Os Quadrados Mágicos. (por Euclides) Esta é uma curiosidade já conhecida pelos povos da antiguidade. Observe no quadrado da figura que a soma dos números nele dispostos é sempre a mesma (15), quer somemos as colunas, linhas ou diagonais! Embora esse seja o quadrado mágico mais conhecido por ser o que mais aparece nas publicações, não é o único. Na verdade podemos faze-los 4x4, 5x5, 6x6, 7x7, 8x8, ou como desejarmos... e formos capazes. Vejamos alguns outros, sendo os maiores muito difíceis de encontrar. A letra S designa o valor da soma mágica.

Construir esses quadrados não é tarefa simples, principalmente os maiores, se o método for “tentativa e erro”. Mas podemos aprender algumas coisas sobre eles. Para facilitar criemos alguns nomes: n para o número de quadradinhos em cada lado a1, a2, a3, a4, e assim por diante para os números inscritos nos quadradinhos S para a soma mágica, como já usamos. Um quadrado mágico com um número n de lados terá, como é fácil ver, uma quantidade n2 = (n x n) de quadradinhos e números inscritos. O quadrado 5 x 5 tem, por exemplo, 25 quadradinhos. O menor número inscrito será sempre 1 para todos os quadrados mágicos e o maior será igual a n2. Por exemplo, 25 para o quadrado 5 x 5. O valor da soma é dado por , ex: Alguns quadrados serão pares e outros ímpares de acordo com o número de quadradinhos que possui em cada lado, ou seja, n. Os quadrados múltiplos de 4 e os quadrados ímpares são relativamente fáceis de construir como mostram as figuras:

Basta dispor os números em forma de uma pirâmide cujos degraus são formados por quatro quadradinhos em cujo topo irá ficar o número do centro do quadrado obtido através de as casas coloridas indicam como dispor os números no quadrado.

2)( 1 naa

S n 65

25)251(

)55(

xS

21 naa

Os quadrados múltiplos de quatro (4 x 4, 8 x 8, 12 x 12, etc) são bem fáceis: Existe uma disposição para os números ímpares e outra, parecida, para os pares. Os números devem ser dispostos dois a dois, respectivamente o maior e o menor como na figura, sendo que as marcas vermelhas indicam os lugares onde começar.

18 118 120 116 115 113 10 11 16 14 20

1 34 100 98 97 95 28 29 32 36 121

6 21 46 84 83 81 42 43 48 101 116

3 26 37 54 72 71 52 56 85 96 119

110 92 78 49 58 65 60 73 44 30 12

103 87 75 67 63 61 59 55 47 35 19

105 89 77 69 62 57 64 53 45 33 17

107 91 40 66 50 51 70 68 82 31 15

114 23 74 38 39 41 80 79 76 99 8

2 86 22 24 25 27 94 93 90 88 120

102 4 2 6 7 9 112 111 106 108 104 11 x11 671