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Sobre a Existência de In�nitas

Geodésicas Fechadas em

Good Orbifolds Riemannianos

Pablo Asdrúbal Díaz Sepúlveda

Tese apresentadaao

Instituto de Matemática e Estatísticada

Universidade de São Paulopara

obtenção do títulode

Doutor em Ciências

Programa: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Marcos Martins Alexandrino da Silva

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio �nanceiro da CAPES/CNPq

São Paulo, março de 2018




Esta é a versão original da dissertação/tese elaborada pelo

candidato Pablo Asdrúbal Díaz Sepúlveda, tal como

submetida à Comissão Julgadora.




Esta versão da dissertação/tese contém as correções e alterações sugeridas

pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,

realizada em 06/04/2018. Uma cópia da versão original está disponível no

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

Prof. Dr. Marcos Martin Alexandrino da Silva (orientador) - IME-USP

Prof. Dr. Miguel Angel Javaloyes Victoria - UM - Externo

Prof. Dr. Benigno Oliveira Alves - Externo

Prof. Dr. Francisco Jose Gozzi - IME - Externo

Prof. Dr. Icaro Gonçalves - IME - Externo

AGRADECIMENTOS

�Thank you for the inspiration

Thank you for the smiles

All the unconditional love

That carried me for miles

It carried me for miles

But most of all thank you for

my life.�

-Mike Portnoy (Dream Theater)

Para todos aqueles que foram, direta e indiretamente, parte do processo durante este trabalho.Muito obrigado!

i

Para Teddy: meu �el amigo que sempre esperou meu regresso.

iii

RESUMO

DÍAZ SEPÚLVEDA PABLO ASDRÚBAL, Sobre a Existência de In�nitas Geodésicas Fe-chadas em Good Orbifolds Riemannianos. 2018. Tese (Doutorado) - Instituto de Matemáticae Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2018.

Nesta tese demonstramos, entre outras coisas, a existência de in�nitas geodésicas fechadas em goodorbifolds Riemannianos M/Γ, onde Γ é um grupo de isometrias virtualmente Abeliano. No casoparticular onde Γ é um produto semi-direto de um grupo �nito por um grupo Abeliano, concluimosa existência de uma família de geodésicas fechadas com comprimentos tendendo a in�nito.

Palavras-chave: Good Orbifold, Geodésica Fechada, Geometricamente Distintas.

v

ABSTRACT

DÍAZ SEPÚLVEDA PABLO ASDRÚBAL, On the Existence of In�nitely Many Closed Ge-odesics in Good Riemannian Orbifolds. 2018. Tese (Doutorado) - Instituto de Matemática eEstatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2018.

In this PhD theses we prove, among other things, the existence of in�nity many (geometric distinct)closed geodesics on good Riemannian compact orbifolds M/Γ, where Γ is a virtual abelian group ofisometries. In the particular case where Γ is a semi-direct product of a �nite group with an abeliangroup, we also assure that there isa family of closed geodesics for which the lengths tend to in�nity.

Keywords: Good Orbifold, Closed Geodesic, Geometrically Distinct.

vii

SUMÁRIO

Introdução 1

1 Preliminares 3

1.1 Ações Próprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Ações Descontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Domínios Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1 Orbifold Riemanniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5 Orbifold de Recobrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 O Pseudogrupo de Mudança de Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7 De�nição Alternativa de Orbifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8 Orbifolds Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Existência de Geodésicas fechadas num Orbifold Riemanniano 45

2.1 Geodésica Fechada num Orbifold Riemanniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2 Ações Cocompactas e Função Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3 Processo de Duplo Encurtamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.4 Existência de Geodésicas Fechadas num Orbifold de Curvatura Não-Negativa ou

Não-Positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3 Resultados 65

3.1 Enunciados dos teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2 Ideias das Provas dos Teoremas e das Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2.1 Ideia da Prova do Teorema 1 (3.4.1 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.2 Ideia da Prova do Teorema 2 (3.5.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.3 Ideia da Prova do Teorema 3 (3.6.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2.4 Prova do Corolário 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.3 Métrica da Palavra e Função Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4 Prova Detalhada do Teorema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5 Prova Detalhada do Teorema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.6 Prova Detalhada do Teorema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.7 Provas das Proposições 2 e 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.8 O caso do Triângulo Equilátero: uma prova alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Referências Bibliográ�cas 129

ix

x SUMÁRIO

INTRODUÇÃO

Nesta tese estudamos a existência de in�nitas geodésicas geométricamente distintas em good

orbifolds.

Para nós um Good orbifold Riemanniano deve ser visto como o quociente X = M/Γ de uma

variedade Riemanniana simplesmente conexa M (the developed space) por um grupo fechado de

isometrias Γ (vide de�nições no Capítulo 1)

Diremos que uma geodésica não constante α ∶ [0 , 1 ] → M no nosso developed space M é

chamada geodésica fechada do good orbifold X se existe ω ∈ Γ, tal que

ωα (0 ) = α (1 ) e dω α̇ (0 ) = α̇ (1 ).

Assim dizemos que duas geodésicas fechadas (ω1 , α1 ∣ [0 ,1 ]) e (ω2 , α2 ∣ [0 ,1 ]) são e iguais em X se

e somente se

imagem (π (α1)) = imagem (π (α2)).

Onde π ∶M Ð→M/Γ é a aplicação quociente.

Os resultados principais desta tese sobre geodésicas fechadas encontram-se formulados e demons-

trados no capítulo 3.

Um dos nossos principais resultados é formulado no Teorema 2, teorema onde vamos garantir que:

dado um good orbifold Riemanniano compacto X = M/Γ (dimensão de M é maior do que 1) onde

Γ é virtualmente abeliano, então X admite in�nitas geodésicas fechadas geometricamente distintas.

1

2 SUMÁRIO 0.0

Para tanto precisamos do Teorema 1, o qual a grosso modo descreve uma relação entre geodésicas

fechadas de X com outro orbifold Riemanniano "maior".

No caso particular onde Γ é um grupo abeliano Γ0 podemos concluir no Teorema 3 que existe

uma sequencia de in�nitas geodésicas fechadas em X = M/Γ0 com comprimentos que tendem ao

in�nito.

Como consequência, concluímos no Corolário 1 que se Γ é um produto semi-direto de um grupo

�nito Γ̃ por um grupo Abeliano Γ0, então existe uma sequência de in�nitas geodésicas fechadas

geometricamente distintas em X = M/Γ com comprimentos que tendem ao in�nito.

De fato como observado na Seção 3.3 (Proposição 3) é possível descrever de forma mais precisa

o crescimento de tal sequencia de geodésicas fechadas, e.g., relacionando seus comprimentos com o

a métrica da palavra. Tal descrição será possível por meio da Proposição 2, a qual, no caso em que

o grupo Γ é um grupo Abeliano Γ0 , apresenta uma formula que relaciona a métrica da palavra com

a função deslocamento.

Sendo assim, esta tese está organizada da seguinte forma:

No capítulo 1 apresentamos os pré-requisitos necessários, �xando notações e resultados clássicos.

Também discutimos no capítulo 1 de�nições alternativas de orbifolds Riemannianos em particular

a de�nição dada por Lytchak de orbifolds métricos.

No capítulo 2 discutimos alguns resultados na literatura sobre existência de geodésicas fechadas

em orbifolds Riemannianos. Em particular recordamos resultados de M. Alexandrino e M.A. Ja-

valoyes sobre shorting process e existência de geodésicas fechadas em espaços folheados bem como

geodésicas em orbifolds sobre hipóteses de curvatura (vide [Dra14]).

Finalmente no capítulo 3 apresentamos os resultados principais da tese, discutidos rapidamente

acima. Além disto fornecemos na seção 3.8 uma prova alternativa dos resultados principais do

capítulo 3 para o caso particular onde M é o espaço Euclidiano R2 (com uma métrica não necessa-

riamente euclidiana) e W é um grupo de Coxeter Euclidiano. Como veremos na Proposição 3.8.1,

neste caso particular poderemos inferir novas propriedades da família das in�nitas geodésicas.

CAPÍTULO 1

PRELIMINARES

�Jamais considere seus estudos como uma obrigação,

mas como uma oportunidade invejável para aprender

a conhecer a in�uência libertadora da beleza do reino

do espírito, para seu próprio prazer pessoal e para

proveito da comunidade à qual seu futuro trabalho

pertence.�

-Albert Einstein

Neste capítulo, vamos apresentar uma introdução de ações próprias, ações descontínuas, domí-

nios fundamentais e orbifolds (seções 1.1, 1.2, 1.3 e 1.4, resp.); en cada seção daremos algumas

de�nições e resultados clássicos que serão úteis neste Capítulo e nos Capítulos 2 e 3. As referências

da Seção 1.1 são [AB15] e [DK00], da Seção 1.2 são [Rat06] e [Lee11], da Seção 1.3 é [Rat06] e da

Seção 1.4 são [Dra11] e [P.02].

Na Seção 1.7 daremos uma de�nição alternativa de orbifold a partir do conceito de pseudogrupo

de mudança de cartas, conceito que será de�nido na Seção 1.6. As referências nesta Seção são [AB15]

e [AJ11]. Por último, na Seção 1.8 daremos uma prova das Proposições 1.8.2 e 1.8.3, resultados que

são citados de umas notas do professor Claudio Gorodski (A metric approach to representations of

compact Lie groups).

3

4 PRELIMINARES 1.1

1.1 Ações Próprias

Uma ação de um grupo Γ sobre um espaço M é um homomor�smo A de Γ no grupo das

transformações de M . Quando Γ é um grupo de Lie e M é uma variedade diferencíavel, então a

ação é de classe Ckse a aplicação A ∶ Γ × M → M é de classe Ck . No nosso caso, sempre vamos

supor que a ação é de classe C∞

, e dizemos que a ação é suave.

De�nição 1.1.1 Seja Γ um grupo de Lie e M uma variedade diferenciável. Uma aplicação suave

µ ∶ Γ × M → M é chamada uma ação à esquerda de Γ sobre M ou uma Γ-ação à esquerda sobre

M , se

1. µ (e , x ) = x, para todo x ∈M , onde e é o elemento identidade de Γ;

2. µ (ω1 , (ω2 , x ) ) = µ (ω1ω2 , x ), para cada par ω1 , ω2 ∈ Γ e para todo x ∈M .

Geralmente denotaremos µ (ω , x ) por ω (x ). Similarmente podemos de�nir uma ação à direita

µ ∶M × Γ→M satisfazendo as mesmas condições acima descritas.

Alguns exemplos de ações podem ser vistos em [AB15] (Capítulo 3).

De�nição 1.1.2 Sejam µ ∶ Γ × M →M uma ação à esquerda e x ∈M . De�nimos o subgrupo

Γx ∶= {ω ∈ Γ ∶ µ (ω , x ) = x} ⊂ Γ

e é chamado o grupo de isotropia de x, e o conjunto

Γ (x ) ∶= {ω (x ) ∶ ω ∈ Γ} ⊂M

é chamado a órbita de x.

O subgrupo ⋂x ∈M

Γx é chamado o kernel ine�caz da ação. Se ⋂x ∈M

Γx = {e}, então dizemos que a ação

é efetiva. Mais ainda, se Γx = {e}, para cada x ∈ M , então dizemos que a ação é livre. Se para

cada par x, y ∈M , existe um ω ∈ Γ tal que µ (ω , x ) = y, então a ação é chamada transitiva.

Dada uma ação suave à esquerda µ ∶ Γ × M →M , de�nimos as seguintes aplicações auxiliares

µω ∶ M Ð→ M µx ∶ Γ Ð→ M

x z→ µ (ω , x ) ω z→ µ (ω , x )(1.1)

1.1 AÇÕES PRÓPRIAS 5

A ideia principal de uma ação à esquerda (respetivamente à direita) é que cada ω ∈ Γ determina

uma transformacão de M , a saber µω ∶M →M . Dado que vamos supor que as ações são de classe

C∞

, temos que µωé um elemento de Dif (M), e assim µΓ ∶= {µg ∶ g ∈ G} é um subgrupo de Dif (M).

De�nição 1.1.3 Sejam µ ∶ Γ × M →M uma ação e g uma métrica Riemanniana em M . Dizemos

que a ação é por isometrias ou, simplesmente, isométrica, se µΓ ∶= {µω ∶ ω ∈ Γ} é um subgrupo de

Iso (M , g ). Neste caso dizemos que a métrica é Γ- invariante.

De�nição 1.1.4 Seja µ ∶ Γ × M → M uma ação. Dizemos que a ação é própria, ou que Γ age

propriamente sobre M , se a seguinte aplicação

µ̃ ∶ Γ × M Ð→ M × M

(ω , x ) z→ (x , µ (ω , x ) )(1.2)

é própria, i.e., a pré-imagem pela aplicação µ̃ de cada compacto em M ×M é compacto em Γ ×M .

Observação 1.1.1 Da de�nicão 1.1.4 temos de forma imediata que se µ ∶ Γ ×M →M é uma ação

própria, então para cada x ∈M o grupo Γx é compacto. Assim, em especial, se Γ é discreto, temos

que Γx é �nito, para cada x ∈ M .

Proposição 1.1.1 Sejam µ ∶ Γ × M →M uma ação própria e M uma variedade compacta, então

Γ é um grupo de Lie compacto.

Demonstração. Dado que M é uma variedade compacta e µ ∶ Γ × M →M é uma ação própria,

temos que µ̃−1(M × M) = Γ × M é compacto. Usando novamente que M é compacta obtemos que

Γ é compacto. K

Proposição 1.1.2 Uma ação µ ∶ Γ × M → M é própria se e somente se dadas duas sequências

{ωi}i ∈N e {xi}i ∈N em Γ e M , respectivamente, tais que {xi}i ∈N e {µ (ωi , xi ) }i ∈N são convergentes

em M , então a sequência {ωi}i ∈N admite uma subsequência convergente.

Demonstração. Primeiro vamos supor que a ação µ ∶ Γ × M → M é própria. Sejam {ωi}i ∈N e

{xi}i ∈N duas sequências em Γ eM , respectivamente, e tais que {xi}i ∈N e {µ (ωi , xi ) }i ∈N convergem

emM . Vamos supor que limn→∞

xn = x0 e limn→∞µ (ωn , xn) = y0 , então os conjuntos {x0 , x1 , x2 , . . . }

e {y0 , µ (ω1 , x1), µ (ω2 , x2), . . .} são compactos em M , e portanto, de�nindo K ∶= {x0 , x1 . . .} ×

{y0 , µ (ω1 , x1), µ (ω2 , x2), . . .}, temos que K é compacto em M × M . Assim, dado que a ação é

6 PRELIMINARES 1.1

própria, temos que µ̃−1(K) é compacto em Γ × M . Agora,

µ̃−1

(K) = {(ω , x ) ∈ Γ × M ∶ (x , µ (ω , x ) ) ∈K } .

Portanto {(ωi , xi ) }i ∈N está contida em µ̃−1(K), que é compacto, logo {(ωi , xi ) }i ∈N possui uma

subsequência convergente, e assim {ωi}i ∈N admite uma subsequência convergente.

Vamos provar a recíproca. Dado A compacto emM ×M , queremos provar que µ̃−1(A ) é compacto

em Γ × M . Agora, µ̃−1(A ) = {(ω , x ) ∶ (x , µ (ω , x ) ) ∈ A}, assim, dado que A é compacto temos,

que se {(ωi , xi )) }i ∈N é uma sequência em µ̃−1(A ), então a sequência {(xi , µ (ωi , xi ) ) }i ∈N admite

uma subsequência convergente. Em particular, as sequências {xi}i ∈N e {µ (ωi , xi ) }i ∈N admitem

subsequências convergentes. Logo, usando a hipôtese, temos que, passando pelas subsequências

convergentes de {xi}i ∈N e {µ (ωi , xi ) }i ∈N , {ωi }i ∈N tem uma susequência convergente. Portanto

µ̃−1(A ) é sequencialmente compacto. K

Da proposição anterior obtemos o seguinte resultado

Corolário 1.1.1 Sejam Γ um grupo de Lie compacto e µ ∶ Γ × M →M uma ação, então a ação é

própria.

Proposição 1.1.3 Sejam Y um espaço topológico Hausdor� e localmente compacto e Γ um sub-

grupo discreto de Homeo (Y ). Se Γ age propriamente sobre Y , então temos que

1. O espaço Y /Γ é um Hausdor� com a topologia quociente;

2. para cada x ∈ Y , temos que Γx é �nito;

3. para cada x ∈ Y , existe um aberto Ux ⊂ Y contendo x tal que

{ω ∈ Γ ∶ ω (Ux) ∩ Ux ≠ ∅} = Γx .

Demonstração. Seja π ∶M →M/Γ a aplicação quociente. É fácil ver que π é aberta. Para provar

que M/Γ é Hausdor� basta provar que o conjunto

D ∶= {(x , y ) ∈ Y × Y ∶ y ∈ Γ (x ) }

é fechado em Y × Y . Seja {(xi , yi)}i ∈N é uma sequência em D tal que limi→∞

xi = x0 e limi→∞

yi = y0 .

Agora, para cada i ∈ N, existe ωi ∈ Γ tal que ωi(xi) = yi , pois {(xi , yi)}i ∈N uma sequência em D.

1.2 AÇÕES DESCONTÍNUAS 7

Dado que Γ age propriamente e usando a Proposição 1.1.2, temos que a sequência {ωi}i ∈N admite

uma subsequência convergente {ωij }j ∈N , e vamos supor que converge a ω0 ∈ Γ. Dado que Γ é

discreto, temos que, salvo �nitos termos, ωij = ω0 . Assim

ω0(x0) = limj→∞

ω0(xij ) = limj→∞ωij (xij ) = limj→∞ yij = y0 .

Portanto ω0(x0) = y0 , e assim (x0 , y0) é um elemento de D. Então D é fechado em Y × Y , e temos

o item número 1.

Dado que Γ age propriamente sobre Y e pela Observação 1.1.1, temos que cada Γx é �nito. Assim

temos o item 2.

Agora, sejam K1 = {x} e K2 uma vizinhança compacta de x. Dado que Γ age propriamente sobre

Y , temos que o conjunto {ω ∈ Γ ∶ ω (x ) ∈ K2 } é �nito, e é facil ver que contém o subgrupo

Γx . Assim, podemos encontrar outra vizinhança compacta de x, digamos K3 ⊂ K2 tal que {ω ∈

Γ ∶ ω (x ) ∈ K3 } = Γx . De�namos agora K ∶= ⋃ω ∈Γx ω (K3), então K é uma vizinhança compacta

de x e é Γx-invariante. Usando novamente que a ação de Γ é própria, obtemos que o conjunto

{ω ∈ Γ ∶ ω (K) ∩ K ≠ ∅} é �nito e contém o subgrupo Γx . Podemos encontrar uma vizinhança

x ∈ Vx ⊂ K tal que {ω ∈ Γ ∶ ω (Vx) ∩ Vx ≠ ∅} = Γx . Agora, de�namos Ux ∶= ⋃ω ∈Γx ω (Vx), e assim

Ux é a vizinhaça desejada. E assim temos 3. K

1.2 Ações Descontínuas

Nesta seção, diferente da seção anterior, o espaço onde vamos aplicar a ação de um grupo, é um

espaço métrico e não uma variedade.

De�nição 1.2.1 Um grupo Γ age descontinuamente sobre um espaço métrico (Y , d ) se para

cada compacto K em Y temos que {ω ∈ Γ ∶ ωK ∩K ≠ ∅} é um subconjunto �nito de Γ. Se Γ age

por homeomor�mos ou por isometrias sobre (Y , d ), então dizemos que Γ age descontinuamente

sobre Y se a ação é descontínua.

Lema 1.2.1 Se Γ age descontinuamente sobre um espaço métrico (Y , d ), então o grupo de isotro-

pia de cada ponto em Y é um subgrupo �nito de Γ.

Demonstração. Seja x ∈ Y , então {x} é compacto. Assim, dado que Γ age descontinuamente

sobre Y , temos que Γx é �nito. K

8 PRELIMINARES 1.2

Lema 1.2.2 Sejam (Y , d ) um espaço métrico e Γ um grupo que age descontinuamente por isome-

trias sobre Y . Então cada Γ- órbita é um subconjunto fechado e discreto de Y .

Demonstração. Primeiro observemos que se Γ é �nito então obtemos o resultado imediatamente.

Assim, vamos supor que Γ é in�nito. Seja x ∈ Y , e vamos provar que Γ (x ) é localmente �nito, e

vamos provar isto pelo absurdo. Supomos que Γ (x ) não é localmente �nito, i.e., para y ∈ Y e para

toda vizinhança U de y temos que U contém in�nitos pontos de Γ (x ). Então existe uma sequência

in�nita {ωi }i ∈N de elementos distintos de Γ tais que a sequência {ωi(x ) }i∈N converge para y. Assim,

o conjunto

K ∶= {x , y ,ω1(x ) , ω2(x ) , . . .}

é um subconjunto compacto de Y . Dado que ωi(x ) ∈ K ∩ ωiK, para todo i ∈ N, então temos um

absurdo, pois Γ age descontínuamente sobre Y . Portanto {{ω (x )} ∶ ω ∈ Γ} é uma família de

fechados de Y locamente �nita. Assim, cada subconjunto de Γ (x ) é fechado em Y , em particular

Γ (x ) é discreto e fechado. K

Teorema 1.2.1 Seja Γ um grupo que age por isometrias sobre um espaço métrico (Y , d ). Então

Γ age descontinuamente sobre Y se e somente se

1. cada grupo de isotropia é �nito e

2. cada Γ- órbita é um subconjunto discreto e fechado de Y .

Demonstração. Suponhamos que Γ age descontinuamente sobre Y . Então, pelos Lemas 1.2.1 e

1.2.2, temos os itens 1 e 2, respectivamente.

Vamos provar a recíproca do teorema. Primeiro observe que se Γ é �nito, então a recíproca é imedi-

ata. Então vamos supor que cada grupo de isotropia é �nito e que cada Γ órbita é um subconjunto

fechado e discreto de Y , mas vamos supor que Γ não age descontinuamente sobre Y , e desejamos

obter um absurdo. Assim, existe um subconjunto compacto K em Y e uma sequência {ωi }i∈N de ele-

mentos diferentes de Γ tal que ωi(K ) ∩ K ≠ ∅, para cada i ∈ N. Logo, para cada i ∈ N existe xi ∈K

tal que ωi(xi) ∈ K. Agora, dado que K é compacto, existe uma subsequência {xij }j ∈N de {xi}i ∈N

que é convergente a um x ∈K. Da mesma maneira temos que a subsequência {ωij (xij )}j ∈N também

admite uma subsequência convergente, somente por comodidade vamos supor que tal subsequên-

cia convergente de {ωij (xij )}j ∈N é ela mesma, assim podemos supor que {ωij (xij )}j ∈N converge a


y ∈K. Logo

d (ωij (x ) , y ) ≤ d (ωij (x ) , ωij (xij )) + d (y , ωij (xij )) = d (x , xij ) + d (y , ωij (xij )).

Portanto limj→∞

ωij (x )→ y. Observe que y está em Γ (x ), pois, por hipótese, Γ (x ) é fechado. Agora,

para cada ωij existem �nitos ωik tais que ωij (x ) = ωik (x ), pois Γx é �nito por hipótese. Então existe

uma subsequência de {ωij (x )}j∈N , onde todos os pontos são diferentes, que converge para y, mas

isso é um absurdo pois y ∈ Γ (x ) e Γ (x ) é discreto por hipótese. Portanto Γ age descontinuamente

sobre Y . K

Lema 1.2.3 Seja Γ um subgrupo de isometrias de um espaço métrico (Y , d ). Se existe um ponto

x em Y tal que Γ (x ) é discreto em Y e Γx é �nito, então Γ é um grupo discreto.

Demonstração. Seja x um ponto de Y , e vamos supor que Γx é �nito e Γ (x ) é um subconjunto

fechado e discreto de Y . Seja

µx ∶ Γ Ð→ Γ (x )

ω z→ ω (x ).

Dado que Γ (x ) é discreto e µx é contínua, temos que µ−1

x(x ) = Γx é aberto em Γ. Assim, dado

que Γx é �nito por hipótese, temos que {e}, onde e é o elemento identidade de Γ, é aberto em Γ.

Assim, por [Rat06] (Lema 1, pág. 158), temos que Γ é discreto. K

De�nição 1.2.2 Dado um espaço métrico (Y , d ), dizemos que Y é um espaço métrico próprio

se dados y ∈ Y e r > 0, temos que Br(y ) é um subconjunto compacto de Y .

Observação 1.2.1 Observemos que como consequência do Teorema de Hopf-Rinow, no caso de

uma variedade Riemanniana (M , g ), temos que ela é própria como espaço métrico se e somente se

ela é completa. Também é bom lembrar que se (Y , d ) é um espaço métrico próprio, então (Y , d )

é um espaço métrico localmente compacto e completo (vide [dlH00]).

Teorema 1.2.2 Sejam um espaço métrico (Y , d ) próprio e Γ um grupo que age por isometrias

sobre Y . Então Γ é discreto se e somente se Γ age discontinuamente sobre Y .

Demonstração. Primeiro vamos supor que Γ age descontinuamente sobre Y . Seja x ∈M , então,

pelos Lemas 1.2.1 e 1.2.2, temos que Γx é �nito e Γ (x ) é um subconjunto fechado e discreto de Y ,

respectivamente. Logo, pelo Lema 1.2.3, temos que Γ é discreto.

10 PRELIMINARES 1.2

Agora vamos supor que Γ é discreto. De�namos C(Y , Y ) ∶= {f ∶ Y → Y ∶ f é contínua}. Agora,

dado que Y é próprio, temos que Y possui uma base enumerável, assim o conjunto C(Y , Y ) possui

uma base enumerável. Mais ainda, C(Y , Y ) é regular dado que Y é regular. Portanto C(Y , Y ) é

metrizável. Por [Rat06] (Lema 6, pág. 163) temos que Iso (Y , d ) é fechado em C(Y , Y ) e, dado

que Γ é discreto e por [Rat06] (Lema 3 , pág. 157), temos que Γ é fechado em Iso (Y , d ). Portanto

Γ é fechado em C(Y , Y ).

Seja K um subconjunto compacto de Y , e de�namos

K ∶= {ω ∈ Γ ∶ ω (K ) ∩ K ≠ ∅}.

Temos então que K é fechado em C(Y , Y ), pois Γ é discreto e fechado em C(Y , Y ). Agora, para

todo x ∈ Y , todo r > 0 e ω ∈ Γ, temos que ω (Br(x )) = Br(ω (x )), portanto K é uma família

equicontínua. Sejam x e y pontos de Y , e de�namos r ∶= dist(x , y ) e s ∶= diam(K ). Assim, para

cada ω ∈ Γ, temos que

d (y , ω (x )) ≤ d (y , ω (y )) + d (ω (y ) , ω (x )) ≤ 2s + r.

Portanto µx(K ) = {ω (x ) ∶ ω ∈ K } ⊂ B2s+r(y ), e assim µx(K) é compacto em Y . Aplicando

o Teorema de Arzelà−Ascoli obtemos que K é relativamente compacto em C(Y , Y ), i.e., K é

compacto em C(Y , Y ). Por hipótese, Γ é discreto, logo K é compacto, e portanto é �nito. Então Γ

age descontinuamente. K

Observação 1.2.2 Observe que no caso em que Y seja uma variedade Riemanniana completa

(M , g ), então temos que o Teorema 1.2.2 é válido. Também observemos que não precisamos que o

espaço métrico Y seja próprio para ter a primeira parte do resultado do Teorema 1.2.2, i.e., se Γ

age descontinuamente por isometrias sobre Y , então Γ é discreto.

De�nição 1.2.3 Seja Γ um grupo agindo sobre um espaço métrico (Y , d ). De�nimos o espaço

de Γ- órbitas ou, simplesmente, o espaço de órbitas como o seguinte conjunto

Y /Γ ∶= {Γ (x ) ∶ x ∈ Y }.


E de�nimos a aplicação quociente como

π ∶ Y Ð→ Y /Γ

x z→ Γ (x ).

Dotaremos o espaço Y /Γ com a topologia quociente, i.e., U ⊂ Y /Γ é aberto se e somente se π−1(U )

é aberto em Y , e neste caso o espaço será denotado por (Y /Γ , τQ) e será chamado espaço quociente.

Sobre o espaço de órbitas de�nimos a seguinte função distância

dΓ∶ Y /Γ × Y /Γ Ð→ R

(Γ (x) , Γ (y )) z→ dist (Γ (x ) , Γ (y )).

Onde dist (Γ (x ) , Γ (y )) ∶= inf{d (x , ω (y ) ) ∶ ω ∈ Γ}. Se dΓé uma métrica sobre Y /Γ, então

diremos que (Y /Γ , dΓ) é o espaço de órbitas métrico. Neste caso, se d

Γé uma métrica, denotaremos

a topologia em Y /Γ gerada pela métrica dΓpor τ

Γ, e portanto (Y /Γ , τ

Γ) é um espaço topológico

metrizável.

Teorema 1.2.3 Seja Γ um subgrupo de isometrias de um espaço métrico (Y , d ). Então dΓé uma

métrica sobre Y /Γ se e somente se cada órbita é um subconjunto fechado de Y .

Demonstração. Sejam x, y ∈ Y , ω1 , ω2 ∈ Γ. Então

d (ω1 (x ) , ω2 (y )) = d (x , ω−1

1ω2 (y )).

Logo

dist (Γ (x ) , Γ (y )) = dist (x , Γ (y )).

Primeiro vamos supor que dΓé uma métrica em Y /Γ. Sejam x, y ∈ Y tais que Γ (y ) ≠ Γ (x ). Então

dist(x , Γ (y )) = dΓ(Γ (x ) , Γ (y )) > 0.

Assim, de�namos r ∶= dist (x , Γ (y )). Então Br(x ) ⊂ Y ∖Γ (y ). Portanto Y ∖Γ (y ) é aberto em Y ,

e assim Γ (y ) é fechado em Y .

Vamos provar a recíproca. Suponhamos que cada Γ − órbita é fechada em Y . Queremos provar que

dΓé uma métrica em Y /Γ.

12 PRELIMINARES 1.2

1. Vamor ver que dΓé não degenerada. Sejam x, y em Y tais que Γ (x ) ≠ Γ (y ). Em particular,

x ∉ Γ (y ). Dado que, por hipótese, Γ (y ) é fechado, temos que dist (x , Γ (y )) > 0. Logo temos

que dΓé não degenerada.

2. É fácil ver que dΓé simétrica.

3. Provemos a desigualdade triangular. Sejam x, y, z ∈ Y e ω1 , ω2 ∈ Γ, então

d (x , ω1 (y )) + d (y , ω2 (z )) = d (x , ω1 (y )) + d (ω1 (y ) , ω1 ω2 (z ))

≥ d (x , ω1 ω2 (z ))

≥ dist (x , Γ (z )).

Logo

dist (Γ (x ) , Γ (y )) + dist (Γ (y ) , Γ (z )) ≥ dist (Γ (x ) , Γ (z )).

Então temos a desigualdade triangular.

Logo dΓé uma métrica sobre Y /Γ. K

Corolário 1.2.1 Se Γ age descontinuamente por isometrias sobre um espaço métrico (Y , d ), então

(Y /Γ , dΓ) é um espaço métrico.

Demonstração. Dado que Γ age descontinuamente sobre Y temos, pelo Teorema 1.2.1, que cada

Γ- órbita é fechada. Logo segue-se o resultado aplicando o Teorema 1.2.3. K

Teorema 1.2.4 Seja Γ um subgrupo de Iso (Y , d ) tal que (Y /Γ , dΓ) é um espaço métrico. Então

as topologias τΓ

e τQ

em Y /Γ são iguais; se π ∶ Y → M/Γ é a aplicação quociente, então para

cada x ∈ Y e r > 0, temos que

π (Br(x )) = Br(π (x )).

Demonstração. Primeiro vamos provar que π é aberta e contínua com a topologia τΓ. Dados

x ∈ Y e r > 0, é fácil ver que π (Br(x )) ⊂ Br(π (x )). Vamos provar a outra inclusão. Supomos

que y ∈ Y e dΓ(Γ (x ) , Γ (y )) < r. Então dist (x , Γ (y )) < r. Consequentemente, existe ω ∈ Γ

tal que d (x , ω (y )) < r. Mais ainda, temos que π (ω (y )) = Γ (y ), e portanto Γ (y ) ∈ π (Br(x )).

Assim Br(π (x )) ⊂ π (Br(x )). Então π é aberta e contínua com respeito à topologia gerada por dΓ .


Seja U aberto em (Y /Γ , τQ). Então π−1(U ) é aberto em Y . Dado que π é aberta e contínua com

respeito à métrica τΓ, temos que π (π−1(U )) é aberto em (Y /Γ , τ

Γ), mas π (π−1(U )) = U . Logo U

é aberto em τΓ. Assim τ

Q⊂ τ

Γ.

Agora vamos provar a outra contenção. Sejam x ∈ Y e r > 0. Sabemos que Br(π (x )) é um aberto

em τΓ. Agora

π−1

(Br(π (x ))) = ⋃ω ∈Γ

Br(ω (x )).

Logo Br(π (x )) é um aberto em τQ , e portanto τΓ ⊂ τQ .

Assim temos que τΓ= τ

Q. K

Proposição 1.2.1 Seja Γ um subgrupo de Iso (Y , d ). Γ é discreto e age propriamente se e somente

se Γ age descontinuamente.

Demonstração. Primeiro vamos supor que Γ é discreto e que age propriamente sobre Y . Então,

por [Lee11] (Proposição 12.23) e dado que estamos supondo que Γ é dicreto, temos que Γ age

descontinuamente sobre Y .

Vamos provar a recíproca. Se Γ age descontinuamente sobre Y , temos, pela Observação 1.2.2, que

Γ é discreto. E o fato que Γ age propriamente sobre Y segue-se novamente de [Lee11] (Proposição

12.23). K

Proposição 1.2.2 Seja Γ um subgrupo de Iso (Y , d ) que age descontinuamente em Y . Para cada

x ∈ Y existe r > 0, tal que

{ω ∈ Γ ∶ ω (Br(x )) ∩ Br(x ) } = Γx .

Além disso, para para cada y ∈ Br(x ), temos que Γy ⊂ Γx .

Demonstração. Seja x ∈ Y , e de�namos s ∶= 12 dist (x , Γ (x ) ∖ {x}), e seja 0 < r ≤ s.

Seja ω ∈ {ω ∈ Γ ∶ ω (Br(x )) ∩ Br(x ) ≠ ∅}, então existe y ∈ Br(x ) tal que ω (y ) ∈ Br(x ). Agora

d (x , ω (x )) ≤ d (x , ω (y )) + d (ω (y ) , ω (x )) < 2 r ≤ dist (x , Γ (x ) ∖ {x}).

Logo ω ∈ Γx . Por outra parte, é fácil ver que se ω ∈ Γx , então ω (Br(x )) ∩ Br(x ) ≠ ∅. Portanto

{ω ∈ Γ ∶ ω (Br(x )) ∩ Br(x ) } = Γx , e temos a primeira parte da proposição.

Sejam y ∈ Br(x ) e ω1 ∈ Γy , então

d (y , ω1 (x )) = d (ω−1

1(y ) , x ) = d (y , x ) < r.

14 PRELIMINARES 1.2

Logo y ∈ ω1 (Br(x )) ∩Br(x ). Aplicando a primeira parte da proposição, temos que ω1 ∈ Γx . Assim

temos a segunda parte da proposição. K

De�nição 1.2.4 Um espaço métrico (Y , d ) é chamado rígido se para cada x ∈ Y e cada r > 0,

temos que a única isometria que �xa cada ponto de Br(x ) é a isometria identidade, i.e., se ω ∈

Iso (Y , d ) e é tal que ω (y ) = y, para todo y ∈ Br(x ), então ω = e.

Observação 1.2.3 Se (Y , d ) é um espaço métrico que é geodesicamente conexo e geodésicamente

completo, então (Y , d ) torna-se um espaço rígido (vide [Rat06], Teorema 6.6.10.). Observemos

que, em especial, toda variedade Riemanniana completa é um espaço métrico rígido.

Proposição 1.2.3 Sejam Y e Γ com as mesmas hipóteses da Proposição 1.2.2. Se Y é rígido,

então existe um x0 ∈ Y tal que Γx0 = {e}, onde e é o elemento identidade de Γ.

Demonstração. Dado que Γ age descontinuamente, temos que ∣Γx ∣ é �nito, para cada x ∈ M .

Assim, seja x0 ∈ Y tal que ∣Γx0 ∣ ≤ ∣Γx ∣ para cada x ∈ Y . Pela Proposição 1.2.2 existe r > 0 tal

que Γx0 = {ω ∈ Γ ∶ ω (Br(x0)) ∩ Br(x0) ≠ ∅} e para cada y ∈ Br(x ) acontece que Γy ⊂ Γx0 .

Assim, para cada y ∈ Br(x ) temos que Γy = Γx0 , pois ∣Γx0 ∣ ≤ ∣Γx ∣ para cada x ∈ Y . Logo para

cada y ∈ Br(x ) e para cada ω ∈ Γx , temos que ω (y ) = y, i.e., ω ∣Br (x ) = e ∣Br (x ) . Portanto, dado

que Y é espaço métrico rígido, ω = e. Logo Γx0 = {e}. K

Teorema 1.2.5 Seja Γ um subgrupo de Iso (Y , d ) agindo descontinuamente sobre Y . Então para

cada x ∈ Y a aplicação quociente π ∶ Y → Y /Γ induz um homeomor�smo entre Br(x )/Γx e

Br(x )/Γ, para todo 0 < r ≤ 12 dist (x , Γ (x ) ∖ {x}). Mais ainda, tal homeomor�smo torna-se uma

isometria no caso em que 0 < r ≤ 14 dist (x , Γ (x ) ∖ {x}).

Demonstração. Seja x em Y . Pelo Teorema 1.2.4 temos que

Br(π (x )) = π (Br(x )),

para todo r > 0. Assim, π é aberta. Seja s ∶= 12 dist (x , Γ (x ) ∖ {x}) e suponha que 0 < r ≤ s.

Seja ω ∈ Γ. Sabemos, pela Proposição 1.2.2, que ω ∈ Γx se e somente se ω ∈ {ω̄ ∈ Γ ∶ ω̄ (Br(x )) ∩

Br(x ) ≠ ∅}. Assim π induz o homeomor�mo

Br(x )/Γx Ð→ Br(x )/Γ

Γx(y ) Ð→ Γ (y ).(1.3)

1.3 DOMÍNIOS FUNDAMENTAIS 15

Dado que Γx é �nito, então Γx age descontinuamente sobre Br(x ), para todo 0 < r ≤ s. E assim

temos que (Br(x ) , dΓx ) é um espaço métrico. Agora suponhamos que 0 < r ≤s2 . E vamos provar

que o homeomor�smo dado em (1.3) é uma isometria.

Sejam y e z em Br(x ). Agora, dado que Γx é �nito, podemos supor que d (y , z ) = dist (y , Γx(z )).

Seja ω ∈ Γ ∖ Γx , então

2 s ≤ d ((x ) , ω (x ))

≤ d (x , y ) + d (y , ω (z )) + d (ω (z ) , ω (x ))

< r + d (y , ω (z )) + r

= 2r + d (y , ω (z ))

≤ s + d (y , ω (z )).

Logo s < d (y , ω (z )), e portanto d (y , z) < 2 r ≤ s < d (y , ω (z )), para todo ω ∈ Γ∖Γx . Assim,

dado que d (y , z) = inf{d (y , ω (z )) ∶ ω ∈ Γx } e d (y , z) < d (y , ω (z )), para todo ω ∈ Γ ∖ Γx ,

temos que d (y , z) = inf{d (y , ω (z )) ∶ ω ∈ Γ}. E, portanto,

dΓ(Γ (y ) , Γ (z )) = d (y , z ) = d

Γx(Γx(y ) , Γx(z )).

Assim, temos que o homeomor�mo de�nido em (1.3) é uma isometria. K

1.3 Domínios Fundamentais

De�nição 1.3.1 Sejam Y um espaço métrico e Γ um subconjunto de Iso (Y , d ) que age sobre Y .

Um subconjunto R ⊂ Y é chamado uma região fundamental para Γ se e somente se

1. R é um subconjunto aberto de Y ;

2. a família {ω (R ) ∶ ω ∈ Γ} é disjunta dois a dois;

3. M = ⋃ω ∈Γ

ω (R̄ ).

E dizemos que D ⊂ Y é um domínio fundamental para Γ, se D é conexo e é uma região

fundamental para Γ

Observação 1.3.1 Obsermos que se R é uma região fundamental para Γ, então para cada y ∈ R

vamos ter que Γy = {e}. Assim, temos que nem toda ação descontínua admite a existência de uma

região fundamental. Olhemos o seguinte exemplo.

16 PRELIMINARES 1.3

Exemplo 1.3.1 Seja Y a cruz em R2, i.e., a união do eixo-x e do eixo-y. Sejam ρx ∶ R2 → R2,

de�nida como ρx(x , y ) = (x , −y ) e ρy ∶ R2 → R2, de�nida como ρx(x , y ) = (−x , y ). De�namos

Γ ∶= ⟨ρx , ρy⟩. Assim Γ = {ρx , ρy , e , −e}, e portanto é �nito. Agora, Γ age descontinuamente e por

isometrias sobre Y , as nenhum ponto de Y tem grupo de isotropia trivial. Assim, pela Observação

1.3.1, temos que Γ no possui região fundamental.

O seguinte teorema será útil no Capítulo 3. Vide [Rat06] (Teorema 6.6.9) para uma prova dele.

Teorema 1.3.1 Sejam (Y , d ) um espaço métrico localmente compacto e Γ um subgrupo de Iso (Y , d )

que age descontinuamente sobre Y e tal que Y /Γ é compacto. Seja R uma região fundamental para

a ação de Γ sobre Y , então R é uma região fundamental localmente �nita se, e somente se, R̄ é

compacto.

De�nição 1.3.2 Sejam Y um espaço métrico e Γ um subgrupo de Iso (Y , d ) agindo sobre Y .

Vamos supor que existe um ponto y ∈ Y tal que Γy é trivial (por exemplo, quando Y é rígido ou é

uma variedade Riemanniana (vide a Proposição 1.2.3)). Dado ω ∈ Γ, de�namos

Hω(y ) ∶= {x ∈ Y ∶ d (y , x ) < d (y , ω (x )) }.

Observação 1.3.2 A�rmamos que Hω(y ) é um sunconjunto aberto de Y . Com efeito, seja {xi }i ∈N

uma sequência no complemento de Hω(y ) e supomos que limi→∞

xi → x0. Assim

d (y , x0) = limi→∞

d (y , xi) ≥ d (y , ω (xi)) = d (y , ω (x0)).

Portanto, x0 é um ponto no complemento de Hω(y ). E assim está provada a a�rmação.

De�nição 1.3.3 Sejam Y um espaço métrico e Γ um subgrupo de isometrias de Y . Vamos supor

que Γ age descontínuamente sobre Y e que existe um ponto y ∈ Y tal que Γy é trivial. De�namos

o domínio de Dirichlet para Γ com centro em y, como

D (y ) ∶= ⋂ω ∈Γ∖{e}

Hω(y ).

O seguinte resultado será muito útil no Capítulo 3, e a prova deste pode ser vista em [Rat06].

Teorema 1.3.2 Sejam Y um espaço métrico e Γ um subconjunto de isometrias de Y . Vamos supor

que Γ age descontinuamente sobre Y . Seja D (y ) um domínio de Dirichlet com centro em y. Supomos

que Y atende as seguintes propriedades

1.4 ORBIFOLDS 17

1. Y é geodesicamente completo;

2. Y é geodesicamente conexo;

3. Y é próprio.

Então D (y ) é um domínio fundamental para Γ. Além disso, a familia {ω (D (x ) ) ∶ ω ∈ Γ} é

localmente �nita e

D (y) = {x ∈ Y ∶ d (y , x ) = d (y , Γ (x )) }.

Demonstração. Vide [Rat06] (Teorema 6.6.13 e Teorema 6.6.14). K

1.4 Orbifolds

Considere uma variedade Riemanniana simplesmente conexa (M , g) e Γ um subgrupo discreto

de Iso (M , g ) agindo propriamente sobre M . Observe que neste caso, pela Proposição 1.2.2, Γ age

descontinuamente sobre M , e então, por todos os resultados apresentados na seção anterior, vamos

ter que o objeto M/Γ possui propriedades importantes, e é por isso que M/Γ será nosso objeto de

estudo, e será chamado good orbifold Riemanniano.

De�nição 1.4.1 Seja X uma espaço topológico Hausdor�. Uma estrutura orbifold diferenciá-

vel sobre X é dada pelos seguintes dados

1. Uma cobertura por abertos {Ui}i ∈ I de X.

2. Para cada i ∈ I, existem uma n-variedade diferenciável simplesmente conexaMi , um subgrupo

discreto Γi ∈ Dif (M ) que age propriamente e efetivamente sobreMi e uma aplicação contínua,

sobrejetora e Γi- invariante, φ̄i ∶ Mi → Ui, chamada carta uniformizadora, que induz um

homeomor�mo φi ∶Mi/Γi → Ui .

3. Se xi ∈ Mi e xj ∈ Mj são tais que φ̄i(xi) = φ̄j(xj), então existe vizinhanças abertas Ai e Bj

de xi e xj , respectivamente, e um difeomor�smo hi j ∶ Ai → Bj tal que φ̄i ∣Ai = φ̄j ○ hi j . Temos

que hi j está bem de�nida salvo composição com um elemento de Γj . Em particular, se i = j,

então hi j = ω ∣Ai , onde ω é um elemento de Γi . Os difeomor�mos locais hi j são chamados

difeomor�mos de mudança de cartas.

Assim, a família {(Ui ,Mi , φ̄i , Γi) }i ∈ I é chamada um atlas para a estrutura orbifold diferenciável

sobre X.

18 PRELIMINARES 1.4

De�nição 1.4.2 Dois atlas {(Ui , φ̄i , Γi) }i ∈ I e {(Vj , φ̄j , Γj) }j ∈J de�nem a mesma estrutura

para X se a familia {(Wk, ϕ̄

k, Γ

k) }

k ∈ I ∪Jsatisfaz a condição de compatibilidade (item número

3 da de�nição anterior), onde Wk∈ {Ui , Vj ∶ i ∈ I , j ∈ J }, ϕ̄k ∈ {φ̄i , φ̄j ∶ i ∈ I , j ∈ J } e

Γk∈ {Γi ,Γj ∶ i ∈ I , j ∈ J }. E dizemos que X é um orbifold diferenciável se ele possui uma

estrutura orbifold diferenciável maximal.

Proposição 1.4.1 Se X admite uma estrutura orbifold diferenciável, então X é é um orbifold dife-

renciável, i.e., toda estrutura orbifold diferenciável está contida numa estrutura orbifold diferenciável

maximal.

Observação 1.4.1 Se X é um orbifold diferenciável e {(Ui , φ̄i , Γi) }i ∈ I é uma estrutura para X

tal que os grupos Γi são triviais ou, mais geralmente, se eles agem livremente sobre as variedades

Mi , respectivamente, então X é uma variedade diferenciável.

Também podemos observar que se os grupos Γi são �nitos, então a ação deles sobre as variedades

Mi é sempre efetiva.

Proposição 1.4.2 Sejam M uma variedade diferenciável conexa e Γ um subgrupo discreto de

Dif (M ) que age propriamente sobre M . Então M/Γ com a topologia quociente possui uma es-

trutura orbifold diferenciável.

Demonstração. Temos que, dado que Γ age propriamente sobre M , o espaço M/Γ com a topo-

logia quociente é espaço topológico Hausdor� (vide Proposição 1.1.3). Agora, seja π ∶ M → M/Γ

a aplicação quociente. Logo, dado que Γ é um subgrupo discreto de Dif (M ), π é uma aplicação

aberta quando munimos o espaço M/Γ com a topologia quociente. Agora, pela Proposição 1.1.3,

para cada x ∈ M existe uma vizinhança aberta Vx ⊂ M contendo x e tal que

{ω ∈ Γ ∶ ω (Vx) ∩ Vx ≠ ∅} = Γx .

Sem perda de geralidade podemos supor que cada Vx é simplesmente conexo e que {Vx}x ∈M é uma

cobertura por abertos, onde os Vx são abertos de um atlas maximal para M . Observemos que Γx é

�nito e age própria e efetivamente sobre Vx . E também temos que π induz um homeomor�mo

Vx/Γx Ð→ Vx/Γ

Γx(y ) z→ Γ(y )(1.4)

Assim, a�rmamos que a família {(Vx , π ∣ Vx , Γx) }x ∈M é uma estrutura orbifold diferenciável para

M/Γ.

1.4 ORBIFOLDS 19

De�nindo Ux ∶= π (Vx), a família {Ux }x ∈M é uma cobertura por abertos de M/Γ. Assim temos a

primeira condição da de�nição 1.4.1. Agora, temos que π ∣Vx

∶ Vx → Ux induz um homeomor�mo

entre V /Γx e Ux , dado por 1.4. Logo temos a segunda condição da De�nição 1.4.1. Sejam x e

y ∈ M tais que π (x ) = π (y ), então existe ω ∈ Γ tal que ω (x ) = y. Agora, dado que ω é um

difeomor�mo e Vy é um aberto, temos que existe um aberto x ∈ Ax ⊂ Vx tal que ω (Ax) ⊂ Vy .

Portanto ω ∣Ax

∶Wx → ω (Ax) é um difeomor�smo e π ○ ω ∣Ax = π ∣Ax . Assim temos a condição 3

da de�nição 1.4.1. K

De�nição 1.4.3 Um orbifold diferenciável é chamado good orbifold diferenciável se ele surge

como o quociente global de uma variedade diferenciável conexa por um subgrupo discreto de dife-

omor�mos que age propriamente sobre ela. Se um orbifold diferenciável não é um good orbifold.

então é chamado simplesmente como um orbifold diferenciável.

Exemplos 1.4.1 1. Sejam M = S2 e Γ o subgrupo de difeomor�rmos de M gerado por ω,

onde ω é uma rotação em torno do eixo z com um ângulo de π2 . Neste caso temos que

Γ = {ω ,ω2 , ω3 , e}, onde e é o difeomor�smo identidade de M . Dado que Γ é �nito, temos

que ele é discreto e age propriamente sobre M , e também age efetivamente. Assim, M/Γ é

um good orbifold diferenciável.

2. Sejam M = R2 e Γ̃ o subgrupo de Dif (R2) gerado por três re�exões {ω1 , ω2 , ω3}; onde ω1

é a re�exão em torno da reta y = 0, ω2 é a re�exão em torno da reta y =√

3x e ω3 é a

em re�exão em torno da reta y = −√

3x +√

3. Não é difícil ver que Γ̃ tem cardinal in�nito.

Além disso, para x em R2 temos que Γ̃x é �nito e Γ̃ (x ) é subconjunto fechado e discreto

de R2. Observemos que se sobre R2 temos a métrica Riemanniana canônica, então Γ̃ é um

subgrupo de isometrias. Assim, pelo Teorema 1.2.1, temos que Γ̃ age descontinuamente sobre

R2. Então, pela Proposição 1.2.1, temos que Γ̃ é discreto e age propriamente. Além disso, pela

Proposição 1.2.3, Γ age efetivamente. Logo R2/ Γ̃ é um good orbifold diferenciável. Observe

que R2/ Γ̃ é homeomorfo a um triângulo equilátero em R2 de perímetro 3.

20 PRELIMINARES 1.4

[N]

[S]

[ (1 , 0 ) ]f

[ (1/2 ,√

3/2 ) ]

[(0 , 0 )]

Figura 1.1: Os espaços S2

/Γ e R2

/ Γ̃.

1.4.1 Orbifold Riemanniano

De�nição 1.4.4 Sejam X é um orbifold diferenciável e {(Mi , φ̄i , Γi) }i ∈ I um atlas maximal. Di-

zemos que X é um orbifold Riemanniano se as variedades diferenciáveis Mi são variedades

Riemannianas (Mi , gi), os subgrupos Γi , são subgrupos de Iso (Mi , gi) e os difeomor�smos locais

hi j de mudança de cartas são isometrias locais.

Observação 1.4.2 Observe que neste caso, quando X é um orbifold Riemanniano, para cada i ∈ I,

temos que, dado que Γi é discreto e age propriamente por isometrias sobre a variedade Riemanniana

(Mi , gi) e usando as Proposições 1.2.1 e 1.2.3, Γi age descontinuamente e efetivamente sobre M .

Proposição 1.4.3 Todo orbifold diferenciável e paracompacto X admite uma estrutura de orbifold

Riemanniano.

Demonstração. Vamos fazer a prova no caso no qual X é um good orbifold diferenciável. Uma

prova do caso em geral, pode ser vista em [Dra11].

Primeiro vamos observar que o espaço X = M/Γ com a topologia quociente é paracompacto pois

é um espaço Hausdor� localmente compacto e é a união de uma família enumerável de espaços

compactos. Assim, existe uma cobertura localmente �nita de abertos {π (Vx)}x ∈M de M/Γ, onde

cada aberto x ∈ Vx é tal que {ω ∈ Γ ∶ ω (Vx) ∩ Vx ≠ ∅} = Γx (vide a prova da Proposição 1.4.3).

De�namos

Ṽx ∶= π−1

(π (Vx)) = ⋃ω ∈Γ

ω (Vx).

1.5 ORBIFOLD DE RECOBRIMENTO 21

Assim, cada Ṽx é aberto em M e é Γ- invariante. Agora seja {fxi }x ∈M uma Γ- invariante partição

da unidade subordinada à família {Ṽx}x ∈M . Tal partição existe pelo seguinte fato (para uma melhor

consulta vide [AB15])

Se {Ṽx}x ∈M é uma família localmente �nita de abertos Γ- invariantes cobrindo M , então existe uma

partição da unidade {fx}x ∈M subordinada à família {Ṽx}x ∈M , tal que cada fx ∶ Ṽx → [0 , 1 ] é Γ-

invariante.

Continuando com a prova, a�rmamos que para cada Vx existe uma métrica Riemanniana gxtal

que Γx é um subgrupo de Iso (Vx , gx). Com efeito, dado que Vx ⊂ M , então Vx é paracompacto,

logo existe uma métrica Riemanniana g em Vx . Agora, para cada y ∈ Vx e cada par u , v ∈ TyM ,

de�namos

gx

(u , v )y ∶=1

∣Γx ∣∑ω ∈Γx

g ((dω)y u , (dω)y v )ω (y ) .

É fácil ver que gxé Γx - invariante, e portanto Γx é um subgrupo de Iso (Vx , g

x).

Finalmente de�namos a seguinte métrica Riemanniana sobre M

g ∶= ∑x ∈M

fx gx

.

K

Exemplo 1.4.1 Os exemplos expostos em 1.4.1 são good orbifolds Riemannianos. Mais adiante

vamos dar outro exemplo de um orbifold Riemaniano que não é de tipo good.

Proposição 1.4.4 Sejam (M , g ) uma variedade Riemanniana conexa e Γ um subgrupo discreto

de Iso (M , g ) que age propriamente sobre M , então M/Γ é um orbifold Riemanniano. Além disso

(M/Γ , τQ) é um espaço topológico metrizável.

Demonstração. A primeira parte da prova é obtida a partir da Proposição 1.4.3. A segunda parte

segue-se do Corolário 1.2.1 e do Teorema 1.2.4. K

1.5 Orbifold de Recobrimento

De�nição 1.5.1 Sejam X e X ′ dois orbifold diferenciáveis. Uma aplicação contínua e sobrejetora

p ∶X ′ →X

22 PRELIMINARES 1.5

é chamada uma aplicação recobridora se e somente se satisfaz a seguinte condição: para cada

x̄ ∈ X existe uma vizinhança aberta x̄ ∈ Ux̄ ⊂ X e uma carta orbifold (M, φ̄, Γ) que uniformiza Ux̄ ,

i.e, φ̄ ∶M → Ux̄ é contínua e Γ-invariante e induz um homeomor�smo φ ∶M/Γ→ Ux̄ , tais que cada

componente conexa Vi de p−1(Ux̄) ⊂ X ′ é uniformizada por (M, φ̄i , Γi), onde Γi é um subgrupo de

Γ e φ̄i ∶M → Vi é contínua, sobrejetora e Γi-invariante e induz o homeomor�smo φi ∶M/Γi → Vi .

Observação 1.5.1 É bom observar que, geralmente, X ′ não é um espaço recobridor de X.

De�nição 1.5.2 O recobrimento universal de p ∶ X̃ → X de um orbifold conexo X é uma aplica-

ção recobridora tal que se p′ ∶ X ′ → X é outra aplicação recobridora, então existe uma aplicação

recobridora p̃ ∶ X̃ → X ′ tal que p = p′ ○ p̃. Neste caso X̃ é chamado recobridor orbifold universal de

X.

Observação 1.5.2 William Thurston provou que cada orbifold diferenciável X possui um recobri-

dor orbifold universal X̃ (vide [P.02]). Além disso, ele de�niu o conceito de grupo fundamental

orbifold de X e é denotado por πorb

1(X ), e é o grupo de transformações de Deck associadas à

aplicação de recobrimento universal p ∶ X̃ →X, i.e.,

πorb

1(X ) ∶= {ψ ∶ X̃ → X̃ ∣p = p ○ ψ }.

No caso no qual X =M/Γ é um good orbifold, temos que π ∶M →M/Γ é uma aplicação recobridora.

Além disso, cada subgrupo Γ0 ⊂ Γ induz um recobrimento π0 ∶ M Γ0 → M/Γ. Por outra parte, se

N é o variedade recobridora de M e f ∶ N →M é a aplicação recobridora respectiva, então π ○ f ∶

N → M/Γ torna-se um recobrimento orbifold. Em particular, se N = M̃ , onde M̃ é o recobridor

universal de M , então M̃ é o recobridor universal orbifold de M/Γ e π ○ f é um recobrimento

universal. Assim, obtemos a seguinte sequência exata curta

{1} Ð→ π1(M)Ð→ πorb

1(M/Γ)Ð→ Γ Ð→ {1}

Com efeito, sabemos que

π1(M) = {g ∶ M̃ → M̃ ∶ f ○ g = f }.

e por de�nição

πorb

1(M/Γ) = {ψ ∶ M̃ → M̃ ∶ π ○ f = π ○ f ○ ψ }.

Agora seja g ∈ π1(M), então (π ○ f ) ○ g = π ○ (f ○ g ) = π ○ f . Logo temos a primeira parte

de sequência exata. Observe que se ω ∈ Γ, então ω induz uma difeomor�mo ψ ∶ M̃ → M̃ , tal que

1.5 ORBIFOLD DE RECOBRIMENTO 23

f ○ ψ = ω ○ f . Logo

(π ○ f ) ○ ψ = π ○ (f ○ ψ ) = π ○ (ω ○ f ) = (π ○ ω ) ○ f = π ○ f.

Portanto ψ é um elemento de πorb

1(M/Γ), e assim temos a segunda parte da sequência curta.

Observe que um orbifold diferenciável X é um good orbifold se e somente se X̃ é uma

variedade diferenciável.

Exemplo 1.5.1 Sejam M = S2 e Γ o grupo gerado pelo seguinte difeomor�smo

ω1 ∶ S2 Ð→ S2

(x , y , z ) z→ (x , y , −z )

Então temos que πorb

1(M/Γ ) = Z2. Mas observemos que π1(M/Γ ) = {e}.

Este exemplo mostra que, geralmente, π1(M/Γ ) ≠ πorb

1(M/Γ ).

Antes de dar o seguinte exemplo, vamos citar um resultado muito importante (vide [Dra11], Teorema

2.21 ).

Seja X um orbifold diferenciável conexo. Sejam X1 e X2 dois suborbifolds conexos de X e tais que

1. X = X1 ∪ X2 ;

2. X3 ∶= X1 ∩ X2 é conexo;

3. X̄1 e X̄2 são suborbifolds de X com bordo e tais que o bordo de X1 e X2, respectivamente,

é igual à fronteira de X1 e X2 em X, respectivamente.

Então

πorb

1(X ) = π

orb

1(X1) ⋆

πorb1

(X3 )πorb

1(X2)

é o produto livre amalgamado dos grupos fundamentais orbifold de X1 e de X2 sobre o grupo

fundamental orbifold de X3 .

Exemplo 1.5.2 (A Gota ) Seja k ∈ {2, 3, . . .}, de�namos ω como uma rotação de um ângulo 2πkem R2. Sejam M1 = M2 = B 3

4π(0 ) a bola aberta em R2 e centrada na origem de raio 3π4 e Γ o

grupo gerado por ω. Sejam os homeomor�smos

φ1 ∶ B 34π

(0 )/Γ Ð→ U1

[v] z→ expN(v ).

24 PRELIMINARES 1.6

φ̄2 ∶ B 34π

(0 ) Ð→ U2

w z→ expS(w ).

Onde N e S são os polos na esfera S2 e expN, exp

S∶ R2 → S2 são as aplicações exponencial de N

e S, respectivamente.

Observe que φ1 induz uma aplicação φ̄1 ∶ B 34π

(0 )Ð→ U1, que é contínua, sobrejetora e Γ-invariante.

De�namos Γ1 ∶= Γ e Γ2 ∶= {e}, onde e é o difeomor�smo identidade em B 34π

(0 ). Então temos que

{(Mi , φ̄i , Γi )}i=1 ,2

de�ne uma estrutura orbifold diferenciável para X. Neste caso os difeomor�smos de mudança é o

grupo Γ1.

Agora

πorb

1(X ) = πorb

1(U1) ⋆

πorb1

(U1∩U2 )πorb

1(U2)

= Zk⋆Z {e}.

= {e}

Portanto, pela Observação 1.5.2, temos que X̃ = X, que não é uma variedade. Logo X não é um

good orbifold.

Figura 1.2: A Gota

1.6 O Pseudogrupo de Mudança de Cartas

De�nição 1.6.1 Seja M uma variedade Riemanniana, não necesariamente conexa. Um pseudo-

grupo P de difeomor�smos (isometrias) de M é uma família de difeomor�smo (isometrias)

1.7 O PSEUDOGRUPO DE MUDANÇA DE CARTAS 25

locais ω ∶ U → V , onde U e V são abertos de M , que satisfaz

1. Se ω ∈ P, então ω−1 ∈ P;

2. se ω1 ∶ U1 → V1 e ω2 ∶ U2 → V2 são elementos de P, então ω2 ○ ω1 ∶ ω−1

1(U2 ∩ V1) → V2 é um

elemento de P;

3. se ω ∶ U → V é um elemento de P e Ũ é um aberto contido em U , então ω ∣Ũ∶ Ũ → V é um

elemento de P;

4. se ω ∶ U → V é um difeomor�mo (isometria) local em M tal que para cada p em U existem

um aberto p ∈ Ũ ⊂ U e ω̃ em P tais que ω ∣Ũ= ω̃ ∣

Ũ, então ω é um elemento de P.

De�nição 1.6.2 Sejam P1 um pseudogrupo de difeomor�rsmos (isometrias) de uma variedade M

e P2 um pseudogrupo de difeomor�smos (isometrias) de uma variedade N . Uma equivalência entre

P1 e P2 é uma família maximal Φ de difeomor�smos (isometrias) entre abertos de M e N tal que

1. Os domínios dos elementos de Φ é uma cobertura por abertos deM e as imagens dos elementos

de Φ é uma cobertura por abertos de N ;

2. se ω1 ∈ P1, ω2 ∈ P2 e φ ∈ Φ, então ω2 ○ φ ○ ω1 é um elemento de Φ;

3. ω ∈ P1, ω̃ ∈ P2 e φ1 , φ2 ∈ Φ , então φ2 ○ ω ○ φ−1

1∈ P2 e φ

−1

1○ ω̃ ○ φ2 ∈ P1 .

Observação 1.6.1 Seja {(Mi , φ̄i , Γi) }i ∈ I um atlas para um orbifold X. De�nimos M ∶=⋅⋃i ∈ I

Mi ,

i.e,M é a união disjunta da família {Mi}i ∈ I , e neste caso, cadaMi é uma componente conexa deM .

De�nimos φ̄ como a união da família {φ̄i}i ∈ I . Agora, cada difeomor�smo local hi j de mudança de

cartas do atlas {(Mi , φ̄i , Γi) }i ∈ I é um difeomor�smo local de M em M . Assim, a família {hi j} de

mudança de cartas do atlas {(Mi , φ̄i , Γi) }i ∈ I de�ne um pseudogrupo P, e neste caso P é chamado

o pseudogrupo de mudança de cartas de X com respeito ao atlas {(Mi , φ̄i , Γi) }i ∈ I .

Dizemos que dois pontos x, y estão na mesma órbita de P se existe h ∈ P tal que h (x ) = y.

Essa relação de�ne uma relação de equivalência em M e as classes são chamadas órbitas de P.

Agora, o espaço de órbitas com topologia quociente é denotado como M/P, e a aplicação φ̄ induz

um homeomor�smo entre M/P e X.

Seja {(Nj , ψ̄j , Γ̃j) }j ∈J outro atlas que de�ne a mesma estrutura diferenciável em X. De�namos

por P̃ é pseudogrupo que de�ne o atlas {(Nj , ψ̄j , Γ̃j) }j ∈J . Dizemos que P e P̃ são equivalentes se

existe um pseudogrupo R de difeomor�smos locais deM ∪N , onde a união é disjunta e N ∶= ⋃j ∈J

Nj ,

tal que R ∣M

= P e R ∣N= P̃ e tal que as inclusões i

M∶M →M ∪ N e i

N∶ N →M ∪ N induzem

homeomor�smos M/P → [M ∪ N ]/R e N/ P̃ → [M ∪ N ]/R, respectivamente.

26 PRELIMINARES 1.8

1.7 De�nição Alternativa de Orbifold

De�nição 1.7.1 Um orbifold diferenciável (Riemanniano) X é uma classes de equivalência de

pseudogrupos P de difeomor�smos (isometrias) locais de uma variedade diferenciável (Riemanni-

ana) M , tal que

1. O espaço de órbitas M/P é Hausdor�;

2. para cada x ∈ M existe uma vizinhança aberta x ∈ U ⊂ M tal que P ∣Ué gerado por um

grupo �nito de difeomor�smos (isometrias) de U .

Neste caso o espaço M/P é o espaço subjacente do orbifold X.

Se Γ é um grupo discreto de Dif (M ) (Iso (M )) que age propriamente sobre uma variedade (Rie-

manniana) conexa M , então M/Γ tem estrutura de good orbifold, e neste caso o pseudogrupo de

mudança de cartas é gerado pelos elementos de Γ.

Exemplo 1.7.1 Um exemplo importante de um pseudogrupo de isometrias locais é o pseudogrupo

de holonomia de uma folheação Riemanniana: seja F uma folheação Riemanniana de codimensão k

de uma variedade Riemanniana (Mn , g ), então F pode ser descrita por uma cobertura aberta {Ui}

de M com submersões fi ∶ (Ui , g ) → (Vi , h ), onde (Vi , h ) é uma subvariedade Riemanniana de

dimensão k, tal que existem isometrias

ωi j ∶ fi(Ui ∩ Uj)→ fj(Ui ∩ Uj), com fj = ωi j ○ fi .

Os elementos ωi j que agem sobre N ∶=⋅⋃i ∈ I

Vi geram um pseudogrupo P de isometrias que é chamado

o psudogrupo de holonomia de F.

Exemplo 1.7.2 Um exemplo importante de um orbifold Riemanniano é o espaço de folhas M/F

de uma folheação Riemanniana F com folhas mergulhadas fechadas de uma variedade Riemaniana

(M , g ). Neste caso M/F é isométrico ao espaço N/P, onde N e P são de�nidos no exemplo 1.7.1.

A seguinte proposição pode ser vista como a recíproca do exemplo 1.7.2 (vide [AB15]).

Proposição 1.7.1 Cada orbifold Riemanniano N/P é o espaço de folhas de uma folheação Rie-

manniana com folhas mergulhadas fechadas.

1.8 ORBIFOLDS MÉTRICOS 27

1.8 Orbifolds Métricos

Proposição 1.8.1 Seja V um espaço Euclidiano. Sejam Γ e Γ̃ dois subgrupos �nitos de O (V ), e

suponhamos que existe um elemento φ em O (V ) que satisfaz Γ̃ = φΓφ−1. Então os espaços V/Γ e

V/ Γ̃ são isométricos.

Demonstração. Dados ω ∈ Γ e x ∈ V, quaisquer, temos que

φ (ω (x )) = φ ○ ω ○ φ−1

(φ (x )).

Então, dado que Γ̃ = φ ○ Γ ○ φ−1 , temos que φ (ω (x )) e φ (x ) estão na mesma Γ̃- órbita. Assim, a

seguinte aplicação

φ̄ ∶ V/Γ Ð→ V/ Γ̃

Γx z→ Γ̃φ (x )

está bem de�nida. Por ser bem de�nida, φ̄ é injetiva. E é fácil ver que ela é sobrejetora, e portanto

φ̄ é uma bijeção. Sejam π ∶ V→ V/Γ e η ∶ V→ V/ Γ̃ as aplicações quocientes associadas aos grupos

Γ e Γ̃, respectivamente. Temos que a aplicação η ○ φ é Γ-invariante. Logo, dado que η ○ φ é aberta

e contínua, temos que φ̄ é aberta e contínua, respectivamente. Portanto φ̄ é um homeomor�smo.

Vamos provar que φ̄ é uma isometria. Sejam x1 e x2 dois elementos quaisquer de V, então

dΓ̃(φ̄ (Γx1) , φ̄ (Γx2)) = dΓ̃(Γ̃φ (x1) , Γ̃φ (x2)) pela de�nição de φ̄

= inf {d (φ (x1) , ω̃ (φ (x2))) ∶ ω̃ ∈ Γ̃} por de�nição de dΓ̃

= inf {d (φ (x1) , φ (ω (x2))) ∶ ω ∈ Γ} dado que Γ̃ = φΓφ−1

= inf {d (x1 , ω (x2)) ∶ ω ∈ Γ} φ é uma isometria

= dΓ(Γx1 , Γx2) pela de�nição de dΓ .

Então φ̄ é uma isometria.

Vφ

ÐÐÐ→ V

π×××Ö

×××Öη

V/Γ ÐÐÐ→φ̄

V/ Γ̃

K

Lema 1.8.1 Sejam M uma variedade Riemanniana e Γ um subgrupo �nito de isometrias de M .

Sejam γ ∶ [−a , a ] →M uma geodésica minimizante e π ∶M →M/Γ a aplicação quociente da ação

28 PRELIMINARES 1.8

de Γ sobre M . Vamos supor que Γ �xa γ (0 ), então π ○ γ ∶ [0 , a ]→M/Γ é uma geodésica métrica

em M/Γ. Além disso, π ○ γ ∶ [−a , a ] →M/Γ é uma geodésica métrica se e somente se Γγ (t )

= Γ,

para todo t ∈ [−a , a ].

Demonstração. Primeiro observemos que em M/Γ podemos induzir a métrica dada pela ação

de Γ sobre M , pois Γ é um grupo �nito.

Vamos provar a primeira a�rmação. Seja t ∈ [0 , a ], então

dΓ(Γγ (0) , Γγ (t )) = inf{d (ω γ (0) , γ (t )) ∶ ω ∈ Γ} pela di�nição de d

Γ

= inf{d (γ (0) , γ (t )) ∶ ω ∈ Γ} dado que Γγ(0)

= Γ

= d (γ (0) , γ (t )) = t pois γ é minimizante.

Logo

dΓ(Γγ (0) , Γγ (t )) = t, para todo t ∈ [0 , a ]. (1.5)

Sejam 0 < t1 < t2 ≤ a. Pela de�nição de dΓ , vamos ter que

dΓ(Γγ (t1 ) , Γγ (t2 )) ≤ d(γ (t1 ) , γ (t2 )) = t2 − t1 . (1.6)

Agora

t2 = dΓ(Γγ (0) , Γγ (t2)) pela equação (1.5)

≤ dΓ(Γγ (0) , Γγ (t1)) + dΓ(Γγ (t1 ) , Γγ (t2)) por desigualdade triangular

= t1 + dΓ(Γγ (t1 ) , Γγ (t2)) pela equação (1.5).

(1.7)

Portanto, pelas equações (1.6) e (1.7), temos que

t2 − t1 ≤ dΓ(Γγ (t1 ) , Γγ (t2)) ≤ t2 − t1 .

Logo temos a prova da primeira a�rmação. Observe que, da mesma maneira, podemos concluir que

π ○ γ (−t ) ∶ [0 , a]→M /Γ é uma geodésica métrica em M /Γ.

Vamos provar a segunda a�rmação. Primeiro suponhamos que π ○ γ é uma geodésica métrica em

M /Γ, mas vamos supor que não temos a conclusão, i.e., vamos supor que existe um t0 ∈ [−a , a ]

tal que Γγ (t0 )

≠ Γ. Para continuar nossa prova basta supor que a imagem de γ está contida numa


vizinhaça normal de γ (0). Assim, seja v ∈ Tγ (0)

M tal que ∣ v ∣ = a e γ (t) = expγ (0)

(tv ), para

−1 ≤ t ≤ 1. Dado ω ∈ Γ, temos que

ω γ (t ) = ω expγ (0)

(tv ) = expγ (0)

((dω)γ (0)

tv ) = expγ (0)

(t (dω)γ (0)

v ). (1.8)

Observe que da equação (1.8) podemos concluir que ω expγ (0)

(s v ) ≠ expγ (0)

(v ) se e somente se

ω expγ (0)

(tv ) ≠ expγ (0)

(tv ), para todo t ∈ [−1 , 1 ] ∖ {0}. Portanto, o grupo de isotropia ao longo

da geodésica γ (t ) permanece constante salvo quando t = 0. Em particular, se existe algum t̄ ∈

[−a , a ] ∖ {0} tal que Γγ (t̄ )

= {e}, onde e é o elemento identidade de Γ, então Γγ (t )

= {e}, para

todo t ∈ [−a , a ] ∖ {0}. Dado que estamos supondo que t0 é tal que t0 ≠ 0 e Γγ (t0 ) ≠ Γ, então, pelo

provado antes, temos que Γ ≠ Γγ (t )

= Γγ (t0 )

, para todo t ∈ [−a , a ]∖ {0}. Logo, em particular, para

todo t ∈ (0 , a] existe ω ∈ Γ tal que ω γ (t ) ≠ γ (t ). Dado que por hipótese temos que π ○ γ é uma

geodésica métrica em M /Γ, temos que dΓ(Γγ (−t ) , Γγ (t )) = 2 t, para todo t ∈ (0 , a ].

Agora

dΓ(Γγ (−t ) , Γγ (t )) ≤ d(γ (−t ) , ω γ (t )) por di�nição de d

Γ

< d (γ (−t ) , γ (0)) + d (γ (0) , ω γ (t )) desigualdade triangular

= d (γ (−t ) , γ (0)) + d (ω−1

γ (0) , γ (t ))

= d (γ (−t ) , γ (0)) + d (γ (0) , γ (t )) pois Γ = Γγ (0)

= 2 t dado que γ é minimizante.

Observemos que a seguinte desigualdade triangular

d (γ (−t ) , ω γ (t )) < d (γ (−t ) , γ (0)) + d (γ (0) , ω γ (t ))

é estrita, pois ω γ (t ) não está na imagem de γ. Logo, como mostrados acima, temos que

2 t = dΓ(Γγ (−t ) , Γγ (t )) < 2 t

que é um absurdo. Portanto, se π ○ γ ∶ [−a , a ] →M/Γ é uma geodésica métrica, então Γγ (t )

= Γ,

para todo t ∈ [−a , a ].

Agora vamos provar a outra direção da segunda a�rmação. Suponhamos que Γγ (t )

= Γ, para todo

t ∈ [−a , a ]. Em particular temos que Γ �xa γ (−a ). Então, pela primeira parte da proposição, temos

que π ○ γ ∶ [−a , a ]→M /Γ é uma geodésica métrica em M/Γ.

30 PRELIMINARES 1.8

Logo temos a prova da segunda parte da proposição. K

Observação 1.8.1 A prova do Lema 1.8.1 também pode ser obtida pelo seguinte resultado (vide

[AB15], Lema 3.70):

Sejam µ ∶ Γ × M → M uma ação por isometrias e seja β ∶ [0 , 1 ] → M uma geodésica que atende

a distância entre as orbitas Γ (β (0 )) e Γ (β (1 )). Então existe um subgrupo Γ0 ⊂ Γ tal que

Γβ (t )

= Γ0, para todo t ∈ (0 , 1 ) e Γ0 é um subgrupo de Γβ (0 ) e de Γβ (1 ) .

Lema 1.8.2 Sejam M e N duas variedades Riemannianas, Γ e Γ̃ dois subgrupos discretos de

isometrias deM e N , respectivamente, que agem propriamente. Sejam π ∶M →M/Γ e η ∶ N → N/ Γ̃

as aplicações quocientes associadas aos grupos Γ e Γ̃, respectivamente, e vamos supor que

ψ̄ ∶ M/ΓÐ→ N/ Γ̃

é uma isometria de espaços métricos. Sejam x em M e y ∈ N tais que ψ̄ (π (x )) = η (y ), então Γx

é trivial se e somente se Γ̃y é trivial.

Demonstração. Vamos supor que Γx é trivial, mas que Γ̃y não é trivial. Pelo Teorema 1.2.5, existe

r̃ > 0 tal que para todo r ≤ r̃, π ∣Br (x )

∶ Br(x ) → Br(x ) /Γ é uma isometria. Da mesma maneira,

para y existem s̃ > 0 e uma isometria ρ ∶ Bs(y )/ Γ̃y → Bs(y )/ Γ̃, para todo s ≤ s̃. Além disso, se

de�nimos ηy ∶ Bs(y )→ Bs(y )/ Γ̃y como a aplicação quociente associada à ação de Γ̃y sobre Bs(y ),

então η ∣Bs (y )

= ρ ○ ηy . Podemos supor, sem perda de generalidade, que as bolas Br̃(x ) e Bs̃(y )

são bolas normais de x e y, respectivamente. Seja r̄ = min{r̃, s̃}, então para todo r ≤ r̄, temos que

ρ−1 ○ ψ̄ ○ π∣

Br (x )∶ Br(x )→ Br(y )/ Γ̃y é uma isometria de espaços métricos. De�namos

Ωx ∶= {γ ∶ (−r̄ , r̄ )→ Br̄(x ) ∣ γ é uma geodésica e γ (0) = x}

e seja γ em Ωx . Dado que γ é uma geodésica minimizante, temos que

ρ−1

○ ψ̄ ○ π ○ γ ∶ (−r̄ , r̄ )→ Br̄(y )/ Γ̃y

é uma geodésica métrica e ηy(y ) = ρ−1 ○ ψ̄ ○ π ○ γ (0). De�namos

Λ ∶= {β̄ ∶ (−r̄ , r̄ )→ Br̄(y )/ Γ̃y ∶ β̄ = ρ−1

○ ψ̄ ○ π ○ γ, para alguma γ ∈ Ωx } .


Agora, temos que

Br̄(y )/ Γ̃y = ⊔β̄ ∈ Λ, t∈(−r̄ , r̄ )

β̄ (t )

sendo esta uma união disjunta dois a dois. E também temos que, por [Rat06] (Teorema 13.1.6), para

cada β̄ ∈ Λ existe uma geodésica β̃ ∶ (−r̄ , r̄ ) → Br̄(y ) tal que β̃ (0) = y e ηy(β̃ (t )) = β̄ (t ), para

todo t ∈ (−r̄ , r̄ ). Dado que β̄ é uma geodésica métrica em Br̄(y )/ Γ̃y temos, pelo Lema 1.8.1, que

Γ̃β̃ (t)

= Γ̃, para todo t ∈ (−r̄ , r̄ ). Logo cada ponto em Br̄(y ) tem como grupo de isotropia o grupo

Γ̃. Mas isso é um absurdo pois, por [Rat06] (Teorema 13.2.4), o conjunto dos pontos regulares em

Br̄(y ) é um conjunto aberto e denso de Br̄(y ). Logo Γ̃y é trivial. K

Proposição 1.8.2 Sejam V um espaço Euclidiano, Γ e Γ̃ dois subgrupos �nitos de O (V ), e su-

pomos que os espaços V/Γ e V/ Γ̃ são isométricos. Então os grupos Γ e Γ̃ são conjugados em

O (V ).

Demonstração. Sejam π ∶ V → V/Γ e η ∶ V → V/ Γ̃ as aplicações quocientes associadas aos

grupos Γ e Γ̃, respectivamente. E seja ψ̄ ∶ V/Γ→ V/ Γ̃ a isometria que temos por hipótese.

Nosso primeiro objetivo é provar que existe uma isometria ψ ∶ V → V, tal que η ○ ψ = ψ̄ ○ π. Para

provar este fato, vamos fazer indução sobre a dimensão do espaço Euclidiano V.

Como caso inicial, vamos supor que dim (V ) é 1. Neste caso, podemos supor que V ≃ R. Assim,

temos os seguinte casos:

1. Γ = {e} e Γ̃ = {e}. Assim, R /Γ = R/ Γ̃ = R;

2. Γ = {e , −e} = Γ̃. Então R /Γ = [0 , ∞) = R / Γ̃;

3. Γ = {e} e Γ̃ = {e , −e}. Logo R /Γ = R e R / Γ̃ = [0 , ∞).

Observemos que no último caso temos que na ação de Γ̃ sobre R, 0 é o único ponto de R que não

possui grupo de isotropia trivial, pois seu grupo de isotropia é o grupo Γ̃, mas a ação de Γ sobre R

é livre. Então, pelo Lema 1.8.2, neste caso R /Γ = R e R / Γ̃ = [0 , ∞) não podem ser isométricos.

Agora, os dois primeiros casos são os únicos onde é satisfeita a hipótese da proposição, e podemos

escolher ψ como a isometria identidade de V, obtendo que η ○ ψ = ψ̄ ○ π. Mais ainda, não pre-

cisamos da existência de ψ para obter que os grupos Γ e Γ̃ são conjugados em O (V ), pois Γ = Γ̃.

Assim temos a prova para dim (V ) = 1.

Para dim (V ) ∶= n > 1 vamos trabalhar em Sn−1 ∶= {x ∈ V ∶ ∣∣x ∣∣V = 1}. Pois, por [Rat06] (Teorema

2.1.3), temos que cada transformação ortogonal de Rn se restringe a uma isometria de Sn−1 , e cada

32 PRELIMINARES 1.8

isometria de Sn−1 se estende a uma única transformação ortogonal de Rn .

Supomos que dim (V ) = 2. Dado que, por hipótese, os espaços V/Γ e V/ Γ̃ são isométricos, temos

que S1/Γ e S1/ Γ̃ são isométricos. Também, por hipótese, temos que Γ e Γ̃ são subgrupos �nitos de

O (V ), logo, por [Kan01] (Teorema 1), Γ e Γ̃ somente podem pertencer a uma das duas seguintes

classes de grupos: um grupo de rotações ou num grupo diedral gerado por re�exões. Observemos

que se Γ e Γ̃ estão em classes diferentes então S1/Γ e S1/ Γ̃ não podem ser isométricos. Com efeito,

se eles estão em classes diferentes, supomos que Γ é um grupo de rotações e que Γ̃ é um grupo

diedral gerado por re�exões, então Γ agiria livremente sobre S2 e Γ̃ não, assim, pela Proposição

1.8.2, os espaços S1/Γ e S1/ Γ̃ não podem ser isométricos. Portanto não podemos ter a hipótese de

nossa proposição. Logo temos somente os dois seguintes casos.

1. Γ e Γ̃ são grupos de rotações. Assim, Γ ≃ Z /kZ e Γ̃ ≃ Z /mZ. Dado que S1/Γ e S1/ Γ̃ são

isométricos, temos que m = k. Neste caso podemos escolher ψ como a isometria identidade de

S2 , e assim temos a prova neste caso.

2. Γ e Γ̃ são grupos de diedrais gerados por re�exões. Então Γ ≃ Z /kZ ⋊ Z /2Z e Γ̃ ≃ Z /mZ ⋊

Z /2Z, onde k em estão no conjunto {0,1,2, . . .}. Suponhamos que Γ é gerado por as re�exões

r1 e r2 e Γ̃ é gerado pelas re�exões r̃1 e r̃2 , i.e.,

Γ = < r1 , r2 > = < r1 , r1 r2 >

e

Γ̃ = < r̃1 , r̃2 > = < r̃1 , r̃1 r̃2 >

onde r1 r2 e r̃1 r̃2 são duas rotações com um ânguloπk e

πm , respectivamente. Agora, dado que

os diâmetros de S1/Γ e S1/ Γ̃ são 2πk e2πm , respectivamente, e S

1/Γ e S1/ Γ̃ são isométricos,

então k e m são iguais.

Sejam H1 , H2 , H̃1 e H̃2 os subespaços �xados por r1 , r2 , r̃1 e r̃2 , respectivamente. Sejam

x1 ∈ H1 ∩ S1e x2 ∈ H2 ∩ S

1tais que o ângulo entre os vetores x⃗1 e x⃗2 é

πm , e y1 ∈ H̃1 ∩ S

1

e y2 ∈ H̃2 ∩ S1tais que o ângulo entre os vetores y⃗1 e y⃗2 é

πm . Agora, dado que O2(R )

age transitivamente sobre S1 , de�namos ψ ∈ O2(R ) tal que ψ (x1) = y1 . É fácil ver que

ψ (x2) = y2 . Observemos que r̃1 é determinado por ±y1 e r̃2 é determinado por ±y2 . Agora,

temos que ψ ○ r1 ○ ψ−1 = r̃1 e ψ ○ r2 ○ ψ

−1 = r̃2 , pois ψ ○ r1 ○ ψ−1(±yi) = ±yi , para i = 1,2,

respectivamente. Portanto ψΓψ−1 = Γ̃.

Logo temos a prova para n = 2.


H2

H1πk

x1

x2

y

xi

H̃2

H̃1

y

xπm

y1

y2

Figura 1.3: Caso n = 2, com Γ e Γ̃ gerados por re�exões.

Nossa hipótese de indução consiste em supor que o resultado é válido para dim (V ) = n, i.e., supor

que existe uma isometria ψ ∶ Sn−1 → Sn−1 , tal que η ○ ψ = ψ̄ ○ π.

Vamos provar para dim (V ) = n + 1. De�namos X ∶= Sn/Γ e Y ∶= Sn/ Γ̃, e, por simplicidade, sejam

π ∶ Sn → Sn/Γ e η ∶ Sn → Sn/ Γ̃ as aplicações quocientes associadas aos grupos Γ e Γ̃, respectivamente.

Também, por simplicidade, seja ψ̄ ∶= ψ̄∣Sn /Γ

∶ Sn/Γ → Sn/ Γ̃, a isometria que temos por hipótese.

Observemos que se Γ age livremente sobre Sn , então, pela Proposição 1.8.2, temos que Γ̃ também

age da mesma maneira sobre Sn . Neste caso X e Y são espaços-forma e Sn é simplesmente conexo,

pois n ≥ 2, logo, por [Rat06] (Teorema 8.1.5), Γ e Γ̃ são conjugados em O (V ). E assim temos a

prova neste caso.

Agora vamos provar o caso no qual Γ e Γ̃ não agem livremente sobre Sn . Sejam x̄ ∈X e ȳ ∈ Y , tais

que ψ̄ (x̄) = ȳ. Suponhamos que x̄ é tal que para um x ∈ π−1(x̄ ), x é um ponto regular, i.e., Γx = {e},

onde e é o elemento identidade de Γ. E sabemos que isso acontece para todo elemento de π−1(x̄ ).

Fixemos x ∈ π−1(x̄ ) e y ∈ η−1(ȳ ). Então pela Proposição 1.8.2 temos que y é um ponto regular na

ação de Γ̃ sobre Sn , i.e., Γ̃y = {ẽ}, onde ẽ é o elemento identidade de Γ̃. Agora, pelo Teorema 1.2.5,

existe r̃ > 0 tal que se r ≤ r̃, então π ∣Br (x )

∶ Br(x )→ Br(x ) /Γ é uma isometria. Da mesma maneira,

para y existe s̃ > 0 tal que se s ≤ s̃, então η ∣Bs (y )

∶ Bs(y ) → Bs(y )/ Γ̃ é uma isometria. Seja r0 ∶=

min{ r̃, s̃}, então para todo r ≤ r0 temos que

η−1 ○ ψ̄ ○ π ∣

Br (x)∶ Br(x )→ Br(y )

é uma isometria e η−1 ○ ψ̄ ○ π (x ) = y. Agora, por [Wol11] (Teorema 2.3.12), existe uma única

isometria

ψ ∶ Sn

→ Sn

,

34 PRELIMINARES 1.8

tal que ψ (x) = y e

ψ ∣Br(x)

= η−1

○ ψ̄ ○ π ∣Br (x)

.

Agora, nosso objetivo é provar que o seguinte diagrama é comutativo.

Vψ

ÐÐÐ→ V

π×××Ö

×××Öη

X ÐÐÐ→ψ̄

Y

Para provar isso basta com demostrar que se α ∶ R → Sn é uma geodésica parametrizada pelo

comprimento de arco e tal que α (0 ) = x, então η ○ ψ (α (t )) = ψ̄ ○ π (α (t )), para todo 0 ≤ t ≤ 2π.

Seja γ ∶ [0 , a ] → Sn uma geodésica parametrizada pelo comprimento de arco, tal que γ (0 ) = x e

γ ([0 , a ]) ⊂ Br(x ), então temos que

η ○ ψ (γ (t )) = ψ̄ ○ π (γ (t )), para todo t ∈ [0 , a ].

Dado que Sn é uma variedade Riemanniana completa, podemos estender o domínio da geodésica γ

para um intervalo [0 , b ], onde b > a, e vamos supor que Γγ (t )

= {e}, para todo t ∈ [0 , b ]. De�namos

β (t ) ∶= ψ ○ γ (t ), assim, dado que ψ é uma isometria, temos que β (t ) é também uma geodésica

em Sn . Seja t ∈ [0 , b ], qualquer. Então existe rt tal que, da mesma maneira que mostramos para

x,

η−1 ○ ψ̄ ○ π ∣

Brt(γ (t ))

∶ Brt (γ (t ))→ Brt (β (t ))

é uma isometria. Assim, para cada t ∈ [0 , b ] existe uma única isometria

ψt ∶ Sn → Sn

tal que ψt (γ (t )) = β (t ) e

ψt ∣Brt (γ (t ))= η

−1

○ ψ̄ ○ π ∣Brt

(γ (t )).

Agora, {Brt (γ (t )) }t ∈ [0 , b ]

é uma cobertura por abertos de γ ([0 , b ]). Então, pela compacidade

de γ ([0 , b ]), podemos reduzir a cobertura a uma �nita {Bri (γ (ti)) }1≤ i≤k, onde podemos su-

por que 0 ≤ t1 < t2 < ⋯ < tk−1 < tk ≤ b. Logo x ∈ Br1 (γ (t1)), e portanto ψ = ψt1 . Dado que

Br1 (γ (t1))⋂Br2 (γ (t2)) é não vazio, temos que ψt2 = ψt1 , logo ψt2 = ψ. Continuando de esta

maneira, vamos obter que ψ = ψti , para todo i = 1,2, ..., k. Portanto

η ○ ψ (γ (t )) = ψ̄ ○ π (γ (t )),


para todo t ∈ [0 , b ].

Agora, suponhamos que c > b, e é tal que Γγ (c )

≠ {e} e Γγ (t )

= {e} para todo 0 ≤ t < c. De�namos

x1 ∶= γ(c ). A�rmamos que η ○ ψ (x1) = ψ̄ ○ π (x1). Com efeito, seja {tk}k ∈N uma sequência

contida em [0 , c ), tal que limj→∞

tj = c. Agora, para cada j ∈ N, temos que, pelo provado acima,

η ○ ψ (γ (tj)) = ψ̄ ○ π (γ (tj)). Assim

η ○ ψ (x1) = limj→∞

η ○ ψ (γ (tj))

= limj→∞

ψ̄ ○ π (γ (tj))

= ψ̄ ○ π (γ (x1)).

Logo η ○ ψ (γ (t )) = ψ̄ ○ π (γ (t )), para todo t ∈ [0 , c ].

Agora, dado que Γx1 ≠ {e}, temos que x1 não pertece a nenhuma bola da forma Brt (γ (t )), men-

cionadas anteriormente, para cada t ∈ [0 , c ), dado que Γγ (t )

= {e}. Seja y1 = ψ (x1). Para x1 ,

pelo Teorema 1.2.5, existe r1 > 0 tal que π induz uma isometria φ ∶ Br(x1) /Γx1 → Br(x1) /Γ,

para cada r ≤ r1 . Da mesma maneira, para y1 existe s1 > 0 tal que η induz uma isometria

ρ ∶ Bs(y1) / Γ̃y1 → Bs(y1) / Γ̃, para todo s ≤ s1 . De�nindo πx1 ∶ Br1 (x1) → Br1 (x1) /Γx1 e

ηy1 ∶ Bs1 (y1) → Bs1 (y1) / Γ̃y1 , como as aplicações quocientes das ações de Γx1 e Γ̃y1 sobre Br1 (x1)

e Bs1 (y1), respectivamente, temos os seguintes diagramas comutativos:

Br1 (x1)

πx1

��

π ∣Br1

(x1 ) // Br1 (x1) /Γ

Br1 (x1) /Γx1

φ

88

Bs1 (y1)

ηy1

��

η ∣Bs1

(y1 ) // Bs1 (y1) / Γ̃

Bs1 (y1) / Γ̃y1

ρ

88

Seja r̄ = min{ r1 , s1 }. Então para todo r ≤ r̄, temos que

ρ−1 ○ ψ̄ ○ φ ∣

Br (x1 ))∶ Br(x1) /Γx1 → Br(y1)) / Γ̃y1

é uma isometria. Em especial, para r < r̄, temos que

ρ−1 ○ ψ̄ ○ φ ∣ Sr (x1 ) ∶ Sr(x1) /Γx1 → Sr(y1) / Γ̃y1

36 PRELIMINARES 1.8

é uma isometria. Fixemos r < r̄. Dado que as esferas Sr(x1) e Sr(y1) são similares à esfera Sn−1

,

podemos aplicar a hipótese de indução, i.e., existe uma isometria ϕr ∶ Sr(x1)→ Sr(y1), tal que

ηy1 ○ ϕr = ρ−1 ○ ψ̄ ○ φ ○ πx1 ∣ Sr (x1 ) .

Então ϕr é uma isometria entre (∂ B̄r(x1 ) , g0 ) e (∂ B̄r(y1 ) , g0 ), onde g0 é a métrica canónica

em Sn . Por [CLUV04] (Teorema 2.1), existe uma isometria ψ̃ ∶ B̄r(x1 ) → B̄r(y1 ) tal que ψ̃ é uma

extensão de ϕr e ψ̃ (x1) = y1 . Agora, por [Wol11] (Teorema 2.3.12), para ψ̃ existe uma única

extensão a todo Sn , que, por comodidade, chamaremos da mesma maneira como ψ̃. Então

ηy1 ○ ψ̃ ∣ Sr (x1 ) = ηy1 ○ ϕr = ρ−1 ○ ψ̄ ○ φ ○ πx1 ∣ Sr (x1 ) .

Seja s < r̄, mas diferente de r. Da mesma maneira que acontece para r, temos que existe uma

isometria ϕs ∶ Ss(x1)→ Ss(y1), tal que

ηy1 ○ ϕs = ρ−1 ○ ψ̄ ○ φ ○ πx1 ∣ Sr (x1 ) .

A�rmamos que ηy1 ○ ψ̃ ∣Ss (x1 ) = ηy1 ○ ϕs . Vamos supor que isso não acontece, i.e., existe x0 ∈ Ss(x1 )

tal que ηy1 ○ ϕs (x0) ≠ ηy1 ○ ψ̃ (x0). Observemos que Br̄(x1) é uma bola normal de x1 . Assim,

existe uma única geodésica α ∶ [0 , r̄ ] → Sn tal que α (0 ) = x1 e α (s ) = x0 . De�nindo α̃ (t) ∶=

ψ̃ (α (t )), temos que α̃ (t ) é uma geodésica ligando y e ψ (x0). Agora, pela Proposição 1.8.1, temos

que ηy1 (α̃ (t )) é uma geodésica métrica em Br̄(y1 ) / Γ̃y1 , e, por [Rat06] (Teorema 13.1.6), cada

levantamento dela é único salvo ação por um elemento de Γ̃y1 , i.e, cada levantamento de ηy1 (α̃ (t ))

está determinado pela ação de Γ̄y1 sobre˙̃α(0 ). Dado que estamos supondo que ηy1 ○ ϕs (x0) ≠

ηy1 ○ ψ̃ (x0), então temos que ϕs (x0) ≠ ω̃ ψ̃ (x0), para todo ω̃ em Γ̃y1 . Seja α̂ ∶ [0 , r̄ ] → Sna

única geodésica tal que α̂ (0 ) = y1 e α̂ (s ) = ϕs (x0). Dado que ηy1 ○ ψ̃ ∣Sr (x ) = ηy1 ○ ϕr , temos

que ηy1 (α̂ (r )) =y1 ○ ψ̃ (α (r )) = α̃ (r ). Então˙̂α (0) e ˙̃α (0) estão na mesma Γ̃y1 - órbita, e portanto

α̂ (t ) também é uma levantamento de ηy1 ○ α̃ (t ), mas isso contradiz o fato que ϕs (x0) e ψ̃ (x0)

não estão na mesma Γ̃y1 - órbita. Logo temos que ηy1 ○ ψ̃ ∣ Ss (x1 ) = ηy1 ○ ϕs .

Portanto

ηy1 ○ ψ̃ ∣Br̄ (x1 ) = ηy1 ○ ϕs ○ ψ̃ ∣Br̄ (x1 ) = ηy1 ○ ϕr = ρ−1

○ ψ̄ ○ φ ○ πx1 ∣Br̄ (x1 ) . (1.9)

Sabemos que em Br̄(x1) existem in�ntos γ (t ), para t ∈ [0 , c ). Assim, �xemos t̂ tal que t̂ ∈ [0 , c )

e γ (t̂ ) ∈ Br̄(x1). Sabemos que Γγ (t̂ ) é trivial, e portanto existe r̂ > 0 tal que ψ ∣Br̂(γ (t̂ ))

= η−1 ○ ψ̄ ○

π ∣Br̂(γ (t̂ ))

. De�nindo U ∶= Br̂(γ (t̂ )) ⋂ Br̄(x1), temos que γ (t̂ ) ∈ U e ψ ∣U = η

−1 ○ ψ̄ ○ π ∣U. Seja


V ∶= ψ (U). Agora, sabemos que para todo x ∈ U e todo y ∈ V temos que Γx = {e} e Γ̃y = {ẽ}. Logo

π ∣U, πx1 ∣U , η ∣V e ηy1 ∣V são isometrias. Assim

ψ̃ ∣U

= η−1y1○ ρ−1 ○ ψ̄ ○ φ ○ πx1 ∣ U pela equação (1.9)

= η−1 ○ ψ̄ ○ π ∣U

pois η ∣V= φ ○ η1 ∣ V e π ∣ U = ρ ○ π1 ∣ U

= ψ ∣U

dado que ψ ∣Br̂(γ (t̂ ))

= η−1 ○ ψ̄ ○ π ∣Br̂(γ (t̂ ))

.

Dado que ψ̃ e ψ são isometrias de Sn e coincidem no aberto U de Sn , temos que ψ̃ = ψ. Portanto

η ○ ψ ∣Br̄ (x1 )

= ρ ○ ηy1 ○ ψ = ψ̄ ○ φ ○ πx1 ∣Br̄ (x1 ) = ψ̄ ○ π ∣Br̄ (x1 )

Logo η ○ ψ (γ(t )) = ψ̄ ○ π (γ (t )), para todo t ∈ [0 , c + r̄ ), e por continuidade η ○ ψ (γ(t )) =

ψ̄ ○ π (γ (t )), para todo t ∈ [0 , c + r̄ ]. Então podemos provar que η ○ ψ (γ(t )) = ψ̄ ○ π (γ (t )),

para todo t ∈ [0 , 2π ]. E assim temos que η ○ ψ = ψ̄ ○ π, que era nosso primeiro objetivo.

Agora, nosso segundo objetivo é provar que Γ̃ = ψΓψ−1 . Primeiro vamos demostrar que ψΓψ−1 ⊂ Γ̃.

Sejam x0 ∈ Sne y0 = ψ (x0 ). Então

ψΓψ−1(y0 ) = (ψΓψ

−1)ψ (x0 ) = ψΓx0

= Γ̃ψ (x0 ) dado queη ○ ψ = ψ̄ ○ π

= Γ̃ y0 pois y0 = ψ (x0 ).

(1.10)

Assim, pela equação (1.10), temos que dado ω ∈ Γ e y0 ∈ Sn, existe ω̃0 ∈ Γ̃ tal que ψ ○ ω ○ ψ

−1(y0 ) =

ω̃0 (y0 ). Então temos que η ○ ψ ○ ω ○ ψ−1 = η. Podemos supor, sem perda de generalidade, que y0

é tal que Γ̃y0 = {ẽ}. Logo, pela Proposição 1.2.2, existe r > 0 tal que {ω̃ ∈ Γ̃ ∶ ω̃ Br(y0 )⋂Br(y0 ) ≠

∅} = Γ̃y0 = {ẽ} e Γ̃y = {ẽ}, para todo y ∈ Br(y0 ). Além, neste caso, Γ̃y0Br(y0 ) = Br(y0 ). Vamos

provar que ψ ○ ω ○ ψ−1 = ω̃0 . Seja y em Br(y0 ), então é fácil ver que Γ̃y ⋂ Br(y0 ) = {y }. Agora

ω̃−1

0○ ψ ○ ω ○ ψ

−1

(y0 ) = y0 e η ○ ω̃−1

0○ ψ ○ ω ○ ψ

−1

(y ) = η ○ ψ ○ ω ○ ψ−1

(y ) = η (y ).

Então

ω̃−1

0○ ψ ○ ω ○ ψ

−1

(y ) ∈ Br(y0 ) e ω̃−1

0○ ψ ○ ω ○ ψ

−1

(y ) ∈ Γ̃y, respectivamente.

38 PRELIMINARES 1.8

Logo ω̃−1

0○ ψ ○ ω ○ ψ−1(y ) ∈ Γ̃y ⋂ Br(y0 ) = {y }. Dado que y é qualquer ponto de Br(y0 ), temos

que ψ ○ ω ○ ψ−1 e ω̃0 coincidem em Br(y0 ). Como ψ ○ ω ○ ψ−1

e ω̃0 são isometrias de Sn, então

ψ ○ ω ○ ψ−1 = ω̃0 . Por tanto ψΓψ−1 ⊂ Γ̃.

Agora, fazendo uma prova similar, podemos provar que Γ̃ ⊂ ψΓψ−1 . Então Γ̃ = ψΓψ−1 .

K

Observação 1.8.2 Na prova da Proposição 1.8.2 demonstramos que se

ρ−1

○ ψ̄ ○ φ ∣Br̄ (x1 )

∶ Br̄(x1) /Γx1 → Br̄(y1) / Γ̃y1

é uma isometria de espaços métricos, então existe uma isometria ψ ∶ Sn → Sn, tal que

ηy1 ○ ψ ∣Br̄ (x1 ) = ρ−1

○ ψ̄ ○ φ ○ πx1 ∣Br̄ (x1 ) .

Portanto, podemos concluir que se Br

pablo asdrúbal díaz sepúlveda tese apresentada arap ......-mike portnoy (dream theater) para...

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