 }
Im = {1, 2 }
e) D = {3,
2
5,2
3 }
Im = {
2
1, -1, 0}
18) a) R = {(-2; 4), (-1; 3), (0; 2), (1; 1)
D = {-2; -1; 0; 1} Im = {1; 2; 3; 4}
b) R = {(-2; 4), (2; 4), (-1; 1), (1; 1)}
D = {-2; -1; 1; 2} Im = {1; 4}
CÁSSIO VIDIGAL 46 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
c) R = {(-2; -2), (-2; 2), (-1; -1), (-1; 1), (1; -1), (1; 1), (2; -2), (2; 2)}
D = {-2; -1; 1; 2} Im = {-2; -1; 1; 2}
d) R = {(-1; 4), (0; 3), (0; 4), (1; 2),
(1; 3), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4)}
D = {-1; 0; 1; 2} Im = {1; 2; 3. 4}
e) R = {(-2; -3), (-2; -1), (-1; -2),
(0; -1), (0; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 3)}
D = A Im = {-3; -2; -1; 1; 2; 3}
19) a) R = {(2; 2), (2; 4), (2; 6), (4; 2), (4; 6), (6; 2), (6; 4)}
Im = {2; 4; 6}
b) R = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 5), (3; 1), (3; 2), (3; 4), (3; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 5)}
Im = A
20) a)
MATEMÁTICA I 47 RELAÇÕES e FUNÇÕES
b)
c) d = [2; 6] e Im = [1; 3]
21) a)
b) D = A e Im = B c) R S = Ø
22) a) R-1 = {(2; 1), (1; 3), (3; 2)} b) R-1 = {(-1; 1), (-1; 2), (-1; 3),
(1; -2)} c) R-1 = {(-2; -3), (3; 1), (-3; -2),
(1; 3)}
23) a) R = {(0; 8), (1; 7), (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2), (1; 7), (8; 0)} R-1 = {(0; 8), (1; 7), (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2), (1; 7), (8; 0)}
23) (Cont.)
b) R= {(0; 5), (2; 4), (4; 3), (6; 2), (8; 1), (10; 0) } R-1 = {(5; 0), (4; 2), (3; 4), (2; 6), (1; 8), (0; 10) }
c) R= {(0; 10), (1; 5), (2; 2), (3; 1),
(4; 2), (5; 5), (6; 10)} R-1 = {(10; 0), (5; 1), (2; 2), (1; 3), (2; 4), (5; 5), (10; 6)}
23) (Cont.)
d) R= {(0; 1), (1; 2), (2; 4), (3; 8)} R-1 = {(1; 0), (2; 1), (4; 2), (8; 3)}
24) a)
CÁSSIO VIDIGAL 48 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
b)
c)
d)
25) a) Im (R) = {-3, -2, -1, 0,1, 2, 3} b) D (R) = {-3, -2, -1, 0,1, 2, 3} c) O 4, por exemplo, não possui
imagem e o 2 possui duas imagens que são -1 e 1.
d)
26) a) Im (R) = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... }
b) D (R) = {..., -3, -2, -1, 0,1, 2, 3, ...}
c) Não pois qualquer número pode ser elevado ao quadrado. Não
pois todo número possui apenas um quadrado
d)
27) a) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem.
b) É função pois todos os elementos do domínio possuem uma e somente uma imagem.
c) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem.
d) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem além de elemento que possui mais de uma imagem.
e) É função pois todos os elementos do domínio possuem uma e somente uma imagem.
f) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem além de elemento que possui mais de uma imagem.
28) a) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem.
MATEMÁTICA I 49 RELAÇÕES e FUNÇÕES
b) Função c) Função
d) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem.
e) Função f) Função
g) Não é função pois existem elementos do domínio que não possuem imagem.
h) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem.
29) a) Im = {-1; 0; 1} b) Im = {-1} c) Im = {-1, 2}
30)
76 ;3613 ;10 ;3
7fIm
31) a) 1 b) 5
8
c) 3
2 d)
2
22
32) 4
3
33) a)
2 ;2
5 ;
3
10fIm
b) 4 ;3 ;2 ;1fIm
34) Resolução:
3x
21x7
183x7
18xf e 3x7xf
35) f(x) = 3 para x = 3 ou x = -1
f(x) = 0 para x = 0 ou x = 2
36)
3
2 ;
5
4 ;2 ;0 ;
7
2fD
37) x = 3
38) a) Im = {-2, 0, 2} b) Im =
c) Im = [-2; 2] d) Im = {y | -4 x -2 ou -1 < x
4}
e) Im = {y | x -1}
f) Im = {y | x > 2 ou x = 1} g) Im = {-2; -1; 0; 2; 3; 4} h) Im = [1; 4[ i) Im = [-4; 3[ j) Im = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} k) Im = [-2; 3]
39) a) D
b)
2x|xD ou 2D
c) Resolução
2x e 2x|xD
2x
4x
04x
4x
1xxf
2
2
2
d) 1x|xD
e) 1x|xD
f) 2x e 2x|xD
g) D
h)
2
3D
i) 3D
40) a) [-3; 4[ b) [-3; 3] - {-1; 1} c) * d) *
41) a)
MATEMÁTICA I 51 RELAÇÕES e FUNÇÕES
46)
47)
48)
49)
50)
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
DANTE, Luiz Roberto; Matemática.
São Paulo, Ática, 2004
MACHADO, Antônio dos Santos;
Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual,
1988
IEZZI, Gelson e outros; Matemática,
Volume único. São Paulo, Atual, 2002
VÍDEOS SUGERIDOS NESTA APOSTILA
Pág. 05 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/relacoes-entre-conjuntos-1/ Pág. 09 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/relacoes-entre-conjuntos-2/ Pág. 25 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/conceito-de-funcao Pág. 38 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/conceito-de-funcao-2