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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Artigos
Versão Online ISBN 978-85-8015-080-3Cadernos PDE
I
ÁREA E VOLUME DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS ATRAVÉS DA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Autora: Edna Fernandes de Souza Berbert 1
Orientador: Dr. Bruno Rodrigo Teixeira 2
Resumo Neste artigo é apresentado o relato de uma experiência desenvolvida com alunos de 3º ano do Ensino Médio, de uma escola pública do estado do Paraná, onde foi abordado o conteúdo Área e volume de sólidos geométricos utilizando a Resolução de Problemas como metodologia de ensino, na qual um problema que contemple o conteúdo a ser explorado é o ponto de partida para o aprendizado dos alunos. No desenvolvimento do trabalho com os alunos teve-se como objetivo principal oportunizar a formalização do cálculo de área e de volume de sólidos geométricos, e, por meio de sua realização foi possível observar que a utilização da metodologia oferece a possibilidade de o aluno empenhar-se na construção de conhecimentos matemáticos, participando do processo que leva ao estabelecimento das fórmulas, atendendo, desta forma, o que é recomendado por documentos oficiais como as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006). Palavras-chave : Tendências metodológicas em Educação Matemática. Resolução de Problemas. Geometria espacial. Ensino Médio.
1. Introdução
Dada à importância histórica da Geometria (GASPAR; MAURO, 2004) e pela
sua presença em situações do cotidiano (BRASIL, 2006; PRADO; ALLEVATO,
2010), saber seus conceitos e resolver problemas envolvendo cálculos relativos a
ela é tido, de um modo geral, como importante, além de recomendado pelas
Orientações Curriculares para o Ensino Médio: “o estudo da Geometria deve
possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas
práticos do quotidiano,[...]” (BRASIL, 2006, p.75), tendo esse estudo aspectos que
levam ao cálculo de comprimentos, de áreas e de volumes (BRASIL, 2006).
Além disso, as Orientações Curriculares para o Ensino Médio norteiam que as
tarefas propostas em relação às grandezas geométricas devem oferecer
oportunidades para a solidificação dos conceitos anteriormente aprendidos, sendo
enfatizada a importância da percepção, por parte do aluno, dos processos que
1 Professora Licenciada em Matemática com Especialização em Administração, Supervisão e Orientação Educacional e em Educação de Jovens e Adultos. Professora – PDE 2014. Endereço eletrônico: [email protected] 2 Doutor em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Londrina. Endereço eletrônico: [email protected]
levam ao estabelecimento das fórmulas, evitando-se que sejam simplesmente
apresentadas (BRASIL, 2006).
Na busca de seguir esta recomendação das Orientações Curriculares para o
Ensino Médio e auxiliar os alunos nas dificuldades em cálculos de área e de volume
envolvendo sólidos geométricos observadas pela autora do artigo ao longo de sua
atuação profissional nos terceiros anos de Ensino Médio, considerou-se promissora
a utilização da metodologia de ensino através da Resolução de Problemas, a qual
consiste em iniciar o conteúdo matemático utilizando um problema que expressa
aspectos-chave do tópico a ser estudado, chamado de problema gerador
(ONUCHIC; ALLEVATO, 2009). Assim, “[...] um problema é ponto de partida e
orientação para a aprendizagem, e a construção do conhecimento far-se-á através
de sua resolução.” (ibidem, p. 97).
Nessa perspectiva de trabalho “professor e alunos, juntos, desenvolvem esse
trabalho, e a aprendizagem realiza-se de modo cooperativo e colaborativo em sala
de aula” (ONUCHIC; ALLEVATO, 2009, p.97).
Tendo isso em vista e considerando que a Resolução de Problemas se
constitui em uma maneira de trabalhar em sala de aula que tem trazido resultados
satisfatórios (ALLEVATO, ONUCHIC, 2009; ONUCHIC, ALLEVATO, 2009; PRADO,
ALLEVATO, 2010; NUNES, ONUCHIC, 2010), o ensino através da Resolução de
Problemas foi opção metodológica adotada para trabalhar o conteúdo mencionado,
por meio da aplicação de um projeto desenvolvido no âmbito do Programa de
Desenvolvimento Educacional (PDE) cuja experiência de implementação é relatada
neste artigo.
2. Aspectos teóricos
O cálculo de área, volume e capacidade de sólidos geométricos, bem como a
resolução de problemas envolvendo tais cálculos são contemplados no Caderno de
Expectativas de Aprendizagem do Estado do Paraná (PARANÁ, 2012).
Nos últimos anos, estudos têm apresentado potencialidades do ensino da
Matemática através da Resolução de Problemas (ALLEVATO, ONUCHIC, 2009;
ONUCHIC, ALLEVATO, 2009; PRADO, ALLEVATO, 2010; NUNES, ONUCHIC,
2010). Entre eles, alguns tratam especificamente da abordagem de conteúdos de
Geometria por meio dessa metodologia (ONUCHIC, ALLEVATO, 2009; NUNES,
ONUCHIC, 2010; PRADO, ALLEVATO, 2010).
Onuchic e Allevato (2009), utilizando a Resolução de Problemas como
metodologia de ensino, desenvolveram um trabalho que consistia na exploração das
resoluções de problemas envolvendo volume de cilindro, para, em seguida
procederem discussões com o objetivo de chegar a uma formalização de conceitos e
ideias relacionados ao conteúdo matemático.
O trabalho propunha apresentar a referida metodologia como proposta para o
trabalho docente e foi desenvolvido com os participantes de um minicurso do qual
faziam parte professores em formação inicial, alunos do curso de Licenciatura em
Matemática e professores da Educação Básica e do Ensino Superior em exercício.
Ao concluir o referido trabalho estas autoras afirmam o seguinte a respeito da
Resolução de Problemas:
[...] estamos convencidas de que ela pode ser assumida como um caminho capaz de fazer os alunos se entusiasmarem com o aprendizado da matemática, realizando-o com compreensão e significado. Também estamos convencidas de que, quando um aluno entende o que está fazendo ao resolver um problema, ele se vê como alguém capaz de raciocinar por si mesmo e de buscar descobrir caminhos para a sua resolução. (p.102-103)
Também Nunes e Onuchic (2010) utilizaram a metodologia de ensino Através
da Resolução de Problemas na disciplina Laboratório de Ensino de Matemática II,
com uma turma de alunos de um curso de Licenciatura em Matemática, com o
objetivo de trabalhar alguns conceitos geométricos usando a Geometria das
Transformações para que eles notassem a importância desse conhecimento para
sua formação acadêmica.
Foram propostos aos alunos três problemas que envolviam geometria e
durante a realização das atividades diversas perguntas foram surgindo. A
professora-pesquisadora fez a mediação ajudando-os nesse sentido. O trabalho
transcorreu de forma cooperativa e colaborativa e, seguindo os passos propostos na
metodologia de Resolução de Problemas, após a plenária e o consenso sobre a
resolução, a professora fez a formalização do conteúdo pretendido para aquela aula,
além de outros conceitos relacionados ao referido conteúdo.
No final do artigo encontram-se transcritos os textos dos alunos, futuros
professores, os quais demonstraram ter compreendido melhor os conceitos e as
propriedades geométricas; destacaram que o trabalho desenvolvido contribuiu para
refletirem sobre o ensino de geometria, ampliando sua visão quanto ao papel do
aluno e em relação a ele fazer suas descobertas e em construir o seu próprio
conhecimento; citaram a importância do desenvolvimento de novas formas de
ensinar onde ocorra a valorização do trabalho coletivo e do raciocínio lógico dos
alunos, e que a Geometria pode se tornar um conteúdo agradável (NUNES;
ONUCHIC, 2010).
Prado e Allevato (2010) realizaram um trabalho com alunos de 8º ano de uma
escola pública de São Paulo com o intuito de investigarem sobre o ensino de
Geometria através da Resolução de Problemas.
As autoras relatam que, apesar de os alunos terem apresentado diversas
dificuldades na realização das atividades, conseguiram avanços na construção dos
conhecimentos sobre os conteúdos estudados e concluíram que, além da
metodologia possibilitar uma aprendizado de trabalho colaborativo, permite aos
alunos desenvolverem autonomia ao tentarem resolver problemas. A metodologia
mostrou-se uma boa alternativa para a prática docente, pois um problema tornou-se
um recurso não somente para aplicação de conteúdos já abordados, mas ponto de
partida para os alunos construírem conhecimentos matemáticos utilizando o próprio
potencial. (PRADO; ALLEVATO, 2010).
Após serem destacadas algumas potencialidades do ensino de conteúdos de
Geometria através da Resolução de Problemas (ONUCHIC, ALLEVATO, 2009;
PRADO, ALLEVATO, 2010; NUNES, ONUCHIC, 2010), a seguir será apresentado o
relato da aplicação do Projeto de Intervenção Pedagógica desenvolvido no âmbito
do PDE conforme já mencionado, utilizando os recursos apresentados em uma
Produção Didático-pedagógica (PDP), que foi produzida também durante o PDE,
para subsidiar esta prática de ensino utilizando a Resolução de Problemas.
3. Relato da experiência
O Projeto de Intervenção Pedagógica, escrito no 1º Período do PDE, com o
tema Área e volume de sólidos geométricos através da Resolução de Problemas foi
implementado seguindo o que foi proposto na Produção Didático-pedagógica (PDP)
elaborada no 2º Período do PDE, com mesmo título do projeto mencionado, em uma
turma de 3º ano do Ensino Médio de um colégio público estadual do Paraná,
formada por 40 alunos.
A fim de explanar sobre a forma de trabalho que seria adotada nas aulas de
implementação do projeto realizou-se uma reunião com os alunos contando com a
presença de uma pedagoga do colégio. Foi exposto o projeto, a metodologia e
explicada a necessidade de a professora fazer registros sobre os acontecimentos
das aulas, a fim de utilizá-los na escrita deste artigo científico a ser apresentado
como condição para a conclusão do PDE. Ocorreu também a apresentação de um
Contrato Pedagógico, tendo sido enfatizada a importância do empenho e
colaboração de todos para que houvesse a possibilidade de resultados satisfatórios
serem alcançados.
Houve questionamentos por parte de alguns alunos sobre a questão do tempo
utilizado, se seria possível estudar todos os conteúdos. Foi explicado que, mesmo
na forma tradicional de ensino, não há garantia de o tempo ser suficiente para que
todos os conteúdos sejam contemplados pelo fato de haver apenas duas aulas
semanais de Matemática nesta turma.
Persistiu a resistência de alguns alunos e, na tentativa de sanar o problema,
foi realizada durante a hora atividade da professora, uma reunião com o presidente
da sala e dois alunos que eram contrários à mudança na forma de trabalho nas
aulas. Foi exposto mais detalhadamente como seria desenvolvido o projeto,
explicitando que, além de ter indicação por parte dos documentos oficiais, outros
professores já utilizavam a metodologia e registravam em artigos científicos estarem
satisfeitos com os resultados alcançados. Desta forma, os alunos aceitaram e se
comprometeram a empenhar-se na realização das tarefas propostas.
Foram aplicados seis dos oito problemas planejados na PDP para a
formalização dos conteúdos área e volumes de sólidos geométricos pelo fato do
tempo de seis meses, inicialmente estabelecido no cronograma do PDE, ser
reduzido a três meses e uma semana, em decorrência de duas greves da categoria
no ano de 2015.
Os problemas foram aplicados um a um e, para nortear o trabalho, buscou-se
seguir os passos descritos por Onuchic e Allevato (2009, p.97-98). Após a
formalização de cada conteúdo foram propostas aos alunos algumas questões, para
aplicar o que já havia sido formalizado, com variações no grau de complexidade, as
quais não serão apresentadas aqui pelo fato de o objetivo deste artigo ser relatar
como foi o desenvolvimento do trabalho com os problemas que possibilitaram a
introdução dos conteúdos por meio da Resolução de Problemas.
Os alunos da turma foram orientados que no momento oportuno, deveriam
organizar-se em grupos de cinco integrantes, por conta de a professora acreditar ser
oito grupos o limite que poderia atender durante a aula. Além disso, para manterem
sempre os mesmos grupos.
Durante as resoluções a professora percorreu a sala atendendo os alunos nos
grupos na função de observadora, orientadora e incentivadora, fazendo as
intervenções através de perguntas, registrando os questionamentos dos alunos. Foi
solicitado que cada grupo entregasse à professora sua produção escrita em uma
folha avulsa tanto para subsidiar na avaliação quanto para utilização na elaboração
do presente artigo. Esta mesma folha foi utilizada para a transcrição da resolução,
por parte de um aluno representante de cada grupo, na lousa.
Alguns problemas3 e resoluções apresentadas pelos alunos, bem como a
sequência para a formalização do conteúdo são apresentados a seguir, onde os
nomes dos alunos foram substituídos pelo código A seguido de seus respectivos
números de chamada: A1(aluno 1), A2 (aluno 2) e assim sucessivamente. No caso
do A não seguido de número, indica que vários alunos responderam ao
questionamento simultaneamente. Nos diálogos foi utilizado o código P para
remeter-se à fala da professora.
A seguir é apresentado o problema 2 cujo objetivo principal era sistematizar a
fórmula da área total do cubo.
3.1. Problema 4 2
A figura a seguir representa uma caixa fechada, de forma cúbica. Nestas
condições responda:
Cubo Fonte: Edna Berbert
a) Imagine a caixa “desmontada” e faça uma
planificação para ela.
b) Qual a área da região hachurada?
c) Qual a área da parte externa da caixa fechada?
3 Neste artigo há o relato do trabalho com 4 dos 6 problemas aplicados a fim de que o artigo não se tornasse muito extenso. 4 A numeração dos problemas segue a mesma da utilizada na PDP.
Após a leitura em conjunto A35 questionou: “O que é hachurada?” Recorreu-
se ao dicionário para esclarecer. Em seguida, a mesma aluna questiona: “É a área
geral ou só desta parte hachurada?” A professora então questionou: “O que diz o
enunciado? A qual parte se refere?”, a aluna leu novamente e entendeu que se
referia somente à parte hachurada.
Durante a resolução A24 perguntou se a planificação estava correta. A
professora questionou: “Como ficaria a caixa desmontada, ou desmanchada?” A24
chegou à conclusão que estava correta.
Como não foi possível concluir todos os passos sugeridos pela metodologia
no mesmo dia, na aula seguinte foi feita uma releitura do problema a fim de os
alunos relembrarem o que estava sendo estudado e solicitado que alguns alunos
dos grupos5 4, 1 e 6 transcrevessem na lousa as resoluções de seus grupos:
Figura 1 . Resolução do grupo 4
5 Foram selecionadas todas as resoluções diferentes.
Figura 2. Resolução do grupo 1.
Figura 3. Resolução do grupo 6.
Foi solicitado que um aluno lesse o primeiro item a ser respondido: “Imagine a
caixa “desmontada” e faça uma planificação para ela.”. Questionado o que seria
planificação, a resposta foi de que seria a caixa aberta, desmontada.
Analisada cada planificação constatou-se que todas estavam corretas. Em
seguida foi lido o item b “Qual a área da região hachurada?” e relembrado o termo
hachurado. Questionados se concordavam com a resposta 4cm2, concordaram.
Quanto à resposta do Grupo 6 a professora utilizando o quadriculado da
lousa, especificou que neste caso o retângulo tinha todos os lados iguais, sendo
portanto um quadrado. Destacou as medidas dos lados quadriculando uma face na
planificação. Analisando o quadriculado os alunos do grupo concordaram que
estavam errados. Questionados porque colocaram esta resposta uma aluna do
grupo falou que, embora tenha ocorrido uma discussão sobre 4cm2 ou 2cm2,
colocaram a resposta errada, mesmo não havendo justificativa.
Os alunos foram orientados a, em casos assim, serem críticos e tentarem
convencer os colegas usando seus argumentos. Utilizando, por exemplo, neste
caso, o que foi feito no problema 1 da PDP: quadriculado de 1cm por 1cm. Desta
forma poderiam convencer os demais colegas a respeito do resultado correto.
Após a leitura do item c “Qual a área da parte externa da caixa fechada?” foi
observado que os três grupos multiplicaram a área de uma face por seis, que é o
total de faces.
A29 apresentou como dúvida se colocaria cm2 na resposta ou não.
Questionados, o aluno A28 respondeu que sim, pois era 4cm2 x 6, o que resultaria
em 24cm2. Foi enfatizado, além disso, que 24cm2 era o resultado das adições das
áreas das faces: 4cm2 + 4cm2 + 4cm2 + 4cm2 + 4cm2 + 4cm2, o que resultaria em
24cm2, fazendo-se a correção na lousa.
Perguntado se fosse para definir a fórmula para calcular a área total do cubo,
qual seria esta fórmula, um aluno respondeu: “lado x lado x número de faces”. A
professora destacou que não podemos confundir os termos: lado é para figuras
planas. No caso do poliedro o termo é aresta. Neste momento houve a necessidade
de alertar para o fato de que se multiplica a medida da aresta, e não a aresta. Então
definiram: “área de uma face x quantidade de faces.”
Com esta resposta foi possível sistematizar a área total do cubo de acordo
com o proposto na PDP, isto é, partindo das resoluções apresentadas pelos alunos
a formalização do conteúdo era feita através da escrita na lousa de textos contendo
os termos técnicos e as definições formais.
A29 perguntou: “E quando as faces não são todas iguais?” A professora
respondeu que há casos assim, lembrando-lhes dos sólidos de acrílicos6 utilizados
no estudo dos conteúdos que haviam sido trabalhados como parte introdutória,
mencionados nas Orientações Metodológicas no início da PDP, e destacou que
iriam discutir sobre isso em seguida. Assim, o problema a seguir teve como objetivo
formalizar a área da base, área lateral e área total de prisma de base quadrangular.
3.2. Problema 3
Efigênia quer encapar a caixa na qual estava embalada sua máquina de lavar,
para guardar os brinquedos de seus filhos, da seguinte maneira: as bases de papel
vermelho e as laterais de papel azul. Sabendo-se que a caixa tem as dimensões
representadas na figura a seguir, determine:
a) Quantos m2 de papel vermelho ela precisa?
b) Quantos m2 de papel azul ela precisa?
c) Quantos m2 de papel, no total, ela precisa?
Prisma. Fonte: Edna Berbert
Durante a resolução deste problema houve os seguintes questionamentos:
A35: A caixa está aberta ou fechada?
P: Muda alguma coisa?
A35: Sim, porque tem a tampa.
A professora chamou a atenção para o enunciado quando diz “as bases”, no
plural, portanto precisava-se considerar a caixa com tampa. Foi reforçada esta
informação nos grupos e percebeu-se que, apesar disso, esta informação de que a
caixa estaria fechada poderia ser complementada no enunciado do problema a fim
de tornar isso mais claro para os alunos, pois há casas em que a caixa de
brinquedos não tem tampa.
A seguir algumas resoluções:
6 Conjunto de sólidos de acrílico disponível nas escolas
Figura 4. Resolução do grupo 3.
Figura 5 . Resolução do grupo 4.
Figura 6. Resolução do grupo 7
Após as resoluções serem transcritas na lousa e explicadas pelos alunos
ocorreu o seguinte diálogo.
Item a: Quantos m2 de papel vermelho ela precisa?
P: Qual o formato da base da caixa?
A: Quadrada.
P: Qual a fórmula para calcular a área de uma região quadrada?
A: Lado x lado.
P: Medida do lado x medida do lado.
P: Então temos aqui a área de uma base: 0,8 x 0,8 = 0,64. Observem que foi
multiplicado por dois pela existência das duas bases (superior e inferior): 0,64 x 2 =
1,28m2 de papel vermelho.
Logo o Grupo 3 percebeu o primeiro erro.
Usou-se a seguinte ilustração para fazer a generalização do cálculo:
Figura 7. Prisma
h : altura
l : aresta da base
A partir da resolução do Grupo 7 foi sistematizado o cálculo da área da base
do prisma conforme proposto na PDP.
Item b: Quantos m2 de papel azul ela precisa?
P: Qual o formato das laterais?
A29: Retangulares.
P: Como se calcula a área de um retângulo?
A26: Base x altura. (Aluno se referindo às medidas da base e da altura)
P: Qual a medida da base do retângulo que contorna esta face?
A: 0,8m.
P: Qual a medida da altura?
A: 1,2m.
P: Temos aqui 0,8 x 1,2 = 0,96m2. Quantas faces laterais temos?
A: Quatro.
P: Então por isso foi multiplicado por 4 o valor 0,8 x 1,2 = 0,96m2, que é a
área de uma face e 0,96m2 x 4 = 3,84 m2, por serem quatro faces.
Resposta: 3,84 m2 de papel azul.
Em seguida foi sistematizada a fórmula da área de uma face e a área lateral
conforme proposto na PDP.
Item c: Quantos m2 de papel, no total, ela precisa?
1,28 + 3,84 = 5,12
Resposta: 5,12m2 de papel no total.
O Grupo 3 não soube especificar o que havia feito no cálculo porque além da
soma não coincidir com o que foi representado, o valor 0,64 foi transformado em 6,4
sem nenhuma explicação. Foram feitas algumas intervenções no grupo por conta da
dificuldade que estavam tendo com o significado dos números; da diferença entre
6,4 e 0,64 (foi reforçada a importância da vírgula e que, ao deslocar uma casa para
a direita, estamos multiplicando o número por dez); mas devido à quantidade de
grupos a serem atendidos e à escassez de tempo, as intervenções pareceram não
terem sido suficientes para sanar o problema. O ideal seria trabalhar novamente
com estes alunos o conteúdo número decimais.
O Grupo 4 percebeu o erro no item b ao multiplicar por dois, considerando
apenas as faces visíveis, como consequência erraram o item c, fato já previsto na
PDP. Na análise deste erro pode-se constatar a necessidade de trabalhar já no
Ensino Fundamental com as planificações e construções dos sólidos geométricos
utilizando diferentes recursos, o que a professora inclusive teve a oportunidade de
fazer com o 7º ano já neste ano.
O grupo errou também na escrita da igualdade quando fizeram “0,8 x 1,2 =
0,96 x 2 = 1,92”. Fato que ocorreu também em outros grupos. Percebeu-se a
necessidade de questionar a igualdade entre a expressão no início da sentença e no
final: 0,8 x 1,2 = 1,92? Com base nisso, foi discutida a necessidade de escrever
separadamente cada operação com seu resultado em uma igualdade.
Não houve dificuldade por parte da turma em compreender que, ao adicionar
a área das duas bases e a área lateral temos a área de toda a superfície da caixa.
Desta forma, foi sistematizada a área total do prisma reto de base quadrangular
conforme proposto na PDP.
Utilizando os sólidos em acrílico mencionados na PDP, a professora
aproveitou para expandir a possibilidade do cálculo para outros tipos de prismas,
questionando o que poderia ser utilizado para o caso do formato da base ser
triangular, qual seria o número usado para multiplicar o valor referente à área de
uma face com a finalidade de obter a área lateral, e os alunos responderam que
neste caso seria três. Questionados para o caso de base hexagonal, responderam
que seria por seis (sempre mostrando os sólidos).
Foi enfatizado que o formato das faces laterais nos prismas retos sempre é
retangular, variando apenas a quantidade de faces laterais, de acordo com o formato
da base. Observou-se também que o cálculo da área da base seria realizado de
acordo com as fórmulas específicas para aquele tipo de polígono que contorna a
base, no caso, triângulo e hexágono e que naquele momento o objetivo era trabalhar
cálculos referentes ao cubo e ao paralelepípedo por conta do fator tempo. Foi
sugerido que fizessem este estudo de forma independente das aulas, usando como
fonte de estudo os livros e procurando a professora para dirimir dúvidas.
O problema a seguir teve como objetivo formalizar o volume do cubo.
3.3. Problema 4. (Adaptada de OCDE, p.47).
Suzana gosta de montar blocos usando cubos pequenos iguais ao que está
representado a seguir:
Cubo pequeno Fonte: OCDE
Suzana possui muitos cubos pequenos iguais a este. Ela utiliza cola para unir
os cubos e fazer blocos.
a) Nas figuras7 a seguir há representações dos blocos que ela montou. Com base
nesta informação, complete o quadro com os dados relativos a cada figura:
Figura 1.
Fonte: OCDE
Figura 2.
Fonte: OCDE
Figura 3.
Fonte: OCDE (Adaptada)
Quantos cubos
formam este bloco?
Escreva
matematicamente
como chegou à
resposta anterior.
7 Nas figuras dos problemas, foi usada a numeração conforme o texto entregue aos alunos.
Cubo Fonte: Edna Berbert
b) Suzana também montou o bloco ao lado. Com base
nesta informação responda:
I) Quantos cubos pequenos formam este bloco?
II) Escreva matematicamente como chegou à
resposta anterior.
III) Se cada cubo pequeno corresponde a um
1cm3, quantos cm3 tem este bloco, ou seja,
este cubo maior?
Figura 8. Resolução do grupo 1
Figura 9. Resolução do grupo 5
Foi disponibilizado Material Dourado e alguns grupos, embora fazendo uso do
material, apresentaram bastante dificuldade na resolução desse problema ao não
conseguir montar o cubo a partir da figura três.
Quando o aluno A29 do Grupo 1 explicou a resolução, ao ser questionado do
motivo da multiplicação por seis, respondeu que como são seis faces multiplicaram
por 6.
Utilizando uma ilustração da sequência de cubos na lousa a professora
indagou os alunos que, se um cubo pequeno foi contado olhando a face frontal e
depois contado olhando pela face lateral, não estaria sendo contado duas vezes?
Concordaram que sim.
Em seguida a professora questionou: Como o grupo todo não percebeu esta
contagem em duplicidade?
Uma aluna respondeu que percebeu algo errado, mas não discutiu e
prevaleceu a opinião de A29, que era o presidente da turma e bastante atuante nas
aulas e atividades da turma. Pode-se supor que a credibilidade do aluno perante os
colegas prevaleceu sobre a razão dos demais integrantes do grupo.
Sendo um dos objetivos do projeto que o aluno analise a razoabilidade dos
resultados, foi enfatizado que se empenhassem nas resoluções individualmente e
depois confrontassem os resultados com os demais integrantes do grupo. Que não
deveriam aceitar prontamente a resolução do colega sem analisar e usar suas
argumentações. Neste caso, o erro foi devido ao fato de o aluno haver confundido a
unidade de medida de volume com a unidade de medida de área, isto é, como são
seis faces, para obter a área total multiplica-se a área de uma face por seis. O grupo
não atentou para o fato de que a unidade de medida era um cubo pequeno e a
pergunta era quantos cubos pequenos formavam a figura ali representada.
Partindo para a resolução 2 a professora questionou: “Este 4, qual a
expressão matemática que permite chegar a ele?” “2 x 2” um aluno respondeu.
Continuando, a professora explicou como são 4 x 2 o total de cubos e 4 = 2 x 2,
então podemos reescrever 4 x 2 como 2 x 2 x 2, ou seja, uma multiplicação de
fatores iguais, o que na forma de potenciação é 23. E assim sucessivamente para
cada cubo formado por cubos pequenos.
Chamando a atenção para o item III da questão b, se cada cubo pequeno tem
1cm3, então 125 cubos será 125cm3.
Foi destacado que:
Todo sólido ocupa uma porção no espaço. A medida dessa porção é o volume desse sólido. Para calcular o volume de um corpo, em geral usamos como unidade-padrão o volume de um cubo de aresta de medida 1 u: esse volume é 1 u3. Assim, se a aresta mede 1 cm, o volume desse cubo é 1cm3; se a aresta mede 1 m, o volume é 1 m3. (SMOLE; DINIZ, 2010, p.277, grifo das autoras)
Foi observado que no contexto do problema, a junção de todos os cubos
pequenos formam o volume do bloco (cubo maior), em cm3. Como cada cubo
pequeno tem volume 1cm3, a quantidade de cubos pequenos que forma cada bloco
(cubo maior) coincide com seu respectivo volume. Foi feita a ilustração na lousa do
seguinte esquema:
Cubo de aresta 2 cm
Volume = 23 cm3
Cubo de aresta 3 cm
Volume = 33 cm3
Cubo de aresta 4 cm
Volume = 43 cm3
Cubo de aresta 5 cm
Volume = 53 cm3
Neste sentido, a professa questionou “qual seria a expressão matemática
para representar o cálculo do volume V de um cubo de aresta a?” Os alunos
responderam V = a3. Concordaram que para saber o volume V de um cubo de aresta
“a” temos a expressão algébrica V = a3. Destacou também a necessidade de
observar a unidade de medida utilizada e que m x m x m é m3, cm x cm x cm é cm3,
conforme visto em séries anteriores no estudo dos monômios e polinômios.
O problema a seguir teve como objetivo sistematizar a fórmula do volume de
prisma reto quadrangular.
3.4. Problema 5.
Ainda com base na formação de sólidos a partir de cubos pequenos, como no
problema anterior, considere a figura a seguir e responda as questões propostas.
Cubo pequeno
Sólido A
Fonte: Edna Berbert
a) Quantos cubos pequenos foram necessários para construir o sólido A? Justifique
sua resposta.
b) Quantos cubos pequenos seriam necessários para construir um sólido B,
resultante do empilhamento de 100 sólidos iguais ao A? Justifique sua resposta.
Figura 10. Resolução do grupo 5
Os grupos não demonstraram dificuldade em resolver este problema obtendo
resoluções semelhantes. Não foram necessárias explicações quanto à resolução
porque estava bem explícito nas justificativas por eles apresentadas.
Partindo para a formalização a professora fez a ilustração acrescentando os
valores correspondentes:
Figura 11. Prisma. Fonte: Edna Berbert
Salientou que pode-se relacionar a expressão 8 x 8 x 1 = 64 à multiplicação
entre os valores referentes a medida do comprimento, largura e altura
(8 x 8 x 1 = 64), pois como cada cubo pequeno possui uma unidade de volume a
quantidade de cubos pequenos que forma o Sólido A coincide com o valor de seu
volume.
No item b pede-se a quantidade de cubos pequenos necessários para
construir um sólido B resultante do empilhamento de 100 sólidos iguais ao A. Foi
feita a seguinte ilustração na lousa:
Figura 12.
Fonte: Edna Berbert Observação: Nesta imagem os segmentos não foram representados de maneira proporcional.
A professora observou que a resposta obtida para o item b é que teremos
6400 cubos pequenos. Como cada cubo pequeno apresenta uma unidade de
volume, conclui-se que o volume sólido B (um prisma reto quadrangular, cuja aresta
da base é 8 e a altura é 100), é igual a 6400 unidades de volume.
Fez ainda o seguinte questionamento: “Se denominarmos o valor 100 como
correspondente a medida h da altura do prisma e a expressão 8 x 8 como a que
representa a área da base, qual seria a expressão que permite calcular o volume V
do prisma aqui ilustrado?”
Alguns alunos responderam:
“V é igual a área da base vezes a altura”.
Foi feita a formalização conforme a Proposta Didático-pedagógica.
Foi ainda destacado que esta fórmula, apesar de ter sido sistematizada, a
partir de um prisma com uma base específica, também é válida quando a base é
representada por outros polígonos. Assim: “O volume de um prisma é igual ao
produto da área da sua base pela medida da altura relativa a essa base.” (SMOLE;
DINIZ, 2010, p.278).
4. Considerações Finais
De forma geral, os alunos estavam acostumados a serem passivos nas aulas
observando as explicações da professora e quando lhes foi apresentado algo a ser
feito sem nenhum conteúdo expositivo prévio causou-lhes estranhamento. No
entanto, após este primeiro entrave os alunos foram se envolvendo e participando
de uma forma bastante proveitosa nas resoluções dos problemas e nas plenárias. A
autora acredita que esse estranhamento possa ser evitado se a metodologia for
introduzida em séries anteriores para que o aluno vá se adequando e não apresente
tanta resistência quanto a que se apresentou no início deste projeto.
Recomenda também que o professor, antes de iniciar o trabalho com esta
metodologia utilize, em aulas anteriores, a forma de trabalho em grupos,
incentivando os alunos a analisarem a razoabilidade dos resultados, a apresentarem
suas resoluções, a argumentarem e a defenderem suas conclusões diante dos
colegas, pois este também foi um aspecto de dificuldade inicial.
Constatou que para aplicar a metodologia é necessário o professor ter
domínio do assunto a ser trabalhado e estar atento para agir como orientador, não
oferecendo respostas prontas ao aluno, incidindo na forma tradicional de ensino.
Percebeu-se de forma clara a necessidade de, nas séries anteriores (6º ao 9º
ano) onde há um número maior de aulas, trabalhar-se a nomenclatura, a contagem
dos elementos dos poliedros, a montagem e planificação dos sólidos com o auxílio
de materiais manipuláveis, a visualização de animações das planificações dos
sólidos em três dimensões com recursos de softwares, dando, desta forma,
importância ao conteúdo Geometria Espacial no Ensino Fundamental, onde muitas
vezes, por meio de conversas com colegas, percebe-se que o mesmo é visto de
forma superficial ou nem mesmo é trabalhado por conta de alguns considerarem que
o será no Ensino Médio. Com este trabalho anterior a respeito dos tópicos
destacados, é possível que no 3º ano os alunos estejam abstraindo as informações
referentes aos sólidos mais facilmente e, com isso, tenham mais argumentos no
trabalho que conduz à sistematização das fórmulas, como este aqui realizado.
Quanto à problemática inicial: dificuldade apresentada pelos alunos do 3º ano
do Ensino Médio nos cálculos relativos à área e volume envolvendo sólidos
geométricos, a autora observou que a utilização da metodologia oportuniza a
participação dos alunos na construção de seus conhecimentos relativos ao cálculo
de área da base, área lateral e total, assim como de volume dos prismas estudados.
Possibilita introduzir o conteúdo oferecendo ao aluno oportunidade de empenhar-se
em organizar gradualmente com trabalho os conhecimentos e estruturá-los, de
forma organizada e sistemática, fazendo uso dos termos técnicos, participando do
processo que leva ao estabelecimento das fórmulas, atendendo, desta forma, o
recomendado por documentos oficiais como as Orientações Curriculares para o
Ensino Médio (BRASIL, 2006).
REFERÊNCIAS
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BRASIL, Ministério da Educação e Cultura. Orientações Curriculares Para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília, DF, 2006.
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OCDE: PROGRAMA DA OCDE PARA AVALIAÇÃO DE ALUNOS – PISA. Itens liberados de Matemática. Brasília: INEP - Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira, 2008. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/internacional/pisa/Itens_Liberados_Matematica.pdf>. Acesso em 12 nov. 2014.
ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S.G. Trabalhando Volume de Cilindro Através da Resolução de Problemas . Educação Matemática em Revista, [S. l.], v. 1, n. 10, p.95-103, ano 10, 2009.
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PRADO, M. A.; ALLEVATO, N. S. G. O Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Geometria através da Resolução de Problemas . Acta Scientiae, Canoas, v.12, n.1, p.24-42, jan./jun.2010.
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