os nÚmeros em sua representaÇÃo decimal: de euclides
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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
ROBERTA BOTIGNOLO ALVES
OS NÚMEROS EM SUA REPRESENTAÇÃO DECIMAL:
de Euclides Roxo ao Movimento da Matemática Moderna
SÃO PAULO
2014
1
ROBERTA BOTIGNOLO ALVES
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
OS NÚMEROS EM SUA REPRESENTAÇÃO DECIMAL:
de Euclides Roxo ao Movimento da Matemática Moderna
Trabalho apresentado à Banca
Examinadora da Universidade Anhanguera
de São Paulo como exigência para defesa
de trabalho de conclusão do Curso de
Mestrado em Educação Matemática, sob a
orientação da Profa. Dr
a. Aparecida
Rodrigues Silva Duarte.
SÃO PAULO
2014
2
ROBERTA BOTIGNOLO ALVES
OS NÚMEROS EM SUA REPRESENTAÇÃO DECIMAL: DE EUCLIDES ROXO
AO MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA
Aprovada em: ________/_____________/_____________
BANCA EXAMINADORA
_________________________________________________________
Profa. Dra. Aparecida Rodrigues Silva Duarte
(Orientadora)
________________________________________________
Profa. Dra. Rosimeire Aparecida Soares Borges
(Examinadora externa)
________________________________________________
Prof. Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva
(Examinadora interna)
3
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
A482n Alves, Roberta Botignolo
Os números em sua representação decimal: de Euclides Roxo ao movimento da matemática moderna. / Roberta Botignolo Alves. – São Paulo, 2014.
128 f ; il. ; 30 cm
Dissertação (Mestrado em Educação Matemática, Área de concentração: Tendências Internacionais da História e da Filosofia da Matemática e seus Reflexos na Educação Matemática) – Coordenadoria de Pós- graduação, Universidade Anhanguera de São Paulo, 2014.
Orientadora: Professora. Dra. Aparecida Rodrigues Silva Duarte
1. Euclides Roxo. 2. Números decimais. 3. Livro didático. I. Título. II. Universidade Anhanguera de São Paulo. III. Duarte, Aparecida Rodrigues Silva..
CDD 513.26
4
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho aos Mestres que
acompanharam esta minha jornada que
agora chega ao fim. Ao meu Amor e à minha
Família, por me apoiarem em cada passo
desse caminho e a todos meus amigos que me
incentivaram a prosseguir.
5
AGRADECIMENTOS
À Deus, por ter me dado forças para vencer mais uma etapa de minha vida.
À minha orientadora, Professora Doutora Aparecida Rodrigues Silva Duarte, pela
paciência, pelas palavras de incentivo, pelo apoio, pelas sugestões e correções nos
textos e pelo carinho em todos os momentos do curso.
Às professoras doutoras por aceitarem fazer parte da banca examinadora, Doutora
Angélica da Fontoura Garcia Silva e Doutora Rosimeire Aparecida Soares Borges,
pela leitura, comentários e sugestões no exame de qualificação.
À professora Doutora Tânia Maria Mendonça Campos e aos professores do Programa
de Pós-graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo,
por contribuir para meu crescimento profissional.
Aos professores do programa de pós-graduação em Educação Matemática da
Universidade Anhanguera de São Paulo, pelas valiosas contribuições no decorrer do
curso.
Aos meus companheiros do Mestrado, pelo carinho, amizade e troca de experiências.
Aos funcionários da secretaria da Anhanguera de São Paulo, pela presteza em atender
todas as minhas solicitações.
Ao meu marido e minha família pela paciência e incentivo durante o tempo dedicado a
este trabalho.
Meus sinceros agradecimentos a todos.
6
RESUMO
ALVES, Roberta Botignolo. Os números em sua representação decimal: de Euclides
Roxo ao Movimento da Matemática Moderna. 2014. 128 f. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática). Programa de Pós-graduação em Educação Matemática da
Universidade Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 2014.
Esta investigação teve como objetivo analisar como os números decimais na sua
representação decimal foram trabalhados no Ensino Fundamental II, desde a década de
1930, com enfoque principal às ideias do professor Euclides de Medeiros Guimarães
Roxo, até o início do Movimento da Matemática Moderna. Para tanto, procurou
identificar as diferenças e semelhanças no tratamento desses números em livros
didáticos publicados durante o período em que ocorreram as reformas Francisco
Campos e Capanema e o Movimento da Matemática Moderna. Pretendeu-se, ainda, na
medida do possível, verificar se o Movimento da Matemática Moderna apresentou
vestígios das ideias defendidas por Euclides Roxo no que concerne ao tratamento dos
números em sua representação decimal. Para tanto, fez uso dos princípios teóricos
defendidos por Viñao, Chervel e de Choppin, dentre outros. Por meio das análises
efetuadas foi possível notar que o MMM apresentou algumas semelhanças com as
propostas efetuadas por Euclides Roxo, no que tange aos esforços de apresentar um
ensino vivo e intuitivo e pouco a pouco ser conduzido ao raciocínio abstrato. De modo
geral, durante o período analisado, apesar das características específicas dessas reformas
educacionais, constatou-se que a forma de abordar os números em sua representação
decimal quase não sofreu modificações.
Palavras-chave: Euclides Roxo. Números decimais. Livro didático.
7
ABSTRACT
ALVES, Roberta Botignolo. The numbers in their decimal representation: Euclides
Roxo to the Modern Mathematics Movement. 2014. 128 f. Dissertation (Master in
Mathematics Education). Graduate Program in Mathematics Education Anhanguera
University of São Paulo, São Paulo, 2014.
This research aimed to examine how decimal numbers in their decimal representation
were worked in Ensino Fundamental II, from the 1930s until the beginning of the New
Math Movement approach, with the main ideas of teacher Euclides de Medeiros
Guimarães Roxo. Therefore, the research tried to identify the differences and
similarities in the treatment of these numbers in textbooks published during the period
the reforms occurred Francisco Campos and Capanema and Modern Mathematics
Movement. It was also intended as ar as possible to verify that the Modern Mathematics
Movement showed traces of the ideas defended by Euclides Roxo regarding the
treatment of numbers in their decimal representation. For this purpose, made use of the
theoretical principles defended by Viñao, Chervel and Choppin, among others. Through
the analysis performed it was noticeable that the MMM showed some similarities with
the proposals the research made use by Euclides Roxo, in regard to efforts to present a
lively and intuitive teaching and gradually be led to abstract reasoning. In general,
during the analyzed period, although the specific characteristics of these educational
reforms, it was found the adopted approach of the numbers on their decimal
representation hardly suffered modifications.
Key-words: Euclides Roxo. Decimal numbers. Textbook.
8
LISTA DE QUADROS
Quadro 01 Disciplinas do primeiro ciclo do curso ginasial ........................... 37
Quadro 02 Disciplinas do segundo ciclo do curso clássico ........................... 37
Quadro 03 Disciplinas do segundo ciclo do curso científico ........................ 38
Quadro 04 Currículo do curso secundário apresentado pelos professores do
CPII para os ciclos A e B .............................................................
42
Quadro 05 Currículo do curso secundário apresentado pelos professores do
CPII para o ciclo C ......................................................................
42
Quadro 06 Análise dos livros didáticos ......................................................... 99
9
LISTA DE FIGURAS
Imagem 01 Os funcionários do Catete, com Getúlio Vargas ao centro (1930) .............................. 26
Imagem 02 Francisco Luís da Silva Campos ................................................................................. 27
Imagem 03 Bernardo Pereira de Vasconcellos ............................................................................... 28
Imagem 04 Colégio Pedro II .......................................................................................................... 29
Imagem 05 Gustavo Capanema Filho ............................................................................................ 34
Imagem 06 Grupo Bourbaki ........................................................................................................... 49
Imagem 07 Euclides de Medeiros Guimarães Roxo ...................................................................... 55
Imagem 08 Curso de Mathematica Elementar ............................................................................... 56
Imagem 09 Índice do livro Curso de Mathematica Elementar ....................................................... 57
Imagem 10 Exemplo de escala de notação ..................................................................................... 59
Imagem 11 Subdivisão da unidade ................................................................................................. 59
Imagem 12 Primeira lista de exercícios .......................................................................................... 60
Imagem 13 Exemplo de adição com decimais ............................................................................... 61
Imagem 14 Segunda lista de exercícios – I .................................................................................... 62
Imagem 15 Segunda lista de exercícios – II ................................................................................... 62
Imagem 16 Segunda lista de exercícios – III .................................................................................. 62
Imagem 17 Segunda lista de exercícios – IV ................................................................................. 63
Imagem 18 Segunda lista de exercícios – V ................................................................................... 63
Imagem 19 Segunda lista de exercícios – VI ................................................................................. 63
Imagem 20 Segunda lista de exercícios – VII ................................................................................ 64
Imagem 21 Terceira lista de exercícios – I ..................................................................................... 65
Imagem 22 Terceira lista de exercícios – II ................................................................................... 66
Imagem 23 Capa do livro Elementos de Matemática ..................................................................... 67
Imagem 24 Assinatura de Jacomo Stávale ..................................................................................... 68
Imagem 25 Primeira lista de exercícios orais ................................................................................. 69
Imagem 26 Segunda lista de exercícios orais ................................................................................. 70
Imagem 27 Exercícios – série XXXVI ........................................................................................... 71
Imagem 28 Exercícios – série XXXVIII ........................................................................................ 72
Imagem 29 Exemplos de dízimas periódicas ................................................................................. 73
Imagem 30 Terceira lista de exercícios orais ................................................................................. 74
Imagem 31 Exercícios – série XL .............................................................................................. .... 75
Imagem 32 Exercícios – série XLI ................................................................................................. 77
Imagem 33 Divisão de 5 por 14 .................................................................................. .................... 78
Imagem 34 Osvaldo Sangiorgi ....................................................................................................... 79
Imagem 35 Capa do livro Matemática – curso moderno ................................................................ 81
Imagem 36 Programa para um curso moderno de Matemática ...................................................... 82
Imagem 37 Carta de Sangiogi para os estudantes .......................................................................... 83
10
Imagem 38 Início do tratamento dos números decimais ................................................................ 84
Imagem 39 Simetria do sistema decimal ....................................................................................... . 85
Imagem 40 Lembrete amigo ........................................................................................................... 86
Imagem 41 Exercícios de fixação – Grupo 71 – Parte I ................................................................. 87
Imagem 42 Exercícios de fixação – Grupo 71 – Parte II ................................................................ 87
Imagem 43 Contagem ........................................................................................................ ............. 88
Imagem 44 Exemplo de adição de números decimais .................................................................... 88
Imagem 45 Exemplo de multiplicação de números decimais ........................................................ 89
Imagem 46 Exemplo de divisão de números decimais com potências de dez ............................... 90
Imagem 47 Exercícios de fixação – Grupo 72 – Parte I ................................................................. 90
Imagem 48 Exercícios de fixação – Grupo 72 – Parte II ................................................................ 91
Imagem 49 Exemplo de conversão de uma dízima periódica simples em fração geratriz ............. 93
Imagem 50 Exemplo de conversão de uma dízima periódica composta em fração geratriz .......... 93
Imagem 51 NOTA e OBSERVAÇÃO sobre dízimas periódicas ................................................... 94
Imagem 52 Exemplo de expressão envolvendo dízimas periódicas ............................................... 94
Imagem 53 Exercícios de fixação – Grupo 73 – Parte I ................................................................. 94
Imagem 54 Exercícios de fixação – Grupo 73 – Parte II ................................................................ 95
Imagem 55 OBSERVAÇÕES sobre potenciação de números decimais ........................................ 95
Imagem 56 Exemplo de raiz quadrada aproximada ....................................................................... 96
Imagem 57 Exemplo de raiz quadrada aproximada por falta – Parte I .......................................... 96
Imagem 58 Exemplo de raiz quadrada aproximada por falta – Parte II ......................................... 97
Imagem 59 Exercícios de fixação – Grupo 74 ............................................................................... 97
Imagem 60 Tábua dos quadrados, cubos, raízes quadradas e raízes cúbicas dos números de 1 a
100 ...............................................................................................................................
98
11
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CADES Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino
Secundário
CME Curso de Mathematica elementar
CNE Conselho Nacional de Educação
CPII Colégio Pedro II
DOU Diário Oficial da União
EM Elementos de Matemática
GEEM Grupo de Estudo do Ensino de Matemática
GEEMPA Grupo de Estudos sobre o Ensino da Matemática
IBECC Instituto Brasileiro de Educação, Ciência e Cultura
ICMI International Comission on Mathematical Instruction
IMUK Internationale Mathematische Unterrichskomission
LDB Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
MCM Matemática – curso moderno
MMM Movimento da Matemática Moderna
NEDEM Núcleo de Estudo e Difusão do ensino da Matemática
SEDIAE Secretaria de Desenvolvimento e Avaliação
Educacional
USP Universidade de São Paulo
12
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO......................................................................................................... 13
CAPÍTULO 1
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICO-METODOLÓGICA .......................................
16
CAPÍTULO 2
AS REFORMAS EDUCACIONAIS BRASILEIRAS ...........................................
26
2.1. A reforma Francisco Campos .......................................................................... 26
2.1.1 A Matemática na reforma Francisco Campos ....................................... 32
2.2. A reforma Capanema ....................................................................................... 34
2.2.1. A Matemática na reforma Capanema ................................................... 41
2.2.2. A Portaria de 1951 ................................................................................ 44
2.3. O Movimento da Matemática Moderna ........................................................... 48
CAPÍTULO 3
OS LIVROS DIDÁTICOS NAS REFORMAS ......................................................
54
3.1. O livro de Euclides Roxo na reforma Francisco Campos .............................. 54
3.1.1. Um pouco da vida acadêmica de Euclides Roxo .................................. 55
3.1.2. O Curso de Mathemática Elementar .................................................... 56
3.2. O livro de Jacomo Stávale na reforma Capanema ......................................... 66
3.2.1. Elementos de Matemática ..................................................................... 67
3.3. O livro de Osvaldo Sangiorgi no Movimento da Matemática Moderna ........ 79
3.3.1. Um pouco da vida acadêmica de Osvaldo Sangiorgi .......................... 79
3.3.2. Matemática – Curso Moderno ............................................................ 80
CAPÍTULO 4
ANÁLISE COMPARATIVA DOS LIVROS DIDÁTICOS .................................
99
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 103
REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 109
ANEXOS .................................................................................................................... 114
13
INTRODUÇÃO
“Ao invés de ver no presente as marcas do
passado, não raro buscar ver, no passado,
determinações do presente” Pierre Nora,
1984.
Desde que iniciei em 2003 meus caminhos dentro das salas de aula, notei que
os alunos, do Ensino Fundamental II até o Ensino Médio apresentam dificuldades no
que concerne ao tratamento dos números racionais, quanto à sua representação decimal,
leitura, interpretação, comparação e operações. A busca em tentar sanar, ao menos em
parte, essas dificuldades foram frustradas e frustrantes muitas vezes, pois quando se
tenta mostrar as propriedades dos números racionais para alunos do Ensino Médio nota-
se que esses estudantes sentem dificuldade no aprendizado desse conteúdo. Afinal este
conceito parece estar internalizado de maneira equivocada. Já com os alunos do Ensino
Fundamental, aqueles que ainda não foram apresentados a essa escrita numérica, a
formalidade é um pouco pesada e difícil de ser compreendida, por isso, acredito que
muitos profissionais do ensino acabam mostrando como é e não o porquê de ser dessa
forma. Esse comportamento reflete nos anos vindouros, quando a ideia de racionais
deve ser trabalhada com maior profundidade.
Diante dessas situações, busco analisar como o conceito de números racionais
veio sendo trabalhado/ apresentado no que hoje é o 6º ano/5ª série do Ensino
Fundamental II, desde a década de 1930, com enfoque principal às ideias do professor
Euclides de Medeiros Guimarães Roxo até o início do Movimento da Matemática
Moderna.
A respeito da dificuldade no tratamento dos números racionais e corroborando
com minhas constatações pessoais, relatos elaborados por Cunha (2002) apresentam os
problemas no processo de ensino e aprendizagem desses números. Uma das
dificuldades apontada é que:
O ensino dos números decimais com freqüência falha por não fazer conexão
com o desenvolvimento do conceito medida, com o sistema de numeração
decimal, com o ábaco. Caracteriza-se por ser um ensino em um sentido
único, ou seja, após o ensino da fração decimal, não há retorno para as
potências de 10 e como conseqüência ficam enfraquecidos os nexos de
14
grandezas, da unidade e o valor de posição das potências de 10 relativamente
à unidade. (p. 14)
A opção por analisar livros didáticos partiu de indagações pessoais sobre como
eram apresentados tal conceito, desde Euclides Roxo perpassando pelas reformas
educacionais brasileiras chegando até o Movimento da Matemática Moderna
verificando se existe ou não, alguma interferência das ideias e ideais de Euclides Roxo.
Segundo Valente (2008):
Talvez seja possível dizer que a matemática se constitua na disciplina que
mais tem a sua trajetória histórica atrelada aos livros didáticos. Das origens
de seu ensino como saber técnico-militar, passando por sua ascendência a
saber de cultura geral escolar, a trajetória histórica de constituição e
desenvolvimento da matemática escolar no Brasil pode ser lida nos livros
didáticos. (p. 141)
Utilizamos como referenciais teóricos os estudos de Allain Choppin (2004)
sobre ‘o estado da arte’, André Chervel (1990) com ‘a história das disciplinas
escolares’, Antonio Viñao Frago (1995) sobre ‘culturas escolares e reformas’ e ‘história
da educação e história cultural’ que será apresentado no Capítulo 1.
Escolhemos como ponto de partida para esta investigação a década de 1930,
quando o professor Euclides de Medeiros Guimarães Roxo assumiu o cargo de Diretor
do Colégio Pedro II, durante o governo de Getúlio Vargas. Roxo foi um dos principais
responsáveis pelas modificações sofridas no ensino de Matemática durante as Reformas
Educacionais brasileiras, as Reformas Francisco Campos (1931), Capanema (1942). O
estudo se estende até o início do Movimento da Matemática Moderna (meados da
década de 1950). Essas reformas e o Movimento da Matemática Moderna são assuntos
do Capítulo 2.
Citaremos quais foram as contribuições e modificações de cada uma das
Reformas na Matemática mostrando, em parte, o que concerne ao tratamento dos
números na notação decimal, pela análise de livros didáticos que foram utilizados na
época de cada Reforma, desde a época de Roxo, passando pela Reforma Capanema até
o Movimento da Matemática Moderna, como veremos no Capítulo 3. Foi realizada uma
pesquisa bibliográfica, por ser baseada em documentos de natureza científica, utilizando
como principais fontes: livros, dicionários e artigos científicos, como dito por Sá-Silva
(2009): “a pesquisa bibliográfica remete para as contribuições de diferentes autores
sobre o tema, atentando para as fontes secundárias” (p.6).
15
Após realização das análises buscaremos responder às seguintes questões:
O Movimento da Matemática Moderna apresentou vestígios das ideias
defendidas por Euclides Roxo?
Quais diferenças e semelhanças podem ser observadas no tratamento dado aos
números racionais em sua representação decimal em livros didáticos de matemática,
publicados no período compreendido entre 1929 e 1963?
Em seguida, apresentamos nossas considerações finais.
16
CAPÍTULO 1
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICO-METODOLÓGICA
“No caso de matemática, como mostramos
anteriormente, os livros didáticos
constituem-se em elementos fundamentais
para a pesquisa do trajeto histórico da
educação matemática. Livro didático e
educação matemática parecem ser
elementos indissociáveis. Isso nos leva a
pensar que a história da educação
matemática se liga diretamente às
transformações das vulgatas. Investigar
como ocorreram essas transformações
implicará investigar a própria história da
educação matemática” Wagner R. Valente,
2008a.
Os referenciais teóricos utilizados neste estudo foram Antonio Viñao Frago
(2000; 1995) que aborda as reformas escolares e sua relação com a cultura escolar;
André Chervel (1990) que trata da história das disciplinas escolares; Alain Choppin
(2004), que discorre sobre livros didáticos.
Antonio Viñao Frago, professor da Faculdade de Educação da Universidad de
Murcia na Espanha, em seu artigo intitulado Culturas escolares e reformas: sobre a
natureza histórica dos sistemas e instituições educativas (2000) afirma que os sistemas
educativos e as instituições estão submetidas à mudanças de estreita relação com
processos e mudanças sociais cujos efeitos aparecem depois de muito tempo. Três
exemplos de processos são os do feminismo, escolarização e alfabetização. O trabalho
infantil e a inclusão da mulher no mundo do trabalho, por exemplo, determinam e
mudam o modo de ensinar e aprender.
Os sistemas educativos, as instituições docentes sofrem mudanças com relação
aos aspectos políticos, sociais e econômicos externos a elas, como, por exemplo, a
introdução de uma disciplina nova ou a utilização de uma nova tecnologia (VIÑAO,
2000).
Para Borges (2011), as reformas educativas se empenham para alterar o
17
funcionamento das escolas com o intento de solucionar ou ajustar problemas sociais ou
educativos. Argumenta que, para que essas alterações aconteçam, várias características
interferem nesse processo, como o dia-a-dia das atividades educativas e as práticas nos
centros educativos, que podem ocasionar o insucesso dessas reformas e a existência da
“gramática da escola”, que é definido por Viñao (2000) da seguinte forma:
Este conceito, o de “gramática da escola”, guarda grande similaridade com a
de cultura escolar [...] em relação a este conceito, eu simplesmente indico que
deve falar no plural, culturas escolares, e sua análise em relação a questões
concretas ou específicas - por exemplo, o tempo e o espaço escolar - pode ser
útil para entender a mistura de continuidade e mudança, de tradições e
inovações, que são as instituições de ensino [tradução nossa] (p.2-3)
Segundo Viñao (2000) não existe apenas uma cultura escolar, por isso prefere
apresentá-la como culturas escolares. Para ele existe a cultura escolar administrativa,
dos professores e dos alunos, por exemplo, sendo a cultura do professor uma
combinação de crenças e mentalidades, hábitos e práticas, ou seja, uma “forma de fazer
as coisas assumidas pelas comunidades de professores que são confrontados com as
exigências e constrangimentos semelhantes ao longo de muitos anos.” [tradução nossa]
(p. 11).
Ainda segundo Viñao (2000), as culturas escolares dizem respeito a todas as
manifestações que ocorrem no interior da escola:
... a cultura escolar é toda a vida escolar: fatos e ideias, mentes e corpos,
objetos e condutas, modos de pensar, decidir e fazer. O que sucede é que
neste conjunto há alguns aspectos que são mais relevantes que outros, no
sentido de que são elementos organizadores que a conformam e a definem.
[tradução nossa] (VIÑAO, 2000, p. 11).
As reformas escolares nem sempre atingem seus objetivos e muitas vezes
fracassam por desprezarem:
... a cultura acadêmica-professoral, o conjunto de crenças, atitudes e práticas
de interação e trabalho adquiridas em tempo real, arraigadas e transmitida,
sem modificação, de uma geração para outra, com professores que enfrentam
tanto a sua tarefa diária na sala de aula e fora como os requisitos e orientação
administrativa [tradução nossa] (VIÑAO, 2000, p. 11).
Para Viñao (2000) as exigências e tarefas cotidianas dos professores, além de
suas obrigações derivadas das responsabilidades para o cumprimento dos objetivos
currículos, assim como a pressão e exigência geradas pela necessidade de atender todos
os alunos, moldam as atitudes e mentalidade dos professores, o que tem uma estreita
relação com as reformas e mudanças ocorridas nas escolas, pois o tempo gasto com
18
todas as obrigações e responsabilidades, preparando aulas, corrigindo tarefas e
trabalhos, em reuniões, preparando documentos administrativos, atendendo pais e
alunos fora do horário de aula, além do tempo com a família e demandas sociais, o que
faz parecer que o tempo em sala de aula ensinando é o menos importante.
Viñao, em seu artigo História da educação e história cultural (possibilidades,
problemas, questões) de 1995, diz que as ideias e pensamentos não podem se separar
inteiramente das instituições, práticas e relações sociais. Cita também que as culturas
escolares apresentam contrastes como, por exemplo, as escolas rurais e as faculdades de
direito.
Viñao (1995) parafraseia Richard L. Schoenwald afirmando que a “história
social é sempre história cultural, a história cultural história social, e que ambas
finalmente são somente história” [tradução nossa] (p. 64). Além disso, segundo esse
historiador, as disciplinas não são abstratas, nem tampouco são universais ou estáticas,
elas nascem e evoluem, mudam seus conceitos e seu nome.
Para a escrita da história de uma disciplina escolar deve-se analisar a formação,
as credenciais e o processo de seleção daqueles que trabalham naquela disciplina ou
pretendem fazê-lo. Isto porque, segundo Viñao (1995), as disciplinas constituem-se em
uma fonte de poder e de exclusão profissional e social:
São espaços de poder, de um poder a disputar; espaços que agrupam
interesses, agentes, ações e estratégias. Espaços sociais que se configuram no
seio dos sistemas educativos e das instituições acadêmicas com uma
característica mais ou menos excludente, fechada, a respeito dos
simpatizantes e profissionais de outras matérias e, por sua vez, mais ou
menos hegemônico em relação com outras disciplinas e campos. Devendo
por isso, com o tempo, preservando exclusivamente determinados
profissionais creditados e legitimados pela formação, titulação e seleção
correspondentes, que passam, desse modo, a controlar a formação e acesso de
quem deseja integrar-se nesses espaços. [tradução nossa] (VIÑAO, 1995, p.
66).
Para Viñao (1995) a história da cultura escolar como instituição e organização
é um conjunto de ideias e fatos, objetos e práticas, maneiras de dizer, fazer e pensar...
Ressalta dois elementos organizadores, os quais sejam: o espaço e o tempo escolar.
Sendo o termo espaço considerado pelo autor, como sendo o espaço físico, o território,
espaço habitado ou o lugar, ou ainda a expressão espaço é apresentada como uma
construção social, sendo uma relação das pessoas que a habitam, “espaço diz e
comunica; portanto, educa” [tradução nossa] (VIÑAO, 1995, p.69).
19
O elemento tempo é apresentado pelo autor como sendo um aspecto da
construção social da realidade, envolvendo a relação entre o antes, o depois e o agora, o
presente, o passado e o futuro. Apresenta também o tempo da escola, ou seja, o tempo
da aprendizagem, que é um tempo para internalizar e aprender, sendo ainda um tempo
institucional e organizacional, não havendo um único tempo, mas sim uma variedade de
tempos, o tempo do professor e o do aluno, por exemplo. Sendo o tempo, organizado e
construído, segundo Viñao, social e culturalmente e vivido não somente pelos
professores e alunos, mas também pela família e pela comunidade.
A história da cultura escolar é entendida como “organização e instituição, é
uma história de ideias e feitos, de objetos e práticas, de maneiras de dizer e pensar que
se deve recorrer, como toda história, pela perspectiva do que se move, do que se altera,
se modifica” [tradução nossa] (VIÑAO, 1995, p. 74).
Em sua pesquisa de 1995 Viñao confronta três pontos de vista: o teórico, o
legal e o escolar. O ponto de vista teórico trata das propostas pedagógicas, dos
inspetores e professores, já o legal trabalha com as normas que regulam tais questões e
o princípio escolar trata do que acontece nas escolas. Aponta, ainda que, “teoria,
legalidade e realidade escolar nem sempre coincidem” [tradução nossa] (VIÑAO,
1995, p. 74). Os três pontos de vista são válidos, porém tem-se que analisar não somente
sua evolução e mudanças, mas também suas influências. Podendo captar suas
descontinuidades e rupturas, além de diversidades de práticas, dos elementos ditos
determinantes dessa diversidade, assim como os mecanismos de organização curricular
e instrumentos de controle externos.
Os livros didáticos analisados são representativos de uma forma de trabalhar
conteúdos escolares durante reformas educacionais brasileiras do período compreendido
entre 1929 e 1970. Desse modo, confrontamos somente os pontos de vista teórico e o
legal, uma vez que neles podem ser observadas as propostas pedagógicas recomendadas
nas referidas reformas e também as normas por elas prescritas, não sendo possível
verificar, neste estudo, quais as apropriações foram feitas pela escola.
Segundo o historiador francês André Chervel (1990) a história das disciplinas
associa às ordens das autoridades ministeriais à realidade do ensino e, por vezes, às
produções de alunos. “A observação histórica permite resgatar as regras de
20
funcionamento, ver um ou vários modelos disciplinares ideais, cujo conhecimento e
exploração poderiam ser de alguma utilidade nos debates pedagógicos atuais ou do
futuro?” (CHERVEL, 1990, p.1)
Até o final do século XIX os termos ‘disciplina’ e ‘disciplina escolar’
indicavam, nada além de vigilância dos estabelecimentos e repressão de condutas que
poderiam prejudicar a ordem. O significado ‘conteúdos do ensino’ esteve apagado de
todos os dicionários do século XIX. Aparece também com o sentido de ‘faculdade’, ou
ainda, ‘disciplinar’, ‘ginástica intelectual’. Sendo, primeiramente, como exercício
intelectual e, posteriormente, como uma simples marca das matérias ensinadas.
Segundo Chervel (1990), as pessoas, em geral, entendem que a escola ensina o
que se foi comprovado em outro lugar. Por exemplo, ensina-se matemática porque
acaba de acontecer uma revolução na ciência matemática. Os pedagogos ficam a cargo
de impetrar métodos para fazer com que os alunos aprendam mais ciências o mais
rápido possível.
Para pedagogos, historiadores e didáticos as ‘disciplinas’ são combinações de
saberes e de metodologias pedagógicas, não deixando espaço para a existência
autônoma das disciplinas. Entretanto, para Chervel (1990), o que a escola ensina não é
uma vulgarização do saber científico. As disciplinas têm uma existência autônoma, isto
é, independente da história e da pedagogia, de modo que a história das disciplinas
escolares estabelece que “a escola não se define por uma função de transmissão dos
saberes, ou de iniciação às ciências de referência. O que, apresentado desses termos
abruptos, parece levar a um paradoxo” (CHERVEL, 1990, p.6). Além disso, se
quisermos entender o funcionamento real dos ensinos devemos incluir a pedagogia no
estudo dos conteúdos. Nesse caso, a pedagogia é vista como um elemento integrante da
escola, que transforma os ensinos em aprendizagens.
A constituição e funcionamento das disciplinas colocam o historiador defronte
à três problemas: sua gênese, sua função e seu funcionamento. O sistema escolar exerce
uma dupla função na sociedade: “de fato ele forma não somente os indivíduos, mas
também uma cultura que vem por sua vez penetrar, moldar, modificar a cultura da
sociedade global.” (CHERVEL, 1990, p.11).
21
As disciplinas são direcionadas aos alunos, marcando a fronteira entre
secundário e superior. O estudo das finalidades do ensino está amarrado, em parte com
a história das disciplinas.
Supõe-se que as demandas da sociedade em determinada época fizeram com
que a escola conduzisse seus objetivos de instrução e educação de acordo com a
sociedade, família, religião, etc.
A função educativa da escola é dar uma instrução, que está ligada ao esquema
educacional vigente, ou ao ramo de estudo, estando as disciplinas escolares no cerne
deste dispositivo, dispondo a instrução à serviço de uma finalidade educativa
Para Chervel (1990) os conteúdos são meios para se alcançar um fim e não
uma disciplina, e a liberdade de criação teórica do docente se expressa na sala de aula
sobre um grupo de alunos. Além de que as condições materiais limitam as práticas
pedagógicas, e a renovação do corpo docente determina a evolução das disciplinas. A
escola tem como função instruir as crianças e criar disciplinas escolares.
Relativamente aos livros didáticos, o termo vulgata é utilizado por Chervel
(1990) para caracterizar o fenômeno que ocorre quando todos, ou quase todos os
manuais dizem a mesma coisa; os conceitos, terminologias, coleções, organização dos
conhecimentos, exemplos utilizados, tipos de exercícios apresentam poucas variações.
Sendo que as variações que justificam novas publicações, “de qualquer modo, não
apresentam mais do que desvios mínimos: o problema do plágio é uma das constantes
da edição escolar.” (p. 33).
Conforme Valente essas produções didáticas caracterizam o fenômeno da
vulgata uma vez que apresentam poucas variações, sendo que “a similaridade entre
essas produções é tão grande que o plágio é comum entre os textos didáticos”
(VALENTE, 2007a, p. 142). Entretanto, destaca, em determinadas épocas, surge alguns
manuais que apresentam uma nova proposta de organização do ensino, que é apropriada
por outros autores e esse novo conjunto de manuais convertem-se em uma nova vulgata.
O estudo desses manuais, entende Valente, é fonte que contribui para a história das
disciplinas escolares.
Assim, o papel do historiador das disciplinas é verificar como ocorrem essas
22
“vulgatas”, que são passíveis de serem estudadas quando ocorre uma perturbação no
sistema escolar.
A história das disciplinas se dá frequentemente por alternância de patamares
e de mudanças importantes, até mesmo de profundas agitações. Quando uma
nova vulgata toma o lugar da precedente, um período de estabilidade se
instala, que será apenas perturbado, também ele, pelas inevitáveis variações.
Os períodos de estabilidade são separados pelos períodos "transitórios", ou de
"crise", em que a doutrina ensinada é submetida a turbulências. O antigo
sistema ainda continua lá, ao mesmo tempo em que o novo se instaura:
períodos de maior diversidade, onde o antigo e o novo coabitam, em
proporções variáveis. Mas pouco a pouco, um manual mais audacioso, ou
mais sistemático, ou mais simples do que os outros, destaca-se do conjunto,
fixa os "novos métodos", ganha gradualmente os setores mais recuados do
território, e se impõe. É a ele que doravante se imita, é ao redor dele que se
constitui a nova vulgata (CHERVEL, 1990, p.33).
Com o aparecimento de um novo manual, o qual possibilita o surgimento de
outros manuais semelhantes, a antiga vulgata vai sofrendo modificações de modo que
esses manuais vão se tornando representativos a ponto de se constituírem em uma nova
vulgata. Segundo Valente (2007a), “o estudo desses novos manuais poderá revelar
importantes elementos constituintes da trajetória histórica da escolarização de um
determinado saber” (p. 42). No caso da Reforma Francisco Campos, o representante
deste manual inovador foi o livro de Euclides Roxo. A obra “Elementos de Matemática”
de Jacomo Stávale publicada durante a Reforma Capanema e “Matemática Moderna”
de autoria de Sangiorgi, publicada durante o Movimento da Matemática Moderna
também são representantes de um manual inovador (VALENTE, 2008).
O sucesso das disciplinas depende da qualidade dos exercícios propostos, o
gosto e a disposição do aluno para aprender também são de fundamental importância
para isso. Sendo necessário aproximar as provas e avaliações às finalidades das
disciplinas.
A psicopedagogia e a psicologia se interessam pelo fato de que o que o aluno
aprende não tem muita relação com o que o professor ensina. A discrepância entre
‘ensino’ e ‘aprendizagem’ apresenta diversos aspectos, como o sociológico e
quantitativo, ligando o fracasso escolar com o sistema educacional e com a história das
disciplinas. Se o fracasso escolar reflete o fracasso do ensino e do professor, seu sucesso
não é, necessariamente, o que lhe é ensinado, pois os alunos sabem de coisas que não
lhes foram ensinadas.
23
Para Chervel (1990) exercícios escolares que trabalham com problemas sobre
torneiras, por exemplo, não fazem parte da cultura. São apenas uma amostra de um
acesso à cultura. As matérias do ensino secundário atualmente são chamadas de
‘disciplinas’, que o autor denomina de ‘disciplinas escolares’.
O estabelecimento sólido de uma disciplina não é automático, passa por um
período probatório e recebe uma aculturação pelos pais e meio familiar, a qual foi
dirigida às crianças e adolescentes por, pelo menos, vinte ou trinta anos antes. Ela fica
estabelecida mediante seu próprio sucesso. Os alunos beneficiam-se das aprendizagens
familiares e sociais, as quais enriquecem a bagagem que levarão para a escola. Nesse
sentido, as etapas do ensino são vencidas com maior facilidade. Entretanto, a disciplina
pode desaparecer dos programas, dando lugar a outras necessidades escolares.
Pode ocorrer o nascimento de uma nova disciplina, como foi o caso da
Matemática, em 1930, durante a Reforma Francisco Campos (VALENTE, 2004), ou o
desaparecimento de uma disciplina, como foi o caso da Estatística, presente nos cursos
de formação de professores para o ensino primário no período compreendido entre 1930
a 1960 (VALENTE, 2007b).
Nós estamos acostumados que a sociedade impõe que a escola ensine algo, a
escola para fazer isto impõe que aconteça a disciplinarização. A disciplina escolar é o
preço que a sociedade paga para que a cultura escolar se manifeste, de modo que o saber
escolar, segundo Chervel (1990), é produzido pela escola e seu conteúdo está nas
disciplinas. Ou seja, a disciplina escolar é um processo que ocorre no interior da escola.
Alain Choppin foi um pesquisador francês do Service d´Histoire de l´éducation
do Institut National de Recherche Pédagogique. Segundo esse teórico, a respeito de
pesquisas cujo foco se detém em livros didáticos, um dos maiores problemas
enfrentados pelos pesquisadores nesse tema é que, em línguas diferentes o livro didático
é entendido de maneiras diferentes, ou seja, uma mesma palavra é utilizada para
designar definições distintas. Outro problema relatado por Choppin é a superficialidade
das pesquisas realizadas nos livros didáticos, restringindo-se apenas a artigos e sínteses
(CHOPPIN, 2004).
Em uma de suas análises Choppin (2004) verificou que no Brasil, no início do
século XX, dois terços dos livros publicados eram livros didáticos. Cita também a
24
evolução do livro didático, como sendo o cruzamento da literatura religiosa, literatura
didática e a literatura de lazer, esta última podendo ter um caráter moral, recreativo ou
de vulgarização.
Segundo Choppin (2004) os livros didáticos exercem quatro funções essenciais
que sofrem variações de acordo com o ambiente, época, disciplina, nível de ensino,
método e forma de utilização, as quais são: função referencial, quando o livro é uma
tradução fiel do programa, quando esse existe, constituindo suporte para os conteúdos
educativos. A segunda função é a instrumental: apresenta métodos de aprendizagem
com exercícios ou atividades, promovendo a memorização do conhecimento. A terceira
função seria a ideológica e cultural: sendo a função mais antiga, é um símbolo de
identidade nacional, assumindo, assim, um papel político, tendendo a doutrinar. E a
última função seria a documental: serve para desenvolver o espírito crítico do aluno, é
encontrada em ambientes que dão valor às ações pessoais das crianças, favorecendo a
autonomia.
O livro didático desenvolve-se juntamente com os sistemas nacionais ou
regionais, aliados com um ambiente pedagógico. O livro didático apresenta a
sociedade, de uma maneira ampla, como os autores dos livros gostariam que elas
fossem do que como ela realmente é, sendo assim, o livro didático não é um simples
espelho: ele modifica a realidade para educar as novas gerações (CHOPPIN, 2004, p.
557)
Para Choppin (2004) deve-se levar em conta, ao analisar ou escrever a história
de um livro didático, as regras impostas pelos poderes políticos ou religiosos da época.
Para o desenvolvimento desta investigação, de cunho historiográfico,
escolhemos os livros didáticos “Curso de Mathematica Elementar” de autoria de
Euclides de Medeiros Guimarães Roxo (1929); “Elementos de Matemática” de autoria
de Jácomo Stávale (1956) e o livro “Matemática – Curso Moderno” de Osvaldo
Sangiorgi (1970), nas séries em que esses autores tratam dos números em sua
representação decimal. A escolha desses manuais deveu-se pelos seguintes motivos: A
obra de Euclides Roxo é representativa da época em que ocorreu a Reforma Francisco
Campos, 1930. No período da Reforma Capanema, um dos manuais mais vendidos foi a
obra de Jácomo Stávale, corroborando com Valente (2004):
25
Em 30 de junho de 1931, nos termos do Decreto 19.890 de 18 de abril do
mesmo ano, ficaram estabelecidos os conteúdos e a metodologia que
deveriam parametrizar o ensino da nova disciplina criada com a fusão da
Aritmética, da Álgebra e da Geometria. Dentre os livros didáticos de
Matemática, considerados verdadeiros best-sellers, pela quantidade de
exemplares que venderam, estão as obras de Cecil Thiré e Mello e Souza,
Jacomo Stávale, Algacyr Maeder, Agricola Bethlem, para citar alguns dos
mais importantes. Todos eles publicaram livros com a entrada em vigor da
Reforma Francisco Campos. [...] Entre as coleções analisadas para a Reforma
Campos, perduram para a Reforma Capanema as obras de Cecil Thiré, Mello
e Souza e Euclides Roxo, Jacomo Stávale e Algacyr Maeder. (VALENTE,
2004, p.4-5)
Durante o MMM, o livro didático “Matemática Moderna”, de autoria de
Sangiorgi (1970) foi considerado, em conformidade com Valente (2009) como um best-
seller:
No lançamento da coleção de matemática moderna para o ginásio, autor
(Sangiorgi) e Editora (Cia. Editora Nacional) foram pioneiros. Em 1963, com
toda a pompa e circunstância, como mostram outros estudos, esses livros
didáticos transformaram-se em best-sellers (p.11).
Nesse sentido, consideramos que essas obras são representativas, pois segundo
Chervel (1990) as solicitações da sociedade em determinada época conduzem os
objetivos de instrução e educação da escola de acordo com a sociedade, família,
religião, etc.
26
CAPÍTULO 2
AS REFORMAS EDUCACIONAIS BRASILEIRAS
“... Escrever a história dos livros escolares
[...] sem levar em conta as regras que o
poder político, ou religioso impõe aos
diversos agentes do sistema educativo, quer
seja no domínio político, econômico,
linguístico, editorial, pedagógico ou
financeiro, não faz qualquer sentido” Alain
Choppin, 2004.
2.1. A reforma Francisco Campos
Na década de 1930 tomava posse como presidente da República Getúlio
Dornelles Vargas (1882 – 1954), que assumiu o poder após estar à frente da Revolução
Constitucionalista de 1930, a qual derrubou o então presidente da República,
Washington Luís Pereira de Sousa1 (1869 – 1957). Os revolucionários lutavam por uma
nova constituição, sendo contra a República Velha que era predominantemente
oligárquica. Assim, tinha início, em novembro de 1930, a Era Vargas.
Imagem 01 - Os revolucionários no Catete, com Getúlio Vargas ao centro (1930)
Fonte: http://www.itarare.com.br/%5Cimages%5Cgetu30.jpg
1 Washington Luís Pereira de Sousa (1869 – 1957): Nascido em Macaé, no Rio de Janeiro, se considerava
um paulista, pois maior parte de sua carreira aconteceu lá. Foi o último brasileiro presidente representante
da oligarquia entre São Paulo e Minas Gerais, mais conhecida como política do café com leite; não
chegou ao fim de seu mandato, sendo deposto pela Revolução de 30; juntamente com seu governo
terminou a Primeira República, iniciando a Era Vargas. Disponível em:
<http://www.infoescola.com/historia-do-brasil/governo-de-washington-luis/>.
27
Uma das primeiras medidas tomadas por Vargas foi a criação de alguns
ministérios, entre eles estava o da Educação e Saúde, que ficou nas mãos do primeiro
ministro Francisco Luís da Silva Campos (1891 – 1968), o qual promoveu uma
modernização no ensino secundário brasileiro, conhecida como Reforma Francisco
Campos (1931). Tendo Euclides de Medeiros Guimarães Roxo (1890 – 1950), como
orientador e articulador de tal Reforma, que foi promulgada e consolidada pelos
decretos 19.890, de 18 de abril de 1931 e 21.241, de 4 de abril de 1932.
Imagem 02 - Francisco Luís da Silva Campos
Fonte: AZEVEDO; AZEVEDO; MOURA, 2013.
O decreto 19.890, de 18 de abril de 1931, trata da organização do ensino
secundário, no Título I – “Ensino Secundário”, Capítulo I – “Dos Cursos” citava que o
ensino reconhecido oficialmente, era o ministrado no Colégio Pedro II que chamaremos
de CPII, que foi fundado em 1837, e oficializado segundo Decreto de 2 de dezembro de
1837, em consequência da reestruturação do Seminário São Joaquim, situada no centro
da cidade do Rio de Janeiro. O ministro Bernardo Pereira de Vasconcellos (1795 –
1850) apresentou à corte tal projeto no dia do décimo segundo aniversário do
Imperador, homenageando-o.
Convertendo o Seminario de S. Joaquim em collegio de instrucção
secundaria, com a denominação de Collegio de Pedro II, e outras disposições.
O regente interino em Nome do Imperador o Senhor Dom Pedro II decreta:
Art. 1.º O Seminario do S. Joaquim he convertido em collegio de instrucção
secundaria.
Art. 2.º Este collegio he denominado - Collegio de Pedro II.
Art. 3.º Neste collegio serão ensinadas as linguas latina, grega, franceza e
ingleza; rhetorica e os principios elementares de geographia, historia,
philosophia, zoologia, mineralogia, botanica, chimica, physica, arithmetica,
algebra, geometria e astronomia. [...] (BRASIL, 1837, s/p.)
28
Imagem 03 - Bernardo Pereira de Vasconcellos
Fonte: http://www.fazenda.gov.br/portugues/institucional/ministros/dom_pedroII002.asp
Dom Pedro costumava chamar o colégio de ‘seu’, chegando a escolher os que
integrariam o corpo docente, além de assistir provas e conferir médias.
O CPII foi o primeiro colégio de ensino secundário oficial do país, sendo
modelo de instrução pública, de aulas avulsas e instituições particulares. Sendo o corpo
docente composto por renomados intelectuais, o corpo discente selecionado
rigorosamente pelos exames de admissão e promocionais, os programas de ensino e o
pagamento de anuidades deu ao CPII o papel de preparar os alunos para o ensino
superior, sendo o único colégio a outorgar o Grau de Bacharel em Letras aos
formandos, pelo Decreto n° 296, de 30 de setembro de 1843, que eram admitidos nos
cursos superiores sem a necessidade de prestar os exames das matérias preparatórias.
Em 1857, separou-se em Internato e Externato.
A partir de 1889, com a Proclamação da República, o CPII passou por períodos
de crise, morte de seu patrono (1891), mudanças de nome (Instituto Nacional de
Instrução Secundária – 1889, Ginásio Nacional – 1890, o Externato para Externato
Nacional Pedro II e o Internato para Internato Nacional Bernardo de Vasconcelos –
1909 e Colégio Pedro II – 1911) e a perda dos privilégios legais (término do título de
Bacharel em Ciências e Letras), ainda assim o CPII continuou sendo referência no
ensino secundário, um dos muitos fatores que contribuiu para isso foi a presença, tanto
como docentes quanto discentes, de ilustres personagens que permearam a história do
Brasil em várias esferas, dentre estes destacamos: Euclides de Medeiros Guimarães
Roxo, Eugênio de Raja Gabaglia, Washington Luís e Júlio César de Melo e Sousa (o
Malba Tahan), entre muitos outros.
29
Imagem 04 - Colégio Pedro II
Fonte: http://pt-br.pedrosegundo.wikia.com/wiki/Arquivo:Pedro_II_-_1.jpg
O segundo artigo da reforma Francisco Campos referia-se à divisão do Ensino
Secundário em dois cursos seriados, o Fundamental e o Complementar, realizados em 5
e 2 anos, respectivamente. Para cada curso pretendido no Ensino Complementar eram
obrigatórios a realização de disciplinas específicas, as quais são citadas do 4º ao 7º
artigos. Por meio desses artigos, a Matemática fazia-se obrigatória em todos os cursos
de Medicina, Farmácia e Odontologia, além dos cursos de Engenharia ou Arquitetura.
O Capítulo II, “Do corpo docente do Colégio Pedro II”, aborda elementos
referentes à composição do corpo docente (catedráticos e auxiliares), disposições sobre
concursos e nomeações.
No Capítulo III, sob o título “Da admissão ao Curso Secundário” dizia que para
ser admitido no Curso Secundário era necessário realizar um exame de admissão na
segunda quinzena de fevereiro, o qual exigia, além da redação e ditado, cálculos
elementares de Aritmética, como também fundamentos de Geografia, História do Brasil
e Ciências Naturais, tendo a idade mínima de 11 anos e 13 anos para alunos do
internato, além de apresentar atestado de vacinação antivariólica.
O Capítulo IV da reforma Francisco Campos dizia respeito “Do regime
escolar”, tratando assuntos como, matrícula, que deveria ser realizada de 1 a 14 de
março, transferência de alunos – a qual era realizada somente em período de férias,
duração do ano letivo, como também das aulas.
Prescrevia ainda todo o roteiro de como seriam atribuídas as notas – arguição
oral ou trabalhos práticos (critério do professor). Estipulava que, durante o ano, haveria
30
quatro provas escritas parciais e provas finais, a serem realizadas em dezembro, além de
haver na primeira quinzena de março, uma segunda oportunidade para realização da
mesma, chamada de segunda época. Essa prova era realizada perante uma banca
examinadora formada por dois professores do estabelecimento de ensino além de um
inspetor de cada área.
O aluno estava sujeito a realizar, para cada disciplina, uma prova oral ou
prático-oral (para matérias que proporcionarem trabalhos de laboratório) considerando
toda a matéria do ano. A nota da prova final era a média daquelas pelos examinadores e
do inspetor. A nota para aprovação deveria ser maior ou igual a três em cada disciplina.
Alunos que, por dois anos consecutivos, não alcançassem a média, não poderiam
renovar a matrícula nos estabelecimentos oficiais.
No Título II da reforma Francisco Campos, chamado “Inspeção do Ensino
Secundário”, sendo o Capítulo I, “Dos Estabelecimentos Equiparados de Ensino
Secundário”, trata da equiparação dos estabelecimentos para expedição de certificados
de habilitação, além de concessões, inspeções preliminares e pagamentos das quotas
anuais. O Capítulo II, “Do serviço de inspeção” e o Capítulo III, “Dos Inspetores”,
tratam da distribuição dos estabelecimentos por distritos de inspeção, de acordo com o
número de matrículas e das distâncias e facilidades de comunicação entre eles, além das
incumbências, vencimentos, nomeações, exigências - uma delas era a prática de
datilografia2, requisitos para inscrição no concurso, transferências e designações dos
inspetores.
O Título III – “Registro de professores”, elencava os documentos necessários
para lecionar em um estabelecimento oficial, quais sejam:
a) Prova de identidade;
b) Prova de idoneidade moral;
c) Certidão de idade;
d) Certidão de aprovação em instituto oficial de ensino secundário
ou superior, do país ou estrangeiro, nas disciplinas em que
pretendam inscrição;
e) Quaisquer título ou diplomas científico que possuam, bem como
exemplares de trabalhos publicados;
f) Prova de exercício regular no magistério, pelo menos durante dois
anos. (BRASIL, 1931, s/p).
O Título IV, “Disposições gerais e transitórias”, discorria sobre a reunião de
pais ou representantes dos alunos, da contratação de professor de música, extinção da
livre docência, extinção da livre docência, permanecendo os docentes livres existentes e
sobre os exames de preparatórios – taxas, inscrições, bancas examinadoras, aprovação,
certificado de conclusão e taxas de exame.
2 Segundo Dicionário Michaelis on line datilografia significa: 1 Arte de escrever a máquina. 2 O mesmo
quedatiloscopia. Var: dactilografia.
31
Quanto ao decreto 21.241, de 4 de abril de 1932, que “Consolida as disposições
sobre a organização do ensino secundário e dá outras providências” (BRASIL, 1932,
s/p), citaremos algumas alterações ou complementações que foram realizadas e, as
quais, julgamos serem importantes.
O Título I, Capítulo I não falava somente dos cursos, mas também da seriação,
citando que os estabelecimentos de ensino poderão ministrar outras matérias além das
citadas, no artigo 10, acrescentou dois incisos, o primeiro referente aos inquéritos
efetuados pelo departamento Nacional do Ensino entre os professores das instituições
equiparadas e conforme regime de inspeção, o segundo dispunha sobre o arranjo das
matérias seria realizado para que pudessem ser ministradas no decorrer do relativo ano
letivo. No artigo seguinte citava que os programas seriam organizados de forma que
pudessem ser ministradas toda a matéria neles contidos durante o ano letivo.
No Capítulo II do decreto 21.241, acrescenta que professores contratados
também fariam parte do corpo docente do CPII, no art. 17 atribui aos professores
contratados a orientação e fiscalização do ensino das línguas vivas, no artigo seguinte
cita a contratação do professor de música, além da nomeação, obrigações, prerrogativas,
vencimentos e números de auxiliares de ensino.
O Capítulo III adicionou que alunos que comprovem mudança de residência
poderá se matricular no 1° ano em um estabelecimento de ensino que estivesse sob o
mesmo regime. No Capítulo IV, agregou uma escala para a nota, de cinco em cinco
pontos e sua variação de zero à cem, além de que os papéis a ser utilizado para a
preparação das provas deveriam ser de acordo com o modelo designado pelo
Departamento Nacional do Ensino e que não haveria segunda chamada para as provas
parciais.
O Capítulo I do Título II, alterou-se para “Dos estabelecimentos equiparados,
livres e sob inspeção preliminar”, acrescenta que um dos quesitos para um
estabelecimento de ensino poder expedir certificados de habilitação, deveria seguir a
organização didática e ao regime escolar, e os pedidos de reconhecimento só seriam
aceitos no mês de dezembro. Aponta os quesitos que cada estabelecimento deveriam
cumprir para inspeção:
I. Eficiência do ensino ministrado nos termos deste decreto.
II. Idoneidade dos professores no exercício do magistério.
III. Admissão progressiva de professores por concurso ou mediante contrato
com remuneração adequada.
IV. Aperfeiçoamento das condições exigidas para os efeitos da classificação.
V. Observância dos preceitos de estrita moralidade por parte dos corpos
docente, administrativo e discente.
VI. Execução dos dispositivos do regulamento apresentado à aprovação do
Departamento Nacional do Ensino.
VII. Limitação das matrículas, de acordo com as condições e a capacidade
do edifício e das instalações, verificadas pelo Departamento Nacional do
Ensino.
VIII. Sub-divisão dos alunos por turmas que não compreendam mais de 50
alunos para o ensino de qualquer disciplina. (BRASIL, 1932, s/p.)
32
Além de acrescentar disposições sobre pagamentos de quotas, transferências
de sedes e ministração de cursos noturnos.
No capítulo II que tratava dos “Serviços de inspeção”, instaura o cargo de
quatro inspetores-assistentes em cada inspetoria regional, além de suas incumbências e
dos demais inspetores (do estabelecimento e regional). No Capítulo III, “Dos
Inspetores”, altera da distribuição das secções didáticas, como também do custeio dos
serviços de inspeção.
O decreto N. 21.241 tem como Título III “Registro dos Professores”, o qual
não sofreu alterações consideráveis, apenas mudanças de redação. No Título IV,
“Disposições gerais e transitórias”, acrescentando que os alunos matriculados nas 3ª, 4ª
e 5ª séries do ensino secundário terminariam o curso segundo a legislação anterior.
No final do Decreto era apresentada uma tabela referente às taxas de: quota de
inspeção, certificados e sua segunda via, guia de transferência, de exames, revisões de
provas e inscrição em concurso para inspetor. Subsequentemente aparecem algumas
retificações que foram publicadas no Diário Oficial de 19 de abril de 1932.
2.1.1. A Matemática na reforma Francisco Campos
“Em 1928 propusemos à Congregação do
Colégio Pedro II a modificação dos
programas de matemática, de acordo com a
orientação do moderno movimento de
reforma e a consequente unificação do
curso em uma disciplina única, sob a
denominação de matemática, lecionada em
5 anos, passando de então por diante a
haver apenas exames de matemática nas
diversas séries do curso. A reforma
Francisco Campos adotou o nosso ponto de
vista que até agora vigora” Roxo, 1937.
Euclides Roxo propõe, em 1928, à congregação do CPII mudanças no ensino
da Matemática com base no movimento de modernização do ensino da Matemática, as
quais eram fundamentadas nas ideias de Felix Klein, matemático alemão, professor da
Universidade de Göttingen. Segundo Dassie (2001), as propostas apresentadas por Roxo
foram aceitas e homologadas pelo decreto nº 18.564 de 15 de janeiro de 1929. De
acordo com esse novo programa Roxo escreve o Curso de Mathematica, livro que será
analisado representando tal reforma e, segundo Dassie (2001), no prefácio do volume I
da primeira edição Roxo apresenta as particularidades de tais mudanças:
33
Procuraremos reunir, de acordo com Klein, as tendências desse movimento
de reforma.
1 – Tornar essencialmente predominante o ponto de vista psicológico (...).
2 – Na escolha da matéria a ensinar ter em vista as aplicações da matemática
ao conjunto de outras disciplinas (...).
3 – Subordinar o ensino da matemática à finalidade da escola moderna (...).
Dessas três tendências gerais que se harmonizam e se fortalecem
mutuamente, decorrem outras características e modalidades, que também se
entrelaçam e completam. São elas:
a) A fusão da aritmética, álgebra e geometria (incluía a trigonometria)
(...).
b) Introdução precoce da noção de função (...).
c) Abandono, em parte, da rígida didática de Euclides (“die starre
euklidischie Manier”) com a Introdução da ideia da mobilidade de cada
figura, por meio da qual em cada caso particular, se torna compreensível o
caráter geral da geometria (...).
d) Introdução, desde cedo, de noções de coordenadas e de geometria
analítica (...).
e) Introdução de noções de cálculo diferencial e integral (...).
f) Maior desenvolvimento do ensino do desenho projetivo e da
perspectiva (...).
g) A introdução de recursos de laboratório (...).
h) Finalmente, um princípio que preside a todos os que precedem, o do
método histórico no desenvolvimento da matemática (...). (Roxo, 1929, p. 07
- 10)
A reforma Francisco Campos conservou todas as ideias de 1929 de acordo com
Dassie (2001).
Apresentaremos, no decreto 19.890 de 18 de abril de 1931, ou seja, na reforma
Francisco Campos, um resumo das disposições sobre o ensino de Matemática nas cinco
séries do curso secundário3:
Primeira série (3 horas)4
I – Iniciação geométrica
II – Aritmética:
Prática das operações fundamentais. Cálculo abreviado. Exercício de cálculo
mental.
Noção de múltiplo e de divisor. Caracteres de divisibilidade.
Decomposição em fatores primos; aplicação ao m.d.c. e ao m.m.c.
Frações ordinárias e decimais. Operações com as frações.
Explicação objetiva pelo fracionamento de objetos ou de grandezas
geométricas.
Sistema métrica decimal. Prática das medidas de comprimento, superfície,
volume e peso.
Operações com os números complexos: unidades de tempo e de ângulo.
Sistema inglês de pesos e medidas.
Quadrado e raiz quadrada de números inteiros e decimais; aproximação no
cálculo da raiz.
3 A integra deste decreto encontra-se no Anexo I, página 114.
4 Quantidade de horas semanais para a disciplina de Matemática para o primeira série, a mesma
referência aparece para os anos seguintes.
34
Traçado de gráficos.
III – Álgebra
Segunda Série (3 horas)
I – Iniciação geométrica
II – Aritmética e Álgebra
Terceira série (3 horas)
I – Aritmética e Álgebra
II – Geometria
Quarta série (3 horas)
I – Aritmética e Álgebra
II – Geometria
Quinta série (3 horas)
Aritmética, Álgebra e Geometria. [Grifo nosso] (BICUDO, 1942, p. 161-
163).
Como pudemos verificar, nas disposições legais da reforma Francisco Campos
referentes à Matemática, a parte referente aos números na sua representação decimal foi
privilegiada na primeira série.
2.2. A reforma Capanema
Gustavo Capanema5, em 1934, substituiu Francisco Campos no ministério da
Educação e Saúde.
Imagem 05 - Gustavo Capanema Filho
Fonte: http://daquidepitangui.blogspot.com.br/2010/06/correspondencias-de-gustavo-capanema.html
5 Gustavo Capanema Filho (1900-1985): Iniciou sua vida na política em 1927 se elegendo a vereador de
Pitangui (MG), sua cidade natal. Apoiou a candidatura presidencial de Getúlio Vargas em 1930, formou
uma organização política em Minas Gerais para apoiar o regime revolucionário de 30, chamada de ‘A
Legião de Outubro’. Em julho de 1934 é nomeado Ministro da Educação e Saúde, permanecendo no
cargo até o fim do Estado Novo, outubro de 1945. Disponível em:
<http://cpdoc.fgv.br/producao/dossies/AEraVargas2/biografias/gustavo_capanema>.
35
Entre 1942 e 1946, apresenta uma reforma educacional com as Leis Orgânicas
do Ensino6, segue os decretos-leis que foram executados durante esses anos:
a) Decreto-lei 4.073, de 30 de janeiro de 1942
– Lei Orgânica do Ensino Industrial;
b) Decreto-lei 4.048, de 22 de janeiro de 1942
– Cria o Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial;
c) Decreto-lei 4.244, de 9 de abril de 1942
– Lei Orgânica do Ensino Secundário;
d) Decreto-lei 6.141, de 28 de dezembro de 1943
– Lei Orgânica do Ensino Comercial;
Após a queda de Vargas e durante o Governo Provisório,
respondendo, pela Presidência da República, José Linhares e, pelo
Ministério da Educação, Raul Leitão da Cunha, foram baixados os
seguintes decretos-leis:
a) Decreto-lei 8.529, de 2 de janeiro de 1946
– Lei Orgânica do Ensino Primário;
b) Decreto-lei 8.530, de 2 de janeiro de 1946
– Lei Orgânica do Ensino Normal;
c) Decretos-lei 8.621 e 8.622, de 10 de janeiro de 1946 – criam
o Serviço Nacional de Aprendizagem Comercial;
d) Decreto-lei 9.613, de 20 de agosto de 1946
– Lei Orgânica do Ensino Agrícola [Grifo nosso] (ROMANELLI,
1986, p.154)
Tais decretos foram elaborados pelo Conselho Nacional de Educação (CNE),
que foi criado pelo Decreto nº 19.850, de 11 de abril de 1931. Em seu artigo de número
5 cita as atribuições do CNE:
Art. 5º Constituem atribuições fundamentais do Conselho:
a) collaborar com o Ministro na orientação e direção superior de ensino;
b) promover e estipular iniciativas em benefício da cultura nacional, e
animar atividades privadas, que se proponham a collaborar com o Estado
em quaisquer domínios da educação;
c) sugerir providencias tendentes a ampliar os recursos financeiros,
concedidos pela União, pelos Estados ou pelos municípios à organização
e ao desenvolvimento do ensino, em todos os seus ramos;
d) estudar e emitir parecer sobre assumptos de ordem administrativa e
didática, referentes a qualquer instituto de ensino, que devem ser
resolvidos pelo Ministro;
e) facilitar, na esfera de sua ação, a extensão universitária e promover o
maior contacto entre os institutos técnicos-científicos e o ambiente
social;
f) firmar as diretrizes gerais do ensino primário, secundário, técnico e
superior, atendendo, acima de tudo, os interesses da civilização e da
cultura do país. (BRASIL, 1931b, s/p)
6 A Constituição de 1937 deixou de proclamar a Educação como dever do Estado, limitando sua ação, a
tornando supletiva. Em 1942 inicia-se a reforma de algumas partes do ensino, sendo uma reforma parcial.
Abrangendo todos os ramos do ensino primário e médio. Disponível em:
<http://www.histedbr.fae.unicamp.br/navegando/glossario/verb_c_leis_organicas_de_ensino_de_1942_e_
1946.htm>.
36
Nesta pesquisa focaremos no Decreto-lei 4.244, de 9 de abril de 1942 – Lei
Orgânica do Ensino Secundário, uma vez que esse decreto trata do Ensino Secundário,
nível no qual se inserem os livros analisados neste trabalho. No Título I – “das bases de
organização do ensino secundário”, no Capítulo I – “Das Finalidades do Ensino
Secundário”, o artigo 1º cita tais finalidades:
1. Formar, em prosseguimento da obra educativa do ensino primário, a
personalidade integral dos adolescentes.
2. Acentuar a elevar, na formação espiritual dos adolecentes, a conciência
patriótica e a conciência humanística.
3. Dar preparação intelectual geral que possa servir de base a estudos mais
elevados de formação especial. (BRASIL, 1942, s/p).
O Capítulo II – “Nos Ciclos e Nos Cursos” trata da divisão do ensino
secundário em dois ciclos, o primeiro compreendia o curso ginasial e o segundo dividia-
se em dois cursos paralelos, o clássico e o científico. O curso ginasial com duração de 4
anos, destinando aos adolescentes os fundamentos do ensino secundário, os cursos
clássico e científico, com duração de 3 anos, consolidando o curso ginasial,
desenvolvendo-o e aprofundando-o, no curso clássico daria ênfase à filosofia e ao
estudo das letras antigas, já no científico o estudo maior seria o de ciências.
O Capítulo III – “Dos Tipos de Estabelecimentos de Ensino Secundário”,
constituindo dois tipos de estabelecimentos de ensino, o ginásio e o colégio. Sendo o
ginásio destinado para o curso de primeiro ciclo, o colégio destinado, além do curso
próprio do ginásio, também os dois cursos do segundo ciclo. Além de estabelecer a
obrigatoriedade das denominações: ginásio ou colégio.
O Capítulo IV da reforma Capanema trata “Da Ligação do Ensino Secundário
com as Outras Modalidades de Ensino”, mostra a ligação entre o ensino secundário e as
outras modalidades de ensino por sistemática progressão entre o ensino primário e o
curso ginasial, sendo este último, preparação suficiente para os cursos de segundo ciclo
e, ao final do curso clássico ou científico assegura-se o direito ao ensino superior,
prestando os exames de licença.
O Título II – “Da Estrutura do Ensino Secundário”, em seu Capítulo I – “Do
Curso Ginasial”, trata das disciplinas e sua seriação no curso ginasial, e no Capítulo II –
“Dos Cursos Clássicos e Científicos”, aborda acerca das disciplinas e seriações dos
cursos clássico e científico. O Capítulo II trata “Dos Programas das Disciplinas”, indica
que cada programa deve ser simples, claro e flexível, além de mostrar o sumário e
diretrizes de cada matéria. A seguir apresentaremos a seriação de cada curso:
37
Quadro 01 – Disciplinas do primeiro ciclo do curso ginasial
1ª 2ª 3ª 4ª
PORTUGUÊS X X X X
LATIM X X X X
FRANCÊS X X X X
INGLÊS X X X
MATEMÁTICA X X X X
CIÊNCIAS NATURAIS X X
HISTÓRIA GERAL X X
HISTÓRIA DO BRASIL X X
GEOGRAFIA GERAL X X
GEOGRAFIA DO BRASIL X X
TRABALHOS MANUAIS X X
DESENHO X X X X
CANTO ORFEÔNICO X X X X
PRIMEIRO CICLO
CURSO GINASIAL
DISCIPLINASSÉRIES
Fonte: Marques, 2005, p.41
Quadro 02 – Disciplinas do segundo ciclo do curso clássico
1ª 2ª 3ª
PORTUGUÊS X X X
LATIM X X X
GREGO X X X
FRANCÊS OU INGLÊS X X
ESPANHOL X X
MATEMÁTICA X X X
FÍSICA X X
QUÍMICA X X
BIOLOGIA X
HISTÓRIA GERAL X X
HISTÓRIA DO BRASIL X
GEOGRAFIA GERAL X X
GEOGRAFIA DO BRASIL X
FILOSOFIA X
SEGUNDO CICLO
CURSO CLÁSSICO
DISCIPLINASSÉRIES
Fonte: Marques, 2005, p.41-42
38
Quadro 03 – Disciplinas do segundo ciclo do curso científico
1ª 2ª 3ª
PORTUGUÊS X X X
FRANCÊS X X
INGLÊS X X
ESPANHOL X
MATEMÁTICA X X X
FÍSICA X X X
QUÍMICA X X X
BIOLOGIA X X
HISTÓRIA GERAL X X
HISTÓRIA DO BRASIL X
GEOGRAFIA GERAL X X
GEOGRAFIA DO BRASIL X
FILOSOFIA X
DESENHO X X
2º CICLO
CURSO CIENTÍFICO
DISCIPLINASSÉRIES
Fonte: Marques, 2005, p.42
Do Capítulo IV ao VII, fala especificadamente “Da Educação Física”, “Da
Educação Militar”, “Da Educação Religiosa” e “Da Educação Moral e Cívica”,
respectivamente. O Título III fala exclusivamente “Do Ensino Secundário Feminino”.
O Título IV – “Da Vida Escolar”, no Capítulo I – “Disposições Preliminares”,
predispõe sobre trabalhos escolares e exames, além de: “Art. 27. Os estabelecimentos de
ensino secundário adotarão processos pedagógicos ativos, que deem aos seus trabalhos
o próprio sentido da vida” (BRASIL, 1942, s/p).
No Capítulo II da reforma Capanema, aborda o tema “Do Ano Escolar” citando
os períodos letivo e de férias, no Capítulo III – “Dos Alunos”, categoriza-os em
regulares e ouvintes, o Capítulo IV – “Da Avaliação dos Resultados Escolares”, que
seriam atribuídas notas de zero à dez, o Capítulo V – “Da Admissão aos Cursos”,
especificando as condições para admissão em cada curso. O Capítulo VI – “Dos
Exames de Admissão”, os quais poderiam ser realizados em dezembro ou fevereiro,
sendo que se reprovado em um estabelecimento não poderá fazer em outro na mesma
época.
O Capítulo VII – “Da Matrícula” cita que a referida deveria ser realizada na
primeira quinzena de março, aludindo quais procedimentos para que matrículas sejam
aceitas no curso clássico ou científico. O Capítulo VIII trata “Da Transferência” de
alunos entre os estabelecimentos, além de alunos estrangeiros. O Capítulo IX – “Da
39
Caderneta Escolar”, cita que cada aluno terá sua trajetória escolar, desde seu ingresso
até sua conclusão, anotada em sua caderneta.
O Capítulo X – “Da Limitação e Distribuição do Tempo dos Trabalhos
Escolares”, restringe o tempo dos trabalhos escolares em 28 horas semanais para o
curso ginasial e 30 horas semanais para os cursos clássico ou científico, sendo que a
repartição do tempo para cada tarefa será estipulada pela direção de cada
estabelecimento ao iniciar-se o ano letivo. No Capítulo XI – “Das Lições e Exercícios”
dispõe sobre a obrigatoriedade em realizar as atividades de todas as disciplinas,
inclusive educação física, devendo haver colaboração entre aluno e professor, este
último devendo preparar o primeiro intelectualmente, preocupando-se com o
amadurecimento dos conhecimentos, mais do que com sua extensão, assim como “Os
alunos deverão ser conduzidos não apenas à aquisição de conhecimentos, mas à
madureza de espírito pela formação do hábito e da capacidade de pensar” (BRASIL,
1942, s/p.).
No Capítulo XII – “Da Nota Anual de Exercícios”, determina que cada aluno
terá uma nota mensal, de abril à novembro, em cada disciplina, referente ao
aproveitamento dos exercícios realizados em sala de aula, sendo que haverá uma média
aritmética anual, fazendo-se, então uma nota de exercícios de cada disciplina. No
Capítulo XIII – “Dos Trabalhos Complementares”, cita a importância de atividades
culturais e recreativas:
Art. 46. Os estabelecimentos de ensino secundário deverão promover, entre
os alunos, a organização e o desenvolvimento de instituições escolares de
carater cultural e recreativo, criando, na vida delas, com um regime de
autonomia, as condições favoraveis à formação do espírito econômico, dos
bons sentimentos de camaradagem e sociabilidade, do gênio desportivo, do
gosto artístico e literário. Merecerão especial atenção as instituições que
tenham por objetivo despertar entre as escolares o interesse pelos problemas
nacionais. (BRASIL, 1942).
O Capítulo XIV – “Dos Exames de Suficiência”, cita que tais exames têm a
finalidade de habilitar o aluno para a série seguinte, ou ainda, para a realização de
exames de licença. Os exames de suficiência são compostos por duas provas parciais,
em junho e outubro, podendo conter, em caso de promoção, uma prova final que será
realizada oralmente, tendo dois períodos para realização, dezembro e fevereiro. O aluno
receberá habilitação caso sua nota global seja maior que cinco e, em cada disciplina,
média superior a quatro, sendo esta obtida pela média ponderada entre a nota anual dos
exercícios, as duas provas parciais e a prova final.
O Capítulo XV – “Dos Exames de Licença”, da reforma Capanema aponta que
a conclusão do curso secundário se dará pelos exames de licença, sendo que para o
primeiro ciclo se categoriza como licença ginasial e para o segundo ciclo, como licença
clássica, para o curso clássico, ou licença científica, para o curso científico, cita, ainda,
as disciplinas contidas em cada categoria, como também a realização das avaliações
para cada disciplina, no caso de matemática haveria uma prova escrita e uma prova oral.
40
A habilitação seria concedida caso a média geral fosse, no mínimo, cinco e a média
obtida em cada disciplina quatro pelo menos. O Capítulo XVI – “Dos Certificados” diz
que no final do curso ginasial haverá um certificado de licença ginasial e no final dos
cursos clássico ou científico, haveria um certificado de licença clássica ou científica,
respectivamente.
No Título V trata-se “Da Organização Escolar”, com o Capítulo I – “Do Ensino
Oficial e do Ensino Livre”, citando que o ensino secundário seria prestado pelos
poderes públicos, sendo livre para iniciativas particulares. O Capítulo II – “Dos
estabelecimentos de Ensino Secundário Federais, Equiparados Reconhecidos”, cita que
os estabelecimentos equiparados seriam mantidos pelos Estados, ou pelo Distrito
Federal, sendo os reconhecidos mantidos pelo Município ou por pessoa natural ou
jurídica, ambas com a devida autorização do Governo Federal. Para um estabelecimento
ser considerado equiparado ou reconhecido deve haver verificação de condições para
um funcionamento útil e regular. O Capítulo III – “Da Inspeção Federal dos
Estabelecimentos de Ensino Secundário Equiparados e Reconhecidos” que ficará a
cargo do Ministério da Educação, com caráter administrativo e pedagógico,
assegurando ordem e eficiência escolares.
O Capítulo IV – “Da Administração Escolar” que estará na autoridade do
diretor, regulando o funcionamento dos serviços escolares, o trabalho dos professores,
as atividades dos alunos, fazendo-se cumprir os regulamentos vigentes, devendo haver
entendimento entre família de cada aluno e direção escolar. O Capítulo V – “Dos
Professores” trata a respeito da habilitação que deverá ter registro no Ministério da
Educação, além de formações e cursos apropriados, dependendo, estes de prestação de
concursos. O Capítulo VI – “Da Orientação Educacional”, encaminhando cada aluno
nos estudos e em sua escolha profissional, aconselhando e esclarecendo, sempre em
acordo com a família. O Capítulo VII – “Da Construção e do Aparelhamento Escolar”
estabelece que cada estabelecimento de ensino deve satisfazer tanto ao que se refere à
edificação quanto aos aparelhos e normas pedagógicas do Ministério da Educação. No
Capítulo VIII, que trata “Do Regimento”, cita que cada estabelecimento deve ter um
regimento que aborde sua organização, vida escolar e regime disciplinar.
O Título VI da reforma Capanema dispõe acerca “Das Medidas Auxiliares”,
citando que os poderes públicos adotarão medidas para reforçar a gratuidade do ensino,
não incidindo o pagamento de nenhum valor aos alunos, além de promover serviços e
assistências aos adolescentes necessitados, além de uma porcentagem de vagas gratuitas
nos estabelecimentos equiparados e reconhecidos.
O Título VII trata “Dos Estudos Secundários dos Maiores de Dezenove Anos”,
sendo que estes não necessitam acompanhar os estudos segundo o regime escolar,
podendo obter o certificado de licença ginasial, prestando os exames em
estabelecimentos federais ou equiparados, da mesma forma que um aluno regular.
41
No Título VIII traz as “Disposições Finais” menciona a expedição, pelo
Presidente da República, no caso Getúlio Vargas, acerca dos regulamentos desta lei e
das instruções ao ministro da Educação, Gustavo Capanema.
2.2.1. A Matemática na reforma Capanema
Uma das primeiras preocupações, segundo Dassie (2001), por parte do ministro
Gustavo Capanema foi analisar as alterações introduzidas pela reforma Francisco
Campos no ensino secundário. Outra medida adotada pelo ministro foi a análise de um
estudo sobre a educação no Brasil nos anos de 1932 a 1936, realizado pelo Instituto
Nacional de Estudos Pedagógicos.
Em 11 de agosto de 1939, como apontado por Dassie (2001), Gustavo
Capanema recebe uma carta de Lucia Magalhães constando como anexo um artigo com
o título Síntese da evolução e da situação atual do ensino secundário no Brasil, que
apontava as vantagens da reforma Francisco Campos, entre elas estavam “organização,
programas, seriação, métodos de ensino, fiscalização, etc.” (DASSIE, 2001, p.57). Até a
presente data o ministro projetava apenas a alteração dos ciclos do ensino secundário,
porém mantendo a duração do curso em sete anos.
Em setembro de 1939 Gustavo Capanema analisa um relatório enviado por
Álvaro Castro sobre o ensino secundário vigente na França, Alemanha, Itália, Suíça,
Holanda, Bélgica, Inglaterra e Portugal, a fim de coletar elementos passíveis de
alterações e adaptáveis às nossas leis educacionais.
Dassie (2001) apresenta que o ministro encomendou um estudo ao CPII, para
tal foi formada uma comissão composta pelos professores Raja Gabaglia, Clóvis
Monteiro, Jonathas Serrano, Nelson Romero e Euclides Roxo, esse último sendo o
relator da comissão.
Tal comissão apresenta o ensino secundário dividido em três ciclos, o primeiro
com três séries, o segundo com duas séries e o último com duas séries. O terceiro ciclo
teria, ainda uma subdivisão em dois cursos, o de Letras e o de Ciências, extinguindo o
curso complementar. A seguir mostraremos o currículo apresentado pela comissão do
CPII:
42
Quadro 04 – Currículo do curso secundário apresentado pelos professores do CPII para os ciclos A e B
1ª 2ª 3ª 1ª 2ª
PORTUGUÊS 3 3 3 3 3
LATIM 3 3 3 3 2
FRANCÊS 3 3 3 2 /
INGLÊS / / / 3 3
GEOGRAFIA 3 2 2 2 2
H. DO BRASIL 2 / / / 1
H. GERAL / 2 3 2 2
MATEMÁTICA 3 4 3 3 3
CIÊNCIAS 1 1 1 / /
FÍSICA / / / 1 2
QUÍMICA / / / 1 2
H. NATURAL / / / 1 2
TOTAIS 18 18 18 21 22
DISCIPLINASCICLO A CICLO B
Fonte: Dassie, 2001, p.59
Quadro 05 – Currículo do curso secundário apresentado pelos professores do CPII para o ciclo C
1ª 2ª 1ª 2ª
PORTUGUÊS 3 2 2 2
LATIM 2 3 / /
H. DO BRASIL 2 / 2 1
H. GERAL / 2 / 2
H. DA FILOSOFIA / 2 / 1
PISICOL. E LOGICA 3 2 2 /
MATEMÁTICA 2 2 4 5
COSMOGRAFIA / / 2 /
FÍSICA 2 1 3 3
QUÍMICA 2 1 3 2
H. NATURAL 2 1 3 3
SOCIOLOGIA / 2 / 1
LITERATURA 2 / / /
GEOGRAFIA / 2 / 2
GREGO OU INGLÊS OU A 4 4 3 3
ALEMÃO OU ITALIANO
OU HESPANHOL
TOTAIS 24 24 24 24
DISCIPLINAS
CICLO C
LETRAS CIÊNCIAS
Fonte: Dassie, 2001, p.60
Para os professores que faziam parte da comissão cada um desses ciclos
constituiria uma base de estudos para o ingresso nas grandes faculdades e, segundo
Dassie (2001), nas escolas universitárias de Filosofia, Direito, Medicina e Engenharia.
43
O ministro contou, ainda com algumas sugestões da Faculdade Nacional de
Filosofia da Itália para elaboração da reforma. Foi nesta reforma que, segundo Dassie
(2001), as denominações clássico e científico foram estabelecidas.
Em fevereiro de 1941 Gustavo Capanema escreve um documento abrangendo
algumas informações confidenciais sobre a reforma do ensino secundário, no qual
apresenta as finalidades do ensino secundário, além das matérias que fariam parte de
cada um dos ciclos, assim como a elaboração dos programas de cada uma dessas
disciplinas.
A comissão responsável pela elaboração dos programas de Matemática do
curso ginasial foi presidida por Gustavo Capanema, um dos membros dessa comissão
era Euclides Roxo. Tais programas sofreram alterações até chegar a sua redação final,
isso porque Gustavo Capanema ouviu pessoas importantes da época, a primeira versão
foi elaborada por Euclides Roxo e enviada a Gustavo Capanema em um “documento
manuscrito” (DASSIE, 2001).
Após passar por análises de pessoas como o Oscar de Araújo Fonseca, coronel
do Colégio Militar, a proposta de matemática sofreu alterações em sua redação, e sua
escrita final foi expedida pela Portaria ministerial nº 177, de 16 de março de 19437.
Segue parte dessa Portaria Ministerial8:
PROGRAMA DE MATEMÁTICA DO CURSO CLÁSSICO
Primeira série
ARITMÉTICA TEÓRICA
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
Segunda Série
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
TRIGONOMETRIA
Terceira Série
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
GEOMETRIA ANALÍTICA
PROGRAMA DE MATEMÁTICA DO CURSO CIENTÍFICO
Primeira Série
ARITMÉTICA TEÓRICA
7 Publicada em Diário Oficial no dia 18 de março de 1943, páginas 18 e 19, seção 1; Disponível em:
<http://www.jusbrasil.com.br/diarios/2211640/pg-18-secao-1-diario-oficial-da-uniao-dou-de-18-03-
1943>. 8 A íntegra dessa Portaria Ministerial encontra-se no Anexo II, página 117.
44
Unidade I – As operações aritméticas fundamentais: 1 – Teoria da adição, da
subtração, da multiplicação e da divisão, da potenciação e da radiciação de
inteiros. 2 – Sistemas de numeração.
Unidade II – A divisibilidade numérica: 1 – Teoremas gerais sobre
divisibilidade. 2 – Caracteres de divisibilidade. 3 – Teorias do m.d.c. e do
m.m.c.. 4 – Teoria dos números primos; aplicações.
Unidade III – Os números fracionários: 1 – Teoria das operações aritméticas
sobre números fracionários. 2 – Noções sobre cálculo numérico aproximado.
Erros. Operações abreviadas.
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
Segunda Série
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
TRIGONOMETRIA
Terceira Série
ÁLGEBRA
GEOMETRIA
GEOMETRIA ANALÍTICA. (BRASIL, 1943, s/p).
Como pudemos verificar, nas disposições legais da reforma Capanema
referentes à Matemática, também privilegiou a parte referente aos números na sua
representação decimal, na primeira série do curso científico.
2.2.2. A Portaria de 1951.
Os programas de Ensino Secundário, após a reforma Capanema, sofreram
alterações no ano de 1951, os quais foram regulamentados pela Portaria Ministerial nº
966, de 2 de outubro do mesmo ano, o qual foi publicado em Diário Oficial da União
(DOU) no dia 22 de fevereiro de 1952, sob a responsabilidade do Ministro da Educação
Ernesto Simões da Silva Freitas Filho. Tal legislação apresentava os conteúdos
essências a serem ministrados no Curso Ginasial, ou seja, era indicava um Programa
Mínimo.
Os programas de Matemática ficavam sob a responsabilidade dos professores
do CPII, tal legislação permitia que cada estado desenvolvesse seus planos, adequando-
o às suas particularidades.
Segundo Marques (2005) a revisão e simplificação, que se iniciaram no ano de
1950, dos programas de matemática eram justificados pelo fato de que o ensino estava
se popularizando, além do aumento do número de alunos matriculados nos cursos
secundários, o que seriam obstáculos para o cumprimento dos conteúdos estabelecidos
pela legislação vigente.
45
O Ministro Simões Filho justifica-se quanto a simplificação dos novos
programas em entrevista coletiva à imprensa:
O objetivo fundamental deste trabalho consistiu, pois, em eliminar dos
programas atualmente em vigor os excessos aludidos, reduzindo a
prolixidade dos conhecimentos alinhados na estruturação das diversas
disciplinas, que tornava penosa a tarefa didática. Ao mesmo tempo, verifica-
se o flagrante desajustamento desses programas com o nível de assimilação
da população escolar, cujas faculdades intelectuais, ainda mal desabrochadas,
não a habilitavam a abranger a enorme soma de deveres e atividades de
aprendizagem oferecidas ao seu conhecimento.
Com efeito, a simples análise desses aspectos tornava evidente a necessidade
de serem os programas vigentes imediatamente revistos, para uma
simplificação mais adequada ao desenvolvimento subjetivo dos alunos e de
forma a comportar certa plasticidade, a fim de ajustar-se às diferenciações
regionais a às conveniências do melhor rendimento do ensino ministrado
pelos docentes (INEP, 1952, p.515 apud MARQUES, 2005, p.52).
Para Marques (2005) o termo ‘Programa Mínimo’, utilizado por Simões Filho
revela que sua intenção era estabelecer um limite inferior para que todas as instituições
de ensinos estivessem submetidas e em condições de realizar.
Por intermédio da portaria nº 456, de 27 de fevereiro de 1951, foram criadas
uma comissão para cada disciplina, cada uma dessas comissões eram compostas por um
professor da Faculdade Nacional de Filosofia, um professor do CPII, um professor do
Instituto de Educação do Distrito Federal e um professor do Sindicato dos professores
particulares. Durante este ano os programas de todas as disciplinas foram idealizados
pelas respectivas comissões, obtendo um programa mínimo a ser executados nas
escolas.
Como apontado por Marques (2005) os novos programas de Matemática do
Ensino Secundário eram apresentados de forma acentuadamente simples, de acordo com
a fala do Ministro da Educação em sua entrevista, além do favorecimento de um ensino
educativo à um que seja informativo e superficial.
Em 2 de outubro de 1951, a Portaria Ministerial nº 966 foi aprovada pelo
Ministro da Educação e Saúde Simões Filho. Segundo Marques (2005) a Portaria de
1951 pressupõe instruções metodológicas que acompanhavam os novos programas,
sendo que sua elaboração ficou aos cuidados da Congregação do CPII num prazo
máximo de trinta dias para o Ministro da Educação.
O ideário de realização de um programa mínimo está baseado, segundo
Marques (2005), não somente no fato da diminuição dos conteúdos, mas na liberdade
que cada estado teria para elaborar seu plano em concordância com o programa mínimo
sem se esquecer de suas especificidades. Porém os estados que não tivessem planos de
ensino, obedeceriam ao executado no CPII. Portanto, o programa mínimo é uma
referência oficial e cada estado terá a autonomia de elaborar seus próprios planos,
porém sem a obrigação de fazê-lo. (MARQUES, 2005 p.55)
46
Os objetivos da reforma Simões Filho para o ensino secundário de Matemática
foram:
Ressaltar os conteúdos matemáticos com ênfase nos valores culturais
produzidos por seu ensino, sua importância no campo profissional e no
aprimoramento das faculdades mentais.
Desenvolver nos alunos suas capacidades intelectivas para que ao
término da escolarização secundária eles estejam aptos para: agir de maneira
coesa, criticar, intuir, aprimorar o raciocínio e compreender para criar.
Utilizar o ensino da Matemática para desenvolver a imaginação dos
estudantes e o seu senso estético.
Conduzir gradativamente os alunos para o desenvolvimento de sua
dedução, da qual fará pleno uso nas demonstrações. (BRASIL, 1951, s/p)
A reforma Simões Filho orienta os professores de matemática que estimulem a
participação dos alunos, os quais devem interagir durante as atividades nas aulas,
procurando ensinar os conteúdos de forma a motivar os educandos.
Impõe-se, assim, uma solicitação constante do aluno, que não poderá ser
transformado em um mero receptor passivo de conhecimentos. O estudo de
cada assunto deverá ser ilustrado com aplicações e exemplos que lhes
despertem a atenção e o interesse. (BRASIL, 1951, p. 26).
Tais orientações ressaltam que o ensino da Matemática tenha início com a
ênfase nos procedimentos práticos e intuitivos, despertando no aluno, gradualmente, a
necessidade de verificação e validação de proposições. Tal reforma preocupa-se ainda
com os significados dos termos apresentados pelos professores e com o uso excessivo
de exercícios de memorização, de definições e demonstrações complexas:
Dever-se-á dar especial atenção principalmente no curso ginasial, ao exato
significado dos termos empregados, fugindo-se sempre, da prática de simples
memorização, que causa a enfastia; do uso abusivo de definições, em
particular de definições descritivas, o mais das vezes viciosas; e, ainda, do
recurso a demonstrações longas e pesadas que, ao invés de satisfazerem as
necessidades lógicas que começam a ser despertadas, as embotam e atrofiam.
O exercício e o exemplo deverão acompanhar a explanação da matéria,
entremeando-se com a sua exposição. E, para os mesmos, necessário se torna
solicitar, constantemente, a iniciativa do aluno.
O que importa não é ensinar muito, mas ensinar bem, com orientação
adequada, evitando fatos e problemas puramente especulativos. (BRASIL,
1951, p.26).
As orientações metodológicas apresentam, ainda, indicações para os
professores que deveriam considerar os alunos como o centro da aprendizagem, sendo
que sua capacidade não poderia ser definida sua capacidade pela disciplina que lhes fora
ensinada, mas sim pelo conjunto dos procedimentos que visam aperfeiçoar sua
aprendizagem. Sendo assim, os professores deveriam, em cada série, identificar as
modificações a serem realizadas nos conteúdos dos programas de acordo no
desempenho real e no comportamento dos alunos.
47
Aponta ainda, que os professores não devem deixar de lado a formação da
“personalidade integral do adolescente, preparando-o para a vida prática; fazer dêle um
cidadão útil a si mesmo, à família e à Pátria.” (DOU, 1952, p.65). Prossegue
assinalando que as qualidades devem ser trabalhadas nas aulas, além da inteligência e
erudição, pois deve “convencê-lo de que tôda mentira é uma covardia, tôda ingratidão
uma ignomínia, e tôda desonestidade uma torpeza.” (DOU, 1952, p.65), além de
estimular a pesquisa, a análise, a imaginação a inventiva, a memória, o raciocínio e o
julgamento. Em seguida inicia a apresentação dos planos de desenvolvimento dos
programas mínimos do ensino secundário de Português, Francês, Inglês, espanhol,
Latim, Grego, Geografia Geral e do Brasil, Matemática, Desenho, Física, Química,
Filosofia, História Geral e do Brasil e Economia Doméstica.
Apresentaremos a seguir um resumo do programa de Matemática, o qual foi
publicado no DOU do dia 22 de fevereiro de 19529:
1º ciclo
1ª série
I – Números inteiros; operações fundamentais; números relativos.
II – Divisibilidade aritmética; números primos.
III – Números fracionários.
1. Frações. Fração ordinária e fração decimal. Comparação de frações;
simplificação; redução ao mesmo denominador. Operações com frações
ordinárias.
2. Frações decimais; números decimais. Propriedades dos números
decimais; operações. Conversão de fração ordinária em número decimal e
vice-versa. Número decimal periódico.
IV – Sistema legal de unidades de medir; unidades e medidas usuais.
2ª série
I – Potências e raízes; expressões irracionais.
1. Potência de um número; quadrado e cubo. Operações com potências;
potências de mesma base e potências semelhantes. Expoente zero; expoente
negativo. Potência das frações. Potência de um número decimal.
2. Expressão do quadrado da soma indicada de dois números e do
produto da soma indicada pela diferença indicada de dois números;
interpretação geométrica. Diferença entre os quadrados de dois números
inteiros consecutivos.
3. Raiz quadrada. Regra prática para a extração da raiz quadrada dos
números inteiros. Limite do resto na extração da raiz quadrada. Prova. Raiz
quadrada de um produto. Aproximação decimal no cálculo da raiz quadrada.
Raiz quadrada dos números decimais. Raiz quadrada das frações.
4. Raqiz cúbica. Regra prática para a extração da raiz cpubica dos
números inteiros. Prova. Raiz cúbica de um produto. Aproximação decimal
no cálculo da raiz cúbica. Raiz cúbica de um número decimal. Raiz cúbica
das frações.
5. Grandezas comensuráveis e grandezas incomensuráveis. Números
racionais e números irracionais. Radicais. Valor aritmético de um radical.
Transformação do índice e do expoente; redução dos radicais ao mesmo
índice; comparação de radicais; redução de um mesmo radical à expressão
9 A íntegra do programa de Matemática da Portaria de 1951 encontra-se no Anexo III, página 121.
48
mais simples. Operações com radicais. Potenciação e radiciação de potências;
expoentes fracionários. Exemplos simples de racionalização de
denominadores.
II – Cálculo literal; polinômios.
III – Binômio Linear; equações e inequações do 1º grau com uma incógnita;
sistemas lineares com duas incógnitas. [Grifos nossos] (DOU, 1952, p.71-
73).
Como apresentado os números em sua representação decimal, segundo a
Portaria de 1951, eram trabalhados somente nas 1ª e 2ª séries do 1º ciclo.
2.3. O Movimento da Matemática Moderna
A Reforma Capanema vigorou até 1961, quando foi aprovada a Lei de
Diretrizes e Bases da Educação Nacional, porém nos anos de 1960 e 1970 chega ao
Brasil o Movimento da Matemática Moderna – MMM como aponta Soares (2008).
Como dito por Claras e Pinto (2008), do final do século XIX até o final da I
Guerra Mundial, em 1914, iniciaram as primeiras discussões internacionais referentes às
mudanças no currículo de matemática das escolas secundárias observadas na Europa e
Estados Unidos, com o intuito de discutir se o ensino desta matéria deveria se
concentrar na formação técnica ou humanística, os educadores dessas regiões se
reuniram para discutir esses e outros temas referentes à internacionalização da
Matemática, pois, segundo Duarte (2002) “a Matemática achava-se então,
internacionalizada”, promoveram, assim o I Congresso Internacional de Matemática em
1897 em Zurique, foi em 1908, no IV Congresso realizado em Roma, que foi fundada a
associação Internationale Mathematische Unterrichskomission (IMUK), neste evento o
Brasil participou como país convidado, em 1954 o IMUK passou a ser nomeada
International Comission on Mathematical Instruction (ICMI). Baseavam a proposta da
‘nova Matemática’ na possibilidade de mensurar e quantificar regulada no rigor
científico, o que permitia explicar, comprovar e generalizar resultados de experiências,
contestando a forma platônica e abstrata como era apresentada a disciplina Matemática
até então.
Não houve Congresso durante todo o período da I Guerra Mundial como dito
por Duarte (2002), que durou até meados da década de 1920, por envolvimento de
alguns países participantes no conflito. Após esse período de congelamento os
encontros foram retomados e as discussões intensificaram-se nas áreas da
contextualização da Matemática escolar, da menor complexidade e maior acessibilidade
por parte dos alunos. Com esses focos, entre os anos de 1930 e 1950, período da II
Guerra Mundial, o grupo de matemáticos, em sua maioria franceses, chamado de
49
Nicolas Bourbaki, ou simplesmente, Bourbaki10
, publicaram seus trabalhos que tinham
como eixo norteador a Teoria dos Conjuntos de 1984 de George Cantor, pautados no
rigor científico, fundamentados em suas pesquisas, os quais serviram de referência para
as propostas do MMM.
Imagem 06 - Grupo Bourbaki
Fonte: http://www.solucaomatematica.com.br/wp-content/uploads/2013/01/bourbakis.jpg
O MMM foi trazido para o Brasil em meados da década de 1950 que, ao
contrário das Reformas Capanema e Francisco Campos, não foram introduzidas por
nenhum decreto, como apresentado por Soares (2008), propondo aos representantes do
movimento que, em seus grupos, discutissem propostas e formas de implantação nas
escolas.
Conforme Claras e Pinto (2008), nosso país passava por um período de
mudanças, passava de uma economia com base agropecuária para uma base industrial,
sob um regime de ditadura, com uma política voltada para modernização e
desenvolvimento e a educação precisava de reestruturações que atendessem a tais
mudanças.
No ano de 1955, houve no Brasil o I Congresso Nacional de Ensino de
Matemática no Curso Secundário, que aconteceu na Bahia e, como apontado por Soares
(2008) teve o apoio da Fundação Nacional para o Desenvolvimento da Ciência e do
Serviço Nacional de Aprendizagem Comercial, teve a participação dos professores de
10
O nascimento do grupo Bourbaki remonta a 1934. Na Universidade de Strasburgo, André Weil e
Henri Cartan estavam encarregados de ministrar o curso de Cálculo Diferencial e Integral, baseado no
“Trate d’Analyse” de Edouard Gousat, considerado ultrapassado para as conquistas matemáticas da
época, parecendo-lhes cada vez mais inadequado para o ensino. Bourbaki nasce, nasce, pois, de
preocupações pedagógicas. A lista dos primeiros membros do grupo Bourbaki variava de um autor para
outro, de acordo, de acordo com os critérios assegurados (assiduidade, longevidade...) Henri Cartan,
Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, Jean Leray,
Szolem Mandelbrojt, René de Possel e André Weil integram o grupo. (DUARTE, 2007).
50
Rio de Janeiro, São Paulo, Rio Grande do Sul, Espírito Santo Pernambuco e Rio Grande
do Norte, foi discutida a reorganização do ensino, o aumento da carga horária semanal
para a disciplina, foi concluída ainda, a aprovação de um programa de ensino, porém
baseados em reformas anteriores,como dito por Soares (2008), além de estabelecer
conexões da Matemática com as outras ciências, porém o termo ‘Matemática Moderna’
não foi utilizado por nenhum dos participantes, como pode ser visto na palestra de
abertura proferida pela professora Martha Maria de Souza Dantas:
Quanto aos programas, devemos fugir, por certo, das reformas que
deformam. Uma reforma não se faz num dia: reformar o que está mal feito,
sem estudar-lhe realmente a estrutura e sem conhecer as nossas necessidades
reais, seria talvez piorar. Que se processem, no Brasil, reformas realmente
baseadas no resultado da pesquisa das nossas condições, para que se possam
alcançar, com segurança, os objetivos delineados. Deixemos de copiar o
estrangeiro porque não lhe podemos copiar o clima, a raça, as condições
sociais, a formação. Sintamos melhor as nossas necessidades, não trancamos
em gabinetes de trabalho, como técnicos sem alma, e, sim, nesse contato
humano que deve existir entre mestre e aluno. Demos vida ao ensino.
(SOARES, 2008, p. 737, apud Congresso Nacional de ensino da Matemática
no Curso Secundário, 1957, p. 263).
As recomendações quanto aos métodos de ensino que foram apresentadas nesse
Congresso apontavam que deveria evitar um estudo excessivamente abstrato, sendo que
os professores deveriam, ainda utilizar, como mostrado por Soares (2008), com
frequência o método heurístico, sendo ele um guia e o aluno um descobridor.
Este congresso contou com a presença do professor Osvaldo Sangiorgi, Manoel
Jairo, Omar Catunda, Ana Averbuch, Marta Dantas entre outros, como apontado por
Soares (2008).
O II Congresso Nacional de Ensino de Matemática ocorreu em 1957 em Porto
Alegre, contou com a presença de mais de 400 conferencistas, dentre eles estavam os
professores Osvaldo Sangiorgi, Melo e Souza, Benedito Castrucci e Ubiratan
D’Ambrósio, neste encontro, mesmo que discretamente, começaram a citar a
Matemática Moderna, e destinou-se para o ensino secundário.
As propostas desse congresso, segundo Soares (2008) foram:
... estudar as questões relativas à aprendizagem da matemática nos diferentes
níveis de ensino; definir as bases para a elaboração de programas “levando
em conta aspectos científicos e psicológicos” buscando fixar normas para
“uma boa articulação entre os programas dos diversos níveis de ensino”, além
de estudar também a influência da Matemática nas demais disciplinas. [grifo
do autor] (SOARES, 2008, p.738).
O termo “Matemática Moderna” surgiu, como apontado por Soares (2008), por
Ubiratan D’Ambrósio, Osvaldo Sangiorgi, Jorge Emmanuel Ferreira e Martha Maria de
Sousa Dantas. Sendo que D’Ambrósio fez críticas ao ensino tradicional, Sangiorgi
51
diferenciou a Matemática Clássica da Moderna e Martha chamou atenção para a
evolução da matemática e que o ensino deveria acompanhar esta evolução.
O III Congresso Nacional de Ensino de Matemática aconteceu no Rio de
Janeiro em 1959, estiveram presentes mais de 500 professores, como dito por Soares
(2008), entre eles estavam Osvaldo Sangiorgi, Haroldo Lisboa da Cunha, Martha Maria
de Souza Dantas, Ary Quintela, Jairo Bezerra, Martha Blauth Menezes, Anna
Averbuch, Waldecyr C. de Araújo Pereira, Ruy Madsen Barbosa, Elon Lages Lima,
José Carlos de Mello e Souza, Omar Catunda, Leônidas H. B. Hegenberg entre outros,
uma das propostas apresentadas e aprovadas neste congresso foi a criação de um curso
de preparação à Matemática Moderna para os Departamentos de Matemática de todas as
Faculdades de Filosofia do país. O Congresso teve o patrocínio da Campanha de
Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário (CADES).
Segundo Soares (2008) uma decisão tomada nesse Congresso foi apresentar ao
Ministério da Educação e Cultura que não se concedesse mais registro de professor de
Matemática para licenciados em Pedagogia, Ciências Sociais, História Natural e
Química. Os professores Ellon Lages Lima e Omar Catunda propuseram a criação da
Revista de Matemática para o Ensino Médio e:
Para os professores em exercício foi proposto pela professora Martha Maria
de Souza Dantas, e aprovado pelo Congresso, que fosse solicitado aos
Departamentos de Matemática das Faculdades de Filosofia de todo o país a
criação de cursos de preparação à Matemática Moderna, tais como Teoria dos
Números, Lógica Matemática, Teoria dos Conjuntos e Álgebra Moderna,
para professores do Ensino Médio (SOARES, 2008, p. 741).
Segundo Claras e Pinto (2008) e Bonafé (2006) vários grupos de professores
foram formados por todo Brasil, entre eles estão o Grupo de Estudo do Ensino de
Matemática – GEEM, criado em1961, na cidade de São Paulo sob a liderança de
Oswaldo Sangiorgi que realizou um curso nos Estados Unidos, onde conheceu os ideais
e ideias da proposta dos americanos, retornando ao Brasil criou o grupo e contou com o
auxílio do professor George Springer, da Universidade de Kansas, o Núcleo de Estudo e
Difusão do ensino da Matemática – NEDEM, criado em 1963, em Curitiba, Paraná
coordenado pelo professor Osny Dacól e o Grupo de Estudos sobre o Ensino da
Matemática – GEEMPA, de Porto Alegre, coordenado por Esther Pillar Grossi. Tais
grupos ofereciam cursos, aulas demonstrativas, treinamentos e, como o GEEM,
publicações de coleções de livros didáticos de Matemática Moderna. O GEEM foi o
grupo com maior destaque, sendo o grande divulgador do MMM no Brasil. Em 1964
começou-se a discutir sobre o MMM para o ensino primário, tendo como divulgadoras
Lucilia Bechara, Manhucia Libermann e Anna Franchi. Em 1966 inicia a capacitação de
professores, foi neste momento que o grupo torna-se líder do movimento no país. A
partir de 1970 o grupo começou a oferecer cursos com tendências de ensino baseadas
nas ideias de George Papy, Frederique Papy e Zoltan Dienes, além do uso dos Blocos
Lógicos, de Dienes.
52
O IV Congresso Nacional de Ensino de Matemática ocorrido em Belém, no
Pará, em 1962, foi o mais significativo para o MMM no Brasil como apresentado por
Soares (2008), pois tratou da introdução da Matemática Moderna nas escolas, a
presença de participantes ligados ao GEEM contribuiu para essa discussão, ocorreram
aulas demonstrativas com foco no MMM e palestras referentes à introdução do
Movimento nas escolas secundárias. O GEEM apresentou sugestões de abordagens de
assuntos mínimos para um programa baseado no MMM.
As experiências apresentadas neste IV Congresso foram posteriormente
organizadas em uma publicação do IBECC (Instituto Brasileiro de Educação,
Ciência e Cultura) de sob o título Matemática Moderna para o Ensino
Secundário. [grifo do autor] (SOARES, 2008, p. 741).
O V Congresso Nacional de Ensino de Matemática ocorreu em São Paulo, na
cidade de São José dos Campos em 1966, também contou com a presença de
representantes do GEEM, os quais foram os organizadores do Congresso, e teve como
tema a Matemática Moderna na escola secundária, articulações com o ensino primário e
com o ensino universitário, como apontado por Soares (2008) este foi o primeiro que
contou com a presença de estrangeiros, como Marshall Stone da Universidade de
Chicago – Estados Unidos, George Papy da Universidade de Bruxelas – Bélgica, Hector
Merklen da Universidade de Montevidéu – Uruguai e Helmuth Renato Völker da
Universidade de Buenos Aires – Argentina. Neste período o MMM já estava sendo
adotado em escolas de vários estados brasileiros, esse fato ocorreu devido à circulação,
em 1964, de uma coleção de livros do GEEM. Os estudos desse Congresso foram
divididos em três estágios, como apontados por Soares (2008):
... o primeiro discutiu problemas da Teoria dos Conjuntos e de Lógica
Matemática aplicada ao ensino; o segundo, para os já iniciados em
Matemática Moderna, tratou tópicos de Álgebra Moderna e Espaços
Vetoriais; e o terceiro, de problemas de tratamento moderno da Geometria e
Lógica Matemática. (SOARES, 2008, p. 742).
O MMM reavaliou o ensino da Matemática por mais de uma década, mas por
não haver melhora no ensino sua eficácia começou a ser questionada. Um dos críticos
do movimento foi Morris Kline11
, professor da Universidade de Nova York, na obra
intitulada “O fracasso da Matemática Moderna”.
Segundo Bonafé (2006) Kline era contra o MMM desde o início da década de
50, porém:
... apenas em 1973, faz dura crítica ao ensino da Matemática Moderna,
argumentando contra a ênfase dada para abordagens dedutiva e ao ensino da
Teoria dos conjuntos, fazendo uso de grande quantidade de terminologia e
simbolismo. Dando um ar de sofisticação sim, mas sendo inadequado para os
estudantes, pois os isolava da realidade. (BONAFÉ, 2006, p.3).
11
Morris Kline (01/05/1908 – 10/06/1992) professor e historiador matemático norte-americano.
53
Sua fala no Brasil foi aceita, pois os professores já haviam verificado que o
rendimento dos alunos não havia melhorado, sendo o problema no ensino um caráter
social, como apontado por Bonafé (2006).
Os números em sua representação decimal também são trabalhados no MMM
como é mostrado por Duarte (2007):
A COLEÇÃO “MATEMÁTICA MODERNA”
I.1.Matemática Moderna I
O volume “Matemática Moderna I” encontra-se subdividido em sete
capítulos, a saber:
Capítulo I: Conjuntos e relações;
Capítulo II: Número e numeral; sistemas de numeração; bases;
Capítulo III: Operações com números naturais; propriedades
estruturais;
Capítulo IV: Divisibilidade; múltiplos comuns e divisores comuns;
números primos; fatoração;
Capítulo V: Frações;
Capítulo VI: Números decimais;
Capítulo VII: Estudo intuitivo das principais figuras planas e
espaciais; medida de seus comprimentos, áreas e volumes. (DUARTE, 2007,
p. 395).
Assim, pode-se verificar que o autor Osvaldo Sangiorgi dedicou todo o capítulo
VI para tratar dos números decimais.
Constatamos também que, o conteúdo dos números em sua representação
decimal está previsto em todos os programas das reformas apresentadas. Pretendemos,
nesta pesquisa, verificar, em cada um desses períodos de reforma, se os métodos para
trabalhar esse conteúdo indicados nos livros didáticos analisados sofreram alterações.
Para tanto, utilizaremos os livros didáticos que consideramos mais representativos
dessas épocas em que ocorreram tais reformas.
54
CAPÍTULO 3
OS LIVROS DIDÁTICOS NAS REFORMAS
“Os autores de livros didáticos não são
simples expectadores de seu tempo: eles
reivindicam um outro status, o de agente. O
livro didático não é um simples espelho: ele
modifica a realidade para educar as novas
gerações” Alain Choppin, 2004.
Neste capítulo analisamos três livros didáticos, cada um deles tomado como
representante de uma determinada reforma educacional brasileira, quando verificamos
como os números em sua representação decimal são tratados por seus autores.
Primeiramente, analisamos o primeiro volume da obra “Curso de Matemática
Elementar” de autoria de Euclides de Medeiros Guimarães Roxo (1929) que foi adotado
em 1931, em todo o território nacional, uma vez que se encontra em conformidade com
o programa de matemática proposto pela Reforma Francisco Campos. Em seguida,
analisamos a obra “Elementos de Matemática”, de autoria de Jacomo Stávale, publicada
pela primeira vez em 1943, por encontrar-se acordada com o programa de matemática
da Reforma Capanema e também devido ao seu sucesso editorial. A terceira obra
analisada, de autoria de Osvaldo Sangiorgi e intitulada “Matemática – Curso Moderno”
apresenta-se como uma das principais divulgadoras do Movimento da Matemática
Moderna.
3.1. O livro de Euclides Roxo na reforma Francisco Campos
Antes de nos dedicarmos ao livro didático escrito por Euclides Roxo,
apresentamos, a seguir, uma breve história da vida desse educador, enfatizando aspectos
de sua vida acadêmica.
55
3.1.1. Um pouco da vida acadêmica de Euclides Roxo
Euclides de Medeiros Guimarães Roxo nasceu em Aracajú, Sergipe, no dia 10
do mês de dezembro no ano de 1890. Fez parte da história do Colégio Pedro II (CPII),
tendo sido aluno (1904), professor substituto de Aritmética (1915), catedrático de
Matemática (1919) em substituição à Eugênio de Barros Raja Gabaglia, diretor do
Externato (1925) e diretor do Internato (1930). Roxo tornou-se membro do conselho
diretor da Associação Brasileira de Educação (ABE) em 1929.
Imagem 07 - Euclides de Medeiros Guimarães Roxo
Fonte: http://www.rioeduca.net/blogViews.php?id=1129
Publicou, em 1923, seu primeiro livro de circulação nacional com o título de
“Lições de Arithmetica”, em 1929 lança o primeiro volume da coleção de livros
didáticos “Curso de Matemática Elementar”, que veio em consonância com as
propostas renovadoras do ensino de Matemática, incorporando a Álgebra, Geometria e
Aritmética. Por ter atuado como Secretário do Interior do governo do estado de Minas
Gerais, onde elaborou reformas entre os anos de 1926 e 1929, foi convidado a
incorporar uma comissão para elaborar o programa de Matemática na Reforma
Francisco Campos em 1930, já em 1937 foi designado diretor da Divisão do Ensino
secundário, neste mesmo ano publica a obra “A Matemática na educação secundária”,
mostrando as influências do movimento de internacionalização do ensino da
56
Matemática em suas propostas, em 1942 participou ativamente na elaboração nos
programas de Matemática na Reforma Gustavo Capanema.
3.1.2. O Curso de Mathematica Elementar
“O professor Euclides Roxo foi o
idealizador da criação da disciplina
Matemática, resultado da fusão das
disciplinas Aritmética, Álgebra e Geometria.
A nova disciplina nasce no interior do
estabelecimento – padrão para o ensino
secundário brasileiro – o Colégio Pedro II –
em 1929. Nesse mesmo ano, Roxo faz
publicar o primeiro volume do seu Curso de
Mathematica Elementar” Revista Don
Domênico, 2012.
Iniciaremos nossa análise com o livro de Euclides Roxo que foi lançado no ano
de 1929, o ‘Curso de Mathematica Elementar’. Embora a Reforma Francisco Campos
tenha sido aprovada para ser aplicada em todo território nacional em 1931, o Colégio
Pedro II, sob a direção de Euclides Roxo já havia iniciado a implantação das novas
recomendações em conformidade com Movimento de Internacionalização do ensino da
Matemática. Tal livro foi destinado aos alunos da
primeira série secundária.
Esta obra foi escolhida pois, segundo
Alvarez e Pires (2000), se caracterizou como
sendo “um manual inovador, com a finalidade de
apresentar uma nova didática (...) tinha como
diferencial não se preocupar somente com as
aprovações nos exames, mas sim fazer com que o
aluno ampliasse sua cultura” (p.6), baseados nos
ensinamentos matemáticos, deixando se lado a
preocupação em somente decorar e memorizar
regras e métodos de resolução, sendo a intenção
de Roxo a viabilidade das ideias da reforma.
Imagem 08 - Curso de Mathematica Elementar
Fonte: ROXO, 1929
57
Não podemos tecer muitas considerações relativas à materialidade da referida
obra de Euclides Roxo, cujos exemplares são escassos e que tivemos acesso apenas a
uma cópia do primeiro volume. Assim, as condições materiais da obra de Euclides Roxo
não são evidentes, dada a raridade desse manual. O que se pode inferir é que, a capa foi
impressa somente em uma cor, com tinta preta, utilizando poucos recursos visuais,
devido às condições de impressão daquele período. Traz evidenciado o nome do autor e
seus títulos acadêmicos, quais sejam, o de engenheiro civil, o de bacharel laureado pelo
Colégio Pedro II e o de professor catedrático em Matemática por esse mesmo Colégio.
Note-se que, antes da Reforma Francisco Campos, o professor Euclides Roxo era
professor catedrático em Aritmética e, a partir da Reforma e assinando o primeiro livro
didático escrito em conformidade com as recomendações da mesma, o autor já assina
como professor catedrático de Matemática.
Logo após a capa, encontra-se o sumário, denominado como Índice. Nele,
podemos observar que a maior parte do assunto que nos interessa para este estudo
encontra-se a partir da página 331, sob o
título de “fracções decimais”. Note-se
também que, o exemplar que examinamos
é o de número 2218, impresso na oficina
gráfica da Livraria Francisco Alves, uma
das principais editoras da época.
Cabe observar que, segundo Dassie (2011)
a estrutura editorial dessa obra é
semelhante àquelas anteriores à Reforma
Francisco Campos. Informa que a seção
de exercícios do livro de Euclides Roxo foi
incluída ao longo dos capítulos, não mais
ao final do livro. Ainda, o autor incluiu
diversas imagens na maioria dos capítulos,
possivelmente com a intenção de favorecer
a compreensão dos conceitos trabalhados.
Imagem 09 - Índice do livro Curso de Mathemática Elementar Fonte: ROXO, 1929.
58
O prefácio conta com trechos retirados da conferência realizada por Henri
Poincaré em 1904 no Museu Pedagógico de Paris, com o título “Les définitions
générales em mathématiques”, o qual não foram traduzidos. Outro matemático citado
por Euclides Roxo no prefácio foi Felix Klein e as duas tendências Matemáticas citadas
pelo mesmo, as quais são: lógica e analítica – a divisão da ciência é bem definida e
intuitiva, experimental e sintética – compreende a ciência como um todo. Roxo
acrescenta que a Matemática precisa desenvolver a segunda tendência.
Roxo cita ainda que a nova reforma tentou unir três disposições do movimento
de internacionalização do ensino: metodologia – ensino voltado para o ser humano;
seleção da doutrina – importância da Matemática relacionada com as outras disciplinas
e finalidade do ensino – o ensino da Matemática deve estar submisso à finalidade da
escola. Completa ainda que as três se complementam, dependendo uma da outra,
criando características comuns, as quais são: a fusão dos ramos da Matemática
(Aritmética, Álgebra e Geometria), introdução precoce da ideia de função, abandono do
rigor da Geometria euclidiana.
Na última página do prefácio Roxo diz que, apesar da hostilidade de alguns
matemáticos brasileiros em aceitar as mudanças no ensino, por comodismo e apego às
tradições, pois mudanças exige adaptação e trabalho nas aulas. Encerra agradecendo aos
professores brasileiros que foram despertados “pelas questões tão delicadas da
pedagogia da Mathematica e fornecer-lhes estimulo para que se empenhem na
elaboração de compêndios mais dignos, do que este dos ideaes de Klein e Poincaré.”
(ROXO, 1929, p. 13).
Os primeiros capítulos do livro são destinados à Geometria enquanto os
capítulos seguintes tratam das quatro operações fundamentais, porém é o capítulo XVIII
que leva o título de “Fracções decimaes”, Euclides Roxo inicia este capítulo com uma
explanação sobre o sistema monetário, não somente o brasileiro, o qual, diz ser de um
valor muito pequeno e, por isso os “inconvenientes que resultam do facto de não haver
múltiplos dessa moeda” [Grifo do autor](ROXO, 1929, p. 331), pois para expressar
quantias, mesmo não sendo muito elevadas, o número será muito grande. Explica ainda
que a moeda inglesa e a americana não apresenta esse inconveniente. Faz comparações
entre os números complexos (tempo e comprimento) os quais se utilizam de um mesmo
sistema de medidas.
59
Em seguida Roxo apresenta a escala de notação e exemplifica com a moeda
inglesa como vemos a seguir:
Imagem 10 - Exemplo de escala de notação Fonte: ROXO, 1929, p. 332.
É a partir deste ponto que Roxo inicia sua apresentação dos números decimais,
falando sobre ordem de um número, princípio de agrupamento e dá como exemplo o
número 538, sendo que pode ser representado da seguinte maneira 5x10x10+3x10+8,
fazendo, ainda, analogia com o sistema monetário inglês citado duas páginas antes,
explica o nome das unidades de cada uma das ordens dos números, no caso do exemplo
apresentado o 5 representava a centena, o 3 a dezena e o 8 a unidade, citando que: “todo
algarismo escripto à esquerda de outro representa unidades decuplas das que são
representadas por esse outro” [Grifo do autor](ROXO, 1929, p. 333)
Em seguida mostra que os números do sistema decimal podem ser escritos na
forma de potências descendentes de dez dando o seguinte exemplo: 7345 =
7x103+3x10
2+4x10+5.
Esmiuçando as peculiaridades do sistema decimal Roxo mostra as subdivisões
da unidade com a seguinte tabela:
Imagem 11 - Subdivisão da unidade
Fonte: ROXO, 1929, p. 333.
60
Roxo mostra duas maneiras de se escrever este número, uma seria colocar a
letra u sobre o número que representa a unidade, logo o número do exemplo
apresentado acima se apresentaria da seguinte maneira:
u
7345826
Cita que existe, ainda outras maneiras para representar este tipo de número,
porém, a notação usualmente adotada seria a utilização de uma vírgula à direita do
algarismo das unidades, lembra ainda, que os ingleses e americanos usam o ponto ao
invés da vírgula.
O próximo subitem trabalhado por Roxo seria o das frações decimais, aqui ele
define “fracção decimal como sendo qualquer fracção cujo denominador seja uma
potência de 10. Assim, 0,5008 é uma maneira especial de representar .” [Grifo do
autor] (ROXO, 1929, p.335).
Em seguida é apresentada a comparação dos números decimais, seguindo por
valores decimais aproximados, só então que aparecem quatro exercícios, que são:
Imagem 12 - Primeira lista de exercícios
Fonte: ROXO, 1929, p. 337.
Logo em seguida é trabalhada a adição e subtração de decimais, aqui Roxo
explica que os números devem ser escritos um sobre os outros e que as vírgulas de cada
61
um dos números devem estar em uma coluna vertical, no restante, trabalha-se como nos
números naturais, o primeiro exemplo é a seguinte soma:
Imagem 13 - Exemplo de adição com decimais.
Fonte: ROXO, 1929, p. 337.
Posteriormente é apresentado um exemplo de subtração nos mesmos moldes
mostrado acima, em seguida Roxo define multiplicação de decimais, primeiramente
com a escrita na forma de fração decimal e cálculo do produto e, posteriormente
apresenta a regra: “para multiplicar dois números decimaes, faz-se abstracção das
vírgulas, effectua-se a operação como se tratasse de números inteiros e no produto
separam-se tantam decimaes, quantas há em ambos os factores.” (ROXO, 1929, p.338).
Na sequência é apresentada quatro observações, a primeira trata-se da
multiplicação de um número inteiro por um número decimal, a segunda fala da
multiplicação de um decimal com uma potência de 10, a terceira observação fala da
multiplicação de vários números decimais e a quarta e última observação trata da
potenciação de um número decimal, terminando aqui o trabalho com a multiplicação
com os números decimais.
Inicia-se, então a divisão, o primeiro caso trabalhado é quando temos um
divisor inteiro, sendo exemplificado pelas divisões de 538,48 por 12; 0,003724 por 7 e
4,383 por 900. Em seguida é apresentado divisões com quocientes aproximados e os
exemplos trabalhados são os seguintes 371 por 28 e 253 por 176, no segundo caso cita a
aproximação por falta ou por excesso. Apresenta ainda outros exemplos que recaem em
uma repetição infinita, nunca se chegando ao resto zero.
O segundo caso da divisão que é apresentado é com o divisor decimal, inicia
explicando que deve-se multiplicar o divisor pela potência de 10 que for conveniente
para que o mesmo resulte em um inteiro. Assim como no caso anterior apresenta vários
62
exemplos como dividir 56 por 0,8 ou 0,068 por 0,17, após alguns exemplos é
apresentada uma lista com 17 exercícios, os quais seguem:
Imagem 14 - Segunda lista de exercícios – I Fonte: ROXO, 1929, p. 344
Imagem 15 - Segunda lista de exercícios - II
Fonte: ROXO, 1929, p. 344.
Imagem 16 - Segunda lista de exercícios - III
Fonte: ROXO, 1929, p. 344
63
Imagem 17 - Segunda lista de exercícios - IV
Fonte: ROXO, 1929, p. 344
Imagem 18 - Segunda lista de exercícios - V
Fonte: ROXO, 1929, p. 345
Imagem 19 - Segunda lista de exercícios - VI
Fonte: ROXO, 1929, p. 345
64
Imagem 20 - Segunda lista de exercícios - VII
Fonte: ROXO, 1929, p. 346.
Em seguida Roxo apresenta a transformação ou conversão de uma fração
decimal em fração ordinária explicando que esse tipo de “problema não offerece
difficuldade, pois basta escrever explicitamente o denominador, isto é, passar da
notação da vírgula, própria das fracçãos decimaes, para a notação comum das fracções.”
(ROXO, 1929, p.346). Em seguida apresenta alguns exemplos e outros, ainda que
podem ser, segundo ROXO (1929), “facilmente retidos de memória”, como o caso do
número 0,5= , o que vai de acordo com CHOPPIN (2004), sobre a memorização do
conhecimento.
Posteriormente é apresentada a conversão de uma fração ordinária em decimal,
explicando que uma fração ordinária é o quociente entre o numerador e denominador
tendo, então que realizar a divisão entre os respectivos números que exprimem a fração
para escrevê-la na forma decimal. Roxo apresenta três exemplos, nos dois primeiros
exemplos (213:10000 e 127:128) temos divisões exatas, porém no último a divisão é
ilimitada (17:33), ou seja, o quociente é uma dízima periódica. Em seguida apresenta
outro exemplo o qual a divisão (23:36) também é ilimitada mas o quociente não é
periódico ou irregular.
Na sequência apresenta quatro maneiras de se representar uma dízima
periódica, a primeira seria escrevendo duas vezes o período seguido de reticências, ou
seja,
= 0,6388...
65
A segunda maneira seria escrever o período apenas uma vez entre colchetes,
que ficaria:
= 0,63[8]
A terceira maneira apresentada seria acrescentar um traço acima do período:
= 0,638
E a última maneira apresentada por Roxo seria sobrepor um ponto no período:
= 0,638
Em seguida Roxo exibe como obter frações equivalentes, trabalhando com a
fração sete vinte avos e a multiplicando numerador e denominador por dois, três, quatro,
cinco e seis, mostrando assim, que as frações obtidas a partir da fração dada são todas
equivalentes.
Posteriormente é mostrado como escrever uma fração ordinária em fração
decimal e, por consequência, em decimal, com a apresentação de exemplos mostrando
como escrever os denominadores em potências de 10. Roxo explica ainda que se a
fração ordinária após simplificação, ainda contiver fatores primos diferentes de 2 e 5, a
fração não poderá ser escrita em sua forma decimal, mas sim em uma dízima periódica
simples ou composta.
O capítulo é encerrado com a apresentação de quatro exercícios, que seguem:
Imagem 21 - Terceira lista de exercícios - I Fonte: ROXO, 1929, p. 350.
66
Imagem 22 - Terceira lista de exercícios - II
Fonte: ROXO, 1929, p. 350
Como se verifica, Euclides Roxo termina o capítulo com exercícios que
trabalham a conversão de uma fração ordinária em decimal e vice-versa, além de
trabalho com dízimas periódicas.
3.2. O livro de Jacomo Stávale na reforma Capanema
“Com respeito aos livros didáticos de
Matemática, desde a criação dessa
disciplina, através da Reforma Francisco
Campos, a Nacional teve autores de grande
sucesso na elaboração desses textos. Uma
referência desse período foi o professor
Jacomo Stávale” Valente, 2007.
Jacomo Stávale12
nasceu em 1883, no Rio de Janeiro e formou-se na Escola
Normal. Seus livros de matemática para o ginásio tiveram mais de 150 edições. Faleceu
12
Encontramos poucas informações a respeito da vida acadêmica de Jacomo Stávale. Por essa
razão não vimos necessidade de apresentar um tópico específico sobre esse assunto, como foi
realizado com os autores dos outros livros didáticos analisados.
67
no ano de 1956, quando suas obras continuavam ainda com uma tiragem elevada
(VALENTE, 2007).
3.2.1. Elementos de Matemática
A obra pertence à Biblioteca Pedagógica Brasileira e foi publicada pela Companhia
Editora Nacional. Suas edições abrangem os anos de 1943 a 1951, como apresentado por
Alves (2011).
Embora a edição utilizada seja de 1956, a primeira edição dos “Elementos de
Matemática” de autoria de Jacomo Stávale foi publicada no ano de 1943, estando de
acordo com a Reforma Capanema (Valente, 2007).
O referido livro atende às demandas da reforma Capanema como dito por Silva
e Silva (2012), pois “foi uma das primeiras editadas no Brasil, a qual atendia a nova
proposta para o ensino de Matemática concebido por Euclides Roxo no Colégio Pedro II
e também a proposta da Reforma Capanema que fixava o curso ginasial em quatro anos
de duração, (...)” (p.10-11).
Imagem 23 - Capa do livro Elementos de Matemática
Fonte: STÁVALE, 1956.
68
A capa do livro foi impressa em papel colorido com apenas uma cor, apresenta
dimensões 19,5 x 14 cm. As ilustrações contidas no livro eram monocromáticas, assim
como a capa, o que corrobora com Alves (2011), quando diz que “(...) as ilustrações
eram monocromáticas e tinham a função de ilustrar um conceito apresentado, por
exemplo, para ilustrar a definição de corpo geométrico, o autor utiliza de elementos
presentes no cotidiano dos alunos” (p.6). O volume analisado é composto de 248
páginas.
Na página de rosto consta um quadro com a informação que o uso do livro é
autorizado pelo Ministério de Educação e Saúde segundo o seguinte número 1171.
Na página seguinte consta informações sobre outras obras publicadas pelo
autor, além do número do exemplar, no caso o número do exemplar utilizado é 121642,
e logo abaixo aparece a assinatura do autor.
Imagem 24 - Assinatura de Jacomo Stávale
Fonte: STÁVALE, 1956
O prefácio se inicia com a interpretação de Julio Tannery, um matemático
francês, sobre frações decimais, o que para nosso trabalho é muito interessante, pois
mostra a importância do tema desde então, em seu livro Lições de Aritmética do ano de
1926: “Appelons mètre l’unité de longuer, et ne craignons pas d’employer les mots
décimètre, centimètre, milimètre, avec la signification à laquelle le lecteur est
certainement habitué” [grifo do autor] (STÁVALE, 1943). Justifica esta opção pelo fato
de o livro ser destinado à alunos da primeira série do curso ginasial, os quais já
passaram pelo Exame de Admissão13
tendo, assim boas noções de frações e sistemas
métricos.
13
Exame de Admissão ao ginásio: instituídos em 1931, tratava-se de um exame que os alunos egressos do
Ensino Primário eram submetidos a fim de poderem cursar as escolas públicas, que eram muito
concorridas. Foram extintos em 1971, pela Lei N.º 4024, de 20 de dezembro de 1961.
69
Em seguida Stávale (1956) reafirma que seu livro não está de total acordo com
a portaria ministerial nº 170, de 11 de julho de 1942, pois não abdicou de suas ideias
reveladas no prefácio da segunda edição de seu livro Primeiro Ano de Matemática, do
ano de 1931, mas aqui tenta conciliar os dois pontos de vista.
Continua dizendo que sabe a frequência de certos erros cometidos por alunos,
como por exemplo, a simplificação de frações, para isso Stávale (1956) diz que é
necessário o conhecimento de teoremas referentes às quatro operações fundamentais.
Encerra pedindo a opinião dos professores a respeito do livro.
Os capítulos I e II tratam da Geometria Intuitiva, discutindo noções
fundamentais de Geometria e figuras geométricas. Os capítulos III, IV, V, VI e VII
baseiam-se na Aritmética prática, trabalhando operações fundamentais, múltiplos e
divisores, frações ordinárias, frações decimais e números complexos.
Iniciaremos nossa análise do capítulo VI, que trata das frações decimais, o
conceito de frações decimais apresentado por Stávale (1956) é: “são frações cujos
denominadores são potências de 10. A estas frações dá-se o nome de frações decimais.
Fração decimal é a fração cujo denominador é uma potência qualquer de 10” [grifo do
autor] (STÁVALE, 1956).
Imagem 25 - Primeira lista de exercícios orais
Fonte: STÁVALE, 1956, p.210.
Em seguida apresenta que uma fração decimal é a soma de frações decimais,
completa ainda dizendo que, “quando uma fração decimal, , é escrita sob a forma
0,347 dizemos, em Matemática, que a fração está scrita com a notação decimal,
muitos autores lhe dão a denominação de numero decimal” [grifo do autor]
(STÁVALE, 1956, p.211). Stávale completa dizendo sobre a parte inteira e a parte
decimal do número os quais são, à esquerda e à direita da vírgula, respectivamente. Na
70
página seguinte é apresentada mais uma lista de vinte e sete exercícios orais, os quais
seguem abaixo:
Imagem 26 - Segunda lista de exercícios orais
Fonte: STÁVALE, 1956, p.212.
Posteriormente são apresentados os múltiplos e submúltiplos da unidade, e não
apresenta uma definição formal das frações decimais, simplesmente as diferencia das
frações ordinárias, pois as mesmas foram apresentadas no capítulo anterior, completa
ainda, dizendo que as frações ordinárias juntamente com as frações decimais formam o
conjunto dos números fracionários. É apresentado, então a terceira lista com mais doze
exercícios orais.
Stávele (1956) prossegue apresentado as subdivisões do milésimo e, por
analogia, às ordens das casas dos números inteiros apresenta as ordens das casas dos
números decimais, completando com a quarta lista de exercícios orais, em um dos
exercícios faz a observação que o número 34,578 é uma fração propriamente dita,
composta por uma parte inteira e por outra fracionária.
O subitem seguinte trata da multiplicação ou divisão de uma fração decimal
por uma potência de 10, aqui Stávale (1956) apresenta como 10n, inicia sua explanação
chamando atenção para o fato de que acrescentar o quanto zeros quiser a direita de uma
fração decimal, essa não altera seu valor, desde que a posição da vírgula não seja
alterada, tudo isso para explicar que quando divide-se uma fração decimal por uma
potência de 10 desloca-se a vírgula para a esquerda quantos algarismos forem
necessários e no caso da multiplicação, basta deslocar a vírgula para a direita.
71
Em seguida é iniciada a adição e subtração de frações decimais com a
apresentação da seguinte regra: “Para somar duas ou mais frações decimais, escrevem-
se estas frações, umas por baixo das outras, de modo que as vírgulas, e as unidades de
uma mesma ordem se correspondam em linhas verticais; depois efetua-se a adição como
se se tratasse de números inteiros. Em seguida, coloca-se a vírgula na soma, por baixo
das vírgulas das parcelas” (STÁVALE, 1956, p. 214 e 215).
Stávale (1956) apresenta um exemplo de adição de frações decimais e, em
seguida a regra para a subtração o qual tem o cuidado de ser bem minucioso como
destacamos a seguir:
Para subtrair uma fração decimal de outra, escreve-se a menor por baixo da
maior, de modo que as vírgulas, e as unidades de uma mesma ordem se
correspondam em linhas verticais; depois efetua-se a subtração como se
tratasse de números inteiros. Em seguida, coloca-se a vírgula no resto, por
baixo da vírgula do minuendo e do subtraendo. (STÁVALE, 1956, p. 215).
Apesar do detalhamento não é encontrado anteriormente a esta regra a
comparação entre números decimais ou frações decimais. Após a apresentação da regra
é mostrado apenas um exemplo e, em seguida uma lista com doze exercícios orais e sete
exercícios.
Imagem 27 - Exercícios – série XXXVI
Fonte: STÁVALE, 1956, p.215.
Stávale (1956) prossegue com a apresentação da multiplicação de frações
decimais, novamente inicia com a regra para posterior exemplo, para a divisão de
frações decimais é seguida a mesma linha, porém o exemplo utilizado parece
interessante: “Dividindo 435 laranjas por 13 meninos, quantas laranjas receberá cada
um dêles?” (STÁVALE, 1956, p. 216). Este exemplo é utilizado para mostrar dois casos
da divisão de frações decimais, o primeiro quando é realizada a divisão por um número
72
inteiro e o segundo quando a divisão é realizada por uma outra fração decimal. O
terceiro caso, em que o divisor é um número seguido de zeros, o exemplo das laranjas
não é utilizado. Em seguida é sugerido uma lista com quinze exercícios.
O próximo tópico trabalhado por Stávale (1956) é a transformação de uma
fração decimal em ordinária, o qual inicia com alguns exemplos e apresenta a regra, o
mesmo acontece com a transformação de uma fração ordinária em decimal e é neste
momento que é apresentada as dízimas periódicas, porém não é dada atenção especial à
elas, o autor alega que tratará delas em um capítulo especial.
Posteriormente é trabalhado o conceito de divisão com resto que é iniciado
com o exemplo da divisão de 37 por 8, que resulta em 4, restando 5, ou seja, 37 : 8 =
4 , sendo esta resposta o quociente cmpleto da divisão. O segundo exemplo
apresentado é da divisão de 4386 por 125 cujo quociente é 35,088. Stávale prossegue
com outros exemplos de divisões para chegar à duas conclusões: “I – É sempre possível
completar o quociente de uma divisão, com uma fração ordinária; II – Nem sempre é
possível completar o quociente de uma divisão, com uma fração decimal.” (STÁVALE,
1956, p. 222).
Imediatamente é apresentado uma lista com nove exercícios:
Imagem 28 - Exercícios – série XXXVIII
Fonte: STÁVALE, 1956, p.222
Em seguida é trabalhado o quociente aproximado a menos de uma unidade, por
falta ou por excesso, o qual é iniciado com o seguinte exemplo:
Se dividirmos 41 por 9, obtemos o quociente incompleto de 4 e o resto 5.
Logo, 4 não é o quociente exato exato da divisão de 41 por 9. Será, talvez,
um quociente errado? Também não. Então que quociente é? É o que se
73
chama em Aritmética um quociente incompleto ou aproximado. (STÁVALE,
1956, p.222)
E é a partir deste exemplo que Stávale (1956) discorre sobre quociente
aproximado por falta e por excesso, dizendo que se for considerado o 4 como sebdo o
quociente da divisão de 41 por 9, estará errado, assim como se for o 5 dito o quociente,
conclui, então, que:
(...) dividindo 41 por 9, obtemos dois quocientes, nenhum dos quais é
completo; ambos se aproximam do quociente completo, faltando ao primeiro
menos de uma unidade e sobrando no segundo menos de uma unidade; o
quociente menor chama-se quociente aproximado a menos de uma unidade,
POR FALTA; o quociente maior chama-se quociente aproximao a menos de
uma unidade, POR EXCESSO. [Grifos do autor] (STÁVALE, 1956, p. 223)
Logo após é apresentado outro exemplo de quociente aproximado, sendo a
divisão de 3750 por 9. Este item é finalizado com uma lista de 48 exercícios, sendo que
quatro deles são apresentados as respsctivas soluções, oito sugestões são descritas, um
exercícios mostra observação, são apresentadas, também duas regras seguidas de dois
exemplos e uma resposta.
O exercício 11 apresentado nesta série é uma expressão aritmética que,
segundo Stávale (1956) “(...) foi tirada da excelente coleção de exercícios de H. Costa –
E. Roxo – O. Castro. (...)” (p.224)
O item que é descrito diz respeito às dízimas periódicas, o qual inicia-se
dizendo sobre a transfomação de fração ordinária em decimal e, Stávale (1956) explica
que “dízimas periódicas são frações decimais constituídas por um algarismo (ou grupo
de algarismos) que se repete indefinidamente e sempre na mesma ordem”(p.227).
posteriormente é apresentado os exemplos abaixo para explicar sobre período de uma
dízima periódica, além de citar sobre dízimas periódicas simples e compostas.
Imagem 29 - Exemplos de dízimas periódicas
Fonte: STÁVALE, 1956, p.227
74
O conteúdo que é tratado por Stávale (1956) após as dízimas periódicas é o
valor absoluto e relativo de um período, o qual é apresentado pelo autor como sendo o
valor que está separado da dízima o qual ele pertence, sendo que “um período tem dois
valores: valor absoluto ou nominal e valor relativo ou local” (p.228). Em seguida é
apresentado exercícios orais, como seguem:
Imagem 30 - Terceira lista de exercícios orais
Fonte: STÁVALE, 1956, p.228
O conteúdo seguinte é a geratriz de uma dízima periódica e o exemplo
utilizado por Stávale (1956) foi 0,363 636 3... para explicar que “geratriz de uma dízima
periódica, a fração ordinária que, ao ser transformada em decimal, dá origem a esta
dízima” (p.229).
A geratriz de uma dízima periódica simples é trabalhada com o mesmo
exemplo utilizado anteriormente, ou seja, a dízima periódica 0,363 636 363 6... para ser
transformada em geratriz, o primeiro passo seria chamar de x a fração ordinária que
seria igual à dízima periódica dada:
x = 0,363 636 36... (1)
Em seguida, ambos os lados da igualdade são multiplicados por 100, pois o
período tem dois algarismos, obtendo, assim:
100 x x = 36,363 636... (2)
A igualdade inicial (1) é escrita embaixo da segunda igualdade (2), ficando,
assim:
100 x x = 36, 363 636... (3)
x = 0,363 636 36... (4)
75
Faz-se, então a subtração entre as igualdades (3) e (4), obtendo como resposta:
99 x x = 36 (5)
Dessa última igualdade, se deduz, como dito por Stávale (1956), “que x é igual
ao quociente da divisão de 36 por 99, isto é, x = . Portanto, a geratriz da dízima
periódica 0,363 636 36... isto é, a fração ordinária que gerou esta dízima é ou . É o
que podemos verificar, convertendo esta fração ordinária em fração decimal.”(p 230).
Em seguida é mostrado outro exemplo de como calcular a geratriz de uma
dízima periódica. Após esse exemplo é apresentada a seguinte regra:
A geratriz de uma dízima periódica simples é uma fração ordinária cujo
numerador é um dos períodos, tomado em valor absoluto, e cujo
denominador é um número formado de tantos noves quantos são os
algarismos do período.
Exemplo. Qual é a geratriz d 0,727 272...?
Resposta. A geratriz de 0,727 272... é ou . (STÁVALE, 1956, p. 230)
O próximo ponto tratado diz respeito ao cálculo da geratriz de uma dízima
periódica composta. O exemplo utilizado para tal é 0,735 555..., são seguidos os
mesmos passos mostrados anteriormente, chegando como resposta a fração geratriz
. Posteriormente o autor apresenta a seguinte regra prática:
A geratriz de uma dízima periódica composta é uma fração ordinária cujo
numerador à parte não periódica seguida de um período, menos a parte não
periódica; cujo denominador é um número formado de tantos nove quantos
são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os
algarismos da parte não periódica.
Exemplo. Qual é a geratriz de 0,743 33...?
Resposta. A geratriz de 0,743 33... é ou ou .(STÁVALE, 1956,
p. 231)
Em seguida é sugerida a lista de exercícios a seguir:
Imagem 31 - Exercícios – série XL
Fonte: STÁVALE, 1956, p.231
76
O conteúdo apresentado posteriormente diz respeito a uma proposta que
pretende favorecer a percepção e compreensão da equivalência entre as representações
fracionária e decimal infinita e periódica. O exemplo utilizado para tal conceito é
0,444... e sua geratriz . Para tanto Stávale (1956) afirma que a fração não é igual a
0,444..., mas que esta fração é “a soma de um n úmero infinito de frações decimais cujo
numerador é 4 e cujo denominador é 10 para a primeira, 102 para a segunda, 10
3 para a
terceira, 104 para a quarta, e assim por diante. Portanto, = + + + + +
+ ......” (p. 232). Mesmo sem citar, o autor faz uso de ideias relativas às progressões
geométricas de razão n10
1, com n pertencente ao conjunto dos números naturais.
Stávale (1956) completa dizendo que seria impossível escrever o segundo
membro da igualdade, pois o mesmo é constituído por infinitas frações, sendo, portanto,
a soma dessas frações, a qual é conhecida por fração geratriz.
Em seguida são exibidas as operações sobre as dízimas periódicas, o autor diz
que é possível realizar operações como adição, subtração, multiplicação, divisão,
potência, raiz quadrada, etc., de qualquer dízima periódica, desde que “quando se
realizam operações sôbre dízimas periódicas, é necessário, em primeiro lugar, substituí-
las pelas suas respectivas geratrizes” (p. 232). Sendo assim, as expressões compostas
por dízimas periódicas serão trocadas por outra composta por frações ordinárias, as
quais “já aprendemos a calcular” (p. 232). Em seguida, uma lista de exercícios é
proposta pelo autor:
77
Imagem 32 - Exercícios – série XLI
Fonte: STÁVALE, 1956, p.232
O ponto que é tratado na sequência da obra de Stávale (1956) diz respeito aos
caracteres de convertibilidade, as quais são leis que permitem dizer se uma fração
ordinária produz uma dízima periódica. O primeiro caracter apresentado pelo autor foi
“se o denominador de uma fração ordinária irredutível contém somente o fator 2, esta
fração, ao ser convertida em decimal, produz uma fração decimal exata cujo número de
algarismos é igual ao expoente do fator 2” (p. 233). O exemplo apresentado para esta
primeira lei é a fração , e como seu denominador é a terceira potência de 2, deve-se
multiplicar numerador e denominador pela terceira potência de 5, não alterando a
fração, ficando, assim, = = = = = 0,375. É apresentado um
outro exemplo análogo a este. Nota-se que o autor procura justificar a convertibilidade
com o fator 2 ou 5.
O segundo caracter apresentado por Stávale (1956) foi: “se o denominador de
uma fração ordinária irredutível contém somente o fator 5, esta fração, ao ser convertida
em decimal, produz uma fração decimal exata, cujo número de algarismos é igual ao
expoente do fator 5” (p. 233). Para exemplificar a lei, o autor apresenta a fração = ,
apresentando, passo a passo como anteriormente, chegando, então ao número decimal
0,44. Outro exemplo também é apresentado para melhor fixação de tal conceito.
78
Em seguida é apresentado o terceiro caracter que trata de frações que
contenham apenas denominadores 2 e 5, tais frações geram uma fração decimal exata,
sendo o número de algarismos é igual ao maior expoente de um dos fatores. O exemplo
mostrado por Stávale foi da fração , a qual gera o número 0,35. O segundo exemplo
apresentado foi a fração , que é igual à 0,775 e o último exemplo mostrado foi ,
que produz o número 0,404.
O último caracter apresentado pelo autor foi referente ao “denominador de uma
fração ordinária irredutível contém fatores primos diferentes de 2 ou de 5, esta fração,
ao ser convertida em decimal, produz uma dízima periódica” (p. 234). A fração
utilizada para exemplificar esta lei foi , sendo que o primeiro passo sugerido foi a
divisão de 5 por 14, segue mostrando que deve-se escrever zeros à direita do número 5,
tantos quantos quisermos, e mesmo assim, por maior que seja o número de zeros que
sejam acrescentados, 5 nunca será divisível por 14. O autor mostra que esta fração é
uma dízima periódica realizando a divisão de 5 por 14 como segue:
Imagem 33 - Divisão de 5 por 14.
Fonte: STÁVALE, 1956, p.235.
Stávale (1956) finaliza o capítulo referente aos números decimais afirmando
que “há outros caracteres de convertibilidade cuja demonstração não pode ser dada num
livro elementar; mesmo toda a teoria contida neste capítulo poderá ser suprimida, se os
Srs. Professores assim julgarem conveniente” (p. 235).
79
Aqui vemos a preocupação do autor com a peculiaridade de cada escola e os
saberes dos professores, além de como tal conteúdo poderia sofrer mudanças de acordo
com a realidade de cada região.
3.3. O livro de Osvaldo Sangiorgi no Movimento da Matemática Moderna
Este tópico diz respeito à obra elaborada pelo professor de matemática Osvaldo
Sangiorgi, intitulada “Matemática – Curso Moderno”, a qual foi pioneira no nível de
ensino ginasial na década de 1960. Antes de discutirmos como o autor apresentou os
aspectos relativos aos números em sua representação decimal, traçamos uma sinopse de
sua vida acadêmica.
3.3.1. Um pouco da vida acadêmica de Osvaldo Sangiorgi
“Oswaldo Sangiorgi foi exemplo daqueles
professores excelentes, disputados a peso de
ouro pelas famílias abastadas paulistanas,
para dar aulas particulares a seus filhos.
Esse era um tempo em que o bom professor,
reconhecido e propagandeado pelas
conquistas de seus alunos, tinha status
social de profissional liberal” Valente,
2008a.
Osvaldo Sangiorgi nasceu em 9 de maio de 1921.
Licenciado em Ciências Matemáticas (Física), em 1943, pela
Universidade de São Paulo - USP. Mestre em Lógica pela
Kansas Universit, EUA em 1961, doutor em Matemática
pela Universidade de São Paulo em 1973. Livre Docente, em
1977, pela Escola de Comunicações e Artes da USP.
Imagem 34 - Osvaldo Sangiorgi
Fonte:http://www.unifesp.br/centros/ghemat/paginas/arq_sangiorgi.htm
80
Lecionou em diversas universidades pelo mundo como, por exemplo, Kansas
Universit – USA, Instituti Eupen e Instituto de Cibernética de Nammur – Bélgica,
Instituti fur Kibernetisch Pedagogik – Alemanha, Instituto de Cibernética – San Marino.
Foi o principal representante do GEEM – Grupo de Estudos do Ensino da
Matemática – fundado em outubro de 1961 em São Paulo após um curso de verão na
Faculdade Mackenzie, as ações do grupo implicaram na divulgação das propostas do
MMM na Escola Secundária. Fez parte da Comissão de Tecnologia da Educação –
Centro Paulista de Rádio e Televisão Educativos. Sempre preocupado com o
aprimoramento da pedagogia da Matemática.
Entre os anos de 1954 e 2000, Sangiorgi publicou 84 livros. Corroborando com
Valente (2009), onde diz que “desde a metade dos anos 1950 transformou-se em autor
de grande sucesso na Companhia Editora Nacional, como atestam as expressivas
tiragens de sua coleção ginasial, comparativamente às de outros autores”. Hoje ocupa a
cadeira de número 16 na Academia Paulista de Educação14
.
3.3.2. Matemática – curso moderno
“O livro didático de matemática moderna
vai, por meio de sua circulação e uso no
cotidiano escolar, permitir a apropriação
por alunos e professores de uma nova
matemática escolar” Valente, 2008b.
O livro Matemática – curso moderno foi lançado em meados de 1963 pela
Companhia Editora Nacional, foram colocados à venda mais de 240 mil exemplares do
volume 1, como dito por Valente (2008b), tendo grande apoio da imprensa:
No dia 12 de julho de 1963, o jornal “Folha de S. Paulo”, apresenta como
manchetes a Matemática Moderna. A primeira intitulada O que é Matemática
Moderna na opinião do diretor do GEEM, apresentando uma longa entrevista
com Sangiorgi, que não faz menção a seus livros, mas enuncia todas as
vantagens e conveniências do ensino de matemática moderna, ancorada nos
14
<http://www.apedu.org.br/home/index.php?option=com_content&view=article&id=62&Itemid=146>
em 03 de janeiro de 2014;
81
últimos avanços científicos; a segunda, Verdadeira revolução vai sofrer o
ensino da Matemática, é desenvolvida com um texto que, logo à primeira
frase menciona: “1964 vai ficar na história da cultura brasileira como o Ano
1 da Matemática Moderna” [Grifos do autor](VALENTE, 2008b, p. 604-
605).
Por ser um livro raro, a edição utilizada para realizar as análises é do ano de
1970.
Imagem 35 - Capa do livro Matemática – curso moderno
Fonte: SANGIORGI, 1970.
A escolha para análise deste livro deu-se pelo fato do pioneirismo de
Sangiorgi, como dito por Valente (2008b):
O livro didático de matemática moderna vai, por meio de sua circulação e uso
no cotidiano escolar, permitir a apropriação por alunos e professores de uma
nova matemática escolar. Aqui, novamente, está presente o pioneirismo de
Osvaldo Sangiorgi. Seus novos livros didáticos de matemática moderna tem
um estrondoso sucesso editorial. (...). Sangiorgi, como grande autor de livros
didáticos, carrega consigo a autoridade matemática, didática e experiência de
grande articulador de ações conjuntas entre a editora e suas obras (...).
(p.603-604)
82
O livro apresenta uma capa colorida, no formato 21 x 14 cm, as ilustrações
exibidas durante a apresentação dos conteúdos são coloridas (2 cores – no caso preto e
verde), sendo composto por 371 páginas.
Este livro retoma o “Livro do Mestre”, o que a muito tempo havia sido deixado
de lado, sendo que cada volume apresentava seu guia para o uso dos professores, como
apresentado por Valente (2008b):
Assim, são publicados os Guias para uso dos professores, volumes 1, 2, 3 e
4. Neles, Sangiorgi expressa a didática da matemática moderna, buscando
guiar os professores no trabalho pedagógico com os novos temas. Os Guias
apresentavam: “1 – Observações de ordem pedagógica; 2 – Referências
bibliográficas; 3 – Respostas às questões propostas no livro” [Grifos do
autor] (VALENTE, 2008b, p. 607).
Sangiorgi inicia seu livro apresentando o “Programa para um curso moderno de
Matemática”:
Imagem 36 - Programa para um curso moderno de Matemática Fonte: SANGIORGI, 1970
83
Em seguida o autor se dirige aos estudantes, apresentando a Matemática
Moderna:
Imagem 37 - Carta de Sangiorgi para os estudantes
Fonte: SANGIORGI, 1970
O índice de conteúdos é divido em quatro capítulos, sendo eles:
1- Conjuntos; números naturais; sistemas de numeração;
2- Operações no conjunto dos números naturais; números primos;
3- Conjunto dos números racionais; representação decimal dos números
racionais;
84
4- Medidas; sistemas usuais; sistemas de medidas não-decimal;
Nos deteremos no capítulo 3, o qual trata dos números em sua representação
decimal, tal assunto se inicia na página 257.
Imagem 38 - Início do tratamento dos números decimais
Fonte: SANGIORGI, 1970, p.257.
A introdução do assunto dos números decimais é realizada com a representação
decimal dos números racionais, sendo que Sangiorgi (1970) cita que já foi visto o que é
fração decimal como sendo frações cujos denominadores são potencias de dez, em
seguida lança duas perguntas: “Há outra maneira de se representar fração decimal? Ou
seja: há outros numerais para representar os números que se apresentam como frações
decimais?” (p.257).
O mesmo já apresenta a resposta logo em seguida, dizendo que sim e completa
com o fato de que se uma fração ter como denominador uma potência de dez, facilita
sua representação com a introdução de uma vírgula. Para isso o autor relembra o
“princípio da numeração decimal escrita, um algarismo escrito à esquerda de outro
representa unidades dez vêzes maiores que as dêsse outro” (p. 257).
Sangiorgi (1970) exemplifica com o número 35, dizendo que o algarismo 3
representa as dezenas e o 5 as unidades. Continua com a exposição da seguinte questão:
“E se fôsse escrito mais um algarismo à direita do 5, por exemplo o 8?” (p. 257). Logo
após a pergunta o autor afirma que o algarismo 8 representaria os décimos, sendo assim,
para separar as unidades dos décimos, ou seja, o 5 do 8, escreve-se a direita das
unidades uma vírgula, ressalta ainda que os ingleses utilizam o ponto, ficando, então
35,8, o que significa dizer que temos 3 dezenas, 5 unidades e 8 décimos, apresenta
também como se realiza a leitura deste número, sendo trinta e cinco unidades e oito
décimos.
85
Sangiorgi (1970) continua dizendo que pode-se escrever quantos algarismos à
direita, os quais são chamados de casas decimais, tais algarismos terão um semelhante
nas casas inteiras, o que o autor citou como sendo uma simetria em relação às unidades.
Imagem 39 - Simetria do sistema decimal
Fonte: SANGIORGI, 1970, p.258.
É exibido, então uma nova maneira de se escrever, o que é apresentado por
Sangiorgi (1970) como “um nôvo numeral!” (p. 258). Em seguida é apresentado alguns
exemplos:
8,010
8
82,0100
82
825,5000.1
8255
000.1
825.5
O autor continua dizendo que os novos numerais: 0,8; 0,82 e 5,825 são
comumente chamados de números decimais. Cita, ainda que tais números são
conhecidos dos alunos desde a Escola Primária, pois são utilizados nos sistemas de
medidas, sendo que, tais números obedecem a seguinte regra:
Para se escrever uma fração decimal sob forma de numeral decimal, escreve-
se o numerador e separa-se com uma vírgula (a partir da direita) tantos
algarismos quantos são os zeros do denominador, separados em classes de
três algarismos por um ponto, da esquerda para a direita. (SANGIORGI,
1970, p. 258)
86
Observa-se, nesse sentido, que num primeiro momento Sangiorgi relaciona
números decimais com medida. Outros exemplos são apresentados, primeiramente na
forma de fração decimal seguidos de sua representação no modelo dos números
decimais, posteriormente como é realizada a leitura de cada um desses números.
Sangiorgi (1970) mostra que o número decimal também pode ser escrito na
forma de fração decimal, apresentando alguns exemplos, entre eles o número 0,25, que
ao ser escrito como fração decimal fica 4
1
100
25 , sendo esta última a fração irredutível.
Em seguida é apresentado um quadro, o qual é chamado de lembrete amigo.
Imagem 40 - Lembrete amigo Fonte: SANGIORGI, 1970, p.259
O próximo ponto referente aos números decimais trabalhado por Sangiorgi
(1970) são as propriedades características dos números decimais, além de suas
aplicações, sendo iniciado com um quadro com os seguintes dizeres: “O numeral
decimal não altera de valor quando se acrescentam ou se suprimem zeros à direita do
seu último algarismo” (p. 259). Com isso o autor apresenta as classes de equivalência
dos números decimais com o seguinte exemplo: 0,23 = 0,230. Em seguida é apontada
duas aplicações para tal conceito: 1 – Um número natural pode ser escrito na forma de
número decimal; 2 – Dois números ou mais podem ser escritos com o mesmo número
decimal.
O autor continua sua explanação sobre os números decimais com a comparação
de dois números decimais, o qual é realizado “comparando-se, a partir da esquerda, os
algarismos que representam unidades decimais de mesma ordem” (p. 260). Para
exemplificar o autor utiliza a seguinte comparação:
8,32 > 5, 9 pois 8 > 5
87
Em seguida é proposto uma lista com dez exercícios de fixação.
Imagem 41 - Exercícios de fixação – Grupo 71 – Parte I Fonte: SANGIORGI, 1970, p.260
Imagem 42 - Exercícios de fixação – Grupo 71 – Parte II
Fonte: SANGIORGI, 1970, p.261.
Em seguida é mostrada uma fotografia em preto e branco com a seguinte
legenda: “contagem de todos os tempos … (Foto Life)” (p. 261). Apesar de conter na
imagem um ábaco, em nenhum momento o autor relata alguma característica ou função
de tal objeto.
88
Imagem 43 - Contagem Fonte: SANGIORGI, 1970, p.261
Posteriormente são tratadas pelo autor as operações com os números decimais,
iniciando com a adição, a qual é iniciada sendo citada a Propriedade Característica, ou
seja, deve-se converter os numerais decimais a unidade de mesma ordem, é mostrada,
também uma técnica de cálculo:
Escrevem-se os numerais decimais uns sobre os outros, de modo que as
vírgulas se correspondam; somam-se, a seguir, os números como se fôssem
naturais, colocando-se a vírgula, na soma em correspondência com as das
parcelas. (SANGIORGI, 1970, p. 262)
O exemplo utilizado para representar a adição de números decimais foi o
seguinte:
Imagem 44 - Exemplo de adição de números decimais Fonte: SANGIORGI, 1970, p.262
Após o exemplo o autor cita que as propriedades estruturais dos números
fracionários também são válidas para os números decimais.
Para a operação de subtração Sangiorgi (1970) indica que é realizado de forma
semelhante à adição, e segue para os exemplos. Em seguida é apresentada uma nota que
89
diz respeito as provas, que são as mesmas estudadas para os números naturais, tanto
para adição quanto para subtração.
Com a multiplicação o autor inicia com um exemplo, no caso, o produto entre
5,32 e 3,8.
Imagem 45 - Exemplo de multiplicação de números decimais. Fonte: SANGIORGI, 1970, p.263.
Com o exemplo dado, logo a seguir, um quadro é apresentado com os seguintes
dizeres: “Multiplicam-se os dois ‘números’ decimais como se fossem naturais e
separam-se no resultado, a partir da direita, tantas casas decimais quantos forem os
algarismos das partes decimais dos números dados” (p.263). O autor complementa
dizendo que, na operação de multiplicação, tanto para os números decimais quanto para
os números fracionários são válidas as mesmas propriedades estruturais. Ao que tudo
indica, o autor tenta, por meio dessa explicação, justificar o uso da regra. É mostrado,
em seguida, o caso particular de uma multiplicação entre um número decimal e uma
potência de 10.
É iniciado o tratamento da operação de divisão com uma ressalva relativa ao
cuidado que deve ser tomado ao realizar tal operação, pois o quociente de dois números
decimais nem sempre é uma fração decimal. O exemplo utilizado pelo autor é a divisão
entre 4,12 e 8,273, o qual tem como quociente o número 273.8
120.4, que não é uma fração
decimal. O segundo exemplo mostrado é a divisão de 0,92 por 0,2, tem-se, então como
quociente 10
46, sendo este uma fração decimal.
No caso da divisão também é apresentado um caso particular, a divisão de um
número decimal por uma potência de dez.
90
Imagem 46 - Exemplo de divisão de números decimais com potencias de dez. Fonte: SANGIORGI, 1970, p.264.
O conceito apresentado em seguida é o quociente aproximado, o qual inicia-se
com o exemplo da divisão de 73 por 14, sendo que podemos ter dois quocientes, o 5 por
falta e o 6 por excesso, qualquer um dos dois que seja tomado como resposta se comete
um erro menor que uma unidade, pois 14
73 está entre 5 e 6. O mesmo exemplo é utilizado
para demonstrar que pode-se obter um quociente aproximado a menos de um décimo se,
cada um dos números forem divididos por dez.
O autor apresenta, em seguida, uma técnica de cálculo para se obter o
quociente aproximado de dois números do conjunto dos naturais, na forma de um
número decimal.
Obtém-se o quociente aproximado, por falta a menos de 0,1; 0,01; 0,001; …
de dois números naturais, acrescentando-se ao dividendo um, dois, três, …,
zeros e efetuando-se a divisão como é conhecida. No quociente obtido
separa-se com uma vírgula, respectivamente, uma, duas, três, …, casas
decimais. (SANGIORGI, 1970, p. 265)
Em seguida são mostrados cinco exemplos de quocientes aproximados. Os
quais são seguidos de dez exercícios de fixação.
Imagem 47 - Exercícios de fixação – Grupo 72 – Parte I. Fonte: SANGIORGI, 1970, p.267.
91
Imagem 48 - Exercícios de fixação – Grupo 72 – Parte II. Fonte: SANGIORGI, 1970, p.267.
Seguido dos exercícios Sangiorgi (1970) trata das dízimas periódicas, o
primeiro ponto a ser trabalhado é a “conversão de ração ordinária em numerais decimais
e vice-versa; dízimas periódicas”(p.268), o qual inicia lembrando que qualquer fração
decimal pode ser escrito na forma de um numeral decimal, completa dizendo que
algumas frações ordinárias também podem ser escritas como número decimal, para isto
basta dividir o numerador pelo denominador da fração dada, quando isso é realizado
podem acontecer dois casos:
1.º) a divisão é exata: nesse caso diz-se que a fração ordinária converteu-se
numa decimal exata (o mesmo que numeral decimal), pelo fato de o
quociente dessa divisão admitir, na sua representação, um número finito de
casas decimais;
2.º) a divisão não é exata: nesse caso existirão restos não-nulos que se
repetirão periódicamente; o quociente, por sua vez, prolongar-se-á
indefinidamente e diz-se que a fração ordinária converteu-se numa decimal
periódica ou dízima periódica. [Grifos do autor] (SANGIORGI, 1970, p.
268)
Após apresentação dos dois casos quatro exemplos são mostrados, sendo dois
onde a divisão é exata e dois que converte-se em dízima periódica.
Dando continuidade, o autor apresenta a “condição para que uma fração
ordinária se converta numa decimal exata” (p. 269), dizendo que se uma fração
ordinária possui denominador que pode ser escrito com os fatores 2 e 5, valerá a
seguinte técnica de cálculo: “Fatora-se completamente o denominador da fração
ordinária (irredutível); se êle contiver sòmente os fatôres 2 e 5, a fração converter-se-á
92
numa decimal exata; o número de casas decimais é igual ao maior dos expoentes de 2
ou 5” (p. 269). Logo após é apresentado três exemplos de conversões de frações.
A condição seguinte mostrada pelo autor é a conversão de uma fração ordinária
numa dízima periódica, sendo que a utilizada para exemplificar tal assunto foi 11
8, o
qual obtém-se como quociente 0,727.272…. O autor, com este exemplo explica o que
vem a ser período e que se tal período ocorrer logo após a vírgula, a dízima periódica
diz-se simples, ou ainda, quando houver, entre a vírgula e o período, uma parte decimal,
ou seja, não-periódica, a dízima periódica será composta.
São mostrados quatro exemplos, os quais o autor mostra que uma dízima
periódica pode ser escrita de três maneiras, sendo a primeira com repetições do período:
0,727.272……
ou ainda, com um traço horizontal em cima do período:
72,0
podendo, também escrever o período entre colchetes:
0,[72]
Em seguida o autor apresenta a técnica de cálculo utilizada para prever se a
conversão de uma fração ordinária será uma dízima periódica simples ou composta,
com exposição de três exemplos.
O conteúdo seguinte tratado por Sangiorgi (1970) é o tratamento com as
geratrizes, ou seja, a conversão das dízimas periódicas em frações ordinárias, a qual é
apresentada como a fração que gera uma dízima periódica, tanto simples como
composta, que já é conhecida. Segue os exemplos utilizados pelo autor de conversão de
uma dízima periódica simples em fração geratriz, assim como de uma dízima periódica
composta.
93
Imagem 49 - Exemplo de conversão de uma dízima periódica simples em fração geratriz. Fonte: SANGIORGI, 1970, p.272.
O autor finaliza este exemplo explicando que a geratriz de uma dízima
periódica simples é aquela que tem como numerador o período e o denominador tantos
noves quantos forem os algarismos do período.
Imagem 50 - Exemplo de conversão de uma dízima periódica composta em fração geratriz. Fonte: SANGIORGI, 1970, p.273.
Após tal exemplo Sangiorgi (1970) apresenta a seguinte técnica de cálculo:
A geratriz de uma dízima periódica composta (de parte inteira nula) é uma
fração que tem para numerador a diferença entre o número formado pela
parte não-periódica, acompanhada de um período e a parte não-periódica; e,
para denominador, um número formado de tantos noves quantos forem os
algarismos do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos
da parte não-periódica. (SANGIORGI, 1970, p. 273)
Seguido da técnica de cálculo apresentada, o autor mostra uma NOTA e uma
OBSERVAÇÃO, ambos referentes às dízimas periódicas:
94
Imagem 51 - NOTA e OBSERVAÇÃO sobre dízimas periódicas.
Fonte: SANGIORGI, 1970, p.273.
Sangiorgi (1970) prossegue sua explanação sobre dízimas periódicas tratando
das expressões envolvendo-as, são apresentados três exemplos, sendo o primeiro a
adição de duas dízimas periódicas, o segundo a divisão e o terceiro uma expressão com
adição e multiplicação entre dízimas periódicas.
Imagem 52 - Exemplo de expressão envolvendo dízimas periódicas. Fonte: SANGIORGI, 1970, p.274.
O autor finaliza o assunto sobre dízimas periódicas com dez exercícios de
fixação do conteúdo.
Imagem 53 - Exercícios de fixação – Grupo 73 – Parte I. Fonte: SANGIORGI, 1970, p.274.
95
Imagem 54 - Exercícios de fixação – Grupo 73 – Parte II.
Fonte: SANGIORGI, 1970, p.275.
Prosseguindo, o autor trabalha com a potenciação e radiciação de números
decimais, sendo iniciado pela potenciação, dizendo que para realizar tal cálculo é
necessário, primeiramente, transformar o número decimal na fração decimal
correspondente, para ilustrar são utilizados dois exemplos, o primeiro é o cubo de 0,9 e
o segundo o quadrado de 3,01. Em seguida Sangiorgi (1970) apresenta duas
OBSERVAÇÕES sobre o assunto:
Imagem 55 - OBSERVAÇÕES sobre potenciação de números decimais. Fonte: SANGIORGI, 1970, p.275.
O conteúdo seguinte apresentado por Sangiorgi (1970) é a radiciação e raiz
quadrada aproximada dos números decimais, o qual remete aos números fracionários,
elucidando dois exemplos para tal assunto, o primeiro se refere ao cubo de 0,9 e a raiz
cúbica de 0,729 e o segundo é o cálculo do quadrado de 0,3 e a raiz quadrada de 0,09.
96
O autor diz que se o decimal apresentado não é uma potência, a raiz (quadrada,
cúbica, etc.) será com aproximação por falta ou por excesso, sendo assim é apresentada
a seguinte regra:
Extrai-se a raiz quadrada aproximada, por falta, a menos de0,1; 0,01; 0,001;
… de um número natural, extraindo-se a sua raiz quadrada aproximada, por
falta a menos de uma unidade, e colocando-se, a seguir, à direita da raiz uma
vírgula. Acrescentando-se dois zeros à direita do número natural dado, a
continuação da extração da raiz permitir-nos-á encontrar o algarismo dos
décimos da raiz procurada; acrescentando-se quatro zeros, a operação
permitirá encontrar o algarismo dos centésimos da raiz quadrada e, assim por
diante, até a ordem de aproximação desejada. (SANGIORGI, 1970, p. 276)
Tal regra é seguida do exemplo da extração da raiz quadrada de 8, como segue:
Imagem 56 - Exemplo de raiz quadrada aproximada. Fonte: SANGIORGI, 1970, p.276.
O exemplo apresentado em seguida é a extração da raiz quadrada aproximada
do número 2, por falta, a menos de 0,01. Após tal exemplo Sangiorgi (1970) apresenta a
seguinte técnica de cálculo:
1.º) faz-se o numeral decimal dado ter duas, quatro, seis, …, casas decimais,
conforme a aproximação desejada seja a menos de 0,1; 0,01; 0,001; … (você
sabe que isso é sempre possível!);
2.º) extrai-se a raiz quadrada do numeral decimal assim preparado, como se a
vírgula não existisse;
3.º) separa-se, com uma vírgula, no resultado obtido, respectivamente, uma,
duas, três, …, casas decimais. [Grifo do autor] (SANGIORGI, 1970, p. 277)
O exemplo mostrado, referente à técnica de cálculo exposta pelo autor é a raiz
quadrada aproximada de 0,941, por falta, a menos de 0,01.
Imagem 57 - Exemplo de raiz quadrada aproximada por falta – Parte I.
Fonte: SANGIORGI, 1970, p.277.
97
Imagem 58 - Exemplo de raiz quadrada aproximada por falta – Parte II
Fonte: SANGIORGI, 1970, p.278.
Após o exemplo citado o autor sugere uma lista com 10 exercícios de fixação.
Imagem 59 - Exercícios de fixação – Grupo 74 Fonte: SANGIORGI, 1970, p.278.
Sangiorgi (1970) finaliza o assunto dos números decimais com uma Tábua dos
quadrados, cubos, raízes quadradas e raízes cúbicas dos números de 1 a 100.
98
Imagem 60 - Tábua dos quadrados, cubos, raízes quadradas e raízes cúbicas dos números de 1 a 100. Fonte: SANGIORGI, 1970, p.279.
Por se tratar do último conteúdo do capítulo, após a apresentação de tal tábua,
Sangiorgi (1970), exibe o apêndice 3, sob o título “Conjunto dos números racionais
absolutos” (p.280), o mesmo é composto por três páginas, em que o autor tece
comentários somente sobre frações.
99
CAPÍTULO 4
ANÁLISE COMPARATIVA DOS LIVROS DIDÁTICOS
“Os autores de livros didáticos não são
simples espectadores de seu tempo: eles
reivindicam um outro status, o de agente. O
livro didático não é um simples espelho: ele
modifica a realidade para educar as novas
gerações” Alain Choppin, 2004.
Neste tópico apresentamos uma análise comparativa dos livros didáticos
representativos dos três principais movimentos reformadores do ensino de Matemática
brasileiros em relação ao conteúdo números em sua representação decimal. Para tanto,
elaboramos um quadro com os principais aspectos que consideramos relevantes e que
podem nos auxiliar em nossas análises.
Tal quadro foi elaborado gradativamente, no decorrer das análises dos livros
didáticos. Cada tópico foi construído de acordo com os elementos que julgamos ser
pertinentes para uma conclusão assertiva acerca das hipóteses levantadas para que
pudéssemos responder as questões de pesquisa de forma relevante. Destacamos aspectos
relativos à organização didática dos livros, no que tange à apresentação do conteúdo
relativo aos números em sua representação decimal.
Quadro 06 – Análise dos livros didáticos
Livro Curso de Mathematica
Elementar
Elementos de
Matemática
Matemática -
curso moderno
Autor Euclides de Medeiros
Guimarães Roxo Jacomo Stávale Osvaldo Sangiorgi
Ano (livro analisado) 1929 1956 1970
Reforma Francisco Campos Capanema MMM
Editora/ Cidade Livraria Francisco
Alves/Rio de Janeiro
Companhia
Editora Nacional/
São Paulo
Companhia Editora
Nacional/ São
Paulo
Dimensões (cm) 19,5 x 1415
19,5 x 14 21 x 14
Prefácio
Citações de
matemáticos Henri
Poincaré e Felix Klein
Citação de Júlio
Tannery
Carta para os
estudantes
Apresentação do conteúdo Conceitos e exemplos Conceitos,
exemplos e regras
Conceitos,
exemplos e regras
Tipos de atividades Exercício de fixação Exercícios de Exercícios de
15
Valores aproximados, visto que foram medidos a partir de uma fotocópia;
100
fixação, exercícios
orais e problemas
fixação
Figuras/ilustrações/ fotos 0 0 1
Exercícios 25 189 40
Exercícios orais 0 6 listas - (85
exercícios) 0
Exercícios com respostas/
soluções 0 5 0
Situações- problema 0 18 0
Exercícios sobre introdução dos
números decimais 4 53 10
Exercícios sobre adição 2 15 3
Exercícios sobre subtração 2 24 3
Exercícios sobre multiplicação 7 28 7
Exercícios sobre divisão 8 41 6
Exercícios sobre dízimas
periódicas e geratriz 1 37 10
Exercícios sobre potenciação e
radiciação 0 0 10
Páginas dedicadas aos decimais 18 26 23
Fonte: quadro elaborado pela autora
Relativamente aos dados constantes na Tabela 6, ao se contar a quantidade de
exercícios propostos em cada livro, foram considerados os exercícios de fixação,
problemas, exercícios orais, etc., ou seja, qualquer tipo de atividade referente aos
números em sua representação decimal. Já o que corresponde aos exercícios sobre a
introdução dos números decimais diz respeito à representação decimal, comparação,
aplicação, subdivisões do milésimo, etc.
Os exercícios, nos três livros analisados, que se referiam a expressões
numéricas envolvendo as quatro operações, por exemplo, foram contabilizadas quatro
vezes, ou seja, nos exercícios de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Ao analisar a tabela 6 chama atenção a quantidade numérica em todas as
categorias elencadas que no livro Elementos de Matemática, de autoria de Stávale.
Desse modo, podemos inferir que tal assunto foi desenvolvido de maneira que os alunos
pudessem ter acesso a mais exercícios, porém sem muitas opções de variedades, ou seja,
verificamos uma grande quantidade de atividades referentes ao mesmo conteúdo. A
quantidade de exercícios de fixação e de exercícios orais é muito superior à das outras
obras analisadas. Além disso, os exercícios de uma determinada sessão eram todos
muito parecidos uns com os outros. Isso sugere que o autor dava grande importância à
necessidade do estudante decorar os procedimentos operacionais, como pode ser visto
na imagem 27 que se refere à terceira lista de exercícios orais.
101
Ao que tudo indica, em relação aos números em sua representação decimal,
Euclides Roxo não observou as recomendações metodológicas que eles próprios
defendiam, trabalhando esse conteúdo matemático de maneira tradicional. Como se
observa pela tabela, Euclides Roxo não apresentou situações-problema, também não
procurou trabalhar a integração de conteúdos da Geometria, Álgebra e Aritmética como
preconizava. Também foram poucas as situações do cotidiano do aluno apresentadas na
obra para trabalhar o conteúdo analisado.
Stávale, igualmente, tratou do assunto de modo tradicional, oferecendo grande
número de exercícios de fixação.
O rigor e o formalismo são percebidos na explanação de uma regra referente à
multiplicação de números decimais. No Curso de Mathemática Elementar é iniciado
com um exemplo e posteriormente é mostrada tal regra:
Para multiplicar dois numeros decimaes, faz-se abstracção das virgulas,
effectua-se a operação como si se tratasse de numeros inteiros e no produto
separam-se tantas decimaes, quantas ha em ambos os factores. (ROXO, 1929,
p. 338)
O mesmo não é visto no Elementos de Matemática, quando se trata do rigor,
como podemos verificar quando Stávale (1956) apresenta a multiplicação dos números
decimais, iniciando com a regra e, em seguida, é apresentado um exemplo:
Para calcular o produto de duas frações decimais, efetua-se a multiplicação
como se se trata-se de números inteiros, e depois separam-se no produto, a
partir da direita, tantos algarismos decimais quantos são os algarismos
decimais das duas frações dadas. (STÁVALE, 1956, p. 216)
Para o mesmo conteúdo Sangiorgi (1970) introduz o assunto com um exemplo,
o qual é seguido da seguinte regra:
Multiplicam-se os dois “números” decimais como se fossêm naturais e
separam-se no resultado, a partir da direita, tantas casas decimais quantos
forem os algarismos das partes decimais dos números dados. (SANGIORGI,
1970, p.263)
Pode-se, aqui, observar que a apresentação feita no Elementos de Matemática
e são de linguagens parecidas, porém o Curso de Mathemática Elementar trata o
conteúdo da mesma forma que o Matemática – curso moderno.
Em nossa investigação, ao analisar o livro de Sangiorgi, pudemos observar que
o livro Matemática – curso moderno, não seguiu uma regra única para a apresentação
102
dos conteúdos, ou seja, em alguns momentos eram apresentados os conceitos, seguidos
de sua regra e exemplos, em outras vezes era iniciado com exemplos e, posteriormente
regras, conceitos e observações.
Em relação às recomendações do movimento modernizador, parece que o
assunto números decimais não foi trabalhado utilizando a linguagem da Teoria dos
Conjuntos, embora em sua obra Sangiorgi busque uma aproximação maior com os
estudantes, por meio de figuras e conversas. Note-se que Sangiorgi apresentou apenas
uma figura relativa a esse assunto.Verificamos, entretanto, certa preocupação com a
apresentação das estruturas, notadamente a de ordem, além de discorrer brevemente
sobre as relações de equivalência.
Enfim, o que pudemos verificar em nossas análises foi que, não observamos
diferenças expressivas em relação à apresentação dos números em sua representação
decimal, nas metodologias adotadas bem como na apresentação desse conteúdo nos
livros analisados, embora cada um deles tenha sido escrito em diferentes épocas e serem
considerados representativos de reformas significativas no que tange à educação
matemática.
Cabe lembrar, como afirma Choppin (2004) que o livro didático não é um
simples espelho, sempre alterando a realidade com a finalidade de educar as novas
gerações. No caso do conteúdo matemático números em sua representação decimal, os
autores dos livros didáticos analisados, agentes de seu tempo, ao que tudo indica,
comportaram-se mais como simples espectadores...
Enfim, o que pudemos verificar em nossas análises foi que, não observamos
diferenças expressivas em relação à apresentação dos números em sua representação
decimal, nas metodologias adotadas bem como na apresentação desse conteúdo nos
livros analisados, embora cada um deles terem sido escritos em diferentes épocas e
serem considerados representativos de reformas significativas no que tange à educação
matemática.
103
CONSIDERAÇÕES FINAIS
“O ensino dos números decimais é muito
importante, pois é um assunto que
acompanha os estudantes durante toda a
vida, tanto escolar quanto cotidiana.
Diariamente, encontramos os números
decimais em diversas situações, como na
representação monetária, medição de
temperaturas, cálculo de áreas ou
perímetros de terrenos” Carlos Eduardo
Espinosa, 2009.
Desde o ano de 1930 ou antes ainda o incômodo de alguns educadores com a
mesmice na educação, como Euclides Roxo, mostrou para o Brasil, com o seu livro
“Curso de Mathematica Elementar” algumas propostas do Movimento de
Internacionalização do Ensino da Matemática e como novos projetos se faziam
necessários para que mudanças ocorressem na educação, e foram essas leis e pessoas
que deram suporte para nossa pesquisa, a fim de sabermos se o ensino do conceito de
números em sua representação decimal sofreu alteração a partir desses preceitos e
recomendações. Por isso buscamos, com este trabalho, responder as seguintes questões
de pesquisa: “O Movimento da Matemática Moderna apresenta vestígios das ideias
defendidas por Euclides Roxo?” e “Quais diferenças e semelhanças podem ser
observadas no tratamento dos números racionais em livros didáticos de matemática,
durante o período compreendido entre 1929 e 1970”.
Foi a partir de análises em livros didáticos publicados nos períodos em que
ocorreram as reformas educacionais, durante os anos de 1930 até 1970 que tentamos
responder a tais questões. O primeiro livro analisado foi o de Euclides de Medeiros
Guimarães Roxo, o “Curso de Mathematica Elementar”; o segundo foi o livro
“Elementos de Matemática” de autoria de Jacomo Stávale e o último foi o de autoria de
Osvaldo Sangiorgi intitulado “Matemática – curso moderno”. Esses manuais foram
publicados nos anos de 1929, 1956 e 1970, respectivamente.
104
Para responder a primeira pergunta tomamos por base as reformas educacionais
Francisco Campos, Capanema e o MMM focalizando as mudanças ocorridas no ensino
da Matemática no decorrer de tais reformas.
Um personagem marcante da reforma Francisco Campos foi Euclides de
Medeiros Guimarães Roxo. Como diretor do Colégio Pedro II, implementou um
programa por ele mesmo elaborado, o qual criava a disciplina designada por
“Matemática” em que procurava unificar os três ramos da Matemática (Aritmética,
Álgebra e Geometria/Trigonometria). Essas ideias foram baseadas no movimento
internacional liderado por Félix Klein, no início do século XX. Foi na Reforma
Francisco Campos, que ocorreu em 1931, que a criação desta nova matéria foi
consolidada no Brasil. Para ratificar a união dos ramos da Matemática, neste mesmo
ano, segundo a Reforma Francisco Campos, iniciavam-se os estudos com introdução à
Geometria, passava para Aritmética e, em seguida, estudava-se Álgebra.
Nessa reforma, pudemos verificar que os números em sua representação
decimal foram trabalhados na primeira série do curso ginasial, na parte que tratava da
Aritmética,
Para a realização da reforma Capanema, primeiramente o ministro Gustavo
Capanema, analisou as alterações no ensino secundário produzidas pela reforma
Francisco Campos. Euclides Roxo foi convidado a participar da comissão encarregada
de elaborar os novos programas de Matemática.
Nessa reforma, embora os ramos da matemática (Aritmética, Álgebra e
Geometria/Trigonometria) estivessem reunidos em uma única disciplina, não eram
estudados simultaneamente, eram tratados em separado. No primeiro ano do curso
científico, por exemplo, os estudos iniciavam-se com a Aritmética teórica, passando
pela Álgebra e, posteriormente a Geometria. Os números decimais, na reforma
Capanema foram apresentados para a primeira série do curso científico.
Já na Portaria de 1951, tratava dos programas mínimos que serviria de
parâmetro para os estabelecimentos de ensino secundário elaborarem seus planos de
ensino, os números decimais deveriam ser apresentados na primeira e segunda séries do
primeiro ciclo.
105
Jacomo Stávale foi uma referência desde que foi criada a disciplina
Matemática, tanto no período da Reforma Capanema como também durante a vigência
da Portaria 1951, como dito por Valente (2007), sendo que foram impressas mais de
150 edições de seus livros didáticos e, mesmo depois de sua morte, em 1956, seus livros
ainda continuaram tendo grande tiragem.
Ao tratarmos do MMM, fizemos referência aos cinco Congressos de Educação
Matemática, realizados na Bahia em 1955, em Porto Alegre em 1957, no Rio de Janeiro
em 1959, em Belém no ano de 1962 e o último, que ocorreu em São Paulo em 1966,
ocasião em que alguns professores e estudiosos se reuniram para discutir as mudanças
que estavam ocorrendo mundialmente quanto ao ensino de Matemática. O referido
movimento internacional não elaborou um programa para o ensino da Matemática
Moderna, porém as recomendações dos promotores desse Movimento puderam ser
percebidas em livros didáticos daquela época.
Como apontado nesta pesquisa, foi possível verificar que os números em sua
representação decimal, durante o MMM, foram tratados no primeiro ano do Curso
Ginasial.
Segundo Duarte (2007), o novo currículo escolar dos anos 60 e 70 propunham
que as áreas da Matemática, no caso: aritmética, álgebra, geometria euclidiana,
trigonometria e elementos da geometria analítica, fossem ensinadas por meio do uso da
linguagem da Teoria dos Conjuntos, dando à Matemática um ar sofisticado e adiantado,
ou seja, moderno.
Durante o período de ocorrência do MMM no Brasil, Osvaldo Sangiorgi
destacou-se como um de seus principais representantes. Considerado um excelente
professor, como citado por Valente (2007), foi um ícone do MMM no Brasil, sendo que
seus livros didáticos do ginásio se tornaram best-sellers (VALENTE, 2009).
Como constatado, o MMM apresentou algumas semelhanças com a propostas
efetuadas por Euclides Roxo, no que tange aos esforços de apresentar um ensino vivo e
intuitivo e pouco a pouco ser conduzido ao raciocínio abstrato. Nesse sentido, no livro
de Sangiorgi aparecem cores, figuras e até, o que foi chamado pelo autor de “Lembrete
amigo” (p.259), os quais serviam para motivar e auxiliar os alunos no entendimento do
conteúdo que estava sendo trabalhado. O livro didático referente ao MMM inicia-se
106
com uma carta aos estudantes escrita pelo próprio Sangiorgi (1970). Essa preocupação
com o aluno, ao invés de enfatizar o trabalho do professor, foi uma característica
defendida tanto por Euclides Roxo quanto por Sangiorgi. Porém, no que diz respeito ao
tratamento dos números em sua representação decimal, no livro didático de autoria de
Euclides Roxo não se verifica esforços para integrar os ramos da Matemática, no caso,
Geometria, Álgebra e Aritmética, como recomendado pelo primeiro movimento
internacional de melhoria do ensino da Matemática. Tanto no livro didático de Euclides
Roxo quanto no de Osvaldo Sangiorgi não são se observam exercícios, problemas ou
atividades com situações do cotidiano dos educandos.
Para tentar responder a segunda questão “Quais diferenças e semelhanças
podem ser observadas no tratamento dos números racionais em livros didáticos de
matemática, durante o período compreendido entre 1929 e 1970?”, nos deteremos aos
livros didáticos analisados.
O livro “Curso de Mathematica Elementar” de autoria de Euclides Roxo, trata
o conteúdo dos números decimais de forma concisa, com poucas páginas dedicadas ao
assunto, num total de 18. Já Jácomo Stávale, em seu livro “Elementos de Matemática”
dedicou maior quantidade de páginas ao assunto, sendo um total de 26. Osvaldo
Sangiogi em seu livro didático “Matemática – curso moderno” utilizou 23 páginas para
o tratamento desse conteúdo.
Pudemos observar que todos esses livros didáticos fazem uma abordagem
parecida, tratando esse assunto quase que da mesma forma, não obstante a diferença
temporal dessas publicações e as diferentes reformas em que essas produções didáticas
caracterizam o fenômeno da vulgata.
A quantidade de exercícios em cada um dos livros analisados também é um
fator que merece atenção. Enquanto o “Curso de Mathematica Elementar” dispõe em
suas páginas apenas 25 exercícios para o tratamento dos números decimais, o livro
“Elementos de Matemática” apresenta 189 exercícios e o “Matemática – curso
moderno” dedica 40 exercícios ao assunto. Com características semelhantes nas
páginas dedicadas aos números decimais, verificamos, porém, que o “Matemática –
curso moderno” apresenta a potenciação e radiciação de números decimais, o qual não é
107
citado por nenhum dos outros livros e, somente o livro “Elementos de Matemática”
apresenta situações-problema e exercícios com solução ou resposta.
De acordo com as análises realizadas, no que tange ao tratamento dos números
em sua representação decimal, constatamos que Euclides Roxo e Osvaldo Sangiorgi
apresentaram o referido conteúdo de maneira tradicional, não seguindo as
recomendações de cada reforma, no caso a Francisco Campos e o MMM,
respectivamente.
Embora o trabalho com a Teoria dos Conjuntos fosse um dos diferenciais do
MMM, Sangiorgi, de uma maneira acanhada, fez uso da linguagem da Teoria dos
Conjuntos em sua explanação sobre os números em sua representação decimal, quando
trata da multiplicação dos números decimais. Citou, ainda, que tanto para os números
decimais quanto para os fracionários são válidas as mesmas propriedades estruturais.
Como verificado, nem Roxo ou Sangiorgi apresentaram situações-problemas
para o ensino dos números em sua representação decimal. No caso de Euclides Roxo,
indo no sentido contrário a uma das recomendações do Primeiro Movimento
Internacional para a Melhoria do Ensino de Matemática, qual seja, um ensino voltado
para fazer com que o aluno, por meio de perguntas, descobrisse as regras e/ou
definições matemáticas. Além disso, não se percebeu o estudo simultâneo e integrado
das várias áreas da Matemática.
Somente Jacomo Stávale, o qual seguia como referencial para seu livro as
recomendações da reforma Capanema, dedicou-se a fazê-lo. Entretanto, Stávale, assim
como os outros dois referidos autores tratou os números decimais de maneira
tradicional, apresentando uma grande quantidade de exercícios de fixação.
O rigor e o formalismo são percebidos na explanação de uma regra referente à
multiplicação de números decimais. Nesse caso, Euclides Roxo (1929) e Sangiorgi
(1970) iniciam o assunto com um exemplo e posteriormente mostravam a referida regra.
Já Stávale (1956) apresenta a multiplicação dos números decimais, iniciando com a
regra para, em seguida, apresentar um exemplo do assunto.
108
Sendo assim, inferimos que, ao que tudo indica, não ocorreu uma expressiva
mudança na apresentação dos números em sua representação decimal nos livros
didáticos de 1929 à 1970.
Com isso, podemos dizer que as ideias de Euclides Roxo permearam as
mudanças educacionais ocorridas no Brasil até o início do Movimento da Matemática
Moderna. Será que esta mesma constatação pode ser verificada ao analisarmos o
Currículo Oficial do Estado de São, que foi implantado em 2008? A resposta para tal
pergunta cabe a outras investigações.
109
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pretensão da exatidão das nossas
referências! Nem sempre somos o que
estamos, mas sempre estaremos naquilo que
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114
ANEXOS
ANEXO I
DECRETO 19.890 DE 18 DE ABRIL DE 1931
Primeira série (3 horas)16
I – Iniciação geométrica:
Principais noções sobre formas geométricas.
Áreas do quadrado, retângulo, paralelogramo, triângulo e trapézio; circunferência e área
do círculo.
Volumes do paralelepípedo retângulo, do cubo, do prisma triangular, do cilindro e do
cone (retos). Fórmulas.
II – Aritmética:
Prática das operações fundamentais. Cálculo abreviado. Exercício de cálculo mental.
Noção de múltiplo e de divisor. Caracteres de divisibilidade.
Decomposição em fatores primos; aplicação ao m.d.c. e ao m.m.c.
Frações ordinárias e decimais. Operações com as frações.
Explicação objetiva pelo fracionamento de objetos ou de grandezas geométricas.
Sistema métrica decimal. Prática das medidas de comprimento, superfície, volume e
peso.
Operações com os números complexos: unidades de tempo e de ângulo.
Sistema inglês de pesos e medidas.
Quadrado e raiz quadrada de números inteiros e decimais; aproximação no cálculo da
raiz.
Traçado de gráficos.
III – Álgebra:
Símbolos algébricos; fórmulas; noção de expoente.
Números relativos ou qualificados. Operações. Explicação objetiva das regras dos
sinais.
Cálculo do valor numérico de monômio e polinômios. Redução de termos semelhantes;
adição e subtração.
Multiplicação de monômios e polinômios em casos simples.
Explicação objetiva pela consideração de áreas.
Potências de monômios. Quadrado de um binômio.
Primeira noção de equação com uma incógnita; resolução de problemas numéricos
simples.
Segunda Série (3 horas)
I – Iniciação geométrica:
16 Quantidade de horas semanais para a disciplina de Matemática para o primeira série, a
mesma referência aparece para os anos seguintes.
115
Noção de ângulo e de rotação; ângulos adjacentes, complementares, suplementares,
opostos pelo vértice.
Medida dos ângulos. Uso do transferidor.
Paralelas e perpendiculares; problemas gráficos sobre seu traçado.
Triângulos: alturas, medianas e bissetrizes; soma dos ângulos internos e externos.
Estudo sucinto dos quadriláteros.
Noções sobre figuras semelhantes; escala.
Medida indireta das distâncias.
Razões entre lados de um triângulo retângulo. Seno, co-seno e tangente de ângulo
agudo. Uso de tabelas de senos, co-senos e tangentes naturais.
II – Aritmética e Álgebra:
Noção de função de uma variável independente. Representação gráfica.
Estudo das funções y = ax e y = a/x; exemplos.
Proporções e suas principais propriedades.
Resolução de problemas sobre grandezas proporcionais.
Porcentagem, juros, desconto (comercial), divisão proporcional, câmbio.
Equações do 1º grau com uma incógnita. Problemas. Interpretação das soluções
negativas.
Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas.
Problemas.
Representação gráfica da função linear de uma variável.
Resolução gráfica de um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Divisão algébrica. Expoente zero. Expoente negativo.
Decomposição em fatores.
Frações algébricas. Simplificações.
Terceira série (3 horas)
I – Aritmética e Álgebra:
Equações e problemas de 1º grau com uma ou mais incógnitas.
Desigualdade do 1º grau.
Potências e raízes.
Estudo das funções y = mx, y = 1/xm e y = √x ; representação gráfica.
Cálculo dos radicais. Expoentes fracionários.
Trinômio do 2º grau.
Equação do 2º grau. Resolução gráfica; resolução analítica.
Discussão: propriedades das raízes.
Desigualdades do 2º grau.
II – Geometria:
Conjunto de proposições fundamentais que servem de base á Geometria dedutiva.
Noções sobre deslocamentos elementares no plano; translação e rotação de figuras.
Simetria.
Estudo de triângulos.
Estudo dos polígonos; soma dos ângulos internos e externos.
Noção e exemplares de lugar geométrico.
Círculo; propriedades dos arcos e cordas. Tangente e normal.
Medida dos ângulos.
Linhas proporcionais; linhas proporcionais no triângulo.
Semelhança: homotetia.
116
Relações métricas no triângulo.
Relações métricas no círculo. Média proporcional.
Quarta série (3 horas)
I – Aritmética e Álgebra:
Equações biquadradas e equações irracionais.
Problemas do 2º grau; discussão.
Progressão aritmética. Propriedades. Interpolação.
Progressão geométrica. Propriedades. Interpolação.
Estudo da função exponencial.
Logaritmos; propriedades. Uso das tábuas.
Régua logarítmica.
Juros compostos; unidades.
II – Geometria:
Polígonos regulares; relações métricas nos polígonos regulares.
Medida da circunferência; cálculo do pi (método dos perímetros).
Áreas; áreas equivalentes; relações entre áreas de figuras semelhantes.
Retas e planos no espaço.
Ângulos poliedros. Triedros suplementares.
Prisma e pirâmide.
Cilindro e cone.
Esfera. Secções planas. Polos; plano tangente; cone e cilindro circunscritos.
Noção sobre geração e classificação das superfícies; superfícies regradas, de revolução,
desenvolvíveis.
As funções circulares; relações entre essas funções. Gráficos.
Expressões da tangente, cotangente, secante e co-secante em função do seno e co-seno.
Seno, co-seno e tangente da soma de dois ângulos, do dobro de um ângulo, da metade
de um ângulo.
Quinta série (3 horas)
Aritmética, Álgebra e Geometria:
Resolução de triângulos retângulos, prática das tábuas de logaritmos.
Casos simples de resolução de triângulos obliquângulos.
Noções de análise combinatória.
Binômio de Newton (caso de expoente inteiro e positivo).
Derivada de um polinômio inteiro em x.
Noção de limite. Derivada de √x. Derivada do seno de x, co-seno de x, tangente de x e
cotangente de x.
Interpretação geométrica da noção de derivada. Aplicação da noção de derivada ao
estudo da variação de algumas funções simples.
Processos elementares de desenvolvimento em série; convergência de uma série.
Desenvolvimento em série do seno, co-seno e tangente.
Problema inverso da derivação. Primitivas imediatas. Aplicação ao cálculo de certas
áreas.
Volumes do prisma e do cilindro; da pirâmide, do cone e dos respectivos troncos.
Volume da esfera e suas partes.
Estudo sucinto das secções cônicas.
117
ANEXO II
PORTARIA MINISTERIAL Nº 177, DE 16 DE MARÇO DE 1943
PROGRAMA DE MATEMÁTICA DO CURSO CLÁSSICO
Primeira série
ARITMÉTICA TEÓRICA
Unidade I – A divisibilidade numérica: 1 – Teoremas gerais sobre divisibilidade. 2 –
Caracteres de divisibilidade. 3 – Teorias do m.m.c. e do m.d.c.. 4 – Teoria dos números
primos; aplicações.
ÁLGEBRA
Unidade II – Os polinômios: 1 – Operações algébricas sobre polinômios. 2 – Teoria da
divisão de polinômios. 3 – Divisão de um polinômio inteiro em x por x ± a; regra e
dispositivo prático de Briot-Ruffini.
Unidade III – O trinômio do 2º grau: 1 – Decomposição em fatores do 1º grau; sinais do
trinômio; desigualdade do 2º grau. 2 – Noção de variável e de função; variação do
trinômio do 2º grau; representação gráfica.
GEOMETRIA
Unidade IV – O plano e a reta no espaço: 1 – Determinação de um plano. 2 –
Intersecção de planos e retas. 3 – Paralelismo de retas e planos. 4 – Reta e plano
perpendiculares. 5 – Perpendiculares e obliquas de um ponto a um plano. 6 – Diedros;
planos perpendiculares entre si. 7 – Noções sobre ângulos poliédricos.
Unidade V – Os poliedros: 1 – Noções gerais. 2 – Estudo dos prismas e pirâmides e
respectivos troncos; área e volume desses sólidos.
Segunda Série
ÁLGEBRA
Unidade I – Progressões e logaritmos: 1 – Estudo das progressões aritméticas e
geométricas. 2 – Teoria dos logaritmos; uso das tábuas; aplicações. 3 – Resolução de
algumas equações exponenciais simples.
Unidade II – O binômio de Newton: 1 – Noções sobre análise combinatória. 2 –
Binômio de Newton.
GEOMETRIA
Unidade III – Os corpos redondos: 1 – Noções sobre geração e classificação das
superfícies. 2 – Estudo do cilindro e do cone; áreas e volumes desses sólidos. 3 – Estudo
da esfera; área da esfera, da zona e do fuso esférico; volume da esfera.
TRIGONOMETRIA
Unidade IV – Vetor: 1 – Grandezas escalares e vetoriais. 2 – Noção de vetor;
equipolência. 3 – Resultante ou soma geométrica de vetores. 4 – Vetores deslizantes
sobre um eixo; medida algébrica; teorema de Chasles.
Unidade V – Projeções: 1 – Projeção ortogonal de um vetor sobre um eixo. 2 – Teorema
de Carnot. 3 – Valor da projeção de um vetor.
118
Unidade VI – Funções circulares: 1 – Generalização das noções de arco e de ângulo;
arcos côngruos; arcos de mesma origem e extremidades associadas. 2 – Funções
circulares ou trigonométricas; definição, variação, redução ao primeiro quadrante. 3 –
relações entre as funções circulares de um mesmo arco. 4 – Cálculo das funções
circulares dos arcos de 30º, 45º e 60º.
Unidade VII – Resolução de triângulos: 1 – Relações entre os elementos de um
triângulo. 2 – Uso das tábuas trigonométricas. 3 – Resolução de triângulos retângulos.
Terceira Série
ÁLGEBRA
Unidade I – Funções: 1 – Noção de função variável real. 2 – Representação cartesiana.
3 – Noção de limite e continuidade.
Unidade II – Derivadas: 1 – Definição; interpretação geométrica e cinemática. 2 –
Cálculo das derivadas. 3 – Derivação das funções elementares. 4 – Aplicação à
determinação dos máximos e mínimos e ao estudo da variação de algumas funções
simples.
GEOMETRIA
Unidade III – Curvas usuais: 1 – Definição e propriedades fundamentais da elipse, da
hipérbole e da parábola. 2 – As secções cônicas. 3 – Definição e propriedades
fundamentais da hélice cilíndrica.
GEOMETRIA ANALÍTICA
Unidade IV – Noções fundamentais: 1 – Concepção de Descartes. 2 – Coordenadas;
abscissas sobre a reta; coordenadas retilíneas no plano. 3 – Distância de dois pontos;
ponto que divide um segmento numa razão dada. 4 – Determinação de uma direção;
ângulo de duas direções.
Unidade V – Lugares geométricos: 1 – Equação natural de um lugar geométrico; sua
interpretação. 2 – Passagem da equação natural para a equação retilínea retangular. 3 –
Equação da reta. 4 – Equação do círculo. 5 – Equações reduzidas da elipse, da hipérbole
e da parábola.
PROGRAMA DE MATEMÁTICA DO CURSO CIENTÍFICO
Primeira Série
ARITMÉTICA TEÓRICA
Unidade I – As operações aritméticas fundamentais: 1 – Teoria da adição, da subtração,
da multiplicação e da divisão, da potenciação e da radiciação de inteiros. 2 – Sistemas
de numeração.
Unidade II – A divisibilidade numérica: 1 – Teoremas gerais sobre divisibilidade. 2 –
Caracteres de divisibilidade. 3 – Teorias do m.d.c. e do m.m.c.. 4 – Teoria dos números
primos; aplicações.
Unidade III – Os números fracionários: 1 – Teoria das operações aritméticas sobre
números fracionários. 2 – Noções sobre cálculo numérico aproximado. Erros.
Operações abreviadas.
ÁLGEBRA
119
Unidade IV – Os polinômios: 1 – Operações algébricas sobre polinômios. 2 – Teoria da
divisão de polinômios. 3 – Identidade de polinômios; método dos coeficientes a
determinar; identidades clássicas. 4 – Divisão de um polinômio inteiro em x por x ± a;
regra e dispositivo de Briot-Ruffini.
Unidade V – O trinômio do 2 º grau: 1 – Decomposição em fatores do 1º grau; sinais do
trinômio; inequações do 2º grau. 2 – Noção de variável e de função; variação do
trinômio do 2º grau; representação gráfica. 3 – Noções elementares sobre continuidade e
sobre máximos e mínimos.
GEOMETRIA
Unidade VI – O plano e a reta no espaço: 1 – Determinação de um plano. 2 –
Intersecção de planos e retas. 3 – Paralelismo de retas e planos. 4 – Reta e plano
perpendiculares. 5 – Perpendiculares e obliquas de um ponto a um plano. 6 – Diedros;
planos perpendiculares entre si. 7 – Ângulos poliédricos; estudo especial dos triedros.
Unidade VII – Os poliedros: 1 – Noções gerais. 2 – Estudo dos prismas e pirâmides e
respectivos troncos; áreas e volumes desses sólidos; Teorema de EULER; noções sobre
os poliedros regulares.
Segunda Série
ÁLGEBRA
Unidade I – A função exponencial: 1 – Estudo das progressões aritméticas e
geométricas. 2 – Noção de função exponencial e de sua função inversa. 3 – Teoria dos
logaritmos; uso das tábuas; aplicações. 4 – Resolução de algumas equações
exponenciais.
Unidade II – O binômio de Newton: 1 – Noções sobre análise combinatória. 2 –
Binômio de Newton.
Unidade III – Determinantes: 1 – Teoria dos determinantes. 2 – Aplicação aos sistemas
de equações lineares; regras de Crammer, teorema de Rouché.
Unidade IV – Frações contínuas: Noções sobre frações contínuas.
GEOMETRIA
Unidade V – Os corpos redondos: 1 – Noções sobre geração e classificação das
superfícies. 2 – Estudo do cilindro e do cone; áreas e volumes desses sólidos. 3 – Estudo
da esfera; área da esfera, da zona e do fuso esférico; volume da esfera.
TRIGONOMETRIA
Unidade VI – Vetor: 1 – Grandezas escalares e vetoriais. 2 – Noção de vetor;
equipolência. 3 – Resultante ou soma geométrica de vetores. 4 – Vetores deslizantes
sobre um eixo; medida algébrica; teorema de chasles.
Unidade VII – Projeções: 1 – Projeção ortogonal de um vetor sobre um eixo. 2 –
Teorema de Carnot. 3 – Valor da projeção de um vetor.
Unidade VIII – Funções circulares: 1 – Generalização das noções de arco e de ângulo;
arcos côngruos; arcos de mesma origem e extremidades associadas. 2 – Funções
circulares ou trigonométricas; definição, variação, redução ao primeiro quadrante. 3 –
Relações entre as funções circulares de um mesmo arco. 4 – Cálculo das funções
circulares dos arcos p/n.
120
Unidade IX – transformações trigonométricas: 1 – Fórmulas de adição, subtração,
multiplicação e divisão de arcos; aplicações. 2 – Transformação de somas em produtos;
aplicação ao cálculo numérico. 3 – Uso das tábuas trigonométricas.
Unidade X – Equações trigonométricas: Resolução e discussão de algumas equações
trigonométricas simples.
Unidade XI – Resolução de triângulos: 1 – Relação entre os elementos de um triângulo.
2 – Resolução de triângulos retângulos. 3 – Resolução de triângulos obliquângulos. 4
Aplicações imediatas à Topografia.
Terceira Série
ÁLGEBRA
Unidade I – Séries: 1 – Sucessões. 2 – Cálculo aritmético dos limites. 3 – Séries
numéricas. 4 – Principais caracteres de convergência.
Unidade II – Funções: 1 – Função de uma variável real. 2 – Representação cartesiana. 3
– Continuidade; pontos de descontinuidade; descontinuidades de uma função racional.
Unidade III – Derivadas: 1 – Definição; interpretação geométrica e cinemática. 2 –
Cálculo das derivadas. 3 – Derivação das funções elementares. 4 – Aplicação à
determinação dos máximos e mínimos e ao estudo da variação de algumas funções
simples.
Unidade IV – Números complexos: 1 – Definição; operações fundamentais. 2 –
Representação trigonométrica e exponencial. 3 – Aplicação à resolução das equações
binômias.
Unidade V – Equações algébricas: 1 – Propriedades gerais dos polinômios. 2 – Relações
entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica; aplicação à composição das
equações. 3 – Noções sobre transformações das equações; equações recíprocas;
equações de raízes iguais.
GEOMETRIA
Unidade VI – Relações métricas: 1 – Teorema de Sewtart e suas aplicações ao cálculo
das linhas notáveis no triângulo. 2 – Relações métricas nos quadriláteros; teorema de
Ptolomeu ou Hiparco. 3 – Potência de um ponto; eixos radicais; planos radicais.
Unidade VII – Transformações de figuras: 1 – Deslocamentos, translação, rotação,
simetria. 2 – Homotetia e semelhança nos espaços de duas e três dimensões. 3 –
Inversão pelos raios vetores recíprocos.
Unidade VIII – Curvas usuais: 1 – Definição e propriedades fundamentais da elipse, da
hipérbole e da parábola. 2 – As secções cônicas. 3 – Definição e propriedades
fundamentais da hélice cilíndrica.
GEOMETRIA ANALÍTICA
Unidade IX – Noções fundamentais: 1 – Concepção de Descartes. 2 – Coordenadas;
abscissas sobre a reta; coordenadas retilíneas no plano. 3 – Distância entre dois pontos;
ponto que divide um segmento numa razão dada. 4 – Determinação de uma direção;
ângulo de duas direções.
Unidade X – Lugares geométricos: 1 – Equação natural de um lugar geométrico; sua
interpretação. 2 – Passagem da equação natural para a equação retilínea retangular. 3 –
Equação da reta. 4 – Equação do círculo. 5 – Equações reduzidas da elipse, da hipérbole
e da parábola. (BRASIL, 1943, s/p).
121
ANEXO III
PORTARIA MINISTERIAL Nº 1045, DE 14 DE DEZEMBRO DE 1951
1º ciclo
1ª série
I – Números inteiros; operações fundamentai; números relativos.
1. Noção de número natural, grandeza, unidade, medida. Numeração: numeração
falada; numeração escrita. Sistema decimal. Valor absoluto e valor relativo dos
algarismos.
2. Adição. Propriedades. Processo de abreviação. Prova.
3. Subtração. Propriedades. Provas. Complemento aritmético de um número.
4. Multiplicação. Propriedades. Processo de abreviação. Prova. Potência de um
número. Produto e quociente de potências de mesma base.
5. Divisão. Divisão aproximada. Propriedades. Processo de abreviação. Prova.
6. Números relativos; interpretações. Adição, subtração, multiplicação, divisão e
potenciação dos números relativos; regras práticas.
II – Divisibilidade aritmética; números primos.
1. Múltiplos e divisores. Divisibilidade. Princípios fundamentais. Caracteres de
divisibilidade por 10 e suas potências; por 2, 4 e 8; por 5 e por 25; por 3 e por 9; por 11.
Propriedades elementares dos restos. Provas das operações por um divisor.
2. Números primos e números compostos; números primos entre si. Crivo de
Eratóstenes. Reconhecimento de um número primo. Decomposição de um número em
fatores primos. Cálculo dos divisores de um número. Número divisível por dois ou mais
números primos entre si dois a dois; aplicação à divisibilidade.
3. Máximo divisor comum. Algoritmo de Euclides; simplificações. Propriedades.
Máximo divisor comum pela decomposição em fatores primos.
4. Mínimo múltiplo comum. Relação entre o máximo divisor comum e o mínimo
múltiplo comum. Propriedades.
III – Números fracionários.
3. Frações. Fração ordinária e fração decimal. Comparação de frações;
simplificação; redução ao mesmo denominador. Operações com frações ordinárias.
4. Frações decimais; números decimais. Propriedades dos números decimais;
operações. Conversão de fração ordinária em número decimal e vice-versa. Número
decimal periódico.
IV – Sistema legal de unidades de medir; unidades e medidas usuais.
1. Unidade legal de comprimento; múltiplos e submúltiplos usuais. Área; unidades
de área; unidade legal; múltiplos e submúltiplos usuais. Área do retângulo, do
paralelogramo, do triângulo, do trapézio e do círculo; fórmulas. Volume; unidade de
volume; unidades legais; múltiplos e submúltiplos usuais. Volume do paralelepípedo,
do prisma, da pirâmide, do cilindro, do cone e da esfera; fórmulas. Peso e massa;
unidade legal; múltiplos e submúltiplos usuais. Densidade; aplicações.
2. Unidade de ângulo e de tempo. Unidades inglesas e norte-americanas mais
conhecidas no Brasil. Números complexos; operações; conversões.
3. Unidade de velocidade. Velocidade angular.
122
2ª série
I – Potências e raízes; expressões irracionais.
6. Potência de um número; quadrado e cubo. Operações com potências; potências
de mesma base e potências semelhantes. Expoente zero; expoente negativo. Potência
das frações. Potência de um número decimal.
7. Expressão do quadrado da soma indicada de dois números e do produto da soma
indicada pela diferença indicada de dois números; interpretação geométrica. Diferença
entre os quadrados de dois números inteiros consecutivos.
8. Raiz quadrada. Regra prática para a extração da raiz quadrada dos números
inteiros. Limite do resto na extração da raiz quadrada. Prova. Raiz quadrada de um
produto. Aproximação decimal no cálculo da raiz quadrada. Raiz quadrada dos números
decimais. Raiz quadrada das frações.
9. Raqiz cúbica. Regra prática para a extração da raiz cpubica dos números
inteiros. Prova. Raiz cúbica de um produto. Aproximação decimal no cálculo da raiz
cúbica. Raiz cúbica de um número decimal. Raiz cúbica das frações.
10. Grandezas comensuráveis e grandezas incomensuráveis. Números racionais e
números irracionais. Radicais. Valor aritmético de um radical. Transformação do índice
e do expoente; redução dos radicais ao mesmo índice; comparação de radicais; redução
de um mesmo radical à expressão mais simples. Operações com radicais. Potenciação e
radiciação de potências; expoentes fracionários. Exemplos simples de racionalização de
denominadores.
II – Cálculo literal; polinômios.
1. Expressão algébrica. Valor numérico. Classificação das expressões algébricas.
Monômios e polinômios; ordenação.
2. Adição. Reduação de termos semelhantes. Adição e subtração de polinômios.
3. Multiplicação de monômios e polinômios. Produtos notáveis.
4. Divisão de monômios; divisão de polinmômios com uma variável.
5. Casos simples de fatoração; identidades.
6. Frações literais; propriedades; operações fundamentais.
III – Binômio Linear; equações e inequações do 1º grau com uma incógnita; sistemas
lineares com duas incógnitas.
1. Igualdade, identidade, equação. Classificação das equações. Equações
equivalentes. Resolução de uma equação do primeiro grau com uma incógnita;
equações literais. Discussão de uma equação do primeiro grau com uma incógnita.
Binômio linear; decomposição em fatores; variação do sinal e do valor.
2. Desigualdade. Comparação de números relativos. Propriedades das
desigualdades; operações. Inequação. Resolução das inequações do primeiro grau com
uma incógnita.
3. Equações do primeiro grau com duas incógnitas; sistemas de equações
simultâneas. Resolução de um sistema linear com duas incógnitas pelos métodos de
eliminação por substituição, por adição e por comparação. Discussão de um sistema
linear de duas equações com duas incógnitas.
4. Problemas do 1º grau com uma e com duas incógnitas; generalização; discussão.
3ª série
I – Razões e proporções; aplicações aritméticas.
1. Razão de dois números; razão de duas grandezas. Propriedades das razões.
Razões iguais; propriedades. Quarta proporcional. Cálculo de um termo qualquer de
uma proporção. Proporção contínua; média proporcional; terceira proporcional.
123
Propriedades mais usadas nas proporções. Ideia geral de média; média aritmética, média
geométrica e média harmônica. Médias ponderadas.
2. Números proporcionais; propriedades. Divisão em partes diretamente
proporcionais em partes inversamente proporcionais a números dados.
3. Regra de três. Resolução de problemas de regra de três simples e composta.
4. Porcentagem; problemas. Taxa milesimal.
5. Juros simples; problemas.
II – Figuras geométricas planas; reta e círculo.
1. Figuras geométricas; ponto, linha, superfície, reta e plano. Congruência.
2. Ângulos; definições; classificação e propriedades.
3. Linha poligonal; polígonos; classificação. Número de diagonais de um polígono.
4. Triângulo; definições, classificação. Grandeza relativa dos lados. Triângulo
isósceles, propriedades. Casos clássicos de congruência de triângulos. Correspondência,
na desigualdade, entre os lados e os ângulos. Comparação de linhas de mesmas
extremidades.
5. Perpendiculares e oblíquas. Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos.
6. Paralelas. Ângulos formados por duas retas quando cortadas por uma
transversal; propriedades. Propriedades de duas retas perpendiculares a uma terceira.
Postulados de Euclides; consequências. Propriedades dos seguimentos de paralelas
compreendidos entre paralelas. Propriedades de ângulos de lados paralelos ou de lados
perpendiculares.
7. Soma dos ângulos internos de um triângulo; consequências. Soma dos ângulos
internos e dos ângulos externos de um polígono.
8. Quadriláteros: classificação dos quadriláteros convexos: classificação dos
paralelogramos e dos trapézios. Propriedades paralelogramo e do trapézio. Translação.
Retas concorrentes no triângulo.
9. Circunferência e círculo; definições. Propriedades do diâmetro. Arcos e cordas;
propriedades. Distância de um ponto a uma circunferência. Tangente e normal. Posições
relativas de dois círculos. Rotação.
10. Correspondência de arcos e ângulos. Medida do ângulo central, do ângulo
inscrito, do ângulo de segmento, do ângulo excêntrico interior, do ângulo excêntrico
exterior. Segmento capaz de um ângulo dado.
III – Linhas proporcionais; semelhanças de polígonos.
1. Pontos que dividem um segmento numa razão dada. Divisão harmônica.
2. Segmentos determinados sobre transversais por um feixe de paralelas.
3. Linhas proporcionais no triângulo; propriedades das bissetrizes de um triângulo;
lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a dois pontos fixos é constante.
4. Semelhança de triângulos; casos clássicos. Semelhança de polígonos.
IV – Relações trigonométricas no triângulo retângulo. Tábuas naturais.
1. Definição do seno, do co-seno e da tangente de um ângulo dado. Construção de
um ângulo dado o seno, o co-seno ou a tangente.
2. Uso das tábuas naturais. Cálculo dos lados de um triângulo retângulo; projeção
de um segmento.
4ª série
I – Trinômio do segundo grau; equações e inequações do 2º grau com uma incógnita.
1. Equações do 2º grau. Resolução das equações incompletas. Resolução da
equação completa; estabelecimento da fórmula de resolução por um dos métodos
clássicos; fórmulas simplificadas. Discussão das raízes: casos de raízes diferentes, de
124
raízes iguais e da não existência de raízes. Relação entre os coeficientes e as raízes.
Composição da equação dadas as raízes.
2. Trinômio do segundo grau; decomposição em fatores; sinais do trinômio; forma
canônica. Variação em sinal e em valor. Posição de um número em relação às raízes do
trinômio. Valor máximo ou mínimo do trinômio do segundo grau. Inequações do
segundo grau; tipos. Resolução de inequações do segundo grau.
3. Problemas do segundo grau; discussão. Divisão áurea.
4. Equações redutíveis ao segundo grau; equações biquadradas; equações
irracionais. Transformação de forma: BA .
II – Relações métricas nos polígonos e no círculo; Cálculo de π.
1. Relações métricas no triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras; triângulos
pitagóricos.
2. Relações métricas no triângulo qualquer; relação dos co-senos.
3. Cálculo das medianas, das alturas e das bissetrizes de um triângulo.
4. Relações métricas no círculo. Corda e diâmetro que partem de um mesmo ponto.
Ordenada de um ponto da circunferência. Cordas que se cortam. Potência de um ponto
em relação a um círculo; expressões da potência. Construções geométricas elementares.
5. Polígonos inscritíveis e circunscritíveis. Teorema de Hiparco. Teorema de Pilot.
6. Polígonos regulares; propriedades.
7. Construção e cálculo do lado do quadrado, do hexágono regular, do triângulo
equilátero e do decágono regular convexo. Cálculo dos apótemas.
8. Lado do polígono regular convexo de 2n lados em função de n lados.
9. Medição da circunferência. Comprimento de um arco de curva. Razão da
circunferência para o diâmetro. Expressões do comprimento da circunferência e de um
arco qualquer.
10. Cálculo de π pelo método dos perímetros.
III – Áreas das figuras planas.
1. Medição das áreas das principais figuras planas. Área do triângulo equilátero em
função do lado; área de um triângulo em função dos três lados, em função do raio do
círculo circunscrito e em função do raio do circulo inscrito.
2. Relações métricas entre áreas; áreas dos polígonos semelhantes. Teorema de
Pitágoras. Construções geométricas. Problemas de equivalências.
2º ciclo
1ª série
I – Noções sobre o cálculo aritmético aproximado; erros.
1. Aproximação e erro. Valor por falta ou por excesso. Erro absoluto e erro
relativo. Algarismos exatos de um número aproximado. Erro de arredondamento.
2. Adição, subtração, multiplicação e divisão com números aproximados. O cálculo
da aproximação dos resultados e seu problema inverso; método dos erros absolutos.
II – Progressões.
1. Progressões aritméticas: termo geral; soma dos termos. Interpolação aritmética.
2. Progressões geométricas: termo geral; soma e produto dos termos. Interpolação
geométrica.
III – Logaritmos.
1. O cálculo logarítmico como operação inversa da potenciação. Propriedades
gerais dos logaritmos; mudança de base. Característica e mantissa. Cologaritmo.
2. Logaritmos decimais; propriedades. Disposição e uso das tábuas de logaritmos.
Aplicação ao cálculo numérico.
125
3. Equações exponenciais simples; sua resolução com o emprego de logaritmos.
IV – Retas e planos; superfícies e poliedros em geral; corpos redondos usuais;
definições e propriedades; áreas e volumes:
1. Reta e plano; postulados; determinação; intersecção; paralelismo; distância;
inclinação e perpendicularismo. Diedros e triedros. Ângulos sólidos em geral.
2. Generalidades sobre os poliedros em geral. Poliedros regulares; indicações
gerais.
3. Prismas; propriedades gerais e, em especial, dos paralelepípedos; área lateral,
área total; volume.
4. Pirâmides; propriedades gerais; área lateral; área total; volume. Troncos de
prisma e troncos de pirâmide.
5. Estudo sucinto das superfícies em geral. Superfícies retilíneas e superfícies
curvilíneas. Superfícies desenvolvíveis e superfícies reversas. Superfícies de revolução.
Exemplos elementares dos principais tipos da classificação de Monge.
6. Cilindros; propriedades gerais; área lateral; área total; volume; Troncos de
cilindro.
7. Cones: propriedades gerais; área lateral; área total; volume. Troncos de cone de
bases paralelas.
8. Esfera; propriedades gerais. Área e volume da esfera e das suas diversas partes.
V – seções cônicas; definições e propriedades fundamentais.
1. Elipse; definição e traçado; círculo principal e círculos diretores; excentricidade;
tangente.
2. Hipérbole; definição e traçado; assíntotas; círculo principal e círculos diretores;
excentricidade; tangente.
3. As seções determinadas por um plano numa superfície cônica de revolução;
teorema de Dandelin.
2ª série
I – Análise combinatória simples.
1. Arranjos de objetos distintos; formação e cálculo do número de grupamentos.
2. Permutação de objetos distintos; formação e cálculo do número de grupamentos.
Inversão. Classe de uma permutação. Teorema de Bezout.
3. Permutações simples, com objetos repetidos; cálculo do número de
grupamentos.
4. Combinações de objetos distintos; formação e cálculo do número de
grupamentos. Relação de Stifel, triângulo aritmético de Pascal.
II – Binômio de Newton.
1. Lei de formação do produto de binômios distintos. Fórmula para o
desenvolvimento binomial no caso de expoente inteiro e positivo; lei recorrente de
formação dos termos.
2. Aplicação do desenvolvimento binomial ao problema da somação de potências
semelhantes de uma sucessão de números naturais.
III – Determinantes; sistemas lineares.
1. Determinantes e matrizes quadradas; propriedades fundamentais. Regra de
Sarrus. Determinantes menores. Desenvolvimento de um determinante segundo os
elementos de uma linha ou coluna. Transformação dos determinantes. Abaixamento da
ordem de um determinante pela regra de Chio.
2. Sistemas de n equações lineares com n incógnitas. Regra de Cramer.
3. Sistemas de m equações lineares com n incógnitas; teorema de Reaché.
126
IV – noções sobre vetores; projeções; áreas e ângulos; linhas e relações trigonométricas.
1. Grandezas escalares e vetoriais. Vetores; propriedades. Operações elementares
com vetores. Relação de Chasles.
2. Projeção ortogonal de um vetor sobre um eixo. Teorema de Carnot.
3. Generalização dos conceitos de arco e de ângulo. Arcos côngruos. Arcos da
mesma origem e de extremidades associadas.
4. Linhas e funções trigonométricas diretas; definições e variação. Arcos
correspondentes à mesma linha trigonométrica. Relações entre as linhas trigonométricas
de um mesmo arco. Problema geral da redução ao 1º quadrante. Cálculo das linhas
trigonométricas dos arcos expressos pela relação n
.
V – transformações trigonométricas em geral; equações trigonométricas simples.
1. Adição, subtração e multiplicação de arcos. Bisseção de arcos. Transformação
de somas de linhas trigonométricas em produtos.
2. Disposição e uso de tábuas trigonométricas naturais e logarítmicas.
3. Equações trigonométricas simples tipos clássicos.
VI – Resolução trigonométrica de triângulos.
1. Relações entre os elementos de um triângulo retângulo.
2. Casos clássicos de resolução de triângulos retângulos.
3. Relações entre os elementos de um triângulo qualquer, Lei dos senos, Relações
dos co-senos. Expressão trigonométrica da área.
4. Casos clássicos de resolução de triângulos quaisquer.
3ª série
I – Conceito de função; representação cartesiana; reta e círculo; noção intuitiva de limite
e de continuidade.
1. Conceito elementar de variável e de função. Variável progressiva e variável
contínua; intervalos. Noção intuitiva de limite de uma sucessão; exemplos clássicos
elementares; convergência.
2. Funções elementares; classificação. Representação cartesiana de uma função e
equação de uma curva. Curvas geométricas e curvas empíricas; noção intuitiva de
continuidade. Representação gráfica de funções usuais; função exponencial; função
logarítmica e funções trigonométricas diretas. Acréscimo de uma função num ponto;
funções crescentes e funções decrescentes. Tangente; inclinação da tangente.
3. Limite de variáveis e de funções; limites infinitos. Propriedades fundamentais.
Exemplos elementares de descontinuidade de uma função em um ponto.
Descontinuidade das funções racionais fracionárias.
4. A função linear e a linha reta em coordenadas cartesianas. Parâmetro angular e
parâmetro linear. Formas diversas da equação da linha reta. Representação paramétrica;
área de um triângulo em função das coordenadas dos vértices. Os problemas clássicos
de inclinação, intersecção, passagem e distância, relativos à linha reta.
5. A equação geral do 2º grau com duas variáveis e a circunferência de círculo em
coordenadas cartesianas. Formas diversas da equação da circunferência de círculo.
Intersecção de círculo. Intersecção de retas e circunferências.
II – Noções sobre derivadas e primitivas; interpretações; aplicações.
1. Definição da derivada em um ponto; notações; derivada infinita. Interpretação
geométrica e cinemática da derivada. Diferença e diferencial; interpretação geométrica.
Funções derivadas. Derivação sucessiva.
127
2. Regras de derivação: derivada de uma constante; de uma função de variação; de
funções inversas: da soma, do produto, e do quociente de funções. Aplicação à
derivação de funções elementares.
3. Aplicação da teoria das derivadas ao estudo da variação de uma função. Funções
crescentes e funções decrescentes; máximos e mínimos relativos; interpretação
geométrica.
4. Funções primitivas; integral indefinida: constante de integração. Primitivas
imediatas; regras simples de integração.
5. Integral definida. Aplicação ao cálculo de áreas e de volumes; exemplos
elementares.
III – introdução à teoria das equações; polinômios; propriedades; divisibilidade por x ±
a; problemas de composição, transformação e pesquisa de raízes; equações de tipos
especiais.
1. Polinômios de uma variável; identidade. Aplicação ao método dos coeficientes a
determinar. Divisibilidade de um polinômio inteiro em x. por x ± a; regra e dispositivo
prático de Ruffini. Fórmula de Taylor para os polinômios; algoritmo de Rufini-Horner.
2. Polinômios e equações algébricas em geral; raízes ou zeros. Conceito elementar
de número complexo; forma binomial; complexos conjugados; módulo; representação
geométrica. Operações racionais. Decomposição de um polinômio em fatores binômios;
número de raízes de uma equação; raízes múltiplos e raízes nulas. Raízes complexas
conjugadas. Indicação sobre o número de raízes reais contidas em um dado intervalo;
teorema de Bolzano; consequências.
3. Relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação; aplicação à
composição das equações. Propriedade das raízes racionais inteiras e fracionárias.
4. Transformação das equações, transformações de primeira ordem: aditivas,
multiplicativas e recíprocas.
5. Equações recíprocas; classificação; forma normal; abaixamento do grau.Cálculo
das raízes inteiras. Determinação das cotas pelo método de Laguerre-Thibault. Regras
de Exclusão de Newton.