CONTROLE DA RESISTÊNCIA DO

CONCRETO, ESTRUTURAS

EXISTENTES E A TEORIA DA

CONFIABILIDADE

Fernando Rebouças Stucchi

São Paulo, Out.-2015

Resumo

1. Segurança estrutural

2. Teoria da Confiabilidade e as variabilidades

3. Método semi probabilístico e as normas

4. Teoria da Confiabilidade aplicada a pilares

5. Estruturas Existentes ou em Construção

considerando a NBR12655

6. Nota sobre o efeito tempo nas deformações

e nas resistências

1. A Segurança Estrutural

1.1 Essa segurança exige:

–Confiabilidade

Probabilidade de ruína bastante pequena

–Dutilidade

Capacidade de adaptação e aviso

–Fidelidade

Ausência de alarme falso

–Durabilidade

Manutenção dessas 3 qualidades ao longo da vida útil com custo limitado

–Robustez

Eventual Ruptura ou mesmo colapso não são

desproporcionais às causas

1.2 Os fatores definidores da segurança

Concepção da solução

Modelo de cálculo

Ações consideradas

Dimensionamento

Detalhamento

Execução

Operação

Manutenção

Segurança

analítica

Seg. empírica

Segurança

empírica

Segurança

especificada

2. A Teoria da Confiabilidade e as variabilidades.

Métodos probabilísticos podem hoje ser usados

para analisar a coerência e homogeneidade, isto é,

calibrar as normas estruturais.

Para essa análise tem sido usado em geral o

método probabilístico condicionado, onde as seções

críticas estão previamente definidas, seja nas

estruturas isostáticas, seja nas hiperestáticas.

Para efetuar essa análise é preciso conhecer as

variáveis aleatórias a considerar e seus parâmetros

estatísticos: tipo de distribuição, média e desvio

padrão, bem como o quantil do valor nominal.

2.1. Resistência do concreto à compressão

O material recebido do fornecedor deve respeitar

a resistência característica:

fck = fcm(1-1,64cv) onde o cv é variável, mas é da

ordem de 10% entre 25 e 35MPa

Como o concreto na estrutura é diferente e mais

difícil de homogeneizar que no corpo de prova, temos

pelo menos 15% de variabilidade total (difícil de avaliar)

a considerar.

Define-se esse material pelo fck , viés fcm/fck=1.2 e

distribuição normal com coeficiente de variação 15%

f(fc)

fc

45%

1-F(fc) = 95%

fcm=1.2* fck

fck=(1-1.64*0,1) fcm=0,836fcm

fck,ef=(1-1,64*0,15)fcm=0,754fcm

fck fck,ef

50%

2.2. Resistência do concreto à tração

O material recebido do fornecedor deve respeitar

a resistência característica:

fctk = fctm(1-1,64cv) onde o cv é variável, mas é da

ordem de 12.5% entre 25 e 35 MPa

Como o concreto na estrutura é diferente e mais

difícil de realizar que no corpo de prova, devemos

considerar pelo menos 20% de coeficiente de

variação total

Define-se esse material pelo fctk , viés fctm/fctk=1.26 e

distribuição normal com coeficiente de variação 20%

2.3. Cargas Permanentes e Variáveis:

a. Para cargas permanentes, a NBR 8681 estabelece que

devem ser considerados os valores médios das respectivas

distribuições, a menos de casos especiais como empuxos de

terra. DNormal, CV 10%.

b. Para cargas variáveis em geral, ela estabelece que se tomem

os valores com período médio de retorno de 140 anos.

DGumbel, CV 20%

(o vento é um caso especial onde se aceita PMR de 50

anos, cf NBR6123)

c. Na NBR 6120, a maioria dos valores são nominais. Faltam

muitos estudos estatísticos para uma melhor definição deles

2.4. As incertezas ligadas aos modelos da cálculo

também devem ser consideradas e certamente

variam com o problema em estudo. Modelos

racionais bem estabelecidos como o de flexão

são muito diferentes de modelos empíricos como

o de punção.

Incertezas ligadas aos modelos de cálculo

englobando solicitações e resistências têm

distribuição normal e parâmetros:

Tipo deEsforço

ViésVnom/Vm

Coef. Variação

Flexão 1,02 0,06

F. Cortante*C/ armadura

1,08 0,10

F. Cortante*S/ armadura

1,16 0,11

Pilares 1.00 0,08

* F. Cortante-tração Cf. A. Nowak

Análise da

diferença teoria

experiência

Comprovação

experimental

das equações

da Punção na

NBR6118

VARIÁVEL Distribu. Média CV (%)

Compressão Concreto

Normal 1.196fck 15%

Tração Concreto

Normal 1.258fctk 20%

Tração/Comp Armadura

Normal 1.089fyk 5%

Geometria - h Concreto

Normal 1.0V.Proj. 5%<3cm

Geometria - d Conc-Aço

Normal 1.0V.Proj. 8%<4cm

Geometria - As Armadura

Normal 1.0V.Proj. 1.5%

Ações Permanentes

Normal 1.05V.Proj. 10%

Ações Variáveis

Gumbel Tipo I

0.934V.Proj.

20%

Modelos de Cálculo

Normal Variável -

2.5 Resumo das variáveis aleatórias e seus parâmetros

Valores adotados pelo Nowak-ACI

Média 1,22 0,144 Controle em todos os EUA

Muito diferente do Brasil

Ok, bate com nossos

Valores adotados pelo Sorensen-Dinamarca-EC0-JCSS

Esses 15% são 10% material e 11% concretagem

*

Conforme proposta de Vrouwenvelder-Holanda-JCSS

Valor médio fcm = nom + 2S = fck + 2S

V = 0,1 a 0,18 – pode ser maior que 15%

fcm = 1,2 fck a 1,36 fck – pode ser maior que 1,2 fck

Reliability index – target values - ACI

Lajes – 2,5

Vigas – 3,3

Pilares – 3,8 – EC0!!

3. Método Semi-probabilístico

3.1 - Resistência de cálculo do concreto.

c

ckcd

γ

ff

3.2 - Resistência de cálculo do aço.

s

yk

ydγ

ff

3.3 - Solicitação de cálculo.

fRkRd γSS .

Coeficiente de Ponderação das resistências

As resistências deverão ser minoradas pelo coeficiente

m = m1 x m2 x m3 , onde:

m1 : considera a variabilidade da resistência dos materiais

envolvidos

m2 : considera a diferença entre a resistência do material

no corpo de prova e na estrutura

m3 : considera os desvios gerados na construção e as

aproximações feitas em projeto do ponto de vista das

resistências.

As ações deverão ser majoradas pelo coeficiente

f = f1 x f2 x f3 onde:

f1 : considera a variabilidade das ações

f2 : considera a simultaneidade de atuação das ações

( f2 = o, 1 ou 2)

f3 : considera os desvios gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações

Coeficientes de Ponderação das ações

Cf Fusco

Controle de Resistencia do Concreto – NBR 12655

1. Amostragem parcial

Conforme a NBR12655

Amostragem parcial Das amassadas (betonadas) escolhidas se tiram 2 CP. Das

resistências medidas f1>f2 se toma a maior f1

• 6n<20 16m

1m1ckest ff

1m

f...f2f

m = parte inteira de n/2

f1< f2<....fn

6 estimador

n 6 8 10 12 14 16

6 ,92 ,95 ,97 ,99 1,00 1,02

Para controle A (rigoroso) de concretos com fck entre 20 e 80 MPa

• n20 ncmckest S65,1ff

fcm = média

Sn = desvio padrão

2. Amostragem total

0

5

10

15

20

25

30

35

14,0 16,0 18,0 20,0 22,0 24,0 26,0 28,0 30,0

Fre

qü

ên

cia

Fck

fck=20MPa fcm=24,2MPa

S =2,5MPa

UNIVERSO

BETONADAS

Cf Fusco

Amostragem total – Distribuição por amostragem da média

da betonada

Cf Fusco

Amostragem total – Distribuição por amostragem do desvio

padrão da betonada

Conforme a NBR12655

Amostragem total São retirados 2 CP de todas as amassadas. Das resistencias

fi>fii se toma sempre a maior fi.

• 1< n<20

• n20

1ckest ff

ickest ff

i = parte inteira de 1+0,05n

Não existe o limite inferior

n pode ser 1! Houve um

limite anterior 6 retificado

Retirado na

última revisão

Na verdade, o processo de produção gera uma série de

sub-universos, cada um correspondente a uma betonada.

Assim, não se tem um universo contínuo, representado por

média e desvio padrão (cv~10%), como sempre se considerou

para amostragem parcial, mas um conjunto de tantos

sub-universos quantas forem as betonadas.

Cada uma delas tem uma média e um desvio padrão, difícil

de medir por se pequeno, por conta da influencia da

precisão dos ensaios. Esse cv conjunto, juntando erro de

medida e variabilidade é da ordem de 4,5% (Ver ABESC)

Não sabendo como dividi-lo, deveríamos adotar o cv da

betonada como sendo 4,5%

É possivel mostrar que o cv da distribuição por amostragem da

média é 9% de modo que o cv dos CPs seja o usuail 10%.

Dentro dessas circunstâncias, uma avaliação mais realista

do fck da betonada seria;

fck = fcm (1-1,645*0,045) ~ 0,93*fcm

E não f1 como manda a norma NBR 12655

A ideia de adotar fck = 0,93*f1 pode parecer boa, mas

veremos pelas simulações que o resultado ainda não é bom.

Isso decorre do fato que f1 pode ser maior que fcm, gerando

uma estimativa insegura de fck.

Simulações numéricas da aplicação de NBR12655

Varias simulações foram feitas usando uma betoneira

virtual que produz aleatoriamente o concreto dadas suas

variabilidades

Para amostragem parcial o antigo amostrador espanhol

dá bom resultado, com risco do consumidor de ~ 5%

A dificuldade aparece com a amostragem total.

Nela o amostrador proposto na NBR12655 leva a um

risco do consumidor da ordem de 12%.

Vale observar que se o fck de projeto for 30MPa e f1 tenha

dado 28 MPa, o risco sobe para 27%.

Se em lugar de adotar como permite a NBR 12655

fck = f1, adotarmos fck = 0,93*f1, o risco do consumidor

cai para os desejáveis 5%.

Essa ideia é razoável já que o 0,93 saiu da definição

do fck = fcm (1-1,65*4,5%) = 0,93*fcm

O resultado, embora bom em média, é bastante ruim nos

casos possíveis em que f1 resultou suficientemente maior

que fcm. De fato f1 é usualmente maior que fcm e às

vezes relativamente muito!

Como veremos, será proposto usar a média dos CPs

nesse caso, certamente não na amostragem parcial!

4. Teoria da Confiabilidade aplicada a pilares

4.1. Introdução da Segurança

A. Normas – Nível 1

Rd (xi, extremos) Sd (yi, extremos)

B. Teoria Geral – Nível 3

G = (R (xi) – S (yi))extremos 0

4.2. Formulação de Basler/Cornell G = R - S

G

g

G G

G

G

2; RR

2; SS

SRG

2

S

2

RG G

G

Resistência

Solicitação

Se G tiver distribuição

normal a probabilidade de

ruína é dada por P(-)

Independentes

Basler definiu dois parâmetros muito úteis:

R = R / (R2 + S2)1/2

S = S / (R2 + S2)1/2

Sendo o um valor particular de , (pouco menor que ):

R - S > o . G > o . R . R + o . S . S

R - o . R . R > S + o . S . S

Isto é, Rd > Sd, ou seja,

o define os valores de cálculo Rd e Sd a partir da média

e do desvio padrão de R e S

Representação gráfica do ponto Rd, Sd :

Rd ,Sd

Rd

Sd

4.3 O Método de Monte-Carlo

Obtida a equação de controle, G, para o estado limite

de interesse, é possível determinar as correspondentes

probabilidades de ruína, ou coef. , por simulação de

Monte-Carlo, onde se constrói a distribuição de

probabilidade de G, a partir da aleatoriedade das variáveis.

Para isso é necessário dispor de um gerador de números

aleatórios, gerando em cada passo um valor para cada

variável aleatória e calculando G. O número de iterações

necessárias é tanto maior quanto menor essa probabilidade.

É possível considerar a interdependência entre variáveis

Esse procedimento, repetido ao longo de todo o domínio de

solicitações e proporções, permite verificar os coef. de

ponderação e de combinação .

Uma abordagem mais completa

dentro do método probabilístico condicionado:

Caso geral:

-Flexão composta

oblíqua, com forma,

posição da armadura e

excentricidades ey e ez

aleatórias

-Seção de controle é a

seção central

A. Caso de Pilares sob flexão obliqua

4.4 Exemplos de análise pela Teoria da Confiabilidade

Uma simplificação:

Flexão composta normal

-Flexão composta normal,

com as seguintes variáveis

aleatórias:

Ac, ec , eS1 , eS2 , AS1 , AS2

Além das outras como

resistências e ações…

B. Caso de Pilares sob flexão composta

/.[ ] . . 0,85. . . ( ). 1

'(0,39 0,01. ) 0,8.

M M s y c G LZ R S A f b h f N Nd

h

cc fhb

M

fhb

N

.... 2

Caso 1

D

Caso 2

10.050.1

20.000.1

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

β

ξ

Case 1 - fck = 25MPa

Column 20 x 60 Column 15 x 60

Column 12 x 60 Column 15 x 60 - γn=1,2

Column 12 x 60 - γn=1,35 β=3,8

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

β

ξ

Case 3 - fck = 25MPa

Column 20 x 60 Column 15 x 60

Column 12 x 60 Column 15 x 60 - γn=1,2

Column 12 x 60 - γn=1,35 β=3,8

2

C. Caso de Pilares com perda de segurança por

deficiencia do concreto

Exemplo – 60x60 fck 30MPa, 18cm2 CA50

Efeito de perda de resistência p/ 25MPa

Concreto D.Padrão %fcm D.Padrão Constante

PrRuina Beta PrRuina Beta

fck 30 1,3E-5 4,2 1,3E-5 4,2

fck 25 4,3E-5 3,9 5E-4 3.3

Qual é mais realista ???

Analises das perdas de resistência ao longo da peça

mostram que elas decorrem de falhas de adensamento,

como “bicheiras” por exemplo, em que a perda é

proporcional à resistência do concreto.

De fato, imagine uma bicheira de 20% da seção.

Se o concreto especificado fosse 30MPa, a perda seria

de Ac*6MPa.

Se o concreto efetivamente executado resultou em

20MPa, a perda seria de Ac*4MPa.

Assim o desvio padrão da resistência gerado pela

concretagem pode ser medido por percentagem da

media da resistência do efetivamente aplicado concreto.

5. Analise de Estruturas em Construção ou

Existentes considerando a NBR12655

- Estruturas Existentes – são assim chamadas

aquelas que tem muitos anos de bons serviços e

se deseja modificar seu uso com o mínimo de

reforços. Em determinadas circunstancias é

possível reduzir os gama!!!

- Estruturas em construção com problemas de

resistencia do concreto é outra coisa. Na verdade

já nasceu com defeito!!! Esse defeito, negativo,

pode sim ser compensado por alguma qualidade

bem identificada, positiva, mas é essencial

identificá-la!!!

5. Analise de Estruturas em Construção ou

Existentes considerando a NBR12655

Como vamos discutir amostragem total, precisamos

avaliar o CV desse concreto.

No caso do concreto controlado por A. Parcial temos:

CV material ~ 10% - medida + facil

CV do adensamento ~ 11% - medida muito difícil !!

CV conc na estrutura = Raiz [(10%)2 + (11%)2] = 15%

No caso do concreto controlado por A. Total temos:

CV material (1 betonada) ~ 4,5%

CV do adensamento ~ 11%

CV conc na estrutura = Raiz [(4,5%)2 + (11%)2] = 12%

5. Analise de Estruturas em Construção ou Existentes

5.1 Exemplo A. Pilar de 20x20cm, fck 25MPa, A. Parcial

CA50, 2cm2 (0.5%)

g = 70% da Carga Total

Projeto

As

16cm2

Projeto

As

2cm2

O.Exist.

1,5 x q

Idem

com

fck=30

Idem

com

21x21...

E.Cons *

fck=20

CV - 0,15

Beta

Basler

4,59

3,66 3,30 3,68 3,70 3,16

Beta

MCarlo

4,94 3,80 3,28 3,85 3,6 3,09

Pr

MCarlo

4xE-7 7,8xE-5

5,3xE-4 5,5xE-5 1,7xE-4 1,1xE-3

* DP Adens = 0,11x20 = 2,2MPa e não 0,11x25 !!! - CV=0,15

5. Analise de Estruturas em Construção

5.2 Exemplo B. Pilar de 20x20cm, fck 25MPa, A. Total

CA50, 2cm2 (0.5%)

g = 70% da Carga Total

Projeto

E.Cons *

Cp 25e21

fcm =23

fck,pr=25

E.Cons *

Cp 25e19

fcm =22

fck,pr=25

E.Cons *

Cp 22e18

fcm =20

fck,pr=25

E.Cons *

Cp 23e17

fcm =20

fck,pr=25

Beta

Basler

3,66

3,49 3,35 3,06 3,03

Beta

MCar

3,80 3,42 3,24 2,80 2,80

Pr

MCar

8xE-5 3,7xE-4 6,5xE-4 2,9xE-3 2,9xE-3

* DP Adens = 11% – CV=0,12

**

** 90% do risco está na resistência

do concreto!!!

5. Analise de Estruturas em Construção

5.2 Exemplo B. Pilar de 20x20cm, fck 25MPa, A. Total

CA50, 2cm2 (0.5%)

g = 70% da Carga Total

Projeto

E.Cons *

Cp 25e21

fcm =23

fck,pr=25

E.Cons **

Cp 25e21

fcm =23

fck,pr=23,3

E.Cons ***

Cp 25e21

fcm =23

fck,pr=21,4

E.Cons *

Cp 25e19

fcm =22

fck,pr=25

E.Cons **

Cps 25e19

fcm =22

fck,pr=23,3

E.Cons ***

Cps 25e19

fcm =22

fck,pr=20,5

Beta

Basler

3,66

3,49 3,76 4,0 3,35 3,63 4,0

Beta

MCar

3,80 3,42 3,74 4,12 3,24 3,56 3.96

Pr

MCar

8xE-5 3,7xE-4

1.0xE-4 2,0xE-5 6,5xE-4 2,1xE-4 5xE-5

* DP Adens = 11% – CV=0,12 ** fck,est=0,93fc1 ***0,93fcm,bet

f(fc)

fc

45%

1-F(fc) = 95%

fcm=1.2 * fck

fck=(1-1.64*0,1) fcm=0,836fcm

fck,ef=(1-1,64*0,15)fcm=0,754fcm

fck fck,ef

50%

Amostragem Parcial

fck,ef ~0,90fck

f(fc)

fc

45%

1-F(fc) = 95%

fcm=1.08 * fck

Fck,bet=(1-1.64*0,045) fcm=0,926fcm

fck,ef=(1-1,64*0,12)fcm=0,803fcm

Fck,bet fck,ef

50%

Amostragem Total

fck,ef ~ 0,75f1

f1>fcm

Conclusões

1. Revisar a NBR12655

2. Para Estrutura Existente, antiga ou nova com

problema de aceitação:

- Só dá para usar gamas menores se houver

compensação, com exceção do 1,1 da NBR6118.

- Numa estrutura antiga, aumento de carga pode ser

compensado por ganho de resistência (acima do CP2)

ou por melhoria executiva que pode ser justificada por

bons serviços ou por medições efetivas.

- Numa estruturas nova (com problemas) a perda de

resistência pode ser compensada por redução de

variabilidades ou por redução das cargas permanentes,

ou ainda por aumento efetivo das dimensões de

concreto ou aço! Mas isso deve ser comprovado!!

Proposta de modificação da NBR12655:

Amostragem total - Coeficiente redutor a aplicar na

média menor conforme o número N de betonadas

N – número de

betonadas

Fator redutor

1 0,93

2 0,94

3 0,95

4 0,96

5 0,97

6 0,98

7 a 20 1,0

Maior que 20 Eq. versão anterior

6. Nota sobre efeito do tempo

1. Fluência

2. Relaxação

3. Efeito Rusch

O fenômeno de fluência é aquele em que se

observam deformações crescentes

assintoticamente com o tempo em blocos de

concreto, sob tensão uniforme e permanente.

1. Fluência

11E

0

0

t0 t

0

(t)= (t)h

h

(t) =cte

O fenômeno de relaxação é aquele em que se

observam tensões decrescentes

assintoticamente com o tempo em blocos de

concreto, sob deformações impostas uniformes

e permanentes.

'1'1

1 00

EE

h

2. Relaxação

t0 t

h

t0 t

0

=cte

h

(t)

(t)

3. Efeito Rusch

O efeito Rusch corresponde à perda de resistência

à compressão do concreto quando sob carga mantida.

Na verdade esse fenômeno decorre essencialmente

do fato da resistência do concreto depender da

velocidade do ensaio. A ruptura sobrevem quando a

microfissuração avança o suficiente.

Ocorre que essa microfissuração avança lentamente,

de modo que compromete tanto mais a resistência

quanto mais lento for o ensaio.

Observação: cf Fusco

O coeficiente de modificação, Kmod, 0,85 aplicado no diagrama tensão-

deformação de calculo leva em conta a superposição de 3 fatores:

-Kmod1 perda de resistência sob carga mantida (efeito Rüsch) = 0,72;

-Kmod2 ganho de resistência com o tempo entre 28 dias e o final de vida da

estrutura (cobre cimento tipo CPI e II) = 1,23;

-Kmod3 coeficiente que corrige a influência da forma do corpo de prova

padrão (15 x 30) = 0,96

Esse coeficiente, que está explícito no diagrama tensão-deformação de

cálculo, está implícito em todos os outros valores de sRcd ou tRd da norma

NBR-6118.

Valor de cálculo da resistência do concreto com efeito Rusch

4. Comentários justificativos do Eurocode EC2

Na verdade, em muitas estruturas, como as pontes em processos

construtivos mais modernos , o concreto é bastante carregado muito

jovem! É o caso por exemplo de consolos sucessivos moldados in loco,

de grandes vigas pré-moldadas e protendidas em 24hs, mas também de

estruturas moldadas in loco e descimbradas em 2 semanas ou menos.

Mesmo edifícios, sejam baixos ou os últimos andares dos altos, são

carregados rapidamente.

Cuidado especial no Brasil

- Nossas estruturas são muito esbeltas

- E. Média Edifícios 15pav ~ 22cm x 34 EUA e 40 Chile

- Laje Pontes Vigas Pré-moldadas – 20cm sem estribos

Europa – 25cm com estribos

- Como não verificamos tensões em serviço elas

são muito altas, se aproximando do fck

Nós temos que tomar muito mais cuidado ao eliminar

o 0,85 que outros países como EUA e Europeus!!

OBRIGADO