otimizaÇÃo por algoritmos genÉticos de pilares … · e como encontrar os esforços de segunda...

“Estruturas para o Desenvolvimento, Integração Regional e Bem-Estar Social”

OTIMIZAÇÃO POR ALGORITMOS GENÉTICOS DE PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDOS À FLEXÃO OBLÍQUA

OPTIMIZATION OF SLENDER REINFORCED CONCRETE COLUMNS UNDER COMBINED AXIAL LOAD AND BIAXIAL BENDING USING GENETIC ALGORITHMS

Susana L. Pires (P) (1); Maria Cecilia A. T. Silva (2)

(1) Eng Civil, MSc., FEC/UNICAMP, Campinas, Brasil

(2) D.Sc., Prof. Associado, FEC/UNICAMP, Campinas, Brasil Endereço para correspondência: [email protected]; [email protected]; (A) Susana de Lima Pires

Resumo

O trabalho apresenta uma ferramenta computacional para otimização da seção transversal (área de concreto, e área e distribuição de armadura) de pilares de concreto armado submetidos à flexão oblíqua. Inicialmente, é descrito o procedimento que escolhe, dentro de uma gama de possíveis soluções, o pilar que melhor atende os quesitos de segurança, de economia e normativos. Na etapa de otimização é utilizada a técnica dos Algoritmos Genéticos, por meio da qual é possível encontrar as melhores dimensões da seção e a melhor distribuição de armadura de forma que o custo do pilar, sujeito a determinadas restrições de resistência, de estabilidade, de exequibilidade e normativas, seja minimizado. O Método dos Elementos Finitos é utilizado no cálculo dos deslocamentos, e as não linearidades física e geométrica são introduzidas por meio do Método de Newton–Raphson Modificado com Rigidez Constante. Para verificar a eficiência da técnica de otimização empregada, foi criado um programa computacional de apoio que calcula todas as possíveis seções transversais de concreto armado contidas no espaço de busca, e escolhe aquela seção que, atendendo a todas as restrições, apresenta o menor custo. A análise se aplica a pilares de seção transversal retangular, constante e com distribuição simétrica de armadura. Observa-se que os resultados obtidos pela utilização da técnica de AGs convergem sempre para uma solução ótima ou situam-se na vizinhança da solução ótima. Palavras-chave: pilares, flexão oblíqua, concreto armado, otimização, algoritmo genético. Abstract

The work presents a computational tool for optimization of the cross section (concrete area, and area and distribution of reinforcement) of reinforced concrete columns under biaxial bending. Initially, we describe the procedure that chooses, within a range of possible solutions, the column that best meets the requisites of security, economic and regulatory. In step optimization technique of genetic algorithms is used, whereby it is possible to find the best dimensions of the cross section and the best distribution of reinforcement so that the cost of the column, subject to certain restrictions resistance, stability, feasibility and normative, is minimized. The Finite Element Method applies to calculate the displacements and the material and geometric nonlinearities apply by means of the Modified Newton-Raphson method with constant stiffness. To verify the efficiency of the technique used for optimization we developed a secondary computer program to calculate all possible cross sections of concrete contained in the search space, and choose the one section that, given all the constraints, has the lowest cost. The analysis applies to constant rectangular cross section with symmetrical distribution of reinforcement. We observed that the results obtained by using the technique of GAs always converge to an optimal solution or to a value in vicinity of optimal solution. Keywords: columns, biaxial bending, reinforced concrete, optimization, genetic algorithms.


1. INTRODUÇÃO

Em 2009, desenvolvemos um procedimento numérico para dimensionamento de pilares esbeltos de concreto armado submetidos à flexão normal composta (Pires e Silva, 2009). O dimensionamento de pilares esbeltos é complexo, pois nele devem ser considerados os efeitos de segunda ordem, que são os esforços adicionais causados pelo aumento dos deslocamentos do eixo do pilar. Esses deslocamentos aumentam até que o pilar encontre uma posição deformada que o equilibre. Mas como achar a área de aço (dimensionamento) de um pilar que não se conhece os esforços? E como encontrar os esforços de segunda ordem de um pilar que não se conhece a área de aço? Então, para resolver esse problema foi desenvolvido um processo iterativo, onde se fez uma busca da menor área de aço possível que equilibre o pilar.

Um avanço natural para esse procedimento seria desenvolvê-lo para dimensionar pilares esbeltos submetidos à flexão oblíqua. Mas qual seria a novidade deste assunto, visto que já há inúmeros trabalhos publicados sobre dimensionamento e verificação de pilares esbeltos submetidos à flexão oblíqua (Kim e Lee, 2000; Kwak e Kim, 2004; Bonet et al, 2004a; Bonet et al, 2004b; Bonet et al, 2006; Kwak e Kim 2006a; Kwak e Kim, 2006b; Majewiski et al, 2008; Pallares et al, 2009; Kwak e Kwak, 2010; Bonet et al, 2011)? Então, surgiu a ideia da otimização do dimensionamento de pilares esbeltos. Poderíamos ter a área de concreto, área de aço e a distribuição de armadura como variáveis e fazer um procedimento que as otimizasse de maneira que o pilar fosse equilibrado da forma mais econômica possível, tirando das mãos do projetista a responsabilidade de imposição de algumas dessas variáveis.

Na busca por soluções para a otimização do dimensionamento de pilares esbeltos, encontramos nos algoritmos genéticos um possível candidato já que se encaixava perfeitamente nas características do nosso problema. Haupt e Haupt (2004) listam as principais vantagens do uso dos AGs: (a) a otimização pode ser realizada com variáveis contínuas e discretas; (b) não são necessárias informações sobre a derivada da função; (c) lida com um grande número de variáveis; (d) fornece uma lista de variáveis ótimas e não apenas uma simples solução; (e) pode codificar as variáveis de modo que a otimização é feita com as variáveis codificadas; (f) trabalha com dados gerados numericamente, dados experimentais ou funções analíticas. Alguns autores usaram os algoritmos genéticos para otimização de estruturas de concreto armado, dentre eles, Coelho et al. (1997), Rafik e Sothcombe (1998), Koumosis e Arsenis (1998), Rajeev e Krisshnamoorthy (1998), Govindaraj e Ramasamy (2005) e Mingqi e Xing (2010).

Neste trabalho não há a intenção de encontrar o melhor método de otimização, mas sim, encontrar um procedimento que resolva esse problema de otimização. Apresentamos a formulação para a sistematização do dimensionamento ótimo de pilares esbeltos de concreto armado. O processo de otimização utiliza a técnica de Algoritmos Genéticos, por meio da qual é possível encontrar a melhor dimensão da seção e a melhor distribuição de armadura de forma que o custo do pilar, sujeito a determinadas restrições de resistência, de estabilidade, de exequibilidade e normativas, seja minimizado. Os pilares são tratados, como indivíduos que são codificados de acordo com as suas características. Esses pilares são avaliados por uma função de custo que é penalizada pelo cumprimento ou não das restrições. Os melhores pilares são selecionados para se reproduzirem. Ao final das gerações um indivíduo que atenda a todos os quesitos de economia e segurança é o pilar otimizado.


2. METODOLOGIA

2.1. Modelos Reológicos dos Materiais

Visto que o concreto armado é um material heterogêneo e não linear e que as estruturas se apresentam cada vez mais esbeltas, de um modo geral as normas de projeto exigem que a segurança de pilares esbeltos de concreto armado seja comprovada por meio de um procedimento que leve em conta de maneira rigorosa, além da não-linearidade geométrica, também a não linearidade física.

Para o concreto em compressão, é adotado o modelo reológico proposto pela norma brasileira NBR 6118/2007 (ABNT, 2007). As relações tensão-deformação são estabelecidas pelas Eq. (1) a (3):

(1)

(2)

(3)

onde c é a tensão à compressão no concreto; c é a deformação específica no concreto; fcd é a resistência de cálculo à compressão do concreto.

O modelo reológico adotado para o aço, proposto pela norma brasileira NBR 6118/2007

(ABNT, 2007), pode ser aplicado para tração e compressão e as relações entre tensão e deformação são estabelecidas pelas Eq. (4) e (5):

s=Es.s se sy (4)

s=fyd se ys (5)

onde s é a tensão no aço; Es é o módulo de elasticidade do aço; s é a deformação específica do aço; fyd é a resistência de cálculo do aço; y é a deformação específica do aço no início do patamar de escoamento.

2.2. Considerações sobre a estabilidade dos pilares esbeltos de concreto armado submetidos à

flexão oblíqua

O estudo do comportamento de pilares de concreto armado mostra que, em pilares curtos, a

seção é dimensionada no limite da capacidade resistente da seção transversal. Para pilares esbeltos, pode ocorrer a ruína por instabilidade antes de se esgotar a capacidade resistente da seção. Dessa forma, o dimensionamento de pilares esbeltos de concreto armado requer o estudo da estabilidade do elemento e isso incorre em uma análise mais rigorosa no qual os efeitos de segunda ordem devem ser considerados, a fim de garantir sua segurança.

Em uma barra, que sob a ação de um carregamento (Fd) e uma excentricidade (e1), produza flexão obliqua em sua seção transversal (Figura 1a), o eixo da barra sofre deformações. No caso de barras esbeltas, os deslocamentos transversais criam as excentricidades e2 de segunda ordem, as quais não podem ser ignoradas no estudo do equilíbrio da peça. A Figura 1b mostra os esforços solicitantes e as excentricidades em uma seção transversal de concreto armado submetida à flexão obliqua considerando os efeitos de segunda ordem, onde:


dd FN ; 11 .eFM dd ; 22 .eFM dd ; 21 ddd MMM (6)

Quando os esforços solicitantes Nd e Md (componentes Mdz e Mdy), considerados como

valores últimos para o dimensionamento, passam a ser tratados como esforços resistentes produzem deformações e tensões correspondentes ao estado limite último da seção transversal. As equações que estabelecem as relações entre os esforços resistentes e as tensões no concreto e no aço são fornecidas pelas equações (7) a (9):

Ac

n

isisicdR AdAN

1 (7)

Ac

n

isisisicdRZ AzdAzM

1....

(8)

Ac

n

isisisicdRY AydAyM

1....

(9)

Para a resolução das equações (7) a (9), é necessário conhecer as deformações da seção

transversal a partir da sua configuração deformada, ou seja, partindo-se dos deslocamentos do eixo do pilar, determinam-se as curvaturas, as deformações e as tensões em cada seção transversal.

Figura 1. Seção transversal de concreto armado submetida a flexão obliqua, a) Excentricidade do

carregamento; b) Esforços solicitantes e excentricidades. 2.3. Hipóteses de Cálculo e Estados Limites Últimos

As hipóteses admitidas neste trabalho, são as seguintes: (a) manutenção das seções planas após a deformação do elemento; (b) a deformação em uma fibra genérica da seção é diretamente proporcional à sua distância até a linha neutra; (c) há aderência perfeita entre as barras da armadura e o concreto que as envolve; (d) a resistência à tração do concreto é totalmente desprezada; (e) emprega-se o diagrama parábola-retângulo para representar a relação tensão/deformação do concreto; (f) emprega-se o diagrama elasto-plástico perfeito para representar a relação tensão/deformação do aço; (g) a seção transversal de concreto é considerada não fissurada para o cálculo da matriz de rigidez; (h) para o encurtamento de ruptura do concreto nas seções não inteiramente comprimidas, considera-se o valor convencional de 0,35%. Nas seções inteiramente comprimidas, admite-se que o encurtamento da borda mais comprimida, na ocasião da ruptura, varie de 0,35% a 0,2%, mantendo-se inalterada e igual a 0,2% a deformação a 3/7 da altura total da


seção, a partir da borda mais comprimida; (i) o alongamento máximo permitido ao longo da armadura de tração é de 1%.

Outra hipótese adotada é a dos pequenos deslocamentos. Sendo assim, a curvatura média () das seções do pilar pode ser obtida por , onde x é medido ao longo do eixo indeformado e o esforço normal se mantém praticamente constante independentemente das deformações do pilar.

A segurança dos pilares de concreto armado é verificada em relação aos seguintes estados limites últimos: (a) estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura (b) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura considerando os efeitos de segunda ordem. 2.4. Cálculo dos Deslocamentos

Para definir os deslocamentos, é adotado um sistema local de coordenadas para a barra. A Figura 2 mostra uma barra nas posições indeformada e deformada. Os esforços ocorrem nos planos x-z e x-y. A barra está submetida à flexão oblíqua. O eixo da barra sofre um deslocamento uo(x) na direção x. No plano x-z, a barra sofre um deslocamento w(x) e a seção transversal sofre uma rotação z(x). No plano x-y, a barra sofre um deslocamento v(x) e a seção transversal sofre uma rotação y(x). Os deslocamentos transversais w(x) e v(x) são positivos na direção do eixo local e as rotações por flexão z(x) e y(x) são positivas no sentido horário.

Figura 2. Deslocamentos e esforços: a) esforços na barra indeformada; b) deslocamentos e esforços da barra no plano x-z; c) deslocamentos e esforços da barra no plano y-z.

Dessa forma, o deslocamento u(x,y,z) em uma fibra genérica da seção é dado por (Chen e

Atsuda, 2008): u(x,y,z)=u0(x)-y.(dv/dx)-z.(dw/dx). A expressão para a deformação longitudinal é x=0-y.y-z.z, onde 0=du0/dx+1/2[(dv/dx)2+(dw/dx)2] é a deformação axial; y=dv2/d2x é a curvatura do plano x-y e z=dw2/d2x é a curvatura do plano x-z. Na expressão da deformação longitudinal (εx), a relação não linear se faz através da deformação axial (ε0).

No caso de pilares esbeltos, para a determinação precisa dos deslocamentos, as não linearidades física e geométrica precisam ser consideradas. O procedimento numérico desenvolvido para o cálculo dos deslocamentos é baseado no Método dos Elementos Finitos empregando-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais. O eixo do pilar é discretizado em pequenos elementos de comprimento L que são interligados por seus nós. Cada nó possui deslocamento axial, um deslocamento transversal na direção z, um deslocamento transversal na direção y, uma rotação no plano x-z e uma rotação no plano x-y. Os deslocamentos do eixo do elemento são dados por:


6411 UUuo (10)

86753322 UUUUw (11)

106955342 UUUUv (12) onde Lx /11 ; 1/3/2 23

2 LxLx ; LxLxLxL //2/ 233 ; Lx /4 ;

235 /3/2 LxLx e 23

6 // LxLxL são as funções de interpolação. As equações que determinam as ações nodais não lineares de cada elemento são dadas pelas

Equações (13) a (22):

dxNF '1

l

0dn1 (13)

dx)UUUU(NdxMF '28

'67

'53

'32

'2

l

0d

''2

l

0zdn2 (14)

dx)UUUU(NdxMF '38

'67

'53

'32

'2

l

0d

''3

l

0zdn3 (15)

dx)UUUU(NdxMF '210

'69

'55

'34

'2

l

0d

''2

l

0ydn4 (16)

dx)UUUU(NdxMF '310

'69

'55

'34

'2

l

0d

''3

l

0ydn5 (17)

dxNF '4

l

0dn6 (18)

dx)UUUU(NdxMF '58

'67

'53

'32

'2

l

0d

''5

l

0zdn7 (19)

dx)UUUU(NdxMF '68

'67

'53

'32

'2

l

0d

''6

l

0zdn8 (20)

dx)UUUU(NdxMF '510

'69

'55

'34

'2

l

0d

''5

l

0ydn9 (21)

dx)UUUU(NdxMF '610

'69

'55

'34

'2

l

0d

''6

l

0ydn10 (22)

Para a resolução dessas equações é utilizada a técnica de integração numérica denominada

Quadratura de Gauss-Legendre. Com os deslocamentos nodais e as funções de interpolação conhecidas, através das dez equações de equilíbrio, chega-se ao sistema de equações

)e()e()e(n U.KF , onde Fn(e) é o vetor de ações nodais; U(e) é o vetor com os deslocamentos nodais

e K(e) é a matriz de rigidez do elemento. A inclusão da não linearidade geométrica é feita através do último termo das Eq.(14) à (17)

e das Eq. (19) à (22). A não linearidade física é considerada no cálculo do esforço normal Nd, dado pela Eq.(7) e dos momentos fletores Myd e Mzd obtidos pelas Eq. (8) e (9), respectivamente. O processo iterativo escolhido utiliza o Método de Newton–Raphson Modificado com Rigidez Constante para a determinação de raízes de funções não lineares.

2.5. Procedimento para o dimensionamento otimizado do pilar

O objetivo da otimização é obter o pilar mais econômico, ou seja, com menor custo, que

atenda os critérios estabelecidos pela norma NBR 6118/2007 (ABNT, 2007).


As variáveis do problema são (Figura 3a): base (b); altura (h); diâmetro das barras das camadas 1 e 3 (dicam13); diâmetro das barras das camadas 2 e 4 (dicam24); número de barras das camadas 1 e 3 (ncam13) e número de barras das camadas 2 e 4 (ncam24). Para a representação da base (b) e da altura (h) da seção são impostos valores mínimos e máximos para essas variáveis. O menor valor da base e da altura é 20 cm, e o maior valor de 95 cm. São adotados 15 valores dentro deste intervalo, incrementados de 5 cm em 5 cm. O diâmetro das barras das camadas 01 e 03 é uma variável que pode assumir um dos valores de bitola comercial (de 10 mm a 40 mm). O diâmetro das barras das camadas 02 e 04 é uma variável que pode assumir um dos seguintes valores de bitola comercial, em mm: 0, 10, 12.5, 16, 20, 25, 32, 40. Para o número de barras das camadas 01 e 03 pode-se ter valores de 2 a 9 e para número de barras das camadas 02 e 04, valores de 0 a 7.

Figura 3. Otimização do pilar. a) Representação das variáveis; b) Combinações de variáveis.

A otimização de seções transversais de pilares esbeltos de concreto armado é feita através da

técnica dos Algoritmos Genéticos. A evolução se inicia a partir de um conjunto de soluções criado aleatoriamente e é realizada por meio de gerações. Durante o processo evolutivo as seções transversais dos pilares (indivíduos) são codificadas e em seguida avaliadas, ou seja, cada restrição de resistência, estabilidade e normativas que é descumprida pelo individuo, reflete em uma diminuição da possibilidade do indivíduo ser selecionado para a próxima geração. Aqueles indivíduos selecionados são recombinados e mutados para formar uma nova população. A nova população então é utilizada como entrada para a próxima iteração do algoritmo. Este processo é repetido até que se encontre uma solução satisfatória que cumpra os critérios de convergência. O algoritmo desenvolvido é chamado de ALGORITMO GENÉTICO e deu origem ao programa de mesmo nome.

Para a elaboração do programa ALGORITMO GENÉTICO, foi utilizado o código computacional denominado LGADOS, desenvolvido originalmente para uma função sem restrições e disponível em www.ex.ac.uk/cee/ga. Os parâmetros e métodos utilizados no programa ALGORITMO GENÉTICO foram os mesmos empregados no programa LGADOS: probabilidade de cruzamento pc=0.6; probabilidade de mutação pm=0.02; seleção: Roleta; cruzamento: 1 ponto; tamanho da população: 20 indivíduos. Todas as adaptações necessárias foram feitas para um problema de otimização com restrições.

O tratamento das restrições no programa ALGORITMO GENÉTICO é feito de duas maneiras. A primeira utiliza o Método Pena de Morte (Death Penalty), onde os pilares que apresentam o não cumprimento de alguma das restrições são eliminados da próxima geração. A segunda leva em conta a inclusão das restrições através Método de Penalidades de acordo com o trabalho realizado por Nanakorn e Meesomklim (2001).


Quando utilizamos, no programa ALGORITMO GENÉTICO, o método da Pena de Morte, o esquema de escala utilizado é o linear e a constante de escala (C) é igual a 2. Quando utilizamos o Método das Penalidades, empregamos o escalonamento bilinear e as constantes: C = 2; =1; Z=5.

Para validar o programa ALGORITMO GENÉTICO, foi desenvolvido um procedimento denominado BUSCA TOTAL cuja função é calcular, para um dado pilar, todas as possíveis combinações de variáveis, ou seja, todos os 1.048.576 tipos de seções (indivíduos) que compõem o espaço de busca são percorridos (Figura 3b). Cada indivíduo é verificado com relação às restrições de resistência, estabilidade e normativas. Entre todos os indivíduos é escolhido o que apresenta o menor custo e cumpre todas as restrições impostas. O desenvolvimento desse procedimento pode ser encontrado de forma detalhada em Pires & Silva (2014).

Para verificar as restrições do pilar com relação à sua resistência, à sua estabilidade e ao cumprimento das medidas normativas foi desenvolvido um algoritmo denominado PROCESSAMENTO DO PILAR, que deu origem ao programa computacional de mesmo nome.

Para validar o programa PROCESSAMENTO DO PILAR, foram utilizados os dados dos trabalhos experimentais desenvolvidos por Kim e Yang (1995) e por Claeson e Gylltoft (1998).

3. ANÁLISE DE RESULTADOS

3.1. Análise do Programa PROCESSAMENTO DO PILAR

Nos dois estudos comparativos realizados para validar o programa PROCESSAMENTO DO

PILAR, as seguintes variáveis foram consideradas: c é o cobrimento do pilar; L é o comprimento do pilar; fc é a resistência à compressão do concreto; fy é a tensão de escoamento do aço; Pu,a é a carga última calculada pelo programa Processamento do Pilar; Pu,t é a carga última do experimento; ∆ é a variação dos valores da carga última calculada com relação à carga última experimental , ∆ = (Pu,a /Pu,t).

Em 1995, Kim e Yang realizaram uma série de testes em pilares de concreto armado para verificar os efeitos da resistência do concreto, da esbeltez e da taxa de armadura na carga última e na relação força axial x momento fletor. As características dos pilares analisados experimentalmente e as cargas últimas medidas no experimento foram comparadas com aquelas obtidas através do programa PROCESSAMENTO DO PILAR. Os resultados são apresentados na Tabela 1. Os valores 10, 60 e 100 que precedem o nome do pilar indicam o índice de esbeltez e o coeficiente ρ é a taxa de armadura.

Tabela 1. Comparação das cargas últimas do programa PROCESSAMENTO DO PILAR com os resultados dos testes realizados por Kim e Yang (1995)

Em 1998, Claeson e Gylltoft realizaram um trabalho experimental para estudar o comportamento de pilares de concreto armado. Aspectos como a esbeltez e a resistência do concreto são variados a fim de verificar os efeitos desses parâmetros sobre a carga última do pilar. As


características dos pilares são apresentadas na Tabela 2a. As cargas últimas medidas no experimento são comparadas com aquelas obtidas através do programa PROCESSAMENTO DO PILAR. Os resultados são apresentados na Tabela 2b.

Na comparação entre o experimento de Kim e Yang (1995) e o programa PROCESSAMENTO DO PILAR, a variação dos valores da carga última calculada com relação à carga última experimental (∆) oscilou entre 0,89 e 1,09. Na comparação entre o experimento de Claeson e Gylltoft (1998) e o programa, ∆ variou entre 0,95 e 1,07.

O estudo comparativo mostrou que há boa concordância entre os resultados experimentais e os valores fornecidos pelo programa.

Tabela 2. Comparação das cargas últimas do programa PROCESSAMENTO DO PILAR com os resultados dos testes realizados Claeson e Gylltoft (1998)

3.2. Análise do Programa ALGORITMO GENÉTICO

Com o objetivo de avaliar a eficácia do programa ALGORITMO GENÉTICO, estudamos três

exemplos de pilar denominados P1, P2 e P3. As características geométricas, dos materiais, os parâmetros dos elementos finitos, os esforços atuantes e a restrições dos apoios de cada um dos pilares são mostrados na Tabela 3. O Pilar P1 está submetido à flexão normal composta. O Pilar P2 e o Pilar P3 estão submetidos à flexão normal oblíqua e apresentam a mesma altura (423 cm), entretanto o segundo está submetido a momentos de primeira ordem (Mz e My) bem maiores que o primeiro.

Tabela 3. Características dos pilares P1, P2 e P3

Apresentamos, nas Tabelas 4 a 6, os resultados dos três pilares exemplo (P1, P e P3). Os pilares foram dimensionados no programa BUSCA TOTAL para que fosse possível conhecer, dentre todas as soluções possíveis no espaço de busca, a solução que apresentasse o custo mínimo global exato de cada um dos exemplos. No programa ALGORITMO GENÉTICO os pilares foram


dimensionados 10 vezes utilizando, para o tratamento das restrições, o Método das Penalidades e 10 vezes utilizando o Método da Pena de Morte.

Para o Pilar P1, o erro relativo percentual dos 10 dimensionamentos do programa ALGORITMO GENÉTICO, quando utilizamos o Método das Penalidades para o tratamento das restrições, variou entre 0 e 2%, sendo que 6 soluções convergiram para o ponto ótimo que foi calculado pelo programa BUSCA TOTAL. Quando utilizamos o Método da Pena de Morte para o tratamento das restrições, o erro percentual variou entre 0 e 3% com a convergência de 5 resultados para o ponto ótimo.

Tabela 4. Resultados do Pilar P1 Resultado do BUSCA TOTAL -Tempo de Processamento - 18 minutos

Custo Base Altura Diâmetro Diâmetro n° barras n° barras

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

(R$) (cm) (cm) (mm) (mm) (un) (un)

439,79 40 20 10 0 3 0 Resultado do ALGORITMO GENÉTICO (com tratamento das restrições feito através do Método das Penalidades) -

Tempo de Processamento - 9 segundos

Custo Erro Base Altura Diâmetro Diâmetro n° barras n° barras

relativo

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

(R$) (cm) (cm) (mm) (mm) (un) (un)

439.79 0% 40 20 10 0 3 4 450.66 2% 30 30 10 10 3 0 439.79 0% 40 20 10 10 3 0 447.94 2% 35 25 10 32 3 0 439.79 0% 40 20 10 20 3 0 447.94 2% 35 25 10 32 3 0 439.79 0% 40 20 10 20 3 0 439.79 0% 40 20 10 10 3 0 439.79 0% 40 20 10 0 3 0 450.66 2% 30 30 10 32 3 0

Resultado do Algoritmo Genético (com tratamento das restrições feito através da "Pena de Morte")

Tempo de Processamento - 6 segundos Custo Erro Base Altura Diâmetro Diâmetro n° barras n° barras

relativo

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

(R$) (cm) (cm) (mm) (mm) (un) (un)

439.79 0% 40 20 10 0 3 6 439.79 0% 40 20 10 16 3 0 443.00 1% 40 20 12.5 10 2 0 443.00 1% 40 20 12.5 0 2 5 439.79 0% 40 20 10 10 2 1 447.94 2% 35 25 10 12.5 3 0 451.15 3% 35 25 12.5 10 2 0 439.79 0% 40 20 10 0 3 1 439.79 0% 40 20 10 0 3 1 450.66 2% 30 30 10 0 3 0

Para o Pilar P2, o erro relativo percentual dos 10 dimensionamentos do programa

ALGORITMO GENÉTICO, quando utilizamos o Método das Penalidades para o tratamento das restrições, variou entre 0 e 4%, sendo que 5 soluções convergiram para o ponto ótimo que foi calculado pelo programa BUSCA TOTAL. Quando utilizamos o Método da Pena de Morte para o tratamento das restrições, o erro percentual variou entre 0 e 6% com a convergência de 1 resultado para o ponto ótimo.

Para o Pilar P3, o erro relativo percentual dos 10 dimensionamentos do programa ALGORITMO GENÉTICO, quando utilizamos o Método das Penalidades para o tratamento das restrições, variou entre 1% e 11%, sendo que a solução, embora não tenha convergido para o ponto


ótimo calculado pelo programa BUSCA TOTAL, se encontra na vizinha desse ponto. Quando utilizamos o Método da Pena de Morte para o tratamento das restrições, o erro percentual variou entre 2% e 19% e, novamente, a solução se encontra na vizinhança do ponto ótimo calculado pelo programa BUSCA TOTAL.

Segundo Luemberger (2008), a otimização deve ser considerada como uma ferramenta de melhoria do resultado ao invés de um método para a obtenção da solução exata. Nos dados apresentados verificamos que os resultados da otimização realizados pelo programa ALGORITMO GENÉTICO quando comparados com o programa BUSCA TOTAL convergem para a solução ótima ou estão localizados na vizinhança da solução ótima.

Tabela 5. Resultados do Pilar 02

Resultado do BUSCA TOTAL

Tempo de processamento - 48 minutos

Custo

Base Altura Diâmetro Diâmetro n° barras n° barras

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

(R$) (cm) (cm) (mm) (mm) (un) (un)

807.30 30 40 12.5 0 3 0 Resultado do ALGORITMO GENÉTICO (com tratamento das restrições feito através do Método das Penalidades)


relativo

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

(R$) (cm) (cm) (mm) (mm) (un) (un)

822.95 2% 40 30 16 0 2 5 807.30 0% 30 40 12.5 0 3 1 826.78 2% 35 35 16 16 2 0 807.30 0% 30 40 12.5 0 3 6 807.30 0% 30 40 12.5 0 3 0 843.49 4% 40 30 12.5 10 3 1 823.13 2% 30 40 12.5 10 2 2 807.30 0% 30 40 12.5 0 3 3 807.30 0% 30 40 12.5 0 3 4 822.95 2% 40 30 16 0 2 6



relativo

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

(R$) (cm) (cm) (mm) (mm) (un) (un)

807.30 0% 30 40 12.5 16 3 0 822.95 2% 30 40 16 0 2 1 818.61 1% 30 40 10 0 5 1 822.95 2% 40 30 16 0 2 5 822.95 2% 30 40 16 0 2 5 852.37 6% 25 45 12.5 0 4 1 852.37 6% 25 45 12.5 12.5 3 1 822.48 2% 25 50 10 10 2 2 826.78 2% 35 35 16 32 2 0 845.46 5% 40 35 10 0 4 3

Comparando os tipos de tratamento das restrições apresentados no programa ALGORITMO GENÉTICO, verificamos que quando utilizamos o Método das Penalidades, os resultados convergiram mais vezes para o ponto ótimo ou, quando isso não aconteceu, ficaram mais próximos do resultado ótimo do que quando utilizamos o Método da Pena de Morte. Observamos que indivíduos, mesmo que inicialmente inviáveis, podem possuir características interessantes e úteis para uma próxima geração. Assim, o Método das Penalidades, por aproveitar as boas características


dos indivíduos inviáveis, apresentaram melhores resultados que o Método da Pena de Morte. Podemos afirmar, contudo, que ambos os métodos apresentam resultados bastante satisfatórios.

Tabela 6. Resultados do Pilar 03 Resultado do Busca_Total

Tempo de processamento - 18 minutos Custo

Base

Altura Diâmetro Diâmetro n° barras n° barras

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

(R$) (cm) (cm) (mm) (mm) (un) (un)

2779.5 65 95 20 10 5 2 Resultado do ALGORITMO GENÉTICO (com tratamento das restrições feito através do Método das Penalidades)


relativo

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

(R$) (cm) (cm) (mm) (mm) (un) (un)

2855.32 3% 60 95 25 10 4 2 2862.56 3% 60 95 22 10 5 3 3015.83 9% 70 90 25 10 4 3 3085.00 11% 65 95 32 10 3 2 2796.87 1% 65 95 16 10 8 2 3024.53 9% 65 90 22 10 6 2 2902.05 4% 70 95 16 10 8 2 2867.08 3% 60 95 22 12.5 5 2 2796.87 1% 65 95 16 10 8 2 2796.87 1% 65 95 16 10 8 2



relativo

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

camadas

1 e 3

camadas

2 e 4

(R$) (cm) (cm) (mm) (mm) (un) (un)

3167.60 14% 55 95 32 12.5 3 5 3178.85 14% 70 85 22 10 7 1 2828.73 2% 65 95 22 10 7 1 3314.41 19% 95 90 12.5 20 4 4 2881.77 4% 70 95 16 10 7 4 2837.60 2% 65 95 16 12.5 8 2 2851.89 3% 65 95 20 10 5 4 2950.72 6% 65 95 16 12.5 8 4 2828.73 2% 65 95 22 10 4 4 2855.32 3% 60 95 20 10 6 3

4. CONCLUSÕES

Neste trabalho, apresentamos uma ferramenta para otimização da seção transversal (área de

concreto, e área e distribuição de armadura) de pilares de concreto armado, submetidos à flexão oblíqua considerando as não linearidades física e geométrica de maneira rigorosa.

A motivação para este trabalho se deu a partir da constatação de que, atualmente, o processo para dimensionamento de seções de pilares de concreto armado exige que o projetista determine as variáveis de projeto (normalmente, a base e a altura da seção de concreto e a distribuição das barras de aço) de acordo com sua experiência, habilidade e intuição, e isso nem sempre acarreta a seção mais econômica. Dessa forma, desenvolvemos um procedimento sistematizado que escolhe, dentro de uma gama de possíveis soluções, o pilar que melhor atende os quesitos de segurança, de economia e normativos.

Destacamos que o programa desenvolvido nesse trabalho pode trazer uma importante contribuição para as atividades do dimensionamento de estruturas, pois atualmente é necessário o


uso de alternativas que melhorem o custo-benefício das estruturas. Os bons projetos são aqueles em que a segurança e a economia estão em igualdade de importância. Otimizando a seção transversal de um pilar de concreto armado chegamos a uma relação entre aço, concreto e formas, levando em conta os custos dos materiais envolvidos, e assim conseguimos aproveitar ao máximo tudo o que os materiais têm a oferecer, de acordo com as solicitações a que a estrutura está submetida.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem o apoio financeiro recebido pela CAPES-Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior.

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